der hauptsatz der diﬀerential- und integralrechnung besagt ...dobro/anal1/f9.pdf · integration...

Integration

Integration vonTreppenfunktio-nenRegelfunktionen

ApproximationvonRegelfunktionendurch Treppen-funktionen

Integration vonRegelfunktionenDerMittelwertsatz derIntegralrechnung

Vertauschung vonIntegration undGrenzübergang

ErgänzendeDefinitionen

Differentiation

Definition derDifferenzierbarkeit

Differenzierbarkeitund arithmetischeOperationen

KettenregelAbleitung derUmkehrfunktion

Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen

Die Prinzipiender Analysis

Der Hauptsatz derDifferential- undIntegralrechnung

Gliedweise

9 Die Prinzipien der Analysis

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt,dass die Integration in gewisser Weise die Umkehrung derDifferentiation ist.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



Ein weiteres Prinzip ist der Satz von Taylor, mit dem einevorgegebene differenzierbare Funktion durch ein Polynomapproximiert werden kann.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



Ein weiteres Prinzip ist der Satz von Taylor, mit dem einevorgegebene differenzierbare Funktion durch ein Polynomapproximiert werden kann.

Themen

◮ Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

◮ Gliedweise Differentiation

◮ Integrationstechniken

◮ Integralvergleichskriterium für Reihen

◮ Der Satz von Taylor

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Für eine stetige Funktion f heißt jede differenzierbareFunktion F mit F ′ = f Stammfunktion zu f . Schreibweise:

F (x) =

∫

f (x) dx .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



F (x) =

∫

f (x) dx .

Sind F und G Stammfunktionen zu f , so folgt ausF ′ = G ′ = f , dass (F − G )′ = 0.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



F (x) =

∫

f (x) dx .


Nach einem Satz folgt hieraus F (x)− G (x) = c mit c ∈ R.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



F (x) =

∫

f (x) dx .


Nach einem Satz folgt hieraus F (x)− G (x) = c mit c ∈ R.

Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur um eineKonstante.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Satz f sei stetig auf einem Intervall I . Für einen beliebigenPunkt a ∈ I setzen wir

F (x) =

∫

x

a

f (t) dt.

Dann gilt:

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



F (x) =

∫

x

a

f (t) dt.

Dann gilt:

(a) F ist eine Stammfunktion zu f , d.h. F ist in I

differenzierbar mit F ′(x) = f (x).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



F (x) =

∫

x

a

f (t) dt.

Dann gilt:

(a) F ist eine Stammfunktion zu f , d.h. F ist in I

differenzierbar mit F ′(x) = f (x).

(b) Für jede Stammfunktion Φ zu f und a, b ∈ I gilt

∫

b

a

f (t) dt =

∫

b

a

Φ′(t) dt = Φ(b)− Φ(a) =: Φ(t)∣

∣

∣

b

a

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis des Hauptsatzes

(a) Es gilt

F (x + h)− F (x)

h=

1

h

(

∫

x+h

a

f (t) dt −∫

x

a

f (t) dt)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


(a) Es gilt

F (x + h)− F (x)

h=

1

h

(

∫

x+h

a

f (t) dt −∫

x

a

f (t) dt)

=1

h

∫

x+h

x

f (t) dt =1

hhf (x ′)

mit x ′ ∈ (x , x + h) (=Mittelwertsatz der Integalrechnung).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


(a) Es gilt

F (x + h)− F (x)

h=

1

h

(

∫

x+h

a

f (t) dt −∫

x

a

f (t) dt)

=1

h

∫

x+h

x

f (t) dt =1

hhf (x ′)


Für h → 0 folgt x ′ → x und wegen der Stetigkeit von f

daher f (x ′) → f (x).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


(a) Es gilt

F (x + h)− F (x)

h=

1

h

(

∫

x+h

a

f (t) dt −∫

x

a

f (t) dt)

=1

h

∫

x+h

x

f (t) dt =1

hhf (x ′)


Für h → 0 folgt x ′ → x und wegen der Stetigkeit von f

daher f (x ′) → f (x).

(b) Wegen F (a) = 0 ist die Behauptung für F richtig. Wieeingangs gezeigt wurde, gilt Φ(x) = F (x) + c, daherF (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Bestimme∫

1

0

xn dx , n ∈ N.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Bestimme∫

1

0

xn dx , n ∈ N.

Wir müssen eine Stammfunktion F finden mit F ′(x) = xn.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Bestimme∫

1

0

xn dx , n ∈ N.

Wir müssen eine Stammfunktion F finden mit F ′(x) = xn.

Wegen (xn)′ = nxn−1 ist F (x) =1

n + 1xn+1, also

∫

1

0

xn dx =1

n + 1xn+1

∣

∣

∣

1

0

=1

n + 1.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.2 Gliedweise Differentiation

Satz Die Funktionen fn seien in [a, b] stetig differenzierbarmit fn → f punktweise und f ′n → g gleichmäßig.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.2 Gliedweise Differentiation

Satz Die Funktionen fn seien in [a, b] stetig differenzierbarmit fn → f punktweise und f ′n → g gleichmäßig.

Dann ist auch f differenzierbar mit f ′ = g , oder

(lim fn)′ = lim f ′n.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis

Die gleichmäßige Konvergenz f ′n → g bedeutet

‖f ′n − g‖ = supx∈[a,b]

|f ′n(x)− g(x)| → 0.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


‖f ′n − g‖ = supx∈[a,b]

|f ′n(x)− g(x)| → 0.

Wir können daher den Satz über die Vertauschung vonIntegration und gleichmäßiger Konvergenz anwenden underhalten

∫

x

a

g(t) dt = limn→∞

∫

x

a

f ′n(t) dt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


‖f ′n − g‖ = supx∈[a,b]

|f ′n(x)− g(x)| → 0.


∫

x

a


∫

x

a

f ′n(t) dt.

Auf der rechten Seite liefert der Hauptsatz

limn→∞

∫

x

a

f ′n(t) dt = lim fn(x)− lim fn(a) = f (x)− f (a).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


‖f ′n − g‖ = supx∈[a,b]

|f ′n(x)− g(x)| → 0.


∫

x

a


∫

x

a

f ′n(t) dt.

Auf der rechten Seite liefert der Hauptsatz

limn→∞

∫

x

a

f ′n(t) dt = lim fn(x)− lim fn(a) = f (x)− f (a).

Damit ist f eine Stammfunktion von g und nach demHauptsatz folgt f ′ = g .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.3 Gliedweise Differentiation von Potenzreihen und Ableitung der

elementaren Funktionen

Für Potenzreihen

p(x) =∞∑

n=0

anxn, an ∈ R

lautet der letzte Satz:

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.3 Gliedweise Differentiation von Potenzreihen und Ableitung der

elementaren Funktionen

Für Potenzreihen

p(x) =∞∑

n=0

anxn, an ∈ R

lautet der letzte Satz:

Satz Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe p. Dannist für |x | < R die Potenzreihe unendlich oft differenzierbarund kann gliedweise differenziert werden,

p′(x) =∞∑

n=0

(n + 1)an+1xn.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis

Nach dem vorigen Satz muss gezeigt werden, dass diegliedweise differenzierte Reihe den gleichen Konvergenzradiusbesitzt wie die Ausgangsreihe p.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


Es gilt

n

√

(n + 1)|an+1| = n

√

(n + 1) n

√

|an+1| ≤ n

√2n(

n+1√

|an+1|)

n+1n

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


Es gilt

n

√

(n + 1)|an+1| = n

√

(n + 1) n

√

|an+1| ≤ n

√2n(

n+1√

|an+1|)

n+1n

sowien

√2n =

n

√2 n

√n → 1.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


Es gilt

n

√

(n + 1)|an+1| = n

√

(n + 1) n

√

|an+1| ≤ n

√2n(

n+1√

|an+1|)

n+1n

sowien

√2n =

n

√2 n

√n → 1.

Mit L = lim sup n

√

|an| ist auch

lim sup(

n+1√

|an+1|)

n+1n

= L.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung der Exponentialfunktion

Mit diesem Satz können wir die Abeitungen der durchPotenzreihen gegebenen elementaren Funktionen ohne Mühebestimmen.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung der Exponentialfunktion

Mit diesem Satz können wir die Abeitungen der durchPotenzreihen gegebenen elementaren Funktionen ohne Mühebestimmen.

Für die Exponentialfunktion

exp x =∞∑

n=0

xn

n!

erhalten wir

exp′ x =∞∑

n=0

nxn−1

n!=

∞∑

n=0

xn

n!= exp x .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung des Logarithmus und allgmeiner Potenzen

Die Ableitung der inversen Funktion ln : R+ → R erfolgt mitder Ableitungsregel für die Umkehrfunktion,

ln′ y =1

exp′ x=

1

exp x=

1

y, exp x = y > 0.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung des Logarithmus und allgmeiner Potenzen

Die Ableitung der inversen Funktion ln : R+ → R erfolgt mitder Ableitungsregel für die Umkehrfunktion,

ln′ y =1

exp′ x=

1

exp x=

1

y, exp x = y > 0.

Damit lässt sich auch die allgemeine Potenzfunktion ableiten,für x > 0 ist

(xa)′ =(

ea ln x))

′

= ea ln x a

x= axa−1.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung der Hyperbelfunktionen

Für die Hyperbelfunktionen haben wir

sinh′ x =1

2

(

ex − e−x)

′= cosh x ,

cosh′ x =1

2

(

ex + e−x)

′= sinh x ,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Mit den Reihen

sin x =∞∑

n=0

(−1)nx (2n+1)

(2n + 1)!, cos x =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Mit den Reihen

sin x =∞∑

n=0

(−1)nx (2n+1)

(2n + 1)!, cos x =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!

folgt

sin′ x =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!= cos x

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Mit den Reihen

sin x =∞∑

n=0

(−1)nx (2n+1)

(2n + 1)!, cos x =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!

folgt

sin′ x =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!= cos x

sowie

cos′ x =∞∑

n=0

(−1)n+1x (2n+1)

(2n + 1)!= − sin x .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Für Tangens und Cotangens liefert die Quotientenregel

tan′ x =

(

sin x

cos x

)

′

=cos2 x + sin2 x

cos2 x=

1

cos2 x= 1 + tan2 x ,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Für Tangens und Cotangens liefert die Quotientenregel

tan′ x =

(

sin x

cos x

)

′

=cos2 x + sin2 x

cos2 x=

1

cos2 x= 1 + tan2 x ,

cot′ x =(cos x

sin x

)

′

=− cos2 x − sin2 x

sin2 x= − 1

sin2 x= −(1+cot2 x).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionenerfolgt wieder mit der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion

arcsin′ y =1

cos x=

1

cos arcsin y=

1√

1 − (sin arcsin y)2

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionenerfolgt wieder mit der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion

arcsin′ y =1

cos x=

1

cos arcsin y=

1√

1 − (sin arcsin y)2

=1

√

1 − y2,

arccos′ y =−1

sin x=

−1√

1 − y2,

arctan′ y =1

1 + tan2 x=

1

1 + y2,

arccot ′y =−1

1 + y2.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Die Funktion xx können wir für x > 0 unter Verwendung derDefinition ableiten,

(xx)′ =(

ex ln x

)

′

= ex ln x(ln x + 1) = xx(ln x + 1).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.4 Tabelle der Stammfunktionen

Nach dem Hauptsatz gilt für eine beliebige Stammfunktion F

von f

F (x)∣

∣

∣

b

a

= F (b)− F (a) =

∫

b

a

f (x) dx .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



von f

F (x)∣

∣

∣

b

a

= F (b)− F (a) =

∫

b

a

f (x) dx .

Das Problem der Integration reduziert sich daher auf dasAuffinden einer Stammfunktion von f .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



von f

F (x)∣

∣

∣

b

a

= F (b)− F (a) =

∫

b

a

f (x) dx .

Das Problem der Integration reduziert sich daher auf dasAuffinden einer Stammfunktion von f .

Eine Funktion wird elementar genannt, wenn sie sich aus denalgebraischen und den bereits definierten speziellenFunktionen wie etwa der Exponentialfunktionzusammensetzt. Die Ableitung einer elementaren Funktion istnach unseren Ableitungsregeln wieder eine elementareFunktion. Dagegen braucht die Stammfunktion einerelementaren Funktion keine elementare Funktion zu sein. DieStammfunktion kann daher nicht immer bestimmt werden.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Tabelle der Stammfunktionen

f F

xα 1

1 + αxα+1 α 6= −1

1

x + aln |x + a| x 6= −a

1

1 + x2arctan x

1

1 − x2

1

2ln∣

∣

∣

x + 1

x − 1

∣

∣

∣x 6= ±1

1√1 − x2

arcsin x |x | < 1

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


f F

1√1 + x2

ln(x +√

x2 + 1)

1√x2 − 1

ln |x +√

x2 + 1| |x | > 1

ex ex

axax

ln aa > 0

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.5 Partielle Integration

Satz Seien f , g in [a, b] differenzierbar. Dann gilt

∫

b

a

f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)∣

∣

∣

b

a

−∫

b

a

f ′(x)g(x) dx .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.5 Partielle Integration

Satz Seien f , g in [a, b] differenzierbar. Dann gilt

∫

b

a

f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)∣

∣

∣

b

a

−∫

b

a

f ′(x)g(x) dx .

Beweis Wir integrieren die Produktregel

d

dx(f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)

von a bis b und wenden den Hauptsatz an.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Partielle Integration

Die Formel der partiellen Intgration wird auch für dieunbestimmte Integration in der Form

∫

f (x)g ′(x) dx = f (x)g(x)−∫

f ′(x)g(x) dx .

verwendet.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1

Eine Stammfunktion F des Logarithmus findet man mit

∫

ln x dx =

∫

ln xd

dxx dx = −

∫

1

x· x dx + x ln x ,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1

Eine Stammfunktion F des Logarithmus findet man mit

∫

ln x dx =

∫

ln xd

dxx dx = −

∫

1

x· x dx + x ln x ,

also F (x) = x ln x − x .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2

Eine Stammfunktion von sin2 x erhält man aus∫

sin2 x dx = −∫

sin xd

dxcos x dx

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2


sin2 x dx = −∫

sin xd

dxcos x dx =

∫

cos2 x dx − sin x cos x

=

∫

(1 − sin2 x) dx − sin x cos x ,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2


sin2 x dx = −∫

sin xd

dxcos x dx =

∫

cos2 x dx − sin x cos x

=

∫

(1 − sin2 x) dx − sin x cos x ,

also∫

sin2 x dx =1

2(x − sin x cos x).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Aufgabe zu Beispiel 2

Stammfunktionen von sinm x cos ny o.ä. lassen sich einfacherüber die komplexe Exponentialfunktion bestimmen. Wirverwenden

∫

exp(iax) dx =1

iaexp(iax), a ∈ R \ {0}.

Beweisen Sie dies!

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Aufgabe zu Beispiel 2

Stammfunktionen von sinm x cos ny o.ä. lassen sich einfacherüber die komplexe Exponentialfunktion bestimmen. Wirverwenden

∫

exp(iax) dx =1

iaexp(iax), a ∈ R \ {0}.

Beweisen Sie dies!∫

exp(iax) dx =

∫

(cos(ax) + i sin(ax)) dx

=1

asin(ax)− i

acos(ax)

=1

ia

(

cos(ax) + i sin(ax))

=1

iaexp(iax).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 3

Es gilt

∫

xnex dx =

∫

xnd

dxex dx = −n

∫

xn−1ex dx + xnex .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 3

Es gilt

∫

xnex dx =

∫

xnd

dxex dx = −n

∫

xn−1ex dx + xnex .

Wendet man diese Formel mehrfach an, erhält man∫

xnex = ex{

xn − nxn−1 + n(n − 1)xn−1 − . . .+ (−1)nn!}

.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Aufgabe

Man bestimme eine Stammfunktion von

f (x) = xn ln x dx .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Aufgabe

Man bestimme eine Stammfunktion von

f (x) = xn ln x dx .

Lösung:

∫

xn ln x dx =

∫

1

n + 1

d

dxxn+1 ln x dx

= − 1

n + 1

∫

xn+1 d

dxln x dx +

1

n + 1xn+1 ln x

= − 1

n + 1

∫

xn dx +1

n + 1xn+1 ln x

= − xn+1

(n + 1)2+

1

n + 1xn+1 ln x

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.6 Integration durch Substitution

Satz Sei f in [a, b] stetig, φ in [α, β] stetig differenzierbarmit φ([α, β]) = [a, b] und φ(α) = a, φ(β) = b.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



Dann gilt

∫

b

a

f (x) dx =

∫ β

αf (φ(t))φ′(t) dt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



Dann gilt

∫

b

a

f (x) dx =

∫ β


Wenn nur φ([α, β]) ⊂ [a, b] erfüllt ist, so gilt für dieunbestimmte Integration

∫

f (φ(t))φ′(t) dt =

∫

f (x) dx∣

∣

∣

x=φ(t).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Bemerkung

Schreiben wir φ(t) = x(t), so können wir als Merkregel

∫

f (x) dx =

∫

f (x(t))dx

dtdt

verwenden.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Bemerkung

Schreiben wir φ(t) = x(t), so können wir als Merkregel

∫

f (x) dx =

∫

f (x(t))dx

dtdt

verwenden.

Das reicht auch aus! Ich kümmer mich nicht um dieVoraussetzungen dieses Satzes und mache stattdessen eineProbe.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis der Substitutionsregel

Sei F eine Stammfunktion von f . Dann folgt mit derKettenregel

d

dtF (φ(t)) = f (φ(t))φ′(t).

Damit ist F̃ (t) = F (φ(t)) eine Stammfunktion vonf (φ(t))φ′(t), was die zweite Formel beweist.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis der Substitutionsregel

Sei F eine Stammfunktion von f . Dann folgt mit derKettenregel

d

dtF (φ(t)) = f (φ(t))φ′(t).

Damit ist F̃ (t) = F (φ(t)) eine Stammfunktion vonf (φ(t))φ′(t), was die zweite Formel beweist.

Unter der Voraussetzung φ(α) = a, φ(β) = b folgt aus demHauptsatz

∫

b

a

f (x) dx = F (b)− F (a) = F (φ(β))− F (φ(α))

=

∫ β


Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1

Ausdrücke in ex lassen sich durch die Substitution t = ex

zumindest vereinfachen.

Mitdt

dx= ex folgt dann dx =

dt

t.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1

Ausdrücke in ex lassen sich durch die Substitution t = ex

zumindest vereinfachen.

Mitdt

dx= ex folgt dann dx =

dt

t.

Beispielsweise erhalten wir

∫

2ex + 1

ex + 1dx =

∫

2t + 1

(t + 1)tdt = ln(t2 + t) = ln(e2x + ex)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2

Bei Ausdrücken, die√

1 − x2 enthalten, kann man dieSubstitution x = cos t mit dx = − sin t dt versuchen.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2

Bei Ausdrücken, die√

1 − x2 enthalten, kann man dieSubstitution x = cos t mit dx = − sin t dt versuchen.

Beispiel:

∫

√

1 − x2 dx =

∫

sin t(− sin t) dt =1

2(sin t cos t − t)

=1

2(x√

1 − x2 − arccos x).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.7 Integration rationaler Funktionen

Rationale Funktionen können elementar integriert werden,wenn eine Partialbruchzerlegung gelingt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



Wir betrachten nur reelle Ausgangsfunktionen. Dann tretenTerme der Form

A

(x − a)kmit a,A ∈ R und k ∈ N

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



Wir betrachten nur reelle Ausgangsfunktionen. Dann tretenTerme der Form

A

(x − a)kmit a,A ∈ R und k ∈ N

sowie Paare der Form

A

(x − a)k+

A

(x − a)kmit a,A ∈ C, a /∈ R, und k ∈ N

auf.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Integration rationaler Funktionen

Unabhängig davon, ob a reell oder komplex ist, gilt für k > 1

∫

dx

(x − a)k=

1

1 − k· 1

(x − a)k−1.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Unabhängig davon, ob a reell oder komplex ist, gilt für k > 1

∫

dx

(x − a)k=

1

1 − k· 1

(x − a)k−1.

Für reelles a ist∫

dx

x − a= ln |x − a|.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Im konjugiert komplexen Fall für k = 1 fassen wir die beidenAnteile zusammen,

A

x − a+

A

x − a=

Bx + C

x2 + 2bx + cmit b, c,B ,C ∈ R und c > b2.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Wir erhalten dann

∫

Bx + C

x2 + 2bx + cdx =

B

2ln(x2 +2bx + c)+

∫

C̃

x2 + 2bx + c,

mit C̃ = C − bB

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Wir erhalten dann

∫

Bx + C

x2 + 2bx + cdx =

B

2ln(x2 +2bx + c)+

∫

C̃

x2 + 2bx + c,

mit C̃ = C − bB sowie∫

1

x2 + 2bx + c=

1√c − b2

arctanx + b√c − b2

.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.8 Uneigentliche Integrale und das Integralvergleichskriterium für

Reihen

Bislang hatten wir das Integral nur für Regelfunktionendefiniert, die insbesondere beschränkt sind.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Reihen


Der Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Funktion kannaber auch dann endlich sein, wenn die Punktmenge selberunbeschränkt ist. In diesem Fall heißt das Integraluneigentlich.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Reihen



Die beiden wichtigsten Fälle sind in diesem Zusammenhang:

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Reihen



Die beiden wichtigsten Fälle sind in diesem Zusammenhang:

1. f ist an einem Randpunkt des Integrationsbereichsunbeschränkt.

2. Der Integrationsbereich ist selber unbeschränkt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Definition des uneigentlichen Integrals

Wir wollen beide Fälle in einer Definition berücksichtigen undnehmen dazu an, dass der kritische Punkt der rechteRandpunkt des Definitionsbereichs ist.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Wir wollen beide Fälle in einer Definition berücksichtigen undnehmen dazu an, dass der kritische Punkt der rechteRandpunkt des Definitionsbereichs ist.

Sei also −∞ < a < b ≤ ∞ und sei f eine Regelfunktion aufjedem Teilintervall [a, ξ] mit ξ < b.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Wir definieren

∫

b

a

f (x) dx = limξ→b

∫ ξ

a

f (x) dx ,

sofern der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Indiesem Fall nennen wir das uneigentliche Integral konvergent.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Wir definieren

∫

b

a

f (x) dx = limξ→b

∫ ξ

a

f (x) dx ,

sofern der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Indiesem Fall nennen wir das uneigentliche Integral konvergent.

Existiert auch der Grenzwert

limξ→b

∫ ξ

a

|f (x)| dx ,

so heißt das uneigentliche Integral absolut konvergent.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1

Mit b = ∞ erhalten wir für s > 1

∫

∞

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

∫ ξ

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

ξ

1

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1


∫

∞

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

∫ ξ

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

ξ

1

Existiert der Grenzwert, so existiert das uneigentlicheIntegral. Für s > 1 ist das auch der Fall:

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1


∫

∞

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

∫ ξ

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

ξ

1


limξ→∞

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

ξ

1

=1

s − 1+ lim

ξ→∞

1

1 − sξ1−s =

1

s − 1.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1


∫

∞

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

∫ ξ

1

1

x sdx = lim

ξ→∞

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

ξ

1


limξ→∞

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

ξ

1

=1

s − 1+ lim

ξ→∞

1

1 − sξ1−s =

1

s − 1.

Wegen x > 0 im angegebenen Bereich ist das uneigentlicheIntegral auch absolut konvergent.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2

Ist f am linken Randpunkt unbeschränkt, gehen wir ganzanalog vor. Für s < 1 gilt

∫

1

0

1

x sdx = lim

ξ→0

∫

1

ξ

1

x sdx = lim

ξ→0

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

1

ξ

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2


∫

1

0

1

x sdx = lim

ξ→0

∫

1

ξ

1

x sdx = lim

ξ→0

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

1

ξ


Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2


∫

1

0

1

x sdx = lim

ξ→0

∫

1

ξ

1

x sdx = lim

ξ→0

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

1

ξ


limξ→0

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

1

ξ=

1

1 − s+ lim

ξ→0

1

1 − sξ1−s =

1

1 − s.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2


∫

1

0

1

x sdx = lim

ξ→0

∫

1

ξ

1

x sdx = lim

ξ→0

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

1

ξ


limξ→0

1

1 − sx1−s

∣

∣

∣

1

ξ=

1

1 − s+ lim

ξ→0

1

1 − sξ1−s =

1

1 − s.

Wegen x > 0 im angegebenen Bereich ist das uneigentlicheIntegral auch absolut konvergent.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 3

Für r > 0 gilt∫

∞

0

e−rx dx =1

r

wegen

∫ ξ

0

e−rx dx = −1

re−rx

∣

∣

∣

ξ

0

=1

r(1 − e−rξ)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 3

Für r > 0 gilt∫

∞

0

e−rx dx =1

r

wegen

∫ ξ

0

e−rx dx = −1

re−rx

∣

∣

∣

ξ

0

=1

r(1 − e−rξ) → 1

r.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 3

Für r > 0 gilt∫

∞

0

e−rx dx =1

r

wegen

∫ ξ

0

e−rx dx = −1

re−rx

∣

∣

∣

ξ

0

=1

r(1 − e−rξ) → 1

r.

Auch hier ist das uneigentliche Integral absolut konvergent.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Folgerung∫

∞

a. . . dx kann existieren, wenn der Integrand schnell genug

gegen Null strebt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Folgerung∫

∞


gegen Null strebt.

Dies ist für x−s , s > 1, der Fall.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Folgerung∫

∞


gegen Null strebt.

Dies ist für x−s , s > 1, der Fall. Ebenso für e−rx für r > 0.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Folgerung∫

∞


gegen Null strebt.

Dies ist für x−s , s > 1, der Fall. Ebenso für e−rx für r > 0.∫

b

af (x) dx kann auch für limx→b f (x) = ∞ existieren. In

diesem Fall muss f langsam gegen ∞ gehen.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Folgerung∫

∞


gegen Null strebt.

Dies ist für x−s , s > 1, der Fall. Ebenso für e−rx für r > 0.∫

b

af (x) dx kann auch für limx→b f (x) = ∞ existieren. In

diesem Fall muss f langsam gegen ∞ gehen.

Dies ist für (b − x)−s , s < 1, der Fall.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Integralvergleichskriterium für Reihen

Satz Sei f : [1,∞) → R nichtnegativ und monoton fallend.Dann gilt

0 ≤ limn→∞

(

n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

)

≤ f (1),

wobei der Grenzwert existiert.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



0 ≤ limn→∞

(

n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

)

≤ f (1),


Insbesondere ist∑

f (k) genau dann konvergent, wenn dasuneigentliche Integral

∫

∞

1f (x) dx konvergiert.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



0 ≤ limn→∞

(

n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

)

≤ f (1),


Insbesondere ist∑

f (k) genau dann konvergent, wenn dasuneigentliche Integral

∫

∞

1f (x) dx konvergiert.

Der Satz gilt aber auch dann, wenn weder∑

f (k) noch∫

f (x) dx existieren.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis des Integralvergleichskriteriums für Reihen

Wegen f (k) ≥ f (x) ≥ f (k + 1) für x ∈ [k, k + 1] gilt

f (k) ≥∫

k+1

k

f (x) dx ≥ f (k + 1).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (k) ≥∫

k+1

k

f (x) dx ≥ f (k + 1).

Die Folge

an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (k) ≥∫

k+1

k

f (x) dx ≥ f (k + 1).

Die Folge

an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

ist monoton steigend wegen

an+1 − an = f (n + 1)−∫

n+2

n+1

f (x) dx

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (k) ≥∫

k+1

k

f (x) dx ≥ f (k + 1).

Die Folge

an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

ist monoton steigend wegen

an+1 − an = f (n + 1)−∫

n+2

n+1

f (x) dx ≥ 0

(=linke Ungleichung).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx .

Es gilt f (k + 1) ≤∫

k+1

kf (x) dx .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx .


k+1

kf (x) dx . Wegen

an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx .


k+1

kf (x) dx . Wegen

an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

≤ f (1) +

∫

n

1

f (x) dx −∫

n+1

1

f (x) dx ≤ f (1)

ist (an) beschränkt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx .


k+1

kf (x) dx . Wegen

an =n∑

k=1

f (k)−∫

n+1

1

f (x) dx

≤ f (1) +

∫

n

1

f (x) dx −∫

n+1

1

f (x) dx ≤ f (1)

ist (an) beschränkt.

Die Folge (an) ist demnach konvergent, weil sie monoton undbeschränkt ist.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Die Eulersche Konstante

Die Reihe∑

∞

n=1n−r ist für r > 1 konvergent und für r ≤ 1

divergent, weil gleiches für∫

∞

1x−r dx gilt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Die Reihe∑

∞



∞

1x−r dx gilt.

Für r = 1, also der harmonischen Reihe, liefert uns der Satzdie Existenz einer Zahl CE , die Eulersche Konstante genanntwird, mit

CE = limn→∞

(

1 +1

2+

1

3+ . . .+

1

n− ln n

)

.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Die Reihe∑

∞



∞

1x−r dx gilt.


CE = limn→∞

(

1 +1

2+

1

3+ . . .+

1

n− ln n

)

.

Wegen CE = 0, 577 . . . verhalten sich die Partialsummen derharmonischen Reihe ungefähr wie ln n.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Die Reihe∑

∞



∞

1x−r dx gilt.


CE = limn→∞

(

1 +1

2+

1

3+ . . .+

1

n− ln n

)

.

Wegen CE = 0, 577 . . . verhalten sich die Partialsummen derharmonischen Reihe ungefähr wie ln n.

Man weiß nichts über CE : Ist sie rational, irrational,transzendet? Ist sie berechenbar?

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Da die Reihe∑ 1

ndivergiert und

∑ 1

n1+εkonvergiert, fragt

man sich, wie die Reihen „zwischen“ diesen beidenExponenten sich verhalten.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Da die Reihe∑ 1

ndivergiert und

∑ 1

n1+εkonvergiert, fragt

man sich, wie die Reihen „zwischen“ diesen beidenExponenten sich verhalten.

Es zeigt sich, dass die Glieder der harmonischen Reihe nuretwas gedämpft werden müssen, um Konvergenz zu erhalten.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Aus

∫ ξ

3

dx

x ln x= ln(ln x)

∣

∣

∣

ξ

3

→ ∞,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Aus

∫ ξ

3

dx

x ln x= ln(ln x)

∣

∣

∣

ξ

3

→ ∞,

∫ ξ

3

dx

x ln x(ln(ln x))2= −(ln(ln x))−1

∣

∣

∣

ξ

3

→ ln(ln 3)−1

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Aus

∫ ξ

3

dx

x ln x= ln(ln x)

∣

∣

∣

ξ

3

→ ∞,

∫ ξ

3

dx

x ln x(ln(ln x))2= −(ln(ln x))−1

∣

∣

∣

ξ

3

→ ln(ln 3)−1

ersehen wir, dass∑

n−1(ln n)−1 noch divergiert, während∑

n−1(ln n)−1(ln(ln n))−2 schon konvergiert.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.9 Der Satz von Taylor

Satz Sei I ein Intervall und f ∈ Cn+1(I ) für ein n ∈ N0. Füra, x ∈ I gilt die Taylorentwicklung

f (x) =f (a) + f ′(a)(x − a) +1

2f ′′(a)(x − a)2 + . . .

+1

n!f (n)(a)(x − a)n + Rn(x ; a)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Satz Sei I ein Intervall und f ∈ Cn+1(I ) für ein n ∈ N0. Füra, x ∈ I gilt die Taylorentwicklung

f (x) =f (a) + f ′(a)(x − a) +1

2f ′′(a)(x − a)2 + . . .

+1

n!f (n)(a)(x − a)n + Rn(x ; a)

mit dem Restglied in Integraldarstellung

Rn(x ; a) =

∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


AufRn(x ; a) =

∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


AufRn(x ; a) =

∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt.

können wir den Mittelwertsatz der Integralrechnunganwenden

Rn(x ; a) = f (n+1)(ξ)

∫

x

a

(x − t)n

n!dt

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


AufRn(x ; a) =

∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt.


Rn(x ; a) = f (n+1)(ξ)

∫

x

a

(x − t)n

n!dt

=(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


AufRn(x ; a) =

∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt.


Rn(x ; a) = f (n+1)(ξ)

∫

x

a

(x − t)n

n!dt

=(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ).

Wir erhalten das Restglied nach Lagrange

Rn(x ; a) =(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ) für ein ξ ∈ (a, x).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis

Wende partielle Integration auf das Restglied an,

∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt

= −∫

x

a

d

dt

(x − t)n

n!f (n)(t) dt +

(x − t)n

n!f (n)(t)

∣

∣

∣

t=x

t=a

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt

= −∫

x

a

d

dt

(x − t)n

n!f (n)(t) dt +

(x − t)n

n!f (n)(t)

∣

∣

∣

t=x

t=a

=

∫

x

a

(x − t)n−1

(n − 1)!f (n)(t) dt − 1

n!f (n)(a)(x − a)n.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beweis


∫

x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt

= −∫

x

a

d

dt

(x − t)n

n!f (n)(t) dt +

(x − t)n

n!f (n)(t)

∣

∣

∣

t=x

t=a

=

∫

x

a

(x − t)n−1

(n − 1)!f (n)(t) dt − 1

n!f (n)(a)(x − a)n.

Wir können das gleiche Verfahren auf das Integral auf derrechten Seite anwenden und erhalten die behaupteten Termeder Taylorentwicklung.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Spezialfälle

Als Spezialfälle bekommen wir für n = 0

f (x) = f (a) +

∫

x

a

f ′(t) dt

den Hauptsatz

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Spezialfälle

Als Spezialfälle bekommen wir für n = 0

f (x) = f (a) +

∫

x

a

f ′(t) dt

den Hauptsatz sowie mit

f (x) = f (a) + (x − a)f ′(ξ)

den Mittelwertsatz.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Das Taylor-Polynom

Schreibef (x) = Tn(x ; a) + Rn(x ; a)

mit

◮ Tn(x ; a) = Taylorpolynom vom Grade ≤ n

◮ Rn(x ; a) = Restglied

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Das Taylor-Polynom


mit



Tn(x ; a) =n∑

i=0

f (i)(a)

i !(x − a)i .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Das Taylor-Polynom


mit



Tn(x ; a) =n∑

i=0

f (i)(a)

i !(x − a)i .

Es gilt

f (i)(a) = T(i)n (a; a), i = 0, . . . , n.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Das Taylor-Polynom


mit



Tn(x ; a) =n∑

i=0

f (i)(a)

i !(x − a)i .

Es gilt

f (i)(a) = T(i)n (a; a), i = 0, . . . , n.

T1(x ; a) ist daher die Tangentengleichung im Punkt (a, f (a)).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Das Taylor-Polynom


mit



Tn(x ; a) =n∑

i=0

f (i)(a)

i !(x − a)i .

Es gilt

f (i)(a) = T(i)n (a; a), i = 0, . . . , n.

T1(x ; a) ist daher die Tangentengleichung im Punkt (a, f (a)).

Idee also: Tn ist das eindeutig bestimmte Polynom vom Grad≤ n, das sich im Punkt (a, f (a)) an f schmiegt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Das Taylor-Polynom

Ist das Intervall I beschränkt und abgeschlossen, so ist diestetige Funktion f (n+1) beschränkt und das Restglied lässtsich in der Form

|Rn(x ; a)| =∣

∣

∣

(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ)

∣

∣

∣≤ c|x − a|n+1

abschätzen mit

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Das Taylor-Polynom

Ist das Intervall I beschränkt und abgeschlossen, so ist diestetige Funktion f (n+1) beschränkt und das Restglied lässtsich in der Form

|Rn(x ; a)| =∣

∣

∣

(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ)

∣

∣

∣≤ c|x − a|n+1

abschätzen mit

c =maxx∈I |f (n+1)(x)|

(n + 1)!.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Schreibeise mit h

Wir setzen x = a + h und erhalten die Darstellung:

f (a + h) =f (a) + f ′(a)h +1

2f ′′(a)h2 + . . .+

1

n!f (n)(a)hn

+ Rn(h; a)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Schreibeise mit h


f (a + h) =f (a) + f ′(a)h +1

2f ′′(a)h2 + . . .+

1

n!f (n)(a)hn

+ Rn(h; a)

mit dem Restglied

Rn(h; a) =

∫

h

0

(h − t)n

n!f (n+1)(a + t) dt.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Schreibeise mit h


f (a + h) =f (a) + f ′(a)h +1

2f ′′(a)h2 + . . .+

1

n!f (n)(a)hn

+ Rn(h; a)

mit dem Restglied

Rn(h; a) =

∫

h

0

(h − t)n

n!f (n+1)(a + t) dt.

oder nach Lagrange

Rn(h; a) =hn+1

(n + 1)!f (n+1)(a + ξ) für ein ξ ∈ (0, h).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1

Für kleines |h| verwenden Ingenieure

√

1 + h ∼ 1 +1

2h.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1


√

1 + h ∼ 1 +1

2h.

Es gilt

(√x)

′=

1

2x−1/2,

(√x)

′′= −1

4x−3/2.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1


√

1 + h ∼ 1 +1

2h.

Es gilt

(√x)

′=

1

2x−1/2,

(√x)

′′= −1

4x−3/2.

Nach Taylor daher

√

1 + h = 1 +1

2h − 1

8(1 + ξ)−3/2h2.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 1


√

1 + h ∼ 1 +1

2h.

Es gilt

(√x)

′=

1

2x−1/2,

(√x)

′′= −1

4x−3/2.

Nach Taylor daher

√

1 + h = 1 +1

2h − 1

8(1 + ξ)−3/2h2.

mit 0 < ξ < h für h > 0 und h < ξ < 0 für h < 0.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2

Es gilt

(ln x)′ =1

x, (ln x)′′ = − 1

x2,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2

Es gilt

(ln x)′ =1

x, (ln x)′′ = − 1

x2,

also

ln(1 + h) = ln 1 +1

1h − 1

2

h2

(1 + ξ)2.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 2

Es gilt

(ln x)′ =1

x, (ln x)′′ = − 1

x2,

also

ln(1 + h) = ln 1 +1

1h − 1

2

h2

(1 + ξ)2.

Da das Restglied ein Vorzeichen besitzt, erhalten wir dieUngleichung

ln(1 + h) ≤ h für − 1 < h < ∞.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel 3 (klausurtypisch!)

Man berechne das Taylor-Polynom T2(x ; 0) der Funktionf (x) = ecos x und bestimme eine Konstante M > 0 derart,dass

|f (x)− T2(x ; 0)| ≤ M|x |3

für alle x ∈ R ist.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Man berechne das Taylor-Polynom T2(x ; 0) der Funktionf (x) = ecos x und bestimme eine Konstante M > 0 derart,dass

|f (x)− T2(x ; 0)| ≤ M|x |3

für alle x ∈ R ist.

Es gilt

f ′(x) = −ecos x sin x

f ′′(x) = ecos x(sin2 x − cos x)

f ′′′(x) = ecos x(− sin3 x + 3 sin x cos x + sin x)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Daher

T2(x , 0) = f (0) + f ′(0)x +1

2f ′′(0)x2 = e − 1

2ex2.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Daher

T2(x , 0) = f (0) + f ′(0)x +1

2f ′′(0)x2 = e − 1

2ex2.

Wegen|f ′′′(x)| ≤ 5e1

gilt

|f (x)− T2(x , 0)| ≤5

6e|x |3.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.10 Die Landauschen Symbole

Seien f , g in einer Umgebung des Punktes ξ definiert. Wirsagen f ist gleich groß O von g und schreiben

f (x) = O(g(x)), x → ξ,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (x) = O(g(x)), x → ξ,

wenn es ein M ∈ R gibt mit

∣

∣

∣

∣

f (x)

g(x)

∣

∣

∣

∣

≤ M in einer Umgebung von ξ.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (x) = O(g(x)), x → ξ,


∣

∣

∣

∣

f (x)

g(x)

∣

∣

∣

∣


Beispiel Wenn limx→ξ g(x) = 0, so

f = O(g) f geht so schnell oder schneller gegen Null als g .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (x) = O(g(x)), x → ξ,


∣

∣

∣

∣

f (x)

g(x)

∣

∣

∣

∣



f = O(g) f geht so schnell oder schneller gegen Null als g .

oder|f (x)| ≤ M|g(x)| in einer Umgebung von ξ

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Die Landauschen Symbole

Wir sagen f ist gleich klein o von g und schreiben

f (x) = o(g(x)), x → ξ,

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (x) = o(g(x)), x → ξ,

wenn

limx→ξ

f (x)

g(x)= 0.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (x) = o(g(x)), x → ξ,

wenn

limx→ξ

f (x)

g(x)= 0.


f = o(g) f geht schneller gegen Null als g .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Man nennt O und o die Landauschen Symbole.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



Die Bezeichnungen O und o werden sinngemäß auch für ±∞angewendet.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise




Beipiel f (x) = O(xn), x → ∞, bedeutet

∃M mit |f (x)| ≤ Mxn für genügend große x .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise




Beipiel f (x) = O(xn), x → ∞, bedeutet

∃M mit |f (x)| ≤ Mxn für genügend große x .

f (x) = o(xn), x → ∞, bedeutet

∀ε > 0 ∃K mit |f (x)| ≤ εxn für alle x ≥ K .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Ableitung

Die Landauschen Symbole gestatten suggestiveSchreibweisen, weil sie den Approximations- oderWachstumsaspekt hervorheben.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Ableitung


Die Ableitung

limx→ξ

f (x)− f (ξ)

x − ξ= f ′(ξ)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Ableitung


Die Ableitung

limx→ξ

f (x)− f (ξ)

x − ξ= f ′(ξ)

lässt sich äquivalent schreiben

f (x)− f (ξ) = f ′(ξ)(x − ξ) + h(x)

mit einer Funktion h(x) = o(|x − ξ|).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Ableitung

limx→ξ

f (x)− f (ξ)

x − ξ= f ′(ξ)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Ableitung

limx→ξ

f (x)− f (ξ)

x − ξ= f ′(ξ)

Oft schreibt man noch kürzer

f (x)− f (ξ) = f ′(ξ)(x − ξ) + o(|x − ξ|).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Ableitung

limx→ξ

f (x)− f (ξ)

x − ξ= f ′(ξ)

Oft schreibt man noch kürzer

f (x)− f (ξ) = f ′(ξ)(x − ξ) + o(|x − ξ|).

Nachdem durch x − ξ geteilt wird, geht der Term rechtsimmer noch gegen Null.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Restglied

Wenn es in der Taylorentwicklung nicht auf die expliziteGestalt des Restglieds ankommt, verwendet man auch dieSchreibweise

f (x) = Tn(x ; a) + O(|x − a|n+1).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Restglied


f (x) = Tn(x ; a) + O(|x − a|n+1).

wegen

|Rn(x ; a)| =∣

∣

∣

(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ)

∣

∣

∣≤ c|x − a|n+1

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel Restglied


f (x) = Tn(x ; a) + O(|x − a|n+1).

wegen

|Rn(x ; a)| =∣

∣

∣

(x − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(ξ)

∣

∣

∣≤ c|x − a|n+1

Das Taylorpolynom approximiert f bis auf einen Fehler derOrdnung O(|x − a|n+1).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Unbestimmte Ausdrücke

Unbestimmte Ausdrücke der Form

f (x)

g(x)mit f (x), g(x) → 0 für x → ξ

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (x)


untersucht man am besten mit Hilfe der Taylorentwicklungum den Punkt ξ unter Verwendung der LandauschenSymbole.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



f (x)


untersucht man am besten mit Hilfe der Taylorentwicklungum den Punkt ξ unter Verwendung der LandauschenSymbole.

Beispiel Für sin x/x ist sin x = x + O(x3) und daher

limx→0

sin x

x= lim

x→0

x + O(x3)

x= 1.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Wir bestimmen für a ∈ R

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

= „0

0“.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel


L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

= „0

0“.

Zähler: Für die Exponentialfunktion verwenden wir

e−t = 1 − t +1

2t2 + O(t3)

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel


L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

= „0

0“.

Zähler: Für die Exponentialfunktion verwenden wir

e−t = 1 − t +1

2t2 + O(t3)

sowie für den sinus

sin x = x − 1

6x3 + O(x5).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

= „0

0“.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

= „0

0“.

Zähler:

e−x2 − 1 + x sin x

= 1 − x2 +1

2x4 + O(x6)− 1 + x(x − 1

6x3 + O(x5))

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

= „0

0“.

Zähler:

e−x2 − 1 + x sin x

= 1 − x2 +1

2x4 + O(x6)− 1 + x(x − 1

6x3 + O(x5))

=1

3x4 + O(x6).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

.

Nenner: Für den Wurzelausdruck liefert Taylorentwicklung

√1 + t = 1 +

1

2t − 1

8t2 + O(t3),

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

.


√1 + t = 1 +

1

2t − 1

8t2 + O(t3),

für den Nenner gilt daher

1− 1

2x2− 1

8x4+O(x6)+ax2−1 = (a− 1

2)x2− 1

8x4+O(x6).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

.


√1 + t = 1 +

1

2t − 1

8t2 + O(t3),


1− 1

2x2− 1

8x4+O(x6)+ax2−1 = (a− 1

2)x2− 1

8x4+O(x6).

Der Zähler war = 1

3x4 + O(x6).

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

L(a) = limx→0

e−x2 − 1 + x sin x√1 − x2 + ax2 − 1

.


√1 + t = 1 +

1

2t − 1

8t2 + O(t3),


1− 1

2x2− 1

8x4+O(x6)+ax2−1 = (a− 1

2)x2− 1

8x4+O(x6).

Der Zähler war = 1

3x4 + O(x6).

Damit ist L(a) = 0 für a 6= 1

2und L(a) = 8

3für a = 1

2.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.11 Taylorreihen

Wir nennen

f (x) =∞∑

n=0

an(x − a)n

Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.11 Taylorreihen

Wir nennen

f (x) =∞∑

n=0

an(x − a)n


Da es sich hier um nichts weiter als die bereits bekanntePotenzreihe handelt, die lediglich um a verschoben ist, giltder Konvergenzsatz sinngemäß:

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

9.11 Taylorreihen

Wir nennen

f (x) =∞∑

n=0

an(x − a)n


Da es sich hier um nichts weiter als die bereits bekanntePotenzreihe handelt, die lediglich um a verschoben ist, giltder Konvergenzsatz sinngemäß:

L = lim supn→∞

n

√

|an|

gibt den Konvergenzbereich

D = {x ∈ R : |x − a| < R =1

L}.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a

f kann in D unendlich oft gliedweise differenziert werden,insbesondere gilt

f (n)(a) = n!an,

also

f (x) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x − a)n.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a

f kann in D unendlich oft gliedweise differenziert werden,insbesondere gilt

f (n)(a) = n!an,

also

f (x) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x − a)n.

Die Koeffizienten der Potenzreihe sind exakt die Koeffizientenaus der Taylor-Formel!

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Taylor- und Potenzreihe

Satz Sei f (x) =∑

∞

n=0an(x − a)n in einer Umgebung von a

konvergent. Dann stimmt das Taylorpolynom Tn(x ; a) mitdem n-ten Abschnitt der Reihe überein,

Tn(x ; a) =n∑

k=0

ak(x − a)k .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Satz Sei f (x) =∑

∞



Tn(x ; a) =n∑

k=0

ak(x − a)k .

Ist umgekehrt f unendlich oft differenzierbar mitRn(x ; a) → 0 gleichmäßig in Umgebung von a, so lässt sichin dieser Umgebung f als Potenzreihe darstellen:

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise


Satz Sei f (x) =∑

∞



Tn(x ; a) =n∑

k=0

ak(x − a)k .

Ist umgekehrt f unendlich oft differenzierbar mitRn(x ; a) → 0 gleichmäßig in Umgebung von a, so lässt sichin dieser Umgebung f als Potenzreihe darstellen:

f (x) =

∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x − a)n.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel

Der Satz von Taylor gibt uns aufgrund des Restgliedes eineFehlerabschätzung, wenn nur ein Reihenabschnittausgewertet werden soll.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel


Als Beispiel wollen wir die Zahl e mit Hilfe von

e = 1+1+1

2+

1

6+

1

24+

1

120+

eξ

6!= 2, 716 . . .+

eξ

6!, ξ ∈ (0, 1),

angenähert bestimmen.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Beispiel


Als Beispiel wollen wir die Zahl e mit Hilfe von

e = 1+1+1

2+

1

6+

1

24+

1

120+

eξ

6!= 2, 716 . . .+

eξ

6!, ξ ∈ (0, 1),

angenähert bestimmen.

Wegen 0 < ξ < 1 und e < 3 gilt

eξ

6!≤ e1

6!≤ 3

6!= 0, 00595 . . . ,

also |e − 2, 716 . . . | ≤ 0, 006, der genaue Wert iste = 2, 718 . . .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Die Potenzreihe des Logarithmus

Satz Für |x | < 1 besitzt der Logarithmus dieReihendarstellung

ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ . . .

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ . . .

Beweis Mit ln′(1 + x) = 1/(1 + x) können wir die höherenAbleitungen leicht bestimmen

ln(n)(1 + x) =(−1)n−1(n − 1)!

(1 + x)n.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ . . .


ln(n)(1 + x) =(−1)n−1(n − 1)!

(1 + x)n.

Die angegebene Reihe errechnet sich aus der Formel für dieTaylorreihe.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise



ln(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ . . .


ln(n)(1 + x) =(−1)n−1(n − 1)!

(1 + x)n.

Die angegebene Reihe errechnet sich aus der Formel für dieTaylorreihe.

Nach dem Wurzel- oder Quotientenkriterium ist die Reihe inder Tat für |x | < 1 konvergent.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Achtung

Da der Logarithmus an der Stelle 0 unbeschränkt ist, kanndie Reihe nach links nur für x > −1 konvergieren.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Achtung


Da der Konvergenzradius aber = 1 ist, ist auch nach rechtsdie Reihe nur für x < 1 konvergent, obwohl der Logarithmusfür alle x > 0 definiert ist.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Achtung



Also: Die Taylorreihe kann höchstens bis zur nächstenSingularität konvergieren. Der Abstand vomEntwicklungspunkt zur nächstgelegenen Singularitätbestimmt den maximalen Konvergenzradius.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Achtung




Dies gilt auch für im Reellen nicht sichtbare komplexeSingularitäten.

Integration






Differentiation




Mittelwertsätze

HöhereAbleitungen



Gliedweise

Achtung




Dies gilt auch für im Reellen nicht sichtbare komplexeSingularitäten. Z.B. ist der Konvergenzradius der Taylorreihe

von1

1 + x2mit Entwicklungspunkt ξ = 0 nur 1, obwohl

1

1 + x2keine reellen Singularitäten besitzt.

der hauptsatz der diﬀerential- und integralrechnung besagt ...dobro/anal1/f9.pdf · integration...

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