curvas en el espacio - universidad de chile · ¿son todas las parametrizaciones de una misma curva...
TRANSCRIPT
Semana 11 [1/48]
Curvas en el espacio
October 11, 2007
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [2/48]
Coordenadas ortogonales
Sistema de coordenadas curvilíneasUna transformación invertible ~r : D ⊆ R3 → R3,
~r (u, v , w) = (x(u, v , w), y(u, v , w), z(u, v , w)).
Veremos algunos sistemas de coordenadas clásicos...
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [3/48]
Coordenadas ortogonales
Sistema de coordenadas curvilíneasUna transformación invertible ~r : D ⊆ R3 → R3,
~r (u, v , w) = (x(u, v , w), y(u, v , w), z(u, v , w)).
Veremos algunos sistemas de coordenadas clásicos...
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [4/48]
Coordenadas cilíndricas
La posición de un punto ~P en el espacio queda determinada por tresvariables, ρ, θ y z:
+
θ
ρ ∈ [0, +∞[
θ ∈ [0, 2π[z ∈ R
P
ρ
z
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [5/48]
Coordenadas cilíndricas
La relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas viene dada por
~r (ρ, θ, z) = (x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z(ρ, θ, z)) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z).
Recíprocamente, a un punto (x , y , z), le corresponde las coordenadas:
ρ =√
x2 + y2, θ = arctan(y
x
)
, z = z.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [6/48]
Coordenadas cilíndricas
La relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas viene dada por
~r (ρ, θ, z) = (x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z(ρ, θ, z)) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z).
Recíprocamente, a un punto (x , y , z), le corresponde las coordenadas:
ρ =√
x2 + y2, θ = arctan(y
x
)
, z = z.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [7/48]
Coordenadas cilíndricas
La relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas viene dada por
~r (ρ, θ, z) = (x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z(ρ, θ, z)) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z).
Recíprocamente, a un punto (x , y , z), le corresponde las coordenadas:
ρ =√
x2 + y2, θ = arctan(y
x
)
, z = z.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [8/48]
Coordenadas esféricas
La posición de un punto ~P está determinada por un radio r y dos ángulos θ yϕ:
+
θ
P
ϕ
z
y
x
r
r ∈ [0, +∞[
ϕ ∈ [0, π]
θ ∈ [0, 2π[
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [9/48]
Coordenadas esféricas
Para un punto descrito usando los valores r , ϕ y θ:
~r (r , ϕ, θ) = (r sen ϕ cos θ, r sen ϕ sen θ, r cos ϕ).
Recíprocamente, para un punto (x , y , z), se tiene la relación:
r =√
x2 + y2 + z2, ϕ = arctan
(
√
x2 + y2
z
)
,
θ = arctan(y
x
)
.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [10/48]
Coordenadas esféricas
Para un punto descrito usando los valores r , ϕ y θ:
~r (r , ϕ, θ) = (r sen ϕ cos θ, r sen ϕ sen θ, r cos ϕ).
Recíprocamente, para un punto (x , y , z), se tiene la relación:
r =√
x2 + y2 + z2, ϕ = arctan
(
√
x2 + y2
z
)
,
θ = arctan(y
x
)
.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [11/48]
Curvas
Denotamos por Rn el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana:
‖~x‖ =√
~x · ~x =√
x21 + . . . + x2
n .
CurvaΓ ⊆ Rn es una curva
si existe ~r : I = [a, b] → Rn continua, llamada parametrización de la curva, talque
Γ = {~r (t) : t ∈ [a, b]}.
I
~r(t)
Γ
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [12/48]
Curvas
Denotamos por Rn el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana:
‖~x‖ =√
~x · ~x =√
x21 + . . . + x2
n .
CurvaΓ ⊆ Rn es una curva
si existe ~r : I = [a, b] → Rn continua, llamada parametrización de la curva, talque
Γ = {~r (t) : t ∈ [a, b]}.
I
~r(t)
Γ
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [13/48]
Curvas
Denotamos por Rn el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana:
‖~x‖ =√
~x · ~x =√
x21 + . . . + x2
n .
CurvaΓ ⊆ Rn es una curva
si existe ~r : I = [a, b] → Rn continua, llamada parametrización de la curva, talque
Γ = {~r (t) : t ∈ [a, b]}.
I
~r(t)
Γ
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [14/48]
Curvas
Denotamos por Rn el espacio n-dimensional dotado de la norma euclidiana:
‖~x‖ =√
~x · ~x =√
x21 + . . . + x2
n .
CurvaΓ ⊆ Rn es una curva
si existe ~r : I = [a, b] → Rn continua, llamada parametrización de la curva, talque
Γ = {~r (t) : t ∈ [a, b]}.
I
~r(t)
Γ
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [15/48]
Tipos de curvas
1) Suave : si admite una parametrización de clase C1.
2) Regular : si admite una parametrización ~r (·) de clase C1 tal que‖d~r
dt (t)‖ > 0, para todo t ∈ I.
3) Simple : si admite una parametrización de clase C1 e inyectiva.
4) Cerrada : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de clase C1 talque ~r (a) = ~r (b).
5) Cerrada simple : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de claseC1 tal que ~r (a) = ~r (b) y que sea inyectiva sobre [a, b).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [16/48]
Tipos de curvas
1) Suave : si admite una parametrización de clase C1.
2) Regular : si admite una parametrización ~r (·) de clase C1 tal que‖d~r
dt (t)‖ > 0, para todo t ∈ I.
3) Simple : si admite una parametrización de clase C1 e inyectiva.
4) Cerrada : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de clase C1 talque ~r (a) = ~r (b).
5) Cerrada simple : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de claseC1 tal que ~r (a) = ~r (b) y que sea inyectiva sobre [a, b).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [17/48]
Tipos de curvas
1) Suave : si admite una parametrización de clase C1.
2) Regular : si admite una parametrización ~r (·) de clase C1 tal que‖d~r
dt (t)‖ > 0, para todo t ∈ I.
3) Simple : si admite una parametrización de clase C1 e inyectiva.
4) Cerrada : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de clase C1 talque ~r (a) = ~r (b).
5) Cerrada simple : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de claseC1 tal que ~r (a) = ~r (b) y que sea inyectiva sobre [a, b).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [18/48]
Tipos de curvas
1) Suave : si admite una parametrización de clase C1.
2) Regular : si admite una parametrización ~r (·) de clase C1 tal que‖d~r
dt (t)‖ > 0, para todo t ∈ I.
3) Simple : si admite una parametrización de clase C1 e inyectiva.
4) Cerrada : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de clase C1 talque ~r (a) = ~r (b).
5) Cerrada simple : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de claseC1 tal que ~r (a) = ~r (b) y que sea inyectiva sobre [a, b).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [19/48]
Tipos de curvas
1) Suave : si admite una parametrización de clase C1.
2) Regular : si admite una parametrización ~r (·) de clase C1 tal que‖d~r
dt (t)‖ > 0, para todo t ∈ I.
3) Simple : si admite una parametrización de clase C1 e inyectiva.
4) Cerrada : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de clase C1 talque ~r (a) = ~r (b).
5) Cerrada simple : si admite una parametrización ~r : [a, b] → Rn de claseC1 tal que ~r (a) = ~r (b) y que sea inyectiva sobre [a, b).
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [20/48]
Ejemplos
La cicloide: Es la curva descrita por un punto en una rueda (radio R)que gira sin resbalar.
t
a
p
R
Su parametrización viene dada por
~r (t) = (Rt , R) − (a sen t , a cos t) = (Rt − a sen t , R − a cos t),
a: Distancia del punto al centro de la rueda.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [21/48]
Ejemplos
La cicloide: Es la curva descrita por un punto en una rueda (radio R)que gira sin resbalar.
t
a
p
R
Su parametrización viene dada por
~r (t) = (Rt , R) − (a sen t , a cos t) = (Rt − a sen t , R − a cos t),
a: Distancia del punto al centro de la rueda.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [22/48]
Ejemplos
La cicloide: Es la curva descrita por un punto en una rueda (radio R)que gira sin resbalar.
t
a
p
R
Su parametrización viene dada por
~r (t) = (Rt , R) − (a sen t , a cos t) = (Rt − a sen t , R − a cos t),
a: Distancia del punto al centro de la rueda.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [23/48]
Ejemplos
a<R
a=R
a>R
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [24/48]
Ejemplos
Hélice: Curva parametrizada por la función
~r (t) = (a cos t , a sen t ,ht2π
), t ∈ [0, 4π].
h
h~r
4π0
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [25/48]
Ejemplos
Hélice: Curva parametrizada por la función
~r (t) = (a cos t , a sen t ,ht2π
), t ∈ [0, 4π].
h
h~r
4π0
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [26/48]
Reparametrización
Parametrizaciones equivalenteDos parametrizaciones ~r1 : [a, b] → Rn y ~r2 : [c, d ] → Rn de una misma curvaΓ se dicen equivalentes siexiste una función biyectiva θ : [a, b] → [c, d ] de clase C1 tal que~r1(t) = ~r2(θ(t)) para todo t ∈ [a, b].
θ: Reparametrización.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [27/48]
Reparametrización
Parametrizaciones equivalenteDos parametrizaciones ~r1 : [a, b] → Rn y ~r2 : [c, d ] → Rn de una misma curvaΓ se dicen equivalentes siexiste una función biyectiva θ : [a, b] → [c, d ] de clase C1 tal que~r1(t) = ~r2(θ(t)) para todo t ∈ [a, b].
θ: Reparametrización.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [28/48]
Reparametrización
Parametrizaciones equivalenteDos parametrizaciones ~r1 : [a, b] → Rn y ~r2 : [c, d ] → Rn de una misma curvaΓ se dicen equivalentes siexiste una función biyectiva θ : [a, b] → [c, d ] de clase C1 tal que~r1(t) = ~r2(θ(t)) para todo t ∈ [a, b].
θ: Reparametrización.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [29/48]
Reparametrización
¿Son todas las parametrizaciones de una misma curvanecesariamente equivalentes?
NOΓ ~r1 ~r2
Figure: Parametrizaciones no equivalentes para la misma curva Γ
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [30/48]
Reparametrización
¿Son todas las parametrizaciones de una misma curvanecesariamente equivalentes?
NOΓ ~r1 ~r2
Figure: Parametrizaciones no equivalentes para la misma curva Γ
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [31/48]
Reparametrización
ProposiciónSi Γ no es cerrada, entonces todas sus parametrizaciones regulares soninyectivas y equivalentes .
Si Γ es una curva cerrada, se tiene que todas sus parametrizacionesinyectivas en el interior de su dominio son equivalentes.
Una parametrización regular ~r separa en dos tipos:
1 Las que tienen la misma orientación que ~r (que llamaremos orientaciónpositiva .
2 Las que tienen la orientación opuesta se llamará orientación negativa
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [32/48]
Reparametrización
ProposiciónSi Γ no es cerrada, entonces todas sus parametrizaciones regulares soninyectivas y equivalentes .
Si Γ es una curva cerrada, se tiene que todas sus parametrizacionesinyectivas en el interior de su dominio son equivalentes.
Una parametrización regular ~r separa en dos tipos:
1 Las que tienen la misma orientación que ~r (que llamaremos orientaciónpositiva .
2 Las que tienen la orientación opuesta se llamará orientación negativa
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [33/48]
Reparametrización
ProposiciónSi Γ no es cerrada, entonces todas sus parametrizaciones regulares soninyectivas y equivalentes .
Si Γ es una curva cerrada, se tiene que todas sus parametrizacionesinyectivas en el interior de su dominio son equivalentes.
Una parametrización regular ~r separa en dos tipos:
1 Las que tienen la misma orientación que ~r (que llamaremos orientaciónpositiva .
2 Las que tienen la orientación opuesta se llamará orientación negativa
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [34/48]
Parametrización en long. de arco
Γ una curva simple y regular. ~r : [a, b] → Rn una parametrización regularde Γ.
Aproximamos la longitud de Γ por una poligonal a través de los puntos~r (t0),~r (t1), . . . ,~r(tN), con a = t0 < t1 < . . . < tN = b una malla de puntos.
~r(t1)
~r(t0)
~r(t7)
~r(t8)Γ
L(Γ) ≈∑8
i=1
∥
∥~r(ti) −~r (ti−1)∥
∥
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [35/48]
Parametrización en long. de arco
Γ una curva simple y regular. ~r : [a, b] → Rn una parametrización regularde Γ.
Aproximamos la longitud de Γ por una poligonal a través de los puntos~r (t0),~r (t1), . . . ,~r(tN), con a = t0 < t1 < . . . < tN = b una malla de puntos.
~r(t1)
~r(t0)
~r(t7)
~r(t8)Γ
L(Γ) ≈∑8
i=1
∥
∥~r(ti) −~r (ti−1)∥
∥
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [36/48]
Parametrización en long. de arco
Γ una curva simple y regular. ~r : [a, b] → Rn una parametrización regularde Γ.
Aproximamos la longitud de Γ por una poligonal a través de los puntos~r (t0),~r (t1), . . . ,~r(tN), con a = t0 < t1 < . . . < tN = b una malla de puntos.
~r(t1)
~r(t0)
~r(t7)
~r(t8)Γ
L(Γ) ≈∑8
i=1
∥
∥~r(ti) −~r (ti−1)∥
∥
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [37/48]
Parametrización en long. de arco
Se cumple
Proposición
La sumaN−1∑
i=0
∥
∥~r (ti+1) −~r (ti)∥
∥ converge, cuando el paso de la partición ∆({ti})
tiende a cero, a la integral∫ b
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
∥
∥
∥
∥
dt .
Longitud de curva
L(Γ) :=
∫ b
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
∥
∥
∥
∥
dt (1)
Este valor no depende de la parametrización regular ~r que se escoja paradescribir Γ.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [38/48]
Parametrización en long. de arco
Se cumple
Proposición
La sumaN−1∑
i=0
∥
∥~r (ti+1) −~r (ti)∥
∥ converge, cuando el paso de la partición ∆({ti})
tiende a cero, a la integral∫ b
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
∥
∥
∥
∥
dt .
Longitud de curva
L(Γ) :=
∫ b
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
∥
∥
∥
∥
dt (1)
Este valor no depende de la parametrización regular ~r que se escoja paradescribir Γ.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [39/48]
Parametrización en long. de arco
Se cumple
Proposición
La sumaN−1∑
i=0
∥
∥~r (ti+1) −~r (ti)∥
∥ converge, cuando el paso de la partición ∆({ti})
tiende a cero, a la integral∫ b
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
∥
∥
∥
∥
dt .
Longitud de curva
L(Γ) :=
∫ b
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
∥
∥
∥
∥
dt (1)
Este valor no depende de la parametrización regular ~r que se escoja paradescribir Γ.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [40/48]
Parametrización en long. de arco
Función longitud de arcoDefinimos s : [a, b] → [0, L(Γ)] como
s(t) :=
∫ t
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(τ )
∥
∥
∥
∥
dτ (2)
s(t)
~r (a)
~r (t)
Γ
s(·) resulta ser una función de clase C1 con
dsdt
(t) =
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(t)
∥
∥
∥
∥
> 0
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [41/48]
Parametrización en long. de arco
Función longitud de arcoDefinimos s : [a, b] → [0, L(Γ)] como
s(t) :=
∫ t
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(τ )
∥
∥
∥
∥
dτ (2)
s(t)
~r (a)
~r (t)
Γ
s(·) resulta ser una función de clase C1 con
dsdt
(t) =
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(t)
∥
∥
∥
∥
> 0
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [42/48]
Parametrización en long. de arco
Función longitud de arcoDefinimos s : [a, b] → [0, L(Γ)] como
s(t) :=
∫ t
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(τ )
∥
∥
∥
∥
dτ (2)
s(t)
~r (a)
~r (t)
Γ
s(·) resulta ser una función de clase C1 con
dsdt
(t) =
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(t)
∥
∥
∥
∥
> 0
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [43/48]
Parametrización en long. de arco
Función longitud de arcoDefinimos s : [a, b] → [0, L(Γ)] como
s(t) :=
∫ t
a
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(τ )
∥
∥
∥
∥
dτ (2)
s(t)
~r (a)
~r (t)
Γ
s(·) resulta ser una función de clase C1 con
dsdt
(t) =
∥
∥
∥
∥
d~rdt
(t)
∥
∥
∥
∥
> 0
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [44/48]
Parametrización en long. de arco
s(·) es una función estrictamente creciente y luego biyectiva.
Su inversa es también de clase C1 y estrictamente creciente.
Podemos considerar la reparametrización dada por esta función inversa,denotada t : [0, L(Γ)] → [a, b].
Consideramos la parametrización equivalente con parámetro, la longitudde arco:
~σ(s) = ~r (t(s)), s ∈ [0, L(Γ)]
Parametrización natural o de longitud de arco.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [45/48]
Parametrización en long. de arco
s(·) es una función estrictamente creciente y luego biyectiva.
Su inversa es también de clase C1 y estrictamente creciente.
Podemos considerar la reparametrización dada por esta función inversa,denotada t : [0, L(Γ)] → [a, b].
Consideramos la parametrización equivalente con parámetro, la longitudde arco:
~σ(s) = ~r (t(s)), s ∈ [0, L(Γ)]
Parametrización natural o de longitud de arco.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [46/48]
Parametrización en long. de arco
s(·) es una función estrictamente creciente y luego biyectiva.
Su inversa es también de clase C1 y estrictamente creciente.
Podemos considerar la reparametrización dada por esta función inversa,denotada t : [0, L(Γ)] → [a, b].
Consideramos la parametrización equivalente con parámetro, la longitudde arco:
~σ(s) = ~r (t(s)), s ∈ [0, L(Γ)]
Parametrización natural o de longitud de arco.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [47/48]
Parametrización en long. de arco
s(·) es una función estrictamente creciente y luego biyectiva.
Su inversa es también de clase C1 y estrictamente creciente.
Podemos considerar la reparametrización dada por esta función inversa,denotada t : [0, L(Γ)] → [a, b].
Consideramos la parametrización equivalente con parámetro, la longitudde arco:
~σ(s) = ~r (t(s)), s ∈ [0, L(Γ)]
Parametrización natural o de longitud de arco.
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [48/48]
Ejemplo
Parametrización natural de la cicloide
~r (t) = R(t − sen t , 1 − cos t), t ∈ [0, 2π]
~σ(s) = 2R
(
arccos(
1 −s
4R
)
−(
1 −s
4R
)
√
1 −(
1 −s
4R
)2, 1 −
(
1 −s
4R
)2)
Curvas en el espacio
Curvas en el espacio Semana 11 [49/48]
Ejemplo
Parametrización natural de la cicloide
~r (t) = R(t − sen t , 1 − cos t), t ∈ [0, 2π]
~σ(s) = 2R
(
arccos(
1 −s
4R
)
−(
1 −s
4R
)
√
1 −(
1 −s
4R
)2, 1 −
(
1 −s
4R
)2)
Curvas en el espacio