curvas alabeadas
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DefiniciónDefinición
Una curva en el espacio es una función vectorial de laforma:
( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +� � � �
( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +
Donde son funciones continuas de en unintervalo
, ,f g h tI⊂ℝ
Ejemplo:
La hélice, dada por la función:
( ) 4cos 4sin 0 4r t t i t j t k t π= + + ≤ ≤� � � �
Derivada de Derivada de ( )r t�
( )r t�
( )r t t+∆�
( )( ) ( )
0' lim
t
r t t r tr t
t∆ →
+∆ −=
∆
� ��
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +� � � �
Elemento de arco Elemento de arco ds
( )r t�
( )r t t+∆�
( ) ( )0
limt
ds r t t r t∆ →
= +∆ −� �
( ) ( )( )
0'l im
t
r t td s r t d
t
tt
rt
∆ →
+ ∆ −= ∆ =
∆
�� �
Curva suaveCurva suave
La curva C representada por se dice que essuave en el intervalo si son continuasy
( )r t�
' , ' , 'f g h( )' 0r t t I≠ ∀ ∈
Vector unitario tangenteVector unitario tangente
I
Vector unitario tangenteVector unitario tangente
( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +� � � �
Sea C una curva suave en dada por:I
El vector tangente a la curva en cada valor de es t
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +� � � �
( )r t�
( )T t��
El vector unitario tangente El vector unitario tangente viene dado por:
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +� � � �
( )( )
( )
'
'
t
t
tr
r
T =
�
�
��
En Mecánica al vector se le llama velocidad respecto del tiempoy a su módulo se le llama rapidez.
( )'r t�
( )'r t�
( )( )
( )'
'r t dt dt dx dy dz
r t i j kds ds ds dt dt dt
dt
T t = = = + +
���
� � � �
Como: podemos escribir( )'d s r t d t=�
El vector unitario tangente El vector unitario tangente en función del parámetro arco
dt
( )dx dy dz dri j k
ds dsT s
ds ds= + + =
�� � ���
( ) ( )'dr
s r ss
Td
= =
����
Luego:
Curvatura de flexión de una curvaCurvatura de flexión de una curva
( )T t��( )T t t+∆
��
ds
( )r t�
ρ
( ) ( )' ''dT
T s r sχ = = =
���� �
Es una magnitud que mide el módulo de la razón de cambio del vector tangente unitario, con respecto al parámetro de arco.
ρ
( ) ( )' ''dT
T s r sds
χ = = =�� �
Si es la curvatura de una curva en un punto ,se llama círculo de curvatura al círculo que comparte
Si la curva viene dada por
χ A
( )r t�
( )
( )
'
'
dd dt
ds ds r tdt
T T tT
χ = = =
�� ��
�
��
Obtenemos:
se llama círculo de curvatura al círculo que compartecon la curva la misma tangente en ese punto y se encuentra al mismo lado cóncavo de la curva.El radio de ese círculo lo llamamos radio de curvaturade la curva y viene dado por:
( )
( )
( )' '
1'
1r t
T s T tρ
χ= = =
�
�� ��
Vector unitario normal principalVector unitario normal principal( )T t��
( )N t���
( )r t�
En el espacio existen infinitos vectores perpendiculares a un vector. Sabemos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) es unitario 1 ' 0T t T t T t T t T t⇒ = ⇒ =�� �� �� �� ��
i i
Por tanto:
( ) ( )'T t T t⊥�� ��
Definimos el vector unitario normal principal, como:
( )( )
( )
'
'
N
T t
tT t
=
���
��
��
Si derivamos respecto del parámetro arco obtenemos:
( )( )
( ) ( )0 'dT s
T s T s T sds
= ⇒ ⊥
���� �� ��
i
( )( )
( )( )
''
'
T s
TN T
ss sρ==
���
��
����
Vector unitario binormal Vector unitario binormal ( )T t��
( )N t���
( )r t�
( )B t��
Es un vector perpendicular a y a dado por:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
' ''
' ''
Br t r
Nt
r
t tT
t r t
t×
= ××
=� ����
� �
�
��
�
( )T t��
( )N t���
Se llama aceleración a la derivada del vector velocidad
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
2'' '
dT sd d ds d s dsa r t r t T s T s
dt dt dt dt dtdt
= = = = +
��� � � �� ��
Aceleración Aceleración
( )( )
( )( )2
2 2dT s dT sd s ds ds d s dsa T s T s
= + = +
�� ��� �� ��
( ) ( )2 2
a T s T sdt ds dt dt dsdt dt
= + = +
( ) ( )2
2
2
1d s dsa
dtdtT N ss
ρ
= +
�� ����
Componente tangencial :
Componente normal:
2
2T
d sa
dt=
2
1N
dsa
dtρ
=
Dada la curva sabemos:
( ) ( )'ds
r tdtT s=
� ��
Radio de curvatura en paramétricas Radio de curvatura en paramétricas
( ) ( ) ( )2
2
2
1''
d s dsr t
dtds N sT
t ρ
= +
�� ����
( )r t�
y
Multiplicando vectorialmente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
1' ''
ds d s dsr t r t
dt dtdts s sT NT
ρ
× = × + =
�� �� �� �� �
( ) ( )( ) ( )3 3
1 10 N
ds ds
dt dBT
tss s
ρ ρ
+ × = −
���� ���
Tomando módulos nos queda:
Y como:
( ) ( )( )
( ) ( )
3
3 '1
' ''
' ''
r tds
r t r tdt r t r t
ρρ
× = ⇒ = ×
�
� �
� �
( )ds �
( ) ( )i j k� � �
� �
( ) ' 2 '2 '2'ds
r t x y zdt= = + +�
( ) ( )' '' ' ' '
'' '' ''
r t r t x y z
x y z
× =� �
( )3
' 2 ' 2 ' 2
2 2 2
' ' ' ' ' '
'' '' '' '' '' ''
x y z
y z z x x y
y z z x x y
ρ
+ +=
+ +
Si la curva es plana:
Y tendríamos:
( ) 0z t =
( ) ' 2 ' 2'ds
r t x ydt= = +��
( ) ( )' '' ' ' 0
'' '' 0
i j k
r t r t x y
x y
× =
� � �
� �
'' '' 0x y
( ) ( )3 3
' 2 ' 2 ' 2 ' 2
2 ' '' '
'' '''' ''
x y x y
x yx y
x yx y
ρ
+ += =
Curvatura de torsión de una curvaCurvatura de torsión de una curva
( )B t��
( )B t t+∆��
ds
( )r t�
( )'d
ds
BB sτ = =
����
( )r t t+∆�
Es una magnitud que mide el módulo de la razón de cambio del vector binormal unitario, con respecto al parámetro de arco.
( )'ds
B sτ = =
Algunas deducciones:Algunas deducciones:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0 0dB s dT s
B s T s T s B sds ds
= ⇒ + = ⇒
�� ���� �� �� ��
i i i
( ) ( ) ( )( )
( )( )
1 0dB s dB s
B s B s B s B sds ds
= ⇒ = ⇒ ⊥
�� ���� �� �� ��
i i
( ) ( ) ( )�� �� ��
�� �� ��� �� ��( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
0 0dB s dB s dB s
T s B s N s T s T sds ds ds
χ+ = ⇒ = ⇒ ⊥
�� �� ���� �� ��� �� ��
i i i
Al ser perpendicular a y a , tiene la
dirección de
( )dB s
ds
��
( )B s��
( )T s��
( )N s���
Luego:
( ) ( )( ) ( )
dB s dB sN s N s
ds dsτ= − = −
�� ����� ���
( ) ( )( ) ( )
( )dN s dB s dT sT s B s= × + ×
��� �� ���� ��
Derivando la expresión: ( ) ( ) ( )B s T s N s× =�� ��� ���
( ) ( )( ) ( )
( )dN s dB s dT sT s B s
ds ds ds= × + ×
�� ��
Luego:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
dN sN s T s B s N s B s T s
dsτ χ τ χ=− × + × = −
������ �� �� ��� �� ��
Fórmulas de FrenetFórmulas de Frenet
( )( )
dB s��
���
( )( )
dT sN s
dsχ=
������
( )( )
dB sN s
dsτ= −���
( )( ) ( )
dN sB s T s
dsτ χ= −
����� ��
Triedro intrínseco Triedro intrínseco ( )T t��
( )N t���
( )B t��
( )��
( )���
( )B t��
A
osculadorosculadorosculadorosculador
rectificanterectificanterectificanterectificante
normalnormalnormalnormal
Los vectores , y en cada puntode la curva forman un triedro, con los planos:
( )T t��
( )N t���
( )B t��
A
( )( ) ( ) 0P r TO t t− =���� � ��
i Plano normal
( )( ) ( ) 0OP r t N t− =���
i
���� �
Plano rectificante
( )( ) ( ) 0P r BO t t− =���� � ��
i Plano osculador
planoP ∈