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Cuaderno de Trabajo Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1º DE BACHILLERATO

Números realesEjercicio nº 1.-

Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

..020020002.1,9747372,3 3−

Ejercicio nº 2.-

Considera los siguientes números:

..131331333.2,22851,32

23 33−

Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.

Ejercicio nº 3.-

Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:

838383...2,32,515948

1323 3−

Ejercicio nº 4.-

Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

837

14483352,75, 4−−

Ejercicio nº 5.-

Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:

510

31333...2,21615872, 3 −

−

Ejercicio nº 1.-

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:

aa

xx3 5

3 26 4 b)a) ⋅

Ejercicio nº 2.-

Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

2:2b)aaa) 5 373 ⋅

Ejercicio nº 3.-

Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:

55

b)xxa)4 3

3 25 2 ⋅

Potencias de exponente fraccionario

Ejercicio nº 4.-

Simplifica, expresando previamente los radicales en forma de potencia:

3 2

344 b)33a)

a

a⋅

Ejercicio nº 5.-

Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:

xxaa :b)a) 4 53 2 ⋅

Intervalos y entornos:

Ejercicio nº 1.-

Expresa en forma de intervalo los números que verifican:

x − 4 ≤ 2

Ejercicio nº 2.-

Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta desigualdad:

x − 5 ≤ 2

Ejercicio nº 3.-

Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad:

x + 1≤ 4

Ejercicio nº 4.-

Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen:

x + 2 ≥ 3

Ejercicio nº 5.-

Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad:

x − 2≥ 5

Operaciones con radicales

Ejercicio nº 1.-

Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:

5656

c) 45380b) 1521

4584a)

−

+−

Ejercicio nº 2.-

Halla y simplifica al máximo:

1222

c) 2432147b) 1012

4530a)

+−

Ejercicio nº 3.-

Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

34336

c) 18298b) 104518a)

+−⋅

Ejercicio nº 4.-

Efectúa y simplifica:

2322

c) 12248b) 23

272a)

+

+−

Ejercicio nº 5.-

Calcula y simplifica:

2323

c) 125345b) 125343

75a)

−

+−

Notación científica

Ejercicio nº 1.-

Los valores de A, B y C son:

547 1034, 102 10282, ⋅=⋅=⋅= − CBA

CABA

⋅+ :Calcula

Ejercicio nº 2.-

Calcula y expresa el resultado en notación científica:

4

101112

1021,10281024,1073,

−⋅

⋅+⋅−⋅

Ejercicio nº 3.-

a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.

b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por

término medio? Exprésalo en kilómetros.

Ejercicio nº 4.-

Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Soluciones Ejercicio nº 1.-

Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

..020020002.1,9747372,3 3−

Solución:

4:Naturales•

4;3:Enteros −•

4;73;7,2;3 :Racionales −•

Todos :Reales•

Ejercicio nº 2.-

Considera los siguientes números:

..131331333.2,22851,32

23 33−

Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.

Solución:

3 8 :Naturales•

3 8 :Enteros•

3 8;5,1;32;

23 :Racionales −•

Todos :Reales•

Ejercicio nº 3.-

Indica cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales y reales:

838383...2,32,515948

1323 3−

Solución:

48 :Naturales•

9;48 :Enteros −•

...838383,2;3,2;9;48;

1323 :Racionales −•

Todos :Reales•

Ejercicio nº 4.-

Clasifica los siguientes números según sean naturales, enteros, racionales o reales:

837

14483352,75, 4−−

Solución:

714 :Naturales •

714;4 :Enteros −•

7144

8335275 :Racionales ;;;,;, −−•

Todos :Reales •

Ejercicio nº 5.-

Di cuáles de los siguientes números son naturales, enteros, racionales o reales:

510

31333...2,21615872, 3 −

−

Solución:

510;16 :Naturales •

510;16;15 :Enteros −•

510;

31...;333,2;16;15;87,2 :Racionales −

−•

Todos :Reales •

Potencias de exponente fraccionario

Ejercicio nº 1.-

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica:

aa

xx3 5

3 26 4 b)a) ⋅

Solución:

33 434323232643 26 4a) xxxxxxxxxx ===⋅=⋅=⋅

66 76721

353 5

b) aaaaaa

a

a====

Ejercicio nº 2.-

Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

2:2b)aaa) 5 373 ⋅ Solución:

6 53623273173a) aaaaaaa ==⋅=⋅

1010121535 3 222222b) ==÷=÷

Ejercicio nº 3.-

Efectúa las siguientes operaciones, expresando previamente los radicales en forma de potencia de exponente fraccionario:

55

b)xxa)4 3

3 25 2 ⋅

Solución:

1515 16151632523 25 2a) xxxxxxxx ===⋅=⋅

44121

434 3

5555

55

b) ===

Ejercicio nº 4.-

Simplifica, expresando previamente los radicales en forma de potencia:

3 2

344 b)33a)

a

a⋅

Solución:

44249241244144 39333333333a) ===⋅=⋅=⋅

6 56532

23

3 2

3

b) aaaa

a

a===

Ejercicio nº 5.-

Expresa en forma de potencia los siguientes radicales y simplifica:

xxaa :b)a) 4 53 2 ⋅ Solución:

66 76721323 2a) aaaaaaaa ===⋅=⋅

4 34321454 5 ::b) xxxxxx ===

Intervalos y entornos:

Ejercicio nº 1.-

Expresa en forma de intervalo los números que verifican:

x − 4 ≤ 2 Solución: Es el intervalo [2, 6].

Ejercicio nº 2.-

Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta desigualdad:

x − 5 ≤ 2 Solución: Son los números del intervalo [3, 7].

Ejercicio nº 3.-

Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad:

x + 1≤ 4 Solución: Es el intervalo [−5, 3].

Ejercicio nº 4.-

Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen:

x + 2 ≥ 3 Solución: Son los números de (−∞, −5 ] ∪ [ 1, +∞).

Ejercicio nº 5.-

Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad:

x − 2≥ 5 Solución: Son los números de (−∞, −3] ∪ [ 7, +∞).

Operaciones con radicales

Ejercicio nº 1.-

Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones:

5656

c) 45380b) 1521

4584a)

−

+−

Solución:

15314

33

514

31.

514

31

572

5372

535373732

15452184

1521

4584a) 2

22

2

2

=⋅==⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

=⋅

5559545335245380b) 24 −=−=⋅−⋅=−

( )( )( )( )

302111

3021156

30256

5656

5656

56

56c) +=

+=

−++

=+−

++=

−

+

Ejercicio nº 2.-

Halla y simplifica al máximo:

1222

c) 2432147b) 1012

4530a)

+−

Solución:

552

52

52

525332532

10451230

1012

4530a)

2

2

2

===⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅

=

3113183732732432147b) 52 −=−=−⋅=−

( )

( )( ) 724

1824

122122

1222

122

2c)

−=

−−

=−+

−=

+

Ejercicio nº 3.-

Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

34336

c) 18298b) 104518a)

+−⋅

Solución:

93352

532310

4518104518a) 24

22

===⋅

⋅⋅⋅=

⋅=⋅

226273227218298b) 22 =−=⋅−⋅=−

( )=

+⋅=

⋅+

=⋅

+=

+12

93234

918334

333634

336c)

2

432

43

42

129

1223

12923 +

=+=+=+

=

Ejercicio nº 4.-

Efectúa y simplifica:

2322

c) 12248b) 23

272a)

+

+−

Solución:

31

31

33

22732

23

272a) 23 ===

⋅⋅

=

034343223212248b) 24 =−=⋅−⋅=−

( )( )( )( ) 7

2429

223226

2323

2322

23

22c)

+=

−−+−

=−+

−+=

+

+

Ejercicio nº 5.-

Calcula y simplifica:

2323

c) 125345b) 125343

75a)

−

+−

Solución:

57

57

5775

12573435

125343

75a) 2

2

3

3

==⋅⋅

=⋅⋅

=

512515535353125345b) 32 −=−=−⋅=−

( )( )( )( ) 7

261129

2629

2323

2323

23

23c)

+=

−++

=+−

++=

−

+

Notación científica Ejercicio nº 1.-

Los valores de A, B y C son:

547 1034, 102 10282, ⋅=⋅=⋅= − CBA

CABA

⋅+ :Calcula

Solución:

( ) ( ) =⋅⋅⋅+⋅

⋅=⋅+ −

574

7

103410282102

10282 ,,,CABA

121111111211 10918,91018,991004,981014,110804,91014,1 ⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=Ejercicio nº 2.-

Calcula y expresa el resultado en notación científica:

4

101112

1021,10281024,1073,

−⋅

⋅+⋅−⋅

Solución:

=⋅

⋅+⋅−⋅=

⋅

⋅+⋅−⋅−− 4

101010

4

101112

102,11028104210370

102,11028102,4107,3

( ) 1616144

10

4

101097,2109667,21067,296

102,110356

102,1102842370

⋅≈⋅=⋅=⋅

⋅=

⋅

⋅+−=

−−

Ejercicio nº 3.-

a) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.

b) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros portérmino medio? Exprésalo en kilómetros.

Solución:

a) 5 l = 5dm3 = 5 · 106 mm3 de sangre4,5 · 106 · 5 · 106 = 2,25 · 1013 número de glóbulos rojos

b) 2,25 · 1013 · 8 · 10−3 = 1,8 · 1011 mm = 180 000 km

Ejercicio nº 4.-

Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Solución:

108 bacterias/cm3 y 80 mm3 = 8 · 10−2 cm3

120 · 8 · 10−2 = 9,6 cm3 en una caja. 9,6 · 108 número de bacterias en una caja.

Ejercicio nº 5.-

Efectúa y expresa el resultado en notación científica:

( )12

825

1021013,1042,

−

−−

⋅

⋅+⋅ Solución:

( )=

⋅+ 3,1⋅

=+ 3,1⋅

−

−−

−

−−

12

810

12

825

2 10105,76 ⋅10

2 ⋅10102,4 ⋅10

===+

=−

−

−

−−2

12

10

12

1010157,88 ⋅10

2 ⋅10315,76 ⋅10

2 ⋅10310 ⋅105,76 ⋅10

= 1,5788 ⋅104 ≈ 1,58 ⋅104

EJERCICIO 1 : Por un artículo que estaba rebajado un 12% hemos pagado 26,4 euros. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?

Solución: El índice de variación es: IV =

−

100

121 = 0,88.

Por tanto: CF = CI . IV ⇒ 26,4 = CI . 0,88 ⇒ CI = 30 ⇒ Antes de la rebaja costaba 30 euros.

EJERCICIO 2 : Un ordenador cuesta 1 036 euros sin I.V.A. Sabiendo que se aplica un 16% de I.V.A., ¿cuál será su preci o con I.V.A.?

Solución: El índice de variación que corresponde a un aumento del 16% es: IV =

+

100

161 = 1,16.

Por tanto: CF = CI . IV = 1036 · 1,16 = 1 201,76 ⇒ El precio con I.V.A. es de 1 201,76 euros

EJERCICIO 3 : El precio de un litro de leche (con I.V.A.) es de 0,6 euros. Sabiendo que el IVA en alimentación es del 7%, ¿cuál será su precio sin I.V.A.?

Solución: El índice de variación para un aumento del 7% es : IV =

+

100

71 = 1,07.

CF = CI . IV ⇒ 0,6 = CI.1,07 ⇒ CI = 0,56 ⇒ El precio sin I.V.A. es de 0,56 euros.

EJERCICIO 4 : En un pueblo que tenía 200 habitantes, ahora viven solamente 80 personas. ¿Qué porcentaje representa la disminución de la población?

Solución: CF = CI.IV ⇒ 80 = 200.IV ⇒ IV = 0,4 =

−

100

r1 ⇒ r = 60 ⇒ Una disminución del 60%.

EJERCICIO 5 : Un contrato de alquiler ha subido un 2% anual durante los tres últimos años. Calcula el precio mensual que tendremos que pagar actualmente, sabiendo que hace 3 años pagábamos 420 euros al mes.

Solución: CF = 420. 71,44570736,445100

21

3

≈=

+ euros

EJERCICIO 6 : El precio de una raqueta de tenis subió un 20% y después la rebajaron un 15%. Si su precio actual es de 110,16 euros, ¿cuánto costaba antes de la subida? Di cuál es el índice de variación y explica su significado.

Solución: Índice de variación: IV =

−

+

100

151

100

201 = 1,20 · 0,85 = 1,02

CF = CI.IV ⇒ 110,16 = CI.1,02 ⇒ CI = 108 euros ⇒ Precio actual 108 euros

El índice de variación es 1,02 =

+

100

r1 ⇒ r = 2 ⇒ Ha subido un 2 %

EJERCICIO 7 : Un artículo que costaba inicialmente 60 euros fue rebajado en diciembre un 12%. En el mes de enero tuvo una segunda rebaja de un 15%; y, en febrero, se rebajó otro 10%. a) Calcula el precio final después de las tres rebajas. b) ¿Cuál es el porcentaje total de rebaja?

Solución:

a) Calculamos el índice de variación total: IV =

−

−

−

100

101

100

151

100

121 0,88 · 0,85 · 0,90 = 0,6732

Por tanto, el precio final fue: CF = CI.IV = 60 · 0,6732 = 40,39 euros

b) El índice de variación obtenido, 0,6732 =

+

100

r1 ⇒ r = 32,68%. ⇒ Un 32,68 % total de rebaja

Matemática Financiera

EJERCICIO 8 : El precio de un artículo ha aumentado en un 2%; pero, después, ha tenido una rebaja de un 5%. Calcula el índice de variación total y la disminución porcentual del precio.

Solución:

El índice de variación total será: IV =

−

+

100

51.

100

21 = 1,02 · 0,95 = 0,969

0,969 = 1 - 100

r⇒ r = 3,1 ⇒ Un 3,1 % de bajada.

EJERCICIO 9 : El precio sin I.V.A. de un determinado medicamento es de 15 euros. a) Sabiendo que el I.V.A. es del 4%, ¿cuanto costará con I.V.A.?b) Con receta médica solo pagamos el 40% del precio total. ¿Cuánto nos costaría este medicamento si lo

compráramos con receta?

Solución: a) El índice de variación para un aumento del 4% es de 1,04.

Por tanto, el medicamento con I.V.A. costará: 15 · 1,04 = 15,6 euros b) Para calcular el 40% multiplicamos por 0,4: 15,6 · 0,4 = 6,24 ⇒ El precio con receta sería de 6,24 euros.

EJERCICIO 10 : Un capital de 4 000 euros colocado al 8% anual se ha convertido en 5 441,96 euros. ¿Cuántos años han transcurrido? (Los periodos de capitalización son anuales).

Solución: CF = CI .n

100

r1

+ ⇒ 5441,96 = 4000.

n

100

81

+ ⇒ 1,36049 = 1,08n ⇒ log 1,36049 = log 1,08n ⇒

Log 1,36049 = n.log 1,08 ⇒ n = 000009933,408,1log

36049,1log= ⇒ n = 4 ⇒ Habrán transcurrido 4 años.

EJERCICIO 11 : Halla en cuánto se transforman 3 000 euros depositados durante un año al 8% anual si los periodos de capitalización son trimestrales.


400

r1

+ ⇒ CF = 3000.

4

400

81

+ = 3.247,30 euros

EJERCICIO 12 : Calcula en cuánto se transforma un capital de 2 500 euros depositado durante 4 meses al 7% anual (los periodos de capitalización son mensuales).


1200

r1

+ ⇒ CF = 2500.

4

1200

71

+ = 2558,85 euros

EJERCICIO 13 : Calcula en cuánto se transforman 800 euros al 10% anual, en un año, si los periodos de capitalización son mensuales.


1200

r1

+ ⇒ CF = 800.

12

1200

101

+ = 883,77 euros

EJERCICIO 14 : Un capital de 2 000 euros se ha transformado en 2 247,2 euros al cabo de 2 años. Calcula el tanto por ciento anual al que se ha colocado.

Solución: 2247,2 =2

100

r12000

+× ⇒

00022,2472

1001

2

=

+r

⇒ 1236,1100

12

=

+r

⇒ 12361100

1 ,r

=+ ⇒

6%060100

061100

1 =→=→=+ r,r

,r

⇒ Por tanto, se ha colocado al 6% anual.

EJERCICIO 15 : Hemos decidido ahorrar ingresando en un banco 1 000 euros al principio de cada año. Calcula la cantidad que tendremos ahorrado a finales del octavo año, sabiendo que el banco nos da un 6% de interés.

Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma, Como pagamos al principio de cada año y recogemos al final: a1 = 1 000 • (1,06)

( )( ) ( )euros. 32,49110

106,1

06,1000106,1.06,10001

8=

−−×

=8S ⇒ Al final de los ocho años tendremos 10 491,32 euros.

EJERCICIO 16 : Una persona ingresa, al principio de cada año, la cantidad de dinero que viene reflejada en la siguiente tabla:

1er

AÑO

2º AÑO

3er

AÑO

(en euros)

1500

2000

1000

Calcula cuál será el capital acumulado al cabo de los tres años (al final del año), sabiendo que el rédito es del 6% anual.

Solución: • Los 1 000 euros del primer año se transforman, al cabo de tres años, en: 1 000 · (1,06)3 euros• Los 1 500 euros del segundo año se transforman, al cabo de dos años, en: 1 500 · (1,06)2 euros• Los 2 000 euros del tercer años se transforman, al cabo de un año, en: 2 000 · (1,06)• Por tanto, el total acumulado al cabo de los tres años será:

1 000 · (1,06)3 + 1500 · (1,06)2 + 2000 · (1,06) = 4 996,42 euros

EJERCICIO 17 : Calcula la cantidad total que tendremos si pagamos al final de cada año una anualidad de 1 500 euros durante 10 años, al 8% anual.

Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma, Como pagamos al final de cada año: a1 = 1 500. El décimo término es a10 = 1 500 · (1,08)9.

( )108,1

500108,15001 S

10

−−×

= euros 84,72921= ⇒ Al final de los años 10 años tendremos un total de 21 729,84 euros.

EJERCICIO 18 : Una persona ingresa en un banco, al principio de cada año, 400 euros, durante 6 años. Calcula el dinero que habrá acumulado al final del sexto año sabiendo que el banco le da un 5% de interés anual.

Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma. Como pagamos al principio de cada año y recogemos al final:a1 = 400 · (1,05)

( ) ( )euros 80,8562

105,1

05,140005,1)05,1(400

6=

−×−×

=S ⇒ Al final del sexto año tendremos 2 856,80 euros.

EJERCICIO 19 : Durante 4 años, depositamos al principio de cada año 1 000 euros al 5% con pago anual de intereses. ¿Cuánto dinero tendremos acumulado al final del cuarto año?

Solución: Como vamos varias veces al banco y cada vez ingresamos la misma cantidad es una suma. Como pagamos al principio de cada año y recogemos al final a1 =1 000 · (1,05) El cuarto término es a4 =1 000 · (1,05)4

( )( ) ( )=

−×−×

=105,1

05,1000105,1.05,10001

4S 4 525,63 euros. ⇒ Al final del cuarto año tendremos 4 525,63 euros.

EJERCICIO 20 : Nos han concedido un préstamo hipotecario (para comprar un piso) por valor de 80 000 euros. Lo vamos a amortizar en 180 mensualidades con un interés del 5% anual. ¿Cuál es el valor de cada mensualidad que tendremos que pagar?

Solución: La mensualidad será: ( )( )

euros 63,632

11200

51

12005

12005

100080

11

1180

180

=

−

+

×

+

=−+×+

=n

n

i

iiCm

Cada mes tendremos que pagar 632,63 euros.

EJERCICIO 21 : Un coche cuesta 12 000 euros. Nos conceden un préstamo para pagarlo en 48 mensualidades con un in terés del 6% anual. ¿Cuál será la cuota mensual que tendremos que pagar?

Solución: ( )( )

( )( )

euros 82,2811005,1

005,0005,100012

11

148

48

=−

×=

−+×+

=n

n

i

iiCm ⇒⇒⇒⇒ Cada mes tendremos que pagar 281,82 euros.

EJERCICIO 22 : Halla la anualidad con la que se amortiza un préstamo de 40 000 euros en 5 años al 12% anual.

Solución: ( )( )

( )( )

euros 39,09611112,1

12,012,100040

11

1

5

5

=−

××=

−+×+

=n

n

i

iiCa ⇒ Cada año se deben pagar 11 096,39 euros.

EJERCICIO 23 : Calcula el valor de la anualidad con la que se amortiza un préstamo de 25 000 euros en 6 años al 10% de interés anual.

Solución: ( )( )

( )( )

euros 18,740511,1

1,01,100025

11

16

6

=−×

×=−+×+

×=n

n

i

iiCa ⇒ Cada año se deben pagar 5740,18 euros.

EJERCICIO 24 : Tenemos que amortizar 30 000 euros en 3 años, con un 8% de interés anual, de modo que cada año pagaremos la tercera parte del capital total más los intereses del capital pendiente. Calcula lo que hay que pagar cada año.

Solución: • Hagamos una tabla:

• El primer año habrá que pagar 12 400 euros, el segundo año 11 600 euros y, el tercer año, 10 800 euros.

EJERCICIO 25 : Un artículo que costaba 300 euros sufrió un aumento del 25 %%%% en su precio. Después tuvo un segundo aumento del 15 %%%% y luego se rebajó un 20 %%%%. a) Calcula el índice de variación total. b) ¿Cuál es el precio final?

Solución: a) El índice de variación total será: IV = 1,25 · 1,15 · 0,8 = 1,15 (que corresponde a un 15% de aumento en el precio).b) El precio final es: 300 · 1,15 = 345 euros

EJERCICIO 26 : El precio de un piso subió un 15 %%%% en el año 1998 y bajó un 20 %%%% en el 1999. Si su precio en el 2000 es de 225 000 euros, ¿cuál era su precio hace dos años? Di cuál es el índice de variación y explica su significado.

Solución: Índice de variación: 1,15 · 0,80 = 0,92

euros 22,5652440,92

000225 :años dos hace Precio =

El índice de variación, 0,92, representa una disminución del 8% en el precio del piso.

EJERCICIO 27 : El precio de un ordenador que costaba 1 200 euros fue rebajado en un 8 %%%%. Posteriormente, se le aplicó otra rebaja del 10 %%%%. a) ¿Qué porcentaje de rebaja supone en total? b) ¿Cuánto costaba después de las dos rebajas?

Solución: a) El índice de variación total es: 0,92 · 0,9 = 0,828, que corresponde a una rebaja del 17,2%.b) El precio final será: 1 200 · 0,828 = 993,6 euros

EJERCICIO 28 : Durante un curso escolar el número de alumnos matriculados en un colegio fue de 500. El curso siguiente, este número se redujo en un 5 %%%% y, el siguiente, aumentó un 12 %%%%. a) ¿Qué variación total de alumnos ha habido en esos años?b) ¿Cuál es el número de alumnos matriculados que había después de las dos variaciones?

Solución:

a) El índice de variación total es: 0,95 · 1,12 = 1,064 que corresponde a un aumento del 6,4%.b) El número final de alumnos será: 500 · 1,064 = 532

EJERCICIO 29 : El número de habitantes de una cierta población aumentó hace tres años en un 2 %%%%. El año siguiente, el aumento fue del 3 %%%%; y, el siguiente, del 4 %%%%. a) ¿Cuál ha sido el porcentaje total de aumento?b) Si inicialmente eran 6 000 habitantes, ¿cuántos había después de los tres años de aumento?

Solución: a) El índice de variación total es: 1,02 · 1,03 · 1,04 = 1,0926 que corresponde a un 9,26% de aumento.b) Después de los tres años habrá: 6 000 · 1,0926 = 6 555,6 ≈ 6 556 habitantes

EJERCICIO 30 : Halla el tanto por ciento anual de interés al que debe colocarse un capital de 3 000 euros para que en dos años se transforme en 3 307,5 euros. Solución:

Si se coloca al r % anual durante dos años, se transforma en: euros. 5,3307100

130002

=

+×r

Despejamos r :

%5050100

051100

1

10251100

1

10251100

1

300053307

1001

2

2

=→=→=+

=+

=

+

=

+

r,r

,r

,r

,r

,r

EJERCICIO 31 : Hemos colocado un capital de 6 500 euros al 5 %%%% anual, y al cabo de un tiempo se ha transformado en 8295,83 euros. Calcula los años transcurridos, sabiendo que los períodos de capitalización han sido anuales.

Solución: Al cabo de n años tendremos: 6500 · 1,05n = 8295,83 euros.

Despejamos n:

años 5276,105,1

650083,8295

05,1

=→=

=

nn

n

EJERCICIO 32 : Halla en cuánto se transforma un capital de 5 000 euros depositado durante 6 meses al 9 %%%% anual, si los períodos de capitalización son mensuales.

Solución: Al cabo de seis meses se habrá transformado en: 5000.6

12001

+ 5000 • 1,00756 = 5229,26 euros

EJERCICIO 33 : Calcula en cuánto se transforman 3 500 euros depositados durante dos años al 6 %%%% anual si los períodos de capitalización son trimestrales.

Solución: Al cabo de los 8 trimestres tendríamos: 3500.8

400

61

+ 3 500 · 1,0158 = 3 942,72 euros

EJERCICIO 34 : Averigua cuál es el capital que colocamos al 6 %%%% anual durante 5 años, sabiendo que al final teníamos 2 676,45 euros.

Solución: Llamamos C al capital inicial. Al cabo de los 5 años se transformó en: C · 1,065 = 2 676,45 euros

Por tanto: euros 000206,1

45,67625

==C

Fracciones Algebraicas SUMA:

Ejerc 1:

656

62

41

222

aa

a

aa

a

a

a =

Ejerc 2:

1

122

133

12xxx

Ejerc 3:

22 49231

yx

yx

yx

Ejerc 4:

22 xax

a

ax

xa

axa

x

Ejerc 5:

48

421

423

2x

x

x

x

x

Ejerc 6:

22

22bababa

Ejerc 7:

Ejerc 8:

Ejerc 9:

RESTA:

Ejerc 10:

Ejerc 11:

Ejerc 12:

1212

188

144

12aaa

Ejerc 13:

2

362

1352

2222 xxxxxx

MULTIPLICACIÓN

Ejerc 14:

2093

1524

125

222 xx

x

xx

x

xx

x

ba

a

ba

ab

39 22

22

22

93

3 ax

xa

ax

ax

882

441

x

x

x

x

443

887

222

2 a

a

a

a

a

a

xyx

yxyx

xyx

yxy

222

2

22

2

2

Ejerc 15:

323

222

2

2

2

2

xx

xx

x

xx

Ejerc 16:

abaaa

baaba

663

12 22

2

Ejerc 17:

2

2

3

3

)(1

1)(

yx

xx

x

yx

Ejerc 18:

a

x

xx

aa

a

x 2

2

2 21

1

Ejerc 19:

44482

162

2

2

23

2

2

2

xx

xx

xx

xx

x

xx

DIVISIÓN

Ejerc 20:

245352

561556

2

2

2

2

aa

aa

aa

aa

Ejerc 21:

22

3

22

2

35

963

abba

a

baba

a

Ejerc 22:

42

230

122 aaaa

Ejerc 23:

164

15153020

32

2

x

x

xx

xx

Ejerc 24:

245352

561556

2

2

2

2

aa

aa

aa

aa

Ejerc 25:

165136

91615268

2

2

2

2

x

xx

x

xx

Ejerc 26:

23

4

23

4

93341

aa

aa

aa

a

Ejerc 27:

56255

64125

2

23

2

3

xx

xxx

x

x

Ejerc 28:

aa

aa

aa

aa

9543

36

2

2

23

2

SOLUCIONES SUMA:

Ejerc 1:

656

62

41

222

aa

a

aa

a

a

a = )2)(3(

6)2)(3(

2)2)(2(

1

aa

a

aa

a

aa

a =

= )3)(2)(2(

)6)(2()2()1)(3( 2

aaa

aaaaa = )3)(2)(2(

1284434 222

aaa

aaaaaa =)3)(4(

1932

2

aa

a

Ejerc 2:

)1)(1(675x

)1)(1(66)1(3)1(2

)1)(1(1

)1(21

)1(31

11

221

331

2

xxxx

xx

xxxxxxx

Ejerc 3:

)49(4

)23)(23(23

)23)(23(231

49231

2222 yx

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yx

yxyx

yx

yx

Ejerc 4:

)(2

)()()()()(

)()(2

2222

22

xaax

a

xaax

axax

xaax

aaxaxaxx

xax

a

ax

xa

xaa

x

xax

a

ax

xa

axa

x

Ejerc 5:

)2)(2(286

)2)(2(2162263

)(2)8()2)(1()2(3

)2)(2(8

)2(21

)2(23

48

421

423

22

2

xx

xx

xx

xxxx

xaax

xxxx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

Ejerc 6:

)(22

)(2222

))(()(2)(2

)(2

)(222

22

22

22

22

22 baab

ba

baab

ababab

babaab

baabab

babbaabababa

Ejerc 7:

)5)(4(50123

)5)(3)(4(961682510

)5)(3)(4()3)(3()4)(4()5)(5(

)5)(4(3

)3)(5(4

)3)(4(5

2093

1524

125

2222

222

xx

xx

xxx

xxxxxx

xxx

xxxxxx

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

Ejerc 8:

Ejerc 9:

RESTA

Ejerc 10:

Ejerc 11:

Ejerc 12:

)1(2473113

)1)(1(2473113

)1)(1)(1(242233336666

)1()1)(1(24)1)(1(2)1)(1(3)1)(1(6

)1(121

)1(81

)1(41

12121

881

441

4

2

22

23

2

22323

2

22

22

a

aaa

aa

aaa

aaa

aaaaaaa

aaa

aaaaaa

aaaaaa

Ejerc 13:

22

2

2222

222

22

93

9)3(

)9(33

)3)(3()3()3(

3)3(39

ba

a

ba

abaab

ba

abababa

baba

baabaab

ba

a

ba

ab

ba

a

ba

ab

22

22

22222222

22

22

92

9332

)3)(3(3))(3(

)3)(3(3

393

3

ax

ax

ax

xaaaxx

axax

xaaxax

axax

xa

ax

ax

ax

xa

ax

ax

)1(87

)1)(1(823242

)1)(1(8)23()12(2

)1(82

)1(41

882

441

2

22222

x

xx

xx

xxx

xx

xxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

)1(822

)1)(1(86427844

)1)(1(8)3))(1(2(7)1(4)(2(

)1(444

3

)1)(1(8..)1)(1(8

887

)1(222

2

2

222

2

a

aa

aa

aaaaa

aa

aaaaa

a

a

a

aamcm

aa

a

a

a

a

a

)2)(1()32(47

)2)(1()32(96142

)2)(1()32()32(3)1()2(2

)1)(2(2

3

)32)(2(62

1

)1)(32(352

2222

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

MULTIPLICACIÓN

Ejerc 14:

Ejerc 15:

122

2)(2

)1)(3()3(

2)1(2

323

222

2

2

222

2

2

2

x

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

Ejerc 16:

)1(21

)(6)(3

)(63

)1)(1()1()1(

)(63

)1)(1()()(

663

12

2

22

2

aabaa

ba

baaaa

abaa

baaaa

babaa

abaaa

baaba

Ejerc 17:

)1()(

))(1()(

)(1

)1)(1()(

)(1

1)(

2

3

2

3

2

3

2

2

3

3

x

yx

yxx

yx

yx

xx

xxx

yx

yx

xx

x

yx

Ejerc 18:

xx

x

a

x

xx

aa

a

x

a

x

xx

aa

a

x

222

2

2

)1()1(

112

11

Ejerc 19:

)4)(2)(1()4))2(

)4)(4()2()1()4)(2)(2(

)2)(2()4(

)1()4)(2(

)4)(4()2(

44482

162

22

22

22

2

23

2

2

2

xxx

xx

xxxxx

xxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xx

DIVISIÓN

Ejerc 20:

)3)(8()5)(7(

)8)(7()1)(5(

245352

561556

2

2

2

2

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa =)5)(7()3)(8(

)8)(7()1)(5(

aa

aa

aa

aa =

=49

32)7)(7()3)(1(

2

2

a

aa

aa

aa

22

22

2

2 )()2(

))(()()2(

222

x

yxy

yxx

yxyx

yxx

yxy

xyx

yxyx

xyx

yxy

)3(53

5)3(

)3(3

35

963

32

2

22

3

22

2

ba

b

a

baab

ba

a

abba

a

baba

a

Ejerc 22:

1027

2)5()7(

2)6)(7(

)5)(6(1

422

301

22

a

a

a

aaa

aaaaaa

Ejerc 23:

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

xx

xx

32

1510

)32(21

)1(15)32(10

164

15153020

2232

2

Ejerc 24:

)7)(7()3)(1(

)5)(7()3)(8(

)8)(7())(5(

245352

561556

2

2

2

2

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa =49

322

2

a

aa

Ejerc 25:

3413

)13)(52()13)(13(

)34)(34()34)(52(

165136

91615268

2

2

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

Ejerc 26:

3)3)(1(3

)1)(3()3(3

)1()1)(1(

93341

222

2

2

22

23

4

23

4

a

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

a

Ejerc 27:

xx

xx

xxx

xx

xx

xxx

xx

xxx

x

x

)8()7)(5(

)255()7)(8(

)8)(8()255)(5(

56255

64125

2

2

2

23

2

3

Ejerc 28:

31

)9)(6()9(

)3()6)((

9543

36

22

2

23

2

aaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

Ejerc 21:

1.- Suma las siguientes fracciones algebraicas:

1x3x

1x1x

5

2

sol:1xxx

2x2x2xx56

257

2.- Opera y simplifica:

1x3x3x6x

1xx

23

2

sol: 3

234

1x6xxx2x


1x3x

1x3x2

2

2

3 sol: 1x1x

x2x4xx23

235


1xx

1x1x

22 sol: 1xxx

x23


a)

2x34

x1x

2 sol: 2

2

x42x3x3

b)

6x2y

4yx6

2yx3 sol:

12yx32

c)

yxyx

xy

yx sol:

yxxyyxy2x 323

d)

22

22

bab4a3ab

baba4

bab3a2 sol:

baa3

e)

4x

x62x

x52x

x32

2

sol: 2x

x8

f) 3

33

22

42

32

2

xy4cba6

bca5nm4

nm7yx3 sol: 2

2

cy35xnab18

g)

22

2

22222

44

yxy2xyx

yxxy4

yxyx sol:

222

2

yxy4x3xy2

h)

4x3x

4x3x

x16xx14

3

2

sol: 0

i)

yxa

yxb

1:

yxb

yxa

1 sol: byxayx

j)

bba

aba

b1

a1

:1

baba

baba1

sol: b

baa

k)

y1

x1

y1

x1

yxyy

yxxx

y1

x1

yx2

2

22

sol: yxyxxy 2

l)

42

2222 xy1

xy1

:

yx1

yxx

:

yxy2xx4

yxx2

sol: 2x41

Ejercicio nº 1.-

Resuelve esta ecuación:

(((( )))) − =1 1 1

3 2 1 22 2 3

x xx x

+ ++ ++ ++ + + + −+ + −+ + −+ + −

Ejercicio nº 2.-

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)))) 4x2 −−−− 16 ==== 0

(((( )))) (((( ))))− −=

22 5 3 1 5 7 5b 1

3 2 6

x x x x++++ ++++) + +) + +) + +) + +

Ejerc icio nº 3.-

Resuelve:

(((( )))) (((( ))))− −− =

5 3 1 2 9 56 1 94 3 16 8

x xx x+ ++ ++ ++ +++++

Ejerc icio nº 4.-

Resuelve estas ecuaciones:

a)))) x2 ++++ 3x −−−− 4 ==== 0

− =2

1 2 10b

3 3 9x x ) +) +) +) +

Ejerc icio nº 5.-

Resuelve la siguiente ecuación:

− = − −2 1 1 3

2 15 3 10 6

x x x x+ ++ ++ ++ +

Ejerc icio nº 6.-


a)))) 2x2 −−−− 32 ==== 0

− − −− =

22 1 1 1b

2 3 6x x x

))))

Ejercicio nº 7.-

Resuelve la ecuación:

(((( )))) (((( ))))−− −− =

3 1 3 2 12 14 3 3 4

x xx x++++++++

Ejerc icio nº 8.-

Resuelve:

a)))) 18x2 −−−− 2 ==== 0

b)))) 4((((5x ++++ 1))))2 −−−− 9 ==== 0

Ejercicio nº 9.-

Resuelve:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))− = − −2 1 1

5 2 1 2 35 2 4

x x x+ ++ ++ ++ +

Ejerc icio nº 10.-

Resuelve estas ecuaciones:

a)))) 3x2 −−−− 243 ==== 0

b)))) 2((((2x ++++ 1))))2 −−−− 3((((2x −−−− 1))))2 ++++ 5((((2x −−−− 1)))) ((((2x ++++ 1)))) ==== 0

Ejercicio nº 11.-


2

4 2

2 1 1 1a)

2 3 6b) 26 25 0

x x x

x x

− − −− − −− − −− − −====

− + =− + =− + =− + =

-

Ejerc icio nº 12.-

Resuelve las ecuaciones:

−a) 2 2

1 x 2 7b)

2 4

x x

x x

+ =+ =+ =+ =+ −+ −+ −+ −

− =− =− =− =++++

Ecuaciones

Ejercicio nº 13.- Resuelve:

21 2 10

a) 3 3 9

x x − + =− + =− + =− + =

4 2b) 48 49 0x x- - = Ejercicio nº 14.- Resuelve las ecuaciones:

a) 2 6 1 3

2 15b)

1 1 4

x x

x xx x

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ =+ =+ =+ =+ −+ −+ −+ −

Ejercicio nº 15.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

( )( ) 2

4 2

2 5 3 1 5 7 5a) 1

3 2 6b) 3 10 8 0

x x x x

x x

+ −+ −+ −+ − + −+ −+ −+ −+ = ++ = ++ = ++ = +

− − =− − =− − =− − = Ejercicio nº16.- Resuelve:

2

a) 4 1 9 2 1

1 1 5b)

3 12

x x

x x

+ − − = −+ − − = −+ − − = −+ − − = −

+ =+ =+ =+ =

Ejercicio nº 17.- Resuelve la ecuacion: 2x4 + 9x2 – 68 = 0 Ejercicio nº 18.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

4 2a) 9 6 1 0

8b) 5

2

x x

xx

+ − + =+ − + =+ − + =+ − + =

+ =+ =+ =+ =

Ejercicio nº 19.-

Resuelve:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

4 2

a) 2 2 1 3 2 1 5 2 1 2 1 0

b) 4 25 0

x x x x

x x

+ − − + − + =+ − − + − + =+ − − + − + =+ − − + − + =

− =− =− =− =

Ejercicio nº 20.- Resuelve:

3

81a) 2

b) 4 1 3

1x

x x

− =− =− =− =

+ + − =+ + − =+ + − =+ + − = Ejercicio nº 21.- Resuelve:

21 2 10

a) 3 3 9

x x − + =− + =− + =− + =

4 2b) 48 49 0x x- - = Ejercicio nº 22.- Resuelve las ecuaciones:

a) 2 6 1 3

2 15b)

1 1 4

x x

x xx x

+ + =+ + =+ + =+ + =

+ =+ =+ =+ =+ −+ −+ −+ −

Ejercicio nº 1.- Solución:

( ) 1 1 13 2 1 2

2 2 3

1 1 16 3 2

2 2 3

1 16 3 1

2 2 636 18 3 3 3 6 1

6 6 6 6 6 6

x xx x

x xx x

x x xx

x x x x

+ + + − = + + + + − = + + +

+ − = + −

+ ++ − = + −

−−−−

−−−−

36x + 18 − 3x − 3 = 3x + 6 − x −1

36x − 3x − 3x + x = 6 − 1 − 18 + 3

31x = −10 1031

x−

=


12 2 2

2

216

a 4 16 0 4 16 4 44

2

x

x x x x

x

= −) − = → = → = = → = ±

=

ƒ

‚

( ) ( )

( )( )

2

2

2 5 3 1 5 7 5b 1

3 2 62 2 5 3 1 3 15 7 5 6

6 6 6 6

x x x x

x x x x

+ − + −) + = +

+ − + −+ = +

12x2 − 4x + 30x − 10 + 3 x2 + 15 − 7x + 5 − 6 = 0

15x2 + 19x + 4 = 0 → a = 15, b = 19, c = 4

12

2

14 19 361 240 19 121 19 11

2 30 30 308 4

30 15

xb b ac

xa

x

= −− ± − − ± − − ± − ±

= = = =− −

= =

ƒ

‚


( ) ( )5 3 1 2 9 56 1 94 3 16 8

15 5 6 1 9 18 104 3 16 8

180 60 96 16 27 108 6048 48 48 48

x xx x

x x x x

x x x x

+ +− −− = +

+ − − +− = +

+ − − +− = +

Soluciones

180x + 60 − 96x + 16 = −27x + 180x + 60 180x − 96x + 27x − 108x = 60 − 60 − 16 3x = −16

163

x−

=

Ejercicio nº 4.- Solución: a) x2 + 3x − 4 = 0 → a = 1, b = 3, c = −4

12

2

14 3 9 16 3 25 3 5

2 2 2 24

xb b ac

xa

x

=− ± − − ± + − ± − ±

= = = == −

ƒ

‚

2

2 2

12 2

2

1 2 10b

3 3 9

2 1 2 10 1 103 9 3 9 9 9

19

1 19

1

x x

x xx x

x

x x x

x

− + =

− + + = → + =

= −= → = → = ±

=

))))

ƒ

‚

Ejercicio nº 5.- Solución: 2 1 1 3

2 15 3 10 6

2 1 1 32 1

5 3 10 6

2 1 1 6 22

5 3 10 612 6 10 10 18 10 60

30 30 30 30 30

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

+ + − = − −

+ + − = − + + +

− = − +

+ +− = − +

12x + 6 − 10x − 10 = 18x − 10x + 60 12x − 10x − 18x + 10x = 60 − 6 + 10 −6x = 64

64 32 326 3 3

x x− −

= = → =−


2 2 2

1

2

32a 2 32 0 2 32 16

24

16

4

x x x

x

x

x

) − = → = → = =

= −= ±

=

ƒ

‚

2

2

2 1 1 1b

2 3 66 3 2 2 1

6 6 6

x x x

x x x

− − −) − =

− − −− =

6x2 − 3 − 2x + 2 = 1 − x 6x2 − 2x + x − 3 + 2 − 1 = 0 6x2 − x − 2 = 0 → a = 6, b = −1, c = −2

12

2

8 212 3

4 1 1 48 1 49 1 72 12 12 12

6 112 2

xb b ac

xa

x

= =− ± − ± + ± ±

= = = =− −

= =

ƒ

‚

Ejercicio nº 7.- Solución: ( ) ( )3 1 3 2 12 1

4 3 3 43 3 2 1 6 3

4 3 3 49 9 8 4 4 18 9

12 12 12 12

x xx x

x x x x

x x x x

+ −− −− = +

+ − − −− = +

+ − − −− = +

9x + 9 − 8x + 4 = −4x + 18x − 9 9x − 8x + 4x − 18x = −9 − 9 − 4 −13x = −22

22 22 2213 13 13

x x−

= = → =−


1

2 2 2

2

13

2 1 1a 18 2 0 18 2

18 9 913

x

x x x x

x

−=

) − = → = → = = → = ±

=

ƒ

‚

b) 4(5x + 1)2 − 9 = 0 → 4(25x2 + 10x + 1) − 9 = 0

100x2 + 40x + 4 − 9 = 0 → 100x2 + 40x − 5 = 0

20x2 + 8x − 1 = 0 → a = 20, b = 8, c = −1

12

2

20 140 2

4 8 64 80 8 144 8 122 40 40 40

4 140 10

xb b ac

xa

x

− −= =

− ± − − ± + − ± − ±= = = =

= =

ƒ

‚


( ) ( ) ( )2 1 15 2 1 2 3

5 2 42 10 2 1 3

25 2 4

8 40 20 10 40 5 1520 20 20 20

x x x

x x x

x x x

+ − + = − −

+ + −− = −

+ + −− = −

8x + 40 − 20x − 10 = 40 − 5x + 15 8x − 20x + 5x = 40 + 15 − 40 + 10 −7x = 25

25 25 257 7 7

x x− −

= = → =−


12 2 2

2

9243

a 3 243 0 3 243 81 813

9

x

x x x x

x

= −) − = → = → = = → = ±

=

ƒ

‚

b) 2(2x + 1)2 − 3(2x − 1)2 + 5(2x − 1) (2x + 1) = 0

2(4x2 + 4x + 1) − 3(4x2 − 4x + 1) + 5(4x2 − 1) = 0 8x2 + 8x + 2 − 12x2 + 12x − 3 + 20 x2 − 5 =0 16x2 + 20x − 6 = 0 → 8x2 + 10x − 3 = 0 → a = 8, b = 10, c = −3

12

2

24 316 2

4 10 100 96 10 196 10 142 16 16 16

4 116 4

xb b ac

xa

x

− −= =

− ± − − ± + − ± − ±= = = =

= =

ƒ

‚

Ejercicio nº 11.- Solución: a) Multiplicamos los dos miembros por 6:

( ) ( )− − − = − → − − + = − →2 23 2 1 2 1 1 6 3 2 2 1x x x x x x

=± + ±

→ − − = → = =− −

=

ƒ

‚2

8 212 3

1 1 48 1 76 2 0

12 126 1

12 2

x x x

−

= =1 2

2 1Las soluciones son y .

3 2x x

b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2 = z:

=± ± ±

− + = → = = =

=

ƒ

‚2

21

226 676 100 26 576 26 24

26 25 02 2 2

5025

2

z z z-

= → = → = ±= → = → = ±

2

2

Si 1 1 1 Si 25 25 5

z x x

z x x Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1, x 2 = −1, x 3 = 5 y x 4 = −5.

Ejercicio nº 12.- Solución: a) 2 2x x− = −

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

2 4 4 4 6 2 3x x x x x− = + − → = → =

Volvemos a elevar al cuadrado:

= → =9

4 9 es la posible solución.4

x x

Lo comprobamos:

9 9 3 1 42 2

4 4 2 2 2+ − = + = =

9Luego es la solución buscada.

4x =

b) Multiplicamos ambos miembros por 4x(x + 2): ( ) ( ) ( )2 2 24 4 2 7 2 4 4 4 4 7 14x x x x x x x x x− + = − + → − + + = − − →

2 2 24 4 16 16 7 14 3 2 16 0x x x x x x x→ − − − = − − → + − = →

− ± + − ± − ±→ = = =

− −=

22 4 192 2 196 2 14

6 6 616 86 3

ƒ

‚x

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación:

− −− = = →

1 4 1 8 72 es solución.

4 2 4 4

− −+ − − −

− = − = − − = = →− − − −

+

8 221 1 3 2 14 7 83 3 es solución.

8 8 2 8 2 8 8 4 323 3 3 3

1 2

8Las soluciones son 2 y .

3x x

−= =


− + + = → + = →2 22 1 2 10 1 10a)

3 9 3 9 9 9x x x x

→ = → = → = ±2 291 1

9x x x

Las soluciones son x1 = 1 y x2 = −1.

b) Ecuación bicuadrada; hacemos x2 = z y obtenemos:

−−

± + ±= → = =

=ƒ

‚2

21

248 2304 196 48 5048 49 0

2 298

492

z z z- -

=

= − → = − →= → = → = ±

2

2

Si 1 1 no hay solución real

Si 49 49 7

z x

z x x Las soluciones son x1 = 7 y x2 = −7.

Ejercicio nº 14.- Solución: a) 6 1 3 2x x+ = −

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

2 2 26 1 9 12 4 4 18 8 0 2 9 4 0x x x x x x x+ = − + → − + = → − + = →

± − ± ±→ = = =

9 81 32 9 49 9 74 4 4

x

=

=

2 14 2

164

4 Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación:

1 6 12 1 1 4 1 2 3 es solución

2 2 2x× + + = + = + = → =

8 24 1 8 25 8 5 13 4 no es soluciónx+ + = + = + = → =

1

La única solución es .2

x =

( )( )b) Multiplicamos ambos miembros por 4 1 1 :x x+ −

( ) ( ) ( )( )2 2 2

2 2 2

4 1 8 1 15 1 1

4 4 8 8 15 15

12 4 15 15 3 4 15 0

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

− + + = + − →

→ − + + = − →

→ + = − → − − = →

18

36

4 16 180 4 196 4 146 6 6

10 56 3

x

=± + ± ±

→ = = =− −

=

ƒ

‚

Comprobamos las soluciones:

++ = + = = →

+ −3 6 3 6 3 12 15

3 es solución.3 1 3 1 4 2 4 4

− −− − +

+ = + = + = = = → −− −

+ − − −

5 10 5 105 10 20 10 30 15 53 3 3 3 es solución.

5 5 2 8 2 8 8 8 4 31 13 3 3 3

1 2


3x x

−= =

Ejercicio nº 15.- Solución: a) Multiplicamos ambos miembros por 6:

( )( ) ( )+ − + + = − + →22 2 5 3 1 3 5 7 5 6x x x x

→ − + − + + − + − = →2 212 4 30 10 3 15 7 5 6 0x x x x x

→ + + = →215 19 4 0x x

−

− ± − − ± − ±→ = = =

− −

ƒ

‚

301

3019 361 240 19 121 19 11

30 30 308 4

30 15

x

= -

=

−= − =1 2


15x x

b) Haciendo x2 = z, se obtiene: 3z2 − 10z − 8 = 0

=± ±

= =− −

=

ƒ

‚

244

610 100 96 10 14

6 64 2

6 3

z+

→ → ±− −

→ →

2

2

Si 4 4 2

2 2Si no hay solución real.

3 3

z x x

z x

= = =

= =



+ = − + −a) 4 1 1 9 2x x

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

( )+ = + − − − →

→ + = − − − → − = −

4 1 1 9 2 2 9 2

4 1 9 1 2 9 2 2 9 2 5 2

x x x

x x x x x Volvemos a elevar al cuadrado: ( )− = − + →

→ − = − + → − + = →

2

2 2

4 9 2 25 20 4

36 8 25 20 4 25 56 12 0

x x x

x x x x x

± − ± ±→ = = =

ƒ

‚

1002

5056 3136 1200 56 1936 56 44

50 50 5012 650 25

x

=

=

Comprobamos las dos posibles soluciones, sustituyendo en la ecuación inicial:

× + − × − = − = − = − →

+ − − = − = − = = →

4 2 1 9 2 2 9 16 3 4 1 2 es solución

24 54 49 4 7 2 5 61 2 1 no es solución

25 25 25 25 5 5 5 25 La única solución es x = 2.

b) Multiplicamos ambos miembros por 12x2, que es el m.c.m. de los denominadores:

+ = → − − = →2 24 12 5 5 4 12 0x x x x

=± ± ±

→ = = =− −

=

ƒ

‚

202

104 16 240 4 256 4 16

10 10 1012 6

10 5

x+

Comprobación:

+= → + = = →

− − + −= → + = = = →

1 1 2 3 52 2 es solución.

6 4 12 12

6 5 25 10 25 15 5 6es solución.

5 18 36 36 36 12 5

x

x -

−

= =1 2


5x x


4 2 2 2b) 2 9 68 0 equivale a 2 68 0, siendo .x x z z z x+ - = + - = =

− −=

− ± − ± − ±= = =

=

+ ƒ

‚

34 174 2

9 81 544 9 625 9 254 4 4

164

4

z

− −

= → = →

= → = → = ±

2

2

17 17Si no hay solución real.

2 2Si 4 4 2

z x

z x x Las soluciones pedidas son x1 = 2 y x 2 = 2.


4 2a) 9 6 1x x+ = +


4 2 4 2 9 6 1 6 8 0x x x x+ = + → − + =

Ecuación bicuadrada, que resolvemos haciendo el cambio x 2 = z:

2

46 36 32 6 2

6 8 02 2

2

z z z± − ±

− + = → = =ƒ

‚

2

2

Si 4 4 2

Si 2 2 2

z x x

z x x

= → = → = ±

= → = → = ±

Comprobación:

= ±= ± → + − + = − = →

= ±= ± → + − + = − = →

2 son soluciones.2 16 9 24 1 25 25 0

2 son soluciones.2 4 9 12 1 13 13 0

xx

xx

1 2 3 4Las soluciones son 2, 2, 2 y 2.x x x x= = − = = −

b) Multiplicamos ambos miembros por 2x:

2 2 22 8 10 2 10 8 0 5 4 0x x x x x x+ = → − + = → − + = →

± − ± ±→ = = =

5 25 16 5 9 5 32 2 2

x

4

1

Comprobación de las posibles soluciones:

84 4 1 5 4 es solución

8+ = + = →


2+ = + = →

Las soluciones son x1 = 4 y x2 = 1.


a) Efectuamos los paréntesis teniendo en cuenta que todos son productos notables:

( ) ( ) ( )+ + − − + + − = →2 2 22 4 4 1 3 4 4 1 5 4 1 0x x x x x

→ + + − + − + − = →2 2 28 8 2 12 12 3 20 5 0x x x x x

→ + − → + − →2 216 20 6 0 8 10 3 0x x x x= == == == =

− −=

− ± − ± − ±→ = = =

=

ƒ

‚

24 316 2

10 100 96 10 196 10 1416 16 16

4 116 4

x+

−= =1 2

3 1Las soluciones son y .

2 4x x

b) Ecuación bicuadrada en la que podemos extraer x 2 como factor común: (Observa que también se puede hacer con el cambio de variable, y entonces resolver: 4z2 -25z = 0. Compruébalo, y verás como obtienes los mismos resultados)

( )4 2 2 24 25 4 25x x x x- = -

Así:

( ) = → =− = → − = →

− = → = → = ±

2

4 2 2 2

2 2

0 04 25 0 4 25 0 25 5

4 25 04 2

x xx x x x

x x x

= = =1 2 3

5 5Las soluciones son 0 , y .

2 2x x x -

Ejercicio nº 20.- Solución: a) Multiplicamos ambos miembros por x3:

3 33

813 81 3x 27 3x x

x= → = → = → =

Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial:


27x− = − = → =

b) 4 3 1x x+ = − −


4 9 1 6 1 6 1 4 3 1 2x x x x x+ = + − − − → − = → − =

Volvemos a elevar al cuadrado:

( ) 139 1 4 9 9 4 9 13

9x x x x− = → − = → = → =

Comprobamos si es, o no, solución:

13 49 74

9 9 3+ = =

13 4 2 73 1 3 3

9 9 3 3− − = − = − =

=13

Ambos miembros coinciden, luego es la solución buscada.9

x


− + + = → + = →2 22 1 2 10 1 10a)

3 9 3 9 9 9x x x x

→ = → = → = ±2 291 1

9x x x


b) Ecuación bicuadrada; hacemos x2 = z y obtenemos:

−−

± + ±= → = =

=ƒ

‚2

21

248 2304 196 48 5048 49 0

2 298

492

z z z- -

=

= − → = − →= → = → = ±

2

2

Si 1 1 no hay solución real

Si 49 49 7

z x

z x x Las soluciones son x1 = 7 y x2 = −7.

Ejercicio nº 22.- Solución: a) 6 1 3 2x x+ = −


2 2 26 1 9 12 4 4 18 8 0 2 9 4 0x x x x x x x+ = − + → − + = → − + = →

± − ± ±→ = = =

9 81 32 9 49 9 74 4 4

x

=

=

2 14 2

164

4 Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación:

1 6 12 1 1 4 1 2 3 es solución

2 2 2x× + + = + = + = → =

8 24 1 8 25 8 5 13 4 no es soluciónx+ + = + = + = → =

1

La única solución es .2

x =

( )( )b) Multiplicamos ambos miembros por 4 1 1 :x x+ −

( ) ( ) ( )( )2 2 2

2 2 2

4 1 8 1 15 1 1

4 4 8 8 15 15

12 4 15 15 3 4 15 0

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

− + + = + − →

→ − + + = − →

→ + = − → − − = →

18

36

4 16 180 4 196 4 146 6 6

10 56 3

x

=± + ± ±

→ = = =− −

=

ƒ

‚

Comprobamos las soluciones:

++ = + = = →

+ −3 6 3 6 3 12 15

3 es solución.3 1 3 1 4 2 4 4

− −− − +

+ = + = + = = = → −− −

+ − − −

5 10 5 105 10 20 10 30 15 53 3 3 3 es solución.

5 5 2 8 2 8 8 8 4 31 13 3 3 3

1 2


3x x

−= =

1.- Resuelve las ecuaciones y comprueba los resultados:

1) 09

284

322

2

x

x

2) 21311 x

3) 11213 xx

4) 32 33

xx

x

x

5) 3

1259

xx

6) 3363

x

xx

7) 4144

x

xxx

8) 1272

25

x

x

x

x

9) 013132 xx

10) x

xx

212

1 1

11) 141 xx

12) x

xx62

13) 0312 2 xxx

SOLUCIONES

1.- Resuelve las ecuaciones y comprueba los resultados:

Soluciones

1) 09

284

322

2

x

x x1=5, x2=-5, x3= 4, x4=-4

2) 21311 x x= 2601

3) 11213 xx x1=1, x2= 5,

4) 32 33

xx

x

x

x1= i, x2= -i,

5) 3

1259

xx * x= -5

6) 3363

x

xxx= -2

7) 4144

x

xxx

*** x= 5

8) 127

52

25

x

x

x

x

x= 11

9) 013132 xxx= 7

10) x

xx

212

1 1*** x= 1/6

11) 141 xx ** x=25/64

12) x

xx62 *** no existe solución

13) 0312 2 xxx * x= -2

Resolución:

1) 09040041094

400410

928

432 224

2

24

2

2

xxx

)x(

xx

x

x

Soluciones

Ecuaciones

55

25

44

16

2941

2400144141

2

22

2

x

xx

x

xx

x Existen 4 soluciones reales: x 1 = 5, x 2

= -5, x 3 = 4, x4 = -4

4) 3

2 33x

x

x

x

3

2x

x

x-x = x

3 con x 0 x3 +x=0 y x 0 x (x

2+1) = 0 y x 0

La ecuación x (x2+1) = 0 tiene una solución real y dos complejas:

ixx

x

10

2 ; como debe

cumplirse x 0, la ecuación dada tiene dos soluciones complejas, x1 = i, x2 = -i, y no tiene

soluciones reales.

2) 21311 x 913131314131111

xxx)(cuadradoalelevando)(

...................

)()(

..............................................................11 x=2601

9) 013132 xx

7x ...............................26169131313 22)1(

2cuadradoalelevando

xxxxx

* De forma similar se resuelve el 5) y el 13).

3) 11213 xx

.................xxxxxxx)(cuadradoalelevando)( 11

12211212211312113

Elevando al cuadrado y simplificando resulta x2 - 6x + 5 = 0, cuyas soluciones, x=1 y x=5, son

soluciones de la ecuación dada.

** De forma similar se resuelve el 11) 6) 3363

x

xx)( 2

xxx)x()x(xxxxxporndomultiplica

18933633363 2

3

2

)(1

Elevando al cuadrado y simplificando da como solución x= -2.

*** De forma similar se resuelven los ejercicios 7), 10) y 12).

8) 127

52

25

x

x

x

x

5212527

5212512

5212512

22

xx

xx

xx

x

xx

x

)x()x()x()x( 527212512

10314410312103784 21

22 xxxxxx)(

11x

142

2532

61693015432 xxxx

Sistemas de ecuaciones lineales a) h) ñ)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=++−−=−+

=+−

1z4y6x35z3yx2

6z2yx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+−=+−

9z2yx12zy2x313z5yx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+−=−+=+−=−+

1z4y3x3z2yx3

2zyx21z3y2x

b) i) o)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=−−=−+

6zy2x0z4y5x2

2zy3x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+−−=−++

14zyx36t2zyx4tzyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=−+=+−

4z3yx42zy2x31z4y3x2

c) j) p)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++−=+−=−+

0zyx0zyx1zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=−+

=++

0zyx30z5y6x2

0zy3x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=++=−+

0z3yx21z2yx3

1zy2x

d) k) q)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−++−=+−+−=+++

=+−+

6tzy5x3tzy3x42tzy2x2

0tzy3x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−=−=+−

0y2x30z3x20z3y2x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=+−=−

0yx32y2x

1yx2

e) l) r)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=++=−+=−+

1z3y2x5zy4x3

3zyx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=++−=−+−−=−−−=+++

0uz2y3x20uz2yx0uzy3x20uzyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+=−+=+−

0yx40z2y3x20zyx

f) m) s)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+=−+=+−

5zy4x22zyx21zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+=+−=++

0zyx2zyx6zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−−=−−=−−

1z3y9x31z2y6x2

1zy3x

g) n) t)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=+−=−+=++

2zyx8z3y2x2zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+−=+−=+−

5z6y5x1zy3x42z3y2x3

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+−=+−=++

3z2yx13z8y2x47z2y2x6

SOLUCIONES:

a) (1,-1,2) b) (-163/6, 11/3, -109/6) c) (1/2, 1/2, 0) d) (-1,1,0,-2) e) (7,-4,0)f) (1,1,1) g) (1,2,-1) h) (4,1,2) i) (5-1/2 β , -1-α +3/2 β ,α , ) j) (0,0,0)β

k) (3/2 , 9/4 , α α α ) l) (0,0,0,0) m) (1,2,3) n) (1,2,1) ñ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + z,

5z7,

5z5

o) (13/33, 23/33, 19/33) p) (-z+1/5,z+2/5,z) q) incompatible r) (- 1/5 z, 4/5 z, z)s) incompatible t) (1/2,1/2, 3/2).

1 Resolver las siguientes inecuaciones

a)

b)

c)

2 Resolver las inecuaciones:

a) 7x2 + 21x − 28 < 0

b) −x2 + 4x − 7 < 0

c)

3 Resuelve:

a) 𝑥4 + 12𝑥3 − 64𝑥2 > 0

b) x4 − 25x2 − 144 < 0

c) x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

4 Resolver las inecuaciones:

a)

b)

Inecuaciones

SOLUCIONES

1 ....................................................................... Resolver las siguientes inecuaciones

a)

(-∞ 7)

b)

c)

2 .......................................................................Resolver las inecuaciones:

a) 7x2 + 21x − 28 < 0 dividimos por 3

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

b) −x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S =

c)

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

(-∞ , −2 ] [2, +∞)

3 .......................................................................Resuelve:

a) 𝑥4 + 12𝑥3 − 64𝑥2 > 0 sacamos factor común x

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

(-∞, −16] [4, ∞)

b) x4 − 25x2 − 144 < 0

x4 − 25x2 − 144 = 0

(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .

c) x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

x4 − 16x2 − 225 = 0

(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1er factor.

(x2 − 25) ≥ 0

(-∞, −5] [5, +∞)

4 .......................................................................Resolver las inecuaciones:

a)

El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo, pero al tener delante el signo menos. resultará que el demnominador será siempre negativo.

Multiplicando por −1:

(−-∞ , −1] (1, +∞)

b)

[−2 , −1] (1, 2)

a) 6x2x4x 2 sol: 7x

b) 11x3x2

sol: ,14,

c) 12x4x3

sol: 3,2

d) 02x5x

sol: ,25,

e) 32x4x

sol: ,52,

f) 01x2x sol: ,21,

g) 03x2x1x sol: 2,13,

h) 21

x4x3

sol: (-4, -2 )

i) 53x sol: 22,3

5 .......................................................................5......................................................................

Funciones Elementales

FUNCIÓN

EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta:

a) b)

Solución: En una función, a cada valor de x le corresponde, a lo sumo, un valor de y. Por tanto, a) es función, pero b) no lo es.

EJERCICIO 2 : La siguiente gráfica corresponde a la función y ==== f((((x)))):

a)))) ¿Cuál es su dominio de definición?

b)))) Indica los tramos en los que la función es creciente y en los que es decreciente.

c)))) ¿En qué punto tiene la función su máximo?

Solución: a) [0, 14] b) Es creciente en [0, 6] y decreciente en [6, 14]. c) El máximo está en el punto (6, 3).

EJERCICIO 3 : Dadas las funciones:

a)))) Di si son continuas o no. b)))) Halla la imagen de x ==== 1 para cada una de las cuatro funciones.

Solución: a) Solo es continua la II). b) I) x = 1 → y = 2 II) x = 1 → y = 2 III) x = 1 → y no está definida. IV) x = 1 → y = 1

EJERCICIO 4 : Dada la gráfica:

a)))) Di si f ((((x)))) es continua o no. Razona tu respuesta.

b)))) Halla f ((((−−−−1)))), f ((((0)))), f ((((2)))) y f ((((3)))).

Solución: a) No es continua, puesto que en x = 2 no está definida. b) f (−1) = −1; f (0) = 0; f (2) no existe; f (3) = 2

EJERCICIO 5 : Halla f ((((−−−−1)))), f ((((0)))) y f ((((2)))), siendo: (((( ))))

>>>>≤≤≤≤<<<<−−−−++++−−−−≤≤≤≤−−−−

====2x si x

2x1 si 1x

1x si 1x3

xf2

2

Solución: f (−1) = 3 · (−1)2 −1 = 3 · 1 − 1 = 3 − 1 = 2 f (0) = 0 + 1 = 1 f (2) = 2 + 1 = 3

DOMINIO

EJERCICIO 6 : A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio y su recorrido: a) b) c)

d) e) f)

Solución: { }1Dominioa) −−= R

Recorrido = R – {-2}[ )∞+= ,0Dominiob)

Recorrido = [0,∞)

c) Dominio = RRecorrido = (0,∞)

d) Dominio = (0,∞) Recorrido = R

e) Dominio = R – {-2} Recorrido = R – {1}

f) Dominio = (-∞,3]Recorrido = [0,∞)

EJERCICIO 7 : Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

16

1 a)

2 −=

xy xy 21b) +=

4 c)

2 −−−−====

x

xy xy 2d) ====

4

1 e)

2 ++++====

xy

2

1 f)

−−−−====

xy

xxy

2

1 g)

2 −−−−==== xy 36h) ++++====

(((( ))))25

3 i)

−−−−====

xy 42j) −−−−==== xy

9

1 k)

2 −−−−====

xy 2l) −−−−==== xy

22

m)x

xy

++++==== 13n) −−−−==== xy

+=

1ñ)

xy

x

=− 2

1o)

3y

x x= −2p) 1y x

( ) =

− 2

2q)

3

xy

x

Solución:

{ }4,4 Dominio416x16x016x 22 −−=→±=±=⇒=⇒=− Ra)

∞+

−=→

−≥⇒−≥⇒≥+ ,

2

1Dominio

2

1x1x20x21 b)

{ }2,2 Dominio2x4x4x04x 22 −−=→±=⇒±=⇒=⇒=− Rc)

[ )∞+=→≥⇒≥ 0,Dominio0x0x2d)

RR =→∈≠+ Dominioe x todopara04x) 2

( )∞+=→>⇒>− ,2 Dominio2x02xf)

( ) { }2,0 Dominio2x

0x02xx0x2x2 −=

==

→=−⇒=− Rg)

) 2,[ Dominio2x6x30x36 ∞+−=→−≥⇒−≥⇒≥+h)

( ) { }5 Dominio 5x05x 2 −=→=⇒=− Ri)

[ )∞+→≥⇒≥⇒≥− ,2 Dominio 2x4x204x2)j

{ }3,3R39x9x09x 22 −−=→±=±=⇒=⇒=− Dominiok)

[ ) ∞+=→≥⇒≥− 2, Dominiol) 2x02x

{ } 0 R Dominio00m) 2 −=→=⇒= xx

+∞=→≥⇒≥⇒≥− ,3

1

3

1x1x301x3 Dominion)

( ) 0 0,x > → = +∞ñ) Dominio

( ) { }2 0 3 0 3 0 Dominio 0, 3

3

xx x x x

x

=− = ⇒ − = → = − =

Ro)

( ] [ )2p) 1 0 1,x − ≥ → = −∞ − ∪ +∞Dominio , 1

( ) { }23 0 3 3x x− = ⇒ = → = −Rq) Dominio

EJERCICIO 8 : Tenemos una hoja de papel de base 18,84 cm y altura 30 cm. Si recortamos por una línea paralela a la base, a diferentes alturas, y enrollamos el papel, podemos formar cilindros de radio 3 cm y altura x:

El volumen del cilindro será: xxπV 28,2632 =××=¿Cuál es el dominio de definición de esta función?

Solución: ( ).,x 300 Dominio tanto, Por cm. 30 y 0 entre valores tomar puede =

EJERCICIO 9 : De un cuadrado de lado 10 cm se recorta una tira de x cm en la base y otra de la misma : )(10 lado de cuadrado nuevo un seobteniéndo altura, la en longitud x−

El área de este nuevo cuadrado será: ( )210 xA −=

¿Cuál es el dominio de definición de esta función?

Solución: ( ).,x 100 Dominio tanto, Por cm. 10 y 0 entre valores tener puede =

EJERCICIO 10 : Vamos a considerar todos los rectángulos de 30 cm de perímetro. Si llamamos x a la longitud de la base, el área será:

( )xxA −= 15 ¿Cuál es el dominio de definición de esta función?

Solución: ( ).,x 150 Dominio tanto, Por cm. 15 y 0 entre valores tomar puede =

FUNCIONES LINEALES

EJERCICIO 11 : Representa gráficamente:

a) 223

−= xy b) 3,50,5 +−= xy c) 153

+−

= xy d) ( )524 x

xf−

=

Solución: a) b) c) d)

EJERCICIO 12 : ( ) ( ). 3,2 y43,puntos los por pasa que recta la de ecuación la Escribe −−

Solución: La pendiente de la recta es: ( )

5

7

5

7

32

43m −=

−=

−−−−

=

La ecuación será: ( )5

1x

5

7y3x

5

74y +

−=⇒−

−=+

EJERCICIO 13 : Escribe la ecuación de las rectas cuyas gráficas son las siguientes: a) b)

Solución:

a) ( ) ( ) :será pendiente Suy puntos los por pasa recta la que Vemos .3,4 1,1 3

2

14

13m =

−−

=

La ecuación será: ( )3

1x

3

2y1x

3

21y +=⇒−=−

b) ( ) ( ) :será pendiente Su 8050, y 20,0 puntos los por pasa recta la que Observamos .5

6

50

60

050

2080m ==

−−

=

Por tanto, su ecuación es: 2056

+= xy

EJERCICIO 14 : ( ) .31

es pendiente cuya y2,1 por pasa que recta la de ecuación la Halla −−

Solución:

Escribimos la ecuación punto−pendiente: ( )1x3

12y +−=−

3

5x

3

1y +

−=⇒

FUNCIONES CUADRÁTICAS

EJERCICIO 15 : Representa gráficamente las funciones:

a) 142 −+−= xxy b) ( ) 31 2 −+= xy c) 42 +−= xy d) ( ) xxxf 42 2 +−=

Solución:

a) • Hallamos el vértice: ( ).32, Punto3224

2→=→=

−−

=−

= yab

x

• Puntos de corte con los ejes:

=−

−±−=→=−+−→=→

24164

0140 eje el Con 2 xxxyX

( )( )

→=→=

−±−

=0;73,3 Punto73,3x

0;27,0 Punto27,0x

2

124

( )1,0 Punto1y0x Y eje elCon −→−=→=→• Tabla de valores alrededor del vértice:

X 0 1 2 3 4 Y -1 2 3 2 -1

• La gráfica es:

b) • Hallamos el vértice: ( ).31,- Punto3-122

2−→−=→=

−=

−= y

ab

x

• Puntos de corte con los ejes:

02x2x031x2x0y X eje el Con 22 =−+⇒=−++→=→

( )( )

−→−=

→=+±−=

0;73,2 Punto73,2x

0;73,0 Punto73,0x

2

842x

( )2,0 Punto2y0x Y eje elCon −→−=→=→• Hallamos algún otro punto:

X -3 -2 -1 0 1 Y 1 -2 -3 -2 1

• La gráfica es:

c) Hallamos el vértice: V ( ).0,4 Punto4-020

2→=→==

−= y

ab

x

• Puntos de corte con los ejes:Con el eje X � y = 0 � –x 2 + 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 �

( ) ( )0,2 0,2 Puntos24 y−→±=±=→ xCon el eje Y � x = 0 � y = 4 � Punto (0,4) • Hallamos algún otro punto:

X -2 -1 0 1 2 Y 0 3 4 3 0

• La gráfica es:

d) • El vértice de la parábola es: ( )2,1 Punto2144

2→=→=

−−

=−

= yab

x

• Puntos de corte con los ejes: Con el eje X � y = 0 � –2x 2 + 4x = 0 � x(–2x + 4) = 0

( )( )

→=→=+−

→=

0,2 Punto2042

0,0 Punto0

xx

x

Con el eje Y � x = 0 � y = 0 � Punto (0,0) • Hallamos algún otro punto:

X -1 0 1 2 3 Y -6 0 2 0 -6

• La gráfica es:

RECOPILACIÓN RECTAS Y PARÁBOLAS

EJERCICIO 16 :

a) Representa gráficamente: 321

+−= xy

b) Halla el vértice de la parábola: 8102 2 +−= xxy

Solución: a) Hallamos dos puntos de la recta:

x y

0 3

2 2

La gráfica será:

b) La abscisa del vértice es:2

5

4

10

a2

bx ==

−=

La ordenada es:2

98

2

510

2

52y

2 −=+

−

=

−

2

9,

2

5 punto el es vérticeEl .

EJERCICIO 17 : a)))) Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos ((((−−−−2, −−−−1)))) y ((((1, 3)))), y represéntala. b)))) Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola y ==== −−−−x2 ++++ 4x.

Solución: a)

La pendiente de la recta es:( )( ) 3

4

21

13

21

13m =

++

=−−−−

=

La ecuación será: ( )⇒−=− 1x3

43y

3

5x

3

4y +=

Con los dos puntos que tenemos la podemos representar:

b) Puntos de corte con los ejes:

• Con el eje X: y = 0 → 0 = –x 2 + 4x → x (–x + 4) = 0

→=

=→

0) (4, Punto

0) (0, Punto

4

0

x

x

• Con el eje Y: x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)Los puntos de corte con los ejes son el (0, 0) y el (4, 0)

EJERCICIO 18 : a)))) Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I )))) 2x ++++ y ==== 0 II)))) x −−−− 2y ++++ 1 ==== 0 III)))) y ==== 2 b)))) Representa gráficamente: y ==== x2 −−−− 3x

Solución: 2 pendientex2y I) a) −=→−=

21

pendiente21

21

21

II) =→+=+

= xx

y

III) pendiente = 0 b)

Hallamos el vértice:

−→

−=−=→=

4

9,

2

3

4

9

2

9

4

9y

2

3x

La gráfica sería:

Puntos de corte con los ejes: • Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0.0)

→=→=

=−→=−→=→•0) (3, Punto3x

0) (0, Punto0x0)3x(x0x3x0y X eje elCon 2

Tabla de valores alrededor del vértice:

X 0 1 3/2 2 3 Y 0 -2 -9/4 -2 0

EJERCICIO 19 : a)))) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto ((((−−−−1, 3)))) y tiene pendiente −−−−1. b)))) Representa gráficamente: y ==== −−−−x2 ++++ 4

Solución: a) La ecuación será: y - 3 = − 1 (x + 1) ⇒ y = − x + 2 b)

El vértice es el punto (0, 4). Los puntos de corte con los ejes son: • Con el eje Y → x = 0 → y = 4 → Punto (0, 4)

→=−→−==→=+−→=→•0) (2, Punto2x

0) 2,( Punto24040eje el Con 22 x

xxyX

Tabla de valores alrededor del vértice:

X -2 -1 0 0 1 Y 0 3 4 3 0

La gráfica sería:

EJERCICIO 20 ; a)))) Representa gráficamente: 2 x ++++ y −−−−1 ==== 0 b)))) Halla el vértice de la parábola: y ==== 2x 2 −−−− 8x ++++ 2

Solución: a) Despejamos y : y = −2x + 1 Hallamos dos puntos de la recta y la representamos.

b) La abscisa del vértice es: 248

2==

−=

ab

x

La ordenada es: y = 2 · 4 − 8 · 2 + 2 = 8 − 16 + 2 = −6 El vértice es el punto (2, − 6).

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

EJERCICIO 21 : Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) 4x

3y

++++−−−−

==== b) 23x

1y −−−−

−−−−−−−−

==== c) 5x

21y

−−−−++++−−−−====

Solución: a) Dominio de definición: R – {-4}

Tabla de valores

X -∞ -7 -5 -4- -4+ -3 -1 +∞ Y 0 1 3 +∞ -∞ -3 -1 0

Las asíntotas son la recta y = 0 y la recta x= −4.

b) Dominio de definición: R – {3}

X -∞ 1 2 3- 3+ 4 5 +∞ Y -2 -1,5 -1 +∞ -∞ -3 -2,5 -2

Las asíntotas son las rectas x = 3 e y = −2.

c) Dominio de definición: R – {5}

X -∞ 3 4 5- 5+ 6 7 +∞ Y -1 -2 -3 -∞ +∞ 1 0 -1

. Las asíntotas son las rectas x = 5, y = −1.

FUNCIÓN RADICAL

EJERCICIO 22 : Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = x31 −−−−−−−− b) y = 1x3 −−−− c) y = 13x2 −−−−++++

Solución: a) Dominio de definición: (-∞,0]

Hacemos una tabla de valores:

X -∞ -3 -2 -1 0 Y -∞ -2 -1,45 -0,73 -11

+ ∞

1b) Dominio de definición: ,

3Hacemos una tabla de valores:

X 1/3 1 2 3 +∞ Y 0 1,41 2,24 2,83 +∞

c) Dominio de definición:

+∞− ,

2

3

Tabla de valores:

X -3/2 -1 1/2 3 +∞ Y -1 0 1 2 +∞

FUNCIONES A TROZOS

EJERCICIO 23 : Representa gráficamente:

a)

−≥+−<=

1si42

1si2 2

xx

xxy b)

>≤−=

2si3

2si12

x

xxy c)

( )

−>−

−≤+−=

1si

1si/212 xx

xxy

Solución: a)

parábola. de trozo un tenemos ,1 Si −<x (Vx = 0)

recta. de trozo un tenemos ,1 Si −≥x

La gráfica es:

Tabla de valores:

X -∞ -3 -2 -1 -1 0 +∞ Y +∞ 18 8 2 2 4 +∞

b) parábola. de trozo un es ,2 Si ≤x (Vx = 0)

.horizontal recta de trozo un es ,2 Si >x

Tabla de valores: X -∞ -2 -1 0 1 2 2 3 +∞ Y 0 3 0 -1 0 3 3 3 +∞

La gráfica es:

c) recta. de trozo un es ,1 Si −≤x

parábola. de trozo un es ,1 Si −>x (Vx = 0)

Tabla de valores: X -∞ -2 -1 -1 0 1 2 +∞ Y +∞ 1,5 1 -1 0 -1 -4 -∞

La gráfica es:

FUNCIONES CON VALOR ABSOLUTO

EJERCICIO 24 : Representa gráficamente la función y = |f(x)|, sabiendo que la gráfica de y = f(x) es la siguiente: a) b) c) d) e)

Solución: a) b) c) d) e)

EJERCICIO 25 : Define como funciones "a trozos":

a) 42 += xy b) y = | -x + 3| c)2

1+=

xy d) 23 −= xy e) .

213 +

=x

y

Solución:

a)

−≥+−<−−

=2si42

2si42

xx

xxy b)

≥−<+−

=3si3

3si3

xx

xxy c)

−≥+

−<+

−=

1si2

1

1si2

1

xx

xx

y

d)

≥−

<+−=

32

si23

32

si23

xx

xxy e)

−≥

+

−<

+−

=

31

si2

1331

si2

13

xx

xx

y

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

EJERCICIO 26 : ( )xfy = función la a ecorrespond gráfica siguiente La

A partir de ella, representa: ( ) 3a) −= xfy

( )2b) += xfy

Solución: a) b)

(La gráfica de f(x) no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente la transformación).

EJERCICIO 27 : ( )xfy = de gráfica la de partirA

con struye las gráficas de: ( ) 2a) += xfy

( )xfy −=b)

Solución: a) b)


EJERCICIO 28 : Sabiendo que la gráfica de y = f(x) es la siguiente:

con struye, a partir de ella, las gráficas de: ( )1a) −= xfy

( ) 1b) −= xfy

Solución: a) b)


EJERCICIO 29 : Esta es la gráfica de la función y = f(x).

Representa, a partir de ella, las funciones: ( )2a) −xf

( )xfy −=b)

Solución: a) b)


EJERCICIO 30 : La siguiente gráfica es la de y = f(x).

Representa, a partir de ella, las funciones: ( ) 1a) += xfy

( )1b) += xfy

Solución: a) b)


RECOPILACIÓN

EJERCICIO 31 : Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:

xy32

a) = 32b) 2 −= xy 0,753,5c) −= xy 4d) 2 +−= xy

I) II) III) IV)

Solución: a) III b) I c) II d) IV

EJERCICIO 32 : Asocia a cada una de estas gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:

43

a)2x

y−

= 43

b)x

y−

= 22c) 2 −= xy 22d) −= xy

I) II) III) IV)

Solución: a) II b) I c) IV d) III

EJERCICIO 33 : Asocia a cada una de estas gráficas su ecuación:

41

a)−

=x

y xy 2b) = 21

c) +=x

y 1d) +−= xy

I) II) III) IV)

Solución: a) IV b) III c) I d) II

EJERCICIO 34 : Asocia cada gráfica con su correspondiente ecuación:

31

a) −=x

y 3b) −= xy 23

1c) +

−=

xy 3d) += xy

I) II) III) IV)

Solución: a) III b)II c) I d) IV

PROBLEMAS

EJERCICIO 35 : En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10 °°°°C ==== 50 °°°°F y que 60 °°°°C ==== 140 °°°°F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de °°°°C a °°°°F. Solución: Llamamos x a la temperatura en grados centígrados e y a la temperatura en grados Farenheit. La función que buscamos pasa por los puntos (10, 50) y (60, 140). Será una recta con pendiente:

5

9

50

90

1060

50140m ==

−−

= La ecuación es: ( ) 32x5

9y10x

5

950y +=⇒−=−

EJERCICIO 36 : En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subirá un 2% cada año. Si el primer año se pagan 7200 euros (en 12 recibos mensuales): a)))) ¿Cuánto se pagará dentro de 1 año? ¿Y dentro de 2 años? b)))) Obtén la función que nos dé el coste anual al cabo de x años.

Solución: a) Dentro de 1 año se pagarán 7200 · 1,02 = 7344 euros.

Dentro de 2 años se pagarán 7200 · 1,022 = 7490,88 euros. b) Dentro de x años se pagarán: y = 7200 · 1,02x euros.

EJERCICIO 37 : Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:

x

200 m

a)))) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados? b)))) Construye la función que nos da el área del recinto.

Solución: a)

x x

200 − 2x

( ) 222002200Áreab) xxxx −=−=

EJERCICIO 38 : Una barra de hierro dulce de 30 cm de larga a 0 °°°°C se calienta, y su dilatación viene dada por una función lineal I = a + bt, donde l es la longitud ((((en cm )))) y t es la temperatura ((((en °°°°C)))). a) Halla la expresión analítica de l, sabiendo que l(1)=30,0005 cm y que I(3)=30,0015 cm.b) Representa gráficamente la función obtenida.

Solución: ( )( )

=+⇒==+⇒=

0015,3030015,3030005,300005,301)a

balbal

Restando a la segunda ecuación la primera, queda:

300005,00005,30b0005,30a

0005,0b0010,0b2

=−=−=→=⇒=

Por tanto: tl 0005,030 +=

b)

EJERCICIO 39 : En un cuadrado de lado x cm, consideramos el área de la parte que está coloreada:

a) Halla la ecuación que nos da el valor de dicha área, y, en función del lado del cuadrado, x.b) Representa gráficamente la función obtenida.

Solución:

.2

es triángulo del área Ela)2x

.42

es cuadradito del área El22

xx=

Por tanto, el área total será: 4

342

222 xxxy =+=

b)

EJERCICI 40 : Un tendero tiene 20 kg de manzanas que hoy venderá a 40 céntimos de euro/kg. Cada día que pasa se estropeará 1 kg y el precio aumentará 10 céntimos de euro/kg. a) Escribe la ecuación que nos da el beneficio obtenido en la venta, y, en función de los días que

pasan hasta que vende las manzanas, x. b) Representa la función obtenida, considerando que x puede tomar cualquier valor x ≥≥≥≥ 0,

Solución: a) Si pasan x días:

Tendrá (20x) kg y los venderá a (40+10x)céntimos de euro cada uno.

Por tanto, obtendrá un beneficio de:

( )( )80016010

10402008001040202

2

++−=

−−+=+−=

xxy

xxxxxy

b)

FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

EJERCICIO 1 : :halla1y4

23:funciones siguientes las Dadas 2 ,

xxgxxf

xgf a) xgg b)

Solución:

4

1x34

23x34

21x31xfxgfxgf222

2

a)

2x2x11x2x11x1xgxggxgg 2424222 b)

EJERCICIO 2 : :Calcula1y3

por definidas están y funciones Las2

. xxgxxfgf

xgf a) xfgg b)

Solución:

3

1x2x31x1xfxgfxgf

22

a)

23

x113

x13

xg3

xggxfggxfgg2222

b)

EJERCICIO 3 : Sabiendo que: 2

1y3 2

x

xgxxf Explica cómo se pueden obtener por

composición, a partir de ellas, las siguientes funciones:

23

12

322

x

xqx

xp

Solución: xfgxqxgfxp

EJERCICIO 4 : Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir de f(x) y g(x), siendo: 52y322,2,32 xxqxxpxxgxxf

Solución: xfgxqxgfxp

EJERCICIO 5 : Las funciones f y g están definidas por: .y3

1 xxgxxf

Explica cómo, a

partir de ellas, por composición, podemos obtener: 3

1y3

1

xxqxxp

Solución: xgfxqxfgxp

INVERSA DE UNA FUNCIÓN

EJERCICIO 6 : Esta es la gráfica de la función y = f (x):

.2y0Calcula 11a) ff

. de gráfica la de partir aejes mismos los en Representab) 1 xfxf

Solución: 01 10 porque) 1 ffa

25 porque 521 ff

b)

EJERCICIO 7 : Dada la gráfica de la función y = f (x):

.0y1Calculaa) 11 ff

. de gráfica la de partir a

,x ejes mismos los en tegráficamen Representab) 1

xff

Solución: 1001 porquea) 1 ff

0110 porque1 ff

b)

EJERCICIO 8 : A partir de la gráfica de y = f (x):

.5y3Calcula 11a) ff

xf 1 ejes, mismos los en ,Representab) .

Solución: 31 13 porquea) 1 ff

54 45 porque1 ff

b)

EJERCICIO 9 : Esta gráfica corresponde a la función y = f (x):

A partir de ella: .0y2Calculaa) 11 ff

xf 1 función la ejes, mismos los en ,Representab) .

Solución: 2222 porquea) 1 ff

0220 porque1 ff

b)

EJERCICIO 10 : Halla la función inversa de:

a) 3

12

xxf b) 432 xxf

c) 2

3

xxf d) 5

12

xxf e) 3

72 xxf

Solución: a) Cambiamos x por y, y despejamos la y :

yxyxyxyx

2

132131233

12 Por tanto:

2131

xxf

b) Cambiamos x por y y despejamos la y :

342423324

432 xyxyyxyx

Por tanto: 3421 xxf

c) Cambiamos x por y, y despejamos la y :

xyyxyx 23322

3

Por tanto: xxf 231

d) Cambiamos x por y, y despejamos la y :

215152125

512

xyxyyxyx Por tanto:

2151

xxf

e) Cambiamos x por y y despejamos la y :

yxyxyxyx

7

237237233

72 Por tanto: 7

231 xxf

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS

EJERCICIO 11 : Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:

a) y = 21–x b) xlogy4

1 c) y = 1 – log2 x d) 2

41

x

y e) y = 3x+1

Solución: a) La función está definida y es continua en R.

Hacemos una tabla de valores:

La gráfica es:

X - -2 -1 0 1 2 + Y + 8 4 2 1 ½ 0

b) Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores:

X

41 2

41

1

41

0

41

1

41

2

41

41

X 0 16 4 1 ¼ 1/16 + Y - -2 -1 0 1 2 +

La gráfica es:

c) Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores.

X 2 22 12 02 12 22 2X 0 ¼ ½ 1 2 4 + Y + 3 2 1 0 -1 -

La gráfica será:

d) La función está definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 + Y + 1 ¼ 1/64 1/256 1/1024 0

La gráfica será:

e) La función está definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 + Y 0 1/3 1 3 9 27 +

La gráfica es:

EJERCICIO 12 : Consideramos la gráfica:

a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente.b) ¿Cuál es el dominio de dicha función?c) Estudia la continuidad y el crecimiento.

Solución: a) Es una función exponencial de base mayor que 1, que pasa por los puntos (0, 1), (1, 4)... Su expresión

analítica es y 4x. b) Dominio Rc) Es una función continua y creciente.

EJERCICIO 13 : Considera la siguiente gráfica:

a) Escribe la expresión analítica de la función correspondiente.b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la función e indicacuál es su dominio de definición.

Solución: a) Es una función logarítmica con base menor que 1, que pasa por los puntos (1, 0), (2, 1),

xy :es analíticaexpresión Su 1,21,2,4

21log

,0 Dominio.edecrecient Escontinua. función una Esb)

EJERCICIO 14 : a) ¿Cuál es la expresión analítica de la función correspondiente a esta gráfica?

b) Indica cuál es el dominio de definición y estudia la continuidad y el crecimiento de la función.

Solución:

a) Es una función exponencial con base menor que 1, que pasa por los puntos ( 2, 4), ( 1, 2),

21,1

Su expresión analítica será: x

y

21

e.decrecient Escontinua. Es

Dominiob)

R

EJERCICIO 15 :

a) Halla la expresión analítica de la función cuya gráfica es:

b) Estudia los siguientes aspectos de la función: dominio, continuidad y crecimiento.

Solución: a) Es una función logarítmica que pasa por los puntos ( 1, 0), ( 3, 1), ( 9, 2)... Su expresión analítica será:

xlogy 3

creciente. Escontinua. Es

0 Dominiob)

,

EJERCICIO 16 : Asocia cada una de las siguientes gráficas con su expresión analítica:

xy 3a) x

y

31b) xy 3logc) xy 31logd)

I) II) III) IV)

Solución: a III b IV c II d I

EJERCICIO 17 : Asocia a cada gráfica su ecuación: x

y

32a)

x

y

23b) xlogy 2c) xlogy 21d)

I) II) III) IV)

Solución: a I b IV c II d III

PROBLEMAS FUNCIONES EXPONENCIALES

EJERCICIO 18 : Un trabajador va a ganar, durante el primer año, un sueldo de 15 000 euros, y el aumento del sueldo va a ser de un 2 anual. a) ¿Cuál será su sueldo anual dentro de un año? ¿Y dentro de dos años?b) Halla la expresión analítica que nos da su sueldo anual en función del tiempo (en años)

Solución: a) Dentro de un año ganará: 15 000 · 1,02 15 300 euros

Dentro de dos años ganará: 15 000 · 1,022 15 606 euros. b) Dentro de x años su sueldo será de y euros, siendo: y 15 000 · 1,02x

EJERCICIO 19 : En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subirá un 2% cada año. Si el primer año se pagan 7 200 euros (en 12 recibos mensuales): a) ¿Cuánto se pagará dentro de 1 año? ¿Y dentro de 2 años?b) Obtén la función que nos dé el coste anual al cabo de x años.

Solución: a) Dentro de un año se pagarán 7 200 · 1,02 7 344 euros.

Dentro de un año se pagarán 7 200 · 1,022 7 490,88 euros. b) Dentro de x años se pagarán: y 7 200 · 1,12x euros

EJERCICIO 20 : Una población que tenía inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12 cada año. a) ¿Cuántos individuos habrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?b) Halla la función que nos da el número de individuos según los años transcurridos.

Solución: a) Dentro de un año habrá: 300 · 1,12 336 individuos

Dentro de tres años habrá: 300 · 1,123 421 individuos b) Dentro de x años habrá y individuos, siendo: y 300 · 1,12x (tomando y entero)

EJERCICIO 21 : Un coche que nos costó 12 000 euros pierde un 12 de su valor cada año. a) ¿Cuánto valdrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?b) Obtén la función que nos da el precio del coche según los años transcurridos.

Solución: a) Dentro de un año valdrá: 12 000 · 0,88 10 560 euros

Dentro de tres años valdrá: 12 000 · 0,883 8 177,66 euros b) Dentro de x años valdrá y euros, siendo: y 12 000 · 0,88x

EJERCICIO 22 : Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3 anual. a) ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? ¿Y dentro de 4 años?b) Halla la expresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en funcióndel tiempo transcurrido (en años).

Solución: a) Dentro de un año tendremos: 2 000 · 1,03 2 060 euros

Dentro de cuatro años tendremos: 2 000 · 1,034 2 251,02 euros b) Dentro de x años tendremos y euros, siendo: y 2 000 · 1,03x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 23 : Representa la siguiente función:

a) y = 2 tg x b) y = 1 – sen x c) xcos y d) y = 3 cos x e) xseny 2

Solución:

a) entero. número un es donde ,2

en definida está no función esta , que igual Al kkxxtgy

En estos valores hay asíntotas verticales. Además, es una función periódica de período . Hagamos una tabla con algunos valores:

La gráfica sería:

b) Hacemos una tabla de valores:

y, teniendo en cuenta que es una función periódica, la representamos:

c) La gráfica es como la de y cos x; pero la parte que estaba por debajo del eje X, ahora está por encima.Hagamos una tabla de valores:

La gráfica será la siguiente:

d) Hacemos una tabla de valores:

y, teniendo en cuenta que es periódica, la representamos:

e) Hacemos una tabla de valores:

Teniendo en cuenta que es periódica, la representamos:

EJERCICIO 24 a) A la siguiente gráfica le corresponde una de estas expresiones analíticas. ¿Cuál?

x senyxcos yx tg y xtgyx tgyx tgy

2

2

b) Di para qué valores está definida la función anterior, cuál es su periodo y estudia su continuidad.

Solución:

2

a) xtgy

b) Está definida en todo R, salvo en los múltiplos de . Es periódica de periodo . Es continua en los valores en que está definida.


a) Di cuál de estas expresiones analíticas le corresponde: x senyxcos yx senyxcos y 22

b) Di cuál es su dominio de definición, cuál es su periodo y qué valores mínimo y máximo alcanza.Solución:

xsenya)1.y 1 entre valoresmafunción to La2 Periodo Dominio b) R

EJERCICIO 26 a) Di cuál de las siguientes expresiones se corresponde con la gráfica:

b) Para la función anterior, di cuál es su dominio, estudia su continuidad e indica cuál es su periodo.

Solución: xtgy 2a)

.2

periodo de periódica Es definida. está que losen puntos losen continua Es

enteros. números k ,2

k4

abscisas lasen salvo ,en definida está decir, es ,2

k4

Dominio b)

siendoRR

EJERCICIO 27 : Considera la siguiente gráfica y responde:

a) ¿Cuál de estas es su expresión analítica?xsenyxcosyxcosyxseny 3333

b) ¿Cuál es su dominio de definición? c) ¿Es una función continua?d) ¿Es periódica? ¿Cuál es su periodo? e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?

Solución: a) y= 3 – cos x b) Dominio = R c) Sí, es continua.d) Es periódica de período 2, pues la gráfica se repite cada 2 unidad.e) Los valores de la función están entre 2 y 4.


a) ¿Cuál de estas expresiones analíticas le corresponde?x tgyxcos yx senyx seny 2222

b) ¿Cuál es su dominio de definición? c) ¿Es una función continua?d) ¿Cuál es su periodo? e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?

Solución: a) y= sen 2x b) Dominio = R c) Sí, es continua.d) Su periodo es , pues la gráfica se repite cada unidades.e) Los valores están entre 1 y 1.

EJERCICIO 29 : Obtén el valor de estas expresiones en grados:

21a) arcseny

22b) arccosy

23a) arccosy 1b) arctgy

21a) arcseny 1b) arccosy 1a) arccosy 3b) arctgy

23a) arcseny

22b) arccosy

Solución: 30a) y 45b) y 30a) y 45 b) y 30a) y

0b) y 180a) y 60b) y 60a) y 13545180b) y

Límites de funcionesEjercicio nº 1.-

A partir de la gráfica de f(x), calcula:

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 1

c) xflimx 1

d) xflimx 5

e)

Ejercicio nº 2.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 3

c) xflimx 3

d) xflimx 0

e)

Ejercicio nº 3.-

Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 2

c) xflimx 2

d) xflimx 0

e)

46

8Y

X

2

6 824 28 62

4

6

4

46

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

46

8

2

6 824 28 62

4

6

4

Y

X

Ejercicio nº 4.-

Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 3

c) xflimx 3

d) xflimx 0

e)

Ejercicio nº 5.-

Sobre la gráfica de f(x), halla :

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 2

c) xflimx 2

d) xflimx 0

e)

Ejercicio nº 6.-

Representa gráficamente los siguientes resultados:

xflimx

a)

xglimx

b)

Ejercicio nº 7.-

:que sabemos,31 función la Para

x

xxf

3

1y31

33 x

xlim

x

xlim

xx

Representa gráficamente estos dos límites.

46

8

2

26 82 44 28 6

4

6

Y

X

46

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

Ejercicio nº 8.-

Representa gráficamente:

1a)

xflimx

0b)

xglim1x

Ejercicio nº 9.-

Representa los siguientes límites:

xflimxflimxx 22

Ejercicio nº 10.-

Representa en cada caso los siguientes resultados:

2a)

xflim x

xglimx

b)

Ejercicio nº 11.-

Calcula: 2

23a) xlim

x

xlimx

21b)8

xsenlimx

2

c)

Ejercicio nº 12.-

Halla los límites siguientes:

13 a) 22

xx

xlimx

xlimx

36b)1

xloglimx 1

c)

Ejercicio nº 13.-

Resuelve:

42a)

32

2

xxlimx

1

23b)

x

xlim

xtglimx

4

c)

Ejercicio nº 14.-

3. en y 1 en23

función la de límite el Calcula4

xxxx

xf

Ejercicio nº 15.-

Calcula los siguientes límites:

324a) 23 xx

limx

9b) 2

3

xlim

x

xcoslimx 0

c)

Ejercicio nº 16.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x 2:

22 21

x

xlimx

Ejercicio nº 17.-

la Representa2. en )(de límite el calcula,65

1función la Dada 2

xxf

xx

xxf

información que obtengas.

Ejercicio nº 18.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:

91

23 xlimx

Ejercicio nº 19.-


xx

xlimx 2

1220

Ejercicio nº 20.-

Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:

3

1

x

xf

Ejercicio nº 21.-

funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula x x y representa la información que obtengas:

3

421 2 xxxf

Ejercicio nº 22.-

tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x la información que obtengas:

122

a)3

xx

xf

5

23b)32 xx

xf

Ejercicio nº 23.-

Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

42a) xxlimx

x

xxlimx

223

b)23

Ejercicio nº 24.-

Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:

x

xxlimx 43

a)2

x

xxlimx 43

b)4

Ejercicio nº 25.-

Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:

24a) xlimx

24b) xlimx

Ejercicio nº 26.-

Calcula y representa gráficamente la información obtenida

1243

2

2

1

xx

xxlimx

Ejercicio nº 27.-

Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

13354

23

2

1

xxx

xxlimx

Ejercicio nº 28.-

Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.

618122

2

2

3

xx

xxlimx

Ejercicio nº 29.-

Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:

34

2

0 22

xx

xlimx

Ejercicio nº 30.-

Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:

4242

2

x

xlimx

Ejercicio nº 31.-

Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos

311a)x

limx

2

33b)x

xlimx

Ejercicio nº 32.-

Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

3

2

213a)

x

xlimx

12b) 2

3

x

xlimx

Ejercicio nº 33.-

Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

4

4

342a)

x

xxlimx

32

2

1123b)

xx

xxlimx

Ejercicio nº 34.-

, funciónsiguientelade cuando ycuando límite el Halla x x

y representa los resultados que obtengas:

31

2x

xxf

Ejercicio nº 35.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

x

xlimx 35

3a)

x

xlimx 35

3b)

Continuidad

Ejercicio nº 36.-

A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

46

8

2

26 82 44 28 6

46

Y

X

Ejercicio nº 37.-

:xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La

Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

Ejercicio nº 38.-

¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?

a) b)

4

6

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

4

6

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.

Ejercicio nº 39.-

:xf de gráfica la Dada

46

8

2

6 82 44 28 6246

Y

X

a) ¿Es continua en x 1?

46

8Y

X

2

6 824 28 62

4

6

4

b) ¿Y en x 2?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.

Ejercicio nº 40.-

:xf función la de gráfica la es Esta

a) ¿Es continua en x = 2?b) ¿Y en x 0?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

Ejercicio nº 41.-

:1 en continua seaque para de valor el Halla xxf k

1si

1si12xk

xxxf

Ejercicio nº 42.-

Estudia la continuidad de:

1si131si22

xx

xxxxf

Ejercicio nº 43.-

Comprueba si la siguiente función es continua en x 0

0si2

20si12 2

xx

xxxf

46

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

Ejercicio nº 44.-

Averigua si la siguiente función es continua en x 2:

2si2

2si2xx

xxxf

Ejercicio nº 45.-

Estudia la continuidad de la función:

4si15

4si3

1

2 xx

xx

xf

SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES Ejercicio nº 1.-

A partir de la gráfica de f(x), calcula:

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 1

c) xflimx 1

d) xflimx 5

e)

Solución:

xflimx

a)

xflimx

b) 2 c)1

xflimx

3 d)1

xflimx

0 e)5

xflimx

Ejercicio nº 2.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 3

c) xflimx 3

d) xflimx 0

e)

Solución:

0 a)

xflimx

xflimx

b)

xflimx 3

c)

xflimx 3

d) 1 e)0

xflimx

46

8Y

X

2

6 824 28 62

4

6

4

46

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

Ejercicio nº 3.-

Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 2

c) xflimx 2

d) xflimx 0

e)

Solución:

xflimx

a)

xflimx

b) 2 c)2

xflimx

4 d)2

xflimx

0 e)0

xflimx

Ejercicio nº 4.-

Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 3

c) xflimx 3

d) xflimx 0

e)

Solución:

0 a)

xflimx

0 b)

xflimx

xflimx 3

c)

xflimx 3

d) 1 e)0

xflimx

46

8

2

6 824 28 62

4

6

4

Y

X

46

8

2

26 82 44 28 6

4

6

Y

X

Ejercicio nº 5.-

Sobre la gráfica de f(x), halla :

xflim x

a) xflimx

b) xflimx 2

c) xflimx 2

d) xflimx 0

e)

Solución:

1 a)

xflimx

1 b)

xflimx

xflimx 2

c)

xflimx 2

d) 1 e)0

xflimx

Ejercicio nº 6.-

Representa gráficamente los siguientes resultados:

xflimx

a)

xglimx

b)

Solución:

a)

b)

Ejercicio nº 7.-

:que sabemos,31 función la Para

x

xxf

3

1y31

33 x

xlim

x

xlim

xx

Representa gráficamente estos dos límites.

46

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

Solución:

3

Ejercicio nº 8.-

Representa gráficamente:

1a)

xflimx

0b)

xglim1x

Solución:

a) 1

o bien

1

b) Por ejemplo:

1

Ejercicio nº 9.-

Representa los siguientes límites:

xflimxflimxx 22

Solución:

2

Ejercicio nº 10.-

Representa en cada caso los siguientes resultados:

2a)

xflim x

xglimx

b)

Solución:

a) 2

o bien

2

b)

Ejercicio nº 11.-

Calcula: 2

23a) xlim

x

xlimx

21b)8

xsenlimx

2

c)

Solución:

2553a) 22

2

xlim

x

54116121b)8

xlimx

12

lim)2

senxsencx

Ejercicio nº 12.-

Halla los límites siguientes:

13 a) 22

xx

xlimx

xlimx

36b)1

xloglimx 1

c)

Solución:

71

1241

13

22

xx

xlimx

a)

3936361

xlimx

b)

011

logxloglimx

c)

Ejercicio nº 13.-

Resuelve:

42a)

32

2

xxlimx

1

23b)

x

xlim

xtglimx

4

c)

Solución:

02242

a)32

2

xxlimx

3133b) 11

2

x

xl im

14

c)4

tgxtglimx

Ejercicio nº 14.-

3. en y 1 en23

función la de límite el Calcula4

xxxx

xf

Solución:

61

21

31

23

4

1

xxlimx

251

2327

23

4

3

xxlimx

Ejercicio nº 15.-

Calcula los siguientes límites:

324a) 23 xx

limx

9b) 2

3

xlim

x

xcoslimx 0

c)

Solución:

92

184

3694

324 a) 23

xx

limx

00999 b) 2

3

xlim

x

10 c)0

cosxcoslimx

Ejercicio nº 16.-


22 21

x

xlimx

Solución:

222222 21

21

21

x

xlim

x

xlim

x

xlim

xxx

2

Ejercicio nº 17.-

la Representa2. en )(de límite el calcula,65

1función la Dada 2

xxf

xx

xxf

información que obtengas.

Solución:

321

651

2

xx

x

xx

x

Calculamos los límites laterales:

65

132

1222 xx

xlim

xx

xlim

xx

2

Ejercicio nº 18.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:

91

23 xlimx

Solución:

331

91

323

xxlim

xlim

xx


91

91

2323 xlim

xlim

xx

3

Ejercicio nº 19.-


xx

xlimx 2

1220

Solución:

212

212

020

xx

xlim

xx

xlim

xx


xx

xlim

xx

xlim

xx 212

212

2020

Ejercicio nº 20.-

Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:

3

1

x

xf

Solución:

303 xx


3

13

133 x

limx

limxx

3

Ejercicio nº 21.-

funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula x x y representa la información que obtengas:

3

421 2 xxxf

Solución:

3421

3421 22 xx

limxx

limxx

Ejercicio nº 22.-

tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x la información que obtengas:

122

a)3

xx

xf

5

23b)32 xx

xf

Solución:

1

22a)

3xxlim

x

523b)

32 xxlim

x

Ejercicio nº 23.-

Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

42a) xxlimx

x

xxlimx

223

b)23

Solución:

42a) xxlimx

x

xxlimb

x2

23)

23

Ejercicio nº 24.-

Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:

x

xxlimx 43

a)2

x

xxlimx 43

b)4

Solución:

x

xxlim

x 43a)

2

x

xxlim

x 43b)

4

Ejercicio nº 25.-

Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:

24a) xlimx

24b) xlimx

Solución:

24a) xlimx

24b) xlimx

Ejercicio nº 26.-

Calcula y representa gráficamente la información obtenida

1243

2

2

1

xx

xxlimx

Solución:

14

141

1243

1212

2

1

x

xlim

x

xxlim

xx

xxlim

xxx


1

414

11 x

xlim

x

xlim

xx

1

Ejercicio nº 27.-

Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

13354

23

2

1

xxx

xxlimx

Solución:

213123

2

1 15

151

13354

x

xlim

x

xxlim

xxx

xxlim

xxx

1

Ejercicio nº 28.-

Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.

618122

2

2

3

xx

xxlimx

Solución:

0232

2332

618122

3

2

32

2

3

x

xlim

xx

xlim

xx

xxlim

xxx

3

Ejercicio nº 29.-

Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:

34

2

0 22

xx

xlimx

Solución:

22

22

22

03

2

034

2

0

xxlim

xx

xlim

xx

xlim

xxx


22

22

00 xxlim

xxlim

xx

Ejercicio nº 30.-

Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:

4242

2

x

xlimx

Solución:

224

22

2222

424

22

2

2

xlim

x

xxlim

x

xlim

xxx

2

2

Ejercicio nº 31.-

Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos

311a)x

limx

2

33b)x

xlimx

Solución:

0

11a)

3

xlim

x

2

33b)x

xlim

x

Ejercicio nº 32.-

Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

3

2

213a)

x

xlimx

12b) 2

3

x

xlimx

Solución:

0

213a)3

2

x

xlim

x

12b)

2

3

x

xlim

x

Ejercicio nº 33.-

Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

4

4

342a)

x

xxlimx

32

2

1123b)

xx

xxlimx

Solución:

31

31

342a)4

4

x

xxlim

x

1/3

01

123b)32

2

xx

xxlim

x

Ejercicio nº 34.-

, funciónsiguientelade cuando ycuando límite el Halla x x

y representa los resultados que obtengas:

31

2x

xxf

Solución:

0

120

12

33

x

xlim

x

xlim

xx

Ejercicio nº 35.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

x

xlimx 35

3a)

x

xlimx 35

3b)

Solución:

133

353a) x

xlim

x

1

135

3b) x

xlim

x

1

Continuidad

Ejercicio nº 36.-

A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

46

8

2

26 82 44 28 6

46

Y

X

Solución:

En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

Ejercicio nº 37.-

:xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La

Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.

46

8Y

X

2

6 824 28 62

4

6

4

Solución:

En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que xflimxflim

xx

11 .

En x 2 sí es continua.

Ejercicio nº 38.-

¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?

a) b)

4

6

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

4

6

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.

Solución:

a) No es continua en x 2; aunque esté definida en x 2, tiene el punto desplazado. Es una xflim

x 2 existe porque evitable idaddiscontinu

. b) Sí es continua en x 2.

Ejercicio nº 39.-

:xf de gráfica la Dada

46

8

2

6 82 44 28 6246

Y

X

a) ¿Es continua en x 1?b) ¿Y en x 2?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.

Solución:

a) Sí es continua en x 1.b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una

discontinuidad evitable.

Ejercicio nº 40.-

:xf función la de gráfica la es Esta

a) ¿Es continua en x = 2?b) ¿Y en x 0?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

Solución:

a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita enese punto (una asíntota vertical).

b) Sí es continua en x 0.

Ejercicio nº 41.-

:1 en continua seaque para de valor el Halla xxf k

1si

1si12xk

xxxf

Solución:

31

312

1

11

f

kxflim

xlimxflim

x

xx

11 en continua sea que Para11

fxflimxflim,xxx

.

Ha de ser k 3.

46

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

Ejercicio nº 42.-

Estudia la continuidad de:

1si131si22

xx

xxxxf

Solución:

Si x 1, la función es continua. Si x 1:

213

12

11

2

11

xlimxflim

xxlimxflim

xx

xx

punto. ese en límite tiene no decir, Esporque1 en continua es No11

.xflimxflimxxx

Ejercicio nº 43.-

Comprueba si la siguiente función es continua en x 0

0si2

20si12 2

xx

xxxf

Solución:

.0 porque0 en continua Es

10

12

2

112

000

2

00

fxflimx

f

xlimxflim

xlimxflim

xxx

xx

Ejercicio nº 44.-

Averigua si la siguiente función es continua en x 2:

2si2

2si2xx

xxxf

Solución:

.fxflimx

f

xlimxflim

xlimxflim

xxx

xx

2porque2 en continua Es

42

42

42

222

22

Ejercicio nº 45.-

Estudia la continuidad de la función:

4si15

4si3

1

2 xx

xx

xf

Solución:

Si x 4, la función es continua. Si x 4:

.4porque4 x en continua es También

14

115

13

1

4

2

44

44

fxflim

f

xlimxflim

xlimxflim

xxx

xx

Asíntotas y Ramas parabólicasEjercicio nº 1.-

Halla las asíntotas verticales de:

241x

xf

y sitúa la curva respecto a ellas.

Ejercicio nº 2.-

Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

112

2

x

xxf

Ejercicio nº 3.-


2

2

22

x

xxf

Ejercicio nº4.-

Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

2

32

xx

xxf

Ejercicio nº 5.-

Dada la función:

12

12

xx

xf

halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.

Ejercicio nº 6.-

:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x

2

3 xxxf

Representa gráficamente los resultados obtenidos.

Ejercicio nº 7.-

la representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x

información que obtengas:

42a) xxf

2b) xxxf

Ejercicio nº 8.-

los representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x

resultados que obtengas:

31a) xxf

xxxf 2b)

Ejercicio nº 9.-

representa yfunción siguiente la deycuando infinitas, ramas las Halla xx

los resultados obtenidos:

xxx

xf 223

23

Ejercicio nº 10.-

ientescorrespond ramas lasrepresenta ycuando ycuando límites los Halla ,x x

para la función:

33 xxf

Ejercicio nº 11.-

y cuando ycuando función, siguiente la de entocomportami el Estudia ,x x representa las ramas que obtengas:

12

2 23

x

xxxf

Ejercicio nº 12.-

:

x

x cuando ycuando función siguiente la de entocomportami el representa yEstudia

2

41x

xxf

Ejercicio nº 13.-

yfunción siguiente la de cuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x

representa los resultados que obtengas:

1

22

4

x

xxxf

Ejercicio nº 14.-

:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,xx

x

xxxf

12 3

Representa la información obtenida.

Ejercicio nº 15.-

Dada la función:

313

x

xxf

resultados los representa ycuando ycuando infinitas, ramas sus halla ,xx

obtenidos.

Ejercicio nº 16.-

:x x cuando ycuando función siguiente la de entocomportami el representa yEstudia

x

xxf

231

Ejercicio nº 17.-

ycuando ycuando función, siguiente la de entocomportami el Estudia ,xx representa las ramas que obtengas:

22

12

x

xxf

Ejercicio nº 18.-

sitúa yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,xx

la curva respecto a ellas:

2

x

xxf

Ejercicio nº 19.-

yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x


112

2

2

x

xxf

Ejercicio nº 20.-

Dada la función:

3

21x

xxf

Estudia su comportamiento en +∞ 𝒚 − ∞

Ejercicio nº 21.-

La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:

122

x

xxxf

Ejercicio nº 22.-

Dada la función:

2

12 2

x

xxf

halla su asíntota oblicua y representa la posición de la curva respecto a ella.

Ejercicio nº 23.-

a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

223 2

x

xxf

b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.

Ejercicio nº 24.-

Halla la asíntota oblicua de la siguiente función y representa la posición de la curva respecto a ella:

1

22

3

x

xxf

Ejercicio nº 25.-

.xx cuando ycuando función siguiente la de entocomportami el representa yEstudiaSi tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a ella:

12

3

x

xxf

SOLUCIONES EJERCICIOS DE ASÍNTOTAS Y RAMAS

Ejercicio nº 1.-

Halla las asíntotas verticales de:

241x

xf

y sitúa la curva respecto a ellas.

Solución:

.xxx 2204 2 , Las asíntotas verticales son x 2 y x 2.

Posición de la curva respecto a ellas:

xxx

221

41

2

2222 41

41

xlim

xlim

xx

2222 41

41

xlim

xlim

xx

2 2

Ejercicio nº 2.-


112

2

x

xxf

Solución:

.1;1012 xxx

Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.

Posición de la curva respecto a ellas:

1

1211

12211 x

xlim

xx

xlim

xx

1

12112

2121 x

xlim

x

xlim

xx

11

Ejercicio nº 3.-


2

2

22

x

xxf

Solución:

202 2 xx

Solo tiene una asíntota vertical: x 2

Posición de la curva respecto a la asíntota:

2

2

22

2

2 22

22

x

xlim

x

xlim

xx

Ejercicio nº4.-

Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

2

32

xx

xxf

Solución:

2

1

2811022

x

x

xxx

Las asíntotas verticales son x 1 y x 2.

Posición de la curva respecto a las asíntotas:

213

23

2

xx

x

xx

x

2

32

32121 xx

xlim

xx

xlim

xx

2

32

32222 xx

xlim

xx

xlim

xx

2

21

Ejercicio nº 5.-

Dada la función:

12

12

xx

xf

halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.

Solución:

10122 xxx

Solo tiene una asíntota vertical: x 1

Posición de la curva respecto a la asíntota:

22 11

121

xxx

2121 1

11

1x

limx

limxx

1

Ejercicio nº 6.-

:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x

2

3 xxxf

Representa gráficamente los resultados obtenidos.

Solución:

2

3 xxlim

x

2

3 xxlim

x

Ejercicio nº 7.-

la representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x

información que obtengas:

42a) xxf

2b) xxxf

Solución:

42a) xlimx

2) xxlimbx

Ejercicio nº 8.-

los representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x

resultados que obtengas:

31a) xxf

xxxf 2b)

Solución:

31a) xlimx

xxlimx

2b)

Ejercicio nº 9.-

representa yfunción siguiente la deycuando infinitas, ramas las Halla xx

los resultados obtenidos:

xxx

xf 223

23

Solución:

xxx

lim

xxx

lim

x

x

223

22323

23

Ejercicio nº 10.-

ientescorrespond ramas lasrepresenta ycuando ycuando límites los Halla ,x x

para la función:

33 xxf

Solución:

33 33 xlimxlimxx

Ejercicio nº 11.-

y cuando ycuando función, siguiente la de entocomportami el Estudia ,x x representa las ramas que obtengas:

12

2 23

x

xxxf

Solución:

122 23

x

xxlim

x

122 23

x

xxlim

x

Ejercicio nº 12.-

:

x

x cuando ycuando función siguiente la de entocomportami el representa yEstudia

2

41x

xxf

Solución:

2

4

2

4

1

1

x

xlim

x

xlim

x

x

Ejercicio nº 13.-

yfunción siguiente la de cuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x


1

22

4

x

xxxf

Solución:

12

2

4

x

xxlim

x

12

2

4

x

xxlim

x

Ejercicio nº 14.-

:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,xx

x

xxxf

12 3

Representa la información obtenida.

Solución:

x

xxlim

x

xxlim

x

x

12

12

3

3

Ejercicio nº 15.-

Dada la función:

313

x

xxf

resultados los representa ycuando ycuando infinitas, ramas sus halla ,xx

obtenidos.

Solución:

313

x

xlim

x

313

x

xlim

x

Ejercicio nº 16.-

:x x cuando ycuando función siguiente la de entocomportami el representa yEstudia

x

xxf

231

Solución:

32

31

313

231

x

xlim

x

xlim

x

x

3

Ejercicio nº 17.-

ycuando ycuando función, siguiente la de entocomportami el Estudia ,xx representa las ramas que obtengas:

22

12

x

xxf

Solución:

022

1

022

1

2

2

x

xlim

x

xlim

x

x

Ejercicio nº 18.-

sitúa yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,xx

la curva respecto a ellas:

2

x

xxf

Solución:

Ejercicio nº 19.-

yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x


112

2

2

x

xxf

Solución:

2112

2112

2

2

2

2

x

xlim

x

xlim

x

x

2

12

lim

12

lim

x

x

x

x

x

x

1

Con calculadora podemos comprobar que:

la de debajo por va curva la , positivos y grandesmuy valores Dando x

asíntota y 2. la de debajo por va curva la , negativos y grandesmuy valores Dando x

asíntota y 2.

Ejercicio nº 20.-

Dada la función:

3

21x

xxf

Estudia su comportamiento en +∞ 𝒚 − ∞

Solución:

01

01

3

2

3

2

x

xlim

x

xlim

x

x

Ejercicio nº 21.-

La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:

122

x

xxxf

Solución:

1 :oblicua Asíntota1

11122

xy

xx

x

xx

asíntota. la de debajo por está curva La01

1, Cuando

xx

asíntota. la de encima por está curva La01

1,Cuando

xx

Representación:

1

1

y x+= 1

Ejercicio nº 22.-

Dada la función:

2

12 2

x

xxf

halla su asíntota oblicua y representa la posición de la curva respecto a ella.

Solución:


9422

12 2

xy

xx

x

x


9,Cuando

x

x


9,Cuando

x

x

Representación:

Ejercicio nº 23.-

c) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

223 2

x

xxf

d) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.

Solución:

a Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.


1063223 2

xy

xx

x

x


10,Cuando

x

x


10,Cuando

x

x

1

12

y =2 +4x

Representación:

Ejercicio nº 24.-

Halla la asíntota oblicua de la siguiente función y representa la posición de la curva respecto a ella:

1

22

3

x

xxf

Solución:

xyx

xx

x

x 2 :oblicua Asíntota1

221

222

3

asíntota. la de encima por está curva La 01

2,Cuando2

x

xx

asíntota. la de debajo por está curva La 01

2,Cuando2

x

xx

Representación:

2

1 y=2x

Ejercicio nº 25.-

.xx cuando ycuando función siguiente la de entocomportami el representa yEstudiaSi tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a ella:

12

3

x

xxf

2

6

y x=3 6

Solución:

xyx

xx

x

x

:oblicua Asíntota

11 22

3


,Cuando2

x

xx


,Cuando2

x

xx

Representación:

1

1y x=

Ejercicio nº 1.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica

xxxf 32 2

Ejercicio nº 2.-

.3

1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,

xxff´

Ejercicio nº 3.-

. 3

1función la paracalcula derivada, de definición la Utilizando

xxf f´(x)

Ejercicio nº 4.-

Halla la función derivada de:

523a) 4 xxxf

xexf b)

Ejercicio nº 5.-

Halla la función derivada de las siguientes funciones:

122a)

2

x

xxf

xxexf b)

Ejercicio nº 6.-

Calcula la derivada de la función:

14 3 xxf

Ejercicio nº 7.-

Consideramos la función:

2

12

xxf

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo.

Ejercicio nº 8.-

1]3,[ intervalo el en3 función la de media variación de tasa la Calculaa) x

xf

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la funciónen dicho intervalo?

Derivadas

Ejercicio nº 9.-

Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

0,1a)

2,1b)

Ejercicio nº 10.-

.2

13 siendo1)(calcula derivada, de definición la Utilizando

xxf,f´

Ejercicio nº 11.-

.x

xf,f'2siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando

Ejercicio nº 12.-

.3


xxff´

Ejercicio nº 13.-

derivada.dedefiniciónlaaplicando2,en1funciónla de derivada la Halla 2 xxxf

Ejercicio nº 14.-

Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

12 xxf

Ejercicio nº 15.-

., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf

Ejercicio nº 16.-

. 3


xxf f´(x)

Ejercicio nº 17.-

1.siendoderivada,dedefiniciónlaaplicandoHalla 2 x(x)ff´(x),

Ejercicio nº 18.-

.x

xf, xf' 1siendocalcula derivada de definición la Aplicando

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 19.-


234a) 23 xxxf

xtgxf b)

Ejercicio nº 20.-

Calcula la función derivada de:

12a) 23 xxxf

lnxxf b)

Ejercicio nº 21.-

Halla la derivada de:

513a) 23 xxxf

xcosxf b)

Ejercicio nº 22.-


3

2a) 5 xxxf

xsenxf b)

Ejercicio nº 23.-


523a) 4 xxxf

xexf b)

Ejercicio nº 24.-

Calcula f´(x) en cada caso:

32

3a)2

x

xxf

xsenxxf 3b)

Ejercicio nº 25.-


3

1a)2

x

xxf

xlnxxf b)

Ejercicio nº 26.-

Calcula la derivada de las funciones siguientes:

213a) 2

x

xxf

xsenxxf 2b)

Ejercicio nº 27.-


122a)

2

x

xxf

xxexf b)

Ejercicio nº 28.-

Halla la derivada de las siguientes funciones:

x

xxf2a)

xe

xxf

13b)

Ejercicio nº 29.-


x

xxf2a)

xe

xxf

13b)

Ejercicio nº 30.-


14 3 xxf

Ejercicio nº 31.-


423 xxxf

Ejercicio nº 32.-

Halla f´(x) para la función:

xxexf 24 3

Ejercicio nº 33.-


321

x

xsenxf

Aplicaciones de la derivada

Ejercicio nº 34.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.

Ejercicio nº 35.-

141recta la a paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuación la Halla xyx y

Ejercicio nº36.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio nº 37.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x 2.

Ejercicio nº 38.-

Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x2 + x -1.

Ejercicio nº 39.-

Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3 2

x

xxf

Ejercicio nº 40.-

Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

24 2xxxf

Ejercicio nº 41.-

Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3

x

xxf

Ejercicio nº 42.-

Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

xxxxf 156 23

Ejercicio nº 43.-

Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

193 23 xxxy

Ejercicio nº 44.-

Dada la función:

32xxf

determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece.

Ejercicio nº 45.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

123 2 xxxf

Ejercicio nº 46.-

Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

23123 xxxf

Ejercicio nº 47.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:

2

132

xxxf

Ejercicio nº 48.-

Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

22 xxf

SOLUCIONES

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo 1, 2] e indica

xxxf 32 2

Solución:

3

13

112

112

1212 2 1, T.V.M.

ff

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en el intervalo [1, 2].

Ejercicio nº 2.-

.3


xxff´

Solución:

31

313

03

11111'

00

00

hh

hh

l imh

h

lim

h

h

limh

fhflimf

Ejercicio nº 3.-

. 3


xxf f´(x)

Solución:

31

333

11

31

31

'

000

00

h

hlim

h

h

limh

xhx

lim

h

xhx

limh

xfhxflimxf

hhh

hh

Ejercicio nº 4.-


523a) 4 xxxf

xexf b)

Solución:

221' 3 xxfa) xexf 'b)

Ejercicio nº 5.-


122a)

2

x

xxf

xxexf b)

Solución:

22

2

22

2

2

12422

124224

1222122'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

xxx exxeexf 1'b)

Ejercicio nº 6.-


14 3 xxf

Solución:

14

6

142

1212142

1'3

2

3

22

3

x

x

x

xx

x

xf

Ejercicio nº 7.-

Consideramos la función:

2

12

xxf

Halla la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo.

Solución:

122

221

23

221

23

02022,0 T.V.M.

ff

Como la tasa de variación media es positiva, la función crece en ese intervalo.

Ejercicio nº 8.-

1]3,[ intervalo el en3 función la de media variación de tasa la Calculaa) x

xf

b) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿crece o decrece la funciónen dicho intervalo?

Solución:

122

213

3113

31311,3 T.V.M.a)

ff

b) Como la tasa de variación media es negativa, la función es decreciente en el intervalo dado.

Ejercicio nº 9.-

Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

0,1a)

2,1b)

Solución:

2

111

111

10100,1T.V.M.a)

ff

Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [-1,0]. (También se puede apreciar directamente en la gráfica).

2

120

12122,1T.V.M.b)

ff

La función decrece en este intervalo.

Ejercicio nº 10.-

.2

13 siendo1)(calcula derivada, de definición la Utilizando

xxf,f´

Solución:

23

23lim

23

lim22133

lim22

2133

lim

22

2113

lim11lim1'

0

000

00

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

fhff

h

hhh

hh

Ejercicio nº 11.-

.x

xf,f'2siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando

Solución:

2

12

12

12

12

1222

1122

21

2111'

00

000

00

hlim

hh

hlim

h

hh

limh

hh

limh

h

h

lim

h

hlimh

fhflimf

hh

hhh

hh

Ejercicio nº 12.-

.3


xxff´

Solución:

31

313

03

11111'

00

00

hh

hh

l imh

h

lim

h

h

limh

fhflimf

Ejercicio nº 13.-

derivada.dedefiniciónlaaplicando2,en1funciónla de derivada la Halla 2 xxxf

Solución:

222

212111

112222'

00

2

0

2

0

2

0

2

00

hlimh

hhlim

h

hhlim

h

hhlim

h

hlim

h

hlim

h

fhflimf

hh

hhh

hh

Ejercicio nº 14.-

Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:

12 xxf

Solución:

22

222121

211111'

0

0

2

0

2

0

2

00

hlim

h

hhlim

h

hhlim

h

hhlim

h

hlim

h

fhflimf

h

hhh

hh

Ejercicio nº 15.-

., derivada de definición la aplicando2 función la de derivada la Halla 2xxf

Solución:

xxhlim

h

xhhlim

h

xhhlim

h

xxhhxlim

h

xxhhxlim

h

xhxlim

h

xfhxflimxf

hhh

hh

hh

4424242

2422222

22'

00

2

0

222

0

222

0

22

00

Ejercicio nº 16.-

. 3


xxf f´(x)

Solución:

31

333

11

31

31

'

000

00

h

hlim

h

h

limh

xhx

lim

h

xhx

limh

xfhxflimxf

hhh

hh

Ejercicio nº 17.-

1.siendoderivada,dedefiniciónlaaplicandoHalla 2 x(x)ff´(x),

Solución:

xxhlim

h

xhhlim

h

xhhlim

h

xxhhxlim

h

xhxlim

h

xfhxflimxf

h

hhh

hh

22

22112

11'

0

0

2

0

222

0

22

00

Ejercicio nº 18.-

.x

xf, xf' 1siendocalcula derivada de definición la Aplicando

Solución:

20

000

000

11

11'

xhxxlim

hxhx

hlim

h

hxxh

limh

hxxhxx

lim

h

hxx

hxx

limh

xhxlimh

xfhxflimxf

h

hhh

hhh

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 19.-


234a) 23 xxxf

xtgxf b)

Solución:

xxxf 612'a) 2

xcos

xtgxf2

2 11'b)

Ejercicio nº 20.-


12a) 23 xxxf

lnxxf b)

Solución:

xxxf 26' 2 a)

x

x'f1

b)

Ejercicio nº 21.-

Halla la derivada de:

513a) 23 xxxf

xcosxf b)

Solución:

xxxfa 63') 2

xsenx'f)b

Ejercicio nº 22.-


3

2a) 5 xxxf

xsenxf b)

Solución:

3110'a) 4 xxf

xcosx'f)b

Ejercicio nº 23.-


523a) 4 xxxf

xexf b)

Solución:

221' 3 xxfa) xexf 'b)

Ejercicio nº 24.-

Calcula f´(x) en cada caso:

32

3a)2

x

xxf

xsenxxf 3b)

Solución:

2

2 2

22 2

2

3 2 18 6

3 2 6 18 12

3 2 2 3 3 2 6

x

x x x

x x x x

x x x x ' f ) a

xsenxxf 31'b)

xcosxxsenx

xcosxxsenxxf 3

3 2

3132

3

131'

Ejercicio nº 25.-


3

1a)2

x

xxf

xlnxxf b)

Solución:

2

2

2

22

2

2

316

3162

3132'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

11'b) xlnx

xxlnxf

Ejercicio nº 26.-

Calcula la derivada de las funciones siguientes:

213a) 2

x

xxf

xsenxxf 2b)

Solución:

22

2

22

22

22

2

2

623

2

2663

2

21323'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

xcosxsenxxxf 22'b)

Ejercicio nº 27.-


122a)

2

x

xxf

xxexf b)

Solución:

22

2

22

2

2

12422

124224

1222122'a)

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

xxx exxeexf 1'b)

Ejercicio nº 28.-


x

xxf2a)

xe

xxf

13b)

Solución:

2

22

1'a)xx

xf

xx

x

x

xx

e

x

e

xe

e

exexf

32133133'b)22

Ejercicio nº 29.-


x

xxf2a)

xe

xxf

13b)

Solución:

2

22

1'a)xx

xf

xx

x

x

xx

e

x

e

xe

e

exexf

32133133'b)22

Ejercicio nº 30.-


14 3 xxf

Solución:

14

6

142

1212142

1'3

2

3

22

3

x

x

x

xx

x

xf

Ejercicio nº 31.-


423 xxxf

Solución:

1634'32 xxxxf

Ejercicio nº 32.-

Halla f´(x) para la función:

xxexf 24 3

Solución:

212' 224 3 xexf xx

Ejercicio nº 33.-


321

x

xsenxf

Solución:

321

325

321

322232

322132

321'

2

22

x

xcos

x

x

xcos

x

xx

x

xx

x

xcosxf

Aplicaciones de la derivada

Ejercicio nº 34.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 3x que tenga pendiente 7.

Solución:

34' xy

17347' es recta la de pendiente La xxy

.5,1 Cuando yx

La recta será:

27775175 xxxy

Ejercicio nº 35.-

141recta la a paralela sea que curva la a tangente recta la de ecuación la Halla xyx y

Solución:

xy

21'

441

21

41' es recta la de pendiente La x

xy

2,4Cuando yx

La recta será:

1411

4124

412 xxxy

Ejercicio nº36.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 + 2x 1 en el punto de abscisa x = 1.

Solución:

22' xy

.41' es recta la de pendiente La y

Cuando x = 1, y = 2 La recta será:

24442142 xxxy

Ejercicio nº 37.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 2x en el punto de abscisa x 2.

Solución:

23' 2 xy

.102' es recta la de pendiente La y

.4,2Cuando yx

La ecuación de la recta será:

1610201042104 xxxy

Ejercicio nº 38.-

Halla la ecuación de la recta de pendiente 7 que es tangente a la curva y = 3x2 + x -1.

Solución:

16' xy

17167' es recta la de pendiente La xxy

.3,1 dos Cuando yx

La ecuación de la recta será:

47773173 xxxy

Ejercicio nº 39.-

Averigua los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3 2

x

xxf

Solución:

2

2

2

22

2

2

234

2342

2322'

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

0340340' 22 xxxxxf

6,3 Punto 3

2,1 Punto1

224

212164

x

x

x

Ejercicio nº 40.-

Halla y representa gráficamente los puntos singulares de la función:

24 2xxxf

Solución:

1,1Punto1

0,0Punto0

11Punto1

01444' 23

x

x

,x

xxxxxf

Hallamos las ramas infinitas:

2424 22 xxlimxxlimxx

1 1

1

0,0 en máximo ; 1,1 eny 1,1 en Mínimo

Ejercicio nº 41.-

Determina los puntos de tangente horizontal de la función:

2

3

x

xxf

Solución:

2

23

2

323

2

32

262

263

223'

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

27,3 Punto 3

0,0 Punto 00620620' 223

x

x

xxxxxf

Ejercicio nº 42.-

Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

xxxxf 156 23

Solución:

054015123' 22 xxxxxf

100,5 Punto 5

8,1 Punto 1

264

220164;

264

220164

x

x

xx

xxxlimxxxlimxx

156156 2323

Máximo en (5, 100) y mínimo en (1, 8).

Ejercicio nº 43.-

Halla y representa gráficamente los máximos y mínimos de la función:

193 23 xxxy

Solución:

2

12420323963' 22 xxxxxy

26,3 Punto3

6,1 Punto 1242

x

x

Hallamos las ramas infinitas para saber si son máximos o mínimos:

193193 2323 xxxlimxxxlimxx

1 3

26

6

Máximo en (1, 6 ) y mínimo en (3, 26).

Ejercicio nº 44.-

Dada la función:

32xxf

determina los tramos en los que la función crece y en los que decrece.

Solución:

26' xxf

.creciente es función la0' Como xf

Ejercicio nº 45.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

123 2 xxxf

Solución:

26' xxf

Estudiamos el signo de la derivada:

3126026

31

6226026

31026

xxx

xxxx

xx

.31 en mínimo un tieney ,

31 en crece ,

31, en decrece función La

x

Ejercicio nº 46.-

Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

23123 xxxf

Solución:

xxf 612'


2126612061221266120612

20612

xxxx

xxxx

xx

La función es creciente en (, 2) y decreciente en (2 +) y tiene un máximo en x 2).

Ejercicio nº 47.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función:

2

132

xxxf

Solución:

2

32'

xxf


23320320

232

23320320

232

230320

232

xxxx

xxxx

xxx

.23 en mínimo un tieney ,

23en crece y

23, en decrece función La

x

Ejercicio nº 48.-

Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

22 xxf

Solución:

22' xxf


202022

202022202022

xxx

xxx

xxx

La función decrece en , 2 y crece en 2, y tiene un mínimo en x 2.

Representación de funciones Ejercicio nº 1.-

:que sabemos que la de polinómica función una Representa ,xf

xflimxflimxx

;

.20, en y 22, en 0 es derivada Su . 20,y 01,,01,,03,en ejes los a Corta

Ejercicio nº 2.-

:que sabiendo función la de gráfica la Dibuja ,xf

.00, en anula se derivada Su

.0 0, en ejes los a corta Solo

La posición de la curva respecto a las asíntotas es:

xflimxflimxflimxflimxxxx 2222

;;;

Ejercicio nº 3.-

:quesabiendofunción una de gráfica la Haz ,xf

Es continua.

xflimxflimxx

;

.32, en y 20, en ,23, en anula se derivada Su

.20, y 03,,01,,02,,0,4 puntos los en ejes los a Corta

Ejercicio nº 4.-

Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:

La derivada no se anula en ningún punto. La función es decreciente. Corta a los ejes en (1, 0) y en (0, 1)

xflimxflimxx 22

;

Tiene una asíntota horizontal en y 1. Además:

0 e 22, :son asíntotas Sus yxx

Ejercicio nº 5.-

:siguiente lo conocemos que la de(x), función una tegráficamen Representa f

.41, en y 41, en anula se derivada Su

No corta a los ejes.

xflimxflimxx 00

;

Tiene una asíntota oblicua, que es y 2x. Además:

Ejercicio nº 6.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f (x):

a ¿En qué puntos se anula la derivada? b ¿Cuáles son sus asíntotas? c Indica la posición de la curva respecto a sus asíntotas verticales.

Ejercicio nº 7.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:

a Máximos y mínimos. b Puntos de corte con los ejes. c Ramas infinitas. d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Ejercicio nº 8.-

A partir de la gráfica de f (x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a ellas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Ejercicio nº 9.-

Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Ejercicio nº 10.-

A partir de la gráfica de f (x):

a ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? b Di cuáles son sus asíntotas. c Indica la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales.

Ejercicio nº 11.-

Representa la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

xxxf 123

Ejercicio nº 12.-

Estudia y representa la siguiente función:

xxxxf 44 23

Ejercicio nº 13.-


23 3xxxf

Ejercicio nº 14.-

Estudia y representa la función:

12 24 xxxf

Ejercicio nº 15.-


24 2xxxf

Ejercicio nº 16.-

Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

1

2

x

xxf

Ejercicio nº 17.-


2

2

x

xxf

Ejercicio nº 18.-


13

x

xxf

Ejercicio nº 19.-

Dada la función:

3

3

x

xxf

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 20.-


2

3

x

xxf

Ejercicio nº 21.-


2

3

x

xxf

Ejercicio nº 22.-

Dada la función:

x

xxf

23


Ejercicio nº 23.-

Representa gráficamente la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

x

xxf

23

Ejercicio nº 24.-


2

3

x

xxf

Ejercicio nº 25.-


x

xxf

14

Ejercicio nº 26.-

Dada la función

2

2 12x

xxf


Ejercicio nº 27.-


4

22

2

x

xxf

Ejercicio nº 28.-


12

2

x

xxf

Ejercicio nº 29.-


14

2

2

x

xxf

Ejercicio nº 30.-


12

2

x

xxf

Ejercicio nº 31.-


12

3

x

xxf

Ejercicio nº 32.-

Dada la función

2

3 4x

xxf

,


Ejercicio nº 33.-


122

3

xx

xxf

Ejercicio nº 34.-


122

3

xx

xxf

Ejercicio nº 35.-


2

22

3

x

xxf

Ejercicio nº 36.-


14

2

4

x

xxf

Ejercicio nº 37.-


2

4 1x

xxf

Ejercicio nº 38.-


12

4

x

xxf

Ejercicio nº 39.-

Dada la función

2

24 12x

xxxf


Ejercicio nº 40.-


1

22

5

x

xxf

SOLUCIONES

Representación de funciones

Ejercicio nº 1.-

:que sabemos que la de polinómica función una Representa ,xf

xflimxflimxx

;

.20, en y 22, en 0 es derivada Su . 20,y 01,,01,,03,en ejes los a Corta

Solución:

Ejercicio nº 2.-

:que sabiendo función la de gráfica la Dibuja ,xf

.00, en anula se derivada Su

.0 0, en ejes los a corta Solo

La posición de la curva respecto a las asíntotas es:

xflimxflimxflimxflimxxxx 2222

;;;

0 e 22, :son asíntotas Sus yxx

Solución:

Ejercicio nº 3.-

:quesabiendofunción una de gráfica la Haz ,xf

Es continua.

xflimxflimxx

;

.32, en y 20, en ,23, en anula se derivada Su

.20, y 03,,01,,02,,0,4 puntos los en ejes los a Corta

Solución:

Ejercicio nº 4.-

Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:

La derivada no se anula en ningún punto. La función es decreciente. Corta a los ejes en (1, 0) y en (0, 1)

xflimxflimxx 22

;

Tiene una asíntota horizontal en y 1. Además:

Solución:

1 2

1

1

Ejercicio nº 5.-

:siguiente lo conocemos que la de(x), función una tegráficamen Representa f

.41, en y 41, en anula se derivada Su

No corta a los ejes.

xflimxflimxx 00

;

Tiene una asíntota oblicua, que es y 2x. Además:

Solución:

Ejercicio nº 6.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f (x):

a ¿En qué puntos se anula la derivada? b ¿Cuáles son sus asíntotas? c Indica la posición de la curva respecto a sus asíntotas verticales.

Solución:

3,0 en máximo unHay 30

00'a)

f

f

b Asíntotas verticales: x 2, x 2 Asíntota horizontal: y 2

)c

xflimxflimxx 22

;

xflimxflimxx 22

;

Ejercicio nº 7.-

La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:

a Máximos y mínimos. b Puntos de corte con los ejes. c Ramas infinitas. d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Solución:

33, en mínimo unHay 3303a)

f

'f

30, en máximo unHay 30f00'f

.,,,,,,)b 30y 030204

)c

xflimxflimxx

;

en Decrece)d .0,3 en crece;,0 en y 3,

Ejercicio nº 8.-

A partir de la gráfica de f (x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a ellas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Solución:

Asíntota vertical: x 1

Posición de la curva:

xflimxflimxx 11

;

Asíntota horizontal: y 2


2,Si

2,Si

yx

yx

.,1 en y 1, en creciente es función La

Ejercicio nº 9.-

Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Solución:



xflimxflimxx 00

;



0,xSi

0,xSi

y

y

.,0 en y 0, en edecrecient es función La

Ejercicio nº 10.-

A partir de la gráfica de f (x):

a ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? b Di cuáles son sus asíntotas. c Indica la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales.

Solución:

a (0, 0) b Asíntotas verticales: x 1, x 1


xflimxflimxx 11

;)c

xflimxflimxx 11

;

Ejercicio nº 11.-

Representa la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

xxxf 123

Solución:

xxlimxxlimxx

12;12 33

Puntos de corte con los ejes:

0,21 Punto 120,0 Punto 0

0,12 Punto 12 01212 eje el Con 23

x

x

x

xxxxX

Con el eje Y x = 0 y = 0

Puntos singulares:

162, Punto2

162, Punto240123' 22

x

xxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 12.-


xxxxf 44 23

Solución:

xxxlimxxxlimxx

44;44 2323


0,2Punto2

0,0Punto 0

0)44(44 eje el Con 223

x

x

xxxxxxX

0,0Punto00 YejeelCon yx

Puntos singulares:

32

642

648

648648

0483' 2

x

x

xxxxf

.2732,

32 y 0,2 Puntos

Gráfica:

Ejercicio nº 13.-


23 3xxxf

Solución:

2323 3lim;3lim xxxxxx


)4,2(Punto2

)0,0(Punto00303 eje el Con 223

x

xxxxxX

0,0 Punto00:ejeelCon yxY

Puntos singulares:

)4,2(Punto2

)0,0(Punto002363' 2

x

xxxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 14.-


12 24 xxxf

Solución:

12;12 2424 xxlimxxlimxx


zxxxX 224 Cambio .012 eje el Con

. eje al corta No

. para real valor un da nos no 122

2442

0122

X

xz

zz

1,0 Punto 10 eje el Con yxY

Puntos singulares:

1,0 Punto001444' 23 xxxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 15.-


24 2xxxf

Solución:

2424 2;2 xxlimxxlimxx


)0,2(Punto2

)0,0(Punto0

)0,2(Punto2

0202 eje el Con 2224

x

x

x

xxxxX

Con el eje Y x = 0 y = 0 Punto (0,0)

Puntos singulares:

)1,1(Punto1

)0,0(Punto0

)1,1(Punto1

01444' 23

x

x

x

xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 16.-


1

2

x

xxf

Solución:

Dominio R {1}


0,0 Punto 001

0 eje el Con2

xx

xyX


Asíntotas verticales: x 1

xflimxflimxx 11

;

Asíntota oblicua:

oblicua. asíntota es 11

111

2

xy

xx

x

x


1, Si

x

x


1, Si

x

x

Puntos singulares:

22

2

2

22

2

2

12

12

122

112'

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

4,2 Punto 2

0,0 Punto 0020'

x

x

xxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 17.-


2

2

x

xxf

Solución:

Dominio R {2}


0,0 Punto 002

0 eje el Con2

xx

xyX



xflimxflimxx 22

;

Asíntota oblicua:

oblicua. asíntota es 22

422

2

xy

xx

x

x

asíntota. la de encima por está curva La 02

4, Si

x

x

asíntota. la de debajo por está curva La 02

4, Si

x

x

Puntos singulares:

22

2

2

22

2

2

24

24

242

222'

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

8,4 Punto 4

0,0 Punto 0040'

x

x

xxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 18.-


13

x

xxf

Solución:

Dominio R {1}


03, Punto 3030130 eje el Con

xx

x

xyX

3,0 Punto 31

30 eje el Con

yxY


xflimxflimxx 11

;


1con,1

1con,1

yxflim

yxflim

x

x

Puntos singulares:

0

14

131

131'

222

xx

xx

x

xxxf

No tiene puntos singulares.

Gráfica:

Ejercicio nº 19.-

Dada la función:

3

3

x

xxf


Solución:

Dominio R {3}


00, Punto003

30 eje el Con

xx

xyX

00, Punto 00 eje el Con yxY


3

3;3

333 x

xlim

x

xlim

xx


3 con ,3

3 con ,3

yxflim

yxflim

x

x

Puntos singulares:

039

3393

3333'

222

xx

xx

x

xxxf


Gráfica:

Ejercicio nº 20.-


2

3

x

xxf

Solución:

Dominio R {2}


0,0 Punto 002

30 eje el Con

xx

xyX

00, Punto 00 eje el Con yxY


xflimxflimxx 22

;


3 con,32

3

3 con ,32

3

yx

xlim

yx

xlim

x

x

Puntos singulares:

0

26

2363

2323'

222

xx

xx

x

xxxf


Gráfica:

Ejercicio nº 21.-


2

3

x

xxf

Solución:

Dominio R {2}


0,0 Punto002

0 eje el Con3

xx

xyX



xflimxflimxx 22

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del denominador.

xflimxflimxx

;

Puntos singulares

22

2

23

2

323

2

32

232

262

263

223'

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

27,3Punto0

0,0Punto0

0320' 2

x

x

xxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 22.-

Dada la función:

x

xxf

23


Solución:

Dominio R {0}


02020 eje el Con 33

xx

xyX

0;3,1 Punto 3,123 x

Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no pertenece al dominio.


xflimxflimxx 00

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es de dos unidades mayor que el deldenominador.

xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

2

3

2

3

2

33

2

32 12222323'x

x

x

x

x

xx

x

xxxxf

3,1 Punto 1 11010120' 3333 xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 23.-

Representa gráficamente la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

x

xxf

23

Solución:

Dominio R {0}


02020 eje el Con 33

xx

xyX

0;3,1 Punto 3,123 x

Con el eje Y No corta el eje Y, pues x 0 no está en el dominio.


xflimxflimxx 00

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

3,1 Punto 11010120'

12222323'

333

2

3

2

3

2

33

2

32

xxxxf

x

x

x

x

x

xx

x

xxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 24.-


2

3

x

xxf

Solución:

Dominio R { 2}


0,0 Punto 002

0 eje el Con3

xx

xyX



xflimxflimxx 22

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el deldenominador.

xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

22

2

23

2

323

2

32

232

262

263

223'

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

27,3Punto3

00,Punto0

0320' 2

x

x

xxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 25.-


x

xxf

14

Solución:

Dominio R {0}


1101010 eje el Con 444

xxx

xyX

0,1 y 0,1Puntos

Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no está en el dominio.


xflimxflimxx 00

;

Rama parabólica pues el grado del numerador es tres unidades mayor que el del denominador.

xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

0131414'

2

4

2

44

2

43

x

x

x

xx

x

xxxxf


Gráfica:

Ejercicio nº 26.-

Dada la función

2

2 12x

xxf


Solución:

Dominio R {0}


. eje al corta No0120 eje el Con 2 XxyX

Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no pertenece al dominio.


xflimxflimxx 00

;

Asíntota horizontal: x 2

2 con ,2

2 con ,2

yxflim

yxflim

x

x

Puntos singulares:

0222442124'344

33

22

22

xx

x

x

xxx

x

xxxxxf


Gráfica:

Ejercicio nº 27.-


4

22

2

x

xxf

Solución:

Dominio R {2, 2}


0,0 Punto 00204

20 eje el Con 22

2

xxx

xyX


Asíntotas verticales: x 2, x 2

xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

22

22

;

;


2 con ,2

2 con ,2

yxflim

yxflim

x

x

Puntos singulares:

0,0 Punto 00160'

4

16

4

4164

4

2244'2222

33

22

22

xxxf

x

x

x

xxx

x

xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 28.-


12

2

x

xxf

Solución:

Dominio R {1, 1}


00 Punto 00 eje el Con ,yxY

00 Punto 001

0 eje el Con2

2,x

x

xyX


xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

11

11

;

;


1 con ,1

1 con ,1

yflim

yxflim

x

x

Puntos singulares:

0,0 Punto 0020'

1

2

1

222

1

212'2222

33

22

22

xxxf

x

x

x

xxx

x

xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 29.-


14

2

2

x

xxf

Solución:

Dominio R {1, 1}


0,2y0,2 Puntos

2040140 eje el Con 2

2

2

xx

x

xyX

Con el eje Y 4,0 Punto 40 yx


xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

11

11

;

;


1 con ,1

1 con ,01

yxflim

yxflim

x

x

Puntos singulares:

4,0 Punto 0060'

1

6

1

8222

1

2412'2222

33

22

22

xxxf

x

x

x

xxxx

x

xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 30.-


12

2

x

xxf

Solución:

Dominio R


0,0 Punto001

0 eje el Con2

2

xx

xyX


No tiene asíntotas verticales.


1 con ,1

1 con ,1

yxflim

yxflim

x

x

Puntos singulares:

0,0 Punto 0020'

1

2

1

222

1

212'2222

33

22

22

xxxf

x

x

x

xxx

x

xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 31.-


12

3

x

xxf

Solución:

Dominio R


0,0 Punto 001

0 eje el Con2

3

xx

xyX


Asíntotas verticales: No tiene

Asíntota oblicua:

oblicua asíntota es11 22

3xy

x

xx

x

x

.


, Si2

x

xx


, Si2

x

xx

Puntos singulares:

0,0 Punto 0030'

1

3

1

3

1

233

1

213'

22

22

22

22

24

22

424

22

322

xxxxf

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 32.-

Dada la función

2

3 4x

xxf

,


Solución:

Dominio R {0}


04040 eje el Con 32

3

xx

xyX

0;6,1 Punto 6,143 x

Con el eje Y No corta el eje Y, pues x 0 no está en el dominio.


xflimxflimxx 00

;

Asíntota oblicua:

oblicua. asíntota es4422

3xy

xx

x

x

asíntota. la de encima por está curva La04, Si2

x

x

asíntota. la de encima por está curva La04, Si2

x

x

Puntos singulares:

3,2 Punto 288080'

888823243'

333

3

3

4

3

4

4

4

44

22

322

xxxxf

x

x

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 33.-


122

3

xx

xxf

Solución:

Dominio:

122

2442

0122

xxx

Dominio R {}


0,0 Punto 00012

0 eje el Con 32

3

xxxx

xyX



xflimxflimx

x

xx

x

xx 112

3

2

3

;;112

Asíntota oblicua:

oblicua asíntota es212

23212 22

3

xy

xx

xx

xx

x

.


23,Si2

xx

xx


23,Si2

xx

xx

Puntos singulares:

22

22

22

234

22

34234

22

322

12

34

12

34

12

22363

12

22123'

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxxxx

xx

xxxxxxf

1

3

224

212164

034

0,0 Punto 00

0' 2

2

x

x

xxx

xx

xf

x 1 no vale, pues no está en el dominio.

.427,3 Punto

Gráfica:

Ejercicio nº 34.-


122

3

xx

xxf

Solución:

Dominio:

122

2442

0122

xxx

Dominio R {}


0,0 Punto 00012

0 eje el Con 32

3

xxxx

xyX



xflimxflimx

x

xx

x

xx 112

3

2

3

;;112

Asíntota oblicua:

oblicua asíntota es212

23212 22

3

xy

xx

xx

xx

x

.


23,Si2

xx

xx


23,Si2

xx

xx

Puntos singulares:

22

22

22

234

22

34234

22

322

12

34

12

34

12

22363

12

22123'

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxxxx

xx

xxxxxxf

1

3

224

212164

034

0,0 Punto 00

0' 2

2

x

x

xxx

xx

xf

x 1 no vale, pues no está en el dominio.

.427,3 Punto

Gráfica:

Ejercicio nº 35.-


2

22

3

x

xxf

Solución:

Dominio R


0,0Punto002

20XejeelCon2

3

x

x

xy


Asíntotas verticales: No tiene.

Asíntota oblicua:

oblicua. asíntota es22

422

222

3xy

x

xx

x

x


4, Si2

x

xx


4, Si2

x

xx

Puntos singulares:

22

22

22

24

22

424

22

322

2

62

2

122

2

4126

2

2226'

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf

0,0 Punto00620' 22 xxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 36.-


14

2

4

x

xxf

Solución:

Dominio R {1, 1}


4,14040 eje el Con 44 xxyX

0;4,1 y 0;4,1Puntos

4,0 Punto 40 eje el Con y x Y


xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

11

11

;

;


xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

22

24

22

35

22

535

22

423

1

422

1

842

1

8244

1

2414'

x

xxx

x

xxx

x

xxxx

x

xxxxxf

21642

;042;042

4,0 Punto 0020'

2224 zzzzxxx

xx

xf

No tiene solución

Gráfica:

Ejercicio nº 37.-


2

4 1x

xxf

Solución:

Dominio R {0}


XxyX eje al corta no010 eje el Con 4

Con el eje Y No corta al eje Y, pues x 0 no está en el dominio.


xflimxflimxx 00

;


xfxfxxlim;lim

Puntos singulares:

3

4

4

4

4

5

4

55

22

423 121222224214'x

x

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf

2,1y 2,1 Puntos1 11010120' 4444 xxxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 38.-


12

4

x

xxf

Solución:

Dominio = R


0,0 Punto000 eje el Con 4 xxyX


Asíntotas verticales: No tiene.Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador .

xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

22

23

22

35

22

535

22

423

1

22

1

42

1

244

1

214

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxxf


Gráfica

Ejercicio nº 39.-

Dada la función

2

24 12x

xxxf


Solución:

Dominio R {0}


0120 eje el Con 24 xxyX

122

2442

012 Si 22

zzzzx

0,1 y 0,1 Puntos 112 xx

Con el eje Y No corta el eje Y porque x 0, no está en el dominio.


xflimxflimxx 00

;


xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

22

22

22

234

22

34234

22

322

12

34

12

34

12

22363

12

22123'

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxxxx

xx

xxxxxxf

0,1 y 0,1 Puntos 1110120' 444 xxxxf

Gráfica:

Ejercicio nº 40.-


1

22

5

x

xxf

Solución:

Dominio = R


0,0 Punto 020 eje el Con 2 xxX


Asíntotas verticales: No tiene.

Rama parabólica (pues el grado del numerador es tres unidades mayor que el del denominador).

xflimxflimxx

;

Puntos singulares:

22

24

22

46

22

646

22

524

1

532

1

106

1

41010

1

22110'

x

xx

x

xx

x

xx

x

xxxxxf


Gráfica:

cuaderno de trabajo - 3con143con14.com/_data/cuadernos/cuaderno_trabajo_mat_apl_ccssi.pdf ·...

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