Estadística2010

Clase 2

Maestría en FinanzasUniversidad del CEMA

Profesor: Alberto Landro

Asistente: Julián R. Siri

Clase 2

4. La distribución exponencial

Estocástica5. La distribución normal

1. La distribución de Bernoulli

2. La distribución binomial

3. La distribución de Poisson

6. La distribución chi-cuadrado

7. La distribución t de Student

8. La distribución F

• En los denominados experimentos de Bernoulli sólo son posibles dos

resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta

X tal que:

• Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1-p, la función de

probabilidades es:

1

0

éxito

fracaso

1

1 0,1xxf X p p x

1. La distribución de Bernoulli

• Una variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli si su función

de densidad de probabilidades (de ahora en adelante, FDP) es:

• Para tal variable, la esperanza matemática y la varianza son:

Donde q = (1-p).

0 1

1

p X p

p X p

var

E X p

X pq

1. La distribución de Bernoulli

• Esta distribución es la generalización de la distribución de Bernoulli. Si X

representa el número de éxitos en n intentos independientes, entonces se

dice que X sigue una distribución binomial cuya FDP es:

Donde x es el número de éxitos y

El interés está en determinar la probabilidad de obtener exactamente X = x

éxitos durante los n ensayos. La distribución binomial consta de dos

parámetros, n y p.

1n xx

nf X p p

x

!

! !

n n

x x n x

2. La distribución binomial

La función de distribución acumulativa es:

Dado los momentos absolutos y centrados, definimos la esperanza, la

varianza, el coeficiente de asimetría y la kurtosis:

0

; , 1x

n ii

i

np X x F x n p p p

i

22 2

3

3

4

4

1 2

1 63

m X E X np

X E X E X npq

X q p pAs X

X npq npq

X pqK X

X npq

2. La distribución binomial

Aquí la variable aleatoria representa el número de eventos independientes

que ocurren a una velocidad constante. Ofrece, además, una

aproximación excelente a la función de probabilidad binomial cuando p es

pequeño y n grande.

Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios

independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el tiempo o el

espacio. Se dice entonces que X tiene una distribución de Poisson con

FDP:

El único parámetro de la distribución es lambda, el número promedio de

ocurrencias del evento aleatorio por unidad de tiempo.

0; 0

; !

0 para cualquier otro valor

xex

f X x

3. La distribución de Poisson

La función de distribución acumulativa es:

Dado los momentos absolutos y centrados, definimos la esperanza, la

varianza, el coeficiente de asimetría y la kurtosis:

0

;!

ix

i

ep X x F x

i

22 2 2 2

3

3 3/ 2

24

4 2

1

3 13 3

m X E X

X E X E X

XAs X

X

XK X

X

3. La distribución de Poisson

La distribución de Poisson también es una forma límite de la distribución

binomial cuando n tiende a infinito y p tiende a cero (de manera que no

permanece constante).

Sea X una v.a. con distribución binomial y función de probabilidad:

Si para n=1,2,… la relación es cierta para alguna constante ,

entonces:

!

; , 1 0,1,2,...,! !

n xxnp x n p p p x n

n x x

0

lim ; , , 0,1,2,...!

x

np

ep x n p x

x

p n 0

3. La distribución de Poisson

Esta distribución tiene su origen en el proceso de Poisson. Como

mencionamos antes, la distribución de Poisson se refiere a un espacio

continuo dentro del cual se producen una cantidad discreta de eventos

aleatorios cada uno de ellos con una probabilidad de ocurrencia p. Si

introducimos una nueva variable T(x), a la que definimos como el

intervalo de tiempo (o de espacio) entre ciertas ocurrencias de un

suceso de Poisson, entonces esa variable tiene una distribución

exponencial.

El esquema de Poisson responde a: ¿cuál es la probabilidad que se

produzcan “x” ocurrencias en cierto espacio o tiempo continuo, en el que

el promedio de ocurrencias es λ?

El esquema exponencial, en cambio, responde a: ¿cuál es el lapso de tiempo

que hay que esperar (o el espacio a recorrer) para que se produzcan “x”

ocurrencias, siendo λ el promedio de ocurrencias?

4. La distribución exponencial

Definiendo,

Nos proponemos determinar la probabilidad de que cierto evento aleatorio no

suceda en ese lapso de tiempo (o espacio), es evidente que lo que

pretendemos calcular es P(X>x):

Si definimos ahora a , este nuevo parámetro, al ser la inversa de λ,

puede interpretarse como “el tiempo (o espacio) promedio entre

ocurrencias de Poisson”. Reemplazando en la expresión anterior,

Nos indica la probabilidad de que no existan ocurrencias hasta el momento x.

tiempo transcurrido (o espacio recorrido) entre dos sucesos

tiempo que transcure hasta el primer evento

T X

t x

0!

x xxP X x e e

1

xP X x e

4. La distribución exponencial

Si ahora nos preguntamos por la variable tiempo (o espacio) entre dos

eventos (a la que definimos como X), dicha probabilidad será la contraria

a la expresada con anterioridad:

Y la FDP no será más que la derivada de la anterior,

Sus características más importantes serán:

1 xT X P X x e

1

E X

2 2X

1 xt x t X e

4. La distribución exponencial

La distribución normal o Gaussiana es la piedra angular en la aplicación de la

inferencia estadística en el análisis de datos, dado que las distribuciones

de muchas estadísticas muestrales tienden hacia dicha distribución

conforme crece el tamaño de la muestra.

Se dice que una variable aleatoria X está normalmente distribuida si su FDP

tiene la siguiente forma:

Donde son parámetros reales que denotan el valor esperado y el

desvío estándar de distribución, respectivamente.

y 0

21

21

2

x

Xf x e x

5. La distribución normal

Propiedades:

1. El punto medio de la curva normal es la media de la distribución.

2. La distribución es simétrica alrededor de su media.

3. La probabilidad de que el valor de la variable se encuentre dentro del rango de un

desvío standard (SD) por sobre o por debajo de la media es de 68,3%. Alrededor

de 95,5% del área de la distribución se encuentra entre , y por último más

del 99,7% del área se encuentra entre , como se aprecia en la figura.2

3

5. La distribución normal

Propiedades:

4. Sean y , y supóngase que son independientes,

entonces considerando su combinación lineal de la siguiente manera:

Puede mostrarse que:

Corolario: Una combinación lineal de variables aleatorias independientes

normalmente distribuidas es normalmente distribuida.

5. Teorema central del límite. Sean , n variables aleatorias

independientes, las cuales tienen la misma FDP con . Si ,

entonces, a medida que n aumenta indefinidamente,

Y este resultado se cumple sin importar la forma de la FDP.

2

1 1 1,X N 2

2 2 2,X N

1 2Y aX bX

2 2 2 2

1 2 1 2,Y N a b a b

1,..., nX X

iX X n2 y

2

,nX N

n

5. La distribución normal

La distribución de probabilidades de la variable Z, , que no depende de

los parámetros :

Define la “forma estandarizada” de la distribución Normal. De esta manera podemos

trabajar con las tablas de probabilidades, dado que la media de la nueva variable

aleatoria estandarizada es cero, mientras que la varianza es la unidad.

y m

X mZ

2 21

2

Z

Zf z e Z

0,1Z N

5. La distribución normal

Por último, dado los momentos absolutos y centrados, definimos nuevamente la

esperanza matemática, la varianza, el coeficiente de asimetría y la kurtosis:

2

2

3

3

44

242

0

33 3 0

m X E X

X

XAs X

X

XK X

X

5. La distribución normal

La probabilidad de que una variable aleatoria normalmente distribuida X sea menor o

igual a un valor específico, x está dada por la función de distribución acumulativa

Pero la integral anterior no puede evaluarse en forma cerrada. Por lo tanto se puede

tabular la función de distribución acumulativa como una función de , lo que

requeriría una tabla para cada par de valores. Como existe un número infinito de

valor de , se utiliza la ya mencionada “forma estandarizada” de la

distribución normal:

Así, para y

y

y

21

21; ,

2

tx

P X x F x e dt

21

21

2

zz

P X x P Z x e dz

,z x P X x P Z z

; , ;0,1X ZF x F z

5. La distribución normal

Sean variables aleatorias estandarizadas independientes, se dice que la

cantidad

Sigue la distribución con v grados de libertad.

Sus propiedades son:

1. Es una distribución asimétrica, donde el grado de asimetría esta dado por los

grados de libertad. Cuando los g. de l. son pocos la distribución está altamente

sesgada hacia la izquierda, y a medida que aumentan la distribución se hace cada

vez más simétrica. De hecho, disponiendo de más de 100 variables aleatorias

independientes, la variable puede ser tratada como una variable

normal estandarizada.

2. La media de la distribución chi-cuadrado es v y la varianza es 2v.

3. Si son dos variables chi-cuadrado independientes con grados de

libertad, entonces la suma de ambas es también una variable aleatoria chi-

cuadrado con grados de libertad.

1,..., kZ Z

2

1

k

i

i

Z Z

2

22 2 1k

1 2 y Z Z 1 2 y v v

1 2v v

6. La distribución chi-cuadrado

Sean es una variable normal estandarizada, y otra variable sigue la

distribución chi-cuadrado y están distribuidas de manera independiente, entonces

la variable definida como

Sigue la distribución t de Student con v grados de libertad.

Sus propiedades son:

1. Al igual que la distribución normal, es simétrica, pero más plana (platocúrtica). Sin

embargo, a medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t se

aproxima a la normal.

2. La media de la distribución t es cero, mientras que la varianza es .

1Z

1

2

1

2

v

Zt

Z v

Z vt

Z

2v v

2Z

7. La distribución t de Student

Si son variables chi-cuadrado distribuidas en forma independiente con

grados de libertad, respectivamente

Sigue la distribución F (de Fisher) con grados de libertad.

Se tienen las siguientes propiedades:

1. Esta distribución está sesgada a la derecha, pero a medida que aumentan ,

la distribución F se acerca a la distribución normal.

2. El valor de la media de esta distribución es , el cual está definido para

y su varianza es

definida para .

3. El cuadrado de una variable aleatoria con distribución sigue una distribución

1 2 y Z Z

1 2

1 1,

2 2

k k

Z kF F

Z k

2

2 1 2

2

1 2 2

2 2

2 4

k k k

k k k

2 4k

2 2k 2 2 2k k

1 2 y k k

1 2 y k k

1 2 y k k

8. La distribución F

Me pueden escribir a:

jrs06@cema.edu.ar

Las presentaciones estarán colgadas en:

www.cema.edu.ar/u/jrs06

FIN