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Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de São Carlos

Departamento de Engenharia de Estruturas

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA

- Resistência

- Plasticidade

-Fratura

-Fadiga

José Elias Laier

São Carlos, dezembro de 2003 reimpressão

Código 01120

INDICE

1 - INTRODUÇÃO 1

2 - CRITÉRIOS DE MOHR-COULOMB 5

3 - CRITÉRIO DE V. MISES 15

4 - CRITÉRIO DA ENVOLT6RIA DE MOHR 17

5 - COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE OS CRIT~RIOS 19

6 - INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE 21

6.1- Plasticidade Uniaxial 22

6.2 - Plasticidade dos Materiais Plásticos Perfeitos 25

7 - INTRODUÇÃO À MECÂNICA DA FRATURA 31

8 - FADIGA 38

9 - COMENTÁRIOS GERAIS 42

PREFÁCIO

O presente texto reune um conjunto de conhecimentos

relativos a capacidade resistente dos materiais. Trata-se de uma

abordagem de cunho introdutório, iniciando-se pelo estudo dos

critérios de Resistência, seguindo-se Plasticidade, Mecânica da

Fratura e, finalmente, Fadiga. Uma singela apresentação dos

fenômenos depentes do tempo é colocada no final do texto.

Tendo-se em vista que esta publicação integra o conjunto

referente às disciplinas de Resistência dos Materiais oferecidas

pela Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São

Paulo, a sua leitura pressupoe o domínio dos conhecimentos

básicos tratados anteriormente.

CRITÉRIOS DE RESIST~NCIA

1 - INTRODUÇÃO

o estudo da capacidade resistente dos materiais

constitue, sem dúvida, o tema central da disciplina de

Resistência dos Materiais. Esse assunto, vale registrar, vem

1 sendo, a partir dos trabalhos pioneiros de Galileu, objeto de

contínua investigação, tanto no campo da teoria (formulação de

modelos matemáticos) como no da experimentação. No sentido de

facilitar a exposição, torna-se necessário, de início, esclarecer

I algumas características marcantes do comportamento dos materiais

no tocante à ruptura.

As figuras la} e b) ilustram esquematicamente um ensaio

de tração simples (tração centrada) de uma barra de comprimento i

e area da seção transversal S. A figura lc) exibe o diagrama de

tensão ( a = N/S) contra deformação ( E = 6i /i) típico do aço

comum (aço doce) encontrado naquele ensaio. Um exame desse

diagrama mostra

característicos

claramente

de tensão,

a existência de

ou seja, tensão

três níveis

limite de

proporcionalidade ap tensão de escoamento ae (inicio do

trecho horizontal) e a tensão de ruptura a propriamente dita. ru Para tensões abaixo de a

p a lei de Hooke (proporcionalidade

entre tensão e deformação) é verificada; entre a e a p e a

proporcionalidade deixa de existir. Quando a tensão atinge a

tensão de escoamento a grandes deformações manisfestam-se sem e

aumento de carregamento; ao se atingir a deformação E* o

material, como que "queimando os últimos cartuchos", volta a

apresentar aumento de resistência, culminando finalmente na

ruptura da barra. Para se ter uma ordem de grandeza dos

parâmetros envolvidos, a deformaçãoE* vale de 10 a 20 vezes a

deformação limite de proporcionalidade E , ou seja, o patamar é p

bastante alongado. Além disso, a inclinação verificada no

diagrama para deformações além de E* é da ordem de 20 a 50 vezes

menor que a encontrada no trecho elástico-linear, ou seja, o

1

módulo de elasticidade E = a I E observado no trecho de

proporcionalidade vale de 20 a 50 vezes o módulo de elasticidade

(E = do /dE ) experimentado após a deformação E~

(5 = NIS

e*

a ) Barra em repouso b J Borra tracionado c)Diagramo (5/E;

FIGURA 1 -RUPTURA SOB TRAÇÃO SIMPLES

Um outro fato importante verificado nesse experimento

acha-se ilustrado na figura 2a), ou seja, no descarregamento, se

a tensão máxima ainda se acha no trecho de proporcionalidade

O= N/S < op), a peça recupera a sua forma original (eliminada a

tensão, elimina-se a deformação), tendo-se, pois, comportamento

elástico, no caso linear. Por outro lado, se a tensão promovida

pelo carregamento ultrapassar a tensão limite de proporcionali­

dade ( a = N/S > op ) , no descarregamento a peça não mais retorna

a forma original, verificando-se o aparecimento de deformações

residuais Er, ou seja, o comportamento exibido já passa a ser do

tipo plástico. O módulo de elasticidade no descarregamento, as

experiências mostram, e o mesmo verificado no trecho elástico

linear. Examinando-se as energias em jogo, verifica-se, de

imediato, que o trabalho correspondente à área achurada na

2

figura 2a) nao se recupera na transformação realizada ao se

processar o ensaio. Em outras palavras, o material consome parte

da energia de deformação promovendo transformações irreversíveis

no seu estado interno.

a l Descarregamento e deformação plástica (material Dutil)

(j

b) Diagramo 0"/€ de material Fragil ( Descarregamento l

FIGURA 2 - DESCARREGAMENTO E DEFORMAÇÃO PLÁSTICA

Pois bem, o comportamento do aço comum aqui apresentado

é também observado em outros materiais, principalmente nos outros

metais. Esses materiais são denominados materiais dúteis, tendo

no escoamento a característica comum mais marcante. Na prática,

a ruptura do material já é qualificada na tensão de escoamento,

porquanto as deformações verificadas nesse nível de tensão, em

geral, já podem inutilizar a peça, em face de deslocamentos

excessivos decorrentes, além de promover, no descarregamento,

indesejáveis deformações residuais (mudanças na forma original da

peça) . Urna outra categoria de materiais engloba os chamados

materiais frágeis, como as pedras, vidros, ferros fundido etc.

Esses materiais nao apresentam um escoamento marcante como o

verificado nos metais e, mais que isso, na ruptura ocorre como

que urna espécie de trituração do material (esfarelamento) .O

3

diagrama de tensão contra deformação exibido na figura 2b) e

tipico desses materiais; sendo possível identificar apenas a

tensão limite de proporcionalidade e de ruptura. Além disso, e

usual também a consideração de comportamento linear nos

descarregamento, a exemplo do verificado no materiais dúteis,

incorporando-se eventuais deformações residuais.

Como base no ensaio de tração apresentado e possível

por exemplo, formular prontamente juizos no tocante a segurança

de uma peça tracionada, pela comparação da. tensão atuante ( 0 = N/S) em relação à tensão de ruptura do material (0 ,0 ou outra ru e tensão convencional de ruptura) . Porém, no caso de um estado de

tensão mais complexo, como o que se verifica na alma de seçoes em

duplo T (tensões de tração ou compressão conjugadas com

cisalhamento) etc., nao e conveniente realizar os ensaios

correspondentes, em face do elevado numero de combinações

possiveis. Assim sendo, para se resolver essa questão, lança-se

mao dos chamados critérios de resistência 7 que consistem em

modelos matemáticos baseadas em hipóteses plausíveis quanto ao

fenômeno responsável pela ruptura. Por outro lado, dada a grande

variedade dos materiais (dúteis, frágeis e outros não tão

caracteristicos), é fácil perceber-se nãoser possível encontrar

um único critério válido para todos os materiais. Na formulação

de um critério, além das hipóteses relativas ao fenômeno de

ruptura, é condição essencial, em primeiro lugar, o envolvimento

de um reduzido número de parâmetros do material, de sorte a não

ser necessária a realização de um grande número de ensaios na

busca de tais parâmetros(do contrário, é melhor ensaiar cada caso

em particular). Além disso, o que mais importa, o critério deve

ser comprovado experimentalmente, pelo menos em algumas situações

o bastante para a sua aceitação.

Na verdade, os códigos construtivos atualmente vêm

tomando um rumo diferente. Em lugar de se formular critérios

gerais de resistência, os códigos sugerem procedimentos um tanto

detalhados na verificação da ruptura, mediante parâmetros

impíricos decorrentes de ensaios padronizados. Em parte isso se

explica pelo fato de materiais como o concreto e madeira não se

mostrarem homogêneo, e no caso de madeira nem isótropo (a

4

resistência da madeira depende da orientação considerada: no

sentido das fibras a resistência e bem maior que na direção

normal) . Mais ainda, mesmo no caso no aço, onde a homogeneidade e

bastante pronunciada, dependendo do processo de laminação a

isotropia no tocante a resistência passa também a ser

significativa.

o presente texto apresenta em primeiro lugar os

critérios de resistência mais significativos. Em seguida,

abordam-se, em carater bastante introdutório, as noções básicas

da Teoria da Plasticidade, a qual tem por objetivo descrever,

mediante modelos matemáticos adequados, o comportamento dos

materiais em regime de plastificação (uma espécie de lei de Hooke

para tensões acima do limite de proporcionalidade). A mecânica da

Fratura, que consiste num modelo matemático que descreve a

ruptura de peças a partir da consideração de abertura de fissuras

oriundas de defeitos de fabricação, é também inserida em carater

eminentemente introdutório. Para finalizar, a atenção é voltada

para a questão da fadiga, que consiste no fenômeno responsável

pela ruptura de peças sob o efeito de ação dinâmica.

2 - CRIT~RIOS DE MOHR-COULOMB

O critério de Mohr-Coulomb baseia-se numa

e de uma simplicidade surpreendente, ou seja,

consideração de que a integridade do material e

atrito interno existente

Obviamente, esse critério

entre as partículas que

e formulado tendo-se

inicialmente, materiais pulverulentos como areia,

Antes de se formular o critério propriamente dito,

reportar-se à noção básica do atrito (atrito seco,

Coulomb) .

idéia genial

parte-se da

devida a um

o

em

compõe.

vista,

por exemplo.

é conveniente

ou atrito de

A figura 3a) ilustra um objeto genérico sem peso sobre

uma superfície. Agindo no objeto é suposta uma força normal N e

uma força horizontal F. O objeto permanece em repouso relativo na

seguinte condição:

N lJ a ••• (1)

5

onde Fa é a força de atrito, que, conforme postula-se na Teoria

de Coulornb, mantém urna relação linear com a força normal N. A

constante de proporcionalidade ~a é correntemente denominada

coeficiente de atrito. A figura 3b) ilustra o chamado ângulo de

atrito. É obvio que, para urna força inclinada agindo sobre o

objeto, o equilibrio s6 é possivel quando o ângulo dessa força

com a vertical for menor que o ângulo de atrito:

~a = arc.tg . ~a

porquanto, de (1) decorre:

o que implica em:

ou, em face de (2):

~ ~ are. tg. 11 = ~ ~-'a '~'a

••• ( 2)

••• ( 3)

••• ( 4)

••• ( 5)

em outras palavras, o atrito pode ser caracterizado tanto pela

constante de proporcionalidade ~a corno, em

conveniente, pelo ângulo de atrito. ~a·

Pois bem, dividindo-se todos os termos

geral mais

presentes em

(3) pela area de contato do objeto com a superfície tem-se:

F s =

p s sen ~ :S ~ a

p S cos~ ••• ( 6)

onde S é a area de contato. O expresso em (6) permite, pois, a

seguinte redação:

-r ~ ~ a a

6

••• ( 7)

N l COEFICIENTE

F ::;}/777777/)~ 7~ a ,.:_F~,.::;:;;;:;;:;:;::;::;~..,...,. a= N/S

t l t t t t f ~ 1:: F/S ~__..........,..__,...

/777//777/7/77

a) Atrito b)Ângulo de Atrito c l Tensões em Jogo

FIGURA 3- ATRITO E TENSÕES NO CONTATO

onde T (= F/S) é a tensão cisalhi:mte e 0 {=N/S) a tensão normal

de compressão segundo a superfície de contato; ou ainda: .· ..... }

(8)

sendo que as tensões em jogo acham-se indicadas na figura 3c) .

Tendo-se em vista que o expresso em (8) indica, como

(1), a condição para que não haja movimentação relativa, fica

simples, agora, formular-se o critério de Resistência de MOHR­

COULOMB. Imaginando-se que o material e formado por partículas

sólidas soltas e que o atrito é o responsável pela integridade

de conjunto, o estado de tensão suportado pelo material deve, em

todos os planos, atender a condição expressa em (8). t oportuno

assinalar que o contato entre as partículas ocorre

estatísticamente segundo qualquer plano e a movimentação deve ser

evitada em todos eles, de modo a se ter garantida a desejada

integridade de conjunto.

A maneira mais imediata de se representar o critério em

7

questão acha-se ilustrada na figura 4. No plano 0/ T o estado de

tensão e representado pela região achurada na figura 4a) ; ou

seja, a região contida entre os círculos de Mohr das tensões

principais. As tf:msões a e T em qualquer plano considerado, num

dado ponto do material, levam a um ponto no plano a/T contido

naquela região. Por outro lado, é facil perceber-se que o plano

mais crítico em relação ao deslizamento é o correspondente ao par

do ponto T indicado na figura 4b) , ou o simétrico T' , o que vem

dar no mesmo. Assim, a condi'ção para não haver ruptura

(deslizamento relativo entre as partículas)passa a ser dada por:

••• ( 9)

sendo a o ãngulo referente ao ponto T, conforme figura 4b), ou

sen a ~ sen <Pa ••• (lO)

ou, ainda, por considerações geométricas (fig.4b);

a3 al <Pa sen < sen a ' a3 + al

... ( 11)

o que leva a: 0

1 <Pa 1 - sen

03 ~ 1 + <Pa sen ••• (12)

que consiste numa maneira mais cômoda de se expressar o critério.

Contudo cabe assinalar que, ao se formular (11), e necessário

ter-se em mente o seguinte: em sendo a um ângulo em primeira

determinação e que as tensões a1 e a 3 sao de compressão, ou seja,

negativas, o sinal do primeiro membro de ( 11) deve resultar

positivo; assim, procede-se a operaçao 03 -al, e não al-a3

como se e, a primeira vista, de se esperar.

Cabe agora alguns comentários sobre o critério

apresentado (expressão (12), por exemplo). Em primeiro lugar, em

sendo o atrito o único fenômeno responsável pela integridade do

material, é óbvio que tal material não suporta tensões de tração.

Além disso, a tensão principal intermediária a 2 não interfere na

8

resistência; o que, ~ primeira vista, parece ser um defeito do

critério. Contudo, experiências comprovam a validade desse

critério para materiais pulverulentos.

o l Cfrculos de Mohr b l Estado mais critico de tensão

FIGURA 4- CRITERIO DE MOHR- COULOMB {MAT. PULVERULENTO)

o critério expresso em ( 12) pode ser facilmente

extendido para atender materiais frágeis coesivos, ou seja,

materiais que resistem um pouco de tração. Partindo-se do

princípio que o fenômeno responsável pela capacidade resistente

a tração decorre de uma espécie de atração existente entre as

partículas (por exemplo, partículas atrídas por fenômenos

elétricos, magnéticos, etc.), a compressão efetiva verificada na

superfície

daquela

de contato passa a ser a

atração, que corresponde

aplicada mais a decorrente

a um estado de tensão

hidrostático de compressão. Assim, para tais materiais o expresso

em (12) passa a ter a seguinte redação:

01 - o* 1 sen cpa ~ ... (13) 03 - o* 1 + sen cpa

9

onde a* representa a contribuição hidrostática decorrente da

atração mencionada. A figura 5a) ilustra, no plano a/T. o

eixo T.

critério

critério em questão, evidenciando-se a translação do

verificada em relação ao ilustrado na figura 4. No

anterior o ângulo de atrito ~a é o único parâmetro necessário

para a definição do critério; no critério em questão já

~a

sao

necessários dois parâmetros,

contribuição hidrostática a* .

ou seja,

Todavia,

ângulo de atrito e a

é também bastante comum

referir-se à tensão de cisalhamento Te, conforme indicado na

figura 5a), correntemente denominada tensão de coesão, em lugar

da contribuição hidrostática a* . A figura Sb) ilustra outros

dois parâmetros mais sugestivos para a definição do critério, ou

seja, a tensão de ruptura a tração simples at, e à compressão

simples ac (no caso de ensaio de tração simplestem-se a3 = a2 = O e al = at' e na compressão a 1 = a

2 = O e a

3 = ac} .A propósito

dos parâmetros mencionados, e útil as seguintes relações entre

eles:

Te = a* I tg ~a

2T C cos ~a at =

1 + sen ~a

••• ( 14)

2 Te c os ~a I acl =

1 - sen ~a

sen ~a =

onde toma-se a tensão de ruptura a compressão em módulo

(compressão, na convenção seguida, apresenta sinal algébrico

10

negativo) .

<r*

a)Translação do Eixo "t

t"t I I l I

b l Círculos de Mo h r de Tração e Compressão

FIGURA 5- CRITERIO DE MOHR- COULOMB (MAT. COESIVO)

Tendo-se em vista que na prática o estado plano de

tensão é o mais frequentemente encontrado, é interessante buscar

uma representação do critério ainda mais cômoda. De fato, como no

caso plano uma das tensões principais é nula, chamando-se de o 1 e

02 as componentes não nulas,e deixando-se de lado a convenção

01 > o 2 > ~ , chega-se a representação mostrada na figura 6a), no

plano o 1 I o 2 . A explicação é simples. No caso de se ter o1 e

a2

de tração, tendo-se em vista que o 3 e nulo o par o1 e o 2 deve

estar contido na região o 2 ~ ot e o1 ~ ot, pois o maior circulo

de Mohr possível não pode superar o correspondente ao do ensaio

de tração simples,conforme ilustra-se na figura 6b). O mesmo fato

repete-se quando o 1 e o 2 são de compressão, e nesse caso tem­

se: I o 1 I ::'S I o c I e I o 2 I ::'S lo c 1. Em sendo, por exemplo, o 1 de

tração e o 2 de compressão tem-se conforme ( 13) :

11

1 - sen cpa

1 + sen cpa

2 sen 4la 0 2 + a* ( l+sen cp )

a ••• (15)

onde a 2 toma o lugar de o3

,admitido nulo (vide fig. 6b)).

Obviamente a reta limitante obtem-se promov~ndo uma igualdade em

(15). Situação análoga sucede no caso inverso, ou seja, o1 de

compressão e a 2 de tração,

oposto.

o) Critério de Mohr-Coulomb no plano o- 1 10"2

fornecendo-se a reta do quadrante

b l Posição Relativo dos C i rculos de Mohr

FIGURA 6- CRITÉRIO DE MOHR COULOMB PARA ESTADO PLANO

Pois bem, em verdade, a representação exibida na figura

6a), nada mais e que o traço no plano a1 !a 2 de uma pirâmide no

espaço a1 1a 2 !a 3 conforme mostra -se na figura 7, com apce no

ponto o1= a 2= o 3=o*,tendo por eixo a bissetriz do triedro contido

entre os eixos a 1 , a 2 e 03 • É facil verificar-se que aquela

pirâmide representa o critério em apreço no espaço o1

I a2

! a3

,

12

porquanto os traços dessa pirâmide em planos horizontais

correspondentes a valores de o 3 não nulo obtem-se de maneira

análoga. Em suma, a expressao (13), no caso de igualdade,

constitue a equação algébrica da pirâmide indicada (é oportuno

mais uma vez assinalar que a convenção o 1 > o 2 > 03 foi

abandonada). Por outro lado, o expresso em (12) leva a essa mesma

pirâmide, porém com apce na origem dos eixos.

Uma

PIRÂMIDE

TRAÇO DA PIRAM IDE NO

PLANO 0"1 /0"2

BISSETRIZ DO

TRIEDRO

FIGLRA 7- REPRESENTAÇÃO DO CRITÉRIO DE MOHR- COULOMB

NO ESPAÇO Ci 1 /Ci2 /cr3

extensão desse critério, que foi útil para

interpretar, no passado, a ruptura dos materiais dúteis, é

particularmente denominada critério de Tresca. A idéia básica é a

seguinte: Considere-se um material desprovido de atrito interno,

13

porem apresentando uma coesao Te f ou, em outras palavras,

considere-se um material com atrito despresível e com uma atração

entre as partículas elevada o bastante tal que:o*/t ~ g a

= o* I ~a = Te A representação nesse caso e a indicada nas

figuras 8a) e b). Em face das considerações levantadas, verifica­

se sem dificuldade, que o material em questão é, na verdade, uma

espécie de fluido com uma coe-sao que permite resistir estados de

tensão nao s6 hidrostãtico (o1 = a2

= o 3 ) como outros estados

nao hidrostãticos, porém respeitando-se uma certa tolerância.

A expressão analítica dese critério é um tanto imediata

examinando-se o retratado na figura 8a), ou seja:

Por outro lado, a coesao

tensão de ruptura a tração,

à compressão, ou seja:

••• ( 16)

Te mantém a seguinte relação com a

que é, em m6dulo, igual à de ruptura

••• ( 17)

sendo oportuno registrar que o expresso em (16) f na condição de

igualdade, constitue a equação do prisma representado na figura

8b), em se abandonando a convensão o1 > o 3 > o 3 .

EIXO

HIOROSTATICO -:.J"------

( cri= CTz =os l

a) Critério de Tresca (Plano crrt:l b) Cilindro Hexagonal de Tresco ( cr, lcrz ;cr3 l

FIGURA 8 - CRITERIO DE TRESCA ( "f' a =O l

14

3 - CRITÉRIO DE V. MISES

O critério de Mohr-Coulomb, como já assinalado, nao

envolve, na definição da ruptura do material, a tensão principal

intermediária; além disso estabelecer em decorrência da

consideração do atrito como o único responsável pela integridade

do material, uma relação linear entre os componentes máxima e

mínima do estado de tensão. Por outro lado, as experiências com

materiais dúteis indicavam claramente a influência da tensão

intermediária na ruptura, e mais que isso, os resultados

sinalizavam relações não lineares entre os componentes principais

do estado de tensão. Assim sendo, como todo levava a crer, HUBER

e v. MISES propuseram uma superfície cilíndrica circular no lugar

da superfície cilíndrica hexagonal de TRESCA; atendendo,

obviamente, a simetria indicada pelos ensaios. A figura 9a) exibe

a superfície cilíndrica circular proposta, e a figura 9b) indica

o traço elítico daquela superfície no plano

equaçao da superfície em questão é dada por:

a1

Ja2 (a 3 = O). A

(o 1 a ) 2 (02 2

(03 2 2 2 ... ( 18) - + - 03) + - 01) = ot 2

sendo ot a tensão de ruptura a tração simples, suposta igual em

módulo a tensão de ruptura a compressão (para os materiais

dúteis, em geral, esse fato encontra respaldo nos resultados de

ensaio). A expressão (18) é facilmente obtida tendo-se em vista

que o versor correspondente ao eixo do cilíndrico tem as

seguintes componente segundo os eixos o1 I a 2Ja 3 : ( l:r/3; V3/3;

13/3) .Assim, o produto vetorial de um vetor correspondente a um

ponto da superfície { o 1 ; a 2 ; a 2 ) por aquele versor resulta, em

módulo, no raio do círculo do cilíndrico, ou seja:

1 j k

r módulo 01 V3J 2 2 02 03 i= 3 (o2-o3) + (o3-ol) + (ol-o2)

I V3;3 VJ/3 V3!3

... ( 19)

15

2

sendo r o raio mencionado. Por outro lado, tomando-se o ponto

correspondente ao ensaio de tração simples tem-se 0 1=at,a2=0 e a3 = o) :

r ••• ( 2 o)

encerrando-se, assim, a questão (a expressão (18) consiste na

igualdade do raio ao quadrado conforme (18) e (20)).

EIXO HIDROSTÁTICO

ccr, =cr2=cr3 l

o) C i I índro Circular de Huber- Von Mises.

b) Troço Elítico no

Plano o-1 1 o-2

FIGURA 9 - CRITÉRIO DE VON MJSES (ENERGIA DE DISTORÇÃO)

A verificação da ruptura no critério em apreço é mais

convenientemente formulada definindo-se o parâmetro:

••• ( 21)

chamado de tensão ideal; e assim, a nao ruptura passa a ser dada

pela seguinte condição:

() . .:S l

••• ( 2 2)

O caso particular mais frequente de verificação é o encontrado na

16

flexão de vigas, no qual as componentes do estado de tensão nao

nulas são a tensão normal de flexão o (de tração ou compressão)

e a tensão cisalhante L • Nesse caso as tensões principais sao

dadas por:

01 } v 21

0 (l + l + .!]:__) = 2 02

02 ••• ( 2 3)

0 = 3 o

que levadas em (21) fornece:

=v 02 + 3 2 o. L l

••• ( 2 4)

sendo oportuno assinalar que, no critério de TRESCA, tem-se fator

4 aplicado no lugar de 3 agindo na componente cisalhante (TRESCA

e então um critério mais pessimista).

Para finalizar cumpre assinalar que o criério de V.

MISES e também frequentemente denominado critério da Energia de

Distorção, em virtude do fato de que uma parcela da energia de

deformação chamada de energia de distorção é,

igual ao primeiro membro de (18) (a

a menos de

energia de constante,

deformação se divide em energia de expansão;aumento de volume,

mais a energia de distorsão: sem aumento de volume) Esse

particular vai ser melhor explicado quando da abordagem de

Energia de Deformação.

4 - CRITERIO DA ENVOLT0RIA DE MOHR

Existem materiais como o concreto e certos tipos de solo

que nao seguem, a rigor, os critérios até aqui abordados.

Contudo,

possível

com base em um grande numero de ensaios realizados e

vislumbrar

correspondentes. A

envoltória típica.

uma envoltória dos

figura lO a) ilustra

círculos

no plano

de

0/L

MOHR

uma

Cabe ressaltar que, nesse critério obtido

experimentalmente, a tensão principal intermediária continua,

17

obviamente, nao influindo na ruptura. A figura 16b)

critério, também obtido experimentalmente ,

superfície no espaço

I I

já ilustra um

segundo u1na

o ) Critério da E nvolto.ria de M oh r b l Criterio de superfície no espoj:o Oj , a2 , 0"3

FIGURA 10- CRITERIOS I MPÍRICOS (EXPERIMENTAIS l

Como em geral tais critérios nao comportam uma única

representação analítica, mesmo dentro da gama de valores que

interessam na prática, os códigos construtivos usualmente lançam

mao de uma função analítica para cada região característica da

superfície envoltória; levando-se, então, a um procedimento um

tanto detalhado na verificação da ruptura, como já mencionado na

introdução. Tais funções analíticas normalmente sao obtidas

mediante análise de regressão nos resultados de ensaios (critério

impírico).

18

5 - COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE OS CRITÉRIOS

Cabe, em primeiro lugar, chamar a atenção para o fato de

que a ruptura dos materiais, tanto no caso dos frágeis corno no

dos dúteis, corresponde, no fundo, a urna espécie de fluidificação

do material (fluidificação por tensão). A movimentação das

particulas internas, que carateriza a rupturar já sugere tratar­

se de um comportamento próprio dos fluidos. Além disso, o

escoamento verificado nos materiais dúteis reforça ainda mais

essa colocação (escoamento é coisa de fluido) . Por outro lado,

todos os critérios indicam que os materiais toleram estados de

tensão numa certa vizinhanha do estado hidrastático ( o1= o 2=o 3 de compressão; no estado hidrostático de tração tem-se urna

condição um tanto limitada no caso dos materiais coesivos e

ilimitada no caso das dúteis. Em resumo, os materiais são levados

a ruptura essencialmente pelo efeito do cisalharnento, ou sejar

pela disparidade eventual entre as magnitudes das tensões

principais (os rnaterias podem ser entendidos corno fluidos que

toleram estaticamente a existência de tensões cisalhantes dentro

de certos limites).

A literatura mais antiga faz referência a dois outros

critérios, cujos resultados foram grandemente contestados nos

ensaios. São eles o da maior tensão principal e o da maior

deformação principal. No primeiro, a ruptura é caracterizada pela

comparaçao da maior tensão principal com a verificada no ensaio

de tração simples, no segundo comparam-se as deformações. é facil

verificar que tais critérios erram para o lado perigoso em

muitos casos práticos (superestimam a resistência).

A figura 11 ilustra o conceito de empuxo ativo e passivo

no solo em relação a um anteparo (muro de arrimo). O conceito em

apreço decorre do critério de MOHR-COULOMB, que, em geral, e

valído para muitos tipos de solo, especialernente os soltos, corno

areia. O empuxo ativo é a pressão exercida pelo solo no anteparo.

Assim sendo, como nesse caso as tensões principais são

11b) ) :

- p a

o - o = - vz 2 - 3 I

19

(fig.

••• ( 2 5)

sendo Y o peso especifico do material e z a profundidade (fig.

lla), tem-se de (12}, que a integridade do material é dada por

(fig. llc)):

-P a -yz

1 -

1 +

sen

sen ••• ( 2 6)

No caso do empuxo passivo, o anteparo movimenta-se no sentido de

comprimir o solo, ou seja, o estado de tensão que não promove a

ruptura é dado por (fig. llc)):

-yz

-p p

1 - sen <Pa

1 + sen tPa ••• ( 2 7)

Exemplificando, no caso de se ter um solo com ângulo de atrito

igual a 30º (areia apresenta tPa entre 3()Q e 33Q} têm-se de (26) e

(27) respectivamente:

••• ( 28)

Pp ~ 3 yz

Por outro lado, é natural que, em nao se sabendo qual a real

pressao no solo, o equilíbrio sem ruptura só é possível com uma

pressao p tal que:

p ~ p ~ p p a ••• ( 2 9)

o que fornece, no caso exemplificado, uma variação de 1 para 9 na

magnitude compativel para a pressao real (de 1/3 até 3 vezes a

pressão yz). No caso de atrito nulo o empuxo ativo e passivo são

iguais a Yz(empuxo hidrostático).

20

MURO DE ARRIMO

o l Muro de Arrimo

p

p

c l Círculos de Ruptura b l E stodo de Tensão

FIGURA 11- EMPUXO ATIVO E PASSIVO DO SOLO

6 - INTRODUÇÃO À TEORIA DA PLASTICIDADE

A Teoria da Plasticidade foi formulada, conforme o

proprio nome sugere, tendo-se em vista os materiais

plastificáveis, ou seja, materiais dúteis. Esses materiais, ao se

atingir a ruptura (escoamento), não se desintegram como ocorre

nos materiais ditos frágeis e, por essa razao, continuam ainda

resistentes. Contudo, mesmo nos materiais frágeis, quando a

situação de ruptura é atingida num dado ponto da estrutura, não

se pode, naturalmente, considerar que a estrutura já se encontra

em regime de colapso, porquanto nas demais partes da estrutura a

condição de ruptura do material ainda não foi atingida. Assim

sendo, algumas questões essenciais entram em cena, quais sejam:

Como as tensões adicionais não suportadas naquele ponto se

redistribuem pelos pontos vizinhos ainda resistentes? Como se

21

comportam em termos de tensão e deformação o material naquele

ponto onde a ruptura foi alcançada, enquanto a estrutura ainda

conserva a sua integridade?

mediante modelo matemático

A Teoria da Plasticidade vem, pois,

consistente, responder a tais

questões.

adequada

obviamente,

tela.

É evidente, por outro lado, que a utilização mais

da capacidade resistente dos materiais exige,

a consideração dos fenômenos abordados na teoria em

Antes de se abordar a Teoria da Plasticidade

propriamente dita, é oportuno esclarecer alguns outros aspectos

fundamentais relacionados às características dos materiais no

tocante à ruptura. Em primeiro lugar, cabe mais uma vez reforçar

que, no regime de ruptura, os materiais se comportam como uma

espécie de fluido. Os materiais dúteis se transformam em uma

massa moldável ("liquido grosso") e os frágeis em uma massa

triturada. Sob esse ponto de vista a Teoria da Plasticidade pode

ser entendida como uma espécie de Mecânica dos fluidos, para

fluidos não muito fluidos ( fluidos que toleram cisalhamento em

condições estáticas).

Dado o carácter introdutório que norteia a apresentação

em curso, aborda-se de inicio o caso dos chamados materiais

plásticos perfeitos e, em seguida, algumas indicações sobre os

materiais plásticos encruáveis, incorpororando-se o chamado

efeito Bauschinger.

6.1 - Plasticidade Uniaxial

Para abreviar a exposição e oportuno retomar o caso do

ensaio de uma barra tracionada apresentado no início deste texto,

aproveitando-se para definir alguns parâmetros chaves dentro da

Teoria de Plasticidadei e, além disso, esclarecer o que se

entende por efeito Bauschinger, e a maneira da tráta-lo nos

modelos de plasticidade.

A figura 12a) ilustra uma barra tracionada, e a figura

12b) mostra esquematicamente o diagrama tensão-deformaçãc ~c c~~c

de um carregamento cíclico, iniciando-se com uma tração, seguida

de descarregamento e compressao; e, finalmente, um novo

22

descarregamento. No ensaio em estudo, conforme a figura 12b)

deixa evidente, a máxima tensão tanto em tração como em

compressao acha-se na região de plastificação do material. Além

disso, e suposto tratar-se de um material dútil, que apresenta

simetria de comportamento em tração e compressão (aço doce, por

exemplo). Pois bem, o efeito Baushinger consiste na translação

verificada no diagrama tensão-deformação, quando se atinge

tensões no regime de plastificação. Tudo se passa como se, em

cada ciclo, o diagrama se transladasse, mantendo-se as distâncias

relativas no eixo das tensões. Em outras palavras, tudo se passa

como se a plastificação introduzisse tensões residuais (a exemplo

daquela verificada no critério de Mohr-Coulomb para materiais

coesivos).

deformação

plástica.

No eixo das deformações a translação corresponde a

residual ou, como é comumente denominada, deformação

....... -./

----

a 1 Efeito Bouschinger b) Parâmetros do Plasticidade

FIGURA 12 -E FEITO BAUSCHI NGER E PARÂMETROS DA PLASTICIDADE

23

Tendo-se em vista que o diagrama tensão-deformação no

trecho de plastificação não se mostra linear, e mais, que a

deformação plástica governa, de certo modo, a translação

mencionada, torna-se necessário, para cada acréscimo diferencial

de tensão, definir o quanto de deformação plástica ocorre. Assim,

conforme ilustra-se na figura 12c) , as seguintes relações

procedem:

ds = ••• ( 3 o)

sendo

d e:e e

de:

a

a deformação promovida pelo acréscimo de tensão dO ,

parcela elástica, ou seja recuperável no

descarregamento, e de:p

lado, chamando-se:

H' = do dE:

p

a parcela plástica (residual) • Por outro

••. ( 31)

onde H' e o comumente denominado parâmetro de encroamento

(strain-hardening), tem-se, em face de (30):

onde:

H' = do

dE: - dE: e

Et = do I d e:

= (32)

••• ( 3 3)

Assim sendo, a equaçao constitutiva no regime de plastificação

assim se escreve:

do E

=E (1- E+H') de: ••• ( 3 4)

em decorrência do expresso em (30), ( 31) 1 (32) e (33). O fator

E/ (E + H'

constitutiva

e,

do

pois,

regime

a modificação introduzida na equação

elástico, de modo a incorporar-se a

parcela plástica. Obviamente, conforme o expresso em (32), o

24

parâmetro de escroamento varia de ponto para ponto no trecho de

plastificação, assumindo valor infinito no trecho elástico, pois,

Et =E, e valor nulo no trecho de escoamento (Et =O).

Para finalizar, vale assinalar que, ao se atingir a

tensão de escoamento (H' = O) a barra tracionada vira um

mecanismo, pois a deformação processa-se sem aumento de tensão

(ou carga). Em outras palavras, não é possível acréscimo de

tensão e a deformação fica indeterminada do ponto de vista

estático (movimento pede as equações da dinâmica). Todavia, as

experiências mostram, essa indeterminação não sucede quando a

estrutura ainda não se encontra numa configuração de mecanismo e

parte do material já se acha até no regime de escoamento. O

material, mesmo no regime de escoamento, continua ainda

resistente, apresentando variações de tensão dentro de um certo

critério, nos estadosbi e tridimencionais de tensão; e mais,

seguindo determinadas equaçoes constitutivas (as deformações

continuam sendo relacionadas com as tensões de certa forma).

Vale assinalar que, em face do comportamento não linear

verificado na plastificação, inclusive pela presença de

deformações residuais, as relações constitutivas não podem mais

ser formuladas em termos de tensão e deformação , e sim de

maneira diferencial, como providenciado, porquanto a história do

carregamento influe no resultado final (relações incrementais).

Esse é o assunto tratado no item que se segue.

6.2 - Plasticidade dos Materiais Plásticos Perfeitos

Em primeiro lugar cabe esclarecer que os chamados

materiais plásticos perfeitos são aqueles que, no ensaio da

tração simples, nao apresentam trecho curvo após atingida a

tensão limite de proporcionalidade, indo-se direto para o patamar

de escoamento, conforme ilustra-se na figura 13a). Todavia, como

em geral, principalmente em metais como o aço por exemplo, o

trecho curvo é muito menor que os demais, ignorar-se esse fato

nao introduz imprecisões aprecíaveis no modelo. Por outro lado,

simplifica-se bastante o entendimento da questão em pauta (esse

material, obviamente, não apresenta efeito Bauschinger).

25

Pois bem, considere-se, por exemplo, o caso de um ponto

de uma estrutura, cuja história do estado de tensão, para um

carregamento crescente, segue a linha cheia indicada na

figura 13b),no espaço o1; a2

; a3

• Ao se atingir a superfície do

critério de resistência,o material plastifica-se. Por outro lado,

aumentando-se o carregamento na estrutura, o que pode, em

princípio, acontecer com o material ali já em regime de

escoamento? Essa questão é respondida pela Teoria da Plasticidade

da seguinte maneira:

a) O estado de tensão, em nao se podendo corresponder a um

ponto externo à superfície, aqui chamada de superfície de

plastificação, deve se deslocar ao longo da superficíe,

ou então, em eventual descarregamento retornar para o

interior de modo elástico, incorporando-se eventuais

deformações plásticas ocorridas.

b) Uma equação constitutiva é proposta, tomando-se por base

uma lei de fluência, ou seja, uma lei de rege o andamento

das deformações plásticas (em verdade uma lei de fluxo

para esse fluido especial) .

Evidências experimentais indicavam, no caso do aço, que

as deformações plásticas ocorriam obedecendo a uma lei do tipo:

dE . =À oF ... (35) P1 ao.

1

sendo i as direções principais 1, 2 e 3, ou, no caso de não se

estar lidando com as direções principais, qualquer uma das

componentes do estado de tensão, À uma constante de

proporcionalidade e F uma função dada pela expressão homogênea da

superfície referente ao critério de resistência. No caso de

critério de V. Mises, por exemplo, tem-se (vide (21) e (22)):

... (36)

26

I

/ I

I

I I

e:

a l Comportamento Plástico Perfeito

b) Trajetõria do EstadO de Tensão

FIGURA 13 -MATERIAL PLÁSTICO PERFEITO

considerando-se, obviamente, 0t nao variável (a tensão de

ruptura é suposta sempre a mesma, independentemente da história

do carregamento; se houvesse efeito BAUSCHINGER isso já não seria

verdade). B facil verificar que:

F {0 0 0 ) = o = 1' 2' 3 ••• ( 3 7)

significa um ponto na superfície (escoamento) , e

••• ( 3 8)

um ponto dentro, ou seja, em regime elástico; e

(39)

um ponto nao permitido pelo material (ponto do lado de fora da

superfície de escoamento).

A propósito de (35), é interessante observar-se uma

certa analogia com leis da mecânica dos fluidos. Por exemplo:

27

vazão e proporcional ao diferencial de pressao; em (35) a

deformação plástica e proporcional ao diferencial de F. Além

disso, os diferenciais de deformações plásticas (d€p)apresentam

direções principais coincidentes com as do estado de tensão

provocante(doi). A constante À vai ser abordada em mais detalhes

no que se segue.

Retomando-se agora a expressao (30), ou seja:

d€· = ds . + ds . 1 e1 pl • e • { 4 Ü)

onde se considera cada uma das componentes i do estado de

deformação (i = 1, 2 e 3 em se referindo as direções

principais). Por outro lado, tendo-se em vista a lei de Hooke e o

expresso em ( 35) , a expressao (40) permite escrever-se a

expresssao matricial:

ds = [n] -l {do} + À { ~~} ••• ( 41)

onde [D] vetor { ds}

e a conhecida matriz de constantes elásticas. No

as componentes são os diferenciais da deformação

total verificada pela ação das componentes de tensão presentes no

vetor {do}, e no vetor {8F/ao} as componentes são as derivadas

correspondentes. Na condição F < O, o material encontra-se

em regime elástico; assim, a segunda parcela do segundo membro de

{41) se anula. Todavia, em tendo havido deformações plásticas na

história passada do carregamento 1 elas, por serem residuais,

permanecem; porem, nesse caso, nao variam com a variação do

estado de tensão. Por outro lado, na condição F= O o material

acha-se em regime de escoamento. Assim, qualquer acrescimo de

tensão do deve respeitar a superfície do critério, ou seja:

dF ••• ( 4 2)

pois F deve permanecer constante e nulo, a nao ser quando o

acréscimo de tensão leve a um ponto no interior (comportamento aí

28

elástico). Em verdade o material plástico parfeito impõe a

seguinte condição:F = O. Agrupando-se, agora~ as equações (41) e

(42) tem-se o seguinte sistema:

{dE} lnl-1 {8F/8a} [da}

••• { 4 3)

{8F/8a} T o À o

que, mediante manipulações matriciais, permite, finalmente,

explicitar a equação constitutiva da plasticidade:

{da} = [Depl

onde:

IDepl = In! - { 8F I { 8F} In! · ao}- ao

sendo eliminada a constante À •

matriz !DI do regime elástico

{dE} ••• ( 4 4)

T lnl. [{~~}

T lnl. {~~}}-l ••• ( 4 5)

A matriz IDepl ocupa o lugar da

e, como se percebe, depende da

posição do ponto na superfície do critério.

Cabem agora alguns comentários. A lei de fluência (35) é

comomente denominada lei da normalidade, em vista do vetor

{8F/8a} ser normal à superfície do critério. A figura 14 ilustra

esse fato no plano a 1 I a 2 . No sentido de tornar esse modelo de

plasticidade mais abrangente, sugere-se na expressão (35) uma

função mais geral, chamada potencial plástico, no lugar da função

F, ou seja:

dE . pl = À 8Q a a.

l

... ( 35 ' )

sendo que essa nova função Q01 , a 2 , a 3 ) deve ser investigada

para cada material. Quando Q coincide com F, o modelo decorrente

chama-se plasticidade associada, em caso contrário plasticidade

nao associada. Nas aplicações práticas tem-se optado

frequentemente pelo modelo da plasticidade associada (investigar

experimentalmente uma função Q não é coisa muito fácil).

29

FIGURA 14- NORMALIDADE

No sentido de facilitar as operações envolvidas em (45),

muitos autores têm dado preferência, ao se explicitar

algebricamente a superfície do critério,

invariantes do estado de tensão que

principais, ou seja, mudam-se as variáveis

por

as

01'

outros parâmetros

próprias tensões

o 2 e o3 para:

onde

1 J2 2

1 J3 = 3

3 L:

i=l

3 L:

o. l

i=l

3 L:

i=l

3 L: o. o.)

j=l l J

3 3 L: L: o. o. ok)

j=l k=l l J

é i, j e k cobrem as componentes do estado de tensão (F{

o 3 ) = F (J1 , J 2 , J 3 )). Algorítimos cômodos, nessas

variáveis, podem ser encontrados em vários textos

especializados para explicitar as derivadas presentes em (35).

30

Finalizando, é oportuno assinalar que existem alguns

modelos para a abordagem da plasticidade em materiais

encruáveis, inclusive incorporando-se o efeito Bauschinger. Para

tanto considera-se, na função F, ou Q, a existência de mais uma

variável; por exemplo, no caso do critério de V. Mises,

considera-se 0t variável, conforme sugere o comportamento

retratado na figura 12b). Assim, no lugar de (42) tem-se:

= o ••• ( 4 7}

onde a variável k toma o lugar de 0t

Pois bem, deixando-se de lado os aspectos matemáticos

envolvidos, a figura 15 exibe dois modelos de encroamento. Na

figura 15a) exibe-se o modelo cinemático, que corresponde à uma

translação de superfície, vista no plano 01 /0 2 , e na figura

15b) exibe-se o chamado modelo isotrópico, que consiste numa

expansao da superfície. Maiores detalhes sobre os critérios

seguidos na definição do parâmetro que define as modificações

experimentadas pela superfície (dk} podem ser encontrados em

vários textos especializados.

a) Modelo Cinemático b) Modelo Isotrópico

FIGURA 15- MODELOS PLASTICOS PARA MATERIAIS ENCRUÁVEIS

7 - INTRODUÇÃO À MECÂNICA DA FRATURA

31

Até aqui foi estudada a ruptura dos materiais.

Todaviarna ruptura de uma peça estrutural,especialmente no caso

de se empregar materiais do tipo frágil, a explicação mais

completa envolve outras considerações,

resistente do material.

que somente a capacidade

A questão que se coloca logo no início é a seguinte: Por

que razao, nos ensaios realizados, as resistências encontradas são

bem menores que aquelas teoricamente esperadas, tendo-se em

conta as forças moleculares? Por exemplo 1 para um certo tipo de

vidro com resistência teórica da ordem de 1,1 107 N/m2 , os

ensaios indicam resistência muito menor, ou seja, da ordem de 1,8

105 N/m2 . A resposta foi encontrada por Griffths. Sucede que na

fabricação do vidro, por várias razoesr formam-se micro-fissuras

e outros defeitos microscópicos no interior do material. Assim

sendo, quando a peça é solicitada, ocorre uma grande concentração

de tensão na redondeza de cada micro-fissura; e essa concentração

de tensão e, então, a responsável pela ruptura da peça. A partir

de um certo nível de tensão, as micro-fissuras se propagam, e é

esse nivel de tensão que é o verificado nos ensaios comuns. Esse

fato observado com o vidro é também exibido por outros materiais

frágeis, como o aço, que, em baixas temperaturas, passa a ser

membro dessa categoria de materiais.

O modelo matemático proposto por Griffths para descrever

o fenômeno mencionado toma por base um balanço das energias em

jogo, ou seja, energia de deformação e uma outra manifestação de

energia chamada energia superficial. Sucede que nos sólidos, como

nos líquidos, existe uma tensão superficial aglutinadora. Assim,

qualquer alteração de superfície envolve uma variação da energia

superficial (trabalho daquelas tensões) . Para aquele vidro

mencionado a energia superficial por unidade de área encontrada

assume o valor T = O, 55 Nm/m 2 .

Pos bem, para haver propagação de uma micro-fissura é

necessário que a energia de deformação liberada no aumento da

fissura supere a energia superficial (aglutinadora)

correspondente. No sentido de se quantificar as energias em jogo,

considere-se o caso da chapa uniformemente tracionada exibida na

32

figura 16a). A figura 16b) exibe a mesma chapa, porem com um

orifício elítico alongado (o comprimento L é mantido constante

nos dois casos). Obviamente, a energia de deformações no segundo

caso e menor que no primeiro (existe menos material trabalhando -

aqueles na borda do orifício estão livres de tensão normal no

sentido transversal do orifício). Com os resultados obtidos na

Teoria da elasticidade, a diferença verificada na energia de

deformação e dada por (supondo-se chapa de espessura unitária):

u = TI 9,2 02

4E ••• ( 4 8)

onde E e o módulo de elasticidade e 0 a tensão aplicada (a

energia de deformação da chapa sem orifício é elementar~ no caso

da com orifício elítico já torna-se necessário lançar mao de

soluções obtidas em coordenadas curvilineas elíticas). Para haver

aumento da fissura é, então, necessário que a diminuição da

energia de deformação, ou seja:

dU d~ d~ = ••• { 4 9)

seja maior ou igual ao aumento da energia superficial, ou seja:

••• (5o) 2E

onde T e a energia por unidade de superfície o fator 2d9- é

imediato, pois o acréscimo da fissura aumenta a superfície nessa

proporçao, uma vez que se admite espessura unitária). De (50)

decorre:

0 > 0 c r ••• (51)

onde:

0 = v4ET, ••• (52) c r TI9,

para que a fissura propague-se. A tensão 0 cr e dita tensão

33

crítica de abertura de fissura.

ti ti t t t t t t te;

L

a l Chapa sem Orifício

t t t i t t t t t i f to-CONCENTRAÇÃO DE TENsÃO

(I ) l· ! pl

b) Chapa com Orifício Ell.tico Alongado

FIGURA 16 - FRATURA SEGUNDO OR!F(C!O ELÍTICO ALONGADO

Mediante processos de fabricação mais requintados e

possível reduzir bastante aquelas imperfeições, aumentando-se

significativamente aresistência das peças. Griffths em suas

experiências já tinha conseguido hastes de vidro com resistência

da ordem de 0,62 107 N/m2 (mais da metade do valor teórico

esperado).

O modelo de Griffths nao se mostram muito adequado no

tratamento da fratura de aço, pois nas extremidades da fissura, ;

região mais tencionada, o material ja mostra-se emregime de

plastificação. Para atender melhor tais situações Irwin propos um

critério que toma por base, não mais um balanço das energias em

jogo, mas um estado de tensão de referência. Mais ainda, o

critério abrange outros tipos de fissuração que o até aqui

considerado. A figura 17 exibe os tipos clássicos de fratura. No

34

primeiro caso, fratura normal,o campo de tensão na extremidade da

fissura ~ dado por (solução obtida na Teoria da Elasticidade):

o X

L xy

o y

1 - sen(el2) sen(38/2)

KI cos (el2) sen(812) cos (3el2)

y2nr'

1 + sen {e I 2) sen ( 3 e I 2 J

••• (53)

onde K1 ~ um fator denominado fator de intensidade de tensão. O

ângulo e e o raio r são medidos conforme indicado na figura 17a).

O correspondente estado de deslocamento ~ dado por:

u cos (e 12)

= ••• {54)

v sen (e I 2) [B + 1 - 2 cos 2 (el2) J

sendo u e v os deslocamento segundo Ox e Oy, respectivamente,1J o

no estado plano de coeficiente de Poisson, e B = 3-4 11

deformação; no estado plano de tensão S = (3-1.1)1(1 + 1-lJ. No

segundo tipo de fratura(fig.l7b)) os estados de tensão e

deslocamento são dados por:

o X

KII L = --xy V 2nr' o y

:} =

-sen(el2) 2 + cos(el2) cos (3e 12) 1

cos(el2) 1 sen(el2) sen(3el2)]

sen(el2) cos(el2) cos (3e/2)

[

sen(el2) [B + 1- 2cos 2 (el2)]

-cos(812) [B- 1 + 2 sen 2 (el2)]

••• (55)

e na fratura indicada na figura 17c) (fratura de anti-plano),

35

tem-se:

1" yz

w

) =

= 2

-sen(8/2)

cos(8/2) •.. (56)

KIII r;;-' (8/2) 1J V 2TI sen

sendo w o deslocamento segundo o eixo oz. Um exame das expressoes

de {53) a (56) indica que os fatores de intensidade de tensão

K1 , K11 e K111 têm unidade de tensão multiplicada pela raiz de

um comprimento. No caso da fratura exibida na figura 17a), em se

tratando de uma chapa de comprimento infinito uniformemente

tracionada no sentido normal a fissura, tem-se

Elasticidade) :

K =a ~ I

(Teoria da

••• (57)

sendo a a tensão uniforme de tração e ~ o comprimento da

fissura. Além disso, é também evidente que os estados de tensão

apresentados experimentam, na extremidade da fissura (r = O), uma

singularidade do tipo 1/ rr, ou sej.a, as componentes de tensão

vao para o infinito nessa proporçao.

Pois bem, torna-se necessário agora alguns comentários.

Em primeiro lugar, parece estranho, a primeira vista, tomar-se

por referência estados de tensão que apresentam singularidades,

pois os materiais apresentam resistência limitada, mesmo tendo-se

em conta as forças moleculares. Em segundo lugar, os fatores de

intensidade de tensão, a não ser em casos particulares, como o

expresso em (57), não encontram forma explícita. Para esclarecer

tais questões é necessário, de inicio, ter-se em mente que as

tensões, na realizade, nao apresentam singularidade, porém, na

extremidade da fissura são de fato elevadas. Deixando-se de lado

uma estreita vizinhança singular r = O, os estados de tensão

apresentados podem fazer sentido. Além disso, num dado ponto, a

magnitude do estado de tensão depende apenas do fator de

36

y

)(

o ) Modo de Abertura b) Modo de Cisalhamento c)Froturo no Anti-plano

FIGURA 17- TIPOS BÁSICOS DE FRATURA

intensidade de tensão (K1 , K11 ou K111 ) .Assim sendo,ocritério que

define a propagação ou não da fissura pode, então, ser colocado

em termos de tais fatores, , por exemplo, no caso do primeiro tipo

de fratura, a condição:

••• (58 )

onde -e o fator de um dado estado de tensão e Krc o fator

limite correspondente ao inicio de propagação, indica que o

estado de tensão considerado não propicia a propagaçao da fissura

(no caso da fissura não se estabilizar, esse passa a ser o

critério de resistência da peça). Em outras palavras, na Mecânica

de Fratura, o fator de intensidade de tensão toma o lugar tensão

no julgamento da capacidade resistente da peça. Os fatores de

intensidade de tensão limites, para os tres tipos básicos de

fratura, são obtidos em ensaios padronizados. (norma E 399-74 da

37

ASTM, por exemplo). A titulo de mençao, uma junta soldada em aço

A 533-B (ASTM) à soe de temperatura apresenta Kic da ordem de 75 6 \~ 2 10 N vmlm •

Na prática, o estado de tensão na região de uma fissura

pode ser obtido mediante emprego de métodos numéricos (de maneira

aproximada obviamente). De posse do campo de tensão, e possível

estimar-se o valor do fator de intensidade de tensão

correspondente, pela comparação com aqueles de referência ((53},

(55) ou (56)). Dentre os métodos numéricos, o método dos

Elementos Finitos, mediante emprego de elementos especiais de

fratura, vem sendo o mais utilizado; embora, mais recentemente, o

método dos elementos de contorno já venha ganhando terreno também

nesse campo de aplicação.

8 - FADIGA

Os critérios de resistência abordados até aqui nao levam

em conta solicitações de natureza dinâmica. Em verdade, na

maioria dos casos da prática, a variação da solicitação com o

tempo , dada a lentidão com que se processa, não envolve

característica de natureza dinâmica apreciável. Contudo, no

julgamento da resistência de peças de máquinas, a natureza

essencialmente dinâmica das solicitações em jogo, exige a

consideraç~o dos efeitos dinâmicos no. fenõmeno da ruptura. Em

face da complexidade desse assunto e do carater introdutório que

norteia o presente texto, apenas dois casos de solicitação sao

aqui objeto de apreciação, ou seja: a) solicitação por choque; b)

solicitação periódica.

A capacidade de resistência ao choque (impacto) e, em

vários códigos construtivos, levada em consideração mediante

adequados coeficientes de majoração das cargas envolvidas. Tais

coeficientes sao obtidos experimentalmente em ensaios

padronizados. A capacidade da peça, ou da estrutura, acumular

energia de deformação no regime elástico-linear, caraceterística

denominada resiliência, fornece uma primeira indicação sobre a

resistência ao choque. Contudo, as tensões desenvolvidas durante

o impacto, extremamente dificíeis de ser avaliadas, dependem

38

sobremaneira da forma como o choque se processa. Cabe ressaltar

que, dada a importância desse assunto para a engenharia militar,

o comportamento dos materiais nesse caso particular de

solicitação forma como que um ramo específico da engenharia (no

projeto de blindagem a resistência o impacto e uma questão

essencial . Em face do mencionado, nao é nem preciso salientar

que trata-se de um ramo do conhecimento muito pouco divulgado,

devido ao sigilo mantido em torno desse assunto.

A solicitação periódica promove uma variação cíclica das

tensões. No caso de uma máquina 1 o número de cilos pode ser

bastante elevado durante a vida útil do equipamento. ~ bastante

conhecido o fato de se atingir a ruptura de um arame com poucos

ciclos (10 ou 15) de vai-e-vem, provocando escoamento alternado.

Por outro lado, as experiências evidenciam que mesmo para tensões

abaixo da de escoamento esse tipo de ruptura manifesta-se para

alguns milhÕes de ciclos. A ruptura nesses casos é dita provocada

por fadiga (cansaço) do material . Cumpre assinalar, de início,

que interfere nessa ruptura, além de propriedades próprias do

material, fortemente a geometria da peça.

O primeiro investigador que abordou esse assunto de

maneira sistemática foi WOEHLER; por essa razão, em merecida

homenagem, diagramas como o mostrado na figura 18a) levam o seu

nome. Tratam-se de resultados de ensaios padronizados, onde em

ordenada lança-se o nível da tensão alternada máxima e em

abcissa o numero de ciclos necessários para a ruptura.

Irônicamente,esse mesmo diagrama, quando lançado em escala

logarítmica (fig. 18b)), vem sendo referido como diagrama S/N,

onde S e

numero de

o lagarítmo do nível de tensão e N

ciclos (a literatura inglesa nao

o logarítimo do

presta a devida

homenagem ao WOEHLER). Homenagens a parte, esse diagrama

esquematizado decorre de resultados encontrados para o aço

comum; ficando-se evidente que, para tensões alternadas menores

que 190 10 6 N/m2 a ruptura por fadiga não mais ocorre. Todavia,

no caso do alumínio esse patamar não se manifesta,

fadiga vai estar sempre presente.

39

ou seja, a

I,S ..&--+--+---+--+---+-+--1---!!o-2 3 4 5 6 7,0

o) Diagrama de WOEHLER

106 Ciclos

3,2.8

6,54

b) Diagrama s /N

FIGURA 18 - DIAGRAMAS DE FADIGA

Para atender os casos de solicitação com tensão variando

de um limite inferior amim, a um limite superior amax. não

iguais em módulo, como no caso alternado, o critério de fadiga

para os materiais que apresentam patamar (tensões abaixo de um

certo valor nao promovendo fadiga do material) é do tipo

ilustrado na figura 19, denominado Diagrama de SMITH. Em ordenada

lançam-se os valores de a max e a mim,

média, ou seja:

amax + amim a = m 2

e em abcissa a tensão

••• (59)

A propósito desse diagrama, cumpre chamar a atenção para a

facilidade com que pode ser obtido. A região sem ruptura à fadiga

pode ser determinada com praticamente três pontos. No eixo de

ordenadas indicam-se valores decorrentes do diagrama de WOEHLER,

o outro ponto é obtido com o resultado da resistência estática.

40

Por uma questão de prudência, essa região é delimitada na parte

superior pela tensão de escoamento, tendo-se em vista eventual

inutilização da peça por deformações acumuladas excessivas o

diagrama de SMITH é também, em algumas literaturas denominado de

Diagrama de GOODMAN) .

SOLICITAÇÃO PULSANTE

IO"min=Ol

FIGURA 19- DIAGRAMA DE SMITH (GOODMAN)

Em muitos problemas da prática, como, por exemplo, os de

plataforma maritimas, os ciclos de tensão não são de mesmo nivel,

pois os "estados do mar" variam ao longo da vida ütil de tais

estruturas (para cada estado do mar existe uma onda

caracteristica). No sentido de se abordar esses casos, foi

proposto um critério linear, denominado critério de PALMGREN-

MINER, onde a fadiga é agora ditada pela soma ponderada dos

níveis de tensão, ou seja:

L: m n N ~ l ••• ( 6 o)

41

onde n é o numero de ciclos verificado num dado nível de tensão

alternada,

de WOEHLER.

sendo N o numero máximo nesse nível, dado no diagrama

A expressão {60) exprime a condição de nao haver

fadiga quando ocorrem m casos de solicitação alternada.

Para finalizar, cabem alguns comentários. Em primeiro

lugar, vale mais uma vez ressaltar que o fenômeno da fadiga e

extremamente complexo, nao existindo, até o momento,

modelo matemático plenamen-te convincente. Todavia,

nenhum

alguns

"personagens" importantes se destacam: a) Trata-se de um fenômeno

que depende de características mecânicas do material (cada

material apresenta, no tocante à fadiga, um comportamento típico)

b) Interfere marcantemente no fenômeno a forma geométrica da peça

(entalhes, furos e variação brusca de seção concorrem para uma

redução substancial da capacidade resistente da peça, pois

proporcionam concentrações de tensão; que, em decorrência de

plastificações localizadas, dão origem a trincas que se propagam

levando-se a ruína da peça). c) Micro-Fissuras decorrentes do

processo de fabricação também reduzem a capacidade da peça, por

proporcionarem fortes concentrações de tensão. Embora o assunto

mostra-se complexo, algumas orientações no sentido de se avaliar

o problema da fadiga vem sendo apresentadas. Em primeiro lugar,

os entalhes, furos etc. devem ser criteriosamente executados, de

modo a não permitir grandes concentrações de tensão; além disso,

como a região

superfície, um

(bombardeamento

mais tensionada, em geral, encontra-se na

tratamento da superfície com altas pressões

da superfície) melhora substancialmente o

desempenho da peça no tocante à fadiga.

9 - COMENTÁRIOS GERAIS

O presente texto aborda, de início, os critérios de

resistência dos materiais, ou seja, a capacidade resistente dos

materiais. Os demais assuntos já enfocam a resistência do ponto

de vista da peça, e não somente do material. A teoria da

plasticidade explica o comportamento da peça, ou conjunto, desde

42

o inicio da plastificação em um ponto até a formação de um

mecanismo. A mecânica da fratura, por outro lado, explica um tipo

particular de ruptura frágil, que decorre de propagaçao de

fissura, tratando-se de um modelo de ruptura que envolve, alem de

características do material (K1 , K11e~11 ) ,também a geometria da

peça. Finalmente, aborda-se o problema da fadiga, que também

envolve características do material e geometria da peça. Em

resumo,

envolve

a ruptura de uma estrutura é um fenômeno que

características do material empregado e

realmente

também a

geometria das peças componentes. Verificar as condições de

ruptura do material no ponto mais solicitado fornece apenas uma

indicação inicial sobre a capacidade resistente da estrutura. Uma

colocação mais completa desse assunto exige um estudo pela

teoria da plasticidade ou pela mecânica da fratura, se esse for o

caso mais crítico em relação à ruina. Infelizmente, como ainda

nao existe uma modelagem convincente da fadiga, no caso de

solicitação de natureza dinâmica a única indicação ainda e o

diagrama de WOEHLER.Nesse caso, um julgamento mais prudente ainda

parace ser o ensaio de cada peça ou estrutura em particular, ou,

o que e mais vantajoso, ensaios das partes julgadas mais

crÍticas, como juntas etc.

Todososcasos de ruina abordados anteriormente enfocam a

capacidade resistente, quer do material quer da peça ou conjunto.

Contudo, em sendo o deslocamento excessivo uma r~ptura técnica

(a peça passa a nao cumprir à contento a sua finalidade) uma

outra característica do comportamento dos materiais passa a ser

importante. Materiais como o concreto, por exemplo, quando

submetido a um estado de tensão constante exibe urna deformação

inicial do tipo elástico, ou elasto-plástico, e, com o passar do

ternpo,a deformação continua se processando. Esse fenômeno chama­

se deformação lenta. No caso de se submeter o material a uma

deformação constante, de inicio processa-se urna tensão elástica,

ou elasto-plástica, e, com o passar do tempo, essa tensão

reduz-se. Esse fenômeno chama-se relaxação. A figura 20 ilustra

os comportamentos mencionados, no caso de uma barra sob tração

simples. Para o estado duplo e triplo de tensão existem modelos

matemáticos, similares ao da Teoria de Plasticidade, para

43

descrever, de maneira consistente, tais comportamentos(modelos

visco-elástico, visco-elasto-plástico, etc.).

H+ a: o

a l Barro Solicitada Estaticamente

d) Barra Alongado

cri= N /S)

cro ~-----------------------

b) Tensão Constante no tempo

O" I : N /S l

t

e: ( = .o..llti}

DEFOIUi!AçÃO !.ENTA

t

cl Andamento do deformação

80~---------------

f) Andamento da Tensão g l Deformação Constante

e) Tensão

FIGURA 20- COMPORTAMENTOS DEPENDENTES DO TEMPO

44