densité des temps d'atteinte pour des processus de lévy...
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Densité des temps d’atteinte pour desprocessus de Lévy stables
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon
Université Lille 1
Colloque jeunes probabilistes et statisticiens
8 avril 2014
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Plan
1 Quelques définitionsLois stablesProcessus de Lévy
2 Problème du temps d’atteinte
3 UnimodalitéDéfinition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
DéfinitionLa loi d’une variable aléatoire X est dite stable si ∀n ≥ 1 ilexiste an > 0 et bn réels, X1, ...,Xn copies i.i.d de X telles que :
Sn d= anX + bn
avec Sn =∑n
i=1 Xi .Si bn = 0 ∀n, la loi est dite strictement stable.
ThéorèmeSeule la constante an = n
1α est possible, 0 < α ≤ 2. α est
appelé l’exposant caractéristique de la loi.
Les lois stables sont infiniment divisibles.
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
DéfinitionLa loi d’une variable aléatoire X est dite stable si ∀n ≥ 1 ilexiste an > 0 et bn réels, X1, ...,Xn copies i.i.d de X telles que :
Sn d= anX + bn
avec Sn =∑n
i=1 Xi .Si bn = 0 ∀n, la loi est dite strictement stable.
ThéorèmeSeule la constante an = n
1α est possible, 0 < α ≤ 2. α est
appelé l’exposant caractéristique de la loi.Les lois stables sont infiniment divisibles.
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Rappel :D’après le théorème de Lévy-Khintchine, si X v.a infinimentdivisible il existe une mesure Λ sur R\{0} telle que :∫ +∞
−∞(1 ∧ |x |2)dΛ(x)
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Théorème-Une loi est 2-stable ssi c’est une loi normale N(µ, σ2).-Soit 0 < α ≤ 2. Une loi est α-stable ssi elle a pour mesure deLévy :
dΛ(x)dx =
{c+x−1−α, x > 0,c− |x |−1−α , x < 0
}.
et a=0.-Soit 0 < α ≤ 2.Une loi est α-stable ssi sa fonction caractéristique est de laforme
φ(t) ={
exp(iµt − γα |t|α (1− iβ tan(πα2 )sgn(t))), α 6= 1exp(iµt − γ |t| (1 + iβ 2
π)sgn(t)log(|t|)), α = 1
}.
avec −1 ≤ β ≤ 1 et −∞ < µ < +∞.Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Cas particuliers :
1)-Cas spectralement positif : Sa mesure de Lévy estconcentrée sur (0,∞) :
dΛ(x) = cx−α−1dx x > 0,
avec c > 0 et α ∈ (1, 2).
2)-Cas positif :
X > 0 p.s ssi 0 < α < 1, β = 1 et µ ≥ 0
.
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Cas particuliers :
1)-Cas spectralement positif : Sa mesure de Lévy estconcentrée sur (0,∞) :
dΛ(x) = cx−α−1dx x > 0,
avec c > 0 et α ∈ (1, 2).
2)-Cas positif :
X > 0 p.s ssi 0 < α < 1, β = 1 et µ ≥ 0
.
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Pour une loi α-stable X , on définit le paramètre de positivité :ρ = P(X ≥ 0).
RemarqueOn peut d’ores et déjà faire les remarques suivantes :1)-Cas spectralement positif : ρ = 1− 1
α. Cas spectralement
négatif, ρ = 1α.
2)-Cas positif : ρ = 1. Cas négatif ρ = 0 .
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
DéfinitionOn dit que (Xt)t≥0 est un processus de Lévy issu de 0 si :
1 X0 = 0 p.s,2 X est à accroissement indépendants et stationnaires,3 X est stochastiquement continu.
On a équivalence entre la notion de processus de Lévy et celled’infini divisibilité.Conséquences : La fonction caractéristique de X1 peut s’écrire :
E(e iλX1
)= exp(ibλ− 12aλ
2 +∫R\{0}
(e iλx − 1− iλ1[0,1](x))dΛ(x))
= e−Ψ(λ)
E(e iλXt
)= e−tΨ(λ)
Julien LetemplierEn collaboration avec T. Simon Université Lille 1 Colloque jeunes probabilistes et statisticiensDensité des temps d’atteinte pour des processus de Lévy stables
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
DéfinitionOn dit que (Xt)t≥0 est un processus de Lévy issu de 0 si :
1 X0 = 0 p.s,2 X est à accroissement indépendants et stationnaires,3 X est stochastiquement continu.
On a équivalence entre la notion de processus de Lévy et celled’infini divisibilité.Conséquences : La fonction caractéristique de X1 peut s’écrire :
E(e iλX1
)= exp(ibλ− 12aλ
2 +∫R\{0}
(e iλx − 1− iλ1[0,1](x))dΛ(x))
= e−Ψ(λ)
E(e iλXt
)= e−tΨ(λ)
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Cas des processus stables :
DéfinitionUn processus stochastique Y = (Yt)t≥0, à valeurs dans R, a lapropriété d’autosimilarité d’indice 1
α> 0 si ∀k > 0 (Ykt)t≥0 a
même loi que (k 1αYt)t≥0.
↪→ Un processus de Lévy a cette propriété ssi pour tout t > 0,Xt d= t
1αX1. On dit alors que X est un processus strictement
stable d’indice α.
↪→ Par cette propriété, le paramètre ρ = P(Xt > 0) estindépendant de t.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Cas des processus stables :
DéfinitionUn processus stochastique Y = (Yt)t≥0, à valeurs dans R, a lapropriété d’autosimilarité d’indice 1
α> 0 si ∀k > 0 (Ykt)t≥0 a
même loi que (k 1αYt)t≥0.
↪→ Un processus de Lévy a cette propriété ssi pour tout t > 0,Xt d= t
1αX1. On dit alors que X est un processus strictement
stable d’indice α.
↪→ Par cette propriété, le paramètre ρ = P(Xt > 0) estindépendant de t.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
UnimodalitéLois stablesProcessus de Lévy
Cas des processus stables :
DéfinitionUn processus stochastique Y = (Yt)t≥0, à valeurs dans R, a lapropriété d’autosimilarité d’indice 1
α> 0 si ∀k > 0 (Ykt)t≥0 a
même loi que (k 1αYt)t≥0.
↪→ Un processus de Lévy a cette propriété ssi pour tout t > 0,Xt d= t
1αX1. On dit alors que X est un processus strictement
stable d’indice α.
↪→ Par cette propriété, le paramètre ρ = P(Xt > 0) estindépendant de t.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Plan
1 Quelques définitionsLois stablesProcessus de Lévy
2 Problème du temps d’atteinte
3 UnimodalitéDéfinition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
On s’intéresse au temps d’atteinte :
τx = inf{t > 0, Xt = x}, x ∈ R
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Cadre d’étude :Soit X un processus de Lévy strictement α-stable,1 < α ≤ 2.E(e iλX1
)= exp[−(iλ)αe−iπαρsgn(λ)].
ρ ∈ [1− 1α, 1α
]
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Propriétés de τx :τx est une variable aléatoire absolument continue.τx est α auto-similaire :
∀x ≥ 0, τx d= xατ1, τ−x d= xατ−1
Les points d’un processus α-stable, α ≤ 1 sont polaires.
⇒ τx = +∞ p.s
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Plan
1 Quelques définitionsLois stablesProcessus de Lévy
2 Problème du temps d’atteinte
3 UnimodalitéDéfinition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
DéfinitionUne variable aléatoire X est dite unimodale de mode a siP[X ≤ x ] est convexe sur (−∞, a] et concave sur [a,+∞).
Remarques* En particulier, si X est à densité, X est unimodale de modea si sa densité f est croissante sur (−∞, a] et décroissante sur[a,+∞).* Le mode n’est pas nécessairement unique.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
DéfinitionUne variable aléatoire X est dite unimodale de mode a siP[X ≤ x ] est convexe sur (−∞, a] et concave sur [a,+∞).
Remarques* En particulier, si X est à densité, X est unimodale de modea si sa densité f est croissante sur (−∞, a] et décroissante sur[a,+∞).
* Le mode n’est pas nécessairement unique.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
DéfinitionUne variable aléatoire X est dite unimodale de mode a siP[X ≤ x ] est convexe sur (−∞, a] et concave sur [a,+∞).
Remarques* En particulier, si X est à densité, X est unimodale de modea si sa densité f est croissante sur (−∞, a] et décroissante sur[a,+∞).* Le mode n’est pas nécessairement unique.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Quelques exemples
Théorème (Yamazato (78))Toutes les lois stables sont unimodales.
Lois de Student, lois du χ2, sont également unimodales.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Théorème (T.S, J.L (2013))La variable aléatoire τ est unimodale.
RemarqueCas spectralement négatif (ρ = 1
α) : τ = T1 p.s, avec
T1 = inf{t > 0, Xt > 1} variable aléatoire 1α -stable, doncunimodale.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Théorème (T.S, J.L (2013))La variable aléatoire τ est unimodale.
RemarqueCas spectralement négatif (ρ = 1
α) : τ = T1 p.s, avec
T1 = inf{t > 0, Xt > 1} variable aléatoire 1α -stable, doncunimodale.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Théorème
τd=
(ZραραZραρα
)( 1α
)
× Z 1α·
où Zα variable aléatoire α-stable positive (0 < α < 1) telleque :
E (Zα) = e−λα
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Idées de la démonstration :E (τ−s) = 1
Γ(s)∫+∞0 E (e−qτ ) qs−1dq, ∀s ∈ (0, 1).
E (e−qτ ) = k q α−1α E(Z1e−qZ1
)où Z1 = (max(X1, 0))α.
⇒ E(τ−s
)=
sin(πα
) sin(πρα(−s + 1α
))
sin(πρ) sin(π(−s + 1α
))
Γ(1 + αs)Γ(1 + s) .
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Définition (I.Cuculescu ; R.Theodorescu)Une variable aléatoire X est multiplicativement fortementunimodale (MFU) si ∀Y unimodale indépendante de X , XYest unimodale.
RemarqueX MFU ⇒ X Unimodale.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
ExempleSoit X v.a de densité
∀x ∈ R, f (x) = C1(0,1](x)1
1 + (log(x))2 .
X est unimodale de mode 1.
Soit Y v.a de densité :
∀x ∈ R, g(x) = α1[0,a](x) + β1[1,b](x),
avec αa + β(b − 1) = 1 et 1 < a < b. Y est unimodale mais leproduit XY ne l’est pas pour certains choix de constantes.(α = 1/21, a = e1/2, b = 34− (11/77)e1/2).
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
ExemplesLois exponentielles, Lois Gamma .Mélange de lois Gamma.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
Factorisation de Kanter (’75) :Pour α < 1, on a :
Z−ααd= L1−α × bα
2(U),
avec :L suit une exponentielle de paramètre 1.U loi uniforme sur (0, 1).
∀u, c ∈ (0, 1), bc(u) =sin(πu)
sinc(πcu) sin1−c(π(1− c)u)
On pose Kc = κ−1c bc(U). est [0, 1].
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
τd= κ−α1
α
(L1−ραL1−ρα
)( 1α
)
× L1−α × K(1α
)ρα × (K−1ρα )(
1α
) ×K−α1α
⇒(
L1−ραL1−ρα
)( 1α
)× L1−α est MFU.
Proposition
K(1α
)ρα × (K−1ρα )(
1α
) ×K−α1α
est unimodale
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
I. Cuculescu and R. Theodorescu. Multiplicative strongunimodality. Austral. & New Zealand J. Statist. 40 (2),205-214, 1998.M. Kanter. Stable densities under change of scale andtotal variation inequalities. Ann. Probab. 3, 697-707, 1975.
A. Kuznetsov, A. E. Kyprianou, J. C. Millan andA. R. Watson. The hitting time of zero for a stableprocess. Preprint, 2012.
K. Sato. Lévy processes and infinitely divisibledistributions. Cambridge University Press, Cambridge,1999.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
T. Simon. Hitting densities for spectrally positive stableprocesses. Stochastics 83 (2), 203-214, 2011.
T. Simon. A multiplicative short proof for the unimodalityof stable densities. Elec. Comm. Probab. 16, 623-629,2011.T. Simon. On the unimodality of power transformations ofpositive stable densities. Math. Nachr. 285 (4), 497-506,2012.M. Yamazato. Hitting time distributions of single pointsfor 1-dimensional generalized diffusion processes. NagoyaMath. J. 119, 143-172, 1990.
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Quelques définitionsProblème du temps d’atteinte
Unimodalité
Définition, exemplesApplication au temps d’atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d’atteinte
K. Yano, Y. Yano and M. Yor. On the laws of first hittingtimes of points for one-dimensional symmetric stable Lévyprocesses. Sémin. Probab. XLII, 187-227, 2009.
V. M. Zolotarev. One-dimensional stable distributions.AMS, Providence, 1986.
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Quelques définitionsLois stablesProcessus de Lévy
Problème du temps d'atteinteUnimodalitéDéfinition, exemplesApplication au temps d'atteinteMultiplicative forte unimodalitéRetour au temps d'atteinte