curso de comportamiento del concreto

MAESTRÍA EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

UNITEC

CURSO

COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO

MAESTRO

DR. JOAQUÍN E. TORRE M.

____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural i Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC

DATOS GENERALES DEL CURSO:

OBJETIVOS:

Utilizar los métodos para la solución de los problemas relacionados con la revisión de elementos

estructurales a partir de las ecuaciones físicas, de equilibrio y de compatibilidad.

Comprender los aspectos generales del comportamiento del hormigón estructural como vía

para la interpretación de la hipótesis básica de diseño de elementos estructurales en cualquier

normativa.

Comprensión y seguimiento de la normativa hondureña.

Tiempo de clases = 40 horas

EVALUACIÓN:

1. Examen escrito #1……………. 42%

2. Examen escrito #2……………. 42%

3. Tareas………………………………. 10%

4. Participación……………………. 6%

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

Nilson, Arthur (1999) Diseño de estructuras de concreto 12ª ed. Edit. McGraw Hill Interamericana, Bogotá, Colombia

Comité técnico (2008) Código Hondureño de la Construcción Colegio de Ingenieros Civiles de Honduras, Tegucigalpa, Honduras

Paulay, T.; Priestley M. (1992) Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings Edit. John Wiley and Sons, Inc. N. Y., U. S. A.

Fanella, D.; Rabbat, B (2002) Notes on ACI‐318‐02 Buiding Code Requirements Portland Cement Association, Skokie, Ill, U.S.A.

____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural ii Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC

CONTENIDO E ÍNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………………………………………… 1 HORMIGÓN………………………………………………………………………………………………………………………………. 2 Control de calidad y ensayos en el hormigón..…………………………………………………………….. 3 Armaduras de acero……………………………………………………………………………………………………. 4 MECÁNICA DEL HORMIGÓN ARMADO……………………………………………………………………………………… 5 Compresión axial……………………….………………………………………………………………………………... 6 Comportamiento elástico………………….…………………………………………………………………………. 7 Comportamiento inelástico…………….……………………………………………………………………………. 8 Rotura………………………………..…………………………………………………………………………………………. 8 Tracción axial………………………………………….…………………………………………………………………….. 9 Especificaciones y suposiciones de diseño……..……………………………………………………………… 9 Resistencia de diseño………………..………………………………………………………………………………….. 10 Flexión………………………………………………………………………………………………………………………….. 12 Estados de carga…….………………………………………………………………………………………. 13 Tensiones elásticas, sección no agrietada…………………………………………… 14 Tensiones elásticas, sección agrietada…………………………………………………. 15 Tensiones inelásticas, rotura………………………………………………………………. 17 Distribución de tensiones de compresión en el hormigón……………………………….. 20 Distribución de esfuerzos: Bloque rectangular equivalente……………………………… 22 Cortante y tensión diagonal………………………………………………………………………………………….. 23 Adherencia y anclaje……………………………………………………………………………………………………… 27

Torsión………………………………………………………………………………………………………………………….. 28 Flexocompresión…………………………………………………………………………………………………………… 29

VIGAS…………………………………………………………………….………………………………………………………………….. 31 VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS (CON REFUERZO EN COMPRESIÓN)………………………………….. 57 VIGAS “T”…………………………………………………………………….……………………………………………………………. 60 LOSAS…………………………………………………………………….…………………………………………………………………. 64 Losas unidireccionales………………………………………………………………………………………………….. 64

Losas trabajando en dos direcciones…………………………………………………………………………….. 69 Esfuerzo cortante en losas…………………………………………………………………………………………….. 78

ZAPATAS…………………………………………………….……………………………………………………………………………… 88 MUROS DE RETENCIÓN…………………………….………………………………………………………………………………. 95 MUROS DE CORTANTE……..………………………………………………………………………………………………………. 103 COLUMNAS………………………………………………………………………………………………………………………………. 109

Columnas con flexión en un sentido…………….……………………………………………………………… 111 Columnas con flexión en dos sentidos…………………….…………………………………………..…….. 119 Método del contorno de carga………………………………………………………………………… 120 Método de la carga inversa……………………………………………………………………………… 120 Columnas largas………………….………….…………………………………………………………………..……… 123

____________________________________________________________________________________ Curso de Comportamiento del Concreto Maestría en Ingeniería estructural 1 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC

INTRODUCCIÓN Este documento es la guía del curso “Comportamiento del concreto” que se imparte en el programa de Maestría en ingeniería estructural en UNITEC. Contiene todos los temas del sílabo de la asignatura y es en sí, en el orden en que se presenta en el documento, el mismo orden en que servirá la asignatura por parte del catedrático. La asignatura tiene por objetivo general, que el estudiante adquiera completa comprensión sobre el comportamiento del hormigón en los diferentes tipos de miembros que componen una estructura y las normativas vigentes respecto a las consideraciones que deben de observarse en el proyecto de estructuras de hormigón reforzado, tomando como casos de estudio y discusión, estructuras reales, incluso, las existentes en el medio, de manera que puedan ser apreciadas y discutidas sobre la observación de detalles y configuración estructural teniendo a la vista la estructura real. No es objetivo de este curso, el diseño de mezclas, control de calidad de la dosificación de las mezclas ni de la colocación de las mismas. Se pretende a lo largo de la asignatura, que el estudiante, en la medida en que comprenda el contenido de este curso, sea capaz de desarrollar los algoritmos para sistematizar el análisis y el proceso de diseño de miembros de hormigón reforzado y a la vez que comprenda las restricciones y recomendaciones de la normativa vigente y los textos más reconocidos respecto del tema. La metodología a seguir, será, primeramente estudiar la mecánica de los miembros de hormigón en los puntos fundamentales (Flexión, cortante, torsión, carga axial) y luego, por medio de ejemplos, desarrollar para diferentes tipos de miembros (vigas, losas, columnas, muros, etc) el diseño observando la normativa del Código Hondureño de la Construcción (CHOC‐2008), para lo que el estudiante deberá ir dando seguimiento a esta norma en lo procedente. El curso está diseñado para ser impartido en 40 horas y para que la cátedra sea magistral, permitiendo la interacción con los estudiantes entre tema y tema por medio de ejercicios y discusiones en clase. Por otro lado, y con el espíritu de afianzar los conocimientos, se han programado tareas, las cuales forman parte de la evaluación que el estudiante recibirá. Estas tareas deberán ser presentadas por el estudiante para discusión con sus compañeros de aula y el catedrático.


HORMIGÓN Generalmente se encuentra en los textos la definición del hormigón como: “Un material con aspecto de

piedra obtenido, permitiendo que una mezcla cuidadosamente proporcionada de cemento, arena, grava

u otros áridos y agua, se endurezca dentro de moldes de la forma y dimensiones deseada”.

El proceso de producción del hormigón inicia con la investigación de sus componentes con los que se

cuenta, tales como el cemento, el agua y los áridos de los que se debe identificar sus propiedades para

con estas poder realizar el diseño de la mezcla que deberá ser probada en laboratorio antes de darse

por buena. No es correcto tomar el diseño de una mezcla, en el que se indican las proporciones de cada

uno de los componentes, que deberán mezclarse para obtener un hormigón de determinadas

características, para aplicarlo en cualquier caso y en cualquier lugar. Cada caso tendrá su propio diseño

de acuerdo a las características particulares de sus componentes.

Una vez que el diseño de la mezcla se ha probado y ha sido aceptada, es necesario el cuidadoso proceso

de dosificación y control de calidad para asegurar la obtención de los requerimientos del hormigón.

Luego y no menos importante, es la colocación del mismo, la cual requiere de control, desde su manejo

entre el equipo de mezclado o transporte al pie de la obra, hasta la colocación del mismo en los moldes

correspondientes. Esto último significa, controlar la temperatura del hormigón durante la colocación, la

exposición al viento o a otros agentes climáticos, como la lluvia o la temperatura ambiente; la

compactación y finalmente el curado del hormigón.

Es importante entender que el proceso de curado, no por ser el último paso en la producción y

colocación del hormigón, no tiene importancia. Al hormigón se le llama “hidráulico” debido a que el

aglutinante (el cemento) reacciona con aguay cuando la mezcla se realiza, agregando agua como parte

del proceso, para iniciar la reacción, es en el proceso de curado, que toma aproximadamente hasta 7

días, que se logra la hidratación necesaria de las partículas de cemento para obtener el hormigón de las

particularidades deseadas, de manera que no poner atención al proceso de curado puede dar por

resultado, hormigón con propiedades inadecuadas respecto de las requeridas, aún cuando el diseño de

la mezcla y su manejo y colocación hayan sido aceptables.

Los factores que hacen del hormigón un material de construcción universal, son tan importantes que

este material ha sido utilizado, en formas más primitivas que las actuales, durante miles de años, a partir

probablemente de la antigüedad egipcia. Uno de estos factores es la facilidad con que puede hacérsele

rellenar moldes de casi cualquier forma mientras aún tiene una consistencia plástica. También son

factores importantes, su elevada resistencia al fuego y a los elementos naturales. Por otro lado, es un

material relativamente frágil, cuya resistencia a la tracción es pequeña comparada con la resistencia que

tiene a la compresión, lo que hace imposible su uso económico en elementos estructurales que están

sometidos a tracción por completo o en parte de sus secciones transversales.

Para poder hacer uso del hormigón en elementos cuyas secciones pudieran estar sometidas a tracción,

tales como las vigas en flexión, en la segunda mitad del siglo XIX, se encontró posible la utilización del


acero, que tiene una elevada resistencia a la tracción, para armar las secciones de hormigón en las

zonas en que el elemento estructural estuviera sometido a tracción. Estas armaduras o refuerzo, son por

lo general varillas de acero de sección cilíndrica, las cuales se comercializan en diferentes diámetros y

hasta en diferentes especificaciones. La combinación resultante del hormigón, como antes fue descrito,

con las armaduras de acero, se llama “hormigón reforzado” también conocido como “hormigón

armado” o “concreto armado”, permitiendo, esta combinación, el uso casi ilimitado del mismo, como

material de construcción en obras tales como puentes, edificios, presas, tanques, depósitos y otros tipo

de estructuras.

Control de calidad y ensayos en el hormigón:

La calidad de los materiales producidos en fábrica, como el acero laminado, está garantizado por el

fabricante quien debe de realizar control sistemático de la calidad usualmente especificado por normas

adecuadas como la ASTM (American Society for Testing and Materials), el hormigón en cambio, se

produce en la obra o cerca de ella, siendo así, afectada por un cierto número de factores, por lo que es

necesario aplicar un control sistemático de calidad en la obra.

La principal medida de calidad del hormigón, es su resistencia a la compresión, que se realiza en

probetas cilíndricas de altura igual al doble de su diámetro, las cuales deben de ser llenadas siguiendo

un proceso normado y en moldes especiales también normados.

Si se dosifica el hormigón de manera que su resistencia promedio fuera justamente a la resistencia a la

compresión requerida, no pasaría con éxito las pruebas de control de calidad debido a que

aproximadamente, la mitad de los resultados de los ensayos de resistencia, estarían por debajo de la

resistencia requerida o resistencia de proyecto, por lo tanto, es necesario dosificar el hormigón de

manera que la resistencia media, sea superior a la resistencia de proyecto. Este valor mínimo solo puede

determinarse por medios estadísticos, debido a la aleatoriedad con que se presentan las dispersiones en

los ensayos. Para ellos se establecen exigencias que limitan la probabilidad de que se obtengan

resistencias no satisfactorias así:

Probabilidad de un 1% de que la resistencia de un ensayo individual sea inferior a la resistencia de proyecto en más de 35 Kg/cm2

Probabilidad de un 1% de que el valor medio de tres ensayos consecutivos, sea inferior a la resistencia de proyecto.

Probabilidad de un 10% de que la resistencia de un ensayo individual escogido al azar, sea inferior a la resistencia de proyecto.

La resistencia de proyecto se especifica como la resistencia del hormigón a la edad de 28 días y se

designa por “ ’ ”


Armaduras de acero:

Comparado con el hormigón, el acero es un material de elevada resistencia. La resistencia útil de los

aceros ordinarios, tanto en compresión como en tracción, es decir, su resistencia a la fluencia, es del

orden de diez veces la resistencia a la compresión del hormigón o del orden de 100 veces su resistencia

a la tracción.

Para que la acción de la armadura tenga su máxima eficacia como parte del elemento estructural, es

necesario que tanto el hormigón como el acero se deformen juntos y para esto, es necesario que exista

la adherencia suficiente entre ambos materiales para que no se produzcan movimientos relativos entre

ellos. Esta adherencia se debe a la adherencia química relativamente grande que se produce en la

superficie de contacto acero‐hormigón y a la rugosidad de las barras de acero tanto natural como la que

se le provee en el proceso de laminación en caliente a la que se les llama “corrugaciones” las cuales

están normadas por instituciones como la ASTM.

Otras características adicionales que permiten el satisfactorio trabajo en colaboración del acero y el

hormigón, son:

Coeficientes de dilatación térmica de ambos materiales. (Aproximadamente 0.000012 para el

acero y 0.000010 para el hormigón) que son suficientemente similares para evitar el

agrietamiento y otros efectos indeseables debidos a deformaciones térmicas diferentes.

La resistencia a la corrosión del acero es mala, sin embargo el hormigón que lo rodea lo protege

de una forma excelente.

El acero tiene una elevada conductividad térmica y su resistencia se reduce notablemente a

temperaturas elevadas, en cambio, la conductividad térmica del hormigón es relativamente

baja, de manera que si al acero se le provee de un adecuado recubrimiento, el hormigón le

ofrece el aislamiento térmico suficiente.


MECÁNICA DEL HORMIGÓN ARMADO

El trabajo principal del ingeniero de estructuras de hormigón, es el proyecto de las mismas,

entendiéndose por proyecto la determinación de la forma general y de todas las dimensiones

específicas de una estructura en particular en cada uno de sus componentes, de forma que pueda

realizar la función para la cual se creó y resista con seguridad las cargas o solicitaciones que actúen

sobre ella a lo largo de su vida útil.

La mecánica estructural es una de las principales herramientas en este proceso de proyecto y se

entiende por esto, al conjunto de conocimientos científicos que permiten predecir con cierta seguridad

como se comportará una estructura de forma y dimensiones dadas cuando esté sometida a fuerzas o

cargas mecánicas conocidas.

Las proposiciones fundamentales en que se basa la mecánica del hormigón armado son las siguientes:

1. Las fuerzas internas, tales como, momentos flectores, esfuerzos cortantes y tensiones normales

y cortantes, en cualquier sección de un elemento, están en equilibrio con los efectos de las

cargas exteriores en esta sección.

2. La deformación de una barra de armadura incluida en la sección de hormigón es de la misma

magnitud que la del hormigón que le rodea, es decir, se supone que hay un perfecto enlace

entre el hormigón y el acero en su superficie de contacto de tal forma que no pueda ocurrir un

deslizamiento entre ambos materiales.

3. Las secciones transversales que eran planas antes de someter la estructura a la acción de las

cargas, continúan siéndolo después de la aplicación de estas. Esta hipótesis se ha demostrado

que no es exacta, sin embargo, las desviaciones encontradas son usualmente de pequeña

importancia y los resultados de una teoría basada en esta hipótesis concuerda bien con los

resultados de los ensayos correspondientes.

4. Como la resistencia a la tracción del hormigón es solo una pequeña parte de su resistencia a la

compresión, el hormigón, en la parte del elemento sometido a tracción, está agrietado, aunque

estas grietas son generalmente tan estrechas en los elementos correctamente proyectados, que

resultan difícilmente visibles y se les conoce como grietas capilares, por lo tanto, se supone que

el hormigón es incapaz de resistir tensiones de tracción. Esta hipótesis es una simplificación de

la situación real, ya que el hormigón antes de agrietarse si está contribuyendo aún cuando en

una muy pequeña magnitud.

5. Los métodos de análisis más modernos reconocen el comportamiento no elástico de los

materiales constitutivos (hormigón y acero) para las tensiones más elevadas y esto concuerda

con el comportamiento real de la estructura y con información experimental muy amplia.

Estás hipótesis permiten predecir por medio del cálculo, el comportamiento del hormigón armado en

algunos casos sencillos, por lo que los métodos de proyecto y comprobación, aunque hacen uso de estas


hipótesis, se basan fundamentalmente en los resultados de una amplia y continuada investigación

experimental.

Compresión axial:

Cuando se aplica una carga axial, la deformación por compresión es la misma en toda la sección

transversal y, como consecuencia de la adherencia entre el hormigón y el acero, es idéntica en ambos

materiales. La gráfico 1 muestra la curva característica tensión‐deformación para el acero con un punto

de fluencia fy =2,800 Kg/cm2 y la gráfico 2 muestra la curva característica tensión‐deformación de un

hormigón de f’c =210 Kg/cm2.

Gráfico 1: Curva característica tensión‐deformación unitaria del acero fy=2,800Kg/cm2

0

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

Tensiones en el acero, fs (Kg/cm

2)

Deformación unitaria del acero


Gráfico 2: Curva característica tensión‐deformación unitaria del hormigón f’c=210 Kg/cm2

En el gráfico 2, la curva continua representa el ensayo en una probeta cilíndrica, donde la velocidad de la

carga es considerablemente superior a la que realmente se da en la mayoría de las estructuras. Con una

curva en trazos se representa la característica del mismo hormigón con la aplicación de la carga lenta y

continua, en la que, la máxima resistencia en compresión disponible es aproximadamente 0.85f’c.

Comportamiento elástico:

Para tensiones de hasta aproximadamente ’ /2 se puede apreciar en el gráfico 2, que el hormigón se comporta casi elásticamente (curva intermedia de doble trazo), es decir, las

tensiones y las deformaciones son linealmente proporcionales.

Como la deformación para el hormigón por compresión, para cualquier carga es igual a la

deformación por compresión del acero, podemos decir:

= = =

0

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100

150

200

250

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

Tensiones en el horm

igón, fs (Kg/cm

2)

Deformación unitaria del hormigón


Donde,

c es la deformación unitaria del hormigón

es el módulo de elasticidad del hormigón

es la tensión en el hormigón

s es la deformación unitaria del acero

es el módulo de elasticidad del acero

es la tensión en el acero

Y con esto, podemos obtener la relación entre las tensiones del acero y del hormigón de la

siguiente forma:

= =

Donde es llamado “relación modular” y con lo que es posible definir una sección

transformada.

Comportamiento inelástico:

Como se aprecia en el gráfico 2, las relaciones elásticas no es posible usarlas para deformaciones

superiores a aproximadamente 0.0005, ya que la relación tensión‐deformación del hormigón

deja de ser aproximadamente lineal

Rotura:

La máxima carga que la estructura soportará, se le conoce como “carga de rotura”. En cuanto al

acero, este alcanza su carga máxima con deformaciones unitarias de 0.08, el hormigón por el

contrario, para deformaciones unitarias mucho menores, del orden de 0.003.

En compresión axial, como ya se dijo, las deformaciones en el acero y en el hormigón, son

iguales, y la carga a la que empieza a fluir el acero puede calcularse a partir de la información

del gráfico 1, esto es: =

Donde es el esfuerzo de fluencia del acero.

La tensión en el hormigón puede deducirse de la curva a trazos del gráfico 2, sin embargo, al

proyectar esta deformación sobre la curva, se puede observar que la misma sigue creciendo más

allá de esta deformación, por lo que la carga puede aumentarse aún hasta que alcanza la carga

de rotura de este hormigón para una deformación de aproximadamente 0.002. Se ha deducido

de muchos ensayos, que esta resistencia vale 0.85 ’ como ya se explicó antes.


Podemos entonces deducir, que si la deformación de fluencia del acero, es menor que la

deformación para la que el hormigón alcanza su tensión de rotura (0.85 ’ ), entonces el acero comenzará a fluir y continuará haciéndolo hasta que el hormigón alcance esta tensión y

comience a quebrarse, de manera que la carga de rotura para un elemento en compresión pura

será: = 0.85 ′ +

Donde:

es el área de la sección de hormigón

es el área del acero de refuerzo

Tracción axial:

Como ya se dijo, la capacidad del hormigón en tracción es una pequeña parte de su capacidad en

compresión, de lo que se deduce que el hormigón no es el material más adecuado para utilizarlo en

elementos sometidos a tracción.

Cuando la carga en tracción es suficientemente pequeña, para que la tensión en el hormigón esté por

debajo de su resistencia en tracción,, tanto el acero como el hormigón se comportan elásticamente, de

manera que las expresiones antes estudiadas son válidas, pero cuando la carga crece y el hormigón

alcanza su resistencia en tracción (del orden de la décima parte de lo que puede soportar en

compresión) este se agrieta en la totalidad de la sección transversal y cuando esto sucede, deja de

resistir cualquier tensión aplicada y el acero es quien debe de resistir la totalidad de la fuerza, de

manera que en esta situación, la carga de rotura será:

=

Hay situaciones en las que se utiliza el hormigón armado en tracción, en condiciones en las que debe de

evitarse la aparición de grietas como en el caso de los depósitos de líquidos, en cuyo caso la tensión de

tracción en el hormigón debe ser tal, que se asegure no superar la resistencia en tracción del

hormigón.

El estudio completo de la mecánica de los elementos de hormigón reforzado incluye, además de lo

antes estudiado, la flexión; el cortante y tracción diagonal; la torsión; y esfuerzos combinados como la

flexocompresión que serán parte del desarrollo del curso.

Especificaciones y suposiciones de diseño:

El proyecto de estructuras de hormigón se lleva a cabo dentro del contexto de códigos o reglamentos

que dan requisitos específicos los materiales; el análisis estructural; el dimensionamiento de los

elementos y otros aspectos, que deberán ser observados. En Honduras existe el reglamento “Código

Hondureño de la Construcción, CHOC‐2008” que será el reglamento que usaremos en el estudio del


proyecto de estructuras de hormigón y que en esencia, es la misma normativa que la norteamericana

ACI‐318‐1994. (American Concrete Institute). Nuestro código establece las siguientes disposiciones de

seguridad:

Resistencia de diseño≥ Resistencia requerida, o bien ∅ ≥ donde es la resistencia nominal, es

la solicitación última de cualquier tipo y la letra griega ∅es un factor de resistencia que refleja la importancia probable de un elemento en particular en la supervivencia de la estructura y del control de

calidad probable alcanzado, de manera que se han asignado diferentes valores dependiendo del estado

del conocimiento del tipo de esfuerzo analizado.

Las solicitaciones se expresan por su tipo y en términos específicos: ∅ ≥ , momento ∅ ≥ , cortante ∅ ≥ , axial

Y las combinaciones de carga que deben de satisfacerse serán las indicadas en el artículo que son:

Combinación básica (artículo 2.9.2): = 1.4 + 1.7

Para viento (artículo 2.9.2.2): = 0.75(1.4 + 1.7 ± 1.7 ± 0.51 ) artículo 2.9.2.2 = 0.75(1.4 + 1.7 ± 0.51 ± 1.7 ) = 0.9 ± 1.3 ± 0.35 = 0.9 ± 0.35 ± 1.3

Para sismo (artículo 2.9.2.3): = 0.75(1.4 + 1.7 ± 1.87 ± 0.56 ) = 0.75(1.4 + 1.7 ± 0.56 ± 1.87 ) = 0.9 ± 1.43 ± 0.43 = 0.9 ± 0.43 ± 1.43

Para presión de tierra (artículo 2.9.2.4): = 1.4 + 1.7 + 1.7 = 0.9 + 1.7

Para presión de fluidos (artículo 2.9.2.5): = 1.4 + 1.7 + 1.4 = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 1.7 ± 0.51 ) = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 0.51 ± 1.7 ) = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 1.87 ± 0.56 ) = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ± 0.56 ± 1.87 ) = 1.4 + 1.7 + 1.4 + 1.7

Para efectos de asentamiento y otros (artículo 2.9.2.7): = 0.75(1.4 + 1.7 + 1.4 ) = 1.4( + )


Donde:

representa las cargas permanentes

representa las cargas vivas o temporales

representa las cargas de viento en la dirección que indica el sub índice

representa las cargas de sismo en la dirección que indica el sub índice

representa las cargas de empuje de tierra

representa las cargas de empuje por fluidos

representa cualquiera de los efectos por asentamiento, flujo plástico, retracción, cambios de

temperatura, etc.

Los factores de resistencia, se definen en el CHOC‐2008 como (artículo 2.9.3):

Flexión sin carga axial…………………………….. ∅=0.90 Tracción axial con o sin flexión………………. ∅=0.90 Compresión axial con o sin flexión………… ∅=0.75 si tiene refuerzo en espiral Compresión axial con o sin flexión………… ∅=0.70 si no tiene refuerzo en espiral Cortante y torsión…………………………………. ∅=0.85

La aplicación conjunta de los factores de carga indicados en el artículo 2.9.2 y los factores de resistencia

del artículo 2.9.3, está orientada a obtener en forma aproximada, probabilidades de baja resistencia del

orden de 1/100 y probabilidades de sobrecarga de 1/1,000 lo que resulta en una probabilidad de falla

del orden de 1/100,000

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En la figura 1 se pueden apreciar dos estados de carga, siendo el de la izquierda el

correspondiente a cualquier esfuerzo máximo menor que el del límite de proporcionalidad y el

de la derecha para esfuerzos máximos superiores al del límite de proporcionalidad

3. La distribución de tensiones cortantes en el espesor de la sección, depende de la forma de la

sección y del diagrama tensión‐deformación y son máximas en el eje neutro y nulas en las fibras

exteriores.

4. Debido a la acción conjunta de las tensiones cortantes tanto horizontales como verticales y de

las tensiones de flexión, en cualquier punto de la viga hay tensiones inclinadas de tracción y

compresión, siendo las mayores las que forman un ángulo recto entre sí.

5. Cuando las tensiones en las fibras exteriores son inferiores al límite de proporcionalidad, la viga

se comporta elásticamente como el caso de la figura 1 izquierda, en cuyo caso se obtiene lo

siguiente:

a. El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal.

b. La intensidad de la tensión de flexión normal a la sección, aumenta de forma

directamente proporcional a la distancia del eje neutro y es máxima en las fibras

exteriores. Esta tensión en cualquier punto, puede encontrarse por medio de la

expresión: = =

Donde,

es el momento flector aplicado a la viga,

es la distancia desde el eje neutro hasta el punto de interés es el momento de inercia de la sección transversal

es el módulo resistente de la sección transversal.

c. La tensión cortante en cualquier punto de la sección se encuentra por medio de la

siguiente expresión: =

Donde,

es la fuerza cortante aplicada es el momento estático respecto del eje neutro

es el ancho de la viga.

Estados de carga:

Como ya antes se explicó, debido a la poca capacidad que tienen las vigas de hormigón de resistir

tensiones de tracción, es necesario, para poder obtener de ellas la mejor eficiencia, colocar barras de

acero en las zonas de la viga donde hayan estas tensiones, las cuales se colocan tan cerca como sea

posible de la fibra externa dejando el recubrimiento adecuado para proveer a este acero, la protección

contra la corrosión y el fuego. Se supone que entre este acero de refuerzo y el hormigón que lo rodea,


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mplemente a

producir la r

tinuación:

rimer estado

ón es inferior

erá linealmen

elástica y hom

n, que es el

ces superior a

ectangular de

ue se les ha d

n hormigón d

tracción fct =3

s tensiones p

.1=15.30cm2= 15,100√2,100,000Kg/

ón transforma

___________

abrán desliz

poyada, se co

rotura de la v

de cargas):

al módulo de

nte proporcio

mogénea con

acero de re

a la del horm

e 25cm de bas

dejado un rec

del que la res

33.5 Kg/cm2 y

roducidas po

280 = 252,6/cm

ada no agriet

____________

amientos re

oloca una car

viga. En este p

e rotura no a

onal como la m

n la diferenc

efuerzo. Para

igón.

se y 60cm de

cubrimiento d

sistencia a co

y el límite de

r un moment

71.33Kg/cm

tada

___________

lativos entre

rga que pued

proceso ident

parecerán gr

mostrada en

cia que en es

a cualquier v

peralte tota

de 5cm medid

ompresión de

fluencia del

to flector de 6

m

_______

14

e ambos

de ser de

tificamos

ietas y la

la figura

ste caso,

valor de

l armada

do desde

l cilindro

acero de

6 Ton‐m.


Sección

Centro

Rectán

Y del Á

Mome

Á

Esfuerz

Esfuerz

Por lo q

Tensio

Si en l

supera

deja de


n transforma

oide de la secc

ngulo, A=60x2

Área agregada

nto de inercia=25 ∗=44.02 ∗Ó

zo en la fibra

zo en la fibra

que no se for

ones elásticas

la misma vig

a el módulo d

e aportar resi


da ( − 1)ción:

25=1,500cm2,

a=55cm, =a: = 450,00∗ . = 60.1= 450,0inferior =superior

rmarán grieta

s. Sección agr

ga antes estu

e rotura ,istencia a la t


= (8.31 − 1 = 30cm, = 111.86 ∗ 5= 45,0001,50000cm 1cm 000 + 60.11== , (, .= , ( ., .as

rietada (Segu

udiada seguim

se forman g

racción, siend

Figura 3: pa

___________

1)15.30 = 11= 1,500 ∗5 = 6,152.360 + 6,152.360 + 111.86

+ (25 ∗ 60 ∗515,120.85 . ) = 32.93) = 36.93K

ndo estado d

mos aumenta

rietas similar

do esta absor

atrón de griet

___________

11.86cm

∗ 30 = 45,006cm 6 = 31.73cm

∗ (31.73 − 30cm

3Kg/cm en Kg/cm en co

de cargas):

ando la carg

es a las most

rbida exclusiv

tas en flexión

____________

00cm

m

0) ) + (111.8 tracción < 33

ompresión

a, cuando la

tradas en la f

vamente por e

n

___________

86 ∗ (55 − 33.5 Kg/cm2

a tensión de

igura 3 y el h

el acero de re

_______

15

1.73) )

tracción

hormigón

efuerzo.


Si la te

ambos

genera

las grie

que las

de esfu

Como t

decir, l

viga, es

Para d

debe d

es deci

Resolv

podem

cálculo

Estas d


ensión en el h

s materiales

al se presenta

etas llegan ha

s secciones co

uerzo como la

toda la porció

la porción de

sta porción d

eterminar la

de ser el mism

ir:

iendo esta e

mos determin

o de los esfue

dos fuerzas de


hormigón es

continúan, a

a en estructu

asta el centro

ontinúan sien

a mostrada e

Figura 4

ón de la secci

e la sección q

ebe de consid

posición de

mo pero de s

ecuación cua

ar el momen

rzos en la mis

==eben de ser ig

=____________Concreto al C

inferior a ′ /proximadame

ras sometida

oide de la sec

ndo planas aú

n la figura 4.

4: Sección ag

ión que está

ue se encuen

derarse como

l eje neutro,

igno contrari

( )2drática enco

nto de inercia

sma. Las sigu

fuerza tot

fuerza total

guales para sa

= , m

___________

/2 y la tensió

ente, compo

as a cargas no

cción donde s

ún en el elem

rietada. Segu

sometida a t

ntra agrietad

o ausente.

el momento

o al moment

− ( −ntramos la p

a y las demás

ientes expres

tal en compre

l en tracción

atisfacer el eq

momento pro

___________

ón en el acero

ortándose elá

ormales de se

se encuentra

mento flectado

undo estado d

tracciones po

a, no puede

o que propor

to que propo

) = 0 posición del

s propiedades

siones, permi

esión

quilibrio inter

oporcionado p

____________

o no alcanza

ásticamente,

ervicio y en d

el eje neutro

o, presentánd

de cargas

or encima del

aportar nada

rciona alred

rciona alre

eje neutro,

s de la secció

iten estos cál

rno de la secc

por el acero

___________

el punto de

situación qu

donde se sup

o, además, se

dose una dist

módulo de ro

a a la capacid

dedor del eje

dedor del mi

con lo que

ón requeridas

culos:

ción.

_______

16

fluencia,

e por lo

pone que

e supone

tribución

otura, es

dad de la

e neutro

smo eje,

también

s para el


Y como el momento proporcionado por el acero debe de ser igual que el proporcionado por el hormigón

para poder satisfacer la condición de equilibrio interno, entonces: = = = , momento resistente proporcionado por el hormigón

De donde se puede, entonces, deducir:

La tensión en el acero como =

La tensión en el hormigón como =

Donde = 1 − , de acuerdo con la figura 4

Ejemplo:

Para la misma viga antes estudiada, pero ahora sometida a un momento flector de 12 Ton‐m, calcular

sus tensiones.

Posición del eje neutro: = 8.31 ∗ 15.3 ∗ 25 ∗ 55 = 6,992.865 Resolviendo la ecuación 37,812.50 + 6,992.865 − 6,992.865 = 0, = 0.3474

Por tanto

= 1 − . = 0.8841 = 0.3474 ∗ 55 = 19.107cm = , ,. ∗ . ∗ = 1,612.79Kg/cm , tensión máxima en el acero

La tensión máxima en el hormigón será: = , ,. ∗ ∗ ∗ . ∗ . = 103.33 /cm , compresión fibra superior

Obsérvese que el momento flector solo es del doble, pero las tensiones en el hormigón crecieron de

36.93Kg/cm2 a 103.33Kg/cm2 en compresión (2.8 veces).

Tensiones inelásticas. Resistencia a rotura (Tercer estado de cargas):

Después de haber estudiado muchas curvas de tensión‐deformación se ha demostrado que la forma de

las mismas varía mucho y depende de muchos factores tales como: la resistencia del cilindro, ritmo de

aplicación y duración de la carga, etc., razón por lo que aún no se ha podido desarrollar una teoría

totalmente racional de la flexión en rotura, así que los métodos de análisis se basan en parte, en los

principios mecánicos conocidos y suplementados por una amplia información experimental (información

empírica).

Si la distribución de tensiones de compresión en el hormigón para cargas de rotura o muy próximas a

ella, tuviera una forma bien definida (como una parábola por ejemplo), el cálculo de las tensiones sería


mucho

obtene

Aún no

rectang

la rot

inmedi

En una

fuerza

Y el em

compr


o más sencillo

er una teoría

o se conoce

gulares, se ha

ura. Nuestro

iatamente an

a viga rectan

total en com

mplazamiento

esión como


o, tanto como

completamen

Figura 5: te

exactamente

a logrado me

o reglament

ntes de la rotu

gular, la sup

presión es C,

o de , la dis

. Los valore

Gr

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0


o lo es cuando

nte racional d

nsiones y def

e el criterio d

dir deformac

to (CHOC‐20

ura, es decir,

erficie que e

la cual puede

stancia desde

es de y se

áfico 3: valor

100 20

___________

o se trabaja e

del análisis.

formaciones e

de la rotura d

ciones del ord

008) acepta

cuando está a

está en comp

e calcularse c

= ′e la fibra ext

e pueden obte

res empíricos

00 300

___________

en el segundo

en tercer esta

del hormigón

den de 0.003

la deforma

a punto de ap

presión es

con la siguien

terna hasta l

ener de la sig

en función d

400

α

β

____________

o estado de ca

ado de cargas

n en compres

a 0.004 inme

ación de 0

plastarse.

(de acuerdo

te expresión:

a ubicación

guiente gráfica

e f´c

500 600

___________

argas, pudién

s

sión, pero pa

ediatamente

.003 como

con la figur

:

de la fuerza

a:

0

_______

18

ndose así

ara vigas

antes de

máxima

a 5) y la

total en


O bien, pueden ser calculados por medio de: = 0.72 − ( ´ − 280)0.04/70 = 0.0.425 − ( ´ − 280)0.025/70

Que son valores obtenidos experimentalmente y con los cuales es posible hacer el análisis en rotura.

El equilibrio exige que: =

O sea ′ =

Y por lo tanto = = ( − ) = = ( − )

En la rotura en tracción, o sea, por fluencia del acero ( = ), así que sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio, encontramos la distancia a la fibra neutra como: = ′ = ′

El momento de rotura entonces será: = 1 −

Con lo que, para hormigones con ′ ≤ 280Kg/cm , el momento de rotura será:

= 1 − 0.59

Donde es el porcentaje metálico o cuantía metálica =

Por el otro lado, para la rotura en compresión el criterio es que la deformación de compresión del

hormigón valga = 0.003 como antes se indicó y como cuando eso sucede, la tensión en el acero aún

no ha alcanzado el punto de fluencia, es proporcional a la deformación del acero, de manera, que se

acuerdo con la Ley de Hooke: =

Así que, siguiendo la distribución de deformaciones mostrada en la figura 5, la distancia a la fibra neutra,

por aplicación de triángulos semejantes, será:

= + = 0.003+ 0.003

La sustitución del valor de c calculado en esta expresión en las ecuaciones de equilibrio por momento

antes mostradas, determina el valor del momento de rotura de una viga cuyo refuerzo es tal, que la


rotura se produce por aplastamiento del hormigón. Como ya se indicó antes, este tipo de falla es

explosiva y sin previo aviso, motivo por el cual nuestro reglamento exige que la falla se produzca por

fluencia del acero lo que se logra con cuantías lo suficientemente pequeñas, para que, en caso de

exceso de carga del elemento, se obtengan señales previas a la rotura tales como fisuras.

Existe un nivel de armado que produce la falla balanceada, que es aquel cuya cuantía metálica es tal que

la rotura se produce por aplastamiento del hormigón y por fluencia del acero en forma simultánea. En

este caso, el porcentaje metálico es posible encontrarlo:

= 0.003+ 0.003 ∗ ′

Nuestro reglamento exige que todos los miembros en flexión tengan una cuantía máxima menor o igual

al 75% de la cuantía balanceada, es decir: á = 0.75

Distribución de tensiones de compresión en el hormigón:

Como antes se explicó, modelar matemáticamente el diagrama esfuerzo‐deformación del hormigón

resulta sumamente complejo debido a la gran cantidad de factores que afectan la respuesta tales como,

la edad, la resistencia del hormigón, velocidad de aplicación de la carga y otros. Para dar solución a este

problema, muchos científicos se han dado a la tarea de investigar al respecto, resaltando entre ellos,

Hognestad, Harson y McHenry y Rüsh entre otros.

Función parabólica:

Propuesta por Collins y se destaca por su sencillez. La función está definida por: = 2 −

Donde

es la deformación unitaria del hormigón

es la deformación unitaria del acero cuando este alcanza su máxima capacidad resistente

El problema de esta propuesta está en la simetría que presenta la función, ya que para > 0.002 no es real


Hognestad

Considerado junto con Rüsh, el modelo que más se acerca al comportamiento tenso‐

deformacional del hormigón además que su modelo, al ser muy sencillo, goza de gran

popularidad

Este modelo está compuesto por el acoplamiento de una parábola y una función lineal:

= 2 − válido para valores de ≤ 1 = 1.15 − 0.15 válido para valores de 1 < ≤ 2

Rüsh

El trabajo de Rüsh ha sido aceptado y complementado con otras hipótesis por el Eurocódigo y

difiere de otros trabajos en que considera ´ como constante para valores de ≥ 1

Ejemplo:

Para la viga cuya sección es la misma del ejemplo anterior, determinar el máximo momento que soporta

y discutir los resultados.

= = 15.3025 ∗ 55 = 0.0111 = 0.003+ 0.003 ∗ ′ = 0.003 ∗ 0.724,2002,100,000 + 0.003 ∗ 2804,200 = 0.0288

Como < entonces la falla será por fluencia del acero, de manera que debemos investigar esta

condición.

= ′ = 0.0111 ∗ 4,2000.72 ∗ 280 ∗ 55 = 12.75cm

Nótese que la posición del eje neutro es aún menor que en el mismo ejemplo analizado en el segundo

estado de cargas:

Posición del eje neutro medido desde la fibra superior de la viga

1er estado de cargas 2do estado de cargas 3er estado de cargas = rotura

31.73cm 19.107cm 12.75cm


Valor q

carga.

Distrib

Con el

experim

rectang

interpr

que se

varieda

Este al

los Est

válidas

valores

lo sigu

Y


= = 15.30= 31.86

que es much

bución de esfu

l método an

mental, es po

gular, sin em

retación. Por

e ha comprob

ad de tipos de

goritmo fue i

ados Unidos

s para cualqu

s obtenidos p

iente:


1 − 0.590 ∗ 4,200 ∗ 56Ton − m

o mayor que

uerzos: bloqu

terior que s

osible a cualq

mbargo, pued

esta razón s

bado, con un

e secciones y

Figura 6: R

inicialmente p

de América.

uier hormigó

por el método


5 1 − 0.59 ∗2e los valores

ue rectangula

e derivó de

quier situació

de volverse

se ha desarro

amplio núm

condiciones

Representació

propuesto po

La figura 6 m

ón con ′ ≤o anterior. Pa

= = 0= 0.85 −

___________

∗ 4,20080 0.011con que se a

ar equivalent

los concepto

ón distinta a

muy complej

ollado el algo

ero de result

de carga, que

ón del bloque

or C. S. Whitn

muestra el blo280Kg/cmara resistenc

0.85si ′ ≤− 280

___________

11 = 3,186,analizó la mi

te

os básicos d

la de una vig

ja y consecu

oritmo del blo

tados de estu

e sus resultad

e rectangular

ney y posterio

oque rectang

y da por re

ias más eleva

280Kg/cm∗ 0.05/70

____________

254.99Kg −sma viga en

de la mecáni

ga tan simple

uentemente

oque rectang

udios experim

dos son acept

equivalente

ormente desa

ular equivale

esultado exa

adas del horm

___________

cm

los otros est

ca y de info

e como la de

inducir a err

gular equivale

mentales en u

tables.

arrollado por

ente y las exp

ctamente los

migón, deber

_______

22

tados de

ormación

e sección

rores de

ente, del

una gran

otros en

presiones

s mimos

rá usarse


CORTA

Como

propor

tension

Observ

efectos

flexión

Tambié

de esf

posicio

figura 8


ANTE Y TENSI

ya se indicó

rcionales a la

nes producto

vando la figur

s de explicac

n.

én en la figur

fuerzos de c

ones: uno ubi

8.


ÓN DIAGONA

ó, cuando e

as deformacio

de la flexión,

ra 7, donde u

ción, se apre

Figura 7: Esf

ra 7 se muest

orte en el m

cado en cual


AL

el material e

ones y en cu

, excepto en a

una viga se h

ecian las ten

fuerzos de co

tra un eleme

mismo. Estud

quier punto e

___________

está en la et

ualquier secc

aquellos punt

ha descompue

nsiones de co

rte en una vig

nto diferenci

diemos un e

en la fibra ne

___________

tapa elástica

ión actúan te

tos donde la

esto en dos s

orte que apa

ga rectangula

ial de ancho

elemento cua

eutro y otro f

____________

a, las tensio

ensiones de

fuerza cortan

separadas po

arecen como

ar homogéne

donde se

adrado de la

uera de esta,

___________

nes son line

corte ademá

nte es nula.

or su eje neut

o consecuenc

a

indica la dist

a viga en di

, como se ind

_______

23

ealmente

ás de las

tro, para

cia de la

tribución

iferentes

dica en la


Puede

presen

aparec

las var

Las ten

hormig

flexión

diversa

neutra

tension

asegur

A med

que la

produc

para m

suficie

tension

especia

La arm

longitu

refuerz

consec

tension

tension

las grie


observarse q

ntes, el eleme

cen fuerzas en

as verticales.

nsiones de tra

gón, no se d

n, mostradas

as inclinacion

o a la acción

nes se conoc

rar la apropia

ida que la car

as tensiones

ciendo inmed

manejar la tra

nte resistenc

nes de tracc

almente cerc

madura para

udinal y cons

zo para las te

cuencia del e

nes alcanzan

nes de tracció

etas de flexión


que las tensi

ento no estar

n las caras ho

acción que ti

eben exclusi

en el elemen

es y magnitu

n combinada

en como “ten

da funcionab

rga aplicada e

de este tip

diatamente la

cción, aunqu

cia y las ten

ción diagona

a de los sopo

la tracción

secuentemen

ensiones diag

esfuerzo corta

magnitud su

ón locales. Es

n que son ver


ones cortant

ría en equilibr

orizontales de

enen particu

vamente a la

nto 2. En tod

des debidas s

de esta con

nsiones diago

ilidad de la vi

en una viga, a

o son mayo

a rotura de la

e se formen g

siones corta

l de intensid

ortes.

se ha coloca

nte se coloca

gonales de tr

ante o de la

uficiente para

stas grietas s

rticales y que

___________

Figura 8

es verticales

rio pues esta

el elemento q

lar importanc

as tensiones

dos los punto

solamente a

la flexión en

onales” y deb

iga.

aumenta, apa

res que las

a viga, sin em

grietas de tra

ntes crecerá

dad apreciab

ado de tal f

a cerca de la

racción en la

combinación

a abrir grieta

on conocidas

se producen

___________

actúan sobr

ría girando, p

que son iguale

cia debido a

horizontales

os de la viga

la cortadura

cualquier pu

ben de ser co

arecerá una g

de la capac

mbargo, si est

acción debido

proporciona

ble en las z

forma que e

a fibra extre

viga que se

n de este con

s de tracción

s como “griet

n en las zonas

____________

re él pero si

por tanto, pa

es en magnit

la poca capa

s de tracción

existen tens

en los puntos

nto fuera de

ompensadas

grieta de trac

cidad en tra

tá presente la

o a la flexión,

almente a la

onas de alto

es eficaz par

ema en tracc

producen en

n la flexión.

n en dirección

tas diagonale

s de grandes m

___________

solo estas es

ra lograr el e

tud a las pres

acidad en trac

n f producida

siones de tra

s a lo largo de

la fibra neut

adecuadame

ción en los p

acción del ho

a armadura n

el acero pro

as cargas cr

o esfuerzo c

a resistir la

ción pero no

n otros punt

Eventualmen

n perpendicu

es” y se distin

momentos fle

_______

24

stuvieran

equilibrio

entes en

cción del

as por la

cción de

e la fibra

tra, estas

nte para

untos en

ormigón,

necesaria

oveerá la

reándose

cortante,

tracción

o provee

os como

nte estas

ular a las

nguen de

ectores.


En la f

cuando

cuando

En un p

algún

pequeñ

No se

por tan

media

esfuerz

Es imp

forma

debe d

“armad

ambos

efectos

demue

grietas

sección

1.


figura 9, en e

o los moment

o, tanto el esf

punto en que

agrietamient

ño, por tanto

conoce aún,

nto la expres

de las tensio

zo cortantes s

portante y de

repentina y e

de utilizarse

dura del alma

s que pueden

s apreciables

estran que es

s y que, despu

n, debido a lo

Parte del es


Figura

el diagrama s

tos flectores

fuerzo cortan

e la fuerza co

to por flexió

o, el valor med

la distribució

sión antes ex

ones de cort

serán mayore

eseable, que

explosiva, qu

una armadur

a”. Esta por l

n colocarse e

s antes de

ste acero prá

ués de que es

o siguiente:

sfuerzo cortan


9: grietas po

uperior se pu

son pequeño

nte como los d

rtante sea

n antes de

dio de la tens

ón exacta de

puesta debe

tante en la s

es.

las estructur

ue es la forma

ra especial p

o general co

n forma vert

la formació

cticamente n

stas se han fo

nte es absorb

___________

r cortante y p

ueden apreci

os y en el diag

de flexión, so

grande y el m

la aparición

sión de cortan=

las tensiones

de tomarse

ección, de m

as, en caso d

a de falla car

ara poder re

nsiste de ani

ical o inclina

n de las gr

no está some

ormado, la arm

bido por las b

___________

por cortante y

ar grietas pro

grama inferio

on grandes.

momento flec

de la grieta

nte, antes de

s cortantes a

simplemente

manera que e

de una sobre

racterística de

esistir los esf

llos abiertos

da. La armad

rietas diagon

etido a tensio

madura aume

arras que atr

____________

y flexión

oducidas por

or se aprecian

ctor sea pe

diagonal de

la aparición d

lo largo de la

e como un ín

en la fibra ne

ecarga excesi

e la falla por

fuerzos corta

o cerrados o

dura a esfuer

nales, de he

ones antes de

enta la resiste

raviesan una g

___________

r el esfuerzo

n el sistema d

equeño, si se

e tracción, e

de la grieta se

a sección tra

ndice de la in

eutra, los val

va, no se rom

r cortante, po

ntes, conocid

o una combin

rzo cortante

cho, las me

e la formació

encia a corta

grieta en part

_______

25

cortante

e grietas

produce

este será

erá:

nsversal,

tensidad

lores del

mpan de

or lo que

da como

ación de

no tiene

ediciones

ón de las

nte de la

ticular.


2.

3.

Como

tensión

por cor

Donde

Cuando

porció

tracció

Donde


La presenc

penetración

Los anillos

hormigón,

longitudina

cortante ab

la armadura

n que produc

rtante, de ma

es la fue

o el agrietam

n dada de la

ón en el anillo

es el núme


ia de estas

n en la zona d

se disponen

lo que prod

l con respec

bsorbida por l

Figura

del alma no t

ce el agrietam

anera que est

=erza cortante

miento aparec

viga donde

o. El equilibrio

ero de anillos


barras impid

de compresió

n de tal form

duce cierta r

cto al hormig

a acción de p

10: Fuerzas q

trabaja en un

miento de esta

ta, se encuent

= 0.50bajo la que s

ce, cada anillo

es la secc

o es entonces

+ que atravies

___________

de el crecim

n, lo que deja

ma, que enla

restricción d

gón que la

pasador.

que actúan e

a sección no

a es la misma

tra por medio

0 + 175e observó la f

o que atravie

ión transvers

:

+san la grieta

___________

iento de las

a más hormig

azan la arma

el deslizamie

rodea y aum

n una fisura d

agrietada, la

a que cuando

o de:

′ ′ ≤ 0formación de

esa una griet

sal de cada r

=

____________

s grietas diag

gón no agrieta

adura longitu

ento a lo la

menta la pro

diagonal

magnitud de

o la viga no tie

.93 ′ e la grieta

a, ejerce una

rama del anil

___________

gonales y re

ado disponibl

udinal a la m

rgo de la a

oporción de

el esfuerzo co

ene anillos o

a fuerza

lo es la te

_______

26

educe su

le.

masa de

rmadura

esfuerzo

ortante o

refuerzo

sobre la

nsión de


ADHER

Analice

extrem

que de

indicad

la barr

Como

deben

igual m

Sea U,

Suponi

que so

materi

Donde

Cuando

las ba

fundam

hormig

La prin

desde

próxim

la barr


RENCIA Y ANC

emos un seg

mo será ligera

espués del ag

das en la figu

a

las barras de

de estar com

magnitud y dir

la magnitud

iendo que est

on del tipo c

ales, la tensió

∑ es la sum

o se produce

arras, estén

mentalmente

gón. El tipo ho

ncipal exigenc

cualquier pu

mo, debe de s

a fallará por f


CLAJE

gmento difere

amente difere

rietamiento e

ra 11 y el cam

eben de estar

mpensadas en

rección opues

de esta adhe

ta adherencia

cortadura y u

ón de adhere

ma de los perí

una falla po

estas en

a la acción d

orizontal de d

cia para la se

nto, en que

er igual al me

fluencia del a


encial de vig

ente del mom

el hormigón n

mbio de mom

Figura 11

r en equilibri

n la superficie

sta que es la

rencia por un= ( += =

a por unidad d

uniformemen

ncia nominal

ímetros de to

r adherencia,

planos vert

e cuña en los

desgarramien

eguridad cont

la tensión de

enos a la long

cero de la ba

___________

ga como el m

mento en el o

no resiste ten

mento pro

: Segmento in

=o, esta modif

de contacto

producida po

nidad de long) − ==

de longitud, e

nte distribuid

será: = ∑ = ∑odas las barra

, éste da luga

ticales u ho

s puntos en q

nto comienza

tra los fallos

el acero alcan

gitud de desa

rra antes que

___________

mostrado en

otro extremo

nsiones de tra

oduce un cam

nfinitesimal

ficación de la

entre el acer

or la adherenc

itud de la bar

es la resultan

das sobre la

as.

ar a desgarram

orizontales.

que las corrug

usualmente

por adheren

nza un valor

arrollo de la b

e por adheren

____________

la figura 11

en una canti

acción, las fu

mbio en la fu

as fuerzas qu

ro y el hormig

cia entre los m

rra, entonces

nte de las tens

superficie d

miento del ho

Este desga

gaciones de la

con una griet

ncia es que la

dado, hasta

barra. Al sati

ncia.

___________

. El moment

idad , sup

erzas interna

uerza que act

ue actúan sob

gón por una f

materiales.

:

siones de adh

e contacto e

ormigón a lo

rramiento s

as barras pres

ta diagonal.

a longitud de

el extremo li

sfacer esta ex

_______

27

to en un

poniendo

as son las

úa sobre

bre ellas,

fuerza de

herencia,

entre los

largo de

se debe

sionan el

la barra

ibre más

xigencia,


TORSIÓ

En un

elástico

una se

mitad d

Donde

Cuando

una fis

45º, es

las que

las grie

Para re

refuerz

ensayo

a la tor

Cuando

ligeram

como

próxim

hasta c

cualqu

algún


ÓN

elemento pr

o, la teoría cl

ección, como

de las caras m

es un facto

o las tension

sura en algún

sto es, perpen

e las traccione

etas, una supe

esistir la tors

zo por cortan

os han demos

rsión.

o los eleme

mente superio

si solo fuese

mas entre sí.

casi en un 5

ier aumento

punto del el


rismático som

ásica de Sain

puede aprec

más anchas y

or de forma y

es de tracció

punto accide

ndicular a las

es diagonales

erficie de rotu

ión, se coloc

nte, pero de

strado que la

entos están

or al del par d

una fisura a

Una vez fisu

0%, resistenc

del par, deb

emento, se


metido a pare

nt Venant ind

ciarse en la f

son iguales a

y e son los

Figura 12: Ele

ón diagonales

entalmente m

s tensiones de

s son menore

ura completa

a armadura,

be de ser co

s barras long

adecuadame

del mismo ele

aunque realm

urado el elem

cia la armadu

be de ser sop

produce apla

___________

es iguales y o

ica que las te

igura 12, don

: =s lados meno

emento some

s superan la

más débil y se

e tracción dia

s, estas grieta

a en la viga qu

generalment

on anillos cer

itudinales po

ente armado

emento sin a

mente lo que

mento, la res

ura el resto

ortado por la

astamiento d

___________

opuestos e

ensiones corta

nde las corta

r y mayor de

etido a torsió

resistencia a

e propaga a t

agonal. En las

as son de me

ue hace que e

te compuesta

rrados y poco

or sí solas, ape

s, el elemen

armar y las fis

se forma es

istencia a to

de la solicita

a armadura y

del hormigón

____________

n cada extre

antes de tors

antes máxima

la sección, re

ón

a tracción del

través de la v

s caras estrec

enor inclinació

el elemento s

a de anillos c

o separados

enas contribu

nto se fisur

suras siguen

s un gran nú

orsión del ho

ación. A part

y la rotura se

. En un elem

___________

emo, si el ma

sión se distrib

as se present

espectivamen

l hormigón, s

viga práctica

chas de la sec

ón, formándo

e rompa.

como los usad

entre sí. Nu

uyen en la re

a a un par

una forma de

mero de fisu

rmigón se di

ir de este m

e presenta cu

mento correc

_______

28

aterial es

buyen en

tan en la

nte.

se forma

amente a

cción, en

ose entre

dos para

merosos

sistencia

igual o

e espiral,

uras muy

isminuye

omento,

uando en

ctamente


proyectado, este aplastamiento solo se produce después de que el acero de los anillos ha comenzado a

fluir.

Es deseable, como en los elementos sometidos a flexión, que en los sometidos a torsión también

muestren un comportamiento dúctil en lugar de quebradizo y para eso, es necesario que los anillos

fluyan antes que la zona de compresión de la superficie de rotura se aplaste, para que esto se cumpla, la

cantidad de refuerzo debe de limitarse a la que producirá un par de rotura no superior a:

á = 3.12 ′ 3

FLEXOCOMPRESIÓN

Los elementos como los soportes y los arcos soportan principalmente cargas de compresión, pero casi

siempre existe simultáneamente una flexión debido a:

a) La continuidad. Los portes del edificio son elementos monolíticos en la que los momentos

extremos de las vigas, son resistidos parcialmente por los soportes unidos a ellas.

b) Las cargas transversales. Como el viento o el sismo.

c) Cargas excéntricas. Como en los voladizos.

Hasta cargas del orden de la mitad de la capacidad en rotura, los elementos sometidos a cargas de

compresión excéntrica se comportan elásticamente por las mismas razones que las discutidas para

elementos a compresión axial y para vigas en flexión. Cuando la sección no es agrietada, los mismos

principios pueden usarse para el cálculo de las tensiones y solo es necesario agregar en las expresiones

de Navier, el componente de compresión.

Cuando la excentricidad es tal que las tensiones superan la capacidad en tracción del hormigón,

aparecen grietas que inhabilitan la sección para el manejo de las tensiones de tracción. Al igual que para

las vigas en flexión con sección agrietada, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio utilizando la

sección transformada y con todos los esfuerzos dentro del estado elástico. Cuando las tensiones se

acercan a la rotura, al igual que en las vigas en flexión, es posible analizar una sección por medio del

rectángulo de esfuerzos equivalente.

En todos los casos, el problema es la interacción entre la carga axial y el momento flector que puede

estar presente en una o dos direcciones (perpendiculares entre sí) lo que impide que un análisis para

una situación o combinación específica de carga axial y momentos sea aplicada para otra combinación

aún en la misma columna. Para esto, lo más recomendable es la construcción de los diagramas de

interacción para flexocompresión axial o flexocompresión bi‐axial, en los que el diagrama constituye

todo el espectro de combinaciones en que la columna puede trabajar.


Los acápites antes estudiados dan una idea general de los aspectos generales del comportamiento del

hormigón y serán estudiados al detalle en los diferentes elementos estructurales según sea el caso en lo

sucesivo del curso.

En todo el estudio al detalle del proyecto de los elementos de hormigón en este curso, se observará

invariablemente la normativa hondureña “Código Hondureño de la Construcción” (CHOC‐2008).


VIGAS

Diseña

La viga

figura

sobre

siguien

Cargas

Cargas

El inter

Se dese

Hormig

Acero d


ar la viga cont

a presenta un

14. La pared

las vigas des

nte forma:

s permanente

Su peso pro

Instalacione

Cielo falso =

Enchape de

s vivas:

rcolumnio de

ea construir e

gón………………

de refuerzo…


tinua de la fig

a aleta en vo

pesa 300Kg/m

cansa una lo

es:

opio

es= 1

= 2

e piso = 7

50

l marco es 9.

el sistema de

…….. ’ = 2

……… = 4,


ura 13 que so

oladizo en la q

m2 de pared.

sa de entrep

15 Kg/m2

20 Kg/m2

75 Kg/m2

00 Kg/m2

00m.

marcos con m

280 Kg/cm2

200 Kg/cm2

Figura 13:

___________

oporta las sig

que se carga u

Adicionalme

piso a base d

materiales de

: alzado del m

___________

uientes carga

una pared co

nte, el marco

e viguetas, q

e la siguiente

marco típico

____________

as:

omo se muest

o es parte de

que a su vez

especificació

___________

tra en la secc

un sistema e

están cargad

ón:

_______

31

ión de la

n el que,

dos de la


Antes

esfuerz

rectang

40x40c

No se e

Cargas

=Pes

= 500

Combi1. 2.

Análisi

Los dia


que nada ser

zos. Digamos

gular, despre

cm.

evaluará las c

s del sistema:

o propio+((75

0*9.00/2

naciones de c= 1.4 += + s:

agramas de m


Figura

rá necesario,

que se asum

eciando la pa

condiciones d

5+15+20)*9.0

cargas por inv+ 1.7

momentos, co


a 14: sección

pre‐dimensio

me como prim

articipación d

e sismo ni vie

00/2))+(300*3

vestigar:

rtantes y tors

___________

esquemática

onar el marco

mera iteración

de la losa en

ento.

3.20)

sión de muest

___________

de la viga de

o para poder

n que las viga

voladizo; y

tran en las fig

____________

el marco

r analizarlo y

as tengan una

las columnas

guras 15 a la

___________

con esto obt

a sección de 3

s con una se

18 a continua

_______

32

tener los

35x60cm

cción de

ación.


2,408


F

F

F

Kg‐m


igura 15: Diag

Figura 16: Dia

Figura 17: Dia

51,580


grama de mo

agrama de co

agrama de tor

57,

0 Kg‐m

___________

mentos para

rtantes para

rsiones para l

324 Kg‐m

___________

la combinaci

la combinació

la combinació

52,672 Kg‐m

____________

ión 1.4 + 1

ón 1.4 + 1.

ón 1.4 + 1.7

m

30,590 Kg

___________

.7

7

7

g‐m

1,

_______

33

,632 Kg‐m




Figura 18: D

Figura 19:

Figura 20:


Diagrama de

Diagrama de

Diagrama de

___________

momentos p

e cortantes pa

e torsiones pa

___________

ara la combin

ara la combin

ara la combin

____________

nación +

ación +

ación +

___________

_______

34


Módulo de elasticidad del hormigón = 15,100√280 = 252,671.33Kg/cm (2.8.5)

Módulo de elasticidad del acero = 2,030,000Kg/cm (2.8.5.2)

Recubrimiento del acero:

Asumir que el refuerzo transversal será con barras #3

Asumir que el refuerzo longitudinal será con barras #8

Peralte efectivo = 60 − 4.0 − 0.953 − . = 53.77cm (2.7.7.1c)

= 0.85 (2.10.2.7.3)

Capacidad de la sección: = 57,824Kg − m = 5,782,400Kg − cm

Máximo refuerzo posible (2.10.3.2 y 2.8.4.3)

= 0.75 ∗ 0.003+ 0.003 ∗ ′ = 0.75 ∗ 0.003 ∗ 0.724,2002,030,000 + 0.003 ∗ 2804,200 = 0.0213

Factor de reducción de la resistencia (2.9.3)

Flexión = 0.90 Cortante y torsión = 0.85

Espacio libre entre barras: 2.5cm (2.7.6.1 y 2.7.6.2)

Flexión:

Ecuación de equilibrio en la rotura: = ∅ 1 − 0.59′ = ∅ 1 − 0.59′ 37,170 − 4,200 + ∅ = 0 = 2,408Kg − m = 240,800Kg − cm

∅ = 240,8000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 2.644

Resolviendo la ecuación de equilibrio, encontramos = 0.000588 < = 0.0033 (2.10.5.1)

Sin embargo, si proporcionamos un 33% adicional, podemos utilizar menos refuerzo, esto es:


∅ = 2.644 ∗ 1.33 = 3.517 → = 0.000844 (2.10.5.3)

El acero de refuerzo por contracción térmica debe de tener una cuantía = 0.002 (2.7.12.1.1)

De manera que si lo distribuimos en las dos caras de la viga, deberíamos de tener al menos = 0.001 en cada cara, o sea, = 0.001 ∗ 35 ∗ 55.77 = 1.95cm en cada cara

= 51,580Kg − m = 5,158,000Kg − cm

∅ = 5,158,0000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 56.64 → = 0.015653 <

= 0.01436 >

= 0.015653 ∗ 35 ∗ 55.77 = 29.46cm → 6#8quetieneun = 6 ∗ 5.10 = 30.60cm

Momento de rotura para 4 barras #8: = 4 ∗ 5.10 = 20.40cm → = 20.4035 ∗ 55.77 = 0.010451 = 0.90 ∗ 0.010451 ∗ 4,200 ∗ 35 ∗ 53.77 1 − 0.59 ∗ 0.010451 ∗ 4,200280 = 3,894,344.90Kg − cm

Momento de rotura para 2 barras #8: = 2 ∗ 5.10 = 10.20cm → = 10.2035 ∗ 53.77 = 0.005226 = 0.90 ∗ 0.005226 ∗ 4,200 ∗ 35 ∗ 53.77 1 − 0.59 ∗ 0.005226 ∗ 4,200280 = 2,050,826.69Kg − cm

= 57,324Kg − m = 5,732,400Kg − cm

∅ = 5,732,4000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 62.943 → = 0.017786 < = 0.0216 = 0.017786 >

= 0.017786 ∗ 35 ∗ 53.77 = 33.47cm → 6.56 ≡ 7#8quetieneun = 7 ∗ 5.10 = 35.70cm

Espacio ocupado por las 7 barras = (7*2.54)+(6*2.5)=32.78cm

Espacio disponible=35‐2(2.5+0.95)=28.10cm<32.78cm por lo que será necesario colocar el acero en dos

lechos, lo que cambiará el centroide del mismo y consecuentemente el valor del peralte efectivo d

Primera fila=6 barras #8 con y=53.77

Segunda fila=1 barra #8 con y=53.77‐2.5‐2.54=48.73cm


= (6 ∗ 5.10 ∗ 53.77) + (5.10 ∗ 48.73)35.70 = 53.05cm = 35.7035 ∗ 53.05 = 0.019227 = 0.90 ∗ 0.019227 ∗ 4,200 ∗ 35 ∗ 53.05 1 − 0.59 ∗ 0.019227 ∗ 4,200280 = 5,940,692.34Kg − cm

= 59,406.92Kg − m > 57,324Kg − m ∴ correcto

= 52,672Kg − m = 5,267,200Kg − cm

∅ = 5,267,2000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 57.83 → = 0.016050 < = 0.0216 = 0.016050 ∗ 35 ∗ 53.77 = 30.21cm → 5.93 ≡ 6#8quetieneun = 6 ∗ 5.10 = 30.60cm

= 30,590Kg − m = 3,059,000Kg − cm

∅ = 3,059,0000.90 ∗ 35 ∗ 53.77 = 33.58 → = 0.008661 < = 0.0216 = 0.008661 ∗ 35 ∗ 53.77 = 16.30cm → 3.20 ≡ 4#8quetieneun = 4 ∗ 5.10 = 20.40cm

= 1,632Kg − m < 2,408Kg − m demaneraqueusaremoselmínimoantescalculado.

Anclaje de las barras:

Diámetro de la barra = 2.54cm ∝= 1.0 (2.12.2.4) = 1.0 (2.12.2.4) = 1.0 (2.12.2.4) = 1.0 (2.12.2.4)

Para barras corrugadas #7 y mayores, = . (2.12.2.2)

= 5.3 ′ = 4,200 ∗ 1.0 ∗ 1.0 ∗ 1.05.3 ∗ √280 2.54 = 47.36cm > 30 ∴ = 48cm


= 1

Donde

es

es e

Como

Desarr

Para zo

Para b12 =

El radi7.62cm


30.6 ′ ∝+ es un índ

el área total

l número de b

una simplifica

rollo del ganc

ona sísmica:

barras #8, el= 12 ∗ 2.54 =io del doblezm como tamb


+ = 31dice del refue

del refuerzo t

barras que se

ación, podrá t

ho estándar d= = √=

gancho est= 30.48cm ta

z medido en

bién se indica

Figur


3 ∗ 4,200 ∗ 2.0.6√280 2.2.5erzo transvers

transversal d

e están desarr

tomarse

de 90º para z∗ .√ = 47.5= , ∗ .√

ándard de 9

al como se in

n el interior

a en la figura

ra 21: Gancho

___________

54554 = 183.32sal =

entro de la se

rollando a la l= 0 aunque eona no sísmic1cm > 8 == 37.50cm

90º tendrá u

dica en el dia

de la barra,

21.

o estándar de

___________

2cm

eparación

largo del plan

exista refuerz

ca: = 20.32cm

m

un doblez de

agrama de la f

no deberá

e 90º para bar

7.62cm

____________

no de fractura

zo transversa

e 90º más u

figura 21.

ser menor q

rras #8

___________

(2

a

al

(2.2

una prolonga

que 3 = 3 ∗

_______

38

2.12.2.4)

(2.12.5)

21.5.4.1)

ación de

(2.7.1)

∗ 2.54 = (2.7.2)


Cortante y torsión: ∅ ≥ (2.11.1.1)

El cortante en el punto a una distancia d de la cara de la columna es:

= 30,747 − ( . )( , , ) = 24,113.56Kg (2.11.1.3.1)

La aportación del hormigón es: = 0.53 ′ = 0.53√280 ∗ 35 ∗ 53.77 = 16,690.25Kg (2.11.3.1.1)

Por lo que deberá resistir el acero de refuerzo será: = 24,113.560.85 − 16,690.25 = 11,678.64Kg V < 1.06 f′ b = 1.06√280 ∗ 35 ∗ 53.77 = 33,380.51Kg (2.11.5.4.3)

= 8,002.94 < 0.8 ′ = 0.8√280 ∗ 35 ∗ 53.77 = 25,192.84Kg (2.11.5.6.4)

De acuerdo con la norma, es espaciamiento máximo de los anillos en zonas no sísmicas deberá ser /2 para refuerzo colocado perpendicular al eje del miembro, ni 60cm (2.11.5.4), sin embargo, la estructura

se proyecta para una zona sísmica de manera que deberá observarse lo siguiente:

En una distancia no mayor que 2ℎ desde la cara de la columna, la separación entre anillos deberá ser

menor o igual a: (2.21.8.4.2) 1. /42. 8 veces el diámetro del refuerzo longitudinal

3. 24 veces el diámetro del refuerzo transversal

4. 30 cm

Donde h es el peralte total del miembro, y en el resto de la viga, el espaciamiento podrá ser el doble que

el indicado para la zona columnar.

Si los anillos son del #3 ( = 0.71cm , = 0.95cm),

≤ menor 30cm= . = 13.94cm8 ∗ 2.54 = 20.32cm24 ∗ 0.95 = 22.80cm = 13.94 ≡ 14cm (2.21.3.3.2)

= → = = ∗ . ∗ , ∗ ., . = 27.46cm > 14cm ∴ S = 0.14m (2.11.5.6.3)


= 2 ∗ 0.7127.46 = 0.051712 Torsión:

Se podrá permitir despreciar los efectos de la torsión si el momento torsor es menor que (Para

miembros no presforzados): 0.265∅ ′ (2.11.6.1)

Donde:

es el área encerrada por el perímetro de la sección transversal de hormigón

es el perímetro exterior de la sección de hormigón.

Como se estableció despreciar el ala del voladizo, entonces:

= 35 ∗ 60 = 2,100cm = 35 + 35 + 60 + 60 = 190cm

Momento torsor en la sección crítica (a d de la cara de la columna) = 10,486.00 − (20 + 53.77) , . , = 8,998.80Kg − m = 899,879.68Kg − cm (11.6.2.4)

= 899,879.68 − cm > 0.265 ∗ 0.85 ∗ √280 2,100190 = 87,484.03Kg − cm

Por lo que los efectos de la torsión deben de tomarse en cuenta en el proyecto de la viga.

La sección de la viga deberá ser tal, que satisfaga la siguiente desigualdad: + . ≤ ∅ + 2.12 ′ (2.11.6.3.1)

Donde:

es el área encerrada por la línea central del refuerzo torsionante transversal

es el perímetro de la línea central del refuerzo torsionante transversal

= 55.05 ∗ 30.05 = 1,654.25cm = 2(55.05 + 30.05) = 170.20cm

24,113.5635 ∗ 53.77 + 899,879.68 ∗ 170.201.7 ∗ 1,654.25 = 29.99 ≤ 0.85 17,311.0635 ∗ 55.77 + 2.12√280 = 37.69

Por lo que la sección es buena para manejar los efectos.


= → = (2.11.6.3.6)

Donde:

es el área total encerrada por la ruta del flujo de cortante = 0.85 = 0.85 ∗ 1,654.25 = 1,406.11cm (2.11.6.3.6)

es el ángulo de inclinación del refuerzo

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200899,879.68 = 18.64cm

= 2 ∗ 0.7118.64 = 0.076188cm

Distribución del refuerzo transversal:

Como el refuerzo transversal será el responsable de proveer la resistencia para el esfuerzo combinado

de torsión y cortante, la distribución de este refuerzo se hará tomando en cuenta el efecto combinado.

2 + = 0.0517122 + 0.076188 = 0.102044cm

= 2 ∗ 0.710.102044 = 13.91cm < 14 ∴ S = 13cm

Espaciamiento máximo cuando hay torsión: ≤ = . = 21.28cm < 30 m (2.11.6.6.1)

Acero mínimo por reglamento: ( + 2 ) = . (2.11.6.5.2)

( + 2 ) = 3.5 ∗ 35 ∗4,200 = 0.029167

= 2 ∗ 0.710.029167 = 48.69cm > 12 , O. K.

Donde el refuerzo por torsión es requerido, deberá haber un área mínima de refuerzo longitudinal por

torsión que deberá calcularse por medio de la siguiente expresión:

= . − (2.11.6.5.3) ≥ . = . ∗, = 0.015 (2.11.6.5.3)


= 1.3√280 ∗ 2,1004,200 − 0.075855 ∗ 170.20 = −2.03cm

Por lo que no se requiere indicar refuerzo longitudinal por torsión.

Revisión por cortante y torsión a una distancia2ℎ de la cara de la columna (1.40m del eje 1): = 18,490Kg = 18,4900.85 − 16,690.25 = 5,062.69Kg

= = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.775,062.69 = 63.34cm

= 2 ∗ 0.7163.34 = 0.022410 = 7,663Kg − m = 766,300Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200766,300 = 21.89cm

= 2 ∗ 0.7121.89 = 0.0649cm

2 + = 0.0059212 + 0.0649 = 0.067838cm

= 2 ∗ 0.710.067838 = 20.93cm < 28 ∴ = 20 m

Revisión por cortante y torsión a una distancia 3ℎ de la cara de la columna (2.00m del eje 1): = 13,237.59Kg < ∅ ∴ = 0.00 → = = 28cm

= 6,454Kg − m = 645,400Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200645,400 = 25.99cm

= 2 ∗ 0.7125.99 = 0.0546cm


2 + = 0.0546cm

= 2 ∗ 0.710.0546 = 26cm < 28 ∴ = 26cm

Revisión por cortante y torsión a una distancia 4h de la cara de la columna (2.60m del eje 1): = 7,984.76Kg < ∅ ∴ = 0.00 → = = 28cm

= 5,244.40Kg − m = 524,440Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200524,440 = 31.98cm > 28 ∴ = 28

Revisión por cortante y torsión a una distancia a la izquierda de la cara de la columna (0.7523m

izquierda del eje 2): = 53.05 = 37,034.56Kg = , .. − 16,690.25 = 26,879.82Kg < 34,622.11Kg

= 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.0526,879.82 = 11.77cm

= 2 ∗ 0.7111.77 = 0.120640 = 5,133.36Kg − m = 513,336Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200513,336 = 32.67cm

= 2 ∗ 0.7132.67 = 0.043461 2 + = 0.12064002 + 0.043461 = 0.103781cm

= 2 ∗ 0.710.103781 = 13.68cm < 14 ∴ = 13


Revisión por cortante y torsión a una distancia 2ℎ a la izquierda de la cara de la columna (1.40m

izquierda del eje 2): = 31,411.41Kg = 31,411.410.85 − 16,690.25 = 20,264.35Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.7720,264.35 = 15.83cm < 28 ∴ = 15

= 2 ∗ 0.7115.83 = 0.089731 = 3,827.60Kg − m = 382,760Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200382,760 = 43.82cm

= 2 ∗ 0.7143.82 = 0.032406 2 + = 0.0897312 + 0.043461 = 0.088327cm

= 2 ∗ 0.710.088327 = 16.07cm < 28 ∴ = 16


izquierda del eje 2):

= 26,158.59Kg = 26,158.590.85 − 16,690.25 = 14,084.56Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.7714,084.56 = 22.77cm < 28 ∴ = 22

= 2 ∗ 0.7122.77 = 0.062367 = 2,618.00Kg − m = 261,800Kg − cm > 87,484.03Kg − cm


= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200261,800 = 64.06cm

= 2 ∗ 0.7164.06 = 0.022165 2 + = 0.0623672 + 0.022165 = 0.053348cm

= 2 ∗ 0.710.053348 = 26.62cm < 28 ∴ = 26

Revisión por cortante y torsión a una distancia a la derecha de la cara de la columna (0.7523m derecha

del eje 2):

= 32,575.72Kg = 32,575.720.85 − 16,690.25 = 21,634.13Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.0521,634.13 = 14.62cm > 14cm ∴ S = 14cm

= 2 ∗ 0.7114.62 = 0.097097

= 2,566.38Kg − m = 256,638Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200256,638 = 65.35cm

= 2 ∗ 0.7165.35 = 0.021728 2 + = 0.09709782 + 0.021728 = 0.070276cm

= 2 ∗ 0.710.070276 = 20.21cm < 28 ∴ = 20


Revisión por cortante y torsión a una distancia 2ℎ a la derecha de la cara de la columna (1.40m derecha

del eje 2):

= 26,905.19Kg = 26,905.190.85 − 16,690.25 = 14,692.91Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.7714,692.91 = 21.43cm < 28 ∴ = 21

= 2 ∗ 0.7121.43 = 0.066256 = 1,260.64Kg − m = 126,064Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200126,064 = 133.04cm

= 2 ∗ 0.71133.04 = 0.010673 2 + = 0.0662562 + 0.010673 = 0.043801cm

= 2 ∗ 0.710.043801 = 32.42cm > 28 ∴ = 28

Revisión por cortante y torsión a una distancia 3ℎ a la derecha de la cara de la columna (2.00m derecha

del eje 2):

= 21,652.28Kg = 21,652.280.85 − 16,690.25 = 8,783.02Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.778,783.02 = 36.51cm > 28 ∴ = 28

= 2 ∗ 0.7136.51 = 0.038891


= 51.06Kg − m = 5,106Kg − cm < 87,484.03Kg − cm

= 28cm

Revisión por cortante y torsión a una distancia a la izquierda de la cara de la columna (0.7577m


= 17,239.440.85 = 20,281.69Kg > 16,690.25Kg = 17,239.440.85 − 16,690.25 = 3,591.44Kg < 34,622.11Kg = 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200 ∗ 53.773,591.44 = 89.29cm > 28 ∴ = 28

= 8,904.50Kg − m = 890,450Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200890,450 = 18.83cm > 14 ∴ = 14



= 12,616.190.85 = 14,842.58Kg < 17,311.06Kg ∴ norequiererefuerzoporcortante = 7,609.64Kg − m = 760,963.88Kg − cm > 87,484.03Kg − cm

= 2 ∗ 1,406.11 ∗ 2 ∗ 0.71 ∗ 4,200760,963.88 = 22.04cm > 14 ∴ = 14


Deflexi

Del pro

cargas

El pera

despla

En el c

nunca

Donde

es

es

es e

es e

Donde

es e

es la

tracció= 1= 1 = 2,25


iones:

ograma de an

permanente

alte de la vig

zamientos. (2

cálculo de las

será mayor q

:

s el momento

el momento

el momento d

l momento d

:

l módulo de r

a distancia de

ón. .99√280 = 315,100√280,030,00052,671.33 =___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE

nálisis, en la fi

s.

Figura 22

ga, ℎ=60cm >

2.9.5.2.1), sin

s deflexiones

que .

de agrietam

máximo en e

de inercia de

e inercia de l

rotura del ho

el eje centroid

33.30Kg/cm= 252,671.38.03


igura 22 se m

2: Elástica del

> . = . = embargo, po

se debe de t

=iento de la se

l miembro en

la sección ag

a sección no

rmigón, =dal de la secc

m 33Kg/cm

___________

muestra la elás

l marco para

= 45.95cm p

or razones aca

tomar en cue

+ 1 +ección.

n la etapa en

rietada

agrietada =1.99 ′ ión total (igno

___________

stica del marc

la condición p

por lo que se

adémicas, est

enta el mom

que la deflex

orando el ref

____________

co como cons

primaria

e puede omi

te será revisa

mento efectivo

xión es calcula

fuerzo) a la fib

___________

secuencia de

itir el análisi

ado.

o de inercia

(2

ada

bra extrema e

(2.8.5

_______

48

las

is de los

el cual

2.9.5.2.3)

en

5.1)


= 35 ∗ 6012 = 630,000cm

= = 358.03 ∗ 35.70 = 0.122028 = ( − 1) ′ = (8.03 − 1) ∗ 10.208.03 ∗ 35.70 = 0.250133

= 2 1 + ′ + (1 + ) − (1 + )

= 2 ∗ 53.77 ∗ 0.1220 1 + 0.2501 ∗ 4.2355.77 + (1 + 0.2501) − (1 + 0.2501)0.1220 = 21.9495cm = 3 + ( − ) + ( − 1) ′ ( − ′) = 35 ∗ 21.953 + 8.03 ∗ 35.70(53.77 − 21.95) + (8.03 − 1)10.20(21.95 − 4.23) = 473,789.28cm

= 630,000473,789.28 = 1.3298 = 33.30 ∗ 630,00030 = 699,300Kg − cm

Bajo cargas permanentes: = 20,746Kg − m = 2,074,600Kg − cm = ,, , = 0.3071 < 1, por tanto, hay agrietamiento

= (0.3033) ∗ 630,000 + 1 − 0.3033 ∗ 473,789.28 = 478,147.91cm = 478,147.91630,000 = 0.758965

Bajo cargas de servicio: = 34,002Kg − m = 3,400,200Kg − cm = ,, , = 0.205664 < 1, por tanto hay agrietamiento = (0.205664) ∗ 630,000 + 1 − 0.205664 ∗ 473,789.28 = 475,148.18cm


= 475,148.18630,000 = 0.7542

Deflexiones iniciales o de corto plazo: ∆ = 8.2210.7589 = 10.83mm

∆ = 8.2520.7542 = 10.94mm

∆ = 10.94 − 10.83 = 0.11mm

Desplazamiento admisible ∆ = , = 23.61mm (2.9.5.2.6)

Deflexiones a largo plazo:

Debido a las características reológicas del material (flujo plástico y encogimiento), las deflexiones se

afectan en el largo plazo, por lo que deben de ser revisadas.

Análisis para 5 años: = 2.0 (2.9.5.2.5)

= 1 + 50 ′ = 2.01 + 50 ∗ 10.20 = 0.003914 Δ + Δ = Δ = 10.94 ∗ 0.0039 = 0.043mm

Δ + Δ + Δ = 10.94 + 0.043 = 10.98mm < 23.61mm

Por lo que la sección se acepta.


Detalla

DoblecLa figu Aro: Esvarias Gancho El diám


ado:

ces de los anira 24 muestr

s un anillo cepiezas, cada u

os para anillo

metro interno


Figura 2

llos: a un anillo co

errado que puna con un ga

os: Para barra

del doblez n


23: disposició

on la especific

puede estar fancho sísmico

s #5 y menor

o deberá ser

___________

n del acero d

cación de acu

formado de o en cada ext

res, doblez de

menor que 4

___________

de refuerzo y s

erdo con la n

una sola pieztremo. (2.21.1

e 90º más una4 (2.7.2.3)

____________

secciones

norma, que di

za continuam1)

a prolongació

___________

ice lo siguient

mente enrolla

ón de 6 (2.

_______

51

te:

ada o de

7.2.2)


Con rehasta lcorrectobservde man En la fiprovist

Por lo

por lo


specto a los aa fibra opuesto. De acuerdvamos el diagnera que no h

ibra superior to de 2 barras

que el ganch

que se acepta


anclajes de lasta de la columdo con la figurama de momhay problema

en ese misms #8 ( = 10o puede desa

a. (2.12.2.5)


Figura 24

s barras de remna, sin embra 21, se requmentos, en esa.

mo punto, de a0.20cm ), ent

arrollarse con

___________

4: detalle de a

efuerzo, obsebargo debe deuiere que 0.4sta zona de la

acuerdo con tonces,

= 10.201.95n

.. = 0.09m___________

anillo típico

ervando la fige revisarse si 48cm de anclaa viga la solic

los cálculos,

05 = 5.23 m = 9cm y lo

r=2ø

____________

gura 23, las ba con esto se caje sean provcitación en la

se requiere

o que se prov

___________

arras inferiorcumple con evistos, sin emfibra inferior

= 1.95cm

veyó es más

_______

52

es llegan el anclaje bargo, si r es cero,

y se ha

que eso,


El primdesde En cuanecesaantes cdeberá Otras cEn alguen cueque seambien La norestruct HormigHormigCon esadecuasus con


mer anillo quela cara de la c

nto a los empario practicarcalculada, soá de multiplic

consideracionunas ocasionenta el agrieta realizan en lnte, que debe

ma indica lastura, de la sig

gón expuestogón expuestostas disposicado para estandiciones de


Fig

e cubre cada columna, com

palmes, en elempalmes, lo que si estoarse por 1.30

nes que pudies, por razonamiento paralas zonas coste de limitarse

s tensiones aguiente forma

o a condicioneo a condicioneiones, no sear en condiciodiseño.


gura 25: Posic

vano en unamo se muestr

l comercio loclos cuales deos empalmes0 (2.12.15.1)

era ser necesnes de las con asegurar la vteras, donde e el agrietami

dmisibles en a (2.10.6.4):

es de interiores de exteriore pretende qones hóstiles

___________

ción del prim

viga debe dea en la figura

cal se encueneben de tenes se hacen to

sario revisar:ndiciones donvida de la estel ambiente ento.

la grieta de

es…………………res………………ue el hormis, en las que

___________

er anillo en v

e colocarse a 25. (2.21.3.3

ntran barras der el traslapedos en el mi

nde se ubica tructura, comes tan agres

acuerdo a la

….. 31,300 …. 25,900 gón sea impdeberá hace

____________

vigas

a una distanci3.2)

de 30 pies (9.e igual a la losmo punto d

la estructuramo es el caso ivo por la pre

s condicione

Kg/cm Kg/cm permeable nirse investiga

___________

ia no mayor q

.14m) por lo ongitud de dede la viga, su

a, es necesarde las constresencia de sa

s de exposici

i que el misción para det

_______

53

que 5cm

que será esarrollo longitud

io tomar ucciones ales en el

ión de la

mo esté terminar


La sigucondic

Aire se

Humed

Químic

Agua d

Estruct

Las secel valoexpres

Dondeneutrotensiónespesomás cebarra.

Para el

= 3Refuer= 4== 2 = 0


uiente tabla, iones de expo

CON

eco o membra

dad, aire húm

cos para desh

de mar; rocío

turas de cont

cciones transvor no excedión de Gerge

es el ancho a la fibra mn en el acero or del recubriercana y es

l caso antes r

37,789Kg − mrzo = 7 barras4.23cm 4.77cm ∗ 4.77 ∗ 357barras =.6 ∗ 4,200 =


muestra en tosición:

NDICIÓN DE E

ana protector

medo, suelo

hielo

de mar; hum

ención de ag

versales de mda las tensioly Lutz: = 0.0=ho de la griemás tensionadque puede tmiento de hoel área de ho

esuelto, para

m = 3,778,9 #8

= 47.70cm

2,520Kg/cm____________Concreto al C

términos del

EXPOSICIÓN

ra

edecimiento

ua

máximo momnes antes ap

76 ,

, en térmi

ta en milésimda y la distanomarse comoormigón medormigón efect

Figura 26:

a el máximo m

00Kg − cm

m

___________

ancho de la

y secado

ento positivopuntadas. Est

, en términos

inos de la ten

mas de pulgancia entre elo el 60% de laido desde la tiva en tracci

Área efectiva

momento, ana

___________

grieta, los v

AN

0

0

0

0

0

o y negativo dte valor pu

s del ancho de

nsión en la gri

ada; es la rl eje neutro a resistencia fibra extremón alrededor

a en tracción

alizar el agrie

____________

valores admis

NCHO PERMIS

Pulg

0.016

0.012

0.007

0.006

0.004

deberán diseñuede ser calc

e la grieta en

ieta en Kg/cm

relación entrey el centroida la fluencia a en tracciónr del refuerzo

etamiento de

___________

sibles para di

SIBLE DE GRI

mm

0.4

0.3

0.1

0.1

0.1

ñarse de manculado a part

pulgadas

m (2

e la distanciade del acero;especificada;n al centro deo en tracción

la viga.

_______

54

iferentes

ETA

m

1

0

8

5

0

nera que tir de la

2.10.6.4)

a del eje ; es la ; es el e la barra por cada


= 2,520 ∗ √4.23 ∗ 47.70 = 14,780.42Kg/cm < 25,900 /

La tensión en la grieta que encontramos es menor aún para las condiciones de exposición en interiores

por lo que la sección se acepta.

El reglamento permite, en forma conservadora, calcular = 0.6 , pero también es posible por medio

de un cálculo más preciso de la siguiente forma: =

Donde Z es el brazo del par conformado entre la fuerza del hormigón y la fuerza del acero como lo indica

las figura 11 y que de acuerdo con la figura 4, =

Entonces = 2 + ( ) −

Y como antes se explicó = 1 −

En otros reglamentos, como el Eurocódigo, permiten el cálculo de mediante la siguiente expresión:

= 0.8 si ≥ 0.15 = 0.85 si < 0.15 = 0.9 parasecciones"T"ovigasrectangularescondoblerefuerzo(Refuerzoencompresión)

Resolviendo el mismo caso pero en términos del ancho de la grieta, de los cálculos ya realizados,

sabemos que: = 8.03 = 55.23cm

= 7 ∗ 5.1035 ∗ 55.23 = 0.018468 = (2 ∗ 8.03 ∗ 0.018468) + 8.03 ∗ 0.018468 − (8.03 ∗ 0.018468) = 0.416 = 0.416 ∗ 55.23 = 22.98cm

= − 3− = 55.23 − 22.9822.98 − 22.983 = 2.11 = 1 − 0.4163 = 0.861


= 0.861 ∗ 55.23 = 47.55cm

= = 3,778,90035.70 ∗ 47.55 = 2,226.11Kg/cm < 0.6 = 2,520Kg/cm

= 2,226.11Kg/cm = 31,668.15p. s. i. = 31.67K. s. i. = 4.23cm = 1.67pulgadas = 47.70cm = 7.39in

= 0.076 ∗ 2.11 ∗ 31.67√1.67 ∗ 4.39 = 11.727milésimasdepulgada = 0.011pulgadas = 0.011" < 0.016" para la condición de exposición correspondiente a aire seco o membrana

protectora, que sería el mismo caso de comparación antes hecho, con lo que llegamos a las mismas

conclusiones.

Es importante hacer notar, que es posible, en los casos en que la tensión en la grieta sea superior al

límite admisible para la condición de exposición en que se está revisando la viga o para el ancho límite

de grieta correspondiente, resolver el problema sin aumentar la cuantía metálica, simplemente

cambiando el calibre a uno menor y con esto aumentando el número de barras que cumple con la

cuantía y al mismo tiempo resuelve el problema del agrietamiento. Cuando este problema se resuelve

así, solo hay que tener cuidado si la nueva disposición de armado presenta un nuevo porque las

mismas no caben en un mismo lecho o porque simplemente su centroide ha cambiado en relación al de

la aproximación inicial. Esto se debe a que el valor de está en función del número de barras.


VIGAS

Cuando

índole

para re

compr

conoce

Si tant

partes

parte i

es:

La segu

hormig

De don

Sabien

Por lo q


DOBLEMENT

o la sección

y esta secció

esistir los mo

esión en la z

e como “vigas

o como ′: La primera

gual de la fue

unda parte (

gón en compr

nde podemos

do que =que el mome


TE REFORZAD

transversal d

ón no es cap

omentos flect

zona correspo

s doblemente

Figu

′ alcanzan ( ) se deb

erza que actú

) es la cont

resión, es dec

s deducir lo si

y que ′ =ento resistent


DAS (CON REF

de una viga e

az de desarro

tores en los

ondiente log

e armadas”.

ura 27: Viga re

(Fluyen), en

e al par com

úa sobre la ar

tribución del

cir: =guiente:

, podemo

te total será:∅___________

FUERZO EN C

está limitada

ollar en el ho

que debe de

rando así el

ectangular do

tonces el mo

mpuesto por l

rmadura en t

= ( −acero en trac

( − )= ( − )0.85s escribir = ( − ′)0.85= ∅( ′ +

___________

COMPRESIÓN

por requerim

ormigón la re

e trabajar, es

equilibrio int

oblemente ar

omento resist

la fuerza del

tracción, com

− ) cción restante

( − 2) )

+ ′ ) ____________

)

mientos arqu

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s posible aña

terno. A este

rmada

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acero en co

mo se muestra

e ( − ) e

___________

itectónicos o

compresión n

dir una arma

e tipo de viga

stá compuest

ompresión, ′a en la figura

n combinació

_______

57

o de otra

necesaria

adura de

as se les

o de dos ′ , y una 27, esto

ón con el


∅ = ∅ ( − ′ ) − 2 + ′ ( − ′)

Como ya lo hemos estudiado, es importante, y así lo requiere el Código o reglamento de construcción,

que la rotura se produzca por fluencia del acero sometido a la tracción antes que por aplastamiento del

hormigón, lo que se logra fijando un límite superior en la cuantía de la armadura a tracción. Siguiendo

las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad que usamos para vigas simplemente armadas, podemos

fácilmente establecer, la posición del eje neutro cuando la viga presenta falla simultanea o balanceada,

lo que podemos escribir así: ̅ = + ′

Entonces la cuantía máxima requerida por el reglamento será

̅ = 0.75( + ′) Ejemplo:

Una viga rectangular que debe de soportar una sobrecarga de trabajo de 3.5 T/m y un peso muerto de

1.48 T/m en un tramo simplemente apoyado de 5.50m tiene su sección transversal limitada por razones

arquitectónicas a una ancho de base de b=25.50cm y un peralte total H=51cm. Determinar el armado de

la viga para la siguiente especificación de diseño: ′ = 210Kg/cm = 2,800Kg/cm

Lo primero que se debe de hacer, es analizar la viga, y para ello será necesario factorizar la carga con los

coeficientes establecidos en el reglamento:

Carga permanente D=1.40*1.48=2.072 T/m (2.9.2)

Carga viva L = 1.70*3.50=5.95 T/m

Entonces U=8.02 T/m

De manera que el momento último (de rotura) de la sección será: = 8.02 ∗ 5.508 = 30.33T − m

Tomando en cuenta el recubrimiento (4cm), calculamos el peralte efectivo de la sección asumiendo que

el refuerzo será con barras #8 y que el refuerzo transversal será con barras #3 (2.7.7.1c)

= 51 − 4 − 0.9525 − 2.542 = 44.78cm = 4 + 0.9525 + 2.542 = 5.08cm


Comprobación de que la sección simplemente armada no es capaz de manejar la solicitación del caso: = 0.85 ∗ 0.85 ∗ , ∗ ,, , = 0.037197 (2.8.4.3)

= 0.75 ∗ 0.037197 = 0.027898 (2.10.3.3)

Sustituyendo en la ecuación de equilibrio, el valor de = 0.027898, ∅ = 0.90 ∗ 25.5 ∗ 44.78 (2,800 − 22,026.67 ) = 2,805,899.42Kg − cm = 28.06T − m < M

De donde concluimos, que para satisfacer las exigencias arquitectónicas, será necesario utilizar doble

refuerzo en la viga, así:

= 30.33 − 28.06 = 2.27T − m

′ = 2.27 ∗ 100 ∗ 10000.90 ∗ 2,800 ∗ (44.78 − 5.08) = 2.26cm

De manera que la sección final de acero será: = (0.027898 ∗ 25.50 ∗ 44.78) + 2.26 = 34.13cm → 7barras#8 que deberán estar colocadas en el lecho inferior y en lecho superior ′ = 2.26cm → 2#4

Lo que cambia los valores del peralte efectivo, pues las 7 barras #8 no caben en un solo lecho y para la

fibra superior (refuerzo en compresión, hemos, por razones de economía, utilizado barras de menor

calibre.

Ejercicio en clase:

Refinar la solución del problema anterior y además terminarlo, revisando el cortante y la adherencia

para producir el detallado correspondiente.


VIGAS

Otro ca

constru

el ala,

todo e

determ

Ancho

Donde

la dere

solo po

Donde

deberá

cuatro

En la fi


“T”

aso común e

uye la losa de

que es la por

el ancho de l

minar esta con

de losa efect

es el pera

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or uno de sus

L es la luz o

á ser menor

veces el anch

gura 28 se m


n forjados de

e piso forman

rción de losa

a losa está e

n lo que llama

tivo como pat

lte total de la

io considerad

lados:

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que la mita

ho del alma:

uestra la defi


e piso, es el u

ndo una serie

que sobresa

en colaboraci

amos el “Patí

tín ≤ 8+a losa y y

do, respectiva

≤ 6 +claro de la vi

d del ancho

Figura 28

inición de vig

___________

uso de nerva

de vigas con

le del ancho

ón con la ca

ín efectivo”, d

8 ++ + son el espa

amente. En el

+ga. En el caso

del alma

≥ ≤ 4

8: Definición

as T de acuer

___________

duras en uno

ocidas como

del nervio y e

pacidad de l

de la siguiente

acio libre ent

l caso de viga

o de vigas T a

y el ancho

de vigas T

rdo con el reg

____________

o o dos senti

“Vigas T” qu

el alma que e

a viga, por lo

e forma:

re nervios o a

as que tienen

aisladas, el es

efectivo del

glamento.

___________

dos, sobre la

e están form

es en sí, el ne

o que será n

(2

almas a la izq

n losa en cola

(2

spesor del pa

patín, no ma

(2

_______

60

as que se

adas por

ervio. No

necesario

2.8.10.2)

quierda y

boración

2.8.10.3)

atín no

ayor que

2.8.10.4)


El eje n

en cola

resiste

menor

una vig

del ala

neutro

rectang

consec

La dist

usamo

29.

Como

primer

de com

La fuer

mome


neutro de una

aboración, de

ncias de los

r o igual que e

ga rectangula

, es decir, en

o se encuentr

gular es que

cuentemente

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os para determ

artificio de cá

ra parte,

mpresión long

rza proporcio

nto resistente


a viga T pued

ependiendo d

materiales qu

el espesor de

r de ancho

el alma, la v

ro dentro del

por debajo

está agrietad

tensiones en

minar este es

Figur

álculo es con

representa la

gitudinal en la

onada por est

e será:


e estar en el

e las proporc

ue componen

e la losa en co

, mientras q

iga debe de t

espesor de l

del eje neut

da para efecto

una viga T s

tado tensiona

ra 28: Distribu

veniente divi

a sección de a

as porciones s

=ta área de ac

___________

patín o ala, c

ciones de la v

n la viga. Si la

olaboración (p

ue si la posici

tratarse como

a losa en col

ro, toda la se

os del escena

erá la misma

al en vigas re

ución de tens

idir el acero d

armadura que

salientes del a

= 0.85 ′ ( −ero, actúa co

= −___________

como también

viga; de la cua

a profundidad

patín o ala), l

ión calculada

o una viga T.

laboración, la

ección se en

ario en rotura

a, en cuanto

ectangulares,

siones en una

de refuerzo t

e sometida a

ala, es decir:− )ℎ

on un brazo d

− ℎ2

____________

n de le conoc

antía metálica

d calculada h

la viga se está

a del eje neut

La razón del

a viga se com

cuentra trab

a.

a concepto s

tal y como se

a viga T

total de tracc

a una tensión

de palanca

___________

ce a la Proción

a del refuerzo

hasta el eje n

á comportand

ro se encuent

porque cuan

mporta como

bajando en tr

se refiere, qu

e muestra en

ción en dos p

equilibra

− , por l

_______

61

n de losa

o y de las

neutro es

do como

tra fuera

do el eje

una viga

racción y

ue la que

la figura

artes: La

la fuerza

lo que el


La sección restante de la armadura, − , sometida a una tensión es equilibrada por la porción

rectangular de la viga, en la que el bloque rectangular equivalente de tensiones en esta zona, se deduce

de las condiciones de equilibrio horizontal: = −0.85 ′

Con lo que se obtiene un momento adicional como consecuencia de la fuerza proporcionada por esa

porción de la armadura actuando con un brazo de palanca de − , es decir:

= − − 2

Por lo que el momento total resistente será: ∅ = + = ∅ − ℎ2 + − − 2

El criterio de asegurar que la falla se produzca por fluencia del acero y no por aplastamiento del

hormigón, es obligatoria en el reglamento y en este caso debe de obedecer a la siguiente expresión:

= 0.75( + ′)

Ejemplo:

Una viga “T” aislada se compone de un patín de 70cm de ancho y 15cm de espesor y de un alma de

26cm de ancho y 60cm de canto por debajo de la superficie inferior del patín, para un peralte total de

75cm. La armadura en tracción consta de 6 barras #10 colocadas en dos lechos. El hormigón tiene una

resistencia a la compresión de ′ = 210Kg/cm y el límite de fluencia del acero de refuerzo es = 4,200Kg/cm . ¿Cuál es el momento útil de la viga?

Lo primero que debemos hacer es comprobar si la viga está trabajando como viga “T” o como viga

rectangular:

Diámetro de las barras #10: = 3.18cm

Espacio ocupado=5*3.18+0.95+0.95+4+4=25.80cm<26 cm

Peralte efectivo = 70 − 4 − 0.95 − (1.5 ∗ 3.18) = 60.28cm = 6 ∗ 8.19 = 49.14cm = 49.1470 ∗ 60.28 = 0.011646 = 0.85 ′ = 0.011646 ∗ 4,200 ∗ 60.280.85 ∗ 210 = 16.52cm > 15 ∴ " "


= 0.85 ∗ 2104,200 (70 − 26) ∗ 15 = 28.05cm − = 49.14 − 28.05 = 21.09cm

Y las cuantías serán: = 49.1460.28 ∗ 26 = 0.031354 = 28.0560.28 ∗ 26 = 0.017897 = 0.85 ∗ 0.85 ∗ 2104,200 ∗ 6,1006,100 + 4,200 = 0.021394 = 0.75(0.021394 + 0.017897) = 0.039291 > 0.031354 ∴ seaceptaelrefuerzo = 28.05 ∗ 4,200 ∗ 60.28 − 152 = 6,218,011.8Kg − cm = 62,180.12Kg − m

= 21.09 ∗ 4,2000.85 ∗ 210 ∗ 26 = 19.086cm

= 21.09 ∗ 4,200 60.28 − 19.0862 = 4,494,181.99Kg − cm = 44,941.82Kg − m

Por lo que el momento total resistente será:

∅ = 0.90 62,180.12 + 44,941.82 = 96,409.75Kg − m

Ejercicio en clase:

Una viga “T” armada a tracción, debe de proyectarse para soportar una carga uniformemente

distribuida en un tramo simplemente apoyado de 6.00m. El momento total en el centro de la luz debido

a todas las cargas factorizadas es de 72 T‐m. Las dimensiones fijadas del hormigón son: =50cm; = 26cm; ℎ =13 cm y los materiales especificados como: Hormigón ′ = 280Kg/cm y acero de

refuerzo con = 4,200Kg/cm .

Proyectar el refuerzo de la viga.


LOSAS

En los edificios de hormigón reforzado se utilizan losas para conseguir superficies planas y útiles. Estas

losas son placas generalmente horizontales, con superficies superior e inferior paralelas o

aproximadamente paralelas, que pueden estar soportadas por vigas, las cuales, por lo general, son

hormigonadas monolíticamente con la losa, por muros, columnas, una estructura metálica o

directamente por el terreno.

Las losas pueden estar soportadas solamente en dos caras opuestas, en cuyo caso, la acción estructural

de la losa es esencialmente “monodireccional” ya que las cargas se transportan por la losa en dirección

perpendicular a las vigas que sirven de apoyo a la losa. También pueden haber vigas en los cuatro lados

de una losa, con lo que se obtiene un sistema de apoyo bidireccional; utilizar vigas intermedias o un sin

número de configuraciones que se dan o se crean de acuerdo a las necesidades específicas de cada

proyecto.

En la figura 29 se muestran algunos tipos de losa. La figura 29a muestra una losa monodireccional que

está apoyada por vigas en solo dos lados de la losa, mientras que en la figura 29(b) se muestra una losa

bidireccional que presenta apoyo en los cuatro lados de la losa y en la figura 29(c) un sistema de vigas en

dos direcciones sobre las que se apoya la losa, obliga a que las losas se comporten como una losa

monodireccional. La figura 29(d) muestra una losa conocida como placa plana, ya que está soportada

únicamente por columnas. Este sistema trabaja como una losa bidireccional. Cuando se utilizan sistemas

de placas planas, en muchas ocasiones la placa no tiene la capacidad de poder absorber, aún con

refuerzo, los esfuerzos de cortante altos que se presentan alrededor de las columnas que soportan a la

losa, que cuando hay vigas, estas se encargan se absorber estos esfuerzos, por lo que una solución a

este problema es el uso de capiteles como se muestra en la figura 29(d) y en la figura 29(f). Otro sistema

de losas es el reticular que consiste en un sistema de nervios en ambas direcciones, lo que permite

lograr grandes peraltes de losa con poco peso por lo que este sistema de losa es muy apropiado para

salvar grandes luces.

Estudiaremos el comportamiento de cada uno de estos tipos de losas.

Losas unidireccionales:

Una losa trabajando en una dirección es esencialmente una viga rectangular de ancho grande respecto

de su peralte, no obstante, en el proyecto de este tipo de losas intervienen ciertos parámetros que no es

necesario revisar en el proyecto de una viga. Este tipo de losa puede ser analizado con un ancho de la

unidad representativo de la losa en todo su ancho y el análisis puede hacerse por los mismos métodos

utilizados en el proyecto de vigas rectangulares. Toda la carga debe de ser transmitida a los apoyos, que

en este caso son las vigas (como se muestra en la figura 29 (a), de manera que el acero de refuerzo para

flexión debe de colocarse perpendicular a las vigas, o sea, en la dirección en que la losa está trabajando

en flexión, sin embargo será necesario colocar armaduras en la dirección perpendicular a la dirección de

trabajo en flexión de la losa parta soportar las tensiones de retracción y térmicas.





Figur

___________

ra 29: Tipos d

___________

de losa

______________________________

65


La simplificación antes apuntada es el equivalente a decir, que losa está compuesta por una serie de

vigas rectangulares y adyacentes una a la otra y por supuesto, paralelas entre sí, lo que supone que el

módulo de Poisson es nulo, lo que es un criterio ligeramente conservador, ya que en la realidad, la

compresión longitudinal que como consecuencia de la flexión está presente, produce una dilatación

lateral de la zona de compresión de la viga lo que es evitado por la viga virtual adyacente. Esta dilatación

lateral produce una compresión adicional en la zona de compresión y con esto, hay un ligero aumento

en la capacidad de la viga. Este aumento en la capacidad es tan pequeño que es despreciado.

Como ya antes se explicó, el estudio de una losa de este tipo puede realizarse utilizando los criterios

usados en el proyecto de vigas rectangulares, aunque debe de tomarse en cuenta algunas limitaciones

establecidas en el reglamento, tales como las siguientes:

Espesores mínimos de losas:

En la tabla 2.9.5.a del CHOC‐2008 se muestran los espesores mínimos para en una dirección.

Por lo general el espesor de una losa, como también en las vigas, se redondea de 5 en 5 cm para

facilitar el proceso constructivo y minimizar los errores en la obra.

Recubrimiento:

El recubrimiento mínimo al acero de refuerzo que debe de proporcionarse en una losa debe de

hacerse observando el artículo 2.7.7 del CHOC‐2008

Refuerzo por contracción y temperatura:

El CHOC‐2008 requiere que cuando la armadura de refuerzo en flexión se coloque en una sola

dirección, deberá colocarse armadura de refuerzo por contracción y temperatura en la dirección

perpendicular. 2.7.12.1

La cuantía de refuerzo por contracción y temperatura, en ningún caso debe de ser menor de

0.0014 2.7.12.2.1

Cuando se use acero grado 40 o 50, = 0.002 2.7.12.2.1.a

Cuando se use acero grado 60, = 0.0018 2.7.12.2.1.b

Cuando se use acero grado mayor que 60, = 0.0018 ∗ 4,200/ 2.7.12.2.1.c

El espaciamiento del refuerzo por contracción y temperatura no debe de ser mayor que 5 veces

el espesor de la losa ni 45cm 2.7.12.2.2

Espaciamiento del refuerzo:

El espaciamiento del refuerzo en flexión en las losas debe de observarse en los límites

establecidos en el artículo 2.7.6 del CHOC‐2008.


Ejempl

Una lo

dos tra

Kg/m2 = 4

Estime

dos cla

Tenien

Peso d

A este

tipo, si

Analiza

En el q

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La cuan

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aros, uno de l

ndo el espeso

e la losa por

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n embargo e

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que los punto

nto máximo

o punto.

ntía máxima p

= 0.75 0.85


gón armado m

, cada uno d

utilizarse hor

. Diseñar la l

sor de la losa

os extremos e

r de la losa, e

unidad de an

de sumársele

n este ejemp

+ 1.7 = (1.ón de losa, ob

os de inflexió

para tracción

permitida po

∗ ′ 66,13


monolítica co

de ellos de 4

rmigón ′ =osa.

observando l

es continuo y

ℎ = =es posible, ent

cho (1.00m):

e, como part

lo, no se espe

.4 ∗ 456) + (btenemos:

ón se encuent

n en la fibra

r el CHOC‐200

6,13030 + =

___________

on sus soport

.55m de luz = 280Kg/cmla tabla del re

y el otro no, d

= = 18.95tonces, calcu

= 0.19 ∗e de las carg

ecifican carga

(1.7 ∗ 500) =

tran a 3.41m

inferior de la

08 será:

0.75 0.85 ∗4

___________

tes consisten

libre tiene u

con un ace

eglamento. C

de manera qu

5cm ≡ 19cmlar todo el m

∗ 2,400 = 45gas permanen

as permanent

= 638.40 + 8

m desde el ext

a losa se encu

0.85 ∗ 2804,200

____________

tes en vigas

una sobrecarg

ero cuya ten

Como la losa s

ue la relación

odelo de carg

6Kg/m

ntes, cualquie

tes adicionale

50 = 1,488.4

tremo desco

uentra a 1.71

6,1306,130 + 4,20

___________

de 40cm de

ga de trabajo

nsión de flue

solo está form

será:

gas.

er otra carga

es.

40Kg/m

ntinuo de la

1m medidos

2

00 = 0.021

_______

67

base, de

o de 500

encia sea

mada por

2.9.5.2.1

a de este

2.9.2

losa y el

desde el

2.8.4.3

1437


Revisemos, si efectivamente el espesor de la losa es suficiente para absorber el momento más alto del

sistema:

Ecuación de equilibrio: . ∗ , ∗ , − 4,200 + ∅ = 0

37,170(0.021437) − 4,200 ∗ 0.021437 + 384,7080.9 ∗ 100 = 0 384,70890 = 90.0354 − 17.0813 = 384,70890(90.0354 − 17.0813) = 7.65cm < 19 ∴ ó e

Selección del peralte efectivo:

Asumiendo que reforzaremos la losa con barras #4 y un recubrimiento de 2.0cm 2.7.7.1.c = 19 − 2 − 1.272 = 16.355cm ≡ 16.36cm

Refuerzo para el momento máximo que produce tracción en la fibra inferior de la losa:

∅ = 214,1760.9 ∗ 100 ∗ 16.36 = 8.89 < 14 ∴ 8.89 ∗ 1.33 = 11.83 → = 0.002889 = 0.002889 ∗ 100 ∗ 16.36 = 4.73 cmm → #[email protected]

Refuerzo para el momento máximo que produce tracción en la fibra superior de la losa:

∅ = 384,7080.9 ∗ 100 ∗ 16.36 = 15.97 → = 0.003940 = 0.003940 ∗ 100 ∗ 16.36 = 6.45 cmm → #[email protected]

Refuerzo por contracción y temperatura: = 0.0018 2.7.12.b = 0.0018 ∗ 100 ∗ 19 = 3.42 cmm → #[email protected]

Espaciamiento máximo=5*19=95cm > 45cm ∴ 45cm > 37cm de manera que se acepta el arreglo de

#4@37cm 2.7.12.2.2


Los esf

para la

El esfu= 4 =

Al igua

la colo

posible

estable

Ejercic

Ejercic

Losas t

Hasta e

adopta

apoyos

similar

aprecia


fuerzos corta

a viga con las

erzo cortante4,231.62 −, .. ∗ ∗ .

al que en las v

cación de las

e colocarlas

ecidas en el re

io de clase: D

io de clase: a

trabajando en

este moment

ando una form

s, se encuent

r a la que se p

arse en la figu


ntes, se mue

cargas indica

e máximo en 4,231.624.55 − 1.71= 2.65 <vigas y como

s barras asegu

sin entrar e

eglamento.

Detallar el dis

nalizar el agr

n dos direccio

to hemos est

ma cilíndrica,

tran trabajan

puede apreci

ura 30.


estran en el d

das en el enu

la cara del ap(0.20 + 0.1< 0.53√280 =en cualquier

urándose que

en conflicto

seño anterior

ietamiento d

ones:

tudiado las lo

sin embargo

ndo en dos d

ar cuando se

___________

diagrama a co

unciado del ej

poyo (viga) se1636) = 3,6= 8.87 ∴tipo de elem

e se cumpla c

con las lim

.

e la losa y dis

osas trabajand

o, es común e

direcciones, e

e toma un pañ

___________

ontinuación, q

jercicio de es

erá: 89.85Kg ∴La sección emento estructu

con los anclaj

itaciones de

scutirlo.

do en una so

encontrar losa

en las que la

ñuelo de cad

____________

que es parte

ste ejemplo.

es buena y su

ural, debe de

es requerido

espaciamie

ola dirección,

as que por la

a deformació

a una de sus

___________

del análisis r

ficiente. 2.

e prestarse at

s y que las ba

nto y recub

las que se d

configuració

ón adopta un

puntas, com

_______

69

realizado

11.3.1.1

tención a

arras sea

rimiento

eforman

ón de sus

na forma

mo puede


En este

losa en

apoyos

Para e

facilita

de los

Para e

espeso

compa

En la fi


e tipo de losa

n ambas dire

s en sus cuatr

Fig

el análisis de

n la labor, sin

esfuerzos con

fectos de com

or apoyada e

araciones del

gura 31 se m


as, los esfuerz

ecciones ya q

ro bordes, sea

gura 30: comp

este tipo de

n embargo, c

n los que está

mparación, a

en sus cuatr

caso:

uestra la losa

Figura 31: Los


zos de flexión

ue debe de

an estos apoy

portamiento

e losas, el re

on la ayuda d

á trabajando l

analicemos un

ro esquinas

a modelada p

sa de 6.00m x

___________

n (momentos

haber compa

yos, muros, v

de las losas t

eglamento CH

de un ordena

la misma.

na losa de pl

y modelada

or placas con

x 6.00m x 0.2

___________

) son proporc

atibilidad. Est

igas o simple

rabajando en

HOC‐2008 pr

ador, se pued

anta cuadrad

a por: a) pla

n una carga de

25m con carga

____________

cionales a las

te es el caso

mente colum

n dos direccio

rovee una se

de obtener un

da de 6.00m

acas y b) ba

e 200 Kg/m2

a de 200 Kg/m

___________

s deformacion

cuando la lo

mnas.

ones.

erie de méto

n estudio más

por lado y 2

arras para h

m2

_______

70

nes de la

osa tiene

odos que

s preciso

25cm de

hacer las


La losa

siguien

En la f

compo

En la

perpen


a se modeló c

ntes:

Figura 32

figura 32 se

ortamiento en

figura 33 se

ndicular.


con una dens

2: Deformació

muestra la

ncontrado qu

e muestran l


sidad de mall

ón de la losa

losa deforma

ue es muy sim

los momento

Figura

___________

la ortogonal d

bajo análisis

ada bajo la a

milar al de un

os en la dir

a 33: Momen

___________

de 12 placas

por acción de

acción de la

pañuelo tom

ección X y

ntos X‐X

____________

por lado, y l

e la carga de

carga antes

mado de cada

en la figura

___________

os resultados

200 Kg/m2

s indicada. N

una de sus e

34, en la d

_______

71

s son los

Nótese el

esquinas.

dirección


Con re


specto al mo


delo compara

Figura 35: Los


Figura

ativo hacho c

sa de 6.00m x

___________

a 34: Momen

con barras, en

x 6.00m x 0.2

___________

ntos Z‐Z

n la figura 35

25m con carga

____________

se muestra e

a de 200 Kg/m

___________

el modelo carg

m2

_______

72

gado.


La com

En el m

modelo

modelo

del mo

1.42%,


Figura 37: M

mparación res

modelo por p

o hecho por

o por placas y

odelo, por tan

, que es desp


Figura 36: Los

Momentos en

ulta en lo sigu

placas, el mo

barras, el mo

y es de 517.8

nto, M =51

reciable.


sa deformada

ambas direc

uiente:

mento máxim

omento máxi

82 Kg‐m en un

17.82/0.50=1

___________

a bajo la acció

ciones como

mo encontrad

mo encontra

na barra de 0

1,034.00 Kg‐m

___________

ón de la carga

consecuencia

do es de 1,04

ado se encuen

.5m de ancho

m/m el cual p

____________

a de 200 Kg/m

a de la carga

48.91 Kg‐m/m

ntre en el mi

o, de acuerdo

presenta una

___________

m2

de 200 Kg/m

m mientras q

ismo punto q

o con la discre

diferencia de

_______

73

2

que en el

que en el

etización

e apenas


Nótese en el diagrama de momentos presentado para el modelo por barras (Figura 37), como se

distribuyen los mismos en cada una de las barras y que en cada nudo, el momento en una dirección es

exactamente del mismo valor que para la dirección opuesta, con lo que cumple con la compatibilidad

de las deformaciones, donde por supuesto, en ese nudo solo hay una desplazamiento que es aplicable

para los extremos de las barras que concurren en ese nudo.

En los artículos 2.13 del CHOC‐2008, este reglamento expone las consideraciones para realizar por

medio de métodos empíricos el análisis de losas en dos direcciones, que es válido para losas soportadas

por muros o vigas, forjados planos o reticulares, pero también deja abierta la posibilidad de realizar el

análisis por medio de cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y

compatibilidad geométrica (artículo 2.13.5.1). Estos procedimientos se prestan para realizar análisis

rápidos, sin embargo, con el advenimiento de los ordenadores al alcance de casi cualquier persona, se

justifica desarrollar análisis más precisos en los que además, es posible investigar esfuerzos y respuesta

en puntos que los métodos aproximados presentados en el reglamento no lo permiten. Para efectos de

comparación haremos el análisis por medio del ordenador y por medio del “Método directo” mostrado

en el CHOC‐2008.

El “Método directo de cálculo” indicado en los artículos 2.13.6 del CHOC‐2008, tiene las siguientes

limitaciones:

Debe de haber por lo menos tres luces continuas en cada dirección (2.13.6.1.1)

Los paneles de losa deberán ser rectangulares con una relación de claro largo a claro corto no

mayor que 2. (2.13.6.1.2)

Las longitudes de dos claros adyacentes medidos de centro a centro de apoyos en las dos

direcciones no deberán diferir en más de 1/3 del claro largo. (2.13.6.1.3)

Se permitirá un desalineamiento máximo en cualquier dirección, entre las líneas centrales de los

ejes de dos columnas sucesivas igual al 10% del claro en la dirección del desalineamiento

(2.13.6.1.4)

Todas las cargas deberán ser gravitacionales y uniformemente distribuidas sobre todo el panel

de losa y la carga viva no podrá exceder s veces la carga muerta. (2.13.6.1.5)

Para un panel de losa con vigas entre apoyos en todos los lados, la rigidez relativa de las vigas en

dos direcciones perpendiculares 0.2 ≤ ∝∝ ≤ 5.0 2.13.6.1.6

No podrá aplicarse la redistribución de momentos indicada en el artículo 2.8.4 para losas

diseñadas por el “Método directo de diseño” (2.13.6.1.7)

Se permitirán variaciones en las limitaciones indicadas en el artículo 2.13.6.1.1 si se demuestra

por análisis que los requisitos de cumplir las condiciones de equilibrio y compatibilidad

geométrica se han satisfecho. (2.13.6.1.8)


Donde

ancho

Y ∝ es

Ejercic

Tomem

de bas

U=760

sistem


∝ es la relacde losa limita

s ∝ en la direio de compar

mos una losa

se y 0.6m d

Kg/m2 .En la

a.


ción de rigide

ado, generalm

cción 1.

ración entre

de 25cm de

e peralte to

figura 38 se

Figura 39: M


ez flexionante

mente por las∝=el método di

espesor con

otal, cargada

e muestra el

Figura

Momentos en

___________

e de la secció

líneas centra=

recto y el aná

3 luces en ca

con una ca

modelo des

38: Elástica d

n ambas direc

___________

ón de la viga

ales de los pa

álisis en orde

ada dirección,

rga D=300 K

sarrollado en

de la losa

cciones del sis

____________

a la rigidez f

neles adyace

enador por el

, con una ma

Kg/m2 y L= 2

el ordenado

stema de losa

___________

flexionante d

entes, es decir

lementos fini

lla de vigas d

200 Kg/m2 p

or con la elá

a

_______

75

e de un

r:

2.13.0

itos:

de 0.40m

para una

stica del


En la fi

a este

column

figura 4

Cuyos

Elem

6 f

5 f

4 f

3 f

2 f

1 f

eje apo

1 f

2 f

3 f

4 f

5 f

6 f

Resolv=Mome


igura 39 se p

lo presentam

nas, se puede

40.

Figura 4

valores son lo

ento ex

fila 0

fila 0

fila 0

fila 0

fila 0

fila 0

de oyos

0

fila 0

fila 0

fila 0

fila 0

fila 0

fila 0

iendo el mism= 6.00m

nto estático:


uede aprecia

mos con los

e determinar

40: momentos

os mostrados

DIS

Eje xterno

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐6

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

0.00 ‐

mo caso por e

= ∗ ∗____________Concreto al C

r el diagrama

elementos fi

r la distribuci

s en una dire

s en la siguien

STRIBUCIÓN

‐511.00

‐527.00

‐553.00

‐559.00

‐564.00

‐567.00

6,987.00

‐576.00

‐582.00

‐587.00

‐591.00

‐594.00

‐596.00

el método dir

= 20,520___________

a de moment

nitos de una

ón lateral de

cción de la po

nte tabla:

LATERAL DE M

Eje interno 1

596.00

617.00

640.00

669.00

710.00

792.00

9,225.00

803.00

728.00

695.00

677.00

667.00

664.00

ecto del CHO

Kg − m

___________

tos en ambas

a dirección en

e momentos

orción tributa

MOMENTOS

‐167.00

‐177.00

‐187.00

‐197.00

‐207.00

‐216.00

‐2,565.00

‐214.00

‐204.00

‐194.00

‐186.00

‐181.00

‐179.00

OC‐2008, tene

____________

direcciones d

n el ancho tr

en la losa, co

aria a un eje d

(Kg‐m)

Eje interno 2

596.00

617.00

640.00

669.00

710.00

792.00

9,225.00

803.00

728.00

695.00

677.00

667.00

664.00

emos:

___________

de todo el sis

ributario a u

omo se apre

de apoyos

‐511.00

‐527.00

‐553.00

‐559.00

‐564.00

‐567.00

‐6,987.00

‐576.00

‐582.00

‐587.00

‐591.00

‐594.00

‐596.00

_______

76

stema. Si

n eje de

cia en la

Eje externo

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00


Distribución general del momento estático en claros internos:

Momento negativo factorizado = 0.65 = 0.65 ∗ 20,520 = 13,338Kg − m 2.13.6.3.2

Momento positivo factorizado = 0.35 = 0.35 ∗ 20,520 = 7,182Kg − m 2.13.6.3.2

Distribución general del momento estático en claros externos:

Momento negativo factorizado interior= 0.70 = 0.70 ∗ 20,520 = 14,364Kg − m 2.13.6.3.3

Momento positivo factorizado = 0.57 = 0.57 ∗ 20,520 = 11,696.40Kg − m 2.13.6.3.3

Momento negativo factorizado exterior= 0.16 = 0.16 ∗ 20,520 = 3,283.20Kg − m 2.13.6.3.3

Y estos momentos deben de ser distribuidos entre la franja o banda de pilares y banda central, de

acuerdo con lo siguiente:

Banda de pilar:

En esta banda se encuentra una viga en el eje de apoyos con dimensiones de 0.40m de base y

0.60m de altura total, es decir, 0.35m sobresalen por debajo de la superficie inferior de la losa.

El artículo 2.13.2.4 establece que para construcciones monolíticas o completamente

compuestas, la viga incluye la parte de la losa, en ambos lados de la viga que se extiende en una

distancia igual a la proyección de la viga arriba o debajo de la losa, la que sea mayor pero no

mayor de 4 veces el espesor de la losa.

= 6.006.00 = 1.0

Definición de las propiedades de la viga y la losa: Ancho de la banda=6.00/2=3.00m = 4 ∗ 0.25 = 1.00m = 0.0108m = 0.002604m

∝= 0.01080.002604 = 4.15 = 1 − 0.63 3 = 2 1 − 0.63 ∗ 0.250.3 0.25 ∗ 0.33 + 1 − 0.63 ∗ 0.40.60 0.4 ∗ 0.63 = 0.008908 = 0.0089082 ∗ 0.002604 = 1.7105

Interpolando, el factor de distribución para banda de pilares en panel exterior=82.90%


De manera que, la distribución lateral de momentos será, para los claros externos:

Momento factorizado negativo interior = 0.75*14,364=10,773 Kg‐m 2.13.6.4.1

Momento factorizado negativo exterior=0.75*3,283.20=2,462.40 Kg‐m 2.13.6.4.2

Momento factorizado positivo = 0.75*11,696.40=8,772.30 Kg‐m 2.13.6.4.3

Cuando hay vigas, el 85% del momento de diseño de la banda de pilares deberá ser usado para

dimensionar la viga. (2.13.6.5.1)

Banda central:

Los momentos con los que debe de proyectarse la banda central serán la diferencia entre los

momentos totales y los momentos adjudicados a la banda de pilares o franja columnar.

(2.13.6.6)

Momento estático = 20,520.00 Kg‐m Eje

externo Eje

interno 1 Eje

interno 2 Eje

externo

Distribución longitudinal = 16.00% 57.00% 70.00% 35.00% 70.00% 57.00% 16.00%

Momentos = 3,283.20 11,696.40 14,364.00 7,182.00 14,364.00 11,696.40 3,283.20

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS

Banda columnar = 82.90% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 82.90%

Momentos = 2,721.77 8,772.30 10,773.00 5,386.50 10,773.00 8,772.30 2,721.77

Viga = 2,313.51 7,456.46 9,157.05 4,578.53 9,157.05 7,456.46 2,313.51

Losa = 408.27 1,315.85 1,615.95 807.98 1,615.95 1,315.85 408.27

Banda central = 17.10% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 17.10%

Momentos = 561.43 2,924.10 3,591.00 1,795.50 3,591.00 2,924.10 561.43

COMPARACIÓN:

Vigas =

0.00 6,987.00 9,225.00 2,565.00 9,225.00 6,987.00 0.00 FEM

2,313.51 7,456.46 9,157.05 4,578.53 9,157.05 7,456.46 2,313.51 CHOC

‐2,313.51 ‐469.45 67.95 ‐2,013.53 67.95 ‐469.45 ‐2,313.51 diferencia

‐6.72% 0.74% ‐78.50% 0.74% ‐6.72%

Losa columnar =

0.00 2,862.00 3,715.00 1,036.50 3,715.00 2,862.00 0.00 FEM

408.27 1,315.85 1,615.95 807.98 1,615.95 1,315.85 408.27 CHOC

‐408.27 1,546.16 2,099.05 228.53 2,099.05 1,546.16 ‐408.27 diferencia

54.02% 56.50% 22.05% 56.50% 54.02%

Losa central =

0.00 3,945.00 4,543.00 1,272.50 4,543.00 3,945.00 0.00 FEM

561.43 2,924.10 3,591.00 1,795.50 3,591.00 2,924.10 561.43 CHOC

‐561.43 1,020.90 952.00 ‐523.00 952.00 1,020.90 ‐561.43 diferencia

25.88% 20.96% ‐41.10% 20.96% 25.88%


En la tabla comparativa anterior es evidente que las diferencias son lo suficientemente grandes como

para cuestionar el método directo.

Otro aspecto digno de estudiar es la distribución lateral de momentos. Si hacemos una comparación

entre los porcentajes de distribución lateral indicados en el reglamento y los encontrados por el análisis

de elementos finitos, podemos observar que si hay una buena similaridad entre estos.

Eje externo Eje interno 1 Eje interno 2 Eje externo

Banda columnar 71.40% 74.01% 73.89% 74.01% 71.40%

Banda central 28.60% 25.99% 26.11% 25.99% 28.60%

Las gráficas a continuación muestran la distribución de momentos encontrada por el análisis por

elementos finitos donde puede apreciarse la presencia de la viga que con su inmensa rigidez con

respecto a la de la losa, absorbe buena parte del momento total.

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS EJE INTERNO


Si tomamos la misma configuración de losa que antes hemos analizado, solo que en esta ocasión sin

vigas, es decir, una losa plana, y hacemos el mismo ejercicio. En la figura 41 puede observarse el

diagrama de momentos del modelo completo en el que se observa una buena distribución de

momentos en virtud de la ausencia de la viga. En la figura 42 se observa el mismo eje con sus elementos

tributarios de donde se obtuvo la información con la que se llenó las tablas correspondientes.

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL EXTERNO

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL INTERNO




Figura 41:

Figura


Modelo de lo

a 42: Eje losa s

___________

osa sin vigas:

sin vigas: Diag

___________

Diagrama de

grama de mo

____________

e momentos

omentos

__________________

81


Momento estático = 20,520.00 Kg‐m Eje

externo Eje

interno 1 Eje

interno 2 Eje

externo

Distribución longitudinal = 0.00% 63.00% 75.00% 35.00% 75.00% 63.00% 0.00%

Momentos = 0.00 12,927.60 15,390.00 7,182.00 15,390.00 12,927.60 0.00

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS

Banda columnar = 100.00% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 75.00% 100.00%

Momentos = 0.00 9,695.70 11,542.50 5,386.50 11,542.50 9,695.70 0.00

Banda central = 0.00% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 25.00% 0.00%

Momentos = 0.00 3,231.90 3,847.50 1,795.50 3,847.50 3,231.90 0.00

COMPARACIÓN:

Losa columnar =

0.00 7,744.00 13,222.00 3,263.50 13,222.00 7,744.00 0.00 FEM

0.00 9,695.70 11,542.50 5,386.50 11,542.50 9,695.70 0.00 CHOC

0.00 ‐1,951.70 1,679.50 ‐2,123.00 1,679.50 ‐1,951.70 0.00 diferencia

‐25.20% 12.70% ‐65.05% 12.70% ‐25.20%

Losa central =

0.00 6,969.00 4,989.00 1,551.50 4,989.00 6,969.00 0.00 FEM

0.00 3,231.90 3,847.50 1,795.50 3,847.50 3,231.90 0.00 CHOC

0.00 3,737.10 1,141.50 ‐244.00 1,141.50 3,737.10 0.00 diferencia

53.62% 22.88% ‐15.73% 22.88% 53.62%

Y las gráficas de distribución lateral de momentos muestran la distribución muy suavizada con respecto

a las mismas del caso con vigas, como se aprecia en las gráficas a continuación:

5.00%

5.50%

6.00%

6.50%

7.00%

7.50%

8.00%

8.50%

9.00%

9.50%

10.00%

‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS EJE INTERNO


Esfuerzo cortante:

Si las losas bidireccionales están soportadas por vigas o muros, el esfuerzo cortante será típicamente

pequeño y rara vez determinante en el proyecto. Este esfuerzo puede calcularse utilizando las áreas

tributarias que se muestran en la figura 41 suponiendo que la sección crítica se encuentra a una

distancia d de la cara del apoyo, sea este una viga o un muro corrido. Este esfuerzo cortante /∅ no debe de ser superior a: = 0.53 ′ 2.11.3.1

5.00%

5.50%

6.00%

6.50%

7.00%

7.50%

8.00%

8.50%

9.00%

9.50%

10.00%

‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL EXTERNO

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

16.00%

‐3.00 ‐2.00 ‐1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

DISTRIBUCIÓN LATERAL DE MOMENTOS CENTRALES PANEL INTERNO


En el caso de que la losa esté soportada por pilares sin la presencia de vigas, el esfuerzo cortante se

desarrolla en dos formas:

En acción en dos sentidos, alrededor de las caras de la columna o pilar en un fenómeno llamado

“punzonamiento”. El reglamento CHOC‐2008 en sus artículos 2.11.12 presenta las provisiones

para el manejo de este tipo de esfuerzo. En este caso, la resistencia al cortante del hormigón de

la losa se determina de la siguiente forma:

= 0.265 2 + ′0.265 2 + ′1.06 ′ 2.11.12.2.1

Donde:

es la relación entre el lado largo y el lado corto de la columna. ∝ es igual a 40 para columnas interiores, 30 para columnas de orilla y 20 para columnas de

esquina.

es el perímetro del plano de falla tomado a una distancia d/2 de la cara de la columna eselperalteefectivodelalosa

En acción de viga en la losa debe de ser analizado como una viga asumiendo que la sección

crítica se encuentra a una distancia d de la cara de la columna y participa todo el ancho de la

losa. En este caso, la aportación del hormigón de la losa se determina por medio de:

= 0.53 ′ 2.11.3.1

Las losas deben de revisarse para que satisfagan ambos tipos de esfuerzo cortante, ya sea por la

capacidad aportada por el hormigón o por la combinación de este con la resistencia aportada por

armaduras de refuerzo colocadas al efecto. En el caso de que los esfuerzos por acción en dos sentidos

(punzonamiento) superen la capacidad del hormigón de la losa en un valor tal que el esfuerzo que debe

ser resistido por las armaduras sea mayor que el permitido, la solución es la colocación de capiteles o

ábacos, los cuales consisten en un macizo de hormigón en la zona de la columna cuyas dimensiones

deben de ser determinadas para satisfacer los requisitos antes expuestos.

En cuanto a la acción en dos sentidos, la figura 43 muestra en línea discontinua, algunas de las formas

posibles de áreas cargadas identificando el perímetro crítico (a una distancia d/2 de la cara de la

columna) que es donde debe de hacerse la revisión. Si el hormigón de la losa no es capaz de absorber la

totalidad del esfuerzo de cortante en dos sentidos, existe la posibilidad de reforzar la losa, siempre que

el esfuerzo cortante nominal total del hormigón reforzado sea ≤ 1.59 ′ .


El refu

perpen

Ejempl

Una lo

que pe

debe d

El esfu= ∅

= m= 1

= 2 = 2puede

(2.11.1


uerzo puede

ndiculares a la

Figura 43: Lín

lo:

sa plana de 1

ermiten un pe

de transmitir u

erzo por pun∅ = 0.85menor 00.26515.36Kg/cm25.25Kg/cm25.25Kg/cmreforzar y

12.3.2).


e consistir e

a cara de la co

neas disconti

19cm de espe

eralte efectiv

un esfuerzo c

zonamiento s51,500∗ 4(25 + 15)0.265 2 +5 2 + 1.0 > = 15.> 1.59√21requiere qu


en sistema

olumna y que

nuas muestra

sor está sopo

vo de 15cm. L

cortante a la c

será: ) ∗ 15 = 25.2′ = 0.2′ = 0.2656 ′ = 1.0

.36Kg/cm p

10 = 23.04Kge se le aum

___________

de anillos f

e deben de es

an perímetros

ortada por co

La resistencia

columna de

25Kg/cm

265 2 + √5 2 + ∗(6√210 = 15por lo que req

g/cm ∴ La ente el mism

___________

fijados por

star ancladas

s críticos de c

lumnas de 25

a del hormigó= 51,500K

√210 = 23.01) √210 = 2.36Kg/cmquiere refuer

losa tiene u

mo o se le c

____________

medio de b

dentro del n

cortante en d

5cm de arista

ón es ′ = 2Kg. ¿Requiere

1Kg/cm22.08Kg/cmzo

un espesor in

coloque un c

___________

barras longit

ucleo de la co

dos direccione

a y armada po210Kg/cm .

e refuerzo la

2.11

nsuficiente, n

capitel a la

_______

85

tudinales

olumna.

es

or flexión

La placa

placa?

1.12.2.1

no se le

columna


Tambié

consec

compo

Estos e

En don

A es el

lado la

posició

ejes or

Donde


én deben de

cuentemente

ortamiento de

esfuerzos pue

nde:

área de la se

argo; M es e

ón del punto d

rtogonales.

el subíndice


tomarse en c

estén partic

e los mismos

eden calculars

ección crítica

el momento

de la sección

c se refiere a= 1____________Concreto al C

cuenta los mo

ipando en el

en una porció

Figura 44: Es

se por medio

= − ±(plano de fal

actuante, e

crítica donde

= ±a la columna o1 − 11 + 23

___________

omentos que

esfuerzo de

ón de losa ba

sfuerzos de pu

de la expresi

± ±lla); el subínd

es la fracción

e f es máximo

+2 ; =o pedestal

++ ; =___________

e pudieran es

punzonamie

ajo la acción d

unzonamient

ión de Navier

≤ ∅dice L se refie

n del momen

o, expresadas

± +2

= 1 − 11 + 23____________

star actuando

nto. En la fig

de los efectos

to

r:

ere al lado co

nto desequili

s en el sistem

1 ++

___________

o en la colum

gura 44 se mu

s de punzonam

rto y el subín

brante; x e

ma de coorden

_______

86

na y que

uestra el

miento.

ndice B al

y son la

nadas de


= ( + )2 + ( + )3 + ( + )( + )

= ( + )2 + ( + )3 + ( + )( + )

Tarea #1:

Para la losa descrita a continuación, proyectar lo solicitado además de revisar el agrietamiento, el

control de deflexiones y realizar el detallado resultante.

1. Un forjado bidireccional de hormigón armado compuesto de recuadros de 6.00m x 7.50m

soportados por pilares alineados hormigonados monolíticamente con la losa, utiliza hormigón ′ = 280Kg/cm y acero con un límite de fluencia = 4,200Kg/cm . Proyectar el recuadro

exterior indicado en la figura para soportar una carga U=625 Kg/m2 además del peso propio del

sistema. Las vigas del sistema de entrepiso son de 35cm de base y 50 cm de peralte total incluyendo

el espesor de la losa.

2. Proyectar la viga.

3. Para el mismo caso del ejercicio anterior, proyectar lo solicitado pero en el sistema no hay vigas.

4. Hacer las comparaciones por medio de Kg de acero/volumen de hormigón y de los volúmenes de

hormigón utilizados en los ejercicios 1 y 2

5. Revisar si el peralte seleccionado en el caso del numeral 3, falla por punzonamiento y discutir

respecto del resultado.


ZAPATAS

Las zapatas son un elemento estructural que sirve como vínculo a tierra. Son a través de las cuales, la

estructura transmite todas las cargas que está soportando al suelo y con la respuesta de la zapata, lograr

satisfacer el equilibrio en todas las condiciones de carga que componen el modelo de cargas de la

estructura.

Las zapatas pueden ser aisladas, combinadas o losa de cimentación y su tratamiento como elemento

estructural es el mismo que el que se le debe de dar a una losa de hormigón. También pueden ser

cabecera de un grupo de pilotes mediante la cual, el grupo de pilotes recibe las cargas que la estructura

necesita transmitir al suelo.

Las zapatas pueden ser cuadradas, rectangulares, circulares, octagonales o corridas. Por lo general el

proyecto de una zapata se hace para plantilla cuadrada o rectangular de manera que su desarrollo en

obra sea sencillo pues además no estará a la vista de ninguna persona, una vez terminada la estructura y

en servicio, de manera que no necesita cumplir con ningún requisito de carácter estético.

El tratamiento en flexión de una zapata es el mismo que el que se le da a una losa en dos direcciones, si

la zapata es una zapata aislada, o a una losa en una dirección si la zapata es corrida. También el cortante

debe manejarse igual que como se maneja en losas en una o en dos direcciones según sea el tipo de

zapata (aislada o corrida).

Nos limitaremos a estudiar el comportamiento de las zapatas aisladas desde el punto de vista

estructural y no geotécnico. Como el tratamiento de este tipo de elemento es el mismo que debe de

darse en losas, con algunas consideraciones específicas, tales como el recubrimiento, haremos la

aplicación de estos conocimientos en forma directa en un ejemplo.

Ejemplo:

Una zapata aislada de 4.00m x 4.00m tiene un pedestal centrado de sección cuadrada de 0.80m de

arista armada con barras #8, que transmite a la zapata una carga vertical factorizada de =480,000Kg, un momento alrededor del eje x de = 12,000Kg − m y alrededor del eje y de = 8,000Kg − m. Proyectar la estructura de la zapata con un hormigón ′ = 280Kg/cm y un

acero de refuerzo = 4,200Kg/cm .

Lo aconsejable, es iniciar estableciendo los límites dentro de los cuales podemos tomar decisiones.

Anclaje de las barras de refuerzo de la columna en la zapata con gancho estándar: = 318 ∗ .√ = 48.27cm 2.12.5.2


Diámetro de las barras de refuerzo de la zapata: asumir barras calibre #8 armada en dos

direcciones.

Estimar el peralte efectivo (2.7.7.1): ℎ = 7.50 + 2.54 + 2.54 + 48.27 = 60.85 ≡ 65cm ∴ = 65 − 7.5 − . = 56.23cm

Esfuerzo máximo de punzonamiento en el hormigón (2.11.12.2.1): = 4(80 + 56.23) = 544.92cm

= menor 0.265 2 + ′ = 0.265 2 + √280 = 26.61Kg/cm0.265 2 + ′ = 0.265 2 + ∗ .. √280 = 9.65Kg/cm1.06 ′ = 1.06√280 = 17.74Kg/cm

= 17.74Kg/cm

Revisión por punzonamiento: = 544.92 ∗ 56.23 = 30,640.85cm

= 480,000(4.00) ∗ (4.00 ) − (0.8 + 0.5623) = 424,324.16Kg = ± + ℎ2 = 80 + 56.232 = 68.12cm

= ± + ℎ2 = 80 + 56.232 = 68.12cm

= 1 − 11 + 23 80 + 56.2380 + 56.23 = 0.40 = 1 − 11 + 23 80 + 56.2380 + 56.23 = 0.40 = 56.23(80 + 56.23)2 56.23 + (80 + 56.23 )3 + (80 + 56.23)(80 + 56.23) = 79,256,985.80cm


= 5= 7

= 430

= 15Cortan

Los esf

= 44.= 3322

Que co

figura

la zapa

La secc

el caso


6.23(80 + 5279,256,985.80480,0000,640.85 ± 05.67 ± 0.412nte por acción

fuerzos en la 480,00000 ∗ 4.00 ±31,87530,37529,62528,125 Kg/orresponde a

45, que prese

ata.

Figur

ción crítica de

o de este aná

28,12


6.23) 56.230cm .40 ∗ 12,00079,2566 ± 0.2750 =n de viga:

zona de cont12,000 ∗ 2.04.0012/m

a la presión e

enta el diagra

ra 45: Diagram

e cortante de

lisis, 4 seccio

25 Kg/m2


+ (80 + 563∗ 100 ∗ 68.1,985.80= 16.3615.8115.5314.98acto entre la 0 ± 8,000 ∗4.0012

ejercida al su

ama con la d

ma de distribu

be de investi

nes críticas, s

29,625 K

___________

6.23 ) + (8012 ± 0.40 ∗ 879

< = 1zapata y el su2.00 = 30,0

uelo en cada

istribución de

ución de pres

garse a una d

sin embargo

30,

Kg/m2

___________

+ 56.23)(808,000 ∗ 100 ∗9,256,985.8017.74 ∴ nuelo serán:

00 ± 1,125 ±

esquina de

e presiones e

siones en la p

distancia d de

es evidente,

,375 Kg/m2

____________

0 + 56.23)

∗ 68.120

no requiere r

± 750

la zapata co

ejercidas al su

plantilla de la

e la cara de la

que si la secc

31,875

___________

efuerzo.

mo se muest

uelo en la pla

zapata

a columna, es

ción que pres

Kg/m2

_______

90

tra en la

antilla de

to es, en

senta las


presion

soport

Las pre

De ma

= 12 = 1= 0Por lo q

Flexión

La secc

=____________de Comportaría en Ingenieaquín E. Torre

nes más alta

ada por el ho

Figura 4

esiones serán

nera que la c12 31,875 +2127,982.22K.53√280 ∗ 40que la secció

n:

ción crítica a f

14 (31,875 +___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE

as y consecu

ormigón, el re

46: planta de

: = 29,625= 28,125

arga factoriza30,375 +Kg 00 ∗ 56.23 =n se acepta p

flexión será la

= 29,6= 28,1

30,375 + 31____________Concreto al C

entemente l

esto también

zapata con s

+ (31,875 −+ (30,375 −ada de cortan31,291.29 +2= 199,472.47por buena y su

a cara de la co

25 + (31,87525 + (30,3751,975 + 29,472

f2=29,

___________

a que tendr

lo será.

sección crítica

− 29,625) ∗ 24.00− 28,125) ∗ 24.00nte por acción+ 29,791.297Kg > V∅ = 1uficiente.

olumna, en d5 − 29,625)4.005 − 28,125)4.0075) ∗ 4.00 ∗ (

,791.29 Kg/m

___________

rá los mayor

a y diagrama

2.9623 = 31,2.9623 = 29,n de viga es:

∗ 4.00 ∗ 2.127,982.220.85 =onde los mom∗ 2.40 = 30,∗ 2.40 = 29,(2.00 − 0.4)

3

m2

f1=31,2

____________

res esfuerzos

de presiones

291.29Kg/m791.29Kg/m.00 − 0.802 −= 150,567.3mentos serán

,975Kg/m

,475Kg/m

30,375 Kg/m2

291.29

___________

s, es adecuad

de carga

m

m

0.5623

2Kg n:

2

31,875

_______

91

damente

Kg/m2


= ∅ == 0

De igua

Ejercic

Para el

El proc

utilizar

despla

conven

Para es

En el c

48 y 49

un med


158,336Kg −= 158,3360.9 ∗ 400 ∗0.0033 ∗ 100al forma, deb

io de clase:

l ejemplo ant

cedimiento an

r el criterio d

zamientos m

niente investi

sto, es muy ú

caso de hacer

9, es necesari

dio elástico d


−m ∗ 100∗ 56.23 = 1∗ 56.23 = 1be de revisars

erior, revisar

ntes descrito

de Navier es

mucho mayor

igar la respue

til modelar la

Figura 47: m

r una modela

io conocer el

e apoyo.

Figura


3.9104 ∗ 1.38.74 cmm →e la flexión e

la flexión y e

y ejemplifica

lógico, sin e

res en los p

esta del suelo

a zapata por e

odelo por ele

ción por elem

módulo de s

a 48: Discretiz

___________

3 = 18.50 >#[email protected] la dirección

el cortante en

ado, es válido

embargo, cua

puntos de co

o para determ

elementos fin

ementos finito

mentos finitos

ubgrado del

zación de la z

___________

> 14 ∴ = 4n perpendicul

n los planos pe

o cuando la b

ando la base

oncentración

minar los mo

nitos, como se

os de la zapat

s, cuya discre

suelo de base

zapata en isom

____________

144,200 = 0.00lar.

erpendiculare

base es roca

e es suelo, es

de esfuerzo

mentos y los

e muestra en

ta del ejercici

etización se m

e, parta pode

métrica

___________

33

es a los ya rev

y consecuen

ste se compo

os, en cuyo

cortantes de

la figura 47.

io

muestra en la

er modelar es

_______

92

visados.

temente

orta con

caso, es

e diseño.

as figuras

ste como


En este

inferir

Lo cier

embar

utilidad

en el q

obtene

Los res

y 51, d

los dep

mome

estos e

la obra

permit


e caso en par

este valor de

rto es que lo

go estas tab

d para poder

que se está de

er más inform

sultados obte

donde puede

plazamientos

nto como el c

esfuerzos, au

a, sin embarg

tir mayores cu


Figu

rticular, hemo

e la tabla a co

T

Arena suelta

Arena con de

Arena densa

Arena arcillo

Arena medio

Arcilla ( ≤Arcilla (20 <Arcilla ( >o recomenda

blas, producid

r hacer los an

esempeñando

mación al resp

enidos, luego

apreciarse q

en la losa de

cortante, muy

mentar la rig

o, debe de an

uantías de ref


ura 48: Discre

os usado el va

ntinuación:

Tipo de suelo

ensidad medi

sa con densid

o densa con se20Ton/m )< ≤ 40 Ton80Ton/m )able es inves

das por inve

nálisis prelimi

o la estructur

pecto.

de correr el m

ue debido al

e la zapata, s

y cerca de la a

gidez de la za

nalizarse que

fuerzo.

___________

etización de la

alor de =

a

dad media

edimentos ) n/m ) ) stigar este va

stigadores lu

nares y con e

ra en proyect

modelo antes

comportami

e han produc

aplicación de

pata es una b

es más oner

___________

a zapata en p

3x10 Kg/mValores d

500,000 –

1,000,000

6,500,000

3,250,000

2,500,000

1,200,000

2,400,000

>

alor en el ca

uego de hace

estos, formar

to. En la asign

s mostrado, s

iento elástico

cido concent

e la carga. Par

buena técnica

roso, si aume

____________

planta

m pero para

de

– 1,600,000

0 – 8,150,000

– 13,000,000

0 – 8,000,000

0 – 5,000,000

0 – 2,400,000

0 – 4,800,000

> 4,800,000

ampo por m

er muchas p

rse un mapa

natura de “Cim

son las mostr

o del suelo y

raciones de e

ra lograr una

a, aunque po

ntar el peralt

___________

uso general s

0

edio de ensa

pruebas, son

mental del e

mentaciones”

adas en las fi

consecuente

esfuerzos, tan

mejor distrib

or supuesto, e

te total de la

_______

93

se puede

ayes, sin

de gran

escenario

” podrán

guras 50

emente a

nto en el

ución de

encarece

zapata u


Este ti

acuerd

sumem

el anál

respec

lo cual

Si tom

encont

mome

proyec

Si usa

encont

y la su

78.13%

la may

Igual tr


po de anális

do a las solici

mos todos los

lisis utilizando

to al encontr

es aceptable

amos las zap

tramos que

nto total en

ctarse para es

ndo el mism

tramos que e

ma de los mo

% del momen

or rigidez del

ratamiento d


Figur

Figu

sis permite h

taciones enc

momentos a

o el criterio d

rado en el pri

e.

atas y la divid

el momento

n la sección

se momento y

mo modelo g

el momento t

omentos que

to total, con

suelo de bas

ebe de dárse


ra 50: Distribu

ra 51: Distrib

hacer una dis

ontradas en

alrededor del

de Navier, en

mer análisis (

dimos en ban

o en la ban

que tiene u

y el resto par

geométrico y

otal alrededo

e se distribuir

lo que se pue

se.

le en el anális

___________

ución de mom

bución de cort

stribución m

las zonas co

eje que pasa

ncontrando

( = 158,3ndas de colum

nda de colum

un ancho de

a las franjas d

y de cargas

or del mismo

ían en la ban

ede observar

sis a los esfue

___________

mentos en la

tantes en la z

ás apropiada

rrespondient

a por la cara d= 149,19236Kg − m),

mna y banda

mna es =e 2.00m, de

de losa adyac

anterior, p

eje antes an

nda de colum

r una mejor d

erzos cortante

____________

zapata

zapata

a del armado

tes. Para efec

de la column2Kg − m qu

es decir, una

central, para= 121,143Kmanera, qu

centes.

ero con un

nalizado es

nas = 11distribución co

es.

___________

o colocando

ctos de comp

a en donde s

e son un 94.

a diferencia d

a la sección aKg − m = 81.ue ese ancho

= 13x10= 143,88612,427Kg −omo consecu

_______

94

este de

paración,

se realizó

22% con

e 5.78%,

analizada 20% del

o puede

Kg/m 6Kg − m m, o sea

uencia de


MURO

Los mu

líquido

Cuando

y cons

tierra d

Desde

puede

solució

Si el m

analiza

restricc

compo

muro.

Ejempl

Un tan

como s

un valo


OS DE RETENC

uros de reten

o como suced

o se habla de

ecuentement

de relleno al m

un punto de

estar trabaja

ón que se esté

muro de reten

ar este muro

ciones y las r

ortamiento de

lo

nque de plant

se muestra e

or = 13x1


CIÓN

nción pueden

de con las es

e muros de re

te, requiere c

muro bajo an

e vista estruc

ando en vola

é investigand

nción es parte

en el espacio

rigideces que

el mismo y a

ta cuadrada

n la figura 5210 Kg/m .

Figura 52: mo


n ser usado p

structuras de

etención de t

conocer las p

nálisis.

ctural, los mu

adizo o con a

o.

e de un “cube

o con las dim

en el sentido

su vez, enco

de 8.00m de

2, por elemen

odelo por ele

___________

para contener

tanques de

ierra, el prob

propiedades d

uros de reten

apoyo en su p

eto” como su

mensiones qu

o perpendicu

ontrar los esf

arista y 3.00

ntos finitos in

ementos finito

___________

r un relleno d

almacenamie

blema tiene in

del suelo par

nción son una

punta, depen

uele llamárse

ue el depósito

ular al muro e

fuerzos en ca

0m de altura

ndicando en

os del depósi

____________

de tierra o b

ento de agua

nteracción co

ra el cálculo

a losa, gener

ndiendo de la

le a los depó

o tiene, para

en análisis, e

ada dirección

contiene ag

los apoyos, u

to del ejemp

___________

ien para cont

a o de otros

on el tema ge

de los empuj

ralmente vert

a configuraci

ósitos, es conv

tomar en cu

stán influyen

para el proy

ua y se ha m

un apoyo elás

lo

_______

95

tener un

líquidos.

otécnico

jes de la

tical que

ón de la

veniente

uenta las

ndo en el

yecto del

modelado

stico con


En el

resulta

simétr

Nótese

uniform

esta, q


modelo de i

ados se mues

icas, de mane

e en la figura

mes debido a

ue están sirv


ndicó que la

stran en los d

era que si ana

53 como es

a la rigidez d

iendo de “ap

Figu


as losas de l

diagramas a

alizamos una

Figura 53: Elá

la elástica de

de las parede

oyo” lateral a

ra 54: Diagra

___________

as paredes y

continuación

de las parede

ástica de una

e una de las p

es que se enc

a esta pared.

ma de mome

___________

y el piso ten

n: Las cargas

es, estaremos

de las parede

paredes, en d

cuentran per

entos de una

____________

ndrán un esp

en este caso

s analizando

es

donde los des

rpendiculares

pared

___________

pesor de 25

o, son perfec

las cuatro.

splazamiento

s en los extre

_______

96

cm. Los

ctamente

os no son

emos de


En la f

análisis

alreded

de aná

En la f

“apoyo

para el

puede

mome

cortant

por ele

en zon

mismo

respec


figura 54, ob

s, en donde p

dor de los eje

lisis se encue

igura 55 pod

o” de las pare

l análisis. Con

observar qu

nto y ordena

tes que se m

ementos finit

nas específica

o valor para lo

to al eje perp


servamos el

podemos apr

es verticales,

entran en los

Figu

emos aprecia

edes perpend

n respecto a l

ue en la junt

adas de mom

uestran en la

tos, podemos

as de la estru

os puntos ady

pendicular de


diagrama de

eciar que hay

como consec

extremos de

ura 55: Diagra

ar el diagram

diculares que

a losa de piso

a entre esta

mento muy p

a figura 57. T

s, dependiend

uctura, ya qu

yacentes, a p

los mismos.

___________

e momentos

y momentos

cuencia de la

esta última.

ama de corta

ma de cortant

se encuentra

o, en la figura

losa y las p

equeñas en

También es im

do de la discr

ue los mome

pesar de esta

___________

de la pared

tanto alrede

influencia qu

ntes de una p

es en el que

an en los extr

a 56 se muest

paredes se e

el centro de

mportante se

retización, de

entos o los co

r a la misma

____________

que hemos

dor de los ej

ue las paredes

pared

también es e

remos de est

tra el diagram

ncuentra los

l claro. Lo m

eñalar, que a

eterminar los

ortantes en

altura o a la

___________

seleccionado

es horizontal

s perpendicul

evidente el e

ta pared selec

ma de momen

mayores va

mismo sucede

l realizar este

s esfuerzos d

un punto no

misma dista

_______

97

o para el

les como

lares a la

efecto de

ccionada

ntos y se

alores de

e con los

e análisis

e diseño

o son del

ancia con




Figura

Figura


a 56: Diagram

a 57: Diagram

___________

a de moment

ma de cortant

___________

tos de la losa

tes de la losa

____________

a de piso

de piso

__________________

98


El proy

losa, p

recubr

durabi

Así mis

el reg

depend

carga q

Ejercic

Para la

Proyec

Tarea #

Model

toman

losa de


yecto de este

pero por su

imiento y el t

lidad de la es

smo el mode

lamento CH

diendo del tip

que servirán p

io de clase:

a pared de la f

ctar la pared p

#2:

ar el tanque

do en cuenta

e piso.


e tipo de estr

puesto, debe

tamaño máxi

structura.

lo de cargas a

OC‐2008, do

po de carga p

para la determ

figura 54 , los

por flexión y d

mostrado d

a la flexión, el


ructura recib

en observars

mo de grieta

aplicado debe

onde se ind

primaria, part

minación de l

s valores de lo

desarrollar el

el ejercicio a

cortante y e

95

1

1

97

6

3

___________

e el mismo t

se y respeta

permisible (o

e de estar de

ica los coef

ta conformar

os esfuerzos

os momentos

detallado.

anterior por

l agrietamien

4,193Kg‐m

0Kg‐m

,588Kg‐m

,298Kg‐m

79Kg‐m

639Kg‐m

321Kg‐m

1,295Kg‐m

1231K

___________

tratamiento q

arse algunas

o tensión má

e acuerdo a lo

ficientes de

los diferente

de diseño.

s en servicio (

elementos fi

nto y desarrol

3,863Kg‐m

4,112Kg‐m

759Kg‐m

913Kg‐m

1,231Kg‐m

____________

que el que de

s particularid

xima en la gr

os requerimie

carga que

es escenarios

(no factorizad

initos y proy

llar los detalle

2000Kgm

2,813Kg‐m

3,435Kg‐m

539Kg‐m

648Kg‐m

g

___________

ebe de dárse

dades tales c

rieta) para ase

entos estable

deben de a

de combinac

dos) son:

yectar la losa

es constructiv

361Kg‐m

1,066Kg‐m

2,000Kg‐m

401Kg‐m

_______

99

ele a una

como el

egurar la

ecidos en

aplicarse,

ciones de

de piso

vos de la

2,0975Kg‐m

5,136Kg‐m

4,553Kg‐m

3,925Kg‐m

2,964Kg‐m

1,570Kg‐m

389Kg‐m

m


Otro u

como a

de rell

asignat

de hor

de carg

Existen

muro.

Los em

de las e

Donde

es e∅es e


uso de los mu

antes se expl

leno, los cua

tura, la discus

migón armad

gas de empuj

n varios tipos

Estos empuje

Empuje act

Cuando el m

dirección y

Empuje en

Cuando el m

Empuje pas

Cuando el m

mpujes se calc

expresiones c

el coeficiente

l ángulo de fr


uros de reten

icó, es posibl

ales se obtie

sión de los em

do sometidos

e.

de empuje, d

es se clasifica

ivo:

muro en su ex

sentido del e

reposo:

muro en su ex

sivo:

muro en su ex

culan en func

clásicas, como

=

de empuje a

ricción intern

Figura 5


nción es rete

le determina

enen por me

mpujes de tie

a ese empuj

dependiendo

n en:

xtremo libre

empuje de rel

xtremo libre n

xtremo libre p

ción de un co

o la de Rankin

(∝) (∝ −activo

a del suelo; ∝

58: Definición

___________

ener tierra de

rlo por medio

dio de ensay

erra, más bien

e, y para ese

de las condic

puede despla

leno.

no puede des

puede despla

eficiente de e

ne, mostrada(∝− ) 1 +∝, y están

de variables

___________

e relleno. En

o de los pará

yes en labor

n, el estudio

efecto, estud

ciones de des

azarse entre

splazarse.

azarse en cont

empuje, el cu

a continuaci

+∅)(∅ + )( − )n definidos en

en muro de

____________

estos casos

ámetros físico

ratorio. No e

del comporta

diaremos som

splazamiento

0.001 y 0.05

tra del rellen

ual puede ser

ón:

(∅ + )( + )n la figura 58

hormigón

___________

1

el modelo d

o mecánicos d

es propósito

amiento de lo

meramente el

que se le per

la altura del

o.

r calculado po

_______

100

de carga,

del suelo

de esta

os muros

l modelo

rmitan al

muro en

or medio


Este coeficiente de empuje activo puede tener valores de entre 0.22 a 0.33 para suelos granulares y de

entre 0.5 a 1.00 para suelos cohesivos. Mientras que para el muro en reposo, el coeficiente de empuje

neutro ( ) tendrá valores entre 0.4 y 0.6 para suelos granulares y entre 0.4 y 0.8 para suelos cohesivos.

Con respecto al coeficiente de empuje pasivo puede también calcularse por medio de las teorías

clásicas, como la de Rankine, mostrada a continuación:

= (∝ +∅)(∝) (∝ − ) 1 − (∅ + ) (∅ + )( − ) ( + )

Estas expresiones antes mostradas nos darán el empuje horizontal estático contra el muro, no obstante,

es necesario investigar la respuesta del muro en escenarios de sismo, para lo que debe de acoplarse en

el modelo de cargas, los efectos del sismo. Para ese efecto, la teoría de empuje por sismo más utilizada

es la de Mononobe‐Okabe. Este planteamiento parece ser muy general pues considera muchas variables

pero por la misma razón, tiene sus limitaciones. En base a las calibraciones numéricas realizadas, se han

derivado dos expresiones simples para obtener el incremento del empuje activo por efectos del sismo ( ): si0 < < 0.2 → ∆ = 1.155 − ∅75 si0.2 < < 0.35 → ∆ = ∅560 − 0.08 + 1.6 − ∅45

Donde es el coeficiente sísmico horizontal que representa la resistencia al deslizamiento con que

debe de diseñarse el muro y que está en función del desplazamiento relativo aceptado y aceleración

pico del suelo esperada, para lo que la siguiente tabla, es usada:

Ecuación

0.35 = 0.622 − 47

0.25 = 0.586 − 47

0.18 = 0.551 − 47

0.10 = 0.489 − 47

La resultante de este empuje por efecto del sismo debe de aplicarse a la mitad de la altura del muro.


Ejempl

Desarr

Hondu

los sigu∅ = 35== 75= 1,= 0

Iniciem

=

Si se ad= ∆ =

Los em

Estátic

Dinám

Con lo

análisis

agrieta


lo:

rollar el mode

ras. El muro

uientes parám5º = 0º 5º 650Kg/m 0.22

mos calculand

(75)dopta un des0.586 − 47= ∅560 − 0

mpujes serán:

o: = 1,65ico: = 1,6o que se pue

s para proy

amiento, ancl


elo de cargas

de retención

metros:

o el empuje e

(75 − 15)plazamiento = 0.586.08 + 1.6 −

0 ∗ 0.2452 ∗650 ∗ 0.0883de hacer el

yectar el m

aje, etc.).


para el proye

n deberá ser d

estático: (75 + 3) 1 +=0.05m 6 − 0.0547 0.2

− ∅45 =

10 = 40,45∗ 10

análisis de e

uro y que

___________

ecto de un mu

de hormigón

5)(35 + 75)(75 − 15)22 = 0.128735560 − 0.0

58Kg/m

estabilidad ex

cumpla con

___________

uro de retenc

reforzado de

(35 + 0)(35 + 0)

08 + 1.6 −

xterna (volteo

n su estabil

____________

ción para una

e 10.00m de

= 0.2452

3545 ∗ 0.1287

o, deslizamie

lidad interna

___________

1

obra en Tegu

altura de rel

7 = 0.0883

ento y soport

a (flexión, c

_______

102

ucigalpa,

leno con

te) y los

cortante,


MUROS DE CORTANTE

Los muros de cortante son un elemento estructural muy usado con el propósito de aportarle, por medio

de ellos, rigidez a la estructura, necesidad que es muy común encontrar en edificios de altura mediana a

grande, en las que los marcos del edificio (vigas, losas y columnas) no tienen la rigidez suficiente para

que el edificio tenga una respuesta en términos de los desplazamientos del mismo, adecuada. Estos

elementos por lo general, tienen una gran rigidez y consecuentemente debe de tenerse mucho cuidado

en su ubicación en la estructura, de manera que se, una vez colocados, el centro de rigidez de la

estructura se encuentre muy cerca del centro de masas del mismo, para que las excentricidades sean

mínimas. Esto, por supuesto, requiere de la negociación técnica entre el proyectista de la estructura y el

proyectista de la arquitectura del edificio.

Los muros de cortante son en sí, una columna de cuyas dimensiones, una de ellas es grande (de 3 a 10 o

más veces su dimensión corta) por lo que adoptan una forma de pared, razón por las que se les llama

“muros” y como columnas que son, pueden ser analizadas bajo los mismos criterios, sin embargo, en

virtud que el propósito de usarlos como parte del sistema estructural, es manejar las cargas (cortantes)

laterales que como consecuencia de los escenarios de sismo o viento están actuando sobre la estructura

del edificio, se les llama “muros de cortante”. Por otro lado, el reglamento presenta algunas

particularidades que deben de ser observadas en el proyecto de un elemento de este tipo.

El proceso de proyecto de un muro de cortante es como sigue:

Revisar la necesidad de usar 2 parrillas:

El artículo 2.21.6.2.2 establece que si 0.53 ′ < deberán usarse por lo menos dos

parrillas

Establecer el límite superior de resistencia al cortante:

El artículo 2.21.6.5.6 establece que ∅ ≤ 2.12 ′

Establecer cuantía mínima de refuerzo:

El artículo 2.21.6.2.1 establece ≥ 0.0025 a lo largo de los ejes longitudinal y transversal y el refuerzo no deberá espaciarse a más de 45cm

Calcular requerimientos de refuerzo por cortante:

De acuerdo con el artículo 2.21.6.5.3 deberá satisfacerse la siguiente condición: ∅ = ∅ ∝ ′ +

Calcular requerimientos de refuerzo por flexión:

De acuerdo con el artículo 2.21.6.6.1, la sección transversal del muro deberá satisfacer los

requerimientos de los artículos 2.10 en todos los escenarios de carga factorizados. Para este

efecto, es aconsejable construir el diagrama de interacción del muro.


Para lo

es

perpen

es

en la d

es ℎ es l

refuerz

es e

es la

estruct=plano d

Ejempl

Un edi

6.70m

edificio

constru

armad

ejempl


Calcular el c

Revisar si co

no, corregir

Calcular los

Observar lo

os efectos de

el área total

ndicular a la d

s el área neta

irección cons

el área de la

a dimensión

zo de confina

el área total d

a separación

tural.

donde

de

lo:

ificio de 45.1

centro a cen

o tiene una a

uidos con h

as con 24#11

lo, el momen


confinamient

on el armado

r el refuerzo.

anclajes del

os requerimie

las expresion

de la sección

dimensión ℎ de la sección

siderada de la

sección trans

de la sección

miento.

de la sección d

del refuerz

es la proy

10m de altur

ntro de las c

ltura de piso

ormigón ′1 y en la bas

to es = 6

F


o de los elem

o propuesto s

refuerzo:

ntos mínimos

nes anteriores

n transversal d

n de hormigón

a fuerza corta

sversal de un

n transversal

de hormigón

zo transversa

yección en

a tiene colum

olumnas se h

a piso de 4.2= 280Kg/cmse del muro,6,792.63T −

igura 59: plan

___________

mentos de bor

e satisfacen l

s de anclaje e

s,

de todo el ref

n limitada po

ante.

miembro me

del núcleo d

al, medida a

del área d

mnas interior

ha colocado

20m y tanto lm y acero

, debido a lamyelcortan

nta del muro

___________

rde:

los requerimi

establecidos e

fuerzo transv

r el espesor d

edida de fuer

de la column

a lo largo de

del refuerzo

res de 75x75

un muro de

las columnas

de = 4,20as cargas factnteesV = 3

entre column

____________

ientos de los

en el artículo

ersal dentro

del alma y la l

ra a fuera del

a, medida de

el eje longit

cortante dist

5cm entre las

cortante de

como el mur00Kg/cm .

torizadas en 368.25T. Pro

nas

___________

1

artículos 2.21

2.21.5.4

de la separac

longitud de la

refuerzo tran

e centro a ce

tudinal del m

tribuido que

s que en un

45cm de esp

ro de cortant

Las columna

el escenario

oyectar el mu

_______

104

1.4.4 y si

ción s y

a sección

nsversal

entro del

miembro

cruza el

vano de

pesor. El

tes serán

as están

de este

uro.


En las

respec0.53Por lo q

∅ ≤ ∅ =

Cuantí

Espacia

Mínim= 0Y como


figuras 59 y

tivamente. ′ = 0.5que será nece

2.12 ′= 40.85 ∗ 1,189a mínima:

amiento máx

o refuerzo tra0.0025 ∗ 45 ∗o son dos par= 2.0011.252

∅∅___________miento del Cería estructure M. ‐ UNITE

Figura 6

60 se muest

53(45 ∗ 745)esario utilizar

= 2.12 ∗ (4433.23T 9.28T = 1,01= 0.0025 imo s=45 cm

ansversal, asu∗ 100 = 11.2rrillas, ∗ 100 = 35.

= ∅ ∝= 556,681____________Concreto al C

60: Disposició

tra en planta

√280 = 297r dos parrillas

45 ∗ 745)√2810.89T > 3

umiendo que5cm /m

56cm ≡ 35c= .. = 6′ +1.74Kg = 55

Usar 2 par

___________

ón de las arm

a, el muro en

7,319.69Kg =s de refuerzo.

80 = 1,189,268.25T ∴ la

se usarán ba

cm → 11.4286.05 > 2.0 ∴= 0.85(456.68T

illas con #5@

___________

maduras de la

ntre las colum

= 297.32T <.

278.7Kg = 1a sección del m

arras #5:

86cm →∴∝ = 0.53 5 ∗ 745) 0.53@35cm (horizo

____________

columna

mnas y el ar

< = 368.2

1,189.28T >muro es sufic

= 11.428645 ∗ 100

3√280 + 0.00

ontales)

___________

1

rmado de la

25T 2.

>368.250.85ciente 2.

2.

2.

= 0.002540 2

0254 ∗ 4,200

_______

105

columna

21.6.2.2

21.6.5.6

.21.6.2.1

.21.6.2.1

.21.6.5.3

0

2.2.6.5.3


≥ ≤ 2.0 2.21.6.5.5

Sin embargo, colocaremos el refuerzo mínimo de 2 parrillas #5@35 cm (verticales)

La flexocompresión, se revisará construyendo el diagrama de interacción y ploteando el Momento y la

carga axial que el muro está recibiendo para asegurar el desempeño del muro dentro de los requisitos

establecidos por el reglamento.

En virtud que el muro se encuentra entre dos columnas, podemos tomar estas como elementos de

borde.

Confinamiento en la columna:

Espaciamiento máximo:

≤ 8 ∗ 3.49 = 27.94cm24 ∗ 1.27 = 30.48cm= 37.50cm30cm ∴ = 28cm 2.21.8.5.1

Estos anillos deberán colocarse dentro de , medido desde la cara de la junta, donde: ≥ = = 70cm= 75cm45cm ∴ = 75cm 2.21.8.5.1

El espaciamiento máximo entre piernas de los anillos no deberá ser mayor que: ≤ = = 18.75cm10cm ∴ = 10cm 2.21.4.4.2

= 75 − (2 ∗ 4.00) = 4,486cm

= 75 ∗ 75 = 5,625cm

ℎ = 75 − (2 ∗ 4.00) − 1.27 = 65.75cm

= 0.09 ∗ 65.75 ∗ 10 , = 3.94cm

= 0.3 ∗ 65.75 ∗ 10 ∗ , ,, − 1 = 3.33cm 2.21.4.4.1

= 3.94cm

En el diseño de la columna se han provisto 7 piernas de barras #4, lo que es un área de refuerzo de

7 ∗ 1.29 = 9.03cm > 3.94cm

De manera que no es necesario agregar más refuerzo.


Confinamiento del alma del muro:

≤ = 11.25cm10cm ∴ = 10cm 2.21.4.4.2

ℎ = 45 − (2 ∗ 2.00) − 1.27 = 39.73cm

= 595(45 − 4) = 24,395cm

= 0.09 ∗ 39.73 ∗ 10 , = 2.36cm

= 0.3 ∗ 39.73 ∗ 10 ∗ , ∗, − 1 = 0.7682cm

= 2.36cm → 2 parrillas #5@10 cm paralelo a la pared

ℎ = 75 − 30 = 30cm

= 0.09 ∗ 30.00 ∗ 10 , = 1.80cm

Usar 2 parrillas #5@10 cm paralelo a la pared

Longitud de desarrollo de las barras #5 con gancho estándar

≥ = 1.5875 ,√ = 23.44cm8 = 8 ∗ 1.5875 = 12.70cm15cm ∴ = 23.44cm 2.21.5.4

Longitud de desarrollo de las barras #5 rectas

≥ 2.5 = 2.5 ∗ 23.44 = 58.60cm 2.21.5.4.2

El detallado del refuerzo del muro puede ser observado en la figura 61.





Figura 61:

___________

Planta y secc

___________

ción de muro

_______________________

1

_______

108


COLUMNAS

Las columnas se definen como elementos que sostienen principalmente cargas a compresión. En general

también soportan momentos flectores con respecto a uno o dos ejes de la sección transversal y esta

acción puede producir fuerzas de tracción sobre una parte de la sección transversal. Aún cuando estén

manejando momentos, se hace referencia a las columnas como elementos a compresión, puesto que

estas fuerzas son las que dominan su comportamiento.

Las columnas se pueden dividir en:

Columnas cortas:

En las que la resistencia se rige por la resistencia de los materiales y la geometría de la sección

transversal.

Columnas largas:

En las que la resistencia puede reducirse en forma significativa por las deflexiones laterales

como consecuencia de su esbeltez.

El comportamiento de los elementos a compresión cortos y cargados axialmente fue estudiado al

principio de este curso, cuando se introdujeron los principios y conceptos básicos del hormigón

reforzado, en el que se demostró que para cargas bajas en las cuales, los dos materiales (el acero y el

hormigón) se mantienen en la etapa elástica, el acero toma una porción relativamente pequeña de la

carga total. Es esfuerzo en el acero es igual a n veces el esfuerzo en el hormigón: =

Donde n es la relación modular. Para esta etapa de cargas, la carga axial está dada por: = + ( − 1)

El reglamento CHOC‐2008 en su artículo 2.9.3.2, establece que la resistencia útil de diseño de una

columna cargada axialmente debe determinarse con la introducción de un coeficiente de reducción de

resistencia ∅ que para las columnas es 0.70 ó 0.75 dependiendo de la configuración de la columna. (0.75

para columnas con acero transversal en espiral y 0.70 para columnas con refuerzo transversal básico).

De manera que, será:

∅ ( ) = 0.85∅ 0.85 ′ − −

El refuerzo transversal por lo general en forma de anillos, que se provee en el armado de las columnas

tiene dos propósitos: Uno es mantener las barras longitudinales en posición mientras se hace el vaciado

del hormigón en la forma de la columna y el otro es proveer soporte lateral a estas barras, que por su

alta esbeltez, al estar la columna sometida a fuertes cargas axiales, tienden a sufrir pandeo y en esta

forma, el refuerzo transversal (anillos o espiral) reduce su longitud efectiva como la distancia de

separación entre anillos. Esa es principalmente la razón de un mayor coeficiente de reducción de


resiste

pandeo

coloca

fallada


ncia cuando

o en las barr

do a un espa

por mal ancl

Figura 6

F


el refuerzo t

as de refuerz

aciamiento in

laje del refue

62: Diagrama

Figura 63: Col


transversal e

zo longitudina

nadecuado y

rzo transvers

de falla de un

umna en falla

___________

s por medio

ales en una c

en la figura 6

sal.

na columna p

a por mal anc

___________

de espiral. L

columna en l

63 se muestr

por refuerzo t

claje del refue

____________

La figura 62 m

a que el refu

ra una fotogr

transversal in

erzo transver

___________

1

muestra el e

uerzo transve

rafía de una

suficiente

rsal

_______

110

fecto de

ersal está

columna


COLUM

En edi

siempr

continu

Para e

actuan

cargad

la mism

supone

linealm

cargad

de la se

Los es

distrib

rectang

El equi

Igualm


MNAS CON FL

ficios y otras

re está prese

uidad entre la

efectos de co

ndo excéntric

o con una ca

ma figura se

e que las se

mente con la

o del elemen

ección, son la

sfuerzos y la

ución real d

gular equival

librio entre la

mente para el


LEXIÓN EN UN

s estructuras

ente la flexión

as columnas y

omprensión,

camente en

rga de compr

muestra la d

ecciones pla

distancia de

nto. Con com

as mismas qu

as fuerzas co

de esfuerzos

ente con un e

Figura 6

as fuerzas axi

momento: = =____________Concreto al C

N SENTIDO

resulta muy

n simultánea

y otros eleme

es convenien

la sección, c

resión que

istribución d

nas, perman

sde el eje ne

patibilidad to

e en el hormi

orrespondien

de compres

espesor =

64: Columna

ales internas

= 0.80.85 ′ ℎ2

___________

y raro encont

mente ya qu

entos estructu

nte sustituir

como se mue

e tiene una ex

e deformacio

necen planas

eutro, que se

otal en las de

igón adyacen

ntes son mo

sión en el h

, como se

sometida a c

y externas, e

5 ′ + ′ℎ2 − 2 + ′___________

trar columna

ue los mome

urales con la

la carga axi

estra en la f

xcentricidad e

ones unitaria

s, las deform

e localiza a u

eformaciones

te.

ostradas tam

hormigón es

e hace para la

compresión ex

exige que:

′ −

′ ℎ2 − ′ +____________

as cargadas s

ntos flectore

que esta está

al y el mom

figura 64 do

e medida des

s en una sec

maciones en

una distancia

s, las del acer

bién en la

sustituida p

s secciones e

xcéntrica

+ − ℎ___________

1

solo axialmen

es se produce

á conectada.

mento, por un

nde un elem

de la línea ce

ción cualquie

el hormigón

c desde el la

ro en cualquie

figura 64, d

por una dist

en flexión pur

ℎ2

_______

111

nte. Casi

en por la

na carga

mento es

entral. En

era. Si se

n varían

ado más

er punto

donde la

tribución

a.


Estas dos ecuaciones anteriores, componen las dos ecuaciones básicas de equilibrio para elementos

rectangulares sometidos a compresión excéntrica.

En las ecuaciones anteriormente mostradas no se ha tomado en cuenta que la presencia de acero en la

zona de compresión, desplaza una cantidad correspondiente a la misma área de hormigón , sin

embargo, a pesar que en forma muy simple se puede incluir esto, solo es influyente en los resultados

para grandes cuantías de acero de refuerzo.

Debido a que en una estructura, es necesario investigar una buena cantidad de escenarios, de acuerdo a

los mínimos requeridos por el reglamento más los que el proyectista requiera para asegurar el buen

desempeño de la estructura, resulta sumamente trabajoso estar probando columna por columna,

escenario por escenario, por lo que una forma conveniente, en vista que no es posible trabajar con

envolventes de esfuerzos debido a la interacción entre las cargas axiales y el momento, entonces es la

construcción de un diagrama de interacción para cada columna en el que se puede plotear todas y cada

uno de los escenarios de carga.

En los diagramas de interacción se define la carga y el momento de falla, para determinada co9lumna,

en el intervalo de excentricidades desde cero hasta infinito y para cualquier excentricidad existe solo un

par de valores de y que producirán un estado inminente de falla. Esta línea de falla que resulta de

la construcción del diagrama de interacción, se divide en un intervalo de falla a la compresión y un

intervalo de falla a tracción y el punto donde se dividen estos intervalos es el correspondiente al punto

de “falla balanceada”.

En el caso de las columnas, al contrario que en las vigas, no es posible limitar el diseño de forma tal, que

en el caso de una sobrecarga, la falla se produzca por fluencia del acero y no por aplastamiento del

hormigón, ya que el tipo de falla en una columna, depende del valor de la excentricidad que resulta del

análisis del edificio, sin embargo, la identificación del punto de falla balanceada puede ser de mucha

utilidad en relación a las disposiciones de seguridad establecidas en el reglamento.

Ejemplo:

Una columna de 30cm x 50cm está reforzada con 4 barras #9, una en cada esquina. La resistencia del

hormigón a la compresión es ′ = 280Kg/cm y el acero de refuerzo presenta un punto de fluencia = 4,200Kg/cm , el acero de refuerzo transversal es mediante anillos cerrados de barras #3.

Iniciemos construyendo la sección:

Recubrimiento mínimo=4.0cm (2.7.7.1)

Factor de reducción de resistencia por flexión ∅ = 0.90(2.9.3.2.2) Factor de reducción de resistencia por compresión ∅ = 0.70(2.9.3.2.2) Módulo de elasticidad del acero = 2,030,000Kg/cm (2.8.5.2)


Punto = 0 = 2

Si es fa′ = 0 = 0. = 1


de la falla ba.003 4,200,030,000 = 0

alla balancead0.003 ∗ 2,03085 ∗ 280 ∗ 2156,245.79 +


lanceada:

0.002069

da, = , p0,000 25.74425.1.88 ∗ 30 =+ (2 ∗ 6.45 ∗ 4

50.00 43.50


= 43.50 0.00= 0.85por tanto: 47 − 6.50.7447 = 4156,245.79K4,200) − (2

6.50

___________

0.00303 + 0.00206∗ 25.7447 =4,552.41 KgcmKg ∗ 6.45 ∗ 4,20

3

___________

69 = 25.744= 21.88cm

g > ∴ =00) = 156,24

30.00

____________

47cm

= = 4,20045.79Kg

___________

1

0 Kgcm

_______

113


= 156,245.79 502 − 21.882 + 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 502 − 6.5 + 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 43.50 − 502

= 2,196,568.82 + 1,002,330 + 1,002,330.00 = 4,201,228.82Kg − cm

La excentricidad en este punto es = , , ., . = 26.89cm

Con lo que ya encontramos el primer punto, que dicho sea de paso, es el lindero entre el predominio de

la flexión y el predominio de la compresión en la columna. Para encontrar el resto de los puntos,

podemos hacer un barrido desde excentricidades iguales a cero ( = 0) hasta excentricidades tendientes al infinito ( = 0)

Encontremos estos estados. Para el Momento cero, es decir, en compresión pura, la columna presentará

una capacidad de:

= (0.85 ∗ 30 ∗ 50 ∗ 280) + (4 ∗ 6.45 ∗ 4,200) = 465,360.00Kg

Y cuando la carga axial es cero, es decir, en flexión pura, la columna presentará una capacidad de:

37,170 2 ∗ 6.4530 ∗ 43.50 − 4,200 2 ∗ 6.4530 ∗ 43.50 + 30 ∗ 43.50 = 0 = 30 ∗ 43.50 ∗ (41.17241 − 3.632043) = 2,151,264.71Kg − cm

Otra forma de encontrarlo es:

Donde = ∗ . ∗ ,. ∗ ∗ = 7.5882cm ∴ = . . = 8.9273cm

= 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 43.50 − 7.58822 = 2,151,264.71Kg − cm

Con lo que ya tenemos dos puntos adicionales.

Para realizar el barrido, iniciemos con escoger cuantos puntos habrán para la construcción del diagrama

y para ese efecto, entre más puntos escojamos más preciso será el mismo. Digamos que para este

ejemplo seleccionamos 10 puntos entre la falla por flexión pura y la falla balanceada, de manera que

investigaremos los pares de puntos para intervalos desde = 8.9273cm hasta = 10.3570cm lo que

nos da un punto a cada . . = 1.53cm

Primer punto = 8.9273 + 1.53 = 10.46cm


= 10.46 ∗ 0.85 = 8.8873cm

= 0.85 ∗ 280 ∗ 8.8873 ∗ 30 = 63,455.81Kg

Esfuerzos en el acero: = 2,030,000 0.00310.46 (43.5 − 10.46) = 19,347.46 Kgcm > 4,200 Kgcm ∴ = 4,200 Kgcm ′ = 2,030,000 0.00310.46 (10.46 − 6.50) = 2,305.58 Kgcm < 4,200 Kgcm ∴ ′ = 2,305.58 Kgcm = 63,455.81 + (2 ∗ 6.45 ∗ 2,305.58) − (2 ∗ 6.45 ∗ 4,200) = 39,017.79Kg = 63,455.81 ∗ 502 − 10.462 + 2 ∗ 6.45 ∗ 2,305.58 502 − 6.50− 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 43.50 − 502

= 1,254,521.36 + 550,226.67 + 1,002,330.00 = 2,856,693.99Kg − cm

Con una excentricidad = , , . , . = 73.24cm

Y así para cada uno de los 9 puntos restantes. De la misma manera, para el comportamiento con

predominio de la compresión, escogemos un número de puntos, digamos 10, de manera que el

intervalo será entre = 10.3570cmy = 50cm, entonces un punto a cada . = 2.21cm

Para efecto de estudiar como resultan los valores, encontraremos un punto en esta zona:

Primer punto = 50 − 2.21 = 47.79cm = 47.79 ∗ 0.85 = 40.6215cm = 0.85 ∗ 280 ∗ 40.6215 ∗ 30 = 290,067.80Kg

Esfuerzos en el acero: = 2,030,000 0.00347.79 (43.5 − 47.79) = −547.26 Kgcm

El signo negativo indica que el acero está en compresión

′ = 2,030,000 0.00347.79 (47.79 − 6.50) = 5,2261.69 Kgcm > 4,200 Kgcm ∴ ′ = 4,200 Kgcm

= 290,067.80 + (2 ∗ 6.45 ∗ 4,200) + (2 ∗ 6.45 ∗ 547.26) = 351,307.51Kg


= 290,067.80 ∗ 502 − 40.62152 + 2 ∗ 6.45 ∗ 4,200 502 − 6.50− 2 ∗ 6.45 ∗ 547.26 43.50 − 502

= 1,360,200.43 + 1,002,330 − 130,603.60 = 2,231,310.54Kg − cm

Con una excentricidad = , , . , . = 6.35cm

Y así para cada uno de los 9 restantes puntos, con los que se puede construir el diagrama de interacción

mostrado en la figura 65.

Figura 65: Diagrama de interacción de la columna

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 500.00 1,000.00 1,500.00 2,000.00 2,500.00 3,000.00 3,500.00 4,000.00 4,500.00


La gráfica mostrada en la figura 65 muestra la línea de falla de la columna, sin embargo, esta es sin

aplicación de los coeficientes de reducción de resistencia del elemento establecidos en el reglamento

que al aplicarlos, tendremos la línea de falla que, observando el reglamento, será la capacidad última a

observar.

Para la aplicación de estos coeficientes de reducción, le aplicaremos el factor ∅ correspondiente a compresión (∅ = 0.70) en la zona en donde la columna se comporta en predominio de la compresión y

flexión y el coeficiente correspondiente a flexión (∅ = 0.70) en la zona en donde la columna se

comporta en predominio de la flexión y el reglamento recomienda, hacer este cambio en forma gradual

desde para valores de ∅ = 0.10 ′ o ∅ el que sea menor hasta cero.

En el caso de nuestro ejemplo: ∅ = 0.10 ′ = 0.10 ∗ 280 ∗ 30 ∗ 50 = 42,000Kg < ∅ = 156,245.79 ∗ 0.7 = 109,372.05Kg

Por tanto la transición se hará para valores iguales o menores a 42,000 Kg

Figura 66: Diagrama de interacción de la columna factorizado

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

0.00 500.00 1,000.00 1,500.00 2,000.00 2,500.00 3,000.00 3,500.00


Por otro lado, nuestro reglamento limita el uso de la columna para excentricidades menores que 0.05h,

donde h es la dimensión de columna en el sentido del análisis en flexión, lo que es equivalente a valores

en carga axial máximos de ∅ = 0.80∅ para columnas con refuerzo transversal por anillos ó ∅ = 0.85∅ para columnas con refuerzo transversal por espiral en el que ∅ = 0.75

En nuestro caso: ∅ = 0.80∅ = 0.80 ∗ 325.75 = 260.40

Como pudo haberse observado, todo el análisis anterior está basado en la compatibilidad de los

esfuerzos con las deformaciones de ambos materiales y con este criterio, es posible analizar cualquier

columna independientemente de la forma de la sección que esta tenga y de la disposición de las

armaduras con que haya sido reforzado.

Tarea #3

Una columna de 30cm x 50cm está reforzada con 12 barras #9, una en cada esquina y el resto

igualmente distribuido en sus 4 lados. La resistencia del hormigón a la compresión es ′ = 280Kg/cm

y el acero de refuerzo presenta un punto de fluencia = 4,200Kg/cm , el acero de refuerzo

transversal es mediante anillos cerrados de barras #3. Construir el diagrama de interacción de la

columna.

Tarea #4

Para el muro de cortante analizado y proyectado en la sección correspondiente de este curso, construir

el diagrama de interacción en cada dirección.


COLUM

Por lo

llama f

esfuerz

poder

es tam

compo

En la f

carga

mismo

excent

con re

aparec

tanto a

ambas

el caso


MNAS CON FL

general, las

flexión bi‐axia

zos es basta

encontrar la

mbién en amb

ortamiento de

figura 67(a) la

y la curva

o que analiza

tricidad en la

specto al eje

ce en la figura

alrededor de

direcciones y

o (c). La orient


LEXIÓN EN AM

columnas, en

al. La constru

nte laboriosa

inclinación d

bas direccion

e una column

Figura 67:

a sección se

de interacció

mos en la se

dirección Y c

e X como se

a 67(d) como

l eje Y como

y de la que su

tación de la e


MBOS SENTID

n la realidad,

ucción del dia

a pues requie

del eje neutro

es. La figura

a con flexión

Resistencia d

somete a fle

ón de resisten

ección anteri

con lo que te

muestra en

el caso (b). E

o del X con lo

u curva de int

excentricidad

=___________

DOS

, están trabaj

agrama de int

ere de realiz

o y su posició

67 muestra

bi‐axial.

de las column

exión solo co

ncias aparece

or de este c

ndremos un

la figura 67(b

n la figura 67

o que tendre

teracción de r

resultante se

=___________

jando en flex

teracción par

zar muchas it

ón, como con

un diagrama

as cargadas b

on respecto a

e en la figura

curso. De mo

caso de flexió

b) y cuya cur

7(c) se muestr

mos flexión

resistencias s

e define por m

____________

xión en dos d

ra las column

teraciones p

secuencia de

esquemático

biaxialmente

al eje Y con l

a 67(d) como

odo similar se

ón axial en e

rva de intera

ra el caso (c) e

biaxial, es de

se muestra en

medio del áng

___________

1

direcciones lo

nas sometidas

ara cada pun

e que la excen

o y las relaci

a excentricid

el caso (a) q

e carga colum

l sentido únic

acción de res

en la que la f

ecir, excentri

n la figura 67(

gulo

_______

119

o que se

s a estos

nto para

ntricidad

ones del

dad de la

que es lo

mna con

camente

istencias

lexión es

cidad en

(d) como


Donde

obtien

genera

diagram

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continu

Métod

Este m

median

median

Donde====1 y del ref

En la fi


la flexión es

e por aproxi

al, perpendic

ma de intera

ollado métod

uación.

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método se ba

nte una fami

nte la siguien

: = = cuand= = cuand2 son exponeuerzo y de las

gura 68, se m


s con respect

maciones suc

ular a la ex

acción en un

dos aproxima

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asa en la rep

lia de curvas

te ecuación d

do = 0 do = 0 entes que de

s característic

muestra la fam

Figu


to a un eje m

cesivas. La pr

centricidad r

n trabajo m

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s correspondi

de interacción

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cas de los ma

milia de curva

ura 68: Famil

___________

medido medi

rincipal dificu

resultante lo

uy tedioso.

más simples,

de la superf

entes a valo

n adimension

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s con la que s

ia de curvas p

___________

ante el ángu

ultad es que

que convie

Como altern

, de los que

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res constante

nal:

= 1.0

es de la colum

a columna.

se aplica este

para valores d

____________

ulo con resp

el eje neutro

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nativa, varios

haremos una

que se mue

es de que

mna, de la ca

e método.

de Pn

___________

1

pecto al eje X

o no va a se

de construc

s investigado

a breve expli

estra en la f

pueden apro

antidad y dist

_______

120

X que se

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figura 67

oximarse

tribución


Los val

Donde

hasta l

Métod

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a intersecció

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es un méto

ctoriamente

os. Es necesa

dibujarse a

y =

Fi

ación de car

demostrarse

, siempre que


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r de corr

n de la curva

a inversa:

odo simple

mediante co

rio observar

lternativame

como apare

igura 69: Sup

rga inversa d

e que la ecu

e ≥ 0.10


ontrados me

respondiente

correspondie

y aproxim

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que la super

nte como u

ece en la figu

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e Bresler se

ación, a con

1 =___________

diante la sigu

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ente.

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na función d

ra 69(a).

teracción par

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= 1 + 1___________

uiente relació5

ido desde el e

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ados de gran

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de la carga

ra el método

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s suficientem

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____________

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n cantidad d

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de carga inve

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mente precisa

___________

1

cción paralela

que fue ve

e ensayes y

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ersa

plano aprox

a para propó

_______

121

a al eje y

erificado

cálculos

figura 67

ricidades

ximado y

ósitos de


Donde:

es el valor aproximado de la carga última en flexión biaxial

es la carga última cuando solo está presente la excentricidad

es la carga última cuando solo está presente la excentricidad

es la carga última para la columna carga concéntricamente.

La introducción de los coeficientes de reducción de resistencia indicados en el CHOC‐2008 no cambia el

desarrollo de la ecuación anterior, por lo que puede reestructurarse de la siguiente forma:

1∅ = 1∅ + 1∅ − 1∅

Ejercicio de clase:

Una columna de 30cm x 50cm está reforzada con 12 barras #9, una en cada esquina y el resto

igualmente distribuido en sus 4 lados. La resistencia del hormigón a la compresión es ′ = 280Kg/cm

y el acero de refuerzo presenta un punto de fluencia = 4,200Kg/cm , el acero de refuerzo

transversal es mediante anillos cerrados de barras #3. A la columna se le aplicará una carga de diseño

(ya factorizada) de = 125,000Kg con excentricidades de = 8cm y = 15cm. Determinar si la

columna puede aceptar este escenario de carga de acuerdo con el CHOC‐2008.


COLUMNAS LARGAS

Si la columna es corta, es decir, si su esbeltez es muy pequeña, los análisis realizados en la sección

anterior son suficientes para determinar su capacidad de carga, independientemente de la

configuración de la columna o de los escenarios de carga que esta deba de manejar. Pero si la columna

es alta (gran esbeltez), la capacidad de la columna se ve reducida.

El grado de esbeltez se expresa, generalmente, en términos de la relación de esbeltez donde l es la

longitud libre de la columna en la dirección del análisis y r es el radio de giro de la misma en la misma

dirección. El radio de giro se determina por: =

Donde I es el momento de inercia de la sección alrededor del eje centroidal perpendicular a la dirección

del análisis y A es el área de la sección transversal de la columna.

De acuerdo con el artículo 2.10.13.2, para marcos con desplazamientos laterales, se podrá despreciar el

efecto de la esbeltez cuando < 22, donde K es el factor de longitud efectiva para miembros en

compresión cuyos valores pueden oscilar dependiendo de la configuración del marco, como se muestra

en la figura 70. En otras palabras, cuando la estructura sea un marco al que no se le han provisto

restricciones para el desplazamiento lateral, a las columnas de ese marco que tengan una relación de

esbeltez menor que 22, podrán revisarse como columnas cortas.

Cuando las columnas están cargadas concéntricamente, es decir, cuando no hay excentricidades, el

comportamiento de la columna puede ser investigado por la expresión de Euler, que fue desarrollada

hace más de 200 años: = ( )

Donde:

es el módulo de Young

es el momento de inercia alrededor del eje que pasa por el centroide y perpendicular a la dirección de

análisis

es la carga crítica considerando los efectos de la esbeltez.

La carga crítica es la que usaremos como carga resistente a la que debe de aplicársele el coeficiente

de reducción de resistencia ∅. En la figura 71 puede observarse gráficamente como se comporta la

capacidad de la columna con carga concéntrica en la medida en que varía la relación de esbeltez de la

columna, así como en la figura 72 se presentan los nomogramas para la determinación de los valores de

la longitud efectiva K, donde el eje “A” es para el nudo superior y el eje “B” es el nudo inferior de la

columna.




Figur


a 70: Pandeo

___________

o y longitud ef

___________

fectiva de col

____________

lumnas

___________

1

_______

124



Figura 71: E


fecto de la es

Figura


sbeltez en la r

72: Nomogra

___________

resistencia de

amas para el

___________

e columnas ca

cálculo del va

____________

argadas conc

alor de K

___________

1

céntricamente

_______

125

e


La figu

en sus

consta

Para e

muestr

flexión

de pal

mostra

Lo ant

Similar

carga a

centro

mome

descrit

Donde


ra 73 muestr

s extremos

nte a lo largo

Figura 7

esta situación

ra con la líne

n, pero cuand

lanca, produ

ada por la líne

eriormente d

r situación su

axial, en dond

de la luz. C

ntos adiciona

ta pueden cal

son las de


a un element

Si la carga

o del mismo e

73: Elemento

n (flexión sim

a punteada d

o se aplica la

ciendo defle

ea continua, d

descrito es lo

cede, si al m

de como prod

Cuando estan

ales Py distr

cularse con la

eflexiones cor


to cargado ax

a axial no e

e igual a los m

s esbeltos so

mple sin carg

donde repr

carga P, el m

exiones adicio

de manera qu

o que se cono

ismo elemen

ducto de esta

ndo presente

ribuidos. Las

as deflexione

rrespondiente

___________

xialmente con

estuviera pre

momentos de

metidos a fle

ga axial de c

resenta la de

momento en c

onales y aho

ue el moment

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nto analizado

carga tendre

e esa carga a

s deflexiones

s : = 11 −es al element

___________

n la carga P y

sente, el mo

los extremos

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cualquier pun

ora, la defle

to en cualqui

análisis de “

antes, se le

emos un mom

aplicamos ca

s y de las co

to sin carga a

____________

sometido a f

omento e

s .

ón en curvatu

la columna

ualquier punt

nto se increm

xión de la c

er punto será

“segundo ord

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Entonces, = + ∆= + ∆ 11 −

Que puede reformularse de la siguiente forma:

= 1 +1 −

Donde es un coeficiente que depende del tipo de carga y que varía aproximadamente entre ±0.20en la mayor parte de los casos prácticos. En virtud de que siempre será un valor significativamente

pequeño, puede obviarse este término, de manera que se puede escribir la expresión anterior como:

= 11 −

Donde:

es el factor de amplificación de momentos, o sea, refleja la cantidad mediante la cual el momento

se amplifica como consecuencia de la presencia de la carga axial P

Todo el análisis antes descrito corresponde a columnas esbeltas con curvatura simple, que se presenta

cuando los momentos en los extremos del miembro tienen signos contrarios, sin embargo, es común

encontrar escenarios en los que la columna tiene en sus extremos momentos con signos iguales con los

que se producirá una curvatura doble, que es una condición aún más desfavorable.

El análisis − ∆ requiere realizar una serie de iteraciones hasta alcanzar la convergencia por lo que se vuelve en una tarea tediosa por lo que nuestro reglamento presenta un procedimiento manual de muy

fácil aplicación para marcos sin desplazamiento lateral (arriostrados) y marcos con desplazamiento

lateral.

Se define en el CHOC‐2008 un marco sin desplazamientos laterales aquel que cumpla con la siguiente

igualdad: = ∑ ∆ ≤ 0.05 para un piso 2.10.11.4.2

Donde Q es el índice de estabilidad; ∆ es el desplazamiento lateral relativo de primer orden


En el artículo 2.10.11.5 establece que si > 100, el diseño del miembro deberá estar basado en

fuerzas y momentos factorizados resultante de un análisis de segundo orden considerando

comportamiento no lineal (2.10.10) a menos que en el análisis de primer orden se tome en

consideración las secciones agrietadas de acuerdo con lo indicado en el artículo 2.10.11.

Si el marco es sin desplazamientos laterales, se podrá ignorar el efecto de la esbeltez en la columna de

análisis, si:

≤ 34 − 12 2.10.12.2

Donde ≥ 0.50; y es positivo si la columna se deflecta en curvatura simple, K=1.0 y y son los

momentos en los extremos de la columna con valor menor y mayor respectivamente.

Si el marco es con desplazamientos laterales, se podrá ignorar el efecto de la esbeltez en las columnas

que cumplan con ≤ 22 (2.10.13.2)

El artículo 2.10.12.3 establece que si no se cumple con 2.10.12.2 ó 2.10.13.2, el diseño debe de

efectuarse para la carga axial factorizada y el momento amplificado por los efectos de la curvatura

de la columna de acuerdo a lo siguiente: =

Para lo que, = 1 − 0.75 ≥ 1.0 = ( )

= 0.2 +1 +

= 0.6 + 0.4 ≥ 0.4

Si la columna tiene carga transversal entre sus apoyos, = 1

El momento factorizado , í = (1.5 + 0.03ℎ) donde h es el peralte de la columna; es la

relación de carga permanente axial máxima factorizada y la carga axial máxima factorizada.


Con el factor se están tomando en cuenta los efectos del flujo plástico ya que con cargas

permanentes mayores y sostenidas, mayores serán también las deformaciones por flujo plástico y

consecuentemente, mayores serán también sus curvaturas.

Con respecto a los valores intermedios de K de los casos mostrados en la figura 70, se puede utilizar el

nomograma presentado en la figura 72, donde:

y representan el grado de restricción de la columna en sus extremos A y B respectivamente:

= ∑∑

De manera que se calcula este factor y se entra al nomograma y en la intersección del eje central se

podrá determinar el valor de K de la columna.

Otras consideraciones del reglamento CHOC‐2008:

Hay otras limitaciones que l reglamento establece para el proyecto de miembros en compresión, que

listamos a continuación:

(2.10.9.1) El área de refuerzo longitudinal no deberá ser menor que 0.01 ni mayor que 0.08 del

área total de la sección (zonas no sísmicas)

(2.21.4.3.1) La cuantía de refuerzo no deberá ser menor que 0.01 y no deberá exceder 0.06 el

área total de la sección.

(2.21.4.4.1) Si el refuerzo transversal en espiral, la cuantía volumétrica de este no deberá ser

menor que: = 0.12 ′

(2.21.4.4.1) Si el refuerzo transversal en anillos, el área total de estos no deberá ser menor que: = 0.3 ℎ ′ − 1

(2.10.9.2) El número mínimo de barras longitudinales deberá ser 4 para barras dentro de anillos

rectangulares o 3 para barras dentro de anillos triangulares y 6 para barras dentro de espirales.


Ejercicio de clase:

Para el ejercicio mostrado en la página 112, la columna tiene una altura de 6.25m, asumir que tiene un

K=0.7 y las siguientes cargas:

Permanente:

= 230T = 0.70T − m = −0.80T − m

Viva:

= 180T = 32T − m = 30T − m

Determinar si la columna, con el armado indicado, es buena y suficiente

curso de comportamiento del concreto

Documents

por otro lado

por aplastamiento

2s8u s6

9u ss ss

8u s6

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en las

de manera