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GUADARRAMA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Curso 2017-‐‑2018

Pág. 1 de 7 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS -‐‑ 4º ESO A Unidad 1 – Polinomios y fracciones algebraicas

Pedro García Moreno

UNIDAD 1

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. OPERACIONES CON POLINOMIOS

Actividades de clase

1.1. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando el resultado:

a. − 𝑥Y − 3 6𝑥 + 1 + 𝑥 2𝑥Y − 7𝑥 b. 2𝑥Y𝑦 ^ − 𝑥Y − 𝑦 Y

c. 2𝑎 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 Y + 3𝑎 + 𝑏 𝑏 d. 2𝑥 + 𝑧 2𝑥 − 𝑧 + 𝑥 + 2𝑧 Y

1.2. Opera, expresando como fracción única:

𝐚. 3𝑥 + 1 3𝑥 − 1 −𝑥 − 2 Y

2 𝐛. 2𝑥 Y −2 − 𝑥 1 + 𝑥

2 − 2 𝑥 − 2 Y

1.3. Dados los siguientes polinomios:

𝑃 𝑥 = 𝑥^ − 5𝑥Y − 3 𝑄 𝑥 = 6𝑥Y − 1 𝑅 𝑥 = 𝑥l − 2𝑥Y

calcula:

𝐚. 3 · 𝑃 𝑥 − 𝑄 𝑥 𝐛. 𝑃 𝑥 · 𝑄 𝑥

𝐜. 𝑅 𝑥 Y − 9 · 𝑄 𝑥 Y 𝐝. 𝑅 𝑥 l

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1.4. Resuelve las siguientes divisiones, empleando el método de Ruffini cuando sea posible, y

comprueba los resultados obtenidos. ¿Hay alguna división exacta?

𝐚. 7𝑥^ − 5𝑥 + 3 ∶ 𝑥Y − 2𝑥 + 1

𝐛. 3𝑥^ − 7𝑥Y − 7𝑥 + 4 ∶ 𝑥 − 3

𝐜. 𝑥l + 1 ∶ 𝑥 + 1

Actividades de refuerzo

1.5. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando el resultado:

a. 2𝑥 −5𝑥 b. 2𝑥 −5 + 𝑥

c. 3𝑥Y Y − 3𝑥Y + 1 Y d. 3𝑥 − 2 Y − 2 3𝑥 − 2 3𝑥 + 2

e. 2 𝑎𝑏 − 2 Y − 𝑎𝑏 𝑎𝑏 − 2 f. 2𝑐 + 𝑑 + 1 𝑐 − 2𝑑 − 2𝑐 2𝑑 + 𝑐

1.6. Opera, expresando como fracción única:

𝐚. 𝑥 𝑥 + 4

5 −2𝑥 + 1 Y

4 +𝑥 + 4 𝑥 − 4

2 𝐛. 𝑥 − 1 ^

8 +34 𝑥 𝑥 + 2

Y −𝑥^

10

1.7. Resuelve las siguientes divisiones, empleando el método de Ruffini cuando sea posible, y

comprueba los resultados obtenidos. ¿Hay alguna división exacta?

𝐚. 𝑥y − 2𝑥l − 𝑥 + 2 ∶ 𝑥 + 2

𝐛. 2𝑥^ − 8𝑥Y + 2 ∶ 2𝑥Y + 1

𝐜. 𝑥l − 1 ∶ 𝑥Y + 2𝑥

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2. RAÍCES Y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS


2.1. Comprueba si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a. 𝑥 = −1 es una raíz del polinomio 𝑄 𝑥 = −𝑥^ − 𝑥Y − 2𝑥 − 4

b. 𝑥 = 3 es una raíz del polinomio 𝑅 𝑥 = 𝑥l − 2𝑥Y − 3

2.2. Inventa los polinomios que cumplan las siguientes condiciones:

a. De tercer grado cuyas raíces sean −2,−3, 1. b. De segundo grado que tenga como raíz doble 𝑥 = −5.

c. De tercer grado que tenga por raíces 𝑥 = −5 y 𝑥 = 3.

d. Que tenga dos raíces dobles, 2 𝑦 − 2. e. De cuarto grado que no tenga raíces.

2.3. Calcula el valor de m para que las siguientes divisiones tengan el resto que se indica en cada

caso:

a. 𝑥^ − 2𝑥Y − 𝑥 +𝑚 ∶ 𝑥 + 1 Resto = −1

b. −𝑥l − 𝑚𝑥^ + 3 ∶ 𝑥 − 2 Resto = 0

2.4. Obtén las raíces y factoriza los siguientes polinomios:

𝐚. 3𝑥^ + 2𝑥Y − 𝑥 𝐛. 2𝑥^ − 𝑥Y − 8𝑥 + 4 𝐜. 𝑥l − 𝑥Y + 6𝑥

𝐝. 𝑥^ − 1 𝐞. 𝑥y − 7𝑥l + 8𝑥^ + 16𝑥Y 𝐟. 𝑥l − 2𝑥Y + 1 𝑥Y − 𝑥

WIRIS

Resuelve la actividad 2.4 con el programa WIRIS. Accede a la aplicación a través del enlace:

http://www.wiris.net/educa.madrid.org/wiris/es/

Haciendo uso del menú “Polinomios”, elige la opción “factorizar” e introduce el polinomio a

factorizar:

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2.5. Comprueba si es cierto o falso que 𝑥 = −3 es una raíz del polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥^ + 3𝑥Y −

5𝑥 − 27

2.6. Busca los valores de a para los cuales el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥^ − 4𝑥Y + 𝑥 + 6 es divisible por

𝑥 − 𝑎.

2.7. Factoriza:

𝐚. 𝑥Y − 25 𝑥Y − 6𝑥 + 9 𝐛. 𝑥^ − 9𝑥Y + 15𝑥 − 7 𝐜. 𝑥l − 𝑥Y − 6𝑥

𝐝. 𝑥y − 2𝑥^ + 𝑥 𝐞. 𝑥l − 𝑥^ − 7𝑥Y + 𝑥 + 6 𝐟. 𝑥� − 16𝑥Y

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3. EXPRESIONES ALBEGRAICAS


3.1. Simplifica las siguientes fracciones:

𝐚. 𝑥Y − 3𝑥𝑥Y − 9 𝐛.

𝑥l + 𝑥^ − 4𝑥Y − 4𝑥𝑥^ − 4𝑥 𝐜.

𝑥l + 2𝑥^ − 3𝑥Y

2𝑥l − 3𝑥^ + 𝑥Y

3.2. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 𝑃 𝑥 y 𝑄 𝑥 :

a. 𝑃 𝑥 = 𝑥Y − 9, 𝑄 𝑥 = 𝑥Y − 6𝑥 + 9

b. 𝑃 𝑥 = 𝑥^ − 7𝑥Y + 12𝑥, 𝑄 𝑥 = 𝑥l − 3𝑥^ − 4𝑥Y

c. 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 3 Y 𝑥Y + 5𝑥 , 𝑄 𝑥 = 𝑥^ 𝑥 − 3 𝑥Y + 𝑥 + 2

3.3. Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:

𝐚. 2𝑥 + 1𝑥 + 3 −

𝑥Y + 5𝑥Y + 3𝑥 𝐛.

𝑥Y

𝑥Y − 2𝑥 + 1 +2𝑥 + 3𝑥 − 1 − 3

𝐜. 𝑥Y

𝑥 − 1 :1𝑥 −

1𝑥 − 1 𝐝. 4 −

12𝑥 − 1

2𝑥 −

1𝑥Y

𝐞. 5𝑥 − 10𝑥 + 3 ·

𝑥Y − 9𝑥 − 2

𝐟. 𝑥 +1𝑥 ∶ 𝑥 −

1𝑥 · 𝑥 − 1


3.4. Simplifica las siguientes fracciones:

𝐚. 𝑥^ + 3𝑥Y + 𝑥 + 3

𝑥 𝑥 + 3 Y 𝐛. 𝑥Y − 2𝑥

𝑥Y − 5𝑥 + 6 𝐜.

4𝑥Y𝑦 − 2𝑥𝑦Y

2𝑥𝑦Y

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3.5. Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

𝐚. 𝑥^ − 𝑥𝑥^ + 𝑥Y 𝑦

3𝑥 − 33𝑥 𝐛.

𝑥 + 5 Y

𝑥^ + 10𝑥Y + 25𝑥 𝑦 𝑥 − 33𝑥 − 𝑥Y

3.6. Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:

𝐚. 1𝑥Y −

13𝑥 +

1𝑥 𝐛.

2𝑥 − 2 −

𝑥 + 1𝑥Y − 2𝑥 −

3𝑥Y − 4

𝐜. 5𝑥 − 10𝑥 + 3 ·

𝑥Y − 9𝑥 − 2

𝐝. 3𝑥 −

𝑥3 :

1𝑥 +

13

𝐞. 𝑥Y

𝑥 + 3 1 −𝑥 − 1𝑥 − 1 𝐟.

𝑥 + 1𝑥 − 1 Y ·

𝑥Y − 1𝑥

4. PROBLEMAS


4.1. En un rectángulo de lados x e y inscribimos un rombo. Obtén el perímetro del rombo en

función de los lados del rectángulo:

4.2. El dibujo de la derecha muestra el plano de una habitación en la que cualesquiera de las

paredes que se juntan son perpendiculares. Si las longitudes de algunas paredes son a y b, ¿cuál

es el área de la habitación?

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4.3. En el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 de lados 𝐴𝐵 = 3 𝑐𝑚 y 𝐵𝐶 = 5 𝑐𝑚 se ha inscrito el cuadrilátero

𝐴´𝐵´𝐶´𝐷´, donde 𝐴𝐴´ = 𝐵𝐵´ = 𝐶𝐶´ = 𝐷𝐷´ = 𝑥 𝑐𝑚. Escribe el área de 𝐴´𝐵´𝐶´𝐷´ en función de x.

4.4. Disponemos de dos modelos de cajas, como las de las figuras, cuya altura es fija y cuya base

varía, dependiendo del lado x.

a. Encuentra una expresión algebraica que determine el volumen de cada tipo de caja.

b. Encuentra la expresión algebraica que determina la cantidad total de material

necesario (superficie) para construir cada

tipo de caja (consideramos que tienen tapa

con una superficie idéntica a la de la base).

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