DELJIVOST SA 7 Broj se rastavi na grupe od po 3 cifre, gledajuci od kraja. npr. 1|764|527|492, i izracunaju se ostaci tih brojeva po modulu 7 to su, konkretno ovde: 1, 1, 2, 2 zatim se sabiraju, s tim sto se naizmenicno menja znak, i ako se dobije nesto deljivo sa 7, onda je broj deljiv sa 7. Dakle 1+(-1)+2+(-2)=0, pa je ovaj broj deljiv sa 7. Nije previe korisno, ali je (donekle) interesantno. DELJIVOST SA 11 Broj je deljiv sa 11 kada je razlika izmeu zbira cifara (jednocifrenih klasa) koje stoje na neparnim i onih koje stoje na parnim mestima deljiva sa 11. Na primer, broj 8684016 na neparnim mestima ima cifre 8,8,0,6 iji je zbir 22, a na parnim 6,4,1 zbira 11. Razlika ovih zbirova je 11, tj. broj deljiv sa 11; poetni broj 8684016 je deljiv sa 11. Ili

DELJIVOST SA 101 Broj je deljiv sa 101 kada je razlika zbira dvocifrenih klasa koje u broju stoje na neparnim i parnim mestima deljiva sa 101. Na primer, broj 7 96 89 ima zbirove klasa, na neparnim mestima 7+89=96, i na parnim 96, ija je razlika nula, tj. deljiva je sa 101. Zato je poetni broj 79689 deljiv sa 101. DELJIVOST SA 7, 11, 13, 77, 91, 143 i 1001 Broj je deljiv sa 7, 11, 13, 77, 91, 143 i 1001 kada je razlika izmeu zbira trocifrenih klasa koje u broju stoje na neparnim mestima i zbira trocifrenih klasa koje stoje na parnim mestima deljiva sa datim od brojeva. Na primer, broj 539 693 385 ima razliku ovih klasa 539693+385=231, pa je deljiv sa 7, 11 i 77, a nije deljiv sa 13, 91, 143 i 1001. Euklidov algoritam Euklidov algoritam slui za odreivanje najveeg z. delitelja prirodnih brojeva a > b: Prema algoritmu delenja, jednoznano su odreeni brojevi takvi da je

...

Niz r1,r2,r3,...,rk 1,rk je opadajui niz prirodnih brojeva manjih od b, to znai da gore opisani postupak mora zavriti posle konano mnogo delenja. Teorema 7 NZD(a,b) = rk gde je rk poslednji pozitivan ostatak dobijen primenom Euklidovog algoritma na prirodne brojeve Dokaz Dokazaemo da vae sledea dva tvrenja: (a) (b) (a) Zaista, iz poslednje jednakosti Euklidovog algoritma dobijamo da je rk | rk 1. Na osnovu toga i pretposlednje jednakosti, zakljuujemo da je rk | rk 2. Nastavljajui taj postupak dobija se da je a onda iz prve jednakosti sledi da je rk | a. (b) Neka je d prirodan broj takav da je d|a i d|b. Tada, iz prve jednakosti Euklidovog algoritma dobijamo da je d|r1, iz druge da je d|r2, ..., i konano, iz pretposlednje, da je d|rk. Time je dokazano (b). Dakle rk = NZD(a,b). Primer Odrediemo NZD(936,588). Po Euklidovom algoritmu imamo: 936 = 1588 + 348, 588 = 1348 + 240, 348 = 1240 + 108, 240 = 2108 + 24, 108 = 424 + 12, 24 = 212. Dakle, NZD(936,588)=12. Na osnovu teoreme 6, zakljuujemo da se viestrukom primenom Euklidovog algoritma moe dobiti najvei zajedniki delitelj vie brojeva.

provera tanosti mnoenja (vrlo dragocena u vremena pre kalkulatora iliti "digitrona"): Napiete jedan vei znak . U jedan ugao napiete zbir cifara jednog inioca, ali tako to ga uvek svedete na jednocifren broj uvek novim sabiranjem cifara (recimo - od 3573 - 3+5+7+3=18, 1+8=9 - znai, upisujete "9") U naspramni ugao upiete "zbir" cifara drugog inioca. Pomnoite te dve cifre i rezultat (opet "sveden" na jednu cifru, po prethodnom uputstvu) upiete u jedan od dva preostala ugla. U poslednji upiete "zbir" cifara iz "pravog" proizvoda do koga ste doli raunanjem. Ako ste ispravno raunali, ova cifra mora da bude jednaka prethodnoj. Oprez: mogue su i lano tane provere - ako je napravljena greka u potpisivanju, ili ako je napravljeno vie greaka, i to takvih da su jedna drugu anulirale...

(ovo pravilo se zove DEVETICNI OSTATAK (cjelobrojni ostatak dijeljenja sa 9)i vrijedi za sve etiri osnovne matematike operacije a otprilike se moe definirati ovako: devetini ostatak zbroja (razlike, umnoka, kolinika) jednak je devetinom ostatku zbroja (razlike, umnoka, kolinika) devetinih ostataka pribrojnika (analogno za ostale))

to se mnogo koristilo u GEODEZIJI za kontrolu tonosti kod izrauna geodetskih obrazaca (naravno prije pojave kalkulatora) npr.: 1385+ _________________>1+3+8+5=17; 17:9=1 i 8 ostatka 3256 = _________________>3+2+5+6=16; 16:9=1 i 7 ostatka 4641___________________>4+6+4+1=15; 15:9=1 i 6 ostatka sada treba zbrojiti ostatke pribrojnika 8+7=15; 15:9 =1 i 6 ostatka uoimo da je devetini ostatak zbroja jednak devetinom ostatku zbroja devetinih ostataka pribrojnika - ako je tako onda smo raunsku operaciju uradili tono - dakako da je za dva pribrojnika to banalno ali kada imamo itavu tablicu brojeva onda je puno smisla - i naizgled kompliciran postupak je nakon uvjebavanja jako jednostavan. - za razbibrigu jednacina 1: ui = ne propada jednacina 2: ne ui = propada Zbir jednacina 1 i 2 je ui + ne ui = ne propada + propada Ako se izvadi ispred zagrade ( 1 + ne ) ui ( 1 + ne ) = propada ( 1 + ne ) podelimo sa (1 + ne) - naravno obe strane jednacine pa ostaje ui = propada !