Ćwiczenia z matlab’em - eia.pg.edu.pl - t1... · przypadek szczególny, dla macierzy kwadratowej...
TRANSCRIPT
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
PODSTAWY AUTOMATYKI
MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowo-
inżynierskich - podstawowe operacje na liczbach
i macierzach.
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych -
część III - termin T1
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
Rafał Łangowski, dr inż.
Gdańsk
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 2 -
1. Macierze - podstawowe informacje
Macierzą nazywamy funkcję dwóch zmiennych, która każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje dokładnie jeden element , który może być
liczbą rzeczywistą lub zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania) lub wielomianem. Ogólna postać macierzy dana jest wzorem:
(1)
Element nazywamy współczynnikiem macierzy; elementy
nazywamy i-tym wierszem macierzy; elementy nazywamy j-tą kolumną macierzy.
Wymiarami macierzy (1) nazywamy uporządkowaną parę liczby wierszy i kolumn i oznaczamy przez . Macierz, w której liczba wierszy jest różna od liczby kolumn nazywamy macierzą prostokątną. W przypadku, gdy liczba wierszy jest równa liczbie kolumn to mamy do czynienia z macierzą kwadratową.
Macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero
nazywamy macierzą diagonalną:
(2)
Macierz diagonalna może być zapisana w następujący sposób:
(3)
Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz skalarna, której elementy na głównej przekątnej mają tą samą wartość :
(4)
Szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej jest macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są jednościami:
(5)
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 3 -
2. Podstawowe operacje na macierzach
Niech macierze i są postaci:
(6)
Sumą (różnicą) macierzy i (macierze muszą być jednakowych wymiarów) nazywamy macierz
, której elementy są sumą (różnicą) odpowiednich elementów macierzy dodawanych lub
odejmowanych:
(7)
Zadanie 1
Wyznaczyć sumę następujących macierzy:
(8)
Rozwiązanie
Dokonując obliczeń uzyskujemy:
(9)
Suma macierzy jest operacją łączną i przemienną:
oraz istnieje macierz zerowa , która jest elementem neutralnym dodawania:
Iloczynem macierzy i nazywamy macierz równą:
(10)
której elementy są określone zależnością:
(11)
Mnożenie macierzy przez macierz jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy (mnożonej) jest równa liczbie wierszy macierzy (mnożnika). Dlatego też w ogólności mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 4 -
Zadanie 2
Znaleźć iloczyn liczby p przez macierz :
(12)
Rozwiązanie
Po obliczeniach otrzymujemy:
(13)
Zadanie 3
Wyznaczyć iloczyn następujących macierzy:
(14)
Rozwiązanie
Dokonując obliczeń mamy:
(15)
Macierzą transponowaną (lub ) macierzy o wymiarach nazywamy macierz o wymiarach otrzymaną w wyniku zamiany wierszy na kolumny, czyli przez zastąpienie elementu macierzy
elementem :
(16)
(17)
Obowiązują następujące prawa:
Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczamy jako (lub jako ) i obliczamy na podstawie następującego wzoru:
rozwinięcie względem i-tego wiersza:
(18a)
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 5 -
lub
rozwinięcie względem j-tej kolumny:
(18b)
gdzie jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
W ogólnym przypadku obliczenie wyznacznika może odbywać się poprzez wykreślenie dowolnego wiersza i dowolnej kolumny.
Zadanie 4
Obliczyć wyznacznik następujących macierzy:
(19)
Rozwiązanie
Wyznacznik macierzy :
(20)
Wyznacznik macierzy :
(21)
Wyznacznik macierzy :
Skreślając np. pierwszy wiersz i kolejno pierwszą, drugą, trzecią i czwartą kolumnę obliczamy poszczególne wyznaczniki:
(22)
Rozwijając macierz według elementów pierwszego wiersza mamy:
(23)
Macierz kwadratową nazywamy macierzą nieosobliwą (regularną) wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy . W przypadku, gdy wyznacznik macierzy jest równy zero to taką macierz kwadratową nazywamy macierzą osobliwą.
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 6 -
Macierz dołączona macierzy kwadratowej jest to macierz powstała przez zastąpienie każdego
elementu macierzy transponowanej odpowiadającym temu elementowi jego dopełnieniem algebraicznym opisanym wzorem:
(24)
gdzie jest minorem macierzy tzn. wyznacznikiem macierzy powstałej przez wykreślenie
z macierzy i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Minorem stopnia macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wyznacznik macierzy
powstałej z macierzy przez usunięcie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz dołączoną następującej macierzy:
(25)
Rozwiązanie
Dokonując obliczeń mamy:
(26)
Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej stopnia nazywamy macierz postaci:
(27)
UWAGA
Przypadek szczególny, dla macierzy kwadratowej wymiaru 2 zachodzi:
(28)
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 7 -
Zadanie 6
Obliczyć macierz odwrotną dla następujących macierzy:
(29)
Rozwiązanie
Dla macierzy mamy:
(30)
Dla macierzy uzyskujemy:
(31)
Rzędem macierzy nazywamy najwyższy stopień niezerowego minora tej macierzy. Jeżeli macierz ma wymiar rząd tej macierzy spełnia warunek:
(32) Zadanie 7
Znaleźć rząd następujących macierzy:
(33)
Rozwiązanie
Dla macierzy otrzymujemy:
(34)
Dla macierzy mamy:
(35)
Macierzą sprzężoną macierzy o wymiarach nazywamy macierz o wymiarach otrzymaną w wyniku zastąpienia elementu macierzy elementem , gdzie jest elementem sprzężonym
względem .
(36)
Algorytm wyznaczania macierzy sprzężonej jest następujący: 1. Wyznaczyć macierz transponowaną . 2. Zastąpić każdy element macierzy transponowanej elementem sprzężonym.
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 8 -
Zadanie 8
Wyznaczyć macierz sprzężoną dla następującej macierzy:
(37)
Rozwiązanie
Krok 1
Wyznaczamy macierz transponowaną:
(38)
Krok 2
Zastępujemy każdy element tej macierzy elementem sprzężonym:
(39)
Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wielomian postaci:
(40)
natomiast równanie:
(41)
nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy .
Wartościami własnymi macierzy kwadratowej nazywamy pierwiastki jej równania charakterystycznego.
Zbiór wartości własnych nazywamy widmem tej macierzy.
Podstawowe własności wartości własnych:
Jeżeli wszystkie współczynniki macierzy są rzeczywiste, to jej wartości własne są rzeczywiste lub zespolone parami sprzężone.
Jeżeli są wartościami własnymi macierzy to są również wartościami własnymi macierzy .
Jeżeli są wartościami własnymi macierzy (a macierz ta nie jest macierzą
jednostkową) to
są wartościami własnymi macierzy .
Zadanie 9
Wyznaczyć wielomian charakterystyczny i wartości własne macierzy postaci:
(42)
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 9 -
Rozwiązanie
Na podstawie zależności (40) wielomian charakterystyczny wynosi:
(43)
Zatem zgodnie z (41) obliczamy wartości własne:
(44)
;
Prawostronnym wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy kwadratowej stopnia nazywamy niezerowy n-wymiarowy wektor kolumnowy , który jest rozwiązaniem równania:
(45)
Lewostronnym wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy kwadratowej stopnia
nazywamy niezerowy n-wymiarowy wektor wierszowy , który jest rozwiązaniem równania:
(46)
Prawostronne i lewostronne wektory własne nazywane są często po prostu wektorami własnymi.
Twierdzenie 1:
Każda niezerowa kolumna (wiersz) macierzy dołączonej jest prawostronnym
(lewostronnym) wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy .
3. Liczby zespolone - podstawowe informacje
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę , gdzie . Zbiór wszystkich liczb zespolonych określamy symbolem : .
Jeżeli , to liczbę nazywamy częścią rzeczywistą liczby i oznaczamy: , natomiast liczbę nazywamy częścią urojoną liczby i oznaczamy: .
Dwie liczby zespolone i są sobie równe, gdy:
(47)
Liczbę nazywamy jednostką urojoną i oznaczmy lub , czyli ; jednostka urojona spełnia warunek: .
Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci:
(48)
zwanej postacią algebraiczną liczby zespolonej.
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 10 -
Jeżeli i to ich sumę, różnicę oraz iloczyn uzyskujemy tak jak sumę, różnicę oraz iloczyn dwumianów, z uwzględnieniem tego, że . Zatem:
(49)
(50)
(51)
Jeżeli i to ich iloraz uzyskujemy:
(52)
Zadanie 10
Dla następujących liczb zespolonych: oraz , wyznaczyć: sumę, różnicę, iloczyn oraz iloraz.
Rozwiązanie
Na podstawie zależności (49) - (52) uzyskujemy:
(53)
(54)
(55)
(56)
Sprzężeniem liczby zespolonej (albo liczbą sprzężoną) nazywamy liczbę: .
Modułem liczby zespolonej jest liczba rzeczywista: .
Argumentem liczby zespolonej nazywamy każdą liczbę taką, że: ,
. Argument liczby oznaczmy symbolem . Każde dwa argumenty liczby różnią się
o parzystą krotność . Argumentem głównym liczby nazywamy ten z argumentów liczby , który należy do przedziału lub ; oznaczamy go symbolem .
Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci:
(57)
gdzie: jest modułem, a jest argumentem liczby . Postać ta zwana jest postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 11 -
Zadanie 11
Przejdź z algebraicznej postaci liczby zespolonej: do jej postaci trygonometrycznej.
Rozwiązanie
Na podstawie zależności (57) uzyskujemy:
(58)
Jeżeli , to:
(59)
Wyrażenie: stanowi wzór de Moivre’a.
Zadanie 12
Oblicz:
:
Rozwiązanie
Na podstawie zależności (58) postać trygonometryczna liczby jest następująca:
.
Wykorzystując (59) otrzymujemy:
(60)
Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci:
(61)
gdzie: jest modułem, a jest argumentem liczby . Postać ta zwana jest postacią wykładniczą liczby zespolonej.
Zadanie 12
Przejdź z algebraicznej postaci liczby zespolonej: do jej postaci wykładniczej.
Rozwiązanie
Na podstawie zależności (61) uzyskujemy:
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1
- 12 -
(62)
4. Bibliografia
Banaszak G., Gajda W. Elementy algebry liniowej. Część 1. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2002. Tarnawski E. Matematyka. Część pierwsza. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967. Trajdos-Wróbel T. Matematyka dla inżynierów. Kurs wyższy. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1965.