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応用物理 公式集A R W 出席番号 氏名
1
①
②
③
④
⑤
⑥
直線運動 回転運動
力 F [N] モーメント(トルク)N=Fr [Nm]変位x [m] 変位角 θ [rad]速度v [m/s] 角速度 ω = dθ/dt [rad/s]加速度a [m/s2] 角加速度 α = dω/dt [rad/s2]運動量 p=mv[kgm/s] 角運動量L=rmv =Iω [kgm2/s]質量m [kg] 慣性モーメント I [kgm2]仕事 W=Fx [Nm]= [J] 仕事 W = Nθ [Nm] =[J]
運動エネルギー K =𝟏
𝟐𝒎𝒗𝟐[J] 運動エネルギー K =
𝟏
𝟐𝑰𝝎𝟐 [J]
回転体では、位置エネルギーmgh、運動エネルギー𝟏
𝟐𝒎𝒗𝟐、回転体の
運動エネルギー𝟏
𝟐𝑰𝝎𝟐 の3つの要素で、エネルギー保存則が成立する。
物体が高さhの斜面を転がり落ち、斜面の下に到達すると、以下となる。
位置エネルギー=運動エネルギー+回転体の運動エネルギー
電流 :中指磁界 :ひとさし指ローレンツ力 :親指 F=q×B観測方向 :上から下
力のモーメント(トルク)の回転方向と方向の定義
回転の向き
上向きのN反時計回り+
下向きのN時計回り-r
N
F
回転半径r :中指力 :ひとさし指トルク :親指 N=r×F観測方向 :上から下
観測位置が上から
𝒙𝑮 =∑ 𝒎𝒙𝒊𝒙𝒊
∑ 𝒎𝒙𝒊
𝒚𝑮 =∑ 𝒎𝒚𝒊𝒚𝒊
∑ 𝒎𝒚𝒊
重心大きさをもつ物体を点(質点)として考える重心は力のモーメントの和がゼロになる点
・質量が同じでも、形状で回転のしやすさが異なる・回転のしやすさ(慣性)が慣性モーメントI
重心(Center of Gravity)一般的には G と表記重心まわりの慣性モーメント IG
慣性モーメント 𝑚 𝑟2I =
質量M、長さlの棒のz軸方向のI 𝒛
lim→
𝑚 𝑟2Iz =
𝒎𝒊 = 𝝆𝒅𝒙
𝝆 =𝑴
𝑙 (線密度)
𝒓𝒊 = 𝒙𝒊
dx
l
1 2 3 ・ ・ i ・ n
mi
回転方向
dy=0として考える
dy
ri
+x軸
+y軸
= lim→
𝜌𝑑𝑥 𝑥2 = 𝜌𝑥
𝑑𝑥
積分範囲積分
r1
v2
m1
r2
m2
v1
𝐿 = 𝑟 × 𝑚 𝑣 + 𝑟 × 𝑚 𝑣 + 𝑟 × 𝑚 𝑣 +
= 𝑟 × 𝑚 𝑣 = 𝑚 𝑟2 𝜔 = 𝐼𝜔
𝑚 𝑟2I =
角運動量 L→値の異なる各質点の角運動量の和
慣性モーメント I→ rの異なる各質点のmr2の和
慣性モーメントの公式
v=rω 、L=rmv = Iω
ω
大きさをもつ物体の、角運動量Lと慣性モーメントI
𝑚 𝑟2 = lim→
𝑚 𝑟2 = lim→
𝜌𝑑𝑉 𝑟2 = 𝜌𝑟
𝑑𝑉I =
r : 微小質点mi から回転軸までの距離mi : 微小質点の質量 mi =密度×体積 mi = ρdVdV : 微小質点の体積ρ :物体の密度→物体の次元により3つの考え方
1次元:線密度 ρ = 質量m/長さl2次元:面積密度ρ =質量m/面積s3次元:体積密度 ρ = 質量m/体積V (一般的)
積分nを有限から無限に mi
慣性モーメントIの計算
応用物理 公式集A R W 出席番号 氏名
2
①
②
③
④
⑤
⑥
I = ∭ 𝜌 𝑥 + 𝑦 dx dy dz
I = ∫ 𝜌𝑟
𝑑𝑉 →
I=∫ 𝜌𝑥
𝑑𝑥 (𝑟 = 𝑥)
I=∬ 𝝆 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 dx dy
x-y座標の式
I=∬ 𝝆𝒓𝟐dr rd𝜽
r-θの極座標の式
3次元の物体の慣性モーメント𝐼の式
2次元の物体の慣性モーメント𝐼の式
1次元の物体の慣性モーメント𝐼の式
通常はこの公式は使わない
長方形はx-y座標、円板や中空円形(タイヤ)は、極座標を使用せよ
これまでに計算で導出した主な慣性モーメント
𝟏次元の棒𝑰𝒛 =𝑴𝒍𝟐
𝟏𝟐
𝑰𝒙 =𝑴𝒃𝟐
𝟑
𝑰𝒚 =𝑴𝒂𝟐
𝟑
x
ya
b
l
z
x
𝑰𝒛 =𝑴
𝟐𝑹𝟐
𝑰𝒙 =𝑴
𝟒𝑹𝟐
y円板
球𝟐
𝟓𝑴𝑹𝟐
a
M l xy
z棒
𝑰𝒁 =𝑴 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝟏𝟐
板
𝑰𝑥 =𝑴 𝒃𝟐 + 𝒍𝟐
𝟏𝟐
𝑰𝒚 =𝑴 𝒂𝟐 + 𝒍𝟐
𝟏𝟐
𝑰𝒁 =𝑴 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝟏𝟐
𝑰 = 𝑰𝑮 + 𝑴𝒉𝟐
𝑰𝑮:重心の慣性モーメントh:重心と回転軸間の距離M:物体の質量
平行軸の公式
回転軸が重心軸よりhずれた物体のIを求める公式
物体の重心のIGと、重心軸からの回転軸の距離hが分かれば物体のIを求めることができる。
公式が使える物体
1次元、2次元、3次元の物体
x
yz
重心の回転軸
h
実際の回転軸
xy
h
例:カム運動
M
𝑰𝒛 = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚
公式が使える物体
平板の公式
公式が使えない物体
1次元と3次元の物体
𝒓𝒊𝟐 = 𝒙𝒊
𝟐 + 𝒚𝒊𝟐が成り立つ2次元の物体
2次元物体の一つ軸方向のIが分かれば、他の軸方向のIも分かる x
y
𝒙𝒊
y𝒊r𝒊
m𝒊
𝑰𝒙
𝑰𝒚
𝑰𝒛
移動速度 vG
回転速度 v
A B
回転条件:球が1秒でAからBに半回転して移動回転速度vと(重心の)移動速度vGが存在
← 1秒に回転した円周 l = rθ = rωt= vt [m]
1秒に移動した距離→x = vG t [m]
t=1で2つの移動距離は l=xで等しいので v= vG
またBの接地点 では、回転速度vと移動速度vGはv = rω= vGで、大きさが等しく 向きが逆。
vGvB
円周 l
移動距離 x t =1t =0
物体の移動速度=重心の移動速度
点接触接地面積小
摩擦力
Ff
力F
最大静止摩擦力 Ff = μmg
静止 運動
最大静止摩擦力
Ff
摩擦力について
μ : 静止摩擦係数μ’ : 動摩擦係数
μ μ’
物体
力F
床
物体 力F動摩擦力Ff
最大静止摩擦力 動摩擦力>
>
面接触接地面積多 床
動摩擦力 Ff = μ’ mg