curs hidra 1
TRANSCRIPT
Hidraulic i Maini Hidraulice
Responsabil disciplin, ef lucrri dr. ing. Ciprian BACOIU
Coninut curs :C1 : Introducere. Obiectul cursului. Metode generale de studiu folosite n hidraulic. C2 : Noiuni de analiz dimensional. Teorema PI. C3-C4 : Elemente de similitudine hidraulic. Proprietaile fluidelor. C5-C6 : Statica fluidelor. Legea hidrostaticii. Msurarea presiunii. C7-C8 : Fore de presiune pe suprafee plane. Fore de presiune pe suprafee curbe. C9 : Plutirea corpurilor. Legea lui Arhimede. Echilibrul relativ al fluidelor. C10 : Cinematica fluidelor. Mrimi i noiuni specifice micrii fluidelor. Ecuaia de continuitate. C11-C12 : Dinamica fluidelor. Ecuaia lui Bernoulli pentru un fluid perfect. Ecuaia lui Bernoulli pentru un fluid real. C13 : Ecuaiile lui Cauchy, Navier-Stokes, Reynolds. Consideraii cu privire la integrarea acestor ecuaii. C14 : Teorema impulsului
1
Coninut Seminar : S1 : Analiz dimensional S2 : Teorema PI a analizei dimensionale. Similitudine hidraulic. S3 : Proprietile fluidelor. S4 : Legea hidrostaticii. S5 : Fore de presiune. S6 : Plutirea corpurilor. S7 : Repausul relativ.
Bibliografie Curs [1] L. Marian, M. Muste - Hidraulica i Maini hidraulice. UTC-N, 1993 ( 2 vol. -- disponibil xeroxat) [2] C. Iamandi, V. Petrescu - Mecanica fluidelor. E.D.P., Bucureti, 1978 [3] D. Cioc - Hidraulic, E.D.P., Bucureti, 1983 [4] Cristea Mateescu - Hidraulica, E.D.P., Bucureti, 1961 [5] E.C. Isboiu, S.C. Georgescu - Mecanica fluidelor, E.T., Bucureti,1995 Seminar [1] L. Marian, M. Muste - Hidraulica i Maini hidraulice. UTC-N, 1993 [2] C. Iamandi, .a. - Hidraulica instalaiilor - aplicaii, E.T., Bucureti, 1985 [3] D. Cioc, .a. - Hidraulic: probleme, E.D.P., Bucureti, 1973 [4] J. Florea, .a. - Mecanica fluidelor i maini hidropneumatice, E.D.P., Bucureti, 1982 [5] D. Tac, I. Bcanu - Culegere de probleme de hidraulic tehnic, E.T., Bucureti, 1966
2
Pagina web
http://users.utcluj.ro/~bacotiu/
Adresa e-mail
Necazuri, pericole, semnale de alarm Trim n Romnia Viziunea deformat a relaiei : Materie de studiu - Cadru didactic - Student Respectarea regulilor jocului : no tricks !!! Elemente de folclor studenesc Toamna grea i lung : scurt istoric Dumanul din umbr : Fizica (de liceu) Modalitatea de examinare Pilele nu se poate face CEVA ? s fie bine pentru toi Totul pe final n sesiune Construcie gradat a materiilor de studiu bumerang Elementul cheie : cadrul didactic ?!? Neverending story
3
GeneralitiObiectul cursului Etimologie Fluide fluiditate Clasificare Ipoteza continuumului material Legtura cu alte discipline Scurt istoric
Metode generale de studiu n hidraulicMetoda teoretic -modelare, simplificare -definiia particulei fluide -consecine -modele de fluid Metoda experimental -scopuri Metoda analogic -identitate formal, asemnare
4
Noiuni de analiz dimensionalObiect i scop -studiul structurii relaiilor fizice -stabilirea regulilor generale de formare a acestor relaii Obs. : relaia fizic relaia matematic Mrime fizic -Def. : Un anumit aspect cantitativ i calitativ al fenomenului studiat -formalismul x=Xa (exemplu d=3m) -operaii cu mrimi fizice x1+x2=X1a+X2a=(X1+X2)a=Xa x1x2=(X1a1)(X2a2)=(X1X2)(a1a2)=Xa=x
Uniti de msur -sisteme necoerente: dezordine -uniti de msur fundamentale i derivate -sisteme coerente de uniti de msur: S.I. ; S.T. (MKfS) ; C.G.S. -adoptarea S.I. n Romnia : STAS 737-1973 -7 (!) uniti i mrimi fundamentale: m, kg, s, A, K, cd, mol
Formule dimensionale -operatorul [ ] : [x] = A -A se numete dimensiunea mrimii fizice x i este un simbol -exemple: L, M, T, LT-1 -reinem 4 notaii convenionale : x, X, a, Ax=mrime fizic X=valoarea mrimii fizice x (numr) a=unitatea de msur a mrimii fizice x A=dimensiunea mrimii fizice x (simbol)
1
ConcluzieCele 3 sisteme coerente de uniti de msur
S.I.Mrimi fundam. U.M. fundam. Dim.
S.T. (MKfS)Mrimi fundam. U.M. fundam. Dim. Mrimi fundam.
C.G.S.U.M. fundam. Dim.
lungime mas timp
m kg s
L M T
lungime for timp
m kgf s
L F T
lungime mas timp
cm g s
L M T
Mrimi i uniti derivate : vezi anexa la pag. 381
Teoremele analizei dimensionaleTeorema I (a omogenitii) O relaie fizic poate fi reductibil la o relaie matematic dac relaia este omogen din punct de vedere dimensional, n raport cu un sistem coerent de mrimi fundamentale. adic Dimensiunea membrului stng = Dimensiunea membrului drept SAU Unitatea de msur din m. s. = Unitatea de msur din m. d.
Exemple
2
Aplicaii
Problema 5 (Seminar 1): Pentru un deznisipator orizontal-longitudinal se calculeaz volumul depunerilor:
Vd = 86400
a p0 Q T 1000
[m3]
n care: Q - debitul [m3/s] T - durata ntre 2 curiri succesive [zile] ; se alege 17 zile a - proporia de subst. n suspensie care sunt reinute n deznisipator (0,250,3) p0 - concentraia total de particule n suspensie [g/m3] ; se alege pt. cazul cel mai defavorabil = viitur - densitatea depunerilor [kg/m3] ; se alege ntre 15001700 kg/m3 Ce reprezint 86400 ?
Aplicaii
Problema 6 (Seminar 1): Se d formula de dimensionare a unui rezervor tampon deschis dintr-o staie de hidrofor: VRTD = 150 (10 + QP ) [ l ] n care Qp - debitul pompei [l/s]. Ce prere avei despre aceast formul ?
3
Teoremele analizei dimensionaleTeorema II O relaie fizic (scris cu respectarea teoremei omogenitii) nu i modific forma n cazul schimbrii sistemului de uniti de msur, dac dimensiunile (unitile de msur) ale mrimilor derivate, n ambele sisteme, se exprim sub forma unor formule dimensionale de tip monom. adic
A = LMT respectiv
A = LdFeTf
Complexe adimensionale criterii
4
Teoremele analizei dimensionaleComplexe adimensionale Definiie : Raportul dintre dou sau mai multe mrimi fizice, de aceleai dimensiuni, ce contribuie la desfurarea unui fenomen.
y =
y y0
cu condiia
[ y] = [ y 0 ]
Criterii = complexe adimensionale cu rol deosebit n tehnic Exemple : criteriul Reynolds, criteriul FroudeRe = vl Fr = v2 gh
2 observaii
Teoremele analizei dimensionaleTeorema III (teorema ) Scop : Descoperirea i scrierea sub form de relaii fizice a legilor unor fenomene Metod : Simplificarea relaiei fizice prin nlocuirea unor mrimi fizice cu complexe adimensionale.
y = f ( x1 , x 2 ,K , x k , x k +1 ,K , x p ,K , x n )O relaie fizic (scris cu respectarea teoremelor I i II a analizei dimensionale) cuprinznd n+1 mrimi, poate fi (re)scris ca o relaie ntre n+1-k complexe adimensionale, dac se renun la sistemul iniial de uniti de msur i se adopt un sistem propriu fenomenului studiat, format din mrimile x1, x2, , xk.
1
y = Y x1 1 x 2 2 L x kd d
dk
x p = X p x 1 1p x 2 2 p L x ke e
e kp
p = 1, n
Complexele adimensionale:
Y = y =
x1
d1
y d x 2 L x k kd2
X p = xp =
x
e1 p 1
x 2 L x k
p e2 p
x
e kp
n urma aplicrii teoremei PI se obine o alt relaie funcional:
y = ( x k+1 , K , x n ) x 1 1 x 2 2 L x kd d
dk
Observaii la Teorema -la ce folosete -alegerea corect a mrimilor fizice ce determin fenomenul k < n forme multiple -critici -pentru fenomene mecanice k=3 -grupe (categorii) de mrimi : -liniare -cinematice i dinamice -proprieti fizice ale fluidului
Reete pentru mrimile alese: -s intervin cu pondere n desfurarea fenomenului -s fie independente dimensional -sistemul propriu ales s fie coerent -s fie alese mrimi din fiecare categorie, conform clasificrii anterioare
2
Aplicaii Rezistena la naintare a unui corp sferic, care se mic cu vitez constant ntr-un fluid omogen aflat n repaus.R = f ( D, k, v, , );
R = (k , ) Da v b ck = k D x v y z = D u v w t
3 ecuaii cu 3 necunoscute
k 1 R = , D 2 v 2 D Re
Elemente de similitudine hidraulicSimilitudine = asemnare generalizat Scara tuturor mrimilor care au dimensiunea [x]:
Sx =
xM xN
unde
M - model, N - natur
2 teoreme
Aplicaie
3
Forele care acioneaz asupra fluidelor
Fore exterioare: -fore de suprafa -fore masice: G, fm -fore de inerie: doar pentru particule de fluid n micare
Fore interioare: -fore masice interioare -fore de suprafa interioare (de legtur): efort unitar pn
Caracteristici fizice ale fluidelor Noiunea de fluid-stri de agregare -fluide, fluiditate -reologia -interpretarea fig. 2.1 (pag. 37): -fluid newtonian -fluid perfect -fluid Bingham
1
Compresibilitatea fluidelorFig. 2.2:
dV = V dp= 1
- coeficient de compresibilitate
Integrarea ecuaiei difereniale conduce la relaia:
V2 = V1 e ( p 2 p1 )
Dac se dezvolt n serie exponeniala rezult expresia n diferene finite:
V = V1 p[] = L2 F 1 unitate de msur: m2/NVariaia cu temperatura Variaia cu presiunea: n majoritatea situaiilor, lichidele se pot considera practic incompresibile, deci =const., iar =0. Interpretare fig. 2.3. Excepie: propagarea undelor de presiune. Ar rezulta c = !
Aplicaii: 2 probleme din Seminarul 2 5. Calculai creterea de presiune necesar producerii unei reduceri relative a unui volum de ap cu 5%. Cum interpretai rezultatul ? Se d 510-10 m2/N.
6. ncercarea etaneitii unui tronson dintr-o conduct de font avnd diametrul D = 200 mm i lungimea L = 500 m se face cu ap la presiunea 7 at (scara manometric). Dup un anumit timp se constat c presiunea apei din conduct a sczut cu 3 at. S se determine volumul de ap pierdut prin neetaneiti. Temperatura apei este de 20oC ( = 4,6810-10 m2/N). Se tie c 1 at = 1 kgf / 1 cm2.
2
Dilatarea termic a fluidelorCoeficientul de dilatare termic:
=
dV 1 V dT
se msoar n 1/K
Integrarea ecuaiei difereniale conduce la relaia: Se prefer expresia n diferene finite:
V2 = V1 e ( T2 T1 )
V = V1 T
DensitateaRelaia de definiie pentru fluide omogene:
=
m V
[] = M L3
unitate de msur: kg/m3
Densitate relativ : fluid de referin Variaia densitii cu temperatura: Anomalia apei !! O alt formul care exprim variaia densitii cu temperatura:;
2 =
1 1 + T
= 1 TTabelul 2.4 Variaia densitii cu presiunea:
= 1 p
Efectul combinat al presiunii i temperaturii (suprapunerea efectelor):
V = V1 ( T p) = 1 ( T + p)Tabelul 2.5
3
AplicaieTrei studeni, pregtindu-se pentru examenul de hidraulic, au intrat ntr-o disput cu privire la formula care exprim variaia densitii unui fluid n raport cu temperatura Considernd c mrimile fr indice exprim starea final, iar mrimile cu indice 0 starea iniial, iat ce susine fiecare:
A) B) C)
=
0 1 + T
= 0 (1 T )
= 0 e T
Cine are dreptate ? De ce ?
Greutatea specificRelaia de definiie pentru fluide omogene:
=
G V
[ ] = M L2 T 2;
unitate de msur: N/m3
Legtura dintre densitate i greutate specific:
= g
4
VscozitateaO proprietate a fluidelor de a se opune micrii / deformrii. Forele datorate vscozitii se manifest ca fore de frecare interioar consum de energie. Fig. 2.4 pentru ilustrarea ipotezei lui Newton coeficient de vscozitate dinamic coeficient de vscozitate cinematic
T = A
= =
dv dn
v n
Legea lui Newton pentru vscozitate:
Semnul lui : pozitiv dac normala suprafeei este n sensul creterii vitezei
Geometric, gradientul vitezei reprezint viteza de deformare a unghiului drept n unitatea de timp. Deosebiri ntre fora de vscozitate i fora de frecare clasic CGS Poise = dyns/cm2 SI Ns/m2 (daP) ST kgfs/m2 m2/s
Stokes = cm2/s
m2/s
Gradul Engler (tolerat) Fig. 2.7: Variaia lui cu temperatura pentru ap, respectiv aer Fluide newtoniene (normal vscoase) Fluide ideale (perfecte) = lipsite de vscozitate
Aplicaia 2.1
1
Tensiunea superficialExperimente simple de fizic de liceu Suprafaa unui lichid se comport ca o membran elastic, uniform solicitat, care tinde permanent s i reduc aria. La suprafaa liber a lichidului, forele moleculare de coeziune se echilibreaz numai parial, dnd o rezultant de compresiune, ndreptat spre interiorul lichidului. dF = dL dW= dA
coeficient de tensiune superficial, se msoar n N/m Fig. 2.12, 2.13 udare perfect
AdeziuneaFore de adeziune = fore de atracie la suprafaa de contact dintre un corp solid i un fluid. Fig. 2.14 menisc concav, menisc convex Grosimea stratului aderent este de ordinul unei sutimi de mm !
CapilaritateaSe manifest n tuburi cu seciune mic sau ntre 2 suprafee de corpuri solide apropiate (ex.: plci plan paralele). Fig. 2.15 Ascensiune / coborre n tuburi capilare Legea lui JURIN
h=
4 d
2
Absorbia i degajarea gazelor. CavitaiaAbsorbia = ptrunderea prin difuzie a gazelor i vaporilor n masa unui lichid. Coeficient de solubilitate = raportul dintre volumul de gaz dizolvat i volumul de lichid care l conine. Aerul dizolvat n ap aerul atmosferic Degajarea gazelor se produce la scderea presiunii sau la creterea temperaturii masei de lichid. Tabelul 2.11: presiunea de vaporizare a apei n funcie de temperatur Efectele distructive ale cavitaiei: mecanice, chimice, termice, electrice
3
Statica fluidelorStare de repaus = fore de inerie zero = viteze nule Asupra masei de fluid n repaus acioneaz doar fore masice i de legtur. Starea de tensiune la fluide n repaus Metoda seciunilor imaginare (fig. 3.1) Presiunea static medie:
pm =
F A
(este un efort unitar mediu)
Diferena dintre presiune medie i presiune punctual (hidrostatic)
Proprietile presiunii hidrostatice: -presiunea este ntotdeauna normal la suprafaa pe care se exercit -presiunile sunt eforturi unitare de compresiune -ntr-un punct al unui fluid n repaus, presiunea are aceeai valoare dup toate direciile (presiunea este deci o mrime scalar care nu depinde de orientarea suprafeei pe care acioneaz, ci numai de poziia punctului considerat !)
Ecuaiile lui Euler din statica fluidelor- sunt ecuaii de echilibru static, care exprim legea de variaie a presiunilor din interiorul unui fluid aflat n stare de repaus, n funcie de poziia punctului considerat. r 1 r 1 n scriere vectorial : f = grad p sau f p = 0 Integrarea ecuaiilor lui Euler Se introduce funcia de potenial
= U
d = f x dx + f y dy + f z dzd + dp =0 - ecuaia fundamental a staticii fluidelor sub form diferenial
Dac = const. (fluid incompresibil), atunci rezult
+
p = const.
1
Proprieti generale ale echilibrului fluidelor -Suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izobare. -Presiunile cresc n direcia scderii potenialului. -Suprafeele echipoteniale sunt i izodense, i izoterme. -Suprafaa de separaie dintre 2 fluide nemiscibile este o suprafa izobar (echipotenial). -ntr-un fluid n repaus, suprafeele echipoteniale nu se intersecteaz.
Legea hidrostaticii n cmp gravitaional terestruFora masic unitar are component doar dup axa z, pe g.
gz +
p = const.
sau
z+
p = const.
Pentru 2 puncte din masa fluidului: p B = p A + (z A z B )Caz particular:
p = p at + h
Observaie legat de aplicare !
Consecine i aplicaii ale legii hidrostaticii-Valoarea presiunii depinde doar de nlimea coloanei de lichid i de densitatea sa (vezi paradoxul hidrostaticii nu forma conteaz, nici volumul !) -Trasarea corect a graficului distribuiei presiunilor pe un perete oarecare (fig. 3.9) -Suprafeele izobare sunt plane orizontale principiul vaselor comunicante -Legea lui Pascal: orice modificare a presiunii ntr-un punct al unui lichid n repaus se transmite nemodificat n toate celelalte puncte ale lichidului. Fig. 3.10: presa hidraulic -Legea hidrostaticii se poate aplica doar pentru o mas de fluid omogen aflat n echilibru atenie la cazul fluidelor nemiscibile (fig. 3.11)
Aplicaia 3.1
2
Interpretarea legii hidrostaticiiGeometric : reprezentare grafic n 2 situaii z = nlime de poziie (sarcin de poziie)
p = nlime piezometric Hp = cot piezometric (sarcin hidrostatic)
Energetic : energia potenial (ca sum dintre energia de poziie i energia de presiune) se conserv.
3
Exprimarea presiunii n 3 scri de msur:-scara absolut (barometric) -scara relativ (manometric) : pat = 0 -scara vacuumetric Fig. 3.15 i 3.16 - foarte importante
Uniti de msur pentru presiuneDefiniii: 1 Atmosfer fizic = 1 At 760 mm Hg 1 atmosfer tehnic = 1 at = 1 kgf / 1 cm2 1 torr 1 mm Hg 1 bar = 105 Pa 1 psi = 1lbf / 1 in2 (1 pound = 1 lb = 0,453 kg ; 1 inch = 2,54 cm)
Aplicaii - tabel din seminarul 3
1
Statica gazelor : 2 cazuri -n ipoteza incompresibilitii gazelor (!) : p = const., deoarece 0 -n general ns, este funcie de presiune i temperatur (ecuaia de stare a gazelor), ceea ce determin o lege de variaie a presiunii de tip exponenial (relaia 3.44).
Msurarea presiunii -instrumente cu lichid (piezometre) -manometre cu piston -instrumente cu element elastic (manometre metalice): cu arc, cu membran, cu burduf -instrumente electrice: piezoelectrice, tensometrice, capacitive etc.
Aplicaie: Problema 7 (Seminar 4) 7. Un sistem hidraulic format din trei cilindri verticali cu diametrele D0 = 0,2 m, D1 = 0,1 m, D2 = 0,15 m conine ap. La suprafaa apei, n fiecare cilindru se afl cte un piston de bronz. nlimile sunt h0 = 0,1 m, h1 = 0,07 m, h2 = 0,05 m. Se consider c pistoanele alunec fr frecare. S se determine cotele absolute Z' ale pistoanelor, cnd sistemul se afl n echilibru. Se cunoate volumul total de ap V = 0,02 m3, iar bronz = 8800 kg/m3. Se neglijeaz volumul apei n tuburile de legtur. R : 0,178 m ; 0,442 m ; 0,618 m
2
Fore de presiuneRezultanta eforturilor unitare de presiune care acioneaz pe suprafaa considerat. pat nu se ia n considerare ! Trebuie determinate: mrimea forei, punctul de aplicaie, direcia i sensul. Volumul presiunilor este egal ca mrime cu fora de presiune. Punctul de aplicaie al forei de presiune este C, centrul de greutate al volumului presiunilor. Aplicaie: Problema 1 (Seminar 5) 1. S se determine fora de (supra)presiune a apei pe un stvilar plan, care nchide un canal triunghiular cu dimensiunile b = 0,8 m i h = 0,9 m. R : 108 kgf
Fore de presiune pe suprafee plane Fig. 3.26: perete nclinat -mrimea forei:
F = zG A = pG A
-punctul de aplicaie:
z 'C = z ' G +
I Gx Sx
unde
S x = z 'G A
Uneori se calculeaz componentele forei de presiune dup axe: relaiile 3.61 i 3.62. Ay reprezint proiecia ariei A pe un plan de normal y. Cazuri particulare: -perete plan orizontal -perete plan vertical Aplicaie pag. 113 (de corectat !)
3
Fore de presiune pe suprafee curbe -se calculeaz pe componente dup axe: relaiile 3.72
Fx = z Gx A x = p Gx A xFy = z Gy A y = p Gy A y
Semnificaia mrimilor: -zGx = distana msurat (pe vertical) de la planul de ap pn n centrul de greutate al proieciei ariei A pe un plan de normal x -Vz = volumul de fluid cuprins n corpul de presiune
Fx = Vz
Corpul de presiune = un cilindru cu generatoare verticale, o baz este A (suprafaa curb), iar cealalt baz este Az din planul manometric. Foarte important: Dac generatoarele verticale intersecteaz suprafaa curb n mai multe puncte, forma corpului de presiune se stabilete innd seama de prile comune de volum i de semnele acestora.
Aplicaie: Problema 7 (Seminar 5) 7. S se determine efortul global la care trebuie calculate mbinrile 1-1 i 2-2, care realizeaz legarea suprafeei sfert de cilindru cu pereii rezervorului. Se dau : R = 1 m, L = 5 m, h1 = 2 m, h2 = 1 m, 1 = 1 kgf/dm3, 2 = 0,8 kgf/dm3. Greutatea proprie a prii sfert de cilindru este G = 500 kgf. R : 22,68 tf
1
Plutirea corpurilor. Legea lui Arhimede Fig. 3.32 Formularea din liceu a legii lui Arhimede
FA = V
se numete portan (sau for arhimedic) i reprezint o for vertical ce trece prin centrul de greutate al volumului de fluid dezlocuit.
Dac corpul este cufundat parial n fluid, se va considera doar volumul imersat. Fig. 3.33: condiii de plutire Plutirea (la suprafa) nseamn egalitatea a 2 fore: G = FA Definiii i noiuni legate de plutirea corpurilor: vezi fig. 3.34 -caren, deplasament, plan de plutire, linie de plutire, ax de plutire, ax longitudinal, pescaj etc.
Aplicaie: Problema 2 (Seminar 6) 2. S se determine pescajul unui con din lemn (L = 800 kg/m3) care plutete n ap. Se d h = 30 cm. R : 0,278 m
2
Stabilitatea corpurilor plutitoare Un plutitor este scos din poziia de echilibru i lsat s oscileze. Curba tuturor centrelor de caren se poate asimila cu un cerc de raz r. Centrul acestui cerc se numete metacentru i se noteaz cu M. Poziia metacentrului pe axa de plutire este o caracteristic geometric i mecanic a plutitorului. Dac M este situat deasupra lui G, plutirea este stabil. Dac M coincide cu G, echilibrul este indiferent. Dac M este situat sub G, plutirea este instabil. Distana dintre C i M se numete raz metacentric = r Distana dintre G i M se numete distan metacentric =
= r CG
r=
I Vcarena
unde I este momentul de inerie al ariei de plutire n raport cu axa cu care se studiaz stabilitatea (de obicei axa longitudinal de plutire)
Deci stabilitatea se poate studia determinnd semnul lui : > 0 => echilibru stabil = 0 => echilibru indiferent < 0 => echilibru instabil
3
Echilibrul relativ al lichidelorParticulele de fluid sunt n micare fa de un sistem de referin fix Suprafaa liber a lichidului nu mai este plan i orizontal ! Apar deci fore de inerie care trebuie luate n calcul. 2 lucruri sunt necesare a fi determinate: - legea de variaie a presiunilor din masa de lichid - ecuaia suprafeelor izobare
Echilibrul relativ de translaieFig. 3.40: dup o direcie orizontal Se obine o lege de variaie a presiunilor de aceeai form ca n cazul repausului absolut. Ecuaia suprafeelor izobare ntr-o seciune de tip xOz: - familie de drepte cu coeficient unghiular m = tg = a g
a C z = x + g g
Aplicaiile se rezolv folosind noiuni simple de geometrie analitic Ce se ntmpl dup o direcie nclinat ?
Echilibrul relativ de rotaieFig. 3.42: n jurul unei axe verticale Se obine o lege de variaie a presiunilor de aceeai form ca n cazul repausului absolut Ecuaia suprafeelor izobare: familie de paraboloizi de rotaie n jurul axei Oz verticale i cu vrful la cota z0:
z = z0 +
2 2 r 2g
Cota z0 rezult din condiia de conservare a volumului ! Ce se ntmpl la rotaia n jurul unei axe orizontale ? Aplicaii tehnice ale echilibrului relativ: accelerometrul i tahometrul
1
Aplicaie: Problema 6 (Seminar 6) 6. Un rezervor conic de raz R i nlime H, iniial plin cu ap, ncepe s se roteasc n jurul axei proprii. Se cere s se determine viteza unghiular , astfel nct suprafaa liber a lichidului s devin tangent la suprafaa lateral a rezervorului la partea lui superioar. S se calculeze n acest caz volumul de ap care se pierde din rezervor.gH R
R:
=
3 V 4
Cinematica fluidelorMicarea fluidului este considerat ca micarea unui sistem continuu de particule fluide (!) care ocup n ntregime spaiul n care se afl fluidul. Particula fluid este asimilat cu punctul material din mecanica teoretic. 2 sisteme de reprezentare a micrii: Lagrange i Euler Sistemul de reprezentare Lagrange -studiaz micarea fiecrei particule n lungul traiectoriei sale, raportat la un sistem de axe fix. Coordonatele particulei n momentul iniial (a, b, c) sunt variabile independente (se numesc variabilele lui Lagrange). Sistemul de reprezentare Euler -studiaz parametrii micrii tuturor particulelor care trec printr-un punct fix din spaiu, n timp. Coordonatele punctului considerat sunt variabile independente !
2
Asemnri, deosebiri concluzii pag. 135 Ipotezele lui Helmholtz : descompunerea micrii unei particule fluide Rotorul vitezelor : pag. 139 micri rotaionale / irotaionale
Mrimi i noiuni specifice micrii fluidelor-linie de curent: condiia de tangen a vitezelor ! -traiectorie -tub de curent -suprafa de curent -suprafa de control -vitez local -seciune vie -debit -fir de curent -linie trasoare
-viteza medie a curentului -perimetru udat -raza hidraulic -vrtej
Clasificarea micrii fluidelor -micri permanente i nepermanente -micri tridimensionale, bidimensionale, unidimensionale -micri uniforme i neuniforme -micri paralele i neparalele -micri sub presiune i micri cu suprafa liber -micri laminare i micri turbulente
3
Micri laminare i micri turbulenteFig. 4.24 i 4.25: Punerea n eviden a fenomenului Micarea laminar: ordonat, n straturi paralele, aspect telescopic n conducte circulare Micarea turbulent: dezordonat, straturile se ncrucieaz, apar vrtejuri, consum energetic sporit Fig. 4.23: Distribuia vitezelor ntr-o conduct circular pentru cele 2 tipuri de micri Important: n domeniul instalaiilor, n marea majoritate a cazurilor, micarea este turbulent ! Criteriul Reynolds
Re D =
VD
Trecerea de la micarea laminar la cea turbulent are loc la valoarea critic 2300 (conducte circulare !)
2 fenomene specifice micrii turbulente: -difuzia turbulent: caracterul spaial al micrii, deplasri uneori perpendiculare pe direcia de curgere -pulsaia vitezei: chiar n ipoteza unui regim permanent, se constat c viteza prezint variaii rapide n jurul unei valori mediirezult o uniformizare a vitezei n smburele central al curgerii i o variaie rapid ntr-un strat foarte subire d0 lng perete. Modelarea micrilor turbulente Se dorete nlturarea formal a vitezelor de pulsaie se consider macroparticule schema simplificat Boussinesq-Reynolds. n micarea turbulent, efortul tangenial are 2 componente: una vscoas i una turbulent.
1
Ecuaia de continuitateForma general:
r + div(v) = 0 t
Pentru micarea permanent i fluide incompresibile: Cazul tubului de curent Forma general:
v x v y v z + + =0 x y z
(Q) (A) + =0 l tQ =0 ladic
Pentru micarea permanent i fluide incompresibile: debitul rmne constant n lungul tubului de curent. Pe scurt, Q = AV = const. Ecuaia de continuitate n noduri/ramificaii:
Q
i
=0
Debit volumic, debit masic, debit de greutate ATENIE
Dinamica fluidelorEcuaiile de micare tip Euler comparaie cu statica Integrarea ecuaiilor de micare Dac determinantul de = 0, ecuaiile lui Euler admit ca soluie integrala lui Bernoulli. 4 cazuri n care acest determinant este nul: -micare irotaional -micare n lungul unei linii de curent -micare n lungul unei linii de vrtej -micare elicoidal. Ecuaia lui Bernoulli n cmp gravitaional (micare permanent, fluid incompresibil)
z+
p v2 + = H = const. 2g
2
Legea lui Bernoulli se scrie de obicei pentru 2 seciuni consecutive n lungul firului de curent. Semnificaia celor 3 termeni din ecuaie: a) energii specifice -energie specific de poziie p -energie specific de presiune z+ -energie specific potenial -energie specific cinetic Ecuaia lui Bernoulli este o lege de conservare a energiei b) nlimi -nlime de poziie -nlime piezometric -nlime cinetic Reprezentarea grafic a legii lui Bernoulli fig. 5.3 Fig. 5.4 - linii caracteristice: linia piezometric i linia energetic
Alte forme ale legii lui Bernoulli -presiune hidrodinamic, presiune de impact (dinamic sau de stagnare)
Aplicaii:-Sondele pentru msurarea vitezelor -Venturimetrul
3
Cazul fluidelor reale
E1 E 2 = E
Ecuaia energiei pentru un fir de fluid real n micare permanentz1 + p1 v1 p v + = z 2 + 2 + 2 + h r12 2g 2g2 2
Fig. 5.10 foarte important Panta hidraulic
Ecuaia energiei pentru un tub de fluid real n micare permanentv=kV vezi fig. 5.11 Coeficientul lui Coriolis= 1 3 k dA AA2
Ce valori poate s aib ?2
n final se obine
z1 +
p1 V1 p V2 + = z2 + 2 + + h r12 2g 2g
2 observaii dup relaia 5.46 Linii caracteristice : fig. 5.12
Ecuaia energiei pentru cureni unidimensionali n micare nepermanentApare un termen nou, de tip pierderi, numit nlime inerial (cuantific energia consumat pentru variaia vitezelor locale n timp).
hi =
l V g t
unde
=
+2 3
Evident se traseaz i o nou linie caracteristic, linia inerial.
Ecuaia energiei pentru conducte pe care sunt montate maini hidrauliceApare un termen de corecie H* - reprezint schimbul de energie care se produce ntre curentul de fluid i main. Semnul lui H* ! Cazul turbinei, cazul pompei
1
Relaii generale de calcul la curenii de fluid compresibil n micarea permanent (gaze)3 variabile n loc de 2 (deoarece densitatea nu este constant), ca urmare sunt necesare 3 ecuaii: -ecuaia de continuitate -ecuaia de stare fizic a fluidului -relaia de bilan energetic
Integrarea ecuaiilor de micare a fluidelor vscoaseNu exist metode generale de integrare ! Se impun urmtoarele categorii de condiii: -condiii iniiale -condiii geometrice de contur -condiii legate de caracteristicile fluidului -condiii cinematice i dinamice
Condiii iniiale -au sens doar pentru micrile nepermanente -descriu cmpul de viteze i presiuni la un moment dat Condiii geometrice de contur -legate de forma pereilor rigizi care delimiteaz domeniul curgerii -problema intern, problema extern -pericolul apariiei discontinuitilor Condiii legate de caracteristicile fluidului -densitate i vscozitate -adeziune -strat limit Condiii cinematice i dinamice -pentru viteze, respectiv presiuni pe anumite frontiere ale micrii
2