Derivadas Direccionales y Gradiente

Ejemplo 1

Suponga que, en cierta región de espacio, el potencial eléctrico V esta dado por:

V(x,y,z)=5x²-3xy+xyz

a. Encuentre la razón de cambio del potencial en P(3,4,5), en la dirección del vector v = i+j-k.

b. ¿En que dirección cambia V mas rápidamente en P?c. ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P?

Solución

a. El gradiente en V es ∇v(x,y,z)=<10z-3y+yz,-3x+xz,xy>

para el punto (3,4,5)

∇v(3,4,5)=<38,6,12>

Calculando el vector unitario de V = i+j-k

u=<(1/(√3)),(1/(√3)),-(1/(√3))>

Aplicando producto escalar

<38,6,12>.<(1/(√3)),(1/(√3)),-(1/(√3))>=((32)/(√3))

b. La tasa máxima de crecimiento de P en V se alcanza en la dirección del gradiente, por lo tanto

<38,6,12> -> Dirección con la que V cambia mas rápidamente

c. La tasa máxima de cambio es igual a la magnitud del gradiente, es decir:

|Vp|=√(38²+6²+12²)

|Vp|=40.29

Ejemplo 2

Un equipo de oceanógrafos esta elaborando un mapa del fondo del océano para ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo:

D=250+30x²+50sin(((πY)/2)) 0≤X≤2 0≤Y≤2

donde D es la profundidad en metros, y X y Y son las distancias en kilómetros.

Suponga que el barco se localiza en las coordenadas x = 1 y y =0.5

a. Determine la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje x positivo a partir del punto donde se encuentra el barco.

b. Determine la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo a partir del punto donde se encuentra el barco.

c. Determine la dirección de mayor tasa o ritmo de cambio de la profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco.

d. Determine el valor máximo del ritmo de cambio de la profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco.

e. Determine la dirección de menor tasa o ritmo de cambio de la profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco.

f. Determine el valor mínimo del ritmo de cambio de la profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco.

Solución:

Primero derivamos respecto al eje X y evaluamos:

a. Dx=60x Dx(1,0.5)=60(1)=60

En esta parte se der8va respecto al eje Y y se evalúa en los puntos donde se encuentra el barco.

b. Dy=25πcos(((πy)/2)) Dy(1,0.5)=25πcos((π/4))=((25π√2)/2)=55.54

En esta parte lo que se nos pide es el vector gradiente de la función.

c. ∇D=60xi+25πcos(((πy)/2))j ∇D(1,0.5)=60i+55.54j

El valor máximo es igual a la magnitud del gradiente

d. d. ‖VD‖=√(60²+55.54²)=81.75

La menor tasa es igual al cambio de dirección de la función con respecto al gradiente.

e. -VD=-60xi-25πcos(((πy)/2))j -VD(1,0.5)=-60i-55.54j

El valor minimo es igual a la magnitude del cambio que realize la funcion del gradiente.

f. -‖VD‖=-√(60²+55.54²)=-81,75