departamento de teorÍa de la seÑal y comunicaciones diseÑo de...

DEPARTAMENTO DE TEORÍA DE LA SEÑAL Y

COMUNICACIONES

DISEÑO DE FILTROS

TEMA 4

Diseño de filtros pasivos

INDICE

1. Introducción al filtrado pasivo..........................................................1

2. Planteamiento. Cálculo de Ze(s). .....................................................1

2.1. Cálculo de Ze. ............................................................................................... 2

2.2. Ejemplo con RL=Rg...................................................................................... 4

3. Síntesis de dipolos LC.......................................................................6

3.1. Formas canónicas. ....................................................................................... 6 3.1.1. Primera forma canónica de Foster. ......................................................................6 3.1.2. Segunda forma canónica de Foster. .....................................................................7 3.1.3. Primera forma canónica de Cauer. .......................................................................8 3.1.4. Segunda forma canónica de Cauer. ......................................................................9

3.2. Realizaciones canónicas mixtas..................................................................10

3.3. Formas no canónicas. Extracción parcial de polos. ...................................11 3.3.1. Extracción parcial de un polo en el origen........................................................12 3.3.2. Extracción parcial de un polo intermedio. ........................................................13 3.3.3. Extracción parcial de un polo en el infinito......................................................14 3.3.4. Conclusiones..........................................................................................................14 3.3.5. Cálculos para que F1(s) tenga un cero en s = j ω0............................................15 3.3.6. Ejemplo. .................................................................................................................15

4. Realización de dipolos con pérdidas. Preámbulo de Foster. ......... 17

4.1. Ejemplo 1.....................................................................................................17

4.2. Ejemplo 2. ...................................................................................................18

5. Realización de filtros LC con doble terminación. .......................... 19

5.1. Terminaciones iguales. ...............................................................................19

5.2. Terminaciones distintas..............................................................................21 5.2.1. Uso de transformadores ideales..........................................................................22 5.2.2. Reducción de la ganancia en la banda de paso. ...............................................22 5.2.2.1 Ejemplo 1. ..........................................................................................................23 5.2.2.2 Discusión sobre el ejemplo 1...........................................................................24 5.2.2.3 Conexión inversa del filtro de doble terminación. .......................................26 5.2.2.4 Ejemplo 2. ..........................................................................................................27 5.2.2.5 Ejemplo 3. ..........................................................................................................28

TEMA 4: Diseño de Filtros pasivos. 1

1. Introducción al filtrado pasivo.

Un filtro pasivo con doble terminación puede ser representado con un esquema como el de la figura 1. El generador Eg y la resistencia Rg podrían ser el equivalente Thevenin del circuito conectado hacia la izquierda de la red de filtrado. La resistencia RL es la carga del circuito que, en general, puede corresponderse con la impedancia de entrada del siguiente circuito.

Eg

RL

Rg

VLL-C

Ze

Ve

FILTRO

Figura 1. Esquema general de un filtro L-C de doble terminación.

En el caso de doble terminación (resistencias finitas no nulas tanto en el generador como en la carga), la relación de tensiones o corrientes no tiene tanta significación como en el caso de los filtros activos, donde nuestra función de transferencia era la relación entre la tensión de salida y la de entrada. En el caso pasivo el funcionamiento del filtro se entiende mejor si hablamos de la cantidad de potencia que se transmite desde el generador hasta la carga en relación con la máxima potencia que éste podría entregar. Como sabemos, la máxima potencia se entregará cuando el generador vea una impedancia que sea la conjugada de su impedancia interna. En el caso de ser resistencias esto se cumplirá cuando tanto la carga como la resistencia interna sean iguales. Si Rg y RL son iguales el generador entregará la máxima potencia cuando estén directamente conectadas. Si Rg es distinta de RL sólo se podrá entregar la máxima potencia si se adaptan utilizando un transformador ideal.

La función de transferencia que vamos a desarrollar comparará, por tanto, la potencia que debe llegar a la carga (para cada frecuencia) con la máxima posible en el caso ideal de adaptación de impedancias. Es decir, nuestro circuito dejará pasar la máxima potencia cuando nos encontremos en la banda de paso y evitará la llegada de potencia en la banda eliminada.

2. Planteamiento. Cálculo de Ze(s).

El planteamiento del problema es, por tanto, tratar de conseguir una red LC que deje pasar la máxima potencia en la banda de paso, y todo lo contrario en la banda eliminada. Sabemos que la potencia que llegue a la carga será igual a la que entregue el generador a la entrada del circuito LC puesto que éste no disipará potencia. Por tanto, hemos de conseguir que la potencia entregada a la entrada de la red sea máxima para las frecuencias de interés. Esta potencia Pe vendrá dada por la siguiente expresión:

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá


( )( )( )

2

g ee 2

g e

E RP

R Z j

ωω

ω=

+

donde la impedancia de entrada viene dada por:

( ) ( ) ( )e e eZ j R jX= +ω ω ω

Como podemos ver en estas expresiones, si queremos que Pe sea máxima a unas determinadas frecuencias deberemos centrar nuestro trabajo en obtener una Ze que permita el paso de potencia para unas frecuencias y para otras no. Por tanto, el problema se reducirá a la obtención de un circuito que nos de una Ze adecuada a nuestras necesidades. El siguiente paso es encontrar la relación entre esta impedancia y nuestra función de transferencia, que como hemos dicho relaciona potencias.

2.1. Cálculo de Ze.

En este apartado partiremos de la función de transferencia deseada y obtendremos la impedancia de entrada que posteriormente habremos de obtener con un determinado circuito.

La potencia máxima que se puede entregar por parte del generador es

2

gmax

g

EP

4R=

La potencia que llega hasta la carga será

2L

LL

VP

R=

Vamos a definir nuestra función de transferencia (llamada algunas veces coeficiente de transmisión) como T(s), que cuando hacemos s j= ω nos da la siguiente relación de potencias

( ) 2 L

max

PT jP

=ω

si sustituimos las expresiones de ambas potencias, tenemos

( )2

2 g L

L g

4R VT jR E

=ω

En las aplicaciones de filtrado queremos que esta función sea cercana a 1 en la banda de paso y cercana a 0 en el caso de la banda eliminada. Cuando es cercana a 1 la mayor parte de la potencia disponible es transmitida hacia la carga. Si es cercana a 0 una parte muy pequeña de esa potencia llega hasta la carga. Esto último lo podemos representar como que gran parte de la potencia disponible es reflejada en la entrada y devuelta hacia el generador.



Por ello, es útil definir una nueva función llamada coeficiente de reflexión, nombrado como ( )sρ , de manera que para , s j= ω

( ) ( )2 2j 1 T jρ ω ω= −

De la definición de ( )sρ vemos que este nuevo coeficiente representa la potencia reflejada en la entrada del circuito, de manera que cuando la función de transferencia valga la unidad (máxima transferencia de potencia) no habrá reflexión y cuando la función de transferencia sea nula (no llega potencia a la carga) la reflexión será total y toda la potencia entregada vuelve al generador.

La potencia a la entrada viene dada por

( )( )( )

2

g ee 2

g e

E RP

R Z j

ωω

ω=

+

y Pe=PL puesto que la red es no disipativa. Por tanto,

( )

( )( ) ( )

( )

2

g e2

2 g e g e2 2

g g e

g

E R

R Z j 4R RT j

E R Z4R

ω

ω ωω

jω

+= =

+

usando la definición del coeficiente de reflexión

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 222 g e e g eg e

2 22 2g e e g e e g e

R R X R Z4R Rj 1

R R X R R X R Z2

ω ω ωωρ ω

ω ω ω ω

− + − = − = = + + + + + ω

De esta última ecuación podemos obtener la expresión de ( )sρ , que sería

( ) ( )( )

g e

g e

R Z ss

R Z sρ

−= ±

+

y de esta última expresión podemos obtener la impedancia de entrada que será,

( ) ( )( )e g

1 sZ s R

1 sρρ

±=

∓

Por tanto, el problema de realizar una determinada función dada por ( ) 2T jω se reemplaza por el de realizar una determinada impedancia de entrada Ze con un circuito LC que estará terminado en una resistencia de carga. En los siguientes puntos veremos cómo se puede obtener dicho circuito y veremos que generalmente la forma de éste será la conexión en escalera de elementos almacenadores de energía.



2.2. Ejemplo con RL=Rg.

Veamos un ejemplo de cómo sería el proceso de obtención de la impedancia de entrada a partir de nuestra función de transferencia. Vamos a trabajar asumiendo que las impedancias terminales RL y Rg son iguales puesto que en el caso de ser distintas aparecen una serie de complicaciones que trataremos más adelante. Supondremos también que las dos resistencias están normalizadas y son de valor 1 Ω. En caso de ser distintas sólo habrá que realizar una normalización previa para, posteriormente, desnormalizar el circuito obtenido.

Trataremos de obtener un circuito que realice un filtro paso bajo de Butterworth de orden 3.

Usando la aproximación de Butterworth de orden 3 sabemos que nuestra función será

( ) 2

6

1T j1

ωω

=+

de aquí podemos obtener el coeficiente de reflexión en jω

( ) ( ) ( ) ( )6

2 2

6 6s j

1s s j 1 T j 11 1ω

ωρ ρ ρ ω ωω ω=

− = = − = − =+ +

De esta expresión hemos de obtener ( )sρ , para lo que nos quedaremos con los polos del semiplano izquierdo y con un número de ceros igual. En este caso todos los ceros están en el origen y nos quedaremos con 3 de ellos. Por tanto tendremos,

( )3

3 2

sss 2s 2s

ρ =1+ + +

La expresión de Ze(s) sería entonces (eligiendo los signos superiores),

( ) ( )( )

3 2

e 2

1 s 2s 2s 2s 1Z s1 s 2s 2s 1

ρρ

+ + + += =

− + +

De aquí deberíamos obtener el circuito deseado. Para ello aplicaremos técnicas que veremos en posteriores apartados. En este caso se aplicaría el conocido como Preámbulo de Foster en el que se realizan divisiones polinómicas sucesivas. Quedaría algo como lo que sigue:

( )e1Z s s 12ss 1

= ++

+

En la expresión anterior podemos identificar los elementos que forman dicha impedancia y plasmarlos en un circuito. Por ejemplo, el factor s que está sumando nos indica que tenemos una bobina de valor 1 H que está en serie con el resto del circuito. Ese resto es el paralelo de un condensador de valor 2 F y otro circuito que es la conexión en serie de una bobina de valor 1 H y una resistencia de valor 1 Ω. El circuito final sería el representado en la figura 2. Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá


Eg

Ze

1 H 1 H

2 F 1 Ω

1 Ω

Figura 2. Circuito que realiza la función pedida.

Este no es el único circuito posible para realizar dicha impedancia de entrada. Si hubieramos cogido en la expresión de Ze(s) los otros signos, el resultado hubiera sido,

( ) ( )( )

2

e 3 2

1 s 2s 2s 1Z s1 s 2s 2s 2s 1

ρρ

− + += =

+ + + +

que como vemos, es simplemente la inversa de la obtenida anteriormente. En este caso podríamos aplicar la misma técnica para obtener el circuito pero en este caso la solución sería

( )e1Z s 1s 12s

s 1

=+

++

En este caso identificamos el paralelo de un condensador de 1 F con la conexión en serie de una bobina de valor 2 H y el paralelo de un condensador de 1 F y una resistencia terminal de 1 Ω. En la figura 3 se muestra el circuito resultante.

Eg

Ze

2 H

1 F 1 Ω

1 Ω

1 F

Figura 3. Otra realización posible.



3. Síntesis de dipolos LC.

Como hemos visto en los puntos anteriores nuestro problema de síntesis se centra en la obtención de un dipolo (Ze) que está formado por bobinas y condensadores y una resistencia terminal, por tanto, el dipolo a obtener no será sólo LC. Sin embargo, los métodos que permiten la obtención del circuito a partir de la expresión de Ze se basan en observaciones hechas en dipolos LC que, posteriormente, se generalizan al caso que nos ocupa. Por tanto, empezaremos por el estudio de la síntesis de esos dipolos LC.

3.1. Formas canónicas.

Los circuitos que se pueden obtener a partir de la expresión de una determinada impedancia o admitancia no son únicos y existen muchas posibilidades. En este punto vamos a presentar lo que se conoce como Formas canónicas que nos darán los circuitos con el mínimo número de componentes necesario.

3.1.1. Primera forma canónica de Foster.

Aunque no lo vamos a demostrar, las funciones de impedancia o admitancia de los dipolos LC cumplen una serie de condiciones (son funciones reales positivas e impares) que se traducen en que se han de poder expresar de alguna de las formas siguientes:

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

2 2 2 22 4

2 2 2 21 3

2 2 2 21 3

2 2 2 22 4

s s sF s K

s s

s sF s K

s s s

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

+ + ⋅=

⋅⋅

+ + ⋅⋅

⋅

+ + ⋅⋅=

⋅

+ + ⋅ ⋅⋅

además la diferencia de orden entre numerador y denominador no debe ser superior a 1. Se cumplirá así mismo que 1 2 3 4ω ω ω ω< < < < ⋅⋅⋅ , es decir, los polos y los ceros se encuentran alternados en el eje jω .

Esta función se puede descomponer en fracciones simples, y en el supuesto de que presente polos tanto en el origen como en el infinito nos quedaría:

( )

( )

( )

( )

2 2pi

0 s 0

2 2pin

i0 i2 2 s

i 1 pi

s

K sF s

sK F sK K s sF s K s

s s

F sK

s

ω

ω

ω

=

∞ =−=

∞→∞

= + == + + + =

∑

En el caso de que F(s) tenga dimensiones de impedancia, la descomposición de la misma sugiere la realización como combinación en serie de impedancias elementales tal y como se muestra en la figura 4.



( ) sKs

sKs

KsZn

1i2pi

2i0

∞=

+ω+

+= ∑

∞∞ =ω

=== KL;KL;K1C;

K1C 2

pi

ii

ii

00

Figura 4. Primera forma canónica de Foster.

Se puede comprobar que el número de componentes del dipolo es igual al número N de polos de la impedancia Z(s). Por tanto, estamos ante una forma canónica.

3.1.2. Segunda forma canónica de Foster.

En este caso se aplica un proceso similar pero la función de partida tendrá dimensiones de admitancia, de manera que la descomposición en fracciones sugiere la conexión en paralelo de impedancias elementales como se muestra en la figura 5.

( ) sKs

sKs

KsYn

1i2pi

2i0

∞=

+ω+

+= ∑

∞∞ =ω

=== KC;KC;K1L;

K1L 2

pi

ii

ii

00

Figura 5. Segunda forma canónica de Foster.



Al igual que en el caso anterior se puede comprobar que el número de componentes del circuito es igual al número de polos de la función, por tanto se trata de una nueva forma canónica.

3.1.3. Primera forma canónica de Cauer.

Cauer obtuvo dos formas canónicas distintas de las de Foster utilizando un desarrollo diferente de la función de red (impedancia o admitancia).

Como hemos visto las funciones de red (F(s)) tienen o bien un polo o bien un cero (si es un cero trabajaremos con la inversa) en el infinito. La primera forma de Cauer se basa en que si la función de red tiene un polo en el infinito, se podrá desarrollar de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1

F s Z s ó Y s

F s K s F s

= = +

donde K1 es el residuo del polo en infinito que se puede obtener

( )1

s

F sK

s →∞

=

y F1(s) es una función de red pero que tiene un cero en el infinito.

La operación que se ha realizado sobre F(s) se denomina Extracción del polo en el infinito.

El proceso puede continuarse porque si F1(s) tiene un cero en el infinito, entonces 1/F1(s) tiene un polo en dicho punto y entonces podría ponerse:

( )

( )( )1 1

2 2

1

1 1F s K s K s1 K s F sF s

= + = ++

Si reiteramos el proceso N veces (número de polos) obtendríamos F(s) en la forma que aparece en la figura 6, dando lugar a los circuitos que también aparecen en dicha figura. Como vemos cada extracción de un polo genera un nuevo componente y reduce en una unidad el orden de la función resultante. Por tanto, este proceso generará N componentes siendo, por tanto, una forma canónica.

Dependiendo de si la función de partida es una impedancia o una admitancia podemos comprobar que cada extracción da lugar a componentes distintos. En el caso de ser una impedancia empezaríamos por una bobina en serie y seguiríamos con un condensador en paralelo. En el caso de ser una admitancia el primer polo extraído representaría un condensador en paralelo y continuaríamos con una bobina en serie.

Como vemos, cada extracción genera o bien un condensador o bien una bobina de forma alterna, creando lo que se conoce como conexión en escalera. De ahí que a este tipo de circuitos se les conozca como escaleras LC o filtros LC en escalera.



( )

sK1

1sK

1sK

1sKsF

n

3

2

1

++

+=

Figura 6. Primera forma canónica de Cauer. 3.1.4. Segunda forma canónica de Cauer.

Si utilizamos un razonamiento similar pero realizamos sucesivas extracciones de polos en el origen llegamos a una nueva realización canónica que viene representada por la figura 7.

( )

sK1

1s

K1

sK

1s

KsF

n

3

2

1

++

+=

Figura 7. Segunda forma canónica de Cauer.

Los razonamientos hechos para la forma anterior se pueden aplicar de igual manera en esta otra forma. Por ejemplo, dependiendo de si F(s) es una impedancia o una admitancia el componente inicial variará como se ve en la figura 7.



3.2. Realizaciones canónicas mixtas.

Las formas de Cauer y Foster son canónicas ya que se usan el mínimo número de componentes en la realización. En las de Foster los polos son separados y realizados término a término. En las de Cauer los polos en el infinito o en el origen son extraídos (completamente) de manera sucesiva. En todo caso cualquier otro método no dará circuitos con menos componentes.

Las formas de Cauer y Foster no son las únicas canónicas posibles. Podemos realizar una determinada función extrayendo polos no sólo en el origen o en el infinito sino en cualquier localización que elijamos. Esto supone que, dependiendo de las extracciones que hagamos podemos obtener varios circuitos para una misma función; todos ellos canónicos. Veamos un ejemplo para aclarar el concepto. Si queremos realizar la impedancia:

( )( )( )( )( )

2 2

2 2

s s 4 s 25Z s

s 1 s 9

+ += Ω

+ +

primero extraeremos el polo del infinito, dejando el siguiente resto,

( )( )( )( )( )

( )( )( )

2 2 2

1 2 2 2 2

s s 4 s 25 s 19s 91Z s s

s 1 s 9 s 1 s 9

+ + += − =

+ + + +Ω

Su inverso tiene un polo en el origen. Extraemos ese polo, quedando,

( )( )

( )( )

2

2 21

s 91s 7391 9Y s

Z s 91s 91 19s 91

+= − =

+

El inverso a su vez tiene un par de polos en 739j

91± . Si los extraemos nos quedará la

impedancia Z3. El resumen de lo obtenido se muestra en la figura 8.

( )( )3

22

5760s1 8739Z s

739Y s 739ss91

281= − =

+Ω

Z(s) 91 H9

1 H2

5760x91 H739

739 F5760

739 F8281

Figura 8. Ejemplo de realización canónica mixta.



3.3. Formas no canónicas. Extracción parcial de polos.

En ocasiones puede ser necesario obtener realizaciones de un dipolo mediante formas no canónicas, es decir, con un número de elementos superior al número de polos. Esto ocurre, por ejemplo, cuando realizamos circuitos para aproximaciones de tipo elíptico o de Chebychev inverso. En estos casos nos interesa que aparezcan ramas resonantes a las frecuencias de los ceros de las funciones de transferencia. Para ello debemos colocar ceros exactamente a esas frecuencias y, como veremos, necesitamos extracciones parciales de polos para conseguirlo.

En apartados precedentes hemos visto cómo se puede realizar la extracción de los polos de una función, aunque siempre se ha extraído totalmente el polo en cuestión. Sin embargo es posible extraer sólo una parte de dicho polo, de manera que la función resultante siga siendo del mismo orden que la inicial. Por tanto, si tenemos una función F(s) que presenta un polo en is jω= ± y cuyo residuo en dicho polo es Ki, se puede escribir:

( ) ( )a12 2

pi

K sF s F ss ω

= ++

siendo Ka ≤ Ki y F1(s) es una nueva función del mismo tipo que F(s). Se pueden presentar dos casos:

a) Ka = Ki, en este caso F1(s) será una función que no contiene el polo s ijω= ± , ya que se ha realizado una extracción total del mismo.

b) Ka < Ki, F1(s) contiene los mismos polos que F(s) pero sus ceros habrán variado, se ha realizado en este caso una extracción parcial del polo en iω .

( )n

01 i2 2 2 2

i 2p1 pi

KK s K sF s K ss s sω ω ∞

=

= + + ++ +∑

( ) ( )

( )

( )

1

n1 aa 0 ai

12 2 2 2 2 2 2 2i 2p1 p1 pi p1

F s

K K sK s K K sK sF s K s F ss s s s sω ω ω ω∞

=

−= + + + + = +

+ + + +∑

F(s) ∞ ωz1 ωp1 ωz2 ωp2 ωz3 ω F1(s) ∞

ω’z1 ωp1 ω’z2 ωp2 ω’z3 ω

Figura 9. Extracción parcial.



Es evidente que de la segunda manera el circuito obtenido no es canónico puesto que cada extracción parcial dará lugar a dos nuevos componentes (si el polo está en el origen o en el infinito sólo un nuevo componente).

La importancia de esta técnica radica en que, sin alterar la situación de los polos de la función, se pueden situar los ceros de la misma en los puntos que se desee sobre el eje jω . Dicha situación se controla mediante el valor de Ka. En la figura 9 se presenta un resumen del proceso y un esquema de cómo los ceros de la función se desplazan en el eje.

Podemos ver en ese esquema como los ceros se mueven hacia el polo que ha sido extraído parcialmente, de esta manera podemos mover los ceros en la dirección que nosotros queramos eligiendo convenientemente el polo a extraer. En los siguientes apartados se explica el porqué y como se desplazan los ceros en este tipo de extracciones.

3.3.1. Extracción parcial de un polo en el origen.

Como vimos al inicio del punto 3, las funciones de impedancia o admitancia de una red LC tienen la forma de las siguientes ecuaciones.

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

2 2 2 22 4

2 2 2 21 3

2 2 2 21 3

2 2 2 22 4

s s sF s K

s s

s sF s K

s s s

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

+ + ⋅=

⋅⋅

+ + ⋅⋅

⋅

+ + ⋅⋅=

⋅

+ + ⋅ ⋅⋅

Es fácil comprobar que si nosotros queremos ver el comportamiento de dicha función en el eje jω y sustituimos s jω= nos quedará una función que será imaginaria pura. Esto no debe sorprendernos puesto que el dipolo está formado únicamente por bobinas y condensadores cuyas impedancias son imaginarias puras. Por tanto, para ver cómo se comportan los ceros en la extracción parcial de un polo en el origen estudiaremos su comportamiento en el eje jω .

Si partimos de F(s) y extraemos parcialmente un polo obtendremos un desarrollo de la misma como se muestra en la ecuación siguiente,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (P 1 P 1F s F s F s jX jX jX )ω ω ω= + ⇒ = +

Como estamos extrayendo parcialmente un polo en el origen la función extraída tendrá la siguiente forma,

( ) ( )a aP P

K KF s Xs

ωω

= ⇒ = −

y, por tanto, la nueva función tendrá una reactancia como la que se muestra a continuación

( ) ( ) ( )1 PX X Xω ω ω= −

Aquí vemos que los nuevos ceros de la función X1(ω) se producirán a pulsaciones en las cuales X(ω) y Xp(ω) sean iguales mientras que los polos serán los mismos que los de F(s).



Esto lo podemos ver gráficamente en la figura 10 donde se resume el proceso.

∞ ω

Polo extraído parcialmente

Figura 10. Extracción parcial de un polo en el origen.

En dicha figura podemos ver la representación de las reactancias de la función F(s) (línea continua) donde se ve como los polos y los ceros son alternos a lo largo del eje, y del polo en el origen (línea discontinua). Los nuevos ceros de la función F1(s) estarán en las intersecciones de ambas gráficas como se puede ver.

3.3.2. Extracción parcial de un polo intermedio.

En este caso la extracción se produce sobre un par de polos conjugados situados a una determinada pulsación. Su función reactancia vendrá dada por la siguiente expresión.

( ) ( )a aP P2 2 2

pi pi

K s KF s Xs 2

ωω

ω ω ω= ⇒ =

+ −

Y siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior obtendríamos una gráfica como la de la figura 11.

∞ ω


Figura 11. Extracción parcial de un polo intermedio.



3.3.3. Extracción parcial de un polo en el infinito.

Por último presentamos el caso en que la extracción parcial se produce sobre un polo en el infinito que tendrá la siguiente reactancia,

( ) ( )P a PF s K s X Kaω ω= ⇒ =

∞ ω


Figura 12. Extracción parcial de un polo en el infinito. 3.3.4. Conclusiones.

Del examen de las gráficas que hemos visto anteriormente se pueden sacar las siguientes conclusiones:

1. La extracción parcial de un polo mueve los ceros de la función hacia dicho polo una distancia que depende de Ka y de la distancia del cero a dicho polo.

2. En ningún caso un cero puede trasladarse más allá de los polos adyacentes.

3. Los ceros en el origen o en el infinito no se ven afectados por la extracción parcial de un polo.

4. El desplazamiento que sufre un cero al realizar una extracción parcial de un polo está limitado. Sin embargo, extracciones parciales sucesivas de distintos polos sobre las funciones remanentes de F(s) o, alternativamente, sobre sus inversas permiten situar un cero en cualquier punto del eje jω del plano s.

5. La extracción parcial de un polo en el origen permite trasladar el cero más próximo a cualquier lugar entre su posición original y el origen. Análogo enunciado puede referirse a la extracción en el infinito.

Estas conclusiones nos van a permitir elegir los polos que vamos a extraer parcialmente cuando debamos llevar un cero a una determinada posición. En el punto siguiente explicaremos como elegir el valor de Ka para colocar el cero en la posición elegida en cada caso.



3.3.5. Cálculos para que F1(s) tenga un cero en s = j ω0.

Como hemos visto en el apartado anterior, para que F1(s) tenga un cero en ojω se particulariza la expresión de F(s) para ojω ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 000

P 1 p 1s j s js js jF s F s F s F s F s F s

ω ωωω = ==== + ⇒ = +

donde queremos que y, por tanto, para cada tipo de extracción nos quedaría: ( )1 oF j 0ω =

( ) ( )

0

0 0

0

0

a0

s j

aip 2 2s j s j

pi s j

a s j

Ks

K sF s F ss

K s

ω

ω ωω

ω

ω

=

= ==

∞ =

= =

+

de donde si despejamos cada una de las constantes, nos quedan las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( )0

00

2 2pi

a0 ai as js js j

s F sK sF s ; K F s ; K

s sωωω

ω∞=

==

+= = =

3.3.6. Ejemplo.

Se desea sintetizar la impedancia siguiente, con la condición de que en su realización aparezca un circuito resonante a 1 rad / segω = .

( ) ( )2 2

3 2

3s 1 3s 1Z s s 3s s s 3

+ += = Ω

+ +

En primer lugar representaremos gráficamente la situación de los polos y los ceros para ver mejor las extracciones a realizar.

( )Z ω ∞ ω

1 3 1 3

Según lo que hemos visto anteriormente, la extracción parcial del polo en 3ω = , permite trasladar el cero situado en 1 3ω = a 1ω = .

El valor del residuo necesario Ka se obtiene de la siguiente forma:



( ) ( )2 2

2 2 2

a 2s 1 s 1

s 3 3s 1 s 3K Z ss ss s 3=− =−

+ + += =

+2=

Por tanto,

( ) ( ) ( )2 2

1 22 2

3s 1 2s s 1Z s s 3s s 3 s s 3

+ += − =

++ +Ω

que, como vemos, sí tiene un cero en la pulsación deseada. Sobre el inverso de esta nueva impedancia realizamos la extracción total del polo situado en 1ω = para obtener la rama resonante de la siguiente forma,

( )( )2 2

1

1 2sY s s Z s s 1

= − =+

De esta forma la impedancia inicial se puede desarrollar, como:

( ) 2

2

2s 1Z s 2ss 3 ss 1

= ++ +

+

que da lugar al circuito siguiente donde podemos apreciar que ésta no es una realización canónica puesto que tiene 5 elementos almacenadores de energía para realizar una función de orden 3.

Figura 13. Circuito resultante no canónico.



4. Realización de dipolos con pérdidas. Preámbulo de Foster.

En los apartados previos hemos visto como obtener circuitos cuya función de red (impedancia o admitancia) se corresponde con un circuito LC sin pérdidas. Sin embargo, la impedancia que nosotros hemos de obtener está terminada con una resistencia (ver planteamiento inicial), y por tanto es un red con pérdidas. Esto hace que la función no sea real positiva e impar y que no se corresponda con la forma general de F(s) que hemos visto para los dipolos LC.

Sin embargo, si la función que queremos sintetizar tiene polos en el eje jω , los residuos de la función en los mismos serán reales y positivos. Por ello estos polos pueden ser extraídos parcial o completamente como en el caso de dipolos LC. El proceso puede ser repetido siempre que haya polos en el eje jω y si conseguimos con estas extracciones llegar a un último resto que sea positivo y real habremos obtenido una red que está terminada con una resistencia cuyo valor será el de ese último resto final. Este proceso se conoce como Preámbulo de Foster. Veámoslo con algún ejemplo.

4.1. Ejemplo 1.

Supongamos una impedancia cuya función es:

( ) ( )4 3 2

3 2

4s 21s 44s 30s 40Z s2 4s 21s 40s 10+ + + +

=+ + +

Tiene un polo en el infinito. Si lo extraemos nos queda el siguiente resto,

( ) ( ) ( )2

1 3 2

2 s 5s 101Z s Z s s2 4s 21s 40s 1

+ += − =

0+ + +

Ahora como 1/Z1 tiene un polo en el infinito y si lo extremos queda,

( )( ) ( )

2

2 21

1 s 1Y s 2sZ s 2 s 5s 10

+= − =

+ +0

El inverso de Y2 tiene un par de polos en j 10± . Podemos extraerlos quedando:

( )( )3 2

2

1 10sZ s 2 Y s s 10

= − =+

Ω

Aquí vemos que el resto final es un valor positivo y real que corresponde a una resistencia de valor 2Ω.

El circuito resultante puede verse en la figura 14 donde aparecen todos los elementos extraídos. En este caso la elección de las extracciones nos ha llevado a la obtención de un circuito válido. Sin embargo, podríamos haber hecho las extracciones en distinto orden y el resultado final sería distinto o incluso podría llegarse a un punto donde el preámbulo de Foster no pudiera ser aplicado. En el ejemplo siguiente veremos un caso de este tipo.



Z(s)

1/2 H

1 H

2 F 2 Ω0.1 F

Figura 14. Ejemplo de la aplicación del Preámbulo de Foster.

4.2. Ejemplo 2.

Tomemos la siguiente función de impedancia e intentemos realizarla aplicando el preámbulo de Foster.

( )( )( )( )

2

a 2

2s 1 3s 1Z s

s 6s 6s 5

+ += Ω

+ +

Esta impedancia tiene un polo en el origen. Si extraemos dicho polo nos queda,

( ) ( ) ( )2

b a 2

1 30s 9s 4Z s Z s 5s 5 6s 6s 5

+ += − = Ω

+ +

esta impedancia no tiene polos o ceros en el eje jω y por tanto no podemos seguir aplicando el preámbulo de Foster. Por otra parte, Za(s) tiene un par de ceros en j1 3± . Si los extraemos completamente cómo polos de 1/ Za(s) en lugar de extraer primero el polo del origen nos quedaría,

( )( )c 2

a

1 3s 2sY s Z s 3s 1 2s 1

= − =+ +

esta admitancia tiene un cero en el origen. Podemos, por tanto, extraer el polo del origen de la función 1/Yc(s), quedándonos un resto que es una resistencia de 1 Ω. El proceso se resume en la siguiente expresión que se corresponde con el circuito de la figura 15.

( )a

2

1Z s 3s 113s 1 12s

=+

+ +



Za(s)

3 F

1 Ω

2 F1 H

Figura 15. Realización de la impedancia Za.

Con éste hemos visto dos ejemplos de cómo se puede aplicar el Preámbulo de Foster para obtener impedancias terminadas en una resistencia, que posteriormente podemos utilizar para nuestro problema de la realización de filtros. Algunas veces será necesario realizar también extracciones parciales de polos siguiendo el procedimiento que ya conocemos. Aunque esas extracciones no son, estrictamente hablando, parte del Preámbulo de Foster habrá que combinarlas con las propias del Preámbulo para conseguir las funciones deseadas.

5. Realización de filtros LC con doble terminación.

Para la obtención de circuitos de filtrado LC con doble terminación nos basaremos en los conceptos que se presentaron en los puntos 1 y 2 de este tema. Ahí se obtuvieron las ecuaciones que relacionan la función de transferencia (T(s)) de nuestro filtro con la impedancia de entrada del dipolo LC terminado en una resistencia de carga.

En la realización de este tipo de impedancias nos vamos a encontrar dos tipos de problemas, similares, pero con algunas diferencias de base:

a) Terminaciones iguales. RL = Rg. En este caso normalizaremos en amplitud para que ambas resistencias tengan valor 1 Ω y aplicaremos el procedimiento del Preámbulo de Foster. El resto que nos quedará en este proceso será igual a 1, es decir, el valor de la resistencia de carga normalizada.

b) Terminaciones distintas. RL ≠ Rg. En este caso no se puede aplicar directamente el procedimiento general y para poderlo aplicar, en un apartado posterior, se presentarán algunas soluciones.

5.1. Terminaciones iguales.

En el apartado 2.2 se presentó un ejemplo del proceso a seguir en este caso, y que era relativamente fácil de comprender. Para asentar los conocimientos que hemos obtenido hasta aquí realizaremos un nuevo ejemplo en el que es necesaria la extracción parcial de algún polo. Realizaremos un filtro elíptico (con Rg = RL) con las siguientes características:

p a a p1 dB; 25.17 dB; 1.5; 1 α α ω= = = ω = La siguiente función de transferencia cumple dichas características:



( ) ( )( )( )

2

2

0.215619 s 2.80601T s

s 0.591015 s 0.375396s 1.02371

+=

+ + +

Nuestro primer objetivo será obtener Ze(s) a partir de dicha función. Para ello obtendremos primero ( ) 2T jω que tendrá la siguiente expresión:

( )4 2

2

6 4 2

0.0464916 0.260912 0.366062T j1.55721 0.382050 0.366062

ω ωωω ω ω

− +=

− + +

de aquí calculamos el coeficiente de reflexión,

( )6 4 2

2

6 4 2

1.60370 0.642962j1.55721 0.382050 0.366062ω ω ωρ ω

ω ω ω− +

=− + +

( ) ( )6 4 2

6 4 2

s 1.60370s 0.642962ss ss 1.55721s 0.382050s 0.366062

ρ ρ + +− =

+ + −

( ) ( )( )( )

2

2

s s 0.801849s

s 0.591015 s 0.375396s 1.02371ρ

+=

+ + +

Para obtener la impedancia de entrada utilizamos la siguiente expresión

( ) ( )( )e

1 sZ s

1 sρρ

−=

+

y nos queda

( )2

e 3 2

0.966411s 0.443730s 0.605031Z s2s 0.966411s 2.04743s 0.605031

+ += Ω

+ + +

Lo primero que debemos comprobar es si esta impedancia tiene los mismos ceros que la función T(s). Podemos comprobar que no, y por tanto, hemos de llevar alguno de sus ceros a j 2.80601± . Para ello realizaremos la extracción parcial del polo en el infinito de 1/Ze. Esto se traducirá en un condensador en paralelo cuyo valor se obtiene sabiendo que:

( ) 1e

1 C s 0 para s j 2.80601Z s

− = =

Resolviéndolo nos queda C1 = 1.69200 F. Y la nueva función que queda tras la extracción será:

( )3 2

2 2e

1 s 0.591015s 2.80601s 1.65840Y 1.69200sZ s 2.64895s 1.21627s 1.65840

+ + += − =

+ +



El numerador de Y2 tendrá ahora un factor ( )2s 2.80601+ . Por tanto, 1/Y2 tendrá un

par de polos en j 2.80601± que podremos extraer.

( )( )

2

2 22

1 2.64895s 1.21627s 1.65840ZY s 2.80601 s 0.591053

+ += =

+ +Ω

13 2 2

K sZ Zs 2.80601

= −+

( )2

1

s j 2.80601

2.64895s 1.21627s 1.65840K 2.05793s s 0.591015

=

+ += = +

30.591015Z

s 0.591015= Ω

+

( )33

1Y 1.69200s 1Z

= = +

Estas extracciones dan lugar al circuito que se muestra en la figura 16 donde ya se han asignado elementos del circuito a cada extracción realizada. Como vemos es una realización no canónica puesto que hemos realizado una función T(s) de orden 3 con un circuito que tiene 4 elementos almacenadores de energía.

0.73336 H

1.692 F1 Ω

0.48593 FEg

1 Ω 1.692 F

Figura 16. Circuito resultante.

5.2. Terminaciones distintas.

Como hemos visto en el ejemplo precedente y en el que vimos en el punto 2.2, la aplicación del preámbulo de Foster da lugar a circuitos que están terminados con una resistencia de valor 1 Ω. Sin embargo puede haber circuitos en los que las resistencias terminales sean distintas y, por tanto, si la resistencia del generador es normalizada a 1 Ω la resistencia de carga no puede tomar ese valor. Para afrontar este problema existen varias soluciones que se comentarán en los siguientes puntos.



5.2.1. Uso de transformadores ideales.

La primera solución práctica es adaptar la carga al circuito de manera que éste vea una carga de valor 1 Ω en lugar de la que realmente existe. Supongamos, por ejemplo, que tenemos una Rg = 1 Ω y RL = 4 Ω y que estamos intentando realizar el ejemplo del punto 2.2 (Filtro de Butterworth de orden 3). El primer circuito que obtuvimos se transformaría según aparece en la figura 17 para que la carga parezca ser de 1 Ω.

Eg

1 H 1 H

2 F 4 Ω

1 Ω

1 Ω

1:2

Figura 17. Adaptación de carga usando un transformador ideal.

Este es un método sencillo de implementar sobre el papel, pero que es engorroso y difícil de llevar a la práctica ya que los transformadores ideales no son componentes estándar y además introducen pérdidas difíciles de conocer a priori.

5.2.2. Reducción de la ganancia en la banda de paso.

El método más práctico para poder sintetizar redes con terminaciones distintas es anticipar la reducción de ganancia debida a que la potencia transmitida será inferior a la máxima que puede entregar el generador cuando éste sea conectado directamente a la carga. Este método se explica mejor si nos fijamos en el comportamiento de los filtros LC en escalera en bajas frecuencias. Para s = 0, todas las bobinas son cortocircuitos y todos los condensadores son circuitos abiertos. Por tanto, podemos esperar que el filtro en escalera paso bajo degenere en una conexión del generador y la carga como se muestra en la figura 18.

Eg

RL

Rg

Figura 18. Filtro LC en escalera en s = 0.

De la figura 18, tenemos que

( ) ( )( )

2

g L2

g L g L22 2

g g L

g

E R

R R 4R RT 0 1

E R R4R

+= = ≤

+



Vemos que si Rg = RL, entonces T(0) = 1. Si Rg ≠ RL, entonces T(0) < 1. Por tanto, si las resistencias terminales son distintas y aceptamos la reducción de ganancia haciendo que

( )2T 0 sea igual al resultado de la expresión anterior, podemos decir que la RL deseada será obtenida simplemente aplicando el Preámbulo de Foster.

5.2.2.1 Ejemplo 1.

Queremos obtener un circuito que realice un filtro paso bajo de tercer orden de Butterworth con Rg = 1 Ω y RL = 4 Ω.

Obtenemos primero el valor de la función de transferencia en 0 para anticipar la reducción de ganancia.

( )( )

22

4x1x4T 0 0.641 4

= =+

Por tanto, la función de transferencia a realizar será

( ) 2

6

0.64T j1

ωω

=+

Esto representa una reducción de 1.94 dB en la ganancia respecto a la función original. De esta expresión obtenemos el coeficiente de reflexión,

( )6

2

6

0.36j1

ωρ ωω+

=+

De aquí debemos obtener ( )sρ . Para ello obtendremos los ceros y los polos de la función. Deberemos escoger los polos del semiplano izquierdo y un número similar de ceros en cualquier situación (izquierdo o derecho). Una de las posibilidades sería,

( )3

3 2

s 0.6ss 2s 2s

ρ +=

1+ + +

y eligiendo los signos superiores de la expresión de Ze obtenemos la siguiente impedancia,

( ) ( )( )

3 2

e 2

1 s 2s 2s 2s 1.6Z s1 s 2s 2s 0.4

ρρ

+ + + += =

− + +

Si aplicamos el Preámbulo de Foster realizando extracciones totales nos quedará el siguiente desarrollo de Ze ,

( )e1 1Z s s s5 0.4 5 1s s

4 1.6s 1.6 4 4s 4

= + = ++ +

+ +

que da lugar al circuito mostrado en la figura 19.



Eg

1 H 4 H

4 Ω

1 Ω

5 F4

Figura 19. Circuito resultado del ejemplo 1.

5.2.2.2 Discusión sobre el ejemplo 1.

La solución obtenida en el ejemplo anterior es sólo una de las posibles. Uno de los pasos en la resolución tiene múltiples respuestas, este paso es el de la obtención de ( )sρ a

partir de ( ) 2jρ ω . El polinomio del numerador tiene seis ceros equiespaciados a lo largo de

un círculo de radio 6 0.36 y eligiendo estos ceros en distintas combinaciones tenemos cuatro posibles soluciones para el polinomio del numerador,

( )( )( )( )

3

3

3 2

3 2

N s s 0.6

N s s 0.6

N s s 1.68687s 1.42276s 0.6

N s s 1.68687s 1.42276s 0.6

= +

= −

= + + +

= − + −

En la solución presentada en el ejemplo usábamos la primera opción. Si hubiéramos usado la tercera habríamos obtenido,

( )3 2

e 2

2s 3.68687s 3.42276s 1.6Z s0.313135s 0.577243s 0.4+ +

=+ +

+

Y aplicando el preámbulo de Foster tendríamos,

Eg

6.38703 H

4 Ω

1 Ω

2.16987 H

0.36077 F

Figura 20. Otro circuito válido.

Pero ésta no es la única posibilidad. Si hubiéramos utilizado la última opción del numerador y usáramos los signos superiores tendríamos la siguiente impedancia de entrada,



( )3 2

e 2

2s 0.313135s 3.42276s 0.4Z s3.68687s 0.577243s 1.6+ +

=+ +

+

Si aplicáramos de nuevo el Preámbulo de Foster obtendríamos el siguiente circuito,

Eg

0.542466 H

1 Ω

1.59676 H

1.44311 F 14Ω

Figura 21. Otro posible circuito.

En este caso podemos ver que la resistencia de carga es de 14Ω en lugar de 4 Ω. La

razón de esto es que la expresión,

( )( )

g L22 2

g L g L

L g

4R R 4T 0R R R R

R R

= = +

+

es simétrica respecto a Rg y RL. Por tanto, si Rg/RL = 4 ó RL/Rg = 4 el resultado es el mismo. Por ello, el que nosotros utilicemos la expresión de T(0) no garantiza que la resistencia de carga sea la deseada sino que puede ser la inversa.

Una alternativa para evitar esto es usar la inversa de Ze, o lo que es lo mismo utilizar los signos inferiores en la expresión de Ze. Esto nos llevaría al siguiente circuito,

Eg

1.44311 H

0.542466 F 4 Ω

1 Ω

1.59676 F

Figura 22. Circuito inverso al de la figura 21.

Otra alternativa para solucionar el problema del circuito de la figura 21 sería intercambiar la entrada y la salida en la figura 21 y después aplicar una desnormalización de impedancias para obtener los valores de resistencia deseados. En el punto siguiente se explica más ampliamente esta opción.



5.2.2.3 Conexión inversa del filtro de doble terminación.

Esta opción lo que propone es intercambiar la entrada por la salida como se muestra en la figura 23.

Rg L-CFILTRO

RL

'eV

'gE

Figura 23. Filtro LC usado a la inversa.

En esta disposición se puede demostrar que, usando el teorema de reciprocidad, el coeficiente de transmisión directo (que hemos estado usando) y el inverso son iguales. Por tanto, las transmisiones en ambas direcciones en un filtro LC con doble terminación son idénticas y se cumple,

( ) ( )2 2

'22 g ' eL L

'L g g g

4R VV 4T j T jR E R E

ω ω= = =R

Podemos ver en esta expresión que si realizamos una desnormalización en amplitud, el coeficiente de transmisión no se ve afectado.

Como aplicación de este procedimiento podemos coger el circuito de la figura 21 e intercambiar su entrada y salida de la siguiente forma,

Eg

0.542466 H

1 Ω

1.59676 H

1.44311 F14Ω

Figura 24. Circuito de la figura 21 con la entrada y la salida intercambiada.

El siguiente paso sería desnormalizar en amplitud para conseguir que la resistencia interna del generador pasará a ser de 1 Ω. El circuito resultante se puede ver en la figura 25 donde se puede comprobar que es idéntico al ya presentado en la figura 20.



Eg

6.38703 H

4 Ω

1 Ω

2.16987 H

0.36077 F

Figura 25. Circuito de la figura 24 desnormalizado.

5.2.2.4 Ejemplo 2.

Vamos a realizar un filtro LC doblemente terminado con Rg = 1 Ω y RL = 2 Ω. Usaremos una aproximación de Chebychev paso bajo con p 0.5 dBα = y n = 2.

Del rizado en la banda de paso obtenemos , y por tanto tenemos, 2 0.122018ε =

( )( )

2

22

KT j1 0.122018C

ωω

=+

En continua nosotros queremos que,

( )( )

g l22

g L

4R R 8T 09R R

= =+

y entonces el valor de K sería,

K 8 K 0.9973501.122018 9

= ⇒ =

A partir de aquí aplicamos el método como hemos hecho hasta ahora,

( )( )

4 22

2 4 22

0.997350 0.255429j 12.298871 0.122018 2 1

ω ωρ ωω ωω

− += − =

− ++ −

( )2

2

s 0.103922s 0.505400ss 1.42562s 1.51620

ρ + +=

+ +

Para obtener Ze, si utilizamos los signos superiores tenemos,

( ) ( )( )

2

e1 s 2s 1.52955s 2.02160Z s1 s 1.32170s 1.01080

ρρ

+ + += =

− +

Si aplicamos el Preámbulo de Foster sobre esta impedancia nos queda el circuito de la figura 26.



Eg

1.51320 H

0.653789 F 2 Ω

1 Ω

Figura 26. Circuito resultante del ejemplo.

Si hubiéramos elegido los signos inferiores en la expresión Ze habríamos obtenido la expresión inversa y el circuito obtenido sería del de la figura 27.

Eg

0.653789 H

1.51320 F

1 Ω

12Ω

Figura 27. Otra posible realización.

Aplicando lo visto en el apartado anterior, sólo deberíamos intercambiar entrada y salida y desnormalizar para obtener este otro circuito.

Eg

1.30758 H

0.756600 F 2 Ω

1 Ω

Figura 28. Circuito inverso y desnormalizado respecto al de la figura 27.

Nos habría resultado el mismo circuito si a la hora de obtener ( )sρ hubiéramos elegido como numerador ( ) 2N s s 0.103922s 0.505400= − + y si también eligiéramos los signos inferiores al obtener Ze.

5.2.2.5 Ejemplo 3.

En el caso de realizar filtros que tengan rizado en la banda de paso, se ha de calcular no sólo el valor del coeficiente de transmisión en s = 0 sino también el valor máximo que puede alcanzar dicho coeficiente. Esto es así porque el rizado puede hacer que el valor de la



función suba por encima de 1, lo cual, como sabemos es imposible con filtros pasivos. Veámoslo con un ejemplo.

Queremos hacer un filtro LC de Chebychev con g

L

R3

R= , p 2 dBα = y n = 4.

El valor del coeficiente en s = 0 será,

( )( )

22

4x1x3 3T 041 3

= =+

pero resulta que el valor máximo que alcanzará la función ( ) 2T jω será,

( ) 2 0.2max

3T j x10 1.1887 14

ω = = >

Por tanto, este filtro no se puede realizar sin usar transformadores.


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