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Definition vs. Satz, Satzverständnis-Aspekte bei der Behandlung
mathematischer Sätze-
SE Ausgewählte Kapitel der Didaktik- Logische Grundlagen der MathematikDozent: T. Krausche
Referentin: Stefanie Ahlers
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Gliederung:
1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen
2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
3. Zur Rezeption mathematischer Beweise
4. Rahmenplan
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Leitmotive
„Was muss bewiesen werden?“
+
„Warum muss ich das beweisen?“
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Welche der folgenden mathematischen Behauptungen muss man begründen und welche nicht?
1. In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°.2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende
Seiten zueinander parallel sind.3. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich groß.4. (2a+3b-4c)*5y5. 5x-16=196. (a+b)²=a²+2ab+b²7. a²=a*a8. Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist, so
ist die Zahl selbst durch 3 teilbar.
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1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen
Satz: sprachliches Gebilde, das seinem Charakter nach einen Beweis erfordert
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Welche der folgenden mathematischen Behauptungen muss man begründen und welche nicht? Lösung
1. In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°.2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende
Seiten zueinander parallel sind.3. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich
groß.4. (2a+3b-4c)*5y5. 5x-16=196. (a+b)²=a²+2ab+b²7. a²=a*a8. Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist,
so ist die Zahl selbst durch 3 teilbar.
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1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen
Nummer
1 2 3 4 5 6 7 8
% der richtigen Antwort
57 70 47 56 24 39 77 48
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1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen
Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8
% der
richtigen Antwort
57 70 47 56 24 39 77 48
% der richtigen Antwort
(Zirkel)
87 93 67 73 60 60 93 73
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1. Unterscheidung von Definitionen und Sätzen
Fazit von Walsch: 1. Thema „Definitionen und Sätze“ muss im Unterricht gründlich
besprochen werden
2. „1.“ Festigen und vertiefen mithilfe Lehrplan (Definitionen als solche bewusst machen und Beweisnotwendigkeit von Sätzen herausarbeiten)
3. Tests
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Gliederung:
1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen
2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
3. Zur Rezeption mathematischer Beweise
4. Rahmenplan
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2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
Untersuchungsziel: Wie verstehen Schüler der Mittelschule (ab 9.Klasse), Lehrerstudenten und Mathematiklehrer im Zusammenhang mit dem Beweis folgende Begriffe:
den hypothetischen Charakter einer mathematischen Aussage den Sinn des Beweises als Wahrheitskriterium für mathematische
Aussagen
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2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
Aussage: Wenn ein Außenwinkel eines Dreiecks einem ihm nicht anliegenden Innenwinkel gleich ist, dann ist die Summe der Innenwinkel des Dreiecks größer als 180°.
Voraussetzung: (1) ABC ist ein Dreieck mit den Innenwinkeln α, β, γ(2) δ ist der Außenwinkel der dem Innenwinkel α anliegt(3) δ = βBehauptung: α+β+γ>180°Beweis: (4) α + δ =180° (Vor. 2, Nebenwinkel)(5) α+β=180° (Vor.3,4)(6) α+β+γ>180° (Vor.1, 5)
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2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
Fragen an die Schüler: Ist die Aussage wahr in unserer Geometrie? Ist der Beweis korrekt? Ergebnisse:
Ja Nein ?
Frage 1 (Aussage)
21 142 1
Frage 2 (Beweis)
83 60 21
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2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
Einige Schüler- Aussagen: Frage 1: „Ja“ (falsche Kenntnisse)
Die Aussage ist wahr, weil in jedem stumpfwinkligen Dreieck δ = β ist, weil δ und β Außenwinkel sind, die derselben Seite AB anliegen.
Die Aussage ist wahr, weil in jedem stumpfwinkligen Dreieck die Summe der Innenwinkel stets größer als 180° ist.
Frage 1: „Nein“ Die Aussage ist falsch, weil wir stets gelernt haben, dass die
Innenwinkelsumme immer 180° beträgt. Der bewiesene Satz ist falsch, weil die Voraussetzung falsch
angegeben wurde. Es stimmt nicht, dass δ = β. Deshalb ist auch der Beweis unkorrekt, weil man von einer falschen Voraussetzung ausgegangen ist.
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2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
Fazit der empirischen Untersuchungen: Falsches Verständnis der Begriffe „Beweis“, „Satz“, „Voraussetzung“,
„Behauptung“, „Folgerung“ sowie Missverständnis des hypothetischen Charakter einer mathematischen Aussage (für Schüler gilt: Aussage= Behauptung)
Beweis ist kein Wahrheitskriterium für SchülerInnen: S oft der Meinung, dass Satz falsch (wahr) ist, obwohl Beweis als korrekt (unkorrekt) anerkennt wurde
Unterschiedliches Verständnis des Wahrheitsbegriffes einer AussageBeispiel: Aussage ist wahr (falsch), wenn Behauptung wahr (falsch). Wenn Schüler von Wahrheit der Aussage (Behauptung) intuitiv überzeugt sind (nicht logisch), halten sie Beweis für überflüssig!
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Gliederung:
1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen
2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
3. Zur Rezeption mathematischer Beweise
4. Rahmenplan
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3. Zur Rezeption mathematischer Beweise
Schwierigkeiten: Sprache der Mathematika) beim eigentlichen Lesen des Textes
Zeichenstruktur Ausdruck und Syntax Bedeutungskonzentration
b) bei dessen Interpretation und den Verstehensbemühungen des Lesers
• Überbetonung bestimmter Lernmethode in Lerngeschichte
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Gliederung:
1. Unterscheidung zwischen Definitionen und Sätzen
2. Der logische Sinn des Beweises nach Schülerbefragungen
3. Zur Rezeption mathematischer Beweise
4. Rahmenplan
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4. Rahmenplan
Klasse 5/6: Stufenwinkelsatz, Nebenwinkelsatz, Innenwinkelsatz für Dreiecke und
Vierecke Kongruenzsätze für DreieckeKlasse 7/8: Sätze über Scheitel-, Neben- und Stufenwinkel Satz des Thales Satz über die Winkelsumme im DreieckWahl 7/8: Umfangswinkelsatz und den Mittelpunktswinkelsatz Satz über die Außenwinkel im Dreieck Satz über den Inkreis- und den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks, Satz über die Winkelsumme im n-Eck.
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4. Rahmenplan
Klasse 9/10: Satz des Pythagoras Strahlensätze Satz von Vieta Sinussatz, Kosinussatz Satz von Cavalieri Wahl 9/10: Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Kathetensatz, HöhensatzWahlpflicht: Kreisgeometrie: Sätze vom Umfangswinkel, vom
Mittelpunktswinkel und vom Sehnentangentenwinkel
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4. Rahmenplan
Sekundarstufe 2: Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung Satz von BAYES
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Diskussion
Wie kann man bei SchülerInnen Einsicht in die Notwendigkeit des Beweisens erzielen?
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Literatur:
Dörfler, W.; Fischer, R. (1978): Beweisen im Mathematikunterricht, Klagenfurt
Wittmann, E.Ch.(1981): Grundlagen des Mathematikunterrichts, Braunschweig
Tietze, U.-P.;Klika, M.; Wolpers, H. (Hrsg.) (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Braunschweig/ Wiesbaden
Walsch, W.(1975): Zum Beweisen im Mathematikunterricht, Berlin
Rahmenlehrpläne der Grundschule, Sekundarstufe I und II