curriculum dell’attivita scientifica e … di ricerca all’estero 1.in visita presso l’institut...

CURRICULUM DELL’ATTIVITA SCIENTIFICA E DIDATTICA

RICCARDA ROSSI

Coordinate

Nome: Riccarda Ida Paola;Cognome: Rossi;Luogo di nascita: Cremona (CR);Data di nascita: 29 Novembre 1977;Residenza: Via Gradisca, 6 - 26100 Cremona;Cittadinanza: Italiana;Ufficio: Dipartimento di Matematica dell’Universita di Brescia, Via Valotti, 9 - 25133 Brescia;Recapito telefonico: ufficio: +39-030-3715721;E-mail: [email protected] web: http://dm.ing.unibs.it/∼rossi

Posizione attuale

Ricercatrice di Analisi Matematica presso la Sezione di Matematica del Dipartimento di IngegneriaCivile, Architettura, Territorio, Ambiente e Matematica (DICATAM) dell’Universita di Brescia apartire dal 07/07/2006. Confermata in ruolo a decorrere dal 07/07/2009. Dal 01/03/2012, associatadi ricerca all’Istituto IMATI–CNR di Pavia.

Formazione

• Maturita Linguistica, conseguita presso il Liceo-Ginnasio Statale “D. Manin” di Cremonanell’anno scolastico 1995/96, con la votazione di 60/60 con menzione di merito.

• Laureata in Matematica presso l’Universita di Pavia, con la votazione finale di 110/110 elode, con la tesi di laurea “Misure di Young in dimensione infinita e applicazioni ai problemidi evoluzione”, relatore Prof. Giuseppe Savare, discussa il 26/09/2000.

• Alunna della Scuola Universitaria Superiore di Pavia negli anni accademici 1997/98, 1998/99,1999/2000; diplomata con lode in data 22/11/2000.

• Dottoranda di Ricerca in Matematica, XVI Ciclo, presso l’Universita degli Studi di Milano,dall’1/11/2000 al 02/02/2005; titolare della borsa di studio dall’1/11/2000 al 31/10/2004.

• Titolo di Dottore di Ricerca conseguito il 02/02/2005, con la tesi “Existence and compactnessresults for evolution equations and applications to phase field models”. Relatore della tesi:Prof. Giuseppe Savare.

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Posizioni Post-Doc

Assegnista di ricerca presso il Dipartimento di Matematica dell’Universita di Brescia dal 01/11/2004al 06/07/2006.

Premi

• Vincitrice del Premio di studio della Scuola Universitaria Superiore di Pavia per l’A.A.1998/1999.

• Vincitrice del Premio di studio della Scuola Universitaria Superiore di Pavia per l’A.A.1999/2000.

• Vincitrice del Premio di laurea “Luigi Berzolari” per i laureati in Matematica (nel biennio1999/2000 e 2000/2001) dell’Universita di Pavia, nel Novembre 2002.

Esperienze di ricerca all’estero

1. In visita presso l’Institut fur Analysis, Dynamik und Modellierung dell’Universita di Stoc-carda, per una collaborazione scientifica con il Prof. Alexander Mielke, nei mesi di Aprile-Luglio 2004, durante i quali ho fruito di un contratto di ricerca nell’ambito del ResearchTraining Network (project HPRN-CT-2002-00284)“Smart Systems - New Materials, Adap-tive Systems and their Nonlinearities: Modelling, Control and Numerical Simulation”;

2. in visita presso il Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics (WIAS) diBerlino, per una collaborazione scientifica con il Prof. A. Mielke, dal 28/11/2005 al 9/12/2005;


4. in visita presso il Dipartimento di Matematica dell’Universita di Poitiers dal 09/06/2008 al20/06/2008 per una collaborazione scientifica con il Prof. Alain Miranville, finanziata dal Pro-getto Galileo 2007-2008 “Modelli matematici in scienza dei materiali –“Modeles mathematiquesen science des materiaux”;

5. in visita presso il Dipartimento di Matematica dell’Univerzita Karlova v Praze, Praga, dal01/04/2009 al 30/04/2009, per una collaborazione scientifica con il Prof. Tomas Roubıcek,con una borsa post-doc del Necas Center ;


7. usufruendo di una post-doc del Necas Center con durata nominale dal 15/03/2010 al 15/04/2010,sono stata in visita presso il Dipartimento di Matematica dell’Univerzita Karlova v Praze,Praga, per una collaborazione scientifica con il Prof. T. Roubıcek:

• dal 22/03/2010 al 26/03/2010;

• dal 04/04/2011 al 15/04/2011;

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10. usufruendo di un contratto di ricerca con durata nominale dal 01/05/2011 al 31/05/2011, sonostata in visita presso il Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics (WIAS) diBerlino, per una collaborazione scientifica con il Prof. A. Mielke,

• dal 23/05/2011 al 03/06/2011;

• dal 08/09/2011 al 23/09/2011;

11. in visita presso il Centre for Mathematics / M6 della Technische Universitat Munchen, dal08/06/2011 al 10/06/2011.

Partecipazione a Scuole

• Scuola estiva “Multiscale problems in nonlinear analysis”, Center for Nonlinear Anal-ysis della Carnegie Mellon University di Pittsburgh, USA, dal 30 Maggio al 9 Giugno 2001;

• scuola “Alcuni temi di analisi matematica non lineare”, Dipartimento di Matematicadell’Universita di Trento, dal 3 all’8 Febbraio 2002;

• scuola “Spring School on Calculus of Variations”, Scuola Normale Superiore di Pisa,dal 20 al 25 Maggio 2002;

• scuola “Mass Transportation Problems and Applications”, nell’ambito del ciclo an-nuale degli Oberwolfach Seminars, Mathematisches Forschungsinstitut di Oberwolfach (Ger-mania), dal 13 al 19 Ottobre 2002;

• scuola estiva CIME “Hyperbolic systems of balance laws”, Cetraro (Cosenza), dal 13al 21 Luglio 2003;

• scuola “Lectures on transport equations and multi-d hyperbolic conservation laws”,Dipartimento di Matematica dell’Universita di Bologna, dal 17 al 20 Gennaio 2005;

• scuola estiva CIME “Nonlinear PDEs and Applications”, Cetraro (Cosenza), dal 22 al28 Giugno 2008;

• scuola GNAMPA “Optimal transportation, geometry and functional inequalities”,Pisa, dal 28 al 31 Ottobre 2008.

Comunicazioni a workshops e convegni

1. Analisi asintotica del modello di phase-field di Caginalp al tendere a zero didue parametri di rilassamento temporale , al convegno “Materiali speciali e memorie:problemi modellistici e analitici”, Salo, 4-6 Luglio 2002;

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2. Existence results for quasistationary phase field models: a gradient flow ap-proach , al convegno “Problemi a frontiera libera nelle scienze applicate”, Montecatini, 10-11Aprile 2003;

3. Buona positura e analisi asintotica per un sistema di phase field di tipo Penrose-Fife , al convegno “Salo 2003. Materiali speciali e memorie: Problemi modellistici e analitici”,Salo, 3-5 Luglio 2003;

4. Risultati di esistenza per modelli di campo di fase quasistazionari e gradientflows non convessi , al “XVII Congresso UMI”, Milano, 8-13 Settembre 2003;

5. Compactness results for evolution equations, al convegno “Evolution Problems. Inmemory of Brunello Terreni”, Rapallo, 26-27 Marzo 2004;

6. Risultati di esistenza e unicita per una classe di problemi quasivariazionali , alconvegno “Salo 2004. Modelli matematici e problemi analitici per materiali speciali”, Salo,15-17 Luglio 2004;

7. Well-posedness results for two classes of generalized viscous Cahn-Hilliard equa-tions, al convegno “Dissipative Models in Phase Transitions”, Cortona, 6-10 Settembre 2004;

8. Existence and uniqueness results for rate-independent problems, al convegno in-ternazionale “Free Boundary Problems: Theory and Applications”, Coimbra, 7-12 Giugno2005;

9. Existence and uniqueness results for a class of rate-independent problems, al con-vegno “Modellizzazione matematica ed analisi dei problemi a frontiera libera”, Montecatini,29-30 Settembre 2005;

10. Existence and long-time behaviour for gradient flows of non convex functionals,al workshop “Dynamics of Phase Transitions”, WIAS, Berlino, 30 Novembre - 3 Dicembre2005;

11. Gradient flows of non convex functionals: existence and long-time behaviour re-sults, al convegno “AIMS’ Sixth International Conference on Dynamical Systems, DifferentialEquations and Applications”, Poitiers, 25-28 Giugno 2006;

12. Global attractors for gradient flows in metric spaces, al convegno “Recent advancesin Free Boundary Problems and related topics”, Levico, 14-16 Settembre 2006;

13. Existence and uniqueness results for a class of rate-independent hysteresis prob-lems, al convegno “European Conference on Smart Systems”, Roma, 26-28 Ottobre 2006;

14. Equazioni doppiamente non lineari in spazi metrici , al convegno “Giornate di Lavorosu Questioni di Teoria Geometrica della Misura e di Calcolo delle Variazioni”, Levico, 4-9Febbraio 2007;

15. Vanishing viscosity approximation of rate-independent problems, al convegno “EQUA-DIFF 07”, Vienna, 5-11 Agosto 2007;

16. Un approccio variazionale a problemi rate-independent con isteresi , al “XVIII Con-gresso UMI”, Bari, 24-29 Settembre 2007;

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17. A vanishing viscosity approach to rate-independent modelling in metric spaces,al workshop “Rate-independence, Homogenization and Multiscaling”, Pisa, 14-17 Novembre2007;

18. Some results on the vanishing viscosity approximation of rate-independent pro-blems al workshop “Modeles Mathematiques en science des materiaux”, Poitiers, 12 Giugno2008;

19. Thermal effects in adhesive contact al convegno “XVI Symposium on the Trends of theApplications of Mathematics to Mechanics”, Levico, 22-25 Settembre 2008;

20. Interazione di norme L2 e L1 in evoluzioni rate-independent al convegno “XIXConvegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni”, Levico, 08-13 Febbraio 2009;

21. Analysis of a model for adhesive contact with thermal effects al workshop “Mathe-matical Models and Analytical Problems for Special Materials”, Brescia, 09-11 Luglio 2009;

22. On the Cahn-Hilliard equation with a chemical potential dependent mobility alconvegno “AIMS’ Eighth International Conference on Dynamical Systems, Differential Equa-tions and Applications”, Dresda, 25-28 Maggio 2010;

23. Some results on the vanishing viscosity approach to rate-independent modelling alworkshop “Rate-independent systems: Modeling, Analysis, and Computations”, BIRS, Banff(Canada), 29 Agosto-3 Settembre 2010;

24. Funzionali WED per flussi gradiente in spazi metrici: il caso convesso al convegno“XXI Convegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni”, Levico, 06-11 Febbraio 2011;

25. BV solutions and viscosity approximations of rate-independent systems al con-vegno “HMM2011 – Hysteresis Modelling and Micromagnetics”, Levico, 09-11 Maggio 2011;

26. Analysis of a model for adhesive contact with friction al workshop “Phase separation,damage and fracture”, WIAS, Berlino, 21-23 Settembre 2011;

27. A variational principle for gradient flows in metric spaces al workshop “VariationalModels and Methods for Evolution”, Levico, 10-12 Settembre 2012;

28. Analysis of a degenerating PDE system for phase transitions and damage al con-vegno “ADMAT 2012 – PDEs for multiphase advanced materials”, Cortona, 17-21 Settembre2012;

29. Analysis of a degenerating PDE system for damage in thermoviscoelastic mate-rials, al convegno “GAMM 2013 – 84th Annual Meeting of the International Association ofApplied Mathematics and Mechanics”, Novi Sad, 18–22 Marzo 2013.

Posters a workshops e convegni

1. Existence of solutions to quasistationary phase-field systems al convegno inter-nazionale “Free Boundary Problems: Theory and Applications”, Trento, 5-8 Giugno 2002.

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Seminari presso universita e centri di ricerca

1. Gradient flows of nonconvex functionals in Hilbert spaces, presso il MathematischesForschungsinstitut di Oberwolfach, il 17 Ottobre 2002;

2. Existence results for gradient flow equations for non convex functionals in Hilbertspaces and applications, presso l’Institut fur Analysis, Dynamik und Modellierung dellaFacolta di Matematica dell’Universita di Stoccarda, il 29 Aprile 2004;

3. Equazioni doubly nonlinear e problemi rate-independent in spazi metrici , pressol’istituto IMATI-CNR di Pavia, il 08 Novembre 2005;

4. Equazioni doppiamente nonlineari in spazi metrici e applicazioni ai problemirate-independent , presso il Dipartimento di Matematica dell’Universita di Trento, il 9 Gen-naio 2006;

5. Long-time behaviour of gradient flows in metric spaces, presso il WIAS, Berlino, il31 Gennaio 2007;

6. A variational approach to doubly nonlinear and rate-independent evolutions,presso il Dipartimento di Matematica dell’Univerzita Karlova v Praze, Praga, il 20 Aprile2009;

7. Interplay of viscosity and dry friction in rate-independent evolutions with non-convex energies, presso il WIAS, Berlino, il 22 Aprile 2009;

8. Analysis of a rate-independent model for adhesive contact with thermal effects,presso il Dipartimento di Matematica dell’Univerzita Karlova v Praze, Praga, il 22 Marzo2010;

9. Analysis of adhesive contact with thermal effects, presso il WIAS, Berlino, il 05 Maggio2010;

10. WED functionals for gradient flows in metric spaces: the convex case , presso ilWIAS, Berlino, il 23 Febbraio 2011;

11. Analysis of doubly nonlinear evolution equations driven by nonconvex energies,presso il Dipartimento di Matematica dell’Univerzita Karlova v Praze, Praga, il 11 Aprile2011;

12. A model for adhesive contact with friction , presso il WIAS, Berlino, il 25 Maggio 2011;

13. The WED approach to gradient flows in metric spaces: the convex case , presso ilCentre for Mathematics / M6 della Technische Universitat Munchen, il 09 Giugno 2011;

14. L’approccio per vanishing viscosity all’evoluzione rate-independent , presso l’istitutoIMATI-CNR di Pavia, il 27 Aprile 2012.

Organizzazione di convegni

1. Collaborazione all’organizzazione del Workshop INdAM “Harnack inequalities and positivityfor solutions of partial differential equations”, Cortona, 12–18 Giugno 2005.

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2. Organizzazione del Convegno Internazionale “INDI2011 – Interfaces and Discontinuities inSolids, Liquids, and Crystals”, Gargnano, 19–23 Giugno 2011.

3. Organizzazione del Young Researchers’ Minisymposium Analytical and engineering aspectsin the material modeling of solids, al convegno GAMM 2013 – 84th Annual Meeting of theInternational Association of Applied Mathematics and Mechanics, Novi Sad, 18–22 Marzo2013.

Partecipazione a progetti di ricerca nazionali e internazionali

Progetti COFIN/PRIN:

1. PRIN 2002: “Problemi di frontiera libera nelle scienze applicate” (coordinatore nazionale:A. Visintin; partecipazione all’unia locale con sede all’Universita di Pavia). Durata: 24 mesi.

2. PRIN 2004: “Modellizzazione Matematica ed Analisi dei Problemi a Frontiera Libera” (co-ordinatore nazionale: A. Visintin: partecipazione all’unita locale con sede all’Universita diPavia). Durata: 24 mesi.

3. PRIN 2006: “Metodi variazionali nella teoria del trasporto ottimo di massa e nella teoriageometrica della misura” (coordinatore nazionale: L. Ambrosio; partecipazione all’unita localecon sede all’Universita di Pavia). Durata: 24 mesi.

4. PRIN 2008: “Trasporto ottimo di massa, disuguaglianze geometriche e funzionali e ap-plicazioni” (coordinatore nazionale: L. Ambrosio; partecipazione all’unita locale con sedenell’Universita di Pavia). Durata: 30 mesi.

5. PRIN 2010–2011: “Calcolo delle Variazioni” (coordinatore nazionale: G. Dal Maso; parteci-pazione all’unita locale con sede nell’Universita di Pavia). Durata: 36 mesi.

Progetti GNAMPA:

1. GNAMPA 2006: Proprieta strutturali di fenomeni diffusivi (coordinatore: Ugo Gianazza).Durata: 12 mesi.

2. GNAMPA 2009: Analisi matematica di formulazioni energetiche ed entropiche per probleminon-smooth in termomeccanica (coordinatore: Elena Bonetti). Durata: 12 mesi.

3. GNAMPA 2010: Analisi di fenomeni dissipativi nella meccanica dei materiali (coordinatore:Riccarda Rossi) Durata: 12 mesi.

4. GNAMPA 2011: Modelli Variazionali Multiscala in Elasticita e Plasticita (coordinatore:Marcello Ponsiglione). Durata: 12 mesi.

5. GNAMPA 2012: Problemi variazionali in scienza dei materiali: applicazioni a plasticit, frat-tura, danneggiamento e meccanica dei film sottili (coordinatore: Alessandro Giacomini). Du-rata: 12 mesi.

Progetti internazionali:

1. partecipante, come studentessa di dottorato, al Research Training Network (project HPRN-CT-2002-00284)“Smart Systems - New Materials, Adaptive Systems and their Nonlinearities:Modelling, Control and Numerical Simulation”. Durata: 48 mesi.

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2. Progetto Galileo 2007-2008 “Modelli matematici in scienza dei materiali –“Modeles mathematiquesen science des materiaux” nell’ambito del Programma Galileo di cooperazione scientificaItalia-Francia. Durata: 12 mesi.

3. Progetto Comune di Ricerca CNR–JSPS (Japan Society for the Promotion of Science) “In-novative variational methods for evolution PDEs, 2012-2013”. Durata: 24 mesi.

Esperienze come referee

Referee per le riviste:

1. “Mathematical Methods in the Applied Sciences” (dal Marzo 2005);

2. “Advances in Mathematical Sciences and Applications” (dal Settembre 2006);

3. “Discrete and Continuous Dynamical Systems A” (dall’Ottobre 2007);

4. “Applications of Mathematics” (dal Gennaio 2008);

5. “Bollettino dell’Unione Matematica Italiana” (dal Novembre 2008);

6. “SIAM Journal on Mathematical Analysis” (dall’Aprile 2009);

7. “Journal of Differential Equations” (dal Giugno 2009);

8. “Discrete and Continuous Dynamical Systems S” (dal Luglio 2009);

9. “Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae” (dal Settembre 2010);

10. “Calculus of Variations and Partial Differential Equations” (dall’Aprile 2011);

11. “SIAM Journal on Applied Analysis” (dal Giugno 2011);

12. “Journal of Mathematical Analysis and Applications” (dal Settembre 2011).

Referee per la tesi di dottorato “Weak solutions to rate-independent systems: Existence and Reg-ularity” di Mach Nguyet Minh, Universita di Pisa, Luglio 2012.

Collaborazioni editoriali

• Collaborazione all’editing del libro Free Boundary Problems. Theory and Applications, ed. P.Colli, C. Verdi, A. Visintin, ISNM 147, Birkhauser, Basel, 2004.

• Collaborazione all’editing del libro “Dissipative Phase Transitions”, ed. P. Colli, N. Kenmochi,J. Sprekels, Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, Vol. 71, World Sci.Publ., Hackensack, NJ, 2006.

• Guest editor per Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series S (Vol. 6, No. 2,Aprile 2013).

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ATTIVITA DIDATTICA

Tutorati.

1. A.A. 1998/1999: svolgimento di attivita di tutorato per il corso di Geometria II, corso dilaurea in Matematica, Universita di Pavia;

2. A.A. 1999/2000: tutorato per il corso di Istituzioni di Matematica, corso di laurea inBiologia, Universita di Pavia.

Esercitazioni.

1. A.A. 2000/2001, II semestre: svolgimento di complementi alle esercitazioni del corso di Anal-isi Matematica I, corso di laurea in Informatica, Universita di Milano;

2. A.A. 2001/2002, I sem.: esercitazioni del corso di Analisi A , corsi di laurea in IngegneriaElettrica, Elettronica, Energetica e Informatica, Universita di Pavia;

3. A.A. 2001/2002, II sem.: esercitazioni del corso di Analisi B, corso di laurea in IngegneriaBiomedica, Politecnico di Milano;

4. A.A. 2002/2003, I sem.: esercitazioni del corso di Analisi A, corsi di laurea in IngegneriaElettrica, Elettronica, Energetica e Informatica, Universita di Pavia;

5. A.A. 2002/2003, II sem.: esercitazioni del corso di Analisi B, corso di laurea in IngegneriaElettronica, Politecnico di Milano;

6. A.A. 2003/2004, I sem.: esercitazioni del corso di Analisi A, corsi di laurea in IngegneriaElettrica, Elettronica, Energetica e Informatica, Universita di Pavia;

7. A.A. 2005/2006, II quadrimestre: esercitazioni del corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria,corsi di laurea specialistica in Ingegneria Meccanica, dei Materiali, Civile, Elettronica, e delleTelecomunicazioni, Universita di Brescia;

8. A.A. 2006/2007, II quadr.: esercitazioni del corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria,corsi di laurea specialistica in Ingegneria Meccanica, dei Materiali, Civile, Elettronica, e delleTelecomunicazioni, Universita di Brescia;

9. A.A. 2007/2008, II quadr: esercitazioni del corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria,corsi di laurea specialistica in Ingegneria Meccanica, dei Materiali, Civile, Elettronica, e delleTelecomunicazioni, Universita di Brescia;

10. A.A. 2007/2008, II quadr.: esercitazioni del corso di Analisi B, corso di laurea in IngegneriaMeccanica e dell’Automazione Industriale, Universita di Brescia;


12. A.A. 2009/2010, I sem.: esercitazioni del corso di Analisi II, corso di laurea in IngegneriaMeccanica e dell’Automazione Industriale, Universita di Brescia;

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14. A.A. 2010/2011, I sem.: esercitazioni del corso di Analisi II, corso di laurea in IngegneriaMeccanica e dell’Automazione Industriale, Universita di Brescia;

15. A.A. 2011/2012, I sem.: esercitazioni del corso di Analisi II, corso di laurea in IngegneriaMeccanica e dell’Automazione Industriale, Universita di Brescia.

Per ognuno dei corsi di cui ho tenuto le summenzionate esercitazioni, ho partecipato alle commis-sioni d’esame.

Titolarita di corsi.

1. A.A. 2004/2005, mesi di Marzo-Aprile 2005: titolare del corso integrativo di Com-plementi di analisi di funzioni di piu variabili, nell’ambito dell’insegnamento di AnalisiC, corsi di laurea di Ingegneria Civile, Meccanica e Ambientale, Universita di Pavia;

2. A.A. 2006/2007, primo semestre: titolare del corso di Matematica–Analisi Mate-matica, primo anno del corso di laurea in Disegno Industriale, Universita di Brescia;




6. A.A. 2009/2010, secondo quadrimestre: titolare del corso di Analisi funzionale peril dottorato in Metodi e Modelli Matematici per l’Ingegneria, attivato presso la Facolta diIngegneria dell’Universita di Brescia;

7. A.A. 2010/2011, primo semestre: titolare del corso di Analisi Matematica 1, corso dilaurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio, Universita di Brescia;

8. A.A. 2010/2011, secondo quadrimestre: titolare del corso di Analisi funzionaleper il dottorato in Metodi e Modelli Matematici per l’Ingegneria, Facolta di Ingegneriadell’Universita di Brescia;

9. A.A. 2011/2012, primo semestre: titolare del corso di Analisi Matematica 1, corso dilaurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio, Universita di Brescia;

10. A.A. 2011/2012, secondo quadrimestre: titolare del corso di Analisi funzionaleper il dottorato in Metodi e Modelli Matematici per l’Ingegneria, Facolta di Ingegneriadell’Universita di Brescia.

Dall’A.A. 2012/2013, membro del Collegio Docenti del Dottorato in Metodi e ModelliMatematici per l’Ingegneria, Facolta di Ingegneria dell’Universita di Brescia.

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ATTIVITA DI RICERCA

Temi di ricerca

I miei interessi scientifici possono essere indicativamente raggruppati in queste tre categorie:

1. risultati di compattezza per problemi di evoluzione;

2. equazioni di evoluzione astratte in spazi di Banach e spazi metrici;

3. analisi di sistemi rate-independent ;

4. problemi analitici per modelli di transizione e di separazione di fase;

5. analisi di modelli per il contatto con adesione.

Nel seguito, per illustrare la mia attivita di ricerca cerchero di inquadrare brevemente la tipologiadi problemi di cui mi sono occupata nell’ambito di ciascuno di questi temi di ricerca, dando even-tualmente opportuni cenni bibliografici. Sviluppero poi una descrizione piu dettagliata dei relativilavori scientifici. Le pubblicazioni a cui si fa riferimento sono numerate come nel successivo elenco.

1. RISULTATI DI COMPATTEZZA PER PROBLEMI DI EVOLUZIONE

A partire dal lavoro di ricerca per la tesi di Laurea, e in collaborazione con il mio relatore, G.Savare, ho sviluppato alcune applicazioni della teoria delle misure di Young alle equazioni allederivate parziali, e, in particolare, al problema della caratterizzazione della compattezza negli spazidi funzioni Lp(0, T ;B), con 1 ≤ p <∞ e B uno spazio di Banach separabile.

Le misure di Young sono state introdotte da L.C. Young alla fine degli anni ’30 per analizzareil comportamento oscillatorio delle successioni minimizzanti in alcuni problemi variazionali nonconvessi. La tipologia di problemi considerati da Young si presenta tipicamente nel Calcolo delleVariazioni e nel Controllo Ottimale, ambiti ai quali l’applicazione della teoria delle misure di Younge stata sostanzialmente confinata fino alla meta degli anni ’70. Risale infatti a quegli anni il lavorodi L. Tartar sul metodo della compattezza per compensazione, (si veda ad esempio [Compensatedcompactness and partial differential equations, in “Nonlinear analysis and Mechanics: Heriot-WattSymposium”, Vol. IV, R. Knops ed., Pitman, 1979, 136–212.]), nel quale Tartar utilizza tecnichedi compattezza basate sulla teoria delle misure di Young per lo studio delle leggi di conservazione.Il fondamentale contributo di Tartar ha di fatto messo in luce la duttilita della teoria delle misuredi Young, e la loro applicabilita ai problemi legati allo studio delle equazioni alle derivate parzialinon lineari.

In tale ambito, e in effetti di grande interesse lo studio dei fenomeni oscillatori connessi allaconvergenza debole di successioni, soprattutto in relazione al cosiddetto “metodo di compattezza”per problemi di evoluzione non lineari (cf. [J.L. Lions, “Quelques Methodes de Resolution desProblemes aux Limites non Lineaires”, Dunod, Gauthiers-Villars, Paris, 1969]). Piu precisamente,grazie alla teoria delle misure di Young e spesso possibile risolvere il problema del passaggio allimite per funzionali non lineari applicati alle successioni approssimanti la soluzione dell’equazione,per le quali si ha in genere a disposizione solo una convergenza debole.

Infatti, un fondamentale risultato di compattezza della teoria delle misure di Young garantisceche, a meno di estrarre sottosuccessioni, e possibile associare ad ogni successione debolmente con-vergente in uno spazio Lp una misura di Young “limite”: tale “limite generalizzato” fornisce di

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fatto informazioni sul comportamento asintotico di opportuni funzionali applicati alla successione.I risultati dei lavori [1] e [2] si collocano proprio in questo ordine di idee.

Lavori [1] e [2]: In [1] viene presentata una estensione di un risultato di compattezza in spaziLp e di Sobolev (a valori in uno spazio di Banach), dimostrato da S. Luckhaus [Solutions of thetwo phase Stefan problem with the Gibbs-Thomson law for the melting temperature, Euro. J. Appl.Math. 1 (1990), 395–404] nell’ambito dell’analisi di un problema ai limiti per un sistema evolutivo“quasistazionario”. Tale sistema rientra nel quadro della modellizzazione di alcuni fenomeni ditransizione di fase che verra richiamata anche in seguito. In [1], il problema di compattezza risoltoda Luckhaus e stato riesaminato alla luce della teoria delle misure di Young: questa rilettura hapermesso di ottenere una generalizzazione del suddetto risultato di Luckhaus, nella fattispecie unteorema di compattezza che puo essere applicato a una piu ampia classe di problemi di transizionedi fase, descritti da sistemi di equazioni alle derivate parziali accoppiate a condizioni al bordo su unaporzione di frontiera dipendente dal tempo. In [1] vengono anche dati altri risultati di compattezzaLp, anch’essi ottenuti per mezzo della teoria delle misure di Young.

Nel lavoro [2], viene affrontato il piu generale problema della caratterizzazione della compattezza(rispetto alla topologia forte), negli spazi Lp(0, T ;B). A partire dagli anni ’60, sono state infattiproposte svariate caratterizzazioni della compattezza di una successione in Lp(0, T ;B), sempre inrelazione al cosiddetto “metodo di compattezza” per i problemi evolutivi. In tali caratterizzazioni,alla classica condizione di “equicontinuita integrale” del criterio di compattezza Lp in dimensionefinita (dovuto a Riesz, Frechet e Kolmogorov), viene tipicamente aggiunta la condizione che lasuccessione assuma valori (in un senso opportuno) in un sottospazio compatto (si veda a questoproposito il criterio dimostrato da J.P. Aubin [Un theoreme de compacite, C.R. Acad. Sci. Paris256 (1963), 5042–5044] e J.L. Lions [Equations differentielles operationelles et problemes aux lim-ites, Springer, Berlin, 1961], e poi esteso da J. Simon [Compact sets in the space Lp(0, T ;B), Ann.Mat. Pura Appl. 146 (1987), 65–96]). L’approccio sviluppato in [2] muove dalla considerazione che,non appena si assuma una condizione di uniforme Lp-integrabilita, il problema di trovare condizioninecessarie e sufficienti per la compattezza Lp puo essere ricondotto al problema di caratterizzare lacompattezza rispetto alla convergenza in misura. Quindi, in [2] e stato in primo luogo dimostratoun risultato di caratterizzazione della compattezza in misura, per una successione di funzioni mi-surabili a valori nello spazio di Banach B. In tale criterio, una opportuna generalizzazione dellacondizione di “equincontinuita” del teorema di Riesz-Frechet-Kolmogorov viene affiancata alla con-dizione, classica nel Calcolo delle Probabilita, di “tightness” della successione. Sostanzialmente,grazie ad una versione del summenzionato teorema di compattezza delle misure di Young, a meno diestrarre sottosuccessioni e possibile associare ad ogni successione tight una misura di Young limite.A partire da tale misura, si definisce opportunamente una funzione misurabile, che fornisce di fattoil limite in misura della successione - si noti che a questo livello gioca un ruolo cruciale l’ipotesi di“equicontinuita”. Sulla base di questo criterio per la compattezza in misura, abbiamo poi fornitoil nostro criterio per la compattezza Lp, di cui abbiamo anche sviluppato alcune applicazioni aproblemi di compattezza che generalizzano il summenzionato problema risolto da S. Luckhaus.Inoltre, in [2] sono stati ottenuti risultati di compattezza rispetto a una nozione di convergenza inmisura che puo essere introdotta nell’ambito della topologia debole.

2. EQUAZIONI DI EVOLUZIONE ASTRATTE

IN SPAZI DI BANACH E SPAZI METRICI

Durante il dottorato, ho iniziato a occuparmi di risultati di esistenza e approssimazione di soluzioniper equazioni di evoluzione astratte: in particolare, ho considerato opportune varianti di questa

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equazione di evoluzione doppiamente nonlineare

(1) ∂Ψ(u′(t)) + ∂E(t, u(t)) 3 0 in B′, t ∈ (0, T ),

ove B e uno spazio di Banach separabile, e supporremo, in generale, che Ψ : B → [0 +∞) sia unfunzionale proprio, convesso, e semicontinuo inferiormente, con crescita superlineare all’infinito:

(2) lim‖v‖B→+∞

Ψ(v)‖v‖B

= +∞,

e che E : (0, T ) × B → (−∞,+∞] sia proprio, e semicontinuo inferiormente rispetto alla secondavariabile. Il simbolo ∂Ψ denota il sottodifferenziale di Ψ nel senso dell’analisi convessa, mentre∂E e da intendersi come un’opportuna nozione di sottodifferenziale per E , rispetto alla variabileu.L’inclusione differenziale (1) viene di fatto intesa come

ω(t) + ξ(t) = 0, ω(t) ∈ ∂Ψ(u′(t)), ξ(t) ∈ ∂E(t, u(t)), t ∈ (0, T ).

La (1) puo essere interpretata come una legge di bilancio generalizzata in Termomeccanica: inquesto contesto, Ψ e un potenziale di dissipazione, mentre E e il funzionale dell’energia.

Lo studio di equazioni del tipo (1) ha attratto l’interesse di molti analisti sin dai primi anni ’70.A quest’epoca risalgono infatti i fondamentali lavori di H. Brezis, Y. Komura, M. Crandall& T. Liggett sull’equazione di flusso gradiente, autonoma in tempo, ambientata nel contesto diuno spazio di Hilbert separabile H:

(3) u′(t) + ∂φ(u(t)) 3 0 in H, t ∈ (0, T ),

con φ convesso e s.c.i. suH. Si noti che (3) e un caso particolare di (1), ove si scelga Ψ(u) := 12‖u‖

2H

per ogni u ∈ H, E(t, u) = φ(u): in questo caso ∂φ e il sottodifferenziale di φ nel senso dell’analisiconvessa. Risultati di esistenza (e unicita, grazie alla convessita di φ), per (3) sono stati ottenutisia nell’ambito della teoria degli operatori massimali monotoni, sia con tecniche di approssimazionetramite discretizzazione in tempo, le quali rivestono un interesse autonomo dal punto di vistadell’analisi numerica.

Un opportuno schema di discretizzazione in tempo e stato anche impiegato da J.J. Moreaunella dimostrazione di risultati di esistenza per l’equazione di tipo sweeping process

(4) u′(t) + ∂IC(t)(u(t)) 3 0 in H, t ∈ (0, T ),

ove C(t)t∈(0,T ) ⊂ H e una famiglia di convessi chiusi di H e IC(t) e la funzione indicatrice delconvesso C(t). Anche la (4) e un’equazione del tipo (1), corrispondente alla scelta E(t, u) := IC(t)(u)per ogni (t, u) ∈ (0, T )×H. Inoltre, con le suddette tecniche di discretizzazione in tempo P. Colli& A. Visintin (cf. [On a class of doubly nonlinear evolution equations. Comm. Partial DifferentialEquations, 15 (1990), 737–756]), hanno ottenuto risultati di esistenza e unicita di soluzioni per (1),nel caso di una Ψ convessa, s.c.i., con crescita superlineare all’infinito, e per il resto generale, e conE(t, u) = φ(u) con e φ convessa.

I problemi da me affrontati, nel corso di alcune collaborazioni, relativamente a (varianti di) (1)si possono cosı schematizzare:

• risultati di esistenza per (4) nel caso quasivariazionale: lavoro [6];

• risultati di esistenza e approssimazione di soluzioni per l’equazione di flusso gradiente (3) nelcaso in cui il funzionale dell’energia φ non e convesso; esistenza (di una opportuna nozione)di attrattore per tali soluzioni: lavori [at1], [7], [13];

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• studio del comportamento per tempi lunghi di flussi gradiente in spazi metrici: lavoro [20];

• esistenza e approssimazione di soluzioni per l’equazione doppiamente non lineare (1) confunzionali dell’energia non convessi

– in spazi metrici: lavoro [14],

– in spazi di Banach: lavoro [24];

• l’approssimazione WED di flussi gradiente in spazi metrici: nota [26];

• risultati di stabilita (rispetto a convergenza variazionale) per equazioni doppiamente nonlineari: lavoro [34].

Esistenza e unicita per problemi quasivariazionali di tipo sweeping process (lavoro [6]):In [6] viene analizzato il problema di Cauchy per l’equazione di evoluzione astratta

(5) u′(t) + ∂IK(t,u(t))(u(t)) 3 0 in H, t ∈ (0, T ),

ove K : (0, T ) × H → 2H e una multifunzione a valori non vuoti, convessi, e chiusi. Si notiche l’equazione (5) si differenzia dal “classico” sweeping process (4) per il suo carattere quasi-variazionale, che e dovuto alla dipendenza della multifunzione K dalla variabile u, e che rendel’analisi del problema di Cauchy per (5) considerevolmente piu difficile rispetto al caso di (4). Difatto, in letteratura esistono alcuni risultati di esistenza per questo problema di Cauchy, basati suopportune ipotesi di regolarita e compattezza per K, che risultano spesso limitative per le appli-cazioni (per esempio nel campo della meccanica, dell’economia matematica e dell’ottimizzazioneconvessa). In [6] sono stati ottenuti risultati di esistenza e unicita per il problema di Cauchy per(5), nel quadro di opportune assunzioni di monotonia, anziche di compattezza, su K. In parti-colare, viene introdotta una struttura d’ordine su H, e in questo contesto si riesce a stabilire unrisultato di equivalenza fra il problema quasivariazionale (5) e un associato problema variazionale.Dalla buona positura di quest’ultimo vengono dedotti i nostri risultati di esistenza e unicita per (5).

Esistenza, approssimazione, e studio dell’attrattore per flussi gradiente di funzionalinon convessi (lavori [at1], [7] e [13]): In [7] e [13], mi sono occupata con G. Savare di risultatidi esistenza per equazioni di tipo flusso gradiente, con funzionali dell’energia non convessi. Talirisultati hanno un intrinseco interesse analitico, in vista dell’estensione della teoria nel caso con-vesso. Inoltre, lo studio di questi problemi e stato per noi anche motivato dalle applicazioni ad unaclasse di modelli per le transizioni di fase, i cosiddetti sistemi di phase field quasistazionari, la cuianalisi si rivela particolarmente laboriosa. Si osserva infatti (si veda in particolare [at1]), che talisistemi possono essere riformulati come equazione di flusso gradiente per opportuni funzionali nonconvessi, e con una opportuna nozione di sottodifferenziale. Si noti peraltro che nel caso di funzion-ali non convessi non esiste una nozione “naturale” di sottodifferenziale alla quale fare riferimento.Nella fattispecie, in [at1] e [7] abbiamo considerato il problema di Cauchy

(6)

u′(t) + ∂`φ(u(t)) 3 0 in H, t ∈ (0, T ),u(0) = u0.

ove si intende per ∂`φ il “sottodifferenziale limite” di φ, definito dalla formula

ξ ∈ ∂`φ(v) se ∃un, ξn ∈ H t.c. ξn ∈ ∂Fφ(un), un → u, ξn ξ, supnφ(un) < +∞,

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ove ∂Fφ : H⇒ H e il sottodifferenziale di Frechet di φ, definito in un punto u ∈ dom(φ) da

ξ ∈ ∂Fφ(u) ⇔ lim infv→u

φ(v)− φ(u)− (ξ, v − u)H‖v − u‖H

≥ 0 .

In altri termini, ∂`φ e (una versione della) la chiusura di ∂Fφ nel senso dei grafi, rispetto allatopologia forte-debole di H×H. Nel lavoro [7], la dimostrazione del nostro risultato di esistenza disoluzioni al problema di Cauchy per (6) in fa uso di tecniche di discretizzazione in tempo, oppor-tunamente adattate all’ambito non convesso tramite idee delle teorie dei Movimenti Minimizzantie delle Curve di Massima Pendenza proposte da E. De Giorgi. Inoltre, in questo caso le tecnichedi compattezza della teoria delle misure di Young hanno giocato un ruolo fondamentale nella di-mostrazione del passaggio al limite nello schema di discretizzazione, permettendoci di aggirare ledifficolta dovute alla non convessita di φ. Abbiamo cosı ottenuto teoremi di esistenza per (6) sottodiverse ipotesi. Sulla falsariga dell’approccio gradient flow ai sistemi di phase field quasistazionari(delineato in [at1]), abbiamo infine ricavato dai summenzionati risultati per l’equazione astratta(6), risultati di esistenza per una famiglia di problemi quasistazionari generali, costituiti da unsistema ellittico-parabolico.

Nel lavoro [13] ho esaminato con U. Stefanelli e A. Segatti lo studio del comportamento pertempi lunghi delle soluzioni di (6): in particolare, ci siamo interessati al problema dell’esistenzadell’attrattore. Si noti che, a causa della non convessita di φ, il problema di Cauchy (6) non am-mette in generale un’unica soluzione. Pertanto, nello studio della dinamica di (6) per tempi lunghinon ci si puo appoggiare a tutte quelle costruzioni di attrattore che partano dal semigruppo dellesoluzioni. Di fatto, in [13] abbiamo fatto riferimento alla teoria dei semiflussi generalizzati e allanozione di attrattore globale, recentemente introdotte da J. Ball (cf. [Continuity properties andglobal attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. (1997),475–502]). In questo contesto, abbiamo dimostrato che il semiflusso delle soluzioni di (6) ammettel’attrattore globale; in seguito, sulla base delle applicazioni sviluppate in [at1] e [7] abbiamo ot-tenuto dei risultati sul comportamento per tempi lunghi delle soluzioni di una famiglia di problemiquasistazionari.

Esistenza dell’attrattore globale per soluzioni di flussi gradiente in spazi metrici (la-voro [20]): In [20] mi sono occupata con A. Segatti and U. Stefanelli dell’analisi per tempi lunghidi equazioni di flusso gradiente ambientate in spazi metrici. Queste ultime sono state recentementeoggetto di intensi e profondi studi (si veda la monografia di L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savare[Gradient flows in metric spaces, Lectures in Mathematics ETH Zurich, Birkhauser Verlag, Basel,2005], anche in vista dell’applicazione al contesto degli spazi metrici di Wasserstein. In [20] estato affrontato il problema dell’esistenza dell’attrattore per le soluzioni delle equazioni di flussogradiente in spazi metrici (cioe le cosiddette curve di massima pendenza) e, piu in generale, pertutte le evoluzioni che si ottengano come limite dello schema per Movimenti Minimizzanti. Inquesto caso non si dispone, in generale, di risultati di unicita di soluzioni, cosicche abbiamo fattoriferimento alla summenzionata nozione di attrattore globale proposta da J. Ball. Il risultatoprincipale di [20] asserisce che, sotto ipotesi leggermente piu restrittive di quelle dei teoremi diesistenza di curve di massima pendenza dimostrati nel libro di Ambrosio, Gigli &Savare, talisoluzioni generano un semiflusso generalizzato, e ammettono un attrattore globale.

Abbiamo quindi proposto alcune applicazioni di questo teorema astratto a una vasta classe diequazioni di evoluzione in spazi di Wasserstein, per le quali e stata ottenuta l’esistenza dell’attrattoreglobale. Inoltre, con questo metodo abbiamo sviluppato uno studio per tempi lunghi di altreequazioni di evoluzione (fra cui i sistemi di Stefan-Gibbs-Thomson e di Mullins-Sekerka), che, purnon essendo interpretabili in senso stretto come equazioni di flusso gradiente, possono essere ana-

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lizzate nell’ambito della teoria dei Movimenti Minimizzanti.

Esistenza e approssimazione di soluzioni per equazioni doppiamente non lineari conenergie non convesse (lavori [14], [24]): In [14], con A. Mielke e G. Savare, mi sono occupatadello studio dell’equazioni doppiamente non lineare (1) (in cui Ψ ha crescita superlineare all’infinito,cf. (2)), nel contesto di uno spazio metrico, e con un funzionale dell’energia non convesso. La mo-tivazione per quest’analisi viene dalle applicazioni, nelle quali, come gia detto in precedenza, (1)ha la natura di una legge di bilancio generalizzata. Infatti, in molti contesti applicativi in mec-canica dei continui, i funzionali dell’energia piu significativi non sono ne lisci, ne convessi rispettoalla variabile u. Inoltre, lo spazio ambiente piu naturale non solo puo essere non riflessivo e nongodere della proprieta di Radon-Nikodym (come per esempio L1 nella modellizzazione delle leghea memoria di forma), ma puo anche essere privo di una naturale struttura lineare (come nel casodi alcuni problemi in meccanica delle fratture).

Queste considerazioni hanno portato all’introduzione di una formulazione per (1) nel contestodi uno spazio metrico completo (X, d), che generalizza la formulazione metrica per l’equazione diflusso gradiente (3) proposta nella monografia di Ambrosio, Gigli & Savare. Abbiamo quindidimostrato risultati di esistenza e approssimazione di soluzioni per (il problema di Cauchy relativoa) tale formulazione, e sviluppato applicazioni a equazioni del tipo (1) in spazi di Banach generaliB (anche privi della proprieta di Radon-Nikodym), con potenziali di dissipazione del tipo

(7) Ψ(v) = ψ(‖v‖B) e ψ : [0,+∞)→ [0,+∞] proprio, convesso, con crescita superlineare,

e funzionali dell’energia non convessi.In [24], con A. Mielke e G. Savare abbiamo riconsiderato la (1) nel contesto Banach, con un

potenziale di dissipazione Ψ = Ψ(u, v) anche dipendente dalla variabile di stato, e s.c.i., convesso,con crescita superlineare all’infinito, ma per il resto del tutto generale, rispetto alla variabile v =u′(t). Abbiamo quindi enucleato una serie di condizioni sull’energia E (ammettendo che il funzionaleu 7→ E(t, u) sia non liscio e non convesso, e che t 7→ E(t, u) sia pure non regolare), che pemettono diottenere risultati di esistenza e di approssimazione (tramite discretizzazione temporale) di soluzioni(al problema di Cauchy) per l’equazione doppiamente nonlineare

(8) ∂Ψ(u(t), u′(t)) + ∂FE(t, u(t)) 3 0 in B′, t ∈ (0, T )

(ove ∂FE denota il sottodifferenziale di Frechet di E rispetto alla seconda variabile). Per la di-mostrazione del nostro teorema di esistenza, abbiamo generalizzato al caso doppiamente non lin-eare le tecniche variazionali e i risultati di teoria delle misure di Young sviluppati per l’analisidell’equazione di flusso gradiente (6). Abbiamo inoltre discusso applicazioni a sistemi di PDE chesi presentano nella modellizzazione di problemi di elasticita finite-strain. Questi ultimi coinvolgonofunzionali dell’energia definiti tramite un processo di minimizzazione, e quindi non convessi, e nonlisci rispetto alle variabili u e t.

L’approssimazione WED di flussi gradiente in spazi metrici (nota [26]): In un recentelavoro di A. Mielke e U. Stefanelli [Weighted energy-dissipation functionals for gradient flows,ESAIM Control Optim. Calc. Var., 17 (2011), 52–85], e stato sviluppato un approccio variazio-nale a equazioni evolutive di tipo flusso gradiente in spazi di Hilbert, tramite l’associato funzionale(definito su traiettorie) WED (=Weighted Energy Dissipation). Si e dimostrato che l’equazione diEulero-Lagrange associata al problema di minimo di tale funzionale WED e una regolarizzazioneellittica dell’equazione di flusso gradiente originaria, e che i minimizzatori WED convergono altendere a zero di un opportuno parametro a soluzioni dell’equazione di tipo flusso gradiente. Con

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G. Savare, A. Segatti, e U. Stefanelli, abbiamo esteso l’approccio WED al caso di flussi gradientein spazi metrici e dimostrato che i minimi del WED convergono (al tendere a zero di un opportunoparametro) a curve di massima pendenza. Questi risultati, contenuti in un lavoro in preparazione,sono gia stati annunciati nella nota [26].

Risultati di stabilita (rispetto a un’opportuna nozione di convergenza variazionale)per equazioni doppiamente non lineari (lavoro [34]): In [34] abbiamo esaminato l’equazionedoppiamente non lineare

(9) α(u′(t)) + ∂FE(t, u(t)) 3 0 in B′, t ∈ (0, T ),

ove il funzionale dell’energia E : (0, T )× B → (−∞,+∞] soddisfa le stesse ipotesi del lavoro [4] (ein particolare puo essere non liscio, e non convesso, rispetto alla variabile u), mentre α : B ⇒ B′e un operatore massimale monotono, ma non necessariamente ciclicamente monotono: quindi nonrichiediamo che esista un potenziale di dissipazione Ψ tale che α = ∂Ψ. Il risultato principale di [34]garantisce la stabilita di (9), rispetto alla convergenza nel senso dei grafi per α. La dimostrazionesi basa su una riformulazione di (9) tramite il funzionale di Fitzpatrick associato ad α.

3. ANALISI DI SISTEMI RATE–INDEPENDENT

Equazioni di evoluzione doppiamente non lineari del tipo

(10)∂Ψ1(u′(t)) + ∂E(t, u(t)) 3 0 in B′, t ∈ (0, T ),

con Ψ1 : B → [0,+∞) convesso, s.c.i., positivamente omogeneo di grado 1

intervengono nella modellizzazione di una vasta classe di fenomeni rate-independent con effettidi isteresi. Questi ultimi si presentano in diverse branche della meccanica dei continui (quali,ad esempio, l’elasto-plasticita, le transizioni di fase solido-solido in leghe a memoria di forma, lameccanica delle fratture, il danneggiamento), si veda il lavoro di A. Mielke [Evolution in rate-independent systems, Chap. 6 in “Handbook of differential equations, evolutionary equations” 2,Elsevier, Amsterdam, 2005, 461–559]. In tali contesti applicativi, i funzionali Ψ1 ed E mantengono,rispettvamente, il significato di potenziale di dissipazione e di funzionale dell’energia. La condizionedi 1-omogeneita su Ψ1 comporta l’invarianza per riscalamenti temporali dell’equazione (10) e dif-ferenzia in modo sostanziale l’analisi della (10), dall’analisi della equazione (1) con potenziale didissipazione a crescita superlineare all’infinito (2).

In questo ambito, ho mi sono occupata dei seguenti problemi:

• esistenza, approssimazione, e unicita per (10) nel caso quasivariazionale: lavori [10], [at2];

• approssimazione per vanishing viscosity dell’equazione (10): lavori [18], [at3], [21], [28],[31];

• approssimazione per vanishing viscosity di sistemi rate-independent per la modellizzazionedel danneggiamento: lavoro [27].

Risultati di esistenza, approssimazione, e unicita di soluzioni per sistemi rate-independentquasivariazionali (lavori [10], [at2]): In [10] ho analizzato, in collaborazione con A. Mielke, ilproblema di Cauchy astratto

(11)

∂Ψ1(u(t), u′(t)) + ∂E(t, u(t)) 3 0 in B′, t ∈ (0, T ),u(0) = u0,

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ove B e uno spazio di Banach riflessivo, il potenziale di dissipazione rate-independent Ψ1 e s.c.i.,convesso e 1-positivamente omogeneo nella seconda variabile, mentre il funzionale dell’energia E :(0, T )×B → (−∞,+∞] e liscio in t e convesso rispetto alla variabile u. L’esistenza di soluzioni per(11) e stata ottenuta in [10] passando al limite in un opportuno schema di discretizzazione in tempo;l’argomento per il passaggio al limite si basa anche su tecniche ispirate dalla teoria delle misure diYoung. Mentre in [10] e stato considerato uno schema di discretizzazione in tempo con passo didiscretizzazione uniforme, in [at2] e stata sviluppata un’analisi analoga per un particolare tipo didiscretizzazione a passo variabile. Rafforzando le ipotesi di convessita sul funzionale u 7→ E(t, u),abbiamo anche ottenuto risultati di regolarita temporale per le soluzioni di (11).

Il problema dell’unicita delle soluzioni di (11) (piu in generale, della loro dipendenza continuadai dati iniziali), e abbastanza arduo e ha un intrinseco interesse analitico, a causa del caratterequasivariazionale dell’equazione doppiamente nonlineare, dovuto alla dipendenza di Ψ1 dallo statou. Tale problema e stato affrontato in [10] nel caso in cui lo spazio ambiente sia uno spazio diHilbert H, combinando opportune stime di tipo energia con tecniche raffinate di analisi convessa,nell’ipotesi che il funzionale E ∈ C2([0, T ] ×H; R), e che sia uniformemente convesso rispetto allavariabile u, e sotto ipotesi di regolarita per Ψ1.

Approssimazione per vanishing viscosity di sistemi rate-independent in spazi metrici:(lavori [18], [at3], [21], [28], [31]): Nel caso di funzionali dell’energia non convessi, sono tuttoraaperte diverse questioni nell’analisi dei sistemi rate-independent, per i quali la generale mancanzadi regolarita in tempo delle soluzioni rende necessario ricorrere a opportune formulazioni deboli.In questa direzione, con alcuni recenti lavori in plasticita e propagazione di fratture di G. DalMaso et al, parallelamente all’indagine di carattere piu astratto di A. Mielke, si e’ affermato unnuovo approccio alle evoluzioni rate-independent con discontinuita in tempo di tipo salto, basatosull’analisi di tali sistemi come limite di approssimazioni viscose.

In collaborazione con A. Mielke e G. Savare, ho sviluppato il metodo della vanishing viscosityallo studio del sistema rate-independent astratto (10). In tale contesto, questo approccio consisteper esempio nell’approssimare l’equazione rate-independent (10) con l’equazione doppiamente nonlineare

(12) εJB,B′(u′(t)) + ∂Ψ1(u′(t)) + ∂E(t, u(t)) 3 0 in B′, t ∈ (0, T ),

(ove JB,B′ : B ⇒ B′ e la mappa di dualita), e nello studiare il limite di (12) al tendere del parametrodi viscosita ε a zero. Si noti che l’equazione di evoluzione (12) e ancora della forma (1): in essaentra in gioco il funzionale di dissipazione (con crescita superlineare all’infinito)

(13) Ψε(v) :=ε

2‖v‖2B + Ψ1(v),

che tiene conto anche di effetti di viscosita. Abbiamo articolato questo progetto in diversi lavori.In [18] (si veda anche [at3]), abbiamo studiato l’approssimazione per vanishing viscosity di

(10), nel contesto di uno spazio metrico completo. Le motivazioni per l’analisi metrica di sistemirate-independent sono, come nel caso di equazioni doppiamente non lineari viscose, legate alle appli-cazioni a problemi di meccanica dei continui precedentemente menzionate. Basandoci sui risultatidi [14], abbiamo sviluppato una analisi asintotica della formulazione metrica di (12), al tendere delparametro di viscosita ε a zero, usando tecniche di riscalamento temporale e di riparametrizzazione.Questo ha portato alla nozione di parameterized solution di un sistema rate-independent che, da unlato, si puo ambientare in contesti metrici del tutto generali e con funzionali energia non convessi e,daltro canto, cattura le fondamentali caratteristiche dei fenomeni rate-independent, come dimostrala discussione di alcuni esempi significativi.

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Nel successivo [21], abbiamo riconsiderato l’analisi per vanishing viscosity di (10) nel contestoBanach, estendendola a equazioni doppiamente non lineari del tipo

(14) ∂Ψε(u′(t)) + ∂E(t, u(t)) 3 0 in B′, t ∈ (0, T ),

ove i potenziali di dissipazione Ψε : B → [0,+∞) sono della forma

(15)Ψε(v) =

1ε

Ψ(εv) con Ψ =: B → [0,+∞) convesso, s.c.i., a crescita superlineare (2), e t.c.

limε→0

Ψε(v) = Ψ1(v) per ogni v ∈ B.

Chiaramente, i potenziali del tipo (13) rientrano nella classe (15), e quindi (14) si configura comeuna generalizzazione di (12). In [21], abbiamo sviluppato l’analisi asintotica di (14) al tendere di εa zero in uno spazio ambiente finito-dimensionale, e per un funzionale dell’energia u 7→ E(t, u) liscio(ma non convesso). Questo ci ha permesso di evitare le complicazioni, in gran parte tecniche, legateall’analisi infinito-dimensionale. In effetti, abbiamo focalizzato la nostra indagine sullo sviluppo diuna nuova tecnica per lo studio del limite per ε ↓ 0 di (14), non piu basata su un riscalamentotemporale di quest’ultima equazione, e sulla conseguente riparametrizzazione delle soluzioni vis-cose. Sfruttando questa nuova tecnica, abbiamo dimostrato che nel limite per vanishing viscositysi ottiene la cosiddetta nozione di soluzione BV di un sistema rate-independent, che puo essereanche intepretata come la versione “non riscalata” della parameterized solution introdotta in [18].Inoltre, abbiamo provato che le soluzioni BV si ottengono anche passando al limite nello schema didiscretizzazione temporale per (14), al tendere simultaneamente a zero di ε e del passo di discretiz-zazione. Questo risultato, che puo avere anche un interesse numerico, sottolinea la rilevanza dellanozione di soluzione BV.

In un articolo in preparazione, stiamo estendendo i risultati di [21] all’ambito Banach infinito-dimensionale, e a funzionali dell’energia (possibilmente) non lisci e non convessi. Parallelamente,in [28] abbiamo approfondito l’analisi delle soluzioni BV nel contesto mono-dimensionale B = R,ottenendo una caratterizzazione completa di tali soluzioni, unitamente a una caratterizzazionecompleta delle cosiddette soluzioni energetiche introdotte da A. Mielke. Infine, nel recente [31]e stato affrontato il problema della stabilita delle soluzioni BV, rispetto a opportune nozioni diconvergenza variazionale per il potenziale di dissipazione e per il funzionale dell’energia.

Approssimazione per vanishing viscosity di sistemi rate-independent per la model-lizzazione del danneggiamento (lavoro [27]): In collaborazione con D. Knees e C. Zanini,in [27] sono state applicate le tecniche sviluppate in [18, 21] al caso specifico di un modello rate-independent per il danneggiamento di volume. Si noti che l’analisi per vanishing viscosity delcorrispondente sistema di equazioni alle derivate parziali non discende, come caso particolare, dairisultati di [18, 21]: per includere nel modello l’irreversibilita dell’evoluzione del danneggiamento, ilpotenziale di dissipazione che interviene in [27] puo anche assumere il valore +∞. Questo complicanotevolmente l’analisi, gia allo stadio, preliminare, della derivazione di stime a priori sulle soluzioniviscose, uniformi rispetto al parametro ε. Anche ricorrendo a raffinati risultati di regolarita per sis-temi ellittici (su domini spaziali non lisci), usando la tecnica di riparametrizzazione di [18] abbiamodimostrato che le soluzioni della approssimazione viscosa del sistema per il danneggiamento con-vergono, al tendere a zero del parametro di viscosita, a soluzioni parameterized del corrispondentesistema rate-independent.

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4. PROBLEMI ANALITICI PER MODELLI DI TRANSIZIONE

E DI SEPARAZIONE DI FASE

Mi sono occupata dell’analisi di alcuni sistemi di equazioni alle derivate parziali legati alla mod-ellistica dei fenomeni di transizione di fase. Quest’ambito di ricerca fornisce un ampio spettrodi problemi di matematica applicata: transizioni di fase intervengono infatti in numerosi ambitiapplicativi, basti pensare alle transizioni di stato associate a una diffusione termica, oppure allecosiddette transizioni solido-solido, per esempio da una configurazione cristallina austenitica a unaconfigurazione martensitica (fenomeno che interviene nei cosiddetti materiali a memoria di forma).Possiamo infine ricordare il fenomeno della separazione di fase in una lega, o in una miscela, binaria.

I modelli matematici di transizione di fase da me considerati, pur avendo strutture sostanzial-mente diverse l’uno dall’altro, sono tutti caratterizzati dalla presenza di un parametro d’ordineχ, o phase field, che indica lo stato in cui si trova il sistema, soggetto a transizione, rispetto alledue fasi; il significato fisico di χ dipende specificamente dalla transizione considerata. Per esem-pio, nelle transizioni solido-liquido χ rappresenta la proporzione locale di una delle due fasi, nelletransizioni ferro-paramagnetiche χ e la magnetizzazione, nei modelli di separazione di fase χ ela concentrazione di una delle due sostanze. Per semplificare, nel seguito usero per questi model-li matematici il termine phase field (anche se tale termine non viene propriamente impiegato inrelazione ai modelli di separazione di fase).

Nei modelli di phase field da me considerati, il relativo sistema di equazioni alle derivate parzialiconsiste di fatto di un’unica equazione parabolica del quart’ordine nell’incognita χ (l’equazione diCahn-Hilliard per i fenomeni di separazione di fase), o di un sistema di equazioni paraboliche delsecond’ordine nelle incognite χ e ϑ (ove ϑ e la temperatura, assoluta o relativa, del sistema). Neimodelli in termoviscoelasticita, alle equazioni per χ e ϑ e accoppiata anche un’equazione per lavariabile degli spostamenti u.

In relazione a questi modelli, ho esaminato i problemi di esistenza e unicita delle soluzioni, dellaloro regolarita e dipendenza continua dai dati; in alcuni casi, ho anche studiato limiti singolari deisuddetti problemi, nonche il loro comportamento per tempi lunghi. In questo contesto, ho utilizzatotecniche variazionali, basate sulle stime dell’energia naturalmente legate alla derivazione fisica delmodello, e combinato metodi di compattezza con tecniche di monotonia (grazie alla presenza diopportuni operatori massimali monotoni nei singoli sistemi).

Risultati di buona positura e analisi asintotica per sistemi di transizione di fase (lavori[3], [4], [8]): In [3], ho considerato il modello di phase field proposto da G. Caginalp [An analysisof a phase field model of a free boundary, Arch. Rational Mech. Anal. 92 (1986), 205–245],

εϑt + χt −∆ϑ = f in Ω× (0, T ),(16)δχt −∆χ+ χ3 − χ = ϑ in Ω× (0, T ),(17)

per la transizione solido-liquida in un dominio spaziale Ω ⊂ RN (che rappresenta il sistema fisicosoggetto alla transizione), durante l’intervallo temporale (0, T ). In questo contesto, ϑ e la tempe-ratura relativa del sistema, f rappresenta un termine di sorgente (per esempio una fonte di calore),ε e δ sono due parametri positivi. Questo sistema e stato ampiamente studiato, e sono ormai bennoti risultati di esistenza, regolarita, unicita ed esistenza di attrattori per le sue soluzioni. Ponendoε = δ = 0 in (16)-(17) (considerando cioe una situazione quasistazionaria a bassa energia calorica),si ottiene formalmente l’equazione di Cahn-Hilliard per la modellizzazione della separazione di fase,

(18) χt −∆(−∆χ+ χ3 − χ

)= f in Ω× (0, T ).

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Per ε = 0 (bassa energia calorica), il sistema (16)-(17) si riduce invece alla cosiddetta equazione diCahn-Hilliard viscosa

(19) χt −∆(δχt −∆χ+ χ3 − χ

)= f in Ω× (0, T ).

In [3], ho sviluppato un’analisi asintotica del phase field tendere a zero del solo ε oppure di entrambii parametri ε e δ, ottenendo risultati di convergenza delle soluzioni del phase field alle soluzioni di(18) e (19) con tecniche di stime a priori–compattezza.

Nel lavoro [4], mi sono invece occupata del modello proposto da O. Penrose e P.C. Fife (siveda [Thermodynamically consistent models of phase field type for the kinetics of phase transitions,Physica D 43 (1990), 44–62]), in alternativa a (16)-(17), per la descrizione di una piu ampia gammadi transizioni di fase oltre a quella solido-liquida. La variante piu usuale di tale modello si presentanella forma

εϑt + χt −∆(− 1ϑ

)= f in Ω× (0, T ),(20)

δχt −∆χ+ χ3 − χ = − 1ϑ

in Ω× (0, T ).(21)

Si noti che, in questo caso, ϑ e la temperatura assoluta del sistema, quindi ϑ > 0. La presenzadella nonlinearita − 1

ϑ rende l’analisi di questo sistema piu difficoltosa, anche se ormai esiste unaconsolidata letteratura al riguardo. In [4], ho dapprima ottenuto un risultato di buona positura(esistenza e dipendenza continua dai dati), per il seguente sistema di tipo Penrose-Fife generalizzato

εϑt + χt −∆u = f, u ∈ α(ϑ), in Ω× (0, T ),(22)δχt −∆χ+ ξ + σ′(χ) = u, ξ ∈ β(χ), in Ω× (0, T ),(23)

accoppiato a opportune condizioni iniziali e a condizioni al bordo di Neumann omogenee per χ e u.Si noti che il termine di accoppiamento − 1

ϑ nel sistema (20)-(21) viene sostituito da u ∈ α(ϑ), con αun generale grafo massimale monotono, mentre l’operatore β : R→ 2R e il sottodifferenziale di unfunzionale convesso che soddisfi opportune condizioni di crescita e σ′ e una funzione lipschitziana;il termine β + σ′ in (23) di fatto generalizza il contributo non lineare χ3 − χ nell’equazione (21).Sempre in [4], ho in seguito sviluppato un’analisi asintotica per il sistema (22)-(23) al tendere azero dei parametri ε e ε e δ, dimostrando che, anche in questo caso, le soluzioni del sistema diPenrose-Fife generalizzato (22)-(23) convergono a soluzioni di un problema ai limiti per l’equazionedi Cahn-Hilliard viscosa, e per l’equazione di Cahn-Hilliard, rispettivamente.

Infine, in collaborazione con O. Klein e F. Luterotti ho dimostrato in [8] un risultato di esistenzaper il sistema

ϑt + χt −∆ϑ = f in Ω× (0, T ),(24)εχt − η(ϑ,∇χ)(χt)− −∆χ+ β(χ) + σ′(χ) 3 ϑ in Ω× (0, T ),(25)

accoppiato a opportune condizioni iniziali e al bordo su ϑ e χ. La funzione η : R× R3 → (0,+∞)gioca il ruolo di un parametro di rilassamento, che permette di introdurre nel modello effetti disupercooling della transizione solido-liquida. Abbiamo dimostrato l’esistenza globale di soluzioniper (24)-(25) con un argomento di punto fisso. Nello sviluppare quest’argomento, abbiamo ottenutoun risultato di esistenza per una classe di equazioni doppiamente non lineari astratte. Infine, illimite singolare di (24)-(25) al tendere di ε a zero e stato studiato con tecniche di misure di Young.

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Buona positura e attrattore per equazioni di Cahn-Hilliard generalizzate (lavori [5],[9], [22]): In lavoro [5] ho considerato l’equazione di tipo Cahn-Hilliard

(26) χt −∆(γ(δχt −∆χ+W ′(χ)

))= f in Ω× (0, T ),

ove γ e una funzione reale strettamente crescente e W il classico potenziale “doppio pozzo”W (χ) = (χ2− 1)2/4. Questa generalizzazione della classica equazione di Cahn-Hilliard, nella qualeil coefficiente di mobilita dipende dal cosiddetto potenziale chimico, puo essere derivata seguendol’approccio proposto da M.E. Gurtin (si veda [Generalized Ginzburg-Landau and Cahn-Hilliardequations based on a microforce balance, Physica D 92 (1996), 178-192]) per la descrizione di unapiu vasta classe di fenomeni di separazione di fase. Ho confinato l’analisi di [5] al caso viscosoδ > 0, e in tale contesto analizzato due diversi problemi di ai limiti per (26), in corrispondenza adue diverse classi di funzionali γ. In entrambi i casi, per i relativi problemi di Cauchy ho ottenutorisultati di esistenza e di dipendenza continua dai dati, e, in un caso, anche di regolarita.

Successivamente, ho esaminato in [9] il problema del comportamento per tempi lunghi (intermini di esistenza dell’attrattore) per (26) (nel caso δ > 0). Poiche anche in questo contestonon si ha l’unicita della soluzione, ho fatto riferimento alla summenzionata teoria dei semiflussigeneralizzati di J. Ball e dimostrato l’esistenza dell’attrattore globale per una opportuna classedi soluzioni deboli di (26).

I risultati di esistenza di [5] sono stati estesi, nel successivo [22], sia al caso di nonlinearita γ eW piu generali, sia, sotto opportune condizioni su γ e W , al caso non-viscoso δ = 0. Inoltre, sonostati raffinati i risultati sul comportamento per tempi lunghi di (26) nel caso viscoso δ > 0. Ineffetti, abbiamo innanzitutto ritrovato l’esistenza dell’attrattore globale (nel senso proposto da J.Ball) per le soluzioni di (26). Inoltre, in un quadro di ipotesi piu restrittive γ e W , abbiamo ancheottenuto un risultato di unicita di soluzioni per (26), e dimostrato mediante il cosidetto approccio“short-trajectory” l’esistenza dell’attrattore esponenziale. Da cio si puo in particolare concludereche l’attrattore globale ha dimensione finita.

Analisi di modelli di transizione di fase e danneggiamento in termoviscoelasticita (la-vori [15], [17], [32]): Ho analizzato, in collaborazione con E. Rocca, una classe di sistemi diequazioni alle derivate parziali (completato da opportune condizioni al bordo del dominio Ω ⊂ Rd,d = 1, 2, 3) per la modellizzazione di fenomeni di transizione di fase, e di danneggiamento, in so-lidi viscoelastici soggetti a fluttuazioni termiche. Le variabili di stato sono quindi ϑ (temperaturaassoluta del sistema), u (vettore degli spostamenti) e χ, che puo assumere il significato di

• parametro d’ordine, nel caso delle transizioni di fase: in questo contesto χ rappresenta laproporzione locale di una delle due fasi (per esempio, in una transizione di fase solido-liquido,χ = 0 indica la fase -puramente- solida, χ = 1 la fase -puramente- liquida);

• parametro di danneggiamento: in questo caso, si ha χ = 0 quando il danneggiamento ecompleto, e χ = 1 quando il materiale e completamente integro).

Per non appesantire la notazione, descrivero l’analisi che abbiamo sviluppato limitandomi al casodelle transizioni di fase, inoltre trattero u come uno scalare u. Il sistema di PDE che abbiamoconsiderato e dato da

∂tϑ+ ϑ∂tχ−∆ϑ = c1|∂tχ|2 + c2χ|∇(∂tu)|2 in Ω× (0, T ),(27)

∂tχ−∆χ+ β(χ) + σ(χ) 3 ϑ+|∇u|2

2in Ω× (0, T ),(28)

∂2ttu− div ((1− χ)∇u+ χ∇(∂tu)) = F in Ω× (0, T ).(29)

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In (27) le costanti c1, c2 sono non negative, β e un operatore massimale monotono con dominioincluso in [0, 1], σ una funzione non lineare con crescita all’infinito al piu quadratica, e F una forzadi volume. Il sistema (27)-(29) e stato proposto da M. Fremond (cf. [Non-smooth Thermome-chanics, Springer-Verlag, Berlin, 2002] e [Phase Change in Mechanics, Lecture Notes of the UnioneMatematica Italiana 13, Springer-Verlag, Berlin, 2012]), per modellizzare, in materiali viscoelas-tici, fenomeni di transizione di fase che siano influenzati dalla compresenza di proprieta viscose edelastiche nel sistema considerato. Si noti che almeno uno degli operatori ellittici in (29) degeneraal prevalere nel materiale delle proprieta viscose (cioe per χ 1), o delle proprieta elastiche (cioeper χ 0). Questo, unitamente alla carattere fortemente non lineare delle equazioni (27)-(28),rende tecnicamente impegnativa la dimostrazione di un risultato di esistenza globale di soluzioniper il problema di Cauchy e ai limiti associato al sistema.

• In [15] e stato considerato il caso, piu semplice, in cui i coefficienti c1 e c2 sono entrambi nulli.Utilizzando tecniche variazionali, basate sulle stime dell’energia associate alla derivazionefisica del modello, e combinando metodi di compattezza con tecniche di monotonia (atte atrattare la nonlinearita β), abbiamo dimostrato

– nel caso pluridimensionale Ω ⊂ Rd, d ∈ 2, 3: un risultato di unicita e di esistenzalocale in tempo di soluzioni per il (problema di Cauchy e ai limiti associato al) sistema(27)–(29);

– nel caso unidimensionale Ω = (0, `): un risultato di buona positura globale in tempo peril (problema di Cauchy e ai limiti associato al) sistema (27)–(29).

Le difficolta legate alla “degenerazione ellittica” di (29) sono state aggirate, dimostrando che,per opportune scelte delle nonlinearita β e σ, si ha la seguente proprieta di separazione perχ:

(30) ∃ ρ ∈ (0, 1) : ρ ≤ χ ≤ 1− ρ in Ω× (0, T ) .

Cio chiaramente impedisce che gli operatori ellittici in (29) degenerino.

• In [17], sotto ipotesi leggermente piu restrittive sulla nonlinearita W ′, abbiamo ottenutola buona positura globale del sistema (27)-(29), con c1, c2 > 0, nel caso unidimensionaleΩ = (0, `). Sempre in tale contesto, nel caso c1 = c2 = 0 abbiamo studiato il comportamentoper tempi lunghi delle soluzioni, in termini dell’analisi dell’ω-limite associato alle singole tra-iettorie (cioe, l’insieme dei punti di accumulazione per t→ +∞, in opportuni spazi funzionali,delle traiettorie delle soluzioni). In particolare, e stato dimostrato che, per ogni traiettoria,il relativo ω-limite e non vuoto e connesso. Inoltre, e stato analizzato il sistema di equazionistazionarie risolte dagli elementi dell’ω-limite.

Infine, nel recente [32] e stata analizzata nel caso pluridimensionale una variante del sistema(27)–(29) (sempre con c1 = c2 = 0), nel quale l’equazione (28) per il parametro di transizione difase e stata sostituita da

(31) ∂tχ+Apχ+ β(χ) + σ(χ) 3 ϑ+|∇u|2

2in Ω× (0, T ),

ove Ap denota l’operatore p-Laplaciano Apχ = −div(|∇χ|p−2∇χ). A differenza di quanto fatto in[17] e [19], non abbiamo ovviato al carattere degenere di (29) forzando la proprieta di separazione(30) per χ. Abbiamo invece adottato un altro approccio, basato sull’approssimazione del sistema(27, 29, 31) tramite un sistema non degenere, ottenuto troncando opportunamente i coefficienti χ

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e (1 − χ) degli operatori ellittici in (29). Abbiamo dimostrato che, se l’esponente dell’operatoreAp verifica p > d, il problema di Cauchy per il sistema (27, 29, 31) (con opportune condizioni alcontorno), nel caso non degenere, ammette soluzioni globali in tempo. Inoltre, abbiamo sviluppatoun’analisi asintotica al tendere a zero del parametro di troncamento del sistema non degenere,concludendo l’esistenza di opportune soluzioni deboli al (problema ai valori iniziali e al contornoper il) sistema (27, 29, 31), nel caso degenere.

5. ANALISI DI MODELLI PER IL CONTATTO CON ADESIONE

Questi modelli descrivono il fenomeno del contatto fra due corpi, su una porzione comune delloro bordo, su cui e presente una sostanza adesiva. Lo studio di questo problema, e dell’associatofenomeno della “delaminazione” (cioe lo scollamento fra i due corpi), ha delle importanti ricadutea livello applicativo. Infatti, i cosiddetti composti “laminati” vengono impiegati in molti settoriindustriali, come, per esempio, in quello automobilistico per la costruzione di elementi strutturaliche assorbano l’energia di un impatto.

I sistemi di equazioni alle derivate parziali associati a questo tipo di modelli tipicamente de-scrivono l’evoluzione di due variabili: il vettore degli spostamenti u (che ancora scriveremo comescalare u per semplicita notationale), e un parametro scalare χ, che misura lo stato dell’adesionefra i due solidi e che percio ha la natura di un parametro di danneggiamento. Si noti che, mentreu e una variabile di volume, χ e solo definito sulla superficie di contatto. Effetti termici possonoanche venire incorporati nel modello, talora tramite due diverse equazioni: una per la temperaturaall’interno dei due corpi, e una per la temperatura della sostanza adesiva sulla superficie di con-tatto. Quindi, i relativi sistemi di PDE accoppiano equazioni su domini d-dimensionali, a equazionisu domini (d − 1)-dimensionali. L’analisi delle associate formulazioni deboli si basa su risultati ditraccia, e pertanto gli spazi funzionali ambiente devono garantire un’opportuna regolarita spazialedelle variabili di volume. In questo contesto, mi sono occupata dell’analisi di essenzialmente duetipologie di modelli:

• modelli per il contatto con adesione e, possibilmente, effetti termici e di frizione, nei qualinel’equazione di evoluzione per il parametro χ ha una struttura di flusso gradiente: lavori[11], [12], [16], [19], [25], [33];

• modelli per il contatto con adesione e la delaminazione, con effetti termici, nei quali nel’equazionedi evoluzione per il parametro χ ha carattere rate-independent: lavori [23], [29], [30].

Esistenza, unicita e comportamento per tempi lunghi per modelli di contatto fra conadesione fra solidi (lavori [11], [12], [16], [19], [25], [33]): Nel lavoro [11] in collaborazionecon E. Bonetti e G. Bonfanti, e stato studiato il problema dell’esistenza di soluzioni per questosistema di equazioni di evoluzione (in cui per semplicita notazionale il vettore degli spostamenti escritto come scalare):

−∆(∂tu)−∆u = F in Ω× (0, T ),(32)u = 0 in Γ1 × (0, T ), ∂n(∂tu+ u) = 0 in Γ2 × (0, T ),(33)∂n(∂tu+ u) + χu+ ∂I(−∞,0](u) 3 0 in Γc × (0, T ),(34)

∂tχ−∆χ+ ∂I(−∞,0](∂tχ) + ∂I[0,1](χ) 3 −k2|u|2 in Γc × (0, T ),(35)

∂nχ = 0 in ∂Γc × (0, T ).(36)

che modellizza un fenomeno di contatto con adesione fra un solido (che occupa una porzione dispazio Ω e sul quale agisce la forza F ), e un supporto rigido: il caso di due solidi a contatto

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si puo trattare con tecniche del tutto analoghe. Il contatto avviene su una porzione Γc del bordoΓ = Γ1∪Γ2∪Γc di Ω, sulla quale e presente del materiale adesivo (per esempio della colla), soggettoa un fenomeno di danneggiamento irreversibile. Per semplicita, in (32)–(36) la traccia di u su Γc

viene ancora denotata con il simbolo u. Infine, il simbolo ∂I(−∞,0] (∂I[0,1], rispettivamente) denota ilsottodifferenziale (nel senso dell’analisi convessa) della funzione indicatrice della semiretta (−∞, 0](dell’intervallo [0, 1], risp.). Si noti che il termine ∂I(−∞,0](∂tχ), forzando la disuguaglianza ∂tχ ≤ 0in Γc × (0, T ), rende conto dell’irreversibilita del danneggiamento del materiale adesivo, mentre∂I(−∞,0](u) in (34) incorpora il vincolo di non-compenetrazione fra il solido e il suo supporto.

Le principali difficolta relative all’analisi del sistema (32)–(36) (derivato in [11] seguendo l’ap-proccio modellistico della monografia di M. Fremond [Non-smooth Thermomechanics, Springer-Verlag, Berlin, 2002]), sono legate al suo carattere non lineare e all’accoppiamento fra le equazioniper la χ e per la u, che avviene sulla superficie di contatto Γc attraverso la condizione al bordo delterzo tipo (34). Inoltre, nella (34) e nella equazione di evoluzione (35) per il parametro χ notiamola presenza delle tre nonlinearita massimali monotone date dagli operatori di tipo sottodifferenziale.Impiegando opportune tecniche di compattezza (basate su stime dell’energia) e di monotonia, in [11]e stato ottenuto un risultato di esistenza globale di soluzioni per il sistema (32)-(36). L’unicitadelle soluzioni rimane un problema aperto. Tuttavia, a causa della natura doppiamente non linearedell’equazione (35) per la χ, pare improbabile che possa valere un tale risultato.

In [12] e stato invece considerato il caso in cui il danneggiamento del materiale adesivo siareversibile: viene quindi trascurato il termine ∂I(−∞,0](∂tχ) nell’equazione (35) per la χ. In questecondizioni, sono stati ottenuti risultati di buona positura (esistenza e dipendenza continua dellesoluzioni dai dati del problema) per il problema di Cauchy relativo al sistema (32)-(36). Inoltre, estata sviluppata un’analisi del comportamento per tempi lunghi delle soluzioni, dimostrando, cheper ogni traiettoria, l’associato ω-limite e non vuoto, ed e costituito dalle soluzioni del sistemastazionario corrispondente a (32)–(36).In [16] ho affrontato, con E. Bonetti e G. Bonfanti, l’analisi dell’estensione del modello (32)-(36)al caso non isotermo. Piu precisamente, nel quadro dell’approccio di Fremond abbiamo derivatoun modello per il contatto con adesione nel caso a temperatura non costante, ammettendo inoltreche il solido e la superficie di contatto (sulla quale e presente la sostanza adesiva) possano averetemperature diverse. Il corrispondente sistema di equazioni alle derivate parziali accoppia, alleequazioni per lo spostamento u e per il parametro di danneggiamento della colla χ opportunamentemodificate, due equazioni di bilancio dell’entropia, che descrivono l’evoluzione della temperatura ϑdel solido e della temperatura ϑs della superficie di adesione, cioe

∂t(ln(ϑ))− div(∂tu)−∆ϑ = h in Ω× (0, T ),(37)

∂nϑ =

0 in (∂Ω \ Γc)× (0, T ),−χ(ϑ− ϑs) in Γc × (0, T ),

(38)

∂t(ln(ϑs))− ∂tχ−∆ϑs = χ(ϑ− ϑs) in Γc × (0, T ),(39)∂nϑs = 0 in ∂Γc × (0, T ),(40)

ove h e una fonte di calore. La scelta delle leggi di bilancio dell’entropia anziche dell’energia interna,comporta la presenza di nonlinearita logaritmiche nelle corrispondenti equazioni di evoluzione per ϑe ϑs. Da un lato, tali nonlinearita garantiscono la stretta positivita di entrambe le temperature ϑ eϑs, che e di fondamentale importanza in vista della consistenza termodinamica del modello. D’altrocanto, l’analisi del sistema (32))-(40) risulta piuttosto laboriosa, anche per la natura doppiamentenon lineare delle equazioni per ϑ e ϑs. Tecniche di compattezza e di monotonia, combinate conopportuni risultati tecnici ad hoc, ci hanno permesso di provare un risultato di esistenza globale di

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soluzioni. In [19] e stata quindi sviluppata un’analisi del comportamento per tempi lunghi dellesoluzioni di (32)-(40), in termini dello studio dell’ω-limite associato alle singole traiettorie.Infine, nei recenti [25] e [33] sono stati analizzati modelli per il contatto adesivo con frizione,nel caso isotermo e non-isotermo, rispettivamente. L’inclusione di effetti di frizione nei modelli(32)–(36) e (32)–(40) comporta alcune complicazioni analitiche. Essenzialmente, esse sono dovutealla presenza di un ulteriore nonlinearita (ancora data da un operatore massimale monotono)nell’equazione per il vettore degli spostamenti u: per mezzo di tale operatore viene incorporatanel modello una (opportuna regolarizzazione) della legge di Coulomb per la frizione. Il risultatoprincipale di [25] garantisce l’esistenza di soluzioni al problema di Cauchy e ai limiti per il sistemadi equazioni alle derivate parziali associato al modello: tali soluzioni sono ottenute passando allimite in uno schema di approssimazione che combina discretizzazione temporale e regolarizzazione(tramite approssimate di Yosida) di alcune delle nonlinearita che intervengono nelle equazioni. In[33], e stato pure ottenuto un risultato di esistenza globale in tempo di soluzioni, tramite tecnichedi approssimazione e punto fisso.

Analisi di modelli rate-independent per il contatto con adesione e la delaminazione(lavori [23], [29], [30]): in collaborazione con T. Roubıcek, in [23] e stata sviluppata l’analisidi un modello per il contatto con adesione fra solidi, nel caso in cui l’evoluzione del parametro diadesione sia rate-independent. Tale modello comprende anche un’equazione per la temperatura neisolidi, e un’equazione per il vettore degli spostamenti con termini viscoelastici e inerziali. Il rela-tivo sistema di equazioni alle derivate parziali evolutive non e quindi puramente rate-independent,ma ha piuttosto un carattere misto. Cio comporta alcune delle maggiori difficolta nella relativaanalisi, in quanto i problemi evolutivi rate-independent vengono trattati con tecniche ad hoc chesono sostanzialmente diverse da quelle per le evoluzioni “viscose”. In [23] abbiamo lavorato conuna nozione di soluzione debole del problema, che combina le “usuali” formulazioni variazionalidell’equazione dello spostamento e della temperatura, con un’identita dell’energia e una condizionedi (semi-)stabilita. Queste ultime sono mutuate dalla teoria delle summenzionate soluzioni ener-getiche di sistemi rate-independent, e rendono infatti l’evoluzione del parametro di adesione. Per ilcorrispondente problema di Cauchy sono stati ottenuti risultati di esistenza e di approssimazione(tramite discretizzazione temporale) di soluzioni. Anche in questo caso, a causa del caratterefortemente nonlineare e in parte rate-independent del problema, risultati di unicita delle soluzioniappaiono fuori portata.

I risultati di [23] sono stati in seguito generalizzati in [29] al caso dei cosiddetti modelli per ilcontatto con adesione (non-isotermo) con mixity-mode.

Infine, con M. Thomas in [30] e stato invece affrontato il problema dell’analisi asintotica (altendere all’infinito di un opportuno parametro) del sistema di equazioni alle derivate parziali stu-diato in [23]. Questo corrisponde al passaggio da un modello che descrive una risposta elastica alladelaminazione, tramite la presenza di forze adesive sulla superficie di contatto, a un modello per lacosiddetta delaminazione brittle. Riscrivendo il modello nella notazione di [11], si tratta di passareal limite per κ→∞ nella condizione al bordo

(41) ∂n(∂tu+ u) + κχu+ ∂I(−∞,0](u) 3 0 in Γc × (0, T ),

forzando in questo modo il vincolo non-adesivo (brittle):

(42) χu = 0 in Γc × (0, T ).

Il passaggio da (41) a (42) cambia in modo sostanziale la natura della formulazione debole perl’equazione degli spostamenti: in particolare, le relative funzioni test v devono soddisfare, nel caso

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brittle, oltre alla condizione di non-compenetrazione, anche il vincolo χv = 0 in Γc× (0, T ). Questofatto, insieme al carattere misto (rate-independent e viscoso) del sistema di PDE, ha comportatodiverse difficolta analitiche, che sono state superate introducendo una opportuna regolarizzazioneSBV nell’equazione di evoluzione per il parametro χ, e combinando tecniche di convergenza vari-azionale, con risultati di teoria geometrica della misura.

TESI DI DOTTORATO

Nella mia tesi di dottorato“Existence and compactness results for evolution equations and applications to phase field models”ho inquadrato i risultati ottenuti nei lavori [1]-[5] e [7] nell’ambito della trattazione analitica deiproblemi di transizioni di fase.

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PUBBLICAZIONI

Articoli

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[33] E. Bonetti, G. Bonfanti, R. Rossi, Analysis of a temperature-dependent model for adhe-sive contact with friction, Quaderno n. 14/2012 del Seminario Matematico di Brescia, 2012,p. 1–37.

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[34] T. Roche, R. Rossi, U. Stefanelli, Stability results for doubly nonlinear differential inclu-sions by variational convergence, Quaderno n. 20/2012 del Seminario Matematico di Brescia,2012, p. 1–31.

Atti di convegno

[at1] R. Rossi, G. Savare, Existence and approximation results for gradient flows, Atti Accad.Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 15 (2004), 183–196.

[at2] R. Rossi, Existence and approximation results for general rate-independent problems viaa variable time-step discretization scheme, pp. 369–380, in: “Free boundary problems”,Internat. Ser. Numer. Math., 154, Birkhauser, Basel, 2007.

[at3] A. Mielke, R. Rossi, G. Savare, A vanishing viscosity approach to rate-independent mod-elling in metric spaces, pp. 33–38, in: “Rate-independent evolutions and material modeling”(T. Roubıcek and U. Stefanelli Eds.), Pubblicazione I.M.A.T.I.-C.N.R. 29PV10/27/0 (2010).

Data 26/03/2013.

In fede,

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curriculum dell’attivita scientifica e … di ricerca all’estero 1.in visita presso l’institut...

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