30 noubiaix 42

Fotografia matemàticaDavid Alonso Asensio, Anna Darnaculleta Esteve

INS Moisès Broggi

Francesc Creixell Robert, Carles de Cubas GarciaINS Pla Marcell

Pilar FiguerasMestresINS Vila de Gràcia

Maite Gorriz Farré, Santi Vilches LatorreINS Vilamajor

Francisco Moreno RigallINS XXV Olimpíada

fotomatiques@gmail.com

Resum Abstract

Prengui una fotografia familiar. Com sap si téuna fotografia matemàtica? L’argument

pitagòric que «tot és nombre» converteixqualsevol fotografia en matemàtica. Una selfieés una representació de l’1, una imatge delspares ho és del 2... Aquesta visió fa que totafotografia sigui matemàtica i, evidentment,

manca de sentit. Oposadament, podemmirar-nos el món des d’un punt de vistaplatònic i afirmar que les matemàtiques

pertanyen al món de les idees. Ergo, mai noaconseguirem una representació perfecta delsconceptes perquè és impossible fotografiar unpunt o una recta. Per al nostre col¨lectiu, una

fotografia matemàtica és un mitjà didàctic quefacilita l’aprenentatge sistèmic de les

matemàtiques; unes matemàtiques integradesen el nostre entorn, generadores de bellesa,font de creativitat i útils per tenir una visió

crítica de la societat que ens envolta. Lafotografia matemàtica ens ha de fer perdre la

visió hermètica de les matemàtiques poc útils iens ha d’ajudar a trobar entorns on

desenvolupar matemàtiques properes a lespersones. Dit això i amb l’ajut de l’experiència

acumulada, una bona fotografia matemàtica hade tenir una intencionalitat que ha de quedar

recollida en un títol (imprescindible) quedetermini el concepte que es vol copsar. També

ha de ser útil des del punt de vista didàctic,creativa i bella.

Take a family photograph. How do you know ifyou have amathematical picture? ThePythagorean argument that «all things arenumbers» turns any photograph intomathematics: a selfie is a representation of one,an image of the parents of two... This visionsuggests all photography mathematical anddevoid ofmeaning. On the other hand, we canlook at the world fromaPlatonic point of view andaffirm thatmathematics belongs to the world ofideas, ergowe can never perfectly represent theconcepts because it is impossible to photograph apoint or a straight line.For us, a mathematical photography is a didactictool that facilitates the systematic learning ofmathematics: mathematics integrated into ourenvironment, a source of beauty, a well ofcreativity, and useful in developing a critical visionof society. Mathematical photography shouldhelp us to forget our closed vision of barely usefulmathematics, and to find surroundings in whichto develop amathematics of the people.Also, in our experience, goodmathematicalphotographymust have an intentionality that canbe summarised in a title (essential) that definesthe concept to be communicated. It should also beuseful from the point of view of didactics,creativity and beauty.

juny 2018 31

1. L’espai web fotografiamatematica.cat

Amb el pas del anys i vista la volada que estava agafant el Concurs de Fotografia Matemàticade l’ABEAM (Associació de Barcelona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les Matemàtiques),iniciat l’any 2000 ambmotiu de l’AnyMundial de lesMatemàtiques, va semblar-nos una bonaidea crear un portal on poguéssim difondre la nostra tasca. Així va ser com va néixer el 2014la pàgina www.fotografiamatematica.cat.

Des d’aleshores hem vist com el nostre portal s’ha anat fent un lloc entre les pàgines derecursos didàctics que utilitzen els docents d’aquest país. La nostra idea inicial de tenir unafinestra al món ha esdevingut una de les principals eines de treball que utilitzem en gairebétotes les activitats que fem.

Dins la web s’hi poden trobar totes les fotografies que han rebut algun reconeixement enles divuit edicions del Concurs de Fotografia Matemàtica. Aquest conjunt d’imatges formenun fons d’aproximadament cinc-cents excel¨lents exemples d’idees matemàtiques expres-sades amb llenguatge fotogràfic. Aquestes imatges estan etiquetades segons conceptesmatemàtics, de tal manera que és fàcil visualitzar totes les fotografies relacionades amb unaidea matemàtica concreta. La pràctica totalitat dels conceptes matemàtics coberts des de laprimària fins al batxillerat estan representats en aquesta col¨lecció, on, a cada nova edició delconcurs, s’incorporen unes quaranta fotografies noves.

La pàgina ens serveix per informar i gestionar les diferents activitats que portem a terme dinsdel grup. Així, per exemple, s’hi pot trobar informació detallada sobre l’exposició itinerant que

32 noubiaix 42

hem elaborat. També hi trobareu informació sobre el calendari fotomatemàtic que cada anyeditem amb algunes fotografies presentades al concurs, i alhora la web és un dels principalsinstruments que utilitzem per organitzar-lo.

Una altra part de l’espai web, potser la més important, és el recull d’activitats didàctiques.Aquestes activitats d’aula proposenun treballmatemàtic al voltant de la fotografia. A vegadesel punt de partida és una fotografia que origina una reflexió o un treball sobre un conceptematemàtic. En altres ocasions, la proposta és aconseguir plasmar un problema o una ideamatemàtica en una imatge. Volem que aquesta col¨lecció d’activitats sigui útil als docentsi la millor mostra que la fotografia matemàtica pot ser un bon instrument per ensenyarmatemàtiques. La nostra voluntat és anar engreixant aquesta col¨lecció de mica en mica,recollint les nostres pròpies propostes i també les que rebem d’altres docents.

Ens agrada imaginar-nos que docents i alumnes entren a la nostra web i s’hi submergeixencercant un petit tresor: una idea original que els ajudarà a tirar endavant una activitat d’aula,un petit estímul que els farà avançar en l’aprenentatge de les matemàtiques, una fotografiaque il¨lustrarà un concepte matemàtic concret que volen fer entendre...

2. L’exposició. Tot un èxit dinamitzador als centres

Seguint amb les nostres ganes de generar recursos didàctics relacionats amb la fotografiamatemàtica i de posar-los a l’abast de tothom, vam crear una exposició itinerant formadaper deu plafons. L’exposició es va presentar el juliol del 2016 al claustre de la Facultat deMatemàtiques de la Universitat de Barcelona (UB) en elmarc del C2EM (Congrés Català d’Edu-cació Matemàtica). En cadascun d’aquests plafons s’exposen diferents fotografies premiadesal llarg de les disset edicions del concurs realitzades fins aleshores. Cada plafó engloba unamateixa temàtica i permet plantejar activitats amb l’alumnat per tal que cada centre educatiutingui un recurs més per activar l’aprenentatge de les matemàtiques.

El títols dels plafons intenten provocar i alhora fer sentir curiositat sobre el perquè de lesfotografies.

juny 2018 33

1. Mira amb ulls matemàtics

2. Funcions pertot arreu

3. La bellesa és matemàtica

4. Efectes especials

5. Quin és quin?

6. Estadística i atzar

7. Simetries

8. On som?

9. Matemàtiques amb sentit...

10. Fem-la!Institut Serra deMiramar, Valls.

La presència de l’exposició als centres és una bona oportunitat per fer matemàtiques. A lapàgina web hi ha recollides diverses propostes i també demanem als centres que ens facinarribar allò que elaboren. A partir de les respostes rebudes, podem afirmar que l’activitatrelacionada amb el plafó «On som?» ocupa una posició privilegiada al rànquing de les mésreeixides.

Imatges cedides pels instituts Marta Estrada, de Granollers; Viladomat, de Barcelona,

i Vilamajor, de Sant Pere de Vilamajor.

L’activitat consisteix a trobar en quin lloc delmón es va fer la fotografia «Vectors», d’AlbaMas.Per aconseguir-ho, primer han de fer un indicador en miniatura i l’han de situar en un poblede referència sobre un mapa de Catalunya. Llavors els companys han d’endevinar l’indrettriat pels altres grups. Per completar el repte, es construeix un indicador amb fletxes de fustaen algun lloc ben visible de l’institut i es proposa posar al web del centre el repte de trobar«El nostre institut al món».

Amb el plafó «Estadística i atzar» proposem un treball sobre el significat de les paraules mitja,mitjana, mediana, moda i mediana, o bé sobre el significat de segur, possible, probable,

34 noubiaix 42

impossible i improbable. També fem preguntes com: quan hi ha dues possibilitats, tenim lamateixa probabilitat que passin les dues coses? O bé: quin aspecte tenen els objectes posatsa l’atzar? O fins i tot: com es relaciona la recta de regressió amb el camí d’unes formigues?Subratllem que el més important és que qualsevol nen o nena, qualsevol noi o noia, potdescobrir els misteris de l’atzar a través de la fotografia.

Aquí tenim unamostra de l’alumnat de l’Institut Pla Marcell, de Cardedeu, i de l’Escola Mercè Rodoreda, de

Martorell, treballant l’estadística i l’atzar amb l’exposició de fotografiamatemàtica.

3. De la fotografia a l’aula

3.1. Fotografia matemàtica i fraccions

Observem que els temes que més s’han tractat a les classes de matemàtiques també esrecullen més freqüentment a les fotografies que es presenten al concurs. Destaquem queles fraccions són un d’aquests temes. Moltes vegades apareixen lligades als conceptes departició de la unitat, repartició, probabilitat, i també a situacions en què dues quantitatspoden representar un numerador i un denominador.

Tot i que és injust centrar-se en un exemple, sí que considerem que la fotografia de l’OnaAguilera, que porta per títol «Fraccions equivalents», va una mica més enllà del tractamenthabitual de les fraccions perquè inclou el concepte d’igualtat amb un recurs de vegadesutilitzat per explicar manipulacions algebraiques: la balança.

juny 2018 35

Aquesta fotografia ha donat molt bons resultats per introduir el tema de les fraccions en elsprimers cursos d’educació secundària obligatòria (ESO), tal com us descrivim a continuació.

1. Es projecta aquesta fotografia i es demana als alumnes que justifiquin el títol.2. Normalment els alumnes argumenten que el contingut dels dos plats és el mateix.3. Fent d’advocat del diable, el professor els fa veure que en un braç hi ha sis porcions i

en l’altre, tres.4. Ràpidament diuen que els uns són quarts i els altres són meitats, de manera que tres

meitats equivalen a sis quarts.

5. Finalment, es demana un títol sense lletres i els alumnes acaben proposant3

2“ 6

4.

En resum, a la classe introductòria hem treballat: la fracció comunconjunt departs iguals d’untotal, l’equivalència de fraccions, la simplificació de fraccions i la possibilitat de fotografiarfraccions.

La proposta és demanar als alumnes que s’animin a mirar el món amb ulls matemàtics ibusquin fraccions. L’objectiu és treballar a classe aquestes fotografies. Una bona part de lesimatges sovint són de menjar, ja que diàriament a les cases es talla pa, formatge, pastissosi pizzes. Ara és el moment d’afegir un altre ingredient a la pizza: la matemàtica. Com? Ambuna mica de provocació!

Imatge deMartí Peña.

36 noubiaix 42

En aquesta fotografia veiem una pizza tallada en vuit trossos: això vol dir que a casa sou vuit?

Dius que és la manera més fàcil de tallar-la?

Si a casa som cinc i volem que tots mengin el mateix, sembla que s’hauria d’haver tallat encinc parts. Quan anem a fer la queixalada, sona el timbre i venen dos amics que tenen gana.Què fem?

Tallar cada porció en dues meitats? Aleshores tindrem deu porcions, i som set! És importantfer parts iguals!

Aquí ja tenim un problema de fraccions, múltiples i divisors, i amb aquest teatre intentaremengrescar l’alumnat.

Hi ha imatges que ens presenten la situació inversa:

En aquesta fotografia veiemqueunapersona ja ha agafat la sevapart de pizza. Si totsmengenel mateix, quantes persones se l’estant repartint?

Imatge deMireia Roma.

Per donar una resposta a la pregunta és necessari conèixer quin angle fa el tros que falta, i enaquest sentit el programa Geogebra és un gran ajut.

Si fa 46,91˝, com que

360

46,91“ 7,67,

vol dir que sou 7,67 persones? Hem aprofitat una imatge per treballar fraccions, angles iarrodoniments.

Tot i que estem compartint una experiència d’aula que ens ha funcionat, entenem que elfet de deixar a l’atzar (en mans dels alumnes) l’aparició d’imatges didàcticament útils pot

juny 2018 37

generar dubtes. En aquestamateixa línia també es poden treballar les fraccions amb imatgesad hoc. Proposem una altra activitat amb galetes, en la qual prèviament hem generat lesfotografies i que pretén guiar els alumnes en la sumade fraccions ambdiferent denominador.Considerem que la manera ideal de treballar-la és en grup.

1. Mostrem imatges de galetes rectangulars tallades transversalment i longitudinalment.Acompanyem les imatges amb unamica de ficció dient que a la meitat de la classe nomésels agraden les galetes tallades verticalment i a l’altra meitat, les tallades horitzontalment.Ho personalitzem en dues alumnes (la Marta i l’Ariadna) i expliquem que han tallat lesseves galetes, se n’han menjat algun tros, han fet les fotografies i ens les han compartit alDrive:

2. Seguidament, posem dificultats afegint que la Marta i l’Ariadna volen menjar-se trossosde galeta de la mateixamida, però com que han tallat les galetes demanera diferent, aixòno pot ser!

3. Ara és el moment de cedir el torn als alumnes per tal que busquin solucions. Se’ls demanaquediscuteixin compodrien tornar a tallar les galetes perquè tinguin trossos de lamateixamida. Cal deixar ben clar que no importa que tinguin una quantitat diferent de trossos:el que importa és que siguin de la mateixa mida. Entenem que aquest és el punt méscomplicat de l’activitat i constatem que ajuda molt portar galetes a l’aula per tal que elsalumnes puguin experimentar. A la imatge es pot veure els alumnes sumant fraccionsamb pa de motlle i crema de formatge.

38 noubiaix 42

4. Finalment, proposem que descriguin el procés en llenguatge matemàtic. La consigna ésque la Marta i l’Ariadna s’han menjat tots els trossos que han sortit de dividir les sevesgaletes i que ara s’ha d’escriure en forma de fracció la quantitat de galeta de cada unad’elles i la quantitat total de galeta que mengen entre les dues.

5. El premi per haver fet bé l’activitat és menjar-se les galetes!

3.2. Fotografiant equacions

Durant tots els anys que hem estat fent el concurs de fotografia, hem rebut imatges sobre untema recurrent: les equacions. Aquest fet reflecteix la gran preocupació de tots els docentsdel nostre país per resoldre equacions. No ens posarem a discutir sobre la importànciao no d’aquest element del currículum, però sí que ens agradaria fer una reflexió sobre lesfotografies que rebem, quemostrenunamanera de treballar a l’aulamolt procedimental i pocreflexiva. Això sí, la vessant estètica de les fotos que rebem sobre equacions és indiscutible.Moltes d’elles ens han captivat i han estat premiades, com ara la fantàstica foto que ens vaenviar l’Aina López, titulada «x aïllada». Malauradament, hem de dir que totes les fotografiesrebudes contenen imatges que evoquen exclusivament la lletra x, com si la lletra definís elconcepte.

Aquesta allau de lletres x fotografiades ens va fer plantejar una pregunta: les equacions sóninfotografiables? Calia posar fil a l’agulla. El resultat és la següent activitat d’aula, que titulem«En aquesta foto en total hi ha...».

La seqüència didàctica consisteix a presentar la imatge següent als alumnes:

juny 2018 39

Tot seguit s’informa que a la foto hi ha un total de dotze fitxes i es demana que es calculiquantes fitxes hi ha sota cada got.

Al nostre entendre, la principal virtut de l’activitat és visualitzar la manipulació algebraica.Recollim en un quadre el paral¨lelisme entre els dos mètodes de resolució.

Solució gràfica Solució algèbrica

En aquesta foto hi ha en total 12 fitxes:Si x és la quantitat de fitxes que hi ha dins elpot, l’equació és: «en dos pots més 6 fitxes són12 fitxes»

2x ` 6 “ 12

Si traiem les 6 fitxes, ens quedarà:

12 ´ 6 “ 6 fitxes 2x “ 12 ´ 6

2x “ 6

Visualment: el `6 que sumava a l’esquerrapassa a la dreta restant ´6.

Si repartim les 6 fitxes entre els 2 gots,

toquen 3 fitxes per cada got:

x “ 6

2“ 3

Visualment: el 2 que multiplicava a l’esquerrapassa a la dreta dividint.

A partir d’aquí, encoratgem els alumnes a crear equacions. A l’exemple següent els animema visualitzar els parèntesis i la propietat distributiva. Amb lesmateixes indicacions que abans,informem que hi ha 29 fitxes.

40 noubiaix 42

Solució gràfica Solució algèbrica

En aquesta foto veiem 3 plats iguals encadascun dels quals hi ha 2 gots i 4 fitxes;a més, hi ha 5 fitxes en un costat. Però entotal hi ha 29 fitxes. En cada pot hi ha x fitxes. Representem

els plats amb parèntesis; per tant, hem detrobar quin nombre és x si

3p2x ` 4q ` 5 “ 29

El primer que fem és buidar els plats; pertant, tenim 6 gots, 12 fitxes i 5 fitxes més. Ien total hi ha 29 fitxes.

Com que el que hi ha dins dels parèntesisho tenim 3 cops, agafem el triple de tot elque hi ha dins els parèntesis.

6x ` 12 ` 5 “ 29

Aquest procés s’anomena propietat distri-butiva.

Ajuntem les fitxes i, per tant, tenim 6 gots i17 fitxes. Però en total hi ha 29 fitxes.

Sumem els nombres 12 ` 5 “ 17

6x ` 17 “ 29

Ara traiem les 17 fitxes i, per tant, queden12 fitxes repartides en els 6 gots.

El 17 que sumava a la esquerra ara resta a ladreta (passa a l’altra banda fent el contrari):

6x “ 29 ´ 17

6x “ 12

juny 2018 41

Solució gràfica Solució algèbrica

Si repartim les 12 fitxes entre els 6 gots,queda clar que hi ha 2 fitxes a cada got.

El 6 que multiplicava la x a l’esquerra passadividint a la dreta i, per tant, x “ 2:

x “ 12

6“ 2

Ara buscarem equacions amb incògnites als dos costats de la igualtat. El repte creix endificultat si diem que l’única cosa que sabem és que a cada taula hi ha exactament el mateixnombre de fitxes. Arribats a aquest punt, qui dubta que les equacions es poden fotografiar ique són una fotografia de l’equació?

3.3. Fotografia matemàtica en la geometria

La geometria és una de les disciplines de la matemàtica que més vegades es recull a lesfotografies que rebem al concurs, ja que és present als currículums de tots els cursos i alhoradescriu els objectes de la realitat.

L’objectiu de l’activitat següent és treballar la geometria amb els alumnes de primer d’ESOa partir de les seves pròpies imatges. Això es farà iniciant el camí cap a la construcció delscinc poliedres regulars, tot recordant i ampliant els conceptes de polígon i polígon regular.Mirarem de donar més presència als contextos reals dels alumnes amb la realització defotografies matemàtiques.

L’activitat consistirà a demanar a cada alumne que faci quatre o cinc fotografies amb el seumòbil i posar títol a cadascuna per tal que aflorin els conceptes i les idees geomètriques.De l’anàlisi d’aquestes fotografies amb els seus títols podrem obtenir una primera avaluacióinicial de cada alumne.

42 noubiaix 42

Hexàgons encaixats

Polígon rodó

Hexàgon

L’estudi i l’organització de les fotografies matemàtiquesde l’alumnat esdevenen elmotor de l’activitat: els alumnespresenten a classe les seves fotografies i entre tots acabenelaborant una definició de polígon. S’utilitza la mateixatècnica per treballar el concepte de polígon regular: pre-sentació de fotografies fetes pels alumnes, detecció delspolígons regulars i elaboració col¨lectiva de la definició.

Per tal de reforçar els dos conceptes i treballar algunesde les propietats dels polígons regulars, es poden cons-truir ambescuradents plans alguns d’aquests polígons, perexemple sumant els angles interiors d’un polígon regular.El Geogebra també és unabona einaper seguir investigantmés propietats.

juny 2018 43

A continuació s’inicia el camí cap a la construcció dels cinc poliedres regulars i per tancarl’activitat podem demanar dues coses: noves fotografies matemàtiques que continguin elsconceptes treballats o la modificació dels títols de les fotografies inicials.

Haurem aconseguit construir coneixement geomètric?

4. De l’aula a la fotografia

Fins ara hem mostrat situacions en què la fotografia és a la gènesi de l’activitat docent. Peròvolem destacar que també es pot aprofitar la potència de la imatge per resumir l’activitatdocent realitzada. Considerem que condensar en una fotografia tot el que s’ha treballat enuna unitat didàctica és un repte interessant que obliga a revisar la feina feta i mirar-la desd’altres angles de visió.

Dins del projecte «Global Scholars», ambungrupd’alumnesdeprimer d’ESOes va treballar demanera transversal la nutrició arreu del món. Inicialment es va analitzar la nostra alimentaciói després es va comparar amb la d’altres indrets del món. La primera activitat que es va feres titulava «How much sugar do we drink?». En les dades de l’etiqueta d’una beguda es vatrobar la proporció de sucre que contenia.

Sabent que un terròs de sucre equival a 4 g de sucre, es va calcular el nombre de terrossos desucre que contenien les diverses begudes. Tot aquest procés es va resumir en la imatge del’envàs amb la seva equivalència en terrossos de sucre apilats al costat.

La segona activitat es titulava «How much sugar do we eat?». En aquesta activitat es vaanalitzar el sucre de les galetes o snacks que mengen els alumnes. Cada grup d’alumnes vaportar una caixa de les seves galetes preferides. De l’etiqueta es va extreure la informació delsucre per cada 100 g de galetes. En aquest cas, es va trobar la proporció de sucre que hi haen cada paquet individual de galetes. Amb unes balances es va pesar el sucre, es va posar enbossetes i es va elaborar un pòster amb la comparativa de sucre.

44 noubiaix 42

Ambdues exposicions es van penjar al passadís del centre. Això va obligar els alumnes arepassar el treball, a banda que va tenir un efecte divulgatiu i va fer que els alumnes de primerd’ESO se sentissin valorats per la seva tasca.

Bibliografia

Alonso,D., Darnaculleta, A., Creixell, F., Cubas, C. de, Figueras, P., Gorriz,M.,Moreno, F., Vilches,S. (2018). Fotografiamatemàtica. http://fotografiamatematica.cat.

Vilches, S., Gorriz, M. (2017). «La fotografía matemática como recurso didáctico». Suma.Monografía, 6, 41-57.

Vilches, S. (2016). «Fotografia matemàtica. Vint anys mirant el món amb ulls matemàtics».SCM. Notícies, 39, 64-67.