cshop.sputnikedu.com/files/se004_mirellamath_sample.pdf · vừa khó, bởi vì lời giải của...

Hình ngoài bìa: c� Mirella vẽ.

E-book này được gộp lại từ 2 quyển sách:

Các bài giảng về toán cho Mirella (Quyển I)

và

Các bài giảng về toán cho Mirella, Quyển II

Về tác giả:

GS Nguyễn Tiến Dũng đoạt huy chương vàng OlympiadToán Quốc Tế năm 1985, tốt nghiệp Đại học Quốc giaMoskva mang tên Lomonosov (Liên Bang Nga) năm 1991,bảo vệ luận án tiến sĩ về toán năm 1994 ở Đại học Stras-bourg, trở thành nghiên cứu viên của Trung tâm Nghiêncứu Khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) vào năm 1995, đượcbổ nhiệm làm giáo sư tại Đại học Toulouse năm 2002, vàđược Ủy ban Quốc gia của Pháp (Conseil National des Uni-versités) phong chức giáo sư ngoại hạng (professeur classeexceptionnelle) năm 2015. GS Nguyễn Tiến Dũng là mộtchuyên gia trong các lĩnh vực hình học vi phân, hệ độnglực, và toán tài chính, và từng có thời gian làm Viện trưởngPhân viện Toán lý thuyết (với 70 cán bộ nghiên cứu có biênchế) của Viện toán Toulouse.

2 Bản e-book số: SE004-MM-LBP-ST

Mục lục

Quyển I 6Lời giới thiệu của Giáo sư Hà Huy Khoái . . . . . . 8

Lời tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Bài toán của công chúa Dido . . . . . . 16

2 Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh hình vuông 31

3 Con khỉ đi bán chuối . . . . . . . . . . . 45

4 Các hình đa giác và các nhóm đối xứng 56

5 Vấn đề lát gạch . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Bài toán về các con kiến . . . . . . . . . 81

7 Cắt ghép hình vuông thành tam giác đều 89

8 Bài toán bò ăn cỏ . . . . . . . . . . . . . 99

9 Các số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 106

10 Tổng bình phương của cấp số cộng . . . 119

11 Tích phân là gì . . . . . . . . . . . . . . 131

12 Bánh xe hình vuông! . . . . . . . . . . . 144

Phụ lục: lời giải cho một số bài tập . . . . . . . . . 156

4

Quyển II 163Lời giới thiệu của GS Nguyễn Văn Mậu . . . . . . . 164

Lời tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Compter avec l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13 Số học trên mặt phẳng . . . . . . . . . . 181

14 Pythagoras và tích vô hướng . . . . . . 204

15 Các đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . 216

16 Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . 234

17 Con thỏ của Mirella . . . . . . . . . . . 246

18 Xổ số có giải tỷ đô la . . . . . . . . . . . 254

19 Đạo hàm là gì . . . . . . . . . . . . . . . 263

20 Nguyên lý biến phân Fermat . . . . . . . 279

21 Entropy và trò chơi đoán số . . . . . . . 298

22 Bài toán cân 12 đồng tiền . . . . . . . . 320

Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre” . . . . . . 334

Dành riêng cho: Lê Bich Phượng 5

Lời giới thiệu của GS HàHuy Khoái

Đọc cuốn “Các bài giảng về toán cho Mirella”, tôi gặplại cái cảm giác tươi mát của 4-5 năm trước, khi đến thămngôi nhà nhỏ của Dũng–Mai–Tito–Mirella ở Toulouse. Ngôinhà có mảnh vườn nhỏ, với những luống cà chua và mấykhóm rau thơm mang giống từ Việt Nam. Bữa ăn hôm đóthơm mùi cà chua mới hái trong vườn, lại còn được nghechủ nhà kể về cái cách chăm sóc chúng với niềm say mêthực sự của người làm vườn.

Hôm nay, ông chủ của khu vườn đó lại dẫn chúng tavào một khu vườn khác, cũng với niềm say mê như thế.Không những ta được ông chủ chỉ cho xem, được chiêuđãi những hoa thơm quả ngọt của khu vườn, mà còn đượctận tình chỉ bảo cách tạo nên những hoa thơm qủa ngọtđó. Khu vườn có tên là Toán học. Không ít người từng ngạingần khi bước vào khu vườn bí hiểm đó, với những lối đichẳng khác nào labyrinth. Nhưng đi theo người làm vườnthành thạo đã hiểu mọi ngõ ngách khu vườn như lòng bàn

8

tay, ta bỗng thấy mọi điều trở nên thật dễ dàng. Tất cả đềuhiện lên với một vẻ đẹp thật đơn giản và thuần khiết. Hơnthế nữa, ta bỗng thấy háo hức muốn cầm ngay xẻng, cuốcđể tự mình trồng vài cái cây, vài khóm hoa, luống rau. Đốivới tôi, khu vườn toán học đó không có gì xa lại. Vậy màđi theo người làm vườn Nguyễn Tiến Dũng, tôi vẫn ngạcnhiên thú vị về cái cách anh giảng giải chuyện làm thếnào để trồng được mấy khóm cây đó, như chuyện kể về lýthuyết nhóm thông qua việc xoay xoay mấy hình đa giác,hay bài toán tìm hình có chu vi cho trước với diện tích cựcđại bằng cái dây da trâu của công chúa Dido.

Các bài giảng về toán cho Mirella thực sự là một cuốnsách giáo khoa toán học cho tất cả mọi người, đặc biệt chonhững ai muốn tìm hiểu vẻ đẹp của toán học mà còn ngạitính toán! Nói cho cùng, trong toán học có hai phần “tính”và “toán”. Nếu như các kỳ thi thường hay bắt thí sinh phảithạo “tính”, thì tác giả lại cho người đọc hiểu phần “toán”,tức là phần bản chất nhất của toán học. Hơn nữa, khi đãhiểu “toán” thì việc “tính” cũng sẽ tự nhiên như trồng mộtcái cây, gieo một hạt giống thôi. Đã đến lúc chúng ta cùngngười làm vườn và cô bé Mirella bước vào khu vườn Toánhọc, với niềm vui của người khám phá và sáng tạo.

GS Hà Huy Khoái (Viện sĩ TWAS, nguyên Viện trưởngViện Toán học Hà Nội)


6Bài toán về các con kiến

Con kiến mà leo cành đa

Leo phải cành cụt leo ra leo vào ...

Có một bài toán đố vui về các con kiến như sau, màtrong một lần đi chơi cùng Mirella, Tito, và hai anh họ,papa đã đem ra đố cả 4 anh em, rồi sau đó thảo luận lờigiải và đặt thêm các câu hỏi khác xung quanh:

Giả sử có một cái thanh ngang có hai đầu. Một con kiếnđi từ đầu này đến đầu kia của thanh thì mất 2 phút. Khi điđến một trong hai đầu, thì kiến sẽ rơi xuống đất thay vì điquay lại như trong bài thơ. Bây giờ giả sử có 10 con kiếntrên thanh ngang và đi với cùng tốc độ như vậy, nhưng vềcác hướng khác nhau. Nếu có hai còn nào đi ngược hướngđến cùng 1 vị trí trên thanh ngang thì chúng chạm đầu vàonhau và quay ngược lại đi tiếp. Hỏi rằng sau bao nhiêu thờigian thì chắc chắn rằng cả 10 con kiến sẽ cùng rơi xuống

81

Chương 6. Bài toán về các con kiến

đất?

Trước khi xem gợi ý và lời giải phía dưới đây, bạn đọchãy thử tự nghĩ cho đến khi tìm được lời giải hoặc ít nhất15 phút xem sao?

Giả thiết tự hiểu ở đây là các con kiến có độ dài khôngđáng kể (nhỏ như là các điểm), và khi chúng đụng đầunhau và quay ngược lại thì quá trình đụng đầu và quayđầu đó cũng không mất thời gian gì cả. Thời gian hỏi trongbài là thời gian để cho cả 10 con kiến đều rơi xuống trongtrường hợp “tồi” nhất, tức là trường hợp tốn nhiều thờigian nhất, còn tất nhiên khi cả 10 con đều ở sát các đầu vàcon nào cũng đi về phía đầu gần nó nhất, thì sẽ hầu nhưkhông tốn tý thời gian nào để cả 10 con cùng rơi xuốngđất.

Bài toán đố trên có lẽ là một trong những bài toán đốthú vị nhất cho học sinh, và cho cả người lớn. Nó vừa dễvừa khó, bởi vì lời giải của nó học sinh lớp 1 cũng có thểhiểu được, nhưng mà người lớn cũng khó nghĩ ra lời giảiđúng. Papa không rõ xuất xứ của nó, tuy có nhớ mangmáng là có một lần thấy nó xuất hiện trong một quyểnsách phổ biến kiến thức của nhà toán học Ian Stewart.Nó được truyền miệng từ người này sang người khác. Bảnthân papa biết về nó là do một bạn đồng nghiệp của papa,GS. Jean-Marc Schlenker, kể trong một lần ăn trưa. Sau



đó, papa có đem bài này đi đố lại rất nhiều người, trongđó chỉ có vài người giải đúng mà không cần gợi ý. Nếu bạnđọc đã nghĩ ra hoặc biết lời giải rồi, thì thử nghĩ tiếp 2 câuhỏi sau:

Câu hỏi 2: 10 con kiến đó có thể đụng đầu nhau nhiềunhất là bao nhiêu lần trước khi tất cả rơi xuống ?

Câu hỏi 3: Một con kiến (trong số 10 con đó) thì có thểđụng đầu vào các con khác nhiều nhất là bao nhiêu lầntrước khi rơi xuống?

Giải bài toán con kiến

Nếu đã biết lời giải rồi thì không nói làm gì. Nhưng giảsử là ta chưa biết lời giải, khi đó làm thế nào để tìm lờigiải?

Thứ nhất là có thể kiểm tra nhanh một cái, rằng cáccon kiến thể nào cũng sẽ rơi xuống hết, chứ không bị mắclại trên thanh ngang mãi vì cứ đi đâm đầu vào nhau. Thậtvậy, xét con kiến ở phía ngoài cùng bên phải. Nếu nó đivề phía bên phải, thì sẽ không đâm đầu vào con nào và cứthế là rơi xuống. Nếu nó đi về phía bên trái rồi chẳng mayđụng đầu, thì nó quay lại đi về phía bên phải, và khi đónó vẫn ở ngoài cùng bên phải nên sẽ rơi xuống mà khôngđụng đầu thêm con nào. Cứ tiếp tục như thế, lần lượt tất



cả các con kiến sẽ đều rơi xuống.

Thứ hai là đến “đoán mò” ước lượng thời gian. Nếunhư có thể chỉ ra rằng, trong mọi trường hợp, con ngoàicùng bên phải đi mất không quá 2 phút để rơi xuống, thìtheo qui nạp n con sẽ cần không quá 2n phút để toàn bộrơi xuống. Thế nhưng 2n có phải là đáp án không, hay làchúng cần ít thời gian hơn để tất cả cùng rơi?

Thứ ba là, nếu ta làm trường hợp tổng quát n con (n =

10 trong bài toán) khó quá, thì đầu tiên ta thử tìm lời giảicho các trường hợp n nhỏ đã, rồi tìm cách tổng quát hóalên sau. Vậy nếu chỉ có 2 con (n = 2) hoặc 3 con (n = 3)thì sao?

Trường hợp n = 2: Chỉ có cùng lắm là 1 lần đụng đầu,và nếu không đụng đầu thì sau 2 phút chắc chắn cả haicon đều rơi, vì quãng đường cần đi của mỗi con đều ngắnhơn hoặc bằng so với toàn bộ chiều dài của thanh ngang,và toàn bộ chiều dài đó mới cần đến 2 phút. Nếu có đụngđầu thì sao? Giả sử đụng đầu sau thời gian t (tính từ thờiđiểm bắt đầu đi), và điểm đụng đầu cách đầu bên phải làa và cách đầu bên trái à b. Ở đây, a và b là hai đại lượng đobằng thời gian để đi, tính theo đơn vị phút, tức là nếu conkiến đi từ điểm đụng đầu đó đến đầu bên trái của thanhngang mà không bị vướng con nào thì đi mất a phút, cònđi đến đầu bên phải thì mất b phút. Khi đó a + b = 2 là



độ dài thanh ngang. Ngoài ta phải có a ≥ t, vì con kiến đitừ bên trái đi mất t thời gian cho đến thời điểm đụng đầu,được một đoạn đường nằm trong đoạn từ đầu bên trái đếnđiểm đụng đầu. Con kiến bên phải sẽ rơi xuống sau tổngthời gian là t + b. Nhưng vì t ≤ a nên t + b ≤ a + b = 2.Như vậy con bên phải rơi xuống sau không quá 2 phút.Tương tự như vậy với con bên trái. Vậy là, khi có 2 conkiến thì cũng chỉ mắt cùng lắm là 2 phút, chứ không phảilà 2× 2 = 4 phút!

Khi n = 3 thì sao? Có khá nhiều trường hợp hơn so vớin = 2. Có thể liệt kê một danh sách đầy đủ các trường hợp.Bạn đọc thử viết tỷ mỉ ra rồi tính toàn bộ các trường hợpxem. Kết quả cuối cùng là gì? Là 3 phút hay 4 phút? Nếutìm ra là 3 phút hay 4 phút thì lời giải bị sai. Lời giải đúnglà: cũng chỉ cần 2 phút khi có 3 con!

Thứ tư là, khi ta đã có đáp số cho các trường hợp n =

1, n = 2, n = 3, thì ta dựa vào đó để đoán trường hợptổng quát. Vì n = 1, 2, 3 đều cho ra kết quả là 2 phút, nênđoán là trường hợp tổng quát cũng chỉ có 2 phút. Có ngạcnhiên không? Bản thân papa lần đầu khi thấy vậy rất ngạcnhiên, vì cứ hình dung các con kiến đập đầu vào nhau quayđi quay lại nhiều lần sẽ phải tốn nhiều thời gian đi vòngvo trước khi rơi xuống!

Thứ năm là, sau khi có giả thuyết (chỉ cần thời gian 2



phút) rồi, làm sao chứng minh nó? Bạn đọc đã được gợiý cho đáp số rồi, hãy tìm cách chứng minh nó thật lâu đitrước khi “đầu hàng” đọc tiếp lời giải.

Mấu chốt của lời giải

Điểm mấu chốt của lời giải là: nếu có một người quansát “nhìn từ xa”, không phân biệt các con kiến với nhau,thì việc chúng quay đầu đi ngược lại cũng không khác gìviệc chúng cứ thế đi tiếp: nếu chẳng hạn con kiến A đụngđầu con kiến B rồi đi ngược lại, thì cũng cứ như là A cứ đitiếp và B cứ đi tiếp nhưng “đổi tên” hay “đánh tráo” chúngcho nhau thôi. Nếu chỉ nhìn tổng thế chứ không phân biệtcác con kiến, thì việc có quay đầu lại hay không vẫn thế.Và tất nhiên, nếu không cần quay đầu lại, thì thời gian tốiđa cần thiết để chúng rơi xuống hết là 2 phút.

Suy luận như trên chính là một điểm rất quan trọngtrong tư duy toán học: Nhìn thấy sự giống nhau trong cácvấn đề khác nhau, và đưa vấn đề phức tạp về vấn đề đơngiản hơn. Ở đây, bài toán con kiến có một sự “đối xứng”giữa các con kiến, tức là không thay đổi nếu ta hoán vị cáccon kiến. Nhóm đối xứng ở đây là nhóm hoán vị Sn.



Bao nhiêu lần đụng đầu?

Để trả lời câu hỏi 2, nhận xét rằng số lần đụng đầucũng bằng số lần đi qua nhau nếu ta coi các con kiến cứ đitiếp mà không quay đầu. Con số này nhiều nhất nếu mọicon đi về hướng bên phải đều đi qua mọi con đi về phíabên trái. Khi đó số lần đụng đầu là a × b, trong đó a là sốkiến đi về phía bên phái, b là số kiến đi về phía bên trái,a + b = 10. Cực đại đạt được khi a = b = 5, tức là nhiềunhất có 25 lần đụng đầu.

Thế còn một con kiến thì đụng đầu nhiều nhất đượcbao nhiêu lần? Đáp số là 9. Hãy tự tìm lời giải! Xem Hình6.1.

Bài tập 6.1. Thế còn một cặp 2 con kiến (trong bài toánvới 10 con kiến này) thì có thể đụng đầu nhau cùng lắm làbao nhiêu lần ?

Bản e-book của Lê Bich Phượng,

e-mail: [email protected]



Hình 6.1: Đường đi của con kiến đụng đầu 9 lần


17Con thỏ của Mirella

Con thỏ của Mirella là một con thỏ rất to, to đến mứcpapa cũng ngạc nhiên. Nó to đến như thế nào, thì xem tiếpsẽ rõ.

Con thỏ lớn nhanh

Số là thế này. Một lần, Mirella nghĩ ra bài toán con thỏđể đố papa. Mirella nói: “con thỏ này cứ mỗi ngày lại tolên gấp đôi, papa phải đưa ra định lý cho nó”. Papa liềntrả lời:

- Thế thì chẳng mấy chốc con thỏ sẽ to hơn cả quả đất.

- Nhưng mà đến ngày thứ 151 thì nó thôi không lớnthêm nữa. - Mirella nói.

- Thế thì nó vẫn to lắm, có khi vẫn to hơn cả trái đất. -Papa đáp lại.

246

Chương 17. Con thỏ của Mirella

Papa và Mirella liền rủ nhau ước lượng xem con thỏcủa Mirella sẽ to ra bằng từng nào, và so với trái đất thìsao.

Con thỏ của Mirella tăng trong vòng 150 ngày, mỗingày tăng gấp đôi. Cứ 10 ngày thì nó tăng lên gấp khoảng1000 lần. Mirella đính chính lại là, 10 ngày thì nó tăng1024 lần. Nhưng thôi ta cứ coi là 1000 lần, hay 103, chotiện. Sau 150 ngày, tức là 15 lần 10 ngày, thì con thỏ sẽtăng lên quãng (103)15, tức là thành 1045 lần, vì 15×3 = 45.Nếu giả sử lúc ban đầu con thỏ nặng quãng 100 gram, tứclà 1/10 kg, thì sau khi tăng 1045 lần, nó sẽ thành quãng1044 kg, hay là 1041 tấn. Thực ra thì thỏ tăng lên hơn 1045

lần (nếu tính chính xác hơn, dùng 210 = 1024 thay vì 1000,thì được 102415 ≈ 1.42 × 1045 lần cơ), nhưng mà hôm đầutiên thỏ cũng không nặng đến 1/10 kg, nên cuối cùng đếnngày thứ 151 thỏ thôi không lớn nữa thì vẫn coi là nặngthành 1044 kg được. Mirella đồng ý với papa là thỏ nặngtừng đó.

Thế còn trái đất nặng quãng bao nhiêu?

So sánh với trái đất

Papa đã kể cho Mirella một lần rằng chu vi của trái đấtdài khoảng 40 nghìn km. Chu vi bằng 2 lần π nhân với bán

Bản e-book của Lê Bich Phượng 247


kính, trong đó π xấp xỉ bằng 3.14. Lấy 40 nghìn chia cho 2rồi chia cho hơn 3 một chút, ta được một số hơn 6 nghìnmột chút, chưa đến 6 nghìn rưỡi. Papa với Mirella tính xấpxỉ “thô” thôi, chứ không định tính thật chính xác.

Công thức tính thể tích hình cầu thì Mirella cũng nhớ:nó bằng 4/3 nhân với π nhân với bán kính lập phương.Bán kính là quãng 6 nghìn km. 6 lập phương bằng quãng200, còn 4 nhân π chia 3 thì được hơn 4 nhưng chưa được5, nhân với 6 lập phương thì ta cứ coi như là 200 nhânvới 5, thành ra 1000, tức là 103. Nhưng số 6 ở đây là ở vịtrí hàng nghìn, nên phải tính thêm 1000 lập phương nữa,thành 109. Nhân 103 với 109 được 1012.

Như vậy, thể tích của trái đất ở vào cỡ 1012 km khối.Một ki-lô-mét thì bằng 103 mét, và một ki-lô-mét khối thìbằng (103)3 = 103 mét khối, nên thể tích trái đất ở vào cỡ1012 × 109 = 1021 mét khối. Tính thêm tiếp: 1 mét thì bằng10 dm (đê-xi-mét), và 1 mét khối thì bằng 103 dm khối.Nhân 1021 với 103, ta được thể tích trái đất vào cỡ 1024 dmkhối.

Từ thể tích làm sao ước lượng ra khối lượng? Mirellakhông biết. Papa mới mách cho Mirella một “bí mật” là, 1deximet khối nước nặng quãng 1kg. Nhưng trái đất khôngphải là nước, trong trái đất có kim loại nặng hơn nhiều sovới nước. Ta coi là nặng trung bình gấp 10 lần nước chẳng

248 Bản e-book của Lê Bich Phượng


hạn, tức là mỗi dm khối của trái đất nặng trung bình quãng10 kg. Như vậy, trái đất sẽ nặng quãng 1024× 10 = 1025 kg.

Tất cả các phép tính ước lượng trên mà papa làm vớiMirella là tính nhẩm, không hề dùng đến giấy bút hay máytính. Theo ước tính của Mirella và papa, thì trái đất nặngvào cỡ 1025 kg, hay là 1022 tấn.

Trong khi đó con thỏ của Mirella sẽ nặng những 1041

tấn, tức là sẽ nặng gấp những 1019 lần trái đất!

Sau khí tính toán ước lượng nhẩm về trái đất, papa vàMirella tra internet xem các con số thực sự ra sao. Kết quảwikipedia(1) như sau:

Thể tích trái đất bằng 1.08321× 1012 km khối.

Khối lượng trái đất bằng 5.9736× 1024 kg, tức là quãng0.6× 1022 tấn.

Xem ra, ước lượng của papa và Mirella về thể tích tráiđất khá tốt, lệch có 8%, còn ước lượng về khối lượng thìbị lệch nhiều hơn: khối lượng thực sự chỉ có 0.6× 1022 tấntrong khi papa và Mirella ước lượng ra thành khoảng 1022

tấn. Ước lượng về khối lượng bị sai chủ yếu là do papa vàMirella “đoán mò” sai về mật độ của trái đất: mật độ củatrái đất chỉ có 5.515kg/dm3 (tức nặng gấp khoảng 5.5 lầnso với nước) trong khi papa và Mirella coi nó nặng gấpnhững 10 lần so với nước.

(1)Xem http://en.wikipedia.org/wiki/Earth



Ăn cả Ngân Hà

Ước lượng tính nhẩm của Mirella và papa về khối lượngtrái đất tuy không thật chính xác, nhưng đúng được về cỡ1025 kg của nó (nhân với một số nào đó gần 1, theo nghĩalog của số đó gần bằng 0), và con thỏ của Mirella nặngbằng quãng những 5/3× 1019 trái đất. Thế so với mặt trờithì sao?

Vẫn theo wikipedia(2), các nhà thiên văn đo được rằng,chu vi của mặt trời dài gấp 109 lần chu vi của trái đất.Nếu so sánh thể tích thì phải lấy lập phương của số đó, tứclà thể tích của mặt trời bằng quãng 1093 ≈ 1.3 triệu lầnthể tích trái đất. So với mặt trời, thì quả là trái đất bé tíxíu. Nhưng mặt trời “loãng” hơn trái đất, mật độ chỉ bằngquãng 1/4 mật độ của trái đất, nên khối lượng không phảilà gấp 1.3 triệu lần khối lượng trái đất, mà chỉ gấp 333nghìn lần thôi, hay có thể viết là 1/3 × 106 lần. So với thỏcủa Mirella thì mặt trời vẫn quá bé: thỏ của Mirella nặnggấp những (5/3×1019)/(1/3×106) = 5×1013 lần mặt trời!Vì trong hệ mặt trời, chỉ có mặt trời là lớn nhất chiếm gầnhết khối lượng rồi, có cộng tất cả các hành tinh của hệ mặttrời vào thêm cũng không ăn thua mấy, nên có thể coi làthỏ của Mirella nặng gấp 5× 1013 lần toàn bộ hệ mặt trời.

(2)X em: http://en.wikipedia.org/wiki/Sun



Hình 17.1: Thỏ của Mirella. Tranh do Mirella vẽ.

Thế so với dải Ngân Hà chứa hệ mặt trời của chúng tathì sao?(3). Theo các nhà thiên văn, thì dải Ngân Hà chứatừ 100 tỷ đến 400 tỷ vì sao (mỗi vì sao là một thiên thể tỏasáng mạnh, tương tự như là mặt trời vậy), và họ ước lượngrằng khối lượng của dải Ngân Hà bằng quãng 5.7 × 1011

(tức 570 tỷ) khối lượng của mặt trời. Thật là một con sốlớn khủng khiếp. Nhưng vẫn thua thỏ của Mirella: thỏ của

(3)Xem Milky Way galaxy: http://en.wikipedia.org/wiki/Milky_Way. Sở dĩ thiênhà chứa hệ mặt trời của chúng ta được gọi như vậy là vì có thể nhìn thấy nó trênbầu trời có hình như là một dòng sông màu sữa, hay màu bạc



Mirella nặng bằng gần 100 lần dải Ngân Hà!

Thế so với cả vũ trụ thì sao? Người ta đếm được trongvũ trụ có đến 1.7 × 1011 các thiên hà (galaxy) khác nhau.Thỏ của Mirella, tuy to gấp cả trăm lần dải Ngân Hà,nhưng cũng chỉ bằng một thiên hà loại lớn thôi, và nhưvậy vẫn còn rất bé so với toàn bộ vũ trụ. Mirella phấn khởinói: “Thế là con thỏ đầu tiên có thể ăn trái đất, rồi ănhệ mặt trời, rồi ăn dài Ngân Hà, rồi ăn thêm các thiên hàkhác, để lớn được thành như vậy!".

Con thỏ bé hơn

Papa đề nghị với Mirella là, không cho con thỏ lớn lêntrong những 150 ngày liền như vậy nữa, vì nó sẽ ăn hếtmất bao nhiêu là thiên hà mất. Mirella thì nói là nó có thểăn cả các thế giới song song (parallel worlds) nữa để màlớn. Sau một hồi kỳ kèo mặc cả, Mirella đồng ý với papalà, thôi bây giờ chỉ cho nó lớn lên trong vòng 60 ngày thôi,mỗi ngày tăng lên gấp đôi, nhưng từ ngày thứ 61 sẽ khônglớn thêm nữa.

Con thỏ “bé” này của Mirella chỉ tăng được có (103)6 =

1018 lần thôi, chứ không phải 1045 lần như trước. Vẫn vớigiả sử lúc đầu nó nặng gần bằng 1/10 kg như trước, thìcon thỏ này sẽ “chỉ” nặng có 1018 × 1/10 = 1017 kg, hay là



1014 tấn, sau khi thôi lớn. So với trái đất, lần này thỏ “bé”của Mirella quả là bé: trái đất năng 0.6 × 1025 kg, tức lànặng gấp những 6× 107 (tức 60 triệu) lần con thỏ.

Trong lúc papa dẫn Mirella đi mua một cái xe đạp mớithay cho cái xe đạp cũ đã trở nên cũn cỡn, Mirella tò mòmuốn biết con thỏ 1014 tấn là nặng như thế nào so với cácthứ khác trên trái đất. Mirella mới hỏi papa: “một cái nhànhỏ thì nặng quãng bao nhiêu?”. Papa không biết, nhưngđưa ra đại một con số: “quãng 100 tấn”. “Một thành phốthì có quãng bao nhiêu nhà?” – Mirella hỏi tiếp. Papa trảlời là một thành phố lớn, thì có tương đương với khoảng1 triệu (106) cái nhà nhỏ. Như vậy, một thành phố lớn, thìnhà cửa nặng khoảng 106 × 100 = 108 tấn. “Thế một nướcthì có bao nhiêu thành phố?”. Một nước rất lớn, thì có thểcoi tương đương với 100 thành phố. Như vậy nhà cửa củamột nước rất lớn nặng 100 × 108 = 1010 tấn. Trong khiđó con thỏ “bé” của Mirella nặng những 1014 tấn. Mirellakhoái chí lắm, vì con thỏ “bé” của mình nặng bằng nhữngmột vạn nước lớn!

Bản e-book của Lê Bich Phượng,

e-mail: [email protected]


Chỉ mục

Đồng nhất thức hình bình hành,204

Định luật Snell, 282đối ngẫu, 220đối xứng quay, 51, 60đối xứng trục, 14, 51, 60đồ thị phẳng, 236đạo hàm, 31, 255, 260định lý Bézout, 185định lý Dehn, 90định lý Lagrange, 61, 148định lý Pythagoras, 197định lý lớn của Fermat, 273định lý nhỏ của Fermat, 273đường võng, 135, 140đa diện Kepler–Poinsot, 226đa giác đều, 18, 61đa giác nguyên, 193điểm nguyên, 174điểm nguyên tố, 176

bất đẳng thức Shannon, 309bất đẳng thức tam giác, 222bánh xe hình vuông, 133Bézout (nhà toán học), 184bài toán bò ăn cỏ, 91

bài toán cắt ghép hình, 81bài toán công chúa Dido, 10bài toán cực trị, 276, 280bài toán con kiến, 73bài toán gà và chó, 92, 96bài toán khỉ bán chuối, 39bài toán Steiner, 35bài toán thứ 3 của Hilbert, 90bội điểm, 179BĐT Cauchy–Bunyakovsky, 206biến số, 276bit, 294, 304Boltzmann (nhà vật lý), 305

công thức Euler, 229công thức Leibniz, 265công thức Pick, 194chỗ lõm, 211chiếu trực giác lên hình lồi, 37chu vi trái đất, 239chuỗi số, 248Chuỗi số Riemann, 253con thỏ của Mirella, 238, 243cosh, 137, 144

dải Ngân Hà (Milky Way), 243

340

Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre”

Descartes (nhà toán học), 273diện tích, 121Dido (công chúa), 10

entropy, 289, 304Escher (họa sĩ), 64Euler (nhà toán học), 230

Fermat (nhà toán học), 272Fibonacci (nhà toán học), 100

giới hạn, 259giá trị trung bình, 261

hình đa diện, 211hình đa diện đối ngẫu, 224hình đa diện đều, 216hình đa giác, 49hình bình hành nguyên tố, 191hình lồi, 210hình lõm, 210hình tam giác đều, 49hình tròn, 15hình vuông, 25, 51, 133, 138hình xuyến (torus), 236hàm lồi, 303hàm ngược, 268hệ nghìn phân, 293hệ phương trình tuyến tính, 92,

93, 116hệ số khúc xạ, 283hội tụ, 248

Ibn Sahl (nhà bác học), 283information, 304

khối lượng trái đất, 241không gian Euclid, 199không-điểm, 176kim tự tháp, 111, 138

lát gạch, 63lát gạch Penrose, 71lời giải một số bài tập, 145–149lưới hai chiều, 175lưới nguyên, 175lược nhóm, 70lượng thông tin, 304lưỡng tuyến tính, 201Leibniz (nhà bác học), 266Leibniz (nhà toán học), 125limit, 259

máy tính điện tử, 294

Newton (nhà bác học), 255nguyên lý biến phân Fermat, 270nguyên tố cùng nhau, 176nhóm, 49, 56nhóm đối xứng, 49, 53–55, 60nhóm hai phần tử, 58nhóm hoán vị, 78nhóm nhị diện, 61nhị thức Newton, 263


Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre”

Pascal (nhà toán học), 273phép nhân trong nhóm, 56phép tính vi phân, 255phân kỳ, 248phương pháp biến phân, 274phương pháp qui nạp, 117phương trình đặc trưng, 104phương trình bậc 2, 104Pick (nhà toán học), 195Platonic solid, 216

qui hoạch tuyến tính, 47qui nạp, 302

số Fibonacci, 98số nguyên tố, 56số nhị phân, 291số thập phân, 291Shannon (nhà toán học), 304Snell (nhà thiên văn học), 282

tích phân, 121tích vô hướng, 200tính chất lồi, 16tính chất lũy thừa, 102tính chất tuyến tính, 264tô pô, 227tổng bình phương, 110tổng quát hóa, 228tỷ lệ vàng, 107tam giác nguyên tố, 181

thể tích hình cầu, 128thể tích trái đất, 240, 241trò chơi đoán số, 289trung bình cộng, 280trung bình nhân, 280

von Neumann (nhà toán học),305

Wiles (nhà toán học), 274

xác suất, 300, 301, 309


cshop.sputnikedu.com/files/se004_mirellamath_sample.pdf · vừa khó, bởi vì lời giải của...

Documents