cuestiones de autoevaluacion tema 1

7/23/2019 Cuestiones de Autoevaluacion Tema 1

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Ejercicio: 1.1 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

1.1 Cul de las siguientes oraciones es una proposicin lgica?

a) Soy minero.b) Para qu seguir.

c) Que nadie sepa mi sufrir.

La oracin Soy minero puede ser verdadera o falsa, segn quien la pronuncie.

1.2 Cul de las siguientes oraciones no es una proposicin lgica?

a) La Luna en el mar riela.

b) Qu es la vida?.c) Que es mi dios la libertad.

Qu es la vida?, es una pregunta sin valor de verdad.

1.3 La oracin El pueblo, unido, jams ser vencido.

a) No es una proposicin lgica.

b) Es una proposicin lgica simple.

c) Es una proposicin lgica compuesta.

Es equivalente a Sipentonces q

1.4 La oracin No deba de quererte y, sin embargo, te quiero.

a) No es una proposicin lgica.

b) Es una proposicin lgica simple.


La proposicinpes Deba quererte

La proposicin qes te quiero

No deba de quererte y, sin embargo, te quiero. Es la proposicin p q.

1.5 La oracin El tiempo lo cura todo.

a)

No es una proposicin lgica.

b) Es una proposicin lgica simple.c)

Es una proposicin lgica compuesta.

Es un enunciado nico relativo a las propiedades curativas del tiempo.


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1.6 La oracin Que descansada vida la del que huye del mundanal ruido.

a)

No es una proposicin lgica.

b) Es una proposicin lgica simple.c) Es una proposicin lgica compuesta.

Es un enunciado nico acerca de la vida del que huye del ruido.

1.7 La oracin Lo que el viento se llev.

a) No es una proposicin lgica.b) Es una proposicin lgica simple.


La oracin no contiene ningn enunciado al que pueda atribuirse valor de verdad.


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1.8 Seapla proposicin "te tengo" y qla proposicin "te olvido", la proposicin "ni te tengo ni te olvido" se

representa por:

a) p q .

b)

p q .

c) p q .

La respuesta b no es correcta ya que si aplicamos la ley de Morgan para eliminar la negacin quedara

p q p q , que no es lo mismo que la respuestaa p q .

Laason dos proposiciones negadas unidas por una conjuncin y labson dos proposiciones negadas unidas

por una disyuncin.

En tabla de verdad se ve como no son iguales los resultados de la respuesta ayb.

p q p q (pq) (pq) (pq) pq

VV

FF

VF

VF

FF

VV

FV

FV

FF

FV

VF

FF

FV

VV

FV

VV

1.9 Sea p la proposicin firmo (el documento) y q la proposicin leo (el documento); la proposicin

No firmo sin haberlo ledo se representa por

a) p q .

b) p q .

c) p q .

Si nos fijamos en la respuesta by miramos primero lo que hay dentro del parntesis:

(pq), firmo y no leo, que es justamente lo contrario a lo que se pide en el enunciado, por lo tanto slo me

queda negar esta proposicin,

(pq)

La asera no firmo y no leo. No tiene sentido.

La csera no firmo o no leo. No tiene sentido.

1.10 Sipes la proposicin te he visto y qla proposicin me acuerdo, la proposicin si te he visto, no

me acuerdo se simboliza por

a) p q .

b)

p q .

c) q p .

Solucin:La respuesta correcta es lab.


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1.11 Si p es la proposicin tu prometes, q la proposicin t das, y r la proposicin mal vas, la

proposicin si prometes y no das, mal vas se simboliza por

a) r p q .

b) p r q r .

c) p q r .

Solucin: La respuesta correcta es lac.

1.12 Siendopmarzo mayea, y qmayo marcea, la oracin Cuando marzo mayea, mayo marcea, se

expresa.

a) p q .

b) p q .

c) p q .

Solucin: La respuesta correcta es laa.

1.13p simboliza sale cara, qsale cruz, rgano yo y spierdes t. La proposicin Si sale cara,

gano yo; si sale cruz, pierdes t, se simboliza por.

a) p r q s .

b) p q r .

c)

p q r s .


1.14 Si p es la proposicin llueve, y q la proposicin escampa, la proposicin Siempre que llueve,

escampa, se expresa.

a) p q .

b) p q .

c)

p q .

Solucin: La respuesta correcta es lab.

1.15 Sea p la proposicin sembrar vientos, y q la proposicin recoger tempestades, la proposicin

Quien siembra vientos, recoge tempestades, se expresa.

a) p q .

b) q p .

c)

p q

.



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1.16 Sea p la proposicin arriesgar, y q la proposicin cruzar la mar, la proposicin El que no

arriesga, no cruza la mar, se simboliza.

a) p q .

b) p q .

c) p q .



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1.17 Si qes falsa, entonces p q es

a) Verdadera.b) Falsa.c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad dep.


p q p q (p) q

VVFF

VFVF

FFVV

FVFV

VFVV

1.18 Sipes falsa, entonces p q es

a) Verdadera.b) Falsa.c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.


p q p (p)q

VVFF

VFVF

FFVV

FFVF

1.19 Si qes verdadera, entonces p q es

a) Verdadera.b) Falsa.c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad dep.


p q q (p q) (p q)

VVFF

VFVF

FVFV

VVFV

FFVF


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1.20 Sipes verdadera, entonces q p p q es

a) Verdadera.

b) Falsa.

c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.


p q p q (q p) (p q) (q p) (p q)

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

1.21 La proposicin (pp) es:

a) Verdadera.

b)

Falsac) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de p.

p p pp (pp)

V

F

F

V

V

V

F

F

1.22 pqes falsa cuando:

a) pes falsa y qes falsa.

b) pes verdadera y qes falsa.

c) p es falsa y q es verdadera.

p q q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

1.23 Si p es verdadera, la proposicin (p) qes:

a) Verdadera.b) Falsa

c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

p q p (p) q

V

VF

F

V

FV

F

F

FV

V

V

VV

V


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1.24 Sipes verdadera, la proposicin p p q es

a) Verdadera.b) Falsac) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

p q pq p(pq)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

1.25 Sipes falsa, la proposicin (pq)( pq) es

a) Verdadera.b) Falsa.

c)

Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

Por lo tanto respuesta c, ya el valor de verdad depende de q.

p q pq pq (pq)( pq)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

V

1.26 Sipes verdadera, la proposicin p q p es

a) Verdadera.b) Falsac) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

p q p pq (pq)p

V

VF

F

V

FV

F

F

FV

V

V

VV

F

F

FV

V

1.27 La proposicin p p es

a) Es verdadera si p es falsa.b) Es verdadera sipes verdadera.c) Es siempre falsa.

p p pp

V

F

F

V

F

V


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1.28 la proposicin (pq)( pq) es verdadera

a) Slo cuandopy qson verdaderas.b) Slo cuandopy qson falsas.c) Siempre.

p q pq pq (pq)( pq)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

V

V

V

1.29 Sip(qp) es una proposicin falsa, es que:

a) py qson verdaderas.

b)

pes verdadera y qes falsa.c) pes falsa y qverdadera.

p q p (qp) p(qp)

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

1.30 Sip (qp) es una proposicin verdadera, entonces:

a) py qson verdaderas.b)p es verdadera y q es falsa.c) p es verdadera.

p q (qp) p (qp)

V

V

FF

V

F

VF

V

V

FV

V

V

FF

1.31 La proposicinp(qp) es una verdadera:

a) Slo sipy qson falsas.b) Slo sipes falsa y qverdadera.c)

Cualquiera que sean p y q.

p q (qp) p(qp)

VV

F

F

VF

V

F

VV

F

V

VV

V

V


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1.32 De la premisa Si bebes, no conduzcas se deduce la conclusin

a)

Si no conduces, bebe.

b) Si conduces, no bebas.

c)

Si no bebes, conduce.

p: beber.

q: conducir.

Si bebes, no conduzcas. pq

Si no conduces, bebe. qp

Si conduces, no bebas. qp

Si no bebes, conduce. pq

Comparamos la coincidencia entre las proposiciones y vemos que el enunciado coincide con la segunda.

Tabla de la verdad:

p q p q pq qp qp pq

V V F F F V F V

V F F V V V V V

F V V F V V V V

F F V V V F V F


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1.33 El razonamiento:

Si los tringulos S y T tienen sus ngulos iguales, son iguales

Los tringulos S y T son iguales

S y T tienen los ngulos iguales

a) Es lgicamente vlido, aunque la primera premisa es falsa.

b) Es una falacia porque la primera premisa es falsa.

c) Sera una falacia aunque la primera premisa fuese cierta.

Si los tringulos S y T tienen sus ngulos iguales, son iguales p q

Los tringulos S y T son iguales q

S y T tienen ngulos iguales p

Tabla de la verdad:

Otra forma de resolverlo, Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser

vlido cuando1 2

...n

p p p q .

Aqu vemos que (pq) y q NO implican p por lo tanto es una falacia.

Solucin:Sera una falacia aunque la primera premisa fuese cierta.

Premisas Conclusin

p q pq q p

V V V V V

V F F F V

F V V V F

F F V F F

p q pq q ( pq) q p ( pq)qp

V V V V V V V

V F F F F V VF V V V V F F

F F V F F F V


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Si Pars est en Francia, no est en Amrica

Pars est en Amrica

Pars no est en Francia

a) Es lgicamente vlido.

b) Es una falacia porque la segunda premisa es falsa.

c)

Sera una falacia aunque la segunda premisa fuese cierta.

pq

q

p

Tabla de la verdad:


vlido cuando1 2

...n

p p p q .

Aqu vemos que(p q) y qimplican p por lo tanto es un razonamiento vlido.

Premisas

p q p q pq q p

V V F F F V F

V F F V V F F

F V V F V V V

F F V V V F V

p q p q pq q ( pq)q (( pq)q)p

V V F F F V F V

V F F V V F F V

F V V F V V V V

F F V V V F F V


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Los domingos voy al campo o voy de compras

El domingo voy de compras

El domingo no voy al campo

a) Es lgicamente vlido, por aplicacin del modus tollendo ponens.

b) Es una falacia.

c) Es lgicamente vlido, por aplicacin del modus ponendo ponens.

p q

q

p


vlido cuando1 2

...np p p q .

Aqu vemos que(pq) y qNoimplican p por lo tanto NO es un razonamiento vlido.

Solucin:Es una falacia.

Premisas Conclusin

p q pq q p

V V V V F

V F V F F

F V V V V

F F F F V

p q pq ( pq ) q p (( pq )q )p

V V V V F F

V F V F F V

F V V V V V

F F F F V V


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Un amigo marciano afirma: Si llueve, llevo paraguas y, tambin, Cuando llevo paraguas, no llueve, de

estas premisasse deduce:

a) Siempre lleva paraguas

b) En Marte nunca llueve.

c)

Algunos marcianos no siempre dicen la verdad

p= llueve;

q= llevo paraguas

p q

q p

p p

Por la ley del silogismo hipottico se deduce p p , es decir Si llueve, entonces no llueve. Estaconclusin significa que no puede llover porque si alguna vez lloviese, p sera verdadera y p falsa,

resultando falsa la expresin p p .

Si hacemos la tabla de verdad de esta simbolizacin:

[(pq) (qp)](pp)

p q p pq qp (pp) [(pq) (qp)] [(pq) (qp)](pp)

VV

F

F

VF

V

F

FF

V

V

VF

V

V

FV

V

V

FF

V

V

FF

V

V

VV

V

V

Solucin:En Marte nunca llueve.


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Si voy al cine, como palomitas

Si como palomitas, tengo sed

Si tengo sed, he ido al cine

a) Es un caso particular del silogismo hipottico.

b) Es un caso particular del modus tollendo tollens.

c) Es una falacia.

p q

q r

r p

Solucin:Es una falacia.

Premisas Conclusin

p q r pq qr rp

V V V V V V

V V F V F V

V F V F V V

V F F F V V

F V V V V F

F V F V F VF F V V V F

F F F V V V


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1.38 De las premisas: Marx, Engles o Lenin eran alguno francs y ni Engles ni Lenin eran franceses,

deducir que Marx era francs

a)

Es una falacia.

b) Es un razonamiento vlido, caso particular del modus tollendo tollens.

c)

Es un razonamiento vlido, caso particular del modus tollendo ponens.

p: Marx era francs.

q: Engles o Lenin eran alguno francs.

p q

q

p

Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser vlido cuando

1 2

...n

p p p q

Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusin y se

comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad V tambin la conclusin toma el valor de

V.

Modus tollendo ponens

Solucin:Es un razonamiento vlido, caso particular del modus tollendo ponens.

p q p q q ((p q) q)) p ((p q) q)) p

V V V F F V V

V F V V V V V

F V V F F F V

F F F V F F V

Premisas Conclusin

p q pwq 5q p

V V V F VV F V V V

F V V F F

F F F V F


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p

p

q

a) Es una falacia.

b) Es lgicamente vlido.

c) Es lgicamente vlido o falaz segn el valor de verdad de q.

Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser vlido cuando

1 2...

np p p q

Representamos la tabla de verdad:

Para probar la validez de un razonamientose forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusin y se

comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad tambin la conclusin toma el valor de

verdad.

Para probar que un razonamiento no es lgicamente vlidobasta encontrar un caso en el que las premisas

sean verdaderas y la conclusin falsa.

Como no tenemos ningn valor que nos haga falso este razonamiento se deduce que es verdadero.

p q p p p q ( p p)q

V V F F V V

V F F F F V

F V V F V V

F F V F F V

Premisas Conclusin

p q p p q

V V V F V

V F V F F

F V F V V

F F F V F


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Autor:EQUIPO DOCENTE Fecha:Jueves, Octubre 20, 2011 11:07pm

La definicin de 'razonamiento lgicamente vlido' del recuadro 1.9 es correcta.

Supongamos, para simplificar que tenemos dos premisas. En definitiva, lo que se exige

es que sea VERDADERA la siguiente "proposicin condicional"

"SI [Premisa 1 es VERDADERA 'y' Premisa 2 es VERDADERA] ENTONCES [la conclusin es

VERDADERA]"

La tabla de verdad de la proposicin CONDICIONAL est en el recuadro 1.7) (pg. 12).Observemos que un condicional es FALSO slo en el caso en el antecedente (es decir, la

proposicin que est antes de la flecha (o sea, el [ENTONCES]) es VERDADERO y el

consecuente (es decir, la proposicin que est despus de la flecha, o sea el

[ENTONCES]) es FALSO. En todos los dems casos el condicional es VERDADERO. En

particular, cuando el antecedente es FALSO entonces el condicional es VERDADERO, tanto

si el consecuente es VERDADERO como si es FALSO.

En el condicional indicado anteriormente el antecedente es "la conjuncin de las dos

premisas". Si recordamos la tabla de verdad de la conjuncin, (recuadro 1.5, pg. 10),

vemos que la conjuncin es VERDADERA slo cuando lo son ambas proposiciones. En todos

los dems casos es FALSA.

As pues, si una de las dos premisas es FALSA (o lo son las dos), la conjuncin deambas es FALSA. En este caso, el antecedente de la proposicin condicional anterior es

FALSO y, por tanto, dicha proposicin condicional es VERDADERA, sea cual sea el valor

de verdad del consecuente.

Esto es lo que est ocurriendo en este ejemplo.

Cmo es la proposicin condicional cuyo valor de verdad ha de ser VERDADERO para que

el razonamiento sea vlido? Es la siguiente:

SI (p p) ENTONCES q

El antecedente es (p p). Fcilmente vemos que esta proposicin siempre es FALSA,

sea cual sea p. Es intuitivo: afirmar que ocurre una cosa y su contraria al mismotiempo nunca puede ser verdad. Ahora bien, en general, no es conveniente fiarse de la

intuicin, porque podemos equivocarnos. Para estar seguro no hay ms que hacer la

tabla de verdad de la conjuncin de una proposicin y su contraria y comprobar que

todos los valores son FALSO.

As pues el antecedente citado es siempre FALSO. Acudiendo a lo que dijimos antes

respecto del condicional podemos asegurar que la proposicin condicional que da el

razonamiento es VERDADERA, por lo cual el razonamiento es 'vlido'.


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1.40 Si A es el conjunto de las vocales, se cumple

a) u A .

b) m A .

c) e A .

1.41 Si A es el conjunto de los siete colores del arco iris, no es cierto

a) azul A .

b) marrn A .

c) naranja A .

1.42 Si A es el conjunto de los animales mamferos, es cierto

a)

oso A .b) cangrejo A .

c) loro A .

1.43 El conjunto A domingos de 2010 est definido

a) Por enumeracin.

b) Por descripcin.c) Por inclusin.

1.44 Si A y B son conjuntos tales que A B , es cierto que

a) Si x A , entonces x B .

b)

Si x B , entonces x A .

c) Si x A , entonces x B .

1.45 Si M y N son conjuntos tales que N M , es cierto que

a)

Si a M , entonces a N .b) Si a M , entonces a N .

c) Si a N , entonces a M .

1.46 Si F y D son los conjuntos: 2009F das festivos de , 2009D domingos de , se cumple

a) F D .

b) D F .c)

F D y D F .


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1.47 Para cualquier conjunto A se verifica

a) A .

b) A .

c) A A .

1.48 Si 1,2,3A y 3,2,1B , no es correcto afirmar

a) A B .

b) A B .

c) A B .


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1.49 Si 1,2,3A y P A es el conjunto de las partes de A, no es correcto afirmar:

a) ( )P A

b) ( )P A

c)

1,2 ( )P A

El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de

A. Se denota por P A

Elementos .

Conjuntos .

Respuesta,

Entre los subconjuntos de A, que son elementosde P A , est el subconjunto .

Tambin P A como cualquier otro conjuntocontiene a .

En cuanto a 1,2 , es cierto que 1,2 ( )P A o bien que 1,2 ( )P A , esto quiere decir que el conjuntocuyo nico elemento es el conjunto 1,2 est contenido en A.

Pero no es cierto que 1, 2 sea subconjunto de P A porque ello significara que 1 P A y 2 P A

como elemento y debera ser 1 P A y 2 P A como subconjunto.

1.50 Si A es el conjunto de las vocales y P A es el conjunto de las partes de A, no es correcto afirmar:

a) , , , ( )a e a i P A

b) , ( )a e P A

c) , , , ( )a e a i P A

1.51 Si un conjunto A tiene 6 elementos, el nmero de subconjuntos de A es

a) 6.

b)

16.c) 64.

Si el conjunto A tiene nelementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos.


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Ejercicio: 1.52-1.53 Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

1.52 Si A es el conjunto de los nmeros pares y B es el conjunto de los nmeros mltiplos de 5, A B es

a) .

b) El conjunto de los nmeros mltiplos de 10.c) El conjunto de los nmeros mayores que 10.

1.53 Si A es el conjunto de las comunidades autnomas espaolas y B es el conjunto provincias espaolas,

no es correcto afirmar que

a) ,Cantabria La Rioja A B .

b) ,Galicia Cantabria A B .

c) Islas Baleares A B .


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1.54 Si A y B son dos conjuntos disjuntos, no es correcto afirmar que

a) Si a A , entonces a B .

b) Si a B , entonces Ca A .

c) Si a A , entonces a B .

Por lo tanto respuesta correcta c.

Si a A , entonces a B

Si a B , entonces Ca A

Si a A , entonces a B

U

a

A B

UA

a

B

U

aA B


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1.55 Dados dos conjuntos A y B, NO es correcto afirmar que:

a) si x A B , entonces Cx A B o Cx A B .

b) si x A B , entonces x A o x B .

c) si x A B y x A , entonces x B .

En realidad no es que sea incorrecta, sino que es incompleta ya que nos falta por incluir tambin que

x A B que es lo que dice la solucin

Aqu dibujo los tres sitios en donde puede estar la x y como se puede ver A B no est incluido en la

solucin por eso es incompleta y se deduce que es incorrecta

CA B CA B A B

A B Se representa por la zona amarilla:

Cx A B Cx A B

x A B

Cx A B

Cx A B

x A B


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1.56 Si dos conjuntos A y B verifican C CA B , es que

a) A B .

b) .A B U

c) C CA B A B U

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos:

C C

CC C

CC C

A B

A B

A B

A B U

C

1,2

2,3

1,2,3

A

B

U

3

1

C

C

A

B

3 1

C CA B

1,2 2,3

A B U

U

UBA

3

1 2


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1.57 Si dos conjuntos A y B cumplen A B , entonces

a) CA B U = .

b) B A = .

c) C CB A .

La respuesta correcta es la c, como se puede ver BC, que es la zona verde, est incluido dentro de A

Cque

es la zona verde ms la zona amarilla.

La respuesta bno es correcta ya que B A no tiene porque ser necesariamente el conjunto vaco.

La respuesta ano es correcta porque CA B no es igual al universo ya que nos queda la zona amarilla sinincluir y puede darse el caso que hubiese al menos un elemento ah.

{ }{ }

{ }

1,21,2,3

1,2,3,4,5

A

B

U

=

=

=

{{ }3,4,54,5

C

C

A

B

=

=

Se cumple NO se cumple NO se cumple

{ } { }4,5 3,4,5

C CB A

{ } { } { }1,2 4,5 1,2, 4,5

CA B U =

=

{ } { } { }1,2,3 1, 2 3

B A =

=

U

B

A


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1.58 Si dos conjuntos A y B cumplen CA B , no es correcto afirmar que

a) A B .

b) A B U .

c) CB A .

Si CA B o CB A quiere decir que son conjuntos disjuntos A B , en el diagrama de Venn vemos

que A, la zona roja est dentro de BCque es la zona roja ms la zona verde.

4

1,2

1,2,3,4,5

A

B

U

1,2,3,5

3,4,5

C

C

A

B

Se cumple NO se cumple Se cumple

1,2 4

A B

4 1,2 1,2,4

A B U

1,2 1,2,3,5 3

CB A

U

3

54

A

1

2

B


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1.59 Si A y B son dos conjuntos tales que A B B , se cumple

a) A B .

b) B A A .

c) C CA B .

Resultado 1.21, pgina 35Si A B entonces A B B , Si A es un subconjunto de B, todos los elementos de A estn en B, por

esto la unin de los dos es B.

1 1,2 1,2

A B B

1

1,2

1,2,3

A

B

U

2,3

3

C

C

A

B

Se cumple NO se cumple NO se cumple

1 1,2

A B

1,2 1 1,2

B A A

2,3 3 3

C CA B

U

3

2

B

1

A


29/76


1.60 Si A y B son dos conjuntos, es igual a C

A B

a) C CA B .

b) CA B .

c)

B A.

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos:

C

CC

C

A B

A B

A B

A B Es la zona roja.

C

A B Es la zona amarilla ms la zona blanca ms la zona verde, que es igual a .CA BC

A Es la zona amarilla ms la zona verde.

B Es la zona amarilla ms la zona blanca.C

A B Es la zona amarilla ms la zona blanca ms la zona verde, que es igual a C

A B

UBA

2,3

1,3

1,2,3

A

B

U

1

2

C

C

A

B

1,3

1,3

C

C

A B

A B

12 3


30/76


1.61 Si A y B son dos conjuntos que cumplen CA B B entonces:

a) A B U .

b) CA B .

c) CB A

Resultado 1.20, pgina 34. La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se

unen:

El enunciado dice CA B B

Por lo tanto tenemos que C CB A B y CA A B

Tenemos C CB A B B y para que esta igualdad se cumpla CB o bien B U .

Resultado 1.22 UC El complementario del conjunto vaco es el conjunto universal. Como el

conjunto vaco no tiene elementos, ningn elemento del conjunto universal puede pertenecer al conjuntovaco.

Resultado 1.23 CU El complementario del conjunto universal es el conjunto vaco. Como todos los

elementos pertenecen al conjunto universal, ningn elemento no pertenece al universal.

Si sustituimos en la igualdad C CB A B B a CB tenemos:

A B

A B

A U

Si sustituimos en la igualdad C CB A B B a CB U llegamos a una contradiccin, ya que el

conjunto universal no puede ser igual al conjunto vaco.

U A U

U A

U U

1,2

1,2

1,2

A

B

U

C

C

A

B

1,2 1,2

CA B B


31/76


1.62 Si A y B son dos conjuntos que cumplen C

A B B entonces:

a) A B

b)C

B A

c)

CA B

C

C

C C

C

A B B

A B B

A B B

B A

Resultado 1.13 pgina 33.

Si CB A , entonces C CA B B . Si BCes un subconjunto de A todos los elementos de BCy slo estosson comunes a A y BC.

Resultado 1.20, pgina 34.La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se unen:

A A B B A B

C

CC

C

C C

C

A B B

A B B

A B B

A B A B

A B

1,2

2,3

1,2,3

A

B

U

3

1

2,3

C

C

C

A

B

A B

2,3 2,3

C

A B B


32/76


1.63 Si A y B son dos conjuntos tales que ( )C

A B A = , se cumple

a) B A .b) A U= .

c) A = y B U= .

Resultado 1.13 pgina 33.La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan.

A B A A B B

( )C

A B A = Aplicamos las leyes de Morgan:

C CA B A =

Por lo tanto tenemos que C C CA B A y C C CA B B

Continuamos C C CA B A A =

Y como CA A necesariamente A =

{ }{ }1,2,31,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }1,2,3C

C

A

B

=

=

( )C

A B A =

=

Hola, Antonio.

En efecto,

C CA A A = A A =

Jos Mara

UA

31

2

B


33/76


1.64 Si dos conjuntos A y B son dos conjuntos tales que C

A B B , se cumple

a) A B U .

b) B U .

c) A B .

Resultado 1.13 pgina 33.La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan

A B A A B B

C

A B B que es equivalente a:

CB A B

C

C

B A B B

B B

Y como CB B necesariamente CB

1,2,3

1,2,3,4

1,2,3,4

A

B

U

3,4

4

C

C

A

B

4

C

A B B

B

UA B

41

2

3


34/76


1.65 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto C

C CA B es igual a

a) CA B .b) CA B .

c)

A B .

Tenemos la igualdad:

CC C

CC

C C

CC

C

A B

A B

A B

A B

1,2

1,2,3

1,2,3,4

A

B

U

3,4

4

C

C

A

B

3

1,2,4

1,2,4

C C

CC C

C

A B

A B

A B

U

4

A B

31

2


35/76


1.66 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto CA B A es igual a

a) B A .

b) A B .

c) B .


C

C

A B A

A B A A

A B

A B

1,2,3

1,2,4

1,2,3,4

A

B

U

4

3

C

C

A

B

1,2,4

1, 2

1,2

C

C

B A

A B A

A B

UA B

3

4

1

2


36/76


1.67 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto C CA B A es igual a

a) CA B .

b) A .

c)

A B.


C C

C C

C

C

A B A

A A B A

B A

B A

A B

Si partimos de la expresin C CA B A tenemos que:

ACes la zona amarilla y la zona verde

BCes la zona roja y la zona verde

Si ahora estas dos zonas hacemos la interseccin con A, el resultado ser A B.

UA B

A-B


37/76


1.68 Si A y B son dos conjuntos el conjunto ( )CA B A es igual a

a) A .

b) CA B .

c) A B .

Si partimos de la expresin ( )CA B A tenemos que:

A es la zona blanca y la zona roja

BCes la zona roja y la zona verde

CB A es la zona roja, es decir A B

Si ahora estas dos zonas hacemos la unin con A, que es la zona blanca ms la zona roja, el resultado ser

A.

{ }

{ }

{ }

1,2

1,2,3

1,2,3,4

A

B

U

=

=

=

{ }

{ }

3,4

4

C

C

A

B

=

=

( ) { } { } { }( ) { } { }

{ }

{ }

) 1, 2 4 1, 2 1, 2 1, 2

) 1, 2, 4

) 1

C

C

a A B A A

b A B

c A B

= = = =

=

=

U

4

A B

31

2


38/76


1.69 Si A y B son dos conjuntos que cumplen B A B entonces:

a) A

b) A B A

c) A B B

Cuando tenemos B A B o A B A , quiere decir que son conjuntos disjuntos A B .

Tenemos que utilizar el Resultado 1.14 pgina 33.Si B est contenido en A, entonces la interseccin de A y B es igual a B, Si B A entonces A B B .

C

C

B A B

B A B

B A

CB A es lo mismo que CA B y es igual a CA B A y resulta A B A

La nica respuesta correcta es la que se deduce lgicamentedel enunciado, es decir, aquella para la que

se verifica que el enunciado implicadicha respuesta.Dicho de otra forma, la proposicin condicional enunciadorespuesta es una tautologa.

3,4

1,2

1,2,3,4

A

B

U

1,2

3,4

C

C

A

B

NO se cumple Se cumple NO se cumple

3,4

A

3,4 1,2 3, 4

A B A

3,4 1,2 1,2,3,4

A B B

U

3

4

A

1

2

B


39/76


1.70 La propiedad de idempotencia de la interseccin de conjuntos significa que, para cualquier conjunto A, es

a) .A

b) A U A .

c) A A A .

La propiedad de idempotencia de la interseccin es: A A A

1.71 La propiedad de asociativa de la interseccin de conjuntos afirma que

a)

.A B B A

b) . A B C A B C c)

.A B B

La propiedad de asociativa de la interseccin es: A B C A B C

1.72 La propiedad de conmutativa de la unin de conjuntos garantiza que

a)

A B B A .

b) . A B C A B C c)

.A A A

La propiedad de conmutativa de la unin es: .A B B A

1.73 La propiedad de distributiva de la unin respecto de la interseccin expresa que

a) A B C A B A C .

b) . A B C A B A C

c) . A B C A B A C

La propiedad de distributiva de la unin respecto de la interseccin es: A B C A B A C .


40/76


1.74 Entre tres conjuntos A, B, C, si se cumple A B C A B A C

A y B C son disjuntos.

B C A B C .

A B C y .

0A B C

Resultado 1.13 pgina 33. La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntosque se intersectan. A B A , A B B .

Resultado 1.20, pgina 34.La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se

unen. A A B , B A B .

El enunciado dice que: A BB CC AA

Si miramos el lado derecho vemos que: A B A C A B C , de aqu deducimos que:

A BB CA C

A

de aqu deducimos segn el resultado 1.13 del libro que:

A B C y como A BB CA C entonces A B C A , por lo tanto

B C A

Por otro lado segn el resultado 1.13 del libro tambin tenemos que: y como

de aqu deducimos que

A B C B C

A BB CA C A B C B C , segn el resultado 1.20tenemos A B C


41/76


1.75 Las leyes de Morgan no garantizan que

a) ( )C C C

A B A B = .

b) ( )C C CA B A B = .

c)

( )C C CA B A B = .

Las leyes de Morgan no garantizan ( )C C C

A B A B = .

1.76 Si dos conjuntos A y B verifican ( )C C CA B A B = se cumple

d) A B= .

e) A B U = .

f)

A B U= = .


( ) ( )

( ) ( )

C C C

C C C C

A B A B

A B A B

A B

=

=

=

{ }

{ }

{ }

1,2

1,2

1,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }

{ }

3

3

C

C

A

B

=

=

( ) ( ) { }( ) { } { } { }{ }

) 1, 2 3 3 3

) 1,2

) ,

CC C Ca A B A B

b A B U

c A B U NO se cumple

= = =

=

= =


42/76


1.77 Si A y B son dos conjuntos se verifica

a) . C

A A B A B

b) C

A B B A .

c)

A B A B A B B A .

La respuesta correcta es la c. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn

Tenemos la igualdad A B A B A B B A .

A B

Es la zona de color amarillo ms la zona de color rojo

A B Es la zona de color rojo

U

BA

La primera parte de la igualdad es: A B A B lo nico que hemos hecho es restar la A B a la

. A B

A la parte que est pintada de color amarillo y rojo, A B , le restamos la parte pintada de color rojo,

, que se corresponde a la primera parte de la igualdad, es decirA B A B A B

Que es igual a la segunda parte de la igualdad A B B A

UBA

A-B B-A


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1.78 Si dos conjuntos A y B verifican , se cumple C

A A B A B

a) .CA B

b)

.B A

c)

.A B

La respuesta correcta es la b. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn


C

CC

A A B A B

A A B A B

A A B A B

A B A B

A B

A es la zona verde y la zona roja.

C

A B

Es la zona amarilla y la roja.

Por lo tanto si hacemos C

A A B nos queda la zona verde que nos coincide con la interseccin

A B .

Y teniendo en cuenta que si A B A B entonces A = B. Y de aqu deducimos que B A .

U

3BA

No hay ninguna respuesta que sea A = B, pero cuando se cumple que A = B, quiere decir que tienen los

mismos elementos y de aqu deducimos que B A , haciendo un pequeo ejemplo sera:

1,2

1,2

1,2,3

A

B

U

3

3

C

C

A

B

CA B U

B A

A B A

Que coincide con la respuesta b.

1

2


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1.79 Si dos conjuntos A y B verifican C

A B B A , se cumple

a)

CB A .

b) B A .

c) A B

.

La respuesta correcta es la a. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn


C

CC C

C C

C

A B B A

A B B A

A B B A

A B

Tenemos como resultado que que es lo mismo queCA B CB A .

B que es la zona verde es igual a ACque es la zona verde ms la zona azul.

C

B A Es la zona amarilla ms la zona azul

UB

B-A

A

A-B

Para la igualdad del enunciado vemos que se cumple. C

A B B A

1,2

3

1,2,3

A

B

U

3

1,2

C

C

A

B

1,2 3

1,2 1, 2

C

C

A B B A


45/76


1.80 En el conjunto de palabras , , , ,A uno dos tres cuatro cinco se define la aplicacin fque asigna a

cada una su nmero de letras. Entonces

a) 1f uno .

b)

5f cinco .c) 3f tres .

1.81 Para ordenar por orden alfabtico las palabras del conjunto , , , ,A uno dos tres cuatro cinco seasigna a cada una el lugar que ocupa en dicho orden. Entonces

a) La imagen de tres es 4 y la preimagen de 2 es dos.

b) La imagen de uno es 4 y la preimagen de 1 es cinco.

c) La imagen de cuatro es 2 y la preimagen de 1 es cinco.

1.82 Se considera la abreviatura de cada palabra del diccionario, compuesta por sus dos primeras letras

seguidas de un punto. Entonces

a) que. es la imagen de queso.

b)

fres la imagen de fruta.c) ar. tiene como preimagen arma.

B

3

4

5

6

uno

dos

tres

cuatro

cinco

f

A

B

1

2

3

4

5

cinco

cuatro

dos

tres

uno

f

A


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1.83 La abreviatura de las palabras del diccionario, definida por sus dos primeras letras seguidas de un

punto, es una aplicacin bien definida en el conjunto de palabras del diccionario?

a) S.

b)

No, porque hay palabras distintas con las misma abreviatura.

c)

No, porque las palabras de una sola letra no tienen abreviatura.

Lo que nos estn preguntando es si cumplen con la propiedad de aplicacin una abreviatura definida de la

siguiente manera: sus dos primeras letras seguidas de un punto en el conjunto de todas las palabras del

diccionario.

Definicin,

Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del

conjunto A en un nico elemento del conjunto B.

La respuestacdice que las palabras de una letra no tienen abreviatura, el enunciado nos pide dos letras y

un punto. Por lo tanto habra palabras en el conjunto inicial sin imagen y ya no cumplira con la condicin

de aplicacin.

La respuesta bsignifica que la correspondencia no es inyectiva, no que no sea aplicacin.

Definicin deaplicacin inyectiva: a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un solo valor de

final tal que, en el conjunto inicial no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.

B

a

b

c

d

1

2

3

4

f

A

B

li....

libro

litro

f

A


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1.84 La abreviatura de las palabras del diccionario de ms de dos letras, definida por sus dos primeras

letras seguidas de un punto, es una aplicacin inyectiva?

a)

S.

b) No, porque hay palabras distintas con las misma abreviatura.

c)

No, porque las abreviaturas r.o qt.no corresponden a ninguna palabra.

Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del

conjunto A en un nico elemento del conjunto B.

Al haber distintas palabras con la misma abreviatura ya no cumple con la condicin de aplicacin

inyectiva, sera correcta lab.

Definicin deaplicacin inyectiva: a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un solo valor de

final tal que, en el conjunto inicial no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.

Lacno sera correcta ya que no hay en el diccionario ninguna palabra cuyas dos primeras letras sean r. o

qt.

B

a

b

c

d

1

2

3

4

f

A

B

li....

libro

litro

f

A


48/76


1.85 Asignar a cada nmero del conjunto { }0,1,2,3,...N = , la suma de sus cifras, define una aplicacin con

dominio N y rango N?

a) Si.

b) No, porque 10 y 100 tienen la misma imagen.

c)

No, porque puede haber nmeros en N que no sean la suma de las cifras de ningn nmero.

1.87 La aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de { }0,1,2,3,...N = la suma de sus cifras:

a) Es inyectiva.

b)

No es inyectiva porque s(12) = s(21) = 3.

c) No es inyectiva, porque 0 slo es imagen de 0.


a)

Es sobreyectiva.

b)

No es sobreyectiva.

c) No se puede saber.


a) Es biyectiva.

b)

No es biyectiva porque no es inyectiva.

c) No es biyectiva porque no es sobreyectiva.

La aplicacin s: NNque asigna a cada elemento de N = {0,1,2,3,} la suma de sus cifras:

Solucin:Es sobreyectiva, NO es inyectiva y NO es biyectiva.

s: sumar sus cifras

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


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a) La imagen de 128 es 11 y una preimagen de 11 es 2.

b) La imagen de 11 es 2 y una preimagen de 7 es 52.c)

La imagen de 52 es 7 y una preimagen de 128 es 11.


50/76


1.88 La aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de { }0,1,2,3,...N = la suma de sus cifras, cumple

a) { }( ) { }2,10,11,100,101 1,2s = .

b) {( ) { }2,3,30,301 2,3s = .

c)

{ }( )26 8s = .

La relacin que establece la aplicacin ses la suma de sus cifras, por lo tanto:

En la respuesta a, tenemos

La respuesta aes correcta, ya que lo primero cumple la propiedad de aplicacin que dice:Una aplicacinentre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del conjunto A

en un nico elemento del conjunto B.

La b no es correctaporque no cumple con la propiedad de ser aplicacin ya que 301 no tiene imagen, es decir

no est relacionado con un elemento del conjunto final y no es aplicacin.

La c no es correcta ya que hay un error de notacindebera ser s({26})={8}

2

1011

100

101

1

2

23

30

301

3

2


51/76


1.89 La aplicacin que asigna a cada elemento de:s N N 0,1,2,3,...N la suma de sus cifras, cumple

a) 1 2 2 10 0,1,2,3,...ks k .b)

1 1 10 0,1,2,3,...ks k .c)

1 0s No est definido.

La relacin que establece la aplicacin ses la suma de sus cifras, por lo tanto:

La respuesta a, dice que la funcin inversa de spara el elemento 2 del conjunto final es igual a los elementos

del conjunto inicial que cumplen la regla 210kpara los elementos de k 0, 1,2, 3,

El primer elemento del conjunto inicial sera 2100 = 2

El segundo elemento del conjunto inicial sera 2101 = 20

El tercero elemento del conjunto inicial sera 2102 = 200

El cuarto elemento del conjunto inicial sera 2103 = 2000

etc.,

Representado en un diagrama de Venn tenemos

2

1120101

110.200

2

Esta respuesta sera correcta si no fuese que en el conjunto inicial definido por N = {0,1,2,3,4,,11,101,

110, etc} tambin tenemos 11 que suma 2, 101 que suma 2, etc, y que no cumplen la regla 210k.

La respuesta b, dice que la funcin inversa de spara el elemento 1 del conjunto final es igual a los elementos

del conjunto inicial que cumplen la regla 10kpara los elementos de k 0, 1,2, 3,

Y en este caso si que se cumple.

La respuestac

es falsa ya que si est definido el elemento 0 del conjunto final se relaciona con el elemento 0 delinicial.


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1.92 Asignar a cada nmero del conjunto 0,1,2,3,...N el nmero que se obtiene al multiplicarlo por 3 y

sumar 1 al producto, 3 1n , define una aplicacin con dominio N y rango N?

a) S.

b) No, porque 6 no es imagen de ningn elemento de N.

c) No, porque para multiplicarlos por 3 hay que hacer infinitas operaciones.

1.94 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n

a)

No es inyectiva.

b) Es inyectiva, porque hay nmeros en N que no son imagen de ninguno de N. (Aqu se est

definiendo la aplicacin sobreyectiva)

c) Es inyectiva, porque no coinciden las imgenes de nmeros distintos.


a) Es sobreyectiva.

b) No es sobreyectiva, porque hay nmeros en N que no son imagen de ninguno de N.

c)

No es sobreyectiva, porque hay nmeros distintos de N que tienen la misma imagen.


a) Es biyectiva.

b) No es biyectiva, porque no es inyectiva.

c) No es biyectiva, porque no es sobreyectiva.

La aplicacinf: NNque asigna a cada elemento de N = {0,1,2,3,} el nmero 3n+1:

Solucin:Es inyectiva, NO es sobreyectiva, NO es biyectiva.

0

1

2

4..

.

0

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

...

f:3n+1

N N


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1.93 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n cumple

a) La imagen de 7 es 22 y una preimagen de 24 es2

73

.

b) La preimagen de 1 es 4 y una imagen de 6 es 19.

c)

La preimagen de 7 es 2 y una imagen de 5 es 16.

Solucin: La preimagen de 7 es 2 y una imagen de 5 es 16.

La respuestaano es correcta porque2

73

no es un nmero natural.

N

4

7

16

19

22

1

2

5

6

7

f:3n+1

N


54/76


1.96 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n , cumple

a) 1, 3, 4, 5 4, 7,10,13, 21f .b) 2,4,10 7,13,31f .

c)

6 19f .

Segn esto la respuesta a, no es una aplicacin.

La respuesta b, es correcta.

La respuesta c, no es correcta la notacin, debera de ser as:f ({6}) = 19.

N N

2

4

10

7

13

31

f:3n+1

f:3n+1N N

1

3

45

4

7

1013

21


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1.97 La aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n , cumple

a) 1 10,15,22 3,7f .b) 1 22 7f .

c)

1 37, 40,46 12,15f

.

Segn esto la respuesta a, es una aplicacin.

La respuesta b, no es correcta la notacin, debera de ser as: {7}.

La respuesta c, no aplicacin, ya que el elemento 13 no est en el conjunto inicial.

N N

12

13

15

37

40

46

f:3n+1

N N

3

710

15

22

f:3n+1


56/76


1.99 Si f es la aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n y g f f es la

composicin defconsigo misma, se cumple

3 31g .

3 28g

. 3 10g .

La aplicacin g es la composicin de f consigo misma, es decir aplico f dos veces a los valores que se

proponen 3n + 1, en este caso el valor 3.

g(3) = 3n + 1 = 33+ 1 = 10

Si vuelvo a aplicar la funcin tenemos:

g(10) = 3n + 1 = 310+ 1 = 31

3 10 31

3n + 1 3n + 1


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1.100 Si fes la aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n y ses la aplicacin que

asigna a cada elemento de 0,1,2,3,...N la suma de sus cifras, se cumple

a) 15 10s f .

b)

15 19s f .

c) 15 15s f .

La primera funcin f nos dice que a cada n, es decir a cada nmero del primer conjunto lo tenemos que

multiplicar por 3 y sumarle 1. Una vez que obtenemos este resultado aplicamos la segunda funcin gque nos

dice que a cada elemento del conjunto inicial hay que sumar sus cifras.

Si empezamos por el 1 al aplicar la funcin fvemos que 1 por 3 ms 1 es 4 y al aplicar la segunda funcin g

como solo hay una cifra el resultado es 4.

Si analizamos el valor 15 que es el que propone la solucin vemos que 3 por 15 ms 1 es 46 y la suma de sus

cifras es 10, que es la solucin A.

4

7..

.

46

4

7..

.

10

Suma sus

cifras

s

1

2..

.

15

4

7..

.

46

3n+1

f

N N N N


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1.101 Si f es la aplicacin :f N N que asigna a cada n N el nmero 3 1n y s la aplicacin

:s N N que asigna a cada elemento de 0,1, 2,3,...N la suma de sus cifras, cumple

10 5f s .

12 9f s . 13 13f s .

La aplicacinf: NNasigna a cada n N el nmero 3n + 1, ys es la aplicacin s: NN que asigna a cada

elemento de N = {0,1,2,3,} la suma de sus cifras, se cumple:

Recordar que f s se leescompuesta con f y que primero se aplicasy luegof.

Lo primero realizo la aplicacinsque es la suma de sus cifras por lo tanto el valor 13 resultara 4.

Ahora a 4le aplicofque es la aplicacin 3n + 1y resulta que 34+1 = 13

f s (13) = f(4) = 34+ 1 = 13

1.102 Si ses la aplicacin :s N N que asigna a cada elemento de 0,1,2,3,...N la suma de sus cifras

a) 548 17s s .

b) 548 8s s .

c)

548 6s s .

s es la aplicacin s: NN que asigna a cada elemento de N = {0,1,2,3,} la suma de sus cifras, en este caso

lo aplico dos veces y resulta que:

s(548)=17

y si lo vuelvo a aplicar resulta

s(17)=8


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1.103 Dado el conjunto 1,2,3,4,5B , si :f A B es una aplicacin sobreyectiva, el cardinal de A debe

cumplir.

a) # 5A .

b)

# 5A .c) # 5A .

Una funcin :f A B es, sobreyectivacuando cada elemento de "B" es la imagen de como mnimo un

elemento de "A".

Segn esto el #(A) 5

1.104 Dado el conjunto 1,2,3,4A , si :f A B es una aplicacin inyectiva, el cardinal de B debecumplir.

a) # 4B .

b) # 4B .

c) # 4B .

Una funcin :f A B es inyectivasi a cada valor del conjunto A le corresponde un valor distinto en el

conjunto B de f. Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor de B tal que, en el

conjunto A no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen.

Segn esto el #(B) 4

A B

a

b

cd

e

f

1

2

34

5

A B

1

2

3

4

a

b

c

d

e


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1.105 Si :f A B es una aplicacin biyectiva, puede asegurarse.

a) # #A B .

b) # #A B .

c) # #A B .

Una funcin :f A B es, biyectivasi es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos loselementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del

conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Segn esto el #(A) = #(B)

A B

1

2

3

4

a

b

c

d


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1.106 Si A y B son dos conjuntos tales que sus cardinales verifican # # #A B A B , entonces:

a) CA B .

b) CA B .

c) .C CA B

Resultado 1.32. Si , entoncesA B #A B A B # # .

Tenemos que recurrir a la frmula general: BABABA #### , si la comparamos

con la del enunciado,

# ### BB AA A B

# ## AA BB

## # AB BAA B

## # AB BAA B

# 0A B

De esto podemos deducir que # ya que el enunciado no aporta ningn dato sobre el

cardinal de la interseccin.

A B 0

0

Si quiere decir que y llegamos a la conclusin que y # A B A B CA B CB A .

U

ABC

A B

BAC


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1.107 Si A y B son dos conjuntos tales que B A B , se cumple:

a) # # #B A B .

b) # # #B A A B .

c) B . # # #A B A

Resultado 1.32. Si , entoncesA B # # #A B A B .

Si B A B quiere decir que A B , es decir son disjuntos y esto implica que y si

miramos en la frmula general tenemos:

# 0A B

BABABA ####

# # #A B A B 0


3,4

1,2

1,2,3,4

A

B

U

1,2

3,4

C

C

A

B

Se cumple Se cumple

3,4 1,2 3,4

A B A

1,2 3,4 1,2

B A B

U

3

4

A B

1

2


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1.108 Si y A es un subconjunto de U, entonces: # U n

a) # #CA A

b) # #CA n A

c) 0 # #CA A

La respuesta correcta es la b, # #CA n A

El enunciado dice que el cardinal del conjunto universal es n, es decir que tiene nelementos, y que A es un

subconjunto de U, lo que dice la respuesta bes que el cardinal del complementario de A es igual a n, que es

el total de elementos del universo, menos el cardinal de A.

Visto de otra forma si despejamos la nquedara:

# #Cn A A

Habamos dicho que nera el total de elementos por lo tanto nson todos los elemento que hay en A y lo queno hay en A, es decirA

C y su suma tiene que ser n.

Si por ejemplo tenemos un universo con 10 elementos y el conjunto A tiene 3 elementos, ACtiene que tener

7 elementos.

Dibujndolo sera:

El Universo tiene 10 elementos, el conjunto A en rojo tiene 3 elementos y el conjunto ACen azul tiene que

tener forzosamente 7 para completar los elementos del universo.

U x x

x x

x x x Ac

A

x x x


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1.109 Si A y B son dos conjuntos tales que cumplen # 6A y # A B 2 entonces # A B es igual a

a) 2.

b) 4.

c) 6.

Si aplicamos la frmula tenemos que:

# # #

6 2 #

4 #

A A B A B

A B

A B

Por lo tanto respuesta correcta b.

U

X

X

BA

X

X

X

X


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1.110 Si A y B son dos conjuntos tales que # 1B 4 y # A B 8 , entonces:

a) 2 . # 2A B

b) . # 6A B

c)

. # 6B A


# # #

14 # 8

14 8 #

6 #

B B A A B

B A

B A

B A


UA B

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X


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1.111 Si A y B son dos conjuntos tales que # 1A B 6 , # 1A 0 y # B 9 entonces # A B es

igual a:

a) 1.

b) 3.

c)

9.


# # # #

16 10 9 #

3 #

3 #

A B A B A B

A B

A B

A B

Por lo tanto respuesta correcta b.

UA

X X

X X

X X

X

B

X X

X X

X X

X

X

X


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1.112 Si A y B son dos conjuntos tales que 2# ## AA B B , se verifica:

a) A B .

b) # #A B A .

c) # 0A B .

Frmula general: ## ##A B AA BB

Enunciado: 2# ## B BA A

Sustituimos en la frmula general el cardinal de A y B por 2 # A B :

BABABA ####

2# ## A BA B A B

Llegamos a esta conclusin:

BABA ##

Si lo vemos representado en el diagrama de Venn, vemos que cuando el cardinal de la unin e interseccin

son iguales el conjunto A es igual al B, por lo tanto la respuesta buena es la a.

U

A B

X

X


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1.113 Si A y B son dos conjuntos tales que # A B siempre es menor o igual que:

a) . # #A B

b) . # #A B

c)

# #A B B A .

Partimos de la frmula general: BABABA ####

Tiene que ser siempre # 0A B

Por lo tanto # # # A B A B

# # #

6 5 3

A B A B

U

BA

X X

X

X

X

X


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1.114 Si A y B son dos conjuntos tales que # A B siempre es mayor o igual que:

a) # #A B .

b) # #A A B .

c)

# #A B B A .

Partimos de la frmula: # ### A BA ABA B B

Como se puede ver en el diagrama de Venn el cardinal de la unin es igual al cardinal de A-B msel cardinal

de B-A msel cardinal de la interseccin de A y B.

La respuesta correcta sera la c ya que # A B siempre va a ser mayor o igual que # # BA AB a

falta de conocer el valor del cardinal de la interseccin.

UA

A-B

B

B-AAB


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1.115 Si A y B son dos conjuntos, # A B no puede afirmase que sea igual a:

a) # #A B

b) # #A A B

c)

# #A B B

La respuesta anos dice que excepto que BdA no es posible la igualdad.

# # # A B A B

(A-B) es la zona amarilla

A es la zona amarilla ms la zona blanca.

B es la zona blanca

En este caso #(A) - #(B) coincide con #(A-B)

U

A

B

La repuesta bpor definicin es:

# # #A A B A B

# # #A B A A B

UBA

A-B B-AAB


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La respuesta cdice:

# B # #A B BA

Si analizamos la frmula general BABABA ####

# Bvemos que:

# ## A BA BA

# A B

es equivalente a . # #A A B

A B es la zona roja.

A es la zona roja ms la zona azul.

A B es la zona roja ms la zona azul ms amarilla.

B es la zona amarilla ms la zona azul.

Entonces es cierto que se cumple # #A B# BA B

U

A-B

BA

AB


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1.116 Si A y B son dos conjuntos # #A B A B es igual a:

a) . # #A B

b) . # #A B B A

c)

# #A B .

Si analizamos la frmula # # # #A B A B B A A B vemos que:

# # # #A B A B A B B A


B A es la zona amarilla.

A B es la zona roja ms la zona azul ms amarilla.

A B es la zona azul.

U

A-B

BA

B-AAB


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1.117 Si A y B son dos conjuntos el conjunto, la igualdad # # 2 #A B A B

a) Es imposible.

b) Slo se cumple cuando A = B.

c) Slo se cumple si A y B son disjuntos.

Si analizamos la igualdad 2# ## B BA A vemos que utilizando la frmula general:

## ##A B AA BB

2# ## A BA B A B

2# ## A BA B A B

# #A B A B

# #A B

#(A) = 3.

#(B) = 3.

# 3A B

# # 2 #A B A B

3 3 2 3

6 6

U

1

2

3

A B


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1.118 Si A y B son dos conjuntos que verifican # # #B A A B y # 12A B , se cumple

a) # 6A .

b) # 9B .

c)

# 3A B .

Si analizamos la igualdad vemos que utilizando la frmula general:

## # AB A B

# 12A B

BABABA ####

# #12 # #A AA AB B

12 2 # A 12 2 # A

# 6A


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1.119 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A B) = #(A) + #(A B) y #(B) = 16 , se verifica:

a) #(A) = 12 .

b) #(A B) = 20 .

c) #(A B) = 8 .

Frmula general: # # # #A B A B A B

Enunciado:

# ## A AA B B y

16# B

#(AB) = #(A) + #(B) #(AB)

#(A) + #(AB) = #(A) + 16 #(AB)

#(AB) + #(AB)= #(A) #(A) + 16

2#(AB) = 16

#(AB) = 8

UA B

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX


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1.120 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A B) = 9 , # 6B A y #(A B) = 27 , se verifica:

a) #(A B) = 9 .

b) #(A) = 21.

c)

#(B) = 15.

# # # #A B A B B A A B

27 9 6 # A B

# 12A B

# # #A A B A B

# 9 12 21A

# # #B B A A B

# 6 12 18B


B A es la zona amarilla.

A B es la zona blanca.

U

A B

XXX

XXX

XXX

XX

XX

XX

XXX

XXX

XXX

XXX

cuestiones de autoevaluacion tema 1

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