Tugas Resume

Geofisika Matematika

Power Series And Complex Number

Dosen:

Prof. Dr. Wawan Gunawan A. Kadir, MS.

Okto Ivansyah

22311008

Program Studi Teknik Geofisika

Fakultas Teknik Pertambangan dan Perminyakan

Institut Teknologi Bandung

2012

Deret dan Bilangan Kompleks

OlehOkto Ivansyah (22311008)

Dalam banyak fenomena fisis, penggunaan deret diperlukan untuk memperoleh hasil

kuantitatif yang bersifat hampiran ketika memecahkan persoalan yang cukup rumit secara

matematis.

I. Deret

Deret adalah hasil penjumlahan semua suku dalam barisan. Misalkan terdapat barisan a1, a2, a3, a4 , …, an, jika kita ingin mencari deret dari barisan di atas kita tulis sebagai berikut,

a1+a2+a3+a4+…+an=∑n=1

∞

an

Notasi menyatakan penjumlahanΣ

Jadi jika mencari deret dari suatu barisan, yang kita lakukan adalah menjumlahkan semua suku dalam barisan tersebut.

II. Deret pangkat

Dalam matematika, deret pangkat (satu variabel) adalah deret tak hingga dalam bentuk

f ( x )=∑n=0

∞

an ( x−c )n=¿ ao+a1 ( x−c )1+a2 ( x−c )2+a3 ( x−c )3+…¿

dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di

sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret

ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal

tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:

f ( x )=∑n=0

∞

an xn=¿ao+a1 x1+a2 x2+a3 x3+…¿

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tapi juga dapat ditemukan

pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan

nama transformasi Z).

III. Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk,

a+bi

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang

mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan

bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0,

maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Sebagai contoh, 3

+ 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil;

namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya,

setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti

bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol

untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

1. Definisi

a. Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau  . Bilangan real, R,

dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real

sebagai bilangan kompleks: 

a=a+0i

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar

seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i 2 = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan

bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real,

berupa aljabar tertutup.

Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai

dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks,

polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.

b. Definisi

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real (a, b) dengan operasi

sebagai berikut:

(a , b )+ (c , d )=(a+c , b+d )

(a , b ) ∙ (c , d )=(ac−bd , bc+ad )

Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan

bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.

Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang

bilangan riil (a, b), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu

dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks (a, 0), dan dengan cara ini,

himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.

Dalam C, berlaku sebagai berikut:

identitas penjumlahan ("nol"): (0, 0)

identitas perkalian ("satu"): (1, 0)

invers penjumlahan (a,b): (−a, −b)

invers perkalian (reciprocal) bukan nol (a, b):

( a

a2+b2 ,−b

a2+b2 )2. Operasi

a. Bentuk Penjumlahan

Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan

suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.

a+bi

b. Bentuk Polar

Dengan menganggap bahwa:

r=√a2+b2

Dan

θ=arctan ( ba )

Maka

a+bi=r (cosθ+i sin θ )

Untuk mempersingkat penulisan, bentuk r (cosθ+i sin θ ) juga sering ditulis sebagai r cis θ

c. Bentuk Eksponen

Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:

ℜiθ=r ( cosθ+isin θ )

3. Bidang kompleks

Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem

koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.

Koordinat Cartesian bilangan kompleks adalah bagian riil x dan bagian imajiner y,

sedangkan koordinat sirkularnya adalah r = |z|, yang disebut modulus, dan = arg(φ z), yang

disebut juga argumen kompleks dari z (Format ini disebut format mod-arg).

Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:

z=x+iy=r (cos∅+ isin∅ )=ℜi∅

Kadang-kadang, notasi r cis dapat juga ditemui.φ

Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2 , jadi, jika terdapatπ

dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2 ,π

kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).

Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar, dapat diperoleh:

r1 e i∅ 1 ∙ r2e i∅2=r1 r2 ei (∅1+∅ 2 )

Dan

r1 ei∅1

r2 ei∅2

=r1

r2

ei(∅1−∅2)

Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor,

dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan

pemanjangan secara bersamaan.

Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam

( /2π  radian). Secara geometris, persamaan i2 = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang

sama dengan rotasi 180 derajat (π radian).

IV. Aplikasi dalam Geofisika

Dalam bidang geofisika, deret dan bilangan kompleks sangat berarti. Adapun contoh

aplikasinya dalam bidang geofisika sebagai berikut,

a. Metode numerik untuk menyelesaikan masalah interface fluida.

b. Simulasi pengukuran CSAMT marine

c. Pemodelan numerik dalam pengembangan bidang geo-elektromagnetik

d. Aplikasi transformasi wavelet dalam analisis data seismik refleksi

e. Estimasi Densitas Mulus dengan Metode Wavelet

Turunkan persamaan a0, an, dan bn dari deret fourier,

Fungsi f(x) terdefinisi pada 0 ≤ x≤ 2 π , sehingga dapat ditulis deret Fourier seperti berikut,

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞

( an cosnx+bnsin nx )

Dengan koefisien a0, an, bn diperoleh dari persamaan berikut,

a0=1π∫0

2 π

f ( x ) dx

an=1π∫0

2 π

f ( x )cos nx dx

bn=1π∫0

2 π

f ( x )sin nx dx

Diketahui,

∫0

2 π

cosmx cosnx dx=∫0

2 π

sin mx sin nx dx={0 , n≠mπ , n=m

dan

∫0

2 π

cosmx sin nxdx=0

Dengan range integral −π ≤ x ≤ π akan diperoleh deret fourier yang sama seperti yang di

atas.

Untuk −L ≤ x ≤ L,

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞

(ancosnπL

x+bn sinnπL

x)dengan,

an=1L∫−L

L

f ( x ) cos( nπL

x)dx

bn=1L∫−L

L

f ( x ) sin( nπL

x )dx

Perlu diingat bahwa

cos¿ ( 2nπ2 π

x)=cosnx →interval 2 π

cos¿ ( 2nπ2 L

x)=cosnπL

x →interval 2 L

Pada kasus umum, untuk α ≤ x ≤ β , persamaan diberikan :

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞ [an cosnπ (2x−β−α )

β−α+bnsin

nπ (2x−β−α )β−α ]

an=2

β−α∫α

β

f ( x ) cosnπ (2 x−β−α )

β−αdx

bn=2

β−α∫α

β

f ( x )sinnπ (2 x−β−α )

β−αdx

Jika f(x) terdefinisi pada – L ≤ x≤ L dan ganjil, jika bn = 0 dan persamaan menjadi

f ( x )=f (−x )

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞

(ancosnπL

x)an=

2L∫

0

L

f ( x )cos ( nπL

x )dx

Catatan : ∫0

2 π

cosnx sin mx dx=0

Jika untuk f(x) adalah genap, maka an = 0, sehingga persamaan menjadi : f ( x )=−f (−x )

f ( x )=∑−L

L

(bnsinnπL

x )bn=

2L∫

0

L

f ( x )sin ( nπL

x)dx

Sebagai contoh f ( x )=|x|/ L untuk – L ≤ x≤ L :

Untuk fungsi ganjil, maka koefisien Fourier adalah

a0=2L∫

0

LxL

dx=1

an=2L∫

0

LxL

cos ( nπL

x )dx { −4

(nπ )2

0………………. n=ganjil

…. n=genap

Sehingga deret fourier menjadi :

f ( x )=|x|L

=12− 4

π2 ∑n=0

∞1

(2 n+1 )2cos

(2n+1 ) πL

,….−L ≤ x ≤ L

Untuk f(x) = x/L ……. Fungsi genap

Diperoleh,

xL= 2

π∑n=1

∞ (−1 )n+1

nsin

nπL

x=1 L ≥ x≥−L