cuadrilÁteros - elvis
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TEMARIOIntroducciónDefiniciónClasificaciónPropiedadesEjercicios resueltosEjercicios propuestosConclusión
INTRODUCCIÓNEl tratado de los cuadriláteros es de
suma importancia en el aprendizaje de la geometría plana, constituye pilar fundamental para el aprendizaje de las propiedades de los polígonos, segmentos y ángulos; trataremos así la definición, clasificación y principales propiedades que nos ayudaran a comprender la importancia de los cuadriláteros tanto en el desarrollo del curso como en la vida cotidiana.
DEFINICIÓNDados cuatro puntos coplanares A, B, C y D,
tal que tres de ellos no son colineales, se denomina cuadrilátero a la unión de segmentos AB, BC, CD y DA, los cuales son los lados del cuadrilátero y los puntos A, B, C y D son los vértices.
CLASIFICACIÓNCuadriláteros convexos
TrapezoideTrapecioParalelogramo
Cuadriláteros no convexos
TRAPEZOIDE
Trapezoide Escaleno o Asimétrico.
Trapezoide Bisósceles o Simétrico
Ningún par de lados opuestos son paralelos.
TRAPECIO
Trapecio escaleno Trapecio rectángulo Trapecio isósceles
Dos lados opuestos son paralelos.
PARALELOGRAMOLos lados opuestos son paralelos.
Paralelogramo o romboide
Rectángulo o Cuadrángulo
CuadradoRombo o Losan.
PROPIEDADES
La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360º.
Teorema de los ángulos internos.
º360
Teorema de los ángulos internos de un cuadrilátero no convexoLa suma de los ángulos interiores agudos es
igual al ángulo externo del ángulo sobrante.
x
Teorema de las diagonales.Las diagonales de un paralelogramo se
cortan en su punto medio:
ODBOOCAO
Teorema de los puntos medios.Al unir consecutivamente los puntos medios de los lados de
un trapezoide se forma un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales del trapezoide.
BDACdcba
Teorema de las bisectrices adyacentes.La medida del Angulo formado por los bisectrices
de los ángulos adyacentes a un lado del trapezoide, es igual a la semisuma de las medidas de los otros dos ángulos.
2 x
Teorema de las bisectrices opuestas.Las medidas del menor ángulo formado por
las bisectrices de dos ángulos opuestos de un trapezoide es igual a la semidiferencia de las medidas de los dos ángulos de las que no se han trazado las bisectrices.
2 x
Teorema de los puntos medios.Los segmentos que unen los puntos medios
de los lados opuestos de un cuadrilátero se cortan en su punto medio.
OPMOOQNO
Teorema de la medianaLa longitud del segmento que une los puntos
medios de los lados no paralelos de un trapecio (mediana) es igual a la semisuma de las longitudes de las dos bases.
2bB
NM
Teorema de la distancia del centro del trapezoide a una recta exterior.La distancia del centro de un trapezoide a
una recta exterior, es igual al promedio de las distancias de sus vértices a dicha recta.
4dcba
GR
Teorema de las diagonales y la mediana.La longitud del segmento que une los puntos
medios de las diagonales de un trapecio, es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases del trapecio.
2bB
PQ
Teorema de las bisectrices adyacentes de los lados no paralelos de un trapecioLas bisectrices de los ángulos adyacentes a
cualquiera de los lados no paralelos de un trapecio, forman un ángulo recto.
º90
Teorema de las distancias de los vértices a una rectaLa suma de las distancias de dos vértices
opuestos de un paralelogramo a una recta exterior, es igual a la suma de las distancias de los otros dos vértices opuestos a la misma recta.
dbca
Teorema de Paralelogramos1. Las diagonales de un paralelogramo se
cortan en su punto medio.
Teorema de Paralelogramos2. Las diagonales de un rectángulo son de una
misma longitud y se cortan en su punto medio.
Teorema de Paralelogramos3. Las diagonales de un cuadrado son de la
misma longitud y se cortan en su punto medio formando un ángulo de 90º.
Teorema de Paralelogramos4. Las diagonales de un rombo son
perpendiculares entre si y se cortan en su punto medio y son de diferente longitud.
Ejercicios ResueltosEn el cuadrilátero ABCD. Hallar la medida de
“x”; si a + b = 160° De la figura:
a+b+2α+2θ =360º ……….. (I)Por dato:a+b =160º Reemplazando en (I):160º+2(α+θ) =360ºResolviendo:α+θ =100ºPor ángulo exterior:α+θ = xDe donde : x=100º
Ejercicios ResueltosEn el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica
el punto P, tal que medida del ángulo APC es igual a 105º, calcular la medida del ángulo determinado por AC y DM; siendo M el punto medio de AP.
Al trazar MH perpendicular a AD, si AB = 2ª => MH = aEn el triangulo AMD; si MH = AD/2 y medida del ángulo MAD=75º; => se cumple que θ=30ºEn consecuencia: x=45+30 => x=75º
Ejercicios ResueltosEn el grafico ABCD es un cuadrado de centro
O, además PIQ equidistan del vértice D. Calcular “x” si la medida del ángulo BOQ = 70º En el triangulo AOQ; por el teorema
del ángulo exterior: angulo OPD=45º+20º=65ºEn el triangulo PQD isósceles QD=PD y ángulo PQD = 65ºEl cuadrilátero PQHD es inscriptible, => la medida del ángulo PHD = 65ºEn el triangulo rectángulo PHD: medida del ángulo HPD=25ºEn consecuencia: x+25º=65º=> x=40º
Ejercicios Propuestos2. En el trapecio ABCD. Hallar AD si AB = 6 y
BC = 4.
Ejercicios PropuestosEn la figura hallar el valor de “x”.
Ejercicios PropuestosEn un trapecio ABCD la base mayor mide 30, y los
lados no paralelos y miden y 20 respectivamente. Si la medida del ángulo D es 37°, calcular el área del Trapecio.
En un trapezoide ABCD; mB = 120°, mC = 150° y mD = 30°. Calcular AD, si: AB = 8 y BC = 5.
En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 8 y la suma de las bases es 60. Hallar la base menor del trapecio.