dasar-dasar model antrian - telkom...

Dasar-dasar Model AntrianKuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016

Fakultas InformatikaTelkom University

FIF Tel-U

Januari 2016

MZI (FIF Tel-U) Model Antrian Januari 2016 1 / 21

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D.Kelton (acuan utama).

2 Elements of Stochastic Process, oleh B. S. Gottfried.3 Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L.Nelson, D. M. Nicol.

4 Introduction to Queueing Theory, Edisi 2, oleh R. B. Cooper.5 Basic Queueing Theory, oleh J. Sztrik.6 Slide kuliah Simulasi dan Pemodelan di Universitas Gunadarma oleh M. Iqbal.7 Slide kuliah Pemodelan Sistem di Telkom University oleh Tim DosenPemodelan dan Simulasi.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

Bahasan

1 Sistem Antrian dan Modelnya

2 Notasi Kendall

Murphy’s Law on Reliability and Queueing

If anything can go wrong, it will.

If you change queues, the one you have left will start to move faster than theone you are in now.

Your queue always goes the slowest.

Whatever queue you join, no matter how short it looks, it will always take thelongest for you to get served.

Sistem Antrian dan Modelnya

Bahasan

2 Notasi Kendall

Apa Itu Antrian dan Bagaimana Sistemnya?

Antrian: deretan pelanggan (customer) yang menunggu layanan.

Sistem antrian biasanya terdiri dari:

ruang tunggu antrian, pelanggan (customer),dan pemberi layanan (server).

Sistem antrian biasanya terdiri dari: ruang tunggu antrian,

pelanggan (customer),dan pemberi layanan (server).

Sistem antrian biasanya terdiri dari: ruang tunggu antrian, pelanggan (customer),dan

pemberi layanan (server).

Sistem antrian biasanya terdiri dari: ruang tunggu antrian, pelanggan (customer),dan pemberi layanan (server).

Manfaat Model Antrian

Kita memerlukan model antrian untuk memperkirakan kinerja sistem antrian.

Dalam antrian, ukuran kinerja (performansi) yang dapat diukur diantaranya:

utilisasi pelanggan dan server,

panjang antrian (banyak pelanggan yang mengantri),

waktu tunggu pelanggan.

Dengan model antrian yang baik, kita dapat

memperkirakan banyaknya pemberi layanan (server) di suatu pusat layanan,

mendeteksi masalah yang mungkin terjadi pada layanan (contohnyabottleneck),

mengevaluasi rancangan alternatif sistem.

Notasi Kendall

Bahasan

2 Notasi Kendall

Notasi Kendall

Notasi Kendall (Kendall’s notation) digunakan untuk memperjelas bagaimanasistem antrian yang kita tinjau bekerja dan dimodelkan, yang dijelaskan sebagai:

A / S / m / B / K /D

dengan

A : fungsi distribusi dari waktu antar kedatangan (distribution function ofinterArrival times)S : fungsi distribusi dari waktu layanan (distribution function of Servicetimes)

m : banyaknya pemberi layanan (number of servers)

B : kapasitas buffer (Buffer capacity)/ kapasitas sistem, merupakan banyakpelanggan maksimal yang dapat berada pada sistem, termasuk yang sedangdilayani

K : ukuran populasi, banyak pelanggan yang mungkin datang

D: disiplin/ jenis/ cara pemberian layanan (contohnya first-come-first-serve,dan lainnya).

Notasi Kendall

A / S / m / B / K /D

dengan

A : fungsi distribusi dari waktu antar kedatangan (distribution function ofinterArrival times)

S : fungsi distribusi dari waktu layanan (distribution function of Servicetimes)

Notasi Kendall

A / S / m / B / K /D

dengan

Notasi Kendall

A / S / m / B / K /D

dengan

Notasi Kendall

A / S / m / B / K /D

dengan

Notasi Kendall

A / S / m / B / K /D

dengan

Notasi Kendall

A / S / m / B / K /D

dengan

Notasi Kendall

Proses Kedatangan Pelanggan dan Modelnya (A)

Proses kedatangan pelanggan mendeskripsikan bagaimana waktu pelanggandatang ke pemberi layanan.

Kedatangan pelanggan tidak seragam dan teratur, tetapi mengikuti suatudistribusi statistik tertentu.Ingat kembali dalam model ATM: Ai = ti − ti−1, yaitu Ai menyatakan jedawaktu (selisih) antara waktu kedatangan pelanggan ke-i, yaitu ti, denganwaktu kedatangan pelanggan ke-(i− 1), yaitu ti−1.Dengan asumsi t0 < t1 < t2 < · · · , maka nilai Ai > 0 untuk semua i ≥ 0.Nilai Ai untuk i ≥ 0 membentuk suatu variabel acak (random variable) yangsaling independen (saling bebas) dan identik — independent and identical —IID.Model distribusi untuk Ai dapat berupa: distribusi eksponensial, distribusiPoisson, distribusi Erlang, distribusi hiper-eksponensial, atau gabunganbeberapa distribusi yang ada.

Notasi Kendall

Proses kedatangan pelanggan mendeskripsikan bagaimana waktu pelanggandatang ke pemberi layanan.Kedatangan pelanggan tidak seragam dan teratur, tetapi mengikuti suatudistribusi statistik tertentu.

Ingat kembali dalam model ATM: Ai = ti − ti−1, yaitu Ai menyatakan jedawaktu (selisih) antara waktu kedatangan pelanggan ke-i, yaitu ti, denganwaktu kedatangan pelanggan ke-(i− 1), yaitu ti−1.Dengan asumsi t0 < t1 < t2 < · · · , maka nilai Ai > 0 untuk semua i ≥ 0.Nilai Ai untuk i ≥ 0 membentuk suatu variabel acak (random variable) yangsaling independen (saling bebas) dan identik — independent and identical —IID.Model distribusi untuk Ai dapat berupa: distribusi eksponensial, distribusiPoisson, distribusi Erlang, distribusi hiper-eksponensial, atau gabunganbeberapa distribusi yang ada.

Notasi Kendall

Proses kedatangan pelanggan mendeskripsikan bagaimana waktu pelanggandatang ke pemberi layanan.Kedatangan pelanggan tidak seragam dan teratur, tetapi mengikuti suatudistribusi statistik tertentu.Ingat kembali dalam model ATM: Ai = ti − ti−1, yaitu Ai menyatakan jedawaktu (selisih) antara waktu kedatangan pelanggan ke-i, yaitu ti, denganwaktu kedatangan pelanggan ke-(i− 1), yaitu ti−1.

Dengan asumsi t0 < t1 < t2 < · · · , maka nilai Ai > 0 untuk semua i ≥ 0.Nilai Ai untuk i ≥ 0 membentuk suatu variabel acak (random variable) yangsaling independen (saling bebas) dan identik — independent and identical —IID.Model distribusi untuk Ai dapat berupa: distribusi eksponensial, distribusiPoisson, distribusi Erlang, distribusi hiper-eksponensial, atau gabunganbeberapa distribusi yang ada.

Notasi Kendall

Proses kedatangan pelanggan mendeskripsikan bagaimana waktu pelanggandatang ke pemberi layanan.Kedatangan pelanggan tidak seragam dan teratur, tetapi mengikuti suatudistribusi statistik tertentu.Ingat kembali dalam model ATM: Ai = ti − ti−1, yaitu Ai menyatakan jedawaktu (selisih) antara waktu kedatangan pelanggan ke-i, yaitu ti, denganwaktu kedatangan pelanggan ke-(i− 1), yaitu ti−1.Dengan asumsi t0 < t1 < t2 < · · · , maka nilai Ai > 0 untuk semua i ≥ 0.

Nilai Ai untuk i ≥ 0 membentuk suatu variabel acak (random variable) yangsaling independen (saling bebas) dan identik — independent and identical —IID.Model distribusi untuk Ai dapat berupa: distribusi eksponensial, distribusiPoisson, distribusi Erlang, distribusi hiper-eksponensial, atau gabunganbeberapa distribusi yang ada.

Notasi Kendall

Proses kedatangan pelanggan mendeskripsikan bagaimana waktu pelanggandatang ke pemberi layanan.Kedatangan pelanggan tidak seragam dan teratur, tetapi mengikuti suatudistribusi statistik tertentu.Ingat kembali dalam model ATM: Ai = ti − ti−1, yaitu Ai menyatakan jedawaktu (selisih) antara waktu kedatangan pelanggan ke-i, yaitu ti, denganwaktu kedatangan pelanggan ke-(i− 1), yaitu ti−1.Dengan asumsi t0 < t1 < t2 < · · · , maka nilai Ai > 0 untuk semua i ≥ 0.Nilai Ai untuk i ≥ 0 membentuk suatu variabel acak (random variable) yangsaling independen (saling bebas) dan identik — independent and identical —IID.

Model distribusi untuk Ai dapat berupa: distribusi eksponensial, distribusiPoisson, distribusi Erlang, distribusi hiper-eksponensial, atau gabunganbeberapa distribusi yang ada.

Notasi Kendall

Proses kedatangan pelanggan mendeskripsikan bagaimana waktu pelanggandatang ke pemberi layanan.Kedatangan pelanggan tidak seragam dan teratur, tetapi mengikuti suatudistribusi statistik tertentu.Ingat kembali dalam model ATM: Ai = ti − ti−1, yaitu Ai menyatakan jedawaktu (selisih) antara waktu kedatangan pelanggan ke-i, yaitu ti, denganwaktu kedatangan pelanggan ke-(i− 1), yaitu ti−1.Dengan asumsi t0 < t1 < t2 < · · · , maka nilai Ai > 0 untuk semua i ≥ 0.Nilai Ai untuk i ≥ 0 membentuk suatu variabel acak (random variable) yangsaling independen (saling bebas) dan identik — independent and identical —IID.Model distribusi untuk Ai dapat berupa: distribusi eksponensial, distribusiPoisson, distribusi Erlang, distribusi hiper-eksponensial, atau gabunganbeberapa distribusi yang ada.

Notasi Kendall

Proses Layanan Pelanggan dan Modelnya (S)

Si adalah service time untuk pelanggan ke-i, waktu yang diperlukan olehpemberi layanan untuk melayani pelanggan ke-i.

Ingat kembali dalam model ATM Si merupakan waktu yang diperlukan olehATM untuk melayani nasabah ke-i.

Nilai Si untuk i ≥ 0 membentuk suatu variabel acak (random variable) yangsaling independen (saling bebas) dan identik — independent and identical —IID.

Model distribusi untuk Si dapat berupa: distribusi eksponensial, distribusiPoisson, distribusi Erlang, distribusi hiper-eksponensial, atau gabunganbeberapa distribusi yang ada.

Notasi Kendall

Banyaknya Pemberi Layanan/ Server (m)

Banyaknya pemberi layanan (server) pada notasi Kendall ditulis dengan m.

Dalam contoh model ATM yang telah kita tinjau sebelumnya (pada slideSimulasi Kejadian Diskret), m = 1.

Notasi Kendall

Banyaknya Pemberi Layanan/ Server (m)

Banyaknya pemberi layanan (server) pada notasi Kendall ditulis dengan m.

Dalam contoh model ATM yang telah kita tinjau sebelumnya (pada slideSimulasi Kejadian Diskret), m = 1.

Notasi Kendall

Kapasitas Sistem/ Buffer (B)

Kapasitas sistem/ buffer pada notasi Kendall ditulis dengan B.

Nilai B mencakup banyaknya pelanggan yang dapat dilayani dalam sistemdalam satu waktu.

Asumsi: satu server hanya dapat melayani satu pelanggan dalam satu waktu.

Notasi Kendall

Ukuran Populasi (K)

Ukuran populasi pada notasi Kendall ditulis dengan K.

Nilai K dapat merepresentasikan banyak maksimal pelanggan yang dapatdilayani oleh server dalam satu shift atau satu siklus (cycle) tertentu.

Notasi Kendall

Disiplin/ Jenis/ Cara Pemberian Layanan (D)

Ada beberapa server discipline/ cara pemberian layanan dalam teori antrian, yaitu:

First-come-first-served (FCFS) atau first-in-first out (FIFO)

Last-come-first-served (LCFS) atau last-in-first-out (LIFO)

Shortest processing time first (SPT)

Shortest remaining processing time first (SRPT)

Shortest expected processing time first (SEPT)

Shortest expected remaining processing time first (SERPT)

Biggest-in-first-served (BIFS)

Loudest-voice-first-served (LVFS)

Service in random order (SIRO)

Notasi Kendall

Notasi Distribusi untuk A dan S

Kita telah melihat bahwa A (jeda waktu antar pelanggan) dan S (lama waktupelayanan) dapat bersifat non-deterministik.

Dalam notasi Kendall, kita memiliki konvensi berikut:

distribusi eksponensial, M berasal dari kata memoryless atau Markovian,

Ek : distribusi Erlang dengan parameter k,

Hk : distribusi hiper-eksponensial dengan parameter k,

D : deterministik (konstan),

G : distribusi general.

Notasi Kendall

M : distribusi eksponensial, M berasal dari kata memoryless atau Markovian,

distribusi Erlang dengan parameter k,

Notasi Kendall

distribusi hiper-eksponensial dengan parameter k,

Notasi Kendall

deterministik (konstan),

Notasi Kendall

distribusi general.

Notasi Kendall

Contoh Pemakaian Notasi Kendall

Misalkan suatu model antrian dideskripsikan sebagai berikut

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

maka model antrian tersebut memiliki karakteristik berikut:

distribusi jeda waktu antar kedatangan pelanggan adalah eksponensial,

distribusi waktu layanan untuk masing-masing pelanggan adalah eksponensial,

model antrian memiliki 3 pemberi layanan (3 buah server),

model antrian memiliki kapasitas 20 pelanggan, yang terdiri atas: 3 yangdilayani (dari m = 3) dan 17 pengantri (kapasitas antrian adalah 17),

model dapat melayani 1500 pelanggan dalam satu cycle,

pelanggan dilayani berdasarkan aturan first-come-first-served.

Notasi Kendall

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

Notasi Kendall

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

Notasi Kendall

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

Notasi Kendall

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

model antrian memiliki kapasitas 20 pelanggan, yang terdiri atas:

3 yangdilayani (dari m = 3) dan 17 pengantri (kapasitas antrian adalah 17),

Notasi Kendall

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

Notasi Kendall

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

Notasi Kendall

M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS

Notasi Kendall

Pada model ATM yang telah kita pelajari sebelumnya, jika diasumsikan bahwabanyaknya pelanggan (nasabah) yang dapat dilayani ATM tak terbatas, kitamemiliki notasi Kendall:

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

distribusi waktu layanan untuk setiap pelanggan adalah eksponensial,

ATM memiliki 1 pemberi layanan saja,

ATM dapat memiliki kapasitas antrian yang tak terbatas,

ATM dapat melayani sebanyak mungkin pelanggan dalam satu cycle,

Nasabah dilayani berdasarkan aturan first-come-first-served.

Notasi Kendall

M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M /

1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/

∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ /

∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ /

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

M / M / 1/ ∞ / ∞ / FCFS

yang berarti:

Notasi Kendall

Asumsi Dasar (Default Assumption)

Asumsi dasar (default) yang sering dipakai dalam model antrian adalah:

kapasitas buffer tak terhingga, artinya panjang antrian dapat tak terbatas,sehingga B menjadi ∞,populasi/ banyak pelanggan yang mungkin datang tidak dibatas, sehingga Kmenjadi ∞,antrian diproses dengan aturan first-come-first-served (FCFS).

Dalam hal ini, ketika B = K =∞, kita dapat menyingkat notasi Kendall(M / M / 1 / ∞ /∞ /FCFS) sebagai (M / M / 1).

Notasi Kendall

kapasitas buffer tak terhingga, artinya panjang antrian dapat tak terbatas,sehingga B menjadi ∞,

populasi/ banyak pelanggan yang mungkin datang tidak dibatas, sehingga Kmenjadi ∞,antrian diproses dengan aturan first-come-first-served (FCFS).

Notasi Kendall

kapasitas buffer tak terhingga, artinya panjang antrian dapat tak terbatas,sehingga B menjadi ∞,populasi/ banyak pelanggan yang mungkin datang tidak dibatas, sehingga Kmenjadi ∞,

antrian diproses dengan aturan first-come-first-served (FCFS).

Notasi Kendall

Dalam hal ini, ketika B = K =∞, kita dapat menyingkat notasi Kendall(M / M / 1 / ∞ /∞ /FCFS) sebagai

(M / M / 1).

Notasi Kendall

Simulasi Model Antrian

Misalkan kita memiliki model antrian dengan server tunggal, contohnya ATM.

Waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial.

Waktu layanan berdistribusi uniform antara t = a menit dan dan t = b menit.

Hal yang ingin diketahui dari simulasi:

Panjang antrian maksimum yang mungkin dalam selang waktu tertentu.Rata-rata waktu pelanggan mengantri dalam selang waktu tertentu.

Notasi Kendall

Panjang antrian maksimum yang mungkin dalam selang waktu tertentu.

Rata-rata waktu pelanggan mengantri dalam selang waktu tertentu.

Notasi Kendall

dasar-dasar model antrian - telkom...

Documents