cuzcano cantidad movimiento 5

2(-6) + °= 2 x (Ill )+ 4 (-112)

III - 2112 = -6 L ... (I)

Dato del problema: e=0,5

.:. hasta instantes antes de colisionar con el:~:otro cuerpo.

il2 - ill = e (V 1 - V2)

-ilz - ill = 0,5(-6 - 0)

III = °Ilz =3

. 1 z 1 ZEKA =2"mVA =2"x2x1O =100

EKA =looJ ~

[ ] R ta. :~:En el trayecto AB pierde energfa cinetica de-:. 112 = 3 m!SIl P'-'- -..;1-, .:. bido a la fricci6n, Luego :Clave: C':'

:~: w/,s = -fxd = -llxN xd = -Ilx mgxd

Sem. CEPRE UNI :~: fWAB = -Ilmgxd =-D,5x2x1Ox3,6

Un cuerpo de 2 kg es lanzado con una velo- :~:

cidad de 10i m sobre una superficie rugo- :~: wk = -36J5 ~

sa de 3,6 m de longitud y de Ilk = 0,5; al ';' Por tanto en el punta "B" lIegara con ener-final de esta se encuentra con otro cuerpo :;: gfa cinetica :de 1 kg en reposo. Calcular las rapideces de .:.ambos cuerpos despues del choque elasti- :~:co, si la superficie sobre la cual se desplaza- ';'

'.'ron finalmente es Iisa. .:.A) 1,67 m/s ; 10,67 m/sB) 3,67 m/s ; 12,67 m/sC) 2,67 m/s ; 10,67 m/sD) 3,33 m/s ; 8,53 m/s

E) III = 112 = 5,33 m/s

RESOWCION.:.

Analicemos el movimiento del cuerpo por .:.la superficie rugosa desde que es lanzado :~:

1 z2"x2x VB = 64

:. [VB = 8:]

~ ~-- C·UZCANG ----------------~Cuando el cuerpo llega a B colisiona con .;. choca elasticamente con mz = 20 9 iConotro cuerpo en forma elastica. :~:que rapidez inicia ml su retroceso?

.:.

.:.Por conservaci6n de la cantidad de movi- .;.miento al sistema. :~:

.:.Po =Pf .;. A) M/5

.:.mVI +MVz =mi:i1 +Mi:iz .:. C) MIl5

.:. E) 2J15/3 ~Asignando un signa a la direcci6n del vector :::velocidad. .:. RESOWCION

.:. ~

.:. Analizamos a la masa pendular "ml " des-::: de que es soltada hasta que liege a su punto.:. mas bajo.

Ademas, en el choque elastico (e= 1)

(i:iz-i:il)=e(V1-V2)

/-Lz - /-LI = 1x (8 - 0)

III = 2,67 m/s l- I

Ilz = 10,67 m/s I11

B) 2M/50) 2M/15

L1.ml 1T' v.=o ih 0 • llJ:2

1 ~~---~:~-~.VI

.:.

.:. Por conservaci6n de la energfa mecanica.

Rpta. .:..:.

Clave: C :~:

EMO = EMf

1 zmgh1 ='2mV1

=> (VI =~)Sem. CEPRE UNI :~: Reemplazando datos :

La figura muestra dos masas una de las cua- :~:les es la masa pendular y la otra descansa .:..:.sobre una mesa Iisa. La masa ml = 10 g.:.se deja caer desde hI = 3 cm de altura y :~:

VI =~2xlOx3xlO-Z

VI =M/5 m1s~

l:;A:NTlDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO - CHOQUES

AnaHzamos ahara, instantes antes y despu€s .:. IPBOBLED"f131!de la eolision elastica. . .:.

:~:Las esferitas de la figura ehaean elastica-

:~:mente en el punta A, si : £1 = 10 em ;~ 1.:. m1 = 0,2 kg; mz =0,2 kg ; casal ="2 y.:. 1:~:~cas az = "6' Determinar la langitud £ z .J ~=O---.• -G-----·

ill' il2..,:- ----6=~-~-- :~:

--~ .:.

... (I) .:. A) 2.:. em: D) 6.emDel eaeficiente de restitucion :

~Z-~l =e(V1-VZ)

A' •, ,'.-m..zB) 4 emE) 8 em

.)

.:.RESOWCION.:.::: Analizanda a la esferita ml desde que es.;. Iiberada hasta que lIega a A.

De (I) y (II) :

21lz - III = Ilz + III

Ilz = 2111

VIII =.....l3

J151III = 15 m/s Rpta.

Clave: C :~:

~ MMI!lJIII-- C·UZCANG ----------------~

.;. Por geometria elemental :

h2 = f 2 - f 2 COS 0.2EMB =EMA

Entonces :

EpB =EKA

1 zmghl = -,-mVI2 .;. Por conservacion de la energia mecanica :.:.VI = J2g hI

VI = J2 x 10 x 5x 10-2EMA =EMC

!;ri'!1~= ;ri'ghz2 .

Para la condicion mostrada, se sabe por teo- :::ria (propiedad L pag. 98); luego de la coli- .;. PROBLEMA 132sian: .;.

.:. La grafica corresponde al movimiento de

.:.

.:. una pelota que rebota elasticamente sobre

.:. una mesa. Determinar el modulo de su can-.:.

.:. tidad de movimiento y su energia cinetica':' despues del enesimo rebote. (masa de la'.'.:. pelota 0,5 kg).:.

3 \!z=o- ~~-----@---_.

:. ( £2 = 63 Rpta.Clave: D

.:.

.:. V(m!s)

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

.:.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES

A) 20 N - s 100 J

B) 10 N -s 100 JC) 20 N -s 50 J0) lON-s 200JE) 50 N - s ; 200 JRESOWCION

.;. Respecto a la conservaci6n de la cantidad:~:de movimiento, sefiale la verdad (V) 0 false-':' dad (F) de las siguientes proposidones..,.;. I) No se conserva la cantidad de movi-.:..;. miento de un ladrilJo cuando este desli-

Ffsicamente, el movimiento realizado por la .;..:.partfcula es : (considerando positiva la velo- .;. II)

.:.cidad dirigida hada arriba). .;.

. ,..-..... ~""",I I I'

i i i i tI I I II I I I -'!!..:! l! j

*':t':v: vi, '

..:. .' ..L~r'i ,f)::! ~ ••

Es imposible hacer un experimento enun piso horizontalliso, donde se conser-ve la cantidad de movimiento en esa di-recd6n; debido a que la gravedad terres-tre es una fuerza externa.

:~:III) Es un sistema donde se conserva el.:. momentum total no necesariamente se.:..;. conserva la energfa cinetica ..:.·;·A)VW:~:C) WF:~:E) FFF

B) VFF0) VFV

La rapidez antes y despues de la coli- .;.si6n es la misma. :~:RESOWCION

En el enesimo rebote :

a) P=mVP=0,5x20j

P=lOj N -s

.. (P~lON-s]1 2

b) EK =ZmV

1 2EK =ZxO,5x20

EK =100J

.. (=~2..00J]

:~:IP-ropos~n I]] (V)

':' Si hacemos O.C.L. alladrillo, deslizando en'.'.;. un piso rugoso..:.

...,~

--E~-=.Slstema7:"~

"f" : es una Juerza externa desequi-Iibrante, par tanto la cantidad de movi-miento no se conserva.

:~: IProposicion In 1(F)

Rpta .. (II) :~:Hacemos O.c.L. al ladrillo en una superfi-Clave: B';' de lisa.

~ MJI!W!I.'I- C'UZCA.~ -----------------~

* En la horizontal: No hay fuerzas exter-nas por tanto la cantidad de movimien-to en esa direccion si se conserva.

PH = de

* En la vertical : Hay fuerzas externas,aunque se anulan.

IProposicffin 111I IRecordar por teorfa :

- En una colision elastica se conserva lacantidad de movimiento y su energfa me-canica.

- En una colision plastica (totalmenteinelastica) la cantidad de movimiento seconserva, mas no la energfa cinetica.

(EKf < EKo )

Las proposiciones del problema seran :

( VFV l Rpta.

En la figura la velocidad del astronauta "A"de 100 kg es (401+301) m/s. La veloci-dad del elemento estructural "8" de 200 kg

es (-20 1+301) m/s. Cuando se aproxi-man uno al otro el astronauta se sujeta delelemento estructural y permanece junto ael. Determine la velocidad (en m/s) de su

centro de masa comun cuando lIegan a laestacion.

A) (3,331+ 33,31) m/s

B) (-3,331+33,31) m/s ,C) -301 m/sD) 301 m/s

E) 301 m/s

RESOWCION

Los cuerpos en analisis estan en el espacio;por tanto consideraremos que estos no seencuentran afectados por el campogravitatorio.

Significa entonces que sus velocidades de-ben de ser constantes.

Segun la condicion del problema, la coli-sion entre la persona (A) y el elemento es-tructuraJ "B" debe ser plastica.

* Vf=VCM

* mA =100 kg

CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES

sera la uelocidad con la cual lIeguen .:.a la estacion. :~:A) 6 im/s

:~:D) 12 im/s

* VA = (40 ;, 30) m / s

* mB = 200 kg

* VB = (-20; 30) m/s

(A) ~€ti-1-1P~v: v:'

(B) ~i:;::~~B) -6 im/s C) -8 im/s

E) -12 im/s

';' RESOWCIONmAVA+ mBVB = (mA + mB)Vf :i: Seglin la figura A:... _------

100(40; 30)+200(-20; 30) = (100+ 2oo)VCM :~:.:.

VCM

= (0,90) = 90 j :~:3 3 .:.

.. (VCM = 30 j ~s] Rpta. :~:

Clave: D :~:

Recuerde la teorfa, si se'conserua la can-tidad de mouimiento; entonces en elchoque plastico cumple :

* VI = 4i m/s

2 -* VCM =-'3x4i

(3m)VCM = mV1 + mV2 + mV3

(3)( -~x(4i) )=4i+ V2 + V3

V2+V3=-12i ... (1)

:~:Analizando el choque plastico entre.:. m2 y MS-

iiiiiii __ ••••• iioiiiio ioiiiioi S••e•.m.,._C••E••P••R••E••.••U••N•.1 :~:

La figura A muestra tres esferas identicas :~:en movimiento tal que la velocidad del cen- :~:

-V 2-Vm .'.tro de masa es CM ='--3 I - Y .:.s .- -m vVI = 4i -. Un instante posterior m3 cho- .:;s vca plasticamente con m2 y el conjunto :~:

(m2 y m3) se mueve con rapidez V' como .:.se muestra en la figura B. Halle la rapidez :~:V'. .:.

.:.

V'.•..•.....2m.Po =Pf

mV2 + mV3 = 2mV'

V'= V2+V32

~ .4!11,: C·UZCA •• ---------------- .De (I) :

\1,=(-121)2

:. ( V' = -6 i m/S] Rpta.

P:2- P:l = e (\:\ - \12)

P:2- P:l = 1 x (\1 - 0)

. .. (II)

.:. Resolviendo de (I) y (II) :Sem. CEPRE UNI :~:

.:;Una particula A de masa 1 kg que tiene .:.una velocidad de (41- 31) m/s choca fron- :~:tal y elasticamente con otra masa de 2 kg .:.

en reposo en la posicion r = (-81- 61) m. :~:Determine la posicion de la primera partfcu- .;.la 3s despues del impacto. .:..:.A) 161mC) (-161) m

E) (-161) mRESOWCION

B) 161m

D) (-8I)m

Para hacer mas practica su resolucion .:..:.analizemos la colision elastica entre dos .:.partfculas de masas "m" y 2m.

V1=V V2=O

~@ j

Po =Pf

mV = mp:l + 2mP:2

( P:l= -2V/3)

( P:2 = V/3 )

Notar que la partfcula "1" retrocedeluego de 10 colisi6n.

.:.

.:. HaciendC> una analogfa con 10 resuelto an-

.:. teriormente, diremos que la masa ml, lue-:~:go de la colision invierte la direccion de su.:. velocidad ..:..:. Esta velocidad de retroceso sera :.:.

(~i+2jlm/slP:l=3~


La posicion inicial en ese instante por dato .:. II) Si:.:-

es:

Tf = Tj +)Il t

Tf=(-8 ;-6)+( -~ ; 2}3

Tf= (-8 ; - 6):- (-8 ; 6)Tf =(-16, O)m

.. (Tf = -16 i:J Rpta.

.:.rj = (-8i - 61) m .:.

-:-La posicion final tres segundos despues del .:.impacto sera : :~:

.:. Resolviendo de (1) y (II) :.:.

~~\/12=- 2

Clave: A :~:Para el caso del problema : esbozando el.:. grafico del movimiento de las partfculas y a

PROBLEMA 137! Sem. CEPREUNI :~:partir de los resultados anteriores.

Una partfcula de 1 kg que se mueve con :~: . Antes

una velocidad (4i + 41) m / s choca frontal :~:e inelasticamente (e=6,5), con otra partf- .:.

cula de 2 kg de masa en reposo en el origen ';' -4.... . -".'de coordenadas. Hallese el desplazamiento :;: ,,:T"

(en m) de la partfcula de 2 kg, 6s despues .:. ~ ..-del impacto. . :~:.... ~'V~

A) 12(i+l) B) 6(i+l) C) 2(i+l) :~: ~ .....,.. 1D) 24 (i + 1) E) 8 (i + 1) :~: .ft~\~o.

RESOLUCION :~: Si: VI =(41+41)De modo identico al problema anterior y de- .:.

. ~terminemos sus velocidades luego de la co- .:. Diremos :lision. :~:

~VI V.=0 ill il:z_ 2 __

..~@ @- ~ -@-..

_ V (41+41)/12=_1 =---2 2)I2 = (21+ 21) L

.:. EI desplazamiento de la partfcula de 2 kg:~:luego de 6 segundos de la colision sera :.:. d="2,t.:. t"

:~: d = (2i + 21)·6-:.:~: .. d=12(i+j)m Rpta.

Clave: A

II- c.u~c ~a!aMI~SCELANEA.

Un cuerpo de masa "m" choca con ra- ';''.'

pidez V contra un cuerpo de ·masa "M" .:.en reposo, el valor de la fuerza que sur- :~:ge durante la interacci6n de los cuer- .:..:-pos, crece I1nealmente durante el tiem- .:.po "t" desde cero hasta un valor Fo' :~:disminuyendo despues linealmente has- .:.ta hacerse nul a en ese mismo tiempo ';'"t" . Determinese las rapideces de los :;:cuerpos despues de la interacci6n .:.considerando que el choque fue central. :~:Calculo de las velocidades finales:

.:.A) Fot/MFot/m .:. a) Si analizamos al cuerpo 2, diremos :

.:-

:~: Pf=I12 +l.:.

B) Fot/M V+Fot/m

C) V + Fot/M ; V -Fot/m

Dt Fot/M V -Fot/m.:.

E) Fot/M -Fot/m .:..:.

RESOLUCION .:.Esbozando ffsicamente el fen6meno de la :~:colisi6n. .:..:.

V III =?? 1!2=?? ';'----.. ~ ~ ....~€) ~y.':'.o ..00. ~~ ~Q :~:

(1) (2) (1) (2) .:.

Seglin el problema durante la colisi6n.

(F12= F21= F)

Pf=Po + 121

+m1J.1=+mV +(_Fo;2t)·~V Fat

.. ~ Rpta. (II)

Clave: D

.. _.~ ... ~ :~: PROBLEMA. 139 Sem. CEPRE UNI

.:. Una pelota fue liberada en el punta A;La fuerza impulsiva "F" varia seglin la grafi- ';''.' colisiona con el piso y la fuerza impulsivaca. ~


varia segun el grafico cidjunto. Si la pelota .;.es de 1 kg. LCuantC'len~rgia disminuy6 pro- :~:ducto de la colisi6n. (Considerar la fuerza ';',impulsiva mucho mayor que la gravitacional :~:yg=lOm/s2). _ :~:

Ai T F(kN)

2m

1A) 20 J B) 40 J C) 60JD) 80J E) 100 J

RESOWCI0NEmpecemos analizando el grafico F vs 1.

o

1.I: Impulso

e : Coeficiente de restituci6n

I(Fuerzas en el p~~OdO)de recuperaClon.e=--------

I(Fuerzas en el penOdO)de deformaci6n.

Fax t

e = __ 2_/_Fax 3t

2

iPor propiedad : instantes antes y des-pues de la colisi6n, cumple :

.:.

.;. Para saber cuanto vari6 laenergia cinetica::: antes y desp,ues de lacolisi6n es necesario.;. calcular dichas rapideces.

.;. Ccilculo de Vt.:.

(EMA =EMB]

1 . 2mgh=2mV1

·-Im

__cuifu.. AI1i!!I

::: La fuerza de rozamiento va incrementandose::: en forma lineal a medida que transcurre el

Cl D';' tiempo.ave: .;. ..;. Hacienda.. una grafica f VB t :.:.

Sem. CEPRE UNI .;•.:.

. 1 212M:=-mV1 --mV22 2

M:= ~x 1x( 180-1:°)

.. (AE = 80J) Rpta.

fK = (0,02 t)mg

fK=(O,02t)(8xlO)

fK=1,6t~

Un bloque de 8 kg es lanzado con ':'Vo = 10 m/s sobre una superficie horizon- :;:tal cuyo coeficiente de friccion es Ilk = 0,02t; :::donde "t" esta expresado en segundos. GQue .;.potencia desarrolla la fuerza de friccion para :::detener el bloque? .;.

(g = 10 m/s2) ~:.:.

B) 20 W C) 40 W .;..:.E) -20 W .;. Por teoria :

A) lOWD) -40W

RESOWCIONSegUn la condicion del problema :

Si hacemos el D.C.L. aI bloque durante su :::movimif'ntO, notamos : .;..:.nr.tl

.. ~-

Area = PI -Po-(1,6 t)(t) = 0 _ mV

2 0

1,6xt2 =8x102

t:dOs~

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUlSO - CHOQUES

La paten cia desarrollada par la fuerza defriccion se calcula asf :

pf: wkt

Pero la friccion hizo que el cuerpo cambiesu energfa cinetica, entonces :

pI : wk : L\EK : .9<:;- EKo

i t t1 2E --mV

pI: - Ko: 2 0

t ' t

-l.x8x 102

pl:_2 _10

pi =-40W

~~:~ft';--

~()--Y-----.@ ¢> --------------------11---m ~

ml1",~-'"

.:. A) J3 V B) J3 V/4 C) J3 V/2.:.

.;. D) 2V1J3 E) V/J3

.:.

.:. RESOWCION:~:Analizando instantes antes y despues de la:~:colision elastica.

1*paa111 ~

il11Sen30"30° .- --------JP

1J1cosO

.:. Par principia de la conservadon de la canti-:~:dad de movimiento,

•.:.;;::C;;;;;;la;;;:v;;;;:e;;;;;;:;;;;:D:;;; .:. - m.:. mV = mill + -Ilz : de~ 2

'-..:;;;;;o::;,;::;==.~,;.:.,_....;;;;S;;;em;;;;,;.,' C,;;,E;;,;P;,,;R,;,;;E;;.;UN;;,;,;,;I.:. n d t I t'd d d .- .:. rO emos no ar que a can 1 a e mOVl-Una partlcula de masa "rn" que se mueve :~:rniento (inidal) solo tiene cornponente hori-con rapidez V, choca ehisticamente con otra .:. zontal; es decir al final las cantidades departfcula en reposa, cuya masa es rn/2, y es :~:rnovimiento vertical deben anularse :

despedida par ella formando un cingula de ':''.'

300 can la direcci6n inicial de su -movimien- .:.to. iCon que rapidez empezara a moverse :~:Ja segunda partkula? .:..:.

~ ~__ C·UZCANO Am:II

Ademas cumple el principio de conservaci6n .;. RESOLUCIONde la energia mecanica. :~:Segun la condici6n del problema, la bala

.;. consigue incrustarse en el bloque, la mini-.:.

.;. ma velocidad para conseguir dar una vuel-

.;. ta, seria para el caso en que en el punto.:.

.;. mas alto el conjunto se mueva s610por inercia

.:.

.;. (10 que equivale a decir que la tension en la... (III) .;. cuerda sea nula) ..:.

.;. Analizando instantes antes y ?eSPUeS de la:~:colisi6n plastica entre m y M.Resolviendo de (Ij, (II) y (III) se obtiene :

e = 30°

1~l = ~2 x-

2Luego en (III) :

~l4:'~

Que rapidez minima llevaba la bala, si lue- ';'- v

go de incrustarse en el bloque M; consigui6 .;.dar una vuelta alrededor del punto "0". :~:

--Y.-----~EB>_-----

m

A) m JSgRV

B) ( m ) JSgRM+m

C) (M + m) JSgRm

M-m f0=nE) M+m v3gR

Dj (M+m) J3gRm

• ~+~.:. Por conservaci6n de la cantidad de movi-.:..;. miento :

.:. Por conservaci6n de la energia, analizando.:.

.;. el punto mas bajo y el mas alto.

~1~ ../,//'

N.R. ......

--~-------->~

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES

.;. "V" sera la minima velocidad y reempla-

.;. zando L por R, obtenemos :.:.

~l~ (v=~x~J Rpta.

J..l2=J..li + 4gR 1_ c ••• (II) :::PROBLEMA 143] Sem. CEPRE UNI

Ah I· d' ,. . .;. Un bloque de masa "m", colisiona en for-ora ana lcemos por mamlca Clrcun- .;. , . . , .

ferencial la rapidez en el punto mas alto. .;. ma elastica con otro bloque Identlco como. .;. se muestra en la figura. Despreciando toda

:: fricci6n calcule la maxima deformaci6n que:~:sufre el resorte .•;. V.;. -

oDe la 2da Ley de Newton :

:~:A) V,Jm/K:LFrad = mTa .'.

cp .;. C) V,J2K/m

T + mTg = mT ~ L ~1~E) 2V,Jm/K

Para la condici6n de minima velocidad .;. RESOWCIONT=O. :~:Antes de analizar la deformaci6n producidaLuego : :~:en el resorte, analicemos que ocurre instan-

.....v": ,.,./ Ilf .;.tes antes y despues de la colisi6n elastica.Y'Tg = Y'T R .;.

B) V~m/(2K)

D) V,J2m/K

.:.

.:. Antes... (III) .:.

.:.

.:. V v=o-.:.

.:.

.:.

.:.

J..li=~

Reemplazando en (II) :

:~:Durante este breve intervalo de tiempo la.;. fuerza elastica es nula. Luego se deduce a:~:partir de la propiedad I(pag. 98); se conclu-.;. ye:.:.

.JSgR = m xV(M+m)

lID

~ ~-- CUZCAN. ----------------~Una vez que el bloque unido al resorte .:. PROBLEMA 144recibe la colisi6n, el resorte ira deforman- .:.dose progresivamente, del mismo modo ::: Una bola fue lanzada con cierta rapidezque el otro bloque atado al resorte ira au- .:. inicial Vo y realiza los movimientosmentando su rapidez. ::: parab6licos que se indica, debido al co-la maxima deformaci6n ocurrira cuando ';' eficiente de restituci6n bola-piso (e). Eva-ambos bloques (unidos por el resorte) ten- :;: hie la distancia horizontal (d) desde quegan igual rapidez; esto porque luego de ';' fue lanzado hasta que deja de rebotar.ese instante en que la velocidad relativa :;: Desprecie fricci6n y g : aceleraci6n de laes nula; el bloque que inicialmente reci- .:. gravedad.bi6 el impacto ira disminuyendo su rapi- :::dez y el otro ira aumentando, por 10 que .:. -lv............ . .el resorte ahora ira descomprimiendose. .:. .... -.... .'-..:. ~ . : .

.:. .$............., .' 'i " "'(.En el grafico : :~: I d I

Despues :~: A V2sene V2sen2e~ ~ .:. ) g(l-e) B) g(l+e)

.:.

:;:. eV2sen2e.:. C) g(l-e)

Por conservaci6n de la cantidad de movi- .':'miento : :~: V2sen2e

Po =Pf :~:E) g(l-e)

mV = (m + m)ll :;:RESOWCION

II= V / 2 ~ ... (I) :;: Para la soluci6n de este problema recorde-.:.

EMo = EMf

12121212-mV =-mll +-mll +-Kx <••2 2"" 2 2 m"".

Reemplazando (I)

mV2

= 2m(~ J + Kx~ax.

Resolvienclo :

.. [-:xm-.ax-=-V m;-2i<-j Rpro

Clave: B':'.:.

V2sen2eD) g(l-e)

2V 2(V sen e)t = __ v = ---- (Tiempo de vuelo)

g g

(d = (V cos e) t) (Alcanze horizontal)

·> Los intervalos de tiempo s!'!calculan ::~ 2V{. t1 -= - sen9

g

0_ 2et2 =-Vsen9

g

2e2, t3 = -- Vsen9g.>

.:. En (I) :

.:.

* Si no e'xiste rozamiento es faeil concluir -;' [2Vsene (2Vsena} (2vsene}2 ]. '.' d=Vcose --+ -- + -- + ...que la componente horIZontal de la ve- .:. 9 9 9

locidad no cambia. :;~\ • 2

.:. 2V sen9 [r 2 3 )J-* La componente vertical de la veiocidad ~. d =---cas 9 J+e + e + e +... ... (II)inicial de elevaei6n se modifica debido a ~: g , , x .que existe el coeficiente de restitueion, -:.

.:. La suma limite se evalua :cada vez que la bola colisiona con el pisoo .:.

Es decir: (desco'Tlponiendo sus velocidades, ;.:al inicio). .:. x = 1+ e (1+ e + e2 + ...) = 1 + e (X)

.:.

.:. X=l+e(X)

.:.1x=_J._

l-e

d = 2V2sen9cos9 = V2sen29g (1- e) g (1- e)

d2 = V cos 9 x t2

d3 =Vcos9 x t3

Luego:

d = d1 + d2 + d3 + ...

d = V cos9(t1 + t2 + t3 + ... )

.:.

.:. .PROBLEMA 145 Sem. CEPRE UNI

:~:Un muchacho de 75 kg y una chica de';' 60 kg permanecen de pie sin moverse'.'.:. en los extremos de una tabla de 16 m:~:de longitud y 25 kg de masa, que se-;' encuentra en reposo sobre una superfieie'.'.:. horizontal. Si intercatnbian posiciones A

pasa a B y B pasa a la 'posici6n original de .:-A, que distanda (en m) se mueve la tabla. :~:A) 1,5 B) 11,6 C) 1,8 -:-.:.D) 2,2 E) 0,8 -:-Desarrollando :.:.

IM~t~~ilI ISiel muehaeho y la ehiea empiezan a ea- :~:minar en direeciones opuestas, entonees -;-

---debido a la fried6n entre los pies y el ta- -:-

-:- Il\Ietoaojn I -bl6n; tambien el tabl6n se movera. -:-Como la masa del muehaeho es mayor que ::: AI no existir fuerzas externas en la h9rizon-la de la ehica entonees el tabl6n se habra -:- tal, la eantidad de movimiento se eonservadesplazado en diree<:i6n opuesta al movi- ::: en esa direeei6n. Luego:

miento del muehaeho. ::: Po = P f

15L 15xJ6x=--=---160 160

.. ( x = 1,5 m] Rpta.

::: O=IT\(VI-VT)+Inz(VrVT)+IT\VT+InzVT+MJT.:.

:~: O=IT\(V1-VT)+Inz(V2-VT)+(IT\ +ffi.z+ffi.3)VT-:- '----y-' ~ ...(a).:.

I--x--+---el------r--X-

I e2-----~ Veloddad relativa del muehaeho respec-to del tabl6n.

Como no hay fuerzas externas en la hori- :::zontal; en el /sistema la eantidad de movi- :::miento en esa direeei6n se eonserva. -:-

** Veloddad relativa de la ehica respeetodel tabl6n.

Po =Pf

O=m1V1 +m2V2 +MVT

-:- Respecto del tabl6n, el muehaeho y la ehi-.:._:_ea en total avanzaron una longitud 'T.'.

En la figura se eono-een los desplazamien- -;. ( L J (L J -tos; y tomando velocidades medias; obte-- :~: 0 = 75 +t' + 60 -t' + (75+ 60 + 25)f


15L 15x16X=--=---

160 160

:. ( x:;:;: 1,5m ]; Rpta.

':' En la vertical (MVCL)..• _----:~:EI tiempo de vuelo se ca1cula :

Vt = 2· ~sen15°

g

.:.Sem. CEPRE UNI .:.

Clave: A :~:En la horizontal MRU)

V2- V2Se dispara una pequena esfera de jebe de :~: d = ~ . 2sen15° cos 15° = ~ . sen300

2 kg con un angulo de elevaci6n de 15° .:. g gexperimentando un a1cance de 500 m, si ':' RId I'.' eemp azan 0 va ores, :luego del impacto con tierra rebota con .:.una velocidad cuyo m6dulo es de 100 m/s :~:forman do un angulo de 15° con la hori- :~:zontal. Determine el m6dulo de la varia- .:.ci6n de la cantidad de movimiento en el ':' Analizando en "P"

'.'

punto P (en kg· mls). g = 10 m/s2 .:.w:.

A) 100(J6 --./2)C) 200(2-vf3)

E) 200(~2-./3)

RESOLUCION

B) 200~ J6 - -./2D) 100(2+./3)

.........~? .

V; 1500=-·-

10 2

.:. Como puede notarse el choque es elastico ..:.·:·La variaci6n en la cantidad de movimiento';' se ca1cula as! :'.'

.-puifu.. ~---.Gm!I

.:.

.:. 27 1 2PROBLEMA 147 Sem.CEPRE UNI :~: 4 = "2x1,5 x IlB

Dos bloqties de igual masa se desplazan :~: ~ IlB = 3 m/s ~sobre una mesa horizontal lisa, el blo- .:.

, que A de 1,5 kg tiene 48J de energfa y :~:Esbozando el grafteo :el bloque B se mueve hacia A con una .:.rapidez de 3 m/s. Si despues de impactar :~:frontal mente la energfa de los bloques A y :~:VA ~S

B es 3J y 2: J , respectivamente; Halle el :~: ~

coeficiente de restitucion. :~:* Una posibilidad de choque frontal es elA),l/11 B) 1/9 C) 1/2 .:. indicado ..:.D) 1/5 E) 1/3 .:.

.:.

I~VI2= 10(i +1002 +2x 100 x 100x cos150° :~:*.:.

I~vl= 100~2 -../3

I~pl= 2 x 100~2 -../3

.. (l~pl= 200(~2 - 13)) Rpta. :1:

Clave: E·:·.:.

.:.RESOLUCION .:.

Si el bloque ''/\' antes del impacto tiene 48J :~:de energfa, entonces : .:.

.:.1 2 .:.

EKA=-mAVA .:.2 .:.

*.:..:.

1 2 .:.48=-x1,5xVA .:.2 - .:.

.:.

VA=8 m/sl..:.., .:..:..:.

EI bloque "!\' tiene una energfa :, 1 2

EKA= "2mAIlA

1 23 = "2 x 1,5 x IlA

IlA = 2·m/s ~

* EI bloque "B" tiene una energfa :, 1 2'

EKB= "2mBIlB

,Despulls del choq~e

~A=2nVs ~B=3nVs-- ----

Luego el coeficiente de restitucion sera :

e = I iIB - iIA 1= 13- (-2)1VA - VB 8 - (-3)5

~- e= l1lOtra posibilidad de realizado el choquefrontal serfa :

Antes8nVs 3nVs-- ---

Despues"

~A=2nVs ~B=3nVs-- ----

CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO . CHOQUES

e = 10: =~:I= 18~(:3)1p t= 111)

..:.Clave: A _:_

=~I~~ ... (1)La bala de masa, me y velocidad Ve, se :~:incrusta en un bloque de mas a 4me que -:-esta unido a un resorte ingravido de cons- -:-b) Luego del choque plastico la energfa me-tante elastica K, este bloque esta sujeto a:;: canica del sistema se conserva.un coche de masa 7me. Despn~ciando todo -:-. '.., ,.,rozamiento, halle la maxima deformaci6n :;: Analtzando desde la sltuaclOn lnICIaIen que"x" (en m) del resorte, considere me = 30'g, -:. el conjunto bloque-bala inicia su movimien-K = 35 N/m y Ve = 20 mls . :~:to hasta que el sistema : bloque - bala -

.:. coche tengan igual velocidad.

A) 1/5D) 1/2

B) 1/4E) 1 .:.

RESOLUCION .:. Tambien la cantidad de movimiento se con-:~:serva :

Cuando la bala se incrusta en el bloque .:.el conjunto tiene cantidad de movimien- -:-.:.to, la que hara que el resorte se deforme; .:.esta a su vez provocara movimiento en el -;--.'coche. ~

.:.La maxima deformaci6n ocurrira cuando el .:-conjunto bloque-bala y el coche tengan igual :~:De (I) :velocidad. .:- V

a) Por conservaci6n de la cantidad de mo- :;: Vf = 1~ lvimiento; instantes antes y despues de .:.la colisi6n plastica. :~:Reemplazando (I) y (III) en (II) :

Vf= sl!:.

12

~ ~II- J:·1JZCANQ ----------------~...

7x30xlO-3x202 = 35x2

60

'r::D:'LD'.:-

Rpta. .:. Consideremos que la fuerza actua paralelo.:. aL plano horizontal.

Clave: A':'

.:.Sem. CEPRE UNI .:.

.:.Sobre un bloque actua una fuerza F(en N) .:. EI impulso resultante, en la figura esta defi-variable en el tiempo t (en s), segun ::~: nida por el area debajo la grafica.

jt-4 Si 0~t<10F= 6 silO~t<12

f si 12 ~ t<tf

Si luego de 12s la fuerza disminuye .:.linealmente hasta anularse y, consideran- :~:do que el impulso resultante es 40 N-s; .:.determine el valor de f (en N) cuando ':'

'.'t=17,0 s. .:.A) ION B) 6N C) IN :0) 9N E) 5N .:..:.

Reconstruimos la grafica F vs t, notamos :~:que entre t=O y t= 10 la grafica correspon- :~:de a una recta cuyas coordenadas seran: .:..:.

Si : t = 0 => F=O - 4 =-4

Si: t=10 => F=10-4=6

Como los demas tram os son de fuerzas cons- .:.tantes, esta sera : :~:

40=Cf -~+2}6_ 4;4Resolviendo: tf = 18

EI valor de~"fn en t= 17 sera:F(N)

66 1

.. (f = IN )j Rpta.

Clave: C


PROBLEMA 150 Ex. de Admision UNI :::Por conservacion de ta energra meca-

La masa um" de un pendulo simple choca ::: nlca :eiasticamente con el bloque de masa 3m, .:. EMA = EMB

en reposo sobre la superficie Iisa mostrada y ::ubicada en el punta mas abajo de la trayec- ::: Ep9A = EKB

toria del pendulo. 5i soltamos la masa um" .~ 1 zdesde una altura H respecto de la superfi- :: mgH = "2 mVIcie horizontal, (.que porcentaje de la energia .:. f0.::U

mecanica inicial del pendulo se transfiere al ::: VI =" 2gH ~ ... (a)

b!oque en la colisi6n y hasta que altura He- ::: Analizamos ahora instantes antes y despuesga el pendulo despues de la colisi6n? .:. de la colisi6n elastica ..:.

.~ Despues Durante .Antes.:.

A) 50%; H/2C) 66%; H/3E) 25%; H/4

B) 75% ; H/4D) 75%; H/2

~: * Asumimos que despues de la colisi6n las.:. direcciones son las indicadas.:..:. Por conservacion de ta cantidad de mo-.:- vimiento :..:.

Po =Pf

mV1 + 0 = mlll + 3mllz.;.RESOWCION .:.Analizamos el movimiento de la esferita ';' Asociando un signa a los vectores veloci-desde que es soltado hasta instantes antes :~ dad, resultara : .de colisionar con el bloque. :;: m (-VI) = m (~1)+ 3m (-Ilz)

.:. Como la colisi6n es elastica cum pie :

.:.

,~ ~II- PUZCANQ ----------------~Resolviendo de (I) y (II) :

III = VI /21_

112= VI! 21.

1 2-mill = mgh2

%x(i J =gh

.:. Reemplazando de "a" :La energia transferida al bloque se cal- .:.

cula asi : :~: -21x[J22gh )2 = gh

- La esferita tiene una energfa cinetica: .:..:.EK 0 4 mvt' : R",olviendo, [ h ~ ~ ]

- El bloque luego de la colisi6n tiene una :::

.:.,1 2 1 vf 3(1 2) ':' PROBLEMA 151E =-(3m)1l2 =-x3mx-=- -mVl -.-K 2 2 4 4 2 . -:- La figura muestra dos partfculas antes de.:.

(

1 ) .:- que se produzca el choque entre ellas. SiE'K = 75% "2 mVf ::: ~l es la velocidad de la partkula de masa,-,:::--_--, --,--::-:::-:::---:---:-__ --;---... :- mI' Oespues del imp acto, indique la ver-

Se concluye que ef 75% de fa energfa I ::: dad ° falsedad (F) de las siguientes proposi-que llevaba fa esfera, fue transferida af J':- ciones :bfoque. ::: (e : coeficiente de restitlu;ion)

reposo!2 lisom2~. .:.

Para calcular la altura a que subira la esfe- .:-rita procedemos en el trayecto BA :::

.:.

.:_ I) Si e= 1 y ml * m2 => III = V

::: II) Si e = 0 => III = 0.:..:_ III) Si ml = m2 y 0 < e < 1 => III = V

-:- A) VVV.:..:- C) VFV.:..:- E) FFF

B) WF0) VFF

-.. >.. : T.... A h

~Q-""":"":"~: ~--~1 -:-RESOWCION.:.

::: Analizando las situaciones antes y despues-:- de la colisi6n :

Resolviendo de (I) y (II) am1logo alas pro;- :~:Un bloque Bl con masa igual a 1,0 kg Ypiedades dadas en las colisiones : :~:velocidad de 8,0 mis, colisiona con un blo-

[J

-:- que identico B2, inicialmente en reposo. /"I = ml -e·m2 V•... -:- Despues de la colision ambos quedan pe-

ml + m2 :~:gados y suben la rampa hasta comprimir elAnalizando los casas particulares : .:. resorte M en 0,10 m, seg(ln muestra la figu-.:.

_:_ra. Despreciando los efectos por rozamien--:- to y considerando g = 10 mls2, h=0,50 m,.:.-;- e = 300

. <'Cuill es el valor de la constante.:._:_del resorte en N/m?

-Y- v=o .E!-~fl ~ ~~

.:.Por conservacion de la cantidad de movi- -:-miento : :~:

Po =Pf

mlV=mllll+m21l2 ... (I)

Del dato del coeficiente de restitucion :

li2-iiI = e(Vl- JK)

ICasoW (F)

Si: e=l /\ ml:F m2

III = (.ml - m2 Jvlml + m2

Como se puede notar solo cumple que :

III = V si: m2 = 0

Si e=O entonces :

11 - ( ml Jv1 -l ml + m2

Si: III = 0 => ml = 0 I.:. Resulta absurdo.

.;- ICaso 11111(F)

.:.

=(,m -e,mJ'V=(~)VIII l' 2,m 2

.:.-:- PROBLEMA 152

-:- A) 1 000 B) 1 100 C) 1 200.:..:- D) 1300 E) 2400.:.-;-RESOWCION.:. Analizando descle antes de la coIision has-.:..~ ta la situacion final en que ambos quedan.:.-:- adheridos.

~ MJ!!JIII!IlI.....- C,UZCANCl ----------------~Por conservaci6n de la cantidad de movi- .:. Resolviendo:.'.miento. .;.

Po =Pf

1 x 8 = (1 + 1) . J.!

(K= l:~~~/mJ Rpta.

Clave: C

-~;Para la situacion del problema hemossupuesto que "h" es la altura a que seeleva el CM. del sistema, cosa que noes cierto. EI problema presenta estaambiguedad porque solo dan las dimen-siones de la longitud del bloque mas nosus otras dimensiones.J.!:;= 4 m/sl :~:

Considerando ambos bloques como uno s610 :~:de masa : M=2kg, y que inicialmente esta ::: ll'RoBaMA---YS3~-- Sem. CEPRE UNIen la superficie horizontal, esta cuando sub a .:. Elf' tr· t f d. .:. n a 19ura se mues a un SIS ema orma 0por la rampa comprimira al resorte; consi- .:.. d 'I d 2 k

. . , .. .'. por os parhcu as e masas m1 = g yderando que conslgulo compnmlr al resorte : 'como maximo en 0)0 m, entonces por con- :;: m2 = 3 k

dg'2 Sil(a

50veJ)ocid

/adrelat~dvadedI

. , , ',. .:. respecto e es I m s y consl eran 0servaclon de la energla mecamca. .:. -V 3-V d . I I'd d (.:. que CM= 2' etermme -.il ve OCI a en

.:. m/s) del centro de masa (VCM) del siste-

.:.

.:. ma .

~(M)(V)2 = (M)gxh+~ ·Kx2

1 2' 1 2 .:.'2x2x4 =2xl0x(0,5)+'2.K.(0,1) :~:

.:. b)

.:.

.:. A) 30 i . B) 40 1 C) 50 1

.:.

.:. D) 60 1 E) 701

.:.

.:. RESOWCION.:.

:~:Par la condidon del problema :

-1 ~V2 =50 I

\11-\12=5011-

VGM=3V2


Pero: VCM= m1V1 +m2V2 ... (a)m1 +m2

3V = 2xV1 +3V2

2 (2+3)

15V2 = 2V1 + 3V2

12V2 =2V1

VI =6V2 l-De (I) y (II), resolviendo :

_ A

V2 = 10 i

.:.

.:. Mientras el bloque desciende por el plano,:~:las fuerzas de interaccion haran que el pla-.:. no avance a la derecha y el bloquecito a la 0.:-.:. izquierda.

VI = 60 i :~:~F.ib'il::gLa velocidad del centro de masas del siste- .:.

..:.ma se calcula segtin (a) 0 .:.

.;. Notar que cuando el bloque llega al punto'..

Clave: A :~:inferior tiene una velocidad l! que es la ve-

Sem. CEPRE UNI ::: locidad relativa del bloquecito respecto del.:. plano. I

En la figura se muestra un plano inc1ina- .:. La velocidad resultante en el bJoquecito esdo de masa "M"y un bloque de masa ::: la suma vectorial :"m", Si no existe rozamiento entre las .:.superficies en contacto. Determine el :~modulo de la velocidad del centro de :;: * 112= 11: Velocidad relatiua de 1 respecto de 2,

masa de! sistema, cuando "m" lIegue al .~..:.

extremo inferior del plano, si el bloque .:.parte del reposo en el punta lOA". .:•.:.

V _ 2 x 60i + 3 x lOieM - 2+3

"....,'a

..:.

.:. a) Si tomamos como sistema bloquecito-:~: plano inclinado, notamos que no actUan.:. fuerzas extern as en la horizontal; por tan-.:..:. to la ~antidad de movimiento en esa di-

o ~eccion se conserva.

~ M'J!W!III-- J:UZCAK. ----------------~

Asociando un signa a 105 vectores veloci- :~:dad, se obtiene : .:..:.

a = M~2 + m( -(~coso: - ~2))

(m~cosa=(M+m)~2) ... (I)

-:.b) Por conservacion de la energia en el sis- .:.

tema bloque-plano ii1Clinado. :~:Para calcular la velocidad del centro de

J 2 1 2mgh=-m~l +-M~22 2

2mgh = (M + m)~~ + m~2 - 2m~ ~2 cosa .:..:.

-:-masas, razonamos· :.:..:. En el sistema no actUan fuerzas externas ho-:~:rizontales; por tanto la velocidad de su cen-.:. tro de masas en esa direccion no se modifi-.:..:. ca ..:. Luego la velocidad de su centro de masas.:. solamente 10 evaluaremos en la vertical..:..:. Para la 'situation final..:. --------

Iv 1= m~ena+ aCM (M+m)

v. _ msenaCM - (M +m)

2(M+m)gh

(M +msen2a)

2gh(M+rn)(M+rnsen2a)

Rpta.

cuzcano cantidad movimiento 5

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