curso de concreto armado

CURSO DE CONCRETO ARMADO

Volume 3

JOS MILTON DE ARAJOProfessor Titular Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia

CURSO DE CONCRETO ARMADOVolume 3

Editora DUNAS

CURSO DE CONCRETO ARMADO

Copyright Editora DUNAS

A663c

Arajo, Jos Milton de Curso de concreto armado / Jos Milton de Arajo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.3, 3.ed.

Bibliografia 1. Concreto armado. I. Ttulo

CDU 624.012.45 CDD 624.1834 ISBN do volume 3: 978-85-86717-11-6 ISBN da coleo: 978-85-86717-08-6

Editora DUNAS Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova 96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil www.editoradunas.com.br e-mail: [email protected] _____________________ 3a edio, Novembro/2010 _____________________

APRESENTAO

Este Curso de Concreto Armado dirigido aos estudantes de graduao em Engenharia Civil e aos profissionais ligados rea de projeto estrutural. Para uma melhor apresentao, a obra foi dividida em quatro volumes, com uma sequncia que nos parece apropriada do ponto de vista didtico. No nossa inteno abordar todos os aspectos relativos ao tema, o que seria impraticvel em virtude de sua abrangncia. Nosso nico objetivo apresentar um curso completo e atualizado sobre os mtodos de clculo das estruturas usuais de concreto armado. Em particular, o Curso dedicado ao projeto das estruturas dos edifcios. Nesta terceira edio de Curso de Concreto Armado, fizemos diversas alteraes, alm da incluso de novos contedos e exemplos numricos. O leitor ir constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados, em relao edio anterior. No volume 1, por exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento flexo simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite ltimo. Diversas inovaes sobre o clculo de lajes macias, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, inclumos novos contedos sobre o contraventamento dos edifcios e o dimensionamento dos pilares. No volume 4, acrescentamos um captulo sobre o projeto estrutural em situao de incndio. Alm disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. Enfim, esta edio sofreu uma completa reestruturao, tanto em termos de contedo, quanto em termos de procedimentos de projeto.

Rio Grande, Setembro de 2010.

Jos Milton

PLANO DA OBRA

Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fundamentos de segurana. Flexo normal simples: dimensionamento e verificao de sees retangulares e sees T. Esforo cortante. Ancoragem e emendas das armaduras.

Volume 2: Clculo de lajes macias. Clculo de vigas. Estados limites de utilizao.

Volume 3: Flexo-compresso normal e oblqua: dimensionamento e verificao de sees. Clculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Aes horizontais nas estruturas de contraventamento.

Volume 4: Dimensionamento toro. Flexo-trao. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatrios. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Fundaes. Projeto em situao de incndio.

SUMRIO1. CONSIDERAES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES .............................................................................1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 A equao diferencial de equilbrio dos pilares .......................1 Condies de contorno.............................................................5 Soluo da equao diferencial................................................6 Estabilidade dos pilares de concreto armado .........................10 Hipteses bsicas do dimensionamento .................................12

2. DIMENSIONAMENTO FLEXO-COMPRESSO NORMAL ...................................................................................15 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Apresentao do problema.....................................................15 Seo retangular com armadura distribuda ...........................18 Clculo das tenses nas armaduras ........................................21 Clculo da resultante de compresso no concreto..................26 Equaes de equilbrio...........................................................27 Clculo da posio da linha neutra.........................................31 Elaborao do programa computacional ................................33 Tabelas para dimensionamento ..............................................35 Exemplos de dimensionamento..............................................36

3. DIAGRAMAS DE INTERAO NA FLEXOCOMPRESSO NORMAL ........................................................41 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 O emprego de diagramas de interao ...................................41 Obteno dos diagramas de interao ....................................42 Armadura teoricamente desnecessria ...................................44 Frmulas aproximadas de dimensionamento .........................45 Escolha da disposio das barras ...........................................48

4. ANLISE DA FLEXO-COMPRESSO OBLQUA.................51 4.1 - Apresentao do problema.....................................................51 4.2 - Equaes de equilbrio...........................................................52 4.3 - Rotao do sistema de eixos ..................................................55

4.4 - Clculo das tenses nas barras da armadura ..........................58 4.5 - Determinao da parte da seo comprimida com o diagrama retangular...............................................................59 4.6 - Verificao da capacidade resistente .....................................62 5. DIMENSIONAMENTO FLEXO-COMPRESSO OBLQUA...................................................................................69 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 O problema do dimensionamento ..........................................69 Determinao da inclinao da linha neutra ..........................71 Clculo da rea de ao ...........................................................75 Exemplos ilustrativos.............................................................76 Tabelas para dimensionamento de sees retangulares..........79 Processos simplificados de dimensionamento .......................81

6. CONSIDERAES SOBRE O CLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO ......................................................83 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Introduo ..............................................................................83 Estruturas indeslocveis ou de ns fixos................................85 Determinao do ndice de esbeltez.......................................95 Classificao dos pilares quanto esbeltez............................99 Processos simplificados para a considerao dos efeitos de segunda ordem ....................................................104 6.6 - Considerao da fluncia do concreto..................................115 6.7 Efeito de segunda ordem nos pilares-parede ........................119 6.8 Flambagem local das lminas dos pilares-parede.................121 6.9 Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local ..............................................................131 6.10 Imperfeies geomtricas localizadas em pilares-parede ...137 7. CLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS ..............143 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Introduo ............................................................................143 Situaes de projeto dos pilares ...........................................143 Situaes de clculo dos pilares...........................................148 Exemplos de dimensionamento............................................159 Simplificaes para os pilares contraventados dos edifcios .........................................................................178

8. DISPOSIES CONSTRUTIVAS ..........................................187 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 Consideraes gerais............................................................187 Dimenses mnimas das sees dos pilares .........................187 Armadura longitudinal .........................................................188 Armadura transversal ...........................................................189 Cobrimento da armadura......................................................194 Proteo contra a flambagem das barras ..............................195 Emendas das barras..............................................................197 Desenho de armao dos pilares ..........................................202

9. PILARES ESBELTOS..............................................................205 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Introduo ............................................................................205 Deslocamentos em barras esbeltas .......................................207 Relao deformao-deslocamentos ....................................209 O princpio dos trabalhos virtuais ........................................210 O mtodo dos elementos finitos...........................................212 Implementao computacional do mtodo dos elementos finitos .................................................................218

10. ANLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO.....................................................223 10.1 Introduo ..........................................................................223 10.2 Processo simplificado para repartio das foras horizontais ...............................................................224 10.3 Imperfeies geomtricas globais dos edifcios .................234 10.4 Anlise de prticos atravs do modelo contnuo ................237 10.5 Interao entre painis de contraventamento com comportamentos distintos...................................................242 10.6 Processo rigoroso para repartio das foras horizontais ...248 10.7 Anlise de uma subestrutura de contraventamento.............258 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .........................................267 APNDICE 1: Tabelas para dimensionamento flexo-compresso normal .....................................271 APNDICE 2: Tabelas para dimensionamento flexo-compresso oblqua ....................................305

Captulo 1 CONSIDERAES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES

1.1 - A equao diferencial de equilbrio dos pilares Considere-se o pilar indicado na fig. 1.1.1, submetido a uma fora normal P e a uma carga transversal q . Por hiptese, a fora de compresso P constante ao longo do eixo do pilar e a flexo ocorre no plano de simetria x z .

P z W q l

P xFig. 1.1.1 - Carregamento do pilar Com a aplicao do carregamento, a barra se deforma de modo que a flecha em uma seo transversal genrica W = W (x ) . Nessa seo atuam a fora de compresso P , o momento fletor M e a

Consideraes sobre a estabilidade dos pilares

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relacionada com as caractersticas mecnicas dos materiais, dado o nome de "no linearidade fsica". No caso do concreto armado, a grande dificuldade para se obter a soluo da equao diferencial consiste na determinao da rigidez flexo das sees transversais do pilar. Isto ocorre porque a relao entre o momento fletor e a curvatura, para um dado valor do esforo normal, no linear e s pode ser obtida por pontos, atravs de um processo numrico. Assim, rigorosamente falando, a anlise de um pilar de concreto armado exige o emprego de tcnicas numricas apropriadas. Diversos mtodos numricos tm sido desenvolvidos para esse fim, estando os principais apresentados na referncia [3]. Entretanto, do ponto de vista prtico, possvel introduzir algumas simplificaes que permitam resolver o problema de maneira aproximada. Dois tipos de processos simplificados podem ser empregados. Nos primeiros, resolve-se a equao diferencial de maneira exata, arbitrando-se um valor convencional para a rigidez flexo do pilar. Com isso, obtm-se o momento fletor solicitante mximo, que igual ao momento de primeira ordem multiplicado por um fator de amplificao, como na equao (1.3.4). Em geral, o fator de amplificao pode ser aproximado por

=

1 P 1 Pe

(1.4.1)

onde Pe a carga de flambagem do pilar, avaliada com uma rigidez aproximada EI . Com o momento mximo M max e com o esforo normal P , dimensiona-se a seo transversal em flexo-compresso. Esse o processo simplificado do ACI(4), tambm includo na NBR-6118(5). Em uma segunda classe de processos simplificados, arbitra-se uma funo W (x ) para a deformada do eixo do pilar, bem como a curvatura de runa das sees de concreto armado. Com isso, possvel calcular o deslocamento mximo, Wmax , em funo da curvatura de runa. O momento de segunda ordem dado por

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Curso de Concreto Armado

A tenso cd tem os seguintes valores:

cd = 0,85 f cd , quando a largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no diminuir a partir desta para a borda mais comprimida (caso de sees retangulares em flexo normal, por exemplo); cd = 0,80 f cd , nos casos contrrios (sees circulares em flexo normal, dentre outras). Para o ao, emprega-se o diagrama tenso-deformao de clculo apresentado na seo 3.2 do Volume 1. O mdulo de elasticidade do ao considerado igual a E s = 20.000 kN/cm2. O estado limite ltimo em flexo-compresso, correspondente runa de uma seo transversal, pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma deformao excessiva da armadura. Admite-se a ocorrncia da runa, quando a distribuio das deformaes ao longo da altura de uma seo transversal se enquadrar em um dos domnios da fig. 1.5.2. Nessa figura foi eliminado o domnio 1, por ser este um domnio exclusivo da flexo-trao.

2o/oo 3,5o/oo 3h/7 h 2 4 3 5 10o/oo b 4a

yd

trao compresso

Fig. 1.5.2 - Domnios de dimensionamento na flexo-compresso Os quatro captulos seguintes so dedicados ao dimensionamento e verificao de sees de concreto armado submetidas flexo-compresso normal e oblqua.

Captulo 2 DIMENSIONAMENTO FLEXO-COMPRESSO NORMAL

2.1 - Apresentao do problema Flexo-compresso uma solicitao composta por um momento fletor e por um esforo normal de compresso. Quando a flexo se d em um plano contendo os eixos de simetria das sees transversais do elemento estrutural, a solicitao denominada flexocompresso normal. Na flexo-compresso normal, a profundidade da linha neutra, medida em relao a uma borda da seo transversal, uma incgnita do problema. Entretanto, a orientao da linha neutra conhecida, j que ela ser sempre perpendicular ao plano de ao do momento fletor. Esse tipo de solicitao representado na fig. 2.1.1 para uma seo transversal retangular.

h/2 h h/2

Nd e cLN

Md x Nd c

Fig. 2.1.1 - Seo transversal sob flexo-compresso normal

Na fig. 2.1.1, h a altura da seo transversal e c representa o centroide da seo de concreto. A fora normal de compresso,

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N d , atua em um eixo de simetria da seo e est aplicada em umponto situado a uma distncia e do centroide. A solicitao representada pela fora N d e pela excentricidade e pode ser substituda pelo par de esforos (N d , M d ) , onde N d o esforo normal de clculo e M d = N d e o momento fletor de clculo. Uma vez que a orientao da linha neutra conhecida, resta determinar sua profundidade x , medida em relao borda comprimida pela aplicao exclusiva do momento fletor, para sua completa caracterizao. Por isso, x uma das incgnitas que devero ser encontradas na soluo deste problema. Na fig. 2.1.2, so indicados alguns tipos de sees retangulares de concreto armado, usualmente empregadas nos pilares dos edifcios.

h

bFig. 2.1.2 - Sees transversais tpicas dos pilares dos edifcios Todas as sees transversais indicadas na fig. 2.1.2 possuem a mesma armadura total, com uma rea de ao igual a As . Entretanto, a disposio das barras difere de uma seo para outra. Por isto, a capacidade resistente de cada uma delas ser diferente. O dimensionamento de uma seo transversal de concreto armado, submetida flexo-compresso normal, consiste na resoluo do seguinte problema: - dados os esforos solicitantes de clculo N d e M d ; - escolhida uma forma para a seo transversal de concreto e uma determinada disposio das barras da armadura;

Dimensionamento flexo-compresso normal

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Soluo: Como as dimenses da seo transversal so as mesmas do exemplo anterior, tem-se

= 0,60 ; = 0,37 ; = 0,10Para esse tipo de seo (com quatro camadas de armadura) e para = 0,10 , deve-se empregar a tabela A1.10. Entrando na tabela e fazendo as interpolaes, obtm-se = 1,13 . A rea de ao dada por

As = bh

cdf yd

= 1,13x 20 x 40 x

1,2 43,48

As = 24,95 cm2

Empregando a tabela A3.2 (Apndice 3 do Volume 2), verifica-se que essa rea de ao obtida adotando-se 4 barras de 20 mm em cada face lateral da seo, ficando-se com uma rea total igual a 25,13 cm2. A soluo apresentada na fig. 2.9.4.

40

420

420

20cmFig. 2.9.4 - Soluo possvel - Exemplo 2

Exemplo 3: Resolver os exemplos anteriores para diversos valores de f ck . Os resultados so apresentados na tabela 2.9.1.

40


Tabela 2.9.1 rea da armadura para diversos valores de f ck

f ck (MPa) As (cm2) f ck (MPa) As (cm2)

20

Exemplo 1: Fig. 2.9.1 25 30 12,41 10,63 Exemplo 2: Fig. 2.9.3 25 30 21,31 18,53

40 9,00 40 13,86

50 8,03 50 10,93

15,70 20

24,95

Conforme se observa, consegue-se uma reduo significativa no consumo de armadura com o aumento da resistncia compresso do concreto, ao contrrio do que foi verificado em flexo simples (ver captulo 3 do Volume 1). Pode-se concluir que vantajoso empregar um concreto de maior resistncia nos pilares. Esse valor mais elevado de f ck permitir reduzir o consumo de armadura e/ou reduzir as dimenses da seo transversal do pilar.

Captulo 3 DIAGRAMAS DE INTERAO NA FLEXO-COMPRESSO NORMAL

3.1 - O emprego de diagramas de interao No captulo anterior, foi apresentada a formulao para o dimensionamento flexo-compresso normal de sees retangulares com armadura distribuda simetricamente ao longo do seu contorno. Apesar de as equaes terem sido particularizadas para as sees retangulares, sua generalizao para outras formas de sees um trabalho relativamente simples. Isto feito, pode-se facilmente ampliar o programa computacional. Admitindo-se como sendo vlidas as hipteses introduzidas na formulao, o desenvolvimento apresentado matematicamente correto e leva soluo exata do problema. Evidentemente, essa soluo s pode ser obtida iterativamente e, para isto, necessita-se de um programa de computador. A soluo do problema tambm pode ser obtida quando se dispe de tabelas para o dimensionamento imediato, como as tabelas apresentadas no Apndice 1. Deve ser salientado que o nico erro que, eventualmente, pode ser cometido ao se utilizar essas tabelas o decorrente das interpolaes que so feitas para o clculo da armadura. Alternativamente, o dimensionamento pode ser feito com o emprego de diagramas de interao. Neste caso, o nico erro cometido o decorrente da leitura efetuada no diagrama. A opo por uma tabela de dimensionamento ou por um diagrama de interao simplesmente uma questo de preferncia. Um diagrama de interao um conjunto de curvas representadas no sistema de eixos dos esforos reduzidos ( ). Cada curva, correspondendo a uma dada taxa mecnica de armadura , representa o lugar geomtrico dos pares de esforos ( , ) que levam a seo ao estado limite ltimo.

Diagramas de interao na flexo-compresso normal

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Para obter um novo par de esforos solicitantes que levam a seo ao estado limite ltimo, varia-se o valor de , resolve-se o problema f ( ) = 0 e calcula-se o valor de com o emprego da equao (3.2.2). Procedendo desta forma, obtm-se uma infinidade de pares ( , ) que fazem com que a seo atinja o estado limite ltimo. Plotando os pontos obtidos no sistema de eixos cartesianos , obtm-se uma curva que representa o lugar geomtrico dos pares de esforos solicitantes ( , ) que levam a seo runa. Variando a taxa de armadura, , pode-se gerar um conjunto de curvas de maneira anloga. Essas curvas do origem aos denominados diagramas de interao na flexo-compresso normal. Na fig. 3.2.1, representa-se o diagrama de interao obtido para uma seo retangular com duas camadas de armadura. Esse diagrama foi construdo para o ao CA-50 ( f yk = 500 MPa) e para

= 0,10 . Portanto, ele s vlido para uma seo transversal comessas caractersticas. Observa-se, ainda, que as curvas correspondem a diferentes taxas mecnicas de armadura, desde = 0 at = 1 .0.60

momento fletor reduzido Momento fletor reduzido

=1,00.40

h b

d'/h=0,10

=0,8 =0,6 =0,4

Ao CA-50A Ao CA-50

0.20

=0,2 =0

0.00 0.00

esforo normal reduzido Esforo normal reduzido

0.40

0.80

1.20

1.60

2.00

Fig. 3.2.1 - Diagrama de interao

Captulo 4 ANLISE DA FLEXO-COMPRESSO OBLQUA

4.1 - Apresentao do problema A flexo-compresso oblqua a solicitao composta por um esforo normal de compresso agindo fora dos eixos de simetria da seo transversal. Quando o esforo normal atua em um eixo de simetria da seo de concreto, mas o arranjo das barras no simtrico em relao a esse eixo, a flexo tambm oblqua. Por ltimo, a flexo ser sempre oblqua quando a prpria seo no possuir um eixo de simetria. Nesses casos, ao contrrio da flexo-compresso normal, tanto a profundidade da linha neutra, quanto a sua orientao, so desconhecidas. Em geral, a linha neutra no perpendicular ao plano de ao do momento fletor. Assim, surge uma nova incgnita no problema, o que torna sua soluo bastante complexa. Na fig. 4.1.1, apresenta-se uma seo retangular de concreto armado submetida flexo-compresso oblqua.

y xo Nd

xLN

Fig. 4.1.1 - Seo transversal sob flexo-compresso oblqua

Anlise da flexo-compresso oblqua

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Na fig. 4.6.4, representa-se um diagrama de interao para a seo retangular. Apenas um quadrante do diagrama foi representado, pois, como a seo possui dois eixos de simetria, a soluo ser a mesma em qualquer quadrante. Esse diagrama vlido para = 1,0 , = 0,10 e para o ao CA-50.0.40

y momento fletor reduzido (my)

=1,00.30

=1,0

=0,80.20

Ao CA-50 Ao CA-50A=0,10

=0,6 =0,4

0.10

=0,2

0.00 0.00

x momento fletor reduzido (mx)

0.10

0.20

0.30

0.40

Fig. 4.6.4 - Diagrama de interao na flexo-compresso oblqua (seo retangular) Entrando no diagrama com os momentos fletores reduzidos de clculo x e y , obtm-se a taxa mecnica de armadura e calcula-se a rea total de ao com o emprego da equao (4.6.2).

Captulo 5 DIMENSIONAMENTO FLEXO-COMPRESSO OBLQUA

5.1 - O problema do dimensionamento Conforme foi salientado no captulo 4, na flexo-compresso oblqua no se conhece a priori a orientao da linha neutra. Somente em casos particulares, o ngulo de inclinao da linha neutra conhecido de imediato (casos de flexo-compresso normal). Dessa forma, para caracterizar a linha neutra necessrio conhecer sua profundidade xo e sua inclinao em relao ao eixo x . No dimensionamento da seo, so fornecidos os esforos solicitantes de clculo N d , M xd e M yd e as incgnitas envolvidas nas trs equaes de equilbrio so xo , e As . Este problema s pode ser resolvido por tentativas. De fato, o que se pode fazer uma sequncia de verificaes com diversos valores da rea de ao As . Para cada valor de As , determina-se o terno de esforos resistentes

(N d , M xdr , M ydr ) ,

conforme foi apresentado no captulo anterior. A armadura procurada aquela que atende as igualdades M xdr = M xd e M ydr = M yd . Na verdade, o processo repetido at que as diferenas entre os momentos fletores resistentes e os momentos de clculo sejam menores do que uma tolerncia preestabelecida. A sistematizao do dimensionamento pode ser feita da seguinte maneira: a) Escolhe-se um valor inicial para a rea de ao As . Com esse valor de As , devem-se encontrar e xo .

Dimensionamento flexo-compresso oblqua

71

y y

x

x

y

y

x

x

Fig. 5.1.1 - Sees com dois eixos de simetria Neste captulo, ser desenvolvido um algoritmo para o dimensionamento flexo-compresso oblqua de sees com dois eixos de simetria, como as sees indicadas na fig. 5.1.1. Essas formas duplamente simtricas so encontradas com muita frequncia em pilares de pontes e de edifcios de concreto armado. Assim, o algoritmo ser capaz de resolver os principais problemas de interesse prtico. De qualquer maneira, para outras formas de seo, pode-se fazer a verificao da capacidade resistente, conforme foi indicado no captulo anterior. 5.2 - Determinao da inclinao da linha neutra Considere-se uma seo transversal com dois eixos de simetria e com uma dada rea de ao. Em virtude da dupla simetria, pode-se limitar a anlise ao primeiro quadrante, de forma que os momentos solicitantes M xd e M yd sero sempre positivos. Na fig. 5.2.1,

80


Exemplo: Dimensionar a seo da fig. 5.4.1, submetida ao esforo normal de servio N k = 800 kN e aos momentos fletores de servio

M xk = 2000 kNcm e M yk = 4000 kNcm. O concreto possui f ck = 20 MPa e o ao o CA-50 ( f yk = 50 kN/cm2).A soluo "exata" para este problema, dada na tabela 5.4.1,

As = 20,48 cm2.Para realizar o dimensionamento empregando-se as tabelas do Apndice 2, so necessrios os seguintes clculos:

f cd =

f ck 14 MPa; cd = 0,80 f cd = 11,2 MPa; 1,4

Logo, cd = 1,12 kN/cm2.

f yd =

f yk 1,15

= 43,48 kN/cm2; hx = 20 cm; h y = 40 cm;

Ac = hx h y = 20 x 40 Ac = 800 cm2

N d = 1,4 N k = 1,4 x800 N d = 1120 kN M xd = 1,4 M xk = 1,4 x 2000 M xd = 2800 kNcmM yd = 1,4 M yk = 1,4 x 4000 M yd = 5600 kNcm

=

Nd 1120 = = 1,25 Ac cd 800 x1,12 M xd 2800 = x 015 Ac hx cd 800 x 20 x1,12

x =

Captulo 6 CONSIDERAES SOBRE O CLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO

6.1 - Introduo Os pilares podem ser classificados como curtos, moderadamente esbeltos e esbeltos. Os pilares curtos so aqueles para os quais no h necessidade de se considerar os efeitos de segunda ordem. Para esses pilares, os esforos solicitantes obtidos na configurao deformada (teoria de segunda ordem) so aproximadamente iguais aos esforos calculados na configurao indeformada (teoria de primeira ordem). Em geral, admite-se que os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados quando eles causam um acrscimo nos esforos solicitantes de no mximo 10%. Para os pilares moderadamente esbeltos, os efeitos de segunda ordem so importantes e no podem ser desprezados. Entretanto, esses efeitos podem ser considerados atravs de processos simplificados. Em geral, nesses processos, arbitra-se uma configurao deformada para o eixo do pilar e calcula-se o mximo momento fletor solicitante ao longo do eixo. Com o momento mximo e com o esforo normal, dimensiona-se a seo transversal do pilar em flexo-compresso. Nos pilares esbeltos, os efeitos de segunda ordem so to importantes que no se pode admitir o emprego de processos simplificados. Para esses pilares exigida uma anlise rigorosa, que leva em conta a no linearidade fsica decorrente do comportamento mecnico dos materiais, bem como a no linearidade geomtrica. De um modo geral, a maioria dos pilares dos edifcios se enquadra nas categorias de pilares curtos ou moderadamente esbeltos. Somente em poucos casos especiais que eles devem ser tratados como pilares esbeltos.

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elemento rgido0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

(a)

(b)

Fig. 6.2.1 - Efeito da deslocabilidade horizontal De acordo com o CEB/78(6), podem ser consideradas indeslocveis as estruturas para as quais as seguintes desigualdades so atendidas:

= htot

FV 0,2 + 0,1n , se n 3 Ecs I cFV 0,6 , se n 4 Ecs I c

(6.2.1)

= htot

(6.2.2)

onde: = parmetro de instabilidade; n = nmero de andares; htot = altura total da edificao, medida do topo da fundao ou de um nvel indeformvel; Ecs I c = soma dos valores de rigidez flexo das sees dos elementos verticais na direo considerada; FV = soma de todas as cargas verticais de servio. Segundo a NBR-6118(5), o limite 0,6 deve ser usado quando o contraventamento formado pela associao de prticos e pilaresparede. Ele pode ser aumentado para 0,7 quando o contraventamento for constitudo exclusivamente por pilares-parede. Por outro lado,

Consideraes sobre o clculo de pilares de concreto armado

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A) Parmetros de instabilidade para contraventamento feito por paredes estruturais e/ou pilares-parede Se o contraventamento constitudo exclusivamente por paredes estruturais e/ou pilares-parede, a estrutura considerada indeslocvel quando

= htot

FV lim Ecs I c

(6.2.6)

onde Ecs o mdulo secante do concreto, dado na equao (6.2.3),

I c o momento de inrcia da seo de concreto simples e lim funo do nmero de andares n do edifcio e do estado de fissuraodo elemento de contraventamento. As expresses de lim so as seguintes, conforme o caso: para elementos no fissurados:

lim = 0,67 1 para elementos fissurados:

0,60 n

(6.2.7)

lim = 0,47 1

0,60 n

(6.2.8)

Observa-se que o valor de lim depende do estado de fissurao da parede ou do pilar-parede de contraventamento. As tenses de trao no concreto, para as cargas horizontais e as cargas verticais de clculo que atuam no elemento estrutural, podem ser determinadas como para um material elstico linear submetido flexo-compresso. Comparando a tenso de trao mxima em cada andar com a resistncia trao caracterstica inferior do concreto, f ctk ,inf , determina-se o estado de fissurao do elemento estrutural. A princpio, pode-se fazer uma interpolao linear entre os valores

106


u =

2l2

e2

(6.5.4)

Dessa equao, pode-se obter a excentricidade de segunda ordem, e2 , em funo da curvatura ltima. Considerando 2 10 , chega-se a

e2 =

l2 u 10

(6.5.5)

Assim, o momento fletor de segunda ordem, M 2 d , dado por

M 2d = Fd e2e o momento total M d = M 1d + M 2 d .

(6.5.6)

Com o esforo normal N d = Fd e com o momento fletor M d , dimensiona-se a seo transversal em flexo-compresso. A seguir, so apresentadas as expresses para a curvatura ltima fornecidas pela NBR-6118 e pelo CEB. a) Expresso da NBR-6118 De acordo com a NBR-6118, a curvatura ltima dada por

u =onde

0,005 ( o + 0,5)h

(6.5.7)

o =

Fd Ac f cd

(6.5.8)

sendo Ac a rea da seo de concreto e h a sua altura na direo considerada.


119

Entrando na tabela A1.2 do Apndice 1, obtm-se a rea total da armadura As = 24,75 cm2. Ao ser desprezada a fluncia (exemplo da seo 6.5), obtevese uma rea de ao igual a 19,21 cm2. Logo, a considerao da fluncia causou um acrscimo de 29% na armadura, o que mostra a sua importncia no dimensionamento. Observa-se que = 69 < 90 , o que demonstra que no se pode admitir um critrio simplista de dispensa da considerao da fluncia sempre que < 90 . 6.7 Efeito de segunda ordem nos pilares-parede Os pilares de seo transversal composta por retngulos de pequena espessura so, usualmente, denominados de pilares-parede. As faces laterais do pilar so constitudas por placas, dispostas na vertical. Trata-se, portanto, de um pilar com seo de parede fina, que pode ser aberta ou fechada, conforme indicado na fig. 6.7.1.

b t a) Sees abertas b) Seo fechadaFig. 6.7.1 Sees tpicas dos pilares-parede Normalmente, os pilares-parede so encontrados nas caixas das escadas e dos elevadores dos edifcios altos e possuem uma seo transversal aberta. Esses elementos, quando existentes, fazem parte da subestrutura de contraventamento do edifcio. Os pilares-parede de seo fechada, do tipo caixo, so encontrados nas pontes, podendo possuir uma ou mais clulas. Em virtude da pequena espessura das paredes, em relao s dimenses totais da seo transversal, consegue-se obter um elemento estrutural de grande rigidez com um peso prprio pequeno, quando comparado com a soluo em seo macia. Essa reduo no peso prprio, devido reduo no consumo de concreto, repercute tambm nas fundaes, que ficam submetidas a uma carga vertical menor. Por outro lado, os pilares-parede exigem um maior consumo


121

6.8 Flambagem local das lminas dos pilares-parede O problema da flambagem local nos pilares com seo de parede fina tem sido bastante estudado para os pilares de ao. Entretanto, poucos estudos tericos e experimentais tm sido feitos com o objetivo de analisar a ocorrncia de flambagem local nos pilares de concreto armado. De fato, esse problema no deveria ocorrer com a maioria dos pilares-parede que foram projetados no passado, quando se empregava concretos de resistncia relativamente baixa. Em vista dessa baixa resistncia do concreto, as paredes tinham uma espessura razovel, resultando um pequeno ndice de esbeltez para as lminas do pilar. A carga de flambagem de cada lmina isoladamente era bem superior carga mxima que nela atuava, no havendo possibilidade de flambagem local. Entretanto, com o advento dos concretos de alta resistncia, tem sido possvel projetar e executar pilares de grande altura, com paredes de pequena espessura. A partir de ento, a flambagem local se tornou crtica no projeto de diversos pilares de ponte de seo vazada. No caso dos edifcios, o problema da flambagem local pode ser importante, principalmente para as lminas que possuem um bordo livre, nos pilares-parede de seo aberta. Para analisar a flambagem local em um pilar-parede, considera-se uma lmina tpica do pilar, como indicado na fig. 6.8.1. A seo transversal da lmina possui uma espessura t e tem n camadas de armadura, cada uma com uma rea de ao Asi . A distncia de uma camada genrica at o centro da lmina Z i . A rea total de ao na seo As =

Asi .i =1

n

Na fig. 6.8.1, representa-se o caso usual com duas camadas de armadura. A lmina tem uma largura b e uma altura real l . Os lados 1-2 e 3-4, situados no topo e na base da lmina, respectivamente, so considerados simplesmente apoiados. No caso dos edifcios, esses lados correspondem s lajes de piso, sendo l a distncia de piso a piso.


125

t

l Laje

Lintis lo

Com lintis Sem lintis Fig. 6.8.3 Pilar-parede sem e com lintis de fechamentoPara os diversos casos de condies de contorno, a carga crtica da lmina, Pcr , pode ser escrita na forma compacta

Pcr =

2 D2 le

(6.8.5)

onde le o comprimento de flambagem, por analogia com a teoria de flambagem dos pilares, e D a rigidez flexo da placa. Para o caso elstico linear, tem-se

D=

Eb t 3

12 1 2

(

)

(6.8.6)

onde b a largura e t a espessura da lmina, E o mdulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material. Para uma placa de concreto armado, devem-se considerar o mdulo tangente do concreto Ect e o mdulo de elasticidade do ao

E s . Esses mdulos so obtidos a partir dos diagramas tensodeformao representados na fig. 6.8.4.


131

resultados so apresentados na fig. 6.8.7, onde foi considerado o ndice de esbeltez crtico cr = 27 .30.0

t25.0

l b

Relao l/t

20.0

15.0

Ocorre flambagem local

Esbeltez limite

10.0

Sem flambagem local

5.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Relao l/b

Fig. 6.8.7 Esbeltez mxima das lminas com um bordo livre para ser desconsiderada a flambagem local

6.9 Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local Uma vez identificado o problema da flambagem local, quando

> cr para uma determinada lmina do pilar-parede, necessrioincluir esse efeito nos procedimentos de projeto. H diversas maneiras de se considerar esse fenmeno, mas, em geral, desconsidera-se a interao entre as diversas lminas do pilar. Desse modo, considera-se o menor valor da deformao crtica de flambagem local cr , obtido para todas as lminas do pilar-parede. Numa primeira opo de projeto, podem-se limitar as deformaes na seo transversal do pilar, de modo que lim em todos os pontos da seo. A deformao limite lim dada por

138


contraventados, atravs de uma excentricidade acidental, como apresentado na seo 7.3 (captulo 7). Nesses dois casos, a imperfeio geomtrica se refere ao eixo do pilar. No caso dos pilares-parede, ainda pode ser necessrio considerar as imperfeies geomtricas localizadas em uma ou mais lminas que o compem. Neste caso, considera-se a imperfeio geomtrica de uma lmina entre dois pisos sucessivos. Essas trs situaes so representadas na fig. 6.10.1.Imperfeies localizadas

l l

Imperfeio global

Imperfeies locais

Fig. 6.10.1 Imperfeies geomtricas dos pilares O efeito das imperfeies localizadas pode ser analisado pela teoria de placas, conforme apresentado no captulo 2 do Volume 2. Entretanto, como as lminas do pilar-parede esto comprimidas, devem-se considerar os efeitos de segunda ordem. Na fig. 6.10.2, apresenta-se uma placa simplesmente apoiada nos quatro lados, submetida a um esforo normal N x por unidade de comprimento. Admite-se que a placa possui uma imperfeio inicial representada pelos deslocamentos transversais

Wo = e1 sen

xa

sen

yb

(6.10.1)

onde e1 o valor mximo da imperfeio, que ocorre no centro da placa.

Captulo 7 CLCULO DOS PILARES CONTRAVENTADOS

7.1 - Introduo Conforme foi salientado no captulo anterior, em uma estrutura podem-se distinguir duas subestruturas que tm finalidades distintas. A primeira, denominada subestrutura de contraventamento, aquela formada por elementos de maior rigidez, cuja funo principal resistir s aes horizontais. Evidentemente, a subestrutura de contraventamento tambm resiste a uma parcela do carregamento vertical. A subestrutura de contraventamento, alm de absorver as aes horizontais que atuam na estrutura, deve possuir uma rigidez suficiente para garantir a indeslocabilidade, conforme o critrio apresentado no captulo 6. A outra subestrutura, denominada subestrutura contraventada, resiste apenas ao carregamento vertical. Os pilares dessa subestrutura, denominados de pilares contraventados, podem ser calculados como se eles fossem apoiados nos nveis das lajes. Assim, os efeitos de segunda ordem nesses pilares so localizados. Neste captulo, so apresentadas as situaes de clculo dos pilares contraventados submetidos s cargas verticais. Para cada categoria de pilar feito um exemplo de dimensionamento. Os mesmos critrios de projeto podem ser empregados para o dimensionamento dos pilares de contraventamento. Entretanto, para os pilares de contraventamento, os momentos iniciais so determinados levando-se em conta as cargas verticais e a ao do vento, conforme apresentado na referncia [16]. 7.2 - Situaes de projeto dos pilares Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como pilares intermedirios, pilares de

152


Evidentemente, o pilar deve possuir um ndice de esbeltez mximo igual a 90, j que alm deste limite o pilar considerado esbelto.

b) Pilares de extremidade Para os pilares de extremidade, a situao de projeto a indicada na fig. 7.3.2-a, onde se admite que a fora normal de clculo atue no eixo x com uma excentricidade inicial eix . Essa excentricidade devida aos momentos fletores transmitidos pelas vigas, os quais podem ser calculados com o emprego das equaes (7.2.1) e (7.2.2). O diagrama de excentricidades iniciais na direo x apresentado na fig. 7.3.3, em concordncia com a distribuio triangular dos momentos fletores. O pilar deve ser dimensionado para as duas situaes de clculo indicadas na fig. 7.3.2 (casos b e c).

y

y

y Fd

eix hy Fd hx (a) x ex

ey Fd x (c) (b) x

Fig. 7.3.2 - Situao de projeto e situaes de clculo dos pilares de extremidade

Clculo dos pilares contraventados

155

eay e1 y e1 y ,min = 1,5 + 0,03h y

(7.3.14)

A excentricidade de fluncia ecy calculada como para os pilares intermedirios, ou seja, considerando e1 y = eay . Observa-se que a seo do pilar dimensionada flexocompresso normal nas duas situaes de clculo. A eventual considerao de flexo oblqua em uma segunda situao de clculo desnecessria, pois, em geral, o dimensionamento predominante corresponde primeira situao de clculo.

c) Pilares de canto Nos pilares de canto, devem-se considerar os momentos iniciais transmitidos pelas vigas que nele terminam, segundo as duas direes. Dividindo esses momentos pela fora normal, obtm-se os diagramas de excentricidades iniciais representados na fig. 7.3.4.

y

eix,t

eiy,t

topo

+hy x

eix x

+

eiy y

hx eix,b

eiy,b base

Fig. 7.3.4 Pilar de canto com excentricidades iniciais segundo as duas direes

Clculo dos pilares contraventados

175

Tabela 7.4.1 Excentricidades para o dimensionamento Situao Excentricidades (cm) Excentricidades relativas de clculo ey ey hy ex e x hx 1 2 3 4 5 6 3,33 2,33 2,75 1,75 5,43 0,93 4,66 5,66 2,33 3,33 1,86 4,34 0,1332 0,0932 0,1100 0,070 0,2172 0,0372 0,0932 0,1132 0,0466 0,0666 0,0372 0,0868

Na fig. 7.4.9, representam-se as relaes adimensionais entre e y h y e e x h x e as possveis formas do diagrama de interao. Essas formas dependem da relao entre as dimenses da seo transversal e da disposio de barras de ao.0.30

a0.25

b Relao ey/hy0.20

Possveis formas do diagrama de interao

c

0.15

20.10

6 4 3

1

0.05

5

0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Relao ex/hxFig. 7.4.9 Representao das situaes de clculo em um diagrama de interao adimensional hipottico

178


pilares de canto. Como foi salientado, as simplificaes sugeridas ficam a favor da segurana. Essas simplificaes foram eliminadas nesta edio, passando-se a considerar as seis situaes de clculo para os pilares de canto. Com isso, consegue-se uma economia nas armaduras, como ocorreu nesse exemplo. 7.5 Simplificaes para os pilares contraventados dos edifcios De um modo geral, o projeto dos pilares contraventados dos edifcios pode ser bastante simplificado, em virtude dos pequenos valores dos momentos iniciais. Alm disso, quase sempre o ndice de esbeltez menor do que 50, podendo-se desprezar a considerao da fluncia do concreto. Os momentos iniciais nos pilares, decorrentes do carregamento vertical atuante nas vigas, pode ser obtido atravs do modelo representado na fig. 7.2.2. Ao longo dos andares tipo, os pilares possuem alturas iguais lsup = linf = l . Admitindo que a seo transversal do pilar permanea constante no trecho considerado, temse rsup = rinf = r p . Consequentemente, os momentos transmitidos ao pilar inferior, M inf , e ao pilar superior, M sup , so iguais. Na fig. 7.5.1 apresentam-se o modelo de clculo e o diagrama de momentos fletores iniciais correspondente.

0,5l

pk

Mvig Mi

Mi

0,5l

lvig

Fig. 7.5.1 Modelo de clculo e momentos iniciais nos pilares de extremidade

Captulo 8 DISPOSIES CONSTRUTIVAS

8.1 - Consideraes gerais Neste captulo so apresentadas as disposies construtivas da NBR-6118 relativas aos pilares de concreto armado. Essas disposies referem-se s dimenses externas da pea e s armaduras nela contidas. De um modo geral, entende-se que um projeto consistente no se limita a um clculo preciso das solicitaes e das dimenses dos elementos estruturais. Alm disso, devem ser tomadas algumas medidas que facilitem a execuo, possibilitando uma maior uniformidade na concretagem da estrutura. Nesse sentido, devem-se especificar dimenses mnimas para as sees transversais dos elementos estruturais, bem como limitar a taxa de armadura a um valor mximo compatvel com a boa concretagem. A seguir, apresentam-se as disposies construtivas da NBR6118 para o detalhamento dos pilares de concreto armado. 8.2 - Dimenses mnimas das sees dos pilares A seo transversal dos pilares deve possuir uma dimenso mnima igual a 19 cm. Em casos especiais, permite-se adotar dimenses entre 19 cm e 12 cm. Nesses casos, os esforos solicitantes de clculo devem ser majorados pelo coeficiente adicional n , dado por

n = 1,95 0,05b 1

(8.2.1)

onde b a menor dimenso da seo transversal do pilar, em centmetros.

188


O coeficiente n deve majorar os esforos solicitantes de clculo finais dos pilares, quando do seu dimensionamento. Em qualquer caso, no se permite pilar com seo transversal de rea inferior a 360 cm2. Quando a maior dimenso da seo transversal do pilar superior a cinco vezes a menor dimenso, o elemento estrutural recebe a denominao de parede estrutural ou de pilar-parede.

8.3 - Armadura longitudinal A taxa de armadura longitudinal = As Ac deve ser maior que a taxa mnima min , dada por

min = 0,15

f cd o 0,40% f yd

(8.3.1)

onde o = Fd ( Ac f cd ) . Essa taxa deve, tambm, ser inferior ao valor mximo de 8%, inclusive nos trechos de emenda por traspasse, como indicado na fig. 8.3.1.

piso 2>min piso 1+2min piso As =As/Ac

Fig. 8.3.1 - Limitaes da taxa de armadura

194


metade da taxa se indicada na tabela. De todo modo, a taxa mnima por face deve respeitar o limite dado na equao (6.10.8) em funo de f ck . Evidentemente, em paredes estruturais e pilares-parede submetidos a esforos cortantes significativos, a armadura horizontal tambm deve ser dimensionada ao esforo cortante. Se a parede no muito alongada, a armadura horizontal pode ser constituda por estribos fechados. Em paredes muito extensas, a armadura horizontal disposta como barras isoladas. Nestes casos, os bordos da parede devem ser protegidos por grampos em forma de U, como indicado na fig. 8.4.4. As barras terminadas em ganchos que atravessam a parede tm a funo discutida na seo 8.6.Estribos horizontais

Barras horizontais e grampos em U nos bordos

b 2b > lb

Fig. 8.4.4 Armadura horizontal em paredes e pilares-parede

8.5 - Cobrimento da armadura Os cobrimentos nominais exigidos pela NBR-6118 so dados em funo da classe de agressividade ambiental (ver captulo 1, Volume 1). No caso dos pilares, os cobrimentos nominais exigidos so indicados na tabela 8.5.1.

Disposies construtivas

201

Fig. 8.7.2 Comprimento de emendas das armaduras dos pilares Normalmente, as emendas das barras longitudinais dos pilares so feitas no nvel dos pisos. Assim, concretado um piso, as barras do pilar inferior param a uma altura l o acima da viga, formando a espera das barras do pilar superior, como indicado na fig. 8.7.3-a. Para isto, necessrio encurvar as barras inferiores para que as barras superiores fiquem na posio prevista. Quando a seo do pilar sofre uma reduo, como na fig. 8.7.3-b, tolera-se o encurvamento das barras at uma inclinao mxima dada por 1 na horizontal para 4 na vertical(9). Se a inclinao for maior, devem-se empregar chumbadores, como indicado na fig. 8.7.3-c. Devido presso de ponta, as barras que terminam devem ser cortadas a uma distncia de 4 5 cm abaixo da face superior da viga.

Captulo 9 PILARES ESBELTOS

9.1 - Introduo Conforme foi visto nos captulos anteriores, a segurana dos pilares esbeltos deve ser comprovada por meio de um processo rigoroso que leva em conta, de maneira "exata", as no linearidades fsica e geomtrica. De acordo com o critrio da NBR-6118, classificam-se como esbeltos os pilares com ndice de esbeltez superior a 90. Diversos algoritmos podem ser empregados para a anlise e o dimensionamento de pilares esbeltos, estando os principais descritos na referncia [3]. Em um primeiro algoritmo, pode-se fazer uso da analogia de Mohr para o clculo dos deslocamentos transversais do eixo do pilar. Para isto, necessrio conhecer a curvatura do eixo da barra, associada a um esforo normal e a um momento fletor dados. Na determinao da curvatura, consideram-se diagramas tensodeformao no lineares para o concreto e para o ao. Em virtude dessa no linearidade (denominada no linearidade fsica), torna-se necessrio o emprego de um processo iterativo para o clculo da curvatura. Inicialmente, consideram-se vrias sees transversais ao longo do eixo do pilar e determinam-se os esforos solicitantes nessas sees. Estes so os esforos solicitantes de primeira ordem, obtidos na configurao indeformada da barra. A partir dos esforos solicitantes, determinam-se as curvaturas nas diversas sees transversais. Em seguida, aplica-se ao pilar um carregamento transversal fictcio igual distribuio das curvaturas. Empregando a analogia de Mohr, obtm-se os deslocamentos transversais do eixo. Em virtude desses deslocamentos, ocorre um aumento dos momentos fletores na configurao deformada do pilar. Considera-se que o esforo normal permanece inalterado, com os seus valores de

Pilares esbeltos

213

l U1 U2 U3 U6 U4 F6n F3n F4nFig. 9.5.1 - Aes e deslocamentos nodais do elemento Os deslocamentos u o e W interpolados na forma(3) do eixo do elemento so

x U5 deslocamentos nodais

F1n z

F2n F5n aes nodais

uo = 1U1 + 4U 4W = 2U 2 + 3U 3 + 5U 5 + 6U 6onde as funes de interpolao so dadas por

(9.5.1) (9.5.2)

1 = 1 ; 2 = 2 3 3 2 + 1 ; 3 = l 3 2 2 + ; 4 = ; 5 = 2 3 + 3 2 ; 6 = l 3 2com = x l . Considerando apenas as aes nodais Fin ( i = 1,...,6 ) atuando no elemento, o trabalho virtual externo dado por

(

(

)

)

(9.5.3)

Wext = Fin U ii =1

6

(9.5.4)

e o princpio dos trabalhos virtuais escrito na forma

Captulo 10 ANLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

10.1 Introduo A determinao dos esforos solicitantes nas estruturas de contraventamento, para um carregamento dado, feita empregandose os mtodos convencionais da anlise estrutural. Deve ser lembrado que, mesmo nas estruturas consideradas indeslocveis, os esforos de primeira ordem, decorrentes das aes horizontais, devem ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura de contraventamento. A grande dificuldade da anlise estrutural frente s aes horizontais (ao do vento e de sismos) consiste na repartio das cargas para os elementos de contraventamento. Isto ocorre pela natureza tridimensional do problema. De fato, em um procedimento rigoroso deve-se levar em conta a interao entre os diversos andares da estrutura, analisando-se o movimento relativo das vrias lajes do edifcio. Esse procedimento necessrio quando a subestrutura de contraventamento formada pela associao de elementos de comportamentos distintos, como prticos e paredes estruturais ou pilares-parede. Nestes casos, a resposta da estrutura fortemente influenciada pelas foras de interao que surgem para compatibilizar os deslocamentos dos diversos elementos componentes. Entretanto, quando o contraventamento formado por elementos que se comportam de forma idntica, pode-se empregar um processo simplificado. Isto ocorre quando o contraventamento constitudo exclusivamente por prticos, ou exclusivamente por paredes estruturais. No procedimento simplificado, despreza-se a interao entre os diversos nveis de lajes, adotando-se para os elementos de contraventamento uma rigidez equivalente determinada para um andar caracterstico. Admite-se, ainda, que as lajes so extremamente

224


rgidas no seu prprio plano, de forma que nenhum movimento relativo ocorre neste plano. Alm disso, considera-se que os painis de contraventamento (formados apenas por prticos ou apenas por paredes estruturais) s recebem cargas no seu plano vertical, apresentando rigidez nula na direo normal a este plano. A rigidez toro tambm desprezada. Na seo seguinte, apresenta-se o processo simplificado, o qual vlido quando o contraventamento constitudo por elementos do mesmo tipo: s prticos ou s paredes estruturais. 10.2 Processo simplificado para repartio das foras horizontais Suponha uma subestrutura de contraventamento formada por

n painis dispostos em linha, como indicado na fig. 10.2.1. Ospainis so do mesmo tipo: ou todos so prticos, ou todos so paredes estruturais.Laje rgida no plano horizontal y q(z) 1 j n z (Planta) x (Elevao) q(z) 1 j n

Fig. 10.2.1 Subestrutura de contraventamento As lajes de piso so consideradas rgidas no plano horizontal. Isto representado por meio das barras birrotuladas mostradas em elevao. Essas barras apenas indicam que os deslocamentos horizontais dos painis, em um determinado piso, so iguais. Admitindo a formulao do meio contnuo, o equilbrio de cada painel pode ser representado atravs de uma equao diferencial. Como todos os painis so do mesmo tipo, a equao diferencial a mesma para todos eles.

Anlise das estruturas de contraventamento

229

laje, conforme indicado na fig. 10.2.5. O ponto Pi , onde se concentra a mola, corresponde ao centro do painel.

y,v u'i Ki yi o Pi xi i x,u

Fig. 10.2.5 - Painel de contraventamento genrico Se o movimento de corpo rgido da laje for representado pelos deslocamentos u o e vo nas direes x e y , respectivamente, e por

uma rotao em torno da origem do sistema de eixos, os deslocamentos do ponto Pi sero dados por

ui = uo yi vi = vo + xi

(10.2.8) (10.2.9)

interessante escrever as equaes anteriores na forma matricial

u i = NU oonde

(10.2.10)

u o ui 1 0 yi ui = ; N = ; U o = vo vi 0 1 xi

(10.2.11)


239

Antes de determinar a rigidez ao corte da viga equivalente, deve-se resolver o prtico, submetido ao carregamento horizontal, para a obteno dos deslocamentos horizontais dos diversos pavimentos. A rigidez ao corte determinada com o auxlio da fig. 10.4.1.

Fn Fn-1 Fi Fi-1 F1 hn hn-1 hi hi-1 h1

un un-1 ui ui-1 u1 hi ui-ui-1 i Vi

Distoro mdia do andar i

Fig. 10.4.1 Carregamento e deslocamentos horizontais do prtico Na anlise do prtico, considera-se o carregamento constitudo por uma fora concentrada aplicada no nvel de cada pavimento. Cada fora a resultante da carga distribuda na faixa de influncia do pavimento. Resolvendo o prtico para esse carregamento, obtm-se os deslocamentos horizontais, como indicado na fig. 10.4.1. O esforo cortante Vi em um andar genrico dado por

Vi =

Fjj =i

n

(10.4.3)

onde n o nmero de andares. A distoro mdia desse andar dada por

i =

ui ui 1 hi

(10.4.4)


243

Laje rgida no plano horizontal y q(z) 1 Parede 2 Prtico x z (Elevao) q(z) 1 2

(Planta)

Fig. 10.5.1 Associao de prtico com parede estrutural A carga q( z ) repartida para os dois painis de contraventamento de forma que

q(z ) = q1 (z ) + q 2 ( z )

(10.5.1)

onde q1 ( z ) a parcela da carga absorvida pela parede e q 2 ( z ) a parcela absorvida pelo prtico. Em virtude da presena das lajes, esses dois painis sofrem os mesmos deslocamentos u (z ) segundo a direo x . Assim, as equaes diferenciais para os dois painis de contraventamento so dadas por

EI

d 4u dz 4 d 2u dz 2

= q1 ( z ) = q 2 (z )

(10.5.2)

Ks

(10.5.3)

onde EI a rigidez flexo da parede e K s a rigidez ao corte do prtico. Substituindo essas duas equaes em (10.5.1), resulta a equao diferencial do sistema acoplado


245

60

50

Altura z (m)

40

30

Parede Prtico

20

10

q2(z)

q1(z)

0 -20 -10

-

+0 10 20 30

Carga (kN/m)Fig. 10.5.2 Foras nos painis de contraventamento Conforme se observa, os dois painis ficam submetidos a um carregamento varivel ao longo da altura, apesar de a carga externa aplicada ser uniforme. Isto mostra que o procedimento simplificado, apresentado na seo 10.2, totalmente inadequado neste caso. O comportamento do conjunto pode ser entendido analisandose a fig. 10.4.3. O prtico sozinho apresenta uma resposta similar quela representada pela curva a. A resposta da parede sozinha similar curva b. As foras de interao fazem com que o conjunto apresente um comportamento intermedirio. Assim, tudo se passa como se o prtico ficasse apoiado na parede. O prtico fica tracionado em toda a sua metade inferior. Por outro lado, nessa regio h um aumento das foras de compresso na parede.


249

deslocamentos dependem da ordenada z , medida ao longo da altura do edifcio. Os deslocamentos ui e vi , nas direes x e y , e a rotao do painel so dados por

u i (z ) = N u o (z )onde

(10.6.1)

ui u o 1 0 yi 0 1 x ; u ( z ) = v u i (z ) = vi ; N = o o i 0 0 1 o

(10.6.2)

Transformando os deslocamentos para o sistema de eixos locais s r , resulta a relao

u s (z ) = R u i (z )onde

(10.6.3)

u s u s ( z ) = u r ;

cos i sen i 0 R = sen i cos i 0 0 0 1

(10.6.4)

Substituindo (10.6.1) em (10.6.3), chega-se a

u s (z ) = R N u o (z )

(10.6.5)

que relaciona os deslocamentos no sistema local s r com os deslocamentos da origem. De maneira anloga, podem-se transformar as cargas no painel por meio das relaes

q s (z ) = R q i (z )onde

(10.6.6)


253

anlogo a um pilar engastado na base e livre no topo do edifcio. A barra dividida em uma srie de elementos finitos, tomados ao longo da altura do edifcio. O comprimento l de cada elemento igual distncia de piso a piso. Desse modo, os ns dos elementos finitos estaro situados nos nveis das lajes, como indicado na fig. 10.6.2.

Piso superior u2 2 v2 2 2 2 '2

u'2

v'2

uo(z) u'1 u1 1

vo(z) v'1 v1 1 Piso inferior

l

o(z) '1 1 1

z

Fig. 10.6.2 Elemento finito de barra com seis graus de liberdade por n Cada n do elemento finito possui seis graus de liberdade: o deslocamento transversal na direo x e sua derivada (u o ; u ' o ) ; o deslocamento transversal na direo y e sua derivada

(vo

; v'o ) ; a rotao em torno de z e sua derivada ( o ; 'o ) ,

conforme est indicado na fig. 10.6.2. Os deslocamentos u o ( z ) , vo ( z ) e o ( z ) em uma posio z entre duas lajes de piso so interpolados a partir dos valores nodais. Observa-se que, em virtude da hiptese de comportamento rgido das lajes no plano horizontal, basta discretizar um pilar fictcio


259

P1

P2

P3

1,5 r 0,7

1,5

1,32 P5 P6 c 0,15

P4 2,0

M 2,5

5,0 P8 5,0 P12 5,0

Fx

P7

2,5

1,0

1,5

1,5

P9 - 0,20x3,0 y P10 Unidade: m x 5,0 P11

Fig. 10.7.1 Planta de formas da subestrutura de contraventamento

5,0

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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APNDICE 1 Tabelas para dimensionamento flexo-compresso normal (sees retangulares)As tabelas A1.1 a A1.32 destinam-se ao dimensionamento de sees retangulares sob flexo-compresso normal. Em cada tabela, encontra-se indicada a seo transversal com a correspondente disposio das barras da armadura. Para cada seo, so fornecidas as taxas mecnicas de armadura, , para quatro valores do parmetro . As caractersticas geomtricas de uma seo tpica so apresentadas na fig. A1.1.

Nd d' e h c

d'

b

Fig. A1.1 - Seo retangular sob flexo-compresso normal Para identificar a tabela a ser usada, deve-se calcular o parmetro = d h e observar a disposio das barras indicada no topo da tabela. Os esforos solicitantes de clculo so o esforo normal N d e o momento fletor M d = N d e , onde e a excentricidade da fora normal em relao ao centroide da seo de concreto. Os parmetros de entrada so os seguintes:

=

Nd Md ; = , com cd = 0,85 f cd . bh cd bh 2 cd

APNDICE 2 Tabelas para dimensionamento flexo-compresso oblqua (sees retangulares)As tabelas A2.1 a A2.6 destinam-se ao dimensionamento de sees retangulares sob flexo-compresso oblqua. Em cada tabela, encontra-se indicada a seo transversal com a disposio das barras da armadura. O nmero n de barras na seo tambm indicado junto ao ttulo da tabela. Uma seo tpica representada na fig. A2.1.

y

ex

Nd ey

hy d'y hx d'x

x

Fig. A2.1 - Seo retangular sob flexo-compresso oblqua Os esforos solicitantes de clculo so o esforo normal N d e os momentos fletores M xd = N d e x e M yd = N d e y , onde e x e

e y so as excentricidades da fora normal em relao aos eixos desimetria da seo transversal. Os parmetros de entrada so os seguintes:

=

M yd Nd M xd ; x = ; y = Ac cd Ac h y cd Ac hx cd

onde Ac = hx h y ; cd = 0,80 f cd .

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