1 Seminarul 6 : Serii numerice

Criteriul lui Leibniz : Daca seria alternanta etatile: Un+1 Un atunci este convergenta. si

(1)n1 Un ,

Un > 0 are propri-

n=1

n

lim Un = 0

Criteriul raportului : Fien=0

Un o serie numerica cu proprietatea ca exista : |Un+1 | =k n |Un | lim

daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta. daca k > 1 seria este divergenta.

Remarca :

pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.

putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile : daca exista k (0, 1) si n0 N astfel ca este convergenta. daca|Un+1 | |Un | |Un+1 | |Un |

k pentru orice n n0 atunci seria

1 pentru orice n n0 atunci seria este divergenta.

daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.

Criteriul radacinii : Fien=0

Un o serie numerica cu proprietatea ca exista : limn

n

|Un | = k

daca k < 1 seria este absolut convergenta, deci convergenta. daca k > 1 seria este divergenta.

Remarca :

pentru k = 1 nu putem trage nicio concluzie.

putem inlocui conditia de existenta a limitei cu conditiile : daca exista k (0, 1) si n0 N astfel ca este convergenta.n

|Un | k pentru orice n n0 atunci seria

2 dacan

|Un | 1 pentru orice n n0 atunci seria este divergenta.

daca seria are termenii pozitivi nu avem nevoie de modul.

Criteriul lui Abel : Daca serian=0

n Un are proprietatea ca sirul (Sn )n1 :

Sn = U1 + U2 + .... + Un este marginit si : n+1 n , atunci seria este convergenta.n

lim n = 0

Calculul aproximativ al sumelor de serii : de cele mai multe ori este aproape imposibil de determinat suma unei serii convergente si prin urmare ne multumim cu aproximarea acesteia prin intermediul sirului sumelor partiale: Sn = U1 + U2 + ... + Un . in general ne intereseaza aproximarea S Sn cu o anumita eroare > 0, adica determinarea acelui n pentru care : |S Sn | < .

Propozitie : Daca convergenta unei seriin=1

Un este stabilita prin : n n0 atunci : n N n n0 atunci : k n+1 1k Un > 0 este stabilita prin criteriul

criteriul raportului, adica

|Un+1 | |Un |

k < 1, |Un+1 | 1k

|S Sn | criteriul radacinii, adican

|Un | k < 1 , |S Sn |

Daca convergenta seriei alternante lui Leibniz atunci :

(1)n1 Un ,

n=1

|S Sn | < Un+1 . Aplicatie : Calculati cu o eroare mai mica decat 103 suma seriei n=1 1 . n2n