DE ZEEF VAN SIERPINSKI

Een vreemd verschijnsel

DE ZEEF VAN SIERPINSKI

Een vreemd verschijnsel

De zeef van Sierpinski

1. Wie is sierpinski

2. Wat is de zeef van sierpinski

3. Het verbant tussen sierpinski en Pascal

4. De zeef van Sierpinski op TI-84

Waclaw Sierpienski

• Poolse wiskundige– ° 14 maart 1882– † 21 oktober 1969

• Zeef van sierpinski

• Andere ontwerpen

• Sierpinskigetal

Andere ontwerpen van Sierpinski

1 (basis)

2 3 4

Zeef van sierpinski

• Driehoeken

• Hoekpunt volgende = middel punt zijlijn vorige

3. Het verband tussen driehoek van Pascal en de zeef van Sierpinski

• De driehoek van Pascal – Driehoek met getallen– Rangschikking van binominaalcoëfficienten – Eig.: elk binominaal coëfficiënt = ∑ boven

liggende getallen / binominaalcoëfficienten

De driehoek van Pascale

3. Het verband tussen driehoek van Pascal en de zeef van Sierpinski

• Alle oneven getallen van driehoek van Pascal inkleuren

• Alle oneven getallen laten

• Gevolg zeef van Sierpinski

Het verband tussen de driehoek en de zeef

De zeef van Sierpinski op de TI-84

• Broncode

• uitleg

Uitleg broncode

FnOff :ClrDrawEerst worden alle functies uitgezet en dan worden alle

tekeningen in het venster gewist.

Uitleg broncode

FnOff :ClrDrawEerst worden alle functies uitgezet en dan worden alle

tekeningen in het venster gewist.

PlotsOff Alle PLOTS worden uitgezet

Uitleg broncode

FnOff :ClrDrawEerst worden alle functies uitgezet en dan worden alle

tekeningen in het venster gewist.

PlotsOff Alle PLOTS worden uitgezet

AxesOffWeergave van assen wordt uitgeschakeld

0üXmin:1üXmaxDe minimum van de x-as wordt 0 en de maximum 1

0üXmin:1üXmaxDe minimum van de x-as wordt 0 en de maximum 1

0üYmin:1üYmaxDe minimum van de y-as wordt 0 en de maximum 1

0üXmin:1üXmaxDe minimum van de x-as wordt 0 en de maximum 1

0üYmin:1üYmaxDe minimum van de y-as wordt 0 en de maximum 1

randüX:randüYGeeft een getal van 0 tot 1 voor X en voor Y

0üXmin:1üXmaxDe minimum van de x-as wordt 0 en de maximum 1

0üYmin:1üYmaxDe minimum van de y-as wordt 0 en de maximum 1

randüX:randüYGeeft een getal van 0 tot 1 voor X en voor Y

For(K,1,3000)Deze stap wordt 3000 keer herhaald

0üXmin:1üXmaxDe minimum van de x-as wordt 0 en de maximum 1

0üYmin:1üYmaxDe minimum van de y-as wordt 0 en de maximum 1

randüX:randüYGeeft een getal van 0 tot 1 voor X en voor Y

For(K,1,3000)Er wordt 3000 keer een getal geraden voor N

randüNGeeft getal van 0 tot 1 voor N

If N÷1/3Als N dan kleiner is of gelijk aan 1/3 of 0.333…

If N÷1/3Als N dan kleiner is of gelijk aan 1/3 of 0.333…

ThenDan …

If N÷1/3Als N dan kleiner is of gelijk aan 1/3 of 0.333…

ThenDan...

0.5XüXGaat het rekentoestel de geraden X vermenigvuldigen en opslaan in X

If N÷1/3Als N dan kleiner is of gelijk aan 1/3 of 0.333…

ThenDan...

0.5XüXGaat het rekentoestel de geraden X vermenigvuldigen met 0.5 en opslaan in X

0.5YüYEn gaat het rekentoestel de geraden Y ook vermenigvuldigen met 0.5 en terug opslaan in Y

If N÷1/3Als N dan kleiner is of gelijk aan 1/3 of 0.333…

ThenDan...

0.5XüXGaat het rekentoestel de geraden X vermenigvuldigen met 0.5 en opslaan in X

0.5YüYEn gaat het rekentoestel de geraden Y ook vermenigvuldigen met 0.5 en terug opslaan in Y

EndHier stop de IF

If 1/3<N and N÷2/3Als N groter is dan 1/3 en kleiner of gelijk aan 2/3

If 1/3<N and N÷2/3Als N groter is dan 1/3 en kleiner of gelijk aan 2/3

ThenDan...

If 1/3<N and N÷2/3Als N groter is dan 1/3 en kleiner of gelijk aan 2/3

ThenDan...

0.5(0.5+X)üXWordt X opgeteld met 0.5 en dan vermenigvuldigd met 0.5 en dan terug opgeslagen in X

If 1/3<N and N÷2/3Als N groter is dan 1/3 en kleiner of gelijk aan 2/3

ThenDan...

0.5(0.5+X)üXWordt X opgeteld met 0.5 en dan vermenigvuldigd met 0.5 en dan terug opgeslagen in X

0.5(1+Y)üYEn wordt Y opgeteld met 1 en dan vermenigvuldigd met 0.5 en ook terug opgeslagen in Y

If 1/3<N and N÷2/3Als N groter is dan 1/3 en kleiner of gelijk aan 2/3

ThenDan...

0.5(0.5+X)üXWordt X opgeteld met 0.5 en dan vermenigvuldigd met 0.5 en dan terug opgeslagen in X

0.5(1+Y)üYEn wordt Y opgeteld met 1 en dan vermenigvuldigd met 0.5 en ook terug opgeslagen in Y

EndDan wordt ook deze IF gestopt

If 2/3<NMaar als N groter is dan 2/3

If 2/3<NMaar als N groter is dan 2/3

ThenDan…

If 2/3<NMaar als N groter is dan 2/3

ThenDan…

0.5(1+X)üXWordt de X opgeteld met 1 en vermenigvuldigd met 0.5 en opgeslagen in X

If 2/3<NMaar als N groter is dan 2/3

ThenDan…

0.5(1+X)üXWordt de X opgeteld met 1 en vermenigvuldigd met 0.5 en opgeslagen in X

0.5YüYWordt Y vermenigvuldigd met 0.5 terug opgeslagen in Y

If 2/3<NMaar als N groter is dan 2/3

ThenDan…

0.5(1+X)üXWordt de X opgeteld met 1 en vermenigvuldigd met 0.5 en opgeslagen in X

0.5YüYWordt Y vermenigvuldigd met 0.5 terug opgeslagen in Y

EndEn hier stopt de IF functie weer

Pt-On(X,Y)Dan wordt er een punt getekend dat voldoet aan een van de functies

EndHier eindigt het programma

Met dank aan:

• De handleiding van TI-84

• Wikipedia

• http://wiskunde.koezeweb.info/zeef.htm

• http://www.fi.uu.nl/nwd/nwd2004/handouts/popup/werkfractal_bovenbouw.doc