david rolland, formateur iufm et professeur ecole normale mixte
TRANSCRIPT
Les polyèdres suivis des solides dans l’espace
Créé à partir de documents de Jean-Marc Schlenker, Université Toulouse III
David Rolland, formateur IUFM et professeur Ecole Normale Mixte
Qu’est-ce qu’un polyèdre ?
Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets.
Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques.Certains polyèdres réguliers sont connus
depuis toujours : le tétraèdre (4 faces,4 sommets),
l'octaèdre (8 faces, 6 sommets).le cube (6 faces, 8 sommets),
Pythagore et le dodécaèdrePythagore (569-475 avant JC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens.
Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales.On lui attribue la découverte d'un nouveau polyèdre régulier, le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets).Le dodécaèdre a acquis pour les pythagoriciens une importance symbolique.
On en déduit un autre polyèdre régulier : l'icosaèdre (20 faces, 12 sommets).
Platon et les polyèdres réguliers
Les polyèdres réguliers ont eu une influence considérable dans l'antiquité grecque.Pour Platon (427-347 avant JC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers :
Le cube, avec la terre,
le tétraèdre, avec le feu,
l'octaèdre, avec l'air,
l'icosaèdre, avec l'eau.
Le dodécaèdre, lui, sert à l'arrangement final de l'univers.
Ces cinq polyèdres réguliers sont appelés les solides de Platon.
tétraèdre
Cube ou hexaèdre
octaèdre
dodécaèdre icosaèdre
Ces formes se retrouvent dans la nature, notamment dans certains minéraux, les cristaux.
Les solides de Platon
Euclide et la première classificationEuclide (325-265 avant JC) est le plus connu des mathématiciens antiques,
Auteur des Eléments, première tentative de formalisation des mathématiques.Le résultat final en est la classification des polyèdres réguliers : il n'y en a que 5.
C'est le premier résultat de classification de l'histoire.
ArchimèdeArchimède (287-212 avant JC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque.
Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers :les sommets sont identiques, les faces des polygones réguliers (pas identiques).
Il les classifie : il y a deux familles infinies,
et 13 autres polyèdres.·
Prismes et anti-prismes
Les 13 polyèdres semi-réguliers
Malheureusement, le traité d'Archimède sur les polyèdres semi-réguliers a été perdu.
Les peintres et les polyèdres
Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (1471-1528).Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales,par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517),illustrée par Léonard de Vinci.Dürer donne aussi une nouvelle description des polyèdres, sous forme de dépliage.
Képler et les polyèdres non convexes
La classification d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (1571-1630).
Képler achève d'abord la classification des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimède.
Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes,et découvre deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes.
Cette liste sera complétée par Poinsot (1777-1859), qui retrouve les deux polyèdres de Képler et en découvre deux autres.
La classification des polyèdres réguliers est achevée, deux millénaires après Euclide !
Les principaux solides vus à l’école primaire
Figure Patron
I/ LE CUBE
Il existe 11 patrons différents d’un cube.
c
c
c
- le volume V de ce cube vaut :
c3V =
Si on note c la longueur de l’arête d’un cube, alors :
- la diagonale AG a pour mesure …………….
Figure Patron
II/ LE PARRALLELEPIPEDE RECTANGLE OU « PAVE »
A
G
L
h
l
Face de droite
Face de derrière
Face de devant
Produit des trois dimensions
Si on note L, l et h les dimensions respectives du pavé droit, alors : - la diagonale AG a pour mesure…………….
- le volume V de ce pavé vaut :
=V =
Figure Patron
III/ LE CYLINDRE
h
O
O’ r
Face supérieure
face latérale
Face inférieure
2
Si on note r = OA le rayon du cercle de base et h=OO’ la hauteur du cylindre, alors :- l’aire A du cylindre vaut :
A =
- le volume V du cylindre vaut :
V = =
Figure Patron
IV/ LE CONE
=360.r/ll
Si on note h la hauteur du cône et r le rayon du cercle de base, alors :
- le volume V du cône vaut :
V =
Figure Patron
V/ LE TETRAEDRE
Si on note h la hauteur du tétraèdre et B l’aire de sa base, alors : - le volume V du tétraèdre vaut
V =
Figure Patron
VI/ LA PYRAMIDE à BASE CARREE
base
Si on note c le côté du carré de base et h la hauteur de la pyramide, alors : - le volume V du la pyramide vaut :
V = = C².h
Figure Patron
VII/ LE PRISME DROIT
h
base
Base x hauteur
B x h
Si on note h la hauteur du prisme et B l’aire de sa base, alors :
- le volume V du prisme vaut :
V = =
Figure Patron
VIII/ LA SHERE ET LA BOULE
Si on note r le rayon de la sphère, alors :
- L’aire A de la sphère est égale à :
A =
- Le volume V de la boule est égale à :
V =
IX. Quelques patrons d’autres solides
X. Propriétés des solides de Platon
Figure
Nom
Faces
Sommets
Arêtes
Angles faces
Tétraèdre Cube Octaèdre DodécaèdreIcosaèdre
4 triangles équilatéra
ux
6 carrés 8 triangles équilatéra
ux
12 pentagones
réguliers
20 triangles
équilatéraux4 8 206 12
126 303012
70°32’ 90° 138°11’116°34’109°29’
Fin du diaporama
créé par David ROLLAND, formateur I.U.F.M. et professeur de l’Ecole Normale Mixte de la Polynésie française