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¿Cuánto vale la suma de un dónut y un balón?

Extraña pregunta para comenzar la semana, ¿verdad? Vamos a intentar responderla a lo largo de esteartículo.

Introducción

La Topología (no confundir con Topografía) es una rama de las matemáticas que podríamos decir que seocupa de las deformaciones continuas de cuerpos. La cuestión es más o menos como sigue:

En Topología, si podemos convertir un cuerpo en otro mediante una deformación que noimplique rotura entonces los dos cuerpos son topológicamente iguales.

Por ejemplo, en Topología una circunferencia y una elipse son iguales (se dice que son homeomorfos). Y,como todo el mundo sabe, un dónut y una taza de café también son iguales. Valga esta imagen (queencontré en este post del blog Topología I de un antiguo profesor mío) como ejemplo de ello:

Así que ya sabéis, si alguna vez coincidís desayunando con profesor de Topología y veis que está mordiendola taza e intentando beber de un dónut no os extrañéis y echadle una mano porque no sabe distinguirlos.

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hacemos la suma conexa de un toro con dos agujeros y otro con uno el resultado es un toro con tresagujeros:

Imagen tomada de la Wikipedia en españolLa suma conexa de dos planos proyectivos es una botella de Klein.La suma conexa de un toro y un plano proyectivo es igual a la suma conexa de tres planos

 proyectivos.

Y para terminar este artículo os dejo un teorema muy importante en Topología relacionado con este tema:

Teorema: (de clasificación de superficies compactas)

Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera, a una suma conexa de toros o a unasuma conexa de planos proyectivos.

Es decir, toda superficie compacta de que se nos ocurra puede deformarse (sin romperla) hasta

convertirla en una esfera, en una superficie tipo toro con un cierto número de agujeros o en una superficieobtenida de realizar la suma conexa de un cierto número de planos proyectivos.

Este tipo de resultados es muy importante ya que nos dice la forma exacta de los elementos que podemosencontrarnos. En este caso, topológicamente hablando, se podría decir que sólo existen esos tres tipos de

superficies compactas. Para estudios con superficies el conocimiento de este hecho es esencial.

Fuentes:

Apuntes de la carrera.

Introducción a la Topología Algebraica, de William S. Massey

En este artículo se ha hablado entre otras cosas de ciertas superficies que puede ser que no sean muyconocidas para algunos de vosotros. Paciencia, con el tiempo las presentaremos en Gaussianos.

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Autor: ̂ DiAmOnD^ | Publicado el 21 de diciembre de 2009

Categorías: Topología  | Imprime este post

Sin comentarios

1.

Sophie Kovalevsky | 21 de diciembre de 2009 | 10:00

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Esto tiene que ver muchísimo con Teorema Pincaré-Perelman y fue explicado anteriormente en estaweb. Muy buen artículo.

2. Trackback | 21 dic, 2009

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3.

tambor77 | 21 de diciembre de 2009 | 10:11

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Muy buen artículo, la topología fue una de mis preferidas. No veo claro lo de la botella de Klein.¿Podria alguien explicarlo un poco mejor? gracias de antemano

4. Trackback | 21 dic, 2009

¿Cuánto vale la suma de un dónut y un balón?

Vicente Muñoz nos

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5. Trackback | 21 dic, 2009

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6.

ingenioso | 21 de diciembre de 2009 | 12:12

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Lo del conejito me recuerda al chiste del ingeniero que aproximaba la vaca a una esfera jajaja.

7.

vengoroso | 21 de diciembre de 2009 | 12:40

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¡Bonito artículo!

Un matiz: no podemos coger cualquier curva que queramos para hacer la suma conexa, es necesarioque dicha curva sea retractil  para que podamos hablar de su interior y su exterior. Por ejemplo, en untoro no podemos coger uno de los meridianos.

Y una pequeña disgresión: como existe un elemento neutro el conjunto de clases de equivalencia desuperficies compactas tiene estructura de monoide. Para los que les guste el álgebra es un ejerciciointeresante describir completamente este monoide. Si nos limitamos a las superficies orientables,entonces está claro que dicho monoide es isomorfo a los números naturales (al sumar toros se suma sugénero), lo mismo pasa si tomamos la subfamilia de las no orientables junto con la esfera; así, vemosque nuestro monoide está generado por dos elementos (por los toros) y (por los proyectivos).Pero dichos elementos satisfacen una relación entre ellos, como la suma de un toro y un plano proyectivo es igual a la suma de tres proyectivos, tenemos , y esta es la única relaciónexistente en nuestro monoide.Aquí es importante observar que no se puede simplificar la igualdad de arriba como haríamos si fueseuna suma de números. En otras palabras, tenemos un monoide que no verifica la propiedad 

cancelativa. Esto es un poco más técnico, pero la consecuencia fundamental de no tener esa propiedad es que no es posible embeber dentro de ningún grupo (ya sea conmutativo o no). Estetipo de situaciones son ejemplos de por qué la teoría de monoides es mucho más complicada que lateoría de grupos. Por ejemplo, creo recordar que no existe una clasificacion de los monoides abelianosfinitamente generados.

8.

 josejuan | 21 de diciembre de 2009 | 13:17

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“vengoroso” no puedes tomar un meridiano (darle un bocado a la rosquilla) ni tampoco un paralelo(partir transversalmente la rosquilla para obtener “casi” dos), puesto que esos cortes no sonhomeomorfos a un disco (y por tanto no cumplen la definición de “suma conexa”).

9.

 josejuan | 21 de diciembre de 2009 | 13:19

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“vengoroso”, me encanta la explicación del análisis desde un punto de vista del álgebra. Reconozcoque se me da mal el álgebra abstracta (demasiadas cosas por memorizar) pero es preciosa la forma enla que se pueden estudiar un montón de cosas desde ahí. Muy buen punto.

10.

 josejuan | 21 de diciembre de 2009 | 14:14

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A quedado claro que “sólo existen esos tres tipos de superficies compactas” y se ha mostrado el

ejemplo con una taza y un conejo cubriendo dos de las posibilidades.

¿Alguien podría aportar un ejemplo (sencillo a ser posible) de la suma de A + B resulte un plano proyectivo? (a ser posible no tomar dos botellas de klein, claro)

Dicho de otra forma, ¿se podría encontrar un “simil” que represente (para humanos) el tercer caso?

 No se, igual se puede hacer con la proyección en R3 de la botella de klein, o usando una banda deMöbius y visualizándola en R3, etc…

¡Gracias!

11.

vengoroso | 21 de diciembre de 2009 | 16:32

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 josejuan precisamente por eso digo que no vale cualquier curva, es necesario tomar una que se puedacontraer a un punto (poniendonos pedantes, para hacer la suma conexa es necesario tomar una curvaque defina la clase trivial en el grupo fundamental). Si no se tiene esta propiedad, ni siquiera esta biendefinido que es el “interior” de la curva.

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Con respecto a tu pregunta en el tercer comentario, no es posible obtener el plano proyectivo (o untoro) como suma conexa no trivial de otras cosas. Hay varias formas de ver esto, la topologica esobservar que el genero de la suma conexa de dos superficies es siempre mayor o igual a la suma delos generos de las superficies. Como el plano proyectivo tiene genero 1, la unica manera de obtenerloseria sumando algo con genero 1 con algo de genero 0, que necesariamente sera la esfera, por lo quela suma conexa es trivial.

Otra manera es observar que en el monoide definido arriba el elemento es indescomponible y no puede aparecer como suma de elementos no triviales de .

El plano proyectivo es poco intuitivo si no estas acostumbrado a el, pero realmente es el ejemplo massencillo que existe de superficie (compacta) no orientable. La banda de Moebius no es una compacta,asi que no entra dentro de esta clasificacion. Quizas le deberias pedir a ^DiAmOnD^ que escriba otroarticulo sobre el plano proyectivo ;-P

12.

 josejuan | 21 de diciembre de 2009 | 16:40

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¡Cáspita! perdón, leí mal “…en un toro NO podemos coger uno de los meridianos…”.

Lo de la banda de Möbius era por si podía hacerse alguna analogía…

13.

fede | 21 de diciembre de 2009 | 17:45

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La superficie “plano proyectivo” se puede imaginar como la superficie de una semiesfera donde los puntos opuestos del borde están identificados. ( = son el mismo punto )

De forma que si se sale de la semiesfera por un punto se entra en ese momento por el punto opuesto.

14. Trackback | 21 dic, 2009

¿Cuánto vale la suma de un dónut y un balón? | Efecto Tequila

15.

Toppus | 22 de diciembre de 2009 | 01:45

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¡Grande gaussianos por este post! Sigo esta página hace mucho tiempo, pero es la primera vez queme animo a escribir. De vez en cuando tomo alguna de la info que publican y la uso en mis clases.Respecto a la suma conexa, en un principio me dio por pensar que S1#S2 tendria como area desuperficie (en R3) la suma de áreas de S1 + S2, pero reflexionando un poco ya no estoy tan seguro.¿Alguien puede iluminar esta duda?

16.

José Luis | 24 de diciembre de 2009 | 15:28

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“se podría decir que sólo existen esos tres tipos de superficies compactas”

Así de claro y así de sencillo. Gracias por este artículo.

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