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Fach: MatheJahrgangsstufe: 10 Potenzen & Wurzeln - Übungen
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Aufgaben Lösungen Tipps
1. Berechnen Sie. Potenzen mit natürlichen Exponenten
Treten Potenzen auf, deren Exponenten natürliche Zahlen sind, dann beachten Sie:
2. Schreiben Sie ohne negative Exponenten.
3. Schreiben Sie ohne Bruchstrich.
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Treten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten auf, dann beachten Sie (für 0≠a und Ν∈n :
Hinweis:
Durch das Ändern des Vorzeichens des Exponenten können Sie eine Potenz vom Nenner in den Zähler bringen und umgekehrt.
4. Berechnen Sie. Rechnen mit Potenzen
Beachten Sie beim Rechnen mit und beim Umformen von Potenzen:
Aufgaben Lösungen Tipps
5. Berechnen oder vereinfachen Sie. Multiplizieren und Dividieren bei gleicher Basis
Um Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren bzw. zu dividieren, gehen Sie so vor:
1. Potenzieren Sie die Basis mit der Summe bzw. der Differenz der Exponenten.
2. Berechnen oder Vereinfachen Sie.
6. Berechnen oder vereinfachen Sie. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Exponenten
Um Potenzen mit gleichem Exponenten zu multiplizieren bzw. zu dividieren, gehen Sie so vor:
1. Potenzieren Sie das Produkt bzw. den Quotienten der Basen mit dem Exponenten.
2. Berechnen oder Vereinfachen Sie.
7. Berechnen oder vereinfachen Sie. Potenzieren von Potenzen
Um Potenzen zu potenzieren, gehen Sie so vor:
1. Potenzieren Sie die Basis mit dem Produkt der Exponenten.
2. Berechnen oder Vereinfachen Sie.
8. Vereinfachen Sie. Potenzterme vereinfachen
Um Terme mit Potenzen zu vereinfachen, können Sie alle bekannten Regeln zur Termumformung anwenden, insbesondere:
- das Distributivgesetz
- die binomischen Formeln.
Bei manchen Termen ist es angebracht, zunächst einmal für gleiche Basen zu sorgen [Aufg. e)].
Vereinfachen Sie anschließend mithilfe der Potenzgesetze (Aufgaben 5-7).
Aufgaben Lösungen Tipps
9. Berechnen Sie ohne Taschenrechner.
n-te Wurzel ziehen
Lässt sich der Radikand als Potenz mit dem Exponenten n schreiben, können Se auch ohne Taschenrechner die n-te Wurzel ziehen. Für 0≥a gilt:
aan n =
10. Schreiben Sie als Wurzel.
11. Schreiben Sie als Potenz.
Potenzen mit rationalen Exponenten
Aufgabe 10:
Sollen Sie eine Potenz als Wurzel schreiben, gehen Sie so vor:
1. Formen Sie zunächst so um, dass der Exponent eine positive Bruchzahl ist [Aufg. b), f), g), h)].
2. Den Radikanden erhalten Sie, indem Sie die Basis mit dem Zähler potenzieren.
3. Notieren Sie den Nenner als Wurzelexponenten.
Aufgabe 11:
Sollen Sie eine Wurzel als Potenz schreiben, gehen Sie so vor:
- Potenzieren Sie die Basis mit dem Bruch, dessen Zähler der Exponent des Radikanden und dessen Nenner der Wurzelexponent ist.
12. Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner einen auf zwei Dezimalen gerundeten Näherungswert.
Potenzwerte mit dem Taschenrechner bestimmen
Um Potenzwerte näherungsweise mit dem Tschenrechner zu bestimmen, können Sie so vorgehen:
1. Schreiben Sie Wurzeln als
Potenzen nm
a [Aufg. c), d)].
2. Geben Sie ein: Benutzen
Sie für nm die Bruchtaste, evtl.
auch die Vorzeichentaste, oder schreiben Sie als Dezimalzahl.
Die –Taste heißt oft auch yx -Taste.
3. Ist m=1, so können Sie auch mit
der –Taste arbeiten
Aufgaben Lösungen Tipps
13. Fassen Sie so weit wie möglich zusammen.
Umformen mithilfe der Potenzgesetze
Für Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die gleichen Gesetze wie für solche mit ganzzahligen Exponenten.
Terme, die Wurzeln enthalten, können Sie übersichtlich umformen, wenn Sie zunächst die Wurzeln als Potenzen schreiben.
Potenzgesetze:
ppp
ppppp
ppqpqp
qpqpqpqp
baba
aababa
aaaaa
aaaaa
):(:
1)(
:
)(1
=
=⋅=⋅
==
==⋅
−
−
⋅+
14. Berechnen oder vereinfachen Sie.
Wurzeln vereinfachen
Sollen Sie Wurzeln so weit wie möglich vereinfachen oder berechnen, gehen Sie so vor:
1. Prüfen Sie, ob sich der Radikand als Potenz mit möglichst großem Exponenten schreiben lässt [Aufg. c) bis f), h)].
2. Schreiben Sie die Wurzel als Potenz, berechnen Sie den Exponenten und kürzen Sie ihn. Ist der Exponent nun ganzzahlig, rechnen Sie aus [Aufg. a) bis e)].
3. Ist der Exponent nicht ganzzahlig, dann schreiben Sie ihn als Bruch oder gemischte Zahl.
4. Schreiben Sie Potenzen mit gemischten Zahlen im Exponenten als Produkt:
)( Ν∈⋅=+ naaa pnpn
5. Berechnen oder vereinfachen Sie.
15. Lösen Sie die Gleichungen. Potenz- und Wurzelgleichungen