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Departamento de Ingeniería Matemática y CMM, UMR 2071 CNRS-UChile
Universidad de Chile
16 de Mayo de 2007
Carlos Conca Rosende
Charlas en la Academia Chilena de Ciencias
Los Miércoles en la Academia
Detectando Cuerpos Extraños Inmersos en un Torrente
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Problema Modelo
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Restricciones Geométricas(Sólidos Admisibles)
D al interior de Ω D convexo Complemento de D conexo Borde de D “suave”
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a
bxbax 0
cbbxcbxx 4 2
1 0 2
2,12
¿Qué es un Problema o Modelo Inverso?
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x
babax 0
bbax ax 0
Problema Inverso: Caso Lineal
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bxxccbbx
112
1 421
cxx
bcbbx 2
1
21 1
14
2
1
Problema Inverso con 1 Medición (x1)
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Luego,
2121 , xxcxxb
c bbx 42
1 22
cbbx 42
1 21
Problema Inverso con 2 Mediciones (x1, x2)
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Preguntas Relevantes (I)
Sean (V,P) los campos de velocidad y presión que alcanza el fluido en la región Ω, en presencia de un cuerpo rígido D, cuando es estimulado sobre el borde con una velocidad fija w, conocida.
Denotaremos por ∑ la presión P del fluido sobre la parte del borde dondese hacen las mediciones (m, en la figura).
Ciertamente,
∑ = ∑ (D,w)
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Preguntas Relevantes (II)
1. Identificabilidad
Se trata de estudiar propiedades de injectividad del mapeo ∑ , en particular, de responder a la pregunta:
Si ∑1 ∑2 entonces ¿ es D1 D2 ?
2. Estabilidad
Se trata de estudiar propiedades de continuidad de la inversa del mapeo ∑, en particular,
Si tenemos dos medidas ∑1 y ∑2, cercanas, entonces ¿ es D1 cercano a D2 ?
3. Reconstrucción Computacional de D, a partir de ∑
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Aplicaciones
Pareciera ser un campo ilimitado en aplicaciones; se encuentran en todas las ciencias
Imágenes médicas (técnicas no invasivas): Tomografía, Espectrografía (ultrasonido), Escaners (resonancia magnética), … Técnicas no-destructivas de evaluación de materiales y piezas de maquinaria, detección de fallas, fisuras (ciencias de los materiales) Problemas de origen industrial: Detección de fuentes de contaminación, prospecciones meteorológicas (Geofísica), … Métodos naturales y artificiales de reconocimiento de imágenes
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Elementos de Historia(Fundador de la Teoría)
Alberto P. Calderón(1920-09-14–1998-04-16)
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Equipo de Investigación
Catalina Alvarez (CMM, Universidad de Chile) Luis Friz (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán) Otared Kavian (Universidad de Versailles) Rodrigo Lecaros (IM2; doctorando DIM) Jaime Ortega (Universidad del Bío-Bío; sede Chillán)
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Experiencias de Laboratorio
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Teorema Principal
Teorema (Identificabilidad)
Sea Ω un región acotada en 2 o 3 dimensiones espaciales, y sean D1, D2, dos cuerpos rígidos admisibles. Denote ∑1 (resp., ∑2) la presión del fluido medida sobre m, en presencia del cuerpo D1 (resp., D2). Luego,
Si ∑1 = ∑2 entonces D1=D2
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Reconstrucción Numérica de Cuerpos Esféricos y Elipsoidales
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Caso de un Cuerpo Esférico
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Caso de un Cuerpo Elipsoidal
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Generalizaciones
Varios cuerpos Régimen no-estacionario, de evolución Colisiones (con el borde, entre cuerpos)
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Kiss & Go
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Mickey’s Reconstruction
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