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SOLUCIÓNES
BLOQUE 1 ARITMÉTICA A
Ejercicio nº 1.-
a Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números:
2 31
1,3; ; 1,3; 3 ; 33
b Representa sobre la recta los números:
3
2,6; ; 45
Solución:
2
2
2
3
a) Naturales 3
Enteros 31
Racionales 1,3; ; 1,3; 33
Irracionales 3
b
Ejercicio nº 2.-
a Expresa en forma decimal:8 35
;45 20
b Pasa a forma de fracción irreducible los números:
23,b.2)3,26b.1)
Solución:
a Efectuamos la división en cada caso:
80,17
4535
1,7520
b
50163
1003263,26b.1)
b.2) 10 32,222... 3,222...
299 29
9
NN
N N
Ejercicio nº 3.-
a Efectúa y simplifica:
22 1 2 1 1:
5 5 3 2 5
b Calcula:
3 42 2b.1) :
5 5
2 23 2b.2)
2 3
Solución:
22 1 2 1 1 4 1 2 5a) :
5 5 3 2 5 25 5 3 2
4 1 4 15 4 1 19 4 1925 5 6 6 25 5 6 25 30
24 95 71150 150 150
b3 4 12 2 2 5
b.1) :5 5 5 2
2 2 2 2 43 2 2 2 2 16b.2.)
2 3 3 3 3 81
Ejercicio nº 4.-
En el trayecto de vuelta del trabajo a su casa, Antonio ha hecho dos paradas. Llevando 2/5 del camino, paró en la gasolinera y, cuando llevaba 1/3 más del camino, paró a comprar pan. Sabiendo que le faltan 11,2 km para llegar, ¿cuál es la distancia de su casa al trabajo?
Solución:
Lleva recorrido:
camino del 1511
155
156
31
52
4Le faltan para llegar, que son 11,2 km; es decir:15
4 11,2 15 de 11,2 42 km15 4
x x
De su casa al trabajo hay 42 km de distancia.
Ejercicio nº 5.-
En unos zapatos de 65 € nos aplican un descuento del 15%. Calcula el precio que pagamos por los zapatos.
Solución:
Si nos descuentas el 15% pagamos el 85%
85% de 65 0,85 · 65 55,25
Pagamos por los zapatos 55,25 €.
Ejercicio nº 6.-
El precio de una cámara de fotos es de 145 € ya aplicado el 16% de IVA. ¿Cuánto cuesta la cámara sin IVA?
Solución:
Precio con IVA 145 €
16% de IVA I.V. 1,16
145Precio inicial 1,16 145 Precio inicial 125 1,16
El precio de la cámara sin IVA es de 125 €.
Ejercicio nº 7.-
Halla la suma de los quince primeros términos de una progresión aritmética en la que
a5 9,7 y a9 17,7.
Solución:
a9 a5 4d 17,7 9,7 4d 8 4d d 2
a1 a5 4d 9,7 8 1,7 a1 1,7
a15 a1 14d 1,7 28 29,7 a15 29,7
1 1515
15 1,7 29,7 15235,5
2 2a a
S
Ejercicio nº 8.-
Los lados de un cuadrilátero están en progresión aritmética. Sabiendo que el menor mide 2 cm y que el perímetro es de 15,2 cm, ¿cuánto miden los otros tres lados?
Solución:
Los lados del cuadrilátero miden:
a1 2, a2 2 d, a3 2 2d y a4 2 3d
Su suma el perímetro es igual a 15,2 cm; es decir:
2 2 d 2 2d 2 3d 15,2
8 6d 15,2 6d 7,2 d 1,2 cm
Por tanto, los lados miden:
a1 2 cm
a2 2 1,2 3,2 cm
a3 3,2 1,2 4,4 cm
a4 4,4 1,2 5,6 cm
Ejercicio nº 9.-
El radio, elemento radiactivo, se descompone a razón del 4% por siglo. Si inicialmente partimos de 1 kg de radio, ¿cuántos gramos habrá al cabo de 1 000 años?¿Y al cabo de 2 000 años?
Solución:
La cantidad de radio que hay en cada siglo es una progresión geométrica, en la que sabemos que a1 1 000 g y r 0,96 Si se descompone el 4%, lo que queda es el 96%.
Al cabo de 1 000 años 10 siglos, habrá:
1 000 · 0,9610 664,83 g
Al cabo de 2 000 años 20 siglos, habrá:
1 000 · 0,9620 442 g
Ejercicio nº 10.-
De los siguientes números, indica cuáles son naturales, enteros, racionales o irracionales:
;; ; ; ; ; 3 6 3 3 510 25 64 105 18 1000 54
Solución:
2
6 66
33 3
25 5 5
64 2 2
1000 10 10
6
6 3
6 3
3 3 5
Naturales 25, 64
Enteros 25, 64, 1000
Racionales 25, 64, 1000
Irracionales 10, 105, 18, 54
ÁLGEBRA OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.-
Efectúa y simplifica el resultado:
2 23a) 2 1 1 1 24
x x x x x
2b) 3 2 3 2 3 2 1x x x x
Solución:
2 2
3 2 2 2 3 2
3a) 2 1 1 1 243 3 5 52 2 2 24 4 4 4
x x x x x
x x x x x x x x x
2 2 2
3 2 3 2
b) 3 2 3 2 3 2 1 3 4 9 4 4 1
12 27 4 4 1 12 4 31 1
x x x x x x x x
x x x x x x x
Ejercicio nº 2.-
Efectúa y simplifica:
2 1a)1 1
x xx x x
22 2b) :1 1
x xx x
Solución:
2 2
2 2
2
2 1 2 1a)1 1 1 1 1
2 1 3 11
x x x x x xx x x x x x x x x
x x x x xx x x x
2 22 2 12b) : 21 1 1 2
x x xx xx x x x
Ejercicio nº 3.-
Resuelve esta ecuación:
3 2 1 7 83 1042 55 3 3 15 15x xx x
Solución:
3 2 1 7 83 1042 55 3 3 15 15x xx x
6 3 3 2 7 56 104105 3 3 15 15
x x x x
18 9 5 15 10 150 7 56 10415 15 15 15 15 15x x x x
18x 9 5x 15 10x 150 7x 56 104
18x 5x 10x 7x 56 104 9 15 150
16x 16 x 1
Ejercicio nº 4.-
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a 2x2 5x 3 0
b 2x2 3x 0
c) x2 100 0
Solución:
a 2x2 5x 3 03
5 25 24 5 49 5 74 4 4
1 2
xx
x
ƒ‚
b 2x2 3x 0
0
2 3 02 3 0 3 2
xx x
x x
ƒ‚
c) x2 100 0 x2 100. No tiene solución.
Ejercicio nº 5.-
Resuelve la siguiente ecuación:
22 1 73 2
3 2 3 3x x x x x x
Solución:
22 1 73 2
3 2 3 3x x x x x x
2 224 4 73 6
3 2 3 3x x x x x x x
2 2 22 8 8 3 3 2 18 36 146 6 6 6 6 6
x x x x x x x
2x2 8x 8 3x2 3x 2x 18x2 36x 14
2x2 3x2 18x2 8x 3x 2x 36x 8 14 0
13x2 29x 6 0
3 1329 841 312 29 529 29 23
26 26 262
xx
x
ƒ‚
Ejercicio nº 6.-
Resuelve estos sistemas:
a) 5 3 92 6 2
x yx y
b) 2 54 2 8
x yx y
Solución:
a) 5 3 92 6 2
x yx y
5 3 93 1
x yx y
5 1 3 3 9 5 15 3 9 12 41 3
y y y y yx y
4 112 3
y
11 3 1 3 1 1 23
x y
1 2 ;3
Solución : x y
2b) 2 5 4 2 104 2 8 4 2 8 Sumando: 0 18 No tiene solución.
x y x yx y x y
Ejercicio nº 7.-
Resuelve:
3 1 2 3 42 3 3
263 2 53 3
x y
xx y
Solución:
3 1 2 3 42 3 3
263 2 53 3
x y
xx y
3 3 2 6 42 3 3
263 2 103 3
x y
xx y
9 9 4 12 8
9 6 30 26
x y
x y x
9 4 13
10 6 4
x y
x y
13 413 4 4 69
4 6 9 1010
yxy y
yx
130 40 36 54 94 94 1y y y y
13 4 13 4 9 19 9 9
yx
Solución: x 1 ; y 1
Ejercicio nº 8.-
En un triángulo, sabemos que el mediano de sus ángulos mide el doble que el pequeño. Además, el mayor de ellos excede en 5 al mediano. ¿Cuánto miden sus ángulos?
Solución:
Llamamos x al ángulo pequeño; el mediano será 2x; y el mayor será 2x 5.
Por tanto:x 2x 2x 5 180
1755 175 35
5x x
Los ángulos miden 35, 70 y 75.
Ejercicio nº 9.-
Una piscina dispone de dos desagües. Si abrimos solamente el primero, la piscina se vacía en 3 horas; y, si abrimos los dos a la vez, se vacía en 2 horas. ¿Cuánto tardaría en vaciarse si abriéramos solamente el segundo desagüe?
Solución:
1Primer desagüe 3 horas vacía de piscina en 1 hora.31Segundo desagüe horas vacía de piscina en 1 hora.
1Los dos a la vez 2 horas vacía de piscina en 1 hora.2
xx
Por tanto:
1 1 1 1 1 1 1 1 63 2 2 3 6
xx x x
Si abriéramos solamente el segundo desagüe, la piscina se vaciaría en 6 horas.
Ejercicio nº 10.-
Resuelve la ecuación:
21 1 5
4x x
x x
Solución:
2
1 1 54
x xx x
2
2 2 2
4 1 4 1 54 4 4
x x x xx x x
2 24 4 4 4 5x x x x
2
24 4
2
xx x
x
ƒ‚
Las dos soluciones son válidas.
FUNCIONES OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.-
Esta mañana, Elvira y sus padres fueron a casa de sus abuelos para pasar con ellos el fin de semana. La siguiente gráfica corresponde al viaje:
a ¿A qué distancia está la casa de los abuelos y cuánto tardaron en llegar?
b) Tuvieron que realizar tres paradas ¿en qué momentos y a qué distancia de su casa?
c) En el primer lugar que pararon dejaron olvidada una maleta y tuvieron que volver a recogerla. ¿Cuándo se dieron cuenta? ¿Cuánto tardaron en volver a por ella?
d) Describe el recorrido completo.
Solución:
a) Esta a 200 km de distancia y tardaron 5 horas en llegar.
b 1.a parada Al cabo de 1 hora, a 100 km de distancia.2.a parada Entre las 2,5 h y las 3 h del viaje, a 150 km de distancia.3.a parada Entre las 3,5 h y las 4 h del viaje, a 100 km de distancia.
c Se dieron cuenta en t 3 h. Tardaron media hora en volver a por ella.
d Salieron de su casa. Al cabo de 1 hora, cuando llevaban 100 km recorridos, hicieron una parada de media hora. Reanudaron la marcha y tardaron 1 h en llegar a un lugar, a 150 km de distancia de su casa, donde descansaron durante media hora. Se dieron cuenta de que les faltaba la maleta y volvieron a por ella, tardando media hora en llegar. Se quedaron otra media hora parados. Salieron de nuevo hacia su destino y tardaron 1 hora en llegar.
Ejercicio nº 2.-
La siguiente gráfica representa el caudal de agua de un río durante un cierto tiempo:
a ¿Durante cuánto tiempo se han tomado las medidas?b Describe el crecimiento y el decrecimiento del caudal.c ¿En qué momento el caudal es máximo? ¿Cuándo es mínimo?
Solución:
a Durante 1 año.
b Creciente Desde enero hasta abril y desde agosto hasta finales de año.Decreciente Desde abril hasta agosto.
c El caudal es máximo en abril y mínimo en agosto.
Ejercicio nº 3.-
Representa las siguientes funciones:
3a) 22
y x
b 3x 2y 1c y 2
Solución:
a Pasa por 0, 2 y 2, 1.
3 1b)2xy
Pasa por 1, 1 y 1, 2.
c Paralela al eje X.
Ejercicio nº 4.-
Halla la ecuación de cada una de estas rectas:
a Pasa por los puntos P1, 2 y Q1, 8.b Es paralela a 4x 2y 1 y pasa por el punto A0, 4.
Solución:
8 2 8 2 10a) 51 1 1 1 2
m
Ecuación puntopendiente:
8 5 1 5 3y x y x
b Paralela a 4x 2y 1 Tienen la misma pendiente.4 1 4 1 14 2 1 2 2
2 2 2 2xx y y x x m
Por pasar por A(0, 4) n 4La ecuación será: y 2x 4
Ejercicio nº 5.-
Un depósito contenía inicialmente 20 litros de agua cuando abrimos un grifo que arroja un caudal de 10 litros por minuto dejamos el grifo abierto durante 6 minutos.
a Halla la ecuación de la recta que nos da el contenido de agua del depósito en función del tiempo, desde que abrimos el grifo hasta que lo cerramos.
b Represéntala gráficamente.
c ¿Cuánta agua había en el depósito al cabo de los 5 minutos?
Solución:
a y 20 10x x desde 0 hasta 6 minutos
b
c Si x 5 minutos: y 20 10 · 5 20 50 70 litros
Ejercicio nº 6.-
Un ciclista sale a hacer ejercicio y pedalea a 15 km/h. Media hora más tarde sale en su busca un motorista a 60 km/h.a) Representa las funciones que dan el espacio recorrido por cada uno en función del
tiempo y escribe sus expresiones analíticas.b) ¿Cuánto tardará el motorista en alcanzar al ciclista?
Solución:
a) Espacio recorrido por el ciclista ( )15
en función del tiempo, en horas, transcurrido ( ). y
y xx
Espacio recorrido por el motorista ( ) 160en función del tiempo, en horas, transcurrido ( ). 2
yy x
x
Representamos ambas funciones:
115 60 60 302
y x y x y x
0 1 1 2 10 15 0 30
x xy y
b) El encuentro se producirá cuando ambos hayan recorrido la misma distancia, en este caso, a los 40 minutos de salir el ciclista.
GEOMETRÍA OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.-
Indica el valor de los ángulos que faltan en las siguientes figuras:
Solución:
a) 50 ; 180 50 130 ; 130ˆˆ ˆB A C
b) 90 37 53 ; 90ˆ ˆX Y
c) 35 ; 2 35 70
Ejercicio nº 2.-
Observa la figura y dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de ambas rectas.
Solución:
ˆEl lugar geométrico obtenido es la bisectriz del ángulo .O
Ejercicio nº 3.-
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En las que sean falsas, explica por qué:
a En un poliedro simple, la suma del número de caras, el de vértices y el de aristas es siempre igual a 2.
b El cubo y el dodecaedro son poliedros duales.
c El tetraedro es dual de sí mismo.
d La siguiente figura es un poliedro regular pues todas sus caras son triángulos equiláteros:
Solución:
a Falsa. En un poliedro simple, el número de caras, más el número de vértices, menos el número de aristas es siempre igual a 2 fórmula de Euler.
b Falsa. Son duales el cubo y el octaedro. También lo son el dodecaedro y el icosaedro.
c Verdadera.
d Falsa. Aunque todas sus caras sean polígonos regulares idénticos, en algunos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro.
Ejercicio nº 4.-
a La siguiente figura es un ortoedro con dos dimensiones iguales. ¿Cuáles son sus planos de simetría?
b Dibuja una semiesfera e identifica sus ejes de simetría.
Solución:
a El ortoedro con dos dimensiones iguales es un prisma cuadrangular regular. Tiene cuatro planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus bases cuadrados. Y otro plano paralelo a las dos bases por los puntos medios de las aristas laterales.
b
Este eje pasa por el centro de la esfera y es perpendicular a la base de la semiesfera. Es de orden infinito.
Ejercicio nº 5.-
Halla la longitud de la apotema de un hexágono regular de 8 cm de lado.
Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:2 2 2 2 28 4 64 16 64 16a a a
2 48 48 6,93 cma a
Ejercicio nº 6.-
Halla la generatriz de un tronco de cono de 15 cm de altura en el que la longitud de la base mayor es de 50,24 cm, y la de la base menor, 18,84 cm.
Solución:
Hallamos el radio de la base mayor:
50,24 50,242 50,24 cm 8 cm2 6,28
R R
Hallamos el radio de la base menor:
18,84 18,842 18,84 cm 3 cm2 6,28
r r
Por tanto:
2 22 215 8 3 250 15,81cmg h R r
Ejercicio nº 7.-
Halla el área de la parte coloreada:
10 cm16 cm
5 cm
ABCDAC BD
Solución:
2 22
18 60Área del sector circular 33,51cm
360 360r A
hÁrea del triángulo equilátero2
B
2 2h 8 4 64 16 48 6,93 cm
22
8 6,93Área del triángulo 27,72 cm2
A
Área del trapecio
2B b H
2 25 3 25 9 16 4 cmH
23
16 10 4Área del trapecio 52 cm
2A
2 2 24Área del círculo 2 4 12,57 cmR A
Área total A1 A2 A3 A4 33,51 27,72 52 12,57 45,22 cm2
Ejercicio nº 8.-
Halla el área total de un tronco de pirámide de 9 cm de altura cuyas bases son cuadrados de lados 15 cm y 12 cm, respectivamente.
Solución:
2 21Área de la base menor 12 144 cm A
2 22Área de la base mayor 15 225 cm A
Área de una cara lateral
2B b H
Altura de una cara lateral:
2 29 1,5 81 2,25 83,25 9,12 cmH
215 12 9,12Área de una cara lateral 123,12 cm
2
Área de las cuatro caras laterales 4 · 123,12 492,48 cm2 A3
Área total A1 A2 A3 144 225 492,48 861,48 cm2
Ejercicio nº 9.-
Halla el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos geométricos:
a El mayor cilindro inscrito en este prisma:
b
diámetro 7 m
Solución:
a El radio de la base del cilindro coincide con la apotema de la base del prisma:
2 2 26 3 36 9 27r
La altura del cilindro coincide con la altura del prisma.2 3Volumen h 27 10 270 847,8 cmr
b Radio de la esfera 7 : 2 3,5 m
3 3 34 4Volumen 3,5 179,50 m3 3
R
Ejercicio nº 10.-
Dibuja la figura, F, de vértices A3, 1, B1, 1, C1, 3 y D4, 3.
a) Obtén la figura, , que resulta al aplicarle a una traslación de vector 7, 3 .F F t
b Aplica a F ' una simetría cuyo eje sea el eje X.
Solución:
Ejercicio nº 11.-
a Describe un movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F2.
b Describe otro movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F3.
Solución:
a Simetría de eje e.
b) Traslación de vector 2, 3 .t
Hay otras soluciones.
Ejercicio nº 12.-
a Completa el siguiente friso e indica cuál es el motivo mínimo:
¿Cuál es la translación que transforma la figura en sí misma?
b Completa el siguiente rosetón e indica cuál es su orden de giro:
Solución:
a
La parte señalada, es el motivo mínimo.Es invariante ante la traslación de vector .u
b
El orden de giro de este rosetón es 4.
ESTADÍSTICA Y AZAR OPCIÓN A
Ejercicio nº 1.-
a Haz una tabla de frecuencias en la que se refleje el número de veces que aparece repetida cada una de las vocales en esta frase:
"La felicidad no consiste en tener siempre lo que se quiere, sino en querer siempre lo que se tiene".
b Representa gráficamente la distribución anterior.
Solución:
aVOCAL fi
a 2 e 20 i 8 o 5 u 4 39
b
Ejercicio nº 2.-
Una empresa de publicidad hace una encuesta entre los lectores de una revista para saber su edad aproximada y estudiar si deben anunciarse o no en esa revista. Las respuestas obtenidas se reflejan en esta tabla:
EDAD 10 - 13 13 - 16 16 - 19 19 - 22 22 - 25 25 - 28
N. DE LECTORES 110 248 115 20 4 3
a Calcula la media y la desviación típica.
b Calcula qué porcentaje de lectores tiene menos de 19 años. ¿Qué observas?c En otra encuesta realizada, la edad media era de 30,4 años y la desviación típica, de
3,2. Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara las dispersiones.
Solución:
a Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:
Intervalo xi fi fixi fixi2
10 13 11,5 110 1 265 14 547,5
13 16 14,5 248 3 596 52 142
16 19 17,5 115 2 012,5 35 218,75
19 22 20,5 20 410 8 405
22 25 23,5 4 94 2 209
25 28 26,5 3 79,5 2 106,75
500 7 457 114 629
Media:
7457 14,914500
i if xxn
Desviación típica:
22 2114629 14,914 6,83 2,61
500i if x
xn
b Por debajo de 19 años hay 110 248 115 473 lectores de 500. Luego:
473 100 94,6500
El 94,6% de los lectores tiene menos de 19 años. Por tanto, es una revista dedicada a adolescentes.
11
1
22
2
2,61c) C.V 0,17514,914
3,2C.V. 0,10530,4
.x
x
La variación es algo mayor en el primer caso.
Ejercicio nº 3.-
En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul. Sacamos una bola y anotamos su color. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad:
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar bola roja o azul.
Sacar bola azul.
Sacar bola verde.
Sacar bola roja.
Solución:
E R, A
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar bola roja o azul.
Posible Sacar bola azul.
Imposible Sacar bola verde.
Muy probable Sacar bola roja.
Ejercicio nº 4.-
En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:
a La bola extraída contenga un número de dos cifras.
b El número extraído sea menor que 10.
Solución:
S90a) 0,9
100P
S10b) 0,1
100P
Ejercicio nº 5.-
Al lanzar 1 000 veces un dado se obtienen los resultados de la tabla:
a ¿Cuál es la frecuencia absoluta del 6?
b Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.
c Estima la probabilidad de obtener par con ese dado.
Solución:
a 171
b CARA FREC. FRECUENCIAS RELATIVAS
1 175 175/1 000 0,175
2 166 166/1 000 0,166
3 171 171/1 000 0,171
4 160 160/1 000 0,160
5 157 157/1 000 0,157
6 171 171/1 000 0,171
PAR PAR166 160 171 497c) 0,497
1000 1000rP f
Ejercicio nº 6.-
Hemos preguntado a 1 600 personas por el número de viajes que realizan anualmente por motivos laborales y las respuestas fueron:
N. DE VIAJES 0 1 2 3 4 o más
N. DE PERSONAS 224 320 768 192 96
a Haz una taba de frecuencias.
b Expresa el número de personas en porcentaje y representa gráficamente la distribución. ¿Qué porcentaje viaja como mínimo 2 veces al año?
Solución:
a xi n. de viajes
xi fi 0 224 1 320 2 768 3 192
4 96
224 100b) No viajan en todo el año 224 personas de 1600 14% 1600
320 1001 viaje al año lo hacen 320 personas 20% 1600
768 1002 viajes al año los realizan 768 personas 48% 1600
192 1003 viajes al año los hacen 192 personas 12%1600
96 1004 viajes anuales o más los hacen 96 personas 6%1600
Representamos los resultados obtenidos en un diagrama de barras verticales:
Los que viajan como mínimo 2 veces al año son los que viajan 2, 3, 4 o más veces, es decir, 48% 12% 6% 66% de los encuestados.
DE LOS 5 BLOQUES SOL A
Ejercicio nº 1.-
a Dados los siguientes números, clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o irracionales:
7 124,375; 8,37; 36; 34; ;4 6
b Representa los siguientes números sobre la recta:
4 ; 3; 3,23
Solución:
a) Naturales 3612
Enteros 36;6
7 12Racionales 4,375 ; 8,37 ; 36 ; ;
4 6Irracionales 34
b
Ejercicio nº 2.-
Expresa en notación científica y calcula:
211,3 0,0030,000125
Solución:
Expresamos los números en notación científica:
11,3 1,13 · 10
0,003 3 · 103
0,000125 1,25 · 104
Por tanto:
22 3 6 51
4 4 4
1,13 10 3 1011,3 0,003 1,13 10 9 10 10,17 10 8,136 100,000125 1,25 10 1,25 10 1,25 10
Ejercicio nº 3.-
a Calcula y simplifica el resultado:
23 5 1 12,164 2 2 4
b Simplifica:
4 2
13 9
3
Solución:
a) Expresamos N 2,16 en forma de fracción:
100 N 216,66610 N 21,666
195 1390 N 195 N90 6
Operamos y simplificamos:
213 3 5 1 1 13 15 1 1 13 15 2 52 45 12 56 4 2 2 4 6 8 4 4 6 8 4 24 24 24 24
4 2 4 41
1 1
3 9 3 3b) 3 33 3
Ejercicio nº 4.-
El precio de un artículo, con IVA, era de 1 444,2 €.
a Si lo rebajan en un 8%, ¿cuál será su precio actual?b Halla cuál era su precio sin IVA, antes de la rebaja, sabiendo que el IVA es el 16%.
Solución:
a 1 444,2 · 0,92 1 328,664 1 328,66 €
b 1 444,2 : 1,16 1 245 €
Ejercicio nº 5.-
En una progresión aritmética, a8 22 y a12 32. Halla la suma de los dieciseis primeros términos.
Solución:
a12 a8 4d 32 22 4d 10 4d d 2,5
a1 a8 7d 22 7 · 2,5 22 17,5 4,5 a1
a16 a1 15d 4,5 15 · 2,5 4,5 37,5 42
1 1616
16 4,5 42 16372
2 2a a
S
Ejercicio nº 6.-
Opera y simplifica:
222 3 1 2 1 2 1 2 1x x x x x
Solución:
22 3 2 2 2
3 2 2 2 3 2
2 3 1 2 1 2 1 2 1 6 2 4 4 1 4 1
6 2 4 4 1 4 1 6 2 4 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
Ejercicio nº 7.-
Resuelve:
3 1 2 5 1 1 3a) 54 5 4 2 8
x x x x
2b) 2 3 3 5 2 2x x x
c) 4 12 23 6 2
x yy x
Solución:
3 1 2 5 1 1 3a) 54 5 4 2 8
x x x x
3 3 2 5 1 5 34 5 4 8 1 8
30 30 16 40 10 5 200 1540 40 40 40 40 40
x x x x
x x x x
30 30 16 40 10 5 200 15x x x x
30 16 10 200 30 40 5 15x x x x
176 0 0x x
2 2b) 2 3 3 5 2 2 2 5 0 2 5 0x x x x x x x
1
2
052 5 0 2 52
x
x x x
ƒ‚
c) 4 12 2 4 2 12 2 63 6 2 2 3 6 2 3 6
Sumando: 2 0 0
x y x y x yy x x y x y
y y
124 12 2 12 3 34
x y x x
Solución: x 3 ; y 0
Ejercicio nº 8.-
En un rectángulo de 120 cm2 de área, la base excede al triple de la altura en 2 unidades. Halla la longitud de la base y la de la altura.
Solución:
2
2 2
Base 3 2 Área 3 2 120 cmAltura 3 2 120 3 2 120 0
x x xx x x x x
402 4 1440 2 1444 (no válida)2 386
6 6 6 6
xx
x
ƒ‚
3 2 18 2 20x
Solución: La base mide 20 cm y la altura, 6 cm.
Ejercicio nº 9.-
Halla el valor de los ángulos señalados en cada figura:
Solución:
ˆ ˆa) 90 ; 90 28 62x y
ˆˆ ˆb) 180 58 122 ; 58A B C
c) 27 ; 2 27 54
Ejercicio nº 10.-
Halla la altura de este tronco de cono:
Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
2 2h 15 9 225 81 144 12 cm
Ejercicio nº 11.-
a Halla el área de esta figura:
b Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya circunferencia básica mide 18,84 cm.
Solución:
a
Hallamos la longitud de la base mayor del trapecio:
2 25 4 25 16 9 3 cmx
Base mayor 4 2x 4 6 10 cm
21
h 10 4 4Área del trapecio 28 cm
2 2b b
A
2 22
25Área del semicírculo 12,5 39,25 cm
2 2r A
Área total A1 A2 28 39,25 67,25 cm2
b
Hallamos el radio de la base:
18,84 18,842 18,84 cm 3 cm2 6,28
r r
Hallamos la altura del cono:
2 2h 16 256 9 247 15,72 cmr
2 2 31 1Volumen h 3 15,72 148,08 cm3 3
r
Ejercicio nº 12.-
a Obtén la figura transformada de F al aplicarle un giro de centro O0, 0 y ángulo 90.
b Describe un movimiento que transforme F1 en F2:
Solución:
a
b Simetría cuyo eje es el eje Y.
Ejercicio nº 13.-
La siguiente gráfica muestra el peso de un chico desde que nace hasta que cumple 20 años:
a ¿Cuál es el dominio de definición?
b ¿Es una función continua o discontinua?
c ¿Cuál es el peso a los 3 años de edad?
d ¿A qué edad pesa 55 kg?
e Explica si es una función creciente o decreciente.
Solución:
a De 0 a 20 años.
b Es continua.
c 10 kg, aproximadamente.
d A los 15 años, aproximadamente.
e Es una función creciente porque al aumentar la edad, aumenta el peso.
Ejercicio nº 14.-
a Representa gráficamente la función 3x 4y 2, y comprueba si el punto 2,64; 2,48pertenece o no a la recta.
b Observa la gráfica y escribe la ecuación correspondiente:
Solución:
3 2a) 3 4 24xx y y
Pasa por 2, 1 y 2, 2:
Comprobamos si el punto 2,64; 2,48 cumple la ecuación de la recta:
3 · 2,64 4 · 2,48 7,92 9,92 2
Luego el punto si pertenece a la recta.
b Como no pasa por el origen, la ecuación de dicha recta será de la forma y mx n:
El punto de corte con el eje Y es 0, 3 n 3
Por cada unidad que se avanza en la x , se bajan 2 unidades en la y m 2
La ecuación es y 2x 3.
Ejercicio nº 15.-
Un fontanero nos cobra por venir a nuestro domicilio 10 € más 8 € por cada hora de trabajo.
a Halla la ecuación de la recta que relacione el coste, y, de una reparación en función del tiempo que tarde en hacer el trabajo, x. Represéntala gráficamente.
b Si tarda tres horas y media en realizar el trabajo, ¿cuánto pagaremos?
Solución:
a y 10 8x
b Si x 3,5 y 10 8x 10 8 · 3,5 10 28 38
Pagaremos 38 €.
Ejercicio nº 16.-
a) En una bolsa hay cuatro bolas, cada una con uno de los números 1, 2, 3, 4. Extraemos dos bolas y sumamos los números obtenidos. Hemos repetido la experiencia 60 veces, obteniendo los siguientes resultados:
SUMA 3 4 5 6 7 N. DE VECES 8 12 21 9 10
Halla la media y la desviación típica de esta distribución.
b Hemos lanzado dos dados 200 veces, anotando la suma que obteníamos. La media ha sido 7 y la desviación típica 2,43. Calcula el coeficiente de variación en este caso y en el anterior y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.
Solución:
a)xi fi fixi fixi
2
3 8 24 72
4 12 48 192
5 21 105 525
6 9 54 324
7 10 70 490
60 301 1 603
Media:
301 5,0260
i if xxn
Desviación típica:
22 21603 5,02 1,52 1,23
60i if x xn
11
1
22
2
1,23C.V. 0,245b)5,02
La dispersión es mayor en el segundo caso.2,43C.V. 0,347
7
x
x
Ejercicio nº 17.-
En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola al azar y anotamos su número.
a Escribe el espacio muestral.
b Describe los sucesos:A "obtener número par"B "obtener menos de 5"C "obtener un número de dos cifras"
Solución:
a E {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
b A {2, 4, 6, 8, 10} ; B {1, 2, 3, 4} ; C {10}
Ejercicio nº 18.-
Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Halla la probabilidad de que:
a Sea un as.
b No sea un rey.
Solución:
AS4 1a) 0,1
40 10P
NO REY36 9b) 0,940 10
P