departamento de ingenierÍa quÍmica facultad de …
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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
PROYECTO DE GRADO
DISEÑO ÓPTIMO DE LA COMPOSICIÓN Y FORMULACIÓN DE
UN CHAMPÚ DE ALOE VERA TENIENDO EN CUENTA LAS
PREFERENCIAS DEL MERCADO
Presentada a la Universidad de los Andes para optar por el título de Ingeniero Químico
Documento Final
Elaborada por: MATEO MARTÍNEZ GALVIS
NOVIEMBRE 2017
2
TABLA DE CONTENIDO
1. Introducción ............................................................................................................ 3
2. Estado del arte ......................................................................................................... 4
3. Formulación ............................................................................................................ 5
3.1 Modelo de preferencia del consumidor ................................................................ 6
3.2 Formulación del producto................................................................................... 6
3.3 Propiedades del producto ................................................................................... 8
3.3.1 Capacidad de limpieza y prevención de cabello graso ..................................... 8
3.3.2 Textura y comodidad de uso ...................................................................... 10
3.3.3 Acondicionamiento del cabello .................................................................. 11
3.3.4 Aditivos .................................................................................................. 13
3.3.5 Irritabilidad ............................................................................................. 13
3.3.6 Altura y multiplicidad de la espuma ........................................................... 14
3.4 Modelo de precio y demanda ............................................................................ 17
3.5 Modelo de rentabilidad .................................................................................... 17
3.6 Conjuntos ....................................................................................................... 18
3.7 Lista de Parámetros ......................................................................................... 19
3.8 Lista de Variables ........................................................................................... 20
3.9 Restricciones .................................................................................................. 21
3.10 Función Objetivo ............................................................................................ 22
4. Estrategia de resolución .......................................................................................... 22
5. Análisis de resultados ............................................................................................. 25
6. Conclusiones y perspectivas .................................................................................... 28
7. Bibliografía........................................................................................................... 30
8. Anexos ................................................................................................................. 32
3
_____________________________________________________________________________
RESUMEN: El presente trabajo está enfocado en encontrar una formulación y composición
óptima de un champú teniendo en cuenta como ingrediente principal el Aloe Vera. La
metodología propuesta pretende proporcionar una estrategia de resolución por medio de las
distintas propiedades que puede otorgar un champú. Además, dentro de la optimización se tiene
en cuenta un modelo económico de oferta y demanda, el cual relaciona la preferencia del
consumidor con las propiedades propuestas y el valor de producción del champú. Finalmente, se
estima las utilidades del producto en el mercado realizando una proyección a futuro de 10 años.
Al resolver el problema de optimización se obtuvo una formulación óptima del producto con una
preferencia del consumidor del 67.09% y un valor presente neto con una tasa de oportunidad del
5% de $COP 15’999’546’686’089,8.
______________________________________________________________________
1. INTRODUCCIÓN
El diseño de productos es el procedimiento mediante el cual las necesidades del cliente
se identifican y se traducen en productos comerciales. Así mismo, representa un foco
importante de la industria química actual, debido al cambio de estilo en la gestión y
estructura llegando a alcanzar un enfoque más integrado de los productos [1]. Se ha
llegado a avances en la eficiencia, la calidad de diseño y fabricación del producto
mediante la aplicación de métodos de optimización y tecnologías relacionadas [2]. El
objetivo del diseño óptimo de productos es encontrar un óptimo balance entre utilidad y
economía, proporcionando mercados de calidad que cumplan con las funciones,
propiedades y características que requiere el consumidor. Por tal motivo, el costo de
fabricar el producto debe ser bajo y el desarrollo debe ser rápido para satisfacer las
necesidades del mercado [3]. Las propiedades de un producto pueden dividirse en dos
tipos: En primer lugar están las propiedades de diseño que corresponden a los valores que
los clientes requieren para el producto. En segundo lugar están las propiedades de
fabricación que pertenecen a los procesos utilizados cuando se producen productos que
incorporan las propiedades de diseño deseadas [2].
En el presente artículo se propone un diseño óptimo de un producto cosmético y de
higiene personal, en este caso un champú con aloe vera. La principal función de este
producto es proporcionar un lavado, tanto del pelo como del cuero cabelludo. Por lo tanto,
se elimina el sebo acumulado, restos de cuero cabelludo y residuos de preparaciones para
el cuidado del cabello por medio de soluciones acuosas o emulsiones. La mayoría se
formulan como una mezcla de tensioactivos (sintéticos o naturales) como agentes
limpiadores, espumantes, otros excipientes (agentes de controles de la viscosidad,
conservantes, etc.) e ingredientes activos que ayudan al cuidado del cabello [4].
Los productos con alore vera se utilizan principalmente en la industria de cosméticos,
farmacéuticos y de comida. Hoy en día, es un ingrediente activo en cientos de lociones
para la piel, bloqueadores y cosméticos, como champús y acondicionadores [5]. Contiene
más de 75 nutrientes y 200 compuestos activos, incluyendo vitaminas, enzimas,
minerales, azucares, siliconas, ácido salicílico y aminoácidos. Numerosos estudios sobre
el aloe vera demuestran sus propiedades analgésicas, antivirales, antibacterianas y anti
fúngicas [5]
4
Para lograr el diseño óptimo del champú se utiliza la metodología propuesta por
Bagajewicz [6] que tiene en cuenta la microeconomía del producto. El aspecto más
importante de este modelo es la confirmación y cuantificación del hecho de que el mejor
producto, desde el punto de vista del consumidor, no siempre es el más rentable. Se llega
a lo anterior a partir de la relación de la calidad del producto, tal como es percibida por el
cliente, y el beneficio [6]. La principal ventaja de esta metodología radica en que tal
beneficio económico se maximiza, teniendo en cuenta la competencia y precios del
mercado ligadas a las preferencias del consumidor. Esta relación permite definir los
parámetros de diseño del producto para llegar a la satisfacción de un cliente en un punto
donde no se incurran en costos demasiado altos.
El artículo inicia con una revisión bibliográfica sobre diseño de productos. Posteriormente
se propone una formulación específica para el diseño óptimo del champú con aloe vera,
definiendo los conjuntos, parámetros, restricciones, variables y la función objetivo.
Continua por la estrategia de resolución del problema de optimización para finalmente
presentar un análisis de los resultados del diseño óptimo de productos para el caso
estudiado.
2. ESTADO DEL ARTE
En este capítulo se discute el diseño óptimo de un producto para posteriormente plantear
el diseño óptimo de un champú de aloe vera teniendo en cuenta las preferencias del
mercado. Es decir, se quiere determinar la formulación y composición de un champú con
aloe vera como ingrediente, a través de un modelo de optimización que busque maximizar
la rentabilidad del producto. Con base a lo anterior, se plantearon los siguientes objetivos
específicos.
Establecer la formulación y la composición de los componentes sobre los cuales
se desea trabajar en el champú, considerando las restricciones de salud y su
funcionalidad dentro del producto.
Plantear un modelo matemático que relacione la formulación del champú con las
preferencias del consumidor, las propiedades del producto con respecto a la
cantidad de cada componente dentro del producto y el costo de producción.
Resolver el modelo de optimización planteado teniendo en cuenta un modelo
microeconómico que relaciona la preferencia del consumidor con la composición
del champú. Así mismo, analizar este modelo y plantear si la solución es un
óptimo global o local.
En total fueron encontrados 31 documentos relacionados con el tema de investigación.
Los más relevantes se presentan el Anexo 1: Recopilación de los trabajos relacionados
con el diseño de producto. Estos textos pueden ser agrupados, con base a las
características de cada documento, según las siguientes tres temáticas:
Características acerca del diseño óptimo de productos.
Estimación y características de cada propiedad del champú, principales
ingredientes presentes y aporte de propiedades dentro del producto.
Metodología que permite relacionar las preferencias del consumidor con los
costos asociados a la fabricación.
5
En primer lugar se encuentran las referencias asociados al diseño óptimo de productos.
Estas tratan sobre la integración de las propiedades sensoriales de los productos con las
preferencias del consumidor, utilizando diversas herramientas como la estadística y la
teoría de decisión. En segundo lugar se tienen los estudios relacionados a la estimación
de las propiedades del champú y sus ingredientes. Se caracterizan por mostrar los
principales ingredientes, dentro de un champú, y que propiedades aportan.
Adicionalmente, se cuantifican las propiedades del producto teniendo en cuenta la
formulación propuesta. Finalmente, se encuentran los documentos que describen la
metodología para el diseño óptimo de productos y que permiten tomar las preferencias de
los consumidores sobre un producto, relacionándolas directamente con la formulación del
producto dentro de un mismo modelo de mercado.
Entre todos los documentos encontrados, vale la pena resaltar el artículo “Computer-
Aided Methods and Tools for Chemical Product Design” de Rafiqul Gani donde se
establece las alternativas que involucran el diseño de un producto químico. Estas
requieren de distintas herramientas y métodos numéricos para que el diseño de productos
se pueda realizar de una manera más eficiente. La más conocida es llamada CAMD
(Computer-aided molecular design), técnica fundamental para estimar las propiedades
del producto por medio de su composición [7].
El artículo “Product Design: -a case study of slow-Release – Carpet
Deodorizers/Disinfectants” – de Carrie Street, Justin Woody, Jaime Ardila, Miguel
Bagajewicz- propone realizar una conexión entre las preferencias de los consumidores en
diferentes mercados, las limitaciones de la cadena de suministros a las características del
producto. A esta conexión se le añade un modelo de precio y demanda para maximizar el
beneficio cambiando simultáneamente las características del producto en cada mercado
[8]. El articulo previamente mencionado se relaciona con la metodología propuesta en el
artículo “On the role of microeconomics, Planning, and Finances in Product Design” –
de Miguel Bagajewicz- [6].
Con base en la literatura encontrada es posible establecer que para el estudio de este tema
es importante tener presente las propiedades y la cualidad que aporta cada ingrediente
dentro del producto junto con las preferencias del consumidor ligadas a las características
del mercado (precios, competencia). La metodología más idónea para su estudio es la
impuesta por Miguel Bagajewicz en su artículo “On the role of microeconomics,
Planning, and Finances in Product Design” [6].
3. FORMULACIÓN
En la presente sección se establece la formulación del problema de optimización, donde
se definen los conjuntos, parámetros, variables, restricciones y función objetivo. Para
esto, se introduce la función de cada ingrediente dentro del producto y así saber que
propiedad es afectada. Luego, se cuantifica cada propiedad donde se relaciona con la
preferencia del consumidor para obtener un puntaje total de preferencia. Por último, se
establece el modelo de preferencia del consumidor, el modelo de precio y demanda y el
modelo de rentabilidad.
6
3.1 MODELO DE PREFERENCIA DEL CONSUMIDOR Las propiedades más significativas para los consumidores a la hora de seleccionar un producto,
deben ser identificadas junto con su porcentaje en peso, de esta manera se logra construir una
función de preferencia del consumidor para el producto. El modelo de preferencia del consumidor
se resume como la combinación lineal de las preferencias individuales de cada propiedad,
ponderadas por el porcentaje en peso de cada ingrediente presente en la propiedad. Lo anterior se
observa en la ecuación 1 el modelo propuesto por Bagajewicz [6].
𝐻1(𝑥) = ∑ 𝑤𝑗 ∗ ℎ𝑗
𝑛
𝑗=1
(𝑥)
(1)
Donde 𝐻 corresponde al puntaje de preferencia total obtenido por medio de todas las propiedades.
𝑤𝑗 Es la suma de las composiciones másicas de los ingredientes por cada propiedad. ℎ𝑗 es la
preferencia del cliente obtenida de cada propiedad del producto. Esta última es estimada para cada
propiedad y deben ser relacionadas mínimo con un componente del producto.
3.2 FORMULACIÓN DEL PRODUCTO El champú está conformado por distintos tipos de ingredientes, los cuales proporcionan
distintas propiedades que tienen como objetivo satisfacer al consumidor. Los ingredientes
más comunes que se pueden encontrar en la formulación de un champú son los siguientes
[9]:
Surfactantes primarios para la limpieza y creación de espuma
Componentes que afectan la viscosidad
Solventes o hidrótopos capaces de clarificar el producto o disminuir el punto de
turbidez
Agentes acondicionadores
Colores y fragancias
Preservativos
Aditivos anticaspa
Además, el producto se debe formular bajo varias restricciones de salud debido al
contacto con el cuero cabelludo. Estas limitaciones incluyen baja toxicidad, bajo
potencial de sensibilización, y bajo potencial de irritación de la piel y los ojos [10].
A continuación, en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se encuentra
la formulación seleccionada del champú resaltando el ingrediente Aloe Vera.
7
Tabla 1: Formulación de un champú de Aloe Vera
Ingredientes (abreviación) Porcentaje
en peso
• Lauril éter sulfato de sodio (LSS) 0 a 11%
• Lauril éter sulfato de amonio
(LSA)
0 a 5%
• Cloruro de sodio (NaCl) 0 a 1.2%
• Cocamida DEA (DEA) 0 a 3.5%
• Aloe vera (AV) 0 a 5%
• Hidroxietilcelulosa (HDX) 0 a 3%
• Pantenol (PTL) 0 a 3%
• Tocoferol (TCL) 0 a 3%
• Propilenglicol (PPG) 0 a 3%
•Ácido etilendiaminotetraacético
(EDTA) 1 a 2%
• Sulfuro de Selenio (SS) 0 a 1%
Agua Hasta
100%
Los componentes aniónicos son los ingredientes principales de un champú, debido a su
capacidad de detergencia y formación espuma. Por lo general, los surfactantes que más
se utilizan son los aniónicos, que cuentan con una parte hidrofílica -la cual contiene una
carga negativa que ayuda a la producción de espuma y eficiencia en la limpieza-. En este
caso se utilizarán dos surfactantes aniónicos, los cuales son lauril éter sulfato de sodio y
lauril éter sulfato de amonio [11].
Conjuntamente, están los componentes que afectan a la textura del producto, o en otras
palabras su viscosidad. Estos componentes juegan un papel importante en la definición y
control de muchos atributos, tales como la estabilidad de la mezcla, la vida útil y la
estética del producto (como la facilidad de flujo y la consistencia dentro del empaque y
la capacidad de propagación del champú en el cabello) [4]. Los ingredientes que más
afectan la textura del producto y regulan la viscosidad del champú son: aloe vera, cloruro
de sodio, la hidroxietilcelulosa y la cocamida DEA [10]. La interacción entre estos
componentes y los surfactantes transforman las pequeñas micelas esféricas de los
tensoactivos en estructuras más complejas de tipo cristalino, las cuales son capaces de
aumentar la viscosidad del champú [9].
Un ingrediente importante dentro de la formulación es el aloe vera, que actúa como agente
acondicionador evitando el uso de más surfactantes, que pueden ser nocivos para la salud.
Además, es considerado multifuncional ya que posee un conjunto de propiedades como
el acondicionamiento del cabello, la capacidad de añadir brillo, protección del color y el
daño causado por el calor [12]. Este componente actúa como silicona lubricante en
8
cualquier producto cosmético relacionado al cuidado del pelo, debido a que no son
irritantes ni tóxicos [12]. Sin embargo, el efecto acondicionador en el cabello suele ser
afectado por la presencia de un catión. Para este caso se escogió como catión el ácido
etilendiaminotetraacetico (a partir de ahora llamado EDTA), el cual actúa como una
sustancia quelante o un “secuestrador” de metales pesados a través de sus ligandos [13].
Por último se encuentran los aditivos del champú, que son componentes cuyo objetivo es
mejorar las propiedades sensoriales o adicionar distintas funciones al champú. Dentro de
los aditivos se encuentran la fragancia y el color los cuales son un aditivo sensorial [10].
El otro aditivo es el anti caspa que actúa como un agente reductor de lípidos en el cuero
cabelludo disminuyendo la producción de caspa [11].
3.3 PROPIEDADES DEL PRODUCTO A continuación se muestra la lista de propiedades del champú. En cada una de estas, se
utiliza la composición de los ingredientes y además, se muestra la preferencia del cliente
frente a la propiedad.
3.3.1 Capacidad de limpieza y prevención de cabello graso
Dentro de los ingredientes que se encuentran en esta propiedad se tienen los dos
principales surfactantes del champú propuesto:
Lauril éter sulfato de sodio
Lauril éter sulfato de amonio
Entre mayor concentración de surfactantes exista mayor capacidad de limpieza y
prevención de cabello graso. Sin embargo, para saber el poder de detergencia de los
surfactantes se requiere saber la tensión superficial de estos, para luego, encontrar la
tensión superficial de la mezcla. Se define tensión superficial a la energía necesaria para
aumentar su superficie por unidad de área [14].
Se utiliza la ecuación 2 para determinar Π𝑖 que corresponde a la tensión superficial de
cada surfactante [J/m2] [14]
Π𝑖 =𝑅𝑇
𝜔ln (1 + 𝑏 ∗ 𝑥𝑖)
(2)
Dónde 𝑅 es la constante de los gases J.mol/K; 𝑇 es la temperatura en Kelvin; 𝜔 es el área
molar de los surfactantes en unidades m2/mol, se utiliza 1e5 para todos los componentes
aniónicos [14]; 𝑏 es la constante de adsorción en el equilibrio [15]; 𝑥𝑖 es la concentración
másica del surfactante en la solución. Paso seguido se adimensionaliza la ecuación 2 para
llegar a la ecuación 3:
Π𝑖̅̅ ̅ = Π𝑖𝜔/(𝑅𝑇)
(3)
Luego se halla la tensión superficial de la mezcla utilizando la ecuación 4:
exp Π̅𝑚 = exp Π̅𝐿𝑆𝑆 + exp Π̅𝐿𝑆𝐴 − 1
(4)
Donde se utiliza el término adimensional de los dos surfactantes principales, Lauril éter
sulfato de sodio (LSS) y Lauril éter sulfato de amonio (LSA).
9
Π𝑚 = 𝛾0 − 𝛾 (5)
La ecuación 5 define la tensión superficial [J/m2] o reducción de la tensión superficial
causada por los surfactantes en el agua, donde 𝛾0 es la tensión superficial del agua con un
valor de 0,0728 J/m2 y 𝛾 es la tensión superficial de los surfactantes.
Entre mayor sea la reducción de la tensión superficial, mayor porcentaje de detergencia
existe en el champú. Si la mezcla de surfactantes es capaz de reducir la tensión superficial
hasta 0,04 J/m2 de la tensión superficial del agua se puede considerar un poder de
detergencia máximo [4]. Este comportamiento se observa en la Ilustración 1 los cuales se
obtienen los datos de la ecuación 6 [4].
Ilustración 1: Porcentaje de detergencia vs Reducción superficial
%𝐷𝑒𝑡 = 7309,6 ∗ Π𝑚3 − 1082,5 ∗ Π𝑚
2 + 54,108 ∗ Π𝑚 + 0,0133
(6)
Por otro lado la Ilustración 2 muestra la relación entre la preferencia del consumidor y el
porcentaje de detergencia del producto. Debido a que la detergencia es uno de los factores
más importantes del producto, se establece una relación proporcional entre el porcentaje
de detergencia y la preferencia del consumidor [16]. Por tal motivo el modelo utilizado
en la ecuación 7 se estima a partir de un comportamiento lineal entre estas dos variables
mencionadas anteriormente.
Ilustración 2: Preferencia del consumidor vs Porcentaje de detergencia
ℎ(%𝐷𝑒𝑡) = 1,0267 ∗ (%𝐷𝑒𝑡) − 0,0137
(7)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 0,02 0,04 0,06 0,08
Porc
enta
je d
e d
ete
rgencia
Reduccion superficial (J/m2)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0% 50% 100%
Pre
fere
ncia
Porcentaje de detergencia
10
3.3.2 Textura y comodidad de uso
La opinión de los consumidores suele ser influenciada por la viscosidad del producto.
Debido a esto, el producto debe ser aplicado y distribuido fácilmente a través del pelo. En
términos reológicos, los champús y acondicionadores caen dentro de una categoría de
líquidos denominada "adelgazamiento por cizallamiento", donde la aplicación de fuerzas
de cizallamiento (por ejemplo, frotamiento) produce una disminución de la viscosidad.
Un buen champú debe tener una viscosidad adecuada, tal que, sea fácil retirar el producto
de la botella, y, además, que tenga la capacidad de no dejar deslizar el producto del cabello
[17] .
Se utilizan las ecuaciones 8, 9 y 10 para estima la viscosidad de una mezcla [18].
𝑉𝐵𝑁𝑖 = 14,534 ∗ 𝐿𝑛(ln(𝜇𝑖 + 0,8)) + 10,975
(8)
𝑉𝐵𝑁𝑚 = ∑(𝑥𝑖 ∗ 𝑉𝐵𝑁𝑖)
𝑛
𝑖=1
(9)
𝜇𝑚 = exp (exp (𝑉𝐵𝑁𝑚 − 10,975
14,534)) − 0,8
(10)
Donde 𝑉𝐵𝑁𝑖 y 𝑉𝐵𝑁𝑚 se refiere a viscosity blending number del componente 𝑖 y de la
mezcla respectivamente; 𝜇𝑖 y 𝜇𝑚 son las viscosidades de cada componente involucrado
y de la mezcla [cP]. Cabe resaltar que las ecuación 8 no presenta unidades debido a la uso
del logaritmo natural de la viscosidad.
Con base a lo anterior, se establece la preferencia del cliente con una ecuación polinómica
de segundo orden (ecuación 11). Si la viscosidad del producto no supera los 1000cP, la
preferencia del consumidor será baja, por otra parte, si esta supera los 1250cP la
preferencia del cliente aumentará. El producto presenta fácil deslizamiento hacia los ojos
en valores por debajo de 1250 cP, por tal motivo, no se consideran valores apropiados
para la viscosidad de un champú [11].
Ilustración 3: Preferencia del consumidor vs viscosidad de la mezcla
ℎ(𝜇𝑚) = 1𝑒−8 ∗ 𝜇𝑚2 + 2𝑒−4 ∗ 𝜇𝑚 + 0,0557
(11)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 2000 4000 6000 8000 10000
Pre
fere
ncia
Viscosidad mezcla (cP)
11
3.3.3 Acondicionamiento del cabello
Las funciones de acondicionamiento se han vuelto aún más importantes debido a que
aumentan la capacidad de peinado del champú con el uso de siliconas, polímeros
catiónicos e ingredientes con base natural. La facilidad de peinado depende
principalmente de la lubricación de la superficie de la fibra debido a la unión de
ingredientes lubricantes o acondicionadores sobre la superficie del cabello. Por lo tanto,
las interacciones más importantes son las que se producen cerca de la superficie de la
fibra o cerca de las primeras capas de cutícula. [9]
Para saber que tanta capacidad de peinado posee un champú es necesario cuánta aloe vera
es depositada en el cabello y si está en presencia de un catión. El uso de cationes favorece
la adsorción presente en el cabello debido a la atracción electroestática entre el carácter
aniónico de la fibra capilar y la molécula cargada positivamente (catión). Se utiliza el
compuesto EDTA debido a que posee la estructura de un catión de amonio cuaternario,
NR4+ donde R representa un grupo alquilo o un grupo arilo.
Por otra parte, se utilizará el componente aloe vera como principal componente
acondicionador debido a que aporta distintas funciones estéticas, es decir, no cambia la
estructura del cabello sino que dotan características sensoriales y visuales como la
peinabilidad, el acondicionamiento y la hidrofobicidad [19].
En la Ilustración 4 se observa la relación entre la cantidad de aloe vera depositada y el
porcentaje en peso del agente acondicionador. Debido a la presencia del componente
EDTA, la cantidad del agente acondicionador en el pelo se duplica [20].
Ilustración 4: Cantidad silicona depositada en presencia de un catión
La ecuación 12 presenta la función para determinar la cantidad de aloe vera depositada
en el cabello (𝐶. 𝐴. 𝐷) teniendo en cuenta la composición másica del aloe vera en el
champú 𝑥𝐴𝑉.
𝐶. 𝐴. 𝐷 = 3,333 ∗ 𝑥𝐴𝑉 + 33,3333
(12)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Cantidad a
loe v
era
depositada (
mg/ g
pelo
)
% peso aloe vera
12
Además, esta cantidad depositada en el cabello se relaciona directamente con el
coeficiente de fricción cinético (Ilustración 5). Si el valor de este coeficiente disminuye
significa que no va a haber deslizamiento [12] . La ecuación 13 relaciona el coeficiente
de fricción cinético con la cantidad de silicona depositada.
Ilustración 5: Coeficiente de fricción cinético vs Cantidad de silicona depositada
𝐶𝐹𝐶 = 0,182 ∗ 𝐶. 𝐴. 𝐷−0,093
(13)
Finalmente, los consumidores esperan productos con beneficios percibibles de
acondicionamiento, efectos sensoriales superiores, adaptación de los componentes en el
cabello, lo cual se relaciona con la cantidad de silicona depositada. Además de seguir
tendencia de la moda, los consumidores están interesados en la seguridad del producto.
Por eso, las siliconas han sido utilizados en una gama de productos para el cuidado del
cabello desde la década de 1970, y son estables e inertes bajo condiciones para las
aplicaciones previstas [21]. Por tal motivo, entre menor sea el valor del coeficiente, mayor
será la preferencia del cliente ( Ilustración 6). La ecuación 14 se obtiene de la tendencia
de los datos mostrados en la Ilustración 6.
Ilustración 6: Preferencia consumidor vs Coeficiente de fricción cinético
ℎ(𝐶𝐹𝐶) = −5.6633 ∗ 𝐶𝐹𝐶 + 1.3079
(14)
0,08
0,10
0,12
0,14
0,00 200,00 400,00 600,00 800,00
Coeficie
nte
de f
ricció
n
cin
ético
Cantidad aloe vera depositada (mg/g pelo)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
Pre
fere
ncia
clie
nte
Coef fricc cinet
13
3.3.4 Aditivos
Teniendo en cuenta que el uso de aditivos no es obligatorio, se definen tres variables
binarias que determinan la presencia de los aditivos en el champú. Los aditivos serán:
Aditivo anticaspa
Aditivo fragancia
Aditivo color
El componente que se utilizará en el aditivo anticaspa será sulfuro de selenio. Este
funciona como agente anti fúngico o antimicótico para el tratamiento de la caspa [17].
Como las variables que se manejarán serán binarias, la preferencia del consumidor será
de 100% si el champú contiene color, fragancia y anti caspa. Se presenta la ecuación 15
con la preferencia del cliente en función de las tres variables de decisión:
ℎ(𝑦𝑎𝑐, 𝑦𝑐𝑜𝑙, 𝑦𝑓𝑟𝑎𝑔) = (𝑦𝑎𝑐 + 𝑦𝑐𝑜𝑙 + 𝑦𝑓𝑟𝑎𝑔) ∗ 0,3333
(15)
3.3.5 Irritabilidad
Los champús son productos que entran en contacto con el cuero cabelludo debido a su
mecanismo de limpieza, por tal motivo deben tener restricciones sanitarias que no afecten
la salud del consumidor. Estas limitaciones incluyen lo siguiente: Los ingredientes deben
ser seguros, requiriendo baja toxicidad, bajo potencial de sensibilización y bajo potencial
de irritación de la piel y los ojos. Para este estudio se tiene en cuenta la irritación de los
ojos y la irritación de la piel [9]. Para la irritación de los ojos los componentes que pueden
ser perjudiciales son:
Lauril éter sulfato de sodio
Lauril éter sulfato de amonio
Por otro lado, los ingredientes que pueden causar irritación en la piel pueden ser:
DEA cocamide
Pantenol
Tocoferol
Cloruro de sodio
Hidroxietilcelulosa
Propilenglicol
EDTA
Para calcular la irritación total del champú 𝐼𝑚 basta con tomar la constante de irritación
del compuesto 𝐼𝑖 y multiplicarlo por su concentración másica 𝑥𝑖 [22] (Ecuación 16).
𝐼𝑚 = ∑ 𝑥𝑖 ∗ 𝐼𝑖
𝑛
𝑖=1
(16)
Los límites de irritabilidad de un champú se encuentran entre 0 y 2,22 mientras que en el
ojo se encuentra un valor máximo permitido de 295, debido a su sensibilidad [12]. De lo
anterior se deduce que entre menos sea el índice de irritabilidad del producto mayor será
14
la preferencia del consumidor [9] . En la Ilustración 7 e Ilustración 8 se encuentra el
comportamiento de la preferencia del consumidor con respecto a los índices de
irritabilidad de los ojos y la piel. Las ecuaciones 17 y 18 se estiman a partir de la tendencia
de los datos en las ilustraciones.
Ilustración 7: Preferencia consumidor vs Índice irritabilidad piel
ℎ(𝐼𝑚,𝑝𝑖𝑒𝑙) = 0.4256 ∗ 𝐼𝑚,𝑝𝑖𝑒𝑙 + 1.0631
(17)
Ilustración 8: Preferencia vs Índice irritabilidad ojos
ℎ(𝐼𝑚,𝑜𝑗𝑜𝑠) = −0.0029 ∗ 𝐼(𝑚,𝑜𝑗𝑜𝑠) + 1.0038
(18)
3.3.6 Altura y multiplicidad de la espuma
El potencial de espumaje del producto no influye directamente en el comportamiento
físico de las fibras capilares. Sin embargo, La cantidad de espuma producida es uno de
los criterios que los consumidores usan para evaluar que tan bueno es el producto [23].
La espuma se produce cuando se introduce aire por debajo de una superficie líquida y se
expande para encerrar el aire con una pequeña película de líquido. Esta película debe ser
elástica para producir una espuma que retarde la pérdida de aire que producen los choques
mecánicos de distintos componentes presentes [9].
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Pre
fere
ncia
clie
nte
Índice irritabilidad (piel)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 50 100 150 200 250 300
Pre
fere
ncia
clie
nte
Índice irritabilidad (ojo)
15
Ingredientes que forman parte de esta propiedad:
Lauril éter sulfato de sodio
Lauril éter sulfato de sodio
Se consideran dos distintas cualidades de la espuma para este caso.
Altura de la espuma: las ecuaciones 19, 20 y 21 muestran el procedimiento para
encontrar la altura de la espuma
𝐻𝑜 =0.78 × 10−2 × (
𝜎𝜌𝑙
)2
𝑟3
(19)
𝑟 = 0.367 × 10−3Γ0.125 (20)
Γ =Π𝑖
𝐶𝑀𝐶
(21)
Donde 𝐻𝑜 representa la altura de la espuma [m]; 𝑟 corresponde al radio de la curvatura
de los canales capilares del pelo [m]; 𝜎 corresponde a la tensión superficial de los
componentes [N.m-1]; Γ representa la concentración de los surfactantes en la capa de
adsorción [kg.m-2], CMC es la concentración crítica de micela [kmol.m-3] y por último
𝜌𝑙 corresponde a la densidad del surfactante en fase líquida [kg.m-3] [24].
Se define CMC como la mínima concentración del surfactante a partir de la cual se forman
micelas espontáneamente en una disolución. Las micelas, son el conjunto de moléculas
que constituye una de las fases de los coloides. Se refiere al mecanismo por el cual el
jabón solubiliza las moléculas insolubles en agua, como las grasas [25].
Para calcular la concentración crítica de micela es necesario hacer uso de la ecuación 22
la cual relaciona distintas propiedades de componentes surfactantes [25].
𝐿𝑜𝑔10𝐶𝑀𝐶 = 1.89 − 0.0697 𝑁𝑡 − 0.0323 𝜐 + 0.381 𝑄𝑐𝑚𝑎𝑥
(22)
Dónde 𝑁𝑡 es el número total de átomos presentes en el surfactante, 𝜐 es el momento
dipolo y 𝑄𝑐𝑚𝑎𝑥 representa las cargas atómicas máximas netas sobre el átomo de carbono
Multiplicidad de la espuma
𝑀𝐹 = 1 + 0.0764𝜎
𝜌𝑙 𝑟2
(23)
La ecuación 23 muestra la multiplicidad [m.s-2] como la relación entre el volumen inicial
de la espuma y el volumen de la disolución gastada para la creación de la espuma [24].
Por último, se obtiene la gráfica de preferencia vs multiplicidad de la espuma y altura de
la espuma. Para la ilustración 9 se tuvo en cuenta el siguiente rango:
Multiplicidad baja (𝑀𝐹 <30)
Multiplicidad media (30< 𝑀𝐹 <200)
Multiplicidad alta (𝑀𝐹 >200)
16
Sin embargo, las soluciones acuosas de champú con composición de ácidos grasos con
surfactantes C12 a C18 generalmente están en el rango de multiplicidad baja [24]. Por tal
motivo se obtiene que a mayor multiplicidad de la espuma mayor preferencia del
consumidor teniendo un valor máximo de 30. Posteriormente, la ecuación 24 muestra la
función según el comportamiento de los datos obtenidos.
Ilustración 9: Preferencia consumidor vs Multiplicidad de la espuma
ℎ(𝑀𝐹) = 0.0314 ∗ 𝑀𝐹 + 0.0286
(24)
La Ilustración 10 muestra la relación entre la preferencia del consumidor y la altura de la
espuma. Se realizó el comportamiento de esta preferencia con base a un estudio en el cual
se tienen 5 muestras distintas de champú, cada muestra con una altura de espuma
diferente. Al final, la muestra con mayor altura de espuma fue seleccionada como la
preferida entre los consumidores. Por tal razón, se espera obtener una preferencia alta por
parte del consumidor siempre y cuando la altura de la espuma aumente [26]. La ecuación
25 muestra el comportamiento de la preferencia del cliente en función de la altura de la
espuma.
Ilustración 10: Preferencia del consumidor vs altura de la espuma
ℎ(𝐻𝑜) = −0,0053 ∗ 𝐻𝑜3 + 0,1348 ∗ 𝐻𝑜
2 − 0,7871 ∗ 𝐻𝑜 + 0,00002
(25)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 5 10 15 20 25 30 35
Pre
fere
ncia
del clie
nte
Multiplicidad [m.s-2]
0%
20%
40%
60%
80%
100%
9 10 11 12 13 14
Pre
fere
ncia
del clie
nte
Altura espuma (mm)
17
3.4 MODELO DE PRECIO Y DEMANDA En las ecuación 26 y 27 se observa el modelo de mercado a utilizar según la bibliografía
[6].
𝑝1𝑑1 = (𝛼
𝛽)
𝜌
𝑝2 (𝑌 − 𝑝1𝑑1
𝑝2)
1−𝜌
𝑑1𝜌
(26)
𝛽 =𝐻2
𝐻1
(27)
Donde 𝑝1 y 𝑝2 son los precios del producto nuevo y del competidor. 𝛽 es la razón entre
el puntaje de preferencia de la competencia 𝐻2 y el nuevo producto 𝐻1. 𝛼 es la constante
de reconocimiento del producto con un valor fijo de 0.5; 𝜌 es la constante de elasticidad
con un valor fijo de 1. Estos dos últimos valores dependen de la estrategia del marketing
de la empresa y las interacciones del mercado las cuales no se tocan en el presente estudio.
𝑑1 Corresponde a la demanda del nuevo producto; 𝑌 es el presupuesto del consumidor en
el mercado. Se eligió como producto competidor un champú acondicionador,
comúnmente conocido como champú 2 en 1 teniendo una preferencia por parte del
consumidor de 39.16%, una demanda de 3,047,757.99 unidades a un precio COP
4,776.99 [27].
3.5 MODELO DE RENTABILIDAD En el modelo de rentabilidad se asocian los costos de producción del producto con los
ingresos generados teniendo en cuenta una inversión inicial y estableciendo un panorama
de 10 años. La ecuación 28 muestra los costos asociados a la compra de los ingredientes
𝐶𝑐:
𝐶𝑐 = 𝑑1 ∑ 𝑚𝑖𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
(28)
Donde 𝑑1es la demanda del producto, 𝑚𝑖 es la cantidad de cada ingrediente en [Kg] y 𝐶𝑖
es el costo asociado a cada ingrediente [COP]. La utilidad del producto se muestra en la
ecuación 32:
𝑈 = 𝑑1𝑝1 − 𝐶𝑐
(29)
La inversión inicial del proceso corresponde a la compra de un agitador de turbina. Este
es preferible para aplicaciones que involucran mezcla de líquidos miscibles e inmiscibles
y mejoran la transferencia de calor hacia o desde un líquido en un tanque con chaqueta
de calentamiento. Para este trabajo se realizara la inversión inicial en un agitador con
tanque cerrado, se estima el costo utilizando la ecuación 30 [28].
𝐶𝑖𝑛𝑣 = 3,290 ∗ 𝑃0,54
(30)
18
Para estimar la potencia requerida del mezclador se utiliza la correlación mostrada en la
ecuación 31 donde corresponde a valores típicos de requerimiento de potencia para
turbinas basadas en el volumen del fluido contenido en tanques o recipientes [28].
𝑃 = (1,5
1000 𝑔𝑎𝑙) 𝑉𝑓 ∗ 0,75
(31)
Donde 𝑉𝑓 corresponde al flujo volumétrico de producción del champú [gal/día] y la
constante 0,75 corresponde a la conversión de unidades, hP a kWh. Se establece un flujo
másico de 1000 galones/día. Por último, se realiza una proyección a 10 años con un interés
anual del 5% utilizando la ecuación del VPN (Valor presente neto).
𝑉𝑃𝑁 = ∑𝑈
(1 + 𝑖𝑛𝑡)𝑎
10
𝑎=1
− 𝐶𝑖𝑛𝑣
(32)
El valor presente neto es uno de los métodos más conocidos a la hora de evaluar un
proyecto a largo plazo. Permite determinar si una inversión cumple con el objetivo
básico financiero, maximizar la inversión.
3.6 CONJUNTOS Los conjuntos dentro del problema de optimización son los siguientes:
Conjunto que contiene los componentes del producto junto con los aditivos:
color (CL), fragancia (FR) y anticaspa (AC).
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (𝑖): {𝐿𝑆𝑆, 𝐿𝑆𝐴, 𝑁𝑎𝐶𝑙, 𝐷𝐸𝐴, 𝐴𝑉, 𝐻𝐷𝑋, 𝑃𝑇𝐿, 𝑇𝐶𝐿, 𝑃𝑃𝐺, 𝐸𝐷𝑇𝐴, 𝑆𝑆, 𝐶𝐿, 𝐹𝑅}
Conjunto que contiene las propiedades del champú nombradas en la sección
3.2:Propiedades del producto
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (𝑗): {𝐿𝐼𝑀𝑃, 𝑇𝐸𝑋𝑇, 𝐴𝐶𝑂𝑁𝐷. 𝐴𝐷𝑇, 𝐼𝑅𝑅𝑇𝑜𝑗𝑜, 𝐼𝑅𝑅𝑇𝑝𝑖𝑒𝑙, 𝐴𝐿𝑇𝐸𝑆𝑃 , 𝑀𝑈𝐿𝑇𝐸𝑆𝑃}
Subconjuntos que contienen los componentes asociados a cada una de las
propiedades, debido a que no todos los componentes afectan todas las
propiedades del champú.
𝐼𝑛𝑔𝑟𝐿𝐼𝑀𝑃 (𝑘): {𝐿𝑆𝑆, 𝐿𝑆𝐴}
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑇𝐸𝑋𝑇(𝑙): {𝑁𝑎𝐶𝑙, 𝐷𝐸𝐴, 𝐴𝑉, 𝐻𝐷𝑋, 𝐿𝑆𝑆, 𝐿𝑆𝐴, 𝑃𝑇𝐿, 𝑇𝐶𝐿, 𝑃𝑃𝐺}
𝐼𝑛𝑔𝑟𝐴𝐶𝑂𝑁𝐷(𝑚): {𝐴𝑉, 𝐸𝐷𝑇𝐴}
𝐼𝑛𝑔𝑟𝐴𝐷𝑇(𝑛): {𝐹𝑅, 𝐶𝐿, 𝐴𝐶}
𝐼𝑛𝑔𝑟𝐼𝑅𝑅𝑇𝑜𝑗𝑜(𝑜): {𝐿𝑆𝑆, 𝐿𝑆𝐴}
𝐼𝑛𝑔𝑟𝐼𝑅𝑅𝑇𝑝𝑖𝑒𝑙(𝑝): {𝐷𝐸𝐴, 𝐿𝑆𝑆, 𝐿𝑆𝐴, 𝑃𝑇𝐿, 𝑇𝐶𝐿, 𝑁𝑎𝐶𝑙, 𝐻𝐷𝑋, 𝑃𝑃𝐺, 𝐸𝐷𝑇𝐴}
𝐼𝑛𝑔𝑟𝐴𝐿𝑇𝐸𝑆𝑃(𝑞): {𝐿𝑆𝑆, 𝐿𝑆𝐴}
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑀𝑈𝐿𝑇𝐸𝑆𝑃(𝑟): {𝐿𝑆𝑆, 𝐿𝑆𝐴}
19
3.7 LISTA DE PARÁMETROS A continuación, en la tabla 2 se presenta la lista de parámetros del problema,
nomenclatura, descripción y unidades.
Tabla 2: Lista de parámetros
Nomenclatura Descripción Unidades
𝑥𝑖𝑀𝑖𝑛 Composición másica
mínima de los
componentes
[%]
𝑥𝑖𝑀𝑎𝑥 Composición másica
máxima de los
componentes
[%]
𝑏 Constante de adsorción de
equilibrio
[-]
𝜔 Área molar de los
surfactantes
[m2/mol]
𝑅 Constante de los gases [J.mol/K]
𝑇 Temperatura ambiente [K]
𝛾0 Tensión superficial del
agua
[J/m2 ]
𝜇𝑙 Viscosidad del
componente 𝑙 [cP]
𝑉𝐵𝑁𝑙 viscosity blending number
del componente (𝑙)
[-]
𝜇𝑚𝑎𝑥 Viscosidad de la mezcla
máxima
[cP]
𝜇𝑚𝑖𝑛 Viscosidad de la mezcla
mínimo
[cP]
𝐶. 𝐴. 𝐷𝑚𝑖𝑛 Cantidad aloe vera mínima
depositada en el cabello
[mg/ g
pelo]
𝐶. 𝐴. 𝐷𝑚𝑎𝑥 Cantidad aloe vera
máxima depositada en el
cabello
[mg/ g
pelo]
𝐼𝑜,𝑜𝑗𝑜𝑠 Índice de irritabilidad de
los componentes en los
ojos (𝑜)
[-]
𝐼𝑝,𝑝𝑖𝑒𝑙 Índice de irritabilidad de
los componentes en la piel
(𝑝)
[-]
𝑁𝑡 Número total de átomos
presente en el surfactante
[-]
𝜐 Momento dipolo [-]
𝑄𝑐𝑚𝑎𝑥 Cargas atómicas máximas
netas sobre el átomo de
carbono
[-]
𝜌𝑞,𝑟 Densidad del surfactante
(𝑞, 𝑟) en fase líquida
[kg.m-3]
20
𝑀𝐹𝑚𝑎𝑥 Máxima multiplicidad
definida
[m.s-2]
𝐶𝑀𝐶𝑞 Concentración crítica
micela de los surfactantes
[kmol.m-3]
𝜎𝑞,𝑟 Tensión superficial de los
componentes 𝑞, 𝑟
[N.m-1]
𝑝2 Precio del competidor [COP]
𝑑2 Demanda del competidor [# champ]
𝐻2 Puntaje de preferencia
total del competidor
[%]
𝛼 Constante de
reconocimiento
[-]
𝜌 Constante de elasticidad [-]
𝑌 Tamaño del mercado [-]
𝑃 Potencia del mezclador [Kwh]
𝑇𝑒 Tarifa energética [COP/Kwh]
𝐶𝑡𝑜𝑡 Costos totales de
producción
[COP]
𝑖𝑛𝑡 Interés anual [%]
3.8 LISTA DE VARIABLES A continuación en la tabla 3 se presenta la lista de variables del problema, nomenclatura,
descripción y unidades
Tabla 3: Lista de variables del problema
Nomenclatura Descripción Unidades
𝑥𝑖 Composición másica de cada
componente dentro del champú
[%]
Π𝑘 Tensión superficial de los
surfactantes
[J/m2]
Π𝑘̅̅̅̅ Tensión superficial adimensional [-]
Π𝑚 Reducción tensión superficial de la
mezcla
[J/m2]
ℎ𝑗 Preferencia del cliente de cada
propiedad 𝑗
[%]
%𝐷𝑒𝑡 Porcentaje de detergencia del
producto
[%]
𝑉𝐵𝑁𝑚 Viscosity blending number de la
mezcla
[-]
𝜇𝑚 Viscosidad de la mezcla [cP]
𝐶. 𝐴. 𝐷 Cantidad de Aloe Vera depositada [mg/ g
pelo]
𝐶𝐹𝐶 Coeficiente de fricción cinético [-]
𝑦𝑛 Variable binaria con valor de 0 o 1 [-]
𝐼𝑚,𝑜𝑗𝑜𝑠 Irritabilidad de la mezcla ojos [-]
𝐼𝑚,𝑃𝑖𝑒𝑙 Irritabilidad de la mezcla piel [-]
21
Γ𝑞,𝑟 concentración de los surfactantes en
la capa de adsorción
[kg.m-2]
𝑟𝑞,𝑟 Radio de la curvatura de los canales
capilares del pelo [m]
[m]
𝐻𝑜 Altura de la espuma [m]
𝑀𝐹 Multiplicidad de la espuma [m.s-2]
𝑤𝑗 Suma de las composiciones de los
ingredientes asociados a cada
propiedad 𝑗
[%]
𝐻1 Puntaje total obtenido del producto [-]
𝑑1 Demanda del producto nuevo [#
champ]
𝑝1 Precio del producto nuevo [COP]
𝛽 Relación entre la preferencia del
competidor y la preferencia del
producto nuevo
[-]
𝑚𝑖 Cantidad de cada ingrediente 𝑖 [Kg]
𝐶𝑖 Costo de cada ingrediente 𝑖 [COP]
𝑈 Utilidad total del producto [COP]
𝑉𝑃𝑁 Valor presente neto con una
proyección a 10 años
[COP]
3.9 RESTRICCIONES Se muestra la lista de restricciones a continuación
𝑥𝑖𝑀𝑖𝑛 < 𝑥𝑖 < 𝑥𝑖𝑀𝑎𝑥
(33)
𝜇𝑚𝑖𝑛 < 𝜇𝑚 < 𝜇𝑚𝑎𝑥
(34)
𝐶. 𝐴. 𝐷𝑚𝑖𝑛 < 𝐶. 𝐴. 𝐷 < 𝐶. 𝐴. 𝐷𝑚𝑎𝑥 (35)
𝑌 ≥ 𝑝1𝑑1 + 𝑝2𝑑2 (36)
∑ 𝑥𝑖 = 1 (37)
0 < ℎ𝑗 < 1 (38)
𝑦𝑛 = 0,1 (39)
𝑤𝐿𝑖𝑚 = ∑ 𝑥𝑘 (40)
𝑤𝑇𝑒𝑥𝑡 = ∑ 𝑥𝑙 (41)
𝑤𝐴𝑐𝑜𝑛𝑑 = ∑ 𝑥𝑚 (42)
𝑤𝐼𝑟𝑟𝑖𝑡𝑜𝑗𝑜 = ∑ 𝑥𝑜 (43)
22
𝑤𝐼𝑟𝑟𝑖𝑡𝑝𝑖𝑒𝑙 = ∑ 𝑥𝑝 (44)
𝑤𝑎𝑙𝑡𝑒𝑠𝑝 = ∑ 𝑥𝑞 (45)
𝑤𝑚𝑢𝑙𝑡𝑒𝑠𝑝 = ∑ 𝑥𝑟 (46)
0 < 𝑤𝑗 < 1 (47)
0 < 𝐻1 < 1 (48)
3.10 FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo del problema será la ecuación 34, maximiza el valor presente neto
que tiene en cuenta la utilidad bruta del producto, junto con los costos asociados a
producción y fabricación.
max (𝑉𝑃𝑁 = ∑𝑈
(1 + 𝑖𝑛𝑡)𝑎
10
𝑎=1
− 𝐶𝑖𝑛𝑣)
(34)
4. ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN
Se establece el modelo propuesto por Bagajewicz [6], donde se establecen distintas
propiedades del champú. Las propiedades están relacionadas con la formulación
escogida, teniendo en cuenta la composición de cada ingrediente. Por medio de varios
modelos matemáticos, se estiman distintos resultados de las propiedades del champú. Los
datos se ingresan en funciones de preferencia del consumidor en donde el producto
propuesto recibe un puntaje. De lo anterior dependerá de que tan favorables sean las
propiedades para el consumidor. Este puntaje obtenido se ingresa a un modelo de precio
y demanda que permite estudiar la rentabilidad del producto realizando proyecciones a
futuro y teniendo en cuenta el mercado actual. A continuación se observa en la figura 1
el esquema de la metodología del trabajo.
23
Figura 1: Esquema metodología de trabajo
El problema de optimización fue formulado y ejecutado en dos programas diferentes. En
primer lugar, se utilizó el complemento SOLVER del programa EXCEL para realizar una
primera iteración del problema y revisar la factibilidad y consistencia de las restricciones
formuladas. Adicionalmente, el programa permitió establecer los límites de todas las
variables y definir una inicialización. Posteriormente, se utilizó la inicialización para
lograr alcanzar un óptimo local del modelo en el programa GAMS. El algoritmo realizado
se encuentra en la sección de anexos. La inicialización de las variables se encuentra en la
tabla 2:
24
Tabla 4: Inicialización y límites superiores e inferiores de las variables
Variables Límite inf. Inicialización Límite sup.
𝑥𝐿𝑆𝑆 0.00% 1.00% 11.00%
𝑥𝐿𝑆𝐴 0.00% 1.00% 5.00%
𝑥𝑁𝑎𝐶𝑙 0.00% 1.00% 1.20%
𝑥𝐷𝐸𝐴 0.00% 1.00% 3.50%
𝑥𝐴𝑉 0.00% 1.00% 5.00%
𝑥𝐻𝐷𝑋 0.00% 1.00% 3.00%
𝑥𝑃𝑇𝐿 0.00% 1.00% 3.00%
𝑥𝑇𝐶𝐿 0.00% 1.00% 3.00%
𝑥𝑃𝑃𝐺 0.00% 1.00% 3.00%
𝑥𝐸𝐷𝑇𝐴 1.00% 1.00% 3.00%
𝑥𝑆𝑆 0.00% 1.00% 1.00%
𝑦𝑐𝑜𝑙 0 1 1
𝑦𝐹𝑟 0 1 1
𝑝1 0 0 10,000
𝑑1 0 1,000 -
Este problema es tipo MINLP (Mixed Integer Nonlinear Programing) debido a la
naturaleza del problema, considerando que las variables de decisión fueron definidas para
ser números enteros. Adicionalmente, las ecuaciones utilizadas en el modelo eran
restricciones tanto lineales como no lineales. En total fueron definidas 60 ecuaciones.
También fueron definidas 71 variables las cuales 15 de estas son variables de decisión,
tales como la composición másica de los ingredientes dentro del champú, el precio y la
demanda del producto. Para la solución del problema de optimización se especificaron
todas las variables como positivas, para el caso de la demanda no se establecieron límites
superiores, caso contrario para el caso de los componentes y el del precio.
Una vez definidos los límites y los parámetros del modelo se procedió a realizar la
optimización en el escenario base establecido en Excel. Los porcentajes en peso de los
componentes que maximizan el valor presente neto del presente trabajo se encuentran
ubicados en la tabla 5.
25
Tabla 5: Composición óptima de un champú con aloe vera
Ingredientes (abreviación) Porcentaje
en peso
• Lauril éter sulfato de sodio (LSS) 7.19%
• Lauril éter sulfato de amonio
(LSA) 2.45%
• Cloruro de sodio (NaCl) 1.04%
• Cocamida DEA (DEA) 1.97%
• Aloe vera (AV) 3.06%
• Hidroxietilcelulosa (HDX) 0.50%
• Pantenol (PTL) 2.11%
• Tocoferol (TCL) 2.16%
• Propilenglicol (PPG) 1.53%
•Ácido etilendiaminotetraacético
(EDTA) 1.30%
• Sulfuro de Selenio (SS) 0.00%
Color -
Fragancia Necesario
Agua 76.69%
Mientras que el precio individual y la demanda del producto son:
𝑝1 = 𝐶𝑂𝑃$ 4091.48 ; 𝑑1 = 3,836,673.7
La satisfacción total del producto para el consumidor es del 67.09%. Finalmente, el
valor de la función objetivo es de COP$ 115,741,428,438.606.
5. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Los resultados obtenidos en el modelo de optimización se encuentran entre los límites
establecidos para cada una de las variables. Además, los valores del precio y la demanda
obtenidos entran en un marco lógico teniendo en cuenta los principales aspectos del
mercado, como son el precio y la demanda del competidor, el tamaño del mercado y la
flexibilidad del modelo. Para realizar un análisis adicional sobre el diseño del producto,
se presenta un análisis de sensibilidad frente a las principales fuentes de incertidumbre
que se dieron a lo largo de la formulación. Paso seguido se comparan los resultados de
las principales variables modificando el valor de estas fuentes de incertidumbre.
Finalmente, se discuten los resultados obtenidos en la simulación y la importancia del
efecto generado en la función objetivo por las incertidumbres en el modelo.
La primera fuente de incertidumbre fueron las distintas inicializaciones de la variable 𝑑1
pues se notaron cambios tanto en la función objetivo, el precio y la demanda del producto
y la preferencia del consumidor. También se resalta la variable de la composición de aloe
vera en el champú y como esta se ve afectada por la inicialización anteriormente
26
mencionada. A continuación la tabla 6 presenta tres de las distintas inicializaciones
utilizadas para el modelo. Cabe resaltar que al ejecutar el programa con estas tres
inicializaciones no se presentaron problemas de convergencia y las variables respetaron
los límites impuestos. Este análisis permitió encontrar distintos valores óptimos locales
y realizar una comparación entre estos.
Tabla 6: Diferentes valores para cada una de las inicializaciones utilizadas
Inicialización
𝒅𝟏 𝒅𝟏(𝒖𝒏𝒅)
𝑷𝟏 (COP) 𝑽𝑷𝑵 (COP) 𝑯𝟏(%) 𝒙𝑨𝑽(%)
1000 3’836’673.77
4’091 115’741’428’439 67.09% 3.06%
500 2’009’145.668
4’094 60’675’872’304 67.13% 3.06%
0 1’645.349167
4’060 50’326.215 66.58% 2.42%
Como se observa en la tabla 6 la inicialización utilizada afecta en gran medida el valor de
la función objetivo y a la demanda del producto. Es claro que el valor de estas variables
se incrementa a medida que se aumenta el valor de la inicialización, y como el objetivo
principal es maximizar las ganancias se escoge dicha inicialización. Sin embrago, en el
precio del producto, la satisfacción global del consumidor frente al producto y la
composición másica de aloe vera en el champú no se ven afectados en gran medida por
el valor inicial que tome la demanda del producto. Es decir, si se decide escoger diferentes
inicializaciones para una misma variable, esta y la función objetivo se ven directamente
afectadas.
Caso contrario ocurre en los valores de las demás variables puestos que se mantienen
cercanas a pesar de las diferentes inicializaciones. Es importante resaltar que se utilizaron
valores iniciales superiores, pero no se encontraron soluciones que respetaran los límites
de las variables. Resulta importante aclarar que las inicializaciones escogidas deben estar
dentro de los límites de las variables para que el programa llegue a resultados coherentes
con las restricciones formuladas. Finalmente se decide trabajar con la primera
inicialización mostrada en la tabla 5 pues se encuentran resultados óptimos en las
variables seleccionadas.
Al establecer un horizonte de 10 años, la constante de elasticidad 𝛼 fue tomada en cuenta
como la segunda fuente de incertidumbre debido a que el valor de este parámetro depende
del tiempo [6]. Al elegir una elasticidad constante para todos los años se debe realizar un
análisis del comportamiento de la satisfacción del consumidor. En primer lugar, es el
enlace entre la formulación química del producto y el modelo del mercado desde el punto
de vista del consumidor. En segundo lugar, es la variable que más se ve afectada por el
cambio de esta constante. Finalmente, a pesar de que la formulación química tenga un
impacto en la función objetivo debido a los costos de producción, la función de
preferencia es la que impacta la parte de la función objetivo asociada a las ventas del
producto. Por las razones descritas anteriormente se decide realizar un análisis de
sensibilidad en la ilustración 11 donde se describe el comportamiento de la preferencia
global con respecto a la constante de elasticidad.
27
Ilustración 11: Comportamiento de la preferencia global variando la constante de elasticidad
Se observa inicialmente que fue posible obtener valores para cada una de las constantes
escogidas. Fue necesario eliminar el límite superior del precio del producto para que la
solución pudiera converger y arrojara resultados de preferencia global. Tal y como se
muestra en la ilustración 11 se aprecia un pico máximo utilizando una constante de
elasticidad con un valor de 0.75. Sin embargo, a pesar de que se obtiene una mayor
preferencia por parte del consumidor, no resulta ser la opción más rentable ya que el
precio del producto aumenta desmedidamente, y en consecuencia pierde de vista el uno
de los objetivos del modelo que es obtener un producto que maximice las utilidades
teniendo en cuenta la competencia del producto en el mercado.
Tabla 7: Comparación de resultados para dos constantes de elasticidad
Elasticidad (𝜶=1) Elasticidad (𝜶=0,75)
𝑯𝟏 (%) 67.09% 68.68%
𝒅𝟏 3’836’673.77 1’265’845.63
𝒑𝟏(COP $) 4’091.4 10’236.3
La tabla 7 expresa dos puntos importantes, en primer lugar se llega a concluir que no
necesariamente el producto con más preferencia del consumidor resulta ser el más
rentable. En segundo lugar, se ve reflejado la sensibilidad del sistema frente al parámetro
de la elasticidad. Valores entre 0.6 y 0.8 a pesar de tener una mayor preferencia dejan a
un lado el precio del producto dejándolo fuera de competencia frente a precios más bajos.
Mientras que a un nivel más alto (𝛼 = 1) a pesar de tener una menor reacción por parte
de los consumidores se llega a un producto coherente capaz de competir en el mercado
con un precio razonable y que de igual manera genere valor al aumentar las utilidades.
Se debe tener en cuenta que el modelo descrito en la formulación del problema tiene en
cuenta un competidor estático, que no se ve afectado por mercados cambiantes. Sin
embargo, para profundizar en el estudio de mercado del producto se debe elegir una
condición dinámica y debe existir un modelo que determine el precio y la demanda de la
52%
54%
56%
58%
60%
62%
64%
66%
68%
70%
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Pre
fere
ncia
glo
bal (%
)
Constante de elasticidad
28
competencia. Dentro de la revisión de estos modelos se encuentran la competencia
perfecta, monopolio y oligopolio [6].
Debido a lo anterior, el resultado de la función objetivo va ligado a dos condiciones
importantes. La primera es la reducción de costos que se ve limitada por la preferencia
del consumidor. La segunda es obtener un valor máximo de ventas teniendo en cuenta el
precio y la demanda del producto. Ambas condiciones pueden verse afectadas por el
comportamiento dinámico del mercado.
Es importante destacar la diferencia entre los resultados obtenidos y los parámetros del
producto competencia, los cuales se ven reflejados en la tabla 8.
Tabla 8: Valores para cada uno de los productos
Champú 1 (Aloe Vera) Champú 2
Preferencia del cliente global 67.09% 39.16%
Demanda 383,6673.77 3,047,757.99
Precio (COP) 4,091.48 4,776.99
Valor presente neto (COP) 15,999,546,686,090 730,786,530,189
Al comparar los distintos valores se refleja una mayor preferencia del cliente hacia el
producto obteniendo así una mayor demanda con precios relativamente menores , y en
consecuencia obteniendo una mayor generación de dinero, pues el valor presente neto es
considerablemente mayor en comparación al de la competencia. Es en este contraste
donde se ve la importancia del componente de aloe vera dentro de la formulación del
champú, pues este logra aumentar significativamente la preferencia del consumidor hacia
el producto por lo que se considera un componente que puede agregar valor a un producto.
Finalmente, este producto puede estar asociado a estructuras industriales más complejas
(donde se tiene en cuenta costos de producción asociados al proceso del champú), lo que
haría que los modelos sean demasiado complejos de resolver. Por tal motivo, la
herramienta GAMS puede ser de gran ayuda al incorporar varios algoritmos de resolución
tanto de programación de ecuaciones lineales y no lineales con variables entera. Sin
embargo, en las optimizaciones complejas para el diseño de productos existen muchas
soluciones óptimas locales en el espacio de diseño factible, como fue el caso de este
problema.
6. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS
La metodología propuesta para el diseño óptimo de un producto se considera adecuada
para facilitar el procedimiento del modelo propuesto en el presente trabajo, esto, mediante
una aproximación a la formulación del producto. Esto se logra por la integración de
aspectos técnicos del producto y aspectos del mercado al que pertenece. El primer término
abarca datos relacionados al proceso de transformación de las materias primas en
productos o servicios que serán requeridos por los consumidores. El segundo término
relaciona características y variables del mercado, a partir de un modelo de precio y
demanda, donde se maximiza la utilidad bruta del producto teniendo en cuenta el tamaño
del mercado y los costos asociados al proceso de producción.
29
Sin embargo, cuando se trabaja en el diseño óptimo, el mejor producto desde el punto de
vista del consumidor no siempre resulta ser el más rentable, ni el producto más rentable
resulta ser el mejor desde el punto de vista del consumidor. Como consumidor se espera
que el porcentaje presente de aloe vera sea mayor en el champú, pues este ingrediente se
relaciona con el cuidado del cabello. Se establece una relación directamente proporcional,
a una mayor composición mayor será el efecto del cuidado del cabello. No obstante, desde
el punto de vista del productor añadir más Aloe Vera no necesariamente conduce a la
mejor opción desde el punto de vista rentable. Esto debido a que puede llevar consigo
mayores costos y en consecuencia disminuir la utilidad bruta. Se demuestra entonces que
el producto deseado por los consumidores no siempre resulta ser el más rentable. Por tal
razón, debe haber consistencia en la aplicación de la metodología y considerar que existe
un rango de variación de la formulación del producto. Esto debido a la existencia de
incertidumbres en algunos parámetros de los modelos, y a su vez un efecto de estos en
los resultados de la optimización.
Para el caso de estudio los parámetros considerados por su incertidumbre fue escoger un
valor de la elasticidad del mercado adecuado y la inicialización correcta de las variables
en el modelo, los cuales tuvieron efectos en el desempeño de la función objetivo. Las
diferencias de resultados permiten evidenciar la importancia del modelo de mercado en
la función objetivo y cómo existe un balance del precio, la demanda, la utilidad y los
costos del producto.
Adicionalmente, la metodología propuesta tiene una gran variedad de aplicaciones en la
industria cosmética, alimenticia, de aseo personal o de limpieza debido a que son
industrias las cuales desean generar un mayor ingreso por medio de la preferencia del
cliente y requieren de una satisfacción del consumidor. El modelo puede ser desarrollado
con mayor profundidad, si se integra toda la cadena de abastecimiento y los procesos
productivos que se encuentran presentes en la producción del champú. Con esto presente
y junto a un diseño óptimo de procesos se tendría una perspectiva más amplia de todo el
proceso en conjunto. Dado lo anterior, fue necesario realizar una formulación a
profundidad del modelo y una investigación de los aspectos anteriormente mencionados.
Se tuvieron en cuenta de las propiedades fisicoquímicas de los componentes, como del
nivel de satisfacción del cliente frente a diferentes propiedades comunes en el champú, y
los costos asociados a materia prima y de inversión inicial.
La optimización dentro del campo de la ingeniería no implica que la compañía opere o
produzca utilizando su capacidad máxima, sino en el punto que genere la mayor utilidad
posible. El uso de esta herramienta provoca que mejoras en la eficiencia de los procesos
se traduzcan en ganancias económicas significativas. Junto al diseño de productos se
genera mayor utilidad debido al equilibrio que existe entre la satisfacción del consumidor
y el costo de los componentes utilizados para su elaboración.
30
7. BIBLIOGRAFÍA
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Design,» 2007.
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Chemical and Physical Behavior of Human Hai, Springer-Verlag Berlin Heidelberg,
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[11] M. Moldovan y S. Parauan, «COSMETIC EVALUATION OF SOME COMMERCIAL
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lamiachemist-inorganica-complejos-coordinacion-agente-quelante-kimikito/. [Último
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31
[15] A. Kovtun, S. Khil’ko, S. Zholob y V. Rybachenko, «Effect of Lower Alcohols on
Adsorption Characteristics of Sodium Dodecyl Sulfate Solutions at LiquidGas Interfaces,»
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su-uso-en-productos-capilares/125/. [Último acceso: 2 Septiembre 2017].
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[26] P. Boonme, N. Pakpayat, K. Yotmanee, S. Kunlawijitrungsee y . D. Maneenuan,
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Applied Pharmaceutical Science, vol. 1, nº 1, pp. 59-63, 2011.
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[28] Seider, Seader, Lewin y Widagdo, Product and Process Design Principles, John Wiley &
Sons Inc, pp. 580-590.
[29] R. Gani, «Chemical product design: challenges and opportunities,» 2004.
32
8. ANEXOS
Anexo 1: Recopilación de los trabajos relacionados con el diseño de producto
Autor
Título
Año
Descripción
Jha, Prabhakar, Srivastav, &
Rao
Influence of temperature on vacuum drying characteristics,
functional properties and
micro-structure of Aloe Vera.
2015
El aloe vera posee propiedades terapéuticas y
antioxidantes las cuales se pueden ver afectadas
en una operación de proceso. Se estudia el efecto de temperatura dentro de la estructura y las
propiedades funcionales del gel de Aloe Vera.
William M. Winkler Patente nº 4,470,982. 1982
Dentro de esta patente se encuentra la
composición detallada de los diferentes productos
que utilizan un champú. Dentro de estas
composiciones se encuentran una cantidad critica
de surfactante aniónico, un agente suspendido y
alcanolamida, un surfactante no iónico
Mainkar, A., & Jolly, C. Formulation of natural
Shampoos 2001
Presentación de la formulación de Champús
naturales, su evaluación y comparación con el
champús a base de hierbas. Se basa en el uso de componentes realmente naturales para
posteriormente realizar una formulación adecuada
Gani , R
Computer-Aided Methods and
Tools for Chemical Product
Design
2004
El diseño de un producto químico involucra numerosas alternativas las cuales requieren
herramientas numéricas y diferentes fuentes de
información que necesita un producto químico. Se proveen diferentes métodos y herramientas para
que se puedan llevar acabo en productos químicos
para que puedan ser realizados de una manera
más rápida.
Matyei, M., Kontogeorgis, G.
M., & Gani, R.
A comprehensive framework for surfactant selection and
design for emulsion based
chemical product design
2014
Se desarrollan una metodología y herramientas
relevantes para ahorrar tanto tiempo como recursos en el desarrollo de diseños de productos
químicos basados en emulsión teniendo como
objetivo principal llegar a ser productos de bajo costo dentro del mercado.
Wadood Khan, A., Kotta, S.,
Hussain Ansari, S., Kumar
Sharma, R., Kumar, A., &
Ali, J.
Formulation development,
optimization and evaluation of
aloe Vera gel for wound healing
2013
Formular y optimizar un gel herbario de extracto
de Aloe vera que contenga Carbopol 934 como agente gelificaste e investigar los efectos de la
aplicación tópica del gel Carbopol 934 que
contiene el extracto de Aloe vera
HELBERTH ARTURO COY
ESTRUCTURA DE LA
COMERCIALIZACION DE LA
SÁBILA EN COLOMBIA
2013
Tiene como objetico la identificación descripción y análisis de la agro cadena de la Aloe Vera,
enfocándose tanto en sus generalidades como el
estudio de comercio y competitividad en el ámbito nacional e internacional
Craig Whitnack, Ashley
Heller, Miguel J. Bagajewicz
A Microeconomics-based
approach to product design
under uncertainty
2008
Se definió un conjunto de necesidades del
consumidor y se relacionaron con un conjunto de
propiedades físicas y químicas, que fueron posteriormente analizadas con base a un modelo
de preferencia macroeconómico, con el fin de
determinar el precio y la formulación óptima
33
Gani , R
Chemical product design:
challenges and oppotunities. Computers ande Chemical
Engineering
2004
El documento se destaca para una clase de
productos químicos, el proceso de diseño que se
lleva a cabo, la necesidad de herramientas adecuadas y enumera algunos retos importantes
para la ingeniería en sistemas de proceso e
ingeniería de proceso
Kang, Byung Ha, Woo ri,
Min-sun, & Sang hoon
. Optimization of Conditioning
Performance by Controlling
Properties of Polymer-Surfactant Complex in
Shampoo System
2010
Se crea un polímero catiónico el cual optimiza los
efectos condicionantes del champú a partir de un
nuevo contenido de nitrógeno. También se hace uso de una nueva viscosidad (190 a 200 Cp.) a
través de diversas mediciones de rendimiento.
Bagajewicz, M., Hill, S.,
Robben, A., Lopez, H.,
Sanders, M., Sposato, E
Product Design in Price-Competitive Markets: A Case
Study of a Skin Moistrizing
Lotion
2001
En este artículo se aplica un método desarrollado
para el diseño de producto de una loción en un
mercado con precios competitivos. Este método
se basa en el uso de las funciones preferidas del
consumidor las cuales se transforman en parámetros para la relación del precio y la
demanda. Estas relaciones se basan en un modelo
de negocios que determina la óptima formulación teniendo en cuenta las ganancias.
Cussler, E., & Moggridge, G. Chemical Product Design 2001
Se incluyen tres categorías dentro de los productos químicos. En la primera categoría los
químicos especializados en proveer un beneficio
especifico. En la segunda categoría se encuentran los productos cuya microestructura es capaz de
crear valor. También se define el diseño de
producto químico dentro del cual se tiene en cuenta el ámbito económico y no solo el ámbito
de ingeniería
Shi , L., Ólafsson, S., &
Chen, Q.
An Optimization Framework
for Product Design 2000
En el proceso de diseño y desarrollo del producto
es necesario utilizar las preferencias de parte de los clientes potenciales para maximizar la cuota
del mercado. El articulo presenta un nuevo marco
de optimización el cual es el método de particiones anidadas
Phadeke, M. Design Optimization Case
Studies.
Una manera sistemática y eficiente para diseñar productos de alta calidad a bajo costo es a través
de un método de optimización el cual tiene en
cuenta el rendimiento, la calidad y el coste.
Anexo 2: Algoritmo realizado en la simulación GAMS
sets
*Conjuntos
Ingredientes "ingredientes presentes en el champú" /LSS, LSA, NaCl,
DEA, AV, HDX, PTL, TCL, PPG, EDTA, SS/
Propiedades "Propiedades presentes en el champú"
/LIMP,TEXT,ACOND,ADT,IRRT_ojo,IRRT_piel,ESP/
34
ingr_limp "ingredientes presentes en la prop LIMP" /LSS, LSA/
ingr_text "ingredientes presentes en la prop TEXT"
/NaCl,DEA,AV,HDX,LSS,LSA,PTL,TCL,PPG/
ingr_acond "ingredientes presentes en la prop ACOND" /AV,EDTA/
ingr_adi "ingredientes presentes en la prop ADT" /FR,CL/
ingr_irri_ojo "ingredientes presentes en la prop IRRT_ojo" /LSS, LSA/
ingr_irri_piel "ingredientes presentes en la prop IRRT_piel"
/DEA,LSS,LSA,PTL,TCL,NaCl,HDX,PPG,EDTA/
ingr_esp "ingredientes presentes en la prop ESP" /LSS,LSA/
;
parameters
*Capacidad de limpieza y prevencion cabello graso
R "Constante de los gases" /8.314/
T "Temperatura" /298.5/
w_LIMP "area molar de los surfactantes2" /1e5/
*Textura y comodidad de uso
VBN(ingr_text) "viscosidad de los ingredientes presentes en esta propiedad"
/
NaCl 1.602397827
DEA -4.856008922
AV 1.764897289
HDX -66.06700413
LSS 28.43731769
LSA 11.39923636
PTL -40.2046454
TCL -32.92097254
PPG -23.18889154
/
VBN(ingr_text)"viscosity blend number para cada ingrediente"
*Irritabilidad ojos
Concentracion_max(ingr_irri_ojo)
/
LSS 0.21
LSA 0.21
/
Puntaje_irri_ojo(ingr_irri_ojo)
/
LSS 295
LSA 224
/
*Irritabilidad piel
Ind_irri(ingr_irri_piel)
/
DEA 2
LSS 10
LSA 10
PTL 1
TCL 1
NaCl 0.33
HDX 1.11
PPG 0.33
EDTA 2.42
/
*Multiplicidad y espuma
Densidad(ingr_esp)
/
LSS 1050
LSA 1020
/
CMC(ingr_esp)
/
35
LSS 0.0019131
LSA 0.0004741
/
*Modelo de preferencia
Peso_atrib(propiedades)
/
LIMP 0.1420
TEXT 0.1420
ACOND 0.1420
ADT 0.05
IRRT_ojo 0.1420
IRRT_piel 0.1420
ESP 0.24
/
*Modelo precio y demanda
p2 "precio del competidor" /4776/
d2 "demanda del competidor" /3047757/
H2 "preferencia del competidor" /0.3916/
alfa "constante de reconocimiento" /0.5/
ro "constamte de elasticidad" /1/
*modelo de rentabilidad
Costos(ingredientes) "costo de cada ingrediente por kg"
/
LSS 56
LSA 29.4
NaCl 9.8
DEA 23.8
AV 12
HDX 1.26
PTL 84
TCL 28
PPG 252
EDTA 504
SS 28
/
Cinv "costo de inversion inicial" /3.5060512/
int "interes anual" /0.05/
a "años" /10/
Tot_m "masa total requerida" /10/
;
binary variables
y(ingr_adi)"aditivos presentes"
;
variables
x(ingredientes) "porcentaje en peso de cada ingrediente"
*Capacidad limpieza y prev
pi_LSS
pi_LSA
piAdim_LSS
piAdim_LSA
piAdim_mezcla
pi_mezcla
Dt
*Textura y comodidad de uso
VBN_M_NaCl
VBN_M_DEA
VBN_M_AV
VBN_M_HDX
VBN_M_LSS
VBN_M_LSA
VBN_M_PTL
36
VBN_M_TCL
VBN_M_PPG
u_mix
*acondicionamiento
CAD
CFC
*Irritabilidad ojos
Irriojo_LSS
Irriojo_LSA
*espuma
gamma_LSS
gamma_LSA
r_LSS
r_LSA
Ho_LSS
Ho_LSA
MF_LSS
MF_LSA
Ho_mezcla
MF_mezcla
h_altura
h_multiplicidad
*modelo de preferencia
h_I
h_II
h_III
h_IV
h_V
h_VI
h_VII
H1
*Modelo precio y demanda
d1
p1
beta
Y
*modelo rentabilidad
Cc
U
masa(ingredientes)
VPN
;
pi_LSS.lo=0.00000001;
pi_LSA.lo=0.00000001;
masa.lo(ingredientes)=0;
x.l("LSS")=0.01;
x.l("LSA")=0.01;
x.l("NaCl")=0.01;
x.l("DEA")=0.01;
x.l("AV")=0.01;
x.l("HDX")=0.01;
x.l("PTL")=0.01;
x.l("TCL")=0.01;
x.l("PPG")=0.01;
x.l("EDTA")=0.01;
x.l("SS")=0.01;
x.up("LSS")=0.11;
x.up("LSA")=0.05;
x.up("NaCl")=0.0120;
x.up("DEA")=0.035;
x.up("AV")=0.05;
37
x.up("HDX")=0.04;
x.up("PTL")=0.04;
x.up("TCL")=0.04;
x.up("PPG")=0.03;
x.up("EDTA")=0.03;
x.up("SS")=0.01;
x.lo("LSS")=0.01;
x.lo("LSA")=0.01;
x.lo("NaCl")=0.01;
x.lo("DEA")=0.01;
x.lo("AV")=0.01;
x.lo("HDX")=0.005;
x.lo("PTL")=0.005;
x.lo("TCL")=0.005;
x.lo("PPG")=0.005;
x.lo("EDTA")=0.005;
x.lo("SS")=0;
d1.L=1000;
d1.lo=0;
p1.lo=0;
equations
*Capacidad de limpieza y prevencion de cabello graso
pi_LSS_eq
pi_LSA_eq
x_SS_eq
piAdim_LSS_eq
piAdim_LSA_eq
piAdim_mezcla_eq
pi_mezcla_eq
Dt_eq
*Textura y comodidad de uso
VBN_M_NaCl_eq
VBN_M_DEA_eq
VBN_M_AV_eq
VBN_M_HDX_eq
VBN_M_LSS_eq
VBN_M_LSA_eq
VBN_M_PTL_eq
VBN_M_TCL_eq
VBN_M_PPG_eq
u_mix_eq
*Acondicionamiento del cabello
CAD_eq
CFC_eq
*irritabilidad ojos
Irriojo_LSS_eq
Irriojo_LSA_eq
*multiplicidad altura y espuma
gamma_LSS_eq
gamma_LSA_eq
r_LSS_eq
r_LSA_eq
Ho_LSS_eq
Ho_LSA_eq
MF_LSS_eq
MF_LSA_eq
Ho_mezcla_eq
MF_mezcla_eq
h_altura_eq
h_multiplicidad_eq
*modelo de preferencia
38
h_I_eq
h_II_eq
h_III_eq
h_IV_eq
h_V_eq
h_VI_eq
h_VII_eq
H1_eq
*modelo precio y demanda
eq_preciodemanda
beta_eq
*Modelo rentabilidad
Cc_eq
U_eq
masa_eq(ingredientes)
F_obj
*restric
H1_restricc1
H1_restricc2
;
*AHORA SI ECUACIONES
*Capacidad de limpieza y prevencion de cabello graso
pi_LSS_eq.. pi_LSS =e= ((R*T)/w_LIMP)*log(1+2*x("LSS"));
pi_LSA_eq.. pi_LSS =e= ((R*T)/w_LIMP)*log(1+2*x("LSA"));
piAdim_LSS_eq.. piAdim_LSS =e= (10e6/(R*T))*pi_LSS;
piAdim_LSA_eq.. piAdim_LSA =e= (10e6/(R*T))*pi_LSA;
piAdim_mezcla_eq.. exp(piAdim_mezcla) =e= exp(piAdim_LSS)+exp(piAdim_LSA)-1;
pi_mezcla_eq.. (piAdim_mezcla*R*T)/w_LIMP =e= pi_mezcla;
Dt_eq.. Dt =e= 7309.6*((pi_mezcla)**3) - 1082.5*(pi_mezcla)**2 +
54.108*(pi_mezcla) + 0.0133 ;
*Textura y comodidad de uso
VBN_M_NaCl_eq.. VBN_M_NaCl =e= VBN("NaCl")*x("NaCl");
VBN_M_DEA_eq.. VBN_M_DEA =e= VBN("DEA")*x("DEA");
VBN_M_AV_eq.. VBN_M_AV =e= VBN("AV")*x("AV");
VBN_M_HDX_eq.. VBN_M_HDX =e= VBN("HDX")*x("HDX");
VBN_M_LSS_eq.. VBN_M_LSS =e= VBN("LSS")*x("LSS");
VBN_M_LSA_eq.. VBN_M_LSA =e= VBN("LSA")*x("LSA");
VBN_M_PTL_eq.. VBN_M_PTL =e= VBN("PTL")*x("PTL");
VBN_M_TCL_eq.. VBN_M_TCL =e= VBN("TCL")*x("TCL");
VBN_M_PPG_eq.. VBN_M_PPG =e= VBN("PPG")*x("PPG");
u_mix_eq.. u_mix =e=
((EXP(EXP(((VBN_M_NaCl+VBN_M_DEA+VBN_M_AV+VBN_M_HDX+VBN_M_LSS+VBN_M_LSA+VBN_M_PTL+VBN
_M_TCL+VBN_M_PPG)-10.975)/14.534))-
0.8)*1000)+((EXP(EXP(((VBN_M_NaCl+VBN_M_DEA+VBN_M_AV+VBN_M_HDX+VBN_M_LSS+VBN_M_LSA+VB
N_M_PTL+VBN_M_TCL+VBN_M_PPG)-10.975)/14.534))-0.8)*1000)/0.5;
*Acondicionamiento del cabello
CAD_eq.. CAD =e= 3333.3*(x("AV")/(x("AV")+x("EDTA")))+33.333;
CFC_eq.. CFC =e= 0.1862*(1/(CAD**(0.093)));
*irritabilidad ojos
Irriojo_LSS_eq.. Irriojo_LSS =e= x("LSS")*Puntaje_irri_ojo("LSS")/
Concentracion_max("LSS");
Irriojo_LSA_eq.. Irriojo_LSA =e= x("LSA")*Puntaje_irri_ojo("LSA")/
Concentracion_max("LSA");
*aditivos
x_SS_eq.. x("SS") =e= 0 ;
*multiplicidad altura y espuma
gamma_LSS_eq.. gamma_LSS =e= pi_LSS/CMC("LSS");
gamma_LSA_eq.. gamma_LSA =e= pi_LSA/CMC("LSA");
r_LSS_eq.. r_LSS =e= 0.367*(10**(-3))*(gamma_LSS**(0.125));
r_LSA_eq.. r_LSA =e= 0.367*(10**(-3))*(gamma_LSA**(0.125));
39
Ho_LSS_eq.. Ho_LSS =e= ((0.78*10**(-
2)*((33.5/10**3)/Densidad("LSS"))**2)/r_LSS**3);
Ho_LSA_eq.. Ho_LSA =e= ((0.78*10**(-
2)*((33.5/10**3)/Densidad("LSA"))**2)/r_LSA**3);
MF_LSS_eq.. MF_LSS =e=
1+0.0764*((33.5/10**3)/(Densidad("LSS")*r_LSS**2)) ;
MF_LSA_eq.. MF_LSA =e=
1+0.0764*((33.5/10**3)/(Densidad("LSA")*r_LSA**2));
Ho_mezcla_eq.. Ho_mezcla =e= 1000*(Ho_LSS*x("LSS")+Ho_LSA*x("LSA"));
MF_mezcla_eq.. MF_mezcla =e=
MF_LSS*(x("LSS")/x("LSS")+x("LSA"))+MF_LSA*(x("LSA")/x("LSS")+x("LSS"));
h_altura_eq.. h_altura =e= -0.0053*Ho_mezcla**3+0.1348*Ho_mezcla**2-
0.7871*Ho_mezcla+0.00002;
h_multiplicidad_eq.. h_multiplicidad =e= 0.0314*MF_mezcla+0.0286;
*modelo de preferencia
h_I_eq.. h_I =e= 1.0267*(Dt) - 0.0137;
h_II_eq.. h_II =e= 0.00000001*u_mix**2+0.0002*u_mix+0.0557;
h_III_eq.. h_III =e= 5.6633*CFC+1.3079 ;
h_IV_eq.. h_IV =e= (y("CL")+y("FR"))*0.5 ;
h_V_eq.. h_V =e= -0.0029*(Irriojo_LSS+Irriojo_LSA)+1.0038;
h_VI_eq.. h_VI =e= -
0.4256*(x("DEA")*Ind_irri("DEA")+x("LSS")*Ind_irri("LSS")+x("LSA")*Ind_irri("LSA")+x(
"PTL")*Ind_irri("PTL")+x("TCL")*Ind_irri("TCL")+x("NaCl")*Ind_irri("NaCl")+x("HDX")*I
nd_irri("HDX")+x("PPG")*Ind_irri("PPG")+x("EDTA")*Ind_irri("EDTA"))+1.0631;
h_VII_eq.. h_VII =e= (h_altura+h_multiplicidad)/2;
H1_eq.. H1 =e=
h_I*peso_atrib("LIMP")+h_II*peso_atrib("TEXT")+h_III*peso_atrib("ACOND")+h_IV*peso_at
rib("ADT")+h_V*peso_atrib("IRRT_ojo")+h_VI*peso_atrib("IRRT_piel")+h_VII*peso_atrib("
ESP");
*modelo precio y demanda
beta_eq.. beta =e= H2/H1;
eq_preciodemanda.. p1*d1 =e= ((alfa/beta)**ro)*p2*1*d1**ro;
*Modelo rentabilidad
masa_eq(ingredientes).. masa(ingredientes) =e= x(ingredientes)*Tot_m;
Cc_eq.. Cc =e= d1*
sum(ingredientes,masa(ingredientes)*Costos(ingredientes));
U_eq.. U =e= d1*p1 - Cc;
F_obj.. VPN =e=
((U/(1+int)**1)+(U/(1+int)**2)+(U/(1+int)**3)+(U/(1+int)**4)+(U/(1+int)**5)+(U/(1+int
)**6)+(U/(1+int)**7)+(U/(1+int)**8)+(U/(1+int)**9)+(U/(1+int)**10) )- Cinv;
*restricc
H1_restricc1.. H1 =l= 1;
H1_restricc2.. 0=g=H1;
model Tesis_2017II /all/ ;
options minlp=DICOPT ;
solve Tesis_2017II using minlp max VPN ;