Cristina Tortoraa.a.: 2012/2013

Università degli Studi di Napoli Federico IIFacoltà di Economia

Variabili casuali connesse alla Normale

Cristina Tortora

Cristina Tortora

Determinare la probabilità che, lanciando 400 volte un dado, la faccia 5 compaia almeno 60 volte

• Lancio di un dado esperimento binomiale

• probabilità di successo (la faccia uscita è il 5) p=1/6=0,17

• v.c X: numero di uscite della faccia 5 in 400 lanci

Funzioni di massa Binomiali che convergono ad una densità Normale.

Correzione per la continuità!

Supponiamo di avere una v.c. X ~ B(6, 0.5) e vogliamo calcolare la P(X ≤ 2):

Calcolando esattamente la P(X ≤ 2) non si includerebbe l’area verde, ovvero la probabilità calcolata sarebbe inferiore a quella effettiva.

Correzione per la continuità: aumentiamo di 0.5 (0 diminuiamo in caso di P(X≥2))

P(X ≤ 2)→ P(X ≤ 2.5) Cristina Tortora

Cristina Tortora

Correzione per la continuità

Cristina Tortora

Si determini P(X<30) quando X è una variabile casuale chi-quadrato con 26 gradi di libertà.

Si determini P(X<30) quando X è una variabile casuale chi-quadrato con 26 gradi di libertà.

Cristina Tortora

25,0)30( XP

)30(1)30( XPXP

75,025,01)30( XP

Cristina Tortora

Si trovi quanto vale Si trovi quanto vale 15;05,02

Cristina Tortora

15;05,02

Cristina Tortora

Come cambia la forma della distribuzione della v.c. chi-quadrato al variare del parametro g (gradi di libertà)?

Come cambia la forma della distribuzione della v.c. chi-quadrato al variare del parametro g (gradi di libertà)?

Cristina Tortora

0,00

0,05

0,10

0,15

0,0 7,5 15,0 22,5 30,0

42

82

122

202

• per valori piccoli di g la distribuzione è concentrata su valori piccoli di X;• all’aumentare di g la distribuzione tende a distendersi su tutti i valori positivi di X; • all’aumentare di g la distribuzione tende a distribuirsi come una Normale.

• per valori piccoli di g la distribuzione è concentrata su valori piccoli di X;• all’aumentare di g la distribuzione tende a distendersi su tutti i valori positivi di X; • all’aumentare di g la distribuzione tende a distribuirsi come una Normale.

Cristina Tortora

Si determini P(X<1,2) quando X è una variabile casuale t- student con 12 gradi di libertà.

Si determini P(X<1,2) quando X è una variabile casuale t- student con 12 gradi di libertà.

Cristina Tortora

10,0)2,1( XP

)2,1(1)2,1( XPXP

90,010,01)2,1( XP

Cristina Tortora

Si trovi quanto vale t0,025; 9Si trovi quanto vale t0,025; 9

Cristina Tortora

9;025,0t

Cristina Tortora

Come cambia la forma della distribuzione della v.c. t- student al variare del parametro g (gradi di libertà)?

Come cambia la forma della distribuzione della v.c. t- student al variare del parametro g (gradi di libertà)?

Cristina Tortora

• La funzione di densità della v.c. di Student è sempre simmetrica, con valore medio pari a 0, ed assume una forma molto simile a quella della Normale standardizzata alla quale tende assai velocemente al crescere dei gradi di libertà.• Per valori di g piccoli o moderati, la v.c. di Student si caratterizza per una curtosi leggermente più elevata e per code più “pesanti” della v.c. Normale.

• La funzione di densità della v.c. di Student è sempre simmetrica, con valore medio pari a 0, ed assume una forma molto simile a quella della Normale standardizzata alla quale tende assai velocemente al crescere dei gradi di libertà.• Per valori di g piccoli o moderati, la v.c. di Student si caratterizza per una curtosi leggermente più elevata e per code più “pesanti” della v.c. Normale.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-3 -2 -1 0 1 2 3

Density

f(t_3)

f(t_11)

f(t_24)

Z~N(0,1)

Cristina Tortora

Usando le tavole della distribuzione F- Fisher trovare:1.F0,05; 10; 15

2.F0,95; 10, 5

Usando le tavole della distribuzione F- Fisher trovare:1.F0,05; 10; 15

2.F0,95; 10, 5

Cristina Tortora

15;10;05,0F

Cristina Tortora

10;5;05,05;10;95,0

1

FF

30,033,3

15;10;95,0 F

Cristina Tortora

Un’impresa produce pomodori ed il processo di inscatolamento è stato regolato in

modo tale che in ogni barattolo venga introdotta, in media, una quantità di

pomodori pari a 13 etti. Lo s.q.m. del peso netto effettivo è 0,1 etti e si suppone

che i pesi siano distribuiti normalmente. Si determini la probabilità che un barattolo

preso a caso contenga una quantità di pomodori compresa tra 13 e 13,2 etti.

Cristina Tortora

L’altezza di un gruppo di ragazzi è distribuita normalmente con media 180cm e

scarto quadratico medio 10cm. Calcolare la probabilità che un ragazzo scelto a

caso dal gruppo abbia una statura superiore a 190cm.