curbe ˘si suprafet˘e - aspecte diferent˘iabile - facultatea de...

M-I-Munteanu

Curbe si suprafete

- aspecte diferentiabile -

MARIAN IOAN MUNTEANU

Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iasi

mate − info

Iasi, 2020

M-I-MunteanuBibliografie

[1] K. Tapp, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Springer,2016.

[2] C. Oniciuc, Lectii de geometrie diferentiala a curbelor si suprafetelor,Demiurg, 2018.

[3] A. Teleman, Geometrie differentielle, curs CMI Marseille (online).

[4] A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometryof curves and surfaces with Mathematica, 3rd edition, Chapman &Hall/CRC, 2006.

[5] M. Anastasiei, Geometrie. Curbe si suprafete, Cermi, 2003.

[6] M. Crasmareanu, Geometria curbelor si suprafetelor, curs UAIC (on-line).

[7] M. Abate, F. Tovena, Curves and Surfaces, Springer, 2006.

[8] M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, PrenticeHall, 1976 (revised 2016).

M-I-MunteanuCAPITOLUL 1

Geometria diferentiala a curbelor

Am putea sa spunem, intuitiv, ca o curba este traiectoria unui obiect carese misca prin spatiu ıntr-un anumit interval de timp. Vom da totusi odefinitie matematica a acestei notiuni.

Cadrul ın care lucram este un spatiu euclidian En de dimensiune n, ıncare am fixat un reper cartezian cu originea ın O, axele de coordonate(orientate) Ox1, Ox2, Ox3, etc. In dimensiune ≥ 3 vom utiliza frecventnotatiile x1 = x, x2 = y si x3 = z.

Vom considera cunoscute notiunile: produs scalar, lungimea unui vector,produs vectorial ın R3, produs mixt ın R3, coliniaritate, coplanaritate (ınR3), etc.

Vom face, de asemenea, identificarile:

P ∋ En ←→ (x1P , . . . , xnP ) = x1P e1 +⋯ + xnP en ∈ Rn.punctul vectorul din spatiul director

Pentru n = 3, vom identifica de asemenea punctul P cu vectorul sau de

pozitieÐ→OP ∈ V3.

Definitia 1.1 O curba parametrizata ın Rn de clasa Cm (m ≥ 1) este ofunctie vectoriala ρ ∶ I → Rn, de clasa Cm, unde I ⊆ R este un interval.

Observatii. Un interval este o submultime conexa a lui R, adica I este de forma

(a, b), [a, b, ], (a, b], [a, b), (−∞, b), (−∞, b], (a,∞), [a,∞),

1

M-I-Munteanu

Geometria curbelor 2 M. I. Munteanu

unde a, b ∈ R. Cand intervalul este ınchis ıntr-un capat, va trebui sa fimatenti la cum definim diferentiabilitatea ın acel capat.

De cele mai multe ori, vom lucra cu clasa de diferentiabilitate C∞, situatieın care vom folosi termenul de neted.

t ∈ I va avea ”rolul timpului” din definitia intuitiva data la ınceput.

1.1 Curbe parametrizate ın Rn

Definitia 1.2 Fie ρ ∶ I → Rn, ρ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) este o curbaparametrizata de clasa Cm, m ≥ 2, ın Rn. Definim vectorul viteza ca fiindderivata ρ′ ∶ I → Rn, ρ′(t) = (x′1(t), . . . , x′n(t)). Viteza la momentul t0 ∈ Ipentru curba ρ este marimea vectorului viteza ın punctul t0, adica ∣ρ′(t0).Definim vectorul acceleratie ca fiind derivata de ordinul al doilea a functieiρ, adica ρ′′ ∶ I → Rn, ρ′′(t) = (x′′1(t), . . . , x′′n(t)).

Definitia 1.3 Numim lungimea arcului dintre t1 si t2 din I numarul

∫t2

t1∣ρ′(t)∣dt.

Interpretare: este distanta strabatuta de obiect, pe curba ρ, ın intervalulde timp [t1, t2].

Definitia 1.4 (regularitate) Curba parametrizata ρ ∶ I → Rn este regulatadaca viteza sa nu se anuleaza nicaieri, adica ρ′(t)∣ ≠ 0, pentru orice t ∈ I.

Definitia 1.5 Curba ρ ∶ I → Rn este o curba cu viteza unitara sauparametrizata natural sau parametrizata prin lungimea de arc, daca vitezasa este 1 ın orice moment, adica daca ∣ρ′(t)∣ = 1 pentru orice t ∈ I. In acestcaz t se numeste parametrul lungime de arc si adesea va fi notat cu s.

M-I-Munteanu


Exemple.

1. Fie ρ ∶ R→ R2, ρ(t) = (r cos tr , r sin t

r). Imaginea geometrica ρ(R) estecercul de raza 2 din Figura 1.18 (stanga).

2. Fie o functie neteda f ∶ R → R. Consideram curba parametrizataρ ∶ R → R2 data prin ρ(t) = (t, f(t)). Imaginea geometrica a curbei ρ estegraficul functiei f . Vezi Figura 1.18 (dreapta).

Figura 1.1: cerc de raza 2; graficul functiei f(x) = x3

In cele doua exemple de mai sus, ρ ia valori ın R2, deci este o curba plana.

Urmatoarele doua exemple sunt curbe ın R3.

3. Fie ρ ∶ R → R3, ρ(t) = (a cos t, a sin t, bt), unde a, b sunt numere realeastfel ıncat a2 + b2 > 0. Pentru a = 1 si b = 1/3, imaginea geometrica ρ(I)(pentru un anumit interval din R) este cea din Figura 1.2.

4. Fie ρ ∶ R→ R3, ρ(t) = (t + 1,2 − t,3t − 1).Putem scrie ca ρ(t) = ρ0 + ta, unde ρ0 = (1,2,−1) este un punct fixat, iara = (1,−1,3) este un vector (director). Prin urmare, ρ(R) este o dreaptaın spatiu, prin urmare este o curba plana. Evident, exista mai multe planeın care se afla curba.

M-I-Munteanu


Figura 1.2: o elice ın R3

5. Fie ρ ∶ R→ R2, ρ(t) = (t3, t2).

Cele doua ramuri:ρ1 ∶ (−∞,0)→ R2, ρ1(t) = (t3, t2)ρ2 ∶ (0,∞)→ R2, ρ2(t) = (t3, t2)sunt curbe parametrizate regulate.Cu toate acestea, ρ nu este curbaparametrizata regulata.Avem ρ′(0) = (0,0).

Figura 1.3: graficul functiei f(x) = 3√x2

Din acest exemplu deducem ca, proprietatea unei curbe de a fi regulata,implica anumite restrictii legate de forma (locala) a curbei.

6. Fie curba ρ ∶ R→ R2, ρ(t) = ( cos t1+sin2 t

, sin t cos t1+sin2 t

).

Curba este regulata si periodica ıntrucat avem ρ′(t) = 2cos 2t−3 ≠ 0, iar ρ(t) =

ρ(t + 2π) pentru orice t ∈ R.

Din exemplul 6, observam ca ρ(π/2) = ρ(3π/2) = (0,0). Vezi figura 1.4.Prin urmare, o curba parametrizata regulata poate avea puncte multiple,adica sa existe t1 ≠ t2 astfel ıncat ρ(t1) = ρ(t2). Avem ınsa urmatoareateorema.

M-I-Munteanu


Figura 1.4: lemniscata lui Bernoulli

Teorema 1.1 Fie ρ ∶ I → Rn o curba parametrizata regulata. 1 Atunci,pentru orice t0 ∈ I, ∃ε > 0 astfel ıncat (t0 − ε, t0 + ε) ⊆ I si ρ∣(t0−ε,t0+ε) esteinjectiva.

Dam ın continuare alte exemple de curbe.

7. Curba lantisor este graficul functiei f ∶ R → R, f(x) = a cosh ta , unde a

este o constanta reala strict pozitiva.

Figura 1.5: lantisorul

8. Spirala logaritmica: ρ ∶ R → R2, ρ(t) = c (eλt cos t, eλt sin t), unde c, λsunt constante reale, c ≠ 0.

Reprezentam ın continuare curba pentru c = 1 si λ = −1/51I din Th trebuie sa fie deschis

M-I-Munteanu


Figura 1.6: spirala logaritmica

9. Spirala lui Arhimede: ρ ∶ (0,∞) → R2, ρ(t) = c (t cos t, t sin t), undec ∈ R ∖ 0.

Imaginea geometrica a curbei ρ de mai sus, pentru c = 1 este reprezentatain figura 1.7, ın partea stanga, cu rosu. Daca modificam intervalul dedefinitie ın (−∞,0), obtinem imaginea reprezentata ın partea dreapta, cualbastru.

Figura 1.7: spirala lui Arhimede

M-I-Munteanu


11. Tractricea este curba parametrizata astfel:

ρ ∶ (π/2, π)→ R2, ρ(t) = (sin t, cos t + log tant

2) .

Figura 1.8: tractricea

12. Functia vectorialaρ ∶ R → R3, ρ(t) = ((r + sinnt) cos t, (r + sinnt) sin t, sinnt), unde r > 0si n numar natural, defineste o curba parametrizata regulata ın spatiu,periodica. In figura 1.9 am reprezentat imaginea functiei ρ pentru r = 4 sipentru diverse valori ale lui n (n = 1 rosu, n = 2 albastru, n = 3 negru sin = 5 magenta).

M-I-Munteanu


Figura 1.9: curbe pe tor

13. Functia vectorialaρ ∶ R → R3, ρ(t) = (sin t + 2 sin 2t, cos t − 2 cos 2t, sin 3t), defineste o curbaregulata ın spatiu, adesea numita nodul trifoi.

Figura 1.10: trifoiul

M-I-Munteanu


14. Astroida este curba parametrizata astfel: ρ ∶ [0,2π] → R2, ρ(t) =(cos3 t, sin3 t).

Deoarece ρ′(π/2) = (0,0), curba nu este regulata. Imaginea geometricaρ([0,2π]) este reprezentata ın figura 1.11.

Figura 1.11: astroida

15. Curba deltoid este curba parametrizata prin ρ ∶ R → R2, ρ(t) =(2n cos t(1 + cos t) − n,2n sin t(1 − cos t)), unde n este un numar natural.

Imaginea geometrica pentru n = 1 (respectiv n = 3 si n = 7) este reprezen-tata ın figura 1.12 cu albastru (respectiv verde si rosu).

Figura 1.12: deltoidul

M-I-Munteanu


Curba nu este regulata; este suficient sa observam ca

∣ρ′(t)∣2 = 16n2 sin2 3t

2.

Diferite proprietati ale unor curbe prezentate pana acum vor fi studiate ınAnexa 1.

Am vazut ca daca f este o functie diferentiabila pe un interval I, graficulsau este imaginea geometrica a unei curbe parametrizate regulate ın R2.Ne punem problema daca se ıntampla si reciproc. In acest sens, avemurmatorul rezultat.

Propozitia 1.1 Fie ρ ∶ I → R2, ρ(t) = (x(t), y(t)) o curba parametrizataregulata si fie t0 ∈ I astfel ıncat x′(t0) ≠ 0. Atunci, pe o vecinatate a lui t0,imaginea lui ρ este graficul unei functii y = h(x). Mai precis,

∃ε1 > 0 care ne da vecinatatea lui t0,

∃ε2 > 0 care ne da vecinatatea lui x0 = x(t0),∃h ∶ (x0 − ε2, x0 + ε2)→ R

astfel ıncat

ρ(t0 − ε1, t0 + ε1) = (x,h(x)) ∶ x ∈ (x0 − ε2, x0 + ε2) = Graf h.

Schimbarea de parametru. Dam ın continuare o proprietate care nepermite definirea notiunii.

Propozitia 1.2 Fie ρ ∶ I → Rn o curba parametrizata regulata.Fie µ ∶ J → I un difeomorfism (de aceeasi clasa de diferentiabilitate ca siρ). Atunci functia vectoriala ρ µ ∶ J → Rn este tot o curba parametrizataregulata.

Demonstratie. Daca notam cu t si s parametrii pe I si J , respectiv,avem (ρ µ)′(s) = ρ′(µ(s)) ⋅ µ′(s) ≠ 0, pentru orice s ∈ J .

Astfel, µ−1 ∶ I → J , care este tot un difeomorfism, se numeste schimbareade parametru de la t la s.

M-I-Munteanu


Definitia 1.6 Fie ρ1 ∶ I1 → Rn si ρ2 ∶ I2 → Rn doua curbe parametrizateregulate. Ele se numesc echivalente daca exista un difeomorfism µ ∶ I2 → I1

astfel ınat ρ2 = ρ1 µ.

Se obtine astfel o relatie de echivalenta pe multimea curbelor parametrizateregulate. O clasa de echivalenta se numeste curba regulata. Vom notacurba cu C.

Doua curbe parametrizate regulate echivalente au aceeasi imagine. Definimimaginea unei curbe regulate ca fiind imaginea unui reprezentant.

Cea mai scurta distanta dintre doua puncte. Fie ρ ∶ [a, b] → Rn

o curba parametrizata si fie p = ρ(a) si q = ρ(b). Notam cu L lungimeacurbei ρ. Atunci

L ≥ ∣q − p∣.Acest rezultat ne arata ca cea mai scurta distanta dintre doua puncte seatinge pe linia dreapta (pe segmentul [pq]).Inainte de a face demonstratia vom clarifica mai multe aspecte.

Mai ıntai, la o schimbare de parametru lungimea unui arc de curba nuse schimba. Schimbarea de parametru pe curba duce la schimbarea deparametru ın integrala.

Pentru segmentul [pq] consideram parametrizarea ρ ∶ [0,1] → Rn, ρ(t) =(1−t)p+tq. Prin urmare, lungimea segmentului [pq] (imaginea geometrica

a lui ρ) se calculeaza astfel

1

∫0

∣ρ′(t)∣dt =1

∫0

∣q − p∣dt = ∣q − p∣.

Sa luam un caz particular pentru o mai usoara ıntelegere a problemei:n = 2, p = (0,0) si q = (x0,0) cu x0 > 0. Fie ρ(t) = (x(t), y(t)). Avem

L = ∫b

a∣ρ′(t)∣dt = ∫

b

a

√x′(t)2 + y′(t)2dt ≥ ∫

b

a

√x′(t)2dt

= ∫b

a∣x′(t)∣dt ≥ ∫

b

ax′(t)dt = x(b) − x(a) = x0.

Grafic, pentru aceasta situatie, am dovedit ca distanta parcursa de unobiect pe curba ρ este mai mare sau egala cu distanta strabatuta pe ori-zontala (adica ın linie dreapta).

M-I-Munteanu


Figura 1.13: distanta cea mai scurta este ın linie dreapta

Sa analizam acum situatia generala. Ideea demonstratiei este de a ınlocui”a parcurge pe orizontala” cu ”a parcurge ın directia vectoruluiÐ→pq”. Notamn = q−p

∣q−p∣ care este un vector constant (independent de t). Avem

L = ∫b

a∣ρ′(t)∣dt = ∫

b

a∣ρ′(t)∣ ∣n∣dt ≥ ∫

b

a∣⟨ρ′(t), n⟩∣dt ≥ ∫

b

a⟨ρ′(t), n⟩dt

(am folosit inegalitatea lui Schwarz si ∣x∣ ≥ x)

= ∫b

a

d

dt⟨ρ(t), n⟩dt = ⟨ρ(b), n⟩ − ⟨ρ(a), n⟩ = ⟨ρ(b) − ρ(a), n⟩

= ⟨q − p, q−p∣q−p∣⟩ = ∣q − p∣.

Egalitatea are lor daca toate inegalitatile se verifica cu semnul ”=”. Incazul nostru trebuie sa avem egalitate ın inegalitatea lui Schwarz si ın ine-galitatea ∣x∣ ≥ x, iar acest fapt se ıntampla daca ρ′(t) este coliniar si deacelasi sens cu n pentru orice t ∈ [a, b]. Fie f(t) factorul de proportionali-tate (pozitiv), adica ρ′(t) = f(t)n, pentru orice t. Prin integrare se obtineρ(t) − p = F (t)n, unde F (t) = (∫

t

a f(u)du). Functia vectoriala ρ este reg-ulata, rezulta ca f(t) ≠ 0 pentru orice t, deci este strict pozitiva. Asadar,F este strict crescatoare pe [a, b]. Avem imediat ca F (a) = 0. Punandt = b, obtinem ρ(b)−p = F (b)n, de unde deducem ca F (b) = ∣q−p∣. Punand

s = µ(t) = F (t)∣q−p∣ , avem

(ρ µ−1)(s) = (1 − s)p + sq, s ∈ [0,1].

Prin urmare am obtinut segmentul de dreapta [pq].

M-I-Munteanu


Parametrul lungime de arc.

Definitia 1.7 Fie ρ ∶ I → Rn, t ↦ ρ(t), o curba parametrizata regulata.Parametrul t se numeste parametru lungime de arc si spunem ca ρ esteparametrizata prin lungimea de arc daca ∣ρ′(t)∣ = 1, oricare ar fi t ∈ I.

O justificare a denumirii ar fi urmatoarea: daca t este parametrul lungimede arc iar t1 < t2, atunci lungimea arcului de curba

>ρ(t1)ρ(t2) este t2 − t1.

Teorema 1.2 Orice curba regulata admite un reprezentant parametrizatprin lungimea de arc.

Reformulare. Orice curba parametrizata regulata poate fi reparametrizataprin lungimea de arc.Demonstratie. Fie ρ ∶ I → Rn o curba parametrizata regulata. Fie t0 ∈ Ifixat. Definim

λ ∶ I → R, λ(t) = ∫t

t0∣ρ′(u)∣du,

care este o functie strict crescatoare, λ(I) este un interval J ın R, deciλ ∶ I → J este un difeomorfism. Fie µ ∶ J → I, µ = λ−1.

Consideram schimbarea de parametru (reparametrizare) ρ µ ∶ J → Rn sicalculam

d

ds(ρ µ)(s) = ρ′(µ(s)) ⋅ µ′(s).

Dar (λ µ)(s) = s pentru orice s ∈ J , deci λ′(µ(s)) ⋅ µ′(s) = 1. Rezulta

∣ dds

(ρ µ)(s)∣ = 1

λ′(µ(s)) ∣ρ′(µ(s))∣ = 1

∣ρ′(µ(s))∣ ∣ρ′(µ(s))∣ = 1.

Facem ın continuare cateva observatii:

1. Alegerea punctului t0 nu este importanta.2. Daca avem doua parametrizari (ale aceleeasi curbe) prin lungimea dearc si anume ρ si ρ = ρ µ, atunci rezulta imediat ca ∣µ′(s)∣ = 1, ceea ceimplica µ(s) = ±s + s0, unde s0 ∈ R. Avem asadar o posibila translatie ınparametrul s si, eventual, o schimbare de semn pantru parametru. Aceastaschimbare de semn (daca exista) implica schimbarea sensului de parcurs alcurbei. Prin urmare, sensul de parcurs nu este o proprietate a curbei ci a

M-I-Munteanu


curbei parametrizate.3. Demonstratia de mai sus ne da o metoda explicita de a reparametrizaorice curba regulata prin lungimea de arc. Cu toate acestea, metoda nueste, din punct de vedere computational, usor de implementat. Valoarearezultatului este mai mult teoretic decat practic (computational). Prinurmare, adesea vom spune: Fara a restrange generalitatea, presupunem caavem, pentru curba data, parametrizare prin lungimea de arc.

Aproximarea lungimii arcului de curba.

Am dat definitia lungimii unui arc de curba (parametrizata, neteda, nu

neaparat regulata) ρ ∶ [a, b]→ Rn ca fiind numarul l(>ρ(a)ρ(b)) = ∫b

a ∣ρ′(t)∣dt(vezi pagina 1.3).

Justificam aceasta definitie.

Vom folosi poligoane de aproximare. Mai precis, vom considera o diviziunea intervalului [a, b]

a = t0 < t1 < . . . < tk = bcare determina o secventa de puncte Pi = ρ(ti), i = 1, . . . , k. Construimun poligon P (o linie poligonala) unind punctele definite mai sus, adica seconsidera secventa de segmente PiPi+1, i = 1, . . . , k − 1. Atunci lungimealui P este

l(P ) =k−1

∑i=0

∣ÐÐÐ→PiPi+1∣ =k−1

∑i=0

∣ÐÐÐÐÐÐÐ→ρ(ti)ρ(ti+1)∣.

Acum consideram un poligon de aproximare P ”mai bun” decat P , prinintroducerea unor puncte suplimentare, adica se considera o rafinare adiviziunii intervalului [a, b]. Este evident ca l(P ) ≥ l(P ), deoarece, daca

Pj se afla ”ıntre” Pi si Pi+1 atunci ∣ÐÐÐ→PiPi+1∣ ≤ ∣ÐÐ→PiPj ∣ + ∣

Ð→PjPi+1∣.

Prin urmare, considerand rafinari succesive ale intervalului [a, b], obtinemvalori mai mari ale lungimii liniei poligonale P .

Astfel, putem defini lungimea lui ρ ca fiind cea mai mare valoare dintretoate lungimile poligoanelor de aproximare posibile P . Arcul de curbase numeste rectificabil daca multimea acestor valori l(P ) este marginitasuperior. In acest caz exista un supremum al acestei multimi care este egalcu ∫

b

a ∣ρ′(t)∣dt, adica reprezinta lungimea arcului de curba>ρ(a)ρ(b).

Dreapta tangenta. Fie ρ ∶ I → Rn o curba parametrizata regulata.

M-I-Munteanu


Definim dreapta tangenta la ρ ıntr-un punct t0 ca fiind dreapta care treceprin ρ(t0) si are directia data de ρ′(t0). Mai precis, este vorba de dreaptaafina

δt0(ρ) ∶= ρ(t0) + spanρ′(t0).Daca schimbam parametrizarea si consideram ρ(t0) = (ρ µ)(s0) atunci

(ρ µ)′(s0) = ρ′(µ(s0)) ⋅ µ′(s0),

prin urmare avem aceeasi dreapta tangenta.

Concluzie. Dreapta tangenta este caracteristica clasei de echivalenta, i.e.curbei (nu parametrizarii).

Putem scrie acum diferite tipuri de ecuatii pentru dreapta tangenta ıntr-unpunct la o curba.

• ecuatia vectoriala: r = ρ(t0) + sρ′(t0), s ∈ R;

• ecuatiile parametrice (ın R3):

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t0) + s x′(t0),y = y(t0) + s y′(t0), s ∈ Rz = z(t0) + s z′(t0),

• ecuatiile canonice (ın R3): x−x(t0)x′(t0)

= y−y(t0)y′(t0)

= z−z(t0)z′(t0)

.

Planul osculator (al unei curbe).

Definitia 1.8 Fie ρ ∶ I → Rn (n ≥ 2) o curba parametrizata regulata.Spunem ca ρ este biregulata ın t0 ∈ I sau ca ρ(t0) este un punct neinflex-ionar daca ρ′(t0) si ρ′′(t0) sunt liniari independenti, adica necoliniari. 2 Inacest caz, definim planul osculator la ρ ın t0 ca fiind planul afin prin ρ(t0) side directie planara ρ′(t0), ρ′′(t0). In caz contrar, ρ(t0) se numeste punctinflexionar sau punct de inflexiune.

Caracterul geometric al notiunii de biregularitate: Fie µ ∶ J → I undifeomorfism asftel ıncat t0 = µ(s0). Avem

• (ρ µ)′(s0) = ρ′(t0) ⋅ µ′(s0)2In R3 conditia se scrie ρ′(t0) × ρ

′′(t0) ≠ 0.

M-I-Munteanu


• (ρ µ)′′(s0) = ρ′′(t0) ⋅ µ′(s0)2 + ρ′(t0) ⋅ µ′′(s0).

Prin urmare, daca vectorii viteza sunt coliniari (si definesc directia drepteitangente), nu acelasi lucru se poate spune si despre vectorii acceleratie.Cu toate acestea, putem observa ca (ρ µ)′(s0) si (ρ µ)′′(s0) sunt liniarindependenti daca si numai daca ρ′(t0) si ρ′′(t0) sunt liniar independenti.

Propozitia 1.3 Daca ρ este parametrizata prin lungimea de arc, atunciρ(t0) este neinflexionar daca si numai daca ρ′′(t0) ≠ 0.

Demonstratie. Fiind parametrizata cu lungimea de arc, ρ satisface pro-prietatea ⟨ρ′(t), ρ′(t)⟩ = 1, pentru orice t. Deducem ca ρ′′(t) si ρ′(t) suntperpendiculari. Vectorul ρ′(t) este unitar, prin urmare sistemul format dincei doi vectori (ın t0) este liniar independent daca si numai daca ρ′′(t0) estenenul.3

? Se poate ca o curba sa aiba doar puncte inflexionare? Raspunsul ni-lofera urmatoarea propozitie.

Propozitia 1.4 O curba are doar puncte inflexionare daca si numai dacareprezinta o (portiune dintr-o) dreapta.

Demonstratie. Vom presupune ca ρ ∶ I → Rn este parametrizata prinlungimea de arc. Utilizand propozitia precedenta, avem ca ρ′′(t) = 0 pentruorice t ∈ I. Integrand de doua ori, obtinem

ρ(s) = ρ(0) + sa,

unde a ∈ Rn, iar ρ(0) ∈ Rn. Am presupus ca 0 ∈ I. Deoarece t esteparametrul lungime de arc, avem, suplimentar, ca ∣a∣ = 1.

Scriem diferite ecuatii ale planului osculator:

• ecuatia vectoriala: r = ρ(t0) + s1ρ′(t0) + s2ρ′′(t0), s1, s2 ∈ R3In R3 avem ∣ρ′(t0) × ρ

′′(t0)∣ = ∣ρ

′′(t0)∣.

M-I-Munteanu


• (ın R3, cu determinant):

RRRRRRRRRRRRRR

x − x0 x′(t0) x′′(t0)y − y0 y′(t0) y′′(t0)z − z0 z′(t0) z′′(t0)

RRRRRRRRRRRRRR= 0, unde

ρ(t0) = (x0, y0, z0).

Definitia 1.9 Spunem ca o curba este plana daca imaginea sa este continutaıntr-un plan.

Avem urmatoarea proprietate:

Propozitia 1.5 O curba biregulata este plana daca si numai daca toateplanele osculatoare coincid.

Demonstratie. Fie ρ ∶ I → Rn o curba biregulata plana. Fie π0 astfelıncat ρ(I) ⊂ π0. Fie n un vector normal la π0. Pentru un t0 ∈ I fixat, avem⟨ρ(t)−ρ(t0), n⟩ = 0, pentru orice t. Rezulta ca ⟨ρ′(t), n⟩ = 0 si ⟨ρ′′(t), n⟩ = 0pentru orice t.

Cum ρ′(t) si ρ′′(t) sunt liniar independenti, ei definesc o directie planara(a planului osculator ın ρ(t)). Vectorul n este normal la acest plan. Darρ(t) apartine acestui plan, rezulta ca planul osculator la ρ ın t este π0.

Reciproca este imediata deoarece stim ca toate planele osculatoare continpunctul corespunzator.

1.2 Curbura unei curbe

Fie ρ ∶ I → Rn o curba parametrizata regulata. Vom defini notiunea decurbura asociata parametrizarii ρ ca fiind o functie κ ∶ I → [0,∞ care”masoara” cat de ”brusc” imaginea lui ρ se ”ındoaie” cand trece prin ρ(t).Valoarea κ(t) va fi mai mare daca ”ındoirea” este mai ”puternica” si va fizero daca ”seamana” cu o dreapta.

Pentru a avea o imagine mai clara (vizual) a acestei notiuni sa luam maimulte cercuri care trec printr-un acelasi punct, de raze diferite.

M-I-Munteanu


Figura 1.14: Curburi diferite ın acelasi punct

Cercul mai mare (cu raza mai mare) va avea curbura mai mica. De exem-plu, ın figura 1.14, cercul magenta are curbura cea mai mica, iar cerculalbastru are curbura cea mai mare (ın punctul de tangenta).

Pentru a defini curbura, dorim sa avem un obiect care sa caracterize ima-ginea curbei, deci definitia sa fie independenta de parametrizare, adicapentru o alta parametrizare ρ = ρ µ ∶ J → Rn a curbei, sa avem κ = κ µ.

Fie asadar ρ ∶ I → Rn si ρ = ρ µ ∶ J → Rn doua parametrizari regulatepentru aceeasi curba. Reamintim cum se schimba vitezele (v(t) = ρ′(t) siv(s) = ρ′(s)) si acceleratiile (a(t) = ρ′′(t) si a(s) = ρ′′(s)).

v(s) = µ′(s)v(t), t = µ(s)

a(s) = µ′(s)2a(t) + µ′′(s)v(t).

Deoarece acceleratiile nu sunt coliniare (ın general) le descompunem casuma dintre componenta paralela cu v (echivalent cu v) si componentanormala la v, adica

a(t) = a∥(t) + a⊥(t).Analog pentru a.

Componenta paralela a lui a este exact proiectia lui vectorului a pe vectorulv, adica are expresia

a∥(t) = ⟨a(t), v(t)⟩

∣v(t)∣2 .

M-I-Munteanu


Deoarece avem

d

dt∣v(t)∣2 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2∣v(t)∣ ddt ∣v(t)∣ddt⟨v(t), v(t)⟩ = 2⟨a(t), v(t)⟩

obtinem o alta exprimare a componentei paralele a lui a si anume

a∥(t) = ( d

dt∣v(t)∣) v(t)

∣v(t)∣ .

Considerand componentele normale, deducem imediat relatia de legatura

a⊥(s) = µ′(s)2(a⊥ µ)(s).

Intrucat ∣v(s)∣ = ∣mu′(s)∣ ⋅ ∣(v µ)(s)∣, rezulta ca

a⊥(s)∣v(s)∣2 = (a⊥ µ)(s)

∣(v µ)(s)∣2

relatie care ne da caracterul geometric si care ne permite sa dam urmatoareadefinitie.

Definitia 1.10 Functia κ ∶ I → [0,∞) definita prin

κ(t) = ∣a⊥(t)∣∣v(t)∣2

se numeste curbura curbei ρ.

? Ce se ıntampla daca lucram cu parametrul lungime de arc s?

Stim ca ρ′′(s) ⊥ ρ′(s) pentru orice s, deci a⊥(s) = a(s) = ρ′′(s), prin urmareavem ca

κ(s) = ∣ρ′′(s)∣.

Exemplu. Sa revenim la cercul de raza r > 0. Fie ρ ∶ R → R2, ρ(t) =(r cos t, r sin t). Avem

v(t) = (−r sin t, r cos t), ∣v(t)∣ = r, a(t) = (−r cos t,−r sin t).Deoarece a ⊥ v, rezulta a⊥ = a si astfel deducem ca κ(t) = 1

r ın orice t.

Am aratat ca cercul de raza r are curbura constanta nenula 1r .

M-I-Munteanu


? Care sunt curbele (din Rn) care au curbura constanta zero?

Pentru a raspunde la aceasta ıntrebare, sa consideram o curba ρ, parametrizataprin lungimea de arc. Deoarece curbura este zero, avem ca ρ′′(t) = 0, ceeace implica ρ(t) = ρ(0)+ ta0, unde ρ(0) ∈ Rn este punctul initial, iar a0 ∈ Rn

este un vector unitar. Reciproca este imediata. Am aratat asadar ca:

Propozitia 1.6 O curba regulata are curbura zero daca si numai dacaeste o (portiune dintr-o) dreapta.

Planul de lucru ın continuare este de a construi un reper mobil legat decurba.

Definitia 1.11 Fie ρ ∶ I → Rn o curba regulata. Definim vectorul unitartangent

T (t) = v(t)∣v(t)∣ =

ρ′(t)∣ρ′(t)∣ .

Daca κ(t) ≠ 0, definim vectorul unitar normal

N(t) = a⊥(t)∣a⊥(t)∣ .

Sa facem urmatorul calcul:

a(t) = v′(t) = (∣v(t)∣T (t))′ = d

dt∣v(t)∣ T (t) + ∣v(t)∣T ′(t).

Deoarece T (t) este unitar, rezulta ca T ′(t) este perpendicular pe T (t).Avem deci

a∥(t) = d

dt∣v(t)∣ T (t) iar a⊥(t) = ∣v(t)∣T ′(t).

Prin urmare κ(t) = ∣a⊥(t)∣∣v(t)∣2 =

∣∣v∣T ∣∣v∣2 = ∣T

′(t)∣∣v(t)∣ .

4

Avem de asemenea ca N(t) = T ′(t)∣T ′(t)∣ =

T ′(t)∣v(t)∣κ(t) . Rezulta

T ′(t) = ∣v(t)∣κ(t)N(t).4Aceasta relatie ne arata ca functia curbura masoara cat de mult obiectul care descrie

traiectoria ısi schimba directia de miscare.

M-I-Munteanu


? Cum putem scrie formulele de mai sus cand avem parametrizare prinlungimea de arc s?

T (s) = ρ′(s), κ(s) = ∣ρ′′(s)∣, N(s) = ρ′′(s)∣ρ′′(s)∣ , T

′ = κN.

Sa remarcam faptul ca sistemele de vectori T,N si ρ′, ρ′′ sunt la felorientate.

1.3 Curbura si reperul mobil Frenet al unei

curbe plane

Fie ρ ∶ I → R2 o curba parametrizata regulata. Putem asocia o bazaortonormata, pozitiv orientata, legata de curba, ın felul urmator:

T (t) = ρ′(t)∣ρ′(t)∣ , N(t) =

Rπ/2(ρ′(t))∣ρ′(t)∣ .

Am notat cu Rπ/2 rotatia de unghi orientat π/2.

Tinand cont de formula T ′ = ∣v∣κN , obtinuta anterior, vom defini curbura(ın t a) unei curbe plane ρ prin formula

κs(t) =⟨T ′(t),N(t)⟩

∣ρ′(t)∣ .

Semnificatia indicelui s din notatia de mai sus este de curbura cu semn.

Observatie. In situatia precedenta (pentru n = 2) avem ca T,N este obaza pozitiv orientata daca si numai daca ρ′, ρ′′ este pozitiv orientata.Mai mult, N nu este bine definit daca nu avem biregularitate, adica dacaρ′′ si ρ′ sunt vectori coliniari.

Descompunem T ′ si N ′ ın baza T,N definita mai sus. Avem

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

T ′ = ⟨T ′, T ⟩T + ⟨T ′,N⟩NN ′ = ⟨N ′, T ⟩T + ⟨N ′,N⟩N.

Pe de alta parte, conditiile ∣T ∣ = 1, ⟨T,N⟩ = 0 si ∣N ∣ = 1 implica

⟨T ′, T ⟩ = 0, ⟨T ′,N⟩ + ⟨T,N ′⟩ = 0, ⟨N ′,N⟩ = 0.

M-I-Munteanu


Rezulta caT ′ = κs∣ρ′∣N , N ′ = −κs∣ρ′∣T.

Definitia 1.12 Reperul mobil T = ρ′,N = Rπ/2(T ) se numeste reperulFrenet asociat curbei parametrizate plane ρ. Formulele de mai sus poartanumele de formulele lui Frenet pentru ρ.

Dorim sa exprimam curbura (cu semn) ın functie de coordonatele x(t) siy(t) ale lui ρ. Pentru aceasta calculam

T ′ = d

dt( ρ

′

∣ρ′∣) =ρ′′

∣ρ′∣ +d

dt( 1

∣ρ′∣)ρ′ = ρ′′

∣ρ′∣ −d(∣ρ′∣)∣ρ′∣2 ρ′ = ρ′′

∣ρ′∣ −⟨ρ′, ρ′′⟩∣ρ′∣3 ρ′.

Obtinem asadar

κs(t) =1

∣ρ′∣ ⟨ρ′′

∣ρ′∣ −⟨ρ′, ρ′′⟩∣ρ′∣3 ρ′,

Rπ/2(ρ′)∣ρ′∣ ⟩ = 1

∣ρ′∣ ⟨ρ′′

∣ρ′∣ ,Rπ/2(ρ′)

∣ρ′∣ ⟩ ,

ıntrucat ⟨ρ′,Rπ/2(ρ′)⟩ = 0.

Considerand ρ(t) = (x(t), y(t)), avem

ρ′ = (x′, y′), ρ′′ = (x′′, y′′) si Rπ/2(ρ′) = (−y′, x′).Rezulta κs(t) = 1

∣ρ′∣3 ⟨ρ′′,Rπ/2(ρ′)⟩ = 1∣ρ′∣3 det(ρ′ρ′′).

Deci, curbura cu semn a unei curbe plane se calculeaza cu formula

κs(t) =x′(t)y′′(t) − x′′(t)y′(t)

(x′(t)2 + y′(t)2)3/2.

? Cum putem scrie formula curburii cand avem parametrizare prin lungimeade arc s?

Deoarece T ′(s) = ρ′′(s) si ρ′′(s) ⊥ ρ′(s) (adica ρ′′∥Rπ/2(ρ′)), avem

κs(s) = ∣ρ′′(s)∣ = κ(s), daca ρ′, ρ′′ este pozitiv orientata−∣ρ′′(s)∣ = −κ(s), daca ρ′, ρ′′ este negativ orientata.

Interpretarea notiunii de curbura cu semn este urmatoarea: ın cazul candκs(t0) > 0 spunem ca ρ ”vireaza” la stanga ın t0, iar daca κs(t0) < 0spunem ca ρ ”vireaza” la dreapta. Pentru a ıntelege mai bine acest aspect,sa consideram urmatorul exemplu.

M-I-Munteanu


Figura 1.15: reperul Frenet pentru o curba plana

Exemplu. Consideram curba ρ ∶ R→ R2, ρ(t) = (t, sin t).In figura 1.15 avem reprezentat reperul Frenet in trei puncte corespunzatoarevalorilor t = −π2 (magenta), t = 0 (negru) si t = π

2 (albastru), respectiv.

Avem: ρ′(t) = (1, cos t), ρ′′(t) = (0,− sin t), iar

det(ρ′, ρ′′) =RRRRRRRRRRR

1 0

cos t − sin t

RRRRRRRRRRR= − sin t.

Rezulta κs(t) = −sin t

√1 + cos2 t

3 .

Astfel, κs(−π/2) = 1, κs(0) = 0 si κs(π/2) = −1.

O alta interpretare a curburii unei curbe plane.

Propozitia 1.7 Fie ρ ∶ I → R2 o curba parametrizata natural, regulata.Atunci exista o functie θ ∶ I → R numita functia unghi astfel ıncat

ρ′(t) = (cos θ(t), sin θ(t)), ∀t ∈ I.

Functia θ este unica pana la un multiplu ıntreg de 2π.

Nu vom face demonstratia acestui rezultat, ınsa facem niste comentarii.

Local, rezultatul este usor de dovedit.De exemplu, daca v(t) = (vx(t), vy(t)) avem vx(t)2 + vy(t)2 = 1.

M-I-Munteanu


Daca pentru t0 ∈ I avem vx(t0) > 0 atunci exista θ0 ∈ [−π2 , π2 ] astfel ıncatsin θ0 = vy(t0).Daca t0 ∈ I este asa ıncat vy(t0) > 0 atunci exista θ0 ∈ [0, π] astfel ıncatcos θ0 = vx(t0).Similar putem defini unghiul θ pentru vy(t0) < 0 si pentru vx(t0) < 0.Provocarea este de a defini functia unghi global pe I.

Pentru θ definit local (ıntr-o anumita vecinatate a lui t0) avem:

ρ′′(t) = θ′(t) (− sin θ(t), cos θ(t)) = θ′(t)Rπ/2(ρ′(t)),

ceea ce ınseamna ca avem κs(t) ≡ θ′(t). Astfel, curbura cu semn masoaracum se modifica functia unghi.

Observatie. Pana la un multiplu de 2π, functia θ(t) reprezinta unghiulorientat dintre e1 = (1,0) si ρ′(t).

Definitia 1.13 Pentru o curba ınchisa ρ ∶ [a, b] → R2 parametrizata nat-

ural definim indicele de rotatie ca fiind θ(b)−θ(a)2π , unde θ este unghiul definit

anterior. 5

Daca ρ nu este parametrizata natural, indicele sau de rotatie este cel alunei curbe reparametrizate cu lungimea de arc si care pastreaza orientarea.

Prezentam ın continuare o imagine clasica a unei curbe ınchise; numaruldin fiecare sector care apare reprezinta indicele de rotatie fata de un punctdin interiorul acelui sector. 6

5 ın engleza winding number sau turning number relativ la un punct6Alain Comtet, Jean Desbois, Christophe Texier, Functionals of the Brownian

motion,localization and metric graphs, https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0504513v2.pdf,figura 9.

M-I-Munteanu


Figura 1.16: indicele de rotatie

Cercul osculator. Fie F ∶ U ⊂dR2 → R o functie diferentiabila (neteda).

FieΦ ∶= (x, y) ∈ R2 ∶ F (x, y) = 0 ⊂ U ⊆ R2.

Spunem ca Φ este o curba plana data prin ecuatie implicita F (x, y) = 0.

Observatie. Punctele curbei nu mai sunt date printr-o formula explicita(ca ın cazul curbelor parametrizate) ci printr-o relatie de legatura ıntrecoordonate. De exemplu, cercul de centru A0(x0, y0) si raza R > 0 este datimplict prin ecuatia F (x, y) = (x − x0)2 + (y − y0)2 −R2 = 0.

Fie acum o curba plana parametrizata regulata ρ ∶ I → U ⊆ R2.

Definitia 1.14 Spunem ca Φ are un contact de ordin (cel putin) n cu ρın t0 ∈ I daca t0 este o radacina de ordin (cel putin) n pentru F ρ, adica(F ρ)(i)(t0) = 0 pentru i = 0,1, . . . , n − 1.

Propozitia 1.8 Fie ρ ∶ I → R2 o curba plana parametrizata regulata si fiet0 ∈ I.

(a) Daca κs(t0) ≠ 0 atunci exista un cerc unic C(t0) care are un contactde ordin (cel putin) 3 cu ρ ın t0. Raza acestui cerc este R(t0) = 1

∣κs(t0)∣, iar

centrul sau se gaseste pe dreapta normala la ρ ın t0. Mai precis, centrulq(t0) este dat de formula

q(t0) = ρ(t0) +1

κs(t0)N(t0).

M-I-Munteanu


(b) Daca κs(t0) = 0 atunci dreapta tangenta la ρ ın t0 are un contact deordin (cel putin) 3 cu ρ ın t0.

Demonstratie. (a) Sa consideram un cerc cu centrul ın q(t0) si deraza R(t0) care sa satisfaca cerintele din enunt. Avem ecuatia implicitaF (x, y) = ∣(x, y) − q0∣2 −R2

0 = 0, unde q0 = q(t0), iar R0 = R(t0).Pentru a scrie onditia de contact de ordin (cel putin) 3 calculam mai ıntai:

(F ρ)(t) = ∣ρ(t) − q0∣2 −R20

(F ρ)′(t) = 2⟨ρ(t) − q0, ρ′(t)⟩(F ρ)′′(t) = 2⟨ρ(t) − q0, ρ′′(t)⟩ + 2∣ρ′(t)∣2.

Prin urmare, ın t0 avem:

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

(1) ∣ρ(t0) − q0∣2 = R20

(2) ⟨ρ(t0) − q0, ρ′(t0)⟩ = 0

(3) ⟨ρ(t0) − q0, ρ′′(t0)⟩ + ∣ρ′(t0)∣2 = 0.

In ρ(t0) consideram reperul Frenet T (t0),N(t0), unde

T (t0) =ρ′(t0)∣ρ′(t0)∣

, N(t0) = Rπ/2(T (t0)).

Din conditia (2) rezulta ca ρ(t0)−q0 este perpendicular pe T (t0), deci estecoliniar cu N(t0). Folosind (1), rezulta ca ρ(t0) − q0 = εR0N(t0), undeε = ±1.

Relatia (3) devine astfel ⟨εR0N(t0), ρ′′(t0)⟩ + ∣ρ′(t0)∣2 = 0 (3’).

Pe de alta parte, avem

κs(t0) =⟨T ′(t0),N(t0)⟩

∣ρ′(t0)∣=

⟨( ρ′(t0)∣ρ′(t0)∣

)′

,N(t0)⟩

∣ρ′(t0)∣= ⟨ρ′′(t0),N(t0)⟩

∣ρ′(t0)∣2

deoarece ρ′(t0) ⊥ N(t0).Prin urmare, ⟨N(t0), ρ′′(t0)⟩ = ∣ρ′(t0)∣2κs(t0).Inlocuind ın (3’) obtinem

εR0∣ρ′(t0)∣2κs(t0) + ∣ρ′(t0)∣2 = 0,

M-I-Munteanu


de unde rezulta ca εR0 = − 1κs(t0)

.

Deci R0 = 1∣κs(t0)∣

iar q0 = ρ(t0) + 1κs(t0)

N(t0).Raza si centrul fiind unic determinate, avem unicitatea cercului osculator.

(b) Consideram o dreapta cu proprietatea de a avea contact de ordin (celputin) 3 cu ρ ın t0. Scriem ecuatia dreptei vectorial

F (x, y) = ⟨(x, y) − a(t0)⟩ + α(t0) = 0,

unde a0 = a(t0) ∈ R2 si α0 = α(t0) ∈ R. Fara a restrange generalitateaputem presupune ca a0 este unitar.

Calculam

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

(F ρ)(t) = ⟨ρ(t), a0⟩ + α0

(F ρ)′(t) = ⟨ρ′(t), a0⟩(F ρ)′′(t) = ⟨ρ′′(t), a0⟩.

In t0 avem

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

(1) ⟨ρ(t0), a0⟩ + α0 = 0

(2) ⟨ρ′(t0), a0⟩ = 0

(3) ⟨ρ′′(t0), a0⟩ = 0.

Din (2) rezulta ca a0 ⊥ ρ′(t0), deci a0 este coliniar cu N(t0), prin urmarea0 = εN(t0) (ıntrucat a0 este unitar).

Un calcul analog ca la (a) ne da ⟨ρ′′(t),N(t)⟩ = κs(t)∣ρ′(t)∣2. In t0, tinandcont ca κs(t0) = 0, avem ⟨ρ′′(t0),N(t0)⟩ = 0, prin urmare ecuatia (3) nuofera nicio informatie.

Din (1) deducem ca α0 = −⟨ρ(t0), a0⟩.Asadar, ecuatia dreptei este ⟨(x, y), a0⟩− ⟨ρ(t0), a0⟩ = 0. Deci (x, y)− ρ(t0)este perpendicular pe a0, deci pe N(t0). Rezulta ca (x, y) − ρ(t0) estecoliniar cu T (t0), deci (x, y) se afla pe dreapta tangenta ın ρ(t0).

In figura de mai jos prezentam doua cercuri osculatoare la o curba plana.

M-I-Munteanu


Figura 1.17: cercuri osculatoare la o curba plana

1.4 Curbe ın spatiu

De ce R3 este special? Existenta produsului vectorial ın R3 usureaza nudoar scrierea ci si multe interpretari geometrice.

Urmatoarea formula de calcul, pe care o dam, fara demonstratie, va fi defolos in multe calcule care urmeaza.

Lema 1.1 Daca α,β ∶ I → R3 sunt doua functii vectoriale netede, atunciavem urmatoarea regula de derivare

d

dt(α(t) × β(t)) = α′(t) × β(t) + α(t) × β′(t).

Produsul vectorial face posibila scrierea curburii unei curbe parametrizateregulate ıntr-o alta forma, ”mai geometrica”.

Propozitia 1.9 Fie ρ ∶ I → R3 o curba parametrizata regulata. Atuncicurbura se exprima prin formula

κ(t) = ∣ρ′(t) × ρ′′(t)∣∣ρ′(t)∣3 .

Demonstratie. Stim ca avem formula κ(t) = ∣a⊥∣

∣v∣2 .

Avem descompunerea a = a∥ + a⊥ ın componenta paralela (cu v) si compo-nenta ortogonala.

M-I-Munteanu


Se stie7 ca a∥ = ⟨a,v⟩∣v∣2 v, prin urmare

∣a⊥∣2 = ⟨a⊥, a⊥⟩ = ⟨a − ⟨a,v⟩∣v∣2 v, a −

⟨a,v⟩∣v∣2 v⟩ = ∣a∣2 + ⟨a,v⟩

2

∣v∣2 − 2 ⟨a,v⟩2

∣v∣2

= ∣a∣2∣v∣2 − ⟨a, v⟩2

∣v∣2 = ∣a × v∣2∣v∣2 .

Concluzia rezulta direct.

Reperul Frenet pentru o curba ın spatiu.

Definitia 1.15 Fie ρ ∶ I → R3 o curba parametrizata regulata si fie t ∈ Iastfel ıncat κ(t) ≠ 0. Definim reperul Frenet ın t ca fiind un reper R(t) cuoriginea ın ρ(t) si vectorii bazei dati astfel

vectorul unitar tangent: T (t) = ρ′(t)∣ρ′(t)∣ =

v(t)∣v(t)∣ ,

vectorul unitar normal: N(T ) = a⊥(t)∣a⊥(t)∣ =

T ′(t)∣T ′(t)∣ ,

vectorul unitar binormal: B(t) = T (t) ×N(t),adica R(t) = ρ(t);T (t),N(t),B(t).

Propozitia 1.10 Reperul Frenet ın t este ortonormat si pozitiv orientat.

Demonstratie. Reamintim ca, ın R3, daca u si v sunt unitari si perpen-diculari, atunci u, v, u×v este o baza ortonormata si orientata pozitiv.

Vom da ın continuare o formula de calcul pentru vectorul binormal B(t):

B(t) = T (t) ×N(t) = v(t)∣v(t)∣ ×

a − ⟨a,v⟩∣v∣2 v

∣a×v∣∣v∣

= v × a∣v × a∣ .

Avem asadar formula

B(t) = ρ′(t) × ρ′′(t)∣ρ′(t) × ρ′′(t)∣ .

7 Relatia a = a∥ + a⊥ se ınmulteste cu v si se tine cont ca a∥ si v sunt proportionali.

M-I-Munteanu


Astfel, din punct de vedere computational, e mai simplu sa aflam T (t),apoi B(t) si la final N(t) = B(t) × T (t).Torsiunea unei curbe ın spatiu.

Am vazut ca planul osculator al unei curbe este generat de v si a, deci deT (t) si N(t), prin urmare B(t) este normal acestuia. Asa cum curburaunei curbe masoara ”abaterea” curbei de la a fi ”dreapta”, la fel, vomdefini o notiune geometrica, pe care o vom numi torsiune, ce va masura”abaterea” curbei de la planaritate. Am demonstrat ca o curba este planadaca si numai dca toate planele osculatoare coincid (Propozitia 1.5). Prinurmare, este natural sa studiem cum variaza planele osculatoare, ceea ceeste echivalent cu a studia cum se schimba B(t).Calcula B′(t): Deoarece B este vector unitar, deducem imediat ca B′(t) ⊥B(t). Pe de alta parte avem

⟨B′(t), T (t)⟩ = −⟨B(t), T ′(t)⟩ = −⟨B(t), ∣T ′(t)∣N(t)⟩ = 0.

Rezulta ca B′(t) este paralel cu N(t).

Definitia 1.16 Fie ρ ∶ I → R3 o curba parametrizata regulata si fie t ∈ Iun punct astfel ıncat κ(t) ≠ 0. Definim torsiunea lui ρ ın t si o vom notaτ(t) expresia

τ(t) = −⟨B′(t),N(t)⟩∣v(t)∣ .

Observatie. Pana la semn, expresia ⟨B′(t),N(t)⟩ reprezinta marimeavectorului B′(T ). Numitorul ∣v(t)∣ apare pentru ca torsiunea sa aiba car-acter geometric. Intr-adevar, avem:

Propozitia 1.11 Fie ρ ∶ I → R3 si ρ = ρ µ ∶ J → R3 doua parametrozariregulate pentru aceeasi curba. Atunci

τ = τ µ,

unde τ si τ reprezinta torsiunea curbei ın cele doua parametrizari.

Demonstratie. Avem urmatoarele relatii:

T (s) = ρ′(s)ρ′(s) = µ′(s) ρ′(µ(s))

∣µ′(s)∣ ∣ρ′(µ(s))∣ = sgn(µ′(s)) T (µ(s))

M-I-Munteanu


N(s) = T ′(s)∣T ′(s)∣

= sgn(µ′(s) µ′(s)T ′(µ(s))∣µ′(s)T ′(µ(s))∣ = T ′(µ(s))

∣T ′(µ(s))∣ = (N µ)(s)

B(s) = T (s) × N(s) = sgn(µ′(s)) B(µ(s))Astfel,

⟨B′(s), N(s)⟩ = ⟨sgn(µ′(s)) µ′(s)B′(µ(s)),N(s)⟩= ∣µ′(s)∣ ⟨B′(µ(s)),N(µ(s))⟩.

Rezulta ca

τ(s) = ⟨B′(s), N(s)⟩∣v(s) = ∣µ′(s)∣⟨B′(µ(s)),N(µ(s))⟩

∣µ′(s)∣ ∣v(µ(s))∣ = τ(µ(s)).

Pentru a vedea ca notiunea introdusa are drept scop masurarea ”abaterii”de la planaritate a unei curbe, sa consideram urmatorul exemplu.

Exemplu. (curba ın planul xOy) Fie ρ ∶ I → R3, ρ(t) = (x(t), y(t),0).Daca t0 este astfel ıncat κ(t0) = 0, atunci N(t0) si B(t0) nu sunt binedefiniti, deci nici τ(t).Daca t0 este astfel ıncat κ(t0) ≠ 0, atunci planul osculator este xOy si prinurmare, B(t0) = (0,0,1) (ıntr-o vecinatate a lui t0).

Deducem ca τ(t0) = 0 ın orice punct ın care este definita.

Acest exemplu ne sugereaza urmatorul rezultat.

Propozitia 1.12 Fie ρ ∶ I → R3 o curba regulata astfel ıncat κ(t) ≠ 0,oricare ar fi ∈ I. Atunci imaginea lui ρ este continuta ıntr-un plan, adicaρ este o curba plana, daca si numai daca τ(t) = 0.

Demonstratie. Presupunem mai ıntai ca ρ(I) ⊂ π0, unde π0 este un plan(fix) de ecuatie ax + by + cz + d = 0 si fie n = (a, b, c) ≠ 0 normala la π0.

Deoarece ⟨ρ(t), n⟩ + d = 0, rezulta ca

⟨ρ′(t), n⟩ = 0 si ⟨ρ′′(t), n⟩ = 0.

Asadar ρ′(t) si ρ′′(t) sunt perpendiculari pe n. Dar ρ′ si ρ′′ sunt liniariindependenti si prin urmare ρ′(t) × ρ′′(t) ne da directia binormalei ın t.Rezulta ca B(t)∥n, adica B(t) = ± n

∣n∣ . Cum B este o functie continua,

semnul este constant. Rezulta B′(t) = 0, deci τ(t) = 0.

M-I-Munteanu


Reciproc, fie ρ astfelıncat τ(t) = 0, ∀t ∈ I. Rezulta (deoarece B′(t)∥N(t))ca B′(t) = 0. Deci B(t) este un vector constant, adica independent det ∈ I. Fie B(t) = w.

Deoarece B si T sunt ortogonali, rezulta ⟨ρ′(t),w⟩ = 0, deci ⟨ρ(t),w⟩ =constant. Deducem ca ρ(t) apartine unui plan independent de t.

Teorema 1.3 (ecuatiile lui Frenet) Fie ρ ∶ I → R3 o curba parametrizataregulata astfel ıncat κ(t) ≠ 0, ∀t ∈ I. Atunci avem

T ′ = ∣v∣κNN ′ = −∣v∣κT +∣v∣τBB′ = −∣v∣τN .

Daca t este parametrul lungime de arc, atunci reperul lui Frenet si ecuatiilelui Frenet sunt date de formulele

T = ρ′(t), κ = ∣ρ′′(t)∣,N = ρ′′(t)∣ρ′′(t)∣ ,daca κ ≠ 0,B = T ×N, τ = −⟨B′,N⟩

T ′ = κN

N ′ = −κT +τBB′ = −τN .

Reamintim ca o izometrie a spatiului Rn, numita si transformare rigida 8,este o aplicatie f ∶ Rn → Rn care pastreaza distanta, adica d(f(p), f(q)) =d(p, q), ∀p, q ∈ Rn.

Cand f este liniara, adica f(p) = LA(p) ∶= Ap (unde A este o matricepatratica, iar p este un vector coloana), f este transformare rigida daca sinumai daca A ∈ O(n) (adica A este o matrice ortogonala).

Prin urmare, daca f este o transformare rigida a spatiului Rn, atuncif = Tq LA, unde Tq este translatia de vector q ∈ Rn, A ∈ O(n), adicaf(p) = Ap + q.In mod evident, daca A ∈ O(n), atunci detA = ±1.

8in engleza: rigid motion

M-I-Munteanu


Propozitia 1.13 Pentru o curba regulata, urmatoarele marimi sunt in-variante la transformari rigide proprii, adica avand detA = 1:

• curbura unei curbe ın Rn

• torsiunea unei curbe ın R3

• curbura cu semn a unei curbe plane.

Daca transformarea rigida este improprie, adica detA = −1, curbura sepastreaza, ınsa torsiunea si curbura cu semn se ınmultesc cu −1.

Prezentam, fara demonstratie, doua teoreme importante:

Teorema 1.4 (Teorema fundamentala a curbelor plane) Fie I ⊂ R uninterval si κs ∶ I → R o functie neteda. Atunci exista o curba plana ρ ∶I → R2, parametrizata natural, a carei curbura cu semn sa fie κs. Dacaρ si ρ sunt doua astfel de curbe, atunci exista o transformare rigida f aspactiului R2 astfel ıncat ρ = f ρ.

Teorema 1.5 (Teorema fundamentala a curbelor ın spatiu) Fie I ⊂ Run interval si κ, τ ∶ I → R doua functie netede pe I, κ > 0. Atunci existao curba ρ ∶ I → R3, parametrizata natural, pentru care curbura este κ sitorsiunea este τ . Daca ρ si ρ sunt doua astfel de curbe, atunci exista otransformare rigida f a spactiului R3 astfel ıncat ρ = f ρ.

Prezentam ın continuare cateva denumiri:

• tangenta ın t0: este dreapta prin ρ(t0) si are directia T (t0)

• normala principala ın t0: este dreapta prin ρ(t0) si are directia N(t0)

• binormala ın t0: este dreapta prin ρ(t0) si are directia B(t0)

• planul osculator ın t0 este planul care contine ρ(t0) si care are directiaplanara data de T (t0),N(t0)

M-I-Munteanu


• planul normal ın t0 este planul care contine ρ(t0) si care are directiaplanara data de N(t0),B(t0)

• planul rectificator ın t0 este planul care contine ρ(t0) si care aredirectia planara data de T (t0),B(t0)

Figura 1.18: reperul (mobil) Frenet: tangenta T , normala N , binormala B

Urmatoarea formula usureaza calculul torsiunii unei curbe ın R3:

Propozitia 1.14 Fie ρ ∶ I → R3 o curba parametrizata regulata. Atunciıntr-un punct neinflexionar al ei

τ(t) = (ρ′(t), ρ′′(t), ρ′′′(t))∣ρ′(t) × ρ′′(t)∣2 .

Demonstratie. Torsiunea este definita de relatia τ = − ⟨B′,N⟩∣v∣ .

Folosind formula B = ρ′×ρ′′

∣ρ′×ρ′′∣ calculam B′:

M-I-Munteanu


B′ = ( 1

∣ρ′ × ρ′′∣)′

ρ′ × ρ′′ + 1

∣ρ′ × ρ′′∣ρ′ × ρ′′′.

Normala este data de N = a⊥

∣a⊥∣ , unde a = a∥ + a⊥, iar

a∥ = ⟨a,v⟩∣v∣2 v =

⟨ρ′′,ρ′⟩∣ρ′∣2 ρ′

a⊥ = a − a∥, ∣a⊥∣ = ∣ρ′×ρ′′∣∣ρ′∣ .

Inlocuind, obtinem:

⟨B′,N⟩ = ( 1

∣ρ′ × ρ′′∣)′

⟨ρ′ × ρ′′,N⟩ + 1

∣ρ′ × ρ′′∣ ⟨ρ′ × ρ′′′, ρ

′′ − a∥∣a⊥∣ ⟩

Primul termen este zero deoarece N este combinatie liniara de ρ′ si ρ′′.Rezulta ca

⟨B′,N⟩ = 1∣ρ′×ρ′′∣⟨ρ′ × ρ′′′, 1

∣a⊥∣(ρ′′ − a∥)⟩

= 1

∣ρ′ × ρ′′∣∣ρ′∣

∣ρ′ × ρ′′∣ ⟨ρ′ × ρ′′′, ρ′′ − ⟨ρ′′, ρ′⟩

∣ρ′∣2 ρ′⟩

= ∣ρ′∣∣ρ′ × ρ′′∣2 ⟨ρ

′ × ρ′′′, ρ′′⟩.

Revenind la formula torsiunii, deducem formula dorita.

M-I-MunteanuCAPITOLUL 2

Geometria diferentiala a suprafetelor

Pentru aceasta parte este necesara o revizuire a unor notiuni de calculdiferential ın Rn: derivata directionala, derivate partiale, diferentiala uneifunctii vectoriale f ∶ U ⊂

dRm → Rn, difeomorfism, teorema functiilor im-

plicite, teorema de inversare locala si altele.

Vom folosi urmatoarele notatii: fu ∶= ∂f∂u .

2.1 Suprafete: notiuni generale

Definitia 2.1 O submultime S ⊂ R3 se numeste suprafata regulata daca∀p ∈ S, ∃V ⊂

dR3, p ∈ V si exista o aplicatie neteda r ∶ D ⊂

dR2 → R3 cu

0 ∈D, astfel ıncat

• r(0) = p

• ru × rv ≠ 0 pentru orice (u, v) ∈D

• r(D) = S ∩ V

• r ∶D → r(D) este homeomorfism.

Pe r(D) se considera topologia indusa din R3.

36

M-I-Munteanu

Geometria suprafetelor 37 M. I. Munteanu

Perechea (D,r) se numeste parametrizare, iar (S∩V, r−1) se numeste hartalocala sau harta de coordonate pe S. Din definitia de mai sus, S ∩ V estedeschisa ın S si se numeste petic de suprafata1. Conditia 0 ∈D si conditiar(0) = p nu sunt esentiale.

De fapt, avem urmatoarea propozitie.

Propozitia 2.1 Fie r ∶D ⊂dR2 → R3 astfel ıncat rang(Dr(u, v)) = 2 pentru

orice (u, v) ∈ D si r ∶ D → r(D) este homeomorfism. Atunci S = r(D) esteo suprafata regulata ın R3.

La fel ca mai sus, pe r(D) se considera topologia indusa din R3. O astfelde suprafata se numeste suprafata elementara sau suprafata parametrizata.

Figura 2.1: o suprafata parametrizata

Dam ın continuare cateva exemple de suprafete regulate.

Exemplul 1. Planul (π) dat prin ecuatia ax + by + cz + d = 0, unde(a, b, c) ≠ 0 este suprafata regulata.

Daca c ≠ 0 atunci consideram D = R2 si r ∶ D → r(D) = (π), definta prinr(u, v) = (u, v,−acu − b

cv − dc). Conditiile din definitie se verifica imediat.

Prin urmare, avem o singura harta de coordonate.

Exemplul 2. Sfera de raza 1 este suprafata regulata.

1 ın engleza: patch

M-I-Munteanu


Reamintim ca S2 = (x, y, z) ∈ R3 ∶ x2 + y2 + z2 = 1. Considera si disculunitate (deschis) din R2

D(1) = (u, v) ∈ R2 ∶ u2 + v2 < 1.

Definimr ∶D(1)→ R3 , r(u, v) = (u, v,

√u2 + v2).

Evident r(D(1)) = U+3 ∶= (x, y, z) ∈ S2 ∶ z > 0 (”emisfera nordica”).

Inversa r−1 este data de

r−1 ∶ U+3 →D(1), r−1(x, y, z) = (x, y).

Continuitatea celor doua aplicatii este imediata. Pe de alta parte, severifica usor ca ru × rv ≠ 0.

Am obtinut astfel o parametrizare pentru semisfera z > 0.

Pentru emisfera sudica se considera r ∶D(1)→ R3 , r(u, v) = (u, v,−√u2 + v2).

Evident r(D(1)) = U−3 ∶= (x, y, z) ∈ S2 ∶ z < 0

In mod analog se considera ınca patru parametrizari pentru a acoperiıntreaga sfera.

Figura 2.2: cele 6 harti pe sfera

M-I-Munteanu


Exemplul 3. Cilindrul C = (x, y, z) ∈ R3 ∶ x2 + y2 = 1 este o suprafataregulata.

Consideram D = (−π,π) ×R si aplicatia

r ∶D → R3, r(u, v) = (cosu, sinu, v).

Figura 2.3: r(D) = C ∖ (x, y, z) ∈ C ∶ x = −1

Imaginea domeniului D prin r este cilindrul C din care ”eliminam” odreapta. Vezi figura 2.2.

Inversa r−1 ∶ C ∖ (x, y, z) ∈ C ∶ x = −1→D este data prin relatiile

r−1(x, y, z) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(arccosx, z) ∈ (0, π) ×R, daca y > 0

(−arccosx, z) ∈ (−π,0) ×R, daca y < 0

(0, z) ∈ 0 ×R, daca (x, y) = (1,0).Evident r si r−1 sunt functii continue.

Pentru punctele de pe cilindru unde x = −1 vom considera o alta parame-trizare, de exemplu

r ∶D → R3, r(u, v) = (cos(u + π), sin(u + π), v).

M-I-Munteanu


Urmatorul rezultat ne arata ca, pe langa scriere parametrica, o suprafatapoate fi exprimata si ın alte moduri.

Teorema 2.1 Avem echivalenta:

(1) S este o suprafata regulata.

(2) ∀p ∈ S, ∃V ⊂dR3, p ∈ V , ∃f ∶D ⊂

dR2 → R neteda, astfel ıncat

S ∩ V = Graf(f) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x, y, f(x, y)) ∶ (x, y) ∈D(x, f(x, y), y) ∶ (x, y) ∈D(f(x, y), x, y) ∶ (x, y) ∈D.

(3) ∀p ∈ S, ∃V ⊂dR3, ∃h ∶ V → R neteda cu dh(x, y, z) ≠ 0, ∀(x, y, z) ∈ V

astfel ıncat h(p) = 0 si S ∩ V = h−1(0).

(4) Exista un difeomorfism de ındreptare.

Conditia (2) reprezinta forma explicita a unui petic din suprafata S, iarconditia (3) ne da forma implicita pentru S. Pentru aceasta din urma,practic se procedeaza astfel:

Fie h ∶ V → R o funtie neteda si a ∈ h(V ) valoare regulata, adica dh(x, y, z) ≠0 pentru orice (x, y, z) ∈ h−1(a). Atunci h−1(a) este o suprafata regulata.

Schimbari de parametrizare.

Fie S ∈ R3 o suprafata si (D1, r1) o parametrizare cu D1 conexa. Fieφ ∶D1 →D2 un difeomorfism. Notam ψ = φ−1 si r2 = r1 ψ. Atunci (D2, r2)este parametrizare pentru S.

Pentru a demonstra acest fapt, folosim relatia

r2u2 × r2v2 = Det(Dψ)(u1, v1) r1u1 × r1v1 .

Reciproc, data o suprafata regulata si (D1, r1), (D2, r2) doua parametrizariastfel ıncat r1(D1) = r2(D2) = S ∩ V , V ⊂

dR3. Atunci r−1

2 r1 ∶ D1 → D2

este un difeomorfism.

M-I-Munteanu


2.2 Planul tangent la o suprafata

Spunem ca ρ ∶ I → R3 (curba parametrizata regulata) este curba pe suprafataS daca ρ(I) ⊂ S (imaginea este continuta ın S).

Vector tangent ın p ∈ S.

Fie o curba parametrizata regulata ρ ∶ (−ε, ε)→ R3 astfel ıncat ρ(I) ⊂ S siρ(0) = p, 0 ∈ I. Vectorul ρ′(0) este numit vector tangent ın p la S.

Numim planul tangent ın p la S multimea tuturor vectorilor tangenti ρ′(0)cu ρ ca mai sus. Notam TpS.

Evident, restrangand intervalul, putem presupune ca ρ(−ε, ε) ⊂ r(D),unde (D,r) este o parametrizare pentru S. Atunci r−1(ρ(t)) este o curbaparametrizata pe D care trece prin (0,0) la t = 0. Pentru a arata diferen-tiabilitatea acestei curbe se foloseste difeomorfismul de ındreptare de peS.

Figura 2.4: curba pe D si imaginea sa pe S precum si vectorii tangenticorespunzatori

Teorema 2.2 Planul tangent ın p la S este dat de

TpS =Dr(0,0)(R2).

M-I-Munteanu


Demonstratie. Avand de demonstrat o egalitate de multimi, vom arataprin dubla incluziune.

Fie mai ıntai v ∈ R2 si fie w =Dr(0,0)(v). InD (domeniul unei parametrizariın jurul punctului p = r(0,0)) consideram curba parametrizata

σ ∶ (−ε, ε)→D, σ(t) = tv.

Evident avem σ′(0) = v.

Fie acum curba parametrizata ρ ∶ (−ε, ε)→ R3, ρ = r σ, care este o curbape S. Calculam

ρ′(0) = (r σ)′(0) =Dr(σ(0))(σ′(0) =Dr(0,0)(v) = w,

adica w ∈ TpS.

Invers, daca w ∈ TpS este asa ıncat w = ρ′(0) pentru o anumita curbaρ ∶ (−ε, ε) → R3, atunci (am vazut deja ca) σ = r−1 ρ este o curbaparametrizata pe D. Continuitatea pentru σ este evidenta; pentru dife-rentiabilitate se foloseste difeomorfismul de ındreptare.

Evident avem acum w =Dr(0,0)(σ′(0)), iar σ′(0) ∈ R2.

In continuare vom identifica un vector tangent la S cu o pereche formatadin punctul p (de tangenta) si vectorul corespunzator din R2. Aceastaidentificare ne permite sa definim o structura de spatiu vectorial pe TpS”transferand” structura de spatiu vectorial de dimensiune 2 a lui R2 prinDr(0,0) (care este injectiva).

Astfel, planul tangent la S ıntr-un punct p este planul care trece prin p siare directia planara data de spatiul vectorial TpS.

Observatie. Chiar daca se foloseste aceeasi notatie, nu este pericol deconfuzie ıntre planul TpS ca spatiu vectorial de dimensiune 2 si 2-planulprin p. Daca p1 si p2 sunt doua puncte distincte pe S, atunci planelevectpriale Tp1S si Tp2S sunt disjuncte.

M-I-Munteanu


Figura 2.5: planul tangent ıntr-un punct la o suprafata S

Mai departe facem urmatorul calcul. Daca σ(t) = (u(t), v(t)) atunci

ρ′(t) = d

dtr(u(t), v(t)) = ru(u, v)u′(t) + rv(u, v)v′(t).

Astfel, ρ′(0) = ru(0,0)u′(0) + rv(0,0)v′(0).Pe de alta parte, se considera urmatoarele doua curbe pe S:

σ(t) = (t,0), ρ(t) = r(t,0) pentru care ρ′(0) = ru(0,0); σ(t) = (0, t), ρ(t) = r(0, t) pentru care ρ′(0) = rv(0,0).Deducem ca, ru(0,0) si rv(0,0) sunt vectori tangenti ın p la S si orice altvector tangent ρ′(0) se scrie ca o combinatie liniara de cei doi vectori, adicaru(0,0) si rv(0,0) genereaza planul tangent TpS, adica ne dau directiaplanara. Asadar, ru(0,0), rv(0,0) formeaza o baza ın TpS (ca spatiuvectorial de dimensiune 2) numita baza naturala.

Cele doua curbe (prin p) se numesc curbe parametrice (prin p) pe S.

M-I-Munteanu


Figura 2.6: curbe parametrice ıntr-un punct pe S

Definitia 2.2 Un vector n din R3 se numeste normal la S ın p daca esteperpendicular pe planul vectorial TpS.

Prin urmare, un vector normal la S ın p este paralel cu ru × rv ın (0,0).Astfel

n(p) = ru × rv∣ru × rv ∣

este un vector unitar normal la S ın p.

Figura 2.7: planul tangent si normala ıntr-un punct la o suprafata S

M-I-Munteanu


Vom scrie ın continuare diferite tipuri de ecuatii pentru planul tangentıntr-un punct la o suprafata parametrizata S = r(D).Astfel, daca p0 = r(u0, v0) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)) ∈ S, atunciplanul tangent Tp0S este dat de ecuatiile urmatoare2:

1 ecuatia vectoriala: ⟨r − r(u0, v0), ru(u0, v0) × rv(u0, v0)⟩ = 0;

2 ecuatiile parametrice:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = x(u0, v0) + txu(u0, v0) + sxv(u0, v0)y = y(u0, v0) + tyu(u0, v0) + syv(u0, v0)z = z(u0, v0) + tzu(u0, v0) + szv(u0, v0), t, s ∈ R;

3 ecuatia generala (sub forma de determinant):

RRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x(u0, v0) xu(u0, v0) xv(u0, v0)y − y(u0, v0) yu(u0, v0) yv(u0, v0)z − z(u0, v0) zu(u0, v0) zv(u0, v0)

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0.

Definitia 2.3 Pentru o suprafata regulata S ın R3 numim dreapta nor-mala la S ın p0 ∈ S, dreapta care trece prin p0 si este perpendiculara peplanul tangent ın p0 la S, adica pe Tp0S.

Observatie. Evident, directia dreptei normale ın p0 = r(u0, v0) la S estedata de ru(u0, v0) × rv(u0, v0).

Observa]c tie. Am pus ın evidenta un reper

p0; ru(u0, v0), rv(u0, v0), n(u0, v0)ıntr-un punct p0 = r(u0, v0) al unei suprafete S, numit reperul lui Gaussal lui S ın p0. Acest reper NU este ın general ortonormat; vectorii ru, rvNU sunt, de regula, ortogonali.

Definitia 2.4 O orientare a planului tangent ın p la S ınseamna o alegerea normalei (unitare) n ın p la S, adica alegerea unui semn pentru n(u, v) =ru×rv∣ru×rv ∣

. Cealalta orientare este data de alegerea celuilalt semn.

Vom spune ca o baza v1, v2 este pozitiv orientata daca v1×v2∣v1×v2∣

= n si negativ

orientata daca v1×v2∣v1×v2∣

= −n.

2 Conditia p0 = r(0,0) nu este esentiala, prin urmare vom considera un punct arbitrar(u0, v0) ∈D.

M-I-Munteanu


Pentru un vector v tangent la S ın p, definim rotatia de unghi orientat π2

ın TpS astfel: Rπ/2(v) = n × v.

Definitia 2.5 Un camp vectorial pe o suprafata regulata S ınseamna oaplicatie neteda U ∶ S → R3. Campul vectorial U se numeste tangent la Sdaca U(p) ∈ TpS pentru orice p ∈ S. Campul vectorial U se numeste normalla S daca U(p) este coliniar cu n ın p, adica U(p) este perpendicular peTpS ın orice punct p al suprafetei S.

Observatie. In definitia de mai sus am folosit o notiune care, aparent,nu are sens; este vorba despre ”aplicatie neteda pe S”. In acest con-text, spunem ca U este diferentiabila ın p ∈ S daca U r ∶ D ⊆

dR2 → R3

este diferentiabila ın (u, v) = r−1(p), unde (D,r) este o parametrizarea lui S ın jurul lui p. Evident, definitia diferentiabilitatii nu depindede parametrizarea folosita. Astfel, U este diferentiabila pe S daca estediferentiabila ın orice punct p ∈ S.

Figura 2.8: camp vectorial tangent (stanga) si camp vectorial normal(dreapta)

Observatie. Considerand U = ru×rv∣ru×rv ∣

avem un camp vectorial unitar nor-

mal definit pe r(D) = S ∩V . Astfel, apare ıntrebarea daca exista un campvectorial unitar normal definit pe ıntreaga suprafata S. Asa cum e deasteptat, NU ıntotdeauna. Vom vedea, ın acest sens, banda lui Mobius.

M-I-Munteanu


Daca ınsa S admite un astfel de camp vectorial unitar normal, notat n,atunci, ıntr-o parametrizare r ∶ D → R3 avem ca n(p) = ± ru×rv

∣ru×rv ∣, unde

(u, v) = r−1(p). Din motive de continuitate3, semnul este acelasi peste tot.

Definitia 2.6 O suprafata care admite un camp vectorial unitar normalglobal definit se numeste orientabila.

Observatie. Cand fixam orientarea (adica fixam normala), suprafata senumeste it orientata.

Teorema 2.3 (Criteriu de orientabilitate) O suprafata S este orientabiladaca si numai daca exista o familie de parametrizari ale lui S care saacopere S si pentru care determinantul schimbarii ıntre doua parametrizarisa fie strict pozitiv, adica

daca (D1, r1) si (D2, r2) sunt din familie, astfel ıncat r1(D1) ∩ r2(D2) ≠ ∅,atunci detD(r−1

2 r1)(u1, v1) > 0 pentru orice (u1, v1) ∈ D1 astfel ıncat p =r1(u1, v1) ∈ r2(D2).

Vom mai reveni asupra acestui subiect.

2.3 Prima forma fundamentala a unei

suprafete

Pentru aceasta parte ne vom aduce aminte de urmatoarele notiuni: produsscalar, norma unui vector, unghiul a doi vectori, etc.

Fie S o suprafata regulata si p ∈ S. Am vazut ca planul tangent TpS esteformat din toti vectorii tangenti ın p la S si este un spatiu vectorial dedimensiune 2 (subspatiu ın R3). Prin urmare, putem considera restrictiaprodusului scalar din R3 la TpS. Definim aplicatia biliniara simetrica

⟨⋅, ⋅⟩p ∶ TpS × TpS → R

3Functia ⟨n(r(u, v)),ru(u, v) × rv(u, v)

∣ru(u, v) × rv(u, v)∣⟩ este continua pe D si ia valori ın −1,1,

deci este constanta.

M-I-Munteanu


pe TpS. Indicele p apare pentru a face distinctia ıntre plane tangente ınpuncte diferite la S. Pozitiva definire a formei patratice asociate ne daposibilitatea de a defini o norma pe TpS

∣ ⋅ ∣p ∶ TpS Ð→ [0,∞).

Se obtine astfel o notiune deosebit de importanta ın teoria suprafetelor sianume:

Definitia 2.7 Numim prima forma fundamentala a suprafetei S aplicatiacare asociaza fiecarui punct p ∈ S restrictia la TpS a formei patratice aso-ciate produsului scalar din R3, adica pentru fiecare punct p ∈ S asociemaplicatia

Ip ∶ TpS Ð→ [0,∞) , Ip(w) = ⟨w,w⟩p = ∣w∣2p.

Facem precizarea ca am considerat vectorul tangent ın p la S ca fiind unvector w = ρ′(0) ∈ R3.

Intrucat am definit o notiune noua, ne ıntrebam ce putem face cu aceasta.Va fi un instrument util pentru a ”masura pe S”.

Definitia 2.8 O masura (adica o notiune geometrica) pe o suprafata Sse numeste intrinseca daca ea poate fi exprimata doar cu ajutorul primeforme fundamentale.

De exemplu, produsul scalar a doi vectori tangenti ın p la S si unghiula doi vectori tangenti ın p la S sunt marimi intrinseci.

Studiul geometriei intrinseci se refera la studiul acelor proprietati caredepind doar de S fara a mai face referiri la spatiul ambiant R3.

Am vazut ca pentru o parametrizare (D,r) a unei suprafete S avem bazanaturala ru(u0, v0), rv(u0, v0) ın TpS, unde p0 = r(u0, v0). Vezi pagi-na 43. Astfel, daca w = ρ′(0) ∈ Tp0S atunci ıl putem descompune dupacum urmeaza:

w = u′(0) ru(u0, v0) + v′(0) rv(u0, v0).

Sa calculam Ip0(w) (din motive de aglomerare a scrierii, nu vom mai precizaıntotdeauna argumentul (u0, v0)):

Ip0(w) = ∣ru∣2 u′(0)2 + 2⟨ru, rv⟩ u′(0)v′(0) + ∣rv ∣2 v′(0)2.

M-I-Munteanu


Putem asadar sa definim functiile netede pe D

E = ∣ru∣2 , F = ⟨ru, rv⟩ , G = ∣rv ∣2. (2.1)

Notatiile apartin lui K.F. Gauß.

Prin urmare, prima forma fundamentala ıntr-un p ∈ S se scrie

Ip = E du2 + 2F dudv +G dv2.

Sa facem cateva precizari legate de notatiile du, respectiv dv.

Pe D ⊂ R2 am considerat coordonatele u si v. Prin urmare, putem consi-dera functia neteda u ∶D → R care asociaza fiecarui punct din D prima sacoordonata. Diferentiala sa ın (u0, v0) este

du(u0, v0) ∶ R2 → R , du(u0, v0)(a, b) = a.

Analog pentru dv. In scrierea primei forme fundamentale vom ıntelege (pescurt) (a, b) = (u′(0), v′(0)).

Definitia 2.9 Fie S1 si S2 doua suprafete regulate. Un difeomorfismF ∶ S1 → S2 se numeste izometrie daca DF pastreaza formele ıntai funda-mentale, adica

∣w∣2p = ∣DFp(w)∣2F (p) , ∀p ∈ S1,∀w ∈ TpS1.

Aceasta conditie este echivalenta cu faptul ca DF pastreaza produselescalare (induse) pe planele tangente, adica

⟨w1,w2⟩p = ⟨DFp(w1),DFp(w2)⟩F (p) , ∀p ∈ S1,∀w1,w2 ∈ TpS1.

Definitia 2.10 Doua suprafete S1 si S2 se numesc izometrice daca existao izometrie ıntre ele.

Astfel, o proprietate geometrica este intrinseca, daca este pastrata prinizometrii.

Observatie. In definitia de mai sus apare notiunea de aplicatie netedaıntre doua suprafete S1 si S2. O aplicatie continua F ∶ S1 → S2 se numestediferentiabila ın p0 ∈ S1 daca aplicatia

F ∶= r−12 F r1 ∶D1 →D2

M-I-Munteanu


este diferentiabila ın r−11 (p0). Am considerat parametrizarile (D1, r1) pe

S1 ın jurul punctului p0 si (D2, r2) pe S2 ın jurul punctului F (p0), astfelıncat F (r1(D1)) ⊆ r2(D2).Se arata ca aceasta definitie a diferentiabilitatii nu depinde de parametrizarilefolosite.

Aplicatia continua F ∶ S1 → S2 este diferentiabila daca este diferentiabilaın orice punct al suprafetei S1.

In ceea ce priveste diferentiala DFp, notiune care de asemenea apare ındefinitiile de mai sus, dam, pe scurt, urmatoarea definitie:

DFp ∶ TpS1 → TF (p)S2 , DFp(w) = (F ρ)′(0),

unde w = ρ′(0) ∈ TpS1, iar ρ este o curba neteda pe S1 cu ρ(0) = p.Vom reveni cu mai multe clarificari la cursul de Geometrie diferentiala –varietati.

2.4 Aplicatii ale primei forme fundamentale

1 Lungimea de arc pentru o curba situata pe o suprafata.

Fie ρ ∶ I = [a, b] → R3 o curba parametrizata regulata care se afla situatape o suprafata S. Vom presupune ca ρ(I) ⊂ r(D), unde (D,r) este oparametrizare pentru S. Avem

l(>ρ(a)ρ(b) ) =b

∫a

∣ρ′(t)∣dt =b

∫a

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

Considerand σ = r−1 ρ ∶ [a, b]→D se obtine o curba pe D.

Asadar avem

l(>ρ(a)ρ(b) ) =b

∫a

√E(t)u′(t)2 + 2F (t)u′(t)v′(t) +G(t)v′(t)2dt,

unde E(t) = E(u(t), v(t)), F (t) = F (u(t), v(t)) si G(t) = G(u(t), v(t)).

M-I-Munteanu


Prin urmare,

l(>ρ(a)ρ(b) ) =b

∫a

√Iρ(t)(ρ′(t))dt.

2 Unghiul a doua curbe pe o suprafata.

Fie ρ1 ∶ I1 → R3 si ρ2 ∶ I2 → R3 doua curbe parametrizate regulate situatepe o suprafata S. Presupunem ca exista t1 ∈ I1 si t2 ∈ I2 astfel ıncatρ1(t1) = ρ2(t2) = p0 ∈ S.

Definitia 2.11 Unghiul sub care se intersecteaza curbele ρ1 si ρ2 ın p0

este unghiul (orientat) dintre vectorii tangenti ın p0 la cele doua curbe,respectiv.

Concret, θ =∢(ρ′1(t1), ρ′2(t2)) , θ ∈ [0, π].Astfel, avem formula de calcul

cos θ(p0) =⟨ρ′1(t1), ρ′2(t2)⟩∣ρ′1(t1)∣ ⋅ ∣ρ′2(t2)∣

.

Problema. Sub ce unghi se intersecteaza curbele de coordonate (sau liniileparametrice) ale suprafetei parametrizate S = r(D)?

Fie

ρ1 ∶ I1 → R3 , ρ1(u) = r(u, v0)ρ2 ∶ I2 → R3 , ρ2(v) = r(u0, v),

unde I1 × v0 ⊂D, u0 × I2 ⊂D, iar p0 = r(u0, v0).Rezulta ca ρ′1(u) = ru(u, v0) si ρ′2(v) = rv(u0, v). In p0 avem

cos θ = ⟨ru(u0, v0), rv(u0, v0)⟩∣ru(u0, v0)∣ ⋅ ∣rv(u0, v0)∣

.

Astfel, unghiul θ dintre liniile parametrice ale unei suprafete, este dat de

cos θ = F√EG

.

M-I-Munteanu


3 Aria unei regiuni compacte de pe o suprafata.

Fie R ⊂ S conexa, compacta si cu frontiera difeomorfa cu un cerc (de faptpoate fi o curba simpla, ınchisa, regulata pe portiuni).

Vom presupune ca R ⊂ r(D), unde (D,r) este o parametrizare pentru S.

Definitia 2.12 Aria regiunii R se defineste ca fiind integrala dubla

Aria(R) =x

r−1(R)

∣ ru × rv ∣dudv.

Observatie. Mai ıntai sa observam ca expresia din integrala apare ın modfiresc daca ne aducem aminte de interpretarea geometrica a marimii unuiprodus vectorial, anume ca reprezinta aria paralelogramului format cu ceidoi vectori ca laturi. Vezi figura 2.9. Aria paralelogramului ”aproximeaza”aria ”hasurata”.

Figura 2.9: Aria unei portiuni de suprafata

Observatie. Definitia de mai sus nu depinde de parametrizarea aleasa; esuficient sa ne amintim de schimbarea de variabila ın integrala dubla si derelatia

ru × rv = det [D(r−1 r)(u, v)] ru × rv,

unde (D,r;u, v) si (D, r; u, v) sunt doua parametrizari pe S astfel ıncatR ⊂ r(D) ∩ r(D). Am pus ın evidenta si coordonatele.

M-I-Munteanu


Observatie. Reamintim ca ru × rv da directia normala la S, prin urmare,am putea sa ne gandim ca notiunea introdusa, Aria(R), nu este o propri-etate intrinseca. Cu toate acestea, deoarece NU ru × rv apare ın formulapentru arie ci lungimea sa, marimea este intrinseca. Pentru aceasta, scriem

∣ru × rv ∣2 = ∣ru∣2∣rv ∣2 − ⟨ru, rv⟩2 (identitatea lui Lagrange)

de unde deducem ca

Aria(R) =x

r−1(R)

√EG − F 2 dudv.

2.5 A doua forma fundamentala a unei

suprafete

Ideea studierii formei a doua fundamentala pentru o suprafata este de a

ıntelege jocul copiilor cu baloane de sapun ,. Desigur, aceasta e o gluma,

dar ... ceva adevar tot contine .

Aplicatia lui Gauss. Fie S o suprafata regulata In R3 si (D,r) oparametrizare a acesteia. Pe imaginea r(D) am vazut deja ca putem defini,

ın fiecare punct, normala unitara n(p) = ru × rv∣ru × rv ∣

, unde (u, v) = r−1(p).Variind p ın r(D), care este deschisa ın S, obtinem un camp vectorial uni-tar normal la S. Reamintim ca suprafata S este orientabila daca admiteun camp vectorial unitar normal global definit. Vezi pagina 47.

Fie S o suprafata orientata de un camp vectorial unitar normal n. Deoarecen este unitar, adica ∣n∣ = 1, putem considera n ca fiind o aplicatie de la Sla sfera unitate S2.

Definitia 2.13 Aplicatia n ∶ S → S2 se numeste aplicatia lui Gauss aso-ciata suprafetei orientate S.

Observatie. Aplicatia n este neteda si descrie forma suprafetei S.

In figura 2.10 am reprezentat aplicatia lui Gauss ın doua situatii:

M-I-Munteanu


Figura 2.10: aplicatia lui Gauss pentru plan (stanga), sfera (dreapta)

• Suprafata S este un plan, de exemplu Ax + By + Cz + D = 0, cuA2 + B2 + C2 ≠ 0. Vectorul normal unitar este constant, adica esteacelasi ın orice punct al planului. Prin urmare n este o aplicatie

constanta, n(p) = 1√A2 +B2 +C2

(A,B,C). Imaginea planului prin

aplicatia lui Gauss este un punct pe S2(1).

• Suprafata S este o sfera de raza arbitrara si centrata ıntr-un punctarbitrar. Vectorul normal unitar ıntr-un punct este dat de versorulvectorului cu originea ın centrul sferei si extremitatea ın acel punct.Asadar aplicatia n de la sfera la S2(1) este o bijectie. Prin urmare,imaginea unei sfere arbitrare prin aplicatia lui Gauss este ıntreagasfera S2(1).

Vom vedea la seminar si alte exemple pentru aplicatia lui Gauss.

Sa aruncam o privire la diferentiala aplicatiei n ıntr-un punct p0 ∈ S:

Dn(p0) ∶ Tp0S Ð→ Tn(p0)S2.

Observam ca, pe de o parte n(p0) este perpendicular pe Tp0S, iar pe dealta parte pe Tn(p0)S2. (Vectorul n(p0) este liber, deci ıl putem ”plasa”ın orice punct avem nevoie.) Reamintim ca planul tangent la sfera esteplanul perpendicular pe vectorul care ne da raza ın acel punct.

M-I-Munteanu


Astfel, cele doua plane, Tp0S si Tn(p0)S2. pot fi identificate. Prin urmare,putem gandi diferentiala

Dn(p0) ∶ Tp0S Ð→ Tp0S,

adica Dn(p0) este un endomorfism.

Observatie. In cazul unui plan, ıntrucat n este aplicatie constanta,rezulta ca Dn(p0) = 0 pentru orice p0 din plan.

Observatie. Am vazut ca pentru S = S2(Ω, r) (sfera cu centrul ın punctulΩ si de raza r > 0) avem n(p0) = 1

r p0, care reprezinta normala exterioara.Putem considera si normala interioara −1

r p0, obtinandu-se cealalta ori-entare a sferei.

Sa facem un calcul pentru Dn(p0). Fie w ∈ Tp0S astfel ıncat w = ρ′(0),unde ρ ∶ I = (−ε, ε) → R3 cu proprietatea ca ρ(I) ⊂ S. Am vazut anteriorcum definim diferentiala (vezi pagina 50). Avem

Dn(p0)(w) = (n ρ)′(0) = (1

rρ)

′

(0) = 1

rw,

care este un vector tangent ın p0 la S = S2(Ω, r), deoarece w ∈ Tp0S.

Observatie. Orice w ∈ Tp0S este vector propriu pentru Dn(p0) cores-punzator valorii proprii 1

r (aceeasi valoare pentru orice p0 si orice w ∈ Tp0S).

Observatie. Daca se considera cealalta orientare atunci valoarea proprieısi schimb]u a semnul.

Definitia 2.14 Fie S o suprafata orientata de un camp vectorial unitarnormal n ∶ S → S2. Numim aplicatia Weingarten (sau operatorul forma)ın p a lui S, transformarea liniara

Sp ∶ TpS → TpS , Sp = −Dn(p).

Definitia 2.15 Numim curbura gaussiana ın p a lui S, functia

K(p) = det(Sp).

Numim curbura medie ın p a lui S, functia

Hp = trace(Sp).

M-I-Munteanu


Observatie. In cazul planului, operatorul Weingarten este nul ın fiecarepunct, adica Sp = 0. Prin urmare, K(p) = 0 si H(p) = 0, pentru orice p ınplan.

Observatie. In cazul sferei (de raza r), operatorul Weingarten se scrieastfel: Sp ∶ TpS2(r) Ð→ S2(r), Sp(w) = −1

rw. Prin urmare, K(p) = 1r2 si

H(p) = −1r ın orice punct p al sferei.

Propozitia 2.2 Fie S o suprafata orientata, n ∶ S → S2 aplicatia lui Gausssi Sp0 ∶ Tp0S → Tp0S operatorul Weingarten. Atunci Sp0 este un operatorliniar simetric ın raport cu produsul scalar uzual, adica

⟨Sp0(w1),w2⟩ = ⟨w1, Sp0(w2)⟩. (2.2)

Demonstratie. Liniaritatea operatorului este evidenta. Este asadarsuficient sa aratam relatia de mai sus pentru elementele unei baze. Asacum este normal, vom considera w1 = ru si w2 = rv, ın p0 = r(u0, v0).Vectorul w1 este vectorul dat de curba u↦ r(u, v0). Analog pentru w2.

Avem

Dn(p0)(w1) =Dn(p0)(ru) = ((n r)(u, v0))u = nu(u0, v0).

Membrul stang din ecuatia (2.2) se scrie:

⟨nu, rv⟩ = ∂∂u⟨n, ru⟩ − ⟨n, rvu⟩ = −⟨n, rvu⟩.

Analog, membrul drept din ecuatia (2.2) se scrie:

⟨ru, nv⟩ = ∂∂v ⟨ru, n⟩ − ⟨ruv, n⟩ = −⟨ruv, n⟩.

Am tinut cont ca ⟨n, ru⟩ = 0, ⟨n, rv⟩ = 0. Apoi ruv = rvu, iar produsul scalareste simetric; se obtine concluzia.

Am vazut, ın demonstratia propozitiei precedente, ca vectorul tangentru(u0, v0) este dus prin Dn(p0) ın nu(u0, v0). Analog rv(u0, v0) este dusın nv(u0, v0). Faptul ca nu si nv sunt tangenti la suprafata rezulta si dinproprietatea lui n de a fi camp vectorial unitar. Mai precis, daca derivamrelatia ⟨n,n⟩ = 1 ın raport cu u, respectiv ın raport cu v, obtinem

⟨n,nu⟩ = 0 si ⟨n,nv⟩ = 0,

M-I-Munteanu


ın orice punct p = r(u, v), ceea ce ne indica faptul ca nu si nv sunt perpen-diculari pe n, deci sunt tangenti la S.

Putem defini acum o forma biliniara simetrica astfel

(w1,w2)z→ ⟨Sp(w1),w2⟩ = ⟨w1, Sp(w2)⟩ , w1,w2 ∈ TpS.

Definitia 2.16 Fie S o suprafata orientata si p0 ∈ S. Forma patratica(asociata formei biliniare simetrice definite mai sus)

IIp ∶ Tp0S Ð→ R , IIp0(w) = ⟨Sp0(w),w⟩

se numeste forma a doua fundamentala a suprafetei S ın p0.

La fel ca ın cazul primei forme fundamentale, vom pune ın evidenta treicoeficienti esentiali ın studiul care va urma.

Fie w = ρ′(0), unde ρ ∶ (−ε, ε) Ð→ R3 este o curba parametrizata regulatasituata pe suprafata orientata S. Fie (D,r) o parametrizare a lui S sip0 = r(u0, v0), ρ(0) = p0.

Calculam:

IIp0(w) = IIp0(ρ′(0)) = ⟨Sp0(ρ′(0)), ρ′(0)⟩ = ⟨−Dn(p0)(ρ′(0)), ρ′(0)⟩.Descompunem ρ′(0) ın baza naturala ru, rv ın p0: ρ′(0) = ru ⋅ u′ + rv ⋅ v′.Am folosit regula lantului de derivare; de asemenea, pentru a mai simplificascrierea, nu am mai precizat argumentul (u0, v0) sau 0.

Continuam calculul de mai sus, tinand cont de formulele evidentiate ındemonstratia propozitiei 2.2.

IIp0 = −⟨nuu′ + vvv′, ruu′ + rvv′⟩= −⟨nu, ru⟩(u′)2 − (⟨nu, rv⟩ + ⟨nv, ru⟩)u′v′ − ⟨nv, rv⟩(v′)2.

Facem notatiile:e = −⟨nu, ru⟩f = −⟨nu, rv⟩ = −⟨nv, ru⟩g = −⟨nv, rv⟩.

Observatie. Unii autori noteaza coeficientii de mai sus cu L, M , respectivN . In ce urmeaza, vom folosi notatiile e, f , g pentru frumusetea si usurinta

M-I-Munteanu


retinerii unor formule pe care le vom demonstra ın continuare. Cel putin

asta e intentia .

Asadar

IIp0 = e(u0, v0)u′(0)2 + 2f(u0, v0)u′(0)v′(0) + g(u0, v0)v′(0)2.

Variind punctul p0, obtinem trei functii netede e, f si g definite pe D,pentru care vom gasi formule simplificate de calcul.

Astfel, a doua forma fundamentala se scrie

IIp = edu2 + 2fdudv + gdv2.

Se observa analogia cu scrierea primei forme fundamentale.

Vom calcula e, urmand ca pentru ceilalti doi coeficienti f si g sa se pro-cedeze ın maniera asemanatoare:

e = −⟨nu, ru⟩ = ⟨n, ruu⟩ = ⟨ ru × rv∣ru × rv ∣, ruu⟩ .

Obtinem

e = (ru, rv, ruu)√EG − F 2

.

Remarcam la numarator produsul mixt al vectorilor ru, rv si ruu.

Analog deducem f = (ru, rv, ruv)√EG − F 2

si g = (ru, rv, rvv)√EG − F 2

.

In continuare dorim sa gasim formule de calcul pentru curbura gaussianasi curbura medie a unei suprafete. Vom scrie asadar matricea operatoruluiWeingarten ın raport cu baza naturala ru, rv ın p ∈ S sub forma

Sp = −Dn(p) = −⎛⎝a11 a12

a21 a22

⎞⎠.

Am vazut ca

Sp(ru) = −Dn(p)(ru) = −nu si Sp(rv) = −Dn(p)(rv) = −nv,

astfel, putem scrienu = a11ru + a21rv

nv = a12ru + a22rv.(2.3)

M-I-Munteanu


Pentru a determina componentele a11, a12, a21 si a22 ınmultim cele douarelatii de mai sus, pe rand, cu ru, respectiv cu rv. Obtinem

⟨nu, ru⟩ = a11 ∣ru∣2 + a21 ⟨ru, rv⟩⟨nu, rv⟩ = a11 ⟨ru, rv⟩ + a21 ∣rv ∣2

⟨nv, ru⟩ = a12 ∣ru∣2 + a22 ⟨ru, rv⟩⟨nv, rv⟩ = a12 ⟨ru, rv⟩ + a22 ∣rv ∣2.

Sistemul pe care l-am obtinut poate fi rescris folosind coeficientii celor douaforme fundamentale, Asadar avem

a11 E + a21 F = −ea11 F + a21 G = −fa12 E + a22 F = −fa12 F + a22 G = −g.

Rezolvarea acestui sistem este un exercitiu elementar de algebra liniara.Vom scrie astfel doar solutia

a11 =−eG + fFEG − F 2

si a21 =eF − fEEG − F 2

a12 =−fG + gFEG − F 2

si a21 =fF − gEEG − F 2

.

Urmatoarele relatii se numesc ecuatiile Weingerten si se obtin din relatiilede mai sus combinate cu relatiile (2.3)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

nu =−eG + fFEG − F 2

ru +eF − fEEG − F 2

rv

nv =−fG + gFEG − F 2

ru +fF − gEEG − F 2

rv .

Acum putem obtine expresiile pentru curbura gaussiana

K(p) = det(Sp) =eg − f 2

EG − F 2

si curbura medie

H(p) = trace(Sp) =1

2⋅ eG − 2fF + gE

EG − F 2.

M-I-Munteanu


2.6 Curbura normala

Reamintim ca daca avem un operator liniar simetric (numit frecvent siauto-adjunct) definit pe un spatiu vectorial de dimensiune finita, atunciexista o baza ortonormata (ın acel spatiu vectorial) ın raport cu care op-eratorul se exprima cu ajutorul unei matrici diagonale. In acest sens damurmatoarea definitie.

Definitia 2.17 Fie S o suprafata orientata si p ∈ S. Fie v1, v2 o bazaortonormata ın TpS ın raport cu care operatorul Weingarten se exprima

printr-o matrice diagonala Sp =⎛⎝k1 0

0 k2

⎞⎠.

(i) Vectorii proprii ±v1 si ±v2 se numesc directiile principale ale suprafeteiS ın p.

(ii) Valorile proprii k1 si k2 se numesc curburile principale ale suprafeteiS ın p.

(iii) Daca avem k1 = k2 atunci p se numeste punct umbilical.

Observatie. In cazul planului avem k1 = k2 = 0 si orice directie estedirectie principala. In cazul sferei de raza r avem k1 = k2 = −1

r si, din nou,orice directie este direc tie principala.

Deoarece curbura gaussiana ın p este data de K(p) = det(Sp) si curburamedie ın p este data de H(p) = 1

2trace(Sp), avem alte doua formule decalcul pentru acestea si anume

K(p) = k1k2 si H(p) = k1 + k2

2. (2.4)

Definitia 2.18 Daca w ∈ TpS este unitar, adica ∣w∣ = 1, atunci valoareaIIp(w) se numeste curbura normala a suprafetei S ın p ın directia lui w.

Vom mai reveni asupra acestei notiuni.

In continuare vom prezenta ın detaliu cateva aspecte legate de curburapentru un cilindru. Mai precis, fie cilindrul circular drept de raza a > 0 dat

M-I-Munteanu


de ecuatia x2 + y2 = a2. Consideram o parametrizare a sa (care nu acoperaınsa tot cilindrul)

C(a) ∶ r ∶ (0,2π) ×RÐ→ R3, r(θ, z) = (a cos θ, a sin θ, z).

Intr-un punct arbitrar p = r(θ, z) planul tangent est generat de

rθ = (−a sin θ, a cos θ,0) si rz = (0,0,1).

Figura 2.11: directiile principale ıntr-un punct al cilindrului:rθ cu albastru, rz cu rosu

Calculam: rθ × rz = (a cos θ, a sin θ,0).Astfel, ın p avem vectorul normal unitar

n(p) = (cos θ, sin θ,0) (normala exterioara)

care orienteaza suprafata C(a). Vezi figura 2.12.

Coeficientii primei forme fundamentale sunt

E = ∣rθ∣2 = a2 F = ⟨rθ, rz⟩ = 0 G = ∣rz ∣2 = 1.

Coeficientii celei de a doua forme fundamentale sunt

e = (rθ, rz, rθθ)√EG − F 2

= −a f = (rθ, rz, rθz)√EG − F 2

= 0 g = (rθ, rz, rzz)√EG − F 2

= 0.

M-I-Munteanu


Figura 2.12: campul normal ın lungul curbelor parametrice printr-un punctal cilindrului

Curbura gaussiana si curbura medie au valorile

K(p) = 0 H(p) = − 1

2a.

Sa descriem operatorul Weingarten ın baza naturala rθ, rz.

Dn(p)(rθ) = (− sin θ, cos θ,0) = 1a rθ Ô⇒ Sp(rθ) = − 1

a rθ

Dn(p)(rz) = (0,0,0) = 0 rz Ô⇒ Sp(rz) = 0 rz.

Rezulta ca rθ si rz sunt, de asemenea, vectori proprii ai lui Sp core-spunzatori curburilor principale k1 = − 1

a si k2 = 0.

Observatie.

1. Cilindrul este o suprafata de curbura gaussiananula.

2. Cilindrul este o suprafata de curbura medie constanta.

Propozitia 2.3 Avem H2(p) ≥K(p) ın orice punct al unei suprafete ori-entate S. Egalitatea are loc daca si numai daca p este un punct umbilical.

Demonstratia rezultatului de mai sus este imediata.

Relatia (2.4) exprima K si H ın functie de k1 si k2. Intrucat apar ”sumasi produsul” putem scrie o ecuatie de gradul al doilea care are drept solutii

M-I-Munteanu


k1 si k2 si anumek2 − 2Hk +K = 0.

Exprimam astfel curburile principale ın functie de K si H:

k1,2 =H ±√H2 −K. (2.5)

Promiteam mai devreme ca revenim asupra notiunii de curbura nor-mala. Conform definitiei, curbura normala a suprafetei S ın punctul p siın directia vectorului unitar tangent w este IIp(w).Fiind unitar, putem exprima w ın baza ortonormata v1, v2 astfel

w = (cos θ)v1 + (sin θ)v2,

unde θ ∈ [0,2π). Avem

IIp(w) = ⟨Sp(w),w⟩ = ⟨Sp(cos θ v1 + sin θ v2), cos θ v1 + sin θ v2⟩= ⟨k1 cos θ v1 + k2 sin θ v2, cos θ v1 + sin θ v2⟩ = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ.

Sa remarcam ca, de fapt, curburile principale k1 si k2 ın p reprezinta min-imul si maximul curburii normale (ca functie de w ın p).

Dam ın continuare o caracterizare alternativa a curburii normale.

Propozitia 2.4 Fie S o suprafata regulata orientata, p ∈ S si w ∈ TpSunitar. Fie ρ o curba regulata pe S astfel ıncat ρ(0) = p si ρ′(0) = w.

(i) Avem IIp(w) = ⟨ρ′′(0), n(p)⟩, astfel, curbura normala este egala cuproiectia acceleratiei initiale ρ′′(0) pe normala ın p la suprafata.

(ii) Avem IIp(w) = κ(p) cos θ, unde θ =∢(n(p),N(p)) este unghiul dintrenormala la suprafata ın p si normala la curba N(p) ın p. Reamintimca normala la curba este definita ın punctele ın care curbura κ estenenula.

(iii) Valoarea ∣IIp(w)∣ realizeaza minimul curburilor tuturor curbelor prinp si avand vectorul viteza initiala w (gandite ca si curbe ın R3).

M-I-Munteanu


Demonstratie.

(i) Deoarece ρ′(t) este tangent si n(t) ∶= n(ρ(t)) este normal la S ın ρ(t),rezulta ⟨ρ′(t), n(t)⟩ = 0 pentru orice t ∈ I. Derivand ın raport cu t, obtinem,ın t = 0

0 = d

dt∣t=0

⟨ρ′(t), n(t)⟩ = ⟨ρ′′(0), n(p)⟩ + ⟨w,−Sp(w)⟩.

Rezulta imediat ca IIp(w) = ⟨w,Sp(w)⟩ = ⟨ρ′′(0), n(p)⟩.Pentru (ii), sa ne amintim ca

ρ′(t) = ∣ρ′(t)∣T (t);ρ′′(t) = d

dt ∣ρ′(t)∣ T (t) + ∣ρ′(t)∣T ′(t) = ddt ∣ρ′(t)∣ T (t) + ∣ρ′(t)∣2κ(t)N(t).

Punand t = 0 si tinand cont ca T (0) ⊥ n(p) avem ca

⟨ρ′′(0), n(p)⟩ = ∣w∣2κ(0)⟨N(0), n(p)⟩ = κ(p) cos θ.

Sa analizam acum (iii).

Fie ρ ∶ I → R3 parametrizata natural astfel ıncat ρ(0) = p si ρ′(0) = w.Avem κ = ∣ρ′′(0)∣.Inegalitatea CBS ne asigura ca ∣⟨ρ′′(0, n(p)⟩∣ ≤ ∣ρ′′(0)∣ ⋅ ∣n(p)∣ = κ.

Ramane sa aratam ca acest minim ∣⟨ρ′′(0, n(p)⟩∣ este atins.

In inegalitatea CBS, avem egalitate daca si numai daca ρ′′(0) si n(p) suntcoliniari, adica daca normala principala la curba are directia normalei lasuprafata ın acel punct.

Planul determinat de w si n(p), dus prin p, determina o curba de intersectiepe S numita sectiune normala a lui S ın directia vectorului tangent w.Aceasta este curba cautata si astfel se justifica si denumirea de curburanormala.

Curbura sectiunii normale este valoarea absoluta a curburii normale.

Ar trebui sa aratam ca sectiunea normala este ıntr-adevar curba cautata,ınsa nu o mai facem. Precizam totusi ca sectiunea normala este o curbaplana.

Notam kn = IIp(w).

M-I-Munteanu


Teorema 2.4 (Meusnier) Toate curbele regulate de pe o suprafata ori-entata S care au ın punctul p0 ∈ S aceeasi tangenta, au, ın p0, aceeasicurbura normala.

Fie acum ρ ∶ I → R3, cu ρ(I) ⊂ S, ρ(0) = p si ρ′(0) = w o curba pe Sparametrizata natural.

Vectorul ρ′′(0), fiind perpendicular pe ρ′(0) = w, se poate exprima ınfunctie de n(p) si Rπ

2(w) = n(p) ×w. Mai precis avem

ρ′′(0) = ⟨ρ′′(0), n(p)⟩ n(p) + ⟨ρ′′(0),Rπ2(w)⟩ Rπ

2(w).

Am vazut ca ⟨ρ′′(0), n(p)⟩ = kn (ın directia lui w).

Coeficientul ⟨ρ′′(0),Rπ2(w)⟩⟩ ∶ = kg se numeste curbura geodezica a curbei

ρ ın p.

Propozitia 2.5 Daca ρ este ca mai sus, avem

κ2 = k2n + k2

g ,

unde κ este curbura lui ρ (gandita ca o curba ın R3).

Demonstratie. Relatia se obtine imediat din ecuatia

ρ′′(0) = kn n(p) + kg Rπ2(w).

Prezentam un scurt studiu pe sfera unitate:

Propozitia 2.6 Daca ρ este o curba parametrizata natural situata pesfera S2(1), atunci curbura sa geodezica (ın raport cu orientarea data denormala exterioara) se calculeaza cu formula

kg(t) = (ρ(t), ρ′(t), ρ′′(t)). (2.6)

Demonstratie.

Fie ρ ∶ I → R3 astfel ıncat ρ(t) ∈ S2(1) si ∣ρ′(t)∣ = 1, pentru orice t ∈ I.

Deoarece ∣ρ(t) = 1 rezulta ca ρ′(t) ⊥ ρ(t), pentru orice t.

M-I-Munteanu


Deci, ın fiecare punct, avem baza ortonormata ρ(t), ρ′(t), ρ(t) × ρ′(t).

Sa descompunem ρ′′(t) ın aceasta baza. Mai ıntai, deoarece ∣ρ′(t)∣ = 1,rezulta ca ρ′′(t) ⊥ ρ′(t) pentru orice t.

Apoi, din relatia ⟨ρ(t), ρ′(t)⟩ = 0, prin derivare, obtinem

⟨ρ(t), ρ′′(t)⟩ = −1, ∀t ∈ I.

Deci curbura normala este −1 ın orice t si pentru orice ρ.

Avem ρ′′(t) = −ρ(t) + kgρ(t) × ρ′(t) (deoarece n(ρ(t)) = ρ(t)).Inmultind scalar cu ρ(t) × ρ′(t) obtinem

⟨ρ(t) × ρ′(t), ρ′′(t)⟩ = kg,

ceea ce implica relatia (2.6).

Incheiem aceasta parte cu o teorema celebra a lui Gauß.

Teorema 2.5 (Egregium) Fie F ∶ S1 → S2 o izometrie si p0 ∈ S1.

Atunci K1(p0) =K2(F (p0)).

2.7 Clase remarcabile de suprafete

Suprafete de rotatie

O suprafata de rotatie (sau de revolutie) se obtine prin rotirea unei curbeρ ın jurul unei drepte pe care nu o intersecteaza.

In urma unei transformari rigide a spatiului, putem presupune ca dreaptaın jurul careia se face rotatia este axa Oz. Apoi, fara a restrange ge-neralitatea, vom presupune ca ρ ∶ I → R3 se afla ın planul yOz, adicaρ(t) = (0, y(t), z(t)). Cum y(t) ≠ 0, rezulta ca are semn constant, deciputem presupune ca y(t) > 0 ın orice punct.

Daca z′ ≠ 0 atunci putem reparametriza ρ astfel ıncat sa fie de formaρ(t) = (0, a(t), t), unde a(t) > 0.

M-I-Munteanu


In urma rotatiei, obtinem suprafata parametrizata

r ∶ I × (0,2π)→ R3, r(t, u) = (a(t) cosu, a(t) sinu, t). (2.7)

Coeficientii celor doua forme fundamentale sunt

E = ∣ru∣2 = a(t)2 e = a(t)√1 + a′(t)2

F = ⟨rt, ru⟩ = 0 f = 0

G = ∣rt∣2 = 1 + a′(t)2 g = − a′′(t)√1 + a′(t)2

.

Astfel, curbura medie este

H = −1 + a′(t)2 − a(t)a′′(t)2a(t)(1 + a′(t)2)3/2

, (2.8)

iar curbura gaussiana este

K = − a′′(t)a(t)(1 + a′(t)2)2

. (2.9)

Daca y′ ≠ 0 atunci putem reparametriza ρ astfel ıncat sa fie de formaρ(t) = (0, t, a(t)), t > 0.

In urma rotatiei, obtinem suprafata parametrizata

r ∶ I × (0,2π)→ R3, r(t, u) = (t cosu, t sinu, a(t)). (2.10)

Coeficientii celor doua forme fundamentale sunt

E = ∣ru∣2 = t2 e = a′(t)√1 + a′(t)2

F = ⟨rt, ru⟩ = 0 f = 0

G = ∣rt∣2 = 1 + a′(t)2 g = a′′(t)√1 + a′(t)2

.

Astfel, curbura medie este

H = −ta′′(t) + a′(t) + a′(t)3

2t(1 + a′(t)2)3/2, (2.11)

M-I-Munteanu


iar curbura gaussiana este

K = a′(t)a′′(t)t2(1 + a′(t)2)2

. (2.12)

Observatie. Sfera S2(R) este o suprafata de rotatie pe care o putemparametriza sub forma (2.7) cu a(t) =

√R2 − t2, t ∈ (−R,R).

Inlocuind valoarea lui a(t) ın ecuatiile (2.8) si (2.9) obtinem H = − 1

Rsi

K = 1

R2. Deci sfera are curbura gaussiana constanta (pozitiva) si curbura

medie constanta.

Figura 2.13: O suprafata de rotatie: diferite vizualizari

M-I-Munteanu


Suprafete riglate

Suprafete riglate parametrizate. Fie ρ,w ∶ I ⊂ R → R3 doua functiivectoriale netede, astfel ıncat ρ′(s) ≠ 0 pentru orice s ∈ I. Definim suprafataparametrizata

r ∶ I × J → R3, r(s, t) = ρ(s) + tw(s), t ∈ J ⊂ R.

Daca rs×rt ≠ 0 atunci spunem ca r defineste o suprafata riglata parametrizata.

Curba ρ se numeste curba de baza iar curba w este curba directoare. Pentrus fixat, dreptele t↦ ρ(s) + tw(s) se numesc generatoare.

Exemple.

1. Daca w(s) = a ∈ R3 este un vector constant, atunci r se numestesuprafata cilindrica.

2. Daca dreptele generatoare δs ∶ ρ(s)+ tw(s), t ∈ R trec toate printr-unpunct fix, atunci r se numeste suprafata conica.

3. Daca w(s) = ρ′(s) atunci r se numeste suprafata tangenta desfasuratapentru curba ρ.

O suprafata riglata este o suprafata regulata care poate fi acoperita cusuprafete riglate parametrizate.

Observatie. Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca ρ ∶ I →R3 este o curba ın spatiu parametrizata natural, i.e. ∣ρ′(s)∣ = 1 pentruorice s ∈ I, iar w(s) este unitar pentru orice s ∈ I, i.e. ∣w(s)∣ = 1.

Problema. Sa se descrie suprafata care se obtine prin rotirea unei dreptearbitrare din spatiu ın jurul axei Oz.

M-I-Munteanu


Prezentam ın continuare cateva suprafete riglate realizate cu Mathematica.

O suprafata riglata:

Figura 2.14: Suprafata riglata: doua vizualizari

O suprafata cilindrica:

Figura 2.15: Suprafata cilindrica: doua vizualizari

M-I-Munteanu


O suprafata conica:

Figura 2.16: Suprafata conica: doua vizualizari

O suprafata tangenta desfasurata:

Figura 2.17: Suprafata tangenta desfasurata: doua vizualizari

M-I-Munteanu


Suprafete de translatie

O suprafata de translatie ın R3 este o suprafata parametrizata de forma

r ∶ I × J → R3, r(u, v) = (u, v, a(u) + b(v)),

unde a ∶ I ⊂ R→ R si b ∶ J ⊂ R→ R sunt doua functii diferentiabile.

Interpretare. Putem considera graficele celor doua functii reprezentateın planele xOz si yOz respectiv; prin urmare, r poate fi gandita ca ”suma”a doua curbe (plane) si anume

r(u, v) = (u,0, a(u)) + (0, v, b(v)), u ∈ I, v ∈ J.

Figura 2.18: Doua suprafate de translatie

Ca urmare a acestei interpretari, au fost facute multe generalizari alenotiunii de suprafata de translatie (ın diferite spatii euclidiene).

Suprafete minimale

O suprafata parametrizata S se numeste minimala daca are curbura medienula ın orice punct, adica H = 0.

M-I-Munteanu


Suprafete plate

O suprafata parametrizata S se numeste plata daca are curbura gaussiananula ın orice punct, adica K = 0.

Probleme

Rezultate interesante se obtin cand combinam doua proprietati geometricepentru o suprafata. Formulam de exemplu urmatoarele probleme:

1. Care sunt suprafetele minimale de rotatie?

Sa presupunem ca suprafata S este parametrizata prin (2.7). Folosind(2.8), pentru a gasi suprafetele minimale, trebuie sa rezolvam ecuatiadiferentiala

1 + a′(t)2 − a(t)a′′(t) = 0.

Ecuatia este echivalenta cu1

a(t) = a′′(t)1 + a′(t)2

care este, ın continuare,

echivalenta cu (2 log a(t) − log(1 + a′(t)2))′ = 0.

Obtinema(t)2

1 + a′(t)2= α2, unde α > 0 este o constanta reala. Rezulta

α2a′(t)2

a(t)2 − α2= 1.

Drept consecinta, avem ca a(t) > α, astfel ca exista o functie b(t) > 0 cuproprietatea a(t) = α cosh b(t).Deducem ca α2b′(t)2 = 1, adica b′(t) = ε

α , unde ε = ±1. Se obtine b(t) =ε(t − t0)/α.

Daca luam t0 = 0 trebuie de asemenea sa consideram, de exemplu, t > 0 siε = 1.

Astfel, a(t) = α cosh tα ; se obtine, asadar, catenoidul.

Vom considera ın continuare cealalta parametrizare, i.e. (2.10). Ne ıntrebamtotusi cand trebuie sa o folosim pe aceasta (fiindca prima nu este permisa)?Cand z′(t) = 0 pe I. Prin urmare, vom considera parametrizarea (2.10) cua(t) = a, constanta reala.

M-I-Munteanu


Avem, evident, din formula (2.11), minimalitatea suprafetei de rotatieobtinute. Aceasta suprafata reprezinta o portiune de plan parametrizataprin r(t, u) = (t cosu, t sinu, a), unde t > 0 si u ∈ (0,2π).2. Care sunt suprafetele minimale riglate?

3. Care sunt (toate) suprafetele minimale, respectiv plate, de translatie?

Fie suprafata parametrizata r ∶ I × J → R3, r(u, v) = (u, v, a(u) + b(v)).Scriem coeficientii celor doua forme fundamentale:

E = ∣ru∣2 = 1 + a′(u)2 e = 1√∆a′′(u)

F = ⟨ru, rv⟩ = a′(u)b′(v) f = 0

G = ∣rv ∣2 = a + b′(v)2 g = 1√∆b′′(v)

∆ = EG − F 2 = 1 + a′(u)2 + b′(v)2 .

Astfel

H = a′′(u)(1 + b′(v)2) + b′′(v)(1 + a′(u)2)

2∆3/2

K = a′′(u)b′′(v)

∆3/2.

Sa studiem mai ıntai suprafetele de translatie plate, adica pentru care avemK = 0.

Daca p0 ∈ S astfel ıncat a′′(u0) ≠ 0, rezulta ca b′′(v) = 0, pentru orice v ∈ J .Astfel b(v) = λv + b0, cu λ, b0 ∈ R este o functie afina ın v si suprafata S sescrie

r(u, v) = ρ(u) + v(1,0, λ),unde ρ(u) = (u,0, a(u) + b0) este o curba ın planul xOz, deci S este osuprafata cilindrica.

Analog se studiaza si cazul a′′(u) = 0, ∀u ∈ I.

Observatie. Un caz particular este planul care se obtine cand ambelefunctii a si b sunt afine.

M-I-Munteanu


Ne intereseaza acum sa gasim toate suprafetele minimale. Pentru aceasta,sa analizam ecuatia H = 0. Obtinem

a′′(u)1 + a′(u)2

= − b′′(v)1 + b′(v)2

.

Functia din membrul stang al egalitatii de mai sus depinde doar de u, iarcea din dreapta, doar de v. Prin urmare exista o constanta λ ∈ R astfelıncat

a′′(u)1 + a′(u)2

= λ sib′′(v)

1 + b′(v)2= −λ.

Daca λ = 0 avem ca a si b sunt functii afine si astfel deducem ca S este oportiune de plan. Vom considera mai departe cazul cand λ ≠ 0.

Avem de rezolvat doua ecuatii diferentiale. Facem urmatorul calcul

d

duarctg a′(u) = a′′(u)

1 + a′(u)2= λ,

asadar a′(u) = tg (λu + c1), c1 ∈ R, λu + c1 ∈ (−π2 , π2 ) + kZ.

Prin integrare se obtine

a(u) = −1

λlog ∣ cos(λu + c1)∣ + a0, a0 ∈ R.

In mod analog deducem

b(v) = 1

λlog ∣ cos(λv + c2)∣ + b0, c2, b0 ∈ R.

Prin urmare suprafata obtinuta este parametrizata astfel

r(u, v) = (u, v, 1

λlog ∣cos(λv + c2)

cos(λu + c1)∣ + c0) ,

unde c0 = a0 + b0 ∈ R.

Suprafata corespunzatoare valorilor λ = 1, c0 = c1 = c2 = 0 a fost obtinutaın 1834 de H.Scherk si ıi poarta numele.

Explicit, suprafata lui Scherk se scrie

z = logcos y

cosx, x, y ∈ (−π

2,π

2)

M-I-Munteanu


Figura 2.19: suprafata lui Scherk

si este reprezentata ın figura (2.19).

4. Care sunt suprafetele de rotatie plate?

Pentru a gasi toate suprafetele de rotatie care au curbura gaussiana nula,vom analiza ecuatiile (2.9) si (2.12). In ambele situatii se obtine a′′(t) = 0.Prin urmare, curba care se rotete este o (portiune de) dreapta.

In primul caz (cand a(t) nu este constanta) distingem doua situatii:

• Daca dreapta este paralela cu Oz se obtine o portiune de cilindru.

• Daca dreapta este ”oblica” (nici paralela cu si nici perpendiculara peOz) se obtine o portiune de con.

In al doilea caz, cand a(t) este o functie constanta, se obtine o portiunede plan.

5. Care sunt suprafetele riglate plate?

curbe ˘si suprafet˘e - aspecte diferent˘iabile - facultatea de...

Documents