Z. angew. Math. Mech. Bd. 30 Nr. 819 A u d S e p t . 1950 258 C. StrGmungslehre

Losung einer Aufgabe Giber Stromung in Leistungssystemen Yon W . Richter in Frankenthal

Fur stationare, turbulente Stromungen in einer uberall dichten, einfachen Leitung, in welcher dem stromenden Mittel keine Energie zugeluhrt wird, besteht zwischen dem Forder- strom Q und der Gesamtdruckdifferenz Pik zwischen dem Zustrompunkt i und dem Abstrom- punkt k dir Beziehung

Die Konstante R sol1 R-Rer t genannt werden. Ein Leitungssystem liaben folgende Form : im Zustrompunkt des Systems teilt sich die

Ixitung in zwei Teilleitungen, welche sich im Abstrompunkt des Systems wieder vereinigen. Iron einem Punkt der einen dieser Teilleitungen fuhrt eine Querverbindung zu einem Punkt der zwi ten dieser Teilleitungen. Die R-Werte der funf das so beschriebene System bildenden L-itungszweige und die Gesarntdruckdifferenz Y des Systems seien gegeben. Die Aufgabe, den in jedein L-itungszweig flieBenden Forderstrom zu bestimmen, fuhrt auf die Gleichungen

R Q' = Pik .

1Rl Qf i -1RQ: 21RQiQ3 + P ?R, 9," f OR Q,' = - 2 ,R Qz Q, i- P

R,&: - R,Q: $- R,Q: = 0 9

fur deren graphische Losung ein Fluchtlinienmonogramm entwickelt wurde, welches aus zwei Hyperbeln und aus Geraden als Leiterntragern besteht. An einem Beispiel wurde die Auslegung eines fur ein solches gegebenes Leitungssystems geeigneten Lufters besprochen.

Wenn in eineni d?r Leitungszweige des Systems ein Lufter arbeitet, so is t der betreffende R-Werl nicht mehr konstant. Er ist als Funktion des entsprechenden Forderstromes durch die Lufterkennlinie festgelegt. Das Nomogramni enthalt dann zwei Scharen von Hyperbeln als Lpiterntrager. Aucli dafiir wurdr ein praktisches Beispiel durchgefuhrt. Schliel3lich wurden Sonderfalle bespmchen, die sich daraus ergeben, dafi einzelne der gegebenen R-Werte null oder unendlich groB sein konnen.

Das Problem ist anwendbar auf Pumpenleitungen, Tunnelbeluftung, Grubenbewetterung, Saugzug- und Unterwindanlagen und andere industrielle Yentilationszwecke, wofiir seine Lijsung Hinweise auf die %'ah1 der geeigneten Pumpen bzw. Lufter gibt.

Der Warmeaustausch zwischen einem geheizten Band und einer Konvektionsstromung

Von M . Herbeck, Mas-Planck- Institut fur Stromungsforschung, Gbttingen

Das Problem des Warmeaustausches zwischen einem geheizten Band bzw. einer geheizten I Ialbebene uncl einer Konvektionsstrbmung parallel zur M'andoberflache ist von mefllechnischer Bedeutung (vgl. R e i c h a r d t [l] , S c 11 u h [Zj, L u d w i e g [S]) . Das Band bzw. die Halbebene sind in der z-Richtung unendlich ausgedehnt angenommen ; die Konvektionsstromung erfolgt in der r-Rielitung. Weiler wurden fur die Losung dieses ebenen Problems bisher folgende ver- einfachcnde Yoraussetzungen gemacht :

a) Die Stromung ist inkompressibel und ihre Gescliwindigkeit u wachst proportional dem

\Yandabstand y nach dem Gesetz qi = y * __ , wie es einer idealisierten Reibungsschicht mit

der Wandschubspannung z, der Dichte e und der kinematischen Zatiigkeit v des stromenden hfediums entspricht.

b) Die auftreicnden Temperaturdifferenzen sind klein, so dalj die Stoffwerte als konstant angcsehcn werden komen.

c) L)er IVarmeaustausch durch Leitung in Stromungsrichtung wird gegenuber der Warme- konvektion vernachlassigt.

Bei der vorliegenden Lntersuchung wird die letzte Anna'hme fallen gelassen, da sie irn Gebiet kleiner Striimungsgeschwindigkeiten und fur kleine Bandbreiten sicher nicht zulassig ist. Aus der allgemeinen Differentialgleichung fur das Temperaturfeld T beim Zusammenwirken von Konwktion und Leitung:

z

e * v

0 - c, (tu grad 2') - div (A grad 2') = 0 c?, spez. Warme A I~arincleitfaliigkeit

C. Stramungslehi-e 259 E. angew. Bfath. Mech. Bd. 50 Nr. 819 Aug./Sept. 1950

wird dann nach Einfuhrung der neuen Koordinaten

* sin 281

6 sin4 6 + 5 sin 2 81

sin2 8 4 n 8 n

a 6 48 32 576 n

2 6 sin 6 6

6 T = 1 - - + r * al - sin 6 $- 72 a,sin 2 6 +- - - n

+ r3 - a3 * sin 3 6 + r4 a4 sin 4 6 + -? sin4 8 - -

43

a5 sin 5 6 + 4 cos 6 sin 5r41n r

768 n --

cosQ 8 sin2 6 + ,6[a ,s in66-

+ sin6 6 (m - - 512n - + 3072 z

r6 In r - k i r . 6 6 - 5 sin4 8 cos2 01 + . . . . 7 6 t h 5 j

. . . . . . .

. . . . . ( 4 )

die Differentialgleichung- Ttt + T,,, = qTt . . . . . . . . . . . . . . . (2a)

mit dimensionslosen Grogen erhalten, wozu fur die geheizte Halbebene die folgenden Rand- bedingungen hinzukommen :

T = l 6 > 0 17 = 0 T = O 6 < 0 ?/ = 0 . . . . . . . . . . . (2)). T=O 5 < 00 ?I 3 oi)

1st T(z, y) die Losung fur die geheizte Halbebene, so lautet fur das Heizband der Breite b die Losung T = T(x, y) - T ( z - b, y).

Gleichung (2a) ist eine elliptische Differentialgleichung mit Singularitaten bei 5 = 7 = 0 und im Unendlichen,'die durch die Randbedingungen grzwungen sind. Die schwere Singularitat i m U n e n d 1 i c h e n wurde bei der Behandlung des endlich breiten Bandes nicht auftreten; diese mathematische Komplikation wurde jedoch in Kauf genommen, um mit einer einzigen Rechnung beliebige Bandbreiten erfassen zu konnen, wie oben gezeigt wurde.

Zur Bestimmung des Temperaturfeldes in der Nachbarschaft von 6 = q = 0 werden Polar- koordinaten r = (t2 + q2)1p2 und 6 = arc tg y/E eingefuhrt und man erhalt

* (3) 1 Tee T,, + 7 T , + 7 = sin 6 cos 6 r T, - cos26 . Tq . . . . . . . .

Das gesuchte Temperaturfeld T wird als ein durch Warmekonvektion gestortes Feld eines ur- sprunglich reinen Warmeleitungsfeldes betrachtet. Mit dem Losungsansatz

6 v= 0 p =4 n;

ou a7

T = 2 r"fv(8) + In r 2 @'gp(6) und fo= 1 -- ,

einer Losung fur reine Warmeleitung, die die Randbedingungen fur q = O erfullt, und fv (8) = gp(6) = 0 fur Y # 0 und 6 = 0 und 6 = x , wird

Die hier noch unbestimmten Koeffizienten av niussen zur Erfullung der Randbedingungen bei r sin 6 = q-+m dienen, was in der Losungsform (4) fur T praktisch nicht moglich ist. Es wird deshalb fur die Differentialgleichung (2a) noch eine 2. Losung nach der Methode dcr Separation der Variablen 5, q aufgestellt, die nach Berucksichtigung der Randbedingungen und Benutzung des Fourier- Integrals lautet :

wo Hi;! die 1. Hankel-Funklion der Ordnung 1/3 ist.

Wandoberflache Anschlieljend wird fur die beiden Losungen (4) und (5) der Temperaturgradient auf der

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bestimmt und zur ubereinstimmung gebracht. Auf diese Weise erhalt man die Koeffizienten = -0,3813 a2= 0,0313

u3 = -0,0098 u4= 0,0014 us= 0,0005 a, = -0,0001 usw.

Damit ist die ,,innere Losung" (4) bestimmt. Aus (5) gewinnt man ferner die asymptotische Losung fur grofle positive 5 und 17 <t

* (7) 1

- 17' (0,01556--'3/3+ 0,0845-'7/3) . I

723.. 7 N u = [ (T , ) ,=* - - ax

T 1 - 17 (0,538 E-'i3 + 0*1326-'/') f 1j3 (0,03985-7/3 + 0,0986-"/3) f 174(0,0149[4/3 + 0,01836-8/3) . * ' ' * ' '

Zum SchIuI3 sei die Nusseltsche Zahl N u fur den Konvektionsanteil des Warmeubergangs ge- grben, d. h.

b

ist die in der Zeiteinheit bei der Temperaturdifferenz 1 von der Langeneinheit eines Heizbandes mit der Breite b abgegebene Warmemengc vermindert um den reinen Warmeleitungsanteil und dividiert durch die Warmeleitfahigkeit.

Fur kleines b e = h ist -

'Y

h'tc = -0,0625 &2 + O,OO66%4- 0,0041 i4 In b + 0,0001 86 . . . . . *

Fur b > 1 ergibt sich die Naherungsformel 2 N u ~ - 0 , 8 0 7 % ~ / ~ + 0 , 1 9 8 b Z ~ 3 + - l n ~ + 0 , 5 1 0 + 0 , 0 4 3 ~ 2 . n . . . . . (8b)

ist

[ll I?

c 31

Man erhalt also fur sehr grolle 5 asymptotisch die bekannte Naherungslosung [I], [3]: N u m -0,807 62/3, d. h. Nu ist proportional der 3. Wurzel aus der Wandschubspannung t. Dagegen

-

fur kleine b-Werte Nu proportional t. Die bisher von mir gemessenen Werte von N u sind etwas grofler als die berechneten Werte.

L i t e r a t u r H. R e i c h a r d t: Personliehe Mitteilung. Unveroffentl. Arbeit aus dem Jahre 1945. H. S c h u h: Temperaturgrenzschichten in Bd. 6 der Monographien iiber Fortscbritte der deutschen Luft- fahrtforschung seit 1939. I m Auftrage der britiechen Ministry of Supply verfal3t in der AVA, Gottingen, 1946. H. L u d w i e g: 1ng.-Arch. XVII (1949), S. 207.

Ober ein Minimumproblem aus der Tragflilgeltheorie Von K . Nickel in Tubingen

Es wurden Ergebnisse aus einer Arbeit angegeben, die demnachst unter dem Titel ,,Losung eines Minimumproblems der Tragflugeltheorie" in dieser Zeitschrift erscheinen soll.

Der EinfluD von StaubgroDe und Staubdicb te auf die Druckverhaltnisse bei beschleunigten Stromungen

Yon Huns CuEame in Karlsruhe Bei der Beschleunigung eines staubfuhrenden Luftstromes in der Verengung einer begrenzten

Stromrohre stcllt sich ein hoherer Druckabfall dp8 ein als bei staubfreier Luft gleicher Geschwin- digke it ( A pr).

Die mitgefuhrten Staubteilchen werden von der Tragerluft beim Eintritt in die Verengung infolge ihrer grol3en Massentragheit (spcz. Staubgewicht yg = 3000 kg/m3) mit grol3er Relativ- geschwindigkeit angestromt und durch die Reaktion ihrer Widerstandskrafte Iangs des Stro- mungswcges s (so = Lange der Verengung) auf eine gewisse Austrittsgeschwhdigkeit c, be- schleunigl.

Aus dem zusatzlichen (geschwindigkeitsabhangigen) Druckabfall c, _. P

A P , ~ = G J v d c g

. . . . . . . . . . . . . . . CL