8/7/2019 Demostració del Lema dels 5

http://slidepdf.com/reader/full/demostracio-del-lema-dels-5 1/2

Topologia Algebraica. Primavera 2010 Andreu Correa Casablanca

5. Lema dels cinc. Donat el diagrama commutatiu de morfismes de grups abelians

Af 1−→ B

f 2−→ C 

f 3−→ D

f 4−→ E 

↓ α ↓ β ↓ γ  ↓ δ ↓ ηA

f 1−→ B

f 2−→ C 

f 3−→ D

f 4−→ E 

en el qual les files son successions exactes, demostreu:

1. Si α es epimorfisme i β i δ son monomorfismes aleshores γ  es monomorfisme.

2. Si η es monomorfisme i β i δ son epimorfismes aleshores γ  es epimorfisme.

En particular, que α,β,δ i η siguin isomorfismes implica que γ  es isomorfisme.

Solucio.

1. Per veure que γ  es monomorfisme (es a dir, que es injectiu) en tindrem prou ambveure que el seu nucli es {0} ja que γ  es morfisme. Com tots els conjunts consideratsal diagrama son grups, tots ells tenen un element 0, i les imatges de les aplicacionsconsiderades contenen el 0 per ser morfismes.

Per comencar, escollim un element c ∈ C  tal que c ∈ γ −1(0C ), voldrem veure que c

nomes pot ser 0C , ja que aixo ens dira que Ker(γ ) = {0}.

Aplicant la commutativitat del diagrama tenim que (f 3◦ γ )(c) = (δ ◦ f 3)(c), es a

dir, tenim (f 

3 ◦ γ )(c) = f 

3(γ (c)) = f 

3(0) = 0 = δ(f 3(c)). De la darrera part de laigualtat en podem extreure que f 3(c) = 0 per la injectivitat de δ, el que significaque c ∈ Ker(f 3).

Com les files son complexos de cadenes exactes, tenim que Ker(f 3) = Im(f 2), i d’aquıen podem deduir que c ∈ Im(f 2) i per tant ∃b ∈ B tal que f 2(b) = c. Aplicantun altre cop la commutativitat del diagrama veiem que f 

2(β(b)) = (f 

2◦ β)(b) =

(γ ◦f 2)(b) = γ (f 2(b)) = γ (c) = 0. Aixı doncs β(b) ∈ Ker(f 2) i per tant β(b) ∈ Im(f 

1).

Sabem a partir del resultat anterior que ∃a ∈ A tal que β(b) = f 1(a). Ara, per la

exhaustivitat de α, sabem tambe que ∃a ∈ A tal que a = α(a).

Aplicant la commutativitat del diagrama es clar que β(b) = (f 

1◦α)(a) = (β◦f 1)(a) =β(f 1(a)). Si apliquem la injectivitat de β deduım que b = f 1(a). Com b ∈ Im(f 1),per exactitud sabem que b ∈ Ker(f 2), es a dir, que f 2(b) = 0, i finalment, comc = f 2(b) tenim el que volıem, que c = 0.

2. Per veure que γ  es epimorfisme haurem de veure que tots els elements de C  tenenpreimatge a traves de γ . Escollim c ∈ C  qualsevol, voldrem veure que ∃c ∈ C  talque γ (c) = c.

Trobem d = f 3(c), per ser δ epimorfisme tenim que d = δ(d), on d ∈ D. Conside-

rem e = f 4(d), com que e = f 

4(d) = f 

4(f 

3(c)) i el complex de cadenes es exacte,

sabem que e = 0.

1

8/7/2019 Demostració del Lema dels 5

http://slidepdf.com/reader/full/demostracio-del-lema-dels-5 2/2

Topologia Algebraica. Primavera 2010 Andreu Correa Casablanca

Per commutativitat del diagrama tenim que η(f 4(d)) = (η ◦ f 4)(d) = (f 4◦ δ)(d) =

e = 0, i aplicant la injectivitat de η deduım que f 4(d) = 0. Com d ∈ Ker(f 4) itenim exactitud, sabem que d ∈ Im(f 3). Aixı doncs, ∃c ∈ C  tal que f 3(c) = d.

Podem dir doncs que (δ ◦ f 3)(c) = d = (f 3 ◦ γ ), la primera part de la igualtat laconeixem pel proces de construccio de c, mentre que la segona part la coneixemperque el diagrama es commutatiu.

La segona part igualtat anterior ens dona informacio essencial per a continuar, jaque ens permet establir que f 

3(γ (c)) = d = f 

3(c), si passem restant un dels dos

membres i fem servir que f 3

es morfisme, tenim que:

f 3(γ (c)) − f 

3(c) = f 

3(γ (c) − c) = 0

Tenim que γ (c) − c pertany a Ker(f 3), i per exactitud tambe a Im(f 

2), es a dir,

∃b ∈ B tal que f 2(b) = γ (c) − c. A partir de la exhaustivitat de β veiem que

existeix b ∈ B tal que β(b) = b.

Anomenem c = f 2(b), per la commutativitat del diagrama tenim que

γ (c) = (γ ◦ f 2)(b) = (f 2◦ β)(b) = c − γ (c)

Aıllem c = γ (c) + γ (c) = γ (c + c) i aixı queda provat que c te preimatge c a travesde γ , essent c = c + c, i per tant γ  es epimorfisme.

Si α,β,δ i η son isomorfismes, en particular tenim que α es epimorfisme i β i δ sonmonomorfismes, pel que γ  es monomorfisme. Tambe tenim que, en particular, β i δson epimorfismes, i η monomorfisme, pel que γ  es epimorfisme. Aixı doncs, com esepimorfisme i monomorfisme deduım immediatament que γ  es tambe isomorfisme.

2