JUAN RIVANO

CURSO DE LOGICAmoderna y ant¡gua

ED|TORIAL UN¡VERSITARIA, S. A.

Curso de Lógica

Curso de Lógicamoderna y antigua

Por

JUAN RIVANOProfe¡or de la Cátedra de Ló8ica

de la Univ€¡sidad de Chile

EDITORIAI. UNIVERS]TARIA S. A.

c luaa Rivano, 1964

hsc¡ipción No 28995

P¡ensa de laEditorial Universitaria' S. A.

San Francisco 454, Santiago de ChileProyectó la edición Mauricio Amste¡

CONTENIDO

Prclacio 11

I. LOGICA DE PROPOSICIONES

1, Pa¡tículas corectives 15

2. Simbolización de conetti-vás 16

3. Esquemas ProPosicionales l74. Proposiciones comPüestas

y elem€ntales 19

5. Las proposiciones comPle-jas dependen u¡¡ívocamentedel valo¡ de sus Partes Pro-posicionales 19

6. Los valotes de Y Y F Y suscombimciones 21

7. Esquemas n-P¡oposiciona-les

8. Negación9. Coniunción

10. Alternación11. Disyunción12. Extetrsió¡ del "o" disYun-

13. Disyunción, later¡ación si-noni¡nia

14. Falsedad-conjunta15. IícomPatibilidad16. Condicion¡ I17. f nrerPretación f o¡mal-i¡ter-

pretación materiall8- Condiciones Decesarias Y

condiciones sulicieot€s19. Bicondicional.20. AgruPación: Puotos Y Pa-

II. CALCULO Dh

38. Natu¡aleza de un cálcu- 101

l9- Elenencos del cílculoproposicional. Ariomati-z¡ción- Dcducción dc los

tco¡cm¡s. Elabo¡ación dc

las re¡las dc la lósicanropo.i.ion¡l 104

Modo de agrupación deLukasiewiczDist¡ibutividadEsquemas tautológicos,coosistentes Y contradic_rorios

21.

2t.

1648

5l5t54

5659

66

7l

24. Función matemática25. Fuación de ProPosición26. Recueato e¡haustivo de

las fu¡cio¡es mono Y bi-p¡oposicionales Posibles

27. Decisión mediante tablas28. Decisión mediante análi'

sis dicotómico29, Sistemas de ¡educción de-

finito¡ia30. Esquemas no¡males: alter'

nativos y conjuntivos31. Substituciófl' teemPlazo e

intercambiot2. Empleode las fo¡mas oor-

m¡les: (l). (2), (3) Deci-sión; (4) Nesacióo; (5)Transfor¡nación; (6) P¡inci -

pio de Dualidad13. La relación de dualidad34. Uso y mención35. Operación inferencial36, Tr¿nsformación mediaíte

reemPlázo e intetcambio37. Leyes de irnPlicación Y

equivalencia

PROPOSICIONES

40. Cuestiooes sobre la Pre-sentación del cálculo Pro-posicional

41. Sobrc la noción PoPular de

lósica{2. Las formas con€ctrvas etr

cl discu¡so o¡dinario

6222212)2526

282A

10

)1

79a2a7

I l8

7'l

97t54l

9814

t24

r27

1l

III. LOGICA DE LA PROPOSICION CATEGORICA O

A R ISTOTE LICA

41. Prelimina¡es lti 56'

44. Elemenrosde la Proposr- t¡t 5i.ción catesórrca -' ;i'.

45. oposición . .. :ii r8.46, P¡iocipios de Ia oPosicron ra¡

i9.47. Las inferercias 'innedia- ,r, 60.

,1. . .. 141 61.48. conve¡srcn ,rl49. Permutacron -- .;:50. cooversióo l:'"'c""' i:; 62.51- Conc¡aPosrcron.t P..." infe¡encial e imPI¡-

"' :;:;;;;il;; principios 61'

sob¡e,la 'ioferencia 'n"- ,rn b1.

5]. i,.gl{" v elementos del r5o

65'

srloSrsmo. rio54- Modos Y tr8üas ::i;: ;;." á.i'"ir"si.." tt2 66'

IV. CALCULO DE

67. Prelinina¡es68, Cálculo oPosic ional

LA PROPOSICION CATEGORICA

177 o9. Cálcglo cooversional t'79

,;; ió. é¡r.¡" silogístico 180

V. ARGUMENTOS CONDICIONALES

Relación de validez ent¡e

las figurasReduccióo osteosivaReducción indi¡ectaReduccióo al Dict""tCooside¡acio¡es genera_

les sob¡e los modos váli-dos del silogismoLos términos del silosis-

E jemPlif icación sobre el

siloeis mo

Razooamiento ordioa¡ioEntimema, Prosilogismo Y

episilogismo' ePiquerema'

sorites, PolisilogisrnoForma imPlicacional del

silogismo

74. El dilema185 75. Formalización del a¡¿u-

186 me¡to co¡diciooal188

Los orinciPios de las cua-

tro f is*." 157

1t9160t62t6t

164

166

r67l7l

171

1't 4

189

194

81. Expresiooes cuantificadas .^.equiva lentes

8á. Esquemas c¡rantif icaciona- - --

lés abiertos Y cerrados ¿u)

85. AeruPación: alcance de-

ún oDerador cuantif icacio_205

71. ProPosiciones hiPotéticasv rlisvuntivas

:2. íilogi".o hiPotético71. Silosis mo disYuottvo

76. Func ión ProPosicional77. Exrensión de una función

P¡oPosiciooal78. Simbolización esquematrca

de una función ProPostcro-nal

79. Esquemas simPles Y com-

80. ;";.ió' ProPosicional de

más de un valor81. Cuantificación82. EjemPlos de cuantifica-

ción

[8

VI. LOGICA CUANT If ICACION AL O DE PREDICADOS

t99

200

200

2Ol 86. El orden de los oPeradores

"'antificacionales 206

2Ol 87. ¡"i'*"' de discu¡so 207

2oz 88. Distribr'rción de los opeta-

do¡es cua nt ific¡c ionr l¡ s 2(t8

20ir 89. APlicación a l¡ I'ro¡'o'i-

91.

90.

93.

96.

98.

91.95.

ción ca.csórica 209Leyes lógicas en formacuAn.ificacional 21'0

Los principios cua¡rtifica-cionalcs en ud r¡tiversofinito 211

Ats'¡nas leye s equivale¡-cia Ies 212

Transfo¡mación con vistasa la distribución de losoperado¡es 212Esq¡remás adibios 211

Validez o tautología cuaa"

tilicacio0¿l 2t4Esqueúas válidos 'ca l-

"".{os' 216

Esquemas cuantificacio-nalmente válidos 217

Contradicción cuantif ica-

cional 2t999. Análisis de esquemas

cuantificacio¡ales 219

1o0- Análisis de esquemascuancificac iona le s: Eiem-plificacióo en esquemasabiertos 220

101. Aaálisis de esquemascuantificaciona le s: Ejem-plificaciótr en esquemasce¡fados 222

tO2. Sustitucióo 222

101. Sus¡itución: EieÍtFlifica'ción 224

104. Apticación de los Princi-pios cuantificacionalesal silogismo

105. Infe¡eocia cuartificacio'nal

CUANTIFICACIONAL

lógicacuantificaciooal ?tI107- Teo¡emas 2t5

VII. CALCULO

106. Axiomatización. Elabo¡a-ci,5n de las reglas de la

Bibliocúlíd 243

I¡dice A¡alítico 245

el

PREFACIO

La controversia sobre la naturaleza de la Lógica y sobte dóode deba

busca¡se esta oatutaleza puede continuar por los siglos de los siglos

sio que disminuya un ápice la importancia práctica de esta disciplina'

Sólo la ciencia matemática puede disputarle el magisterio del rigor

y la tutela pedagógica del pensamieoto' Cierto que en la actualidad

se defiende la identificación de ambas ciencias' No obstante' y sin

toúar pa¡tido sobre esto, podernos situarnos donde todos lo hacen y

considerar que la Lógica resulta oás accesible a la mayoría de los

hornbres y más amplia eD sus aPlicaciones que la Matemática- Por

donde, en igualdad de condiciones en cuaúto disciplina y práctica

del pensamiento ftente a su formal y meticulosa Pa¡ieota, la Lígica

aparece con mejores posibilidades pata encont¡ar entre los hombres

simpatía y cultivo.E. .or, ""a.

propósito práctico y formadot, colocado sob¡e toda

ora consideracióo, que he dictado el Plesente cu¡so de Lógica For-

mal en la Cátedra de Lógica de l¿ Uoivetsidad de Chile' Las difíci-

les cuestiones implicadas eri una ieflexióo a fondo sobre la natu¡ale-

za del pensamiento, o de la Lógica como 'cie¡cia del pensamiento"

fueron situadas fuera de este cu¡so' Y oo Puede hacérseme a este

respecto el reproche de Persona suPerficiat, porque - rePito - el obje-

tlvo en vista tro era la Filosofía sioo la me¡a práctica del discurso'

opino que no imPorta tanto eo uo cu¡so dictado a principiantes llegar

a los ;principios últimos' como formar bábitos de rigor intelectual'

Adquiriios é"tos, "erá posible moverse en todas direcciooes; será

¡r.rrlbl., "o Particular' la especulación sobre aquellos hábitos' lo

<¡ue puede ya recibi¡ el oomble de Filosofía' Dicho con una sola Pa-

lrbra, a la vez simple y pedante, el cu¡so de Lógica que aquí se

l)rcse Dtá es una propedéutica.Al retocarlo para su publicación he tenido Ia vista puesta en el

lcctor corriente y, principalmente, en la enseñanza secundaiia'

( icrtamente, hay capítulos que no responden al programa preparado

lJ¡rr^ las lecciones del I-iceo; incluso aquellos que son aPropiados

11 l

a esta tarea se encuent¡an, aquí y allá, ataviados del siobolismo ¡lo-

derno- Sin embargo, cada vez más, nuestros colegas se convenceo de

cuánto importa i¡t¡oducir la fotma y mane¡a de la nueva Lógica, siquie-ra por el hecho de la pobrgza implicada en insistir en ües o cuat¡o

maquinillas silogísticas que tienen por lo demás sus buenos quilatesde teliquia. Y vale la pena salir en ayuda de quienes siente¡r así Paraque la protesta suba a los cielos: No sólo resulta anacrónico el pe-

queño ptograma de Lógica de nuesttos liceos, sino que los tópicosde Lógica Moderna son más amplios, más formadores y rlás elegantes,al tiempo que muy apnopiados a la disciplina inrclectual de los jóvenes.

Mi preocupacióri por un oivel medio da razó¡ de la forma a ¡atosempírica a ratos ¡igurosa de estas lecciones. No son pata entendidos.Pero, hay tambié¡ u¡ principio implicado eo el modo de su presenta-

ción. El exceso de formulismo, fotoalismo y meticulosa tigurosidadno sólo me parece nocivo a la atmósfera que debe rodear uria verdade-

ra formación, sino que rápidamente esta¡emos, Para decirlo de manera

inofensiva, implicando demasiado sob¡e demasiadas cosas. Peto,además del tremendismo ridículo que quiere echat sobre dos o trespa¡rículas la tarea de sujetar el cielo, hay la grave acusación de

falsedad. Es, siempre, la adyertencia del espíritu al mero eoteddi-mieoto: "Hay más cosas ent¡e el cielo y la tierra de las que caben

en tu filosofía".Sob¡e el defecto de no inclui¡ es¡as páginas ¡odos los tópicos que

pudieran esperarse de una i¡t¡oducción, casi no es necesario dar expli-caciones. La introducción nada tiene que ve¡ con exigencias cuanti-tativas. Por lo demás, me hubiera sido fácil ag¡egar otros capituloselementales a los aquí incluídos; si no lo hice se debió a que nodebía excederme en uo p¡esupuesto que muy bien podía quedar al set-

vicio de otros que merecen más que yo. De todos modos, la suerte de

esta edicióo decidirá sob¡e uoa segunda posible.El lector, además, no debe olvidar que se trata aquí de lecciones

expuestas una o dos veces y ligeramente tetocadas. Hay nuñetososdefectos y el estilo litera¡io - un eufemismo - es pésimo. Las imper-

fecciones de composición, por se¡ escasa la experieocia de nuestrostipógrafos en esta especie de trabajo, deben perdonarse por adelantado.

En lo que me toca, tengo la disculpa de la urgencia de uo texto que

facilite la ta¡ea de mis alumnos, además del escaso tiempo que dejan

orras dedicaciooes para mí impostergables.Fioalmeote, unas lineas sob¡e las fuentes. Seria inaceptable en mi

caso pretender siquiera una sílaba de originalidad en estas materias.

112

Et lector informado percibirá de una oieada cuáles son los auto¡es

que he tenido a la vista. Al principiante, se los indico, recomen-

dándole i¡ después del ratamiento preliminar aqui exhibido directa-

mente a ellos. Son, en orden de importancia y sin meocionar alincompatable Aristóteles, los siguientes: David Hilbert, Jan Lu-

k¿siewicz y el notable maest¡o Williard Va¡ O¡man Quine. Las lec-

ciones sob¡e lógica tradicional ' pero, esPecialmente, nume¡osas

que por extensas y tespeculacivas' oo me atteví a incluir en eltexto - se inspi¡an e¡ la elabo¡ación excelente del profesor H. W. B.

Joseph,

13 1

I. LOGICA DE PROPOSICIONE'S

l. La lógica de proposiciones se ocuPa' para decirlo del modo más

directo posible, de las condiciones que tigeo el empleo de expresiones

co.o ..norr, ctrtr, ,.otr,.,ni-ni,t, t'si-eoto[cestt y ot¡as que más ade-

lante indica¡emos' Pa¡a señalar todo lo que importa a la lógica en el

caso de esta especie de exPresiones' basta lo siguieote: 1a' Tales Pa-

labras se aPlicao a P¡oPosiciones integralmente conside¡adas' 20' For-

..o "oo lo 'mate¡iat de las proposiciones a que se aPlican' nuevas

proposiciones. lq. Exigen, en olded a sel verdaderas' que las proposi-

.ion"r. qo" se aplican sean de un determinado valor lógico'

Ilustremos lo dicho con algunos ejemplos'

lo. Coosideremos la proposición construída con "ni-ni":Ni César es gtie go ni Platún emperudor'

En ptimer lugar' ootamos que "ni-ni" constituye un patrón que po-

demos iescribir así: "ni.'.ni"'", es decit, un Paróo biproposic ional'

f-as proposiciones que si¡ven de tmateriat eD nuestlo caso y que

It"n"n to" v"cíos del patión "rii"'ni"'" son "César es griego" y

"Platón es emperador". En seguodo lugar, la proposicióo formada a

partir de las dos últimas y mediante el patrón "oi"'ni"'" es urla P!o-

¡rosición verdadera Porque las PloPosiciones subordinadas que la coos-

tituyen son ambas falsas.

2o. (lonsidetemos la proposición consttuída con "si-entoncest':Si llaeue, entonces, todos se

'noiañ'(irmo en el caso anteÍio¡' se trata aquí de un patrón biptoposicional

r¡rc porlemos describir as-í: "si "eri¡ooces"'tt Las dos proposiciones

,ju" "rro"r,

coÍro 'materia' de la proposicióo de nuestro ejemplo son

i.¡.1,r..,.,, y "Todos se moian". La ptoposición de nuestro eiemplo,

cn ordcn " ser verdad..a, exige que no sea la primera proposicrón

vcr,lade¡a cuaodo la segunda es falsa, es decir' excluye o rechaza

l¡¡ combinación "verdadera-falsa" de sus proposiciones eleme¡tales'

15 l

3q. Finalmente, cooside¡emos la ploposición consttuida con "o":Voy al ciae o esctcbo tuísict'Se trata aquí tambié¡ de uD Patrótr biproposicional' Su forma sería:

".-.o..-" Las proposiciones a que en ouestro eiemplo se aPlica este

pátrón son "Voy al cine" y "Escucho música"' La proposición de

nuest o eiernplo (y otra cualquiera del mismo patrón) exige, en órden

a set verdadera, que siquiera u¡a de sus proPosiciones subo¡di¡adas

sea veldadera.En adelaote llamaremos a estas proposiciones subordinadas que

constituyen la tmateria' a que se aplican palabras como t'nott, "y"'"o", etc,, Pao7osicior,ales elerrrerrrdles o simPlemette clóasúds'

2. Para eI t¡atamiento de expresiones como ttno", tty", "o'', ttni-nitt,

etc., que ProPonemos aquí llamar conec'iuds itter?to|osiciontles 'se comienza por exPresarlas con ayuda de símbolos simples' La fun-

ción más importante de estos símbolos ¡eside eo elimiÍar toda la

diversidad lite¡aria en que puede exPresalse una misma conectiva'

Para dar un eiemPlo de esta diversidad coosideremos "no", "y" y

"si-entoncest t.

(a\ !aan no es PolíticoEs lzlso qte Judn sed Político!aan es cxalquiet cosa menos políticoEn mod.o alguno es Jran Político

(b) Pedro ud al cirre Y Jtlor, u4 al cine

Pedro y lran udn 4l cine

Ped¡o oa al cine, Jatr, tambi¿tl

! ttan ua al cine cofl Pedto.

(c)Si ¡aan se mete en política, Pe&o se enoia

Si Jtun se mete en políticd, entonces, Pedto se enoia

Tod¿ oez qte lran se mete en política Pedto se enoia

Bdstd qre J¿dn se merd en política pdrd qae Pedto se enoie

Los sí¡nbolos de que hablamos aquí se aplican, como es obvio,

a las ptoposiciones elementales iotegralmente consideradas. f)amos

a continuación la lista de estos signos.ls. "No" y sus equivalentes literarios será¡ simbolizados po¡ el

signo "-"; de manera que una cualquiera de las fo¡mas (a) seráexpresada del modo siguiente:

- (!aai es Político)

[16

Con tal simbolismo entendemos que la proposición dentto del

paréntesis se niega. Conviene indicar desde ya el sentido que damos

en este libro al patéotesis; como en matemáticas, el paréntesis se

reduce a indica¡ la parte que es sometida a una oPeración cualquiera

dent¡o de uo coDtexto. Sin embargo, Puesto que el signo "-" se ha

int¡oducido como uno que se aplica a ptoposiciorres, no habrá am-

bigüedacl si elimi¡ando el paréotesis escribimos simplementel

- J tt.ut es PolíticoEsta eliminación de un paréotesis es una instancia del ptincipio

siguiente, que aplicatemos sio cesar: Donde un signo oo es necesario'

se elimina.2!. En cuanto a "y" y sus equivalentes literatios, serán simboli-

zados pot el signo "'", es decir, por ün Punto' como es el caso de la

multipiicación eri maternáticas. Una cualquiera de las formas (b)

será, eotonces, exPre sada mediante:(Pedro aa al ciie) ' (luaa ua a! cine)

Y si, como en el caso de la negación, quedamos de acuerdo so_

bre la supetfluidad de los paréntesis puesto que el signo "''l' se apli-

ca a Proposiciofres, anotar€mos simplemente:

Petl¡o ua al cine ' luan ud ol citue

Mientras se úata de exPtesiones que compreúden proposiciones

elementales especificas, como "Pedro va al cine", "César es grie-

¡4o", etc., el signo "'" es oecesafio. Muy luego veleños que en un

nucvo grado de simbolización podemos plescindir de él'

lq. La palabta "o" y sus equivalentes literarios serán simboliza-

,los por el signo "v" De manera que una proposición como "Estudiogcometría o escucho música" se expresará así:

llsrudio geomehía v Lsctcho música

4a. "Ni-ni" será simbolizado Por "J"' Una proposición como "Ni(lésar es grieBo ni Platón emperador" se anotará:

(,¿slr es griego t Plat6n es em?eftdor

50. "Si-entonces", como las múItiples fórmulas litera¡ias equiva-

lcntes, se simplificará mediante ")"; de manera que uDa cualquiera

,lc las proposiciones (c) se expresatá del modo siguiente:

! at se fiete en Política ) Pedto se enoia

60. 'l'oclavia podríamos agregat la conectiva interproposicional bi-

¡¡¡rrin - tlescle luego, menos familiar _ que se expresa en fótmulas

It¡nro "si y solamente si". Las proPosiciones elementales se übican

ln cstc caso en ambos exttemos de la fórmula. Un eiemplo seria:

lil hotnbte es bueno si y solo si es sabio

I'.1 signo para simbolizar "si y solo si" y sus equivalentes esr¡ t'; la proposición dc nuestro eiemplo se anotará entonces:

Ij l

El bombre es bteno = El bonbre es sabio

iJ. "in"l..or",

señalaremos la incompatibilidad que se expresa or-

dinariameote mediante fórmulas "oto t'"" incompatible cotltt o ttson

iocompatibles" o "no son coniuntamente verdaderastt' etc Como

ejemPlo sea:

No es Posible repc4r y estar en la P¡ocesión';1

"ig"n;;;;

i; conectiva int erpropos ic ional "incompatible- coo"

es .!,,. Supoaiendo un suieto, a".igntdo por el nombre "Juan'1

ouestro eiemPlo quedaria así:

Jlafl rcpico | !xan est'í en la Toceston'

3. Ya sugerimos que hay otros gtados de simbolización además de

Zta"-n"""". aplica a las "on"t:-tiutt interptopos ic ionale s ' Nos re-

iJr*.1-".-.".. *gar a la simbolización de las proposiciones elemen-

tales. Pa¡a simbolizarlas, recuftiños a letras' de modo análogo a

como se hace en álgebra para simbolizar los númetos' Las letras

;:';; .. ";" "r,,on"'"- símbolos que estáB Por n.olt"t"t::^"-11?::i:

;:;;" ; ;;;.;' álgebra las teÍas 4' b' " so,' sis¡os que estan por

núme¡os. Símbolos como éstos traen coosigo una bueoa cantidad de

filosofía, y Pretenden que es posible el t¡atamiento de toda una mul-

titud de objetos sin que sea necesario especificarlos' El símbolo ¿'

en álgeb¡a, significa alternativamente tal o cual número; a (para

i..i.ii "."'*t":tórmula de aotiguo cuño) está por-J' pot 5'pot-100' "

.t-.""ta" l, -:,

100,"' son "it'"to" Et'u' d Por 3 en cuanlo número

es precisamente la tazón y el se¡tido de estar igualmenrc a pot 5'

iooi... -^"t.t"."

el sigoo p (v también u' ::-'.") t::6 Por "Platóa es

emoerador", está por "Tengá frío", por "Llueve"' etc'' ea cl¿a"to

:;";;;; ."r..rdo oli pot todas ellas alter'ativameote hace

í".ffi";;;;;;i"rul'u 'o¿""''"' decir' hablar de cada una de ellas

-.diante una exPresión s imPle '

Debe ser muy claro que signos como "p"' "1"' "t" "-difieren de

" ,. ', " ":.,. eo un sentido esencial Los últimos

::tJ::r::lh'""J "*'"' o"' u'"'"^' i" '""u" simple.e inequívoco

tal o cual dete¡minada cooectiva inrerproposic ional; los primeros'

"l ..tbr., no designan tal o cual proposición determinada sioo una

;;;;;,.; i i"',,; : :: ?:-.,'lllJJ ll::'T:',:;:,, :::,T.'':",.1:una multiplicidad es esencla ,, .¡-t, ..-.r,,

nada tiene esto que ver con slgnos como v 'Estamos ahora t" cot'dici=onts de--sirnbolizar completanrente' o

explicigar la forma lógica de expresiones como:

G)Ni ¿¿¿4r es gtiego xi Platón es e'i?erddor'

(h)Si llncuc ( lonces to¿t)s sc n"ian'

I lrl

(c\v oy al cine o esctcbo músíca.

(d\ !ma no es Político, etc,

Tomaodo, por ejemplo, (b) y simbolizando, según lo codvenido, laconectiva t'si... entonces..." mediante ")", se tiene:

Lhteue ) Todos se moianConsiderando, además, "Llueve" como un caso de "2" y "Todos

se mojant' como un caso de "g", podemos pasar enseguida a lasimbolizació¡ de (b) transformándola así en un caso del esqtemaproposicional:

p)sLos símbolos que nos proponerqos emplea¡ - símbolos de conexión

y de proposición - forman entonces lo que hemos no¡nbrado ya '¡es-quemas proposiciotrales". En los casos (a)-(d) tales esquemas se¡ían

respectivamerite los s iguieotes :

?!q; P)q; !"q; -!Ordinariamente la relación ent¡e un esquema proposicional y la

proposición correspondiente se establece yeodo desde el primero ala segunda. Así, por ejemplo, lo frecuente es decir que (a) es un casode ?!q; guÉ (b) es un caso de p)q; que (c) es un caso de pv4i que(d) es un caso de -p, etc. Alternativamente, se dice también que (a)es vra especificaciír de p{q; (b) una especificación de p)q; etc-

4. Hemos hablado de p¡oposiciooes elementales para designar aque-llas a que se aplican las cooectivas. En oposición a las proposi-ciones elem€ntales teriemos las Foposicioxes compuestrLs, qoe soiaquellas que resultan de aplicat tal o cual conectiva a determinadas

lroposiciones elementales. Más adelanre se hará muy evidente que lanntítesis aquí propuesla no es todo lo rigurosa que pudiera parecer,

¡rorque hay proposiciones compuestas cuyos elemeotos son también

¡roposiciones compuestas. Sin embargo, mucho facilitaremos lascosas si (no atendieodo a la cuestión de relatividad implicada) nosrl<cidimos a favo¡ de la distinción entre proposiciones elementalesy proposiciones compuestas. Es claro que las proposiciones elemerita-Its dan origen a esquemas proposicionales simples como: 2, 4,,..;lns proposiciones compuestas o complejas, por su parte, tienen comorillica simbólica esquemas proposiciooales de la fo¡ma int¡oducidan¡¡ís arriba. Por ejemplo: p)q, pvq,.."

f. l'in el parágrafo 1. hemos indicado que, en orden a ser verdaderas,lrrs ¡rroposiciones comlr¡estas exigen que sus proposiciones elementa-lcs posean un clcterminado valor. Así, por ejemplo, una proposición(()rrl)ucsta fornra¿la nrerliantc l¿ concctiva "y" cxige, en orden a ser

1e I

ve¡dadera, que sus dos ptoPosiciooes elementales seari verdaderas;

del mismo modo, la conectiva ttno" pata ser verdaderá exiSe que la

sola proposición elemental a que se aplica sea falsa.Lo dicho sin embatgo no debe tomalse al pié de la let¡a. La co-

nectiva "o", para ser verdadera, requiere que una al menos' y una

cualquiera, de las dos ptoposiciones elementales a que se apllca sea

verdadeta; pe.o nada dice de determinado sobre cual de estas propo-

siciones deba serlo. Asimismo, la conectiva ttsi-eotonces" no palece

exigir algo determinado sobre el valor de sus proposicio¡es elemen'

tales en o¡den a ser vetdadera sino en orde¡ a ser falsa. En efecto,

naturalmente entendemos la proposición:(a) Caaxdo lhteue todos se moian

parafraseándola de esta ma¡era: Es falso que llueva y que alguien

no se moje, es decir, es falso que la primera cláusula de la ptoposi-

ción compuesta (a) sea verdadera y la segunda falsa.Sin embargo, aúo cuando no haya urra determinación precisa de

los valores de las proposiciones elementales en coúespondencia coo

la verdad (o falsedad) de las proposiciooes comPues¡as a parti! de

ellas y mediante la aplicación de las palabras conectivas, coo todo

hay determinación. Y ello es así hasta el punto de poder nosotlos,

sin forzar exageradamente el empleo de las palabras cooectivas,

establecer uoa exacta coftespondencia entte los valo¡es de las P¡o-posicioaes elementales y los valores resPectivos de la ptoposición

compleja construída a partir de ellas y con ayuda de las diversas

conectivas.La correspondencia de que hablamos aquí puede eiernplificarse

tomando para ello una proposición cornpleja construida coa la palabra

conectiva "y". Sea, Por ejemPlo:(b\Voy dl cine y escacbo música

Una proposición es, cualquie¡a sea, verdadera y no falsa o lalsay no verdadera. En nuestro ejemplo' las P¡oposiciodes elementales

son "Voy al cine" y "Escucho música". Considerando los valores

- verdad y falsedad - que pueden poseer es(as ProPosiciones' cuat¡o

y nada más que cu¿rt¡o combinaciones son posibles: (1) Ambas son

verdaderas; (2) La primera es verdadera y la segunda falsa; (3) Laprimera es falsa y la segunda verdadera; (4) Ambas son falsas. Laproposición compuesta de nuestro ejemplo posee un valot bie¡ detel-

minado eo cada uno de los cuatto casos: Es verdadera en eI primero;

es falsa en los tres ¡estantes. Una cortespondencia de esta esPecie

es la que esperamos en todo caso de co¡rectiva interproposiciooal.La correspondencia, empero, no es una que Permica transilar

en ambos seotidos, es decit, dada una combinación de valores de

lzo

las proposiciones eleúentales se determioan con ello el valot de la

proposicióo conPleia; pero, dado el valo¡ de la proposición compleia

no se determina con ello, en general, el valo¡ de las proposiciones

clementales. Si conocemos el valot de las proposiciones "Voy al

cine" y t'Escucho oúsica" sabemos Precisamente el valor corresPo!-

rliente de la proposición "Voy al cine y escucho m"sica"' Si, por el

contrario sé que esta última ptoposicióo es falsa nada puedo deter-

minar sob¡e los valores de sus proposiciones elementales; puede su_

ceder: (1e) que sólo la primera proposición sea falsa; (20) que sólo la

scgunda lo sea; (10) que ambas proposiciones sean falsas' Lo único

q.r. pod".o. decir cuando una proposición comPuesta a Partir de "y,cs falsa es que alguna de sus ptoposiciones elementales lo es'

Otro tanto cabe obse¡var de las co¡ectivas binnias lestántes'

I'or ejemplo, si una ptoposicióo cor¡Puesta de la forma "si-e¡tonces".. f^i.., satlemos que su prime¡a cláusula es ve¡dadera mie¡tras la

orra es falsa; pero, si dicha proPosición es verdadera' ¡ada podemos

rleci¡ en fo¡ma dete¡oioada sobre el valor de sus cláusulas' Pueden

scr: (1!) ambas verdadetas; (2a) ambas falsas; (Jo) la primera falsa y

l,r segunda verdadera.

6. Sabemos que es proPio de la proposición ser verdade¡a o falsa'

Vrrdad y falsedad son los valores de la proposición' En adelante,

,rl referirnos ¿ estos valores erÍPleatemos respeciivameote las abre _

vi:¡turas "V" y '?". Tales abteviatu¡as' como también las palabras

"vc¡<ladero" y "falso", se emplearán iodistintamente aplicadas a

|roposiciones - simPles o complejas - y a esquemas Proposicionales:rro hay en ello peligro ninguno resPecto de todo nuestro desarrollo'

(lomo una ptoposición comPuesta consta' en genetal' de varias

¡,ro¡xrsiciones elementales debemos considerar toda una diversidad

,lc combinaciones posibles de valores de estas Ptoposiciooes en or-

,lcn rr averiguar exhaustivamente cómo va¡ía¡ los valores de la ptopo-

rit ióD compuesta cuando varian los valores de sus cláusulas' Si la

¡,ro¡rosición comPuesta consta de dos proposiciones elementales, las

,lisrinras combinaciooes Posibles de los valores de éstas son, como

l,c¡rros visto: VV, VF, FV, FF, Por eiemPlo, sea la proposición:

t,\\ \i I ttatu se ñete efl políticL' Pedro se enoid'

La ¡rimera Proposición elemental puede ser verdadera o falsa in_

,1, ¡'t rrrlicntemente de la segunda; y como ésta Puede a su vez se¡

vc¡,1¡<lcr:¡ o falsa, las combinaciones posibles son cuatro en total'Si, cn carnbio, las proposiciones elementales son tres' las combi-

rr,rr irrrrcs ¡rsibles son ocho: VVV, VVF' VFV, VFF' FVV' FVF'

21)

Más adelante estudiaremos el punto de manera fundada y general.

Por ahora, importa fijar la noción de combi¡aci6¡ enteodida como ca-

da uoa de las posibles asignaciooes diferentes de valor que damos a

las proposiciones elementales de una proposición compleja.

7. En el caso de un esquema ptoPosicional, nomb¡aremos sus Partescon la expresión "clórsul¿s del esqtema Ptopos icio¡ta!" . Adem.ás,

tales esquemas se dirán rnonopto?osicíotale s , biptoposicionale s,

triptoposicionales, ,.. según sean una, dos, ttes,... l^s lett^s p,q,r,, ,

que comprendeo.r Por ejemplo, seao los esquemas:(a) -?; (b) P)s (c) Pv4, (d) ¡=s(a) Es u¡ esquema moooproposiciooal cuya cláusula úoica es p,'

(b) es un esquema biproposicional cuyas cláusulas son p y l, etc.La nomenclatura ante¡ior se conserva en casos metros simples

como los que se anotan a cotrtinuación. Toda la diferencia resideen que las llamadas cláusulas no son ahora todo lo simple que eraoen los ejemplos anteriores,

(e\ -(Pq); (r\ (?d>P; G) QdbEl ejempto (e) es un esquema biproposicional cuya cláusula ú¡ica

es pq; (f) constituye uo esquema biproposicional cuyas cláusulas sonpq y p; etc-

Como se ve eo los eiemplos (e) - (g), la función de cláusula den-

tro de un esquema proposicional asumida por una expresión que esella misma un esquema proposicional se indica ence¡rando esta últimade¡t¡o de un paténtesis. La funciór¡ de un paréntesis es indicar i¡te-gralmente la expresión - más o menos compleja - a que se aplica laconectiva. Es fácil imaginar esquemas proposicionales que comp¡en-dan paréntesis dentro de pa¡éotesis. Por ejemplo:

(h) - ((P)q)\q); (í) ((!vqD¡)lq;".Los paréntesis determinan bien el esquema precisando l^ ttgtrpt-

ción de¡tto de é1. Pot ejemplo, (h) represenaa uo esquema biproposi-cional de una cláusula, ésta a su turno es ual esquema cooplejobiproposiciooal; la primera cláusula de este último es a su vez un

' Nótese que los apellidos "monoproposicional", "biproposicioral",etc., en el texto, se aplicao tambiéu a las conectivas y atetrdietrdo a suca¡ácte¡, En este sentido, aunque de mane¡a no aforturada, se dice que lanegación es una conectiva monoproposicioral y que todas las ¡escantes - alo que pa¡ece - son bip¡oposicronales. El equívoco aquí indicado se p¡odu-ce de modo explícito en una expresión esquemática como "¿)p',, la cualsegun el criterio del ptescnte pa¡ágtafo es monoproposicioaal en rarto que,atendiendo a su co¡ectiva, es biproposicional. El defec!o, empero, üoresulta grave si conside¡amos que la distinción no ciene impottancia en el

I 1,

esquema complejo biproposicional y de cláusulas simples, o mooo-proposic ionales, ^

s^bet, "P)q".

8. T¡ataremos aho¡a cada una de las v¿rias conectivas en Particular.Ernpezaremos por la tegacióx.

Todo lo que ¡esulte de esta conside¡ación, Para el caso de dicha

conectiva, aranca de este principio: La aegación de arrd Ptoposici6nretdade¡a es falsa; y la negaciót de urd ptoqosici6r lalsa es vet'dadera, Podemos pasar de aquí inmediataoeote al pincipio de ladoble negación. Ea efecto, aplicando lo dicho a¡te¡iolmente, que

puede considerarse como una definición de la negacióo, podemos

conclui¡: La negacióo de la oegación de una proposición ve¡daderaes verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsaes falsa.

Recurriendo al esquema de la negación y al ptiocipio que acaba-

mos de formular, podeoos defioir la negación del modo siguiente:

-pt -v=F; -F=VUna definición como ésta se leerá, más o meoos, así: La negación

(-p) es una conectiva monoptoposicional que es falsa cuando la cláu-sula a que se aplica es ve¡dadera y verdadera cuando la cláusula aqueseaplicaesfalsa.Lasdosexpresio¡es,,-V=F',forman, reunidas, la delinicióa simbilic¿ de la oegación.

Aplicando esta definición de negación a la doble negación, resul-(a:

-(-p): -(-v)=-F=v; -(-F)=-v=FIJI resultado, como se vió ya más atriba, muesüa la exacta coin-

ciclencia de los valores de los esquemas "P" V "-FP)". Conside¡a-,los desde el punto de aisro de s¿s talorcs, los esquemas '?" y"- ¡- p )" s otr, entonces, rigurosarnente idénticos.

(). La conectiva expresada mediante la palabra "y" ¡ecibe el nombreia conjaacíón. La coniunción es ya propiamenre conecriva, puestoquc comprende dos proposiciones elementales.

I-a conjunción se puede compendiar en este principioi Es uet-¡ltdetd crando srs dos ptoposicioaes conitgadas lo son, lalsa ent I caso conhcrio. Es claro a partir de esre principio que el orden del¿s clóusrlas denfio de uta colitnción en rddo ld alecta. "fal es ellrfincipio de c on¡nutariuidad ¿e la coojunción.

P¡ocediendo como en el caso de la negación, podemos definir,nrcdiz¡nte los sínbolos ya cooocidos, la coniunción de la manera si-¡u icnte:

I,,q: V.V=V; V.It=l:: F.V=f:; F'F=F211

El ptincipio de conmutatividad aludido más a¡riba se puede petcr-

bir claramente en esta definicióq simbólic¿ de la conjunción. En efec-

to, los únicos casos en que los valores de "P" y "4" son enre sídisce¡¡íbles dert¡o de la definición simbólica sot "V.F" y "F,V";pe¡o,.etr ambos casos, el valor del esquema proposicion^l "?,q" es

el mismo, a saber, F. Esto quiere decit que "p.q" y "q,P" son esque-

mas indisce¡nibles desde el punto de vista de sus valores, o, lo que

es lo misoo, rigurosamente idénticos. U¡ modo más simple de verésco co¡siste en adolar las defiqiciones ¡esPect¡vas:

p.q: V.V=V; V'F=F; F.V=F; F,F=Fq.p: l.l=lt;. F'V=F; V.F=F: F.P=F

Una de las cláusulas de rtna coniuoción puede ser uoa conjunción.El esquema proposicional, en este caso, - prescindiendo del punto

que deoota la cooluoción - seúa "(Pqh", No es difícil darse cuenta

de la ide¡tidad e¡te ',(Pqh" y "?(qt)". Considérese el eiemplocélebre:

V ine, ai, oe¡cíEs muy evidente que la agrupación no afecta al se¡tido de esta pro-

posición. "(Vioe, ví), vencí" y "Vine, (ví, vencí)" son ptoposi-ciones que en nada difieren cuaodo se conside¡an su vetdad o fal-sedad.* Un modo de da¡se cuedta de este principio de asociatíuidadde la conjunción mediante símbolos coosiste eo compara¡ las tablasdefinitorias de los dos esquemas "(Pq)¡" v "P(qt)". Ato¡emos:

@q)t: (VV)V=V; (VY )F'F;(Fv )V=F ; (FV )F=F ;

p(qt)t v(VVtsV; V (VFtsF;F (vV )=F; F(VF )=F;

(VF)v=F; (VF )F=F;(FF)V=F; (FF)F=FvFvtsF; v (FF tsF;F(FV)=F; F (FF )--F

La coniunción edtonces es conmutativa y asociativa lo que, porahota, erpresamos meÍamente dicieodo que los esquemas "p4" y"q!", de rma p¿r¡te, y los esquemas "(Pqh" V "P@r)", ¿e orra, soo- conside¡ados desde el punto de vista de sus valores- rigurosameo-te idéoticos.

' Es i¡teresanae ¡otar qü€ esta proposición, r¡o es una coniunción quepodamos t¡ata¡ como otra cualquiera qüe sea uÍ 6aso geruino de '¡pqr".No podemos conserva¡ el se¿tido de "Vine, vi, venci" cuatrdo la reemplaza-mos por "Vencí, viae, ví". La ¡azó¡ ¡eside e¡ u¡a secucncia tempo¡al qüe

es ese¡cial al sigailicado de la proposición compr¡esra y que ésta e:presamedia¡te el o¡den de las proposicioaes eleme¡tales. Ahora bietr, no habien-do co¡mutatividad estamos autorizados para ¡echazar "Vine, ví, vencí"como un caso genuino del esquema "pqr".

124

l0.Examinemos ahcri.a la alte¡¡acií¡, conectiva que se exPlesa ordina-

riamente mediante la palabra "o". Se ttata también aquí de üna

conectiva en el seDtido proPio del térmi¡o, Puesto que las proposi-

ciones elementales en el caso de la alternación sdnr por lo menos,

tl¡rs. Las cláusulas de u¡a alternacióo reciben el nombre de ¿lte¡nati-

l|na alterndci6r, es uerd.tdeÍa caando siqtieta ,!r4 de sus altetnd-

tiads es aerdddera; et cdso conttatio la alrer¡ació¡ es /a/sa' Resulta

,le aquí, inmediatamente (como en el caso de la coniuncióo) que elo¡¡len de las ulrerrtatiads ,to zÍecta 4 l4 dlrernoci6r,, es deci¡, que la

nltern ación es conmutatiYa.Considerando el eiemplo "Voy al cine o escucho música", lo di-

clro sob,re la altemación se teduce a esto: Si una cualquie¡a de las

nlternativas, Por eieñPlo' "Escucho música", es verdadera, la alter-

rr¡¡ción lo es asimismo; si añbas alte¡nativas son verdaderas, la al_

rc¡nación lo es a fottiori; finalme¡te si ninguna de las alternativas

c:r verdadera, la alternación es falsa' Además, en cuanto a la verdad

y lo falsedad, las proposiciones "Voy al cioe o escucho música" y

"l,lscucho música o voy al ciaet' sori coniuntañente verdade¡as o

,,trr juntamente falsas.(ion simbolos, la definición de la alternació¡ es la siguiente:

¡vq: VvV=V; VvF=V; FrV=V; FvF=F( i)mparaado l¿ defi¡ición simbólica de "?v4" con la de "qvp", es óe-

r ir, coo:qvlt V\V=V; FvV=V; VvF=V; F\F=F

rr' ¡crcibe i¡mediatamente la identidad való.ica o, como diremos eri

¡r¡l(l¡rntc, la eqniualencid de los esquemas "pvq" y "qvp", T^l es

l,r yu rnencionada propiedad cormutativa de la alte¡nación.

l'ls fácil da¡se cuerita de que la alternación posee asimismo la

I'rr'¡,icrlrd asociativa. Conside¡emos la proposición:ltoy al cine o escacbo otúsha o leo poesía,

Si convenimos en el catácter. biproposicional de "o" se¡á nece-,r,rrirr ¡grupar dentro de nuestra P¡oPosición pala destacar sus cláusu -

l,rr; vnlgómonos del paréotesis para ello. El ca¡ácte¡ de asociati-vl,l¡,1 rlc la alternación, como en el caso de la conjunción, consister¡¡ l¡r no importancia de la agrupación ¡especto de la verdad o lal¡lrc¡l¡¡tl ¡lc la proposición- Las PtoPosiciones "(Voy al cine o es-

, ur l¡r nrúsic¡¡) o leo poesía" y "Yoy al cine o (escucho música o

1.,' ¡,rrcsir)" son equivalentes. De una madera general, los esquemas

"ll,vq)vr" y "t¡v (qt¡)" son equivalentes, lo que puede mostrarse

,,,rr(' Íc hir(' cn cl cnso dc la coojuncióo.

25)

1l.Vate la pena distinguir la disyanciót de la alternación'.Un empleo

""^"r^rrr ¿,o de la palabra t'o" puede haceroos vacilar sob¡e. la des-

Irio"ia" qt. hemos hecho en el parágrafo anterior; se ttaca .del.

caso

.r, ^qrr" lu" dos cláusulas son verdadetas' Porque la palabra "o" sue-

i" .'*ft."."" de ma¡e¡a que la proposición compleja que se. Jorma coo

"it. "" f¡"^ cuando ambas cláusul¿s son falsas y también cuaodo

ambas cláusulas son veldadelas; es el sentido fuerte de "o" que

;;;";;;"t;". compleio verdadero acePta urla cláusula a condici6n

i. ,""h""* la otra. No vacilamos eo proPonel el térmioo "disyunción"

i*" l',. ".".",tva v el de "disyuotiva".para:"d" Tu d;.su; cláu-

"lrl"s.

Es evidente que, como la alte¡nación y la conjuoción' la dis-

t"""tót ." .or,rn,ra",i,'"' Su definición simbólica - si nos ponemos de

'"arr"ado "., usar el signo "w" pata expresar la disyuncióo - es la

siguiente:lrs¡ $ V\:V=F; VvF=V ; FarV=V ; FwF=F

De modo aoálogo a como se procedió en el caso de la coniunción'

se puede -oto".- 1" equivalencia de los esquemas proposicionales-,,¡p'*,q)*r"

y "!o¡(qwrl', es decir' probar el carácter asociativo de la

disYunción' ;e¡ciarLa propiedad asociativa vie¡e a Parar en esto: que es lne!

t" .g.iu"iao por la cual optemos' y que podemos así escribir' iodi-

f"r"i.rn",,,., ;'(pwq)wr" o "pu(qwr)"' De aquí se pasa natutalmente

a prescindir del paténtesis o signo de agrupación y a escribir' en

oo""rro au"o, "pvqwt"' De todo esto pudiera concluirse que "w"es r¡na cooectiYa que puede comPlicarse y de biproposicional trans-

formarse eo t¡iProPosicional' Ello sería, ciertamente' una mala con-

clusión. La foúnl "p\rqwt" indica que la agrupación es irtelevante'

no indica que no haYa agruPación'

Lo dicho se puede percibir con más facilidad en el caso de una

opetacióo aritmética asociativa como es la suma' La expresióo

,"¿1¡p+C)" es equivalente a la expresióo "(A+B)+C"; pero la opeta-

cióo debe deciditse por alguno de estos casos, es decir' por alguna

deterrninada agrupación. En una palabra, se suman' en el caso de ¿z¿

operación, dos números, no tres o más' La sugestión respecto a la

disyunción es, del mismo modo, que erlüan err disyunción-dos propo-

.i"ioo"t, no más. Así, por eiemplo, designando mediante 'f" un de-

terminado triáagulo, podemos formar la proposición:

7 es acutá¡gulo w T es rectángulo w T es obtusángulo

que ofrece la ipariencia de una disyunción con res cláusulas' Coo-

.idér""", empero, la operación intelectiva que efectuamos al ptopo-

nernos decidir sobre el valor de esta proposición' Es evidente que

¡rrocedemos situándonos en una Parte suya que conttaponemos al

ll26

rcsro cooside¡ado coúo Lt ott" paúe' Aun cuando COn menos Plausi-

;,';;"";,;.;" bacetse consideraciooes seoejantes sobre la coo-

irrnción y la alter¡ación'

l2.Sobre el ..o,, disyuotivo, sostiefien algunos que está melos erteri'

,li,lo de lo que se piensa; que, por eieoplo' eo ta Protst-c'r^oir--i1::-

,,,0,,.^-'*=y " *+y'; a que dan luga¡ dos números * e y' cual:-slurefar

.t 'iii'

.^nr."¿. oo t" di"yttltioo siqo alte¡oativo;- o- Por lo trenos

,,:,. ;" o-;;;;"" decidir si lo t" o oo puesto que el único oodo de

'l.cidirlo sería bacer la experieocia y pooer dos cláusulas .ttld?.d:;,u' cn la foroa requerida para saber en el te¡¡eoo misúo sl e' o

,,, -.n.t" o oo, !s decir, si es disyuntivo o altetnativo- Pe'o la

."¡criencia es imposible PÚesto que no disponemos e¡ absoluto qe

,los números r e / que hagao cooiuotameote verdade¡as las cláusulas

;';;'; ; "*ar"' s" ""goití" dt' aquí que cualesquiera fuerao dos

tu,,1í.rti.ion."' fo¡maloente iocompatibles' es decit',-que . en modo

l, r,1,.,.' ou"¿uo ser ambas oerdader"s (como' P' ei'' "E[ aire es io-

,':i:;;"';';;t aire e. azul") es indiferente el seotido que atribuva-

,,,,,- " l; conectiva "o" aplicada a ellas (p' ej' a su eopleo en la

,', ,,,,.,",.i¿"-;:t r ai¡e es incoloto o el aire es azul"); si es el sentido

l,t,.lr,_,ioo, nada puede ello afectar a cláusulas incompatibles, pot-

,;;. ;i;' '""t." produciráo la combinación W que es la sola en

,¡,,. .f """ disyuotivo y el alternativo difieten''l rrl considetación importa una notable disminucióo en la importan-

, ¡¡ ,lcl "o" disyuntivo, hasa reducirlo a casos de uo valor científico

,".tl,rtf,.orr,". E"t^ too"cti"" sería imprescindible sólo allí donde

i,i" ],."n".i.t.."" conectadas pteden ser coniuntamente verdadetas'

'... l,¡rzrrndo el "o" en este caso dicha posibilidad' El eiemplo que

o, r¡frccc es el del padre que ptoPone en disyuntiva la satisfacción

,1. ,Lrs (lcseos de su hiio: "Dulces o ca¡rusel"'

sir cmbargo, Parece haber uoa dimensión del "o" disyuntivo no

r,,,,n,,cirlo p-o. ."a^ doctrina' En efecto' si consideraoos que la

,,ln,ión cntre las proposiciones oo se oftece eo un museo para la

I,rr{ y rr¡rnspareote contemplación sino que investigamos y exPoneúos

l,,t rcsr¡lt¡rdos y muchas veces lo hacemos en terleno protrlemático y

,,,,,1,rso, convendtemos entooces en que oculrirá que tengamos que

r,,,-,,1n. uno telación en té¡mioos de disyuncióo' es decir' excluyen-

,1,, , x¡,licit;trncnte la verdad conjuota de dos proposiciooes' No sabe-

r.,,h .'¡ r'stc caso todo lo que se requiete para una representacióo

,,,,n¡,lclr rlc las cosas sino tan sólo que, err términos de lo conocido'

,1, t,. cxclrrirsc la verdad coniur¡ta y también la falsedad conjuota

,1, r¡¡rlr¡s pro¡osiciones aún cuando bien pudiera ocurrir que ambas

21 )

fue¡a¡ ve¡daderas o aobas falsas. Así taobiéo, al enseñar, estaúos

muchas veces nosotros seguros de que dos ptoposiciones oo pueden

cn absoluto ser ambas ve¡dadetas o ambas falsas; y sio embargo de-

beoos form.ula¡ su ¡elación en té¡minos erplícitos de disyunción

al discípulo, por la simple tazón de tro estat éste a la altu¡a de

toda la cuestió¡ y ao percibir la exclusióo mutua de las ProPosició-nes-

13. El "o" disyuntivo y el "o" alte¡nativo etaq dife¡enciados ve¡bal-

medte lror los latinos; para exPresar el ptimero empleabao la partí'cúl^ "4t", pata el segundo la palabra "uel", Et nuesua leogua

la mane¡a mis faoiliar de erpresar el "ott disyuntivo cotrsiste en

reiterarlo, cando a la P¡oPosiciód compleia la forma 1'o...o."" Ejem-

plos de esta forma de erpresat la disyuocióo los hay en abu¡d¿ocia

en los üscursos políticos: "O comunismo o democracia", "O demo-

cracia o totalitarismo", etc.Importa distiogui¡ el ¡'o" cooectivo del "o" sinonímico, es decir,

del "ot' que es ya abreviatura de la fórmula "o sea". Cua¡do se

dice: "En un üiángulo las median¿s o t¡ansversales de gnvedadconcrüreo a ua prmto comúntt, no se quiere deci¡: ttl-as mediaoas

conculre¡ a nn punto comúo o las traosve¡sales de gravedad concu-rreo a utr punto comúnttr- si¡o que las erpresiones ttmediaoatt y

"transve¡sal de gravedad" son diferentes denomioaciooes de lamisma línea.

l4-Inst¡uctivo ¡esultará en este pr¡nto conside¡ar la conerión propo-

siciooal erpresada e¡ la fo¡ma t'ni...ui...", que, Para dispone¡ de

un nombte, llamaremos aquí lalsedad coniura' Como ya hemos dicho,la proposicióo compuesta que asuúe esta forma es verdadera sola-metrte en el caso de ser falsas sus dos cláusulas. Podemos puesanotaa:

Plqt V,V=F; V+F=F; F+V=F; F'F=VBasta e¡ami¡¿¡ la definició¡ simbólica de "ptq" para estar de

acue¡do en la relación de este esquema y la c oniunción, expresadaoediaote el esquema "pq", Dicha relación puede desc¡ibirse b¡eve-mente así: "p+q" se comporta de la misma manera que "-p-g",Coosidérense, para ver que es así, las defi¡iciones de la negacióo yla conjunción. El efecto de la negación es inverti¡ los valores de laproposición elemental; de modo que '1-p-q" se

^rotar6r-P-q: FF=F; FV=F; VF=F; VV=V

Queda asi a la vista que los valores de los esquemas "pr4" y"-p-q" s. corresponden e¡actamente, es decir, que ambos esquemas

[28

son equivale¡tes- La importancia de una equivalencia como ésta

reside en la posibilidad que nos ofrece de eliminar ttntt co"ectiua'

erfuesándola cot ayuda ¿e otras ' En vez de recr¡t¡it a la definición

simbólica de rutina podtíamos - si fuese truesro P¡opósito reducir

el núme¡o de canectit¡ds trirrlitiats'defini¡ el esquema '?{4" me-

diante la fórmula siguiente i 'pr q=-p-s (Def)

El signo "(Def)" puede consideraise indicativo de la natu¡aleza

cle la rcl¿eión afiotada; se trata merameflte de rLlra definici6n tomitalque da al esquema '?ü4" et carácter de simple ab¡eviatu¡a de la

expresióo más comPleja "-P-t¡"'De pasada, anotemos aqui algunas indicaciooes terminológicas:

A todo complejo de la especie de "pt"q=-p-q" se da el ¡ombre de

defi¡ición (nomioal); a la primera Parte de tales coúPleios (etr este

caso, "ptq") se la denoñina delinido y a la segunda parte (en este

caso, "-p-q"), defhicíún. Hay pues un doble empleo de la palabta

"definición" que impotta tener Presente.Más oste¡sible todavía es la telación entre el esquema 'lp+4" y

la alternación. Basta una oie^¿,^ a su definición simbólica dada e¡primer lugar - def.inición que no es ¡ominal sioo de sentido o signifi'cdtiuo ' pata reconocer en ella un esquema equivale*e ^ "-(p'¡q)" '

En efecto, sabemos que la negación invierte el valor de la proposi-

ción elemeotal; la aegación de "Pvq", por consiguiente, consisti-rá en un esquema que invierte los valores de "lnq" ' Teodremos'a3í:

-(?rdt -fftVtsF; -(V...F)=p, -(FvV)=F: -(F\F)=VLos esquemas "p+q" y "-(pvq)" son, por lo tanto, equivalentes'

Podríamos, eotooces, oPtar Por defirk "prq" mediante la alte¡nación

y la negación de la siguiente manera:

Ptq=-(?vd (Def)

que es urra defi¡ición nominal tan apropiada como la que hemos dado

cn términos de negación y coniunción.Podemosdestacaraquílaequivalenciadelosesquemas

"-(pvq)" que, siendo equivalentes ^ "p{q"' debe¡ se¡lo entre sí'

l)icha equivalencia, pot lo demás, puede percibirse ditecta y rápida-

ne¡te' "-(pvq)" es verdadero solameqte cuatdo "pvq" es falsa,cs decir, cuando sus cláusulas so¡ ambas falsas. Asimismo, "-p-4"cs vetdadero solameote en el caso eo que las cláusulas de sus cláu-

sulas son ambas falsas.I-a relación eot¡e "p+q" y "-P-5" nos permite establecer sin

rn¿ís consideraciones la conmutatividad de "P!q"' En efecto, lacoDmutatividad de "P!q" significa precisamente la equivalencia de

los esquemas "prq" y "q!p" y tal equrvalencia a su vez significazel

pfecisameate la conocida equivalencia de ,,*p-q,' y ,,-S-p,,,Po¡ su pa¡re, la asociatividad de ..J" significaría la equivalencia.

de los esquemas ,,(prq)+/, y ..p+(qh)', es deci¡, de los esquemas"-(-?-q)-r" y "-p-I-q-t)". Para ve¡ que no existe tal equivalenciacodside¡emos la combinacióa ,,FFV', de las let¡as p,q,r y anote_rnos el valor cotrespondiente a ambos esquemas

- (- F-F ) -V= - (V V )F= F F= F*F- (-F-V )=V- (vF )=vv=vEs claro, entonces, que los esquemas ,,(p:rqh/'y ..p!(qIt),, no

son equivalentes, es decit, que la conectiva..J! do es asociativa.Es i¡st¡ucúvo conside¡a¡ el paso desde ,,(ptq)tt", por ejernplo, a

"-(-f-q)-r", Aplicando la definición a. ,,ptq,,, en- tér¡¡inos clenegación y conjunción, al esquema ,,(p{q){r" tenemos sucesivamen_te:

(pr q)rt =(-p-q) t tCP-q){r=-(-p-q)-/El proceso se ariene a la definición formalmente, coo prescinden_

cia de la cornplejidad de las cláusulas y progresando .rr"""iou*"nr.hasn la ¡educción final, Asimismo, la definición pudo aplicarse aun esqu,ema como ,,(pvq)r(-pr),,, resul¿ando de ello:

( p,¡ q ) ! (- p ) = - ( pv q ) _ (_ h )Si, en cambio, optáamos por aplicar la definición deminos de negacióa y alternación, ¡esultaría:

(?v q)r(*t)=-(py q)v (-l¡¡ ))

"prq', eD tét-

lJ.Nos hemos referido ya a la incompatibilidad, C¡ta¡do se dice quedos proposiciones son incompatibles significa ello simplemente queno pueden se¡ coniuntamente verdaderas. En verdad, arr^ndo

""gofn"o_tamos a pa¡d¡ de una incompatibilidad lo que ordinariamente hJcemoses rechazar una proposición. Disponemos de premisas ve¡dade¡as"del"s formas ,,?', y ,,plq";¿. éstas obtenemos una conclusión de laÍorma 't-q,', Ello es asi porque pa¡timos siempre de premisas verda_deras; de esta manera la ve¡dad del esquema ,p1a,, .*"t,rr. .t ;rrl.ocaso de falsedad, es decir, la combinación ,gi,,; al misrno tie_pola werdad del esquema .?,, determina precisame¡re la falsedad de"q',, es decir, determina como verdadero .L4,,,

Si, en cambio, es verdadero ,,plq', y ialro ,,p,, no sabríamosdecidir sobre ,.q". Esto qu.iere decir qo" "".po.o" lg,r.trn.rrra

la s . combioacione s ,,FV', y .,FF,, como cornbinaciones q_;. ;.".nve¡dadero el esquema .,?1q". Si¡ embargo, decir que la proposición

comPuesta que declara la incompatibilidad de sus ptoposicion.s .le_mentales es verdadera cuando é

I l0 stas son' ambas, falsas, parece for-

zar un poco el se[rido de la incompatibilidad, e.stamos habituadosa hablar significativamente de incornpatibilidad suponiendo que unarlc las cláusulas del esguema "plq" .t verdadela.

Con todo, tenieodo presente las consideraciones que. hicimos encl patágrafo 5 y las ventajas que importan para un álculo de propo-siciones, definimos la incompatibilidad de la manera siguiente:

plq¡ vlv=F; vlF=v; Flv=v; FIF=VComo en el caso de la falsedad - cotrjunta, la defi¡ición simbólica

de la incompatibilidad pone a la visra sus ¡elaciones con la nega-ción, la coniunción y la alteroació¡ - Coosideremos, como sugierenuestra definición de iocompatibilidad, el esquema .'-pv-r'',. Te-niendo presente que la negación invierte los valores, la definición dela alteroación nos permite escribir:

-pv-q: FvF=F; FVV=V; VaF=V; V.¡V=VVemos así que hay equivalencia entre los esquemas ,,plq" y

"-Po-7", Como en el caso de la falsedad conexa, podemos proponetoqui la reducción de "?lq" a negacióo y alternación mediante la de-finición nomi¡al:

Plq=-P\- s (Def)mediante tal definición "plq" podria co¡rsiderarse como una simpleabreviatu¡a del esquema más compleio ,, -fu-q".

La relación de "?lq" con la conjunción está más a la vista:"plq" ." un esquema equivaleote a ,,-@q),'; la tabla de este úhimoes, eo efecto:

-(pq)t -(vv)=F; -(vFEv; -(Fv)=v. -(FF)=vSi quisiéramos pues eliminar la incompatibilidad en fayo¡ de la

conjunción y la negacióo, anotaríamosi

Plq=-(Pq) (Def)No es dificil percibir la analogía entre el t¡atamiento de la false-

dad-conjunta y la incompatibilidad en rérminos de negación, con-junción y alternación; la analogia es perfecta con la sola diferenciade que la conjunción y la alte¡naciór¡ intetcambiao sus papeles,lista analogía pasa de aquí: la equivalencia de cada uno de los es-quemas "-pv-q" y "-@ ,' con el esquema ,,plq" asegva la equi-valencia de los dos primeros. La ¡elación de que hablamos aquí que-rla resumida y a la vista en las dos series de esquemas equivalentes(lue se ponen a continuación:(a) p{q; -p-q; -(pvq)(b\ l)lq; -pv*p; -Qq)

I-as equivalencias eotre "-(pvq)" y ,,-p-q',, y eoue ,,-(pq)" y"-F-q" se¡án de mucha urilidad más adela¡te. Se las conoce concl oombre Lle "leyes de De Motgan",

1l ]

Las consideraciones de conmutatividad y no asociatividad r¡uepuedan hacerse sobre la iacompatibilidad quedan al cuidado detlecto¡.

16.La conectiva biproposicional que se exptesa en la forma ..si..,entonces..." recibe el noobre de condicional_ Así como en el casode la iocompatibilidad se prefiere decir que ésta excltye la combina-cióo. "VV" de sus cláusulas, así también el condicional se inte¡-preta de preferencia como la co¡ectiva que excluye la conbioación'9F" d,e sus cláusulas, Las combinaciones restanres i¡cl¡ida ,,FV",se supone que hacen verdadero el condicional. La definición de és-te, eotonces, es la siguiente:

p)qt V)V=V; V)F=F; IDV=V; F)F=VEl condicio¡al es una conectiva para la cual importa el orden de

las cláusulas, es decü, es utra cooectiva ¡o-conm¡¡tativa. La pri-mera cláusula de la proposició¡ condicional recibe el nombre deantecedente; la seguoda, el de cotsec¡¿e¿te, Se las designa también,poniéndolas en relaci6a, con el nomb¡e común de condicioaes: elantecedenre es u¡a co¡diciór s{kieate con relación at consecuente;éste último, v¡a cotdició¡ aecesattid con relación al antecede¡te.Esta terminología pueda resultar menos exótica si la referimos a uneiemplo; sea la ptoposición "Si te arrepientes, mereces perdón'lArrepeotirse es suficiente para Írelecer perdóa; merecer perdóo esnecesario desde que uno se arrepiente.t

Al i¡terp¡etar el condicional como la conectiva que solo excluyela combinació¡ 'AF" d,e sus cláusulas estamos aludiendo implíci-tamente a la relación del condicional con la coniunción y la negación,El esquema equivaleote 4 ..?>q,' sería, evideotemente, ,,-(p-q)',,En efecto, la combinación "VF" es la única que hace verdade¡o elesquema "p-q" y, por lo tanto, la sola que hace falso el esquema""-(p-q)". Esto resulta inoediatameote, asimismo, de la definiciónde negación y conjunción:

-(?-q): -(VF)=V; -(vv)=F; -(FF)=v; -(Fv)-v¡ Una m¿ne¡a fácil de fijar en la memoria las dife¡e¡tes fuociones de lascláusulas de un cordicional poilría ptopoaerse mediante la a¡écdota querefiere Lae¡cio sobre Platón y Di6geoes: Habiendo vis.o Platón a Diógeneslavando unas hierbas, díiole: "Si si¡vieras a Diooisio, no lava¡as hie¡bas";a lo cual contestó Diósenes: "Si lav¿ras hierbas, no si¡vie¡as a Dio¡isio".Cietto que hay una difere:rcia €nt¡e es.as proposiciones de fo¡ma.,Si.,.enton-ces" y el cordicio¡al que estudiamos, dife¡encia que se erp.esa en lasformas verbales; pero, no es difícil ver un fondo de condicionalidad e¡ elsentido nuest¡o. Bastaria pala datse cuenta de ello con poúer: Si slves aDionisio, no lavas hie¡bas, erc.

ltz

Luego, podemos también prescindir de la cooectiva condicional,expresándola con ayuda de la negación y la conjuoción mediante ladefioición nominal:

p)q=-(p-q) (Def)

El condicional puede ponerse tarnbién e¡ relacióo con la alterna-cióo y la negación. La alternacióo, como el condiciooal, es falsa sóloen un caso; se tratará entotrces de ayudarse con la negacióo de

manera que la alteroación así consttuída sea falsa eú el caso de lacombinación las letras, es decir, en e[ mismo y único caso

er que es falso el condicional, Tal esquema es, evidentemente,

-pvq: -VYV=V; -VYF=F; =pal/=lt; -FvF=VPodemos entonces opta¡ por detinir "p)q" mediaote:

P)s=-Pvs (Def)

IIemos interpretado el condicional como la conectiva que produce

una proposición compleja falsa solamente eri el caso de la combina-

ci6¡ "VF" de sus cláusulas. Esta es la llamada intet4aetaciínnttetitl del condicional que se opooe ^ l^ interptetaciín formal'l.:l contraste entre interpretación formal e interpretación material pue_

¡lc rlescribirse así: La ioterpretación fo¡mal supone una relacióncnlrc las cláusulas de manera tal que la ve¡dad del antecedente in _

llica (es decir, tiene como consect¿encia necesaia) la verdad delc()nsecueote; la interpretación material, en cambio, no supone ¡elaciór¡alguna: basca con que el caso "VF" sea excluído para que el condi-cional sea genuino. Vale la peoa insistir en esta distinción; lo ha-remos mediante ejemplos. Considérense las siguientes proposicionescomplejas de forma "si...entonces... "(a) Si luan y Pedro oan al cine, entofices, Pedro ua al cine,(t:\ Si Pldtdn es emperadot, eatonces, Cásar es filísofo,(c) Si Plat6n es ernperddot, entonces, Césat es gaetero,(d).tl 6 es diuisible pot 7, entonces, 12 es diuisible por 7,

f)esde el punto de vista de la interpretación material del condi-cional, todos estos eiemplos 1o soo de proposiciones condicionales;ademfs, puesto que la combinación "VF" ¡o se produce en ningunode ellos, son lodos condicionales verdaderos. Condicional falso,para esta interpretación, sería por ejemplo:

(e).ll J es nímero ptimo, erúonces, Plat6n es emletddot,

l:! I

y la r^z6n de ello es, simplemente, que eo este ejemplo y de hechoel antecedente es verdadero y el consecuedte falso.

Para la interpretación fotmal del condicional, en cambio, no todoslps ejemplos (a)-(e) serían condiciooales. I-o seríao solamente aque-

llos en que el antecedente apaaece como una tatz6n del consecuente,es decir, los ejemplos (a) v (d). En el caso de un condicional falso,la ioterpretación formal espera que haya roa'apariencía'de co¡exióonecesa¡ia entre el antecedente y el consecuente, 'apariencia' que,una vez descubierta, nos autorizaria a techazat el condicional comofalso. Iijernplo de co¡dicional falso pata la interpretación formalpodría ser:(f\ Si el bonbe es sdbio, entonces, es bueno,puesto que 1o que se preteade en este e¡runciado es que hay uoa co-nexión necesaria entre sabiduría y bondad. Rechazar (f) sig¡ificaríaentonces rechazar que haya conexión necesaria entre sus cláusulas,es decir, rechazar una doct¡ina al fin de cuentas y pretender que haysabios (o puede haberlos) que no son buenos. De todos modos laconexióo necesaria entre las cláusulas de (f) es plausible; y lainterpretación formal espera siquiera esta plausibilidad para hablarde condicional falso. En el ejempto (e) en cambio, el lógico que seatiere a la interpretación formal del condicional no sólo ¡echazaríaque se tra¡e de un condicional ve¡dadero sino que rechazaría tambié¡consideratlo como un condicional.

Entre la interpretación formal y la interpretación material delcondicional media todo un mundo de filosofía. Dejando el problemade lado y areniéndooos al intento de un cálculo proposiciooal, de-bemos reconoce¡ que el sentido material de las cooexiones de laforrna "si...entonces..." tiene la ventaja de comprender todas lascombinaciones posibles de las cláusulas y rodas las cláusulasposibles; de manera que rarnbien comptende den*o de sí como propo-siciones condicionales aquellas que sólo lo son pa¡a la interpreta-ción formal.

17.La contraposición entre la interpretación formal e interpretaciónmaterial vale no sólo en el caso del condicional, sioo en el de lasrestantes conectivas biproposicionales. Se puede decit que la ideade un cálculo proposicional rae consigo el tratamiento maeerial delas conectivas, puesto que importa aqui definirlas en otden a podercalcular en todo caso posibte; y todo caso posible no siemp¡e com-

¡orrará un:r conexión formal cle las cláusulas. Se verá mejor todo estoconsirlcrLrndo ll gtrnos e jem¡rlos.(¡\ I'c¡lro r 4l ci,te y ¿os lot ¿os s() cuatto.

| .r1

(1,\ Ped¡o ud 4l cine y I attn oa al cine.

k\ Pldtó¡t es lil6solo o bay uida en Mdrte'

Á\ Ptar6n es lilósolo o rro bty uerdodes bistó¡icas'lil ernpleo que hacemos d. "y" y de "o" espera de las cláusulas

.onectadas un mínimo de relación que no aParece en los ejemplos(,r) y (c); este ñínimo puede identificarse como un dominio de co¡'jrrnción o de alternación, idea que se pone a la vista en los ejemplos(1,) y (d). Una conexión er¡tte Proposiciooes tan disPares como "Pedrova al cine" y ttDos pot dos son cuatlo" no puede en modo alguoo

*cr 'formal'; coo dos Proposiciooes como éstas no cabe otta cosa

r¡r¡c, en un feble seotido, merame¡rte allegarlas entae sí; ahora bien'

<.ste mero 'allegar' indica [o característico de una conexión ioter-

l)roposicional mate¡ial. Las ideas más importantes del cálcuto lógico

son propicias a esta 'externalidad mutua' de las proposiciones''l< ¡rlremos muchas ocasiones de ver que ello es así.

tft.hnporta insistir en las nociones de co¡dición n€cesaria y condición

suficiente cuya distioción debe grabarse cuidadosamente en la memo-

ri¡r. Fll descuido de esta distinción da origen a las falacias llamadas

"frrlacia del aotecedente" y "falacia del consecue¡te". Un coodi-

ci,rrral representa una cooexiólr orienlada que no Podemos recor¡er

,lc la nisma madera en sus dos sentidos. Dicho en P¡imera ap¡oxima-

.irín, cuando nos movemos desde el antecedetrte hacia el co¡secueÍtel¡rccmos un camino positivo o constructivo; pero, cuando por el con-

rrlrio, lo hacemos desde el corisecueote hacia el antecedente, nr¡es-

Í¡r camino es negativo o destructivo. En otros términos, suPoniendo

rlur nuestra conexión co¡dicioaal es legítima, toda vez que su ante-

¡c¡lt¡te es verdade¡o 1o es asimismo su consecuente; esto es lo que

sc significa al decir que el antecedeote es condició¡ suficiente /elr'r,nsccuente, es decir, que basta o es suficie¡te la verdad del ante'

' ¡(lc¡te para que el corisecuente sea verdadero. Sin embargo cuando elnrrtrccrlente es falso no tenemos camirio que reco¡rer; el consecuente

¡r vcr<lzrrlero cuando lo es el antecededte, pero nada determi¡ado

rrrr¡,lir-l cl condicional ace¡ca del consecueote cuando el aotecedeote

¡c l¡rlso. I)recisamente, tconcluir' que el consecuente es falso en

r,r¡rir rlc la fatsedad del antecedente es incuftir en la "falacia del

rrrr.cc(lcnte". Considérese el eiemplo:\l Il erc, enlon(es' todos se moit,t'Si lrr proposición "I"lueve" es verdadera, combinándola con el

r ¡r¡¡¡li¡ i¡rn¡l ¿rrrtcrior obtenemos la verdad de la ptoposición "Todosrr urjrrn". I)cro, la falsedad rle la proposición "l-lueve" no permite

irrlcrir - r:or¡rbi¡rarlrr c<¡n nr¡cstro co¡dicional - la falsedad de la pro-

35 I

posición "Todos se mojan"; todos pueden moiarse aunque no llueya.Asimismo, suponiendo que la conexión condicional sea verdadera,

toda vez que su consecuente es falso lo es asimismo su antecedeote;esto es lo que se significa al decir que el consecuente es condició¡necesaria del antecedente, es decir, que si el consecue¡rte no esverdadero, no puede serlo el antecedeúte. Por el conuatio, cuando elconsecuedte es verdade¡o no tenemos camino que recorer hacia elantecedente; el antecedente es falso cuando lo es el consecuente,

Peio nada determinado implica el condicio¡al sobre el antecedenrecuando el consecueote es verdade¡o, Volviendo a nuestro eiemplo, sila proposición "Todos se moian" es falsa y el condicional "Si llue-ve, entonces, todos se moian" es veidadero, entonces la proposi-ción "Llueve" es falsa. Pero la ve¡dad de la proposición "Todosse mojan" - combinada con la verdad de nuestro condicional - noperñite infeiir la verdad de la proposición "Llueve". Proceder así,sería incurrir en la t'falacia del consecuente"; pues, todos puedenmoia¡se sin que intervenga en ello para nada la lluvia,

La correcta distioción entre condicióo necesaria y condición su-ficiente es previa a la dialécrica con implicaciones, Anre un co¡di-cional, podemos estar interesados o en el condicional enteto o ensus cláusulas. Si lo primero, para afi¡marlo debemos mosttar que lasupuesta verdad del aotecedente exige que el consecuente sea ver-dadero; para desrruirlo, perderíamos el riempo destruyendo el camirioque ha llevado del antecedente al co¡secuente, porque así mostra-ríamos lo int¡ansitable de un camino, pero puede haber otros; lasola mariela de destruir un condiciooal es most¡a¡ que su aotecedentees verdadero y su consecuente falso. Si estamos inte¡esados en lascláusulas del condicional, de partida lo consideramos verdadero.En cuanto a las. cláusulas, ptrede inte¡esaríos su ve¡dad o su fal-sedad. Si nos interesa la verdad del antecedente, el condicional porsí mismo de nada nos sirve, porque para flegar al anrecedente de-bemos partir desde el coosecuente y éste sólo nos ayuda en la ptuebade la falsedad del antecedente. Si nos interesa la verdad del conse-cuente, el condicional se presta para ello: debemos escablecer laverdad del aritecedente. Si es ta falsedad del antecedente lo que nosinteresa, el condicional se plesta para ello: basta con establecet lafalsedad de su consecuente. Finalmente, si queremos concluir [afalsedad del consecuente, el condicional por sí mismo de ¡ada nossirve; porque en tal caso debemos partir del antecedente y éste sólonos ayuda en la prueba de Ia verdad del consecuente.

Veamos algunos ejemplos célebres. Desde luego, me rernito a unainterpretación determinada de cie¡tos argumentos de Parménides

It6

l' Zcrr¡1n. Que efectivamente hayan argumeatado así es una cuestión

l,isróric:r que no puedo yo dilucidar Pero que en nada afecta a mi tema'

Ilcuno en un solo discurso _ acomodando sus Paltes ñás o menos

,r¡l,itrariame¡te a la ejemplificación que tengo en vista - toda una

.r'rit tlc fragmentos del famoso Poema de Parménides:

"...7e ¡lité las dos únicas L)ías de inuesti?dciín co¡cebibles;lt una que el ser es y no Puede no set;ld oha qte el spt¡to es y que es necesario que no sed,

No es ltosihle conoce:¡ ni cx?esar el flo'ser.I:s L,ccsotio rlecir J' lettsnr t1ae el ser es

l,u(s cs losiLll qre íl sen, ttero el no'se¡ no es posible.

l ),<¡ te alejo rle eslo Í)thüerc ttía ¡]e intesriSación.I d , ist¡td cos¿t es el ltersat y la etistencid (de lo pensado).

I'otque sin la existe cid, en lo exyesado no lodrías e cotúrdr el

14 ]sdniento,() (¿a, !)ues, n solo cclmino: el se¡ es".V.rnros a reel¿rborar el cliscurso con¡e¡ido en este pá¡rafo con

rr.rrrs I l¿¡ prueba de estas dos tesis: I-,1 ser es; el no-se! no es'I rr ¡,rinrcr lugnr, hay una dicotomía en el problema enunciado en Iai,,rrrrul.r "dos únicas vías de investigación concebib!es": cl ser

¡¡,, csirri:¡mente es o el ser necesatianente no es. Que el ser es,

,ri.r¡ll¡c no es nccesa¡io que sea; o que el ser no es, lrunque no es

rr, , r'srrrio que no sea, son alternativas que no se consi.lettn. El

'lrrirrrso quc citirmos conprende toda una serie de atgu¡ncntos (algu-

1,,' irn¡'licitos). I'in princr lugar, señalemos dos princi¡rios: IIay una

,lrryrrrriva cerrarla en[re ser y oo-ser; y hay la equivalencia entrc.,i

' y l)(ns¿rr,lrr,l'rccnros con et argumento en que se consttuye la inrplicación

" ,r ¡,i< rrso tn ¡lgo, cllo es el se¡":tl\ \¡ l,i(nso p¡ 4lg¡1, ell<t es el ser o el lto'set (¡-rirrer princi¡io)

Nt' rs I'o.:ihle 1e s.0 el no-set,

\i li(nso en dlgo, ello es el set,I ¡¡.r vr:z obtcnirla la implicación "Si pienso en :rlgo ello es el ser"

' ,'r'rl'ir¡indoll con su antecedente verdadcto "Pienso cn algo" desligo,Ir¡¡rrsctr¡cncc:t'\ \i l¡i(ttso eD dlgo, ello es el se¡

I'ir D! t' (t¡ ílgo

l'¡.'tt, <,1 s(tI ,r¡ .',', .r ¡'rrrrir rlcl sc1.¡rrn,lo ¡rrinci¡io

¡ , r,r'rrrrr( rrt() - obt<ngo cl con,licional "Si\ , ,'r!\rr lly(' t l sigrricntc :rrgutrrcnto:

- i¡lcntirl:rd rlc cxistcncirpienso eo,rlgo cl Io cxistc

v

i- I

(3\ Si Pienso en algo, ello existePienso el set

Íil ser etíisle; o el se¡ es,

Finalmeote, ttEl no-ser no estt se obtiene mediante el siguienteargumento destructivo:(4\ Si el no-set es, Pienso el no-set

No es losible persat el no-ser

I:,1 ro'set no es.I-os ¡rincipios, eDtooces, parecen set los cuatro siguieotes:

o ser o no-ser; la existeocia y el pensar son lo mismo; no es posiblepelsar el no-ser; pienso. El te¡ce¡o se puede deduci¡ de los dos

¡rinreros, porque si pienso el no-ser, éste de acuerdo al segundo

f¡incifio eriste o es; luego, en tal supuesto, se destruiría la dis-ylürtivir que constituye el ¡rimer ¡rincipio.

Veanros todavía cómo obtiene Parménicles la eternidad del ser alartir de Ios ¡rinci¡rios establecidos:

"Nunca ba sido ni seti.,,¿0ué o get bascatías Pdrd ¿l?,.,No te tleiaré decir ni pensn q e Ptorengd cle un ro-setPotq e no es posible decir ni lensar (lue el set rlo se,t1' si tth¡iese del ro-ser ¿Qué necesidad le habría lotzado a nacetantes o deslués?Ilay aquí dos argumeotos:

(l).li e/ se¡ se o gina en ofto, éste, es el no-setSi se otigi.na e . el fio-ser, el se¡ es el no-setIls lalso que el ser sea en el no-set

I:,I set ¡o se otigina en el no-set; o el ser no liene otigenFio este argurnento el co¡secuen[e de la primera premisa es el

antecedente de la segunda; combin^ndo los dos resulta de ello elcondicional "Si el se¡ se origina en otro, e[ ser es el no-sertt ycomo estarnos en situación de negar el consecuente de este último,podenros rechazar su antecedente. El argumento es, entonces, des-

tructivo, Iin cuan¡o al segundo argumento, es el siguiente, tambiéodesftuctivo.(2\ Si el set se oúgina en el no-set ro bay necesidad en que sea

Po¿tíd e tonces se¡ o no"setPeto el se¡, ,teces¿tíañe te, es

[. ego, no se otigina en el no-se¡l):rsenos ahora, a !os igunlmente

<1rrc atucaba l;r pluralirlld clc lo real.

| ¡tl

célebres ar¡¡urncntos de Zenónf)c la cscuela pit¿górica proce-

,lía el principio de los elementos monádicos como sustancia de todo

lo existente. Las móoadas eran' ^ 7a vez' extensas e i¡divisibles''l al era la hipótesis pitagórica de la pluralidad' Pa¡ménides enseñaba

l¿¡ unidad de lo existente, Zeo6¡ la ¡o-e¡istencia de la pluralidad'

Aparentemente - dice Platón - enseñaba cosas diferentes, pero era

cn vetdad lo mismo. El atgumento que se ¡ePartían e¡tre los dos

pucde consideratse como un silogismo disyuntivo:

l,o etisrenciL es ,1fi4 o kt ex;srenciL es a4ri4

La exisrenciL es ttndP drm6nide s

Ld eristencia no es uaña.

La exisrencid es t¿nd o la exisleñcid es t)otia

La existencitt fio es aarid Zenón

La exisrencid es ,hzo'

Veamos como atgumentaba Ze¡6¡. E¡ primer lugar, anticiPemos

,¡uc "las premisas de la atgumentación zeno¡iana deben buscarse en

l¡ teoria parmenídea y en Proposiciones como éstas: lo que existe

vcrdaderameote debe se( pensable sio cont¡adicción' y lo que se

¡ricnsa debe corresponder a algo existente (coexteosióo de pensa_

,niento y existencia). El no-ente, el vacío, la nada, no puedeo existir"(llrrfini, 'Il "Método" di A¡chinide.'.')' En cuanto a los argumentos'

f¡rmo un todo a mi manera, siguiendo la exposición de Rufini:Los litdgíticos dicen qte la magnitud geométtict co'tstd de ele'

, errtos indioisibles Y exrensosI'eto ex tal c¿so dicba magrrirúd seúa ¿ la aez gtande y pequeña,

rula e infinita.I'orqae siendo los elene¡los indiuisibles no

'iette" partes; por

Ia to no rieierr n Lgniru¿,

Agregar la móaada no agtanda; ni quitarla disminaye'

t'ot tnnto, la magnitrd t'otmada de elementos indiuisibles es nula'

lis, l,ttes, ,tecesa o qte los elementos de una magnittd sensible

nrgan nagaitxd.ti los ettes constat de urra plañIid*d de mónad¿s debe babet tni t¡ lt tra lo enhe ésrasl'tto, esre inlerualo tuo p ede ser el tcío't I ¡¡acío es el no'set y el no set no es.

l'rtr t.lrlo, esre inrer¿)olo debe conptetdet ,¿n eleñen'o

l' Ios inlett¡dlos errtre este elemertto y los exbemos, 'Ltubién

an

\' ¡sí ¡t¡lr latte, htde linidanenteLI ntt¡ll¡titrd, QtttoncLs, < o sldrí.' tle inlinilos ele¡nenlos qte serícln

3ql

e xtensos.Sería paes inlinita en magnitad,Por tdnto, lo exístenle si laera plarcl y lotma¿o de elementosin¡liuísibles y exreasos, sería ulo e inlinito,Es deci¡, cont¡adict<trio.Peto lo con radictotio es í.mpensable,Laego la rcolidad seúa impensable,Luego la leoliddd serío el rzo-ser,Peto la ¡ealidad esPor tarrto debemos rcchdzat Ia bipútesis de la plaicirlad de lorcnl.Lo ¡eal no es pltal.Llego es uo.Potqae es tno o es plural.

Si, ahora, separamos los razonamientos que constituyen esta largacadena, tendríamos algo como esto:(l\ Si la existeacia es phna| entonces, es inpansable

La exisl.encia no es impeasable

Lrego no es plarul (conclusión ptircipal, mediante urr argumentocondicional dest¡uctivo)

(2) Le existencia es plwal o xnaLa existencia no es plnalLa existetlcid es ¿r, ¿ (conclusión coordinada mediante un argumen-to disyunrivo desructivo)En cuaoro a la premisa condicional del argumento (l), se puede

construi¡ mediante la siguiente cadena condicional:(J\Si la exislencia es fltal, enrorrces, srs elemenlos debe¡ se¡

extensos y sin paúes (principio sustentado por Ia escuela pi_tagórica)Si algo es o ld uez extenso ! siri partes, ello es inpensable (ptitr-cipio sustenrado pot Zenón).

Si la exisrencid es plutal, entonces, es impensable.En cuanto al segundo co¡dicional de este nuevo argumerto, puede

obtenerse así: soble la base de principios parmenídicos se coosr¡uyeel siguiente condicional:(4'l Si algo es exrerrso, comptende ello partes extensas

Potqae si s/,s pdúes ,o lsela, etatensas, setían el no-set (patné_nides )Y si no comptendiera partes no setíd exterlso.f)e aquí resulta:

lto

6\ Si al{o es d Id uez extenso y sín ?drtes ello es ín¡osible (con-clusión que se basa en eI sentido del condjcional de] argu¡¡ento(4)]Si algo es imposible ello es i¡npensable, _Si algo es o 1.1 lez exterlso y sir, paltes ello es inpensaúle.lis decir, (J) suministra la segunda premisa del argunrento (3).()tros argumentos más atrayentes son:Prime¡a serie:

((,\ Si las mónadas soa extens.ts son diuisiblesSi dlgo es diuisible Íiene p.fires

Si las m'tadas son ettens2ts, tienen pdrles,(7) Las mínadas soi exteisas y sit pútes

Lds mónadds sofi extensas y con partes

Lds mífiddas rienen pútes y no rie e partes(ll\ Lo conttadíctotio no paele ser teal

Las m6na¿las son cot ha¿ictorias

Las m6nadas no soi teoles,(r)) lil se¡ es

Las m6¡adas petleflecei al t o-ser

I;,1 se¡ no comltretde Ias ñ6iadas,Segunda serie:

(10).fl /as mótadas no sot dfuisibles no tierjer¡ ptttesSi algo rro tiene ?drtes io es extenso

\i las nónadds no "o, ¿,r,ribll lo "or, "i"n*J( ll) Las mónadas son ettefis.ts y sin ?aúes

:\t olg" "" ti"r"

par,

Las mónadas son y no sor\ exte sas, etc. erc.l\lás adelante, harcmos u¡a exposición detallada dc los argumeotos

r¡rndicionales. Los ejernplos rlados aquí ticnen princjpalmente valor(lrs(lc el punto de vista const¡uccional.

l(). I-a conectiva biproposicional que se expresa en la forma ,,...si yrrilo si..." recibe el oomb¡e de bicondicional, Como lremos diclro,es l¡ menos farnilia¡ de las conectivas, Para entendetla, basta ceñir-uc rr lo que dice, Considcremos el ejemplo:l¡\ Iil honbte es bteno si y sólo si es sabío

'lbdos convie,ren en que (a) corn¡rrencle la ¡rroposición:11¡\Si el bombte es sabio, e¡totces eI bonbte es b erro.

Lo que resulta in nledi a¡a rnente si ptoponemos (b) en la forma:"l,ll hombre cs bucno si es sal.¡io" que cs cvidentcmcntc equivalentc

41 |

a la proposición condicional (b). Así taobién, la proposición "Elhombre es bueno sólo si es sabio" es parte de Ia proposición (a).

Ahora bien, esta proposición, "El hombre es bueno sólo si es sa!i6",significa que la sabiduria es una condición necesaria de la bondad,

que quitada la sabidu¡ía es quitada con ello la bondad. Podemos

entonces aootar, como Parte de (a)(c) Sí el bombre es bueno, errtonces, el bomb¡e es sabio

El resultado e¡tero es que (a) comprende corno Partes integtanteslas ptoposiciones (b) y (c); y como estas últimas son co¡dicionalesmutuarnerite reciprocos y cor¡stituídos pot las cláusulas de (a), con-

cluímos que el bicondicional es uoa codectiYa que podemos reducir a

términos de condiciooal y conjunción. Su definición nominal se¡ía

entonces la siguiente:p4q-(p)q) (q)p) (Def.)Es fácil ver partieodo de esta defi¡ición que los casos de verdad

de "P=q" son únicamente VV y FF' En efecto, la combinación "VF"hace falso el primer factot, "(?)q)", y con ello falso el bicoodiciooal;asimismo, la combinación "FV" hace falso el segundo factor, "Q)P)'iy con ello el bicondicior¡al. Ea una palabra, la definición simbólicadel bico¡dicional de la especie que hemos venido asignando a lasconectivas introducidas hasta aquí sería:

p=q: V=V-V; V=F=F; F=V=F; F=F=VEl bicondicional, entonces, es verdadero cuando sus cláusulas son

ambas del mismo valoi. Podemos, por consiguiente, servirnos de estacooecriva pala expresar ciertas leyes de la lógica proposicidnal.

Como hemos conocido ya un cierto núrnero de estas leyes, estamos

en condiciones de dar alguoos ejemplos-10. Las leyes de la asociatividad significaban la equivalencia de

esquemas como "pq" y "5p", "p"q" y "qvp", etc. Es muy claroque tales equivalencias pueden esctibirse con ayuda del signo bicon-dicional. Toda la diferencia eotre "p=q" v "PFS|" se reduce a que

mieot¡as el primer esquema es a veces verdade¡o y a veces falso,el segundo es un bicondicional siernpte ae¡dade¡o o a6lido, C'ra¡d.o

tengamos que formulat uoa ley de lógica en forma de bicondicionalbasrará con destacar mediante algún expediente su ca¡ácter de bicon-dicional siempre verd¿dero. Maneras de proceder seríad, por ejemplol(a) "Pq=qP" es siemp¡e verdadera.(b\ "!q" es equivalente co¡ "q?",(c\ "Pq=qP" es un esquema válido.

20. Ilemos conocido ottas leyes que pueden expresarse como

bicondicionales válidos. Por ejemplo:pIq=-l)-q

142

..ría un condicional válido, Puesto que hemos demostrado que hay

, r¡uivalencia eotre ambos esquemas.(-laro está que oo debemos confundi¡ exPtesiones cono "ptqT-p-l'

y "!)rq=-P-q", Fio la primera se expresa una equivalencia de dos

( srlucmas conectivos; la segunda, en cambio, propone la definición,l( "pIq" en térmioos de oegación y conjuncióo. Es evidente que si.r( cpramos "ttrS=-p-q" como una ley de la lógica proposicional,

"l,L(t=-tt-q" es una expresión que no Podemos aceptar. Eo efecto', stc írltirno esquema se Propone para tratat '¡p!q" como una expresión

,,,, csencial en el cálculo de ptoposiciones, puesto que donde es¡é

I,,'lcn¡os elimina¡la en favor de la negación y la coniunción; el es-

trcm^ t'p:tq-¿-P-4", en cambio, implica siquiera que la falsedad-,lr¡juora no se debe elimioar en términos de negación y conjunción.l r¡ üna Palabra, "p{S=-p-q" y "p!q:-p-q" son expresiones in-,,,rn¡acibles.

Nírtese, empero, que cuando nrsotros hemos hablado de defi¡i_

I't.t="P-.1,(¡s estamos ¡efirie¡do nrerarneote a la posibilidad de expresar una

,,rncctiva con ayuda dc otras; sin embargo, hasra ahora hemos üatado.¡ todas las conectiv¿s sin establecer ni irnplicar diferencias de

r,rrgo entre ellas, eo el sentido de que unas sean ltimiliuas y ottas

lo. Otras leyes que se puedcn expresat como bicondicionalesvrilirlos son las que hcoros tenido oportnnidad de forrntrlar más atrás

r' ,¡ue llevan el nombrc tle "leyes cle De lforgan"; se pueden formular,.inrplemente dicienclo <1uc Ios esquemas:

"-Q.l -= (-?v-,r)" ; "-(p,tq)-Fp-.1)"

.,'¡r v álidos.t)i1rse cuen!a de 1a conmutatividad de la conecliva hicondicional

, s nr:'rs que fácit. En cu¿¡nto a si haya asociatividad es cuestión que

.r' |uede responder rápidamente. Rasta con ello comparar las tablas

'1r "(!=tl=" y "2+ft¡=t)". Disponienclo los v¿rlores cn columnas,

( 2..q)=r(v=V )=V=V(v=v )=t:=rl(v:I;EV:t1(v_t;EF=VI .V )-V- t;u: v )..t:-v(r . t:), tt \'u: r') t: t

¡= (r1=t)

v-(v=v )=vv=u=rr):r1v=(t¡=V tsIlv=.Q:-I:)-vrt-(b\/ )..rr' -(\'.. r: )..t't 0: t/) t'r' (r I I I itl

20. lle¡nos intlicado ya que l¿¡s f¡ol'osiciones simPles que constitu-yen las clárrsulas dc una p¡oposición compleja no son necesaria_mente simples de una rnanera absoluta; ocurre f¡ecuentemente que

son sinples sólo en un seotido relativo, es decir, sólo más simplesque la proposición de la cual son cláusulas o partes. En la propo-sición, pot cjemplo:(a\ O no Io s.tbes, seííord, o etes lalsa y desleal.las cláusulas son "no lo sabes, seño¡a" y "eres falsa y deslealt'.Cada una cs nás simple que la ¡roposición completa, lo que esevidenre; sin embargo ninguna de ellas es simple en sí misma: t'No

lo sat¡es seño¡a" es un caso del esquema "-p",' "Eres falsa ytlesleal" es iln caso del esqucrna "14".

Resulta entonces claro c¡ue un conpleio proposicional puedepcrtenecer a un patrón que articula dentro de sí toda una va¡iedaddc conec!ivas. F.l padrón del ejem¡lo (a) es:(¡'\ Fl¡)y (qr)

Conro hemos clicho más atrás, los paréntesis curnplel la funciónde indic¿t l?rs p:rrtes del esquema. (iracias a los paréncesis emplea-dos p<xlcmos i(lcntificat cl esquema (at): Se trara de u¡a al¡ernacióncu,'a prime¡a cláusula es üria negación y cuya segunda cláusula esuna conjunción. Si en lugar de (a') hubiéramos anot^do:(a't \ -lwqrpodtíámos interpretar (a" ) de múltiples m¿rneras- He aquí las posiblesin !erpretacione s:(1) -(l¡v (qr))(2\ - ((pv q)r)(J\ -(Pvq)r(4\ ^p '/ ktt)(5) epvq)r

fin el primercaso,se rata de la negación de una alternación; enel segundo, cle la negación de un producto; en el le¡cero, de un pro-ducto; en el cuarto, de una alternación, en el quinco nuevamente deun producto, pero diferente del producto que cortesponde al tercercaso. Para tlarse cuenta de la genuina diferencia que existe eotreestos esquemas basta analizarlos a partir de las dcfiniciones que yaconocemos y comparar los resultados; desarrollando para las seisprimeras combinaciones de las t¡es let¡as implicadas se muestra ladivergencia quc importa aquí:

-(!*(qr)): -(Vv(VV ))=tt ; -(Vv(VI;))=¡;' -(vv(t:v))=F ;-(Vv(I; F))=tt ; -(tttg(VV ))=I; ; -(Fv(vI:))=y,..,

- ((l,vq)r): *((1/vV )V )-t' ; -($vV)I'):V ; -((V'¡l:)V)=F ;-((Vv It)l),.V ; *((IvV)\')=l; ; -((l¡!V)t;)=V....

Itt

-(pvq)r: -(Vyl')V=F ; -(l'vv )F=F: -(VvF)V=F;-(VvF)F=F; -(FvV )V=F; -(FvV )F=F..,.

-pv(qt): -Vv(VV tsV; -Vv(vF)=F; -Vv(FV)=F;-Va (FF )=F ; -Fv(VV)=V; -tsv(VF)=V,...

(-Ítvql: FVvV)V=V; (-VvV )F:F; (-Vt F )V=F ;(-ltap)F=F; (-FvV )V=V ; (-FvV )F=F...

Vcmos así que el esquema (at') no es inequívoco sino que se presta¡¡ toda una diversidad de interpretaciones que dependeo del modo( omo agrupeños dentro de él sus elementos

La conclusión de todo esto es que debemos ponemos de acueldotobre el modo de expresar un esquema inequívocamente. Hasta aquí,Ir<.rnos hecho uso de algunos principios de agrupación sin explicitarrr¡rda sobre ellos. Po¡ ejemplo, al anotar en el parágtano 16. sin ma-yrrrcs explicaciones, el esquema "-¿v4" (equivalenÉ

^ "p)q" ) dáb^-

'uos por eatendido que la negación se aplica solamente a la primerar lrirrsula, es decir, ahorrábamos paréntesis, eximiéndooos de escri-I'ir "(-Phq"' La regla práctica que en tal caso seguimos diría algo( orno esto: El signo de negación liene el alcance mínimo ostensible,lin un esquema cono "-(p)qhP" dicha regla nos i¡rdica que no selrrrt;r de uaa negación, sino de una alternación cuya primera alterna-tiv¡r es una negación, la negación de un condicional. En este caso,¡l alcance ostensible se reduce al paréntesis.

Asimismo, al escribir el esquema .l6lid,o "pq-qp" dábamos porcrrtcndido qwe eI bicondicionol tiene más alcance de dg¡ pación quelu ctmirnción, El ernpleo de esta regla ¡os exime de anotar la expte-ririn más complicada "(?A)=hP)", Si, ampliando esta convención,rros decidimos por asignar a todas las co¡ectivas bittoposicionalesr¡r¡ ;rlcance de agrupación mayor que e[ de la conjuoción, entonces,err lugar de - por ejemplo - "(pdlr" anotaremos simplemenre "141r",y cste úttimo esquema será expresión inequívoca de una incompatibi-li,l¡rrl.

I)amos a las conectivas biproposicionales, excluída la coniuoción,, l mismo alca¡ce de agrupacióri. Esto quiere decir que un esquema. n''lo "Pvq-t" es ambiguo y que, en orden a exp¡esarlo inequívoca-n,crrtc, debemos emplear un signo gráfico de agrupación; anotamos, sirulr)nemos que en nuestro ejemplo se trata de un bicondicional, del

'"¡r,fr¡ siguiente: (PvqEr. En el caso de una mayor complejidad, esta-rrrnos obligados a aumenrar los pa¡énresis. Por ejemplo:,\ (( "(p .)q)!)lt,) q

I:l csquema (b) se lee sin dificultad: se rrara de una coniunciónI uyr prirncra cláusula cs una inconrpatibilidad; la primera cláusula,l, cstrr inco¡¡p¡ribilirla<l es un biconrlicional; la ¡rimera cláusuta

45 1

l

de éste es uoa negación; finalmente, la cláusula de la negación es un

coodic ional.S¡.¡ele recurtirse a diferentes figuras de paréntesis con el obieto de

hacer más aPatente la agrupación; un esquema como (b), Po¡ eieúplo'puede escribirse:,o, , t, -,,=4=,)lPlQ

De codos modos, la dive¡sidad de paréntesis complica más el

esquema. Además, el uso de paréntesis redondos permite verificar

de una ojeada Ia agrupacióo; ordidariamente, basta con observa¡ si el

oúme¡o de paténtesis convexos iguala al de los cóncavos' La co¡reción

de la agrupación de la fórmula (b) Puede verificarse fácilmente mirán-

dola así:((-( ... )... )=...) 1...)...En lugar de paréntesis, suelen emplearse puotos' La ventaja de

los puntos es que simplificari notablemerite la expresióo de un esque-

ma complejo: los puntos no son necesarios' como ocurre en el caso

del paréntesis, a ambos ext¡emos de la exptesión agrupada' Antes de

explicat el uso de los puntos, ayudémonos confrontando eiemplos de

agrupacióc mediaote puntos y mediaote paréotesis'(c\ (P,tq)=t

(d) (P=d>(q=P)(e\ ((-(!>q)=q)V)-q(r) ((?>q)) (¡>s )))-q(s\ (((Plq))(P!q))) ¡-W qDtt

(ct \ pv q.=¡(dt) P=q.). q=P

(e,\ -(p)q)-q'lr:-q(f, \ p)q').r)s;)-q({) Plq' )' ! t q:)' -Ptq-t!q

La mera co¡sideración de (c) - (c') nos enseña a o¡ientarnos:

el punto agrupa en sentido contrario al del signo conectivo vecino;

(e) - (e') nos enseña mucho más: en primer lugar, la persistencia del

paréntesis Pata agruPar un esquema negado; y también la mayor fuer-

za de agrupación de la coniunción cuando supera a las conecdvas

resrantes eo signos de agrupación. Finalmente, los eiemplos (e) - (g')oos muestrar que el mayor o menot número de puntos indica e1 mayor

o menor alcance de la agrupación. La lectura, eotonces' de un es-

quema como

Plq, ).Prq:), -P'rq.:{ q

se comieoza dividiendo la fórmula en torno a la conectiva vecina

al mayor número de puntos; aplicando el mismo principio a las par-

tes complejas se hace el camino que conduce hasta los últi¡nos ele-

mentos.

21. Jan Lukasievicz propone uo modo de agrupación que evita todo

uso de paréotesis. Coüsiste en simbolizar primero la conectiva Prin-cipat del esquerna anotando luego sus cláusulas; procediendo con

146

"tt¿s de igual rnaÍera se llega a una expresión cuya agrupación está,l,r,la solame¡te por el orden de sus pattes. La facilidad de la lectu¡a,lr una fórmula de Lukasiewicz ¡esulta del caráctei biProposicional,lc toda conectiva con excepción de "no", que es monoProPosicional .

/\lccliante las definiciones que siguen inuoducimos los signos' que

ir¡tcrvieoen en e ste nuevo modo de agrupación:Np=-p; C/q=pq; Apq=pvS; lpq=p)q; EpC=p=ql-a manera más simple de familia¡izarnos con este modo de agrupa-

¡ ií)n es trans{ormando a la rueva simbología los complejos proposi-r ionales que nos son conocidos. Por ejemplo:(l\ "p).qvt" se transfo¡ma primero en "p).4q"

"!).Aqr" se transfo¡ma fi¡almente en'\pAqr"( )\ "p)q.=.q)p" se transforma primero eo "lpq=lqp"

"l pq=lqp" se transforma fi¡almeote e..' Elpqlqp"( l) "p)4, f .r)s,')-1" se rraosfo¡ma en "I¿4)I¡s. )Nr"

"fpq)I/s,)Nr" se traosforma en "IIp4Irs)Nr""IIP4Irs )Nr" se lransforma eo "IllpqllsNr"Ilay que habituarse a leer u¡a fórmula ya algo complicada como

"lll/4l¡sNl". Se procede desde afue¡a hacia adentto así: Se trata,lc un condicional cuya primera cláusula es uo condicional y cuya

'r¡unrla cláusula es una negación; el aotecedente del condicional,¡rrc es la p¡imera cláusula es un co¡dicional, y el consecuente esr¡rrubién un condicional. Consideremos, todavía, el esquema"ll Jtqllqrl?t", Procediendo como en el caso ante¡ior lo describimosrr¡í: lis un condicional cuya primera cláusula es un co¡dicional de

¡ lrir¡sr¡las "p" y "5". La segunda cláusula del condicional principal¡ s un condicional cuyo aotecedente es un condicional de cláusulas

tnltrs "p" y "t",Será instructivo, asimismo, hace¡ el camino inverso, es decir,

r¡rnsformar una fórmula de Lukasievicz eo la co¡respondiente que¡¡os cs más familia¡. Consideremos pa¡a ello los esquemas "CENp4l,N¿/r" "ECIp4AN4¡Np", Procedamos con el primeto desde fuera hacia

l4) {:liN¡rqEN4rliNp4.EN4¡N/r=4.Nq=r

-1,-q.-q=t

' l.os sisnos aquí introducidos no coinciden con los enr¡lcattos ¡o¡ I.ukrl-ai.w¡cz, f.r ¡¡zón rle esrr diver¡encia residc cn el hecIc¡,1< rtrnrlcr r¡osotrosr lr tcrnrinokr¡ír c¡¡srcll¡rna, cnr¡lean.lo h lcr¡¡ inici¡l d. l,L! rxli'1,¡rs ¡'n( -¿nr i,in", "coniunción", "altc¡nncnin", "ir¡l'lic¡ción" ¡ "r'r¡rirrlclcia".

1| |

Y, coa el segundo, desde dentro hacia fuera:(5) ECIP4AN4TN¿

ECtpqA(-q)r(-p)EC(p)q) (-q,n) (-p)E((P)q) (-qvt)) (-?)(P>q) (-q')=-PEl camino más fácil Parece se¡ el iodicado eo (4). Para realizar

la tra¡sformación es, desde luego, imptescindible estar bien fami-

liaúzado con los signos. Situándose en el comienzo de la fórmu-

la, se lee la primera cláusula que ae conecta coa la segunda mediante

el signo ao¡iguo, En el caso de (4).CENpqEN4r

las cláusulas de '¡C..." son "ENpP" y "ENqr" que se cooectan

así:ENp4.EN4r

Procediendo hacia de¡¡ro de ambas cláusulas en forma idéntica, se

obtiene sucesivamente:N¿=4.N4=r

-p=q. -q=rEn cuaoto al procedimiento para establecer los valores de una

fó¡mula de LuLasiewicz, las tablas o definiciones que debemos em-

plear son las siguientes:Nlr NY=F; NF:YCPqt CVV=V; CVF=F'; CFV:F; CFF=llAPqt AVV=V ; AV F=V ; Ar"V=V ; AFF=Flpq: WV=V; IVF=F; IFV=V; IFF:VEpq: F.VV-V; EVF=F; EFV=F; F'I'-11:V

Consideremos dos ejemplos :

(6) cINpfl4NpCINYYI YN Y=CIFVlV F=CV T:=F

CINVFI FNV=CIFFIF F:CV V =VCINFYI YNII=CMWV=CVV:VCIN'IF-I IJN F=CI YiTI F V :C F V = F

(7) EIPqINqNPEI YYIN YNY=EI YYI Ít Ij =F,V V = V

EI y¡rIN¡rN t/=EIy IltV F:Er1r; =VFII¡ YINVNIT = EI¡JVIFV =EVV =VEI FraIN ¡.N /r =EIlr FWV =F,VV:V

22. Ilcmos visto que las conectivas proposicionales exhiben propie-dades conro la conmutatividad y la asociatividad. AI ponerlas en

rcl:rció¡ urras con otras encontramos asirnisnro, en ;rlgunos casos,

I 1tr

la disttibúiaidad. De manera general, podemos decir que uoa opera-ción 0, es distributiva respecto de otra 0" cuaodo:

a0, (b|"c) = (a0,b)0, (d0,c)Los té¡minos a, b, c,,., son aquellos a que se aplicao las operaciooes0r, 0r. Supongamos que 01 se interprere como multiplicación arit-rrócica y 0, como suma aritmética; bajo tal interpretacion, la propiedadrlist¡ibutiva se traosforma en el coriocido principio aritmético:

4x(b+c )=4xb+a\cI-¿r cr¡estión de distributividad de las conectivas biproposicionale sr'¡rnsistiría entonces - en el cáso de la conjunción y la aftemación -

rD preguntarse sobre si es o no válida la equivalencia:!(q'ü) =.pqvyConsidérese, edtonces, un esquema como "p(qvr) " y compáesele

c<tn "pq,tpt". Para ptobar que son equivalentes bastará con most¡arr¡rrc si el primero es veldadero lo es el segundo, y que si el segundocr verdadero lo es el primero. Y así ocurre en efecto: La verdad de

"¡(qvt)" exige una u otra de las combi¡aciooes 'IVV"; "VVF";"Vl¡V"; ahora bien, cualquiera de éstas hace vetdadeto "pqvpt",(.onversamente, la ve¡dad d" "?q"fr" exige una u ot¡a de las combi-rrrrciones "VVV", 'ryVF", "VFV"; c^d^ una de éstas hace verda-

'l<,to "p(qvr)", Podemos e¡tonces decir que el bicondicional(^\ ¡t¡qa¡¡- lpq!r1.xl)resa uoa ley de la lógica de proposiciones, o que es siemprevc¡rladero. El principio, por t¿nto, se formula asi,: la conianci6n eslislribúiua rcspecro ¿e Ia alte¡¡tación,

l)el mismo modo se puede probar que la alteroación es distributivarcspecco de la conjunción. La equivalencia que debemos proba! ahoracs enrre los esquemas "p'¡f" y .¡(pvq)(pvt)',, lastará para esta¡rru<lra con moscar que cuando el ptimer esquema es falso lo es elsr'gundo, y convetsamente que cuando el segundo esquema es falsolo cs el primero. En efecto, la falsedad de "pvr1t" exige alguna de!'rs combinacio¡es "PFF", cada una de ésrasl¡¡rcc falso el esquema "(pvq)(pv)", Así, también, la falsedad de

"(l¡vq)(pv¡)" exige alguoa de las combinacior.es "FFF',, ..FFV","lVl"'; c^d^ una de éstas hace falso el esquema ,,pvqt,,, pot lo¡,¡nro, el bicondicional:(t') ( tn q¡)=(pvq) (p'tt)cs siempre verdadero y expresa Ia antedicha ley de distributividad.

Its ya tiempo de precisar la noción d.e ualidez, Un bico¡dicional¡lc la forma (a) es válido y su validez - y la valid,ez de un esquemar rralquiera - significa que el esquema es siempre verdadero; es decir,, rralquiera sea la combinación asignada a las proposiciones ele-

4eI

mentales, el esquema posee siemPre el'valor y. Tal consideracroanos ayuda a petcibir que, partiendo de un esquema como "(fiq)(rts)"y guiándonos por el bicondiciooal válido o equivaleocia (a), podemos

anotat:(c) (Fq)ft'rs)=((Fq )n (Fq) s )El esquema válido (c) resulta¡ía tadbién directamente de (a) mediantela stbstitscíón de "p" poE "p!s", De ello resulta¡ía:

(fus )(qv¡)= ((!,¡s ) qv (P'¡ s )t)es decir, uo esqueda formalmeote idéntico a (c) y sólo dife¡ente de

éste en los lugares que ocupan en él las letras "p", "q",Sigaoos, no obstante, considerando (c): la segunda cláusula cooayuda del mismo ptincipio (a) y de la conmutatiyidad de la conjua-ción, puede des¿¡rolla¡se de mane¡a que finalmente resulte la fót-mula:(c') (pr q )(n s )= (t rr ps\ qrr qs )

Procedamos de un modo más formal indicando la razón de cadautro de los pasos que conducen a (ct ):

(ptq)(ns )=((P\ q)tv(¿vt) s) (principio (a))(@v q)rv (?vq)s )=(t(pvqhs (pvq)) (conmutatividad de la conjunción)(r(pv qhs(fi q))=(tptrq,rsprsq) (ptiocipio (a))(tprqv spvs q)=(pmpsvqm qs ) (conmutatividad de la conjunción; conúutatividad y asociatividad de la alternación).

Finalmeote, podemos anota¡:(fu q )(tv s )= (pw psv q* qs )

que es ouestro principio (cr). Sin embargo, al establecer esta equiva-lercia hemos utilizado una buena potción de lógica en modo algunoerplícita, Hemos implicado, por eiemplo, que la equivalencia estTtnsitiúa, es decir, que si el esquema "Er" es equivalente a "E¡"y "E^" es a su tumo equivalente a "E." entoncesson también equivalentes. Hemos supueslo asimismo que si en unesquema se sustituye una parte por otra equivaleote el esquemaresultante es equivalente al primero. . Nue stta excusa es, eo primerlugar, ouestro propósito de no complicar las cosas todavía; eo se-gundo, la evidencia de todos los principios que hemos implicado.

Es muy claro que un principio análogo a (ct) resultaría de aplicarel ptincipio (b) al esquema "pqtts", Ptocediendo de acue¡do a todauna serie de principios conocidos, ¡esultaria la equivalencia:(d) (pqv¡s )= (pvr )(pa s )(qvr)(qvs )

Mediante las equivaleocias (") - (d) y ayudáodonos también de lasque bemos establecido en los parágrafos anteriores podemos ir des-cub¡iendo ot¡as. Por ejemplo, el seotido de la conectiva bicondicio-nal nos autoriza a for¿,ular la equivalencia:

[ :o

( c\ p=q.=.(p)q)(q)p)Arlemás, hemos establ€cido la equivalencia de los esquemas "p)4"

(", ) p =q.-.(-paq)Cqap)Aplicando el principio (cr) a la equivalencia (er) tesulta((t' \ P=q.=.-P-qa^PF q-qa|q( r¡nside¡a¡do, además, quef,rlsos, nada per¿emos elioináodolos del segundo miembro, Podemos,

I'rcs, finalmer¡te escribir:(("') P=q.=.pqa-p-q

/'1. IIemos eocontrado en ouestra erposición que uo esquema proposi-lional pertenece necesariamente a una de estas t¡es categorías: (1),ricmpre verdadero; (2) sienpre falso; (l) a veces verdadero a veceslrlso. Las conectivas int¡oducidas hasta aquí caen todas en la tetce¡a,,rtegotía, lo que resulta cla¡o de la sola inspección de sus defini-r iones. Si nos atuviéramos a dichas conectivas en su empleo ñásrrntural, no habría ocasión para esquernas de las dos primeras catego-rrrrs. Si, por el coarario, ur esque¡na simple (es decir, de la forma"-f,", "Pq", "p)q", etc.) es siempre verdadero o siempre falsocllo es debido a que construímos sus cláusulas de un modo especialy poco natural. Por ejemplo, los esquemas:

p)p; p=p; patp

resultan, los dos primeros, siempre verdaderos y, el terce¡o, siemprelnlso por la simple ¡azóo de ser idé¡ticas sus cláusulas.

lin el caso de un esquema conpleio que resulta siempre verdade-r. o siempte falso, la razóo de ello ¡eside ordinariamenre erl su com-I'lcjidad misma que produce u¡a sí¡tesis de conectivas o pattónI'ro¡osicior¡al imposible de hacer respectivameate falso o ve¡dade¡o.I nl ocurre, por ejemplo, en los esquemas:

lq)qP; P\q.=.qvp; -(pq)).*pv-q; p)p(pvq); pv-p.).q-s,¡r¡c son, unos, siempte verdaderos, otros, siempre falsos por la prin-i ilnrl razóri de ent¡ar l¡s conectivas que los forman eo determinadasrirrtcsis que en tales ejemplos está¡ casi a la vista.

lJn esquema proposicional siempre verdadero recibe el nomb¡e detdutologíd. Un esquema proposicio¡al siempre falso recibe el nombre

'le c¡>nlradicci6n, Cuando me¡amente hablamos d,e esquema ptopos;-t lt,rt.tl se entende¡á ordinariamedte que pertenece a la tercera cate-t,¡rí,r referida más ar¡iba, Es ftecuente también que se empleen las,lr r¡ominacione s "esquema uálido", "esqtentd inconsistente" y"r'sr¡tema consistente", re spectiva me nte, para referirse a las tres, (rcgorías tle esque mas.

5l I

Podemos formular todo un número de leyes relativas a esqueñas

válidos y esquemas inconsistentes:(1) La negación de un esquema válido es un esquema incoosisten-

te. Designemos por '?" un esquema válido, es decir, siempre verda-

deto; "-8" será siempre falso, es decir, inconsistente'(2) La negación de un esquema inconsistence es un esquema váli'

do. Designemos por "8" un esquema inconsistente' es decir' siem-

pre falso; "-8" seti siempre verdadero, es decir, válido.(l) La coniunción de dos esquemas válidos es uo esquema válido'

Porque, siendo "Er" y "Ez" siempre verdaderos "E,Er" lo es asi-

mismo.

(4) Si una cláusula de una conjunción es uri esquema inconsisten-

te, la coniunción es un esÍluema i¡consistente. Porque siendo uoa

cláusula de una coniunción siempre falsa, la conjunción es siemp¡e

fals a.(5) La alternación de dos esquemas inconsistentes es un esquema

incoosistente. Porque siendo ambas cláusulas de la alte¡nacióo

siempre falsas, la alternación es siemp¡e falsa.(6) Si u¡a cláusula de una alte¡nación es un esquema válido,

la alternación es uo esquema válido. Porque siendo u¡a de sus cláu-

sulas siempre verdadera, la altetnacióo es siemple verdadera.(7) Si una cláusula de uoa incompatibilidad es un esquema in-

corsistente, la incompatibilidad es un esquema válido. Porque siendo

una cláusula de una iocompatibilidad siempre falsa, la incompatibi-lidad es siempte verdadera.

(8) Si las cláusulas de una incompatibilidad son esquemas válidos,la incompatibilidad es un esquema inconsistente. Porque sl Ias cláu-sulas de una incompatibilidad son siempre verdade¡as la iocornpatibi-lidad es siempre falsa.

(9) Si el consecuente de un condicional es un esquema válido,el condicional es un esqueña válido. Porque siendo e[ consecueotede un condicional siempre verdadero, el condicional es siemPre

verdadero.(10) Si el aotecedente de u¡ condicional es u¡ esquema incoosis-

tente, el condicional es un esquema válido. Porque, siendo el ante'cedente siempre falso, el condicional es siempte veidadero.

(11) Si las cláusulas de un bicondicional son esquemas válidos,el bicondicional es uri esquema válido. Porque siendo ambas cláu-sulas siempre verdaderas, el bicondiciooal es siempre verdade¡o.

(12) Si las cláusulas de un bico¡dicional son esquemas incon-sistentes, el bicondicional es un esquema válido. Porque siendoambas cláusulas siempre falsas, el bicondicional es siemDre verdade¡o.

lsz

A partir de leyes como éstas es clato que podemos rnultiplicar el

número de esquemas válidos e inconsistentes hasta donde quetamos'

Sea, por ejernplo, E un esquema válido (por eienplo, "p)p") y E,'Ij2,.., otros esqueñas cualesquiera. Aplicando (1),Iormamos el esquema

inconsistente -8, Ahoia, podemos constitui! toda una serie de esque-

mas válidos y toda una serie de esquemas ioconsistentes Aootamos

al lado de cada esquema las leyes e¡ que oos aPoyamos para cons-

truirlo.Esqaemas a álídos EsqLe?nds ínconsistentes

EtE, (6) -E (1)

(E,,¡E)E (3)(6) -EE, ( 1X4)

EL)E (e) Él.Et)E (8)(9)

-E)Et (1)(10) -E ¿tEl.E,)E (5)(8)(9)(ElE)(-E>8,) (1)(3)(q)(10) -(E,)E) (2)(e)

-ElE, (1)(7) -(-ElE\) ( 1) (7)

etc. efc.

24. Es co¡veniente que demos una oieada a vuelo de pájarc a lanoción matemática de fanci.ón. Supongamos una ecuación de aquellas

que eo la eoseñanza secundaria codocimos coo el nombre de "ecua-ciones indeterminadas "; por eiemplo, la siguiente, de dos incógnitas:(l\ )x-2Y+l=O

Fbrmemos a partir de (1) la expresióo exPlícita de y, es decir,como reza la ftase 'despejemos y'; tenemos entonces:

1¡+1(2) y2

Con ayuda de (2) resulta fácil darse cuenta de una corresponden_( iit enüe los valores que demos sucesivamente a r y los valores(luc resPectivamente asume y: a cada valo¡ de ¡ coresponde un valor,lctcrminado de y, y uno solo. Podemos eiemplifica¡ asignando a r los

vrrlores de la serie 0,1,2,3,... Resulta entonces las dos tablas si-

¡rr ientes:t:0,1,2,),4,5,-..

I " 7 . 13 ovt t,.,1,', z ,",

Vcmos pues que los valores cle y varían, de una mane¡a l¡ecisa-lr¡ rrtc detcrmin¡rda ¡or l2), a medicla que varíao los valores de .r.l',¡lcnros <lecir tanrbién, arrnque e¡¡ sentido menos pro¡rio, que y de_

¡'trr,lc rlc r. I"r^ses como "a un valor determinado de r corres¡Tontie

r¡¡r vr¡lor rlctcrnrin¡do rle y", "a un:r variación rleter¡rinada de r co_

rr, r¡',rr,lc r¡rrr v¡rri,r. i,in ,lctcrrnin¡r,l¡r ,lc y" o. fin,rl'n<lntc, "lr crrnri-

s3 I

dad y depende de una manera aritméticañente dete¡minada de la can-ri¿^¿ x" expresan literariamente la noción maremárica de funcióo.En el caso de tal reLación e¡tre .r e y se dice, entonces, que y esuna función de r, La notación que se emplea para expaesa¡ estaconexión est y =f(r).

Es claro que en (1) pudimos explicitar f,,,entonces, hubiera resul-tado:

3\ x = 2f:J3

y por el mero hecho de una disposicióo dife¡ente de los rérminos den-t¡o de una relación que sigue siendo la relación (1), sólo que presen-tada eD una forma difetente, hubiéramos tenido que cambiar de sujetoy decir no que y es una funcióo de r sino que x es una función de y.Esta simple conside¡ación basta para no toma¡ demasiado en serio alhablar de una función matemática relaciotes como las de dependen-cia. Sería meior deci¡ que dos series de números están eri conexióofuncional cuando existe una regla que pe¡mite, dado un ¡úmero cual-quiera de una cualquiera de ambas series, determinar mediante es¡edato un número, o va¡ios riúr¡eros, de la otra serie de ulra maneaa

Pre c-isa.La conexión funcional (L) es bitníuoca, es decir: a cada valor de

r corresponde un valor de y, y sólo uno; y a cada valor de y cotres,ponde un v¿lot de.r, y sólo uno. No siempre es así. Considérese lasimple función:(4) y =r'

Si damos a r el valor 2, el valor cortespondiente de y es 4- Sidamos a r el valor -2, el valor correspondiente de y es también 4.Es decir, a un valor de y conesponden dos valo¡es de x,, la relaciónentre los valores de ambas va¡iables no es ,uno a unot sino .dos au¡o'. Esto quiere decL que dado un valor de r no hay üopiezos endeterminar el valoi correspondiente de y,,en cambio, dado un valor dey hay dos valores de r que le corresponden y no podemos hacer másque ofrecetlos en alternativa.

25- AlEo a¡álogo a lo que ocurre en el caso de las funciones mare-tnáticas ocu¡te nmbién en el de las conectivas proposicionales.Si nos atenemos a los valores (verdad y falseda*)-de las proposicio-nes, la idea de función surge inmediata y oatu¡almente de la consi-de¡ación de las conectivas. En efecto, los esquemas proposiciooalesformados a parti¡ de las cooectivas estudiadas adquieren tal o cualvalor determinado en función, rigurosamente en función, de los valo_res de las cláusulas que son sus pa¡tes. La conjunción, por ejemplo,

I s¿

cs verdadera o falsa según sea ésta o aquélla la combinación de sus

r.láusulas. Si empleáramos la lera C pata designar la conjunción,

¡o,lríamos, de modo análogo a como se hace en matemá¡icas, anotar la, onexión funcional siguiente:( t) c =r(P,q)

Claro está que la telación (1) no es cuantitativa; se reduce a de-

clarar metamente una cottespoodencia de valores, a meramelte seña_

l,rr que la conjunción es una proPosición cuyo válol está determinado

l)or, o en funció¡ de, los valores de las dos proPosiciones que soo

.us cláusulas. Justameote el desarrollo e¡tero de esta corresponden-

c ia, es decir:f(V,V)=V: f U,F)=F; f(F,V)=F; f(F'F)--F

lrré tomado por nosotros co¡no la definición misma de la coniunción'

Y de la misma maner¿! procedimos en el caso de las co¡ectivas tes_

Podemos, pues, hablar de las ptoposiciones comPleias formadas

rncrliante co¡ectivas y (más propiamente) de los esquemas proposi-

cionales que nos son ya familiares como de funciones; y siendo

n(cesario cualificar el término en orden a distinguit este nuevo tiPo

,lc función, Ptoponemos llamarlas lunciones de proposici6n'

Ciertamente, todos los esquemas conectivos estudiados, es decit:(¡\ -F, PS, Pvq, Pwq, P!5, Pls, P)S' P=S

son fu¡ciones de proposicióo, Pero resulta igualmente evidente

(luc puede haberlas más camPleias. Ya hemos tenido oPortunidad de

vcr que es así. En el caso' Por ejemplo' de esquemas más complejos

'¡rrc los anteriores c omo:

Q¡dt, (?,¡q)vt, (P)q)(q)P), (P=q)=t

r¡o lremos vacilado sobre la tigurosa correspondencia que existe e¡rtre

,rnl combinación cualquiera de las let¡as y uo valoi derctminado

,lcl esquema. Es claro tambiéo que, cualquiera sea la. compleiidad

,lc un esquema proPosicional' toda vez que dicha compleiidad sea

,rn¡lizable en términos del grupo (a) de funciones de verdad, el es-

,¡rr<:ma será una funció¡ de proposicióo. Así, por eiemplo, esÍluemas

-(l,v q)).r=.r )s, p=-q.).r=-s, erc.

.on funciones de proPosición.l)igamos todavía aquí qte las funciones de proposición no son,

rrr general, biunívocas. Sabemos que a un valol de la proposición

rlcnrental en eI caso de la negación correspoode un valor bien detcr_

rri¡¡utio rle la ncgación y, co¡versamente, que a un valor de la negación

,,rrrcsPon¡le un valor bien determinado de la proposición elemental;

|(.ro en cirsos, ¡>ot cjemplo, co¡no la altcrnación la situacióo es otra:

55 I

a una combinación de las cláusulas cor¡espoirde un valor bie[ deteFminado de la alternacióo, pero a uD valor de la alterriación no co¡res-ponde siempre un valo¡ único de las cláusulas. Así, por ejemplo,si la alte¡nacióo es verdadera, la combinación de las cláusulas puede

ser "VV", "VF" o "FV". Sólo en el caso de sér la alternaciónfalsa podemos deduci¡ la combinación "FF" de sus cláusulas. Consi-deraciones análogas valen pa¡a las cooectivas biproposicionalesre stantes-

26. El hecho de que los valores que en&an eo juego en las funcionesde proposición sean simplemente dos - ve¡dad y falsedad - y no ennúmero irfinito como en el caso d€ una fuación matemática ordinaria,simplifica mucho su estudio. Incluso, podemos hacer irn recoe.rtode todas las funciones posibles. Hablamos más attás de conectivasmonoproposicionales, biproposicionales, triproposicionales,...; pero,la ve¡dad es que hasta aquí no hemos conocido otras que las com-prendidas en la serie (a) del parágrafo anterior, es decit, una mono-proposicional - la negación - y siete biproposicionales. Es cierto quelos esquemas rriproposiciooales pueden suponelse asociados a conec-tivas triproposicionales; así, por ejemplo:

(Pvqh¡, P)q,=, (Pq)t, etc.pueder¡ aceptarse como esquemas constituídos por conectivas tripro-posicionales. Ot¡o tanto podría aceptarse coo relación a esquemasque comprendan un número mayor de proposicio¡es elemedtales. Sinembargo, tenemos que reconoce¡ que en este caso no ha¡íamos ottacosa que lleoarnos la cal>eza de convencio¡es no más elegantes queinútiles.

Ocupándoaos, pues, solamente de co¡ectivas de la especie quehemos estudiado, veamos cómo se establece su núme¡o máximo posi-ble cuando atendemos a su catácter de funciones de proposición.Empecemos considera¡do las posibles conectivas monoproposiciona-les. Designándolas con el símbolo genérico f¡ (p), y considerand^que la cláusula "p" es ora verdadeia ora falsa nos damos cuintade que los valores corre spondiente s de ti( s6lo podrán obrenersede esta serie de combinaciooes z VV,VF,FV,FF, Las funciones deproposición monoproposicionales posibles son, entonces, las si-guiente s:

f, (p):rJP)'f!U,):f 4(p ):

t,(v)=v;Í"(V ) -v ;f,(v )= F '

fo$)=r_.;

t,(F)=vf,(F)=nt3(F)=vfJF)=F

Iosistimos: Ias tablas anteriores consútuyen el rccuento exhausti-

[ 56

vo de las conectivas monoploposicionales posibles' Que existan

cfectivamente las cuat¡o conectivas enumeradas es ya uaa cuestión

aparte. La única que Jremos reconocido nosottos hasta aqui es fr(p)'

cs decit, la negación. tlrrpero, así como sutilizando con la definición

matemática de función se puede acePtar que "1¡=x" es una función'rnálogamente, podemos aceptat qwe f"(p) es también una fuocióo mo-

noptoposicional de proposición. Podríamos asignarle la denominación

tle "afitmacióa" y recurriendo a nuestto viejo ptocedimiento, defi-

nirla así:P! V =V; F=FEn cuanto a ft@) y fo@) podtiar, corrsiderarse tesPeclivamente

como la tautología y la contradicción monoProPosic ionales. Sólo que

,icl lado que rios volvamos encontraremoi que no hay esquemas pro-

|osicionales que a ellos corespondan Es cierto que explesiones

p\-p; p-!; p)p, -(p-p); P-?lp; -(-PP)-)-pPforman tautologías y contradicciones cuyas cláusulas son idénticas

cntre sí y, por tanto, en el sentido e*Puesto en el par,ágrafo 7. resul-ttrn mooopropos ic ionale s; pero si, pot el contrario, hacemos valer,¡ue en la cons(ifución de tales esquemas intervienen conecrivascsencialmen¡e bipropos icionale s podríamos rechazar que tales esque_

nras correspondan a casos de f r@) y f"QLI-as fu¡ciones monoproposic ionale s de Proposición o esquemas

conectivos monoproposicionales posibles serían entonces cuatro,y cle tales cuat¡o solamente dos, además de posibles, setían efectivos.

Fln cuanto a las posibles fu¡cio¡es de proposición o esquemas(-onectivos biproposic ionale s, su número se escablece de la misma

nrirnera. Estas son de la forma fi(p,q) y por lo tanto las combinacionesrlc sus cláusulas no son dos como en el caso ante¡io¡ sino cuatro;r.s decir, li(p,q) toma los valores: fi\v), fiUF), flEv), niTF)llrrbrá pues tanas funciories bipropos ic ionale s posibles como pod,a'

¡nos forma¡ combinaciones de los valores V y F en grupo de cuatro.l'or eiemplo, a la conjunción cotresponde la combinación VEFF' a lanltcrnación VVVF, a la disyuoción FVVF, ^ la iocompatibilidadI,vvv, etc. Para determina¡ el aúmero de tales combioaciones pode-

rnos proceder asi: Sea C el gruPo entero de combinaciones; es evi-,lcnte que C comprende dos categorías de combinaciones: las que

r omicnzan en V y Ias que comienzan en lt. Cada una de estas dos(,r(cgorías de combinaciones comprende a su vez dos categorías:,rr¡rrcllas que llevan V en segundo Iugar y aquellas que llevan l'tn scgundo lrrgar. Cada una de estas cuatro categorias de combina-( i(nrcs cornprcfl(le t¿rmbión rlos c:rtcgotías de combinaciones: las que

s7 I

llevan V eo tercer lugar y las que llevao F en tercér lugar Final-meote cada una de estas ocho categorías se compone de dos combina-ciones: una que termina en y y una que termina en F. Hay, Pues, eri

toral dieciseis combinaciones, es decir, las funciones biproposicio-nales posibles so¡ 16 Podernos, partieodo de Ia coosideración ante-rior, elaborar el esqr¡ema siguiente:

F

F F

F

VF

FFv¡-

FVFVFVFVF

Es fácil ve¡ que la fórmula para el número de combinaciones que

contengan n leat^s, p,q,r,'..t, es 2D. Por ejemplo, en el caso de

funciones monoproposic iorale s de proposición las combi¡¡acionesson: V,F, es decir, 2r; en el de las biptoposicionales, las combina-ciones son: VV, VF, FV, FF, es decir, 22; et el de las triproposi-cionales: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF, esdecir23; etc. El razonamiento completo es el siguiente: Sea 2n el oúmero

le combinaciones de ¿ letras. Al introducir una oueva letra, fporejemplo, ésta forma, con las 2n combinaciories originales, 2n rue-vas combinaciones eo que , es verdadera y otras 2fi en que , es falsa.Eo toral 2.2 n, o sea, 2n+1 . Siendo, pues, 21 el número de combinacio-nes pa¡a una letra, será 22 para dos lettas,2t para tres,..., 2^ para n.Por lo tanto, basta la inspección del esquema aoterior para darsecuenta de qu.e la lútnala qae liia el húmeto de lunciones *ptoposi-cionale s posibles

"" 2Qn),

Las 1ó funciones biproposicionales posibles, expuestas de mane-ra más vjsible con ayuda del esquema an¡erior son:

vvt:F

I.V

F

FF

vvvvvvVIJ

vvv\,/VFTIFVvt.-v

FFF1/VVVFI:FVF

VFFVt:vt;v

FFvv

FFb'

v

12345678o1011 12 rt 14 L5 16

158

I-as tablas contenidas eo las columnas 2, 5,7, 8,9, 10 y 15 nosson farniliares; representan las siete funciones biproposic ionale srlc proposicióo que hemos estudiado. E¡ cua¡to a las rablas ex!¡€mas,I y 16, teptes.ntarían respectivamente la taurología y la contradic-, ión biproposic ionale s. Sólo quedaría por determinar si se trataría,lc csquemas c omo:

-PrP, -PP, P)p, p=pr¡rrc comprenden una conectiva biproposicional o esquemas que me¡a-flrcnte comprenden dos lettas, como:

I'vq,=.qvp pq=-(pq), erc-l'cro, cieftameote, es éste un problema tao sutil como carente de

' impo¡tancia que optamos por deiar de lado.liioalmente, las funciones posibles que ¡estan - es decit, 3, 4, 6,

I l, 12 y l) - o se muestrao impropias o deiivadas de las ya conocidas.Vcamos sus tablas en forma más ceñida:

fo(p,q): fo$,V)-V; ntU,F)=V; f.(F,v)=F; f,(F,F)=Frs <lecir, fo@,q) es la afirmación d. p; oo es siquiera u¡a funciónlr i¡rropos icional genuina.

Í"(p,q); r"(v,v)=v r6U,F)=F fdF,v)=v f6@,F)=F,r¡ urre Io que con f", sólo que con respecrc a q,

t,,(p,q): f ,,(v,v)=F f ,,(vF)=v ftGv)=F f,,(FF)=vSc trata aquí de la negación de 4.

t,,(!,q): f ,"(V,v)=r f ,2(V,F)=V tL.(F,V)=F f,,(F,F)=Ff'ls rlecir, f' es la negación d,e "?)q",

ts(p,q)t f BW,V)=F f L.(,F)=F fBG,v)=V f ú(F,F )--VSc trata de la negación de p,

l,ln una palabra, las columnas 3, 4, 6, 11, 12 y l), to deben consi-,lrrars6, p6¡q¡s o ior¡oducen algo impropio o algo que fué ya introduci

J7. l,ls conveniente estar erl condiciones, f¡e¡te a uo esqueña propo-¡icional cualquieta, de forma¡ rápidamente la tabla de los valoresr¡uc adquiere para todas las combinaciones de sus let¡as. Es lar,¡xración que se conoce con los oombres d,e ,decklón" o ,,análiskvcrificatorio"- La manera de proceder consiste en apticar desde'l¡nrro hacia.afuera las tablas definitorias de las conectivas implica-,l¡s, hasta Ilegar a un resultado. Sea, por ejemplo:

p:q.=.-q)_pI)uesto que eo el esquema intervienen dos lefias, debemos hacer

fu¡r(ro aplicaciones con cada una de las combinaciones VV, VF,l¡lz, lrl;, Resultan, sucesivamente, las colur¡nas siguientes:

5e I

V)V.=.-V)-VV)F.=.-F)-VF)V.=.-V)-FF)F,=.-F)-F

V=.F)FF =.V)FV =,F)VV=.V)V

V=Y V

F=F VV=V V

V=V VLa primera cláusula del bicondicional de ouestro ejemPlo es u¡r

condicional. Al disponer los valores de las cláusulas dentto delesquema ¡esulra a la izquierda del signo "=" la columna siguieote:

v)vv)FF)VF)FLo que hacemos coo relación a esta eolumna es substituirla por

otra formada con ayuda de nuest¡a definición de la función coadicio-nal, es decir:

vFvvDe modo semeiante se procede coo las partes restantes del es-

quema; en nuest¡o ejemPlo; las columnas correspondientes ^ "-q" y

"-p", Resulta así un nuevo esquema eri que están asignadas lascombinaciones que tengan lugar. En nuestro eiemplo, el esquemaresultante es:

v =.-F )I:F=,V)Fv =. F)vV =,V )VSe procede a una nueva simplificación, esta vez de Ia columoa a

la derecha del bicondicional. Resulta:V=VF=Fv=vV=V

J-a columna fina! que expresa los valores del esquema "p,-5.=-q>-p"es la siguiente:

vvvv

es rlecir, el esquema "Paq.=.-qr-P" es una tautología. Es claiotodo este procedimiento exige el manejo pronao y seguro de la defi_¡ición de todas las conectivas y cn su detalle, pues lo común es que

lr¡'

!rr) apaaezcan eo el mismo orden de su definición ni es siernpre nece-

r¡¡ria toda su defioición. rJt,a vez, en auestro eiernplo, apareció el

¡ ondicio¡al eo el ordeni,;tFv)Ftl)vv)v

{¡r¡( no es el de su definicióo. Otra, apareció el bicondicional en la

V=Vlt=Fv=vv=v

,¡rc pide aplicar sólo Parte de la definición.Más sirnple, aurique menos analítico' se úuesra el empleo de

r ¡bl;¡s como la siguiente:

t,-q -!1-vvv

vFVt;vvIIFFSc trata de la tabla e¡ que se define la alternación A la izquierda

v,rn las distintas combinaciones que correspooden a las letras; a la,lc¡ccha, en corespondencia horizootal, los valores que toma larltc¡nación en los diferentes casos. Pata la aplicación de este P¡o-

,.ilimiento se puede anota¡ de una vez la tabla de todas las conec-

, rv¡rs biptt'Posicionales que heúos examinado:

I" q ?q Fq pwq ptq plq p)q ?=q

t,vvvFFFVVVFFVVFVFFtvFVVFVVFt¡l.FFFvvvv

I:n cuanto a !a tabla de la negación, es:

t' ¡r

tvI )r'sarrol Irrmos , mcdian(e tablas, cl análisis verificatorio del es_

,llro¡¡ "2vrl. ,-1t' q"; lt.abla qt¡c rlcbemos formar para ello es la

61 I

siguiente:

p's ?tS .). -P=c

VVVFFFVVFVVFVFFVVVVVVFFFVVFFEl procedimiento empleado es obvio. B^io "prq" hemos anotado

so tabla; Ot¡o tanto hemos hecho baio "-p" y "4". Luego, hemosprocedido a anotar baio el sigro "=" la columna que correspondea los valores que adoptan sus cláusulas. Finalmente, hemos com-parado esta última columna con la cotrespondiente a "pv4" en ordena forma¡ la columna bajo el signo '5", que conesponde a los valoresdel esquema "?rq,).-P=S" pata las distintas combinaciones de suslet¡as e¡ el o¡den de VV, VF, FV, FF. Dicha columna fioal es:

FvvvCuando el esÍluema, por conpleio que sea, comprende una o dos

letras, el procedimiento seguido en nuest¡os ejemplos se muestlaexpedito y seguro. Cuando las letras son tres, ya no lo es taoto,Si son cuat¡o o más, no es en modo alguno recomendable. La raz6¡principal es que las combinaciones pata3, 4,5.,. letras son, ¡espec-tivamente, I, 16, 32,-.- y rápidameote exigen mucho tiernpo y riásespacio del dispooible, Veamos u¡ eiemplo de esquema con tres le-:.j.as, "p)q.|.-r)q"

P, q, r P>s .1. 4)q

v vvvvFv FvV FFF VVF VFF FVF FF

vvFFvvvv

FFvvFFFv

FVVvvvFVFVFFFVVvvvFVFVFF

28. Es posible acelerar el procedimiento de decisión mediante lassiguientes reglas de reduccióo aplicadas a las distintas conectivas:

162

a) Si una de las cláusulas de una coniunción es verdadera, laconjunción se reduce d la otra cláusula. Porque si la or¡a cláusulacs verdadera, lo es la conjunción; y si es falsa lo es Ia cooiunción.l)c una yez: "pV" se redtce a "p".

b) Si una de las cláusulas de una coojuncióo es falsa la conjun'ción es falsa. De una vez: "pF" se reduce a "F".

c) Si una de las cláusulas de una alte¡nación es verdadeta, lo es

l¡r alte¡oación. De una vez: "pryV" se teduce a '"f/".d) Si una de las cláusulas de una alte¡nación es falsa, la alterna-

ción se reduce a la oua cláusula. Potque si la ot¡a cláusula es ve¡-,lldera, lo es la alte¡nacióo; y si es falsa, lo es la alte¡¡ación."¡nb-" se teduce d "P",

e) Si una de las cláusulas de una disyunción es ve¡dadera, la,lisyunción se reduce a la negación de la otra cláusula. Porque si la,'rra cláusula es verdadera, la disyunción es falsa; y si la otra cláu-srrla es falsa la disyunción es verdade¡a. "?vV" se reduce a "-1".

f) Si una de las cláusulas de una disyunción es falsa, la disyun-r iir¡ se reduce a la otra cláusula. Porque si la otra cláusula es ver-,lrrrlera, lo es la disyuncióo; y si es falsa,lo es la disyunción, ''pwts'"rc reduce a "p".

g) Si una de las cláusulas de una falsedad-cooiunta es verda-,ltrrr, la falsedad-coojunta es falsa. '?+y" se reduce a "F".

h) Si uoa de las cláusulas de una falsedad-conjune es falsa lal,rlsedad-coniunta se reduce a la negación de la otra cláusula.I'orque si la ot¡a cláusula es verdadera, la falsedad-coaiunta esI'rlsa; y si es falsa, la falsedad-conjur!tá- es '¡etdadet^. "ptF".. rccluce a "-P".

i) Si una de las cláusulas de una incompatibilidad es verdadera,ln incompatibilidad se reduce a la negación de la ot¡a cláusula.l','rqrre si la ot¡a cláusula es verdadera, la incompatibilidad es falsa;y si cs falsa, la incomparibilidad es verdadera. "plV" se reduce a

i) Si una de las cláusulas de uoa incompatibilidad es falsa, larrr, rrnr¡atibilidad es verdadera. "plF" se reduce a "y".

li) Si el antecedente de un condicional es verdade¡o, el condicio-n,'l sc ¡educe al coosecuente. Potque si el consecueote es ve¡daderol,' r's el condicional; y si el coosecuente es falso, lo es el condieio-ú'¡. "V)p" se reduce a "p".

l) Si el consecuente de un condicional es falso, el condicionalr, rcduce a la negación del antecedente. Porque si el antecedente, , vcrdadero, el conclicional es falso; y si es falso, el condicional, s vcrdadc¡o. '? )r¿" se reduce a '1-P".

63 I

m) Si el antecedente de un condicional es falso, el condicional es

verdadero- Porque el único caso de falsedad del condicional tieneantecedente verdadero. "F )p" se reduce a 'nV".

n) Si el consecuente de un condicio¡al es verdadero, el condicio-nal es verdade¡o. Porque el único caso de falsedad tlel condicio¡¡altiene consecuente talso. "p)V" se reduce a "V".

o) Si una cláusula de u¡ bicondicional es verdadera, el bicondi-cional se reduce a la ot¡a cláusula. Porque si la otra cláusula esrerdadera, lo es el bicondicional; y si es falsa, 1o es el bicondicio-Í^1. "P=V" se reduce a "P".

p) Si una cláusula de un bicondicional es falsa, el bicondicionalse reduce a la negación de la ot¡a. Porque si la otra es verdadera,el bicondicional es falso; y si es falsa, el bicondicioeal es ve¡dade-ro. "P=F" se reduce a "-p".

Memorizar todas estas reglas sería seguramerrte exagerado. Espreferible familiarizarse con las con siderac iorie s, tan sencillas, que

permiten su deducción para estar así en condiciones de forma¡lasrápidameate donde sea necesa¡io. Para su aplicación en el procedi-miento de decisión se procede a asignar valores sucesiudmenre: a

una letra primero, luego a otra. El esquema, entonces, deLe ser con-siderado a Fa¡tit de la aplicación de 'i" a la letra, y luego a par-tir de la aplicacióo de "F". De este modo, se produce una especiede análisis dicotómico que se ilustrará en los elemplos que sigueo.En genetal, conviene empezar considerando, de haberla, la letraque más se repite en el esquema. Desarrollemos, el ejemplo ya aoa-t izad,o, "P )q.=.-q)-p":

p)q.=.*q-)-!

V)q. + -q) F-

q=-Gs)v

F )q. =-q)VV=Vv

Como se ve, el procedimiento es simple y rápido. Se disponenlas ramas del análisis de la misma manera: toda aplicación "Y" alaizquierda; toda aplicación "F" a la derecha. El empleo prooto yseguro de las reglas signífica a cor(o plazo la capacidad de anota¡et ¡esultado de una ojeada. Veamos ot¡o eiemplo!

Plq,).Pv -qt=P

Vlq.).V\¡ -qt=V-q:'V.=VV=Vv

[64

Flq.),r^v-qr=FV )-q. =F-q=f:q

Vt,

Si comparamos las dos ram¿s principales vemos que sólo la segun-da vuelve a bifurcarse, es decir, que sólo a la de¡echa es necesarioaplicar 'Y" Podemos deci¡lo de otra manera: Cuandoaplicamos el esquema resulta verdade¡o cualquiera sea elvalor de "q"; si aplicamos el esquema tiene el valor de

"4", Si anotamos el esquema en la fo¡ma "E(p,S'",lo anterior, pue-de decirse simplemente así:

E(V,q)=V; E (F,q) = qConsiderando nuest¡o análisis así como se ofrece visualmente,

podemos fácilmente averiguar el valor del esquema para uria combi-nación cualquiera. ¿Cuál es, por ejemplo, el valor del esquema para la combinació La primera "F" indica que debemosleer en la rama derecha; la segunda "V" que debemos seguit pot lasubrama izquierda, Allí encontramos '1/", es decir, para la combina-ci6¡ "FV" el valor del esguena "plq,).pv-q:=p" es "V",

Veamos para terminar un ejemplo de análisis de un esquema cootres letras:

p = - ry ñ. p

= q-t || : p ) q.\.- p-)t

V =-qr,v.V =q- r:l:V )q,'¡. F )r-qnq-r,l,qvv-qnq-r,lv-(-qnq-r)

F =-t\r.v.F = q-r:l:F ) q,'¿.V )r

-Fq¡h-Q-¡)' J'Vv¡q't-tt -qvr,lV

11

-(FmV -r)-(Fv -r)- (-r)

VF

-( V¡'vF -t)*ftvF )

FV

En este ejemplo, la primera rama de la izquierda se desarrollade modo completo hasta el análisis de todos sus elementos; la pri-mera rama de fa derecha, en cambio, sólo tequiere la aplicación"11" ^ "p". Estoquiere decir que cuando "p" es verdadera, el valordel esquema depende de

"E(P,q,r)" a nuestro esquema - del modo síguiente:Efr',q,t)=t(q,t)Cuaodo, en cambio, "p" es falsa el esquema lo es asimismo, es

d ecir:E (F ,q,t) = FImpotta destacar el paso de la segunda a la tercera línea en la ¡a-

nra de la detecha; ¡ara cllo se tomó en conside¡ación la ya estable-cida equivalencia cnrre los esqr¡emas "-(lrq)" V "*y'v-4". Es claro

65 I

que a pa¡tir de esta equivalencia se establecen igualmente lassiguie¡tes:(a) "-(?-q)" es equivalenre a "-P¡4"(b) "-(-?q)" es equivalente ^ "Pv-d'(c) "-GP-q)" es equivalente ^ "?vq"

Las equivalencias (a) y (b) son las que han petmitido el paso dela segunda a la tercera línea de la rama de¡echa. Es claro tambiénque en la terce¡a línea el esquema "qu-ry-qt¡-t" se reduce inmedia-tamente a "V", puesto que sus partes "q\-q" y "¡v-¡" son tautoló-gicas. La line^ "VIV" fué eliminada anotándose inmediatamente"F", su valor correspondiente.

29- Hemos establecido aI pasar toda una serie de equivalencias queserán de utilidad en una ¡educción que nos importa emprender. Vamosa mosttar que es posible reducir unas conectivas a otras dando así aestas últimas el carácter (convencional, desde luego) de cooectiaas|Íimitiuas mient¡as las p¡imeras se consideran como conectiuas de-riuadds, La sigoiente es la lista de equivalencias que importa teneren cueota para esta reducción:(a) "-?" es equivalente a(b) "-P" es equivalenre a(.\ "!q" es equivalente a(d) "P'¡q" es equivalente aG\ "Plq" es equivalente a(l\ "!tq" es equivalente a

G) "!)q" es equivalente a(h) "P)q" es equivalente a(.1) "P=q" es equivalente a

Un prirner sistema de defi¡iciones que redujera unas conectivasa oras sería el que basáodose en las equivalencias (e), (f), (g), (i)tomara como primitivas solamente la negaciín, la conjuoción, y laalte¡nación. Las definiciones que tendríamos que formular serían lassiguientes:

,,plp"

"wp""-(prq)"'.-(-p-d",,-(pq )""-p-q""-@-c)""-Pvs""Pqa-P-q"

(1) Plq = -(Pq)

rA (2) Ptq=-P-q(3\ P)q = - (P-q)(4) p=s= pqv-p-q

(Def. )(Def.)(Def.)(Def. )

Si coosideramos, además, la equivalencia (d), podemos eliminarla alter¡ación como conectiva primitiva. Pa¡a ello tendríamos queagtegar al sistema de definiciones (A) la nueva definición:(5) PYs = -e bs) (Def.)y además tend¡íamos que modificat la definición (4) que es la únic¿

lee

(lcl sistema (A) que incluye la alternación. Para esta modificación,

r¡tilizamos ladefinición (5). Se tiene:p qv*p - q = - ( (pq)- (-? - d)Es decir, el sistema de definiciones en té¡minos de la negación y

Ia conjunción tomadas como conectivas primitivas, setia:(t) !lq= -(Pq)(2\ Pttt = -P-,

(8\ (1\ p)q= -(p-q)

pl s=-pv-spt q= -(pa q)p)S= -?v q

(Def. )(Def.)(Def.)

(Def.)(Def. )(Def.)(Def. )(Def.)

(4\ P=s= -e@q)-(-P-q)) (Def.)(5) Pvq = -(-!-q) (Def.)

Si, por el'cootrario, flueremos elimioa¡ la conjunción como co¡ecti-v;r primitiva del sistema (A) y fo¡ma¡ un sistema de definiciones úni-

( ltmerite eÁ términos de la alternación y la coniunción' empleamos

¡,:rra ello la equivalencia (c) y formamos la definición:((,\ l,q = -(-p!-q) (Def.)

Oon ayuda de (6) eliminamos la coniuoción en todas las defioicio-

rrcs del sistema (B). Se obtie¡e de esta manera(1'

r(r)(]'(Att ) ?=q= -FPv-qh-Qt q)(6) Pq = -FP"-q)I)o<lemos, también, efecruar parecida reducción haciendo uso de la

rrtglción y el condicional. Pam ello bastaría defini¡ la coniuoción

lo¡ ayuda de la negación y el condicional y sustituir en el sistema

lll) rle modo atálogo a como lo hicimos pa¡a Pasal al sistema lC);

,,, también, definir la al¡e¡nación con ayuda de la negac!ón y el con-

,licional y sustituh eÍ el sistema (C). Las dos de{iniciones de que

l¡,rbl;rnros aquí se obtienen fácilmente a Pa¡th de las equivalencias

l¡) y (a) indicadas más atriba- En efecto, sabemos que "p)q" es

r r¡uivalente a "-(?-q)" ;de donde tesulta, evidentemente qte "-(p)q)"rs cquivalente a "P-I" Además, si eo el ptimer esquema sustitui -

v,rlcntc a "P-Gq)", es decir, a "Pq",f)or lo ranro, dada la equivalencia enÍe "*1p1-q)" y "pS"'

¡r'rlt.nros definir:t() ) l,q '-.(p -- -q) (Def. )

Asimismo, considerando que, según (h\ "p)q" es equivalente a

" /rvr¿" podcmos proceder de modo análogo a comohicimos para ob'

', 'r, r (6r)y formar:t','\ l',:q. - l \q (Dcf.)

A¡licanrlo (6') al sistema (ll), resulta:67 1

(r" ) Pls=p)-s(2" ) p{q=-(-p)q)

(D)(4'r' ) p=q =p)-q.)-(-p)q)(t') Pv q = -P)q(6') Pq=-(P)-q)Finalmenre, digamos que es también posible reducit considerando

sólo u¡a conectiva como primitiva. Se muest¡a ello tanto en relacióna la incompatibilidad como a la fals edad-conjunta. Para mostra¡ laposibilidad de esta reducción basta¡á con defioir la negación y laconjunción una vez en términos de incompatibilidad, ot¡a vez enté¡minos de falsedad-conjunta. Para el caso de la negación, hemos

formulado ya las equivaleocias apropiadas que eo duestra enume¡a-ció¡ anterior ocupan los dos primeros lugares. Para la conjunción,coosidérese que la tabla definitoria de "p14" es:

P' s plq

(Def.)(Def.)(Def. )(Def. )(Def. )

Fvvv

de modo que el esquema "plSl.plq"de la primera combinación; es decir,"Pq":

P, s plq.l'plq

se¡á verdade¡o sólo en el casoserá equivalente al esquema

vvVFFV

vvVFFV¡F

FVFv Fvv Fvv Fv

La equivale¡cia e*te "plq.l.plq" y "pS" y la equivaleocia (a)permiten formar las definiciones:

(1\ -p -plp (Def.)(6" ) pq= plq.l.p\,1 (Def.)Estas dos últimas definiciones permiten, aplicándose al sistema

(R), reducir las conectivas primitivas a la sola incompatibilidad.La ¡educción a la falsedad conjunta puede efectuarse elimioando

la alternación y aplicándose las definiciones de ¡educción al sistema(C). Para ello, basta considera¡ la tabla de "pJq":

l68

p, q ptq

vvt;I¡

vFvF

FFFv

Si, como en el caso aaterior, formamos "prq,r,P{q", su tabla es:

1,, s ptq.t..Ptq

V V FVFV F FVFI; V FVFI¡FVFV

rs decir, soo equivaleotes "p{q.t,prq" y "pvq", y considerandoIn cquivaleocia (b) poder¡os definir:

(7') -P=P;P\5tt) P'{q=Prq-r.Prq

(Def.)(Def.)

l,a sola conectiva que oo hemos eosayado en estos procesos de

rrrlucción es el bicondicional. Podemos probar que una reducci6ncr términos de la negación y el bicondicional es imposible, Parac llo consideremos la tablal

234567 8910 11 12 73 14t5 t6

v vvv vvvvFv Fv

vvvvVFFFFV V FFV F V

VFFVFVFV

PFvvFFVF

FvvF

FFvv

FFvF

FFFv

FFFF

r¡rc hemos formado al enuÍtera! las co¡ecdvas biproposicionales¡osihles y tomemos de ella las columnas que comprenden valorest' y lr en número par, es decir, las columoas er(tremas y las inter-rrrr,lins que comptenden dos valores V y dos valotes F. Te¡emos asíIn s iguiente tabla:

I

(

^)

I

vvvv

vvII)

FvFv

FvvIJ

13

FFvv

t6

FFFF

1011

vvFFFVVIJ

Ahora hien, si negamos una cual<luiera de estas ocho columoas,

"l ¡t'sultatlo es, evidcntenente, una columna que se encuentra entre

6eI

las siete columnas ¡estantes. Basn para da¡se cuenta que es asicon observar que las cuat¡o columnas de la detecha son, cada una,negación de la simétrica de la izquierda (consideraodo la línea ver-tical central como eie de simetría ). Además, si éstablecemos unarelación bicoodicional entre dos cualesquiera de las ocho columnas,es tambieo evidente que la tabla ¡esulta¡te es alguna de las ochocolumnas, Por eiemplo:(a) 1=6

vvvVFFvvvVFF

Es decir, el resultado de combinar bicoodicionalmente las columnas1y 6 es la misoa coluona 6. Ouo ejemplo:(b) 7=13

VFFFVFFFVvvv

Es decir, el ¡esultado de combina¡ bicondicionalmente las columnas7 y 13 es la columna 11.

Para mostrar que los resultados análogos a (a) y (b) se producensiempre basta con rechazar como iraposible todo caso en gue lacolumna resultante de compa¡at bicondicionalmeote dos columnas dela tabla (A) comprenda solameote ties valores V o solamente tresvalores F. Para que comprendiera tnes valores V sería necesa¡ioque las coluñnas comparadas tuvieran ambas tres valores V o tresvalo¡es F que se cotrespondieran lo que, manifiestamente, no sucedecon las columnas de la tabla (A). Para que cooprendiera fies valoresF se¡ía necesario que el cuarto valo¡ fuera también F, es decir, lacolumna resultadte pertenecería (como se sostiene) a la tabla (A).

Esquemas proposicionales que corresponden equivalencialmentea la tabla (A) son:

a(4\, p; a(6),q; a(13\,-p; ^(Ll\, -q: a(L\, F?;a(16), F-P; a(7), tsq; a(10\, p=-q

es decir, el conjunto de todos los úoooproposiciodales y biproposi-cionales elemenrales en té¡minos de negación y bicondicional; y loque hemos probado sobre tales esquemas es que toda combinaciónentre ellos con ayuda de la negaci6n y el bicondicional produce unesquema equivalente a alguno de ellos. La conclusión, entonces, esiomediata: ningún esguema cuya tabla comprenda tres valores V yuno F o tres valores F y uno V puede expresa¡se eo términos de

[70

ocgación. Con ello se excluyeo de una ptopuesta teducción a nega-

ción y bicondicional todas las conectivas iestantes (coniunción,

nlternación, incompatibilidad, falsedad-conjunta, condicional) con

ll sola excepción de la disyunción.

10. Un esquema olrettatiuo cuyas cláusulas consisten en: (14) letras,,imples; (20) letras simples negadas; o (30) cooiunciones de una

, ombi¡ación cualquiera de (14) y (20) recibe el nombre de esquema

,¡nmdl altet¡atiuo, Un esquema coniuttiuo cuyas cláusulas consistancn: (1a) leuas simples; (20) leras simples tregadas; o (3a) alterna-¡ iones de una combinación cualquiera de (10) y (2q), recibe el nom-

I'r<: de esqrema ,,o¡rndl conitnrh)o. Ejenplos de tales esquemas son:(n\ pq-rvp-qtv-p-r (esquemaoo¡malalternativo)(l'\ (pv-q)@tqv-¡)¡ (esquemanotmalconjuntivo)

Antes de proceder a una consideración teórica de los esquemas

rormales yeaúos, ayudándonos de algunos eiemplos, cómo es siem-

ptc posible üansformar un esquema ptoposicional hasta datle uoalorma cormal altemativa o conjuntiva. Sea el esquema:

!.)q.=. -pvpqln cade¡a de transfo¡maciones es la siguieote:(n\ -Pvq.=, -PaPqtt'\ (-lvq) (-F Pq)v-(-?v q)-Ft ¡?s)(, \ - p - pv - p pqt -Pqt Pqqv P -qP - @a )l ¿\ - 8 -Pqv Pqv P- q (-Pr - s )((\ -P1t -P4t Pqa ?-q-Pv P -S-s((\ -P't -Pqtqqv?-qI r\ -l1v pqv p-q

I-a transformación (a) se efectuó por la substitució¡ de "p)q"1,,'r su equivalente "-pyq",La traosfo¡mación (b) se efectu6 apli-, ¡¡ntlo al bicondicional (a) una t¡ansformación formalmente idéncica,r lrr que conduce d,esde "pq" ^ "pqa-p-q",La transformación (c)r-s más compleja: efi primer lirgar, se efectuó el'producto'que cons-riruye la primera cláusula de la altemación (b); en segu¡do lugar,re lplicó la segunda ley de De Morgan al producto que constituye lar, gunda cláusula de la alternación (b). El paso a (d) cornprende las¡'lf(r^ciones siguientes: ¡educción de "-!-P" a "-p", Puesto que

,rrnlxrs esquemas son evidentemente equivalentes; eliminación de

" l,lq", esquem^ cootradictorio que siendo siempre falso no afecta

'r l:r alternacióq (c); reduccióo d. "pqq" al esquema equivalente" ¡,¡" ; aplicaciín de la primera ley de De Motgan al esquema "-( pq)".l, I tsquema (e) ¡esulta de (d) po¡ el mero desarrollo del producto

"t,-qF|,¿-q)". lil paso a (f) se operó mediante la eliminación de

7r .l

"p-S-p" que siendo coltradictotio en riada afecra a la altemación(e), y pot la reducción del esquema ,,p-S-lt, a su equivalente ,,p-4,,.Fioalmente, el paso a (g) comprende la ¡educción d,e ..-pr-pq',

^"-2", equivalencia que es fácil ve¡ificar puesto que si ..-p,' esverdadero, "-pi-pq" lo es también; y si .,-p,'es falso, .,-*!-pq"es falso.

Es impocante desracar los pasos dados que implican operacionesgue, aunque obvias, no nos e¡an familiares. En primer lugat, la re_ducción de "pp" ^

.'p", Es evidente que si ..p,, es ve¡dadera o falsa"PP" es, corre spondientemente, verdadera o falsa. A esta propiedad(a falta de expresión más adecuada) podemos nombrarl^ ,n otororrís,de la conir.nci6n,

Eo segundo lugar, la eliminación de toda alternativa inconsis¡en_te o contradictoria se basa en la regla de reducción, ya conocidapor nosotros, según la cual ,,pvF,' se reduce a ,.p,,.

En tercer lugar, la aplicación de las leyes de De Morgan que pet-miten eliminar los paréntesis en expresiones de ta fo¡r¡a ,,-(pd" y"-(?"q)".

En cuarto lugar, la reducción de un esquema de l^ fotma ,,pvpq"a "p", La equivalencia de ambos esquemas es evidente.

Todas estas operaciones tienden a reducir el esquema a su formanormal alte¡nativa y a simplificar esta fo¡ma.

La ventaja de un esquema en forma oormal radica en que bastauna ojeada para averiguar su carácter. El esquerna de ouestro ejem_plo no exhibe su carácter tautológico en la forma primitiva con laevidencia de su forma notmal ,,-pv.fuvp-4,,, No es necesario oiagúncálculo para datse cuenta, considerando este úftimo esquema, deque se üata de una tautología, es decir, que es imposible hacetconil¡ntamente falsas sus tres cláusulas.

La reducció¡ a la forma normal coniunriva se puede efectuar di_tectamente a partir de .'-pepsvp-5". Es como sigue:G\ -P"Pcr p-q(h) -PvP(qa -q)(i) -p(qv-qhp@v -q)(i) (Pv- (qv -q)

El paso de (g) a (h) se opera mediante uoa ¡factorizacióo' en [apatte "pqvp-q". El paso de (h) a (i) se opera mediante la introduc-ción de un 'facto¡'inocuo que .multiplicat a ,,-p,,este facto¡ es la rau_tologia "qv-q", Es evidente que "-r" y ,,-!(qv-q),'soo equivalen-tes. El paso fioal de (i) a (i) se realiza mediante la ,facto¡ización,delesquerna (i) cuyo'factor comitn, es ,,qt-q",

Si hubiéramos seguido el camino que se oftece naturalmente apartir de los princi¡rios de disuibución que nos son conociclos, elItz

rcsultado se mostra¡a más coúpleio, aunque rio menos manifiestamen-tc exhibi¡ía el carácter t¿utológico del esquenra prinitivo:($\ -?"pqu P-s(rt) FWp)Fplqhp-s(i'\ (-pvp'¿p- (-Paq,¡ p-s)(i'\ eprnil e?upu-s) Fpvqv|) (-!vqv-s)

Los esquemas normales conjuntivos exhiben de modo fra¡camente¡rste¡sible el ca¡ácter tautológico del esquema primitivo: se trata deconjuncior¡es cuyas cláusulas soo tautologías.

Veamos todavía otros ejemplos de reducción a un esquema tor-rr¡1. Sea el e squetua:

-Qlil=,D-s(,\\ -C@q))=.-pr-q(b\ !¡q=. -pa -q(c) PqG?v -qh - @q)-(-pv -q)(ü

2 - pq'r p q-qv (- pv - q)pq(. ) ? - P qv P q - q! - pp qr p q - q(t\ f-pqvpq-qI ¡a) ¡t-P

I-os pasos dados hasta (e) nos son familiares. La fo¡ma de (e) es"li,vE2vE'vE2"; y el paso de (e) a (f) consiste en reducir dicho es-rlucma a otro de la forma "ErvB""; es decir, la transformación efec-¡r¡ada se basa en la equivalenci^ ¿e "pvp" y "?" o, dicho con u¡atcrn¡inología que ya nos es familiat, en l^ 'rnonotonía' de la alte¡na-r /rí2. Finalmente, puesto que ambas cláusulas de la alternación (f)rorr inconsistentes, es decir, siempre falsas, hemos dado el paso (g)rr¡stituyendo (f) por la inconsisre¡cia más simple ,'p-p',, Se ve,Itrcs, que al llevar un esquema proposicional a su forma normal al-¡.r .rtiva, su inconsistencia, de existir, se hace üansparente como loes l¡r validez a través de u¡ esquema normal coniuntivo.

(;cneralizando a partir de los dos ejemplos anteriores podemoslorrnular lo siguiente: Si uo esquema es tautológico, su fo¡ma normalr.njuntiva consta de cláusulas - que son alte¡¡aciooes de letras,'l¡¡r¡llcs o negaciones de leras simples - etr cada uoa de las cualesr¡¡r¡r letra a lo menos áparece oegada y afitmada; y si un esqueúa es| ('ntr¡rdictorio, su form¿ normal alte¡oativa consta de cláusulas - gueri'rr conjunciooes de letras simples o negaciories de letras simples -¡rr r-¡rrla una de las cuales una letra a lo menos aparece o.egada y aiit-rr,r,l¡. Ahora, un ejemplo de reducción a forma normal alternativa de¡r. .squema coo tres letras:

I,lq. ). -.p{tt = ttv -q).-r \ ptn\ .(tt't) )1,-t.: :p\- q.-).-rvl

73 1

(b) ?qt ! -t. =, - (pv - Sfu-¡g p(c) Pqv P-r, -.-pqv-m p(¿\ (pqvp-r) (- pq\-rv p h - Qqr p -r )- (- pqa -rv p )(e) p-pqqv ps -ñ pp?t p - pq-rv p -t -w pp -w-(pq)-(p 1)- (-fq), -?(Í) !q-tr pqrp-w(-pvq) GPÍt) (pv-q)-Pt

G) pq-r'¡Pqrp-r'l(-?v -q) (-? - q'¡ ?r!- qt) - pz

(h) p q -n pqv p -t\ (-Pv -q) (-p-q r -p-q¡)(i\ ?q-nqqvP-¡v (-p'¡ -q)-p-qr(j) Pq-NPqeP-ñ -P-qr(k\ pqvp-n-?-qt

Los pasos (a)-(d) no requieren comentarios. En (e) hemos desa-rrollado el 'producto' " @qv?-¡) (-pqv-m?)"; además her¡os úans-formado, mediante la seguoda ley de De lVlorgan, "-(pq\?+)-(-p<w-tvp)" en "-(?q)-(!-¡)-FPql-P". Et paso de (e) a (f) comprende:(1)eliminación de Ias alternativas inconsistentes "p-pSS" y "p-pq-r" ;(2) transformacióo de "ppq" er "pq", de "p-t-t" en "p-r" y ¿e

"pp-t" en "p-t"; (3\ transformación de "p-mp-r" eÍ "p-t";(4) aplicación de la primera ley de De Morgan a "-@q)", "-Q-t) " y"-(-?q)", El paso de (f) a (g) implica solamente el desarrollo delprodtcto "(-P,tr) (F-d" y la eliminacióa en éste de la inconsiste¡-ci^ "p-p" (h) ¡esulta de la 'multiplicación' del esquema "l-p-4vpn-qr)" por el esquema "-p¡", de la anulacióo de la incoosisten-cia "pr-l¡t" y de las ya familiares reducciones por monoronía. Lafase (i) se alcanza mediante la reducción de "-p-qm-p-qt" a "- p

-qr", La reducción, por desarrollo 7 monotonía, de "(-p't-d-p-qr" a

"-p-qr" produce (j). Y, finalmente, (k) ¡esuha de (j) mediante latrafrsformación d,e "pq-*pq" ei "pq".

Eo este ejemplo eüconttamos nuevas enseñanzas que pasamos afijar inmediatamente.

En primer lugar, la aplicación de la segunda ley de I)e Mo¡ganal esquema "-(-pq\-np)" pudiera prestarse a escrúpulos, puestoque se trata de una alternación con tres alte¡nativas. Sin embargo,explicitaodo la agrupación deotro del paréntesis se ve que la leyes la misma:

"-( -?qv(-nq))" es equivalente a "-(Pd-Fry?)""-(*pq)-(-t\p)" es equivalenre a "-(-!qh-p"Es claro que esta manera de proceder se aplica a un número cual-

quiera de alternativas. Si Er, Er, ... li¡ son esquemas proposiciona-les, tenemos, cualquiera sea ¡, el bicondicio¡al válido siguiente:

-(E,rE"'r...vE.¡=-E | -E2-,. ' -ErlIgual consideración vale en el caso de la primera ley de De Mor-

gan, es decir, cualquiera sea n, es válido el bicoodicional:I t¿

-(E, 8 "...

E ) =- E,v-8 2v...\-E ¡Importa también señala¡ la transfotr¡ación de "pq-rapq" en "pq"'

t¡ansfo¡mación de la forma ya conocida que permite pasat de "pvpq"t "p"' Es muy evidente que, generalizaodo, cualesquiera seao loscsquemas proposicionales E' E' es vrálido el bicondicional:

E, E

"v Er=E

"puesto que si E, es ve¡dadero, lo es también "EtE"vEr"; y si E,

cs falso, lo es asimisrno "ErE"vEr".El esquema ootmal conjuntivo que cortesponde a nuestro esquema

primitivo se puede obtenet ditectamente desarrollando (k):(k) PqvP-ra-P-qt(t\ (pvpl (pv-t) (pt q) ( qv-¡h-P-q¡(n) (Pv-!) @vd @v¡) (pv-n- (?v-m-q) (?v-¡'¡r) (Pvqv-p) (pvq!*q)

(Pv qvt ) (W-n-P) (qr-ry-d(qv-rvt)(¡) (?v-ü @v¡) (Pv-qv-t) (Fqvt) (qa-/r-p)(o) (P,¡ -d @v¡) (-?vqv-t)

La explicación es simple: de (k) a (m) no hemos hecho oua cosaque 'multiplicar', es decii, aplicar el ptincipio del patágafo 2I:

pqvrc=(Pw) @vs) (q\r) (qvs)

El paso de (m) a (n) ha sido efectuado mediance la eliminaciónde los paréntesis que comprenden una letta y su negación como

alrernativas, es decir, tautologías de la forma "pv-paq"' La raz6¡de esta eliminación reside en que una tautología ¡o afecta a una

conjunción, ley que introdujimos ya al formular la regla de reduc-

ción según la clual "pV" se reduce a "p"' El paso fioal, de (n) a

(o), se efectuó mediante las transformacione s de

"(fu-q) (?v-q"-r)" er "Pr-q"v " (pt) (prqt)" ea "Pvt"¡rara darse cuerta de las equivalencias implicadas, véase Primeroque soa equivaleres "p(pvq)" y "p", Ei efecto, si "p" es ver-dadero, lo es "p(p'rq)"; y ti "p" ers falso, lo es "p(pv4)" Resultaigualmente obvio que, cualquiera sean "E." y "Er", "E r(E rvE")"y "Er" son equivalerites. Y éste fué el principio empfeado en latransformación que coadujo de (n) a (o). Así como (k) muest¡a que

cl esquema original no es contradictorio, así también (o) muesuaque no es tautológico.

Acaso, los ejemplos expuestos nos hayan enseñado suficientecomo para mosúar ahofa que todo esquema puede ser expresado en

forma normal alternativa o conjuntiva. (1) En primer lugar, se6alemos

que cualquier esquema comprenderá una conectiva principal; y si,licha conectiva no es negación, conjunción o alternación, bastarátri¡nsformer el esqr¡ema de modo que desaparezca. Así, siendo "Er "

75 l

y "Er" esquemas proposicionales cualesquiera:"Ett E2" se transfo.ma et,,-(ErtEr)""ErlvtE2" se t¡ansforma e¡ ,,Et-Ezv-EtEz""E\)E2" se transforma en ,,-ErvEr""EL=EI" se transfo¡ma et "ErBrv-Er-8""(2) En segundo lugar, impotta indicar que toda negación delante

de un pa¡éntesis puede confinalse a sus cláusulas porque (lq) segúnlo recién señalado el esquema dentro del paréotesis será o podrátransformarse en un esquema alternativo o coniuntivo; y (2a) segúnlas leyes de De Morgan "-(Er9ry' y '.-(E,vEr)" se tra¡sformanrespectivameote en "-Erv-E." y ',-Er-Er".

(3) En rercer lugar, indiquemos que la combinación de las doscondiciones anteriores petmite confinar la negación a las letrasy dejar e! esquema reducido a un complejo proposicional constituídopor la negación, la coaiunción y la alternación; uno de los casosmenos especiales será de la forma siguiente:@\ ((Pvqry-s)-psv -t(w-pvs )) (pqt-ps)

(4) En cuarto lugar, la propiedad disr¡ibutiva nos permite obtenero (1q) una alte¡oación cuyas alternativas sean solamente de la formadigamos "-pqt-s", es decir, seao conjunciones cuyas cláusulassean let¡as simples o oegaciones de let¡as simples; o (2p) u¡a con-iunción cuyas coniuntivas sean solamenre de la forma digamos"pv-quns", es decir, alte¡naciones cuyas cláusulas sean letrassimples o negaciones de letras simples. En una palabra, toda estaconsideracióo muesua la posibilidad de transfo¡mar cualquie¡ esque-¡na en otro equivaleote que sea normal alterDativo o normal conjun-rivo, La reducción de (a), saltando pol ent.e lo menudo, es:(b\ (-p sv-p qr sv q -rv-? -,-41s ) (pqv-ps)(c\ pq-m pq-rsv -psv -pq/s\-pq-rs!-p-rs(d\ !q-¡v-ps

Es interesa¡re señalar, de pasada, la reducción de ,,-psv-pqtsv-pq^rs'¿-P-rs' ' a 't-ps". Ya conocemos la regla; sólo que aquí seaplica sucesivamer,re. t'-psv-pq¡s" se reduce u "-ps";luego, .,-psv-pq^rs" se ¡educe ^ "-pt"; finalmente, "-?sv-p*rs" se reduce a"-ps". Es claro que basta mirar los cuat¡o últirnos términos de (c)para darse cueota de que si "-ps" es verdadero, Io es la alte¡naciónformada por ellos; y si "-ps" es falso, lo es también dicha alterna-ció¡. La regla, entonces, puede generaliza¡se así: cualesquierasean los esquemas E. E., E",,.Eo:

"F'rvE,E"'tE,E"v.. vE,F' o" es equivalente "Er ",

[ 16

I l. En varias oportudidades hemos aplicado un principio de sabstiru', ió¡. Por eiemplo, partiendo de tautologías como:(i\ P)q, =,-Prq0,\ plq. =.-@q)(c) I¡v?q.=?(,t) P(p,tq)=plrcnros elaborado las nuevas tautologías:(¡¡'( l,'

( ¡lr

E,)E", =, -E rvE "ELlE,,=.-(EtE,)

E,vE,E,. =E,E, (E,vE")=E,

IJs decir, si por ejemplo hacemos: Et= -p)q; E,= -p"-5, se tendrá:("" \ -p)q.). -p"-q:=. -(-p)q)'¡ Fpv-q)(t"') -p)q.1. -pv -q | =-((-p)q) (-p\-q))(c" \ (-?)q)t(-p)d FPvq)=FP)q)(n" ) Gl,)q) ((-p)qh ePv-q))=FP>q)

I-a posibilidad de substituir una let¡a de an esquema taurológicosiempre que la substitución se haga en todos los lugares en que

\( cncueotra la letra y eo todos los lugares por el mismo esquema\rrstituyeote - por un esque,ra proposicional cualquiera y sin alterarrl carÁctet taurológico del esquema que resulta, tal posibilidad se,lcbe a Ia rat taleza misma de una tautología, En efecto, la tautolo-¡¿íl es verdadera cualquiera seao los valores de sus letras o cláusu-lns, de manera que la substitución de u¡a letra en las condiciones¡rntcdichas no puede alterar la tautología. C)tro tanto puede decirse,lt un esquema ioconsistente; puesto que un tal esquema es siempreIrlso poco importará al esquema qu€ sustituya una de sus letras en¡ ¡rtla una de sus ocur¡encias: el carácter coot¡adictorio se co¡rser-v rrrá. Por e jemplo:((\ l'¡*p. ). q-qr! uri esquema proposicional siempre falso, puesto que su antece-,lcn!c es una tautologia y su coosecuente, una contradicción. Pode-rnos substituir, por ejemplo, "p" pot ¡'p-qvr" de doode ¡esulta elI s que ma:( (' ) (p-qvth*(p*qvr),).q-q,¡rrc sigue siendo una contradicción-

l.a operación susaitutiva será indicada en el texto mediante un

t,¡rr(lntesis anotado a la derecha del esquerna eo el cual se ha efec-¡r¡rr,Lr la sustitr¡ción. Sea, por ejemplo, el esquema "p),pv4,, donde\lsrituímos l^ p^rte "P" pot el esquema .'rs". t,a secuencia quer¡'rl'lic:r nuestra o¡er.rciórr se anora asi:

77 I

?).pvqts ),f svq

El sigr.o "ts/0" se leei "7s" sustituye a "p", Ilusttemos toda-

vía sobre las condiciones de la sustitución.La substitución en un me¡o sistema consistente, ¿qué podría

significar?, Que una leca puede ser substituída por un esquema

cualquiera sin que se altere la tabla de valores del esquema primi-tivo. Pero, esta condición no puede cumplirse en general. Por eiem-plo, la inofensiva subsritución d,e "-p" pot "q" e¡ t'Pq" cambia elcarácte¡ del esquema y de consistente que era lo traosforma en

contradictorio.En cuanto a la sustitucióo patcial dentto de un esquema tautoló-

gico, no respeta una de las condiciones impuestas a la sustitución.Pa¡a ve¡ lo ilegítimo de aquella operación basta el ejemplo siguien-te: Susrirúyase e¡ "-Q-P)", esquema tautológico, la letra "p"por el esquema "Poq", peto sólo parcialmente. Resulta:(f) -((p"q)-p)(f,\ -(p-F-pq)(t,,\ -FPq)$Ít \ pv _q

El esquema (frrr) es equivalente a (f), perb no es ya una tautolo-gía como silo es "-(p-p)", donde sustituímos parcialmente. Eo unafrase: la sustirución parcial no es süsritl¿cidn,

No hay que confundir la sustitución de una leua, por ejemplo

"p" eo el esquema '?)4.1.p-q", con el reeflpldzo que se hace a

veces de una parte de un esquerna por otto eqaiualenfe a dicha par-

te; por ejemplo, el reemplazo de "p)q" por el esquerna "-pv4"en el esquema ^Íterior, "p)q,l,p-q", Crando dos esquemas son

equivalentes sus tablas de valores son idénticas; de manera que,comportándose ambos de la misma manera en relación a los valo¡esttverdadero" y ttfalso", puede hacerse el reemplazo de uno por

otro en un lugar solamente, sin que ello afecte en nada al comporta-miento del esquema total, Por ejemplo en:(s\ ?)q. =. -p:):p)q,\. -qpuede reemplazarse "p)q" pot "-poq" en un lugar solamente resul-tando:(E ) P,-q. =. -Pt ) !-Pvq.v - qesquema equivalente al anterior, El reemplazo, además, se puede

hacer en un esquema cualquiera (y oo como la sustitución que seaplica solamente en las tautologías) sin alterar la tabla de dicha es-quema. Es evidente que en el esquema merámente consistente:(h') -fw qvr

| "n

(,s / \p

l)odemos reemplaz^r l^ P^tte "-prq" pot su equivalente "p)4",,lc lo cual resulta el esquema equivalente:(h' ) P)q.vrtiinalñerite, el reemplazo lo es de una parte compleja, no de una le-rra simple, como la sustitución. No hay, pues, posibilidad de coo-

frrndir reemplazo y sustitución.Ni la hay ta¡npoco de coofuodir reemplazo e inte¡cambio' El i¡ter-

cambio se refiere únicamente a las definiciones y es la opetaciónr¡re consiste en colocar el definido en lugar de la definición o la¡lcfi¡ición en lugar del definido, Hasta aquí, el intercambio no es

r4reración que tefrgamos nosotros ocasióo de efectuar. Cuando t¡ate-r¡¡os del cálculo de proposiciones se presentará la oportunidad de

cfectua¡ inte¡cambios, Insistiremos rcdavía sobre esto al hablar de

rr¡nsfo¡macióo ea el parígtafo 15.

12. Hemos aprendido a reducir un esquema a su forma normal alte¡-rrotiva y conjuntiva. Importa indica¡ el empleo de las formas riormales.rr tógica de proposiciones.

(1) En primer lugar, como ya lo hemos sugetido, la transformación,r forma normal es, a su rnanera, un proceso de decisión, Si, por

cjcmplo, un esquema ha sido reducido a la forma:(r) Pq-*-PqrrP-qtsnbemos: (1n) qoe.to es una contradicción, puesto que para etlo.ic¡ía necesario que no pudiéramos hacer verdade¡a ninguna de susclírusulas; es decir, que cada una de éstas contuviera una letra ylrr negación de esa lera (ser, p. ej., de la forma "pS-F") lor¡rc no sucede con (a); (2q) que no es una tautología, puesto que bas-rrr aplicat una combinación que no sea ¡i "VVF", ¡i "FVV", ¡i"vl;v" pat^ que (a) resulte falso; y (30) que es verdadero solameote¡ rr los casos VVF, FVV, y VFV,

Asimismo, si el esquema es conjuntivo, si es, por eiemplo:tl,\ (¡n qv ) (p!*q ) (-pv qv4)r¡rbemos: (1n) qoe oo es ura tautología, puesto que para serlo susl¡rctores debieran ser tautologías, es decir, contener una letra y larrc¡¡nción de esa letra (ser, p- ej., de la forma "-yrqvpvr"), lo qterr¡r sucede con (b); (2e) que no es una conÚadicción, puesto que bastarontr¡ una combinación que no sea ni FFF, oi FVV, ¡i FVF, niI'l¡v, p^ra que (b) resulte verdadero; y (3a) q"e es verdadero sola-fn..nrc e¡ los casos VVV, VVF, VFF, y FFV.

(2) Fls posible ambién que queramos averiguar específicamenteri un csqucma es o no tautológico. I-o indicado, en tal caso, esI'r¡st-ir¡ su forma normal conjuntiva. Sea, ¡ror ejemplo:(t ) l) \,.1 )t, \.lt tr 7q I

la cadena de transformacione s es la siguiente:(.') -(p-d-Q-r))-(p-r)(c" ) -( -Q-d-Q-t) )v-(p-r)(c'tt\ (p-.1\(q-t)\-prr(.'u \ (pvs) (p"-t) (q'¡-q) (-qv-¡) v-pvt(. " ) (pv-p¡d Q'r-py-t ) (-.pu qv-q) Fpo-qv-r),¡,(cv') ( Pv -P'¡ qv t ) ( Pa -¡xtr!-t ) (- p! qv- qvt ) (- pv- qv*-t )

En el caso de su forma normal (cvr ) , el carácter tautológico de(c) se muest¡a de modo patente por el hecho de ser las cláusulas de(cv'), todas ellas, tautológicas; porque todas comprenden una par-te d,e l^ form^ "p'¡-p".

(l) Podemos, por el cootrario, estar interesados eo verificar unacontradicción; lo que debemos hacer en tal caso es dar a[ esquenauna forma no¡mal alternativa. Sea, por ejemplo:(¿\ p -'\q.q )t. -(p)r)

Basta una mínima familiaridad con los signos empleados en (d)para datse cuenta de su carácter contradictorio. Obtengamos, sinembargo, su expresión normal alternativa:(d'\ (- Pvq) G qvr)-(-@-¡))(d"\ (-p-q,¿-p* q- q\ qt)p-t(dttt\ p- p- q-n p- Pr-rv ? q- q-ry p qr-r

Todas las cláusutas de esta últinra alternación son ostensible-mente inconsistentes, condición necesaria y suficiente, tratándosede una alternación, para que sea ésta una contradicción.

(,4) Hay una importante relac.ión entre las fo¡mas normales alter-nativas y las formas normales conjuntivas, relación que se expresamediante la negación de una u ot¡a de estas fo¡mas.

En primer lugar, observenros que el manejo de la negación no essimple cuando se aplica a un esquema y que lo más práctico paraatinar correctamenre con todo el sentido de dicha negación es bus-car la manera rle relegarla a las partes últimas del esquema. Es poreste camino que se llega a la idea de reduci¡ un esquema a su fo¡manormal, puesto que las leyes de De Morgan suminist¡an un expedien-te obvio para la relegación antedicha cuando el esquema negado esula conjunción o una alternación. Ahora, queremos atendet al ¡rara-miento de la negacióo de un esquema que va es normal. Sabemos quetodo esquema puede adoptar esta form:¡. Sea, por ejemplo, el esque-rña "pqr'lp-q\ p-r" y veamos cómo formar su negació1. lis nruyclaro que todo e! dcsen¡eño correspi;rrrle aquí a las leyes de Delr'torgan. La cadena de t¡aosformaciones es la si6uiente:(e) -(PqrY l-qt\P-r)(c'\ - ( lqt) - (f- qr) - ( t; -t)(et') (-lN-qv-r) (- lv tr) -t ) (-1"¡t)

I tttl

Vemos, entonces, que al relegar la negación de nuestro esquemanormal alte¡nativo a sus últimos elementos (es decir, sus letras) se¡ransforma éste en un esquema normal conjuntivo. La relación entreel esquema normal que se niega y el esquema riotmal que ¡esulta denega.lo es la siguiente: Donde el primero comprende afirmaciones,el segundo comprende negaciones; donde el ptimero comprende nega-ciones, el segundo comptende afitmaciones; donde el primero com-preode coniunciooes, el segundo comprende alteroaciones; fioal-nente, donde el ptimero comptende alternaciones, el segundo com-prende coniunciones. No es dificil darse cuenta de que la transfor-mación (e)-(err) es formalmer¡te idéntica a cualquieta otra quedebamos hacer para formar la negación de un sistema norñal aher-nativo y que responde a las indicaciones siguientes: Niéguense lasletras afirmadas, afí¡mense las negadas; inte¡cámbiense e¡t¡e sí¡lternación y negación. Por ejemplo, la negación de:(t) pqtnpq-rr ?- qtv p-q-n-pqN- P-qtsc anota inmediatamente así¡( Ít) (-!v-qv-¡) (-pv -qvt) (-pv qv-t) (- pv qvt) 1p,¡- qv-r)(pvqv-t)

Es evidente que, siendo (ft) la negación de (f), la oegación detle (fr) es equivalente a (f). Por taoto si la negación de la formanormal alte¡nativa de E es idéntica a la fo¡ma normal conjuntiva de/jr, ¡j es equivalente a -Er. Ot¡o tanto cabe decir intercambiandolas palabras "alternativa" y "coniuntiva". Por ejemplo, sabemosqñ "-p)q" y "p+q" so.t uno negación del otto. I-a forma no¡matconjuntiva de "p+q" puede considerarse ,,-p-q",y la negación decsta última es "pyq", esquema equivale¡ae a ,,-lr)q",

(5) Encontramos, pues, aquí otro empleo de la forma normal; lanegacién de ud esquema puede efectuatse rápi<lamente cuando pre-viamente se da cl esquema en su forma normal. Con la regla de ne-g:rción podernos verificar rápidamentetoda u¡a serie de equivalenciasque hemos establecido en orros lugares. Por ejem¡lo, ¡attiendo de"1.,)4", formamos su negación:(t\ -(1,)q )(f') -Cp\.l)(Itt\ !-.1

I-a equivalencia de "-Q)d" y ',p-tI" nos pcrnritc deducir la.'Í$e "p)q" y "-Qr-.1)",

^simismo, particndo de ,,p\q", formamos

su negación:

Q\ -Qlt)(s'\ -GI>v-q)( x"\ l,ql,!ago, "¡lq" cs cqrrivalcnte t -(ltq), arc.

8r I

(6) tln empleo todavía más importante de los esquemas normalescs cl qrre encont¡amos en la aplicación del lfamado ptincipio deduatidud, Supongamos q:ue Er y E¡ sean esguemas no¡males (nonecesariamenre de la misma especie) y que además sean entre síequivale¡ltes; podremos entonces formar la oueva equivaletrcia si-guiente:

-tl,=-F."Sean Iir' y E"' las ¡egaciones de ambas cláusulas expresadas

ahora cn su forma normal. Tendremos entonces el bicondiciooaltambién válido:

IiL' :.11.?'

cuya sola diferencia con la equivalencia ,,Et=Ez,' es el truequepreciso entre la afirmación y la negación y enre la conjunción y laaltetnación. Ilasta entooces la sustitución ei ..EL'=É.2"' de todaslas let¡as por sus negaciones para obtener .Er"=E""'cuya dife-rencia con "Ilr=I¡,r" reside solamente er¡ el trueque preciso entrela altcrnación y Ia conjuncióo. Veamos todo esto en un ejemplo; sa-benos que:(h\ P(qvr)=. pclvl,trrcgalrJo anbas cláusulas resulta:(ht ) - (p(qvt ))=-(!qv ü)fo¡mando negaciones con la ayuda de nuestra regla de negación:(ht' ) - pt - q-r. =

(- 1t't - rl ( - lN -t )Sulrstituyendo "p" pot "-p", "4" pot ',-U', y ,,t', por,,-r" y apli-cando el principio de doble negación, resulra:(httt ) 8q¡. =Qvq) (pv¡)Es decir, aplicando el principio de dualidad, probamos, a partirde la disr¡ibutividad de la conjunción respecto de la alternación,la distributividad de la alcernación respecto de la conjuoción.

[,]s claro que los pasos (h') y (h,') no son necesariosapIicando directamente el principio de dualidad, podernostlirectamente, (h"') partiendo de (h). Así, por eiemplo, la

y que,fo¡ma¡

e quiva-lcncia r

(i) (Pvq) ftv s)=prr psv qn qspermite obtener inmediatamente:(it \ (¡qvrs )=(pvr) (lw s) (qvt) (qv s)p.iocifio de clistribu¡ivi¡lad esre riltimo que más atráss ién de estal¡leccr.

31, Iil priocipio de dL¡alidad se b¿rsa cn el priocipio de ne¡¡aciónrle un esqtrclrr ¡ror¡n¿rl; cste úl¡in¡o rcsr¡lta a su vez cle a¡rticar di-recrit¡lcnte las lcycs gcncrirlizrrdas (lc f)c \lorgan, es rlecir, last¡llto log í.rc.

I ¡z

(l\ -(F.\E2..... E)=.-E,lo-F'rv.... .r,-E o()\ -(E,.vE^v...Er)=-8, -8, .'.,,."... -Erl)ichas tautologías, en último extremo' se ¡educen a las dos siguien-

( \\ -(pq)=-pv- q(4\ - (Pv q)=-P-q

l;inalmente, la razó¡ de las leyes (3) y (4) reside metamente en lann¡uraleza de la conjunción y la alternación. Para da¡se cueota de

. srrr razón basta al fin de cuentas con atender a los dos priocipiosri¡quientes:

(a) La conjuncióo es verdadera si y sólo si sus dos cláusulas lo

(b) La alternacióo es falsa si y sólo si sus dos cláusulas lo son.

tls deci¡, la conjunción y la altetnación se comportan de modo

r,ltlntico sólo que la ptimera coo respecto a la vetdad y la segunda

' orr respecto a la falsedad. Esto se puede Pooer a la vista mediante

l¡r s tablas siguientes:

rn) p,q pc (b) P,s Prq

vvVFFVFF

( onsidéreserr obtiene:

vFFF

la tabla

FFvv

(b) y agréguese

-p-q

FFvvFVvvla correspondiente

tt,'\ p,q !,¿ q

I:F F V

FV V FVF V I:vv v F

,l.,londe resulta:t t'\ (tNqE-Cp-q)I ., cvirJente, que del mismo modo se establece:t \t ) (ut)=-(-p\ -q)

(irmpárense exhaustivamente las tablas (a) y (b); genetalizandol,¡ l<'lnción en que se encuentran, que de¡ominamos ¡elaci6n de daa'li,l¿¡|, la defi¡imos como aquella existente entre dos esquemas pro-

l¡¡¡ricionalcs cuyas tablas son idénticas excePto en el ttueque Pre-, ir,r y cxh¡rustivo que al pasar de una a otra se produce entte losv¡t¡'rcs V y l/. l,il ¡rincipio dc dualidad, cntonces, se funda en la¡rl,¡r iírn rl¿. rlunlirl¡d ¿ xist< nrc cntrc la conjunción y la alternación-

83 I

Consideración semeiante a la hecha sobre la conjunción y laalternación puede hacerse sobte la incompatibilidad y la falsedad-conjunta. La falsedad-conjunra se describe como la incompatibilidadsólo que poniendo ¡'ve¡dade¡o" allí donde en la descripción de estaúltima dice "falso", y ',falso" donde dice ¡.verdadero":

(c) La incornpatibilidad es falsa si y sólo si sus dos cláusulasson verdaderas.

(d) La falsedad-co¡junta es verdadera si y sólo si sus dos cláu-sulas so¡ falsas.

Podemos, pues, formar las dos tablas siguientes:

(c) p,q plq (d) p,q p+q

FF VFV FVF Fvv F

Y análogame¡te a como obtuvimos (b'), fo¡rna¡:

(d') p,q prq -pl-qFF V FFV F VVF F Vvv ' v

de donde tesulta la equivalencia de dualidad siguiente:6) p{q=-epl-s)

Puede mostrarse sin dificultad que el esquema ,.p,, es dual de símismo. Para ello ptocedemos a formar de antemano las tablas de"P" y de su esquema dual; éstas son:

PP P r(P)

VV F FFF V VEs muy evidente que el esquema incógnito ,,x(p),' es idéntico a

"p". Aiot^¡do, como en los casos ante¡iores el principio dualcomo equivaleocia, se tiene:(6\ P=-¡-pS

Así, también, ''-2" es dual de sí mismo. En efecto, volviendo alprocedimiento mediante tablas:

P -P ! x(P)

vv FvF vFV VFF V

VFTJV

Ie¿

FVVF

\' "x(l))" es idéntico a "-p", .. decir, tenemos la equivaleocia de

,lr¡¡rlirtad:

tt -t)=-ce )Itudimos ¡ecu¡rir a este

.ntc "plq" y "P+q"' Enr rrin de tablas, se tiede:

t:'J-*a!-VVFvFvttvvIi FV

procedimieoto para establecgr la dualidad

efecto, siguiendo el método de conf¡onta-

!' q *@'q)

FFVFVFVFFvvF

r¡r lo cual se hace osteosible que el dual d" "Plq" es "Ptq"'I)odemos preguntamos también por el esquema dlual d'e "p=q" '

t', q ?=q P, q r(P,q)

VVVFFFVFFFVVI;VFVFVt¡FVVVF

l l csquema "x(!,q)" es "!a¿q", es deck:t tt\ l=q.=.-e?f'-q)l\1..(li¡rnte ¡ablas, se tiene:

¡,,_q p =q -p -q -pt¡-q -Gtn-q)VV V F F F V

VI¡ F F V V FI¡V F V F V FI¡ IJ V V V F V

Los ejemplos, habrá¡ mosrado ya claramente que E. es dual de

l', si y sólo si sustituyendo todas las lettas de E. por sus negacio-

r,.. y negando E, el esquema resultante es equivaleate a E¡' De

,u,,rr"ra más formal "82(p,q,."'. ,,.,s)" es dual de "ELQ'q""" s)".r y sólo si:('t\ ti t 0,,q, ....... s )--E 2(?,-q, '.."., -s)

' " t'¡r¡ t icular:| -(-p)t,-(-(-p))

l,q,-(-p,-q)¡,q -Gp -a)t,lq -?Pt-q)t,q..-.-(-pw-q)l.rr rclación dc dualidad es a v€ces rclleia, sienpte simétticd y a

8rl

\¡eces t¡Lnsitiad. Es deci¡: (a) a veces el dual de ..E,, es el mismo'?" (reflexión); (b) si "E"" es dual de ,,8,,,, .,E',,, es dual de"E'¡" (simerria); y (c) a veces, si .,Er,, es dual de ,,Er', y ,,8",,de "Er", fo es "E.,, de ..8r" (transitividad). Supongamos po¡ eiem_plo que haya dualidad ent¡e "EL" y ..E2" y que sus tablas sean:

P' s E, (p,q)

vv vvF vFV FFF V

La observacióo de dichas tablas hace evidente que la dualidad essimétrica.

Es claro también que en el ejemplo ante¡ior no hay ni teflexiónni t¡ansitividad. Sin embargo, resulta fácil formar un esquema quesea dual de sí mismo. Bastará para ello una tabla de valores quecomprenda en su primera mitad, en cie¡to orden. valores contra¡iosde los que posee la segunda mitad en el orden inverso. Es fácil,por ejemplo, ver que las tablas:

P' s EJP,q)

vv FvF vFV FFF F

P' s E, (p, s) P' q EJf,q)vvVFFVFF

vvVFFt/FF

vvFF

P, q, I E "(P,q,¡)

vFvF

afirmación y la negación se expli-observemos que en los casos de

vvvFvFFF

Io so¡ de esquemas duales de si mismo, es decir, tales que:e, (P,q)=-E,G!, -q)E, (p,q )=-F,.- (-p, -q)E, (p, q,r)= -8.'(-p, -q, -r)La reflexión, en el caso de l¿

ca de estarn.n..". Fin^lrn.,rtell86

v vvvvFv FvV FFF VVFVFF FVts FF

'cflexión hay también ttadsitividad y que s6lo bay hd,lsitiuiddd( dndo bdy rcflexión.

La simple consideración de (9) basta para formulal como un cri-rcrio de dualidad el siguiente: Dos esquemas normales idénticoscxcepto en que uno es alternativo y el ot¡o conj rntivo son fnutua-

urcnte dr¡¿les. Supongamos que tales esquemas fueñn "pqv'Fv-qf"\, "(pv d G pv) (-qvr)". APlicando (9), la dualidad entte ellos exigi-lil que se cumpliera:( to) pqv-W-r=- ( (-?v-q) (pa1) (qv4) )

Pero, basta aplicar el principio de negación de un esquema nor-nrll para transforma¡ el segundo miembro de (10) en un esquema

i¡lóo¡ico al primer miembro.

14. Importa iattoducir la distincióo entte tlso y mencíóa. Flagámoslo.n este lugar, empezaodo cotr la considelación de los llamados

onbrcs ptopios, Decimos, por ejemplo, de Sócrates que es unfilósofo. En este caso, hablamos de Sócrates, y hablando de él lorntnciooamos mediante su nombte personal. Para esto - para men-r'ionar a Sócrates - hacemos uso de su nombre, no de su persona.A Sócrates se le -menciona hablando de é1, no se le usa; lo que se

r¡:;t hablando de Sócrates, es su ¡ombre. Habla¡¡do de Sócrates, se

rncnciona a Sócrates y se usa, o se emplea, el nomb¡e de Sóc¡ates.(.)ucdan bien a la vista, entonces, las funciones distintas de usarv rrrcnciodar.

I)ero, supongamos aho¡a que estamos irteresados en el nombre,lr Sócrates. Podemos decir, hablando de este nombre, que consta de¡rcs silabas. En este caso, oos hemos distanciado del filósofoSrir:r¡tes que nada tieoe que ver con sílabas en el sentido de que

mrrste de sílabas o esté formado por sílabas. Al deci¡ del nombre,lc Sócrates que es trisilábico mencior¡amos un objeto con la frase"t l nomb¡e de Sócrates". Es esta frase, ahora, lo que empleamos o

r¡r,rrros. I-a distinción edtre uso y mención se desplazai lo mencio-¡¡¡rLr cs un nombre y lo usado es u¡ nombre de ese nombre. Suponga-rrs (lue, en correspondencia con los ejemplos empleados pooemos

l,r: ¡roposiciooes siguientes:( l\ Sócrdtes es lil6sofo,|,).\ .\ócrates es ttisilábico,

ll;rsra Ia lectu¡a de estas dos proposiciones para darse cuenta,1, r¡uc Irr ¡rrimera dice algo de Sócrates en tanto que la seguoda dice,rl¡r' ilcl nombre de Sóctates. Sin embargo, como no hay ninguna di-lrr¡rrcin visible entre el sujeto de arnbas, podriamos inclinarnos a

B7 l

(i'¡ Sóctates es lil6solo y trisilúbicoo a fo¡mular la t'conclusión" todavía (si posible) más absurda:(4't Algrnos lilúsolos son bisilúbicos.

Resulta, entonces, evideote que impota señalar la difere¡rciaer¡tre los sujetos de las ptoposiciones (1) y (2), erpresar oediantealgún signo que mientras en (1) se menciona a Sócrates en (2) semeociona el nomb¡e de Sócrates, Se conviene e¡ indicar esra dife-rencia poniendo e¡r¡e comillas el ¡ombre que no se usa sino que semericiona. La proposición (2) se anota:(2t \ "Sócntes" es t¡isilábico,

Cuando, entonces, un oombre aparece entte comillas se eotiendeque se lo está mencio[ando, no usando.

Supongamos ahora que yo digo de ..Sócrates" que es trisilábico.Estamos de acuerdo e¡ que en este caso estoy mencionando un nom-bre y usando el nombre de ese aombre. Abora bien, puede ocurrirque sea trecesa¡io me¡rcionar el nombre de ese oombre, como ocur¡ecuando digo:(5) Al decir qae ..S6ctotes" es ttisilábico esroy nenciondrrdo ul

nombre y usando el nombte de ese nombreEsta proposición se puede ransfo¡ma¡ er:

(J'\ Al decir q e ..|ócflles" es t silúbico estoy ,rrenciondndo d"Sóctates,' y usatzdo el nombte de ,,|óc¡ates',.Es muy claro que la expresión ,El nombre de .¡Sócrates," men-

ciona el nombre de un nombre y que - de acuetdo a nuesúa conven-ción - puede esc¡ibi¡se así: ,.,,Sócrates"',. Es decL, (5) se traqs-fo¡ma e¡:(Jt,)Al dech qte ,,|óctdtes', es nisilóbico estoy menciotatdo a

"S6crdtes" y tsando " "Sdcrates" ",Vamos a reescribir los dos pár¡afos con que se inicia este núúe_

¡o, ayudándonos de la convenc.ión que hemos establecido para dis-tingui¡ enffe uso y mención:

... Decimos, por ejemplo, de Sócrares que es un fitósofo, En estecaso hablamos de Sócrates y hablando de él lo mencionamos mediaú-te "Sóc¡ates". Para esto - pa¡a mencionar a Sócrates - hacemos usode "Sócrates", no de Sócrates. A Sócrates se lo me¡rcioda hablandode é1, no se lo usa, Lo que se usa, Lablando de Sócrates, es ,.Sóc¡a_

tes". Hablarido de Sócrarcs se menciona a Sócrates y se usa, oemplea, ¡¡Sócrates".

Quedan t¡ien a la vista, eritonces, las fuocionesdistintas de usar y meociooar.

Pe¡o, supongamos ahora, que estamos inte¡esados en..Sóc¡ates,,,Podemos decir, hablando de ..Sóctates", que consta de tres síla_

Ise

bas. E¡ este caso, oos hemos distanciado de Sócrates que oadatieoe

que ve¡ con sílabas en el sentido de que consta de sílabas o esté

formado de sílabas.Al decir de "Sóc¡ates" que es risilábico mencionamos un objeto

con el noñb¡e t"'Sócrates" ". Es este lnombre, ahorat lo que emplea-

mos o usarBos. La distinción entre uso y meocióo se desplaza: I-o

mencionado es ¡'Sóc¡ates" y lo usado es tt ttsócaates" tt.

Eo esta distinción entre uso y mención (que se entiende evideo-

temeote a toda erpresión significativa) debe ve¡ el lector la razón

del ftecuente eúpleo de cornillas que se hace en el te:to. Cuando,

por ejeoplo, se dice que "o" es u¡a cooectiva biproposicional, lascomillas empleadas hab¡án sido instintivamente interpretadas por ellector en el seotido cor¡ecto. Se ponen cooillas e¡ torno a ¡'o",

en torno a ttno", en tomo a ttyt'para indicar que se está mencionan'

do a estas palabras, no usándolas. Lo mismo ocu¡re cuando se men'

ciona un esguema; cuando, por ejemplo, se dice que "pq)q" es

rautológico o que "p" implica "pvq" o q'ue "pq" es equivalente a

"qP", las comillas empleadas indican que se menciona lo entteellas comprendido.

La disiiricióD que estamos introducieodo puede establecersetambién en términos de signo y significado. El empleo no¡mal de un

signo o de un complejo de signos permite distinguit inequívocamen-!e entte uso y mencióo: lo usado es el signo, 1o mencionado es elsignificado, Ahora bien, como es oecesa¡io a veces hablar de sig-nos se rcquiere, en tales casos, de signos cuyo significado estéconstituído por los signos de que debemos habla¡. El expedienter¡ás obvio es agregru al signo que úormalmente usamos alguna dife-rcncia gue indique que ya no se lo usa sino que se lo menciona, es

rlccir, que ya no es un sigoo sino uo significado. Por ejemplo, para

rcferirme a la proposición con que se inicia este parágrafo debo

l)oner, po¡ decirlo así, fuera de juego el significado de la proposi-ción; lo que debo significar es la dicha proposición y no lo que estásignifica. Debo, por lo taoto, emplear un signo o un cornplejo designos para significar La primera p¡oposición coo que se inicia esteparágrafo. Lo he hecho ya hablando de ella como "la primera propo-sición con que comienza este patágrafo", es decir, mediante unafírrmula circunloquial. Sin eobargo, el modo más específico de men-cionar dicha proposición será éste: La proposición "Ioporta intro-tlucir la distrnción entre uso y mención" con que se inicia este

¡nrágrafo. Tenemos entonces:((t\ Inporta introdlcir la disti¡ción errtre /so y mencióa

8el

(7) La prcposiciíñ "Impoúd inftodtci¡ Ia distinción ent?e aso ymención" con que se inicia este pa íEralo,En (6) tenemor una proposición en que se habla de la distinción

eñüe uso y mención; en (7), en cambio, tenemos una frase, no unaproposición, eo que se designa la proposición ,.Importa introducir ladistinción entre uso y mención", En (6) usamos la proposición quemencionamos en (7),

Cuando se descuida la distinción entre uso y mención se cor¡eel riesgo de caer en una especie de paradojas que sori el escándalode los lógicos, peto que en general resultan harto inofensivas. Comoe jemplos podemos indicar:(A) La palabta aguda es gtate,(9) La palabra t¡isilíbica es pettasilábica.(lO) La lalabru letde es negta,

Luego de las indicaciones que hemos hecho, el lector estará encondiciones de salir rápidamerite de la conr¡adicción que aparente-mente üaen estas proposiciones. Para ello, basta con el expedientegráfico de anotar:(at \ Ld pdlabrd "aguda" es graue,(9'\ La pdlaha ',trisil.íbico,' es peitasilábica.(L0t) La polabo "ue e" es negrn,

Frente a una proposición corno (8) estamos en condiciones dedistinguir acertadame[te: Siendo su sentido el desarrollado en (gt),la proposición (8) dice algo de una palabra, dice de ta palabra"aguda" que es grave, lo que es verdadero y en absoluto paradojal.Si, en cambio, la proposición (8) dijera algo de la caregotí^ gt^ma-tical formada por las palabras agudas o si dijera algo de algunaespecífica palabra aguda, entonces sería falsa y en modo algunoparadoial.

La distinción ent¡e uso y mencióo puede emplearse pata inrrodu-cir la idea de "niveles de lenguaje,' que eri opioióo de algunospermite resolver cie¡ta especie de paradojas. La idea de ,.nivelesde lenguaje" estA y^ a la vista en una serie ¡elaciorial como laerar¡rinada eat¡e lo ¡ombrado (Sóc¡ates), el nomb¡e de lo nombrado("Sócrates ") y el nombre del nomb¡e de lo nombrado (.. .,Sóc¡ates " ")Es claro que esta secuedcia puede seguirse sin que v€amos en par-te alguna un impedimento teórico para ello; podemos entonces men-ciooar el nombre del nombre del nombre de lo nombrado (......Sóc¡a-tes"t"'), el nombre del oombre de... etc., etc, I)e esta maneta esdable imaginar que el lenguaje se dispooe eri planos o niveles.Eo un primer plano tendríamos el lenguaje que usamos para mencio_nar objetos y relaciones de toda especie, con la condición de que

Iqo

sean no-ling{iísticos. A este lenguaie de nivel más inferio¡ da¡íamosel nombre de "lenguaje-objeto". En el oivel siguiente te¡dríamos ellenguaje que usamos para mencionar el lenguaje-obieto y para refe-rirnos a él mediante el juicio y la infe¡encia. En el siguiente, ellenguaje que empleamos para mencionar y referirnos al lenguajecon que meociooamos el lenguaie-objeto, etc. Designando con Lo ,

I'r, Lz, etc., esta serie de niveles tendríamos una ie¡arquía delenguaies que podríamos concebir corDo las sucesiones de que ha-blan los matemáticos:

Lo, L|,L., Lo, .,,,.,.,.,..,..Considerando dos lenguajes sucesivos de esra ierarquía -L¡,

L;a1- diríamos del más alto en este rango que es el metolerrgla-

fe del aoterior.Es claro, entonces, que si aceptamos o cooveriimos que al refe-

rirnos a un lenguaje nos sicuaños en su correspoodiente metaleogua-jc, una proposición - por efemplo - no podría referirse a sí misma;,licho de ota mane¡a, ¡¡mencionar" no es verbo reflejor cada vez que(lue se hace mención de una proposición se la menciona usandoalguno de sus nombres y (si se dice o itzga algo de ella) usandotlguno de sus nombtes en otra proposición, Tal co¡side¡acién mues-(ra un camino por el cual podemos salir de patadojas como la deI.i¡iménides:

Epinétides, el ctetense, dice qae todos los ctetenses mie¡ten,Si miente, dice le aetdad; si dice la ae¡dad, mie¡te,.I-a co¡sideracióo que haríamos sería ésta: Cuando Epiménides

,lice que todos los cretenses mienten, está hablando de cierta espe-r ic de proposiciones (las proposiciooes que ¿firman los cretenses)cstá, puts, en metalenguaie ¡especto de tales proposiciooes, derrirnera que la proposición que formula sobre ellas debe ser de es-l,('cic dife.ente. Sin embargo, la proposición del cretense Epiménides(s una afirmacióo de un ctetense; no es, pues, de especie diferente.l.rrego, la proposición del cretense Epiménides no cumple con la, .¡xlición de ¡o referi¡se a sí misma; y por no curnplir tal requisiro

"s que debemos tech^z^tla como una proposición mal fo¡mada o nor i¡¿n ificativa.

' ftsta paradoia s€ encuent¡a en la epís¡ola de San pablo, .'A Tito", cap.t,ll l: "Dijo uno de ellos, propio profeta de ellos: Los cretenses, siempre¡re¡ri¡osos, malas bestias, vient¡es pe¡ezosos. Este testimonio es verdáde-,1.¡o; por ranro, repréndelos duiamente, para que sean sanos en la fé,..,"lrn tr¡ramienro notable de la solucióo mediante niveles de lenguaje de"*r,r cspecie de paradoias se encuentra er'',Revista Chibna de Fitosolíd',!ol.v,N0l: "AstEctos l6ndtes de ateurds pa¡d¿oi.ts scná¡t ic as",Geroldsr {'l'

q1 l

De ¡odos modos, indepeodientemente de la existencia o no exis-

tencia de las proposiciones que se refieren a si mismas; indepen-

dieoteoente de la doct¡ioa de los niveles del lenguaie y de la idea

de una cierta antítesis eotre uso y mención, oo cabe duda de que

esto puede decirse con seguridad: La proposición "Todos los c¡e-

tenses mienten" ioterptetada estrictamente no puede en absoluto

expresar un penshrrrierrto que tedga uo cretense. Y como las ideas

que hemos bosqueiado concueÍdao con ello, podemos considerarlas

como unas que dao buena cuenta de las paradojas de esta especie'r

35. "Inleúr" o "itÍeteacia" soo ¡ombres de una operación lógica

que consiste en obteoet, a Partir de una o v'¡¡ias proposiciones su_

puestas ve¡dade¡as, una proposición que en tales condiciones lesulta

necesa¡iamente verdadera. La o las proposiciones de que se Patte y

que se suPoneo Yerdade¡as recibe¡ al nombre de ptemisds; l^ pno-

posicióo inferida recibe el oomb¡e de cancl"si6r' Designemos la o

las premisas media¡te el sigto "A" y 1a conclusión mediante "8""fo¡memos el condicional de antecede¡te "4" y consecuente "B"'El concepto de infe¡eocia aPlicado a "A)8"' si9rifica eotonces que

la asigoación "A" exige pata "8" el valor "y"' En otras

palabras, se excluye la combioación "VF" como urla que acepte el

condicional "A)8", lo cual significa que dicho coodicional es tau-

tológico o, como se dice taobien, es wta implicaciún'Si "8" se inliete de "4", el condicionú "A)8" es tautológico;

y si "A)8" es un condicional tautológico, "8" se inlie¡e de "4"'Pero, hay que advertlr aquí sobre una grave confusión: no basta el

hecho de ser "A)8" un condicional tautológico para que podamos

d fhfidr "8". El concepto de inferencia supone además de la tautolo-

Cía "A)8", el valo¡ "V" de ",4" en ta¡to que el concePto de tauto-

logia aplicado ^ "A)8" exige solamente que se excluya la combina-

ci6¡ "VF" de sus cláusulas; Por lo @nto' dado solamente un condi-

cional tautológic o "A)8", el consecuente es susceptible de los

valores "y" y "F",Pot ello, el principio que importa en este lugar

debe formularse asit "8" se ínliere de "A" si y sólo si "'4)8"e s un co¡dicional tautológico o uoa implicación-

' Bueno será advenir aquí al lectot sobre un descuido del texto en lo ¡efe-

rente a distinguir cla¡amente eotle üso y mención, Se t¡ata de nume¡osos

pasajes en que mencionamos expresiones en lugar dc simplemente usarlas'La maneta de obviar rodo posible equívoco co¡siste en ceñirse á las col-venciones simbólicas y dgteSar üna partícula de buena voluntad. Po¡ eiem-

plo: habtando en tal o cual pasaje del esquema E, etrcerra¡nos esta últimaerpresión entte comillas. lmpropiamedte, entonces' decimos: "Vamos a t¡a-tar del esquerna '8"'. La br.rena voluntad que solicitamos al teccor pernitiráque lcn: "Vamos a tratar del e squema cuyo nombre es 'Fl'," etc.

le2

Eo lógica proposicional todo el problema de averiguat si "IJ."se infiere de "Er" se ¡educe er¡tonces a investigar el ca¡ácte¡ delcondicional "Er)82". Si dicho condicional es tautológico, "IiL"será una premisa de "E1" o "82" una conclusión de "Iir ",. estoquiere decit - como lo hernos indicado ya - que la verdad de "I!r "cxige la verdad de "8"".

Coosideremos, por eiemplo, los problemas:(a) ;se infiere ..p't de ..pq"?

(b) ¿Se infiere "P" de "Pvq"?(c) ¿Se infiere "ptq" de "p"?(d) ¿Se infiere "pq" de "p"?

Aplicamos algún procedirniento de decisión a los esquemas(^) pq ) p; (b'l ?vq)p; k\ p).pvq; (d) p)pS. Por ejernplo, mediante ta.blas ¡esulta:

p, q pq)p Pvq')P P) Pvs P)Pq

v v vv vV F FVVFV FVFF F FVF

vvvvvvV FFF VF

vvvvvvFVVFVF

vvvVFFFVI)FV F

Es decir, sólo son implicacio¡es los co¡dicio¡ales (a) y (c); loque significa u¡ra respues¡a afi¡mativa solamente en el caso de losproblemas (a) y (cl

El procedimiento más apropiado es el expuesto en el parágrafo28. Es eviderte que basta e[co¡trar uo valo¡ "I" de "Er)Er"para detener el análisis y dar una .espuesta oegativa al problema.

Ocu¡te a veces que "Er" es üo esquema verdadero sólo para unacombinació¡ de sus letras. Ahora bien, como el solo caso ed que

"Br)Er" es falso es aquel en que "Er" es verdadero y "Er"falso, entonces, basta con averiguar que ocufte con ttEr" en elúnico caso en "Er" es ve¡dade¡o. Es evidente que si "Er" es eo-tonces verdadero, "E t)E2" es un condicional tautológico y '?r"sc infie¡e de "E\"; en caso co¡t¡ario, no hay infetencia. El proble-ma (a) se p¡esta para una simplificación como ésta; podemos proce-dc¡ del modo siguiente:

pq>?vv )vv)vvEl aotecedente "p4" es verdadeio solameÍrte en

caso en el cual es verdadero asimismo el consecueíre

"Pq)p" es una implicación y "p" s. iofiete de "pq",

el caso VV,"P", Luego,

e1 l

Análogarnente, Puede ocurrir que el consecuente sea fálso Parasólo una combioación de sus letras; se velá en tal caso lo que ocu_

rle con el antecederte para la misma combinación: si es falso,

"EL)E," es tautológico, es decir, "Er" se iÁfiere de "Er", en elcaso contrario, no hay tal inferencia. Una simplificación como éstapuede efectua¡se en el caso del problema (c); se anotará:

P), Pv cF ). FvFF)FvEl consecuente "piq" es falso solamente en el caso de la com-

binacióm "FF", en el cual es falso asimismo el antecedeote; por lot^tto, "?),p\q" es un condiciorial tautológico y "pvq" se irlliete

A taiz d,e nuestra madera de enteoder el condicio¡al - la ir¡te¡'pretacióo material de que se habló en el parágrafo 16 - debemos

aceptar también para nuestta noción de infetencia uo sentido talque sean válidas las leyes siguientes:

(1) Si "E¡" es tautológico, eotonces, cualquiela sea "8r","É," se irifiere d,e "8r",

(2) Si "EL" y "Er" son tautológicos, entonces, "Er" se infierey "Er" se infiere de "Er".

Es decir, no es oecesaria una relación formal entre t(Er." y

"Er" para que erista enre ellos una conexiór! inferencial. En (a),

por ejemplo, la conexión inferencial se establece en razón de una

ostensible relación e[tre los esquemas de que se trata (la solainterpretación que hace a uno verdadero hace vetdadero al otro). Por

el cootrario, un esque¡na como "-(p-p)" se infiere de otro cualquie-ra - pot eiemplo "q)t" - ao porque haya lelación entre la inrcrpreta-ción de ambos sino me¡amer¡te potque el condicional "q)t.)-(p'p)"es tautológico. L¡ taz6¡ de esto es el carácte¡ de "'(p'p)", y nouna relación (no hay ninguna) enne este esqueña y "4)t". Como se

ve, la antítesis "material-formal" se extieode al dominio de la in-ferencia. Importa terierlo preserite para evitar perpleiidades, lite-rarias por lo demás y eo modo alguno genuinas,*

Hay un principio de ransitividad en la conexió¡ inferencial,principio que, aunque obvio, debemos indicar: Si "8." se infiere de

"Et" y "8"" se infiere de "8r", entonces, "/J." se infiere de

"8r", La conexión inferencial eore "E1" y "Er" significa que sisuponemos "Er" verdadero debemos aceptar la verdad de "8"",

' Ilste es un párrafo a que me oblis¡ el estilo lúdico demasiado generali-'z¡,lo cn los textos y escritos de lógica simbólica.

l'r¿

y como algo idéntico implica la conexión i¡ferencial entre "Er" y"l;,r", es claro entonces que si suponemos ttEr" verdadero de-rlcmos aceptar como verdade¡o "83", es decir, debemos aceptai lac()nexión inferencial ena.e '¡Er" y "8.",

Digamos, fioalmente, que la operación inferencial comporta comoun r,omento esencial la sepAT,ciór, de los elementos o cláusulas delt ondicional tautológico "Erl82". El objeto de esta separación esla afirmacién independiente del consecuente, que pasa a constituirl,r conclusión. Al inferir procedemos aceptando que está a ¡uestrarlisposición, o de todos modos que es lógicamente anrerior a lao¡cracióa inferencial, un principio de fo¡ma condicional - iusraÍienrecxl)resado en aruest¡a inplicación "Et)82" - cuyo antecedentet omprende como caso suyo la premisa, o premisas, que en el caso¡rfitnramos. Por ejemplo, al efectuar la inferencia:

I'ed¡o ud al cine y Juan ud dl cineluego, Pedto u4 ol cine

lo lracemos a partir de la implicación "pq)p" cnyo antecedefitericne la forma de nuestra paedisa, es decir, comprende a esta comor¡n caso suyo, Siendo afirmada la o las premisas, tenemos de¡echo¡ :rfirn¡a¡ separadamente el consecuente - efi íuestro eiemplo, la¡'rrrposición "Pedro va al cine". Podemos formular este ptincipioIt inletencia de mane¡a general, establecieodo que la ptemisa ,,8r,,,,lntla la ley implicacional "Er)E2" permite afirmar la conclusión"1i,", es decit, desligu "8"" de la irnplicación "E,)8"". Expresa-rnos el desligamieoto así:

,a | )82B,

E,-Las definicio¡es establecidas para las distintas conecrivas per,

nritcn formula¡ toda una serie de principios inferenciales que inrne-,l i¡tamente detallamos:

(^\ Si "pq" es verdadero, se infieren de ello "p" y "q" corno

l,roposiciones verdaderas. Porque la ve¡dad de una conjunción exigerlr¡c ambas cláusutas sean ve¡daderas.

(b) Si '?vq" es falso - es decir, dado "-(pyq)" - se infieren de

"llo "lt" y "q" como proposiciones falsas - es decir, ,'-¡t" , ,'-U,',I'orque la falsedad de una alte¡naciót exige que an¡bas cláusulasrcnn falsas.

(c) Si '?lq" es falso - es decir, "-(?lq)" vetcla,le¡o - se infieren,lc cllo "y'" y "4" conro p.oposiciones verd¿rclcras. l)orqrre !* fnlse-,l¡¡rl rlc una inconr¡atibilidad erige quc arnbas clátrsrrl¿rs scan vcrcla-,l¡.¡¡s

,)5 I

(d) Si '?l¿f" es verdadero, se infieren de ello "p" y "q" comoproposiciones falsas - es decír, "-p" y "-q". Porqte la verdad de

la f:rlsed¡d-coniunta exige que ambas cláusulas sean falsas.(e) Si "p)4" es falso - es decir, -@)q) - se infiere de ello que

"p" es vcidadero y "q" falso. Porque la falsedad de u¡ condicionalcxige que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso-

(f) Si '2--n" es verdadeto y "p" verdadero, se infiere de elloq\\e "q" es ve¡dade¡o. Porque en caso conttatio se desruiría laprimera premisa.

(g\ Si "p)q" es ve¡dade¡o y "q" falso, se infiere de ello que

"p" es falso. Porque en caso contrario se destrui¡la la primera

¡remisa.(h) Si '?=q" es verdade¡o y "p" verdadero, se infiere de ello

<1oe "q" es verdadero. Porque en caso cont¡ario se dest¡ui¡ia la

¡rimera premisa.(i) Si "p=a" es verdadero y "p" falso, se infierc de ello que

"g" es falso. Porque en caso corit¡a(io se desttuiria la primera

Premrsa.(j) Si "1,=4" es falso

"4" cs falso. Porque enpremisa.

(k) Si "1=q" es falsoes falso, Porque en caso contaa¡io se destluiría la primera ptemisa.

Iis fácil ver la posibilidad de inferir tápidamente, eo ciertoscasos, cuando se conoce el valor de un complejo ptoposiciooal y elvalot de una parte suya. Por eiemplo:

(1) Dada la vetdad de "P" y de "plrl,p)t" resulta iomediatamen-

te que "4" es falso y "¡" verdadero. Porque ambas cláusulas de

"Plq,P -'-,t" sori vcrdaderas.(2) llada la verdad ,Ie "1¡" y la falsedad de "pl4.p)r" resulta

inrnetli¡¡.ta¡nente la verdad ele "qv-r", Porque a [o me¡os uoa de lasdos cláusulas -"l,lq" V "1,>t" .es falsa. Se puede decir ¡ambién que

d. "2" y "-(flct.?i-¡)" se infiere "r)4".(l) Dada la falsedad tle "p" y l" verdad de "l,lq,P)¡" na.¿.a se

infie¡e dc ello.(4) I'inalmente, la falsedad d. "P" y de "plq.¡Dt" constituye

uoa idconsistencia; porque si "1" es falso, "plq,p)t" es necesa.ia-mente vercladero, como lo mue.stra el anólisis siguieote:

?lq f>¡I:lq.I:)t|,,|,t'l'rr

y "p" verdadero se iofie¡e de ello que

caso conttario se desuuiría la ¡rimera

y "p" talso, se infiere de elto que "4"

o también, süPonierdo que ambot' "p" y "plC.p)r", sean faltos'podemos erplicitar la conrailicció¡ a¡í:

'P -@lq,P)t)'P -((Pq) -(P -, ))-P (Pq"P't)- PPcv-PP -r

lo que muestta que las supuestas premisas son im; osibles.

36. Supoogamos un esquema proposicional E, en el cual intervenga

de una manera cualquiera la parte Er. Es evidente que esta parte

sólo contribuye a los valores del esquema E mediante los valoresque ella asume para cada una de las combinaciones de sus let¡as.Por lo ento, cualquiera sea El si sus valores coinciden exacta-mente con los de E, para todas las combioaciones posibles de lasletras, podemos reemplaza¡ E, por E, en E sin que los valores de

cste último esquema sean modificados por el reemplazo. Podemos

formular este principio de modo menos literario conviniendo e¡tlesignar pot "E(Er)" un esquema E en el cual E' es parte' Coo talconvenciirn, dicho principio se reduce a lo siguiente: Si los valo¡esde E, coinciden con los valo¡es de E' los valores de E(8.) - cual-quiera sea E - coinciden con los valores de E(Er), O, más formal -

mente: Si "Er=Er" es tautólogico, "E(Er)=E(E")" es tautológico.Lo dicho se¡á aú¡ más evidente si oos ayudamos coo un ejemplo.

Sea el esquema proposicional:

Fq.).-P, q

Sabemos que "pvq" es un esquema proposicional cuyos valorescoinciden qractameote con los valores del esquema "-(-p'S)".( omo parte del esquema "?v5,,-,-p=q", el esquema "pvq" ^Pottacfltonces exactamente los mismos valofes que "-?P-q)"; Pot locual resulta que los esquemas "pvq.),-p=q" y "-Cp-q))'-p=q"coinciden embién exactameote e¡ sus valores. De esta especie eslo que dice el principio fo¡mulado.

Cuando dos esquemas - como e¡ el caso de "p\q" y "-(-p-q)"-I'oseen los mismos valores, el bicondicioaal que los comPrende como

cláusulas es ¡autológico; a un bicondicional tautológico, o siemprevr:rdadero, damos el nombre de equiualencitt. Así como la implicacióncs la pieza maestra de la irrferencia, la equivalencia lo es de laIrtttslotmaci6n. l\4uchas veces, en lo que llevamos expuesto, hemostr:rnsformado mediante teemplazo. Así,, por ejemplo, en Ia secue¡rcia,lc normalización:

l, )q,r ) p

(- ¡v q) (-rv P) 97 I

-P-ta-PFq-¡vSP-p4aq-ñPqpqv-P-rvq-t

heoos realizado una cadena de ransformaciones mediante el empleo

rácito de las siguientes equivalencias:(r\ P>q.=' -Pvq(2) t)p,=-rltp(1\ Gptq) (-nP)=.-P-te'PPvq-N qP

(1\ -P-ñ'PF q.raqq, =' -P-N q-n Pq

6\ -P-* q-m qP,+.-P-ta4-ñPq(6)' P-n q'm Pq, =. Pq'r - P4v q -/

Sabemos ya distinguir entre teemplazo y sustitución' Importa

también sabe¡ hacerlo entre ¡eemplazo e interca"tbio' Aunque está pot

delaote la exposición del cálculo ProPosicio¡al, hemos visto ya

que es posible defi¡ir una expresión conectiva en términos de otlas

conectivas. Más adelante se introducitán las deÉniciones:

pq= -(py-s)p)q = -p\q

(Def.)(Def.)

Ahora bien, toda vez que una transformación ¡esulta de colocar

la delinición en el lugar del definido - pot eiemplo, "-(-po'q)" tnel lugar de "pS" o "-pvq" en el lugar U" "p)4"- diremos que la

transfo¡mación se lleva a efecto mediante un inte¡cambio' El ioter-cambio obedece a un principio aoálogo al del reemplazo, y que se

formula así: Si E, se defi¡e mediante E' el esquema "E(Er)" es

' equivalente' al esquema "E(Er)", Ciertamerrte' Puesto que el defi-

nido es sólo ora manera (más simplificada) de a¡otar ta defi¡iciónse debe decir que "E(8")" es ot¡a manera (más complicada) de anotar

el esquema E(Er), Sin embargo, no hay peligro, aunque si impropie -

dad, al expresarse en téÍninos de equivalencia.

37, Formula¡emos en este lugar algunas leyes de la equivalencia y

la implicación. Son de sob¡a ostensibles; Pero daremos brevemente'

en alguoos casos, la razón.(a) Todo esquema se imPlica a sí mismo. Patiendo de la tautolo-

gia "p)p" y efectuando la sustitució¡ (E/2) tes¿ka: E)E,(b) Si "E¡" es un eslluema tautológico, eoto¡¡ces, cualquiera sea

)Er" es uoa irnplicación. Porque dado el carácte¡ de

"E"" es imposible obtener la combinación '!F" para "EL)82",(c) Si 'E1" es contradictorio, entonces' cualquiera sea "E"",

"EL)E2" es una implicacif¡. Potque, dado el carácter d,e "Er"es irnposible obtener la combinació¡ 'YF" para "Er)82".

lqs

(,1) Si "Er" se infie¡e de "Er", e¡tonces "-Er" se infiere de

"-tlr". Porque, siendo "E, )Er" una implicacióo, es imposible obte-

,,.. l^ combi¡ació¡ '!F" d,e las cláusulas; pero esto quiete decir

,¡r," cs imposible obtener la combinación '9F" de las cláusulas de

"-ll,)-8r", Siendo ello asi, "'Er)-Et" una implicación y "-4"-,. infie¡e ó,e "'Ez"

(c) Si "E"" se i¡fiere de "E¡" y "8"" de "E¡"' eÁtonces'

"ti," se infiere d.e "Er"'Porque, siendo "Er)F," y "Er)8"",,u¡'li.."ioo"", el valor V d,e "Et" exige el valor V de "E""' el

, r¡¡¡t exige el valo¡ V de "El', Luego, es imposible obtener la com-

l,r¡¡rción VF del esquema "r'1)8." que, en colsecuericia, es uoa

r rr¡rl icación.(f) Todo esquema es equivalente a sí mismo,

.. r¡na equivalencia.(g) Si "Er =E." es una equivalencia, entonces,

es decir, '.E =E"

"E2=É1" es una

una serie de equivalencias que importa

estar en condicioaes de üansfotmar un

7t. --E=E2t - EE=E3t. EvE=E4'. E,(E,vE")=E,5t. E, (E,vE,) (E vE.)...(E,vEolE,6t. E,vE, E;E

'7'. E rvE rErvE rEsv.. 'vE 1E¡=Et '

,,¡rivaleocia-(h) Dos esquemas tautológicos son equivaleotes'(i) Dos esquemas contradictorios son equivalentes'(i) Si "E,=Er"y "8"=Ei' soa equivalencias, entooces' "Er=8"" '

.. r¡na equivalencia.Agreguemos a estas leYes

tc cr Presente coo el fin de

r \quema:| *?=P) l,l, =P

't. l(lnq)=p; t, ( l¡v q) (Pv¡).

' ' @vt)=P

I lr'l lqa Pñ . . .v Pt ,=P

8t. E L+ 8'4,-B | -E 2

)t. E,tE^,=.-(E ¡E^)101. EtlE:r,=-(ELE)tt' . E,lE,'=.-E,v-E,l2t . E, )E'=-(E,-E^)llt. E,)8",=-E

"tE "14'. E,=E".=.-(E, -8,)-(-E 'E1.)

L5' . E,=8,.=..(-E,vE") (E ,'f-8,)q9 l

si se t¡ata de lleva¡ un esqueúa a su fo¡ma normal, sea alterna-

r,v,, y conjuntiva, imPorta también tener Pleseate las equivalencias ya

,,'¡r¡rcidas:tt I' rq.=. -p-q,¡ lt.rq.=.-Q'¡q)tr l,lq.=-(?q)t t ttlq.=.-pv-q|; l' \q.=-(P-q)t \ ¡ )q.=.-Pq1.t tt tt ..=.-( p -q )- (- pq )t\ I' q. =. Gt¡v q) ( l¡v- q)

16. p-q,=.pqa- p- q

17. -(Pq)=.-Pv'sr8. -(-?q)=.pv- qre- -(p-q)==8q20. - (-p-q)=.pr q

2l- -(pq,,,t)=-pv- qa-. -r-r22. - (p,tq)=-p-q23. -GF =p-q24. - (P!-q)=-pq25. -F?\,-q)=ps26. - (pr qv .. .vt ) =- ?- q. , .-r

l6t - E,=E r.=.E,E"v- E,-8,L7t. -(E,E

"),=.-E,v-E "!8t - -(-E,8")=,E,v-E"7et. -(EL-E)=.-E,vE2Zat. -(-E,-E r)=.E,vE,2lt. - (E I E2.-. E >.-E Lv- E2v.-.r-En221 -(E,vE")=-E,-E,23t -(-E rvE ")=E,

-8,24t -(E,v-8")=-E,E"25t'GEt-E)=EtEz26t -(E,vE

"t -..vE )=-f',-Er...-Ea

iiinalmente, en relación con la rrarisfo¡mación o simplificación deun esquema normal debemos esta¡ en condiciones de identificar deun vistazo una tautología o uria iricoosistencia. Si el esquenia normales alte¡nativo se eliminao las cláusulas que sean cootradictoriaspuesto que: Si "Er" es coottadicao¡io, ettonces, .'ErvEr,, es equi-valeotc a "E2", Si, en cambio, el esquema es qotmal conluntivo, seeliminan las cláusulas tautológicas puesto que: Si "E," es tautoló-gico, entonces, "ErE"" es equivalente a "Er". Podemos señalarlos esquemas siguientes: Tautológicos: ,,pv-p"; .,pv-pv -.-yt";"-pa-qvpq". Con tradic corios : "p-p": ,,p-p...t"; pgGpv-q). Hacierdo en estos esquemas las subsrituciones (E, /p) y (E^/q), tesrltanlos esquemas geoerales, oÍa cont¡adictoiios ora tautológicos, quepueden eliñina¡se sin nás dcsde el none¡to en que se piesenta¡ e¡e squeñas de la forna "ErvErv...vE/'o,,ELEt,,Err',,

I loo

II. CALCULO DE PROPOSICIONES

ttl. IIemos mostrado úás atrás cómo las equivalencias ent¡e ciertos

rsquemas proposicionales pemiten exPresar unas coDectivas er!

rárminos de otras. Vemos que esto se logra ayudándose de dichas

c,¡uivalencias para una definición nominal' Asi, por eiemplo, patien-,lo rle las tautologías:lr\ ¡.:rt.='-Pvq(1,\ t =q.=. (p)q) (q)P)

¡'otlcmos defioir el condicional y el bicondicional de la mane¡a

si¡¡uiente:(n') P)q = -Pvq(1,' \ p=q= Gp"q) (-qyp )

(Def.)(Def.)

^l sistematizar esta reducció¿ mediante definiciones, distinguimos

.llire conectivas primitivas y co¡ectivas derivadas. Las primeras

'on aquellas que se acePtao sin definición; las segundas, las que

¡rcrliante definiciones se reduceo a las primeras. Mosramos tambien

,¡,,c csta reducción puede efecruarse de modos dife¡entes-

Asimismo - aunque en ello no hemos logrado hasta aquí nada

l,¡rrccrdo a nuestro tratamierito de las definiciooes nominales - hemos

,lcstacado la co¡exión infe¡encial eo!¡e unos esquemas proposicio-

rrnlcs y otros, es decir, la posibilidad de afirmar unos por la razón

,lc que otros han sido afirmados. Patiendo del principio de la in-

frr.ncia, podemos decir que dicha conexión (suponiendo que sean

"lir" y "E"" los esquemas infe¡encialmen¡e conec@dos) se esta-

l,lccc a cravós del esquema tautológico "E)82"' Eo efecto, decir

'1r< "F."" se ob¡iene infe¡e¡cialmente a paitir de "Er" sigo.ilica

l,,.cis¿rmeote asegurar que "EpBr'.' es una tautología; porque etr

r,rl crso, y sólo en tal caso, basta la afirmación de "Er" para que

,lt rll¡¡ restite la afirmació¡r separacla de 'Tr". Sabemos, por etcm-

l, l,r, que:

.. rrrr,r tautología. Si, entonces, afirmamos el esquema "p4" estamos

, ¡r conrlicioncs ¡lc afirma¡ cl csqucma "¿" mediante una inferencia,¡rrc ¡rrrl¡¡¡¡j csrlucrrr:rtizar así:

101 I

Pq)Pps

pAhora bien, si consideramos el esquema "p4" de nuestro eieoplo,

eocontramos que oo es tautológico, Puesto que es verdadero sólo en

el caso de la combinación VV de sus cláusulas. Importa fijat laatetrcióri eo este hecho, porque la ld'ea de cálc o pto?osicionqtr se

presenta casi de cuerpo ente¡o eliminándolo. Volviendo a Duest¡os

esquemascaracteriza como rn ,rroaimier.to e¡be ta{rologíAs

" se trata eo este

cálculo de obtener la tautología "82" a Pütit ¿e las ,a,,tologías

"Ei" y "E)8,". Por ejemplo, sabemos que "'(p'p)" es uoa tau-

tología y que lo es asimismo "-(P-p))''Np"; lo dicho anteriotmente

sobre un cálculo proposicional significa, eo este caso' la posibilidadde establecer la ta,trología "-P¡?" ^

patrir de "-(p-q)" y "-@-s)).-p"p". Esta infe¡eocia puede esquematizarse del modo siguier¡te:

- (P-P)).-PtP-(p-p)'PtPBasta este ejemplo de inferencia para estar en condiciones de

coosidera¡ la posibilidad de una reducción de las tautologías que

sea análoga en cie¡to seritido a la reducción de los esquemas propo-

sicionales mediante definiciones. Del mismo modo como la reducción

mediante defi¡iciones consiste en erptesar l^ mayoría de los es-

quemas con ayuda de unos pocos que tomaroos como primitivos yque oo definimos, asi también la propuesta reducció¡ de las tautolo-gías consistitia et ptobar la mayoria de éstas mediante unas Pocasque no se probarían sino que se aceptarían como tales. Dicho más

e squemáticamen te: así como la definición parte de 1o indefinible, lademostración partiiía de lo i¡demostrable. Así como en el primer

caso partimos de los térmi¡os indefioidos, en el segundo Partiríamosde las proposiciones axiomáticas o txiomls,

Es fácil ve¡ cómo la idea de un cálculo proposiciooal combina

estos dos aspectos de la definición y la demostración: la reduccióndefinito¡ia acon el oúmeto de nocio¡es primitivas; la ¡educciónaxiomática acota el de tautologías indemostradas; y los axiomas

son, o pueded ser, tautologías eo términos de las conectivas primici -

La necesidad de partir de térmioos no definidos, o primitivos, y

de proposiciones no probadas, o axiomas, ha sido considerada uná-

nimemeate por los lógicos como uoa oecesidad indisolublementeligada a la idea de un sistema deductivo. I-a clarificación de las

Í to2

n('ciones es su definici6n; la consolidación de las proposiciones(r' verdades) es su prueba, Pa¡a defin.ir una noción recurrimos a

otras nociones diferentes de la noción definida; de esta maoera, el

f'roceso de las defi¡riciooes debe ser, evidentemente, linedl, nor irculat. Pero, como este proceso de definir uoa noción por otras,y luego éstas por oras, y luego éstas por ocas, etc-, no paede settna inlinita regtesi6t definitrtia, resulta imprescindible u¡ cienor¡rimero de nociones úkimas oo definidas. Así, también, la ptueba derrrra proposición se basa en otras proposiciones que son ve¡daderas.in qr¡e intervenga en su verdad la verdad de la ptoposición querllas prueban. De manera que hay tarnbién linealidad en el proceso,lcnrostrativo: una proposición se prueba con otras, que se pruebanr on ot¡as, que se prueban con otras, etc. Para dar un punto de

l,¡rrtida al proceso demostrativo es, eotonces, necesario cierto núme¡o¡lc Proposicio¡res no probadas, es decir, cierto núme¡o de axiomas.

A estas consideraciones relativas a la naturaleza de un sistema,lcmostrativo se agregari oüas que es importante señalar aquí. EnI'rirner lugar, es evide¡te que el grupo de axiomas en que se fundarl sistema debe comprender solameqte axiomas que sean muruamettel lependientes, es decir, tales que ninguno de ellos se deduzcarlc los otros. Si no fue¡a así, aquel axioma que depende de otrosno sería una proposición última sino derivada; se¡ía - como se dicero esta elaboración matemá¡ica de la lógica de proposiciones -

li teoreña ptoposiciondl, no u¡ axioma. Asimismo, el grupo den¡iomas debe set consistetzte, es decir, tal que no haya en absolutoln ¡xrsibilidad de probar conjuntameote y a partir de ellos uo esquematrrrrtológico "E" y su negación exigencia es obviay¡r- refiere a [a idea de no-contradicción como condición formal derr¡r sistema demost¡ativo. Finalmente, se erige que el grupo de axio-.xrs sea completo, es decir, que toda posible tautología proposicio-¡rnl sca demostrable a partir del grupo de axiomas. Esta última pro-¡'i'sición es sólo ese¡cial cuaodo se er,fatiza el ca¡ácrer de cálculoItt ttl'os iciondl que posee nuestro sistema; porque si hubiera un es-,l'( ur¿r prcposicional tautológico que no fue¡a probado a partir del,'' ¡¡xiomas estaríamos dejando fuera del sistema una parte que, por,l"finición, hemos supuesto que queda dent¡o de é1.

'l¡rles son, pues, las condiciones formales del grupo de axiomas,¡rrc podemos oombtat: independencia, cotsistencia y sdtuaciún.

l)igarnos de aoaemano que hay una va¡iedad de grupos de ariomasr' rr¡'r'iones primitivas que alteroativamente han sido p¡opuestos para, r'¡¡srrr¡ir ef cálculo proposicional. Tales grupos son e¡tte si eqtitttlLtlcs. es decir, son bases diferentes del mismo cálculo propo-

103 l

sicional. Más adelante diremos algo de esto. Lo que ioporta primero

es elabora¡ el cálculo ptoposicional en alguoa de las fotmas pro-

puestas; luego de este desarrollo estaredos en co¡diciones de cqm-

pa¡a¡ esta fotma con ottas y, además, de elaborar las consideracio-nes ¡elativas a la independencia, consistencia y sauración de que he-

mos hablado.

39, Ioiciamos nuestra erposició¡ del cálculo de proposiciones indi-

caodo erplícitamente las nociones prioitivas y los axiomas' Agte-

gaoos tambiéo en este Pliner momeoto las defi¡iciones que vamos a

necesitar. Finalmente, se requiere v¡.a tegll de btletencia que aos

permita desligar el consecuente de los co¡dicionales que construya-

¡nos y uoa regla de ststitacióz que oos Permita realizar las trans-

formaciones en ordeo a elabo¡a¡ la prueba de teo¡emas que de otra

manera rio so¡ ostensibles. A esos dos últimas reglas, damos elaombre de rcglos Prirnitiuas'

T étmi¡os no delinidos:(a) "Proposición". De proposiciones no especificadas son sig-

nos las letras p, q, r,,.' que empleamos en el cálculo.(b) "Negación"- De ella es un signo "-p" que significa "nega-

ción de p", Así cooo "p", "5", "t", '., asit n'biftt "-p", "-q","-/" son signos de proposiciooes no especificadas.

(c) "Alternacióo". De ella es un sigoo "pvq" que significa

"alte¡nación de ? y q". Asi como "p", "-p",". ^si t^tbién "ptq"es signo de una proposición no especificada'

D e fiíic ione s :D,^t p)q = -pYqD,b: Pq=-1-¡o' t¡D,c,t p=q=(p) q) (q>p)

Ax iomas tSe enuncian en forma de irnplicaciones; es decir, se bace inte¡ve'

nir en su expresión la definición (a). La razón de ello es la mane¡acomo empleamos la tegla de infe¡encia. Los axiomas son:

A,^t PvP.)PA,bt P),pvqA,ct pt q,),qv|A,¿,: p)q) rvP,).rv q

ReglaslPongámonos de acuerdo sobre llama¡ "principio" e¡ este cálculo

a: (I) Cualquiet arioma de éste cálculo. (II) Cualquier teorema de

este cálculo. Con esta terminología estamos e¡ condicio¡es de€nunciar las dos reglas primitivas de la maneta siSuie¡te.

I lo4

R,al Si "Er" y "Er)E"" son principios, entonces, "8"" espriocipio.

R,b: En un principio de e¡te cálculo se puede sustituil uoa lettapor una expresióo siemp.e que dicha sustitucióo se haga en todosIos lugares que ocup¿r la leua. La sustitución se erpresatá aquí¡nediante el siglo "/"; "pvq/q" sigúfica que la expresión "fr4"se coloca en lugar de "q". Todo el símbolo se lee: "pv4" en lugarie "q",'l e oter¡¿^s:

T tt P),PvPIn efecto:

P).PasP ). ?vPPara probar T, buscamos uo puoto de pa¡tida, es decir, un esque-

ma que podamos afi¡ma¡. Dicho esquema sólo puede encont¡a¡secn¡re los axiomas. La fo¡ma de T, sugiere inmediatamente (A,b).l)ara pasar a la seguoda línea de la prueba se efectúa una susritu-< ión, es decir, una aplicación de (R,b), 1o que se¡éntesis de la de¡echa.

T2t qap,).pt q11n efecto:

Pvs,)'s\Pqap,) ' ?s q

indica en el pa-

I)ara probaa T, buscarnos asimismo entre nuestros axio¡nas. Está a lavista que debemos partir de (A,c) y que basta la sustitución (p/4,q/p) pata obtener r¡uestro teotema.

T 3t p)q,):t)p).t)ql.-n e fecto:

P)q. ) Ír p),ñ q (A,d)p)q,):-r!p.).-¡eq (t/r)I )q,)r)p,),t)q (D,a)

I'r¡ra hacer más visible la opetación que nos conducirá a T. harer¡oscn T, la siguiente sustitución:

lsvs/!, "/q, "/r)olrtenemos:

svs.). s,') -'.s ).svs.'),s )slln esta expresión, hacemos la sustitucióo (p/s), Resul¡a:lx¿ p')p : ) t. p ). pv p D. p)p¡¡tecedente de este último condicional es (A,a); luego, en virtud(R, a), podernos afin¡ar ell.).prp:).P)p

(A,b)

@/q)

(A,c)( p /p, q/p) -

t,.t

,lc

105 l

El antecedente de este condicio¡al es (Tr); luego, podemos afiroarel consecuente, es deci¡:

Ti P)PAhora sustituyam os er T, CP/p')t

-p) -plo gue segúo (D,a) puede esc¡ibi¡se:

-(-P)r'PTenemos además en virtud de (A,c):

?v S.). qvP

Y sustituyendo en esta última (( /P, -p/q) rcswlta:- GP)v-P.>. -P"'¡-P¡

Perc "-pr-(pl' es ot.a r¡a¡era de esc¡ibir:p)-(-p)

Aplicando ento¡ces (R,a) al condicional:-Gph-p.).p)-( -p)

separa¡Dos el co¡secuente y afirmamos:T

": ?)-(-!)T6| -G )p

(D -D'((p)) (^Í,:-?/p¡(2) -p)-F G il).):pv-p.).pf-(-(-p)) (^,d)0'l ?v-P.>,fu-(-(-p)) (R,a: implicación antefio¡)(4) -pvp.).pv-p (A,c)(5\ p)P.).pr-p (D,a: aotecedente de (4))(6) Pr-P (R,a: (5))Fi¡almente:(7\ tu-(GPD (R,a: (3))(8'l -CG )vP (A,c; (7); R,a)o\ -(p))p (D,a: (8) )

^n 1t p)q.),-q)-pq)-Fd (t ,t q /p)q)-(-q))' -paq).-fv-(q) (Ad\:(q/p;'(-d/q; -p /r)-Pv s.).-F-(q) (R,a)

además:-F'Gd.>-(-q)v-P (A,c)t (P/ p; -F4)qS

- p'¡ - ( d.). - ( sh - p :) t.-pv q.),-pv - (- q) :) :-pr q,).- F q h -p('f

"t -pY-(- /p; -(-q)s-p/q; -?vq/t)

El antecedente de esta implicación se afi¡ma en virtud de (A,c); luegose afirma:

-?aq.).-pv-(-q )t:-p'¡ q. )-Fqh-p (R,")El antecedente de esta afirmació¡ esrá afirmado en la tercera líneade este desarrollo; luego, se afi¡ma el consecuente:

-pvq.).-(-q)y-p

I lor'

luego:p)q.),-q)-p (D,a)

Deteagámonos cn este pr¡oto y coosideremos la setie de esquemas

proposicionales que hasta aquí podemos afirmar:t. PaP.)P2. p),PsS1. pvq,),f p

4. p)q,):np,),nq5. P).PvP6. gvp.).Fq7 - P)q.):t)P.),t)q8. p)pe. p)-(-?)to. -(-p))ptl. p)q.).-p)-q

Todos ellos son implicaciones; y como segúo el principio de

sustitución podemos aootar uo esqueda cualquiera eo el lugar de

sus let¡as y, además, según el ptincipio de infetencia, afirmado elantecedente es afirmado el coosecuente podemos entonces formular

una regla por cada teorema. Empleamos los signos "8" "Er","8r",,., pta refe¡irnos ¿! esqueoas proposicionales que no esPe-

cificamos.R,, Si "EvE" es un principio de nuestro cálculo, lo es asimismo "E'lRr. Si 'Er" es un ptincipio de nuesúo cálculo, lo es asimismo

"ErtE"" (sin que impotte qué esquema sea "Et" ),

Rr. Si "ErvE." es uo principio de nuest¡o cálculo, lo es asimismo

"E rvE r" 'R.., Si "Er)E:" es un p'rincipio de nuestro cálculo, lo es asimisoo

"E"vEr,),Er:, E"" (sin que impotte qué esquema sea "Er").Itr. Si€'es uo princiPio de ¡uesro cálculo, 1o es asimismo "EvE",Ito. Si '?rvEr " es un principio de ouestro cálculo, lo es asimismo

"E rv E r".It,. Si "E,)Er" y "E)E3" son principios de nuestro cálculo, lo es

asimismo "E t)E3" ,

R,. Si "8" es un principio de nuestro cátculo, lo es asimismo "-ÉE)",Ito. Si 'rfE)"es un priocipio de nuestro cálculo,lo es asimismo "E".Iiro. Si "Er)E¡" es un principio de nuestro cálculo, lo es asimismo

"-E )'E t"Tú Pq)qP-qv-P,),-Pv-q-GPv-q)'>.-(qv'!¡)l,q 1c f

6pl41P' -? 101,

(R,,)( D,b)

107 I

T,: qP)Pq,-Pa-q.),-'ry-P (A,c: -P¡p. -4¡r1-( qv-P))-(-!v-q) (R,,)qp)pq (D,b)

Se observa que (Tr) pudo establecerse media¡te la simple sustitución(q/p; p/d a parir de T". Fórmulas del tipo "pq)qp" o ,,pvq.>,.tv{'puedeo traasformarse sin más desar¡ollo eo..qp)pq" o ,,qvp,),fuq"pot la identidad formal que oste¡tao.

Trt -(pq)).-pt-q'('(-?t-t)),t'-*-q (T":-?t-l ¡O¡-(pq)).-pa-q (D,É)

Hemos anotado "pq" et l.ug^t de ,,-(-?v-q)', por la simple razónde qúe "pq" es ot¡a matrera de escribi¡ ,LGF-{',. Los té¡minosde u¡a defioición so¡ iotercambiables. Llamamos,,i¡te¡c¿mbio"a la operación consistente en aoota! u¡a de las dos partes de unadefinición en lugar de la ona. Distinguimos eutonces enre iotercam-bio y sustitución. Una nueva operación de transformación que másadelaate estudiaremos es el reernpldzo,

Trrz -Pv-q,)-(pq)-F-q)-G(Pa-q)) (^r

":-Pv-í/p)-Pr-s.)-(pq) (D,b)"f ,2t fiQv).).qv(!vt)

(1) r).rvp (¡,b\: (t/p; p/q)(2) ¡vp.).!tt (A,c\t (¡/p; ?/q)(3) t).tvt (R"; (r); (2))(4) qa¡,):qa.?w (A,d; R,a;(3))(a) Pv.qvr:);.Po tOr.P", (A,d; R,a; (4) )(5) P).pct (A,t¡\ (t /q)(6) F¡).mp (A,c) (t /q)(7) p).wp (R); (5); (6)(8\ Nt,):qv.?vt ((7')t Pat/p; t /q)(9) P):qt,pt¡ (R"; (5); (8))(10\ qt.fitnp.:>:,qv.pvr:v:qt. pvr (9); (Ad,:4v '?vr / q;qa.?vt/t)(ll\ qv - fi¡ n:qt.Wr.:) ryv. py? (A,ü qy'Pat/p)(b\ qa.futnp,:):qv.ptt (10); (11); (R)Finaloente, aplicando R" a (a) y (b), puesto que el consecuente de(a) cambiaodo el orden de las cláusulas es idéntico al antecedenrede (b), resulta:

FQtt):):qv(?vt)Se obse¡vará que T., nos permite "traspasar,t el paréntesis de unaalte¡nación uno de cuyos eleoentos es una alternación. Y pode-mos deci¡:

[ 108

Si "Erv(E"vEr)" es uo teor€ma de nuestro cálculo, lo es asimismo"E,v (E,tE )"

El teo¡ema T' es vital para la prueba de los dos teo¡enas quesiguen y que se refieren a la asociatividad de la alte¡nacióo.

-f Llt Q\ qhr) pv (q'tt)(r) (p'¡ qhÍ.).N (pvq)(2\ tvQvq).>.!v(nq)(1\ nq.).qvr(4) p''t (ra q). ).p,¡ (qv )Iuego:(5) (p! q ht. ), par (qat )

(A,c)(T,,)(A,c)(A,d; Ra)

(R9, aplicado sucesiva-mente e¡t¡e (1), (2) y (4))

'f \at P\, (qvr).). (pv qht(l\ qvr,).mq ( A,c)(2\ Pv (qvt).).Pv (^r q) (A,d)(7\ t¡v (wq),),¡v(Pvq) (Tu)(4\ rv (ptq ),).(prqtrt (A,c)6\ ?v(qvi).@'¡qhr (Rr, aplicando sucesiva-

menre entre (2), (3)y (4) ).Antes de proseguir vaños a elaborar una regla impottante que facilita-rá ¡uest¡ai operaciones. Sean "Er" y "Er" esquemas proposiciona-lcs tales que "Er)Er" y "Er)Er" soo principios,l'is evidente que a partir de estas fó¡mulas obtenemos todas las siguientes:( 1) E"vEr.).E.vE2; 8.v82,,1,E3\Et (Rr)(2\ -Er)-E,; -8")-E, (R,, )(3) E.v-E, .). Erv- E r; E"v-8"),8.v-8, (Rr)(4) -(E.vE,)--¡-(E,vE"); - (E"tE

"))-(E,vE, ) (R11)

(s) -(E,v-E D-(E,v-E );-(E.,v-Ep-lE.v-8.) (Rrr )Ilaciendo en (3) la sustitución -Es/8., resulta( 6\ - E

"v - E,.).- Euv - E

"; - E rv - E

".).-E rv - E,(1) -(-Erv-E. ))-(-E rv-E,); -GF.,v-E.,)

:*(-E"v-E, ) (Rr,: (6) )l.s fácil percibir de que los casos considerados cubren rodas laslormas esquemáticas que hemos estudiado hasta aquí. En efecto"1,)q" y "pq" ¿,^a otigen respectivamente a expresiones tle la

"I1r)82" es decir "-8, vEr""li,F.r" es,J,ecir''-(-F,,v-Fl")"

lil caso que origina esquemas no considerados en la lista aoteriorcs cl de Ias cx¡rrcsiones qrre se originan de "p=q":

10q i

"Er=Er", es decir, "(Er)E) (E])E,Y'es decir, "(-E rvE,) (-E,vE,)"es decit, "-(- (-E ,vE,)v-(-E,tE, ))"

Es fácil, sio emba¡go, darse cuenta de la validez de un prin-cipio como los ante¡iores en este caso. Basta para ello con cons-truit "Er=Er" del modo siguiente:

- (- (- E, v 8,fu - (- E,v E, ))Supongamos que rli "Sr" ni "Sr" comprenden la cooectiva '=" yademás:

s,)s,,.s,)sry finalmente que "Sr" se edcuentre coIno parte de:

-E,vE,Nombremos "(-ErvE)'" al esquema resulta de reemplazar "Sr"por "J2". Segrin las reglas antetiores:(a) ( -E,tE,)) (-E,vE")'(b\ (-E,v E,)' )(-E,vE

")(c\' ('E,vE ")D-(-E'vE,)l(d) -(-E,vBr)t )- (-E,vE

^)luego:(e) -(-E,vE,h-6E,vE,)).-(-E,vE,)'r-(-E,vE,)t (R.:(c))A partir de (e) y mediante la aplicación de (A,c) y (R,) es flcilconstruir:(t) -(-E,vE

^h-FE "vE, ).). -( -E,vE

")t 't-(-E,vE,)y también, efectua¡do una operación a¡áloga a partir de (b):

G\ - (E,v E.)' v - (- E r\ E t ).). - ( - E \r E.)v - (- E,v E, )Aplicaado a estas dos últimas implicaciones, (f) y (g), la regla(R,, ) se obriene:(8\ -(-(-E,vE,h- (8,'¡E

L D)-((-8,'tE^)t v-(-E"vE,) );-(- (-E,vE,)' r (-E2v E, )))-(-(-E |\E,h-(E^vE,) )

con lo cual queda probado eo forma completa un principio de reem-plazo que permite efectuat esta operación con esquemas "Er ","Er" tales que: El)E2 y E)EL. Significamos con "lR¡)" nues-tra regla de reemplazo que puede generalizarse así:

Cualquie¡a sea "E(Er)" - donde "Er " es parte de. "EGrf -

si "Er)8," y "ElE," soa principios, "E(Er))E(8,)"y "E(Er))E(E, )" lo son asimismo.

T *t - (-p-q)),pvq-(Pq)).-tu-q (T,o:)-(-p-q)).-C v-(-q) ¡?/p; -4/q)-C v- (- q).). P,r q (R.)-(-P-q)).Pvq (R,)

I r ro

T,"; Nq.).'GP'q)-2s-q.),-(Pq) (T")-(Ph-(q).:.-(-P-q) (-? /P; -s /q)Paq').-(Ph'tuil (R.)

Paq.).-('P-q) (n")

T L"t -Q!q))-p-S'('P'qD'Pvq (T. )

-@¡q))-(-(-P-q)) (R")-(-(P-q)))'P'q (T

"; -P-4 /P)

-@vq)>-!-q (R")

T,"t -p-q)-(Pvq)?vQ-GP-d (T'J-(Fp-d)-(pvü (R,, )

-P-q)-((-P-q)) (r; -P-4 / ?)'P-q>-(fiq) (R")

(lomo se ve, Tr"_Tru / Tr"-Tru son pares de teoremas que nos permiten

reemplazar, unas con otras, pares de fó¡mulas de la especie:

"E,vE"" t "-¡-8,-E)"" - (8,'t E

")" y "- E,. - E,"

Ahora vamos a probar la asociatividad de la operación sirnbolizadapot "Pq", es decir, la asociatividad de la coniunción.

'I,": Qqh)PQt)Sabemos expresar ambas cláusulas con ayuda de (D,b):

Q) Qqh =-((!q)t-t)(2\ !(qt)=-(Pv-(qt)Se ciene, además:

-(@qh -¡)) - ((-!v -qN -t) (Rr T'" -T")-((-?s-qh-¡)>- ('?"('q-r)) (R¡: T," - T'")-(-fu(qv't))>-(?v -(q¡)) (R.: T,o -T,.)- (Qqh-r))>-(-!v-(qt)) (R")

lntercambiando ambas cláusulas de este último condicional mediante(l) y (2), resulta T.o:

Qqh)P@t)'t,. , p@r))(psh

(t\ lt(qt) = -(Pv- (r))(z\ (pqh = -((?q)v-t)

-G?v-(q¡)))-GN ?qv-r) ) (R, : T'o -T¡)-Ftn Lq -r)--((-Pv-q)v-¡) (Rr: T,3- T1a)

-Gttv-qh-t)-¡-( QqN-r) (R.: T.o -T1')-(-P\ - ((y )) )'-(-(l)qh'r) (R')

Irrtcrcambiando ¿rmbrs cláusulas de esre último condicional con ayuda

rlc (1) y (2), rcsulra 'l-,0 :

llr I

?(qt))(!qhEn una palabra "(Pqh" y "p(q/)" se reemplazan mutu¿mente.

"f,Lt Pq)pp).Pv q (A,b)-(pas))-p (R,, )-(-P"-q))-(-p) (-? /p; -a /q)Ps)p (D,b; R¡ )

f)e cste teorema resulra la regla Rr: Si ErE" cs un principio delcálculo, E, lo es asimismo. (Obviamente, valc otro tarto para Er.)Esta es una regla que nos permite 'desligart las partes de una con-junción afirmada o tautológica. Es aatural esperar aquí ot¡o reo¡emaque nos permita formular R,¡: Si E. cs un principio y también E' loes asi¡¡ismo ErE". Ello resulta del reorcnta sigui.ñte:

T2rt p).q)pqp)p (r)-pvP (D,a)P!-P (A,c; R,a)

GP"-sN-CP"- (- Pv-s / p)

-p'¡ (-qv- (pv"q)) (T13)

P).-S\pq (D,a; D,b)p).q)pq (D,")

Sustituyendo eo TrrlEt:-.E)EtE,

es decir, si E, es un principio de nuestro cálculo y lo es rambiénEr, entonces, lo es asimismo E, Ér.Esta regla nos permite emplear (D,c) eo conexión con todos los patesde teoremas demostrados cuya forma es:

"E \)E 2" -.'E2)Er"Por ejemplo, sabcmos que son afirmados:

"P)-CP.Y' v "-(P))P" ;"pq)cp" y "qp)pq";"-tu -q.)-(pq)" y "-(Pq)). -p\¡- q" ; etc.

y sabemos además quc está perniitido a¡orar, cuando ,,8,:,E",, y

"ElE t" son afirmados,"(Er)Er) (E)E\)", lo que según (D,c) es: E.=Er.

Por ejemplo:

@)-cpD GGp))p) =p=-Cp)(Pq)qP) QP)P =ps=sp((- pv -q)t-(PqD C 0¡d)( I'v-q))= - pv-4.-=-Qcl, erc.

El signo de relación entre estas fórmulas es "=", porque dicha¡elación es definicional.

Nos oc¡rpamos ahora dc I¿¡ <listributibitlad tle ta alrer¡ación res-| 112

pecto de la co¡iunción. Enunciamos primero:'l*t pa (q))(?v I Qvt)

(1) qt)q (T,,t 4/P;t /q)(2) ?'¡ct)paq (A,d; R,a)(1) qt)r'(4) Pvqt)Pv¡ (A,d; )i,a)(5) p'¡q.):8t,)(Fq) @v) (T,")Si aplicamos (R,) a las implicaciones (2) y (5) resulta:(6) p\r {. )tpat.,-\(prq) (pw)(Considérese p,).q)t;

^ pártir de está irnplicación se tiene:

-,r..(q'¡t) (D,a)

-qv.('F¡) (T,)q).P)r (D,a)

cs decir:(^) P).q>:):q),P)ta la verdad la relación es más fuerte y podemos anota¡l(h\ 11]-,.Pt.=' q).P)t)Aplicando el lerna (a) de nuestro paréntesis a (6) resulta:(7) Pvt. ): P,t q¡. ) (Pv Q Qvr)y aplicando R, a (4) y (7) ¡esulta:(8) pv ry .) :8 qt . ,-: (pv q ) (fur)lOtro lema. Considérese:

p)..1)t-ttv(-qw) (D,a)(-Pa-qfu (T,o)-((-Pt-q)h, (Rr )

'1-P.¡-q))r (D,a)pq)t (D,b)

(c\ P). q)r:),Pq)tcs obvio que la secuencia se puede recorrer en sentido cootrario.l)c modo que r

(,1\ l, -q: t: .pq)t)A¡licando el lema (c) del último paréntesis a la implicación (8),r'csultr:(,)\ ( n {) Qv r))@yq) (pYr)

f'rrr.r sirnplificat el antecedente de (9) ¡educiéodolo a "'p,¡q"yolrtcne¡ así finalmente Tr., se tequiere de un principio que en nuesror ¡rso nos permita const¡ui¡ la im¡rlicación:( I o) lN qr, (lN rt ) ( r" or )r's rlccir, del reorema:

'l'ú: l) ' Pl,

' 1.tr imDficnción (3) Jel'c p.ob.rsc. lJnn p¡uebn setí^t "q/'\q" y tq \"ilutq., ,,¡r ,.. ll3 l

Tenemos:

P\p.)p-pv -p.) - p

-(-p))-G?Y-p)p)pp

Asimismo:I2st pp)p

En efecto:

P)'PtP-P).-pv-p-(-p!-p))- -ppp)p't,": (Fq) Qvt))(pvrr)(l) q),¡)qr

(2) t)r.):!vt. ), pvqrAplicando a las implicaciooes (l) y (2) la regla (R") resulta:(3\ q) tPvr.>,pvqrAplicando a (3) el lena (a):(4) Pv.):q).p\q?Ademásr(5) q ), pvqr ):pvq, ).pe(?vq)y combinando (4) y (j):(6\ pv¡.): pv q)p't ( pv qt)Aplicando el lema (c):(7) (pvt ) ( pv qD. pv (?v qt)(8\ (pvq) (pvrD. @vp)vqt

(Prq) (pv)).p"q^f.7, p),prpq-prp,),(?vphpq-pvp.),-8 (pvpq)

-PvP

P)'PvPq'I2st pvpq.)ppv pq.). (pj p) Qvq)pvp. )p; p).pvp

l,vpq.). !(?v q)

P(P,t q.))PPvpq.,-\p'1,,t -(P-P)p)p-Pvl)-Gph-p

I tt4

(A,d)

(A,a)(A,f;'!/p)(T,; R,a)(R. ; D,b)

(A,b; P/q)(-? /p¡(T"; R,a)(R. )

(T ""'l(A,d)

(T,.)(R¡; A,c; T, )

(A,b)(T,,)(T.)(R,a; D,a)

(T,.)(A,a; T, )(Rr )(Tr' )(R'')

(T.)(D,")

-G?Cptu-?))-cpp)'Í lo , pQvt)).patfrP (qet ) ='(- Pv - (qvt ) )- (- ?v' (qv ))) - ('F - q-r )-(- p\ - q ¡ )) - ((- ?v - q ) (- ?'¡ -r ))- (CPv -d Gp\'+ )))' (- Pv -qh' (P't -r )

cs decir:P(qar)),Pqvfr'l zL, Pqvfu.)P(qvt)pq!F=-(W-{v-(-F-¡) (D,b)

-('pv-qh-Fpv4).)-((8- F?'¡'¡) (T")-((- pu-q) (-pt-r)))'GPu -q-¡) (R¡; T".; T')-(-pv-q-r)>'GPv-(qtt)) (R¡; T'"; T'")

¡ s decir:l¡qtF.),!(qor)^t; P)q, ).Pt )qtp)q.).-q)-p-q)-P. )t-N -q.)''rv-P-l.r - q ), -t-t - p = - (-m - q h Fm - ? )- (-¡v -q)v (-m - . ).- (-m'q h- k? )

-(4v-qh-ftPr).-0Phtq- (t p)tr q. >. - (P)v qt-(fthry.=F)qt

"s decir:p)q,).b)qtTi P)q,P)t. )'P)qr- P,t q. -Pvt . ). - Pv qt

I )q. P)t:),P)qt^t !; P)qr,).P)q.P)rql )qr- P'¿ <lt )- ?v qr

-Pvqt.). -Pvq'-P\tl)qt,).P)q.P)t'T:,st P)q.r)q' ) tPrr. )ql,)q.r)q=(-pvd (Nq)(t¡'t (-nqDFPv -tv(-P\ds (T.o )(-l¡v q)-rv(-p\q)q), -¡ (-?v qhqF?v (T"; T"; Rr )

i(-Pv vs( P,¡d.)(t-p,¡-tqh (q'Pvqq) (T,o ; T",; Rr )

(-r- lN +q)v (q-Pvqq).).(-r-pv'rqh @-Pv q)('l,o; Tr"; Rr\

Gr-ln -rqh k-fv q).'t.(-t-pv -rq)v q (T'"; Tr"; R ¡)1

' l,;l reemplÁzo dc ln linca ndolccc dc un lcve defccto: la cláusula deI ,,-'l rs qúe irnporrn ¡nrn "l rccm¡,l,rzo conrprcnde I¡s alte¡¡ativas c¡ cl o¡den,,",¡¡rri¡'. l'c¡,, r¡ t¡rrn rlc unn ir,¡'rrfcerión sin ¡-'or'¡rn. in.

ll5 I

(T5, Tó, Rr)(D,b)

(D,b)(Rr, Tt?, T1!)(Rr, T¡., T¡6)(R¡; Tro ; T,,)

(D,b; R)

(R'; D,b)

(r,)(A,d)(D,a)(Rr; T,o ; T")(A,c; D,b)(T,; T"; R¡)(D,a)

(D,a; R")

(Tro)(D,a)

(r.)(^,d)(T.')(D,")

(D,")

I

( i - W -t q h q) -r - py ( qv q -r )-r-P,¡@vq-r))-r- pyq-/-8 q)- (- (-t-p hq- (- (-r-ph q.).-(m ph a-(rvphs.)-(pvhs-(p'¿thq=psr.)q"l .6t pi t.) q:), p) q.r) qpyt. )q=-(pvhq-Qw)vq,),-P-rvq- P-|v q.) , q'¡ - p -rqv -p-r.)(q\-p) (qv-t)(qv-P) (qva).).(-?vq) (-/r q)

es decir,pjr.)q:). p)q,r)q-l ut pq).pv q

Ps)PP --F¡qPs)Pv sT.s. P\ q,)r i,1 : P)/,'r, q)tPv q.)r t), p )r.q)rP)r. q)r.):p)r.\t q )/Pv q,)/ t):p)r.\¿. q)rT 3,, p)r,\ - q)t:),pq)tP)r.'¡. q)r= -Pvr.Y.- qit-pvr.v.- qar:):,-qv t- pvl,vr-q\'. -pvr.y/:,):-qr, -py (wr)- q'r, -pv (mt):):- qv- pvr

-qv.-Pvr t),-qy-p,'¡r-qY-P,vr:).-(qpht-Qphr.).-@qhl

finalmente, recu¡¡iendo a (Rr) y (D,a),p,-r.v.q,\i:),pq)t"l,o I p)q.).pt)q-Pv g. ) t- Pvq.v-t-pvq,v-r:):-py-r,\q- pv -r.t qr),- (-(-¡tt -t ))v q

-(Fin-r)¡vq=h)qes deci¡:

P ,\ q.). Pt], q

T o,: (!vq) (ms )):¡t*Ps,v.t1m qs(Pv q) (rv s ))- lh\s h q (rv s )p(t',r s h qftvs ).--.|tv ls ,'! . qrv qi

I r 16

(T,r; T,n; T"; "f o; A,c; T,)

(T,"; Tru; R¡ )(T"; Tu; Rr)(T'r; T'o; R ¡)(R r)(D,")

(D,")(Tr"; T,"; R¡ )(4,")(T,"; T,o; R.)(Rr )

(T., )(A,b)(R")

(r"")(T,,)( R,)

(D,")(r,")(T13' T1.' R¡ )(A¿; T,)(T,,; T,n; R¡)(T,o ; T,,; R¡)(Tu; T"; R¡)

se obtiene:

(A,b)(Asociatividad, etc.)(T.; Tu; R¡ )(D,a; D,b)

(Ts, T,, Il r; I ., )('r.n ; 'l'., ; R, )

Asimismo, tenemos:'Í,t pwps.y.qmqst)(F t\s)Faps.e.qmqs D'p(mshq(ms) (T'o; T"", R.)

?(ms).v -q(¡vs):) ¡(ws)p.v. (tvs)q (Tu; Tn; Rr )(ras)pv(rvs)q,).(r.rs)(pvq) (T"')(ns) (pvqD@vq) (ms) (T")

Aplicando (R¡), resulta T¡2.

T 4i P)q,¡)s.) 'Pr)qs(-F GnsD:- P-r'r-Ps'.v,q-rvqs (T"")

-p-r'r-?s.v-q4vqs:);.-p-rv-P6,1¡!q-raqs''t'/ (A,b)

-p-ñ -ps,v tq-r'¡ qs.r-r, D:.-p'r v'ps '\qs n iq'ft -r-p-rv-ps,vqs ft 'q-l..t't.D:'-p'tr -ps,Yqs nv'r (Tr?, Trs)

- p-t!-p6.\ qs :a -t)r-P-rv qs,1r t-¡a . -psa -p ( A, b)

-p-ñ qs,\:-ñ.-ps\-p, D:-p-¡'tqs 'v.'r\¡ -P-p-rvqs,Y.-ñ-?D t- p -f\r - P.\ -t:r qs

-p-t\ -p,\ -r:rqs,:):- pr-r.\ qs (4"; T,"; R. )

-P\-r,\qs:)-(Ph qs (T'", T,'; Rt)-(p)vqs.=P>qs (D,a)

Se observará que en la prueba de (T.r) ¡o hemos hecho explícicostodos los pasos La elaboracióo que hemos hecho has¡a (Tor) ha tra-tado de serlo con el máximo de explicitación. En adelaote, hemos de

presciodir de esta laboriosidad fastidiosa para el lector.T a., p qrrc, ) (p'tr) (Pv s ) (qtr) (qvs )pqvts.).(prrc ) (qrrs )(pl¡s) (q,¿ts)) (?tt) (!"s ) (q'¡r) (q\s)

Para probar el recíproco de (Tnn) emplearemos dos teoremas análogos

a (r,") y (r,).T,r t P(?vq)) P

P(P\q))P (t",t ?vt/q)"f,"t P)P(Pvq)D.ptps (A,Ú ?s/ q)

PrPq,),PPvPq (T,.; T,"; R¡ )ppvpD.pQvq) (T.o ; T"; R¡)p)p(pv q)"f^; (pit) (pvs ) (qvr) (qvs )).pq,tts(pvt) (pvs ) (q,o) (qvs ) --((pw)pv (pw)s) ((q¡¡)qv (q'vr)s )((pv/)pv (pvt)s ) ((q'¿t )qv (qv)sl)(?¡@tt)s ) (q'¡ (q'¡t )s)(lv (tt ¡¡)s ) ( q'¡ (qvr)s))(pv ps ',¡¡s ) (qvqs.vr's )(pvps.vrs)(qvqs,vrs))(pv¡s) (qvrs) (Trr; Tr.; R¡ )

(l¡'¡rs ) (qwsD ?qv's (T.JAtcndamos ahora a los principios establecidos y apliquemos a los

¡rrrr:s tle ellos dc la forma:1t7 |

(a) E,)E" y (b) E,)Erel teorema (T"r), o más bien, la regla que en él se funda y que nosauto¡iza a afirmar u¡a conjuncióo cuando sus partes son afi¡mad¿s.Se tendrá eototrce s:

E \ ) 82.82)81'expresión que, atendiendo a la definició¡ (D,c) podemos aootarEr=E". En una palabra, mediante tales reglas estamos en condicio-nes de 'condensatt una parte no despreciable de nuest¡os resultados,los cuales hasta aquí se han expresado implicaciooalmente.

PvP')PP).!¡PPvP.=P"f ,rt P=.Pn¡t

Asimismo:T.s, pv q.=.qep

T,oz p =- (-p)^n srt P)q=-q)-P erc.

(4,")(r. )(D,c)

(Podemos obsetvar que el ¡ecíproco de p)q.),-q)-p se obtieneefectuando en este último la sustitución (-4/p, -P/q); rcsulta:

-q)-P.).'('P) >-(-q)es deci¡:

-q)-p.),p)q

40. La exposición del cálculo de proposiciones que hemos hechorpresentará alguna dificultad al estudiante, sob¡e rodo si no estáfamiliarizado con los procedimientos matemáticos. Consiste estaelaboración - como se dice - eo una presentación sintética de lostesultados; es decir, va elaborando los enunciados teoremáticos a

Partir de p¡incipios pteviamente presentados y mediante el mo¡¡ótonoexpediente de ¡eunirlos o compararlos unos con oros en orden a pro-ducir los dichos reo¡emas. Lo que está a la vista del lector es encada punto una síntesis o construcción de nuevos enuociados que seapoyan en enunciados anteriores. El punto de partida lo forman losaxiomas y las reglas primitivas que permiten, la una, transformatlas implicaciones previas; la otta, sepzua¡ el consecuente de uoaimplicación cuando su anrecedente se afirma previa y separadamente.

Es natural que el lector experimente ante u¡ desar¡ollo como elcontenido en el patágrafo 39, el sentimiento de encontrarse ante unartificioso prodigio. ¿Cómo se procedió para elegit los axiomas?

¿Cómo se arinó con su número y cualidad? ¿Quién indicó la indole y

' Ciñéndonos en lo principal al desar¡orlo dc Hilbe¡r y Ackerm^nn.: Mdthe-

I l rB

número de las reglas ptimitivas ? ¿De dónde se traieton las pruehas

- a veces artificiosas y alSo comPlicadas - de los distintos teoreñas?

¿Qué razóo hay para el orden seguido? ¿Y por qué tales nociones se

eligen como primitivas y tales oúas como derivadas ?

Preguntas como éstas surgen naturalmente en el camino del Prin-

cipiante, y hasta el punto de poder éste concluir decepciooado que

todo el cálculo lógico es un puro juego de convenciones eri o¡de[ a

producir conclusiones obvias que _ corno se mostró al corisiderar

empíticameote las palabras '¡oo"' "y"' "o", etc'- pueden estable'

""."" "in recuÍir a todo este aparato del cálculo proposicional'

Y debemos decir aquí que ¡anto fo¡malismo se debe a un pturito de

otdeo y sirnplicidad que, cualquiera sea nueslro estado de ánimo'

tenemos que respetar; Porque es deseable y legitimo poner relacióo

de principio a consecuencia allí donde tal orden es posible, y es

también deseable y legítimo reducir los principios a un mínimo Para

poner de manifiesto la simplicidad allí donde exista' Po¡ el contratio,

aquella manera empírica de recolectar las leyes que ensayamos

eo nuestro primer capítulo, auoque cier¡amedte obvia, Produce en el

espíritu un sentimierito no menos insoportable: el sentimiento de un

taotear sin principio y prodigar al desparramo la investigacióo No

puede escaPar al lector la conexión existente entle estas dos maneras

de proceder: En el caso de nuestra Lógica de Proposiciones todo

resulta fácil y familiar; pero tales co¡diciones se Pagan coo el de-

fecto sistemático. En el caso del Cálculo Ptoposicional, por el

conrario, aunque todo es obvio Pa¡a el exPerto' el P¡inciPianteeocueritra dificultades a cada paso; tales dificultades son el Preciodel carácter sistemático de esta elaboración.

De todos modos, algo podemos hacer aquí por respondet a las

preguntas que se hace eI Principiaote y que pusimos más arriba;

es decir, algo podemos hacer por ilust¡ar el pioceso en que se in_

vestiga el sistema desat¡ollado en eI parágtafo ]9., en que se tantea

y attaliza con el proPósito de descub¡ir uo ordeoamiento posible de

la L6gica de Proposiciones' ordenamiento al que se da el nombre

muy merecido de Cálculo Proposicional. Algo, entonces, podemos

hacer por inst¡ui¡ al principiante sobte lo que es propiamente el tra-

baio del lógico que investiga con vistas a explicitar este cálculo

de las proposiciones.En ptimer lugar, podemos despachar rápidamente la pregunta:

¿T)or qué tales nociones se eligen como Primitivas y tales otras

como derivadas? En el capítulo de Lógica de Proposiciones heoos

invcstigado analíticamente muchas cosas; sobre todo, han surgido

f¡icilmentc de at¡uella inverti¡¡ación las relaciones entre las diferen-

l le I

tes cooectivas. Sob¡e esto no cabe pregunta que hacer después deuoa lectuta siquiera superficial. E¡ cuanto a la cuestión sobre larazón que tene¡¡os para elegir tales nociones como primitivas ytales otras como deriyadas, basta con observat la forma de los axio-mas (A,a) - (A,d); en tales formas intervie¡en solamente las conecti-vas "-", Es claro en¡onces que no es necesario agregara estas nociones ora cosa que la noción de ,,proposición" queexPresamos mediante las le|las ..p,', ..s,,, .... podemosincluso prescindir de ')", puesto que es expresable eo términos de

y esto hemos hecho, considerando que solamente ..-" y"v" represeotan conectivas prirnitivas.

En cuanto a la cuestión: ¿Cómo se procedió para elegir los axio-mas? exigiría, para una rcspuesta satisfactoria de un número prodi_gioso de e¡umeraciooes alternativas que no podemos poner aquí;hacerlo sería algo como transcribir el bo¡¡ador de un lógico, lo quecie¡tamente está fuera de lugar. Sin embargo, aunque abstractamente,podemos representardos este trabajo: Dada la telación que en nues-tra Lógica de Proposiciones se ha manifestado ent¡e tales o cualesesquemas proposiciooales, como por eiemplo la siguiente:

pvS.),Sypque es una relación implicacional entre los esquemas ,,pvS" y"qvp", podemos arender al lugar que tales determinadas relacioriespodrían ocupar en el sistema que oos proponemos construir. Es decir,podemos p¡oponernos averiguar si el esquema ,,pvq).qap,' puedeobtenerse a pa¡tir de oftos o si, en el proyecto que bosquejamos ennuestra cabeza, debe ocupar un lugar básico. para responder a estacuestión debemos poner nuest¡o esquema en ¡elación con otros. y unpoco empíricamente debemos conve¡i¡ en ciertas reglas de composi_ción y disolución de los esquemas. Surgen asi algunas aceptacionesgenerales: (l) Debe habe¡ una regla de ftansfo¡mación o de sustiru-ción; una regla que, por eiemplo, a paftir de ,,pvq),qvp,, petmitapone¡ como asimismo válidos esquemas como ..fi/q.).q\f", ..rvs.),sv/", etc. (2) fJebe haber una regla de separación o inferencia; una re_gla que, una vez afirmado el attecedente, permita desligar o afirmarsepa¡adamerite el consecuente. De modo que, supuesto .,ErvEr,,válido estemos eo condiciones, a través de ,,f rvAr.>,ervÉ,,, aeafkmat "Ei¡Et", (3) nebe haber una regla de unión o conjunción;una regla que, tomando por ejemplo "p).p'¡p" y ,,p.vq),qvp" conoe sque mas válidos, f,ermira asimismo

^tir ro^r,, p .), p\ p :l)e q ), q\ p,, . F. ¡el desartollo que h€mos presentado en el parágrafo 39., hemos asig_nado un rol básico a las dos primeras reglas de que hablamos aquí,Y ¡o es difícil pcrcibir, daclo por cjemplo el gru¡.m de axiomirs:

I l2o

Pv P.)PP).Pv q

Pv q,)'qv P

P)q') | 7\P.)'r'¡ q

(1) PvP )P(2\ -(?'rPhP(7\ - (p'¿ pNp.).Pv-(pvp)

(A,a)(D,")6¡t-@vP)/P ; P/q)

(A,a)(A,b)(A,c)(A,d)

que nada podemos obteoer de ellos si no disponemos de una regla de

sustitución y una regla de separación. Las definiciones a nuestra

tlisposición nos permiten traosformar los axiomas y obtener, por

cjemplo, a pa¡tir de (A,a):

-(PvPhPl,cro, es muy claro que vamos a gi¡ar en tedondo si nos reducimos

;r las definiciones y no disponemos de una regla de sustitución, que

l,ermita, Por ejemplo, a partir de (A,b) aootar: "pv t') tp'tt ''t s" ne'tliante la sustitución de "p!/' en lugar de "p" y de "s" en lugar de

Es, asimismo, evideote que la mera sustitución no permitiría otra

cosa Ílue agre g^r ^ cada uno de los cuatro axiomas po¡ se|aTd¿o

r¡na cantidad infinita, pero también ociosa, de esquemas proposicio-

rrales de la misma forma y que también se afirman. Es necesario,(ntonces, que exista uoa regla que perrnita unir los esquemas afir-

rrrados; y no metdmente unirlos, que de ello tampoco resultaría g¡an

cosa. La regla requerida debe ser de unióo y separación. Nada más

ltlecuado para ilusttar lo que decimo3 que un Proceso de deducción

teoremática como el siguiente:

ll¡¡sta (3), e[ proceso se reduce al empleo de dos axiomas, una defi-rrición y dos sustituciones. El a¡teceden¡e de (3) es el axioma

(A,a) y (3) entero es una transformación mediante sustitución del

rrioma (A,c). Tenemos, entooces, la anió¡, de dos axiomas obteni,l¡ ¡nediante sustitución. Se muesra aquí la necesidad de un prin-

c i¡'io de separacióo que opera así:t \\ - (pvphP.),p't-(F p)(2\ -(pvphpt/t) p,¡ -(pvp)

lis clato que el nuevo esquema qüe desliSa,nos y afirmanos de

,.srd manera, "Pv-(?'¡1,)", no Puede ob¡enerse de los axiornas elegi-,los prescindiendo de la regla de separación o inferencia; ningunorlc cllos puede dat origen al esquema "pv-(Npy' si no hay un prin-

< ilio de separación. Agreguemos aquí cónro, Partiendo de este nuevo

crrrrnciado, podemos obtener c1 teorert^ "P )Pp":

121 I

Pv-(prp)-?a-(-fi-p)'?v PPp)pp

f P/p)(D,b)(D,")

Quede lo anterior como un esbozo, muy imperfecto descle luego,de la especie de consideraciones que conducen a formula¡ los enun-ciados básicos. Por lo demás, todo el trabajo de axiomatizaciónes una larga historia de tanreos y hay diversos grupos de ariomaspropuestos para e ste cálculo.

En cuanto a la pregrmta por el orden seguido al exponer los teore-mas, es de fácil respuesta: Hay teoremas cuya prueba depende deotros y es obvio que estos últimos deben probarse primero. Muchasveces, sin embargo, ocure que teoremas que pudieron probatse antesse establecen solamente en el momento en que son necesarios. Elmismo eiemplo que pusimos

^tiba, ,,p)pp", es ilustrarivo; po¡que

en el desarrollo expuesto en el parágrafo 39. se encuent¡a en ellugar vigésimo cuarto sieodo que pudimos probarlo entre los primeros.

Una pregunta cuya respuesta puede resultar inst¡uctiva es la quese refiere a la prueba de los teoremas. Trata¡emos aquí de ejempli-ficar sob¡e el análisis con el propósito de enffesacar algunos prin_cipios generales sob¡e el arte de la prueba. por lo demás, lo ptioci-pal aquí es cierta habilidad que poco resulta de cáoones que puedandiccarse y mucho del ejercicio, la agudeza y la paciencia. pero, alfin de cuentas, nada de lo que se habla aquí es cosa del otro mundo.

1) Ante todo, los enunciados axiomáticos y la regla de sustituciónpe¡miten establece¡ algunos teoremas silr más ¡ecursos. Nada serequiere aqui; basta hace¡ las sustituciones qug conveogan y formu_lar el resulado. Así, por eiemplo, se tiene, sustituyendo en (A,b) laletra "p" por la letta ,,q":(l) s).q,¡qAsimismo, colocando ,,-/, eÍ lug^r de ,t,, en (A,d), resulta:

p)q,):-n p.).-rvqes decir, en virtud de (D,a):(2'l p)q.>:t ) p,),DqPuede igualmeote coosidera¡se (A,c) y mediante sustitució¡ esc¡ibi¡:

-Pv-5,),-q!-plo cual, aplicando nuevamente (D,a), produce:(3) P-q.).q)-pFinalmente, es obvio que mediante susritución puedo obteoer lassiguientes generalizaciones partie¡do de los axiomasl

EvE.)EF,). E ,v E,

I tzz

ÉrvEr,),E"tE,E r )Er,):ErvE,,),E

"v E"

2) Si se obse¡va la implicación (2) puesta más a¡riba se percibiráque es un principio de transitividad; es decir, que si tengo dos impli-caciones, "p)5" y "r)p", con la primera y la tegla de separacióndesligo el consecuente de (2); co¡ la seguoda desligo asimismo elconsecuente del consecue¡te de (2), es decit, 't)q". En una palabta

si se afirman t'Dp" y "P)q" se afitma asimismo "r)q", Ahotd est^-

mos en coodiciones de hacer más cosas. Por eiemplo:p).FpPaP')P

de donde ¡esulta:($ p>pEscribiendo (4) media¡te (D,a), resulta6) -p¡?Valiéodonos de (A,c), podemos anotat:

((1))(A,a)

(6\ -PtP.).Pt-Py desligando el coosecuente mediante la regla de inferencia, obtene-

(7\ P\- pLa siñple inspección de (7) sugiere la sustitución -p1P; de elloresulta:

'Pv- -Pque sirviéndonos de (D,a) se escribe:(8) 2)- -p

3) Digamos, finalmente, algo sobre los teoreoas menos inmedia-ros y que requieren algún grado de elaboración. Ante todo, es muy

claro que los teo¡emas se muestran, en su mayoría, evidentes antela mera inspección y también que nuestra farniliaridad con las leyesque rigen el empleo de las palabtas conectivas nos permite formulatuna multitud de ellos sin especie ninguna de preámbulos. Pongamosaquí para evitarnos fastidiosas repeticiooes, solamente un eiemplo.

Atendier¡do a la implicación (8) puesta más ariba, se ¡os ocur¡einmediatamente la siguiente :

(,r1 - -p)p¿Cómo establecerla partieodo de los principios¿ nuestra disposición?El movimiento que conduce a la prueba en este caso es algo comolo siguiente:

10, Debo establecet "- -P)p", es decit, "- - -pvp",20. Supongamos que lo obtuve mediante (A,c), es decir, desligán-

dolo del e squema:pv---?.).---pvq

123 I

3q. Para el paso indicado en 2p, es claro que debo estableceraotes el esquema ',pv- - -p',.Supongamos que fo desligué de:

"Pv-p.).A- - -p"cuyo aotecedente es uo teoremá.

4p. Es claro que la implicación puesta en 3p puede a su vez des_ligarse de:

-p)- - -p.):p!-p.).pv- - -pque es válido y cuyo aatecedente es la implicación (g) donde -p/p.

Tales soo los pasos que damos al busca¡ la prueba. Es clarotambiéo que al erponerla iovertimos el orden, es decir, de analíticoque es aquí lo transformamos en sintético.

41.. Después de un desarrollo elemental como el cumplido hasta aquí,estamos en condiciones de entende¡ bien algunas ftases que se ofte_cen frecuentemente como descripciones de la lógica formal. Estasfrases, que atienden en verdad a aspectos esenciales de dicha lógi_ca, suelen ocupar uo lugat introductorio en los manuales elementales;y tal ubicación rier¡e oidinadardente el efecro de palidecer un pocosu significado. Porque el principianre poco o nada sabe de la ciencia,de maneta que aquellas ftases descriptivas se muest¡an para él comogeoetalizaciones cuyo significado no sabe fijar bien pot falta defamilia¡idad con los tópicos que son ilustraciones

"rrya.. En .stelugar en cambio, cuando hemos ¡ecorrido una porción impotante delcamioo, podremos comprender perfectamente las frases de que habla_mos.

Se dice, por ejemplo, que la lógica fo¡mal se ocupa de las coodi_ciones formales de la inferencia, de las leyes que permiten afirmaruna proposición a pattir de ottas proposiciones previamente afirma_das; se dice, también, que la ligica fo¡mal se propooe establecerlas leyes o formas de conexióri necesaria entre las proposiciones,o las esüucturas proposicionales gue son verdaderas por virtud desu. forma; se dice, finalmente que la lógica formal hace explícito yo¡denado recuento de las coodiciones formales de ciertas palabrasque empleamos al tazorrat, de las relacioaes de implicación o equi_valeacia que resultan enüe estas palabras por l^ sol" razón de susignificado formal, es decir, la serie de condiciones a que sometemoseo principio y por siempre su empleo. Frases de ..," gén."o aoaon-t¡amos ordinariame¡te en los manuales de tógica elemeotal. y nosPJoponemos en este pa¡ágrafo, aprovechando lo visto hasta aquí,ilustrar tales frases descriptivas de la lógica formal.

(a) La primera de estas descripciones pone el énfasis en la in_ferencia y se ilustra ampliamente con la simple inspección del

I 124

cálculo proposicional desalrollado en el parágrafo 39. Incluso, talinspección pone a la vista un desaúollo infetencial comprendido

¡etfecta y rigurosameote en sí mismo; en tal eiemplo se ¡¡ruestran,

for decirlo así, de manera pura y última las condiciones del movi-rniento infe¡encial que representa, las leyes que permiten afirmarcie¡tas proposiciones - las @utologías proposicionales - a partirile otras. Estas últimas esaán fohadas por los axiomas: cuatro de

tllos proponea esquemas proposicionales que son las afi¡macio[eslrásicas en que se apoyan lodos los teoremas; los dos ¡estantescxpresan las leyes de separación inferencial y de traosformaciónsustitutiva. Fioalmente, los ¡érminos primitivos representan la 'ma-rcria' de las afi¡maciones básicasl v las definiciones, las condi-ciones de t¡a¡sformación definitoria. Todo el parágrafo 39. exhibel¡ a¡ticulación de ua coniunto de coodiciones formales eo orde¡ a

inferir partiendo de ellas los rtumerosos teoremas proposicionalesque allí se estableceo; en una frase, el cálculo proposicional seocupa de las condiciones formales de la ioferencia proposicio¡ral,tic las leyes que permiten afirmar cierros esquemas proposicionalest:trtológicos a partir de ot¡os esqüemas proposicionales (los axiomasque hemos llamado "afi¡maciones básicas") previa y axiornáticamente afirmados.

l)igamos también aqui que este p¡oceso infe¡encial que obrier,erle unas cuantas tautologías todas las restaotes pasa corrientemeoteI'or matemática, no por lógica. Lo común es habla¡ de la inferencia,ic'tal o cual específica proposición y no de la infe¡encia de taurolo-¡¡ías proposicionales; lo común es llamar infe¡encia a un proceso co-

Pedto y laan ldn dl cine ) Ped¡o ua al cinePedto y luan ron al cine

I'ed¡o ad al c i¡e,l¡,n,lc 1a última y específica proposición se iofiere de las dosprime-r,rs; no es lo corriente llama¡ infe¡encia a la obtencióo de princi-l,ios como "?qlP.pS,>p" pa¡riendo de otros, al modo como lo hemosLccho en el parágrafo 39. Sio embargo, este nuevo se¡tido de lal'.,!,rbra inferencia puede también ilustrarse recurriendc al Cálculo'l, l)roposiciones. El mismo eienplo que hemos puesro más a¡ribarr¡'s sirve aquí; tal inferencia se funda en la tautología proposicional"ltt' '1,,|¿f. ''l)"; es decir, que dada una tautologia rle forma implicacio-r.rl I'uecle ella scr e*r¡ieacia como ¡rincipio de una inferencia espe-¡ il¡cl. fodos los reoremas prolrados en e! parágr:rfo 39- tie¡en lormar¡¡l'lic;rcion¡1, rlc marcra (luc cn csrir conciió¡ pucrle decirse que¡¡,licho ¡rará¡rafo h<nos cst¡lrlccido "lr,vcs qrrc ¡crmitan afinnar

125 I

una proposición a pa¡tir de ot¡as pteviamente afrrrr;das,'. Considére,se, por ejernplo, TL6:. pvq,)-(-p-q):

Pedro o !*an úot ol cine ) Es lalso qae ni Pedro ni lton úa.n

ol c;rrePedro o lxat uan al cine

Es lalso qte ni Pedlo ¡j ¡ ¡¿4n aan aI cine(b) Conside¡emos ahora nuest¡a segunda frase. Según ésta, la

lógica formal se propooe establece¡ las estructuras o esquemasproposicionales que son verdaderos e¡ virtud de su forma- Desdeel punto de visÉ de ¡ruesúa lógica de proposiciones, ..verdadero e¡vi¡tud de su forma" significa ' ¡siempte verdadero, cualesquie¡asean las combinaciones de valo¡es de las letras proposicionalesque forman el esquema". Es decir, esta desctipción, cuando seaPlica a la lógica de proposiciones, destaca los esquemas que hemosnombrado "taurológicos" y dice que la lógica foroal se propone es-tablecer rales esquemas. Para eiemplificar esta descripción bacta,como en el caso antetior, con atender al desarrollo efectuado eo elparágrafo 39. Cada urlo de los teoremas allí establecidos es unatattología, es deci¡, ve¡dadero en razón del significado y articulaciónde los elementos que lo forman sin que importe para nada la combi-nación de valores que asignemos a sus let¡as proposiciooales.

(c) Finalmente, al aplicar la descripción que hemos indicado e¡tetcer lugar - la descripcióo de la lógica formal como el estudio delas condiciones fo¡males de ciertas palabras que empleamos alrazo¡ar - a nuestlo desarrollo anterior que denominamos Lógicade Proposiciones, el sentido de tal descripción se hace muy osten-sible, ¿Qué es, en efecro, todo el estudio desa¡¡ollado allí sino unerplícito recue¡to de las propiedades formales de palabras como"no", "t", "o", "si...entonces...,', etc. y también de las relacio-.nes formales de tales palabras, de los padroaes o est¡uctu¡as co-nectivas denEo de las cuales pueden disponerse cualesquiera pro-posiciones quedando bien determioado el valor lógico del cornplejoproposicional así resultante? Todos los principios lógicos que hemosformulado al desarrollar esta lógica de proposiciones no son orracosa que el resultado del empleo que asignamos a las palabrasconectivas. La equivalencia, por ejemplo, de los esquemas proposi-cioaales "pvq" y ,,q"p" co¡siste únicamenre en cie¡ra propiedadde la partícula "o", su propiedad conmütativa.

Conviene, sí, al proponer estas descripciones sabe¡ distinguirentre inferenci?r y tautología. llay la cosrumbre de llevar causa encontra de la lógica formal con ftases como.,mero discursivismo,'¡mera inferencia", "pur^ ¡¿u¡e¡.tía,!. Tal causa es, desde luego,

[ 126

ociosa puesto que nadie se p¡oPone defender lo cootrario y los ló-

gicos, en primer lugar, se adelantan a sostener que la lógica formal

es "me¡a lógica". Pero, lo que nos importa aquí señalar es que las

frases ttmera inferencia", ttmera cautologíatt son en es¡e caso em-

pleadas a bulto y sin cualificación; las palabras "inf\rencia" y

"tautología", cuando se las emplea técnicamente difieren esencial-mente. Sabemos ya todo lo que hay que sabe¡ sobre esto, Pero no

está de más fijat la distioción.La inferencia lógica se reduce a la operación que afirma u¡a

proposición sobre la condición suficiente de otras proposicionespreviamente afi¡madas. En este sentido, la afirmación "Juan va al

cine" se infiere de la proposicióo "Pedro y Juan vao al cine".Esra infe.encia se fu¡da en una razón que dice así: si se afilmala coojuncióo de dos Proposiciooes entonces Puede afirmatse tarn-

bién separadamente una cualquiera de estas proposiciones. Es evi-denre que esta t^z6n se funda en la conocida t^itologia "pq)p".Se ve entonces que la ioferencia toma como premisa mayor o princi-pal una tautología implicacional y que, mediante la afirmació¡ delantecedente de ral implicación, desliga el consecueote. La esruc-rura de la inferencia es, pues, la siguiente:

Et)82El

E2

En la medida en que la infereocia es pura, sus premisas deben sertautológicas. De aquí la importancia de las tautologias respecto dela infe¡e¡rcia. De todos modos, la p.emisa mayo¡ de una inferenciadebe ser siempre tautológica aun en el caso de trata¡se de la infe-rencia de una específica proposicióo. Tal ocurre eo:

Pedro y luat aárl ol cine ) luan ua al cine,"dr" n , ooo ,oo o, ,*

ludn ua dl cinetlonde la mayor es simplemente un caso de la tautologia "pq)p",cn tarto que la menor es meramen¡e una específica conjurición propo-s icional.

42. Podemos, ahora, ocuparnos de la corresponde¡rcia entre ¿liscursoordina¡io y esquema proposicional. No siempre, ni siquiera frecuen-tcmente, estamos eo situación de considerar un texto compteto de.liscurso como un caso de esquema pioposicional; pero importas:rbcr distinguir I:r ¡rarte dc un texto susceptible de fotmalización ycl nxxlo y meditlrr cr¡ qrrc lo sca. Ve:lmos, como primer ejemplo, un

¡rnsljc bíblico:r21 |

Premisas

Conc lusión

I

.,, Oísfe las palabtas del libro,,. Y t¿ corazó¡ se enterneció,y le humilldste dela¿te de lebouó cuawlo aiste lo que yo (!ebouó)be fronanciado c otarra este fugat y conha s s motadores, que t)en-drítrn a se¡ asolados y nal¿itos, y tasgoste tus uestidatas, y llo-tdste en mi prcsencia.., (Reyes, 2, 22, 19)

El pasaje contiene uria serie de afirmacio¡es en conjunción; late¡cera de esras afirmaciones, "te humillaste delante de Jehová,',es cualificada mediante una larga aclaraci6t circunstancial: ..cuando

oiste [o que yo (Jehová) he pronunciado contra esre lugar y contrasus moradores, (es a saber) que vendrían a ser asolados y malditost';sin emba¡go, no es difícil percibir que la est¡uctura proposicionaldel pasaie citado comprende cinco proposiciones afirmativas conju-gadas. Su forma proposicional, entotces, es ,'pqrst",

Uo pasaie que requiere de más elaboracióo, aunque es simpletodavía, es el siguiente tomado del Evaogelio según San Juan:

De cierio, de cie¡to os digo: El que oye mi pdlabrd, y cree dlqte me ba ent¡iado, tiene uida eretna; y no uendrá a condenociíi,,rrds pasó de mlerte a lidd, (San ltar, 5, 24,)Para percibir mejor la esttuctura proposicional de este cexco eli-

minamos algunos aspectos literarios; ello permite asimismo captarlos matices significativos que escapaa a esta lígica y que, e¡cambio, la retórica sabe manipular a maravillas. Eliminamos tambiénel factor de unive¡salidad que introduce la fórmula "El <¡ue.,.,' yque podríamos sustituir con la fórmula ,.Todos los que...',; sinenrbargo, como no hemos tratado de lógica cuantific ac ional, optamospor eliminar este aspecto de unive¡salidad. Así ransformado, eltexto sería el siguiente:

Si oyes mi palabfa y crees al qte ne ba enuiado, ettonces, tendrásuidd eternd, no serós conde¡ado y pasatás de mueúe a uida,

cuya expresión, con ayuda de los signos aquí empleados es:Oyes mi pdlabra. Ctees dl qr¿e me ba enaiado ) Tendrós uidae terhe - S er ás c ond e od do, p as a7 ás d e mter te o u idd,

o sea, un caso específico del esquema proposicional .,pq)r-st,,Con ¡elación a este ejemplo, pudiera surgir una duda sobre las

proposicioaes que formao el consecuert€ del condicional; porque- se di¡á acaso - son afiamaciones sob¡e eI futuro y no cabe entoncesasigna¡les precisamente tal o cual valor. Independienrenrente de lasespeculaciones que pudieran hacerse sobre el valor <ie una proposi,cióo que afirma "a futuro", no cabe du¡.la que esta dificultad noalc^nz^ d nuesrro eiemplo. f.,l senticio del discurso de ]esús permiredesentenderse de toda consideración temporal y

^nora(:Si oyes nis Paktbras )' <rees ¿l qa? e ha etui¿t¿(), ('nlor¡c?s,tiencs t,ida (t(r ¿ no r¡t's t¡tn¡ltntlo y ¡,rstt:; Jc nu\'tt( u rhle.

I ¡ ¿¡r

Otro ejemplo, tomado de la célebre pieza dramática de Calderón,La Vida es Sreño:

Cot¿ cdda uez que te aeo,tteúA ddmitdción ,ne dasy crando le miro más

aú¡ mós mitatte deseo.(La Vida es Saeño, Iot¡ad,a l)

Los dos primeros versos pueden lee¡se eo conexión condicional; yasimismo los dos últimos. Además, ambos condicionales van explí-citamente coniugados- Transfo¡mando el cua.teto, y olvidándonosdel aspecto de universalidad implicado, podemos anotar:

(Te aeo de nteao ) Me das taeaa admitaciót)(Te nito mós ) Deseo segLir nbá¡dote)

El esquema proposicional, en este caso, sería entonces: b)q.r>s':Otro eiemplo, en que mejor se mues¡lari las limitaciones a que

debemos somete¡ un texto para ertiesaca¡ su est¡uctura proposicio-nal es el siguiente discurso de Sancho tomado del Quijote:

- Esto digo, señot, poryte si al cabo de babet andado caminos yc,tr¡etuts, y pasddo ¡talas nocbes y peores días, ba de uenh acoger el lflito de nLesho trabdjo el qle se esrá bolgdndo e¡ estduento, ,to bay Parc qlé ¿dtnos ptiso a qte etsille a. Rocinante,alba¡de el iúner,to y ade¡ece el palzftét prcs será meiot que nosestemos qtedos, y cdda púa bile, y comamos, (Don Qúiote de lalancba, parte I, cap. XLVL)

Ante todo, obse¡vemos que el esquema "p porque 4" (asimismo"p pues q") no represenla u¡a fu¡ción proposicional. Basta paramostra¡ que es así con indicar que sus cláusulas pueden ser ambasve¡daderas mientras que el esquema entero, puede se¡ verdaderounas veces, falso ot¡as- Los ejemplos siguieotes son ilust¡ativos:

Hitlet es reptdiable poryr.e es an crimi¡al.Hitlet es rcpxdiable potqüe an a a st pteblo.Es;ta conÉideración sobre las palabras ,.porque" y ,,pues" exige

que eliminemos las partes del texto en que so.r significativas. Asitambién, la frase "al cabo" introduce un mariz de contraposición en-tre las, proposiciones "Hemos andado caminos", ..Hemos andadocarleras", "Hemos pasado malas ¡oches y peores díastt, de unapaite, y la proposición "Viene a coger el fruto de nuestro trabajoel que se está holgando en esta venta", de la ot¡a. Este matiz decont¡aposición se pierde al fo¡malizar el discu¡so de Sancho y debe-gros pone¡ todas las proposiciones anterio¡es en conjunción antece-dente; peto es precisamente tal contraposición ahora diluída en lapcta coniunción, la fuer:¿a de clonde sale el condicional que Sancho

t29 |

formula. En cuaoto al consecuente de este coodicional, consta de laconjunción de: "no hay que darnos pris¿ ¿ q¡s ensille a Rocinante","No hay que darnos prisa a que albarde al jumento", "No hay quedatnos prisa a que aderece el palafrén". La parte formalizable,entonces, se¡ía la siguiente aho¡a formalizada:

Hemos andado caminos. Hemos andado ca¡reras. Hemos pasadomalas noches .y peores días. Coge el ftuto de nuest¡o t¡abaio el quese está holgando en esta venta ) - Tenemos que darnos p¡isa aensillar a Rocinante - Tedemos que darnos prisa a albardar el iu-mento-Tenemos que darnos prisa a aderezar el palafrén.

Responde, pues, este ejemplo al esquema ,?4¡s)-t-l-u", E¡cuadto a la modalidad ervuelta en las frases ..Tenemos que.,.",que compreodeú las últimas proposiciones, podemos dejarlo paraotra oportunidad.

El siguiente es un texto extraído del discu¡so de un juristachileno:

Ld crítica es ana contribtcidn inst¿stituíble cta¡do es respoasabley constrttctiua, Entettdentos qte es tesponsable cnando se apoya odesconsd en el conocimíento cabdl ¿e rodos los onrecedentes quedeben concatrit pdrd fomdt y emith u iuicio uáIido; y qle esconshacriua ctar.do no se dirige o recbdzdt ,ti a apldtdir siste-otáticamenre Ia acciín emprendida, sito a señalu los medios oprocedimientos a haués ile los ctales esa dcci'n pueda setrcfotzada o cottegidd. (Prof, Dauid Stitcbkin),

Lar primera afirmación de este pasaje viene dada en forma decondicional; la tespoosabilidad y la constructividad se sostieneque son condicio¡es suficientes de la critica; pero no de la ctiticasin cualificación sino de aquella que pertenece al género de lascontribuciones insustituibles. La fo¡ma proposicional de esta p¡imeraafirmación es:

La crítica es responsable. La crítica es const¡ucriva ) La críticaes una conrribución insustituible.

La parte siguiente del texto pudiera confundirse con la definiciónde tesponsabilidad y constructividad; pero no es así sino que elautor del discurso ha preferido metamente c^tactetizdr estas dosnociones mediante la indicación de condiciones suyas suficientes.L;r esüuctu¡a proposicional de estos dos pasos de Ia segunda partedel texto citado es:

(1) La critica se apoya (o descansa) en el conocimiento cabalde todos los antecedentes que deben concu¡ri¡ pa¡a formar _ emitirun juicio válido ) La c¡í¡ica es responsable.

[ 130

(2) - Rechaza sistemáticamente la acción emprendida. - aplau-de sistemáticamente la acción empreadida, (Señala medios (o pro-

cedinientos) de resfue¡zo de tal acción v Señala medios (o proce-dimientos) de co¡¡ección de tal ¿cción)) La cririca es constructiva,

El paréritesis del aotecedente de (1) significa que el .,o" allí em-pleado erpresa una relacióo de sinominia; lo mismo ocume con losparéntesis análogos en el antecedente de (2). El sentido del textoobliga además a inre¡pretar el ¡¡o,' del antecedente de (2) como allíIo está, es decir, como ,'o" alternativo o incluyente Finalmente,hemos elimioado el "y" fotnalizable entre ..formar" y ..emitir" ycreado la expresión incluyeote "formar-emitir"; la sola ¡azón deesto es hacer más fácil la formalización.

Anoteños, finalmente, el texto siguiente que envuelve un razona-miento de transitividad implicacional; se t¡ata de un pasaje deLas mil y una ¡ocbes donde los tres hiios de un sultán que habíasedebilitado en extremo y perdido casi la vista insistían por que susmujeres guisaran para él:

".,. gtisarán püd ,í maniores que te deaoluerán el apetito, y conel aperito las fuetzas, y con las laerzas la salud, y con ld solrr¿la excele¡tcia de la risro..,"

[isquematizando un poco, tendríarnos lo siguiente:Si grisan pata tí, entotces, te deuolue¡an etr apetito.;Si ,e u elae el opetito, enrorrces, lecLperdtós las fuetzas;Si ¡ectpetos las laerzas, entonces, tenfuós sabd;Si tienes salxd, entotces, tecupetatás Ia excelencia de t*s oios,

La conclusión que se busca es entonces:Gtrisdn Para tí ) recupetor.ís la etcele¡cia de tr¿s oios,Importa también a esta correlación ent¡e discu¡so ordinatio y

csquema proposicional atender cuidadosameote a las formas variadascn que puede expresarse en el habla cor¡iente una conexión proposi-cional. La conexión con;untiva, por ejemplo, suele estar indicadanrcramedte mediante uoa coma; así ocrüre en el ejemplo ,,Vi¡e, vi,vcncí". Ot¡as veces, la mera yuxtaposición se emplea pala expresaaun condicional, como ocr¡¡re en ,,Oios que no ver!, corazón que nosiente". Eo este mismo caso, las cláusulas ocultan su ¡atúaleza¡lc proposiciones, puesto que las f¡ases .,que no ven,t, ..que nosicnte" aparentan un carácter adjetivo. La forma implícita dellrr()verbio se pone de manifiesro al anora¡: .,Si los oios no veo,cnconces, el corazón r¡o siente". Un hermoso ejemplo de oculta-¡nicnto Iiteral de Ias proposiciones se encueritra en los ve¡sos de ron_¡l¡r:

Itasto terde, s oledad,ttt l¡or .tq í, yo por allá.

l3l I

que al sel llevados a su forma proposicional se muest¡an como unaconiunción de cuarÍo proposiciones.

Casos, asimismo, importantes y de una va¡iedad resbatadizaen la expresión de uoa conectiva sotr aquellos en que la conexióo seerpresa mediaote frases o palabtas adversativas como .,con todot',ttno obstantett, t'aunque", etc. Estructu¡as proposicionales como"p aunque Q", "2 ¡o obstante q", etc. parecen ser fuocio¡es depcoposición; su verdad exige que ambas cláusulas sean ve¡daderas-Se tracaría, al fin de cuentas, de conjunciones. Sin embargo, es ouyevidente que el matiz adve¡sativo que comportan se pierde al apli-cátseles el esquemt "pq", Uno diría que al afirmar una proposicióncompleja de la forma ..p aunque q", afirma implicitamente unade la forma "?q"; pero, que al afirmar una ptoposición de esta últimaforma no es necesario comprender en ésta el carácter adversativode la primera. De lo cual puede muy bien sacarse la conclusiónde que las proposiciones de fo¡ma adversadva furcluyer' esencial:merrre ri carácter de conexión formal que nuestra lógica de proposi-ciones no puede recoger. O pueden tambiéri considerarse tales pro-posiciones como 'decepciones de condicionalidad', es decir, queerpresiooes de la forma "p, perc q,,' ,,p no obstance q',, ..p, coa'tod,o, q" techazan la exclusión de la segunda cláus¡l¿ pq¡ la primera;rechazan en una palabra el condicional de la fo¡ma ,,p)-q". Ahorabien, el esquema "-(p)-q)" que puede ftansformatse e¡ ,.-Fpv-q),'-es evidengemente equivalente a ,.pq", con lo cu¿l venimos oueva-mente a dar e¡ que se trata de conjunciones. Sin embargo, es deltodo iodiscutible que "pq" no responde en¡eramente de la específicaconexió¡ "p aunque q",

Deben distinguirse asimismo las proposiciones compleias dondehay una significatiya inclusión de la relació¡ temporal entre loshechos referidos por las proposiciones. Un ejemplo notable de estaespecie es la célebre frase de César en la cual encont¡amos oculta_miento Iiteral de la relación temporal. En efecto, ,.Vine, ví, vencí,,apatenta se¡ una mera conjunción; pero, cualquiera variación delorden de sus cláusulas basta para mostra¡ que no posee la propiedadconmutativa y que la secuencia de las proposiciones es significativae inalterable, puesto que expresa o es cot¡elativa de uria secuenciatemporal de los hechos. Además de la ¡etación de secuencia hayla de alte¡oancia temporal que se ilust¡a en proposiciones comot'Ora erimudecían, ora murmuaaban,'. En este caso, ambas proposi-ciones se excluyen entre sí y podríanos considerar que se trata deuna alternación fuerte o disyunción; sin embargo, es claro que talinterptetación inadecuada olvidaria el matiz de alternancia temporalque trae el ejemplo.

I r32

Finalmente, digamos algo sobre la'articulación conectiva', que

en el discurso ordinario suele ir expresada de modo imperfecto. Pon-

gamos aquí de ejemplo un terto extiaído de un a¡tículo de prensa:La petición de inbabilülad es p?esenradd y fhnada o por todos

los diputados del F¡e¡te x o por sr¿s comités,,,Se tr4ta, en este ejemplo, de una articulación coaectiva a base de

las partículas "y" y "o". El texto se presta a las interpretacionessiguientes:

(a) La petició¡ de inhabilidad es presentada y firmada por todoslos diputados del Frente X o presentada y firmada por los comitésdel Frente X.

(b) La petición de inhabilidad es presentada por todos los dipu-

tados del Frente X y firrnada por todos los diputados del Fre¡te X ofirmada por los comités del Fre¡te X.No vale la petl' agtegu aqui las diferencias que resultaa de lasinterpre taciooe s alterda¡iva y disyuntiva de la partícula "o" . Sabe-rnos, al leer, que la inrerpretación nás probable es (a); pero es indu-dable que la articulación conectiva en ejemplos como el anteriorcompo¡ta cierta imperfección- Ot¡o tanto cabe deci¡ de un texto comocl siguiente, debido nada meoos que a Cervantes:

.,. se balla¡on e¡ ella ac¿so dos nacbacbos de bosta edod decatorce a quínce años; el nno ¡i el otro no posabot de diecisiete,..(Ri¡tco¡ete y Cqra.¿iuo).

I-a lectura de la seguoda pa¡te de este texto obliga a volver sobre laprimera donde "c4torce a quince" patecía indicar un máximo siendoa la verdad que indica uo míoimo. Pe¡o este equívoco resulta pocacosa cuando se considera la proposición "El uno ni el ot¡o no pasa-ban de diecisiete", Las interpretaciones posibles parece¡r sel:(a) Ni eI xno ro pasaba de diecisiete, ni el otto no pasabd de

diecisiete,(b) Nl e/ no posíba de diecisiete, ,ri el oho pasaba ¿e diecisierc,t..s indudable que la inrerpretación correcta es (b)

La nayoria de los casos en que la articulación cooectiva resultacxpresada imperfectamente se explica de la misma manera: se trata,lc 'modos de decir' que el vulgo impone y que debemos respetarl)ot razones de comunicación o se trata de gustos litetarios quecvirao las formas estereotipadas y casi mecánicas de la lógica for-nral. En cuanto al procedimiento para salir de las imperfeccionesfor¡nales de un texto, es siempre el mismo: sujetarse a sus condi-c iones específicas.

131 l

43.'fodavia, al hablar de Lógica Fotmal, lo co$iente es asociar esta

de¡ominación a los célebtes t¡atados aristotélicos compendiados

bajo el título de otganon, donde se comPreoden Lds Ct'egoúds'

D; ld lüe¡preroci6n, Ptímetos Analíticos' Segtndos A¡¿lí'icos'

LosTípicosy Lds Relstlciones Solísticds' Los tratados que ocuPan

el centro de la atención escolar cuando de lógica formal se tlata son

De la lrrret\tet^ción y, partlctlttmente' los Pri'neros A"Llíticos'

Eo este últiño, trata fuistóteles del silogismo categótico en ertenso

y de manera sistemática con el Propósito de establecer las formas

válidas de la inferencia silogística.En este capitulo, expondremos los elemeotos de la lógica de la

¡rroposición categórica o aristotélica ateoiéndonos, no al texto de la

claboración que encontramos en el Otganoq sino a la preseotación

muy sirnplificada y obvia que ha llegado a ser usual en los manuales

de Lógica. Como hasta aqui, sigue ocuPándonos la tatea de Presentat

cscolarmente las materias; aaz6n Pot la cual pasamos i¡mediata-

mente a ouestlo tratamiento elemental.

44. (a) Llamamos proposición categórica o aristotélica a la proposi-

ción de forma atributiva; a la proposición, quiere decir, en que

III. LOGICA DE LA PROPOSICION

CATEGORICA O ARISTOTELICA

cxplícitamente se atribuYe a un

cualificación que él Posee como

pecie son, por ej :

(l\ 56c¡ates es ntoúdl.(2\ Los gatos son felinos(7\ E sto es eztl(4) Algunos lihos son i¡ítiles(5\ Todos los lilósolos son ¡idículos'

Aristóteles suponía que este análisis de la proposición en térmi-

nos de sujeto y atribr¿ro (o predicado) valia por todas partes, y

c()nsccuentemente hacia depender toda su lógica de la ptoposición

rlc este ¡nálisi¡ fundamental. Deiando de lado la muy cuestionable

rloctrina sobrc la rrnivcrsalirl:rl de la forma suieto-Preo;.ad^ vamos

135 I

sujeto tal o cual detetminación osuieto. Proposiciones de esta es-

a seguir la rura que dicha distinción Dos propone y tratar de la pro_posici6;: analizade y ar'alizada en tales específicas pattes: el suleroy el predicado.

(b) Ante todo, asigoamos al sujeto y al predicado la denomioacióncomún de "tétminos de la ptoposición,, y nos ponemos, además, deacuerdo sobre exclui¡ de esm lógica de la proposición categóricalos tétminos singtlarcs, es decir, térmi¡os tales como ¡¡Sóc¡ates,,,

"Estot', ''Este gato", etc. Las proposiciones de que üatamos aquícons¡an solamente de tétminos rrnh)ersoles,

Los rérminos univetsales se dicen ídéatica y dist¡ibtriaamentede una diversidad, Esto quiere decir, pot ejemplo, que el té¡mino"hombre" se dice oo de un grupo sino de cada uno de los miembrosde un grupo y siempre con igual sentido. A dicho grupo se da enlógica el riomb¡e de extensiún del rérmino en cu..tión.

(c') CuantiÍiceción se d.ice de cada una de las dos operaciones queponen un término universal en explícita ¡elación con su extensión.Cuando el término se emplea aplicado a toda su extensió¡ la cuanti_ficación recibe el nomb¡e de disttibución; cuando, en cambio, elté¡mioo se emplea aplicado solamente a pa¡te de su extensión lacuaotificación ¡ecibe el nombre de limitaciún. Se dice del rérminodistribuído que es ¡¡unive¡sal tomado unive¡salmente' ,; y del limitado,qr¡e es ¡'universal tomado particula¡mente t r. Ejemplos son, ¡espec-tivamente, "Todos los hombres" y ..Alguoos hombres".

Ya hicimos algunas convenciones sob¡e la proposición de quehablamos aquí y los términos que la forman, Aho.. ug..g.¡¡o" oo^nueva convención sobre el término suiero: en lógica de la proposi_ción categórica, el sujero se supone explícitamente.uurrrifi".do.

La proposición categórica cuyo suieto es un rérmirio universaltomado unive¡salmerite se denomida,,ptopos ici6a cate g6ríca lrrio et-sal", En cambio, la proposición categóric;

"rryo "o;"to-." un té¡minouniversal tomado eo forma limitada ." d"no.irr" ,,ptoposici6n cdte-górica partic lú".

(d) "Attibkión o ,,ptedicación" son nomb¡es de la específicarelación que se establece entre los términos de la proiosicióncategórica. Dicha ¡elación se expresa medianre la ,óp)b'd," .rtProposiciófr, tepresentada por la partícula verbal .,es,,. Las di _fe¡encias temporales no afectan a la cópula sino qrre entran eo elmodo de la cualificación. Así, ..Sócrates s.¡á filó*ofo,i j.,..rnr""a Sóctates como filósofo-futuro y, así entendida, puede anora¡se"Sóc¡ates es fil ósofo-futu¡o " - euiere decir, en ,r"u'f..r", lo. S;_crates es, ahora, determinado crsabemos será en er ruru¡o ,,,:l;rJ'"r;";" n$:.::Hi"I":::del pasado.

I 116

(e) Con la cralidad del juicio, empero' se opera de modo diferen-

te; aunque una doct¡ina sostiede la Posibitidad de traspasar lacualidad al predicado- Aristóteles describe el juicio o proposicióncomo sí la cualidad fuera una diferencia específica de la cópula.El juicio, en la descripción aristotélica, une o divide, quiere de-

ch, alhma o niega, La cópula, entonces, expresa la aribución eo elmodo de la afi¡mación y en el modo de la negación. tlay iuiciosafirmativos y iuicios negatiYos.

(f) Ttatarnos, pues, de la cantidad y la cualidad mediante dos

aotítesis que, siendo independientes (una recae sobre el sujeto,la ocra sobre la cópula) podemos combioar al modo de las multi-plicaciones. Resultan así:

Juicios universales afirmativos. Ei: Todos los homb¡es son moita-le s.

Juicios universales ¡egativos. Ej: Ningun hombre es cuadrúpedo.

Juicios particulares afirmativos, Ej: Algunos homb¡es son vir-tuosos.

Juicios particulares negativos. Ej: Algunos hombres no son

virtuosos.De las palabras latinas "affirmo" y "nego" se toman las dos

primeras vocales para representar estos juicios. De esta manera,los símbolos son, en el orden dado, A, E, I, O,

45. (a) Dos proposiciones categóricas se dicen opuestas cuando,siendo idénticos sus términos difieren en cantidad, cualidad, ocaotidad y cualidad. Tomando los térrninos "homb¡e" y "virtuoso",las posibilidades son:

A. Todos los hombres son vi¡tuosos.E. Niagún homb¡e es virtuoso-L Algunos hombres son virtuosos.O, Algunos homb¡es no son virluosos.Es comúo esquematizar la oposición de las proposiciones median-

te una figu¡a conocida con el ¡rombre de caa¿ltado de Atistóteles.Dicha figura es:

AEIO

l\'lediante esta figura se hace visible que la oposición comprendeuna variedad de especies. Son las siguientes:(1) á-8,' E-4. Oposición que se conoce con el oombre de conrrorie -

dad.(2) A-O; O-A; F.-I; I-8, Oposición que se conoce coo el nombre de

conhddicción.1j7 l

()) A-I; E-O. Oposicióo que se coooce coo el nombte de srperordi'taci6n,

(4) I-A; O-E, Oposición que se conoce con el nombre de srbordi-naci6r.

(5) I-O; O-1. Oposición que se co¡¡oce con el norúbre de srbcont¡¿-ied¿d-

(b) Las leyes de la oposición, que estableceremos en este luga¡,exp¡esan relaciones de valor enúe las proposiciones opuestas.Tales leyes sor enunciadas aquí en la forma t'si..- entonces...",es decir, de modo que puedan emplearse ulte¡iormente en conexionesioferenciales. No hay, empero, leyes de la oposición en todos loscasos enumerados en (l)-(51

(l) Conside¡ernos la conra¡iedad. Si A es verdadera, ¿es E ver-dadera? A dice - si nos guiamos de nuest¡o ejemplo - de cdda xnode los hombres que es virtuoso; E, en cambio, dice de cada uto de

los hombres que no es virtuoso. Si A y E fueran ambas ve¡daderasc4¿4 rno de los hombres sería y no sería virtuoso, es decir, afirmaría-

mos y negaríamos conjuntamente lo mismo de un mismo sujeto, Enesto consiste la idea de conrtadicci6n que el ptincipio de no-con-t¡adicci6n rechaza universalmente. Por tafito, si una proposicióncategórica de tipo ,4 es verdadera, la opuesta contra¡ia es falsa e¡virtud de un principi<, que podemos formul"r así: es imposible alitnary coniwtanente negar lo mismo de lo mismo, Ayudándonos del sim-bolismo que nos es familiar podemos anotar la ley de oposicióncontraria aguí establecida en la forma siguiente:

(* ) A)-Ey empleando tres principios conocidos del cálculo de proposiciones- el teorerna T", conocido con el nombre de principio de transposi-ción, la equivalencia "p=- -p" y la regla de separación -podemos pa-sar de (c) a;

(P) E)-Aque expresa la ley de conuariedad cuando se toma E como punto departida.

I-as leyes (") y (É) n"d" permiten establecer sob¡e la cont¡a¡iedadcuando la proposición categórica universal que se toma como pun-to de partida se supone falsa. Según ('), la falsedad de A es consis-tente con un valor cualquie¡a de su opuesta contraria, puesto queuna implicación de antecedente falso es verdadera cualquiera sea elvalor del consecuer¡te. Otro ta¡rto vale en el caso de (p). Tal consi-deración anunciaría que no hay ley de contrariedad cuando la uni-versal que se toma como punto de partrda se supone falsa. Si consi-deramos directamente una proposición de tipo .4 falsa, digamos,I t]e

'Todos los hombres son virtuosos", rcsulta evidente que Para su

fatsedad se exige tan sólo que a lo menos un hombre no sea virtuoso'Por tanto, de l¿ falsedad de A no se obtiene oecesariamente laverdad de E. Igual consideración si se parte de E supuesta falsa-

l,as ú¡icas leyes de contratiedad son, entonces, (") y (É).

(2) En cuaoto a la co¡t¡adicción' supongamos primero que A sea

verdade¡a. Si la opuesta conuadicto¡ia o fuera asimismo verdadera

tendtíamos - siguieodo con el eiemplo Puesto arriba - que según O

algunos hombres no son viltuosos y, adem6s, siendo según ,A todos

los homb¡es virtuosos, los "algunos" de que habla O serían y oo

serían virtuosos. Por tanto, debieodo rechazat esta contradiccióo,conc luiÍros que si ,4 es verdadera, O es falsa. Evidentemente, igualconsideración vale eri el caso de suponet E ve¡dadera y compararla

con su oPuesta cont¡adic¡oria I' Los principios que hemos empleado

para obtener estas leyes son el ya citado de no-concradicciód y uo

principio d,e ide¡tidad según el cual lo que se dice del todo ("Todos

los hombres son virtuosos") se dice igualmente de urta palte suya

cualquieta ("Algunos hombtes son virtuosos"). La palabra "igual-mente" significa que si el predicado se afirma o niega del todo,respectivameote se afirma o niega de una Parte suya cualquiera.Usando de nuest¡o simbolismo, las leyes establecidas de contradic'ción se anotan:

(-) A)-O(p) E)'l

Y mediante trasposición:(y) o)-A(8) I)-ESupoogamos ahora que ,{ (¡'fqdos los hombtes son virtuosos")

es falsa. En (l) conside¡amos este caso y observamos que la falsedadde A "exige que a lo medos uno de los hombres oo sea vi¡tuoso"'es decir, si A es falsa, O, a lo rnenos, es ve¡dadera. Asimismo, lafalsedad de E ("Ningún hombre es virtuoso") erige, a lo ménos' laverdad de I ("Algunos homb¡es son virtuosos"). Hay, Pues, cuatroleyes más:

(.t )-A)o@') -E)I(y' ) -o)AlD') -t)E

Es claro que estas ocho leyes se pueden reducir a cuatro, Puestoqr¡,e "A)-O" y "-O)A" se pueden resumi! como equivalencias -

R esulta entonces:

139 l

(et t ) A= _o(P") E=-t(y" ) -A=o(0,,) _E=r

Finalmente, estas cuatto últimas leyes Pueden leducirse' en virtud

de un principio PioPosiciorial (p=-q.=-'-p=q)* a las dos siguientes:

(ct | ) A=-o(p"') E=-I(3) En cuanto a las leyes de superordinación ' puede¡ establecerse

mediante las leyes y consideraciones hechas sobre la contra¡iedad

y la conradicción En primer lugar' si A es ve¡dadera' E es falsa

icontrariedad); y si E es falsa, I es vetdadera (c ont¡adicc ión)' Por

ta¡to, si A es verdadera, I es ve¡dadera Mediante conexiones Pro_

posicionales la consideración ariterior Puede formalizarse así:

A)-E):-E)l'). A)ILa suposición "A es verdadera" permite desligar el consecuente

del c onsecue¡te:(*) A)t

Iguales consideraciones a partir de E verdadera Permiten establecer:

(P) E)oEn cuaoto a Partir suPoniendo A fatsa, sabemos que ello es con_

sistedrc con la verdad y con la falsedad de E,' luego - en virtud de

los principios sobre la oposició¡ cont¡adictoria - la falsedad de A

es consistenae con la falsedad y con la verdad de I lguales conside-

raciones si se suPof¡e E falsa. Es decir, en tales casos no hay le_

yes de s uperordinac ión.(4) Las leyes (*) y (É) establecidas en (3) permiten establecer

inmediatamente las dos siguientes de subordinación:(*) -D-Á(B) -o)-EEstas leyes pueden establecerse asimismo mediante contradicción

y contrariedad; porque si I es falsa, E es verdadera; y si E es

verdade¡a, A es falsa. Igual coosideración eo el caso O falsa'

En cuanto a suPoner verdadera la subotdinada, ello exige la fal-

sedad de su cont¡adictoria; dicha falsedad es consisteote con laverdad y con la falsedad de su coot¡aria. Esto significa que la verdad

de la subordinada es consistente con la ve¡dad y con la falsedad

de la subordinante. No hay entonces eo tal caso ley de subordina-

ción.(5) Finalmente, tenemos la subcontrariedad' Si suPonemos I

' Se prueba rápidamente mediante transposición v reemplazo.

I l4o

vcrdade¡a nada detetmina ello para O; porque si O estuvie¡a bieo,lcterminada a partir de este supuesto lo esta¡ía asimismo A, porcontradicción; pero las consideraciones hechas en el úftimo párrafo,lr' (4) nos enseñan que rro hay tal determinacióo. Otro tanto resulta,lc considerar O verdadera. Po¡ ta.nto, tales supuesto no conducenrr ley ninguna de subconrra¡iedad,

Si, empero, se supone I falsa, es E verdadera; po¡ tanto, verdade-rr O. Y como dtio tanto resulta de suponer O falsa, tenemos las le-ycs siguientes de subcontrariedad:

(-) -I)o$) -o)I

I'ls claro que (B) pudo obteoerse por trasposición a parti¡ de (e),

46. I-os principios eo que rios apoyamos para obtener todas las,lc opos ición s on:

ll) Es imposible afirrnar y negar conjuntamenre lo mismo de

leyes

lo mis-

(2) Lo que se afitma o oiega del todo se afirma o niega de unal)¡fte cualquiera suya.

Como dijimos, (1) es e1 célebre principio de no-con¡radicción.l':n cuanto

^ (2), ¡o menos célebre es un priacipio de ideotidad que

sc conoce con la ftase descriptiva Dictum de omni et nullo. LaIorma en que otdinariamente opera el Dicram es silogística; y envcrdad se le toma como el fundamento principal de toda la silogística,lc la proposición categórica^ Empero, la frase "Algunos X" expresar¡r)a parre del rodo '¡Todos los X"; de manera que pasar desde ¡{To-

,los los X son Y" a "Algunos X son Y" es posible por la explícita yrlirccta aplicació^ del Dictt¿m. Y esto es lo que hemos hecho parac stablece'r, con ayuda del principio de no-contradicción, las [eyes,lc la oposición contradictoria.

l'in lógica, si¡ emba¡go, es común aceptar que la exteosión de u¡( ¡'ncepto puede ser nula. Es la idea de c/ase nüld o \¡aci^. Un ejem-I'lo de tales clases estaría representado por la extensión del término,listribuído "Todos los cenrauros". y se acepta que la proposición"'lirdos los centauros son ficciooes" es verdadera, e¡ taoto que"rrlgunos ieotauros son ficciones,' es falsa. La razón para esta,lifcrcncia residiría en que la ptoposicióo parricular exige la exís-lrt¡c¡u de un objcco que sea centauro y que sea ficción, siendo por,.llo falsa; en ranto que la proposición universal no conlleva este.rs¡xcto tlc existencia. I,ln ral caso, no podría aplicarse eI Dictum;y sírlo cstaríarnos cn condicioncs dc cfectuar esta aplicación si a Ia¡'rol'osicirin "'forlos los c(lr:rurrls s()n ficcioncs" pudiéranros agrcgar

tÍr I

la premisa existencial "Exisrcn los centauros". Por tales considera-ciones, las leyes de la oposición (como otras que formula¡emos másadelante) exigen eri orden a ser enteramente aceptadas el principio:

(3) Los objetos de que se dice el rérmino suieto existen.

47. Diiimos más atrás que las leyes de la oposición rep¡esentan prin-cipios que puedeo emplearse en conexiones inferenciales. Esto esmuy evidente a partir de operaciooes como:

A) -oA

-oNo es común, eopeto, des@car de esta manera en los textos de

lógica las leyes de la oposición; sin embargo, es claro que rodo elempleo de dichas leyes se reduce a tales conexiones inferenciales.

Algunos autores clasifican la oposición entre las inferenciasinmediatas. Este nombre proviene de la ausencia de un elemento demediaci6n o térmioo medio, caracteristica de dichas infe¡encias.Quiere esro decir que la relación entre los rérminos de la proposi-ción-conclusión no se es@blece mediante un nexo común de éstos(el término medio) sino directamenre de la proposición-premisa eavirtud de alguoa propiedad formal de ésra que nos permite formularla ley implic acional.

Para asegurat de una vez esta distinción enre inferencia inme-diata y mediata demos un ejempto de esta última y contrasremos.

P¡emisas.Todos los hombres son mortdlesTodos los griegos son bombresConc lusiónTodos los griegos son motlalesMás adelante veremos cuál es especificamente la ley implicacio-

nal que permite establecer inferencias de esta especie. Basta porahora con observar que los términos de la propos ic ión-conc lusiónson vinculados a t¡avés del elemento común que ostentan ambaspremisas, el término medio ¡¡hombre". Nada de esta naturaleza eo-contramos en el caso de u¡a inferencia inmediata; no hay una .sa-

lida' de los términos a una relaci6n con un tercer término en que sefunde Ia relación ent¡e aquellos quc exhibe la cooclusión sino queésta resulta de las relaciones cualitativas y cuantitativas en quelos tétminos están.

Tc¡do esto es lo que define la antíresis inmediato-mediato aplica-da al razonamiento inferencial en el dominio de la proposición ca-tegórica. Y no dcbe decirse (como ocurre a veces) que la infctenciaI 142

inmediata se caracte¡iza Por compre¡¡der sólo una premisa. Todainfereocia es de la forma:

E!)8,El

E2

y esto vale también para la inferencia oposicional. Eliminar estecquívoco de tla premisa única' es una de las razones que hemos

renido pata dar a las leyes de la oposición forma implicacional.llcsultan así - como pusimos más arriba - inferencias inmediatascomo la siguiente:

A)-OA

-o

48. Consideremos ahora la conuerción de las proposiciones cate-

¡qóricas que es otra especie de la i¡ferencia in¡nediata. Coaverti¡,rna proposición es transforma¡la en otta de igual cualidad, pero

¡londe los términos aparecen intercambiados. La Primera ProPosi-ciirn, en esta operación, se denomina l^ d ectd; la segunda, se deno-nina la c onuersa.

Es claro que la cooversa debe sostenerse a partif de la direcra;cs claro, asimismo, que la conversa puede experimeotar un cambiocr¡:rntitativo respecto de la directa, puesto que la definición de esta1)l\craci-n no hace exigencias de cantidad; y, finalmenre, claro esrrrrnbién que la definición dice sólo en qué consiste esta operaciiny no si es posible. Las cualificaciooes sobre la cantidad y la posi-I'ilidad pueden sólo obtenerse examinando cada uno de los tiposrlc la proposición categórica. Antes de hacerlo así, conviene sincnrbargo, que formulemos uo par de principios sobre la cantidad delIrc(licado.

I'ls irnportante ante todo teoe¡ preser¡te que en la proposición,,rtcgórica el predicado es pensado en comptensión, no en extensión;( sro quiere decir que el predicado tiene por función cualificar elrrrjcto, expresar ur¡a determiriación que la proposición afirma o niega

'lcl sujeco. Ilepresentándonos sencillamente esta ¡elación diríamos,rl¡¡o como esto: El objeto juzgado se ofrece al pensamiento en el,-lr.nrcnto de la dete¡minación, exhibe múltiples determinaciones(l'roPicrlades, cualificaciones, relaciones); el pensamienro que esj"icio (lcstaca alguna de estas determinaciones y declara - fo¡mulandorrrrrr ¡>rcposición - quc ral dererminación pertenece al objeto. Así,uzl{l cl pcns¿tmicnt() ?tccrca <lel obicto que pasa a ser el suieto del.r ¡'ro¡rosiciírrr (n (l¡c cxl)rcsa su jrricio. Si esta descri¡rción es va_

143 I

ledera, es obvio que el predicado de la proposición categórica no espensado en extensión siflo en comp¡ensióo.

Sin embargo, los lógicos han aceptado siempre que es posible ylegítimo hacer consideraciones cuaotitativas sobre el predicado.Y ya las simples consideraciones que siguen permiten admitir sob¡eesao. E¡r efecto, la proposición categórica afirmativa (A, I) oo exígeque la determinación expresada por el predicado sea privativa delsujeto sino que dicha determinación cubre el sujeto y puede ir másallá de sus límites. Incluso, en proposiciones donde oo encontramosotro domicilio para el predicado como no sea el su¡'eto, no hay en laproposición en cuestión elemento niaguno que fije esta condiciónsino que queda abierra la posibilidad de mayor exrensión para elpredicado. Si consideramos el ejemplo "Algunos hombres sori virtuo-sos" podríamos pensar que la definicióo de "virtud" ercluye uraaplicacióo rnás amplia del término virruoso y que ésre, por tanro,está empleado en toda su extensión- Sin embargo, la verdad es quela proposición de nuesro ejemplo nada rrae que acote mediante de-fioiciones ni mediante expediente aioguno el empleo del predicadoTodo lo que dice nuestra proposición es que algunos hombres sonvir¡uosos, deiarido abierta la posibilidad de otros seres que, siendoo no hombres sean do obstante virtuosos. O, situándonos en un eiem-plo ea que el uso pa¡ticular del predicado sea obvio como en..Todoslos homb¡es son mamíferos", podemos hacer consideraciones de uni-fo¡midad: No habiendo diferencia formal ent¡e esta proposición y laque pusimos más arriba, es eviden¡e quc la ptoposíción cdtegíricda.lbnotild no especifi.ca sob¡e la cantidq.l del ptedicado sino que loempled paúiculaTmente en todos los casos.

Asimismo, ld proposici6r, categ6rica negariua no especilica sobtela cantidad del ptedicado sino que lo ernplea unil'ersalmente en to.loslos casos, Al decir, "Algunos hombres no son rubios', no se excluyela dete¡minación "rubio" particularmeote (¡'no son tal especie derubios", por ejemplo) sino de modo universal. Es claro que lo mismovale de proposiciones negativas unive¡sales como, po¡ eiemplo," Ningún hombre es cuadrúpedo".

Con tales priocipros sobre la caoridad del predicado, podemosconside¡ar la conversión de los disti¡tos ripos de la proposicióncategórica. Lo que digamos se apoya además en el siguiente y ob-vio principio de identidad: ningún térnrino puede rener en la conversamayor extensión que en la directa.

(1) ionversión de A. Las observaciones anreriores hacen evidenteqve Ia conueca de A es L Por ejemplo, ,,Todos los hombres sonmamíferos" tiene por conversa "Algunos mamíferos son hombrcs'1I r44

Dicha conversión recibe el nombre de cotuetsiít p,, Ihnitaci6tu ocooversió¡ per acciders, Para dar fo¡ma simbólica e implicacionala esta ley de convetsión convedimos en la siguier¡te simbología, que

empleareoos además e¡ todo lo que sigue:A IXY) =Todos los X son YE (Xf ) = Nidgún X es YI (XY ) = Algunos X soo Yo(XY) : Algunos X no son Y

Así también, exprcsiones como "A(YX)" significan "Todos los Yson X",'etc.

La conversión de ,4 es, pues, evide¡temente posible y se efectúamediante limitaciói o per accidens, Anotamos simbólicamente:

(*) A(x,Y))tE,x)(2) Conversióo de E. Ld cotu)ersa de E es E, En efecto, la disai-

bución del predicado de una proposición negariya y el carácter uni-versal de E sigoifica la exclusión murua de las e¡te¡siones de ambos

térmioos: X excluye Y, Y excluye X. Tambiéo es posible establecerinmediatameote esta ley de conversió.r apoyándola e¡ la simelría dela relación de exclusión. Anotamos eotonces:

(*) E(XY )>E(Yx)lin este caso, puede anotarse igualmeote:

(p)E(vx))E(xv)lo que resulta de aplicar (*) a E(YX). Resumiendo, entonces, ea urrasola las leyes (*) y (É) podemos formular la conve¡sión de E comoequivalencia:

(y) n6Y )=E(YX)I,ilernplo: Ningún hombre es cuadrúpedo =Ningún cuadrúpedo es hombre.

Siendo E la conversa de E, no hay cambio de canddad- Se deno-¡ni¡¡a a una operación con estas caracte¡ísticás conuetsi6n simple.

(l) Conversión de l. La conuetsa de I es I; es decir, la particularlfirmativa se convierte también simplemente. En efecro, si consi-,lcramos la proposición I en exre¡sión podemos decir que esre tiporle proposición establece la conerión pardcula¡ de dos extensiones,lr¡s de sus términos. Esta relación es simétrica, o sea, "Algunos Xs()n Y" da lugar asimismo a "Algunos Y son X". Simbólicamenre:

(. ) t(x,Y ))I(Y.x)y :tplicaodo (") a I(YX) resulta:

(l)r(Yx))r(xY)l,inalmente:

(y ) I(xY )J(Y x )(inbc insistir en quc la conversión de las proposiciones categóricasinrPort¡ no mcrnrncnrc u¡ cambio dc posición de sus términos sino un

145 I

cambio en la función lógica de éstos. Describiéndolo con ayuda de

la terminologia gtanatical puede decitse que cl término suieto pasade función 'sustantiva' a función 'adjetiva'; por su parte, el términopredicado hace el camino inverso.

(4) La conve¡sión de O no es posible. En los casos anteriores espatente que hemos respetado la defioición y los aludidos principiosde la cooversión. Sc hari intercarnbiado los términos y se ha conser-vado en la conversa la cualidad de la directa; la cantidad de la con-vérsa se ha ceñido a los principios sob¡e la cantidad del predicado;de esta manera, finalmcntc, ningún término en la conversa tieoe más

extensión que en la directa- La sola diferencia cuarititativa ocurre enla conversión de á,'pe¡o en este caso el té¡mino sujeto de la directapasa a tene¡ menos (no más) extensión al traosformarse en téaminopredicado de la ¡onversa,

Mediante conside¡aciones que se arienen a la definición y a lospriocipios de la conyersión podemos establecer a ptiori qre las yo-posiciotes cdtegóricds de tipo O ,1o son cot¿erriblcs. Porque sino fuera así la supuesta conversa de O, debiendo ser negativa,empleatía universalmente el prcdicado quc como término sujeto de ladirecta es pa¡ticula!; de mane¡a que olvidaríamos en tal caso elprincipio prohibitivo sobre Ia caotidad de los términos en la conve¡sa.

49. Se considera también como infcrencia inmediata l^ perm tdciírlde las proposiciones categóricas. Iotroducimos para definir esraoperacióo la ¡oc ión de "tó¡mino coot¡adictorio ": Dado un término X,su correlativo contradicto¡io es el término ¡o-X (-X), Por eiemplo,el contradictorio de "visiblc" cs "no-visiblc". Aho¡a definimospetmutación: Permutar uoa proposición categótica es cambiar sucualidad y sustitui¡ su término predicado por su coot¡adicrorio co¡re-lativo. Es claro que esta ope¡ación es posible e¡ cl caso de todoslos tipos de proposición categórica. Lo que importa, enronces, esaveriguar la relación entre la propos ic ióo-permutando y la proposi-cióo-permutada. Para esto, fo¡memos las cuat¡o permutacionesposible s:(l) Todos los X son Y - Ningún X es no-Y(2) Ningún X es Y - Todos los X son no-Y(3) Algunos X son Y - Algunos X no soo no-Y(4) Algunos X no son Y - Algunos X son no-YSi aceptamos que la relación de contradicción entre dos términos essimétrica, entooces, el conttadictorio de "no-Y", que podemos escri-bir "no-no-Y", es idéntico a 'Y". Permutemos ahora la proposi-ción-permutada de ( 1); resulta:

| 146

(l) Ningún X es no-Y - Todos los X son Y.Igual resultado se obtie¡e evidentemente ea los casos restarltes,

l2l(4); es decir, la proposic ión-permutada de uoa proposicióo pre-vi:rmente permutada es la proposición-permutando de esra última, Es,rl,vio, además, en virtud del principio de ¡o-coritradicción que la pro-

lx)sición -permutando y la proposición-permutada son en todos los, .rsos (1!(4) eqtiuatrentes. Podemos, empero, debilitar esta relacióny cscribir las relaciones (1)-(4) como implicaciones; de esta mane¡a\c prestan ostensiblemente a conexiones ioferenciales. EmpleandoIn sirnbologia del parágrafo aorerior y conviniendo además ea poner¡'-y,, por el contradictorio de 'Y", anotamos:

(-) A(xY))E(X-Y)(p ) E (xv ))A(x-Y )(y) I (xY ))o(x-Y )(6t o(xY )'t(x-Y )

\l\. Conuersi6n pot negdciór, es la operación que consiste eo permutary luego convettit una proposición cacegórica. Sabemos que los cuatroti¡rrs son permutables; pero, puesro que la permutada de f es O ylrr¡csto qu9 esta última no es convertible, coricluímos que I no est onuertible pot tegacióa, Combinando entonces (en el orden que exigel¡r definición) permutación y conversión, tenemos las siguientes rela-

A(xY ))E(X-Y )ti (x-Y )) E (,Y x)(.) A(xY ))E(-YX)

ti(xY ))A(x-y )A(x-Y))t(-yx)(l) tt (xY )) r(Yx)(,(xY ))r(x-y )t(x-Y ))r(-YX)(y) o(xY))I(-YX)l.rrs leyes (*)-(y) aCuí obrenidas no pueden transformarse en equi-

r,rlc¡rcir¡s como l^s leyes (")-(D) del parágrafo anterior. para tlueI'r¡l'irra cquivalencra de.¡al manera, la conversa por negáción eo cadarlr¡r ¡lc l¡rs casos (-)-(y) tendría que producir la directa al ser some-¡ i,ln ¡r l¡¡ misma operación- Pero, la cooversa por oegación de ,,E(-yD,',', "l(-X-Y)" y no "A(XY)"; y la de "t(-YX),,, como vimos, no, rrrrc- Sin cmbzrrgo, invirtiendo los pasos de la conversión por nega-I rt,ri o gcn convir¡ientlo primcro y pcrmu(ando después, es posible¡,1¡trrr<'r l¡¡ irn¡rli<;rcirírr rccí¡rrocrr rlc (.) y (y). [in efecto:

147 |

(49, *)(48, (2), *)

(4e, B)(48, (1),.)

(49, D)(48, (3), ")

E (Yx))E(X-Y )E (x-Y ))A(xY )

(*t ) E(-YX))A(xY)

r(-Yx))r(x-Y )r(x-Y))o(xY )

(48, (2),.)(4e, p')

(48, (l), .)(49, y\

(yt ) t(-Yx):o(xY)La conversión por negación produce, entonces, equivalencias en elcaso de los tipos A y O.

51. Finalmente, entre las operaciones denominadas infe¡encias inme-

diatas se encuentta la conr¡aposicidn Consiste en Pefmutal' conver'

ti¡ y ouevarueote Permutar u¡ra proposición. Es posible en todos los

casos, ercepto en el de I. Procedie¡do como en el parágrafo anterior,

tenemos:A(xY ))E(x-Y )E(x-v ))E(-Yx)E(-yx))A(-Y -X)

(* ). A(xY ))A(Y-x)E(xv ))A(x-Y )A(x-Y ))r(-YX)r(-Yx ))o(-v -x)(p) E(xY ))o(-v-x)

o6Y))t6-Y)r(x-Y ))r(-vx)t(-vx))o(-Y -x)(y) o(xY ))o(Y'x)

Hagamos ahora co¡side¡acio¡es de

A(-Y -X))E(-YX)E(-Yx ))E (X-Y )E(x-Y )) A(xY )(", ) A(-Y-X))A(Xy )

Combinando (") y (*r ), anotamos:(cú ) A(xY )=A(_Y-x)

Es fácil ve¡ que en el caso (p) no puede haber equivalencia; porque

la irnplicación "ICYXDA(X-Y y' teniendo el término "X" más ex-

tensión e¡ el aatecedente que en el consecuente' debe ser rechazada;

es decir, que el camino inve¡so de la serie de implicaciones que

coaduce a (É) no es t¡ansitable. En el caso (y), en cambio, hay

tránsito:

[ 148

(P erm.)(Convers-)(Perm.)

(perm.)(Co¡vers.)(p erm. )

(Perm.)(Co¡vers. )(Perm.)

equivalencia:(Pe¡m.)(Co¡vers.)(P erm. )

o(Y -x))r(-YX)r(-yx))r(x-Y )t6-Y ))O(XY )

(Perm. )(Convers.)(Perm.)

(y' ) o('Y-x))o(xY)(lo¡¡bina¡do (y) y (y'), resulta:

(.y" ) o (xY )= o ('Y -x )La razótt de oo trá¡sito inverso en el caso del Proceso que conduce

a (B) reside, aquí como en el parágtafo anterior (50, p), en el carácterlimitativo de la conversión de A, En cuanto a la equivaleocia que se

produce en los casos de contraposición d.e A y O y que no se produce

cn los casos de conversión por negación de los mismos tipos, se

cxplica, evidentemente, porque la inversió¡ de los pasos de estaúltima operación la afecta esencialmeate, lo que no ocure en elcaso de la contraposición.

52. Las operaciones expuestas hasta aquí se comptenden en los ma-

nrrales de lógica bajo Ia denooinación "inferencias inmedia¡as". Se

(ccurre, pues, a una simbología diference de la aquí empleada parapresentar las diversas leyes que nosotros hemos expresado en forma

implicacional. Como mntas veces hemos dicho, la inferencia es un

¡rroceso lógico que consiste en es¡ablecet uoa proposición como

verdade¡a a partir de otras supuestamente verdaderas. Esta nociónsignifica que si P, Pr,,.,, Po son las premisas de P- es decit, las

¡roposiciones que supuestas verdade¡as permiten inlerir la conclusiónl)- el condiciooall\ P,.P,...Pn )Pcs válido o es una implicación. Conversamente, el carácter implica-cional de (1) significa que P se iofiere de P, Pr, .,' y Pn. De mane¡a

,¡ue la formulación implicacional de las leyes i¡ferenciales es ade-

cuada, coo el agregado de que en esta forma ponemos aquí también,l¡ manifiesto que hay uoa ley implicacional a la base de toda infe-¡ t r¡cia.

l,a razón, coo todo, para que en los textos se expresen de oüanr¡ncra los principios de la infereacia inmediata es que se suponen

vcrdacleras las premisas; en tal caso, la contraposición de A, por

r. jcmplo, se anota así:A(x'{ )... F. (x -v ) .'. E (-Y x ).'. A(-Y -x)

Asinrismo, otrás operaciones fáciles de idendficar son:A(XY ) .. . -O(xY )

^(xyI .' . t(xv )

t.(xY)..-A(xY)oltY). . r(X-Y). .l(-YX),'ctc., etc.

149 l

53. La doc¡rina ceotral de la Lógica de la Proposición Categórica esla <lel silogismo categ6rico, infe¡e¡cia mediata que trararemos dedefini¡ de modo que mejor se adapte a la obtenció¡ de sus condicionesmás importantes.

Silogismo es la inferencia en que supuestas verdaderas las rela-ciones suieto-p¡edicado de dos té¡minos con un terce¡o se obtie¡ede ellas una determinada relación sujeto-predicado ent¡e los dosprimeros télminos,

Las dos primeras relaciones sujeto-predicado (es decir, dos propo-siciones categóricas) reciben el nombre de lÍemisas det silogismo;la te¡cera es la. concl si6n del silogismo. Los dos primeros términosson los extrerrros del silogismo; el tercero es el té¡míno medio, Esevidente que los exremos forman la conclusión; de éstos, el que sedesempeña como predicado de la co¡clusión se de¡omi¡a términomayor; el sujeto se denomina té¡mino menot, Finalmente, aquella delas premisas que contiene el térmioo mayor se designa ptemisa mayor;la que contiene el té¡mino me¡ot, premisa nenot.

Nada meior pata fijat esta termioología que recurrir a[ famosocjemplo que codos sabemos de memoria:

Todos los homl¡¡es son moúalesTodos los g¡iegos son hombres

Todos los gÍiegos son morrales

Premisa mayor. "Todos los bombtes son mqtales"Premisa meno¡. '"Iodos los griegos son bombrcs,'Conclusión. "Todos los gríegos son úottales"Término mayor, "llortak s"Término medio. "hombtes"Término menor. "gtiegos"Er ouesffo estudio, ¡espetaremos esüictamente el orden que las

proposiciones que formao el silogismo presertan en el eiemplo ante-rior: premisa mayor, premisa meno¡, conclusión.

Se observará que la definición que hemos dado ¡ada dice de ex-pliciro sobre el tipo de las proposiciones categóricas que forman elsilogismo, sólo fija su número. Tampoco esrablece dicha definiciónla función de los términos dentro de las premisas; sólo declara quelos té¡minos son tres y que el rrrenor y el mayor son ¡espectivameotesujeto y predicado <ie Ia conclusión- En lo que sigue, designaremoscon las letras X, Z, y, re spectivameote, los términos meoor, medio ymayot del silogismo.

54. Si consideramos que los tipos dec¡rat¡o, los silogisrnos posihles clesde

[ 150

la proposición categórica sontal punro de vista son tantos

como podamos combinar de tres eo tres con o sin ¡epetición, cuatrocspecies distinras de proposiciones. Silogismos posibles serán,por ejemplo, los formados por las combinaciotes AAI, EOI, AOA, etc-l)ara obteaer todas las combinaciones posibles de esta [aturalezahacemos la siguieote consideración: Hay cuatro silogismos posiblesque comienzan en A y siguen e¡ A: AAA, AAE, AAI, AAO. La segundalctra de estas combinaciones puede variar de cuatro maneras; luego,lr:ry dieciseis silogismos posibles que comienzan ea A: AAA, AAE,tlAI, AAO; AEA, AEE, AEI, AEO; erc. La primera lefta de es¡as¡lieciscis combinaciones puede varia¡ de cuatro maneras; luego, yfinalmente, hay sesenta y cuatro silogismos posibles considerandorreramente el tipo de las proposiciones categóricas que fo¡man unsilogismo. Tales combinaciones indicativas de silogisrnos y'oslllasrcciben el nombre de modos posibles del silogismo, En realidad,c(¡mo proato veremos, los modos posibles del silogismo no son sesen_t:r y cuatro sioo doscientos cincuenta y seis.

Ot¡a manera de obtener las combi¡aciones aquí deducidas consistecn disponer mediante divisiones encapsuladas en serie las distinrasc¡rmbinaciones. Resulta así uo cuadro gráfico que el lector pu-c,,t-laborar rápidamenae. Se comienza diciendo: Sea C el número decombinaciones; uoas comenzarán en A, otras en E, ot¡as er¡ l, oúasfinalmente en O,. de las que comienzan en ,4, unas seguiráo cn á,()tras en E, o&as en l, otras finalmente en O,. de las que comieozancn /!.,, etc., hasta completar los 64 modos posibles de que hablamoscrr el p árrafo "anterior.

Dijimos también que la defioición de silogismo nada establecesobre el orden de los términos denuo de las premisas. para da¡secucnta de las combinacjones posibles en este caso, basta qq¡ y.a¡a.lrr ubicación del término medio. Será éste o sujeto en ambas premisas,o sujeto en la mayor y predicado en la menor, o predicado en la mayory sujeto en la menor, o finalmente, predicado eri ambas premisas.l'.s fácil darse cue¡ta de que sólo hay esras cuarro combinaciooes(l'¡c reciben el aomb¡e de ligwas posibles del silog¡szzo. Es cosmmbrerlt signarlas en este orden:

I¿. ligúa 2a. figura 3a. Íigúa 4a. figutaz-y Y -z 7.-y Y-Zx-z x-z z-x z-x

(lombinando las cuaa¡o figuras posibles co¡ los sesenta y cuatrorrrrrlos posibles, disponemos de esros últimos para cada figura; derlonrlc resulta, como anricipamos, que los modos posibles lon do"_r-icntos c incucnta y scis.

15 r I

5 5. A contiouación, apoyándonos eo ciertas condiciones generales

del silogismo, vamos a ioiciar ua proceso de acotamiento más ceñidode los llamados modos posibles. En esto y lo que sigue hasta te¡mi-nar la exposición de este tópico nos atenemos en lo principal aIapresentación más cor¡iente que viene e¡ los ma¡uales. Un t¡atamientomás mode¡no de la teoría silogística se ofrece en el capítulo siguien-te.

En primer lugar, formulamos aquellas condiciooes que se conocedcor el oombre de reglas genet.tles del silogismo, Nos apoyamos para

ello en la definición que hemos dado y en los principios ya estableci-dos sobre la cualidad y la cantidad de la proposicióo categórica.

(a) De la definición resulta que un silogismo liene ltes y s6lotres tó¡mínos.

(b) Asimismo, el silogismo constd solamenre de hes Ptoposiciolres'(c) El l&níno medio debe estat, Lnd uez al menos, eplicado erl

,odd su extensión (debe estar, una vez al menos, distribuído). Larazón de esta regla es obvia: Puesto que los extremos se relacionanent¡e sí por la intervención del medio, no es oecesaria ninguna con-clusión cuando la relación de ambos ext¡emos cae sobre una partesolamente del término medio. La parte del medio con que se relacionaun térmioo puede no ser la misma con que se relaciona el otro, porlo cual no podemos concluir una relaciór¡ entle ellos. Se exige, pues,la distribución del término medio.

(d) Ningín t¿tmino pvede ,enet en Id conclasión mós extensidnque en las premisas,

Es también un principio obvio, pues su trasgresión implicaría que

hemos ido más allá de las premisas y que el silogismo no es válidopor sí mismo.

(e) Nada se concluye de ptemisos negotiuos, En efecto, en ellaso excluímos ambos extremos del medio, o el medio de ambos extremos,o u¡r extremo del medio y el rnedio del otro extremo. Es fácil ver que

no hay relación entre los extremos que pueda conclui¡se. Dicho deotra maoera: las premisas negativas sólo establecea exclusiones;de lo cual no puedo conclui¡ ni afirmativa ni negativamente.

(f) Si una ptemísa es negdtiúa ld conclasiín lo es csimísmo, Pot-que un térmiDo está en relación de exclusión con el término medio;luego, no puede relacionarse de ot¡a manera coo el segundo. Esta re-gla, como es obvio, tiene ¡ecíproca, es decir, si Ia co¡chtsión esneBaliua und premisa debe serlo.

(g) De yemisas pqrric ¡arcs nada se infiere, La :ú¡ica parricularque distribuye un térñino es negativa. Este rérmino disrribuído debese¡ el medio (ler. principio). La conclusión debe ser negativa (60

I r52

l,'iocipio). Luego, el tér¡nirio mayor debe estat distribuído, lo que es

r nr¡'osible por hipótesis.(h)Si ua premiso es particala ld conclqsión es ,4mbi6n pqúic l4r.

\.. I)rueba, tambiéa, mediante las reglas anteriores. En efecto: una

l,rcrnisa debe ser particular y la otra uoiversal (7q principio). Si son

,r'rlrrs positivas sólo hay un término distribuído que debe ser el tér-¡rirro medio (3er. principio). Luego la conclusión es Pa¡ticulat (44

¡'rirrcipio). Si una es negativa y la ora positiva la conclusión debe

rrr negativa (6p principio); luego, el término mayor debe estar dis-trilruído en la prernisa. Adernás, debe estatlo el término medio (3er.

¡'rirrcipio). Supongamos que la univetsal es negativa. La otra ha de

r"r particular afkmatív^; luego, la conclusión debe se¡ particularll" principio). Supongamos que la particular es negativa; también

' rr cste caso la conclusión es particular.A¡liquemos, pues, estas reglas a la lista completa de los modos

liin hacer todavía consideraciones sobre las figuras). La.lera anota-,l,r al lado de algunos de estos modos indica la regla general que

rrrlringe y por la cual es rechazado, ahora, como imposible:AAA AEA(Í) ,4rA(h) AoA(f)/l/E(f) AEE AIE( AoE(h)

^ArAAo(f) AEO AtO(t) AOO

t¡AA( f) EEA(e) EtA(f) E oA(e)ttAE EEE(e\ EIE(h) E o¡j(e)I I N(f\ E El(e) E II(f) E Ot(e )tt Ao EEo(e) EIo E OO(e)

AE r(t) Atr Aor(f)

r/A(h) rE A(f)r^E(h) rEE(h)r At rEt(f),.4o(f) IEO(d)

IIA(g) IoA(e)IIE(g\ IoE(c)I (e) IoI(e\IIo(s\ too(e)

o AA(Í\ oEA(e) oIA(s) oOA(g)o^rj(h) OEE(e) oIE(g) ooE(e)oAI(f) oEI(e) oII(e) OOr(e)o tto oEo(e) olo(g) o oo(e)Lrr climinación que hemos hecho (hay cierta a¡bitrariedad, como es

l,¡, il vsr, tespecto de las reglas empleadas en los disrintos casos)

', ',.sume asi:It cgla ( rl) 1

It, ¡¡l:r (c) 12

l{c,qlr (f) 1'7

Itr',,{la (n) l6Ire¡r (lr) 7

l5t I

Es decir, la aplicacióo de las cinco últimas reglas del silogismo(y de la tercera, asimismo, puesto que ésta se ha empleado en laobtención de la séptima y la octava) eli¡ri¡a 53 modos posibles. Losonce restantes son cotsisrerxtes con tales reglas; pero esto no quieredecir que hayamos probado que tales once modos sott conclayentes.Tenemos, pues, todavía por delante 44 posibilidades; porque son cua-tro las figuras que pue<ien adoptar los llamados modos.

Podemos, ahora, introducir la consideración de las figuras parauoa nueva eliminación enüe los 44 modos hasra aquí posibles.

Empecemos anotando los modos consistentes con las seis últimasreglas del silogismo.

AAA EAE IAI oAoAAI EAOAEE EIOAEOAIIAOO(1) Consideremos la primera figura. Su forma es:itBAM

ABI-as condic.iones que debemos exigir en el caso de la primera figura

(a) La l¡rernisa menor clebe set alirn ath)d, Si no fuera así, la co¡-clusión seria negativa (60 principio). Luego, en AB el predicadoestaría disribuído, por lo cwal MB sería negativa (4a principio)-Y en consecuencia, no habría silogismo (50 principio).

(b) La ptemisa may or debetser uniue¡sal, Si no fuera asi, AM teo-drá que set negariva (3er. principio). Luego, AB lo se¡ia asimismo(60 principio). Por lo cual, MB tend¡ía que ser también oe g^tlva (4aprincipio). En consecuencia, no habría silogismo (5q principio). pode-mos también probarlo apoyándooos en la primera condición. porqueA,4l debe ser afirmativa, es decir, que no distribuye el término medio;por lo cual debe éste estar distribuído en ,418,

Estas dos condiciones nos permiten seleccionar los modos consis_ten¡es de la primera figura:

AAA EAE(AAr) (EAo)AII EIODe éstos, AAI, EAO, son modos en que la conclusión se encueritra

limitada, puesto que puede ser, re spectivame nae, A y E. Los ponemos,entonces, de lado y dejamos como resultado de n¡restra reducció¡los modos:

I ts4

AAA; EAE; ATT; ETo(2) Esrudiemos las condiciones de la segunda figura:nt4

^¡t,48

\', rrros inmediatamente que ura de las premisas debe ser negativat trr. ¡rincipio)-

(,r) L,r"to, la conclusi6n debe ser negariud (6q principio)ll,) Fln vi¡rud de (a) , B debe ir disribuído (40 principio). La segun-

,l,r ¡ r¡ndición es pues que ld premisa mayor debe ser ,tiaercal.A partir de estas condiciones, obtenemos para la seguoda figura

lr,' nrodos siguientesi,'IIIE E AE(/tEo) (EAO),.too Eto

,lr lr¡s cuales separamos, como modos débiles, ,4EO y EAO. ResultaIt rr ¡r lmc nte:

l: AII; AEE: EIO; AOO(l) La terce¡a figura se esquemariza de la siguiente manera:Mtl

A

^tl(r\ La ptemisd meno¡ debe set oli\r1tLtia7. Si fueta negativa, lo¡rríll también la premisa mayor, por razones obvias; y entonces noh,r I'r írr s ilogismo.

ll,) Como consecuencia de lo anterior, la conclasión debe ser

l ¡rles condiciones nos permiten separa¡, como modos consistentes

'1, Lr t<rceta figura, los modos siguientes:,ltlt: IAI; AII; EAO; OAO; EIO.l1) (ionsideremos, finalmente, la cuarra figuralBM

,lt.1

,trl(,\).li ld premisd m¿tyot es aÍitrl?atiaa, Id menor debe set *nit¡etsal,

I ,' ,¡rrc t:s obvio en razóo del tercer prilcipio que exige que el término¡r,,1¡¡r csté distribuido una vez a lo menos.

(l'\ Si la plemiso rnenor es dfirmdtiua, Ia conchtsión deb¿ s¿¡ p4¡.¡h lü. Lo que resulta de la exigencia que hace el cuarto priocipio.

lr\ .\i ld conc lusi6r, es rregatiua, la premisa moy or debe set ni-r n ttl (40 principio).

lt5 I

!Seleccionamos a partir de estas condiciones los modos consisten_

¡es de la cuarta figura:AAI; AEE; (AEO); IAI; EAO; EIO.

Po¡emos entre paréntesis AEO, porque es una valiación limitada de

AE E.Eo resumen, hemos obtenido 19 modos, distribuídos entre las figu-

ras de la siguiente manera:

Id. lig. 24. Íig. 3a. fis, 4a líg

AAA EAE AAI AAIF.AE AEE IAI AEE

AII EIO AII IAIEIO AOO EAO EAO

O AO EIOEto

No hemos mos[ado que seari conchtyentes, sino solamente consis-

tentes con los priocipios generales del silogismo y las condiciones

necesarias de cada figura e¡ Particular' Sin embargo, podemos darnos

cuenta de su cooclusividad si logramos percibir las relaciones que

cada figura establece entre los términos y cómo los mo'dos que hemos

seleccionado satisfacen esas relaciones.

lo. En la primera figura, la mayot es universal' El término mayor

se afi¡ma, o niega, del término medio uoiversalmente' La meoo¡ es

afitmativa; el térmioo menor se afirma del término medio: luego el

térmioo mayor debe, afirmarse o nega(se' respectivamentet del térmi-

ño menot.24. En la segunda figura, la menor afitma que algo posee universal

o particularmente (,4 o f) lo que otro término oo posee (E); o níega

que algo posea (E u o) un at¡ibuto que otro tétmino posee ('4) Es

u"í q,r" pod"roo. concluir que el término menor queda excluído del

térmioo mayor, siendo la cantidad de la conclusión determioada por

la menor.3p. En la tercera figura la mayor contiene la afirmación' o oegacióot

de un atributo, la meoo¡ la afirmación de un nuevo atributo; luego,

es legítimo concluir el acuerdo, o desacuerdo, entre los predicados,

según sea la canrided de las premisas.

4q. I-os modos de la cuatta figura se resuelven fácilmeote en modo¡

de la primera y de la tercera, según veremos más adelaote'

Si tales consideraciones no basraran para most¡ar que los 19 modos

obtenidos son concluyentes o uálidos, ya haremos un trabaio menor

vago más adelante. Por ahora, digamos que para fijar tales modos en

la mernoria los lógicos medievales idea¡on nombres que asignaron

a cada uno y con los cuales formaron los siguientcs versos:

[156

Bub6a, Celarent, Darii, Ferioqre prio¡is;C e s ate, C orne s he s, F e s tirro, B et oko s e c undae ;Tertio, D&apti, Disarnis, Ddtisi, FelaprortBokardo, p¿r¡"oo, babel; qratta its,pet additBr antanrip, C a mene s, D imarís, F e s o po, F¡e s is on,

l.irs tres yocales de cada nombre indican los ripos de proposición der'¡rda modo. Así, p.ej., Ferio corresponde al modo EIO de la primerali¡qura. Es así que estamos eo condiciones de da¡ un ejemplo de unnrodo cualquiera:

Ningúz polílico es inútil I'EAlguos holgazanes son políticos rIAlganos holgazanes no son inútiles O

Pe¡o no sólo las vocales tie¡e este rol indicativo; algunas enúel¡rs consonantes indican el modo de realizar cienas operaciones querstudiaremos más adelante y que permiten responder simple y segu-r ¡rmente a la ya mencionada cuestión de validez o conclusividad.

Observemos finalminte sob¡e las ocho reglas generales del silo-¡ismo que todas sin excepción han sido empleadas en la obteociónrlc los diecinueve modos coosistentes del silogismo que enumeramos¡nris arriba. La primera regla que fiia el número de Ios términos derrn silogismo ha permitido dererminar el número de sus figuras posi-l,lcs, la segunda, que fija el oúmero de las proposiciones del silogis-u',', ha permitido determinar el número de los modos posibles; latlrccra, Ílue exige la disrribución del término medio e¡ alguna de lasl,rc¡nisas, fue empleada en la prueba de las dos últimas reglas gene-rnlcs; finalmente, las cinco ¡escantes se u[ilizaroD en la primera ynrris importante eliminación. Por lo demás, a la visra está el empleor¡uc hicimos de algunas reglas generales en la obtención de las reglasl.sl)cciales de cada una de las figutas.

\1,. Consideremos las cuatro figuras. En primer lugar, salta a la vista,¡rr sus principios son distintos.

(r) En la ptimera figura los modos so¡:AAA; EAE; AII; EIO

rl rsquema de la figua es:,11 cs BA cs M

I es B\¡ consideramos el esquema y los modos conjuntamente llegamos a lari¡rricntc cooclusión: Que B se afirma, o niega, univetsalmente de M,y tl{ sc afirma (unive¡sal o pa¡ric ularmente ) de A. Luego, B se afirma,,r ric¡i¡¡, (r¡oivcrsll o part ic ularmcotc ) de A, Todo el fundanento de

157 I

esta figura reside eo el famoso principio que e¡ lógica se designacon la expresión abreviada Diclum de Omni el Nallo, y que podemosenunciar asi:

Lo que peftenece ol ahibuto de una cosa, pertenece d la cosa;o Lo que se dice del predicado se d.ice del sajeto:o Lo que se alirma, o niega, del totlo se afhma, o niega, de sl¿s par-

,e s.En conexión con el Dictam podemos citar dos pasajes d.el Organon,

Err Cdtegoríds, 3, leemos:",,, Cxando ana cosa se dice com<¡ attrib to de otra, todo lo qtees alirma.lo .lel preclicado, deberó tdmbién alirmarse del sfieto,Pot ejemplot 'homb¡e' es atribuído al hombte indiuidual, y .dnimal'

abibtído d 'hombre'; en consec encia, al bombre indiuidtal seahibLh á tarnbién animal,,,"E¡ Primeros Analíticos la misma idea se expresa, sólo que no

ianto con el carácter de un principio o axioma, sino como algo implí-cicamente supuesro en una definición. De todas maneras, la definiciónen Aristóteles tiene un sentido muy diferente del que suele dárseleen nuest¡os dias; de modo que el principio que estamos examinandoes el contenido de una formulación verdadera, y no de una mera con-venc i ón:

"... Decb que n l¿tmino est¿ contenido en ld totdlidod de oÍro rér-mino, o decir qae an término es atribüído d otro tomado nh)ersdl-mente, es lo nismo. Y ¡lecimos que an término es ¡tlrmddo aniuer-s.tlmente c a do to se puede eicontÍar en el s4eto ningtana partede la cual ,to se paedd alhmar el obo ,érmino; igual explicaciónse dat6 a la erpresión 'no se¡ attibtído d nirrgtno' ". (248, 26-30).Vemos así que el Díctum de bmni et Nzllo se aplica allí donde

atribuimos universalmente (A y E) en raz6o d.e la definición mismade e sta úhima operación.

(b) En la segunda figura los modos son:E.4 E: AF.E: CIO; AOO.EI esquema de esra figura es:B es ,41

,4 cs B

Las premisas son de cualidad diferente, la mayor es siempre uni-versal. El principio de esta figum es el siguiente: Si un término seafirma o niega universalmente de otro, y re spectivamenre, se niegao afirma, particular o universalmente, de un tercero, entonces elsegundo se negará particular o universalmente del últirno.

t. \ L,,' mo,los ,lt l,r tcrccr:r fi¡ur.r son.I Ist¡

AAI; lAl; AII; EAO; OAO; EIO'y su e squema:

MesBMesAA es Btil priocipio de esta regla Puede formularse así: en Ia mayot se

:rfirma o niega urr atributo de un sujeto; en la menor se afirma un ruevo,rtributo del mismo sujeto; luego, estamos eo condiciones de afirmar

,r negar el primer atributo del segundo. M puede considerarse como

cxpresión de una parte de A, de maoera que lo que se afitma o niega

,lc ,4,1 se afitma o niega de A con las diferencias que requiera la canti-.r¡rrt.

(d) En cuanto a la cua¡ta figura sus modos se reducen obviameote

rr la prirnera -\r tclcera figuras. Pero, ya Pasaremos a ver todo el deta-

llc de esto.

57. Darse cu€dta de la validez de los modos que hemos seParado es

rrlgo que puede lograrse mediante consideraciooes geoerales en e[

,,rso de cada figum o cstudiando por separado cada uno de los modos

quc rcsultaron de nuestro examen anterior. Consideraciones geoerales

hcmos hecho eo el caso de las t¡es primeras figuras. En cuanto a larilrima, hemos rcferido la validez de sus modos a la validez de otrasfi¡quras, relación que, como vamos a mostrar ahora, vale Pata todos

los modos con refereocia a los cuatro de la primera figura. Es lo que

crr lógica clásica se corioce con el oombre de "reducción a la primera

figura".Antes, ilustremos sob¡e la validez en el caso Particular de cada

¡nodo considerando los casos de Carnesres, Bramantip y Bokardo:(l) Todos los Y son Z

Ningún X es Z

Niogúo X es YEl sentido del argumento es: Y está incluído en Z, y Z excl'uído

,lc X. Luego, lo que se dice de Z se dice de Y que es una Parte suya,

.r saber, que está excluído de X, El principio, corno se ve, es el

lt i.tum en su parte negativa.(2) Todos los Y son Z

Todos los 2 soo X

Algunos X son Yl,.s fácil rlarse cuenta de la validez del argumento eo llramantip:

l' r'srá inclrridr> tt Z, /, está incluítlo en X. I-uego, Y está incluído,n X; tlc rlrncr¡ (It¡c] convircicndo, simPlcmcnte concluyo "algunos\ sorr )"'. l5q 1

(3) Algunos Z no son YTodos los Z so¡ X

Algunos X no son YEs decir, puesto que todos los Z soo X, y alguoos no son y, serán

estos 'algunos' uoa pa¡te de X que ercluye y. Los argumentos sooigualmente obvios en los casos aestantes.

58. Consideraciones del tipo de las que hemos hecho para darnoscuedta de la validez de Camenes, Bramantip y Bokardo, no son otlacosa que la aprehensión inmediata de lo que en general y articulada_mente se expresa en los priocipios de ¡educción a la primera figura.Vamos a conside¡a¡ de esta mane¡a la ¡educción examir¡ando los modosde la seguoda figura:

(l) Cesare:Ningúo Y es ZTodo X es ZNrü;T ." x

Si convertimos la premisa mayot simplemente obtenemos:Ningún Z es YTodo X es Z

Ningún X es Yes decir, que Cesare se réduce a Cela¡ent que es válido en virtud delD ictlm.

(2) Camest¡es:Todo Y es ZNiogún X es ZNingún X es Y

Convirtamos simplemente la preoisa menor; cambiemos el orden delas premisas; y convirtamos simplemente la co¡clusión:

Ningún Z es X"fodo Y es Z

Ningún Y es Xque es nmbién Cela¡ent.

(3) Festino:Ningún Y es ZAlgú¡ X es Z

Algún X no es YConvierto simplemente la premisa mayor:

Ningún Z es YAlgún X es ZAtg¡" x .. ""7

[ 160

.\ (lccir, la reducción me conduce a Ferio.Los lógicos hablan de ¡edu.cción ostensitd er¡ casos como los que

l¡cnos exami¡ado. En general, se dirá que la redrrcción es osreosiva,r rlirecra cuando la conclusión probada a paltir de la primeta figuracs Ia misma que contiene el modo que reduzco (p.ej,, Cesare, Festi-rro), e 5¿ obtiene por conversión de la conclusión que obtengo (p.ej.,r ¡rnrestres).

lls fácil ver que la reducción no presenra serias dificul¡ades,.xcepto en los casos en que uoa de las premisas es O puesto que at,rlcs proposiciones no podemos aplicar la conversión. Esto nos hacelij¡rr especialmenre la arención en los modos Baroko y Bokardo.I'cro anres de examinarlos, digamos algo sobre el significado de,rl¡¡unas entre las letras que forman el nombre de cada modo.

(a) En primer lugar, las vocales; ésras indica¡ el ripo de las pro-¡rtsiciooes que forman el argumento, y en el orden, premisa mayor,I'rcmisa menor, conclusión. Ei: Ferio, EIO.

(b) La inicial de los nombres correspondientes a los modos de lasliguras 2a, 3a, y 4a, indica el modo de la primera figura a que pasa-rnos al reducir. Por ej., Bramaatip se reduce a Barbam, Cesare a( clarent, e¡c,

(c) La lera s que sigue inmediatamente a uoa vocal indica que la¡'roposición ¡ep¡esentada por dicha vocal se convierre simplemente alrcducir a la primera figura. Así, p-ej., eri Cameoes: [a conclusión queolrtenemos en Cela¡ent es la conversa de la conclusión de Camenes.

(d) La lera zr iodica que para reducir debo intercambia¡ las premi_

',¡s: ¿sí lo hemos hecho, por ei., al reducir Camesffes. Hay que aten-,lcr a va¡ias cosas a la vez. Consideremos, por ejemplo, Disamis.llrr este caso pasamos a Da¡ii del modo siguieote: Convertimos sim_¡,lcmente la mayor (I); luego, intercambiamos

(e) La letra p indica conversiin per accidens. por ejemplo Bra-r¡r:rntip:

'l'odo Y es Z'I'odo Z es X

Algún X es Yl'¡rso a Barbara poniendo (m):

Todo Z es XTodo Y es Z'I'odo Y es Y

lrrcgo, convierto por limitación la conclusión:Algún X es Y(f) l-a lerra k de los r¡odos Raroko y Bokardo indica que la reduc_

161 I

ción oo es directa, que el proceso que debemos empleat es la famosa

/ edqct io dd imPossibi Ie,

59. Coasideremos ahora Baroko y Bokardo. Sabemos que los modos de

la primera figura son:AAA; EAE; AII; EIO.

luego, al ¡educi¡ r¡o podemos considerar como mayot una ptemisa par-

ticular. Y si ésta es de tipo O no puede ni siquiera se¡ menot. Es asíque la reducción no puede ser ostensiva, puesto que O oo se conviet-te. El procedimiento para reducii Baroko y Bokardo es introducidopor el mismo Aristóteles. En esencia, consiste en Proceder rechaza¡r-do la validez del modo y mostrando que tal rechazo es inconsistentecon lo aceptado; es decir, se procede indirectamente. Veamos elcaso de Baroko, que esquematizaremos:

Todo N es ,llAlgún S no es M

Algún S no es N

l)ice Aristóteles:".,. Si Il pertenece a ,odo N, peto no pettenece o algú 5, nece-

soriamente N no pettenece a algún S, Pues, si N pertenece a trodo

.f, y ll es aÍirmddo tdmbién de lodo N, necesariamer?te M perte e-

cet6 a ,odo S. Abora bien, babíamos sr.ptesto q e M no peúeflecea algún 5,.." (Ptimeto Analíticos, 27o, 35-40)

El plan de prueba es. pues. el siguiente:si Todo N es lly Algún S no es,4'f

será Algún ,Í no es N

En efecto, si no fuera ésta la conclusión será eotonces verdadera

"Todo S es N." Construyo:Todo N es M

Todo S es N

BArbA

rATodo S es M

La conclusióo de este silogismo en Ba¡bara está en contraCiccióncon la menor del que consticuye mi premisa. La dificultad proviene

Ce haber supuesto que Baroko no era concluyente. Luego, debo soste-ner que sí lo es.

Bokardo pertenece a la aerce¡a figura, Su esquema es:Alg'ór Z oo es YTodo Z es X

Algún X no es Y

I t62

l¡rocedemos como eD el caso anterior, y ano¡amos:fodoX es Y BAtTodo Zes X bA

fodo Zes Y rAsilogismo en Barbara que a¡roja una conclusión inconsistente conrtn:r premisa que hemos supuesto verdadera, a sabet: Algún Z no es Y,l'odemos, tambiéa, probar di¡ectamente la validez de Baroko y Bokar-,lo. Para ello, aplicamos p¡imerámenre a sus ptemisas los principios(lc permutación y cooversión que henos establecido más atrás. LaIorrna de Baroko es:

'Iodos los Y son ZAlguoos X no son ZAlgunos X no son Y

( ¡rnvirriendo la mayor por oegación y permutando la menor obtengo,tt ltarlir de las ptemisds de Bdtoko, las de Ferio que pruebao la mismar ¡¡rclusió¡. A saber:

Ningún no-Z es YAlgunos X son no-Z

Algunos X no son Yl'¡r cl caso de Boka¡do convertimos por negación la mayor y cambia-¡r¡,s el orden de las premisas. Resultan así las premisas de Darii, la¡ r¡nl corivertida a su vez por negación produce la desea{a conclusión,lt. llokardo. En efecto, Bokardo es:

Algunos Z oo son Y'l odos los Z son X

Al¡1unos X ro son Y( )l'( rando como pusimos rnás arriba, resulta:

'lixlos los Z son XAlgunos no-Y soo Z

Al¡¡unos no-Y son X\', linrlmente:

Algunos X no son Y

r'il. Vcmos así (no lo hemos mosrado exhaustivaoente, pero a partir,1" los crite¡ios suñinisrrados es fácil lograrlo) que todos los silogis-r,¡,'r rle las tres últimas figuras se prueban por los modos de la prime-r,, l,.n ¡rrrticular, Cesare, Came stres, Baroko y Bokardo, se reducer¡

'r l,rr nrorlos r¡niversales Barbara y Celarent. Co¡sideremos todavía1,,¡ nrotlos p?rrticularcs de la primera figura, es decir, Darii y Ferio.Vrrrros :r proceclcr con ellos indirectamente,

ú, l

( 1) Darii: Todo Z es YAlg.ón X es ZAlgún X es Y

si rechazamos la conclusión obtenemos

Ningún X es YCombinamos esta última con la mayor de Da¡ii:

Todo Z es YNingún X es Y

Ningún X es Zes decir, obteoemos uo argumento en Camesttes, que se prueba por

medio de Celarent' La conclusión es contradictolia con la me¡or de

Darii" Luego, debemos ¡echazarla, con lo cual la conclusividad de

Darii queda probada. Et fundamento, tepedÍros' es Celaient' Lo que

quiere decir que el silogismo particular afi¡mativo de la primera fi-gura, Darii, se P¡ueba media¡¡te el silogismo universal r¡egativo de

la misma figura, Celarent.(2) Ferio: Ningún Z es Y

Algú,t X es Z

Algún X no es Y

rechazando la conclusión, Pasamos a la verdad de la contradiccoria,

a sabet:Todo X es Y

Combinemos esta última con la mayor de Ferio:Ningún Z es YTodo X es Y

Ningúo X es Zes decir, Cesare, que se prueba mediante Cela¡eot. La conclusión que

obtenemos es inconsistente con la menor de Ferio, por lo cual larechazamos, siendo asi probado Ferio mediante Celarent'

En una palabra, procediendo directa o indirectamente - en todo

caso en acuerdo con las leyes de la oposición, la conversión y el

Dictrm - henos reducido todos los modos * los dos modos unive'sales

de !a primera figura; o meior, hemos probado la validez de todas las

fo¡mas del silogismo mediante los rqodos Barbara y Celarent, que son

perfectos y que no requieren de otro principio qwe el Dictum de omni

et de nallo. (Confrontar Pt. Anal. 23 b)'

61. Demos todavia una mirada de conjunto a los modos concluyentes

del silogismo, y tracemos de obtener algunas conclusioncs cstimativas'

I-as figuras son c¡¡aüo, y los modos e¡trc cllas sc distribuycn así:

| 164

la. Figura: AAA; EAE; AII; EIO2a-Figural. EAE; AEE; EIO; AOO

3a. Figura: AAI; IAI; AII; OAO; EAO; EIO4a- Figrra: AAI; AEE; IAI; EAO; EIO(a) El valor de la primera figura frente a las restantes es indiscr¡-

rible. Es la única que nos perrnite concluir ea .t, es decir, probar

r¡na afirmación unive¡sal. Además, comprende del modo más simpleIos cuatro tipos de conclusión. Se agrega a esto su perfección, es

rlccir, que su conclusividad resulta directame.\te del Dictuñ,(b) La segunda figura nos sirve exclusivamente para refuta¡; y nos

instruye sobre la forma de1 argume[to en relación al grado de la refu-t;rción. Ante una afirmación general, p,ej,, "los principios son autoevi-,lcntestt puedo adoptar dos actitudes: o refutarla meramente, o soste-ncr la contraria. Es decir, que tengo en vista t'algunos principios noton autoevideates" o "los principios no soa autoevidente s

t t. Con vis-tas a la p'rimera conclusión debo seleccionar EI o AO, en todo casouna proposición universal. Con vistas a la segunda, así como mi metacs más ambiciosa, el precio es mayor: las dos premisas deben serr¡n iversales-

(c) En la tercera figura pruebo una particular negadva o afirmativa"I-¿r utilidad de esta figura es en relación a la refutación de algo uni-versal (A,E). En efecto, la prueba de I, p.ei., en sí oisma ioútil o de

¡xrco valor, constituye una refutación de E, en virtud de las leyes del¡r con¡radicción.

(d) Podemos agregat otras consideraciones que resultan de un¡xzrmen exte¡io¡ de los modos, Por ei., para ¡efutar mediaote I eri larcrccra figura, serán preferibles Disamis o Datisi; y la razón es que

I);rr¿pti exige de dos premisas unive¡sales. En efec¡o es más fácilcncontrar premisas patticula¡es que udiveasales; de manera que larlfutación por I exige menos esfuerzo mediante Disamis o Datisi.I stt consideración puede generalizarse diciendo que una proposiciónsc lrrobará pot el camino más fácil, es decir, aquel en que las premi-*,rs universales sean mínimas.

(c) En cuaoto a la cuarta figura, su estructura es:BM

MA

A;.i c¡nrbianros el orden de las premisas, y al mismo tiempo converrimosr i¡r¡lrlcnrencc la conclusión, tend¡emos:

ttl ,4

BM

nA t65 )

es decir, un posible silogismo en primera nrgura. La conve¡sión sim-ple, empero, sólo es posible co¡ los tres primeros modos, es decir,AAI, AEE, L4L Ello significa que los tres p¡imeros modos de la cuar-ta figura se reducen en un sentido obvio a Barbara, Celarent, y Darii,Consideraciones del mismo género muestran que Fesapo y Fresisoose transforman obviamente en Felapton y Ferison.

62. Aristóteles habla de dos especies del razonamiento: silogismo e

induccióor. f)ivide, además, el silogismo en demosüarivo, dialécticoy erístico'?.

El silogismo demost¡ativo es aquel que parre de premisas verdade-ras y primeras, o de p¡emisas cuyo conocimiento se origina en premi-sas primeras y verdaderas.

El silogismo dialécticc es el que parre de premisas probables(es decir, de opiniones que se originan meramente en el comerciocotidiano de los hombres, o que provieoen de quienes iienen autoridad).

El silogismo es eristico cuando parte de premisas que parecenptobables, no siéodolo en realidad.

Los términos que intervienen en el s.ilogismo son universales.Aunque Arist6teles no rechaza decididamente los términos singulareses claro que el significado de los argumentos con conclusión sirigulares, desde el punro de vism de la concepción arisrotélica de la cien-cia, totalmente ¡ulo. En efecto, ..la ciencia es demostracióo, y lademostración establece una co¡exión u¡riversal a través de premisasuniversales. En relación al carácter universal del conocimiento,nadie más e¡fárico e inequívoco que Aristóteles,' (H. H. Joachim,A Comm, to Nicornachean Etbics, p- lAl)

Además, las coosideÉciones generales que hace Aristóteles sobrela prueba o demosr¡ación de cada ptoblema (en pt. Anal. 43a, 2O ysig.) nos instruyen sob¡e los términos que son, por deci¡lo así,'demasiado generales', o sea, las categorías. Se trata, como dice élmismo, de esta¡ en condiciooes de procurarnos siempre y en abundan_cia silogismos que comprendan como conclusión la cuestión que noses propuesta. Ahora bien, para que los rérminos de la cuestión 1,4 yB)se prueben esta¡ vinculados en el sentido requerido debe ocurrir, enrelación a un medio, una de las cuatro posibilidades (sabemos queAristóteles sólo considera ¡res ):

I',8 BA', TIB BLIALI AIT ITA MA

I Segundos Analícicos 7la, j-tI.'? Habla rambién de un argumento defectivo que lt¡m¡ pa.alosismo. ConfÍ.7 ól,icos, IOO ^ 24 y sis.

I t66

cs decir, que los términos del silogismo, con vistas a la Prueba c

rlcmostración, deben ser (así, por lo oenos, en la mayoría de los

casos) intermedios con resPecto a los té¡mioos singulares y a los

¡óneros supremos.

"Etttre todd.s las cosas qte existen sofl nas de t|tr rrdtúaleza qte

no paeden legílimamente set tlhmd.das {niaetstlrnen,e de ninguna

otut (pot eienplo Cleór' y Callias, es dech, lo indiuidxal y sensi'

ble); ottas cosas, et cambio, ptedet ser tlirtu*dds de ellas (yd

q .e cddd ta de estos cos1s indh)ídttdles es 4 l.t aez hombte y

animal). Hay, ademós, las cosos que se ílhmdn de ohds mie"ttesque de ellas no se tfhítd nodt dnterior. Finalmente, tenemos

las qre se alhman de ottts coslts, 4X tienpo qt¿e otrds se alhman

de ellas; p.ej,, de Calli¿s se dice qte es bombte, y de bomb¡e

que es animal,.. (En ¡elaciín 4 tales ,¿rminos intetmediatios)cdsi todos los mgrmentos e iartestigdciones se relieten Principab,neite a ellos.,." (Pt, Anal., 434, 25 y sigs.)Si, por ejemplo, duestro ptoblema es si la ciencia es un bien,

l,odemos buscar eatre los antecedentes y consecuentes de ambos ¡ér-

rrrinos lo que haya de común, lo cual se¡á emPleado como el elemerito

,lc unión. Podemos deci¡ que la ciencia es una realización natrüalrlcl hombre; y por otra pa.te agregar que las tealizaciones natutalessoD una parte del bie¡. La consecuencia será la que buscábamos.

63. Apliquemos la ooción a¡istotélica del silogismo a una serie de

" jcmplos patticulares.

(¡\ Patménides:Y srponiendo qre cada participdnte reciba ua Peqleid Pdrte de I4igualdad, ¿setá posible que el qtte la posee sea, por esra peqleñd

!,arte mós peqt eñ4 qxe la ígtaldad en sí, igtal 4 cttdlqtiet otta

S6ctotes:lnPosible.

( I'latón: Patméúdes )Si tratamos de poner en secuencia silogística este argumento,

¡cnrlríamos algo como lo siguiente:Lo qre porticiqa es poseed.or de und pú¡te de lo que PortícipÚ;1,.1s cosqs qre poseet la igrdlddd la poseen en ctatto pa¡tici|onle la lcnma 'igraldad' ;

lrrr'¡o,Las cosas q e poseen Ia igroldad poseen solamente srzd paúe

lc la igualdad ( y no son por tanto, en cuat to pd¡ricipan de l4igaaldad, iguales),

ú7 I

Es claro que el argumento es de la formall es B BAr,4esM bAA es B tA

(b\ "Torlos los bombres ñanilíestdrz en su naÍnrrrleza el deseo desdber; lo que Io maestrd es el placer cd.usa.do por las sensdciones,porqle, sin conside¡ar su xtiliddd, más agtadan por sí mismas,,,,,(Atistdtele s, Metdf. A, I).Lo que debemos probar aquí, nuescro problema, es una universal

afitmativa: Todos los hombres aspiran naturalmente al sabe¡. Aristóte-les da una primera prueba que podemos esquematiz^t

^si.:Deseaños lo qae nos sorisldce; y nos satislace lo qle tleseamos,BAt Lo que nos satislace ndtatalmente, Io deseamos natt ralmertte,bA Las sensaciones nos satisfacen ndrr¿ralmenreI uego:rA l'as sensaciones (que son Lnd especie de conocimiento) sor¡le s e a¿las ndturalmente.

{c) ",.. ¿En dónde lo uie¡on las qae con tantd solemnidad y énfasisuaticinaton el fataro, si o existe todauíd? ptues no paede t)erseaquello qte no es, Y los q e narron lo paso.lo, fio colrtdran cosasue¡ídicas si no las ,ieset etu su im.aginccíón. Si este pdsado l esenulo, sería imposible uerlo. Existen, p^es, el l thlo y el pasado,,,(Saa Agtstín, Conlesiones, LibroXI, Cap. XV )

Eo este pasaie encont¡amos dos argumentos, uno en apoyo de la exis-tencia del futuro, el ot¡o probando la realidad del pasado. En secuen_cia silogistica tend¡íamos algo como esto:

Lo no-exisrente no se ire;El lututo es no-existente;

lue go,

CE1A

El lularo no se ,.) e rEntPero, la conclusión es contradictoria respecto del ase¡to de becho:

Existen se¡es que veo el futuro. po¡ lo cual debemos tech^zar la¡ncnor y afirñar que el futuro existe. podemos elabo¡ar otro argumentoen Barbara respecto de la misma cueslióD:

Aquello qae se oe existe; BArEl l ruto se ue les visto pot q ieneslo uaticinan); bá

luego,El lr.,turo e:riste

2a Aquello que se r'e existe;El pasado se te (es úisto porquienes relie ren cosas pasadas);

[ 168

rAll Ar

hl

Iuego,EI posddo exisre rA

(d\ ".., Hace ya dlgún tie¡n?o qte be corrsrdtado qte desde mis ptime-ros dños he recibido como aetdadetds una cdrrtidod de opinione s

lalsas, y que lo qae be lundado sobre principios tan endeblesno podíd set si¡o dudoso e incierto,,." (Descdrtes, I Meditoción),

I)ste argumento se esquematiza fácilmente:Lo que se frndd en principios Íelsos es dudoso e incietto;Lo qre be consetuado hasta abo¡a como mi opinión se ltnda enpt¡ncípíos lalsos:

luego,Lo qtle be coisetaado bcsrd aborc como mi opini6n es dtdoso e

incietto.( omo se ve, se trata de un silogismo eo Ba¡bara.(<'\ ".., Nada tan bien distribuído como el buen sentido; en eleclo,

cdda ano piensa estar ,dn biei ptouisto de é1, que aún aquellosque es mós dilícil satist'acet en oba cosd cualq iera, no se incli-nLfi 4 deseat más qte el que tienen,.."(Discurso del Método, I palte)

l,:l argumento es ua silogismo er Barbara:Aqrello en relociín a lo ctal nadie ospiro a más está muy bíe¡disttibuído;I:,1 buen se¡tido es dlgo en ¡elación a lo cual nddie aspita a más;

Iucgo,

Iil buen sentido estó nu! bien distribuído,(l)"... Pt¿esto q e es el erirendimiento lo q*e pone dl hombte pot

encima de los setes sensibles, y le da loda ld uektojd y ¿ominiorl e sob?e ellos tiexe, seró su examen, siqai.era pot s noblezd,tlgo qae uale Ia pena empterde¡.,,"(Locke, Afl Essay Concerningllrman Undetstanding; Book l, Ch. I)Lo que debemos probar aquí es el valor de una filosofía del cono-

, rr¡ricnto. El argumento de I-ocke puede formularse así:Lo q e da dl homb¡e sa rango superiot dentro de la narrralezacs digno de ser esrudiado;l:l enlendimiento es lo q&e pone al bombre por encimd. de los se¡es

lil e, 'eadimiento es m.rterid digna de estudio.(fr) "... I entendimiento ba sido delinido antes de rnd manerd parn-

netle negdth)a: na ldc ltad de conocer no sensíble, AhoTo bien;torno no podemos tener ningund inluición inde pendiente de Ia sen-s¡bíli¿d¿, no seró el ent?n.limie to una lacaltdd int itind. pero,

lncrr dt la inttit.i¡í¡t, o hay ott¿ ¡ta¡¡cta tlt, (.onocer qte lor16e I

conceptos, Es, pot consiguiente, el conocimienlo del entendimíen-to, 4l menos el del bomb¡e, Ln conocimiento por conceptos, esdecit, no inttiriao sino disculsiuo,,." (Kanr, Crítico de la Raz6nPata, Andlírica Trdscendentdl, liho L Cap, I)Ning*xa intuíción es xo-sensible;El entendimiento es und fdc*ltad no-sensible;

luego,El ente¡tdimiento no es rna facultdd intnitiud.

Además,Todo conocimiento es o intuitiuo o disct¿rsiuo

luego,El enlendimiento es un conocirníento disc¡nsiuo,

(h\ "Despaés de lo qte hemos dicho es lácil conc hth lo qte debepensdtse de ld dialóctica que, pa.rd ?robü lc eternidad de la mate-tia, niega el comíenzo y el t'in del mundo; es d.ecir, de ld didlécthaqre niega e/ devenir, el nacimiento y el pereciniento en genetal,Exdminatemos mós adelante, a propósito del concepro de lo inlinitocüantitdriro, ld antinomid kdntidna de lo linitA¿ o i.nlinitud delm ndo en el tiempo y en el espocio, Esla shi.ple y co¡rienre did-léctica rcposa et el manrenimiento de ld oposici6n enhe el sety la nada. Eé eqaí cdmo se .lemuestrd Ia imposibilidad del comiex-zo d¿l mundo, o de lo q*e sed: Nada puede comenzar, ni lo q*eexisre ní Io qae no existe. Pt¿esto alte et(isre, no puede colrenzot,y ef, ctanta no existe, cdmo podría tener tn comienzo? Si el mun-do, / orto cos¿t ct¿alaluiera, tuúierd. ln comienzo, ese com:ienzo sehahía hticiado d.esde la nada; peto ld nada no es tn comienzo,ni bay comienzo en Ia tada, p^esto que el comienzo implicd ya,tn set, y la nada, pot su pa.tte, excluye el se¡, La nada no esmás qre nada, Siend.o así de t'ini.da la nada, la tazón, Ia causa,erc,, de Lnd. cosa, implica ünd dfírmaciín, an set, Po¡ la nisnataz6n nada paede cesat de set, pues entonces el ser contend¡íd ldn^dd; pero el set no es sino ser, y no lo conttatio de sí mismo",(Hegel, La Ciencia de la Lógica, Libro I, Capít. t, 1, Noto IV).El primer pfurafo de la cita que hemos hecho rio contiene argumenro

alguno; sólo eo el segundo se prueba algo (aunque Hegel no suscribelo que se 'prueba').

En primer lugar, uoa definición: Comenzar (aquí se introduce elcomieozo como ooción metafísica) es adquirir la existencia. Luego,no puede comenzar lo que existe, a riesgo de que queramos cont¡ade-cirdos, es decir, no ente¡dernos en absoluto. De manera que sólooos resta ur¡a alternativa: Que lo que comienza no exisre en cuantocomienza, es decir, lo que comienza comienza como nada. Ahora bien:

[ 170

Todo comienzo'imPlica' un set;La nada exclrye el set;

La nddd excluye el cornienzo,

La nada etcfuye el comienzo;Lo qt¿e comieflza, conienzd como n^¿a;

Lo qae comienza exclaye el comie¡zo, rEntes decir, que el comienzo es imposible.

64. E¡ el lenguaje cotidiano exp¡esamos el argumento silogístico en

forma muy simplificada. Ejemplos son:a) Pérez mati6 porqae cortií pescado con üerne belddd'b) Se lueror de la conlerencia por Íalta de ;nteús,c) No pol mucbo mddtugat am:anece mós tenptano'El sentido normal de estas expresiones requiere de una inte¡Pretacióncomo la siguiente:(a) El que (en ci.ertds condiciones) corie pescddo y ctemd belada, nte-

Pétez (en ,tles cordíciones) comió pescado y crcma belldd;

Es dsí qae eI bombte muí6,Es un argumento cuya forma se puede asimilar 4 Batbara.(b) Nadie dsisre 4 rkt conletencia qt¿e ¡o ticne interés;

Aquella conlerencía ca¡ecía de intetés;

Es así que aqrella conletencid no tlluo 4sistenci6lJn a¡gumento que podemos compreoder bajo Cesare.(c) El dnonecer (un becbo lísico) es ind.ependieite de mi corr¿ucrd.

Madrtgu es, pot deliniciín, ,tn ttcto de mi aoluntad'

De maaera que ,radrugar no tiene nada que üet con omanecer'l..stamos, aquí también, en la segunda figura. El modo es, riuevameo-

te, Cesare,

65. En los ejeúplos que hemos dado de argumentos silogísticos se han

l)uesto de manifiesto diversas fo¡mas en que estos, de hecho, se es-t¿rblecen. Vamos a refe¡irnos brevemente a ellas.

(a\ Enlimema.- Se da este nomb¡e a un ¿ugumento silogístico en(lue no se expresa alguna de las cres proposiciones que comPonen

cl silogismo: la premisa m^yor, l^ menor, o la conclusión. Algunoscríticos de Descartes sostuvieron que su famoso principio "p-ienso,luego, exisco" era meramente un entimema en el cual iba tácita lanr^yor, algo así como "todo lo que piensa existe".

171 l

CAmEs

trEs

CEIA

Eo el argumento "Iodos los hombres son raciorrales, por lo tanto

lo son también fos araucanos" Do se formula la me¡or.

Los oradores suelen usar el argumento que lleva tácita la cooclu-

sión, seguramente con el ProPósito de atraer al que escucha hacién_

dolo participar activamente en sus Pensamientos. Por ejemplo:

El eobietno se deja guiat ldn s6lo pot los ptincipios que benefí'

cian a la clase X;Pero, ¡nosotros no pertenecemos a la cldse X!

Incluso, ocurre frecuentemente que Iro Pase de formular la mayot; y

su co¡fianza muestta que silogizamos casi co¡ la misma seguridad

con que caminamos.(b) Frosilogismo y episilogismo.- Estas son oociones telativas'

Sea el e jemplo:I.os au imale s son sensíbles;f ,os bombres son animales;

Los hombtes son sensibles.

Los seÍes sensibles son inirables;Los hombtes son seisibles:

Los bombtes son hritables.

El primer silogismo,en cuanto empleado para probar una premisa del

segundo' es un Prosiiogismo de éste El segundo silogismo emplea

como premisa la conclusión del primero; es' en relación al primero,

un ePisilogismo.(c) Epiqaerema'- Cuando en un argumento que consta de dos silo_

gismos, en la relación pro y episilogismo, el prosilogismo se expresa

como entimema, el argumento en su totalidad se denomina epiquerema'

Si en el primer silogismo de (b) eliminarnos la menor y combinamos

con el segundo. tendremos un epiquerema.(d) ,lorlres llaman los lógicos a un argumento en primeta figurt

que contiene, en verdad, una serie de silogismos en los cuales eli-minamos las conclusiones intermedias. La forma de un argumento

en sori¡es es:A es BB es C

(A es C)C e s 1)

(A es D)D es E(A es E)f es F

I ttt

La fo¡ma de este argumento es hecha obvia mediante el intercambio dela menor y la mayor. Erpresemos el argumento sin los paréntesis:

AesBB es C

CesDDesEE es F

Vemos que la relación es algo así como un encapsulamienro de lostérminos A,B,C,D,E,F, Es así que una premisa cualquiera es 6ayorrespecto de la que la antecede y úenor en ¡elación a la siguieote.

Es fácil ve¡ que las reglas de este atgumento son las siguientes:(1) Sólo la primera premisa puede ser particular. (2) Sólo la últi¡¡apremisa puede ser negaciva.

Supongamos que fuera tegativa "C es D". Mi co¡clusión será ",4no es D",'pero debo detene¡me en ella, pues nada puedo obtener paraA mediante D, sea que afirme o niegue de él otro término cualquiera.Asi, resulta también que ninguna premisa que contenga u¡¡ gérmino

medio como sujeto puede ser particulal, puesto que el término mediodebe ir disuibuído por lo menos una yez. Y esto reduce la posibilidadde ser particular sólo a la primera premisa.

Joseph cita como ejemplo de sorites el argumento que hay eo laEpistola de Sao Pablo a los Romanos:

"... Potqre o los qae anres conoció, ,ambiér, ptedestinó paru qtefresen hecbos conlormes a la inagen de sx Hijo, paru qte él seael Prinogéfiito enrre tnt cbos betmanos; y a tros q*e predesti¿í, aestos tornbiér, lldm6; y a los qae llam6 a esros tambi¿n iustificí;y a los qre jttstificó, a cstos tanbién glotific6," (Ron. VIII,29-j0).ie) Polisilogismo.- Se denomina de esta manera una cadena de ar-

gumertos silogísticos en que uno cualquiera p¡ueba la ptemisa delsiguiente. E jemplo:

El trióngulo es polígonoEl polígono es tnd slpett'ícieEI tt.iángtlo es ana sapetliciel.a superlicie es iiexistenteF:l lriángalo es inexisteireLas cosas teales no soe inexislealesf¡,1 lriíngalo no es nd cos¡t rettl,Algrnos obietos geométticos sott ttiángulosAlgnnos obietos gaomélricos ¡o sonreoles.

t71 I

66. En ouestra exposición anterior del silogismo categórico se echa-rá de menos la presentación implicacional de las leyes silogísticasdel modo como lo hicimos al úatar de las inferencias inmediatas.No procedimos así eo primera instancia por tratarse de una teoría máscomplicada y no ser ¡ecomendable eo este caso comeozar distancián-donos de los modos t¡adicionales de exposición. En este lugar, sinembargo, algo podemos hacer para una rep¡esentación de la lógicasilogística con ayuda de la moderna simbología y de las estructurasproposicionales examinadas en los dos primeros capítulos y enla primera parte de éste-

(1) Empezando por los modos válidos del silogisaro y teniendoPresente que han sido pteseorados como infe¡encias (premisas y con-clusión desligada de sus premisas), podemos inmediatamente asigna¡a cada uno el principio implicaciooal corre spondiente.(a) Barbara:

Todos los Z son YTodos los X stm 7

Todos los X son YAteniéndonos a la simbología adoptada más arriba, el modo Barbarase anota:

A(zY )A(XZ)

A(xY )y puesto que las premisas vao conjugadas, la ley implicacional enque se funda Barbara se anota:

A(zy).A(xz))A(xy)(b) Celarent:

Ningín Z es YTodos los X so¡t Z

Ningún X es YLa ley implicaciooal correspondienre es:

E(zY ).A(xz))E (xY )Ciertamente, es muy fácil indicar la tey implicacional correspondientea cada uno de los modos, Se pondrá inmediatamente:

Dariit A(ZY ) .UXZ) )I(XY )Fetio: E(ZY ) .I(XZ))O(XY )Cesarc: E (YZ).A(XZ))E(XY )Camestres: A(YZ).E(XZ) )E(XY )Fesú¡ot E (YZ ),I(XZ))O(XY )Barokot A(YZ).O(XZ))O(Xy ); erc.(2) Consideremos ahora los procesos de reducción ostensiva o

I 174

ditec¡a a la primera figura que expusimos en el parágrafo 56. Estaespecie de lrormalizacií¡ servirá para ir percibiendo por adelanrado laposibilidad de un cdlcala siloEístico iospirado en la elaboraciónaristotélica misma y que preseotaremos en el capítulo siguiente. Im-porta para ello atende¡ al juego de las partes d rúo de la reducciónformalizada.

(a) Sabemos que la implicación - Cesare es:E(Y Z) . A(xZ))E(xY )Para probar esta implicación partimos de dos leyes: La implicación-

Celarent, agui saryesta, y la equivaleocia ',8(Zy)=E(yZ)', prob^d,^en 48, (2)- E¡ tales condiciones, se tiene:

(b) La implicación-Camestres es:A(YZ) .E(xz))E(xy )

Probamos esta implicación procediendo como en el caso anterior; nosaPoyamos esta vez en la implicación-Cela¡ent y las leyes ,,8(XZ)

=E(ZX)", "pS=qp"; asimismo empleamos los principios de reempla-zo-equivalencial y t¡ansitividad-implicacional que exp¡esan las reglas&. y Rr, respectivamente. Se tiene:

E (zY ) .A(xz DE (xY )A(XZ).E(ZY ))E (ZY ) -A(xZ)A(xz ) .E (Y z DA(xz) .E (zY )

A(xz).E (Yz DE (xY)lin la implicación así obtenida susriruimos(r) A(YZ),E(XZ))E(Yx)Pero, además:(2\ E (YX) )E(Xy )(lombinando (1) y (2) mediante R, se obtiene la implicación_Camestres:

A(YZ).E(XZ) )E(XY )lc) La implicacióir-Festino es:tt(Yz ).t(xz))o(xY )

l)ara probar esta implicacióo nos damos la im¡,lic ac ión- Ferio. proce-rlicndo como en los casos anteriores, aootamos:

E(zy ) .A(xz)>E(xY)E (Y z ). A(X z )) F. (zY ). A(xz )

E(v z ) . A(xz ))E (xY )

B(ZY ).r(xz ))o(xY )t i(Y z ). t(xz DF. (zY ).r(xz)

(implicación-Celareot)(R¡ : 48, (2), y)

(R")

(impl.-Celarent)(T; Pq)qP) ,(R, : E(YZ)=E(ZY))

(R")

Í /X; x /Y ). P.esúta

(Implic-Fer io)(Rr I E(Yz)=E(zY) )

ti(Y z ).r(xz))o(xY ) (R,)No scrá difícil frocc(lcr (lc modo semejante en Ios casos restantes dercrlr¡cci<in ostcnsiv:r. f-o quc irnporta observar aqui es la conexióncntrc lns l)nrtcs (luc intcrvicnt.n cn los ¡.rroccsos expuestos y ver que

175 I

es posible urr cálculo sitogístico o' mejor quizás, un cálculo de ia

proposición categótica. Adelantando sobre los elementos de este

cálculo es cla¡o que, en primer lugar, tendríamos que colocar todos

los principios, teo¡emas y reglas del cálculo proposicional; además,

habrá principios específicos de la lógica de la proposición categóri-

ca. Peto, hablaremos de esto más adelante.(3) Podemos, asimismo' en este lugar fotmalizar las pruebas indi-

reclas de Baroko y Boka¡do. Para ello, probamos dos teoremas del

cálculo proposicional:"f s; Pq)r.).P-r)-q-Pv-qrt. )'' ltrt-q-@qht)'-(P-rh-q (R¡: T,o -T',, etc')

Pq)t.).Pr)-q (D, a)"l # Pq)r.).'tq)-P- P't - q\r ') ,t-¿- qr 'P-Qqh¡ ':.- (-tqh-P (Rr: Tro -T,,, etc')pq)t).-tq')-P (D, a)

Empleamos, asimismo, la equivalencia probada al tratar de la opo-

sicióo contradictoria:-A(xY )=o(xv )

FioaLnente, suPooemos la implicación-Barbara:A(zY ) .A(Xz ))A(xv ).(a) P¡ueba de la implicación-Baroko, es decir, de:

A(Yz) .o(xz))o(xv )

Sustituyendo et "l r^: A(ZY)/p; A(xZ)/q; A(XY)/¡, se cie¡e:A(ZY ) A(XZ D A(xY D.A(ZY )- A(xY ))-A(xz)

Y puesto que el antecedente de esta irnplicación es la implicación-Barbara podemos desligar el consecuente:

A(zY )- A(xY ))- A(Xz )A(ZY )o(xY Do(XZ) (-A=o)Aftz)o(xzDaqY) (Y /z; z/Y)

La última implicación es la implicacióo-Batoko(b) Prueba de la implicación-Bokardo, es decir, de

o(zv ) A(zx))o(xY )

Hacienrlo en T." la sustitución: A(zY)/p; A(xz)/q; A(xY) /r, re-

sulta:A(zY ) A(xz )) A(xY ).).-A(xY ) A(xz))-A(zv )

Desligaodo el consecuente:

-A(xY ) A(Xz))- A(zY )Aplicando la ley de oposición conradictoria a ambas negaciones:

o(xY ) A(xz))o(zY )Finalmente, para obtener la implicación-Roka¡clo con los signos enr_

¡leados en srt fotm.,lació.t c¿¡ni¡nic:r, hacc¡nos tas suscituciones Z/X;X /Z:

o(zr' ) A(zx ) 'o(\\')I r76

IV. CÁLCULO DE LA PROPOSICION CATEGORICA

tí7. En el patágrafo 66. elaboramos uoa aproximación a lo que seriar¡n cálculo de la proposición categórica. Vimos allí que es posiblel)rcsentar la "¡educción a la primera figura", o prueba de validezrlc los silogismos de las ces últimas figuras, en fo¡ma de rigurosarlcclucción. Empero, esta presertación no acla¡ab¿ gran cosa sob¡elos principios empleados; aquí y allá romábarnos a tono con el casolos principios exigidos; y esta mera selección de ellos sugería yauD sentido de a¡birrariedad y pura acomodación. Ence los principiosrlr¡c empleamos había teoremas del cálculo proposicional, leyes de laoposición y la conversión de la proposición categórica; esraban ram-lrién Ias reglas de inferencia y susritución; finalmente, supusimosvriliclos tres modos de la primera figura, sólo exceptuamos Darii.

Todas estas acomodaciodes podrán hacerse también, pero ahoraordenada y rigurosamente, en el caso de una presentación estricta delrr lógica de la proposición categórica en forma de cálculo. A talcfccto debemos servirnos de algunos principios del cálculo proposi-¡ ional; debemos, para simplificar sobre esto, supone¡ rodo el cálculol!r()l)osi ciooal. Asimisuro, es necesatio proponer una regla de inferen-lia y otta de sustitución que permitan efectuar las transformacionesy scparaciones adecuadas. Finalmente, se requieren términos oo-de-firrirlos, definiciones y axiomas específicos de este cálculo y querirv¡n cómodamente a su p¡esentación. Sob¡e todo esto, valen lasnrisn¡as consideraciones fo¡males que hicirnos al exponer el cátculol,r¡rfo s icional, en parricular, sobre la co¡sisreacia, iodepeadencia yr¡rrur¿rción axiomácica.

Nos proponemos elabora¡ en orden de fundamentación sucesivarrcs cálculos; esto quiere decit, que uno cualquiera (agreg:mos

'¡,lcn¡¡is a l:¡ serie cl cálculo proposicional) supone y emplea los quelc s¡rn antcrit¡rcs. l-os cálculos que vamos a desarrollar aquí son elr¡l¡r¡sicional, el convcrsiar¡al y el silogistico.

171 l

68. Cálculo oposicional. En primer lugar, anotamos los términos nodefioidos:

(a) Términos universales o partes de la proposición categóricatx, v, 2,...

(b) Proposiciones categóricas de los tipos A e I: A(X,Y); I(X,Y)A(x,z ),...

En segundo lugar, ponemos las definiciones de las proposicionescategóricas de los tipos E y O, Tales definiciooes se expresan conayuda de los términos no-definidos anrerio¡es y de la negación.

Dd.- E(xY) =-I(xY )Db.- o(xY ) =-A(xv )

Es claro que la razóo que tenemos'para ponet estas defioiciones esla ya averiguada relación equivalencial eritre las proposiciones cate-g6ricas contradicto¡ias, es decir, las leyes establecidas en el capi-tulo anterior:

E (xY )=-t(xY )O(XY )=- A(xY )

Para establecer las leyes de la oposición fo¡mulamos sólo un axioma,es decir, hacemos uso axiomático de sólo una ley oposicional: laley de superordioación de l.

Aa.- A(xY ))I(xY )No se requieren aquí leyes específicas de inferencia ni de sustitución.

"f ,: A(XY))-o(XY):o(xY ))o(xY ) (p)p)o(xY ))-A(xv ) (Db)A(XY ))-O(XY ) (Transposición)T; E(XY))-I(xY):-I(xY))-I(xY) (p)p)E(xY))-\xY) (Da)T 3t -A(xY ))o(xY ):o(xY ))o(xy ) (p)p)-A(xY ))o(xY ) (Db)^ri -E(xY))I(xY ):-t(xY))-r(xY ) (p)p)-I(xY ))E(xY ) (Da)

-E(XY))I(XY) (Transposición)I-as cuatro leyes restantes de cootradicción se obtienen de Tr-T. portransposición. Probemos ahora la ley de superordinación de O.

Tst E (XY ))o(XY )lA(Xv ))r(xY ) (Aa)-UXY))-A(XY) (Transposición )E(xY))o(xY) (Da, Db)

I tz¡t

lln cuanto a las leyes de subordinación se obtieoen mediante tlans-¡rosición de Aa y T":

Tol. -I(XY ))-A(XY )^t

"t - o(xy ))-E(xY )I)ara terminat con este pequeño cálculo oposicional faltan las leyes,lc contra¡iedad y subcootrariedad.

^Í

": A(xY ))-E(XY ):

A(xY ))t(xY ) (Aa)I(XY))-E(XY) (T,: transposición)A(xY ))-E(xY ) (R")^f

": E(xY ))-A(XY ):

^(xY ))-E(xY ) (T,)

L(XY ))-A(XY) (Transposición)T ,o : -I(XY ))o(XY ):-I(XY ))E(XY ) (Transposición)n6Y ))o(xY ) (T")-t(x't ))o(xY ) (R,)'r' ttl. -o(xY ))I(xY ):-r(xr'))o(xY ) (T. )-O(XY))I(XY) (Transposición)

69- Cálculo conversiorial, Como dijimos, se supone aquí todo lo an-rttior, es decir, el cálculo proposicional y el cálculo oposicional.Sc agregan, como principios específicos de este cálculo un axiomay una regla de sustitución. Esta última, expresa que uD término cual-,¡rricra puede ser sustituído por otro cualquiera siempre gue la ope¡a-r-ii¡n se efectúe en todos los lugares en que se encuentra el sustituí -,lrr y que el sustiruyente sea siempre el mismo. Indicamos la opera-ción-sustitución señalando primero el susrituyente y luego el susticuí-,lrr; por ejemplo, Y /X iodica que X se sustiruye po¡ y, Er cuanto,rl ¡xioma empleado es el priocipio de conversión de E..

Aa: E(XY))F.(YX)N¡rs ceñimos a la definición de conve¡sión dada en el capitulo anre-rior, cs decir, nombramos conve¡sa de una proposición a otra quer ortr¡rcndc sus términos en orden inverso y que posee la misma cuali-,1,¡¡ l.

'1 ,I Ii(YX) )E(XY):ti(xY ) )tt(YX) (Aa)ti(Yx) )tj(xY) (Y /x; x/Y)'t ,: t(x't ) ¡t(r'x )'It(xr') )t|(Y X) ( Aa)-rl.\ l') '-rlY,\ ) (L)¡¡,68)

179 I

7O- Pata la elabo¡ación del cálculo silogístico suponémos todo loante¡ior elaborado como cálculo y agregamos a modo de axiomas laimplicación-Barbara y la implicación-Cela¡eot. procediendo de esramanera (que con¡iene cie¡tas imperfecciones de condensación) respe-tamos en lo principal el plan seguido por Aristóteles e¡los prime¡osAnalíticos y obviamos ciertas exigeocias que un¿! elaboracién máspretenciosa haria a la fo¡ma ordinaria de entender la proposicióncategórica y su tratamieoto escolar..Formulemos, pues, los dos axiomas siguientes:

t(Yx))r(xY )r(xY))r(Yx)"f

": I(YX))I(xY ): (Í 2,: Y /X;

"t,z A(xY ))I(YX):A(xY ))r(xY )r(xY ))rNx )A(xY ))r(yx )

Aa|. A(zY ). A(xz))A(Xy )AÚ E (ZY ),A(XZ DE (XY )

Ttt E (Yz) A(xz))E(Xy )p)q.).pt)qtE (Y z )) E (zY )). E (Y z )A (xZ ))E (ZY )A(xz)E(Yz))E(zY )

E(Yz )A(xz ))E (zY )A(Xz)E(ZY )A.(xz))E(xy )E(YZ)A(xz) )E(xY )

T.r A(Y z)E (xz ))E(XY )P)q.),t p)qtE(Yz ))E(zY )).A(xz)E (Yz))E(ZY )A(XZ)E(Yz.))E(zY )A(x7,)E(YZ) )E (Zy )A(XZ)E(zY )A(xz))E (xY )E (XY ))E(YX)

(Transposición)(x/Y:Y/x)

x /Y)

(Aa, 68)(Tr)(R")

A partir de ellos obtenemos las leyes implicacionales en que se fun_dan los varios modos válidos del silogismo. por razones de presenta-ción de esta teoría, alteramos el oadeo en que se enuncian ordinaria_

(Irnplicación-Barbara)(Implicación-Celarent)

(Implicación-Cesare ):(T.,)

¡e $z) ¡ p. a Ev ) ¡ o; A(xz ) /r)(Conve¡sión de E)

(Separación)

(Celarent)

(Implicación-Camesne s):(T,,; R. : T"-T")

(E(Yz)/p; E(zY ) /q; A(xz)1r¡(Conversión de E)/Separación)

(Celarent)(Conversión de E)

' Sin embargo - debo adelantarme a ¡econoce¡lo - la formalización dc ta lósi_ca silosistica que aqrrí se of¡cce se dcbc casi enreramentelr J¡n Lukssicrtr,cz.

^unqüe su a¡8urn.nro histórico no nc par.cc .n modo ¡rtsuno ¡lnusibtc,cscoy obl¡¡¡nd; n {pl¡u(tir su ¡¡t¡rirnbtc ctrtxx¡ci<in

",,,,.rn¡i;;,.,, ¿,. l" "¡1"-¡í.ricn nrisr¡itcli¡ ".tr ru ol¡.tr

^tist,Ih.,s .tyItqiisrir.,

I ltrtl

A(xz)E(YZ))E(Yx)A(YZ)E(xZ))E$v)"t.: A(ZY )I(XZ))I(XY )Pq)r.).P-r)-q

r(Yz )-E(xY ))-A(xz )tt.(Yz)r(xY ))o(xz)

|(7.Y ) r(xz))o(xY )'t'': E(YZ) I(xZ))o(xY )

l,)q.),pt)qrB (v z. ) ) E (zY ).). E (Y Z l(xz ))u(zY )t(xz)tiNz))E(zY )

(R")(Y/x; x/y)(Implicación-Darii) :

(T'.)

(Eqúv.t "-E(XY )=l(XY )"y,'-A(Xz)=o(xzy')(z/Y;Y/Z)

(Implicación-Festino):(r",)

(E (Y z /p; E(zY ) / q ; t(xz) h)

(68, Db)(Y /z; z /Y)

(Implicación-Darapti):(T.,; R.: T"-T")

A (v z )E (xz )) E (xY ). ). A(Y z )- E (xY ))- E (x z )A(vz)E(xz))E(xY ) (Camestres, T,)

A(vz)-E(xY ))-E(XZ)ANz)I(xY ))t(xz) (68, Da)A(zY )I(xzDt(xY ) (Y /z; z /Y )

Ta, E (zY ) I(Xz ))o(Xz) (Implicación-Fetio):

Pq)t.).p-r)-q (Tr,)E (yz)A(xz ))E(xY ).).E(yz)-E (xy ))-A(xz) (E(vz)/p; A(Xz /q'E(XY)/t)ti(Yz)A(xZ) )E(Xv ) (Implic-Cesare)

ri(Y z I(xz))E(zY I(xz)r(7.v )r(xz))o(xY ) (Implic-Ferio)

ri(Y zl(xz))o(xY ) (R,)

't'": A(Yz) o(XZ))o(xY ) (Implic ación-Baroko):

I'q Y-).pl)-q (T"r)A(zY )A(xz))A(xY ).). A(Zy )-A(XY ), -A(xz) ¡A(zY)/p; ¿(Xz)/q; A(xY)/r.

A(zY )A(xz))A(xY ) (Aa)

A(zY )-A(xY ))-A(xz )

^(zY ) o(xy ))o(xz)

/t(Y Z) O(XZ))O(XY )

t .,: A(ZY ) A(ZX ) ¡I(XY )

ls1 I

A(XZ ))I(ZX ),). A(XY )A(XZ DA(XY TEX )A(xz, ))t(zx )

A(xv )A(xz))A(xY )t(zx )A(XY TGX )' (ZY )

A(xY )A(xz))r(zy )A(zY )A(zx)t(xY )

T ,. I(ZY )A(zxDKXy )P)q,).pt>qI(zY ))r(y z ).).r(zy )A(zx ))A(zxI(y z)I(ZY ))I(YZ)

r(zv )A(zx DA(zx)r(Y z)A,(Zx )r (Y z ))KYx)I(zY )A(zx))r(yx)r (Yx ))r(xY )

I(ZY )A(Zx ))t(xy )T

": A(zY IQxDIxy )

Ps )cPA(zY )r(zx))r (zx)A(zY )r(zx )A(zY ))r (Yx)I(YX ))I(XY )

A(zYIAx)r(xY)"lN I F.(7l)A(7xDo(xy)

P)q.)./p)tqA(zx))r(xzD. E (zy )A(zx D E (zy I(x7. )A(zx))KXZ)

E(zY )A(Zx))F.(zY I62)E(zv )r(xz))o(xY )E(ZY )A(zxDo(xY )

"1,,t o(zy )A(zxDo(xy )Pq)t.). -t q)-pA(zY )A(xzDA(xY D.-A(xY )A(xz))-A(zY )

A(zY )A(xz ))A(xY )

-A(xY)A(Xn>AGY)o(xy )A(xz))o(zY)o(7-Y )A(ZX) )o(xY)

I tsz

4(xz) /p;r(zx) /q.A(xY )b)(69; To: Z/Y)

(fi x/z; z /x)(R")(Z /X: x /Z)( Implicación-Disamis):(T",; R ¡: T;T)0 QY ) / p ;I (Y z ) / q ;A (zx )1r)(Conversión de I)

('f":X/Y;Y/x)(n')(Conversión de l)

(n')(Implicación-Datisi):(T": cálc. proposic.)(A(zy )/p; r(zx)/q)(T at x /Y; Y /X)(Conversión de I)

(R")

(Implicación- Felapron):(T"r; R.: T"-T")(A(ZX)/p; I(Xz)/q; E(7.y )h)(Conversión de ,4)

(Implicación-Ferio)

(n')

(Implicación-Bokardo):(r". )

(A(zy )/p; A(xz) /q;A(xY )h)(Aa)

(68, Db)(z /x: x /z)

'f,2: E(ZY )t(zx)) o(XY ) (Implicación_ Ferison):| ) q.).|p)rqt (zx ))r(x7,)).E(zy )r(zxDE (zy I6z) (Gx v p; r$zy q; E (zy )/,)I(ZX))I(XZ) (Conve¡sión de t)E(ZY I(ZX))E(ZY )r(XZ)Il (Zy )I(XZ))O(XY ) (Implicación- Ferio )

ti(zY ) r(zx))o(xy) (R")'1 ,,. A(yZ)A(ZXDI(XY) (Implicación_Bramanrip):A(y z )A(zx DA(zx)A(y z) @Dsp)A(ZX)A(YZ))A(Yr) (Aa: X /Y; Y /X)

^(YX))I(XY) (conversión de A)

^(YZ )E(zx DE (zx)A(Y Z) (pQsp)It(Zx)AAz))E(Yx) (A* x /y: y /X)

^ (Y z ) A(zxDt(xY )

't,.: A(YZ)E (zx))E(xy )

ri(Yx))E(xy )

r'(r'z )A(7.x ))o(xY )

t ,,: ri (y zI(7x ))o(xy )/' q. ).tP )rqt t 7 x ) )t (xz ). -. rj (y z l qx )a\E (y z )r (xz )rux ) )r(xz)

t i'z )t(zx) )rÍz)r(xz)t (r'Z )l(xZ) )o(xt, )

(R,)

(Implicacióo-Camenes):

(Coaytrsión de E(YX) )

(R")

(Implic ación- Fre sis on ) I

Conve¡sión de I)

(Inplicación-Fesrino)

(R?)1fl1 I

^(Yz )E(Zx))E(xY ) (n")

'1 ,,: I (Y z)A(Zx))I(xy ) (Implicación_Dimaris):I(yz )A(zx))A(zx)r(y z) (púqp)

^(ZX)I(YZ ))I(yX) ¡-I

"t X/y; y/X)

t(Yx))l(xY ) (Conversióo de I)t (YZ)A(7.X))I(XY ) (R?)

't t6. E (v7, )A(ZX))O(XY ) (Implicación-Fesapo):

l) )q.),tp)rq/t(zx ) \r (xz ),). E (y 7, )A(z.X ))E (y z)Kxz) (A(Zx )/p ; I(xz yq; E (y z )A(zx))I(Xz) (Conversi6n de .A)

-

It (Y z )At7,x)) E(y ZI$Z),,ra..rrOrrtor*n (Impticación-Fe stioo)

r (r'7 )t(zx ) '(r(xt')

De esta ma¡e¡a, hemos probado, a manera de cálculo, las leyesimplicacionales silogísticas cotrespondientes a todos los modos váli-dos del silogisoo; empleamos como principios especi ficos solaoentelas leyes implicacionales que sustentari las iofe¡encias en Ba¡ba¡ay Celatent. Si convenimos en adscribir tales principios de Barbara yCelarent, respectivamente, a las partes positiva y neg tivd del D ktr.mde Omni et Nzllo, ouestra presentación del cÁlculo silogístico coinci-de con su presentación radicional, que lo sustenta en tal principio.

I rs4

Y. ARGUMENTOS CONDICIONALES

71. En el capítulo I, hemos t¡atado el condicional y la disyuncióncomo cooectivas interproposicionales. En lógica t¡adicional se em-

pleao ambas cooectivas con sentido formal y se opoierL las ptoposi-

ciones condiciotales que ellas forma¡ a la proposición categórica.AI coodicional enreodido forrnalme¡te se le denomina ptoposici6nhipotética; y a la disyunción, asimismo formal, se da el nombre de

!,toposici6n disytmtiad, La raz6¡ de es¡a distinción entre proposicio-nes categóricas y proposiciones condicionales reside en la relación(n que una proposicióo está con ot¡a proposición. En términos breves,se trata de lo siguiente: La ve¡dad - o falsedad - de la proposicióncategórica apalece como un valor absoluro, es decir, dicha proposiciónse emplea aislada, prescindiendo de sus condiciones. Eiemplos son:"Todos los homb¡es soo bípedos"; "Algunos triángulos son plaoos".I)or el contrario, la proposición hipotética - y tambiéo la disyuntiva-constituye un complejo condicional; se rrata de un todo de parres

¡rroposicionales, de la afirmación de cierta dependencia orientada(¡,roposición hipotética) o mutua (proposición disyuntiva) en que secncuentra¡ dichas partes proposicionales- Ejernplos son: "Si algunostriángulos son planos, entonces, algunas figuras geométticas son

¡,llnas"; "O algunos triángulos son planos o determinados principiosrl< la geometría euclideana son falsos".

Precisando, entonces: Desde el punto de vista de la relacióo hayl)r('posiciones incondicionadas y p¡oposiciones condicionadas. Las|rimeras son nombradas proposiciones categóricas. En cuanto a lasslguodas, se dividen ateadiendo a la fo¡ma del condicionamienro.( rn¡do la verdad de una proposición depende de la verdad de otra,,rl complejo que afirma explicitamente ral condicionamiento se le,k,signa proposición hipotética. Cuaodo, por el contrario, el complejo¡ ¡'r¡licional es de recíproca exclusión, en el seilrido de que ambas

¡'rrrtcs condicionales excluyen la coincidencia de valor, se

¡'ro¡usición rlisyuntiva. A ambas especies se da también, r'nrr'in dc fKrlrosiciotcs (onlleias.

le nombra

el nomb¡e

185 l

Es importante observar que las proposiciones condicionales sonesencialmente afi¡mativas. La negación alplic^da

^ una ptoposiciónhipotética disuelve el complejo condicional que ésta .*i..ro, y nohay ya proposición hipotética ninguna, Lo mismo vale en el caso dela proposición disyuntiva. Las diferencias de la cualidad - afirmacióny negación - sólo afectan, entonces, a las pa¡tes proposicionalesde la proposición compleja.

En la presentación tradicional de estas proposiciones complejas,se expresan Ias partes proposiciooales eo forma analizada; se suponeque las pa¡res proposicionales son de la forma su;eto_p.áicado. f)eesta manera, resultas las dos formas siguientes:

(a) Proposición hipotética: Si X es y, Z es U(b) Proposición disyuntiva: X es y o Z es IJ

Es comúo encootra¡ en los manuales las fotmas:(ar)SiXesy,XesU(b')XesYoXesU

o, todavía más extractadas:(a") Si x es y, es U(!rr)XesyoU

Sio embargo, es evidente que cuanto se diga de las formas (a) y (b)vale de las otras; pbrque éstas últimas r.J.,lt"r, d. ("1 y i¡) ." fo.casos en que los sujetos de ambas cláusulas son idénticos. En lo quesigue, nos atendre¡¡os a las formas más genetales.

72. A los argumentos condicionales cuyo principio consiste en uoaproposición hipotética suele darse el nomb¡e de silogismo bipot¿tico,Aunque tales argumenros difieren todo lo concebible a-" to qo.'o.ain"_

:::"jj: :: enriende por silogismo (y que estudiamo. .;" u,.a"l,c¡eDemos reconocer que la definición aristorélic¿ de ,,silogismo,,

quese encuenrr¿ en prime¡os Analíticos permire aqut ,a de"nominacióndel argumento hipotético. Igual consideración vale i)ara el atqumentoorsyunt¡vo, que suele designarse silogisno disyaai)o,

Los argumentos hipotéticos .le..nt.l.. "á.r.i",.r, eri dos premi-sas: la ¡mayo¡', o priocipio del argun¡enro, es una proposición hipoté-tica: la ¡¡¿¡6¡',

o razón del a¡gumento, es una proposición categóricaen que se afirúa el anrecedente de la .mayor, o.. ni"g" "ulon."_

!i."jll;Il'"t.,, de esta manera dos fo¡mas ctel a¡gumenr; r,;p*;ri."

(a)SiXesY,ZesIlXesY

(b)SiXesY,ZcsIlZ¡oesL1I ls6

La forma (a) recibe el nombre de modxs ponens y asume el aspecroconstructivo del argumerito hipotético. La fo¡ma (b), que representacl aspecto destructiyo del argumento hipotético, recibe el .rornb.. d"nodts tollens, Cuál sea la conclusión en ambos

"a"o., ." .,rarrióocvidente: La conclusión a pútit de las premisas (a\ es ..2 es Il,,:rn cambio, de las premisas (b) resulta ,,X oo es y,,.

- El sentido de una proposición hipotética determioa perfecramente

las condiciones en que puede argumenrarse con ella. para ir delnocecedente al consecuente tanro el punto de partida (premisa menor)como el de arribo (conclusión) consisten en proposi.ion.s categóricas¡rfi¡mativas. En cambio, pa.a ir desde

"l "oo"."o.nt" ul urrc."ld"nt.,ello no es posible sino oegando el consecuente (premisa ¡¡s¡q¡¡,rle lo que resulta la negación del antecedente (conclusión). Todootro inteoto de a¡gumenta¡ a parti. de una proposición hipotitica esf¡rlacioso. Falacia del anrecederrre es aquella que se produce cuandol;r negación del antecedente de una proposición hipotética se consi_,lcra, indebidamente, una razón para negar el consecuente. F4l4ci¿de-l consecuenle, en cambio, es la que resulta cuando la afi¡mación¡lcl

,c.onsecuenre de una proposición hipotética ,e torn^, ta-bié.,indebidam:nte, como una ¡azóo para afirmar el anrccedente.liienplos de a.gu¡¡entos Lipotét.icos simples son:( l) llodrs ponens:

Si Id tierta es tedonda, lds opariencias exgañan;I-d tiertd es tedondc;_-''--Lds dpd?iencios engdñorr,

( )) Modas tollens:Si la tietd es plana, las dpariencias no e*gañatz;Las apa¡ie¿cias engañan;

La tieftd no es pla¡o.I os efemplos (1) y (2) pueden co¡fronrarse con los argumentos fala-¡ :osos siguientes:I l') .9i la tiena es rcdonda, las opdriencids engañatz;

Ld tieTta,to es ¡edonda;

l)') Si Id tierrd es pland., lds dpariencias no engañan;, ::: P", *" r t":::::S:u.",La liefto es pland.

I ¡ts apariettcias ,ro er.g,rñarr.

Nrr cc ¡¿6."^. o extenderse sob¡e el análisisl,rrnos ya que la destrucción del antececlenterrentc ¿l s6¡5ss¡ente; y qüe la posición del

de estas falacias. Sa-no destruye necesaria-coosecuente nada úae

187 I

de necesario para el antecedente. Por 1o tanto ni (1') ni (2') sonargumeotos válidos. Todo lo que irnporra señalar para cerrar el pasoal argumento falacioso se circuoscribe eíteramerite dentro del sentidode la proposicióo hipotérica, y puede ponerse así: La proposiciónhipotética dice que el antecedente es una razón para el consecuente,pero oo dice que sea la única; y dice que el antecedeDte es unarazó¡ para el consecuente, ¡o que este último lo sea para eI primero.

Refirámonos, finalmente, a una fo¡ma importaote de argumentohipotético que se funda en la propiedad rransitiva de la relación hipo-tética. La forma más elemental de esta especie es la siguierire:

SiXesY,ZesU,.Si Z es U, V es ll;Si X es Y, V es l/

No es necesario insisti¡ sobre esta escructura argumental que tantohemos empleado en los capítulos anteriores, ni sobre otras de familiaanfibia como:(a) Si X es Y, Z es ll;

Si Z es U, V es ll;X es Y,'

V es lV

(b)SiXesY,ZesU;Si Z es U, I/ es ll¡,'V no es I{,'

X no es Y, etc.

73. El argumenro disyuotivo elemeoral se compone de una proposicióndisyuntiva que representa el principio o premisa'mayor, del argumen-to; y una proposición categórica - la taz6¡ o premisa .menor,-que

consiste eo la negación o afirmación de una de las cláusulas de laptemisa 'mayor'. Aqui, hay a¡gumeoto eo todos los casos que puedansuponerse; porque el sentido de una disyunción así lo implica. Si seafirma u¡a de ambas cláusulas debe rechazarse la otra; y conversa-mente, si se rechaza una cualquiera de las cláusulas debe afi¡marsela otra. Las dos formas elementales del argumento disyuntivo son:(a\ Modas ponendo tollens:

X es Y o Z es IJ:X es Y,.

ZroesU.

I 1sB

b) liod6 tollendo ponet¿s IXesYoZesU:X no es Y,'

Z es A.A estas dos formas se agregan offas dos que no es oecesario destaca¡Puesto que resultaq de iovertir el o¡den de la premisa mayor, lo cualcs posrble por la conmutatividad de la disvunción.

Ejemplos de ambas formas del .rgurinto disyunt¡vo son los si-guientes.(l) ltlodts ponendo toll,ens:

O lo uirtüd exisre o los lilísolos mienten;La !i/t d existe;

I-os lil6solos no mietuten,

(2) Modas tolletdo ponens:O eI bomb¡e es ahttoso o to¿o esrí l)ern¿tido;El bombre no es aitttroso;

Todo est6 petnitido.La proposición disyuntiva puede consra¡ de más de dos cláusulas;en tal caso, la afi¡mación de una cualquiera de e as excluye a todasy cada una de las otras; por el contrario, la exclusión de una cual-t¡uiera de ellas exige la afirmación de la parte disyuntiva restante.l-as formas que tesultan de esta manera son:(c)O X es Y o Z es U o.-. o Ves l/,,

X es Y,,

¡i Z es U ni... ni V es l/(ct)O X es Y o Z es Il o..- o V es W;

XnoesY,oZesUo...oVesl/

f'ara ejemplificar, podemos suponer que .iÍ" sea el oomble de untriángulo determinado. Un argumento de la forma (c) sería:(l) 7 es equilátero o 7 es isósceles o T es escaleno;

T es equilátero;

Ni T es isósceles ni 7 es escaleno.Asimismo, Ia forma (d) se ejemplifica mediante el siguiente ejemplo:(4) 7 es rectángulo o T es obrusángulo o ? es acurángulo;

7' no es rectángulo;

C) I es obtusángulo o T es acurángulo.

74. Argrrrncntos contlici¡rn¿lcs t¡rre vrrl<, 1¡ ¡ena tlestacar son los cono-lirlos rrxr cl rrr¡nlrrc Lb ¡liltn¿s.lJn rlilcma cr¡mbinn unn ¡rcrnisa hi¡ro-

lfie I

tética y una disyuntiva; la caracteristica de esta fo¡ma de argumento

está representada por la premisa disyuntiva que, abriendo dos salidasal discurso, lo empuja, emPero, a una determinada conclusióo. Para

familiarizatnos rápidamente con el argumento dilemático Pongamosun ejemplo:

Si el Inlíemo existe,es pradente medir n estros .tclos;Si lodo estápermitido, es pradenre medh i estros Lctos;O eúste el Inlierno o todo est6 petmitido;

F,s ltudefire medir n estros 4ctos.

El argumento parte de dos proposiciones hipotécicas que Poseen el

mismo consecuente y cuyos anrecedentes forman lo se sostiene que

forman) las partes de una disyuntiva. Es claro que, debiendo una de

las cláusulas de esta última ser verdadera, la conclusión - es decir,

la afirmación categórica del consecuente comú¡ a las dos proposicio-

nes hipotéticas - se establece forzosamente. No es necesario insistiren la calidad dialéctica de esta especie de argumentos, como también

en la mayor amplitud y adecuación que ofrece a los temas de otdinaria

c onttoversia.Los dilemas más escolares son de cuat¡o esPecies que resultan

de combinar las antítesis simple-complejo y consttuctivo-destructi-

1. Dilema simple constructivo. Es de la forma:

Si X es Y. Z es U,'Si V es lV, Z es U;

OXesYol/eslf,'Z es U

De esta especie es el ejeoplo puesto más arriba. Dilema célebre,

cambién de esta especie, es el que proPuso Protágoras a un discípulo

suyo. Ilabíale pedido Protágoras la paga por su enseñanza; y como el

discípulo le respondiera que después de su primer juicio pagatía'

si lo ganaba, púsole juicio el r¡ismo Protágoras. Ante el tribunal,

dijo at discípulo algo como esto: "Si gano este juicio, me pagas por

sentencia de los jueces; si lo ganas tú, me Pagas también' porque

así lo prometiste. Pero, o tú lo ganas o lo gano yo. f)e todos modos,

ento¡ces, debes pagarme ".2. Dilema simple destructivo. Puede adoptar varias formas:

(a) Si X es Y, Z es U; si X es Y, Ves W,'

OZnoesUoVnoeslf,'XnoesYEn esta forma de argumento dilemático el a¡lteccdenle es el mismo

en ambas proposiciones hiporécicas. I-a prcmisa disvuntiv:r esth for-

matla por las neqacioncs de los consecucnrcs; y rle csra m¡¡rcr¡ ll

negaciírn rlcl rrntt:t:crlc ntc conúo rcsr¡lrrr ncct:r¡r itr'

I l'rtl

Ejemplo de argumento dilemático sirnple y destructivo es el si-guiente:

Si Pldt6n es uetaz Sócrates conocií a Pa¡m€nides; Si. Platón esleraz Sóqdtes conoci6 .t Aristdteles;O S6crotes no conocií d Pa¡móxides o Sócrdtes no c o¡oci6 a

Aristóteles;

Platón no es leroz,A veces, la mayor de un dilema simple destructivo comprende en dis-yuotiva sus pa¡tes condicionales; en este caso, la menor no es unaproposición disyuntiva sino una de la forma "ni... oi..,", es decir,de la forma que más atrás hemos llamado falsedad cooiunta. Esquemáti-camente, tal a¡gumento se anota así:(b) O si X es Y, Z es U,'o, si X es Y, V es 17.

NiZesUniVesllXnoesY

Fijemplo de'esta forma dilemática es el célebre argumento atribuído a

7,e¡6¡tSi los cterpos se mreuel Io bacen en el lagat en qte est6n o et ellrgat en qae no eslóa;Ni los ctetpos se mueL¡en en el lagar en q*e están, ni en el lagaten qxe no están;

Los c.tetpos,ro se m euen,Es claro que la forma "ni... ni..." puede combidarse con una mayor

cn Ílue se conjugueo los condicionales. Eo este caso, la conclusióncs la misma; la diferencia sólo es un refuerzo de la me¡or, Po¡ejemplo, en el argumento sobre Sócrates pues.o úás atriba, puedesustituirse la menor "Ni Sócrates co¡oció a Parménides, ni Só-crates conoció a Ariscóteles". La forma de este argumento _es:(c) SiXes Y, ZesU; SiXesY, Y es tY,.

Ni Z es U ¡i V es ll;X noes Y

L Dilema complejo constructivo. Es de la forma:Si X es Y, Zes U;Sí Ves l/, Ses 7,.óXesYoVesl/,.OZesUoSesT.l-a legitimidad de este argurnento es obvia: Puesto que la menor

formula en disyuntiva los antecedentes de la mayor podemos coocluirln disyunción de los consecuentes. Ejemplo de argumentos de estaf¡rr¡¡:r es el s i¿uieotc:

191 I

Si und docrrina es erdadera, esr.í en el C¡¡án; Si ttnd docrrinqno está ?n el Corán, es herélica;O una doctrina es ue¡dadera o no estó en el Corón;

O ana dochina está en el Corón o es betática.4. Dilema complejo desructivo. En este argumento, la menor formulaen disyuntiva las oegaciones de los consecuentes de la mayor- Obvia-mefite, la conclusión coosiste en la disyunción de las negaciones delos antecedentes. La foima de este dilerna es:

Si X es Y, Z es U;Si Ves l/, S es 7;OZnoesUoSnoesT,,OXnoesYoVnoesl/.

Considerando el ejemplo sobre el Corán,dilema destructivo siguienre :

Si xna doctrina es úerdadeto, está enesló en el Cotón, es betética.O una ¿actuitla ¡o está en el Corán o no es he¡ática.

O una doctrina no es uerdadeta o estí en eI Co ín.llemos dicho que la ca¡acte¡isrica del argumenro dilemárico está

representada por la disyunción que expresa la menor. Las cláusulasde esta disyunción reciben el nombre, pintoresco y muy significarivo,de "cuernos del dilerna". Los cuernos del dilema son .cue¡nos dis-yunlivos' y empuian sin dar tregua hacia 1a deseada conclusión. Em-pero, ante un argumento dilemático, podemos ensayar varias salidas;si alguna resulta, el dilema se derrumba,

(^) Escdp¿t por entre los caetnos del dilema, Consiste este modode tefutar el argumento dilemático eÍ mostrar que la disyunción esfalsa. Este camino esrá vedado cuaodo las cláusulas de la disyunciónson cont¡adictorias, es decir, de la forma .,X es y o X no es y,,,Es el caso de la disyunción en el ejemplo de protágoras que pusimosmás atrás; la menor de aquel argumento incerpretada correctamenre,equivalía a: "O ganas el juicio o no ganas el juicio"; en este caso noera posible escapar por ent¡e los cueroos, por la inobietabilidad dela disyuoción.

Pero, en el dilema que pusimos sobre Sócrates, la disyunción no espura; siquiera es concebible la verdad de ambos consecuentes (.¡Só_crates conoció a Parménides" y "Sócrates conoció a Aristóteles"),caso en el cual podentos cscapar por enire los cuernos del dilemii.

(b) Tomu el dilema por los cxernos. Ante un dilenra, lo primeto csatender a la disyunción. É.n el caso de no habe¡ razoncs que I:r des_truyan, lo segundo es considerar las proposicioncs hipotéticas queforman la mayor. ¡¡'Io r¿r el dilcrna por uflo (le sus cuernos,, consisrc

Í 192

podemos transformarlo en el

el Co¡ón: Si ma dochina no

cn destruir alguna de dichas proposiciones hipotéticas. Asi, por ejem-

¡rlo, en el argumento sobre ef Corán, pueden objetarse los dos princi-lios que forman la mayor; basta para ello con mostrar que hay docui-nas verdaderas y no heréticas que no están en el Co¡án. En este casocl dilema se toma por sus dos cuetoos.

(c\ Repeler el dilema, Consiste esra operación en producir otro di-lema que pruebe la conclusión cootadicroria del dilema original.IIay ejemplos céleb¡es de ¡efuración dilemática. El dilema de protá-goras que pusimos más arriba fué repelido por el discíputo. ptotágorasirrgumentaba asíi

Si gano el iuicio, me pdgos (pq sentencia); Si tí lo ganas, mepagds (por conuenio),Yo gano o ganas ,í,Ne pdgos.

Y se dice que el discípulo respondió, rorciendo el dilema:Si ganas el jaicio, no te pdgo (pot coauenio); si yo lo gano, no tePago (Pq sentencia).Ganas tí o gdno yo.

No te pago,l-os paréntesis indican la permutación de las razones que hizo elrliscípulo.

(d) Es este cambio de razones 10 que, quedando implícito al argu-nrcnrar, suele dar apariencia de paradoja a una mera confrontación deirrgumentos cuya conexión se revela sólo aparente cuando avanzamoscn el análisis. Consideremos, para ilustrar esto, los dos dilernass iguient e s:(l) Si existe Ia úidd lururd, Id ptesenre no tiene odlo¡; Si no existe la

uida latura, la presente no ¡iene ualor;O existe o o existe ld uida larúa,La uida presente no tiene ualor,

l)\ Si existe la uida t'ulura, la ptesente tiene ualot; Si no existe lauila lutta, la Presente Íiene ualor;

| ".t"t" " ", "rt",La t)i¿a lresente liene ualo¡.l.rr consideracií>n visual del coniunto que forman estos dos dilcmas

¡'rrrlucc h im¡resión de una conrradicción rorunda. Sin embargo,, r¡,¡r¡do cxflicitamos l¡¡s razones de las implicaciones <1ue forman Iarrr.ryor rlc rrnrbos irrgu¡rcntos dcscul¡rimos una divergencia que disuelvel.¡ contrrr¡licción Si I¡r vidn futtrr¡ exisre loclemos sostcne¡ la falca dev.rlor rir. la vi,l ,,rcstrrrr..cn l,r ¡¡rcrlirla cn qrrc la co¡)l)¡¡irrn(.,s cor irqueJ-llr; ¡'r rr), ¡ro,lr,rrros ¡r.r r)fr:r l,rrrr(. consirlcr:rr lrr virlrr ¡rr(.scnr(, (.olro un

Ir)l I

medio de hacernos excelente la futura, y en este sentido asignar valora la vida presente. El lecto¡ captará fácilmente que la ambigüedadde la fórmula "tener valortt es aún más complicada y que mientrasen el primer condicional es relativa, en el segundo es absoluta. Estasconsideraciones bastan para un juicio ctítico que disuelve la aparien-cia de paradoja.

I-as instancias específicas de argumentación dilemática se prestanfrecuentemente a uoa fácil refutació¡. Uno puede da¡se cuenta ¿

Priori de este defecto al observar lo dificil que resulta producir dis-yunciones que no seao de la forma trivial ..o p o no'p". Co¡sidérense,por cjernplo, pretendidas disyunciones como ¡¡O libertad o ti¡anía","C) derecho natu¡al o derecho divino", "Q es la luz de natu¡alezacorpuscular o de naturaleza ondulatoriatt, etc. A friñera vista, puedeuno concebir un camino por entre las disyuntivas; basta para elloalegar el carácter abstracto e inadecuado de las an¡ítesis en que sefundan aque llas disyunciones.

De este defecto factual, sacan algunos razones para relegar elargumeoto dilemático a un plano secundario. Con rodo, debe recono-ceise que se rata de un procedimiento formalmente impecable. Todoel defecto reside e¡ la dificultad cle sosrener las premisas del dilenra;dificultad que bien puede emparentarse con la ¡atr¡raleza más dialéc-tica de este razonamiento, rnás próxima - quiere decir - del ¡rocesoen que viven las cosas reales.

Al lector podemos dejar el cuidado de formaliza¡ el dilema delpasaje siguience de Las mil ! na Nocbes donde la princesa Budur,que se ha hecho pasar por su propio esposo, considera la propuestaque le hace el rey Armanos de romar s¡ hija por esposa:

"Semejante ptoposici6n, ,a.n genelos.t y espontánea, p1so en mo-Iesto dpr.ro a Ia princesa Batlar. Al hincipio no supo quó hacerpara no delatar Ia turbación que la agitaba: baió los ojos y reflexio-nó un buen rdto,rnientras un stdor ftío le helaba la ltente,y pens6:Si contesto que, como Kamaralzamán, estoy yd casado con la prin_cesd Sett Badur, responderó que el Librc lermite bdsta cuatronajetes Iegítimas; si le digo la tte¡¡lad ace¡ca de mi sexo, es cdp.tzde obligatne d cdsarme con él; y ,odo el mundo se enteraría tJeello, y me daría macba úelgú'enza; si recbazo esd oleTra paternal,sa afecto hacia mí se cont'erthía en odio leroz,,.,; De nodo queoale mís nceptar la proposición y deiar qae se campla el Destino,,.

75. En el caso de los argumentos condicionales y con vistas a su for,malización a manera de cálculo, no es neccsi¡rio introrlucir ¡¡¡¡l;r nr¡e-vo. fis cvidente que torlas las leycs inf<.rcnci:rlcs fornrulr¡rl:rs crr cstc

l1e4

capítulo se pueden remirir a priricipios del Cálculo proposicional,es decir, a laurologías implicacionales propos icionale s. Destacamosaqui brevemente esta co¡relación.(a) Argumento hipotético positfto (modus poaens). Su fo¡ma es:

SiXesY,ZesUX es Y

Z es U

Y puesto que las cláusulas pueden simbolizarse en forma Ío ^i^liz^¿^,se tiene:

p)qp

q

l)roceso inferencial que se funda en la tautología proposicional:l, q,p,'S, La prueba de esta úlrima es como sigue:

Pv-P (T., Ac, Da)

P\,-p.).py-PvS (Ab)

P'¡-Pvs (R,a)q!-qv-P (q /p; -p /q)(?v-P'tq) (qv-qv-p) 0,,)(Pv-p) Cqv'phS (Distributividad, asociaciv i-

dad, etc.)P-.!v-p\q (Distribut. )-ePv q)a -NS (De tr{organ)-( (Wq) vq (De Morgan)P)q.P.)q (Da)

(h) Argumento hipotético destrucrivo (modus tollens). Su forma es:SiXesY,ZesUZ noesU

X noesYl{t preseotáodolo, como en el caso anterior, mediante símbolos sim-l,lcs, se tiene:

l, )q-rl

In (sre caso, el ¡rincipio implicacional es la rautología,,p)q,-q::\-p'¡ r¡y¡t Prueba es la siguicnCe:

t' )/t. ).-q .,-l) (T,)I' tq. ).-q t-p: t:(p tq)-q.\.((r)-p)-q (Tr,)(lt ,q)-q t(-q t-¡)-q (Scparación)(-q t-p)-4 ,-¡ (l,.r ,tt)(l'q)-,t -l llt,)

lq5 |

(c) Otro argumento hipotético expuesto, era el más cornplejo de laforma:

SiXesY,ZesUSiZesU,VeslTSiX esY, I/es LY

Con símbolos s imples, queda:p)sq)/P)r

Aquí, el principio implicacional correspondienre es la tautología"p)q,q)t,),p)r" cuya prueba es obvia:

p),q)t:).pq)t (Lema parág. 39)p)q, ):r)p. ).r) q (t")

Aplicando a esta última implicación el lema expresado en la primeray separando el consecuente se tiene la implicación deseada.(d) Pusimos también las formas:(1) Si X es Y, Z es lJ

Si Z es U, V es lfX es YV esW

(2) Si X es Y, Z es lJSí Z es U, V es lfVnoesll/X noesY

Los principios implicacionales respecaivos so¡r:(1) p)q. q)t.p. )r(2) p)q. q)r.-r.)-pSu prueba es frícil y queda a cargo del lecto¡.(e) En cuanto a) argumento disyuntivo, sus modos son:(L) Ponendo tollens:

OXesYoZeslJXesYZ es U

(2\ T ollendo ponens:OXesYoZesUXnoesYZ es U

En este caso, debemos introducir la disyunción, conectiva que noempleamos en ¡uestra exposición del cálcr¡lo proposicional. paraello, podemos emplear la equivalencia:

I lq6

P)-q.-p)q.=.pwqy defiDir, entonces, "pwq" mediante alguna de las expresionessiguientes:(^) P)-q,-p)q(b\ -(p¿l-Cp-q)(c) -(Pqv-?-q)G\ (Pvq) (Pv-q)Sin decidir sobre este punto, ocupémonos de aootar el argumento¡ \quematizado ¡or l1) del modo siguiente:

?wqp

-qI-:r tautología c orre spondie nte, enronces, esl- (pwq)p)-q. Tomaodo,pot ejemplo, el equivalente (b) de "Pwq" nuestro ptincipio queda:

-(Pq)-(-p-dp)-qI)ara probarlo, empezamos aplicando (D,a) a esta última implicación.Sc tiene sücesivamente :

-C@.1)- Gp-q)p)v-q (Da)

Pqv-p-qv-p\-q (De Morgan)Pq v-P!-q Fp-qv-p.=.-p)ltsv-(Pq) (De l\lorgan)Pq)pq (D,a; etc.)

Ahora bien, partiendo desde la última implicación se puede andar elclmino que lleva a la primera probando así el principio del argumenrorl isyuntivo n od ts ponendo t olle ns.

Para Ia segunda forma de argumenro disyuntivo, el principio impli-clcional que importa probar es:

(p wq )- p .:qIr¿rra esta prueba puede seguirse el mismo plan aplicado al caso

.¡rrterior.Ilcmos mostrado así que todos los argumencos condicionales pueden

lr¡rrrl¿rrse e¡ algún ptincipio del Cálculo Proposicional. De esra mane-rrr, rcrnirimos esta parte de la lógica ordinaria - como hicimos en el¡.rso tle la Lógica de la Proposición Categórica - a una formalización¡¡¡rrtt rnácica- Agregrremos todavía aquí un desarrollo semejante para el, .Lso ¡lc u¡ro cle los argumentos dilemáticos.ll) l)ilcm¡ simplc constructivo:'Su forma es:

Si X cs Y, Z es l/,. Si V es lI', Z es ItO.\cs)'oVesVI cs I1

I nr¡,lr.,rrrrIr sínrl,olos ¡rroposi<.ion,rtcs, qrrcrla:

¡q7 |

p)q,t)qPwtq

EI principio que debemos probar se expresa mediante el esquema

"p)q.ñq. P wt' )q",P ara tal prueb.. basta coo emplear la forma (b) de

"pwq" pnesta más arriba y anotar:' ( P - q) - (r - q)' (t )- F P' t )'-', qp- qvr-qv pr'r-P'¡v q (D,a)

Aplicando sucesivamen¡e el principio T.. al último esquema se obtie-

ne otao que es ostensiblemente tautológico; invirtieodo el Proceso se

concluye la prueba.Las fotmas restantes del argumento dilemático se valida¡ a partir

del cálculo proposicional de modo semejante. Mostrar que es asípuede asigoarse coÍ¡o tarea al lector-

I r98

VI. LOGICA CUANTIFICACIONAL O DE PREDICADOS

76. El modo menos complicado de introducir las ¡ociones que impor¡ana la lógica cuantificacional coosisre en partir de una proposiciónsingular, por ejemplo, '¡O'Higgins es chileno". Esta proposición esverdadera; y lo son también oúas similares como t'Manuel Rodríguezes chileno", "Pezoa Yéliz es chileno", etc. Podemos coocebir codauna familia de proposiciooes verdadetas que resultan de sustiruirpor ciertos nombres propios los puntos suspensivos de la expresión:(1) ". es cbileno"La expresión (1) se presenta de esta manera como una especie dernatriz proposicional, El lugar de los puntos suspensivos se susriruyede ordina¡io por letras como r, de donde resulta ta expresión:(1' ) "r es cbileno"que sugiere inmediatamente el nombre d.e t'unción ptoposicionol qt,ecn efecto se le da. *

Se notará, en primer lugar, que una función ptoposicional no es una¡rroposición sino ur¡a abstracción a parrir de una proposición. parat¡¿nsformar uoa fu¡ción proposicional en una p¡oposición hay que¡lar un ualo¡ a x; tal vez la necesidad de esta distinción se debasolarnente al hecho de que el signo "x" en (1') da a la función lafrrnción la apariencia sensible de una proposición. Si hubiéramosmnntenido la expresión (1) acaso no valiera la pena insistir en larlistinción ent¡e función proposicional y proposición. Se notará, ade-

' I'jodria sugerirse la disrinción de Ias fórmulas "función de proposición"y "función proposicional". La primera penenecería a la lógica proposicionaly sc iustificaría por ser la noción más generalizada de proposición ,,aquellor¡uc es verdaCcro o falso". Así, todo esquemá conectivo como ,,pvS,)-p"s¡¡íu ¡na función de proposición puesto que su valor 'depende'de tos valoresrlr sus clcmencos. I-a fórmul^ de Quine para la misma desisnación es"tl¿tl,-uabe lünctiorl"; no es feliz, puesto qre no alude explícitamente a

l¡ lnlsc¡lud corno vnlor. Mcnos adecuadas son expresioncs como.,función dev,rrlnd" o "función vcririiiv¡"- lln cuanto a "función p¡oposiciooat"r,rnpoco r"suh,r riprin,r, ¡cro cl uso (1. cllr $c h{r difun(tnto dc t¡rl manera,¡tr. n(, (¡u.(l¡ nrrir qrrc hnccr In rcvcrenci¡ n lo cosru¡,bn.-

¡e9 |

más, que una fu¡ción proposicional explesa, eo general, adecuadamen-te sus posibles aalores. Esto quiere decir que en (1,), por ejemplo,los valo¡es de r (las expresiones que debemos anotar en su lugarpara transformar la función proposicional en proposición) deben serexpresiones que nombren pe¡sonas u objetos que no excluyari violenta_mente el predicado. Sería absurdo colocar en (1') ,.Raíz de dos" enluga¡ de r. Finalmente, se nota¡á que oo son sólo valores de x aque-llos que, sustiruídos, hacen la proposición verdadera; basta que lahagan proposición colservando el sentido de la maciz. Así, ..porta-les" y "Washington" son valores de r;,,F.aiz de dos', y .¡Triángulo",

77. El conjunto o la clase de los objetos que nombran los valores der que, sustituídos, transforman la fu¡ción proposicional en una propo-sición verdadera coostituye la extensi6n cle la lanción. Importa dis_tinguir entre extensión y comprensión de una funció¡ proposicional.Sean los e jemplos:(l\ x es ufia ligura de tres lados,(2) x es ua ligta cuyos ángalos inieriores suman dos rectos.

OrdinariameDre enrendemos los predicados (l) y (2) de ral maneraque la extensión de ambos es la misma. Sin embargo la comprensiónes distinta. De tal triángulo no se dice lo mismo al decir, una vez,"es una figura de ttes lados,,, otra, ..es una figura cuyos ángulosinteriores suman dos rectost'-

f)ado un predicado, p.ej., ..es roma¡o',, ,.es útil,,, ,.es discípulode Jesús", no tenemos dificulrad sobre la clase o conjunto que lecortesponde como extensión. Lo contrario no parece igualmente obvioa los lógicos. En verdad, dada una clase siempre es posible asignarleuna función proposicional como extens.ióa. por eiemplo, si Fulanome indica una clase puedo poner en cotrespondencia con ella la fun_ción siguiente:(3) "x Pertenece a Ia clase que me indicí Fulano".

La verdadera dificultad se ¡efiere a las clases en su esrado, pordecirlo así, natu¡al. Y todo viene a parar entonces al problema de siexisten tales clases a que no corresponde una fünción proposicionaly que no pueden ser indicadas, una tesis, si no imposible de sostener,eri verdad peregrina.

78. La lógica cuantific ac ion al requiere de un simbolismo que le permi-ta ¡eferirse de ma¡era general a las funciones propos ic ionale s. Nadamás simple: Expresiones como ,.r es chileno", .,r es discípulo cleJesús", "están pinta¡do la casa de r,', etc. se simbolizan ..rn oyr,,lo

I ?ofi

de una leua adjunta a la variable x. El símbolo ,,pr,,, p.ei., aludegeoéricamente a fuociones como las anleriores. Se notará que el .

símbolo "P" rio está necesariamente en lugar de expresiones tansimples como sugieren la totma ,,px" y los mismos ejemplos que he_mos dados. Los siguientes son igualmente casos de ,,pr,,,.(1) J aa.n paegr¿n a por x a pedto.(2) x desed algo que Pedto ocuho 4 x,

Expresiones coúo 'tPrc" esquematizan, al modo de las let¡as delálgebra con relación a los números, Io que conocemos ya cori el nomb¡ede función proposicional. Se las nomb¡a esqr¿emds cúanriÍicacionale s,Cuando en una función proposicional sustituímos un valor de .r loque resulta es una proposición; cuando en un esquema cuaritificacio_nal sustituímos un vala! resulta, no una proposición, sino un esquemade proposición; algo que, aun cuando diferente de aspecto es sustan-cialmente lo misrno que las let¡as-es qnem s p,qt,,. empleadas enlógica de proposiciooes. Así, el trato que debemos dar a expresionescomo "Pd", "Pb",,,, - doade ,,a", ,,b',... soí letras que esquemati-za¡ los valores de x - es el mismo que daríamos a .tp,', ..q',,..,

79. I-as fuociones proposicionales y los esquemas cuar¡rificacionalesno están meramente en relación con proposiciones y esquemas p¡opo_sicionales simples (como p,Q,t,.,) si¡o asimismo con esquemas com_plejos. Sean los ejemplos:(l) Cuando Jüan ?fegunÍa por x, pedto se bace el sc¡rdo,(2) Cxando x desea algo, t lo compta,(1) Si Ped¡o es pdriente de x, enÍonces, ,. es púienre de Iudn,I'.1 ejemplo (1) está e¡ ostensible relació¡ coo el esqaema ,,p)q,,,lrl esquema cuantificacional correspondienre es ',p*)p,,. Así cambién12) se relaciona con "p)q", Y lo mismo ocu¡¡e con ,,px)ex", guec s quemariza (2\ y (3)-

Se inroduce¡ asi esquemas cuantificacionales cono ,,pt,ex,,," l'xvQr", "Px,Qx=Rx", etc.

U0. Sea la proposición ..Pedro pregunca por Juan". Es claro que po-,lcmos obrener a partir de ella una función proposicional con dosv¡rriables:ll), )( ltegantd pot yl'¡rr¿r ob¡ener una proposición a partir de (l) se requieren dos valores,rrrro asignado a r, otro a y, I_a e{tensión de la proposición está cons_rirrrída por los parcs de personas que se relaciorian del modo indicadoI'or (l vcrho '¡l)rcgunt^r por". Asimismo, el esqüema cuaotrficacional,frr(: ¡r cstc caso co¡rcs¡rondc s<,rÁ ',lt(xy)", poclemos consicle¡ar ram-

201 I

bién proposiciones como ¡¡Juan pregunta por Luis a pedrot' y anotar:(2\ rc prcg ntd por y d z.El esquema cuaritificacional correspondienre a (2) es p(¡yz). No esdifícil ver la relación entre el número de variables de una funciónproposicional y la proposición que le es co¡relativa. Con palabras dela gramática, el número de va¡iable depende de los complementosque comprende la proposición. Por ejemplo:

Juan ptestó dínelo d Pedro en la casq de Luis con dttorización ¿e

los é.

permite consttuir:(3) t ptestd dinero a y en z co¡ autorizaciín de ay también:(4) x prestd y a z en con dutorizdción de u.

La oscilación eorre (3) y (4) se debe al distinro trato que podemosdar al verbo; podemos considerar o que el verbo es ¡¡prestar dinero"o meramente "prestar". La justificacióo que teíemos pat^ i^fat"presta¡ dinero" como un verbo se muestra en el hecho muy generali-zado de producirse incluso g¡amaticalmence la contracción; es elcaso de verbos como "apalear',, ,,blanquear", etc., que pueden con-siderarse como contraccio¡les de "golpear coo palo", ..pintar de blan-

81. Dada una fiir¡ción proposiciooal, resulta de ella una proposiciónverdadera o falsa por la simple asignación de un valor de ¡. Sea comoejemplo la función obtenida de las matemáticas:(1) 3 +r =r +3

Si damos a r los valo¡es 1,2,1,... obteoemos las proposiciones:3+1=1+33+2:2+33+1:3+3...

que son verdaderas. Si, eo cambio, coosideramos:(2) 2 + x<5y damos a .f, los valo¡es 1,2,1,... obtenemos:

2+ t<52+2<52+1<5.-.-

y solamente las dos primeras de estas proposiciones son ve¡dade¡as.F ina lmente. podemos considerar:(1) x<xfunción proposicional en que, cualquiera sea el valor que demos a x,la proposición aritrnética resultante será falsa.

Estas consideraciones ¡onen a la vista un nucvo sentido cn (luc| 202

podemos obtenel, a pa¡tir de una funcióo proposicional, una proposi-ción. En efecto, considerando que la función misma dete¡mina satis-factoriamente el ámbito de los valores de la variable, podemos decirque (l) es una función proposicional que produce una proposicióoverdadera en rodos los casos de asignación de valo¡ a la variable;que (2) produce una proposición verdadera sólo en algunos casos; yfinalmente, gue (3) no produce proposición verdadera ninguna, cual-quiera sea el valor que asignemos a r. Podeoos ariotar:(4) Cualquieta se^ x, "3 +x=x +3" es una proposición verdade¡a.(J) Pata algún x, "2+ tc<5" es una proposición ve¡dade¡a.(O Para algún tc, "2+ x<5" es una proposición falsa.(7) Cualquiera sea tc, "r<x" es una proposición falsa.

La expresión "cualquiera" tiene aquí el senrido de ¡esumir unamultitud de afirmaciooes; la expresión .,algún", por su parte, afirmasin determinar. El sentido de tales partículas es lo que permite tratarcomo proposiciones las cláusulas que vafi ent¡e comillas.

Consideremos, por ahora, los casos (4) y (j). En lógica cuanrifica-ciooal tales proposiciones se expresan así:(4' ) (x)3+x=x+j(5'\ (Et)2+'.<5y se leen alternativamente así:(4'): Cualquiera se^ t ,3+x=r+3

o Todo x es tal que 3+x=x+3o Para todo t,3+x=x+3

(5' ): Siquiera un r es tal que 2 +r< 5

Para un .r al menos 2 + r< 5

Existe siquiera un ¡ tal que 2+r{5Llamamos cuantílicación a la operación consister¡ae en aplicar a

una fuoción proposicional o esquema cuantificacional los símbolos"(x)", "(Ex)", A estos últimos se d¿ el nombre de opetadores cuan-rilicdcionoles; el primero recibe el nomble de opetadot uniuersal, elscgundo el nomb¡e de o?erddor existerciol.

ll2. Ejemplos muy evidentes de proposiciones cuaotificadas puedenolrtenerse de las matemáticas. Son muy familiares principios como"cl orden de los sumandos no altera el totalt,, ..la agrupación de lasr¡nra no altera el total" etc., los cuales, en términos de cuaotifica-ción se fo¡mulan así:(l\ (r) (y) (x +y-y +x) Conmutarividad(2) (x) (y) (z) ( (r +y) +z=x + (y +z) ) Asociatividad

Itlra descac¡r eiemplos de cuantificación existencial, basta recor-,l,rr

'rltunos principios ¡naremáticos qve establecen que en tales con-¿03 l

diciones tal elemento existe. Por eiemplo, el famoso postulado geome-

trico que establece la existe¡cia de una recta paralela a otta dada,

por ün punto dado. Ciertamente, el postulado propone la unicidad de

dicha recta. Pero, para nuestro propósito actual' Podemos dejar de

lado la cuestión de unicidad y considerar solamente el asPecto ex¡s-

tencial del postulado. f)esigoando pot "L" luna recta cualquiera, por

"P" un punto cualquie¡a exterior a L y pot "Lt " u¡a recta cualquie -

ra, distinta o no de L, expresamos la proposición "Cualquiera sea L

y cualquiera sea P, existe una recta paralela a L que pasa por P"de la siguiente manera:

3) U,) (P) (EI't ) (P pertenece a Lt y Lt es paralela a L)Otro ejemplo de este tipo está representado por una proposición de

existeocia como aquella que se refiere a la suma de dos números:ttDados dos números, existe otro que es su sumatt que se a¡otaría así:(4) (r ) (y ) (Ez) (x + Y= z )O también, el principio que establece la existencia del número cero:

"Existe un número tal que sumado a otro cualquiera la suma ¡esultan-

te es este último".(5\ (Ex)(y)(x+y=y)

Se obsetvará que (J) difiere de los otros ejemplos en que la cuanti-

ficación no se aplica a u¡a función proposicional simple sioo comple-

ja. Otros ejemplos del tipo de (l) que resultan muy evidentes se en-

cuentran entre las sentencias populares o refranes. Coosideremos

algunos:El refrán "Camarón que se due¡me se lo lleva la cotriente" puede

expresarse así:(6) G)0)k es camerón 7 es corriente .l r duernre en yly arrastta

C)tro ejemplo "En casa de herrero cucbillo de palo"; éste se aoota:

(1) G) 0) k) (x es casa . I es herreto z es cuchillo lr'¡ es de y z

es de ¡ r,- z es de palo)ñtro eiemPto: "No hay bien que por mal no venga".Primero, pongámonos de acuerdo sobre lo que dice esta sentencia'

Podemos conveni¡ en que no significa que un bien cualquiera e'(i8e

un mal como efecto suyo (es decit, que todo bien venga en demanda

de un mal) sino, por el conttario, que un mal es causa de un bien; en

tal caso nuestra sentencia sería:(B) (x) [¡ es bien ] 0)v)(y es mal . r proviene tle y)l

I-os ejemplos dados en este lugar lo son de cüantificación múltiPle

Importa dcsde va ir fam il iari zándos e con la técnica rle cuancificrción,la regla de oro para este tipo de oper:rciones consistc cn alenersc

cuidntlos:¡mcntc ¿rl sentido dc la cx¡rcsiírn qrrc tlcbcnros trlducir,r rrucstr()s s ínrl¡olos.

I )(\/t

83. Un ejernplo notable del patágtafo anrerior es (8). Se trata aquí deuna disposición nueva de los operadores. Supongamos que no hubié-ramos agrupado asi y que si,nplemente anoráramos:(l) (x)(Ey)(x es bien ) y es mal . r proviene de y.)

Si atendemos a la expresión (1) ateniéodonos al empleo que hacemosde las partes que la constituyen, la traduciríamos, más o meoos, enla forma siguiente: Cualquiera sea r, existe y de manera que, si ¡ esun bien, entonces, 1 es un mal y .r proviene de y. Asignemos uo valora¡bitrario a a la vatiable r. Si ¿ no es un bien, el antecedente de laexpresióo enffe paréotesis es una proposición falsa; de manera que,eligieodo rrn valor cualquiera de / tendremos un coodicional verdade¡o.Si ¿ es un bien, el antecederite de la expresión entre paréntesis seráverdadero. {1) se transforma en(2) (Ey) (a es bien ) y es mal . a proviene de y)lo que viene a significar "Existe y tal que la conjunción coosecuentees verdadera" o "Exisre y tal que es mal y a proviene de y" o "Dadoun bien, hay un mal de donde proviene" o "Todo bien proviene de

rlgún mal" o fioalmente "no hay bien que por mal no veoga".

Se muestra así que las formas:(3) G)Gy)G es bien ) y es mal . * proviene de y)(4\ (x) (r es bien )(Ey)(y es mal rprovienedey))clicen lo mismo o son equivalenres. Queda sin embargo, mucho querlecir todavía sobre la disposició¡ de los operadotes deorro de uoacxpresión cuantificada. Antes de ello, pongámonos de acuerdo sobrecierta terminología y ciertos principios de agrupacióo.

84. En lo que sigue, hablaremos preferentemence de esquemas cuanti-ficacionales. La ¡oción misma de esquema cuanaificacional deja enclaro que cuanto establezcamos sobre ellos es eri un aeraeno de gcne-r¡lizaci6¡ respecto de las funciones proposicionales.

Un esquema cuantificaciooal se dice abie¡to cuaddo comp¡ender¡na o más variables sin el operador cuaotificacional corre spondie n te,(lix) P(x,y) es un esquema cuantificaciooal abierto. La vatiable y a lacual no corresponde operador alguno se dice lib¡e o ao.ligada, Lavatiable r, en cambio, se encuentra ligada dentro del esquema.

lln esquema cuantificacional se dice ce¡rado cua¡do codas susv,rriables están ligadas. "(x)Pr", ,,(E*)(y)P(x,y)" soo, eiemplosrlc csquemas cuanti ficac iona le s cerrados.

fi5- lin cu:rntificaclor dentro de una expresión no se aplica necesaria-rfrcntc ¡ clla como r¡n totlo. ('onsicléresc cl ejcmplo (r)(I;íGx)Gt):

2c)5 I

en ella el operador se aplica a toda la expresión, Pero no ocurre asjl

en (Ex)Pxlq Cada operador entonces se emPlea con vn alcance hleo

determinado dentro de la fórmula, lo que se hace explícito mediante

un expediente simbólico - puntos o Paréntesis _ que permita indicar

dicho alca¡ce. Sin embargo' por los ejernplos dados, se ve que no

siempte es necesario dicho expediente y que el alcance de un opera-

dor, cuando no hay signo de alcance, es mínirno; cuando, en cambio

se emplea un sigoo, el alcance está bien determioado por la agrupa-

ción que el signo produce. F'or ejemplo:(1\ G) Fx(y) Gy )(y)Gy(2) (y) ( (x)F xcy.:Gy )(3) G) Fx'¡Gx):'FY'¡GY(4) (Ex) (FxvGx),¡(x) (F x)Gx )

En (1) el alcance de todos los operadores es simple, Por lo que no

se emPlean paréntesis En (2), en cambio, el alcance de "(x)" es

simple, es decir, conprende solamen¡e "Fr",'pero "(y)" tíe¡e alca¡'

ce complejo, razón Por la cual el operando que corresponde a este

operador se comPrende dentro de un Paréntesis. Cuando varios opera-

dores anteceden al mismo operando, se debe ello a que ninguna ambi_

gúedad resulta de este modo de agrupación. Por ejemplo, "La suma

de dos números es un número" se expresa así:(5) k) 0) Gz) (x + Y=z)porque no pasaría de un gasto de paréntesis hace¡lo de la manera:

(6) G) ( 0) ( @z) (t + Y =z) ) )

Fln efecto, en ambos casos, la lectura es la siguiente: "Todonúmero x es tal que todo número I es tal que existe z de modo que

r+y=2" o también; "cualquiera sea ¡ y cualquiera sea y, existe

siernpre z de modo que x+Y=2"-

86. Si la cuantificación múltiple rio Produce dife¡encia e¡r casos como

(5) del parágrafo anterior haciéndose entonces inútil el empleo de

paréntesis que propone (6), el orden por el contrario puede llegar a

ser esencial.Cie¡tamente, no ocurre asi en el caso de esquemas como "(x)(y)

P(x,y)" o "(Er)(Ey)P(x,y)", e1 sentido de los operadores cuartifica-cionales basta para hacer evidente que en tales esquemas el ordeo

de los cuantificadores no tiene importancia. El esquema"(x)(y)P(x,y)"afirma P(x,j) de todo par de valores l¡,y) obtenidos del dominio o

dominios de que estamos hablando sin que importe el orden en que

dichos valores se tomen. Otro tanto Puede decirse de esquernas como

"(Ex)(Ey)P(x,y)". Se verá más claramente todavía e¡ los ejemPlos:(r) (l) (x cstá rclacionado con y)(Itl)(ttY) (r cs m:ryor quc l)l206

que el orden de Ios operadores no tiene importancia, y que se pudodecir lo mismo alterando dicho orden. Sin embargo, no si.mp..."así; por eiemplo, si alreramos (5) del parágrafo anrerior escribiendo:l) (Ez)(x)(y)(x+y=z)y ponemos en términos ordinarios lo que resulta, no es ya.,I_a suma tledos números es un número" sino algo como ..Hay un número que es lasuma de dos números cualesquiera", proposición evidentemente falsa.

Ot¡o ta¡to ocurrirá con (3) del parágrafo g. Invi¡riendo el ordende los operadores resulta:2) (Ey) (x) (r es bien ) y es mal . r proviene de y)cuya lectura no es '¡no hay bieo que por mal no venga" sino algo como"IIay un mal de donde provienen todos los bie¡es". y ciertaminte, lo¡rrimero y lo segundo so¡ todo lo dife¡entes que pueda concebirse.Sicn cambio, para volver sobre ejemplos anteriores, co¡sideramos ,¡Ca-rnarón que se duerme se lo lleva la corriente', cuya exptesión mediaotecuantificadores es:

(x)(y) (x es camaróo . y es corriente .l: r duerme en y,l. y arrastraa x)

l)odemos cambia¡ el orden de los cuantificado¡es conservando elsentido de la proposición:

(!)(x) (x es camarón . y es corriente :): r duerme e¡ y.,a, y arrastraa x)

r¡rre se lee:Cualquiera sea la corriente y cualquiera sea el camarón, siéste se duerme en aquélla, es arrasnado.

fl7. Noción imporrante en esta Iógica es la de uniuerso del discarco(lr¡c en términos uanos significa,.las cosas de que estamos hablando,,.( r¡¡rndo ponemos explícitamente a [a base de nuestro discurso unrrriverso (por ejernplo, lo que ocufte por el simple hecho de escribirr¡r¡ manual sobre ral o cual materia), la simbolización se simplifica,lc modo notable. Si, por ejemplo, el universo del <liscu¡so estj cons_tittríclo por los números enteros no es necesario que formemos f¡ases¡ omo "r es un número", ,.y es un número,,, etc. para desa¡rolla¡ unat xltrcsión cuantificada. Si se trata de una proposición como ..todo¡¡rin¡cro riene sucesor" bastará, para expresarla mediante la simboliza_¡ i¡ill dc esta lógica, con anotar:

(r)(tly)0=x+t\r\si¡tismo, para ',En casa de herrero cuclrillo de palo,, podemos ex_I'r.s¡rr con ¡ una casa de herrero cualquiera y co¡ y un cuchillo cual_,¡rricr;t. I,il universo de nucstr?r proposición esrá constiruído por estas,1,'s r l:rscs; y lrr rcl;rcirin quc clla afirmt cs:

h ) ly) 0 cs ¡lc ly cs (lc ¡¡rlo)201 |

88. llemos hablado de la agrupación de un complejo cuantific acionalen orden a expresar inequívocamente el alcance de sus operadores;asimismo hemos visto que el o¡den de los operadores dentro de un

complejo puede ser esencial. Todavía importa referirse a la dist¡ibu-ción de los operadores. Consideremos una proposición como ¡¡O

existe el bien o existe la misericordia" que, evidentemente, anota-remos así:(f) (Ex) ¡ es bien v lE¡) r es misericordia-I-a proposición que consideramos es equivalente a "Existe o el bieno Ia misericordia", y si expresamos esra última en términos de nuestrasirnbología c uanti fic ac ional resulta:(2) (Ex) (r es bien v r es misericordia)

Por lo tanto, podemos igualar las expresiones (1)y (2). Deunamañera general podemos estar de acuerdo en la evidente equivalenciade las fórmulas "(Er)(FxvGx)" y "(Ex)I:xv(Ex)Gr". Si quisiéramosexptesar esta ley a la manera de las matemáticas diríamos algo comoesto: ¡¡I-a cua¡tificacióo existencial es distributiva respecto de Iaalternacióo" o anotariamos:(4) " (E x ) (F xvG x )" = " (11.r)r^ m (F.x )G x"

Coosideremos ahora una proposición como ¡'Todas las cosas sonhuenrrs y útilrs ' que ex¡resaremos asi:(3\ (x) (x es bueno . x es útil)

Como en el caso de nuestro ejemplo anterior, podemos decir loque dice la proposición (3) mediante esta otra: "l'odas las cosas son

buenas y todas las cosas son útiles" que anotamos:(4) (¡) ¡ es bueno . lx) r es úril

L-n el ejernplo puede verse con roda evidencia la validez generalde la distributividad de la cuanrificación universal respecto de laconjunción; o sea que:lb) "lr)rf rG) )", "r¡rlt r../r)Gr"

Veamos ahora córno no hay distriburividad de "lEx)"respecto dela conjunción nt 'Je "(x)" res¡recto de la alternación. Consideramospara ello ejemplos como "llay libros útiles" y "I-as cosas son colo-ras o incoloras". La primera, medi¿nte cuan¡ificadores,se exp¡esa así:(t) (Ex)(x es libro . ¡ es útil)para ver que no hay distributividad en este caso basra considerar(6\ (Ilx) x es libro . (l'ir) r es útilque corresponde a una proposición como Ia siguiente: "ilay libros yhay útiles". Ahora bien, esta úlrirna no dice necesa¡iamente lo quedice la primera: que haya útiles v que haya libros no exige que hayalibros útiles. Tenemos entonces que:(.\'{t:,¡¡¡,,.r,rr' no cs cr¡uivalcnrc :r '(Iir)l r.(/:s)tir,

l2o8

Asimismo, ttl-as cosas son colotas o incolotas, se anota:(1) (x) (x es colo¡eado v r es incoloro)Consideremos, e¡ cambio:(8) (x) r es coloreado v l¡) r es incoloro

I-a diferencia enrre (7) y (8) es, precisamente, la que hay entrela verdad y la falsedad: (7) expresa de u¡a manera particular el cono_cido principio de tercero excluído; (F), en cambio, es una alternativacuyas dos partes son falsas, porque ni es verdadero que todo seacoloreado ni lo es que todo sea incoloro. Tenemos pues que:(<l\ '(x)(Fx¡Gx)'rio es equivalente a ,(x)Fxv(x)Gx'

89. Desde ya, podemos indica¡ la expresión que reciben en esra lógicalos cuatro tipos de la expresión categórica que hemos estudiado enotro lugar. Conside¡emos los ejemplos:(l\ Todos los cbilenos son dTauconos.(.2) Ningún chileno es araucano,(1) Alg/lnos cbilenos son aÍaucanos.(4) Alg nos chilenos no sotu draacanos,

Conside¡emos (1), que predica universalmente ,,araucano,,, esrlccir, que dice de toda pe¡sona que sea chilena que es, tambien,rrraucana. Podemos decir lo mismo así: Cualquiera sea una persona,si es chilena, entonces, es araucana- De una vez:( l') (x) (x es chile¡o i ¡ es araucano)lrl tipo (2) se trata de modo semejante; excluye universalmente ,.arau-r'rrno", es decir, dice de toda persona que sea chilena que no es.¡rirucana- Podemos ponerlo de la siguieote manera: Cualquiera sear¡n¡ Perso¡a, si es chilena, entonces, no es araucana. f)e una vez:I )'\ (x) (x es chileno I - r es araucano)( r.nsideremos ahora (3). procediendo como en los casos (1) y (2),¡'r,licr,r anotarse en el de (l):I \'\ (lix) (x es chileno ) r es araucano)

Sin embargo, el solo hecho de que (3') es todavía significativo yv¡rtl¡rlero en el caso de no habe¡ ni araucanos ni chilenos tiene el, lccro rlc mostrar quc no representa una simbolización adecuacla dell) l,.n cfecto, srrponiendo que ni hay araucanos ni chilenos, entonces,, rr,rlt¡uicra sc^ A, 'ta es araucano', y .,a es clrileno" son proposicio_r'r's trrlslrs. l)or lo ranro,

¡ cs thilcno r .i cs araucano,. rrrr corxlicional vertladero, tle donde resulra Ia verdacl de lJr).i)trrr tonsirlcraci<1n que nos conduce a re¡utJiar la interpretació¡tl') sc hrrrri rnris inmc,lirrta cxprcsnndo cst:r últi¡rzr ¡.ror su e!ui.,alcn_

20q I

(3") (llx) l-l¡ es chileno) v r es arauca¡o)que, aflicando el ¡rincipio de distributividad establecido en el ¡ará-gtafo 1.1. puede !¡ansformarse en:(3ttt\ (Itr)-(x es chileno) 't (l:x) (x es araucano)

ALora bien, la verdad de (l"i) exige que haya siquiera u¡ sujetoen el nlundo que no se¿ chileno o que haya siquiera un sujeco que seaafaucano. Pero, suponiendo por ej., quc ',(Ex) (x es araucano)" se¡una proposición verdadera, no podemos obrener a partir de tal ¡ro¡osi-ción la proposición "AIgunos chilenos son araucanos"; con ello semostraría que la inrerpreración no es adecuada porque puede darorigen a una pro¡osición verdadera sin que la proposición interpretada(es decir, "Algunos chilenos son araucaoos") sea necesi:r¡iamenreverdadera-

Digámoslo todavía de otra manera considerando nuevamente (3r):l/:¡) l¡ es chileno ' ¡ es araucano)Si hav siquiera un sujero d que es araucano, (3r) es ciertamente

verdadeta aunque no haya chilenos. Pero en tal supuesto, la ¡roposi-ción "Algunos cl¡ilenos son araucanos" es falsa, puesto que no haycbilenos. I-a sinrbolización correcta en el caso de (J) es:(3ú\ (lar) (r es chileno ,.r: cs araucano)No es difícil vcr la equivalencia enrre esta proposición y la pro¡osi-ción interpretada. T)e una se ¡asa a la otra, y conversamente.

.{simismo, co el caso de (4) se (ienc:(11\ (l:x) (r es chileno -¡ es araucano)

llesumienrlo, y sinbolizanclo por A v ll los términos de la proposi-ción catcgórica; sus cutltro tipos err lógica cuantificacional se ex-

.4.- (¡) (,,1x Itx)li.- (x) (Ax -lJx)

L- ( llx ) (Ax. Bx )O.-(Ilx) (Ax. -llx )

O0. Il tlesarrollo dcl nrimero anterior se presta para ir familiarizándo-nos con li¡s técnicas de esta lógica. Consideremos por eiemplo laconversión dr: la ¡roposicirin (3) de! ¡arágr:rfo anterior, conversiónquc, coo)o sabemos, es Jrosible V de mo,lo simllc. l.:n sl caso presen-tc sc trirta rlc ver si hav tránsito infc¡cncial eotte "(t:.x) (,|x,Bx)"v "(l:x)(llt.Ax)", es decir, si es válido el coodicional:

it t ) (,1t. B x) . (ta r: ) (tix. Ax )l)ebc¡ros consider¿r si es posible Ia comhinacién .'Vl ,, de sus

cl¿iusnl¿rs. l.ln el caso <le "(t:x) (Axtlx)' ', su verdad nos asegura lacxistenci¿ dc un valor de r, digamos ¿7, tal que ,,.1a.11a" es vn^conjunción verdadera. Arleorás, s:rbemos que:

ld !t lt l'id \4

I z to

for lo ranto "Ba.Aa" es verdadera lo que hace imposible la falsedadde (Ex)(Br.Ax). Luego, "(Er)(Ax.Rx):(Ex)(Bx.Ax),, es una implica-c ión.

Podemos examinar asimismo la oposición cootradictoria, porejemplo, entre "(r)(Ax-Bx)" y "(Ex)(Ax.Bx)". t.a verdad de ..1¡)(Ax .,-Bx)" significa que, cualquiera sea el valor a de r, la pr6pqsi-cjón "Aa)-Bd" es verdadera. Como sabemos, esta última puedeanotarse "-(,4a-'Itd)", es decir, ',-(AaBa),'. l_uego, la verdad de(x) (Ar)-Bt) exige que, cualquiera sea el valor a de x, "AaBd,' seafnlsa; y esto precisamenre es lo que significa la falsedad de ,,(Ex)(Ax.llx)", Asimismo, la falsedad de ,,(x) (Ax)-Bx),,significa que hayun valor a de r tal qus "Aa'-Ba" es falsa; es decir, tal gue ,,Aa',y "Bd" so¡ verdaderas. Y esto precisamente es lo que significa laverdad de "(Ex) (AxItx )" ,

()1. Otra manera de obteoer resultados de la especie del parágrafo.rntcrior cr'rnsiste en partir suponiendo que los valores de una variabletrrllquiera constituyen r¡o número finito, cualquiera sea el rango de.u t¡agni¡ud. Y la verdad es que las palabras ,,todos" y,.algunos",,rsunto p¡incipal de esta lógica, ni ganan ni pierden en su uso ordina-rio con las ideas que uno pueda tener sobre el infinito. IIay más que,lccir sobre esto, pero dejémoslo para ocro lugar. Suponienrio pues lalinitud de los valores de la variable r, es posible rraducir las nocio-rc,¡ del cálculo c uanrific ac ional a las r:lel cálculo proposicional.ll,r,ita para ello con observar que, siendo a, b, c,,,. d los valores der, Ir¡xle mos anotar:(l\ "(x)Pt" se puede anotar ,,Pa.Pb,pc,., pk"()\ "(lir)Px" se puede anorar ,,Pavpbvpcv...vpk,'

Las rclaciones (1') y (2), en las condiciones aceptadas, se rerJu-((rr rigurosamente a explicirar eJ significado de .,(x)" y,,:.x)',..'\lr<rrrr bien, en lugat de ,,(Ex)(AxBr)", po<lemos ahora anorar cle,rr r¡cr¡lo con la segunda parte de (2):( \) A( I)av

^,bllb\¿...y AkBk

1 r's nrrry claro, co¡ro hemos aprendido en lógica de proposiciones,c¡ue:t.i \,1 a I| ¿ v A h B bv...v AkB k.' . Il a Aav llb Abv...v B kAk* rk r ir, aplicando (2):r', ) (, rr ) l/.r. /tr) 0ar) (Br.Ax)'\\inris'¡r(), cn lugzrr clc ',(x)(Ax .-Bx)" podemos anotar:tt'\ (.ld -ttt)(.4h -tJh)... (Ak.- Bk)

t \ (,\d.lta )- (.,1h. B l,). .... - ( ,\t!. rJ k)r , rr l,r¡,,r ,lr' "lIir)t.1r r),,:

ir l

(R) AdBa'¡ AbBb'r....vAkBkcuya negación, segun el principio de )\,forgan es:(9) - 6dBd)- (AbBb)... - (AkBk)

Ahora bien, la equivalencia (7)-(9) muestra que es válido el bi-condicional siguiente :

(10\ (x) (Ax)-Bs)= -(Ex) (AxBx)Y (10) es, precisamente, lo que dice la ley de oposición conr¡adictoria.

92. En un universo finiro, "(x)Px" signitica ,,papb.,.pk", Ne gand,oesta conjunción y aplicándole el principio de De Morgan, resulta"-Pav-Pb'¿...v-P*",. esta última exptesión corresponde, en un univer_so fioito de objetos (a,b,c,,,,k), a la proposición ,,(Ex)-px", Delmismo rDodo, puesto que "(Ex)pr" equivale a "patpbv...,tpk"yla negación de ésta,según la regla de I)e Morgan,es ,,-pd-pb,,,-pk",tenemos que "-(Er)Px" puede escribirse también así: lx)-pr. Nues_tro resultado, entonces, queda resumido en las siguiences equivalen_cias:( 1\' - (x )P x'=' (E r )- Px'(2)' - (E x ) Px'=' (x )- Px'que nos permiten o elimina¡ la negación delante de u¡ cuantificadoro, con ayuda de la negación, expresar un cuantificador en términosdel otro. l.o primero es demasiado ostensible para insistir sobre ello.En cuanto a lo segundo, bastará para ello con recordar las leyes quetigen la negación de las cláusulas de una equivalencia y, partiendoae (1) y ( 2), anotarz(J)'k)Px'='-(Er)-Pr'(4)' ( E x )Px'='- (x )- Px'

Las relaciones (1X4) pueden obrenerse, sin Ia ¡estricción de ununiverso finito, medianre la simple y fácil rransformación lite¡al deuna cláusula en otra. Así, Ia proposición,,Es falso que, cualquierasea x, Px" es equivalente a '.Existe siqrriera rrn .rr cal que -pr,,,.la proposición "Es falso que existe x tal que px,, dice evidentementelo mismo que "cualquiera sea x, - px"; la proposición ,.cualquierasel x, Px" es equivalente a ,,Fs falso gue existe x t^l gve -px,,;y, finalmente, "E¡iste ¡ tal que Px,, se puede úansformar en ..8:rfalso que Dara todo.r, -Prc".

03. En el parágrafo 88. hemos expuesto los casos <le disrribución y¡o tlistribución de los cuantificadores en el caso de aplicarse estosa los esquemas complejos que resultan de una conjunción o dc unrlalternación. En el caso de oúos esquemas complejos coostruírlos ¡rpartir dcl condicional, Ia cquivalcncia, crc., lo qrr<, ¡,o,lcnros h,rccr

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co primer lugar para maoipular sus ope¡adores es poner relación eotrerales esquemas y la alternación o la conjuoción,

Sea, por ejemplo, el esquema abierto:(1) Px)Qrcualquiera sea el valor que asignemos a la variable x, ¡esultará de

cllo un condicional; asimisrno, cualquiera sea el ¡ratamiento que demos

" (1) no se altera con ello el hecho de que fué obtenido a partir de

urr coodicional. Es, pues, obvio que en vez de (1) pudimos anotar:(2) -PnQx(J\ -@x-Qx)

Otro ta¡to podremos hace¡ en los casos restantes de esquemascuaotificacionales

^bieúos. Est Ítos, pues, elr condiciooes de eli-

minar el pa¡éntesis de alcance en exp¡esiones como "(Er)(Px)Qx)".lin efecto, urilizando (2) transformamos "(Ex)(Pr)Qt<)" e¡ "(Ex)(-PxyQxl'; luego, utilizando (a) del parágrafo 88. resulta:

'(Ex) (Px)Qr )'= '(Ex )-Pxv(Er)Qx'No ocurren igualmente las cosas cuando se trata de una expresióo

como "(x) (Px)Qx)". En electo, si recurrimos a (2) sabemos que

lr) no se distribuye a través de la alternación; si tratamos de sali¡¡¡tlelante con ayuda de (3), la aegación en f¡ente de la conjuncióncierra el paso a toda distribución. Si, ante la expresión "(x)-(Px-Qx)",rccurrimos a (2\ d,el pará'grafo anrerior, tendremos:

'(x )- (Px-Qx )'= -(Er) (Px-Qx)lo que nos deja doade estabamos, puesto que lE¡) no se distribuye a

rrrrvés de Ia coojunción.

'),{. Una proposición compleja de esta lógica puede comprender una¡rrrrte cuantificada y oüa meramente proposicional; ejemplo de talesr onrplejos anfibios se¡ía:(l) Si Sóc¡ates es lilósot'o, entonces, todos los lilósolos son gtiegosr¡rrc, nediante nuesra simbología cuantificacional y proposicional,,L l¡cmos anotar así:()\ S¡íc¡ates es fil6solo), (x) (r es filósofo ) r es griego)l'.1 csquema cuanrificacional anfibio correspondiente a (2) sería:t )\ | :(x) (Px)Qx)( )lro ciemplo, de esúucrura coojuocional, es:( l\ Sócrctes es lilósolo y se interesa en todas las cosas,¡rrc simbólicameote se anota:l\\ S6<:rates es lilósot'o , (x) Sócretes se interesa e¡ x., rry,r forma cuantificaciooal correspondiente es:(() l. (x )Px

lin vcrtlad, "Sócrates se interesa en rt' puede considera¡se como

213 l

función proposicioaal a medio realizar partiendo de la función proposi-cional de dos variables:

y se interesa por ry asignando el valor "Sócrares" a la va¡iable y. En tal caso, el es-quema cuanrificacional correspondiente sería ,.P(x,y)"; y el tesuftadode asignar un valot ¿ de la va¡iable y se anotaría p(x,a). La nírmtla(6) se t¡ansforma¡ía entonces en:(61 ) p.(x)P(x,a)

Sin embargo, no hay inconveniente en simplificar y tra€¡ la expre-sión "Sócrates se interesa en,' como un todo que simbolizamos con"P". Se observará que los complejos anfibios del tipo examinadoeo este parágrafo no estáo excluidos de u¡ trato meramente proposicio-nal. El ejemplo (1) corresponde al esquema proposicional ,.p)4,,;el eiemplo (4), al esquema proposicional ..p4,,.

95. En lógica cuanti fic acional, como en lógica de proposiciones,importa significativamente la nocióo de validez. ya hemos renidooportunidad de refe¡irnos a esquemas cuantificacionales válidos.Los esquemas:(1) (x) (PxQx)= (x)Px.fu)Qx(2) ( E x ) ( Prv Qx )=-!E t ) Px't (Ex)Qx()) (x)Px= -(Ex)-P*(4\ (Ex)P*= -(x)-Pxson ejemplos de esquemas válidos.reconocemos como válidos son:

Otros esquemas que intuitivamente

(5\ k) (Px. p)=(r)Px.p(6) Px p) p(1\ PxQx)Px(8) Pr)PrvQr(9) Pr0y)Px erc.

Importa precisar la nocióo de validez que hasra aquí flota intuici_vamente en lo que vamos dicieodo. En lógica se rata de precisar;pero no hay que olvidar que se traüa siempre de precisar intuiciones.llemos inrroducido ya la noción de universo de discurso, aquellode lo que hablamos y a que esrán referidas las variables que emplea-mos. Suponemos siemp¡e que el universo de discr¡¡so no es vacío,es decir, que de un modo u ot¡o exisaen cosas, obietos o eod¿adesen tal universo. Suponemos as.imismo que las letras ..p't.1.e",,..son una referencia esquemática a cu¿lificaciones y relaciones quese aplican a los obietos de dicho universo. por ejemplo:( 10) P¡vQ¡como esquema cuantificacional referido a la clase de los homb¡es| 2r4

exige que sus letras "P" y "Q" sea¡ enteodidas como esquemas de

cualificaciones que acePta dicha clase. Por ejemplo "es rubio","camina", "debe explicaciones", etc., son cualificaciones de lacspecie esquematizada pot P y Q' Si, en cambio, refiero el esquema(10) al universo matemático de los números enteros, P y p esquemati-

zan cualificaciones que Peftenecen a este universo' Tales cualifica-ciones esquematizadas por P y p son, por ejemplo, "es par", "esprimo", "es divisible por 3", etc. Del mismo modo uo esquema como:(1r) P(x,y)referido a la clase de los hombres esquematiza relaciones que acePtan

la clase como, por ejemplo, "es más sabio que", "es amigo de","es padre dett, etc. Referido, en cambio, a los números enteros, (11)

esquematiza relaciones del tipo "es mayot que", "es divisible por","es poteocia de", etc.

Especificar la clase a que un esquema queda referido en ud con-

texto cualquiera es operación que nombraremos "asignación de uni-vcrso". Especificar la cualificación o relacióa que eo urr contextocualquiera correspoode a las lettas "P", "Q",.,. de un esquema

cuantificational es operación que nombtaremos "interpretación de

sus letras". Hay más sutilezas que agtegar en la conexión; pero

podemos desde ya aproximarnos a la noción de validez con los medios

tle que disponemos,Consideremos, por ejemplo, (Z)-(9). ¿Qué es lo más caracte¡ístico

rle estos esquemas? Cieita analogía, responderíamos, con tautologíascomo "pq)p", "!),?"q". En verdad, (7)-(9) son esquemas abiertos,cs decir, rio son p¡oposiciones sino mat¡ices de donde salen proposi-

t'iones. Pero, cualquiera sea el uoiverso asignado, cualquiera sea laintetpretacióo de sus letras y cualquiera sea el valor dentro de ese

universo asignado a sus variables, el tesultado de ello es siempre

runa proposición ve¡dadera del mismo modo que lo es toda interpreta_r i<ín de las letras proposiciooales de "pq)p" o "?).pvq"'

Conside¡emos (6)r Px,p)p; lo característico de este esquema,(()mo en el caso de los otros ejemplos ya examinados, es que laI'roposición resuhante de asignarle una especificación es verdade-r';r sin que importe cuál sea la especificacióo. Cualquiera sea el uni-vcrso asignado ^ "Px p)P", cualquiera sea la interpretación de

"l)" dentro de dicho universo, cualquiera sea el valor asignado a f,,n tlicho universo y, finalmente, cualquiera sea la proposición p,elrcsultado será siempre una ptoposición verdadera.

Iil caso (5) difie¡e de (6)-(9) en que ¡o se trata ya de la validez,lt. rrn es<¡rema cuantificacional abiertol en este caso desapareceo,l¡ l¡ rlcfioici¡ín tlc v¡litlcz frascs como "cualquicra sea el valor

215 I

asignado ^ x". La validez de (J) significa que, cualquiera sea el

universo asignado, la interpretación de ,,p" y la proposición ,,p,,el resultado de tal especificación transforma ' ,(x

) (pxpl(x)prp,'eo una proposición verdadera.

Finalmente, la validez de los casos (1!(4) significa que, cualquie-ra sea el universo asigoado, cualquiera la interpretación de las letras'-t' , -'!1 , las proposiciones resulcantes de esta especifica-ción son verdade¡as.

En una palabra, y resumiendo con el término .. e specificación,'

toda una serie de operaciones que sería fastidioso enumerar detallada-mente, podemos decir que un esquema cuantificaciooal cualquiera esválido cua¡do y sólo cuando cualquiera especificación suya produceuna proposición ve¡dadera.

96, Es evidente que un esquema c uanti fic ac ional abierto ,calcado'sobre uoa laurologia proposicional es válido. ,,px,tex,).exvpx",por ejemplc,, es un esquema abierto calcado sobre la tautología"Pvq.).qvp", Si asignamos un valor ¿ cualquie¡a a la variable r,fesvlt^ "Pa'rQa,).Qav Pa', , cuyos símbolos ,'pa", ,,ed" son esque_mas proposiciona le s. En una palabta, ,, pavea.).

ea,¡ pd" es la mismatautología " p\ q,,). qv p,' ex¡rresada en forma mengs simple. Cualquie_ra sea, entonces, la interpretación de sus esquemas proposic ionales,"Pa\Qd, ).Qd\Pa", produce una proposición verdadera; por lo tanto,"PxvQx.).QxaPx" es un esquema válido.

Para producir esqücmas válidos a partir de tautologías proposicio_nales no es necesario que el esquerna resultante a"a d" aólo un,variable. Es obvio que esquemas como:(1\ P (x, y ) :-. p (x, y )v ek )(2\ P (x,y)Qz)P(r,y )(3\ Px',, Qjr,y ). ).Qk,y h Px(4\ P(x,y, z). ). P(x,t,z)vQx, etc.son válidos en el sentido definrdo en el patágrafo a¡rerio¡. I_o sonasimismo los esquemas cuantificacionales que resultan de un calcadosolamente parcial a partir de una tautología proposicional. por e¡em_plo, partiendo de Ias rautologías:(5) P>'Pvq(6) pqlppodemos obtener los esquemas cua¡tificacionaies válidos:(5' \ Pr-t. Pxv q(5" \ P;-.PvQx(6') Pxq,.P,(6" \ PPxlp

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Si un esquema cuantificaciooal abierto es válido ello implica que,en un universo cualquiera, se transfo¡ma en una tautología proposicio-nal para cualquier valor que asignemos a sus variables; y esto signi-fica que su cuaritificación uoiversal es, asimismo, válida. Areoiéndo-nos po¡ ahora a los esquemas cuantificaciodales que hemos dado comoeiemplos en este parágrafo, podemos entonces anotar los esquemasválidos siguientes:(7) (x) (PxvQx.).QtvPx )(8) (x) (y) (P(x,y))P(x,y )vQx)(9) (x) (y) (z) (P(x,y)Qz)P(x,y ) )Si, por ejemplo, en (8) eliminamos el cuantificador universal '.(y),'resulta:(lo) (x) (P (x,y D 'P(x,y)vQx)esquema abierto cuya vatiable libre es "r", Es obvio que (10) respon-de también a nuest¡a definición de validez puesao que una especifica-ción cualquiera que asignemos a dicho esquema produce una proposi-ción ve¡dadera, La condición anotada aquí es pues necesaria y sufi-ciente: U¡ esquema cuantificacional es válido si y sólo si lo es sucuantificación universal.

97. En el patágafo 96, hemos considerado esqueñas cuanrificaciona-les válidos en cuanro han sido calcados sob¡e un esquema proposi-cional tautológico. En cambio, en el parágrafo 95, hay varios eiemplosen que el esquema proposicional correspondiente no es tautológico.Por ejemplo, "(r) (Px.Qx)= (x) Pr ft)qr", esquema válido coosignadoeo el parágrafo 95, tiene como esquema proposicional correspondienre"?=tl¡", q¡. obviamenre no es tautológico. Otro ranto de la mismaespecie ocure con los ejemplos (2),(3),(4),(5) del mismo patágrafo.La razón, obviamente, reside en que la validez de tales esquemasprovieoe exclusivamente del significado de las nociones que inrer-vienen específicamente eo lógica cuantificacional. Hay entonces es-quemas ptoposicionalmente válidos y esquemas cuaritificacionalmenteválidos. Consideremos algr¡¡ros de estos últimos. Sea, pot ejemploel esquema cuanaificacional abierto:(r\ (x) Px)PyI'iste esquema consra de dos partes; y no hay que olvidar para laconsideración que vamos a hacer que la primea parte ',(x)px" escn si misma un esquema cer¡ado, es decir, está por una proposición.t'l'y", por el contra¡io es un esquema abierto. Para da¡nos cuentade la validez de (l), aplicar¡os la defioición que hemos dado en el¡rarágrafo 95. Supongamos que haya un universo, una inrerpretación¿c "r"' y un valor <le "y" de rnanera gue la proposición resulaaore

2t7 l

de dicha especificación y a parrir de "Py" sea falsa; es evide¡teque e¡ tal caso el antecedente lo será también puesto que pretende,al contrario de nuesro supuesto, gue ,,Px" es ve¡dadera de todoobjeto del universo asignado. El condicional (1) en tal caso seráverdadero. Si suponemos lo cont¡ario, - es decir, la verdad, pa¡a unaespecificación cualquiera de "(x)Px" - el consecuenre de (1) serásiempre verdadero y el condicional entero, en consecuencia, siempreverdadero asimismo. Luego, "(r)Pr )Py" es un esquema válido; ylo se¡á por lo tantoi(2\ (y)((x)Px'Py)Consideremos aho¡a, el esquema cuantificacional(3) Py ) (Ex)PxSupongamos un universo cualquiera y uoa interpretaci6¡ de ,,P" talque la proposición construída a partir de .,Pr,, en ese universo essiempre falsa. En tales condiciones - que hacen el consecuente de(J) falso - el anrecedente del condicional (J) es siempre falso paradicha especificación y, por lo tanto, el condicional entero, siempreve¡dadero. Supongamos, en segundo lugar, que la interpretación de

es siempre falsa; resulta entonces que el consecuentede(l) es siempre verdadero, y por la¡to lo es todo el condicional. Con-cluímos entonces que el esquema c uantific ac iooa I abierto, (J), esválido y que lo es también el que resulta de su cuantificación univer-sal:(4) (y) (Py: (Ex )Px )Asimismo, atendiendo a los esquemas válidos (l) y (3) obtenemos lavalidez de:(5\ (x)Pr) (li. x)PxEn efecto, la no validez de (5) significa¡ia que siquiera en un univer-so para siquiera una inrerpreració¡ d.e ',P", ,.(r)pr,, produce unaptoposición verdadera mientras que "(Ex)Px" produce una proposi-ción falsa. Aho¡a bien, "Py", para dicha interptetación no puedeproducir una proposición falsa, a riesgo de no ser válido (l) conrraria-mente a lo que hemos mostrado; pero ¡ampoco puede ,,py,, produciruna proposición verdadera, a riesgo de ser falsa (3) cont¡ariamente alo que hemos establecido. La conclusión, entonces, es que no es posi-bÍe "P"; o lo que es lo mismo gue',(r)px)(Et)pr,,es válido. Esteejemplo permite generalizar y obrener la validez d,e ',E)Er" meramen-te a partir de "8,)E" y "Íj)82", En efecto, si suponemos que"Erl,Er" ¡o es válido significa ello que pa¡a cieta especificación"Er" es verdadero f "F,r" es falso; pero, por hipótesis, en ral casono puede "Il" ser falso-"Er)8,'- ni puede tampoco ser verd:¡clcro-"8)nr", - es decir, "l3"es imposible. pero, hemos supuesto lo con,trario; por Io tanto es im¡osible qv ,,t,\ ,t:," sc,r f¡rlso.

I zt¡t

98. Si, dado un esÍluema cuantificacional '¡áli¿o, "8", formamos su

negación, obtenemos ofro, "'8", que evidentemente Produce una Pto_posición falsa cualquiera sea la especificación que le asignemos.

Decimos que un esquema como "-8" es íriconsisteote o contradicto-rio. No todo esquema cuantificacional i¡consistente ¡esulta de una

construccióo como la proPuesn, es decir, negando un esquema cuaoti-ficacio¡al válido. Por ejemplo, "Pr-Pr" es un esquema incoosisten-te que preferimos considetat en telación a la inconsistencia proposi_

cíonal "p-p" y no al esquema válido "-(Px-Px)". En general un es-quema cuartificacional es inconsistente cuando, cualquiera sea lacspecificación asignada, la proposición tesultante de ella es falsa.

Cuando un esquema cuantificaciooal no es la negación de un esque-

ma cuantificacional válido ni está calcado sobre una inco¡sistencia

¡rroposiciooal, no es en absoluto inconsistente. SuPongamos que lofuera; entonces, su negación constituiría un esquerna cuantificaciorialválido y el esquema primitivo podría considerarse como la negacióode esta negación, de maoera que seria la negacióo de un esquema

cuantificacional válido, contrariamente a lo que hemos supuesto.

Un esquema c uantific ac ioral consistente se puede definir de modo

negativo como aguél que no es ni válido ni inconsistente. Si se ha

mostrado que un esquema no es válido, bastatá most¡ar además que

es verdadero para alguna especificación y con ello se habrá mostradoque es consistence.

99. Vamos a ocuparnos de un procedimiento análogo a la decisiónproposicional que nos permita ve¡ificar si un esquema cuantificacio-nal es válido, inconsistente o consistente. T¡ataremos solamenteesquemas cuadtificacionales de una variable Pero antes, trataremosde familiarizarnos con cierta especie de tran sfo¡macione s.

Conocemos ya las relaciones que oos permiten traosformar:(a) (r)Px(b) -(¡)P¡(c\ (Ex) (PxvQx)(d\ (x) (Px.Qr)

en -(Ex )- Pre¡ (Er)-Pxe¡ (Ex )Pxv (Ex )Qxet (x)Px, (x)Qx

Sabemos además, que uo esquema cuaotificacional se puede transfor-nrar en o¡ro de modo similar a como se t¡aosforman los esquemas

Proposicionales. Ve¡emos en última instancia que es posible transfor-nrar un esquema proposicional de mane¡a que exhiba una forma aná-loga a los esquemas proposicionales que conocimos bajo la denomina-ción de esquema normal alternativo. Sean, por eiemplo, (x)(Px)Qr),(x ) ( Pt. - Qxy llx ), ( li x ) Px.) (r ) ( P r - Qr).¡) l¡) lPx iQx) sc cransforma e¡ (x)(-PxvQx)

2t9 l

(x) ('PrvQx)-(Ex)-(-PxvQx)

t¡) &) (Px.-QxvRx)

- (Ex)-(Px-QxYRx)-,Fx)(-(Px-Qx)'Rr)-(Ex) ( (-PxvQx)-Rx)

-(E x )(-Px-RxvQx-Rt)

se transforma e¡ -(Ex)'(-PxvQx)se tradsforma e¡ -(Ex) (Px-Qx)

se traosforma e¡ -(Ex)-(Pr-QxvRx)se t¡ansforma e¡ -(Ex) (-(Px-Qx)'Rx)se traosforma e¡ -(Ex)( (-PwQx)-Rx)se nansfotma e¡ - (Er)(-Px'RxtQx'Rx)se traosforma e¡ - ( (Ex)(-Px-RxhGr)(Qr-Rx) )

-( (Ex)(-Pt-Rxh(,Ex)(Qx-Rx)) se transforma et -(Ex)(-Px-Rx)-(Ex)

(Qx-Rx)

c) @x )Px)(x)(Px-Qx) se transÍotma et - (Ex )Pn (t)(Px-Qx )

-(Er)Px'¿(r)(Px-Qx) se tiansforma e¡ -(Ex)Pxt - (E¡<)-(Px-Qx)

-@x)px't- Gx)-(Px-Qx) se $ansforma eo -(Ex)Px'¡ - (E x)(-PrlvQtc)

-(Ex)Px,¡-(Ex )(-PwQx) se transforma en -(Ex)Pxv- ( (Er)- Pxv

(Ex)Qx) )

- (Ex)Px'¡- ( (Ex)- Pxv(Ex)Qr) se transforma e¡ -(Ex )Pxv'(E x)-P x-(Ex)

QxCoosiderando los ejemplos, es fácil darse cuenta del tiPo de esque-

ma a que catamos de reduci¡ un esquema cualquiita' Se trata' dicho

gfosso modo, de forrnar uo esquema alternativo cuyos efementos o soo

ii.pl." o se forman exclusivameote mediante coniuncióo' negación

y cuantificación existeocial' oPeraciones que se combinan como me_

io, "" p,r.d.. Tampoco hay dificultad en darse cuenta de la posibilidad

d. ll.rr". siempre a cabo esta transformación mediaote los principios

que rigen .l cálcrrlo proposicional, las leyes de De Morgan y relacio-

nes de la especie de (a)-(d).

Lo que tratamos de obtener mediante toda esta aparatosa transfor-

mación es una forma del esquema que permita simplificar su análisis

sea eliminando Partes suyas, sea poniendo de manifiesto los casos

de validez o inconsisteocia sea permitiendo verificar rápidamente si

hay consistencia.

100. Vamos ahora a considetar algunos ejemplos de decisión en lógi-

ca cuaritificacional. Sea, primero:(l\ PxQx)Px v'ex- Px

las transformaciones de ll) son:(l'\ - (PxQxh Pxv-Qx- Px( 1") - Pxv-QxvPrv-Cr-PrEs fácil ver que cualquiera sea el universo, cualquiera sea l¿ inter-

pretación de "P" y de "Q" y cualquiera sca el valor asignado ¿t

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"x", (21 \ se transformará en una p¡oposición verdadera. Ello ¡esultade que es un esquema normal que comprende la parte ,,Pxv-Px".En general, cuando, luego de una transformación como la que conducede (1) a (1 ), encontramos nuestro esquema reducido a otro calcadosobre una tautología proposicional, bastará ello para estar convenci-dos del ca¡ácter tautológico de ouestro esquema. Consideremos aho¡ael esquema:(2) P x Qx,-t - P x.v. - Qr P x,) Q x(2t \ - (PxQx )'¡- Pxv- (-QxPxh Ox(2tt) - Px'r-Qr¡v- P¡v frv- PrvQ¡( 2rr r) - P¡v-OrvO¡(.omo se muesrra osteosiblemente en (2',,), el esquema (2) es válido.Ahora, veanros un eiemplo algo más complicado:(3) Pror)Rr.vRr-Qx = - Px(3r) - lPrCrlvRxv R x-ox -Pxv- (Rx-ox)Px(lr') -Prv - QxvRrv Rr- !r- Pxv- RrP.tvQrPr(3"') - Pxv-QrvRxv-R¡ P¡vC¡ P¡

El esquema en su forma (3"') está calcado sob¡e el esquema pro-l)osic ional

-Pr-q,tn-rPvPqque es tautológico puesto que su parte "-pv-4vpq" 1o es siendo im-¡osible la combinación IIrF de sus ¡res cláusulas. Por lo tanto, (3)cs válido. Tal vez valqa la pena insistir en la legitimidad de rrans-formaciones como la de "RxvRx-Qx-Px,' efi ,,Rx" que hemos efec-tuado al pasar de (3t') a razór¡ de una t¡ansformación de uncsquema en ot¡o puede darse en términos de extensión: Si dos esque-r¡r¡s rienen la misma extensión, es decir, si son verdaderas de larnisma clase de objetos, puederi intercambiarse. Coosideremos unobjeto cualquiera ¿ del cr¡al es verdadero "RxvRr-Qr-Px,'. Es clarot¡ue de dicho objeto es asimismo verdadero ,?¡,,. Inversame¡te, si"ll¡" es verdadero de a, lo es también ,'Rx,rRx-!:x-Px",Igual resul-¡rrdo se obtiene considerando un objeto cualquiera ü del cual es falso"l.lxvRx-Qx-Pr" o '¡Rx", Como ya hemos visto, el tratamiento decsqr¡enras como (11(l) y asimismo de un esquema c uan rific ac ionallormaclo de cláusulas cerradas, resulra, para este tipo de transforma-cirin, en rodo análogo a las transformaciones del cálculo ptoposicional

( ,,mo ril¡imrr cjem¡lo de esra especie se¿:lf ) /'r.l I'r.v.-PrJ.Cr...,Prtrlf ') - lf'r(-)t )v ¡'r- l-)Í. r¡'¡l),( 1tt) - (- (Px(tr )v P-t - rl¡r )v ¡'rllr/.1) l)r r_r¡- lf'r- lrr )v l'.1-)¡I l) flr'_rr (-I'rvl-rr )v l'lrlrr

22t I

(4\ PxCx- Pxv Px CxQJrv PxQr(4\ PxQxQxv PxQx(4) PxQrlls claro que "PtQrc" es co¡sistente, en cuanto es verrladero ¡araciertas especificaciones y falso para otras.

101. Consideremos ahora el caso más compljcado de esquemas cuan_

tificacionales cerrados. Sea, en priner lugar:(l) (¡: ¡ ) (Px- C¡ 1. Qr)- Pr )

I-o que hacemos en primer lugar es llevar a su forma canónica el

esquema contenido en el Paréntesis, lo que se logra de la mane¡a

cxf,uesta a través de los ejernplos (11(4). Anotando en columna la

serie de rransformaciones, se tiene:Pr-!r'.erl-Pr- ( l'x-Qx h.tQr'¡- Px )- l)rv(lxv - Q.rv - Pr- I'xv'lxv-Qx

Srrstituyenclo esta última expresión en (1) tenemos:(1'\ ( It t ) (- P ¡'¡ Q xv -rlx )(1" \ t lx- Pxv I:.xQx't Il x- !xI-a ex¡resión (1" ) tiene forma ca¡ónica. Es, además, fácil comprobarsu valirlez puesro que está calcada sobre la cautología p¡oposicional

l': qv - r¡

Sea el e jenrplo:(2) lll¡) (Pr -Cr,)l (x ) (- t'xv PxQx )(2t\ (t:x) (-Px\Qx) (x ) (- Pxy PxQx )(2") - (/ix (- /)-tv ('r ) )v (x )(- Pxv PxQx )(2"' \ - ( (t t x )- t'xv (ll x )Qx h - ( Ii x )- (- Pxv P r? r )(2t" \ - ( (t:x )- Pxv (Itx )Qx h- (Ex )(Px- (PxQx ) )(2'\ - (ll¡; )- I'x - (llt )Qxv- (l:.x )(Px (- Pxv -Or ) )(2vt \ - (llx )- l'x- (ll x)Qx¡ - (E r)(Px- Pxv Px-Qr )(2"'\ - (Itx )- l>x- (t:x)Qxv- (F.x) ( Px -lx )

I-¡r fotnra (2"") del esquema (2) permite verificar de una oieada elcarácter rlel esqucma. l)ara ver si es o no inconsistente basta con

irvcrigunr si algr:na de sus cláusulas puede hacerse verdadera para

'r12rrna es¡ecificación. Considcramos fara este efecto la segundacláus]¡Ia que es más sim¡le. [)ado un universo cua!qulera bastarácon interpretar "P¡" de manera que sea falso de todo objeto en dichouniverso para gre "Pr-lx" lo se¿r asi¡ris,no: cn tal cnso, "flir)(l'r.-()s)" es falso v "-(lix)(l't-ot)" verdacicroi de nanera c¡ue loes, I)ara dich¡ cslrecific¡ci¡in, cl csqlrcnrr l2 "'), lo quc ¡ruc!r:r qLrc

no cs incr¡¡sisrcr¡tc'- I'.rrir v<r si <s ,r n¡r r.rili,l¡',lir lr¡' csr¡rrcrrn, b,rsr:r

t

con averiguar si acepta o no la combina_il;,r este caso te¡emos que habérnoslas con tocla la fórmula (2"r'). Da_,lo un u¡iverso cualquiera, podemos inte¡pret ar '.p" y ..e,, de maneta<pe: (1) "P¡" sea verdadero de siquiera un valor de ,'r,, del cual"óx" sea falso; (2) "or,, sea verdadero de siquiera un valor de ¡r,,.Iis eviden¡e que la condición (1) implica que ,,(Iix)(pt-exr,, es ver_,l¡dera en nuesro universo y, for ranro, ,,-(Ex)(px-Qx),,falso; lacondición (2) implica g:ue ,,(Fx)ex', es verdadera, ,,-(Ex)ex,, falsa,y "-(Ex)-Px-(Ex)ex" falsa asimismo. Luego, (1) y (2) reunidascomportan la combinación I.-I: para (2rttt\. Con esto se prueba gue(2) no es válido. Ni válido ni inconsistente, es decir,.on.i"r.nt..

102. I-a relación entre esquemas cuantificacionales y esquemas propo_sicionales ha sido establecida aquí muchas veces en térmi¡os de IaIrase "calcado sob¡e". En verdad, se trata de u¡a forma más desr¡stitución. En un esquema proposicional podemos sustituir una onrrís letras por un esquema abierto o cerrado siempre que resperemosll norma general de esta opetación, a saber, sustit\¡ir ral o cuallcrra por tal o cual esquema en cada una de las ocurrencias de lal(tr.¡ dentro de la fórmula. por ejem¡lo la sustitución ((x)px/p)( I' x / lt ), ei pv.l, :. qv p producen alaernarivamente :( l) ( x )P r,¡ q. ),. qv (x ) P:t( )\ Pxvq. :-,, qt Px

[:-n el caso de esquemas proposicionales válidos, como lo es e] rlerr¡cs¡ro eiemplo, es evidenre que tanto la susti¡t¡ción (1) como lo sus_¡ittrción (2) conservan la valtdez. Es claro también que la susritución,lc trn esquema cuantificacional fuede extenderse sin alterar nada r:lel,r tlicho a esquemas que comprenclan más de una variable. por elenr,¡,1,,, Ies sustituciones ( (x)(F.),)p(x,y)/p), ((F.f)p(x,y)/p), (p/,r,¡1 ¡¡ "n" l,\ 1,,/. p" producen sucesivamente:t \\ t x )( t:y )P (r,1' fu G )G y )r, (x,y )q. =.

(x )(E y )p k, y )l4\ (t:y )P (t,1, )n¡ (p.y )p(x,y )q.=.(Ey)p (x,y )ts\ I'(x,y h t,(x,y )q. = P (x,y )

Para darse cuenra de la validez de (j)-(5) no hay rnás que ¡¡pticarl.r definición de validez que viene at ca.o: asigna,l,, un unir"rr,,(tualquiera), dada una interpreración (curlquier,r) a ,,/),, en (tichorr|iverso, dado un valor (cualquiera)r i¡mcs qrre rcsultan de (3)-(5) a parri¡ de ral cspecific¿ci,in.,,n.rc,¡,l'¡ c verdade¡as.

( rrsi no cs ncccs.lr¡o ^grertar

qüc l¡ sr¡stituci¡ín <lcl ¡il¡o rlr¡r, < r|l"ri_,r.."r,'s ¡qr¡í l)rcscrv;r l¡ inconsisrt.ncirr. \crr, ll¡¡r cjtrrj,lr,. t,r i¡< ¡rrrsis-r, ¡'.i,, Irrotros ic i,), tal ',¡ tt. /,-t,,r t.¡s \ rr r i r L,. r o l' (. s / /\ )/,\¿)\, .¡, J.fl\)li r)i'r.\,\ l'l'), ,\t)\ '/,). s( ((¡r,t,,i sUrr sir.r,.,r rrrr.

.:.1 r

(6) (x)(PrQx))q. =. (x)PxQx-q(7) (x)(Ey )(Px,y ))q. =. (x)(Ey)P(x,y)x-q(8\ PxQ-x.)q. =. PxQx.-qy es evidente que todos estos esquemas son inconsisrentes o contra-dictorios.

103. Podemos también sustituir a parrir de un esquema cuanrificacio-nal eo este caso, la sustitución como en el parágrafo anterior, pre-serva tanto la validez como la inconsistencia. Veamos algunos ejem-plos a partir de esquemas cuantificaciorales específicamente váli-dos, es decir, tales que su validez resr¡lte del sentido mismo de loscuanrificadores y no del cálculo proposicional. ya hemos conocidoun bueo riúmero de esquemas válidos de este tipo. Tomemos, poreienplo:(1) (x) (Px.Qx)=(x)Px (x)Qxy efectuemos la sustirución R¡).f¡lP¡,. resulta( 1') (r)lRx lJr. Qx )=(r)(Rr]s x) (x)Qxque es evidentemente válido. Otro tanco resultará de la sustitución,por ejemplo, lR.'cvsr/Pr) en el esquema válido:(2) (x )Px)Pyque producirá:(2t ) (x )(RrvS x)).R yvSy

En un esquema válido se puede sustituir una parte por otra quecomprenda más variables. Por ejemplo, volviendo a (2), podemos sus-tituir "P¡" pot "P(xy)" de donde resultará:(2" ) k)P(x,y):,P(y,y)IJrr ejemplo menos simple es la sustirución (er.:.(Ez)R(x,z)/px) queproduce el esquema válido de ctes variables:(2'' t \ ( x ) (Qx .-. ( E z )R (x, z ) ) ). ey ) ( E z )R (y, z )Las sustituciones que rienen por efecto aumentar el número de va-riables de un esquema se encuentran sometidas a las siguientes exi-gencias: (1) I-as variables que úae el esquema introducido por las¡rstitución no deben caer ba;o la influencia de los cuantificadoresdel esquema original; (2) Los cuantificadores que rrae el esquemaint¡oducido no deben influi¡ en las variables del esquema original.Fijemplifiquemos sobre esro; supoogamos que la última sustiruciónlrubiera sido, más bien (Qx.:(Ey)R(x,y)/Pr.), el resulrado se¡ía(21\ \ (x)(Qx'-,(Ey)Rk,y)):.ey )(Ey )p (yy)En es[e caso, estaríamos transgrediendo la condicióo (2), porque elcuantificador "(tly)" que trae el esquema subsciruyentc influiríasobre la variable libre y del esquema original. Cie¡ramen¡e, el scnticlode las condiciones (l) y (2) es harto evidcnrc puesro quc sicntlo ta

I ))/'

validez de un esquema el iesultado de cier¡as relaciones de extensiónes difícil conservarla cuaodo tales lelaciooes son afecmdas. Ahorabien, (1) y (2) excluyen tal posibilidad. Pasando de esta codsideracióngeneral, mosremos que (2r" ) no es válido, Para ello, podemos inler-prerar "Qr" y "R(x,y)" del modo siguienre:

Qx..¡ es núme¡oR(x,y):r es menor que y

Con tal interpretacióo, el aorecedente de (2r" ) sería verdadero puestoque simboliza la proposición "Cualquiera sea uo número, hay otlomayor". El consecueote, en cambio, simboliza la función proposiciooal

Si y es número, entonces, / es meno¡ que 1que es falsa cualquiera sea y, Todo esto quiere decir que (2- ) noes válido puesto que hay siquiera una especificación para la cual laproposición que produce es falsa.

Consideremos el esquema válido:()\ Py)ExPrPodemos efectuar la susritución (P(y,z)/Py), de donde ¡esulta¡ia eles quema también válido:(3t \ P(y,z))Et((Px,z)Al cootrario, de la sustitucióo P(y,x)/Py resulta:(3") P(y,x ))ErP(x,x)que no ¡espeta la condición (1) p.,erto que la variable r del esquemaintroducido cae en el consecuente de (3") baio la i¡fluencia delcua¡tificador lEr).

Para ver que (3rr) no es válido podemos interpre tat .,P(x,y)"por la funcióo proposicional "y es padre de r,,. Resulta e¡tonces lafunción proposicional siguienre :

y es padre d,e x,).(Ex)x es padre de rque es falsa para iodo par de valores de "x" e .,y,, que hagan verda-dero el antecedente.

104. La i¡ferencia en el terreno cuantificacional representa ua p¡ocesoatáIogo al que hemos conocido en lógica proposicional. Un esquem.rcuaotificacional puede considerarse como conclusión de otro, que essu premisa, cuando (1) este último se afirma; (2) el condicional forma-tlo con la premisa como antecedeate y la conclusión como conse-cuenle es un esquema válido.

En uo capítulo anterior nos hemos ocupado de la inferencia silo-gística. Podemos aqui, para ejemplificar, comenza¡ trataodo cuanti-Iicacionalmente los ya conocidos modos del silogismo. A cada unorlc óstos deben corresponder principios o reglas inferenciales e¡ eltrrrcr)(¡ cuanrif icacio al.

( orrsi¡l¡¡¡u,,t", ( n Prirrcr lt¡8¡r, cl I'ri¡n<,ro y ntás famoso rle los

22s I

,n(',1¡),,l(.1 silosisnlr, ¡l,rrl).,r,,. r'(),,)cn¡,s <.t cjcrl¡lo:

Todos los bo¡nbres son mottalesTodos los cbilenos son hombtes

Todos los cbilenos son mortalesLa simbolización cuantificacional transforma este silogismo en elsiguiente:

(r) (r es hombre I ¡ es mortal)(r) (x es chileno I ¡ es hombre)

(r) (r es chileno ) ¡ es mortal)Finalmente, la esquematización de las fuociones proposicionales

dentro de los paréntesis (empleando para el caso las letras á,8,M)nos suminist¡a el argumento en toda su generalidad:

(:r ) (Mx)Bx)(tt ) (Ax)Nx)(x) (Ax)Bx)

La cuestión principal entonces consiste en probar la validez delsiguiente condicional :

(1) (x)(Mt)Bx)(t)(Ar)MxD k )(Ax )Bx )La cadena de transformac ione s se dispone a continuación en columna:

(x )( (Mx )Bx )(Ax)Mx ) ) ) (x )(Ax ) B x )-(Ex )- ( (-Mxl'Bx )(- Axv Mx ) ))- (E x )-(-AxvBx)- ( E x )(Mx - B xt Ax ^ l¡l x ),\ - (E x ) ( Ax - B x )(Ex )(ltx-Bx )t (Ex)(Ax-Mx)t - (E x)(Ax-Bx )Nuestra tarea ahora es mostrar la validez del esquema cuantifica_

cional(l' \ (Ex )(Mx-Bxh @x)(Ax-Mx )v - (Ex )(Ax-Bt)Para ello, bastará con mosr¡ar la imposibilidad de producir para (l')la combinación FF-F. ler. caso: Supoogamos que '.Mx" se interprerade modo que sea falso de todo valor de ,,*,,,, en tal caso ,,(Ex)(Mx-Bx)" es una proposició¡ falsa. para que lo sea tambíén ,,(Ex)(Ax-lúx)" -puesto que "-Mx" es verdadeto de todo valor de.r- lrayque inte¡preaar '7r" de modo que sea falso de todo valor de r, Ental caso, "(Ex)(Ax-Mx),' es una ptoposición falsa. Es clato que entales condiciones, siendo ",4*" falso de todo x, lo es ',Ax-Bx" yes falsa asimismo la proposición ,,(Ex)(Ax-Bx)", I_uego, y final-mente, "-(Ex)(Ax-Bx)" es una proposición verdadera y con ell^todo el complejo (1,). 20 caso: Inrerpretemos .'8x,, de modo que serverdadero de todo valor de x; ,'-Bx,'se¡á entonces falso de to<lo valorde x y "(Ex)(t'lx-Br)" :uoa proposición falsa. Examinemos ,'-(Iix)(Ax-Br)"; es claro que, ,'Er(l,lx-Bx)" es una proposición falsa y,por tanto, "-(Ex)(Ax-Bx)" verdadera. 3er. caso: Interprererrros, finrrl_mente. ",4.f," dc modo que sea falso de to¡lo valor rle ¡r cn tal caso

I 226

"(Ex)(At-Mt)" es una proposición falsa; pero ,,-(Ex) (Ax-B x),, esciertamenre ve¡dadem. No es difícil da¡se cuenta de que, interpretan-t)o para "Ar", t'Bx" y '.Mx", hemos agotado todas las posibilidades.I-a conclusióa, entonces, es que (lt ) es un esquema válido.

Podemos considerar seguidamente el caso de Ferio. El esquemacuantificacional correspondiente a este modo sería:

(x) (Mx) -Bx)(Ex) (Ax.Mx)

(Ex ) (Ax-Bx)Nuestra tarea corisiste en mostra¡ la validez de:(2\ (x) (Mx) -Bx)(E*) (Axtuc))Ex(Ax -Bx)Disponiendo las transformacio¡es sucesivas eo columna, resul!a:

- (Ex )- (Mx) -B r ) (E x ) (AxAlx p (E x ) (Ax -Bx )-(Ex )- (-Mxv -B x ) (E x ) (AxM* )) (Ex ) (Ax - Bx )-(Ex) (MxBx ) (Ex) (AxMx))(Ex ) (Ax-Bx)-(- (Ex ) (MxBx ) (Ex) (AxMx) )v (Ex) (Ax-Bx)

(2t) (Ex) (MxB x)v - (Ex ) (Ax x )v(Ex) (Ax-Bx)P¡oba¡ la validez de (2) en su fotma (2t ) equivale a mostra¡ que

no es posible la combinación FFF de sus cláusulas. le¡. caso: parala falsedad de "(Ex)(MxBx)" basta con que ,?*,, sea falso de todovalor de ¡ en el uoiverso (cualquiera) asignado. Tal intetpretaciónde 'tBx" nos obliga a una inrerpretaci6¡ de ,,Ax" en .,(Ex)(Ax-B*)"puesto que "-B*" será verdadero de todo valor d,e x, ,,Ax',, entonces,es falso de rodo valor de r. En tal caso ',AxM:," es falso asimismode todo valor de x; " ( Ex ) (Axrl.f ¡),,, falso y su r¡egación verdade-ra. En tal caso, (2t ) es verdadero. 2a caso: Si interpretamos ..,1{r,,

como falso de todo valo¡ de r, es evidenre qrre ..-(Ex) (AxM,c)', es unaproposición verdadera; y coo ella lodo el esquema (2'). 3er. caso:Sea ",4x" falso de todo valor de r en el universo (cualquiera) asigna_do. En tal caso, asimismo, ,,-(Ex) (Ax.Ux)" es una proposición ve¡da_rlera.

En una palabra, la combinación FFF es imposible o, lo que es lo'nismo, el esquema (2) válido.

105. Veamos, ahora, algunos casos de infe¡encia que sean más espe-cíficos eo ¡elación a esta lógica cuar¡tificacional. f)e esta maoera,comenzamos a familiarizarnos con la noción de un cálculo cuantifi_c¿cio¡al.

Por ejemplo, hemos visto ju.e ,,(r)Px)Py" y ,,py)(Et)px" so¡csqucm^s cuanrificacionales válidos. Rasta Ia observación de esroscsqucmas para estar en condiciones de efectuar la inferencia siguienre(l) l¡)P¡ ,¡'v

t,,,/ '(tt.li)l,xir ¡t'\ r, \ )r'\

l¿j I

Hemos hecho algunas coosideraciones sobre validez y dicho gueuo esquema cuantificacional abierto calcado sob¡e una tautologíaproposiciooal es válido. Asimismo, sabemos que si un esquemacuantificacional abierto es válido su cuantificacióo universal ram-bién lo es. De aquí resulta rodo un plan para infereacias del tiposiguienre:(2\ p)p

Px)Pr(x)(Px)Px)

G) Pq)pPxQx)Px

(x) (PxQx)Px)Basta aplicar ouesra rioción de validez o siquiera la mera repre_

sentación de las ideas fundamentales de esta lógica para darsecuenta de la validez de esquemas como:

(x) (p!Px )). pv (x)Px(x ) (p)px)). p)(x)p,.pv(x)Px,)(x) (pvPx)p)(t)Pt .)(x) (p)Px)Sin embargo, podemos arreglarnos fácilmeote para obrcner tales

esquemas inferencialmeote a parti¡ de oüos que se conside¡arán másfuodamentales. Pongámonos antes de acuerdo sobre ciertas reglas.

(a) Si se afirman "Sr)Sr,, y .,Sr,,, se afirma también en razón deello "S"". Se rrara de una regla en todo análoga a aquella que formu_lamos al elaborar u¡ cálculo proposicional.

(b) Si se afirma "Sr)S(r),, - donde ,.Sr,, no comprende ,,x,, - seafirma también en .azóo de ello ,,Jr)(r)S(r),,, porque la afirmación

es verdadero; y esto es lo mismo que significa ,,5)(x)5x",(c) 5r se afirma "Slr.))Sr,, - donde ,,,Sr,, no comprende t.x,, -

se afirma también e¡ razón de ello ,t(Ex)Sx)Sr,,. porque, siendo"J, " falso, S(x) debe serlo asimismo de todo valor de r,.y en tal ca_so "(Ex)Stt" es tambié¡ falso,

(d) Si se afirma',Sl)Sr,,y ,.Sr)S3,, se afirma tarnbién .,Sr)Sr,,.Esta regla ha sido utilizada con anrerio¡idad y no requiere de comen_ta¡io.

Veamos ahora cómo obtener nuestro primer esquema mediante unadeducción I

(4\ (x)(pvPx)),pvPy (Esquema válido que resulta de susriruir (pvprlPx) en "(x)Px)py" )

(x)(pvPx) ¡,-(ph Py (Reemplaza¡do cn la inr¡licacióo :rntcrior ..2,,

(x)('gPx)),-?)Py (Transformando el consecuenre de la irnpti-cació¡ anterio¡ mediante i¡rercambio)

(r)(p'rPx)-p)Py (Transfo¡mando la implicación de acuerdo conla tautología propos icional " p). q)r : -. pq)t " )

(x) (p\rPr),- p)(y )Py (Aplicando a la implicacióo anterior 14 regla(b) )

(x ) (F P x )). - p) (y)Py (Id. tautotogía " pq)r.=. p) q)r" )(t) (pv Px)).pv (y)Py

De esta última implicación, usando el signo que aquí conviene paradenotar la variable en el consecuente, resulta:

(r ) (pv Px)).p'¡(x )PxEn cuanto al esquema condicio¡al ,'(x)(p) Ptc)).p) (x)px', es fácildeducirlo a partir del anterio¡, En efecto, hemos probado o inferidoel esquema "(tc)(pvPx)),pv (x)Pr,, que mediante sustirución puedetraosforma¡se en "(x )(-pv Ptt )). -pv (tc)Ptc" , Se tiene eoronces:(5', (r)(pv Px))pv (x)Px

(x )(-pv P*))-pv (x)Pt(x )(p)Px )).p)(x)Px

A partir de esta última implicación podemos generalizar Ia tegla (b).En efecto, sea:(6) S,).S,)s(¡)

Sr)(tc)(SlS(x) (Aplicación de la regla (b) al esquerna condicio¡alanterior)

Sr),Sr)(r)J(r) (Aplicación al consecuente del condicional anteriordel condicional que acabamos de probar en (J), es decl:., ,,(x)(p)px)) p)(x)Px", en que hemos susrituído t.p', pot ¡.51,'y ,'p" pot ,,9"¡,

Es fácil ver que mediante exteosiones sucesivas se puede esta-blecer - cualquier^ sea n - el cor¡dicional:

Sr ),'..S, )....,, ). Sz f (r).tra partir de:

Sr ),'.'Sr),'., .. ). Sr, )S.rTodavía nos queda la tarea de obtener los esquemas ,'p\(x)p¡r)(x)(prPx)" y "p>(x)Px, )(x)(p)Px)". Veamos el caso del primero:(7) (x)Px)Py

pv(x)Px.),?vPy (Puesto que si "Et)82" es uoa tautología, enton-ces, cualquiera sea "8", "E:vEr,),EvE"" es también una tautología)

pv(t)Px.)(y)Q'tPy) (según la regla (b))Iifectuando, por último, el cambio adecuado de variables, resulta:

lN (x) Px.)(xXpv px)I'ln cuanto ^ " 1,)(r)Pt )(x)(p ) Pr),, partimos del condicional probadocn (7) y sustituímos "/.r" por ',-p',, Resulra:(a\ -pv(x)1,x. )(x)(- lN px)cs dccir:

229,r

p)(x)Px.)(x)(p)Pr)Los eiemplos de derivación inferencial o deductiva elabo¡ados a

¡avés de (1)-(8) so¡ suficientes pa¡a sugeri¡ la idea y fo¡ma de uncálculo cu¿ntificacional. Como e¡ el caso del cálculo proposicional,se pardrá aquí de ciertas ¡ociones primitivas y ciecos enunciados oaxiomas desde los cuales se inicia¡á el proceso deductivo.

| 210

VII, CALCULO CUANTIFICACIONAL

106. En el último parágrafo del capítulo aoÉrior anticipamos sobre uncálculo cuaotificacional. Vamos a elabora¡lo aquí ¡ápidame¡te y enforma elemental. Suponemos para esta tarea todo el cálculo proposi-cional presentado ya en el segundo capítulo.

(a) Los términos que no se definen son: p(x), (x)p(x), (Er)px,Pod¡íamos prescindit de uno cualquiera de lob dos últimos y ayudáo_donos de una u otra de las equivalencias i

(1) (x)Pr=-(Ex)-Ptc(2\ (Ex)Px=-(*)-Pxintroducirlo mediante una definición. Sin embargo, con el propósito deacostumbra¡ al Iector a los procedimientos def cálculo cua;rificacio-nal, pteferimos esrablecer como teoremas las equivalencias (l) y (2),como así ¡ambién otras de su género.

(b) Las leffas ',P", ,,e", ..R,,,,,, esquematizan predicados. Lasletras "¡", ',y',, ,,"",.., esquer¡atizan variables.

(c) Para referirnos a esquemas cuaritificacionales sin especificar-los, emPleamos las expresiones o signos ,,S,,, ,,5r", ,,5"",:.,

(d) Los axiomas de este cálculo serán designados co-ntinuando lalista de los cuatro axiomas del cálculo proposicional. Igual cosa en elcaso de los teoremas, Las reglas opetaciooales cuantificatoriasserán designadas en coordinación con sus análogas del cálculo pro-¡rosicional. Los axiomas cuantificacionales son:

A,e: (x)Px)PyA,f : Py)(Ex)Px(e) Eo el cálculo proposicional hay una regla de separación (Ra)

que, aunque puede conside¡arse fundada en el principio proposicional"!')q'p.)q", debemos formula¡ con palabras .o.o, Si ,i"rrur,, ,"lir " son principios, ,,Er" lo es asimismo. podríamos indicar lr. se-¡r ración flledianre un signo; por ejemplo, medianre ¡¡-,,. pod¡íamos|one¡nos de acr¡crdo sobre una,operación disolutiva, que indica¡íamos'rrc(liante "''' y cntender que el esqucnra a la izquierda d".,-,, O"Itr¡nr n I:r irpcracirin rlisoluriva' quc scpara la f,arte anota,ia a la

211 I

derecha. Se tendría algo como lo siguientel,,J, J,". ,.Jl " - ,..t,,,com¡lejo equivalenre a nuestra reg!a de separación. f)e todos modos,"." seria un instrumenro o her¡ai,¡""," -":-:-;:,^^ ^

.*"-

mos; y no sería meio¡ n"" """:l::i;,j;.:H:.:.H::::::Tff.formulada ordinariamenre.A la regla de separación del consecuence en el ámbito de los prin_cipios proposicionares, se agregan en er cárc'lo cuantificacionaldos reglas, rar¡bién de separación.Ria: Si "JriJr)lr),, - doncle ,,.f,,, no comprende ,,r,,, en cancoque este signo eo,,S"(x),, es de variable libre - es,ro p.in.ipi, lo

""asimismo',5 ) (r )5,(x )".1L"a si "Jrk)tsr,' - donde .,sr,, no comprende ,.r,,, en ranroque este signo en ,,Sr(x)" es de variable libre I es o., p.lo.ipio, to..asimismo ', (Il t )(S | (x ) _-\ 5 r,,,Resultará evidente para el lector que estas dos nuevas reglas, es-pecíficamente cu antificaciona I

r idez..cuantif icaf ,;;;i;;;-;::",;;.:o::TJ'. j::::ir$"JJ: J:significa Ia f¡ase ,,validez deJ esquema .S, ,r, fJl;, ,l-nfr-"." ii.r,"lfPattiendo de Ia validez ,.S_ _¡.

.r"." n". ;;;".""'o1T-r.','-szlx)" consideramos "s'¡ ) (x)s.¿(¡)"' es

f uera si gr ificaría "';; ;;;::;;",:",:1:,1,t:""j :: J::',H::il::r,:;?J,se transforma en una proposición falsa. Conside¡."ra"." '..rr*¡^r,".,

en el s'¡'esto legítimo de que siquiera r¡n universo no., u^i,o, no"conducen a la validez de ,,fl(x)Srlr)_iJz,, ¡oda ,., *"".", Orrrr,,es un esquema v álido.

Son, pues. válidos los esquem¿s:(l) ".i, _.r,(x). .J, f tr).t.f.r),,(2) "s, (x)')s,),(E*)s, ú) )s",,

-_De (1) y (21 derivamos im¡lícitamente, y sin mezclar esta deriva_ción con el cálculo cuantificacio¡al en sentido estticto, las reglas(Ra') t ¡¡ar' 'r,. O.ocedemos en es

ti.,te r u- r uut or ogí",t -;.;.-.;;;'; j,":".;:" :*:::i" til"d;,iÍl:

Tioclúr (l?at)y (Ratt)e6¡¡s Ias reglas de separación.

. Se observa¡á. finalmenre. que l, inferencie. digamos:(a\ (x )5, (r). (Ext\,(x ) (Ex)S,G)(x )S 1 k). (Ex )5,(x).__--.--(E x )5,(x )

llli.,,"^ l: ":::.^ ::p*ción out.,.iz,, da iior (^a). es trecir, \tna sep.trtt.

:,.,":::'::::':,::,i,1,::,1:'.,1: u,,:il,i.;iIl:j::t:;,,:lll::;:l: ;::i:<lifcrcnrc rlc:I ztz

(b) ELE)F,2E, E,

E,Incluso, pueden eliminarse los cuantificadores de la inferencia (a)sin que deje ésta de ser idéntica formalmenre a la inferencia (b),

(f) En cuanto a la substitución, las consideraciones hechas eo elcapítulo anterior permitirán al lector comprender las limitaciones quese imponen a las diferentes reglas- Son las siguientes:

Rbr: En un esquema que exprese un principio, una letra-proposicio-nal puede ser substituida po¡ un esquema cualquiera, siempre que lasubstitución se efecrúe eo todos los lugares de la letra y de la mismamanera; además, el esquema substituyente no debe comprender varia-bles que apatezcan ligadas en el esquema original.

Por ejemplo: se probará más adelante el principio o reorema ,,(r)(pvex¡)po¡*¡p*". Podemos efectuar eo esre esquema la s¡¡bstitucióoQy /p) de modo que resulta:

(x)(Qy'r Px )).Qy\ k)Pxesquerna que evidentemente conserr¡a Ia validez del original. Si, olvi-dándonos de una de las exigencias de (Rb'), efectuáramos la substi-luciín (Qx /p) o!>teod¡íamos:

(x )(Qxv Px )), Qxv (x)Pxque no es válido. En efecro, sea !=es par y P=es impar; teodríamos:

(x)(r es par v r es impar)).r es par v (n.) r es imparAgreguemos, todavía, con el obieto de hace¡ verdadero el antece-

dente de esta función proposicional, la especificación ,,r= númeroentero", y demos a la variable Iibre el valor J. Resulta eoro¡ces laptoposición falsa:

(r) (x es pat v r es iopar)). I es par v (r) r es imparI-a simple aplicación de (Rb') en el dominio de los principios

p¡oposicionales permite establecer teoiemas de especie cuaotifica-cional. Pot e jemplo:

P)q.). -q)- PPx)Qx.).-Qx].-PxPrc )Qy.). -Qy f-PrP x )( Ey )Qy.). - (Ey )ey )- px

(r,)(Rb')'. Px /p; Qx /q)(F.btt Px /p; Qy /q)(Rbt : Px /p; (Ey)Qy /q)

etc,, etc.Rb : Una variable libre comprendida en un esquema que exprese

rrn ¡rincipio puedc ser s!¡bstituida por otra variable cualquiera, siem_lrrc quc se la substituya en todas las partes eri que está y de la mismanrrrnera; atlcrnris, la varia[rle substituyente no debe aparecer ligada enla f<irmrrla ori¡¡in:rl.

I'rrr cjcnr¡rlrr: crr cl csr¡rcnrrr vÁliLlo ,,(s)(lJ,vp.t) ,.Qyv(x)f,r,, sc puc-

211 I

den efeccuar alrernativamenre las subsrituciones (z/y), fu/y), (p/y),..,Pero, como se mosrró más arriba, no habría validez en '"1';rnu.rnuresultante de la subsritución úr/y).

Rbrrr: Una Ietra predicado puede ser substituida por otra quecontenga tantas variables como ella o más, siempre que la substitu-ción se lraga en todas partes y de la misma ,nun".u, ^0",na", .t ."qo._ma substiruye¡te no debe comprender ligada ningurra de t^" lr.aiu¡1""oel.subsrlruido ni debe el esquem¿ original contener ligada ningtrnade las va¡iables libres en que el substiruyenre exceda .i"J",iroi¿o.Por ejemplo: A partir del esquema válido ,,(x)px_tpy,,,

Dodemossubstituir la letra-predicado de una variable, ,,p,,, por oaa. qu. "o.-prenda dos variables. Sea ,.p,, esta lerra. La substitución, .i-,o.r..",se i¡dica

^síl (Q(,..2)/p.,,), Efec¡uando dicha operación lui".r,",r"u

re sulta:(x)Qkz))Q0z)

esquema que, de acuerdo a nuestra regla, conserva la validez deI o¡i-ginal. Así también, si opráramos por la substicucióD ((Ez)e(,..2)/p,..)¡esultaría el esquema válido I

(x)(E z)Q(x, z).t(Ez )eg, z)En cambio. no acata¡ía las e

ci6n ( (t).y )e(.. .y ) /p... ), .,,, . "," :'^s"'J::i".ñ::'.:"'

re gla la substitu-

(t )(ti y )Qk,y )> (Ey )e 0,y )no es válido, corno puede mosüarse fácilmente, hablando de los hom_bres, mediante la especificación ,.Q= es hiio de,,. pe¡qug

", "" o"._dadero que [odos ]os homb¡es tie¡en padre, no lo ." qo" ,rn *rnb."sea hijo de sí mismo.

," ll-l^..ii: variabte tigada puede subsrituirse por otra variable Iiga_oa cuarqurera, siempre que se la substituya en el cuantificador y enlos Iugares del alcance de éste.

_Por ejemplo: en los esquemas váIidos ,,py)(Ex)px,,

y), 4ryQy" podemos efecruar la substitución (z /x); res¡lt'a

I'y )( Ez) Pz(z)(PzvQz) t. PyvQy

"(x )(PxvQx)respectiva -

Asimismo, dada la validez de ,,(x)pt:)(Ey )py,,, se obtiene medianteeste tipo de substirución el esquema válido ,,(x)px)(Ex)px,,,

-,^L.^, aj "\(x)" es un_principio; .,(x)S(x),, también lo es. Sea, ene¡ecto, rj un esquema válido crralquiera (por ejempl9,,¡¡¡ teorema delcálculo ¡ro¡osiciooal). Se tiene.

E lsl¡)Il'(x)S(x)

(por construcción)(Rar)(¡or hipórcsis)

(li¡r)

l2\4

Rd: Pueden substituirse todas las variables de un esquema, siem-pre que en cada caso se haga en todas partes y de la misma manera;además, las variables diferentes deben ser substiruidas pot variablesdife¡entes.

Esta regla resulta de laPor ejemplo:

P(y,z ))(Ex)P(x,z)P(u,z ))(Ex)P(r, z)P(u,z))(E!)P b,z)P(t,u))(Eu)P(t¡'u¡)

aplicación combiaada de (Rbr') y (Rb'v I

(Rb,, )(Rb,v )(nu" ,

107. Con todos los elementos atteriores, e incluído el cálculo propo-sicional, estamos en condicio¡es de establecer los teoremas de estecálculo. Po¡ r¡era sustitución resulta:

"Í si PrrrPrt,)Px (A,a)Tsr: Pr). P.rvgr (A,b)Ts6: P,r). PrvQy (A,b)"l s7t Px)Q/,):Ryv Px.),Ry,t Qx (A,d) etc., etc.En el caso de tales teore¡¡as se pueden aplicar las reglas (Rat)

y (Rc), y obtener de esta manera nuevos teoremas que comprendenoperadores. Por ejemplo:

'l ";

(r)(PxvPx,)Px) 1T."; nc¡"f s; Px )Q,.)(y )(Ryv Px.l.pyopr¡ (T5,; Ra')Es fácil ver que, de modo patecido, se originan numerosos teoremas;

asimismo, al lector basta¡á una ojeada para percibir si un teoremacuar¡tificacional ha resultado o

T oo:. (x )Px) (Ex )Pxp)q, ):t)p,).t)q

oo direc¡amente de otro proposicional.

Py )(Ex ) Px. ) :(z)P z)Py,), (z)Pz)(Ex)PxPy)(Ex)Px

(z )Pz ) Py.). (z)Pz )(E x)Px(z)Pz)Py

(z)Pz)(Ex)Px(x)Px)(Ex)Px

(T.)

(Rb' I Py /p; (Ex)Px /q;(z)pz h(A,f)

(Ra)(A,c: z /x)

(Ra)(Rb'v)

La demostración anterior muestra a las cla¡as que la regla de ran-sitividad (Rr) sigue valiendo en el cálculo cuantific ac iona l, es decit,que los principios cuanrific ac ione s ..Sr)Sr,, y .,Jr)S3,, permiten for-mula¡ el principio cuantificacio¡al .,Sr)T.,,, Sobre Too , puede el!cctor pre¡luntarse cómo, no habieodo en ',(x)pr" sentido existericialninguno, pucdc rl¿r¡sc. el consecucntc ,,(tjx)px" a patci de ,,(x)px,'.

2\5 |

Para disolver esta pequeña dificultad basta con ateDerse a los casosen que la extensión de "Px" es nula; potque sólo entonces rlo haycontenido existericial. Pero en tal caso, sieodo el antecedente falsopara todo valor de ,t, es verdadero entonces el condicional.

'f ú, P\ (x )Px.). Pv (Et )Px(r)Px)(E:.)Pxp'r (t)Px.).p\ (Ex )Pr^16,t - (Ex )Px)-(x)PxP)q.).-q)-P (T,)(x )Px) (Ex )Px.-,.-(Ex )Px )- (x )Px (substit. )

-(Ex)Px)-(x)Px (Ra)

"f 6!t P)(x)P,c.).P) (Ex )PxP\ (x)Px.:.P,¿ (Ex)Px

-p! (x ) Px.). -pv (Et )PxP)(x )Px .). p)(Ex )Pt

^t u.t p,t - (Ex )Px. -'t. Pt¡ -(x)Px-(Ex )Px )-(x )Pxpv - (Ex )Pt.). pv - (x )PxAhora, algunos teoremas que nos

aplicado a un esquema anfibio.^l *, (x)(p! Px )).p,¡ (x )Px(Y)PY>Px(y )(?,¡Py ):.N Px

-(Y)(Pu PY hP" P*- -CU )@',Py )"Ph P,-(-(y )(?'¡ Py )'¡P)) P,-G0 )(Pv Py )vP))k )Px-(y )(?v Py hP'¿(x)P¡c(y )(P'r P!)).P'¿ (x)Px(x )(p\¡ Px )). pi (x)Px

"f "":

p\(r)Px.)(x )(pyPx)(x )Px )Py.)tpv (t )Px.).p\PyP'{(r)Px.).PvPyP\(x)Px,,1(f )Q\Py)Fk)Pt.)(:t)(fuPr)A partir de Tos-To¡. )¡ mediante

tamente:'t .,t (x )(p) Px )).p)(x )Px'l 6st p )(x )Px.-)(t()(p ) Px )'Í o": Q)(pl'x ) tp(x)l>x

| 216

(r"" )(T., Ra, etc. )

(T", )(-p /p)(D,a)

(Tur)(Ra, etc. )

permiten manipular un operador

(Ae: y /*; x/y)(Rb"': PvP,.. /P..,)(D,a)(Doble negación)1na)(Ra')(Da)(Da)(Rb'v)

(A,d: Rbr)(A,e; Ra)(P.at ; y /z)(Rb'v )

substitución, se esrablecen inmedia-

(r') ( tr)(pPx) )PPy(2) PPy)PYO) G)QPx))PY(4) (x)(pPx))(y)Py(5\ k)QPx))(x)P'.(6\ PPyX(7) G)@Px))P(8\ P)q, P)tt) P)qr(9) k)QPx )>!.(x)(PPt))(x)Pt I

). (x)(pPx ))P(x )Px(10) (x)(PPx))P(t )Px

'Ín I pq)Px)(r)(pPx)(L) P)q ),tP)rq(2) ('. )Px)Py ').P(x)Px)PPYo) pk)Px)pPy(4) p(x)Px:.(y )(pPy )(5\ P(x)Px )(x )(PPt )

Es claro que los teoremas Tu"-T"o son ampliables; eo Particula¡'y recurriendo al expediente de la mera substitución, podemos anotar:

'f,,: (x )(pvq't,. 'v Px D,pv qt...v (r)Px"f,,: pv qv ---v (x)Px )(x)(?v qv...v Px )'Í,; (x)(Pq,, Px))?q..'(x)Px"f ,,: ?q,. ('c )P x) (x )(Pq... Ptt )En el capítulo anterior mostramos que "(x)" se distribuye a tra-

'tés de "PxQx", es decir, que es válido el bicondicional "(¡)(Px

Q x)= (x)Pr (x )Qx". Ahora vamos a probat sus dos partes:

^t?{ k)(PxQr))(r)Px '(x )Qx(L) (*)(PxQt))PyQy(2) PyQy)Pr(1) PyQy)Qy(4\ G)exQx))Py(5\ G)(PrQr))QY(6 k)(PxQx))(y)PY(7\ ('.)(PxQx))(y )Qy(8) (x)(P'.Qx))(y)Py (y )Qy(e) (x )(PxQx)) (x )Px(t)Qx

"t,u: 6)Pr (x )Qñ G )(PxQx)

P)q,r)s.).fu)qs(x )Px )Py.(x)Qx)Qy.). (x)Px(x) Qx)PYQY(x )1".k )Qxa) PyQY(x )I>x (x )Qx' (y )(t'y Qy )

(x)Px(t)Qx \(/ Xl"Qf )

(Let PP... /P...)(pq)qt Py /q)(R,)(Ra')(Rb'v )(Pq)P: Py /q)(R": (1), (6) )(T,.)

(Rb; Rbr )(R")

( r,,)(Rb; Rbr )(A,e; Ra)

lRat : y /x)(Rb,v )

(Ae:. P. .Q.,, /P...)(Ps)P)(Pq)q)(R,: ( 1), (2) )(R.,; ( 1), o))(Rar)(Ra')(T".: (6), (7) )(Rbrv )

(r..)

(Rb')(Ra)(Ra' : y /x)( Ill)'v )

211 |

Aun cuando "(x)" ¡o es distributiva respecto de ,,pn] ex,,, hayel teorema:

"f nt k )(Pt)Qx)). (x)px)(x)exPara probar este teo¡ema vamos a emplear dos lemas del cálculo

proposicional, establecidos en el capítulo segundo con el obieto deprobar Tr.; tales lemas sooi(a\ p). q)r:=:q). p)t(b) P).q)r: =. pq)tLa prueba de T,, es como sigue:(7) (x)(Px )Qtc)). Py)Qy(2\ Py). (x)(Px )Qx ley(3) (x)Px)Py(4) (x )Px l. (x)(Px)Qx Dey(5) (x)Px('c )(px)ex ))ey(6) (x)Px(x)(Px )ex D0 )ey(7) (x )(Px)Qx ),1.(x )Px )(y )ey(8\ (x )(Px)QxD. k )px)(x)ex

T,": (r )(Px =Qx)1. (x)px=(x)ex(1) ( x)( Px )Qx D. 0r )

px ) (x )ex(2\ (x)(Qx) Px )>. (x)ex (x)px

En virtud de T.., las implicaciones (1) y (2)y a partir de taf conjunción, medianre el"p)q i)s.), pr)qs,,, se obtiene T"".

En el capitulo anterior mostramos, basándonos melamente en esentido de los operadores ,,(x)" y ,'(Ex)",las equivalencias:(l) (Er)Px =-(x)- Px(2\ (Ex)-Px =-(x)Px3) - (Ex )Px =(r)-Px(4\ - (Er )- Pr =(x )PxLa demostración es como sigue:

T"o: (Ex)Px)-(x)-Px(1) (x)-Px)- Py(2) Py)-(x)-Px(3) ( Ey )Py )-(x)-Px(4\ (Ex)Px)-(x)-Px

"f "o

: -Q)-Px]-(Er)px(1\ Py)(Ex)Px(2) -(Ex)Px)-Py(j) - (Ex )Px)(y )-Py(4\ - (y )-Py ) (Ex)Px(5) -(x)-Px ) (Ex )pxl zTB

(A,e; R"'r P...)e.., /p...)( lema (a), (1) )(A,e)(Rz)(lema (b) ).

(Rat : y /x)(lema (b)r (ó) )(Rb'v )

(r",)(T,,)

se afí¡man conjugadasteorema ProPosiciona

(A,e: - p.,. /p,.. )(T,; (1))(n""¡(Rbw)

(A,f )(T,; ( 1) )(Rat : y /x)(T": (l) )(Rb,v )

T ",:

(Ex )-Px)-(t)Px(1) 6)P,()PY(2) -Py)'(x)Px(3\ @Y)-PY)-(x)Pt(4\ (Ex)-Px.-- (x)Px

"Í s2t -k)Px)(Ex)- Px(1) - -P¡)Pr(2) (x)(- -Px)Px)(3\ k)G -Px))(x)Pr(4\ -(x)Px)- (x )- (-Px )(5) -k)-GPx))(Ex)- Px(6) -k)Px)(Ex)-Px

A partit de T"¡T"r, mediante traosposición, es decir, con ayuda de

Tr, obteoemos sucesivame¡te :

^f

""2 (x )- Px)-(Ex)Px

-f ",1

-(Ex )Px)(x )- PxT sst k)Pt )-(Ex )- PxT s6t -(Ex )- Px)(x )P*Ayudáodonos con el signo "=" podemos forrnular, a partir de lo

estabtecido hasta aqui, los teoremas siguientes:TBTt fu )(Pv Px )=, Pv (x )Px7",r (x)(p )Px)=.p )(x)PxTs,,0.)@Px)=p(x)PtT".: (x)(PrQx )=(x )Px(x)QG )'Í ",:

(Et )Px =-(x )- Px^Í

""t (Ex )- Pt=-(x )Pt

T "":

-(Etc )Px =(x)- PxT sat -(Ex )- Px-(x )PxPara desplazar el operador "(Er)"

importantes los teo¡emas siguientes:-f ss, Gx )(P'¡ Px )). Pv (Ex )Px

(t\ Py)(Ex)Px(2\ Py Py ,).1¡v (E x ) P x(t) (Ey )(pv Py ),>.py(Ex )Px(4) (Ex )(pv Px) ).pv(Ex)Px

T e6:. p! (Ex )Pt.)(Ex )(pvPx )(l) pv Py.)(F.x)(p'¡ Pr )(2) Py 1.. pv Py(3) Py )(Er )(pv Px )(4\ (h'v)lry ¡(Ex )(Pv Px)(5\ l')l'v t'Y(6\ l"(tix )(l'\ Pr l

fórmula, son

(A,e)(T"; (1) )(Ru"¡(nu'" ¡

(- -P)P: Px /P)(Rc)(r"")(r,; (3) )(T"" )( n,: (4) (5) )

dentro de una

(A,O(A,d; ( 1) )(Ra")(Rb,v)

(A,f)(A,b)(R,: ( 1), (2))(R.")(A,b)( li.,: ( 1), (5) )

21e I

. Atendiendo ahora a las implicaciones (4\ y (6\, y reniendo presenreel teorema proposicional:p )q,t ) q, ):p,rr.)q

podemos hacer la aplicación que corresponde y anotar el consecuenreque rep¡esenta nuestro teofema, a saber:

p'¿ (F.y )Py.)(Ex)(pv px )pv (Er)px.)(E x )(py pr ) (Rb,v)

Telt (F.x )(pPx))p(Ex )px(1) Py )(Ex)Px (A,f)(2\ pPy)p(E'c)p't (T.,)(1) (sy)QPyDp@x)Px (Ra,')(4) (Ex)(pP'.Dp@x )px (nU'' ¡

E[ teo¡ema T", y su recíproco pueden demostra¡se de una vez me-diante las equivalencias entre operado¡es que hemos desarrolladomás atrás. Tendremos:(l\ (x)(pv -px )=pv(x)-px (t",: _p.,,/p,..)(2\ (x)- (- pPx )=- (-p- (x)-Px ) (principio de f)e Morgan, (1))(3) -(x)-(- pPx)=- ?- (x)-px (negación de ambos ,iiemb.o,

l.as transformaciones del desa¡¡ol10 aoterio¡ son de rápida acepta-ción. Por ejemplo, el paso desde e[ primer miembro de il) "t pri...miembro de (2) se efeccúa mediante un ¡eemplazo. La equivalencia im-plicada se es¡a[rlece de la manera s¡guiente:

(4\ (F.x )(-pPx)= - p(Ex)pr(5\ (F.x) (t,px )=p(Ex)px

f)e manera que, tomando(5), se tiene la implicación

T "{ p(Er)Px ,-(Ex )(ppx)

Pv q .=- GP-q)Pt - Ptc,=- (-p-Px)(x )(pv- Px )=(x)-(-p- px )

en (2) )(T"" )

cp /p)la ¡mitad' que imporra de la equivalencia

siguieote:

(T,5 -T16)(Rb' )(Rc; T,.)

("fs"t -P... /P...)(Principio de De t\lorgan, ( t ) )(negación de ambos mie mbrosde (2))(T,, )

ft¡r¡nul¡rl;rs I'or l<¡s r<.o¡cm:rscl {)rr¡,s (.irs()s. I,(). ..j(.rrt)lt),

l\lediante aplicación análoga, pueden establecerse los teotemasTrr-Tnu, es decir, la equivalencia:

7,,, Et (lN px)=. pv (Ex )px(1) (x)(p- Px) -=p(x )- px(2) (x)- (- pv px )=- (- p,¡ - k)-px )(1\ -@)-?tN I'x )=. -py (Ex )px

(4) F:x (-lN px)=.-lN(Er)px(5\ (ttx)(ry Px)= F Er )px

I-:rs equivalencias ofrcr:rcionales'l',,, -'1 .,n st (.rlplcan (lc rnorkr ¡rrrcc irLr

| ¿.lo

en el capítulo anterior vimos que el ope¡ador existencial se distribuyea t¡avés de la alternación; podemos establecer aquí dicha propiedadmediante el teo¡ema:

"f úo | @x)(Pxaex)=. (Ex)pxv(Ex)ex(t) (r)(PrQx)=(r)Px(x )ex (T"" )(2'l k)FPx-Qx)=(x)- Px(x)-Qx (-P.../p...; -a.../a...)(3\ (x) -(Pt aQx)=-(-(x)-Pxv-(x)-ex) (principio de De Morgan,(2))(4\ -(x)-(PnQx)=- (x)-Pxv-(x)-Qx (Negacióo de ambos miembros

de (3) )6) Gx)(PxaQx)=(E t)Px't (Ex )px (T o, )

Sobre el orden de los operadores, establecemos los reoremas siguien-tes:

Í,o,2 (x)(y )P(x,y))(y )(x) p (x,y)(l) (z)fu)P(z,t))(c)P (x,a) (Ae; ¡6' ''¡(2', (¿)P(r,¿¿))P(x,y ) (Ae; Rb',,)(3) k)ft/)P(z,r¿))P(x,y) (R,: (t), (2) )(4\ (z)(r)P(z,r))(r)P(t,y) (R",)(5\ (z)('!)P(2,'!))(y)k )P(x,y) (Ra,)(6) (x)(y )P(x,y ))(y)(* )P(x,y ) (Rb,)

Para el recíproco de Tro, se sigue el camino que sugiere la pruebaa¡rte¡ior, Se tiene:

^f ,.: (y )(x)p(x,y))(x)(y)p(x,y)@ )(z ) P (2, a)) (z )P (z,y )(z )P(z,y ))P(x,y)(r)(z)P(z,r))P(x,y)(¿ )(z ) P ( z, t)) (y )P ( x,y )( a )(z ) P (2, a)) (x )(y )P (x,y )(y ) (x ) P (x, y )) (r )(y )P (x,y )Pa¡a la conmutatividad de los operadores existenciales se esta_

blece el teo¡ema:"f ,o.: (Er )(Ey )P(x,y )=(Ey)(Ex)p(x,y)

(r) (x )(y )P (x,y )=(y )(x )P ('c,y )(2\ (x)(y )- P (x,y )=(y )(x )- P (tc,y )0) G)- @y )P(x,y )=(y )-(E")P(x,y)(4\ - (Ex )(Ey )Pk,y ts- @y )(E'r )P (x,y )6\ Gx )(Ey )P (x,y )= (Ey )E x )P (xy )

En este desarrollo, y p^r^ sinplificar las fórmulas eliminando sig_nos de agrupacióo, hemos implicado un principio sobre (4): la nega-ción delante de un operador se aplica a la proposición que ese opera-dor encabeza.

'f \oat ( It x )(y )P (t,y ) )(y)F.x)p(x,y)

I'(x,y) t(tiz)t'(z,y) (AL I'(.-.y)/p..., x/y; z/x)24t I

(y)(P(x,y ))(Ez)P(z,y) ) (Rct z/y)(y )P(x,y ))(y)(Ez)P(z,y ) (T,,)(Ex )(y )P(x,y))(y )(E z)P(z,y ) (Ru'

' ¡(Ex )(y )P(x,f ))(y )(E'r)P(x,y ) (Rb'v)Como ya sabemos, Tr* no tieoe recíproco.Suponemos que a es@ altu¡a del desarrollo el lector ha captado

lo esencial del cálculo cuantificacional, No hemos elabo¡ado de ma-nera completa esta teotía; peto lo que falta se sujeta a los mismosprincipios.

| 242

BIBLIOGRAFIA

La lista que sigue, comprende únicamente los libros que he tenidoa la vista al preparar es¡as lecciones.

Atist6tele s. - 0r g at on.

Alfred Ayer.- Langtage, Tutb and Logíc.George Boole.- Laus ol Tborgbt.Cohen and Nagel.- ,{z Introducriol to Logic and Scierrtilical Metbod,

Hilbert and Ackermann.- Matbemalical Logíc,Stanley Jevoos.- Elerrreatdry Lessois in Logic.H. H. Joachin.- Logical Stt¿ies,

Joseph.- Az lnt¡odtction ,o Logí.,C, I. Lev¡is.- A Suuey ol Symbolic Logic.Lewis aod Langfotd-- Synbolic Logic.Lukasieq'icz.- Atistotle's Sy llogistic,Qwiae,- Method ol Logic,

Qui¡e.- Mdrbemarlcal Logic,Enrico Rufini.- Il "Metodo" di Arcbimede e le Otigini dell'Analisi

In liri te s im ale ne ll' Anticbita.Russell and Vhitehead.- Principia MLtbet t^ricd,Schipper and Schuh.- A Fits, Cotúse in Modertz Logic.Gerold Stahl.- l¡tttodrcci6¡ a la Lígica Sinb6lica.Tarcki¡ lnttodtctiotz to Logic,Virtgenstein.- Ttoctotts Logico-Pbilosopbicrs,C. Henrik von Wright.- Logicol Sr dies.

243 I

INDICE ANALITICO(Los ¡úme¡os indican parágrafos)

Af'nnaci6a, 26, 11'Agrupación,20,21.Alca¡ce de a8rüpación, 20,85Ahcrnación, 2, 10, 12Altcroarivas, l0A¡ílisis dicotómico, 28AlSume¡raos coadicionalcs, 72, 75Asociatividod, 9, 10, 11,11, t9Atribución,43Atributo,4,lA¡iom¡, 38, 39, 106

Bicoadicional, 2, 19,

Cilculo coaversional, 6)Cálculo cua¡¡if icacional, 107Cálculo (¡oción de) 38Cálculo oposicional, 68Cálcülo proposicio¡¡1, 3gCálculo silogístico, 70Ca¡tidad del pedicado, 48Clase rula, 46Cláusula, 7Comprcnsión,48Combinación,6Conclusión, I5Co¡dición necesaria, 16, 18Condició¡ suficieate, 16, 18Condicional, 2, 16, 18Conectivas derivadas, 2!Conec¡ivas intetpropos icioaa les , 2Conectiva mono, bi, ari, ... n-proposi -

cional, TConec¡ivas primitivas, 14, 2!Conjunci6n, 2, !Conmutatividad, 9, 10, 11, 14,39Consisrencia, S8Contradicción, 21, t2, 45Cont¡aposición,51Contratiedad, l5Conversión,48,90Conversión por limitación, l8Conversión por ncgación, J0Conve¡sión sim¡le, {8

Cópule,4áCuodrado aristotélico, 4JCualid¡d, {4Cu.¡tificaciótr,,14, 81Cu¡ntificació¡ múltiplc, 85, 86

Dccisióo, 21, 27,32, tOO, l1lDecisión dicotómica, 28Defi¡ició¡ ronioal, 1,fDefi¡ición sinbólica, 8, 14Definición (sistenas de), 29Definiciones, l!Dcfinicio¡cs (secuencia de ), 38Díct4r, de O*¡i et. N la, 46Dil€n¡, 74Dilema compleio coast¡ucrivo, 74Dilema complejo dcsr¡uctivo, 74Dilema simplc corsarr¡ctivo, 74Dilema simple destrüctivo, 74Distribución, ,14

Distriburividad, 22, 39, 88Disyunción, 11Disyuntiv¿, 11Dualidad (pli¡rcipio de) 32Dualidad (relacióa de) 33

Eatirrema,65Epiménides (paradoia d€ ), 33Epiquerema,6!Episologismo,65Equivalencia, 10, 19, 16, 37Especificaciór, 3Esquema abierto, 84Esquema cerrado, 84Esquema consistente, 2lEsquema cuantificacional, 78Esquema inconsistente, 23Esqucrna normal akertrativo, 30Esquema normal conjuntivo, 30E squema proposicional, lEsquema válido, 21, 32Extensión,44,76

!'alacia del ¡nteced€n.e, tB, 72

245 I

ralacia del consecuenre, 1g, 72Falsedad,6Falsedad-co¡jutrta, 2, l4Figuras (del silogismo), 54Función de p¡oposición, 2jFuncióa (noción ¿e), 2.1,, 25Función ptoposicional, 76

Identidad (principio de), 4!tmplicación, 16,37Incompatibilidad, 2, 1jfncoasisrencia,23, t2Independencia, lBInferencia, 35, tO4, t1jInfe¡encia i¡.o¡.edi^a, 47 ,j2I¡feteocia mediat.., 47Inferencia (p¡iqcipio de), t5Infe¡i¡,35Intercambio, 11, 36Inte¡cambio (p¡incipio de), 36lnte¡p¡eración formal, l6Incerpreración material, l6

Lenguaje-objeto,34Lensuaie y metalensuaje, l4Leyes de De Morgan, lj, 19Linitació¡,44

Mediación,47Mención y uso,34Metalenguaje, 14Modos (del silogismo), 54Modls pcrnet do tollens, 71, 75Ito&.s tonens, 72,7jModÁ toll.ens, 72,7j¡nodrs toryendo po"errs, j3, jj

Negación,2,8,44Negación doble, S

Negación (de u¡ esqü€ma ¡ormal), j2Niveles de lenguaie, 34No-contradicción (principio de),45, 46

Operador exlstencial, 8lOperador universal,8lOperadores cuantif icaciorÉles, glOposición, 45, 90

I 246

Paradoias, 34Pa¡énresis y Puntos.20Permutación, d9Polisilogisrno, 65Predicación,44Predicado,44Premisas,35Premisa mayor, j3P¡emisa menor,53Principio,39Proposición c*e6&ica, 14Proposición categórica á.fiEm .iva, 44Proposición categórica ¡e Ca¡iva, 44Proposición categórica particular,44Proposición categótica universal, 44Proposición compuesta, 4, 71Proposición co¡ve¡sa, 48P¡oposición di¡ecta, 48Proposición elemental, IProposición-petmutada, 4!Proposición-petmutando, 4!Proposiciones condicionates, 7lProposiciones disyuntivas, 7lPtoposicioaes hipotéticas, 7lProsilogismo,65Prueba (noció¡ de) , 38

Reducción ( a esquena no¡mal), t0Reemplazo, 31Reemplazo (principio de) , 16, 19Reglas de reducción,28ReBlas (del silo¡ismo). 55Reglas primitivas, l!, 106ReSlas (teoremáticas), 39Relación biunívoca, 24, 25Relación refleja,33Relación simétrica, llRelación transitiva, ll

Saturación,38Silogismo categórico, JlSilogislno disyuntivo, 72Silogismo hipotético, 72Sinonimia, l3Sorites,6JSubcontrariedad,4JSubo¡dinación,45

Substituci6n, 22, tl, 102, tO3 Térmiuos singulares,44, 62Sub¡titrrció¡ (re8la de), 39 Térmioos unive¡sales,44,62Suleto,,f4süperordinaciótr, 4i T¡ansformación' 36

T¡arsitividad irnplicaciooal, lJ, 72

Tabla de verificación, 27rattotosia,23,32 $::'ñ'",'.1Í:'rT"'' ttTautologías (secueacia de), 3gTeoreme,38Teo¡emás (Füeb¿ de), 39 V^lidé¿,95,96Té¡mino nedio, 47 Variable libte, 84Térnioos (dcl silogisno), Jl Veriable .tigada, 8.1Términos (ea la p¡oposicióa), 44 Variablc y valor, 76Términos (no definidos), lp Verdad, 6

247 )

Comprende este libro la porción más volumino'sa de un curso completo de Lógica dictado -par'te en la Universidad de Chile, parte en la llni'versidad de Concepción- entre los años 1958 yf963. Los tópicos incluidos fueron selecciona'dos con la viita puesta en el carácter introduc-torio del volumen; en todo caso, el contenidorepresenta un núcleo obligado de formaciónelemental.

Para exponer los tópicos elegidos, el autor ha

recunido a dos procedimientos diferentes con el

propósito de familiarizar al lector con el cálculo

lógico: primeroz expone directamente el asunto

y establece las leyes y principios de modo empíri'co y descriptivo; luego, procede a formalizar el

material así presentado, desarrollando eI cálculo

respectivo.Los tópicos así elaborados son: lógica de pro'

posiciones y cálculo proposicional; lógica de laproposición categórica y cálculo de la proposi'.i¿" eategórica ( cálculo oposicional, conversio'nal y silogístico) ; lógica cuantificacional ycálculo cuanti{icacional.

El texto, aparentemente? se encuentra recar'gado de fórmulas y aparato matemático; sin em'

bargo, ha sido preparado de modo que un lectorcorriente y ajeno a estas materias pueda leerlosin dificultad, aunque deba esforzarse un poco.

El capítulo "Lógica de la proposición categó-

rica" comprende lo esencial del curso de Lógica,

que incluye el programa de segunda enseñanza.