cuerpos solidos
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA
UNEFACIUDAD BOLÍVAR - EDO. BOLÍVAR
AREA: GEOMETRIA DESCRIPTIVA
CUERPOS SOLIDOS Y GEOMETRICOS
FACILITADOR: PARTICIPANTES:
Santana Liliana García Dangar C.I 20.080.757
CIUDAD BOLÍVAR, ENERO DEL 2012
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INDICE
Introducción………………………….……….……………………………………....…. 3
Cuerpos sólidos y geométricos
Las figuras planas…………..............................................................................................4
Ángulos de los polígonos...................…...........................................................................4
Polígonos inscritos y circunscritos...................................................................................5
Calculo de la superficie de las figuras planas…….………………………………..….6
Cuerpos Geométricos….……………………………………………………….......……8
Clasificación de los cuerpos geométricos………………………………...…….…......9
Clases de poliedros………………………………………………………………….…..9
Principales poliedros redondos……………………..…………..………………….….11
Calculo de la superficie lateral de los poliedros………………………………….…..12
Ejercicios…………………………………………………………………………………14
Conclusión………………….……………….………………………..…………………..17
Bibliografía……………………………………………………………………………..…18
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INTRODUCCION
Es una c ienc ia que t iene por ob je to e l es tud io de la
ex tens ión , es tud ia propiedades de las figuras cuyos puntos no están en el
mismo plano. Las propiedades de la geometría del espacio resultan ser una
secuencia lógica de los postulados y propiedades de la geometría plana, los entes
geométricos fundamentales son el punto, la recta y el plano. Tanto la recta
como el plano son conjuntos de puntos, y el conjunto de puntos son
lugares geométricos.
En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores;
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están
contenidos en ella, El polígono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a
la circunferencia inscrita.
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LAS FIGURAS PLANAS
Una figura plana es todo conjunto de puntos en un plano. Por ejemplo: un triángulo, un segmento, un círculo son figuras planas.
El cuadrado, el triángulo y el rectángulo son figuras geométricas planas, formadas por líneas rectas cerradas. El círculo también es una figura plana pero a diferencia de las anteriores está formado por una línea curva cerrada. A estas figuras se les llaman planas porque parecieran que estuvieran acostadas sobre el papel.
Vamos a ver cada una de estas figuras.
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en general tanto regulares como irregulares, como así también al círculo, que puede ser considerado un caso especial de polígono.
Dicho estudio comprende:
Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos regulares;
Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares; Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e
irregulares.
ANGULO DE LOS POLIGONOS
Ángulos interiores y exteriores
En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios.
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Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.
Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º.
POLIGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS
Polígonos inscritos:
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.
Todo polígono inscrito es regular.
El centro de un polígono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en él.
El radio del polígono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en él.
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Polígonos circunscritos:
Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si todos sus lados son tangentes a la circunferencia.
El polígono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita.
El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polígono circunscrito.
La apotema del polígono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.
CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DE LAS FIGURAS PLANAS.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores que pueden considerarse como unidad de medida es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario:
5×5 = 25.
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Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Superficie del triangulo= BASE x ALTURA
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Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
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Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Superficie del trapecio = BASE MAYOR+BASE MENOR
2 x Altura.
CUERPOS GEOMETRICOS
Los cuerpos geométricos son los elementos que, ya sean reales o ideales que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.
Las líneas que corresponden a los lados comunes de los diversos planos que componen los cuerpos geométricos, se denominan aristas.
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CLASIFICACION DE LOS CUERPOS GEOMETRICOS
Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:
Los poliedros o cuerpos planos : que son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo;
Los cuerpos redondos que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
CLASES DE POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos geométricos que están compuestos exclusivamente por superficies planas, que se denominan caras del poliedro.
Se distinguen dos clases de poliedros:
Los poliedros regulares en los cuales todas las caras son iguales. Los poliedros irregulares en los cuales no se trata de que todas sus caras
sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara).
La representaciótricos gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.
POLIEDROS REGULARES
Los poliedros regulares son cinco:
El cubo : que está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de exaedro regular, (exaedro = cuerpo con 6 caras).
El tetraedro regular: compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros.
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El octaedro regular: compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por su base.
El icosaedro regular: compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano hexagonal.
El dodecaedro regular: compuesto por doce caras con forma de pentágono.
POLIEDROS IRREGULARES
Los principales poliedros irregulares son:
El prisma: que está compuesto por caras laterales rectangulares (que pueden ser cuadradas); y bases con forma de triángulo, cuadrado (salvo cuando las caras también lo son, en cuyo caso es un cubo), pentágono, hexágono u otro polígono regular.
El prisma oblicuo: que es similar a la prima, pero con dos lados de forma romboidal; por lo cual solamente puede tener bases cuadradas.
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La pirámide recta: compuesto por una base con forma de polígono regular, y lados triangulares cuya base son los lados del polígono, y unen todos su vértices en un mismo punto, también llamado vértice de la pirámide; el cual se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.
La pirámide inclinada: similar a la anterior, pero cuyo vértice se encuentra sobre una perpendicular a la base que no pasa por su centro.
PRINCIPALES POLIEDROS REDONDOS
Los principales poliedros redondos son:
El cilindro: que está compuesto dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un rectángulo
.
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El cono: compuesto por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.
El cono truncado : que siendo similar a un cono, tiene una base conformada por un plano inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse.
La esfera: que es circular en todos sus planos centrales. La semiesfera : que es una esfera que ha sido cortada por uno de sus
planos circulares, de manera que tiene una base circular y una cúpula esférica.
CALCULO DE LA SUPERFICIE LATERAL DE LOS POLIEDROS
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores que pueden considerarse como unidad de medida es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
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SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Superficie del triangulo= BASE x ALTURA
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Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Superficie del trapecio = BASE MAYOR+BASE MENOR
2 x Altura
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RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
1. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
Pcuadrado= 12 · 4 = 48cm Ptriángulo= 48cm = 48: 3 = 16cmA = 122 = 144 m²
2. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
3. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
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4. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
5. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
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6. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
7. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
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CONCLUSION
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a
los polígonos en general tanto regulares como irregulares, Todo polígono
inscrito es regular. La medida de la superficie de las figuras planas, se designa
corrientemente en geometría con el nombre de área. El punto de partida para la
determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie
comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado. Por lo
tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos
pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
Las líneas que corresponden a los lados comunes de los diversos planos que
componen los cuerpos geométricos, se denominan aristas.
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BIBLIOGRAFIA
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Poligonos_regulares_y_circulos/Polici3.htm
http://www.vitutor.net/2/1/3.html
http://www.escueladigital.com.uy/geometria/4_figplanas.htm
http://www.escueladigital.com.uy/geometria/5_cuerpos.htm
http://roble.pntic.mec.es/~hotp0021/aviera/6a_jquiz_aaron.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro
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