ČtyřúhelníkyČtyřúhelníkyMatematika – 7. ročníkMatematika – 7. ročník

Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod TřemšínemEfektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka

projekt v rámci Operačního programuVZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

ObsahObsah ČtyřúhelníkyČtyřúhelníky

použití v praxipoužití v praxi základní pojmyzákladní pojmy označování stranoznačování stran procvičení procvičení rozdělení čtyřúhelníkůrozdělení čtyřúhelníků

RovnoběžníkyRovnoběžníky vlastnostivlastnosti

shrnutíshrnutí procvičeníprocvičení

úhlopříčkyúhlopříčky rozdělenírozdělení

čtverecčtverec obdélníkobdélník kosočtvereckosočtverec kosodélníkkosodélník

vlastnosti - tabulkavlastnosti - tabulka výškyvýšky obsahobsah obvodobvod

Lichoběžníky Lichoběžníky rozdělenírozdělení obvodobvod obsahobsah procvičeníprocvičení

Určování obrazcůUrčování obrazců

Čtyřúhelníky v praxiČtyřúhelníky v praxi

Čtyřúhelníky – základní pojmyČtyřúhelníky – základní pojmy vrcholy: A, B, C, Dvrcholy: A, B, C, D

sousednísousední protějšíprotější

strany- úsečky:AB=a, BC=b, CD=c, DA=dstrany- úsečky:AB=a, BC=b, CD=c, DA=d sousednísousední protějšíprotější

vnitřní úhlyvnitřní úhly sousednísousední protějšíprotější

úhlopříčkyúhlopříčky E …průsečík úhlopříčekE …průsečík úhlopříček

A, B; B, C; C, D; D, AA, B; B, C; C, D; D, AA, C; B, DA, C; B, D

a, b; b, c; c, d; d, aa, b; b, c; c, d; d, aa, c; b, da, c; b, dαα, , ββ, , γγ, , δδαα, , ββ; ; ββ, , γγ; ; γγ, , δδ;; δ δ, , αααα,, γ γ; ; ββ, , δδ

αα + + ββ + + γγ + + δδ = 360 = 360oo

AC = e, BD = fAC = e, BD = f

αβ

γδ

A

B

CD

Ed b

a

c

ef

Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360o.

Čtyřúhelník ABCD:

Obvod = součet délek jeho stran. o = a + b + c + do = a + b + c + d

Všimni si rozdílu při označování stranVšimni si rozdílu při označování stran

u trojúhelníkuu trojúhelníku u čtyřúhelníkuu čtyřúhelníku

ccAA

CC

BBAA

DD

BB

CC

aa

aabb dd bb

cc

Procvičení - čtyřúhelníkyProcvičení - čtyřúhelníky Urči obvod čtyřúhelníkuUrči obvod čtyřúhelníku

Urči velikost vyznačeného úhluUrči velikost vyznačeného úhlu

AA

FFCC

BBEE

DD

DD

GG

8 cm8 cm

5 cm5 cm5 cm5 cm

4 cm4 cm

35 mm35 mm

5 cm5 cm

6 cm6 cm

55 mm55 mm

o o ABCDABCD = 20 cm = 20 cm

o o DEFGDEFG = 22 cm = 22 cm

4545oo

γγ

μμAA

BB

CC

DD

NNMM

PP OO

9595oo

9898oo

7575oo

100100oo115115oo μμ = 70 = 70oo

γγ = 122 = 122oo

Rozdělení čtyřúhelníkůRozdělení čtyřúhelníků RovnoběžníkyRovnoběžníky

- každé 2 protější strany jsou rovnoběžné a shodné- každé 2 protější strany jsou rovnoběžné a shodné čtverecčtverec obdélníkobdélník kosočtvereckosočtverec kosodélníkkosodélník

LichoběžníkyLichoběžníky - 2 protější strany jsou rovnoběžné, zbývající 2 různoběžné- 2 protější strany jsou rovnoběžné, zbývající 2 různoběžné obecnýobecný pravoúhlýpravoúhlý rovnoramennýrovnoramenný

Různoběžníky Různoběžníky - žádné 2 protější strany nejsou rovnoběžné- žádné 2 protější strany nejsou rovnoběžné

Rovnoběžníky - vlastnostiRovnoběžníky - vlastnosti

Každé dvě protější strany jsou Každé dvě protější strany jsou rovnoběžné a shodné.rovnoběžné a shodné.

Každé dva protější úhly jsou Každé dva protější úhly jsou shodné.shodné.

Úhlopříčky se v rovnoběžníku Úhlopříčky se v rovnoběžníku navzájem půlí.navzájem půlí.

S Rovnoběžník je středově Rovnoběžník je středově

souměrný, střed souměrnosti je souměrný, střed souměrnosti je v průsečíku úhlopříček.v průsečíku úhlopříček.

Rovnoběžníky – vlastnosti (shrnutí)Rovnoběžníky – vlastnosti (shrnutí)

a || c; b || d; a = c; b = da || c; b || d; a = c; b = d

A B

D C

α

δ

β

a

bd

Rovnoběžníky = čtyřúhelníky, které mají každé 2 protější Rovnoběžníky = čtyřúhelníky, které mají každé 2 protější strany rovnoběžné a stejně dlouhé. strany rovnoběžné a stejně dlouhé.

další vlastnosti:další vlastnosti: protější úhly mají stejnou velikost protější úhly mají stejnou velikost

α = γ; β = δα = γ; β = δ součet vnitřních úhlů je 360°součet vnitřních úhlů je 360°

α + β + γ + δ = 360°α + β + γ + δ = 360° součet velikostí sousedních úhlů je 180°součet velikostí sousedních úhlů je 180°

α + β = 180°; β + γ = 180°α + β = 180°; β + γ = 180° γ + δ = 180°; δ + α = 180°γ + δ = 180°; δ + α = 180°

úhlopříčky se navzájem půlí úhlopříčky se navzájem půlí průsečík úhlopříček je střed souměrnosti průsečík úhlopříček je střed souměrnosti

rovnoběžníkurovnoběžníku

S

cγ

Procvičení – vlastnosti rovnoběžníkůProcvičení – vlastnosti rovnoběžníků V rovnoběžníku ABCD známe velikost 1 vnitřního úhlu. V rovnoběžníku ABCD známe velikost 1 vnitřního úhlu.

Vypočti velikosti zbývajících úhlů:Vypočti velikosti zbývajících úhlů: a) β = 103a) β = 103oo

b) α = 72b) α = 72oo 12´ 12´

Zjisti, zda čtyřúhelník MNOP je rovnoběžník, jestliže pro Zjisti, zda čtyřúhelník MNOP je rovnoběžník, jestliže pro délky jeho stran platí:délky jeho stran platí: a) |MN| = 8 dm, |NO| = 80 cm, |OP| = 500 mm, |PM| = 50 cma) |MN| = 8 dm, |NO| = 80 cm, |OP| = 500 mm, |PM| = 50 cm b) |MN| = 6 cm, |NO| = 30 mm, |OP| = 6 cm, |PM| = 3 cmb) |MN| = 6 cm, |NO| = 30 mm, |OP| = 6 cm, |PM| = 3 cm

ββ =103 =103ooαα =72 =72oo12´12´

δδ = = ββ = 103 = 103oo

αα = = γγ = 77 = 77oo

γγ = = αα = 72 = 72oo1212´́

ββ = = δδ = 107 = 107oo4848´́

M N

OP

M N

OP

8 dm

8 dm5 dm

5 dm

6 cm3 cm3 cm

6 cm

anoanonene

anoanonene

Pozoruj úhlopříčky rovnoběžníkůPozoruj úhlopříčky rovnoběžníků

SS33

SS22

SS11

SS44....

úhlopříčky jsou shodnéúhlopříčky jsou shodné

úhlopříčky jsou navzájem úhlopříčky jsou navzájem kolmékolmé

úhlopříčky půlí vnitřní úhlopříčky půlí vnitřní úhelúhel

úhlopříčky nejsou na sebe úhlopříčky nejsou na sebe kolmé kolmé

úhlopříčky nejsou shodnéúhlopříčky nejsou shodné

čtverec a obdélníkčtverec a obdélník

čtverec a kosočtverecčtverec a kosočtverec

čtverec a kosočtverecčtverec a kosočtverec

obdélník a kosodélníkobdélník a kosodélník

kosočtverec a kosodélníkkosočtverec a kosodélník

Rozdělení rovnoběžníků a jejich Rozdělení rovnoběžníků a jejich vlastnostivlastnosti

pravoúhelníkypravoúhelníky čtverecčtverec obdélníkobdélník

kosoúhelníkykosoúhelníky kosočtvereckosočtverec kosodélníkkosodélník

PravoúhelníkyPravoúhelníky

čtverecčtverec všechny strany stejně dlouhévšechny strany stejně dlouhé všechny vnitřní úhly pravévšechny vnitřní úhly pravé úhlopříčkyúhlopříčky

stejně dlouhéstejně dlouhé na sebe kolména sebe kolmé půlí vnitřní úhlypůlí vnitřní úhly rozdělí čtverec na 4 shodné rozdělí čtverec na 4 shodné

pravoúhlé rovnoramenné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníkytrojúhelníky

4 osy souměrnosti4 osy souměrnosti

SS..a

a

a

a

o3

o1

o2

o4

..

..

..

..

SS

PravoúhelníkyPravoúhelníky

obdélníkobdélník sousední strany mají různou sousední strany mají různou délku (a délku (a ≠ b)≠ b)

všechny vnitřní úhly pravévšechny vnitřní úhly pravé úhlopříčkyúhlopříčky

stejně dlouhéstejně dlouhé nejsou na sebe kolménejsou na sebe kolmé nepůlí vnitřní úhlynepůlí vnitřní úhly

2 osy souměrnosti2 osy souměrnosti

..

o2

a

..

..

..

a

b b

o1

KosoúhelníkyKosoúhelníky

kosočtvereckosočtverec všechny strany stejně dlouhévšechny strany stejně dlouhé vnitřní úhly nejsou pravévnitřní úhly nejsou pravé úhlopříčkyúhlopříčky

různé délkyrůzné délky na sebe kolména sebe kolmé půlí vnitřní úhlypůlí vnitřní úhly rozdělí kosočtverec na rozdělí kosočtverec na

4 shodné pravoúhlé 4 shodné pravoúhlé trojúhelníkytrojúhelníky

2 osy souměrnosti2 osy souměrnosti

o1

SS..a a

a

a

o2

KosoúhelníkyKosoúhelníky

kosodélníkkosodélník sousední strany mají různou sousední strany mají různou

délku (a délku (a ≠ b)≠ b) vnitřní úhly nejsou pravévnitřní úhly nejsou pravé úhlopříčkyúhlopříčky

různé dlouhérůzné dlouhé nejsou na sebe kolménejsou na sebe kolmé nepůlí vnitřní úhlynepůlí vnitřní úhly

nemá osy souměrnostinemá osy souměrnosti

b

a

SS b

a

Má uvedenou vlastnost následující rovnoběžník?Má uvedenou vlastnost následující rovnoběžník?

VlastnostVlastnost

obrazceobrazce

OBDÉLNÍKOBDÉLNÍK ČTVERECČTVEREC KOSODÉLNÍKKOSODÉLNÍK KOSOČTVERECKOSOČTVEREC

protější stranyprotější strany

rovnoběžné a rovnoběžné a shodnéshodné

sousední strany sousední strany shodnéshodné

sousední strany sousední strany kolmékolmé

všechny úhlyvšechny úhly pravépravé

sousední úhly sousední úhly pravépravé

ANOANO ANOANO ANOANO ANOANO

ANOANO ANOANONENE

ANOANOANOANO

ANOANOANOANO

ANOANOANOANO

NENE

NENENENE

NENE NENE

NENENENE

Má uvedenou vlastnost následující rovnoběžník?Má uvedenou vlastnost následující rovnoběžník?

VlastnostVlastnost

obrazceobrazce

OBDÉLNÍKOBDÉLNÍK ČTVERECČTVEREC KOSODÉLNÍKKOSODÉLNÍK KOSOČTVERECKOSOČTVEREC

protější úhlyprotější úhly pravépravé

protější úhlyprotější úhly shodnéshodné

úhlopříčky úhlopříčky se se navzájem půlínavzájem půlí

úhlopříčky úhlopříčky shodnéshodné

úhlopříčky úhlopříčky kolmékolmé

úhlopříčky úhlopříčky půlí půlí vnitřní úhelvnitřní úhel

ANOANO NENE NENE

NENE NENE

NENE NENE

NENENENE

ANOANO ANOANO

ANOANOANOANO

ANOANO ANOANO

ANOANO ANOANOANOANO

ANOANO ANOANO

ANOANOANOANO

ANOANO

ANOANO

Pojmenuj tyto obrazce Pojmenuj tyto obrazce

kosodélníkkosodélník

čtverecčtverec kosodélníkkosodélník

obdélníkobdélník

obdélníkobdélníkčtverecčtvereckosočtvereckosočtverec

Pojmenuj tyto obrazcePojmenuj tyto obrazce

obecnýobecný pravoúhlýpravoúhlý rovnoramennýrovnoramennýlichoběžníklichoběžník lichoběžníklichoběžníklichoběžníklichoběžník

čtyřúhelníkčtyřúhelník čtyřúhelníkčtyřúhelník čtyřúhelníkčtyřúhelník

Výška rovnoběžníkuVýška rovnoběžníku

je kolmá vzdálenost protějších rovnoběžných je kolmá vzdálenost protějších rovnoběžných stranstran

Výšky rovnoběžníkuVýšky rovnoběžníkuVýška rovnoběžníku = vzdálenost protějších rovnoběžných stranVýška rovnoběžníku = vzdálenost protějších rovnoběžných stran

A

va

vb

vb

va

D C

Ba

b

|DD|DD11| = v| = vaa

|CC|CC11| = v| = vaa

|DD|DD22| = v| = vbb

|AA|AA22| = v| = vbb

Úsečky Úsečky DDDD11 a a DDDD22 leží na kolmicích sestrojených bodem D leží na kolmicích sestrojených bodem D

k protějším stranám rovnoběžníku.k protějším stranám rovnoběžníku.

D1

D2

vzdálenost a, cvzdálenost a, c vzdálenost b, dvzdálenost b, dA2

C1

c

d

Obsah rovnoběžníkuObsah rovnoběžníku

4 cm

2,5 cm

A

D C

B

Rovnoběžníky mají stejné délky stran.

Mají stejné obsahy?

4 cm

N M

LK

2,5 cm

Obsah rovnoběžníkuObsah rovnoběžníku

2,5 cm

Který z rovnoběžníků má větší obsah?

S = 4 . 2

S = 8 cm2

S = 4 . 1,7

S = 6,8 cm2

4 cm

N M

LK

2,5 cmv

4 cm

2,5 cm

A

D C

B

v

Urči obsah obrazcůUrči obsah obrazců 1 cm2

AA

BB

CCDD

EE FF

SSAA =1.4 =1.4

SSAA= 4 cm= 4 cm22

SSBB = 3.2 = 3.2

SSB B = 6 cm= 6 cm22

SSCC = 4.2 = 4.2

SSCC= 8 cm= 8 cm22

SSEE = 5.3 = 5.3

SSEE= 15 cm= 15 cm22

SSFF = 2.3 = 2.3

SSFF= 6 cm= 6 cm22

SSDD = 1.1 = 1.1

SSDD= 1 cm= 1 cm22

Obsah rovnoběžníku - vzorecObsah rovnoběžníku - vzorec

a

S = a . vS = a . vaa

S = b . vS = b . vbb

vynásobíme stranu rovnoběžníku příslušnou výškou k této straněvynásobíme stranu rovnoběžníku příslušnou výškou k této straně

aa, , bb strany stranyvvaa, , vvbb výšky výšky

vava

S = a . vS = a . vaa

a =60 cm

b =54 cmvvaa = = 25cm

Obsah rovnoběžníku je 1 500 cmObsah rovnoběžníku je 1 500 cm22..

Př.: Vypočti obsah rovnoběžníku, jestliže strana a = 60 cm, Př.: Vypočti obsah rovnoběžníku, jestliže strana a = 60 cm,

b = 54 cm a výška vb = 54 cm a výška vaa = 25 cm. = 25 cm.

S = 1 500 cmS = 1 500 cm22

S =S = 60 . 2560 . 25

S = a . vS = a . vaa

a =7,6 cm

vvaa = = 4,8 cm

Obsah kosodélníku je 36,48 cmObsah kosodélníku je 36,48 cm22..

Př.: Vypočti obsah kosodélníku ABCD, je-li dáno:Př.: Vypočti obsah kosodélníku ABCD, je-li dáno:

a = 7,6 cm, va = 7,6 cm, vaa = 4,8 cm. = 4,8 cm.

S = 36,48 cmS = 36,48 cm22

S =S = 7,6 . 4,87,6 . 4,8

S = a . vS = a . vaa

a =250 m

vvaa = = ? m

Vzdálenost dvou protějších stran pozemku tvaru Vzdálenost dvou protějších stran pozemku tvaru kosodélníku je 120 m.kosodélníku je 120 m.

Př.: Pozemek tvaru kosodélníku má výměru 3 ha. Určete Př.: Pozemek tvaru kosodélníku má výměru 3 ha. Určete vzdálenost dvou jeho protějších stran, z nichž každá má vzdálenost dvou jeho protějších stran, z nichž každá má délku 250 m. délku 250 m.

30 000 =30 000 = 250 . v250 . vaa

S =S = 3 ha = 30 000 m3 ha = 30 000 m22

a =250 m

vvaa = 30 000 : = 30 000 : 250250

vvaa = 120 m = 120 m

vvaa = = ? m

Obvod rovnoběžníkůObvod rovnoběžníků

b

a

b

a

a

a

a

a

o = 2 . (a + b)o = 2 . (a + b)o = a + a + a + ao = a + a + a + a

KosodélníkKosodélník KosočverecKosočverec

o = a + b + a + bo = a + b + a + b

o = 4 . ao = 4 . a

S = a . vS = a . vaaa = ? cm

vvaa = = 3,2 cm

Obsah kosočtverce je 15,36 cmObsah kosočtverce je 15,36 cm22..

Př.: Kosočtverec má obvod 19,2 cm a výšku 32 mm. Vypočti Př.: Kosočtverec má obvod 19,2 cm a výšku 32 mm. Vypočti jeho obsah. jeho obsah.

S = 15,36 cmS = 15,36 cm22

S =S = 4,8 . 3,24,8 . 3,2

o =o = 19,2 cm19,2 cm

a =a = 19,2 : 419,2 : 4

a =a = 4,8 cm4,8 cm

a = ? cmS =S = ? cm? cm22

a = ? cm

Lichoběžníky v praxiLichoběžníky v praxi

LichoběžníkyLichoběžníky

základny AB=a, CD=czákladny AB=a, CD=c a || ca || c

ramena BC=b, AD=dramena BC=b, AD=d b || db || d

výška v …. vzdálenost výška v …. vzdálenost

základenzákladen vnitřní úhlyvnitřní úhly

αα + + δδ = 180 = 180oo

ββ + + γγ = 180 = 180oo

úhlopříčky – AC, BDúhlopříčky – AC, BD

LichoběžníkLichoběžník – čtyřúhelník, který má 2 protější strany rovnoběžné (základny) a zbývající 2 různoběžné (ramena)

A

D C

Ba

bd

c

v

α β

γδ

βα

jiné označení pro základny a ramenajiné označení pro základny a ramena

základny …..zzákladny …..z11 a z a z22

ramena ……rramena ……r11 a r a r22

Základní prvky lichoběžníkuZákladní prvky lichoběžníku

a (z1)

c (z2)

b (r1)d (r2)vv

A B

CD

základny – rovnoběžné strany a, c nebo z1, z2

ramena – různoběžné protější strany b, d nebo r1, r2

výška vv – úsečka kolmá na základny, jejíž krajní body na nich ležíúhlopříčky – e, f

eeff

Rozdělení lichoběžníkůRozdělení lichoběžníkůobecnýobecný strany různě dlouhéstrany různě dlouhé různé vnitřní úhlyrůzné vnitřní úhly

pravoúhlý pravoúhlý jedno rameno kolmé k základnámjedno rameno kolmé k základnám 2 vnitřní úhly pravé2 vnitřní úhly pravé

rovnoramenný rovnoramenný shodná ramenashodná ramena shodné úhly při základně shodné úhly při základně shodné úhlopříčky shodné úhlopříčky osa souměrnosti - rozděluje lichoběžník osa souměrnosti - rozděluje lichoběžník

na 2 shodné pravoúhlé lichoběžníkyna 2 shodné pravoúhlé lichoběžníky

δ

α β

γ

o

r r

z1

z2

r1

z1

z2

z2

r1

r2

r2

z1

α = β

γ = δ

Obvod lichoběžníkuObvod lichoběžníku

aa

bb

cc

dd

o = a + b + c + do = a + b + c + d

= součet délek všech jeho stran= součet délek všech jeho stran

Procvičení – obvod, vnitřní úhlyProcvičení – obvod, vnitřní úhly

1. Určete obvod lichoběžníku KLMN1. Určete obvod lichoběžníku KLMN

2. Určete velikosti úhlů lichoběžníku2. Určete velikosti úhlů lichoběžníku

K

N M

LK L

MN

33 mm

66 mm

40 mm

26 mm3 cm

3,5 cm

7 cm

shodné úhly

δα β

γ

140o

35o110o

o = 165 mmo = 165 mm o = 16,5 cmo = 16,5 cm

αα = 70 = 70oo β = 145β = 145ooδ = 90δ = 90ooγ = 40γ = 40oo

S

Obsah lichoběžníkuObsah lichoběžníku

A B E

CD c

a c

v

| BSE| = | CSD| … úhly vrcholové

| SBE| = | SCD| … úhly střídavé

BES CDS (věta usu)|BS| = |CS|

Obsah lichoběžníku ABCD = obsahu trojúhelníku AED

Obsah lichoběžníku – sečteme základny, vynásobíme výškou a výsledek vydělíme dvěma.

(a + c) . v

2S =

Př.: Vypočti obsah lichoběžníku se základnami Př.: Vypočti obsah lichoběžníku se základnami a = 6 cm, c = 2,5 cm a výškou v = 3 cm.a = 6 cm, c = 2,5 cm a výškou v = 3 cm.

a = 6 cm

c = 2,5 cm

v = 3 cm

(a + c) . v

2S =

(6 + 2,5) . 3

2S =

8,5 . 3

2S =

25,5

2S =

S = 12,75 cmS = 12,75 cm22

Obsah lichoběžníku je 12,75 cmObsah lichoběžníku je 12,75 cm22..

Vypočti obsah lichoběžníku ABCD:Vypočti obsah lichoběžníku ABCD:

1. a = 15 cm; c = 3 dm; v = 12 cm1. a = 15 cm; c = 3 dm; v = 12 cm

2. a = 120 mm; c = 0,8 dm; v = 9 cm2. a = 120 mm; c = 0,8 dm; v = 9 cm

3.3.4 cm

6,9 cm

3,3

cm

2,8

cm

4.4.

S = 15,26 cmS = 15,26 cm22

5,2 cm

1,9

cm

88 mm

S = 13,3 cmS = 13,3 cm22

S = 270 cmS = 270 cm22

S = 90 cmS = 90 cm22

řešení

1,9

cm1,

9 cm

1,9

cm

1. a = 15 cm; c = 3 dm; v = 12 cm1. a = 15 cm; c = 3 dm; v = 12 cm

(15 + 30) . 12

2S =

(12+ 8) . 9

2S =

45 . 6

1S =

S = 270 cmS = 270 cm22

2. a = 120 mm; c = 0,8 dm; v = 9 cm2. a = 120 mm; c = 0,8 dm; v = 9 cm

14 . 1,9

2S =

S = 90 cmS = 90 cm22

(6,9 + 4) . 2,8

2S =3.3.

20 . 9

2S =

S = 15,26 cmS = 15,26 cm22

S = 13,3 cmS = 13,3 cm22

(8,8 + 5,2) . 1,9

2S =

10,9 . 1,4

1S =

4.4.

zadání

Př.: Lichoběžník má obsah S = 66 cmPř.: Lichoběžník má obsah S = 66 cm22 a základny a základny

a = 14 cm, c = 8 cm. Vypočítejte jeho výšku v.a = 14 cm, c = 8 cm. Vypočítejte jeho výšku v.

(14 + 8) . v

266 =

(a + c) . v

2S =

a = 14 cm

c = 8 cm

v = x cm

S = 66 cm2

11 . v66 =

22 . v

266 =

v = 6 cmv = 6 cm

Výška lichoběžníku měří 6 cm.

(a + c) . v

2S =

Čtyřúhelníky – matematika 7. ročník ZŠČtyřúhelníky – matematika 7. ročník ZŠ

Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř.Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. Windows XP ProfessionalWindows XP Professional MS Office MS Office Zoner - České kliparty 1, 2, 3Zoner - České kliparty 1, 2, 3 učebnice matematikyučebnice matematikyObrázky z internetuObrázky z internetu

Autor: Mgr. Bohumila ZajíčkováAutor: Mgr. Bohumila ZajíčkováZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (www.www.zsrozmitalzsrozmital..czcz))