1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM

TỔ TOÁN – TIN

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 10 HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2012 – 2013

ĐỀ SỐ 1

Câu 1. Cho các hàm số ( ) 22y f x x x= = - và ( ) 219.

1y g x x

x= = + -

- Gọi ,A B lần lượt

là các tập xác định của ( )y f x= và ( ).y g x=

a) Hãy tìm các tập hợp , .A B

b) Tìm các tập hợp , , \ , \ , ( \ ) \ , , .A B A B A B B A A B C A C BÈ Ç ¡ ¡¡

Câu 2. Cho hệ phương trình 2

1

mx y m

x my m

+ =ìí + = +î

với m là tham số.

a) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo tham số .m

b) Trong trường hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ); ,x y hãy tìm các giá trị

của m để ,x y là những số nguyên dương.

Câu 3. Cho tam giác ABC. Gọi D, I là các điểm thỏa mãn 3 2 0.DB DC- =uuur uuur r

a) Tính vectơ ADuuur

theo các vectơ , .a AB b AC= =r uuur r uuur

b) Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng biết rằng 3 2 0 .IA IB IC-®

+ - =uur uur uur

c) Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm sao cho .AN k AC=uuur uuur

Xác định k sao cho các đường thẳng AD, MN, BC đồng qui.

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho 3 2 2 .MA MB MC MA MB MC+ - = - -uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur

Câu 4. Cho ba số thực dương , , .a b c Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1.

a b abc b c abc c a abc abc+ + £

+ + + + + +

ĐỀ SỐ 2

Câu 1. Trong hệ tọa độ ,Oxy cho đường thẳng ( ) : ( 1) 2 3 1.md m x my m+ + = - Tìm các giá trị

của tham số m để:

a) Đường thẳng ( )md tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1.R =

b) Đường thẳng ( )md cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.

Câu 2. Cho hệ phương trình ( 3) 3 4

( 7) 10

m x my m

m x my

+ + = +ìí - + = -î

với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình đã cho khi 3.m =

2

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm. Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a và I là trung điểm của OB.

a) Phân tích véctơ AIuur

theo hai véctơ a AB=r uuur

và .b AD=r uuur

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua hai điểm M, N xác định bởi 3MN MB MD= +uuuur uuur uuuur

luôn đi qua một điểm cố định.

c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho .2a

DK = Tính độ dài IK.

d) Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh tam giác AIE vuông cân.

Câu 4. Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện 1.abc = Chứng minh rằng:

5 5 5 5 5 5 1.ab bc ca

a b ab b c bc c a ca+ + £

+ + + + + +

ĐỀ SỐ 3

Câu 1. Cho hai hàm số 34 2 1 2 1 3y x x x= - + - - - và 1 3

2 6 5y

x x= -

- - có tập xác định

lần lượt là A và B.

a) Hãy tìm tập xác định A và .B

b) Tính các tập hợp , , \ , \ , ( \ ) \ , , .A B A B A B B A A B C A C BÈ Ç ¡ ¡¡

Câu 2. Cho hệ phương trình 3 0

2 1 0

x my m

mx y m

+ - =ìí + - - =î

với m là tham số.

a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm. Khi đó, tìm hệ thức giữa x và y của nghiệm ( );x y độc lập với m.

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm sin cos 3 0

.sin cos 2 1 0

x m x m

m x x m

+ - =ìí + - - =î

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm ( ) ( ) ( )3; 1 , 5; 3 , 1;1 .A B C- -

a) Tính giá trị của . .AB ACuuur uuur

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

c) Tìm tập hợp M để 2 2 .MA MB MC MA MC- - = +uuur uuur uuuur uuur uuuur

d) Tìm tập hợp M để ( )( )2 2 0.MA MB MC MA MC- - + =uuur uuur uuuur uuur uuuur

Câu 4. Cho các số , , 0a b c > và 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2

3 3.

2a b c

b c a c a b+ + ³

+ + +

ĐỀ SỐ 4

Câu 1. Cho hàm số 2 2 3y x x= - + + có đồ thị (P).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P). Từ đó vẽ đường biểu diễn phương trình 2 2 3.y x x= - + +

3

b) Gọi d là đường thẳng đi qua ( )0;4A và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (P) tại hai

điểm phân biệt M và N. Tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.

Câu 2. a) Tìm các giá trị của m để phương trình 2 2 4 0x mx- + = có hai nghiệm phân biệt

1 2,x x thỏa mãn điều kiện 4 41 2 4.x x+ £

b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình 2 0 ( 0)ax bx c a+ + = ¹ có một

nghiệm gấp m (với 1)m ¹ - lần nghiệm kia là 2 2( 1) .mb m ac= +

Câu 3. a) Cho tam giác vuông cân ABC tại A với .AB AC a= = Các điểm 1 1 1, ,A B C thỏa mãn

1 1 ,A B k AC=uuur uuur

1 1 1 1, .B C kB A C A kC B= =uuur uuur uuur uuur

i) Chứng minh các tam giác ABC và 1 1 1A B C có cùng trọng tâm.

ii) Biểu diễn véctơ CB1 theo , AB, .k ACuuur uuur

Chứng minh rằng 1 1 1.AA B C^

iii) Với 2,k = - hãy tính độ dài 1AA và góc ·1 .A AC

b) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Đặt , , .a BC b CA c AB= = =

Chứng minh rằng 0.aIA bIB cIC+ + =uur uur uur r

Câu 4. Cho , , 0a b c > Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1

.2 2 2 4a b c b c a c a b a b c

æ ö+ + £ + +ç ÷+ + + + + + è ø

ĐỀ SỐ 5

Câu 1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( ) 2: 3 4.P y x x= + - Từ đồ thị của (P), hãy suy ra đồ thị

các hàm số ( ) ( )2 21 2: 3 4, : 3 4 .P y x x P y x x= + - = + -

b) Vẽ đồ thị hàm số ( ) 23 : 3 4.P y x x= + - Từ đó biện luận theo k số nghiệm của

phương trình 2 3 4 .x x k+ - =

Câu 2. a) Tìm m để phương trình sau ( )( )( )1 2 3x x x x m+ + + = có nghiệm 1.x ³ -

b) Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình 2 2( 1) (2 8 6) 0.x m x m m- - + - + = Tìm giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 22( ) .A x x x x= - +

Câu 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm ,M N lần lượt thỏa mãn các hệ thức

2 0MA MB- =uuur uuur r

và 3 2 0.NA NC+ =uuur uuur r

a) Biểu diễn véctơ MNuuuur

theo , .AB a AC b= =uuur r uuur r

b) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo , , .BC a AC b AB c= = =

c) Chứng minh rằng ba điểm , ,M N G thẳng hàng.

d) Tìm tập hợp các điểm M biết rằng ( )( )2 0.MA MB MA MB MC- + - =uuur uuur uuur uuur uuuur

Câu 4. Cho , , , , 0.a b c p q> Chứng minh rằng 3

.a b c

pb qc pc qa pa qb p q+ + ³

+ + + +

4

ĐỀ SỐ 6

Câu 1. Cho hàm số 2y ax bx c= + + với 0.a¹ Biết đồ thị ( )P của hàm số qua 3 điểm

( ) ( )1,1 , 1, 9A B - và ( )0,3 .C

a) Hãy xác định các hệ số , ,a b c của ( ).P

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( ) 2 21 : 5 3 .P y x x x x= - - +

Câu 2. Cho hai phương trình 2 0x x m+ - = và 2 1 0.x mx- + =

a) Tìm các giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung.

b) Tìm các giá trị của m để hai phương trình tương đương.

Câu 3. a) Cho tam giác ABC có , ,AB c AC b BC a= = = và điểm E thuộc BC sao cho 3 .EB EC=

i) Biểu diễn AEuuur

theo , .AB ACuuur uuur

ii) Chứng minh: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 4 4 4cos cos cosbc b c A ca c a B ab a b C a b c+ + + + + = + +

iii) Cho 0,x> chứng minh rằng : 2 2 241 ( 1) 4 3.ABCa x b c S

xæ ö- + - + ³ç ÷è ø

b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh , , .a BC b CA c AB= = = Gọi ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Hỏi tam giác có đặc điểm gì nếu 1 cos 1 cos 1 cos 27

.2 2 2 2

A B C Rra b c abc

+ + ++ + =

Câu 4. Cho các số thực , ,x y z dương và thỏa mãn 1.xyz = Chứng minh rằng:

( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 3 3

.1 1 1 1 1 1 4

x y zP

y z z x x y= + + ³

+ + + + + +

ĐỀ SỐ 7

Câu 1. Cho hàm số ( ) 2 ( 0)y f x ax bx c a= = + + ¹ có đồ thị là parabol ( ).P

a) Hãy tìm các hệ số , ,a b c biết rằng ( ) ( )1 1 1f f= - = và ( )max 2f x = sau đó khảo sát

và vẽ đồ thị của hàm số có đồ thị ( ).P

b) Cho họ đường thẳng ( ) : 2 .md y x m= + Tìm các giá trị của m để ( )md cắt ( )P tại hai

điểm ,A B sao cho .OA OB^

Câu 2. a) Tìm giá trị của m để phương trình ( ) ( )1 3 1 3x x x x m+ + - - + - = có nghiệm.

b) Giải hệ phương trình 2 2

2 2

2 ( ) 3

( ) 10

y x y x

x x y y

ì - =í

+ =î.

Câu 3. a) Cho tam giác ABC cân tại A có O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ,ACI với I là trung điểm của cạnh .AB

i) Chứng minh rằng .OG CI^

5

ii) Cho .BC a= Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 273 .

4MB MC a+ =

b) Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho các điểm ( ) ( ) ( )1, 4 , 2, 2 , 4, 2 .A B C- -

i) Tìm điểm M trên Ox sao cho :

*) AM CM+ đạt giá trị lớn nhất. *) AM CM- đạt giá trị nhỏ nhất.

ii) Tìm tọa độ P sao cho 2 2 22PA PB PC+ + có giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. Cho hai số thực ,x y với 0xy ¹ và ( ) 2 2 .x y xy x y xy+ = + - Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức 3 3

1 1.A

x y= +

ĐỀ SỐ 8

Câu 1. Cho parabol ( ) 2: 4 3.P y x x= - +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P). Từ đó suy ra đồ thị của hàm số ( ) 2

1 : 4 3P y x x= - + và biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2 4 3 0.x x m- + - =

b) Gọi ( )d là đường thẳng đi qua ( )0;1A và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m để

( )d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN

khi m thay đổi.

Câu 2. a) Giải phương trình 235 1 9 2 3 1.x x x x- + - = + -

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình ( )3 2

2

2 2 2 3

3

x y x xy m

x x y m

ì + + + = - -ïí

+ + =ïî có nghiệm.

Câu 3. a) Cho tam giác đều ABC cạnh 3 .a Lấy các điểm , ,M N P lần lượt trên các cạnh

, ,BC CA AB sao cho ( ), 2 , 0 3 .BM a CN a AP x x a= = = < <

i) Biểu diễn các véctơ ,AM PNuuuur uuur

theo ; .a AB b AC= =r uuur r uuur

ii) Tìm x để hai đường thẳng ,AM PN vuông góc với nhau.

iii) Tìm tập hợp các điểm I thỏa mãn điều kiện: 2 2 3 . .IA IB IA IB+ =uur uur

b) Cho điểm M di động trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức 2 2 2P aMA bMB cMC= + + không đổi.

Câu 4. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện 1.a b c+ + = Chứng minh rằng:

70 2 .

27ab bc ca abc£ + + - £