deret c++

Menentukan Nilai Sin(x) Menggunakan Deret Maclaurin

ABDUL ROHMAN SAYYID, DIAN PERMANA, DIKI FAUZIFISIKA

SAINS DAN TEKNOLOGIUIN SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

E-mail: [email protected]

Abstract:Taylor series is a representation of a mathematical function as an infinite sum of the tribes whose value iscalculated from the derivative of the function at a point. This series can be considered as the limit of Taylorpolynomials. Taylor series or MacLaurin series is very useful in numerical methods for calculating or over thefunction values are difficult to be calculated manually as the value of sinx, cosx, ex, logxorln(x + 1). In thispecobaan create an analytic of the Maclaurin series using Dev C ++ program by utilizing factorial programand use the functions sin (x) in the Maclaurin series to determine the value of the convergence of the functionsin(300). From the results obtained through the program Maclaurin series to find the value of sin(300) 0.499967or the results obtained we can round it off to 0.5 with a number of tribes as much as 4 parts. A comparisonbetween the value of programming Dev C ++ with a calculated manually get the same result count is 0.5,this shows that the calculation of the Maclaurin series using Dev C programming ++ or manual calculation is true.

Keyword: Software Dev C ++, factorial, function sin (x), Taylor Series

Abstrak: Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-sukuyang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limitpolinomial Taylor. Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode numerikuntuk menghitung atau menghampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara manual seperti nilaisinx, cosx, ex, logxatauln(x + 1). Pada pecobaan ini membuat sebuah analitik dari deret maclaurin denganmenggunakan program Dev C++ dengan memanfaatkan program faktorial dan menggunakan fungsi sin(x) padaderet maclaurin untuk menentukan nilai konvergensi dari fungsi sin(300). Dari Hasil yang didapatkan melaluiprogram deret maclaurin dengan mencari nilai sin(300) didapatkan hasil 0.499967 atau dapat kita bulatkanmenjadi 0.5 dengan jumlah suku sebanyak 4 suku. Setelah dibandingkan antara nilai dari pemrograman DevC++ dengan perhitugan manual mendapatkan hasil peritungan yang sama yaitu 0.5 hal ini menunjukan bahwaperhitungan deret maclaurin menggunakan pemrograman Dev C++ maupun perhitungan manual bernilai benar.

Kata kunci: Software Dev C++,faktorial, fungsi sin(x), Deret Taylor

i

Laporan Praktikum Fisika Komputasi I

1 Pendahuluan

1.1 Latar BelakangDeret merupakan salah satu analisis numerik yang penting dalam analisis matematis karena banyak beberapa

kasus yang tidak dapat dihitug secara matematis, namun dapat dihitung dengan menggunakan komputasi salahsatunya adalah deret. Dengan deret Taylor kita dapat menentukan nilai suatu fungsi di titik x jika nilai fungsi dititik x0 yang berdekatan dengan titik x diketahui.

1.2 Rumusan MasalahBerawal dari latarbelakang di atas, dapat kita uraikan bahwa bagaimana untuk menyelesaikan permasalahan sistempada persoalan matematis yang tidak dapat diselesaikan secara matematis, maka pada kasus ini menggunakansoftware C++ kita dapat menyelesaikan persamaan matematis dari Deret maclaurin.

1.3 Batasan MasalahAdapun batasan masalah pada percobaan praktikum ini yaitu untuk menyelesaian fungsi dari deret maclaurinmenggunakan software C++ hingga di dapatkan konvergensi dari deret.

1.4 Tujuan PraktikumMahasiswa dapat membuat program C++ untuk membuat sebuah deret, mencari suku deret, dan jumlah deret ter-tentu

2 Landasan Teori

2.1 DeretDeret bilangan pada umumnya terbagi menjadi 2, yaitu deret aritmetika dan deret geometri. Perbedaannya terletakdari penentuan suku berikutnya berdasarkan operasi penjumlahan atau perkalian. Contoh deret aritmetika :

12 , 13 , 14 , 15 , ...

Contoh deret geometri :

2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...

Contoh deret yg kompleks :

an =n+12n!

2.2 Deret TaylorDeret Taylor memegang peranan yang sangat penting dalam analisis numerik. Dengan deret Taylor kita dapatmenentukan nilai suatu fungsi di titik x jika nilai fungsi di titik x0 yang berdekatan dengan titik x diketahui.Dalam matematika, Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limitpolinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut ter-pusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia ColinMaclaurin.Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuahpemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat.

f(a) +f I(a)

1!(x a) + f

II(a)

2!(x a)2 + f

III(a)

3!(x a)3 + f

IV (a)

4!(x a)4 + ... (1)

Abdul Rohman Sayyid(1211703002)


yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai:n=0

fn(a)n! (x a)n

Dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a.Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x a)0 dan 0! didefinisikan sebagai 1.Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode numerik untuk menghitung atau meng-hampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara manual seperti nilai sinx, cosx, ex, logxatauln(x + 1).Tentu kita tidak akan bisa menghitung nilai-nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel.Dalam tulisan ini saya akan mencoba untuk mendekati fungsi-fungsi tersebut menggunakan Deret MacLaurin.Aproksimasi sebuah fungsi dapat juga diwujudkan dalam bentuk ekspansi deret taylor atau deret maclaurin memi-liki bentuk:

f(x) = f(0) + xf I(0) + x2

2! fII(0) + x

3

3! fIII(0) + ...+ x

n

n! fn(0) + ...

3 Prosedur

3.1 Diagram Alir

Menyiapkan Software Dev C++ yang sudah ter-install

Membuat program faktorial

Mempelajari aproksimasi dari fungsi sin (x) dengan deret maclaurin

Memmbuat program deret maclaurin fungsi sin(x)

Memahami penurunan persamaan fungsi dari deret maclaurin pada fungsi sin(300)

Membandingkan hasil program Dev C++ dengan hasil perhitungan

Figure 1: Diagram alir

3.2 Alat dan Bahan

Table 1: Alat dan BahanNo Alat/Bahan Jumlah

1 Laptop 1 buah2 Software Dev C++ 1 buah

3.3 Metode Percobaan Praktikum1. Pada pecobaan ini membuat sebuah analitik dari deret maclaurin

2. Membuat Program faktorial

3. Memahami penurunan persamaan dari fungsi sin(x) pada deret maclaurin

4. Membuat program pada Dev C++ dengan menggunakanfungsi sin(x) pada deret maclaurin



5. Menentukan nilai konvergensi Deret maclaurin dari fungsi sin(300)

6. Membandingkan Hasil analitik dengan hasil program Dev C++

4 Pengujian dan Hasil

Figure 2: Hasil Perhitungan Faktorial

Figure 3: Hasil Perhitungan Deret Maclaurin

Deret Taylor memegang peranan yang sangat penting dalam analisis numerik. Dengan deret Taylor kita dapatmenentukan nilai suatu fungsi di titik x jika nilai fungsi di titik x0 yang berdekatan dengan titik x diketahui. DeretTaylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitungdari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Tayloratau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara manual seperti nilai sinx, cosx, ex, logxatauln(x + 1). Kita tidak akanbisa menghitung nilai-nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel. Aproksimasi sebuahfungsi dapat juga diwujudkan dalam bentuk ekspansi deret taylor atau deret maclaurin. Dalam penyelesaian derettaylor atau deret maclaurin tidak akan pernah lepas dari proses penyelesaian faktorial, maka dari itu sebelum kitamenyelesaikan persamaan deret maclaurin kita diharapkan bisa meyelesaikan persamaan faktorial seperti Gambar2. penyelesaian faktorial ini merupakan hasil dari perulangan ataupun iterasi pada progam Dev C++ ini perulanganmenggunakan for. Sebelum membuat perulangan kita #include < iostream > untuk menggunakan inputan(cin)dan outputan (cout). faktorial merupakan hasil dari perulangan dan hasil proses untuk mencari nilai faktorialberasal dari nilai baru sama dengan nilai lama dikalikan dengan nilai iterasi tersebut yang kemudian berulanghingga banyaknya perulangan yang dibutuhkan dalam Dev C++ ditandai dengan i++. Dari Hasil compailer danrun kita cukup memasukan nilai yang akan difaktorialkan sehingga kita bisa langsung mendapatkan nilai faktorialtersebut. Seperti halnya mencari nilai faktorial dari 5 yaitu perkalian antara nilai lama dengan nilai baru.

Gambar 3 merupakan hasil compailer dan runing dari code Dev C++ aproksimasi dari fungsi sin(x) denganmenggunakan deret maclaurin. pada Pemrograman deret maclaurin menggunakan bahasa dev C++ kita memanggilfile atau #include < iostream > #include < math.h > #include < conio.h > #include < stdio.h >#include < fstream > file - file tersebut di panggil untuk menjalankan beberapa fungsi yang digunakan dalamderet maclaurin. Dalam deret maclaurin ini kita menggunakan fungsi while yang mana fungsi ini merupakanfungsi perulangan pada jenis kondisi tertentu, jika suatu nilai tidak terpenuhi atau dengan kata lain bernilai salah,maka proses perulangan tidak akan dilakukan. Pada pengulangan while ini juga memerlukan penginisalan seperti



program terebut. setelah pengkondisian pengulangan dengan menggukan fungsi while kemudian pada program dibuat fungsi if untuk melakukan pengkondisian yang kemudian akan diperiksa kesesuaiannya, jika kondisi terpenuhimaka program akan melakukan perintah yang telah dibuat namun apabila suatu kondisi tidak sesuai atau salahmaka program tidak akan langsung keluar namun melanjutan pengkondisian sesuai yang diperintahkan. DariHasil yang didapatkan melalui program deret maclaurin dengan mencari nilai sin(300) didapatkan hasil 0.499967atau dapat kita bulatkan menjadi 0.5 dengan jumlah suku sebanyak 4 suku. Setelah dibandingkan antara nilaidari pemrograman Dev C++ dengan perhitugan manual mendapatkan hasil peritungan yang sama yaitu 0.5 halini menunjukan bahwa perhitungan deret maclaurin menggunakan pemrograman Dev C++ maupun perhitunganmanual bernilai benar.

5 KesimpulanBerdasarkan percobaan yang dilakukan dapat kita simpulkan bahwa pemrograman menggunakan Dev C++ denganperhitungan manual mendapatkan nilai 0.5 dengan banyak nya suku sebanyak 4 suku hal ini menunjukan bahwapemrograman Deret Maclaurin dengan Bahasa pemrograman Dev C++ Bernilai sama dan benar.



References[1] http://wikipedia.co.id. diakses 13-11-2014 jam 19.23 WIB

[2] Haliday,R.,1960, Fisika Jilid I , Jakarta: Erlangga (Terjemahan).

[3] Giancoli C. Douglas, 1998, FISIKA Jilid 1, Erlangga, Jakarta

[4] Marcelo A & J. Finn Edwar, 1994, DASAR-DASAR FISIKA UNIVERSITAS jilid 1, Erlangga, Jakarta

[5] Tipler A. Paul, 1998, FISIKA UNTUK SAINS DAN TEKNIK, Erlangga, Jakarta



Lampiran

Analitik Aproksimasi dari fungsi sin(x)

f(x) = sin(x) = a0 + a1x1 + a2x

2 + a3x3 + a4x

4 + a5x5 + ...+ anx

n + ...untukx = 0; a0 = 0

f I(x) = cos(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + 4a4x

3 + 5a5x4 + ...+ anx

n + ...untukx = 0; a1 = 1

f II(x) = sin(x) = 2a2 + 3.2a3x+ 4.3a4x2 + 5.4a5x3 + ...+ anxn + ...untukx = 0; a2 = 0

f III(x) = cos(x) = 3.2a3 + 4.3.2a4x+ 5.4.3a5x2 + ...+ anxn + ...untukx = 0; a3 = 13!f IV (x) = sin(x) = 4.3.2a4 + 5.4.3.2a5x+ ...+ anx

n + ...untukx = 0; a4 = 0

fV (x) = cos(x) = 5.4.3.2a5 + ...+ anxn + ...

untukx = 0; a5 =

15!

maka :

sin(x) = a0 + a1x1 + a2x

2 + a3x3 + a4x

4 + a5x5 + ...+ anx

n + ...

adalah :

sin(x) = x 13!x3 + 15!x5 + ...


deret c++

Documents