Elasticidad y resistencia de materialesCurso 2013-2014

Capítulo 3

Deformación en Deformación en medio continuo

Dpto. IngenieríaÁrea de Ingeniería Construcción

1. Introducción

2. Deformaciones en el entorno del punto

Sean P y Q puntos de un sólido elástico

y Los corrimientos o desplazamientos

Teniendo en consideración que los corrimientos o de splazamientos son muy pequeños, podemos expresar las componentes en función de las de y de sus derivadas, por medio del desarrollo de la serie de Taylor, habiendo despreciado los infinitésimos de orden superior.

Relación entre (u’, v’,w’) y v(u,v,w):

3. Matriz de giro

4. Matriz de deformación. Significado de sus compone ntes

5. Vector deformación unitaria en una dirección cua lquiera. Componentes intrínsecas

Deformación Unitaria en la dirección determinada por

La proyecciones del vector sobre la dirección es la deformación

- Las raíces de la ecuación característica representan deformaciones longitudinales unitarias en las direcciones unitarias en las direcciones principales.

- Las deformaciones angulares en los planos principales son nulas.

G Módulo de elasticidad transversal

6. Deformaciones Volumétrica y Desviadora.

Dilatación cúbica unitaria

7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación

- Si se conoce el vector deformación δ para todos los puntos del sólido se puede conocer la matriz [D]

- A partir de una matriz [D] no se pueden conocer las coordenadas u, v, w del vector δ

- Ecuaciones del vector de deformación para cada punto del sólidosólido

- Seis ecuaciones con tres incógnitas (u, v, w)

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂=

z

v

y

w

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yzxzxy

zyx

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 γγγ

εεε

- Las componentes de la matriz [D] no pueden ser arbitrarias

7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación

• Condiciones para que el sistema sea compatible y por tanto integrable

• Usando las ecuaciones anteriores y esta:

• Queda:

∂∂−

∂∂=

∂∂−

∂∂=

∂∂−

∂∂=

y

u

x

vp

x

w

z

up

z

v

y

wp zyx

2

1

2

1

2

1

zxyzyxz

xyzyzxy

yxzzxyx

z

wp

y

wp

x

w

pz

v

y

vp

x

v

pz

up

y

u

x

u

εγγ

γεγ

γγε

=∂∂+=

∂∂−=

∂∂

−=∂∂=

∂∂+=

∂∂

+=∂∂−=

∂∂=

∂∂

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación

• Equivalente a:

• Siendo u, v y w las componentes del vector corrimiento

• Cuyas condiciones de integrabilidad se obtienen igualando las derivadas cruzadas

7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación

• Este sistema permite despejar las derivadas de px. py, pz respecto de las variables:

7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación

• Equivalente a:

• Este sistema de ecuaciones diferenciales nos permite determinar los valores de las componentes px, py, pz del rotacional del vector corrimiento

•Condiciones de integrabilidad ó compatibilidad de la matriz de deformación

7. Condiciones de compatibilidad entre las componen tes de la matriz de deformación

8. Cambio de Sistema de referencia

9. Circulo de Mohr• Estudio igual que en estado tensional• Cambio

– σn por εn

– τ por 1/2γn

Circulo de Mohr (I)

• Ecuación del vector deformación

=

=γεβεαε

γβα

εε

εε

3

2

1

3

2

1

00

00

00r

22

3

22

2

22

1

2

321

γεβεαεε

γεβεαεε

++=

⋅+⋅+⋅=r

rrrrkji

Circulo de Mohr (II)• Cálculo de las direcciones del vector deformación

• Ángulo α

Circulo de Mohr (III)• Cálculo de las direcciones del vector deformación

• Ángulo β

Circulo de Mohr (IV)• Cálculo de las direcciones del vector deformación

• Ángulo α y β

Circulo de Mohr (V)

• Representación gráfica Cálculo de las componentes intrínsecas a partir de los ángulos

Círculo de Mohr (VI)

• Deformaciones transversales máximas

Corresponde a las direcciones coincidentes con las bisectrices de las direcciones principales que corresponden a las deformaciones extremas