departamento de matemÁticas. dos de los ángulos de un triángulo miden 40º 24’ y 91º 30’....
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
TRABAJO DE VERANO 2014
CURSO: 2º ESO
ALUMNO:..................................................................................................
GRUPO:................
Los alumnos con calificación SUSPENSA presentarán este trabajo el día del examen de recuperación en septiembre.
NÚMEROS ENTEROS Y DIVISIBILIDAD
1. Subrayar los números compuestos
50 13 135 91 55 234 145 90 110 1.200 568 21 79 85 165 125 56 89 86 210 568
2. Descomponer por factores primos y calcular cuántos divisores tienen los números:
a) 300 b) 200 c) 75 d) 62 e) 81
3. Descomponer por factores primos:
a) 1500 b) 3450 c) 1350 d) 4750
4. Calcular el máximo común divisor de los siguientes números:
a) 12 – 20 – 30
b) 60 – 90 – 120
c) 100 – 120 – 130
d) 120 – 360 – 720
5. Calcular el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
a) 8 – 12 – 15
b) 24 – 32 – 40
c) 60 – 90 – 120
d) 100 – 120 – 130
e) 120 – 360 – 720
6. a) Expresa en segundos: 3 h 45 min 6º 36’ 18’’
b) Expresa en forma compleja: 460 min 3468 seg 14205’’
7. Calcula:
a) 14º 27’ 47’’ + 23º 29’ 15’’ = b) 6º 5’ 43’’ ‐ 2º 50’ 55’’ = c) 25 h 21 seg ‐ 11 h 40 min 3 seg = d) (4 h 12 min 9 seg) ∙ 5 = e) (3º 31’ 24’’) ∙ 3 = f) (11 h 20 min 36 seg) : 5 =
8. Dos de los ángulos de un triángulo miden 40º 24’ y 91º 30’. ¿Cuánto mide el tercer
ángulo? 9. Luis va al cine cada 6 semanas y su amigo cada 4. Si este fin de semana han ido juntos,
¿cuándo vuelven a hacerlo? 10. Un semáforo se pone en rojo cada 45 segundos y otro cada 60 segundos. Tras coincidir los
dos en rojo, ¿cada cuánto tiempo volverán a coincidir? 11. El máximo común divisor de dos números es 5 y el mínimo común múltiplo es 30. Si uno
de los números es 15, ¿cuál será el otro número?
12. Tenemos dos listones de 24 y 30 dm, respectivamente, para construir marcos cuadrados. ¿Qué longitud debe tener cada lado para que no se desperdicie ningún trozo de los listones?
13. Tres barcos realizan sus travesías entre las islas Canarias en 6 , 9 y 12 días, respectivamente. El día de la Candelaria coincidieron en el puerto de la Luz. ¿Cuántos días transcurrirán para volver a coincidir?
14. Debo dividir una parcela rectangular de 150 m de largo por 100 m de ancho en parcelas cuadradas iguales y de la mayor superficie posible. ¿Qué dimensiones tendrán dichas parcelas?¿Cuántas podré conseguir?
15. A una estación de tren llegan los trenes procedentes de tres ciudades distintas, uno cada 8 minutos, otro cada 12 minutos y un tercero cada 15 minutos. Si han coincidido los tres a las 8:30, ¿cuándo volverán a hacerlo?
16. Disponemos de 40 caramelos de fresa, 60 de limón, 30 de café y 20 de menta, para guardarlos en bolsas iguales, con el mayor número posible de caramelos de manera que no se mezclen sabores. ¿Cuántos caramelos contendrá cada bolsa?¿Cuántas bolsas serán necesarias?
17. Se quiere dividir una parcela rectangular de 300 m de largo por 200 m de ancho en parcelas cuadradas del mismo tamaño y lo más grandes posible, ¿qué superficie tendrá cada parcela?
18. A una parada de autobuses llegan tres líneas distintas cada 6 min, 4 min y 8 min, respectivamente, si han coincidido los tres a las 8:30, ¿cuándo volverán a hacerlo?
19. Ejercicios combinados:
a) [ (‐3) (‐2) (1) ](‐3+5+1) =
b) [ (‐5) (‐6) (‐8) ][ (‐3) (‐1) (‐2+5)]=
c) [ (9 + 1) (‐3 + 1) (‐3) ] (‐3) =
d) [ (9 + 1 + 6) (2 + 1 – 9)] + [(‐ 3 + 1) (‐ 2 + 6)] =
e) [ (3 + 6) – (2) ] (5) =
f) [ (‐8) (‐3) (‐2 + 6) ] (‐2) =
20. Aplicando la jerarquía de operaciones calcular:
a) ( + 8 ) + ( ‐ 5 ) + ( ‐ 6 ) + ( + 10 ) =
b) ( ‐ 15 ) – ( + 7 ) – ( + 9 ) – ( ‐1 6 ) =
c) ( ‐ 2 ) ∙ ( + 5 ) ∙ ( ‐ 3 ) ∙ ( + 3 ) =
d) ( ‐ 36 ) : ( + 3 ) : ( ‐ 6 ) : ( + 2 ) =
e) [ ‐ 2 ∙ ( ‐ 3 ‐ 6 ) ] : ( ‐ 6 ) + ( 7 – 9 ) =
21. Calcula las siguientes potencias:
a) 24 b) 35 c) 104 d) 1003 e) (–4)3
f) (–1)28 g) (–2)4 h) (–3)0
22. Aplica las propiedades de las potencias y reduce a una sola potencia:
a) 32 ∙ 35 =
b) 56 : 52 =
c) (73)‐2 =
d) (‐5)2 ∙ (‐5) ∙ (‐5)5 =
e) 7‐3 ∙ 74 ∙ 7 =
f) (‐3)‐2 : (‐3)2 =
g) [(‐2)5]‐1 ∙(‐2)3 =
h) =⋅⋅
−
−
497)7(7
5
232
23. Calcular la raíz de los siguientes números:
121 144 169 196
400 441 484
45 = ( )63+ = 3 8− = 3 27+ =
FRACCIONES
1. Halla la fracción irreducible de los siguientes decimales:
750, 3363, 546, 243,
315, 272, 70,2 6,3
0.0075 31,48 0,6 2,25
••••
••••
••••
))
2. Aplicando la jerarquía de operaciones, calcular:
a. =−+52:
21
43.
31
52
b. =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
2
21
43:
21
52.
43
c. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
21
43:
21
53
=
d. [53 + (
21 .
32) ] – (
34 :
31) =
e. ( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−÷+⋅
2
31
43
21
52
23
f. =−+−
315
53
71
21327
514
2
3. Una familia tiene unos ingresos mensuales de 3.455 euros, el dinero destinado a alimentación es de 4/5 del total. ¿Cuál es la cantidad para alimentación?
4. Una encuesta hecha a 2.400 personas : dicen sí los 5/8; dicen no los 2/8; no contestan 1/8. ¿Cuántas personas de cada grupo salen?
5. Un depósito con capacidad para 50.000 litros de agua se sacan primero los 3/5 y después los 4/25 de lo que quedaba? ¿Cuántos litros se gastaron primero?¿Cuántos litros se gastaron la segunda vez? ¿Cuántos litros quedaron?
6. Un bar tenía 30 cajas de refrescos con 24 botellines cada una, se vendieron los 4/5. ¿Cuántos botellines quedaron por vender?
7. De un pastel se cortaron primero los 3/8 y después 1/8. ¿Qué fracción queda?
8. En un concurso de pintura los 5/9 obtuvieron como premio la estancia en un Parador; los 3/11 un cuadro y el resto un diploma. ¿Qué fracción obtuvo el diploma?
9. Un coche consume primero los 4/13 del carburante y después los 5/13. Si el depósito es de 65 litros, ¿cuántos litros le quedan?
10. Un grifo en 15 minutos llena 1/4 de un recipiente. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse todo?
11. En una escuela hay 300 alumnos, los 2/5 tienen menos de 10 años, la cuarta parte tienen 10 años y el resto son mayores de 10 años ¿Cuántos alumnos tienen más de 10 años?
12. Si 9.000 Kg de café al tostarlo pierden 1/5 de su peso. ¿Cuál será el nuevo peso?
13. Una señora sale a la compra con 210 €. En la pescadería gasta un tercio de lo que lleva. En la frutería gasta la quinta parte de lo que le queda. En la panadería 1/7 del resto. La mitad de lo que le queda lo gasta en la carnicería. Calcula cuánto gasta en cada puesto y la cantidad con la que regresa a casa.
14. Si Álvaro se come las 2/7 partes de una pizza, Su hermana 1/3 de lo que queda y todavía queda un trozo que pesa 200 g. ¿Cuál era el peso inicial de la pizza?
15. De los 200 kg de arroz que contiene un saco se han sacado 1/10. Más tarde se han sacado las 2/5 partes del resto y después 40 kg. Calcular el peso del arroz que queda en el saco.
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases ordinarias : 1. La resta de un número y su mitad.
2. La suma de dos números consecutivos.
3. El triple de un número aumentado en cinco.
4. Un número par disminuido en tres unidades.
5. El cuádruple del resultado de restar a un número 7 unidades.
6. Las tres cuartas partes de una cantidad más la unidad.
7. La quinta parte de la edad que tendré dentro de dos años.
8. El cuadrado de un número par.
9. La mitad de un número es 20.
10. La quinta parte de la diferencia de un número menos su mitad.
11. El séxtuplo de un número más su cuadrado.
12. El producto de dos números enteros pares consecutivos.
13. El cubo de un número más su consecutivo.
14. El cuadrado de la diferencia del doble de una cantidad menos la unidad.
15. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos.
16. Dos tercios de una cantidad disminuidos en la mitad de dicha cantidad.
2. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas :
a) 5a + 3 para a = 2
b) x2 + x para x = 3
c) 3a2 – 2a + 1 para a = ‐ 2
d) x3 – x2 + x – 3 para x = ‐ 2
e) 3/5 m – 1/10 n para m = 1/3 n = 10
f) ‐ 3x3 + 2 y2 – 1 para x = y = ‐2
g) x2 + 3y para x = 1,5 b = 5,2
MONOMIOS
3. Efectua las siguientes sumasy restas de monomios :
a) 3ab + 5ab +7ab +8ab =
b) 2/3 a + 1/4 a =
a) ‐3ab ‐ 5ab ‐7ab ‐ 8ab =
b) 6x2 ‐ 5x2 ‐ 3x2 ‐ 9x2 =
c) 3/5 x6 ‐ 1/10 x6 =
4. Efectuar las siguientes operaciones combinadas :
a) 8x + 3x ‐ 5x + x – 9x =
b) ‐6x2 + x2 + 4x2 ‐ 9x2 + 8x2 =
c) 3/5 x3 ‐ 1/10 x3 + 2/3 x3=
d) 4a2b5 ‐ 3ab3 ‐ ab3 + 7a2b5 =
5. Calcular los siguientes productos de monomios :
a) 5x . 4x . 2x =
b) 3a2 . 5a2 =
c) ( ‐3xy) . ( ‐7xy ) =
d) 5/3 a4b6c . ( ‐ 1/3 a2bc3 ) =
6. Calcular las siguientes divisiones con monomios :
a) 25x6 : 5x3 =
b) 4 x4y6 : 2 xy2 =
7. Calcular las siguientes potencias de monomios :
a) ( 5x3 )2=
b) ( 2/3 m7 )2 =
c) ( ‐ 2 xy2 )4=
POLINOMIOS
8. Hallar las siguientes sumas de polinomios:
a) ( 3 x5 ‐ 2 x2 + 4 x )+( ‐ 2 x3 + x ‐ 5 )+ )( )( 354223 2324 −+−++−+ xxxxx =
b) ( y4 ‐ 6y3 + 16y2 ‐ 22y + 15 ) +( y2 ‐ 2y + 3 )+( y5 + 3y4 ‐ 4y3 + 3y2 – y ‐ 10 ) =
9. Restar los siguientes polinomios:
a) ( 3 x5 ‐ 2 x2 + 4 x ‐ 2 ) ‐ ( ‐ 2 x3 + x ‐ 5 ) =
b) ( y5 + 3y4 ‐ 4y3 + 3y2 – y ‐ 10 ) ‐ (5y4 ‐ 6y3 ‐y2 ‐ 2y + 5 )=
10. Hallar el producto de los siguientes polinomios:
a) ( 3 x5 ‐ 2 x2 + 4 x ‐ 2 ).( ‐ 2 x3 + x ‐ 5 ) =
b) ( y5 + 3y4 + 4y3 + 3y2 + y ) . ( y2 + 2y + 1 )=
PRODUCTOS NOTABLES
11. Desarrolla y calcula los siguientes productos notables:
a) ( 2 a ‐ 7 )2 =
b) ( 6 m + 8 n ) . ( 6 m ‐ 8 n ) =
c) ( 2 x 3 ‐ 5 x4 )2 =
d) ( 5 x3 + 4 )2 =
e) ( 2x ‐ 7 )2 =
f) ( 9 + 2x ) . ( 9 ‐ 2x ) =
g) ( 4x2 ‐ 2x ) . ( 4x2 + 2x ) =
h) ( 6a + 3b )2 =
i) ( m5 + m3 )2 =
j) ( 1/5 a3 + 2/3 b2 )2 =
22.‐¿Qué producto notable le corresponde a cada trinomio cuadrado perfecto:
a) x2 + 2xy + y2 =
b) m2 – 2mn + n2 =
c) y2 – 2y + 1 =
d) x2 – y2 =
e) a2 – b2 =
f) x2 – 6x + 9 =
g) x2 + 4x + 4 =
h) 16 – 25x2 =
i) 1/9 + 2/3y + y2 =
j) 25m2 – 10mn + n2 =
k) 100x2 – 36y2 =
l) a2 + 10a + 25 =
m) 4/25 – 4/5b + b2 =
n) x4 – 2x2y3 + y6 =
FACTOR COMÚN
a) 5a + 5ab + 5b = b) 3xy + 2y + 7y =
c) mn – m – mx + my = d) 3x2 – 6x3 + 12x =
e) 4x – 4x2 + 8x3 = f) 6x2y3 + 3xy – 9x3y2 =
g) 1/3b3 + 2/6b2 = h) 4a4b6 – 6 a3b3 + 10a2b =
i) 3x + xy – x2 = j) xy + xy2 – x2y =
k) abc + 2ab – ab2 = l) 5/3m3n2 + 10/6m2n3 =
FRACCIONES ALGEBRAICAS
24.‐Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
=−
+−22
22
222
yxyxyx
=
++−
22
22
36333
nmnmnm
=−
+−22
22
222
bababa
=
−+−22
22 2yx
yxyx
=−
+−yx
yxyx23
4129 22
=
++
2
2
abaabab
ECUACIONES DE 1º Y 2º GRADO Y PROBLEMAS DE ECUACIONES
REPASO DE PRIMERO (ECUACIONES DE 1º GRADO)
1. xxxx 109753 −+=−+
2. ( ) 52372 −=++ xxx
3. xxx 3124
43+=+
−
4. 6
53
12 xx −=
−
5. )(
532 +x
= ‐ x + 2
6. 2x ‐ 7x + 5 = 2 ( x + 7 ) – 3 ( 2x – 4 )
7. 3
2211
632 −
−=+−xxx
8. ( ) 5
24
312
+=−+ xx
9. ( ) 1
41
23423
++
−=−− xxx
10. 252
2235 +=
−− xxx
PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
BÁSICOS
1. ¿Qué número aumentado en 17 da como resultado el doble de 25. 2. La suma de dos números impares consecutivos es 32. ¿De qué números se trata? 3. La suma de dos números es 154 y su diferencia es 36. ¿Cuáles son dichos números? 4. Halla tres números enteros consecutivos que sumen 219. 5. Añadiendo a una cantidad su mitad y su cuarta parte resulta 62. Halla dicha cantidad.
ANIMALES
6. En un corral hay patos y conejos siendo en total 39 animales. ¿Cuántos hay de cada sabiendo sumadas todas las patas dan 126?
7. Tres gallinas han puesto en un día 17 huevos. La primera puso 3 menos que el doble de los puestos por la tercera y la segunda puso 4 menos que el triplo de la tercera. ¿Cuántos huevos puso cada gallina?
EDADES
8. Pedro tiene cuatro años más que su hermana, y hace seis años su edad era el doble de la que ella tenía. Averigua la edad de cada uno de ellos.
9. Juan tiene 28 años menos que su padre. Dentro de 15 años la edad de éste será el doble de la de Juan. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?
10. Julio tiene tres años menos que su hermano y dentro de cuatro años la suma de sus edades será de 33 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
11. La edad de Carmen es actualmente el triple de la edad de su hijo, y hace seis años las edades de ambos sumaban 40 años ¿Qué edad tiene cada uno?
DINERO
12. Un amigo dijo a otro: ¿Cuántos euros tengo, sabiendo que la tercera parte de ellos menos uno es igual a la sexta parte de los mismos?
13. Adivina cuántos euros tengo, sabiendo que la tercera parte de ellos menos uno es igual a la sexta parte del total.
14. Entre monedas de 1 € y de 2 € tengo 15 monedas dando un total de 22 €. ¿Cuántas monedas tengo de cada?
15. María sale de casa con cierta cantidad de dinero. Se gasta la mitad en un libro y la tercera parte en bolígrafos, vuelve a casa con 5 €.¿Cuánto dinero tenía al salir?
16. Si una goma de borrar vale la mitad que un bolígrafo, y por 5 gomas y 3 bolígrafos pago 2 € con 20 céntimos, ¿cuál es el precio de cada uno?
MÓVILES
17. Dos automóviles que distan entre sí 450 km marchan en dirección opuesta. Si su velocidades respectivas son 80 km/ y 100 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse?
18. Un automóvil con una velocidad de 90 km/h comete una infracción de tráfico en un punto determinado. Una hora más tarde un motorista de tráfico es informado del hecho y sale en su persecución a una velocidad de 120 km/h. ¿Cuándo le alcance, qué tiempo ha transcurrido?
PROPORCIONES
19. Una columna tiene la quinta parte de su longitud introducida en tierra, sus dos terceras partes en el agua y seis metros en el aire. ¿Cuántos metros mide dicha columna?
20. ¿Qué número hay que añadir a los dos términos de la fracción 3/5 para conseguir la fracción 5/6?
21. El área de un triángulo es 20 dm2. Si la base mide 10 dm, hallar el valor de la altura.
22. Calcula el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el segundo es el doble del primero, y el tercero es igual a la semisuma de los otros dos ángulos.
ECUACIONES DE 2º GRADO ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS
1. 0152 2 =+− xx
2. 0152 =−+ xx
3. 035 2 =+− xx
4. 672 2 −=− xx
5. 223 2 =− xx
ECUACIONES DE 2º GRADO INCOMPLETAS
6. 0123 2 =−x
7. 052 =+ xx
8. 092 =− xx
9. 0273 2 =+x
ECUACIONES DE 2º GRADO A TRASPONER TÉMINOS Y CON PARÉNTESIS
10. 52573 22 −+−=+− xxxx
11. ( )( )1.13 2 +−=− xxxx
12. ( ) xxxxx 24132 22 =+−+−
13. ( ) ( ) ( ) 21521314 +−=−⋅+ xxxx
14. ( ) ( ) 18623 22 −+=−− xxxx
15. ( ) ( ) ( ) 21721414 +−=−⋅+ xxxx
ECUACIONES DE 2º GRADO A TRASPONER TÉMINOS Y CON DENOMINADORES
16. 124
3 22
=−− xxx
17. 4
323
2 222 +−−=−
xxxx
18. ( ) 1
61
312 22
=−
−+− xxx
PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
NÚMEROS
1. Halla un número cuyo cuadrado sea tres veces dicho número disminuido en dos.
2. El producto de dos números naturales consecutivos disminuido en 42 es igual a 68. ¿Cuáles son dichos números?
3. La suma de dos números es 22 y su producto es 120. Calcular la media aritmética entre
ellos.
4. El producto de dos números enteros consecutivos es 156. Hállalos. 5. La suma de los cuadrados de dos números es 4, 52. Si uno de los números es 1, 6
Calcular el otro número.
6. Si de un número se resta 2, y también se le añade 2, el producto de estos resultados es 96. ¿De qué número se trata?
7. Si al cuadrado de la edad de un chico le restamos su cuádruplo resultan 12 años. ¿Qué edad tiene?
8. Consigue la ecuación de segundo grado cuyas soluciones sumen 5 y su producto 6.
GEOMETRÍA
9. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 24 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Se desea saber las longitudes de los dos catetos.
10. Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se corresponden con tres números pares consecutivos. ¿Qué superficie ocupa dicho triángulo?
11. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 65 cm y el cateto mayor es 13 cm más largo que el menor. Averigua el área del triángulo.
12. Por aumentar cada lado de un cuadrado en 2 cm, el área aumenta en 16. Averigua el lado del cuadrado.
13. El perímetro de un rectángulo es 30 m y su área, 54 metros cuadrados. Calcular las dimensiones del rectángulo.
14. La altura de un rectángulo es 3 m mayor que su base. Averigua sus dimensiones, sabiendo que su área es de 40 metros cuadrados.
SISTEMAS DE ECUACIONES Y PROBLEMAS
1.‐ Resolver los siguientes sistemas: (los impares por el método de sustitución y los pares por igualación y los múltiplos de 3 también por reducción))
1. 672943
=−=+
yxyx
2. 16
559=+
−=−yxyx
3. 46137
=+=−
yxyx
4. 49
1253=−=+
yxyx
5. 372
1043−=−
=+yxyx
6. 772
443−=−
=+yxyx
7. 23/235/4
=−=+
yxyx
8. 62
43=−−=+
yxyx
2.‐ Resolver por el método más conveniente:
1. 6
23
53
143
5
−=−
=+
yx
yx
2. 55
53
41
43
=−
−=+
yx
yx
3. ‐0,3x + 2( 1 – y ) = 0,4 y = ‐ x – 2
4. 2/3x – 2( x – y ) = 3/5
2x + 1/3( ‐2x +y ) = ‐2
5. 553
22 =+
=+
yxyx
PROBLEMAS DE SISTEMA ECUACIONES DE PRIMER GRADO
NÚMEROS 1. La suma de dos números es 48 y su cociente exacto es 3.¿Cuáles son? 2. Busca dos números cuya diferencia multiplicada por 5 sea igual a 30 y cuya suma
aumentada en 4 de 40.
LIBROS, MATERIAL ESCOLAR Y OTROS ARTILUGIOS.
3. Un libro y un bolígrafo han costado 85 euros. Sabiendo que el precio del bolígrafo equivale a los 2 / 15 del libro, calcular el precio de cada uno.
4. Una pluma y un bolígrafo cuestan 850 €. Si el precio del segundo equivale a los 2/15 de la
primera. ¿Qué precio tiene cada uno?
5. Se han comprado 6 libros y 4 plumas por un coste total de 1660 €. Sabiendo que 4 libros y 2 plumas cuestan 940 €. Hallar el precio de cada unidad.
6. Se quiere repartir un lote de libros entre varios alumnos. Si a cada uno se les dieran 3,
sobrarían 17 libros, y si a cada uno se les dieran 4, faltarían 8 libros. ¿Cuántos alumnos y cuántos libros hay?
7. Si 2 tornillos y 4 tuercas pesan 17 gramos, y 5 tornillos y 3 tuercas pesan 32 gramos. ¿Cuál
es el peso de cada pieza?
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD
1. Calcula el elemento que falta en las razones para que puedan formar proporciones.
x4
52=
x =
246
4=
x
x =
94 xx=
x =
7282
=x
x =
25306
=x
x =
42147 x=
x =
xx 205=
x =
21284
=x
x =
5496 x=
x =
104221
=x
x =
xx 361=
x =
4249
6=
x
x =
2. Indica el tipo de proporcionalidad entre los siguientes pares de magnitudes:
a) El número de minutos que hablo por teléfono y el coste de la llamada.
b) Los kilómetros que circulo con el coche y la gasolina que gasto.
c) La velocidad a la que voy en el coche y el tiempo que tardo en llegar.
d) El número de obreros y el trabajo a realizar.
e) El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer un trabajo.
f) El número de grifos y el caudal que arrojan.
g) Los kilogramos de fruta que compro u el precio a pagar.
h) El número de grifos y el tiempo que tardan en llenar un depósito.
3. Calcular los siguientes porcentajes:
a) 20% de 100 euros.
b) 35% de 300 metros.
c) 12,5% de 450 litros.
d) 58% de 1000 animales.
e) 103% de 150 libros.
f) 25,75% de 3000 euros.
g) 150% de 456 kg.
h) 200% de 735 km.
PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
1. Un vehículo para hacer un recorrido a 90 Km/h tarda 7 horas. ¿Cuánto tardará otro vehículo si su velocidad es de 95 Km/h?
2. Por 5 Kg de pan se pagó 6 euros. Calcular el precio de 8 Kg.
3. Si cinco libros tienen un valor de 70 euros. ¿Cuánto costarán 25 libros?
4. Por 5 horas de trabajo se cobraron 75 euros. ¿Cuánto se cobrará por 7 horas?
5. Por la venta de 15 Kg de alubias se han cobrado 29,5 euros. ¿Cuánto se cobraría por 34 Kg?
6. Un pastor vende 18 corderos por 2614 euros, pero como son pocos decide vender 35 más. ¿Cuál será el valor de la venta?
7. Un árbol de 13 m de altura proyecta una sombra de 8,2 m en un determinado momento del día. ¿Qué sombra proyectará otro árbol de 12,8 m de altura?
8. Un barco por 8 horas de travesía consume 245 Tm de carburante. ¿Cuánto consumirá otro por 15 horas de travesía?
9. Tres motores bombean 15.000 litros de agua. ¿Cuántos litros bombearán 4 motores?
10. Cada medio litro de refresco cuesta 1,3 €. Calcular el importe de 5 botellas de litro cada una.
11. Un coche consume 8 litros de gasolina por cada 100 km de recorrido. ¿cuánto consumirá en un viaje de 450 km?
12. Una rueda de un coche da 11397,5 vueltas en 23,5 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas 15 minutos 30 segundos?
PROPORCIONALIDAD INVERSA
13. Si 9 operarios hacen un trabajo en 12 días. Tres operarios, ¿cuánto tardarán?
14. Un ganadero tiene 25 vacas a las que les da 2,5 Kg de pienso cada día, compra 6 más sin aumentar la ración. ¿Qué cantidad corresponderá a cada una?
15. Un castillo con 350 guerreros tenía agua para 15 días. Durante un asedio se refugiaron 70 guerreros más. ¿Para cuántos días tendrán agua?
16. Una residencia con 75 personas tienen comida para 20 días, por unas inundaciones cercanas se acogieron a 5 personas más. ¿Para cuántos días tuvieron alimentos?
17. Con 8 bueyes se han arado 10 ha de terreno en 16 horas. ¿Cuántas horas se tardaría si utilizamos 16 bueyes para hacer el mismo trabajo?
18. En una granja de 2500 pollos se consumen 5000 kg de pienso cada seis días. Si se venden el 10% de los pollos ¿cuántos días durará la misma cantidad de pienso?
19. Un padre reparte 600 euros en partes inversamente proporcionales a las faltas cometidas por sus hijos en un dictado. Uno de ellos tuvo 6 faltas y el otro 4. ¿Cuántos euros dará a cada uno?
20. En un colegio han cobrado 40000 euros por enseñanza y manutención de 40 alumnos durante 10 meses.¿ Cuánto cobrarán por el 30% más de alumnado durante las dos terceras partes menos de tiempo?
21. Si 10 grifos tardan 12 horas en arrojar 15 metros cúbicos de agua. ¿Cuánto tiempo tardarán 8 grifos iguales para echar 7 metros cúbicos?
22. Se quieren repartir 14200 euros en razón inversa a los números 3 , 5 y 6 . ¿Qué cantidad corresponde a cada uno de ellos?
23. Para repartir inversamente 10400 euros entre los números 6, 9 y 12. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
24. Durante 20 días y trabajando 8 horas diarias, diez obreros han hecho un trabajo. ¿Cuántos días tardarán 15 obreros trabajando 9 horas diarias?
25. Para repartir inversamente 2600 euros entre los números 3, 4’5 y 6. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
26. Una carrera ciclista reparte 60000 euros en premios, en partes inversamente proporcionales a los tiempos invertidos por los cuatro primeros corredores, que han sido: 40,45, 50 y 60 minutos, respectivamente. ¿Cuántos euros recibirá a cada uno?
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
27. En 5 días cuatro embotelladoras distribuyen 20000 litros de zumo. ¿Cuántos litros distribuirán 2 embotelladoras en 10 días?
28. Un ganadero necesita 500 kg de pienso para alimentar a 20 vacas durante cinco días. ¿Cuánto consumirán 30 vacas en 4 días?
29. Para hacer 1000 pantalones en 8 días se han necesitado 5 máquinas. ¿Cuántos pantalones acabarán 6 máquinas en 10 días?
30. Durante 3 meses se han contratado a 40 obreros para hacer un trabajo, trabajando 8 horas diarias. ¿Qué tiempo emplearían 30 obreros trabajando 10 horas diarias?
31. Si nueve obreros hacen una zanja de 15 m de larga en 2 días. ¿Cuántos obreros harán falta para hacer otra de 20 m de larga en 6 días?
32. Durante 3 meses de trabajo, trabajando 8 horas diarias, 5 obreros han cobrado 65000 €. ¿Cuántos obreros tendrían que trabajar durante 5 meses, trabajando 6 horas diarias para cobrar 60000 €?
PORCENTAJES
33. En una ciudad hay 34000 personas menores de 20 años, que representan el 32% de sus habitantes. ¿Cuál es el censo de dicha ciudad?
34. Antonio ha comprado un DVD por 24 € y aún le queda el 62,5% de sus ahorros. ¿Cuánto dinero tenía antes de la compra?
35. Si un motor eléctrico da 4500 rpm trabajando al 80%, ¿cuántas revoluciones por minuto dará si trabaja al tope de su rendimiento?
36. Un automóvil gasta 2,5 litros de gasolina cada 50 km. Si le quedan en el depósito el 40% de 30 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer?
37. Las 264 primeras personas que visitaron un museo representan el 12% del total de asistencia de ese día. ¿Cuántas personas visitaron el museo?
38. Juan cría patos y pollos a razón de 4 patos por cada 6 pollos. Si en total tiene 120 animales. ¿Cuántos tiene de cada?
AUMENTOS Y DESCUENTOS PROPORCIONALES
39. Si por un jersey de 80 € he pagado 60 €, ¿qué porcentaje de descuento me han hecho?
40. Al comprar un mueble de 250 € me añaden el 16% de IVA, y luego me descuentan un 5%. ¿Qué cantidad tendré que abonar?
41. Luis cobra 1180 € al mes y Darío 1150 €. A ambos les han subido el sueldo con el mismo porcentaje, si Luis cobró 41,30 € más, ¿cuánto cobró Darío?
42. La factura de la Telefónica, incluyendo el 16% de IVA y los 32,5 € que supone la compra del aparato, es de 143,75 €. Calcular el importe que corresponde a las llamadas.
43. He comprado un libro de 18 € y un CD con una rebaja del 10%, cada uno. Si pagué en total 34,2 €. ¿Cuál es el precio del CD?
INTERÉS
44. Un banco ofrece un 5% anual a sus clientes. ¿Cuánto recibiré si deposito 30000 € durante 3 años?
45. ¿Qué alternativa es más rentable: depositar 5000 € durante 4 años a un 4% o durante 2 años a un 8% anual.
46. ¿Qué capital fue depositado al 10% anual durante 5 años si originó unos beneficios de 40000 €?
47. ¿Qué cantidad recibiré por 9000 € durante 8 meses al 7% anual?
48. Al prestar 15600 euros durante 9 meses al 6%.¿Qué cantidad nos devolverán transcurrido dicho tiempo?
49. Calcula el interés que producirán 8690 euros al 3,5% durante 60 días.
50. ¿Qué beneficio se obtiene al colocar 16000 euros en el banco, si la renta es del 8, 5% durante 6 años de imposición?
51. El beneficio que se obtiene al prestar 20000 € al 10% durante dos años se reparte de forma directamente proporcional a los números 1, 4 y 5. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno de ellos?
SEMEJANZAS Y TRIÁNGULOS.
1. Si un segmento AB mide 5 cm y queremos construir otro de 4 cm, ¿qué razón de semejanza tendremos que aplicar?¿Y si al construirlo midiera 10 cm?
2. Un segmento CD mide 8 cm y construimos otro, semejante a él, con razón de semejanza r
= 2´5, ¿qué medida tendrá el segmento final?
3. Una circunferencia mide de diámetro 6 cm. ¿Cuál será la razón de semejanza aplicada si hemos construido otra de 3,6 cm de diámetro?
4. Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 10 cm, respectivamente. ¿Cuánto medirán los de
otro semejante a él si la razón de semejanza es 2,5?
5. Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 5 cm, respectivamente. En otro semejante a él, la medida del lado mayor es de 10 cm. Calcular la razón de semejanza y la medida de los otros dos lados.
6. Indica si son semejantes los triángulos con las siguientes medidas:
A) a = 5 cm, b = 2 cm, c = 4 cm
a´= 7,5 cm , b´ = 3 cm, c´ = 6 cm
B) a = 3 cm, b = 5 cm, c = 2 cm
a´= 6 cm, b´ = 10 cm, c´ = 3 cm
C) Â = 60º , Ê = 80º
Ê´= 80º, Ĉ´= 40º
D) â = 90º, ê = 40º
ê´= 40º, ĉ´= 70º
7. La distancia en un mapa entre dos pueblos es de 4 cm. Si la escala es de 1:500000, ¿a qué distancia se encuentran en la realidad?
8. Dos ciudades distan 200 km. ¿Cuál será la distancia en un plano hecho a escala 1:1000000?
9. Sabiendo que la distancia entre Madrid y Alicante es de 430 km y en un plano es de 43
cm, ¿Qué escala se ha utilizado para hacer dicho plano?
10. Las dimensiones de una habitación son 12 m de largo por 8 m de ancho. ¿Qué medidas tendrá en un plano a escala 1:50?
11. ¿A qué escala tendremos que diseñar un mapa si queremos que dos ciudades distantes
110 km, estén a 11 cm en el mapa?
12. La maqueta de un barco está hecha a escala 1:20. Si las dimensiones son 15 cm de largo, 6 cm de ancho y 20 cm de alto, ¿cuáles serán las dimensiones del barco original?
13. En el plano de un piso la cocina mide 3,6 cm de ancho por 6 cm de largo. Si el ancho real
de la cocina es de 1,8 m, ¿qué escala se ha utilizado?¿cuánto mide de largo real?
14. Un árbol de 3 metros de alto proyecta una sombra de 2 metros de largo. ¿Cuál será la altura de un edificio que proyecta una sombra de 60 metros?
15. ¿Qué altura tendrá una torre cuya sombra mide 40 m, si la de una farola, de 10 m, es de
20 m?
16. Conocidas las medidas de los lados de los siguientes triángulos, indica si son acutángulos, rectángulos u obtusángulos:
a) 3 cm, 4 cm y 5 cm b) 10 cm, 12 cm y 15 cm.
c) 8 cm, 10 cm y 16 cm. d) 9 cm, 12 cm y 15 cm.
e) 1,5 cm, 2 cm y 2,5 cm. f) 4,5 cm, 5 cm y 9,25 cm.
17. Completa el siguiente cuadro:
Hipotenusa Cateto mayor Cateto menor
8 6
25 20
50 30
6,5 4,5
12,5 10,5
18. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 23 y 20 cm, respectivamente, calcular la medida del lado mayor.
19. Una torre de 40 metros proyecta una sombra de 30 m. ¿Qué distancia separa el extremo de la sombra del punto más alto de la torre?
20. Para sujetar una antena de 15 m de altura se utilizan tres tensores que se sujetan en el
extremo de la antena y en el suelo a una distancia de 8 m del pie. ¿Qué longitud tendrán dichos tirantes?
21. En un triángulo equilátero de 10 cm de lado, ¿cuánto mide una de sus alturas?
22. El perímetro de un cuadrado es de 40 dm. Calcular la medida de su diagonal?
23. Si las diagonales de un rombo miden 16,4 y 10,5 cm, respectivamente, ¿cuánto medirá su perímetro?
24. Las bases de un trapecio isósceles miden 20 y 30 cm, respectivamente, y cada uno de los
lados iguales mide 10 cm. ¿Qué superficie ocupa?
25. El área de un campo rectangular es de 4800 m2. Si mide de largo 80 m, ¿cuántos decámetros mide su diagonal?
26. Las bases de un trapecio isósceles miden 4 y 6 dm, respectivamente, si su perímetro es de
140 cm ¿Qué superficie ocupa, en metros cuadrados?
27. La altura de un triángulo equilátero mide 10 cm. Calcular su área.
28. El perímetro de un triángulo isósceles es de 45 cm, el lado desigual mide 15 cm. Calcular el área de dicho triángulo.
29. La diagonal menor de un rombo mide 6 dm y el perímetro 20 dm. Calcular la diagonal
mayor y el área del rombo.
30. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,6 y 0,8 dm. Sobre la hipotenusa se construye un semicírculo, ¿qué área ocupará éste último?
ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
EJERCICIOS DE PRISMAS
1. Un prisma hexagonal regular mide de altura 10 cm y su arista básica 4 cm. Calcular el área lateral y total del mismo.
2. ¿Cuánto mide el área total de un prisma triangular regular de 3,5 dm de arista de la base y 8 dm de altura de la pirámide?
3. Hemos comprado un regalo que se encuentra dentro de una caja de 40 cm de largo, 15 cm de ancho y 12 cm de alto, ¿qué cantidad de papel necesitamos para envolverlo?
4. Las dimensiones de un ortoedro son 12 cm de largo por 9 cm de ancho y 5 cm de alto. Calcular el área total de dicho poliedro.
5. Las dimensiones de un ladrillo son 20, 10 y 5 cm, respectivamente. ¿Cuántos ladrillos se necesitarán para formar un bloque de 10 metros cúbicos?
6. ¿Qué superficie total tiene un dado de 1, 5 cm de arista?
EJERCICIOS DE PIRÁMIDES
7. Calcular el área total de una pirámide hexagonal regular de 36 cm de perímetro básico y 7 cm de arista lateral.
8. ¿Cuál será el volumen de una pirámide de 6 cm de altura si su base es un cuadrado de 16 cm de perímetro básico?
9. Una pirámide pentagonal regular de 4 cm de lado básico y 3 cm de apotema básica mide de altura 10 cm. ¿Qué superficie total tiene?
10. Una pirámide cuadrada mide de altura 6 dm y de arista básica 4 dm. Calcular su área total.
EJERCICIOS DE CILINDROS
11. Calcular el área lateral de un bote cilíndrico de 10 cm de ancho y 20 cm de alto.
12. ¿Qué volumen tiene un bote cilíndrico de 5 dm de radio y 10 dm de altura?.
13. En un cilindro de 12 dm de radio y 10 dm de altura se introduce un cono de la misma altura y la mitad de radio. ¿Qué volumen queda sin ocupar?
14. Calcular el área lateral de un tubo cilíndrico de 2, 5 cm de radio y 30 cm de longitud.
EJERCICIOS DE CONOS
15. ¿Cuál será la superficie lateral y el volumen de un cono si mide de radio 5 dm y de generatriz 7 dm?
16. Hallar el área total de un cono de 5 cm de generatriz, 4 cm de altura y 3 cm de radio.
17. Un cono mide de altura 16 cm y de perímetro básico 32 cm. Calcular el área de su base y su área total.
18. En un cono de 5 cm de generatriz y 3 cm de radio, ¿cuál será el volumen que ocupa?
19. ¿Qué volumen tendrá un cono de 6 cm de diámetro básico y 5 cm de generatriz?
EJERCICIOS DE ESFERAS
20. Una esfera mide de radio 10 cm, ¿qué área tiene?
21. Una bola de 6 cm de diámetro, ¿qué volumen tiene?
22. ¿Cuántos litros de agua se necesitarán para poder llenar un depósito esférico de 8 metros de diámetro?
23. En una caja cúbica de 2 metros de lado está inscrita una esfera. Calcular el área de la esfera y el volumen que queda libre dentro de la caja.
24. Un balón de 6 dm de diámetro, ¿Qué volumen ocupa?
FUNCIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA
ECUACIONES BÁSICAS
1. En la tabla está representada la relación entre el lado de un triángulo equilátero y su perímetro. Escribe los datos que faltan.
1,5 3 7 40/3 60
perímetro 9 24 36
2. Construye la gráfica con los datos de la siguiente tabla que relaciona la edad con el peso:
Edad 12 13 14 15 16 17 18
Peso 55 56 58 61 65 70 75
3. El precio de las llamadas de teléfono consta de un fijo por conexión y un coste por minuto
de duración de la llamada. Si el fijo es de 12 cts. y cada minuto cuesta 15 cts., construye una tabla en la que se exprese el precio de los 5 primeros minutos y su coste.
4. Representa los siguientes puntos: A(4, 2), B(‐3, 1), C(0, ‐4), D(3, ‐1). Únelos y raya la figura obtenida.
5. Representar en unos ejes los siguientes puntos: A ( 4, 2 ) ; B ( ‐3, 4 ) ; C ( ‐2, ‐3 ) ; D ( 3, ‐2 ). Únelos por orden alfabético y colorea la figura resultante.
6. Representa la función que tiene por expresión analítica y = x + 1; para ‐2 < x < 2.
7. Observando la gráfica del ejercicio anterior, contesta a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuál es el nombre de la gráfica? b) ¿Qué tipo de función justifica? c) ¿Cuál es el valor de su raíz o solución? d) ¿Cuál es el valor de la pendiente? e) Indica la ordenada en el origen. f) Indica las coordenadas de los puntos donde la recta corta a los ejes cartesianos. g) ¿Qué forma tiene la función lineal cuya gráfica es paralela a ella?
8. Representa la función y = x – 1 ; para ‐2 < x < 2
9. Construye una tabla en la que una variable sean los litros de gasolina y la otra el coste total, a razón de 1,12 €./litro.
10. En la tabla del ejercicio anterior que relaciona los litros de gasolina con el coste final,
contesta a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuál es la variable independiente?
b) ¿Cuál es la variable dependiente?
c) Escribe la función (expresión analítica) que relaciona ambas variables.
11. Representa la función asociada a la siguiente tabla, aplicando la característica de la función :
x ‐ 2 ‐ 1 0 1 2 3
y = x2 +2
12. ¿A qué tipo de función representa la gráfica del ejercicio anterior?¿Cómo se llama la gráfica obtenida?
13. Representa en una gráfica la siguiente tabla, indicando previamente la función que relaciona la variable independiente con la dependiente o función :
x 1 2 3 4 5 6
y 5 4 3 2 1 0
14. Sobre las tres funciones representadas en la gráfica,
Podremos decir que:
a) Tienen igual pendiente y ordenada en el origen. b) Tienen igual pendiente y distinta ordenada en el origen. c) Tienen distinta pendiente e igual ordenada en el origen. d) Tienen distinta pendiente y distinta ordenada en el origen.
15. Observa y elige la opción correcta para las funciones representadas:
a) La “A” es creciente, la “B” decreciente y la “C” constante. b) La “A” es creciente, la “B” y la “C” son constantes. c) Las tres funciones “A”, “B” y “C” son decrecientes. d) Las tres funciones “A”, “B” y “C” son decrecientes.
16. Observa y elige la opción correcta para las funciones representadas:
a) La “A” es una recta, la “B” es una parábola y la “C” es una hipérbola b) La “A” es una recta, la “B” es una parábola y la “C” es una curva. c) Las tres funciones “A”, “B” y “C” son de segundo grado. d) La “A” es lineal, la “B” es inversa y la “C” es cuadrática.
17. ¿Cuál es la pendiente de las siguientes rectas?
a) y = 5x b) y = ‐ 3x c) y = 1/3 x d) y = ‐ 4’5x
ESTADÍSTICA
1. Se ha lanzado un dado 100 veces y se han obtenido los siguientes resultados:
Se obtiene 1 2 3 4 5 6
Número de veces 16 18 17 15 20 14
Construye la correspondiente tabla de frecuencias. ¿Qué porcentaje se veces se ha obtenido un seis? ¿Qué porcentaje ce veces se ha obtenido menos de un cuatro? Construye el diagrama de barras correspondiente.
2. Se ha preguntado a los 30 alumnos de una clase de tercero de ESO su estatura y se han obtenido las siguientes contestaciones:
168 169 172 175 168 169 165 169 172 171 163 164 170 167 165 159 163 166 167 173 165 160 168 167 170 161 162 162
Construye la correspondiente tabla de frecuencias agrupando los datos en cuatro intervalos de igual longitud. ¿Qué porcentaje de alumnos mide menos de 170 centímetro? Construye el histograma.
3. El número de horas que diariamente ven la televisión diez personas seleccionadas es el siguiente: 3, 2, 0, 1, 2, 4, 5, 3, 3, 2
Halla la media, la moda y la mediana, el rango, la varianza y la desviación típica de la distribución correspondiente al ejercicio anterior.
4. Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3º de ESO en la materia de Cultura Clásica vienen dadas por la siguiente tabla:
Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Alumnos 0 2 4 4 4 4 3 5 5 1
Calcula la media, la moda y la mediana. Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de la distribución correspondiente al ejercicio anterior.
5. Las alturas de los 30 alumnos de una clase de 3º de ESO vienen dadas por la siguiente tabla:
Alturas (cm) [ )155150− [ )160155− [ )165160− [ )170165− [ )175170−
Alumnos 3 9 6 6 6
Calcula la media, la moda y mediana. Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de la distribución correspondiente al ejercicio anterior.