FIZICA POVESTITĂ

Cristian Presură s-a născut în 1971 la Voineasa și a urmat stu diile facultăților de electrotehnică și �zică. A lucrat la Institutul de Fizică Atomică, unde s-a ocupat de instalații electrice și a studiat proprietățile laserilor cu medii active solide. În 2002 a obținut doctoratul în �zică la Universitatea Groningen, Olanda, unde a caracterizat proprietățile optice ale sistemelor corelate de electroni. Rezultatele sale s-au concretizat în lucrări publicate în reviste de specialitate: Physical Review B, Physical Review Letters și Science.

În prezent este cercetător la compania Philips, Olanda. S-a specializat în domeniul senzorilor medicali. Împreună cu echipa sa, a inventat și introdus pe piață primul ceas ca pabil să măsoare pulsul sportivilor numai pe baza senzorilor optici. A publicat mai multe zeci de lucrări și brevete de invenție.Cristian Presură are o activitate intensă de popularizare a științei în limba română, scriind articole pentru ziare și reviste. Este membru al asociației cercetătorilor români Ad Astra și fondator al asociației Știință pentru Toți, pre-zentă la adresa de internet stiinta.club.

CRISTIAN PRESURĂ

FIZICAPOVESTITĂ

Prefaţă de MIRCEA PENŢIA

Redactor: Vlad Zogra�Coperta: Angela RotaruImaginea copertei (Roiul Pleiade) a fost pusă la dispoziţie de Flavius Gligor.

Tipărit la Artprint

© HUMANITAS, 2014, pentru prezenta versiune românească

Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a RomânieiPresură, CristianFizica povestită / Cristian Presură; pref.: Mircea Penția. –București: Humanitas, 2014ISBN 978-973-50-4665-1I. Penția, Mircea (pref.)53

EDITURA HUMANITASPiața Presei Libere 1, 013701 București, Româniatel. 021/408 83 50, fax 021/408 83 51www.humanitas.ro

Comenzi online: www.libhumanitas.roComenzi prin e-mail: vanzari@libhumanitas.roComenzi telefonice: 0372 743 382, 0723 684 194

La primul contact cu această carte am avut sentimen-tul că ascult o muzică ce mă încântă ori de câte ori o aud. În in terpretarea lui Cristian Presură, această compoziție gran dioasă care e Fizica ajunge să sensibilizeze și urechile cel mai puțin educate științi�c.

Când am făcut primii pași în această lume fascinantă a �zicii, am citit tot felul de articole (cam haotic, e drept), aproape orice îmi cădea în mână. Mai peste tot găseam ex-presii de genul „după cum bine se știe...“ și urma o for mulă necunoscută mie. Această exprimare mă șoca de �ecare dată și îmi dădea sentimentul că sunt prea neinstruit în tai-nele �zicii moderne. Abia mai târziu am înțeles că lucrările științi�ce sunt un șir întreg de contribuții cu specializări foarte înguste, de abordări și modele care ajung să se impună doar în urma testării lor experimentale. De aceea, multe ase-menea modele ajung la lada de gunoi, sunt complet uitate. Doar câteva se impun și devin adevă rate teorii ce contribuie la înțelegerea modului în care e alcătuită și funcționează lu mea înconjurătoare. Cartea de față conține tocmai aceste cunoștințe bine veri�cate și acceptate, adevărate „după cum bine se știe“.

Întrebări care au frământat omenirea, cum ar �: de unde venim și încotro ne îndreptăm sau din ce suntem alcătuiți și după ce legi funcționează lumea înconjurătoare, au fost puse dintotdeauna. Primele noțiuni și concepte științi�ce au apelat la senzorii umani de lumină, presiune, tempera-tură etc. Apoi au fost concepute diverse instru mente care au extins domeniile de sondare a lumii �zice, �e că e vorba de lumea universului macroscopic sau a celui microsco-pic. Cunoașterea lumii înconjurătoare a evoluat odată cu evolu ția instrumentelor de care aceasta a dispus, ajungând ca astăzi să �e utilizate mari acceleratoare de particule, cum este Large Hadron Collider (LHC) de la CERN, Geneva, cu care se sondează și se testează cele mai îndrăznețe mo dele de structurare și funcționare ale materiei, cum e modelul standard.

Vechii greci credeau că la baza structurii și funcțio-nării lumii înconjurătoare stau patru elemente constitu-tive: pământul, apa, aerul și focul. În accepțiunea actuală, aceste elemente constitutive sunt quarcii și leptonii ca ele-mente de structură, alături de cele patru forțe de interacție dintre ele, mediate prin bosonii de schimb corespunzători, res pectiv fotonii pentru interacția electromagnetică, gluo-nii pentru interacția nucleară tare, bosonii W și Z pentru

in teracția nucleară slabă și gravitonii pentru interacția gra vitațională, iar în cele din urmă bosonii Higgs.

Descrierea uni�cată a tuturor forțelor de interacție a început cu cea a lui Newton, care a arătat că forța care face ca mărul să cadă din pom este aceeași cu cea care ține planetele pe orbitele proprii în mișcarea lor de revoluție în jurul Soarelui. Apoi Maxwell a arătat că forța electrică și cea magnetică sunt două aspecte ale uneia și aceleiași forțe electromagnetice, care în diverse situații se manifestă �e sub formă electrică, �e sub formă magnetică. Mai târ ziu, Weinberg, Glashow și Salam au aratat că interacția elec-tromagnetică, la rândul ei, este doar o manifestare par ticu-lară a unei interacții mai generale, interacția elec troslabă, care include și interacția nucleară slabă. În prezent se fac eforturi deosebite pentru a obține o descriere uni�cată a tuturor interacțiilor din natură, prin includerea și a in-teracției nucleare tari (actualul model standard), iar apoi și a celei gravitaționale.

Toate aceste încercări teoretice de uni�care se fac în paralel cu testările experimentale din marile laboratoare ale lumii ale diverselor modele existente. Cercetările din aceste laboratoare se desfășoară pe un front foarte larg, de la des-coperirea de noi particule elementare, cum ar � detectarea recentă a bosonului Higgs ca piesa lipsă din modelul stan-dard, și până la studiul materiei și energiei întunecate sau al găurilor negre. Parcurgând cartea lui Cristian Presură veți ajunge să înțelegeți toate aceste noțiuni, cum ar � modelul standard, uni�carea interacțiilor din natură, ma-teria și energia întunecată, găurile negre etc. Fiind scrisă de un �zician pasionat, care a pătruns și înțeles tainele �zicii moderne, scrisă cu rigoarea și competența unui spe-cialist, cartea este un valoros îndrumar atât pentru infor-marea unui public dornic să cunoască �zica modernă, cât și pentru a călăuzi pașii unui tineret instruit, care posedă cunoștințe generale și de matematică la nivel de liceu, sau chiar a celui care dorește să urmeze o carieră în domeniul științi�c sau tehnic. De altfel, deducțiile și demonstrațiile din carte (plasate în căsuțe separate), împreună cu ane-xele, sunt adevărate lecții de �zică utile inclusiv studenților de la facultățile de �zică sau politehnică.

În cuprinsul acestei cărți veți găsi toate abordările ac-tuale ale �zicii moderne, începând cu mecanica newto-niană, aplicată la mișcarea corpurilor cerești, trecând la electromagnetism, folosit ca model pentru toate câmpurile

Prefaţă

6 Prefaţă

�zice din natură, și ajungând la teoria relativității. Ca im plicații ale teoriei relativității, sunt abordate printre al-tele expansiunea universului, găurile negre sau materia și energia întunecată.

Trecând la mecanica cuantică, sunt abordate postula-tele acestui capitol al �zicii moderne, greu de acceptat chiar și de către mulți �zicieni formați în concepția unei �zici deterministe, și, de asemenea, este relevat caracterul non-local al proceselor cuantice.

Prin uni�carea teoriilor clasice de câmp și a mecanicii cuantice s-a elaborat cea mai completă și precisă teorie cuantică de câmp – electrodinamica cuantică. Una dintre consecințele importante ale acestei teorii este legată de in-terpretarea vidului cuantic nu ca un spațiu cu desăvârșire gol, ci ca unul umplut cu o sumedenie de particule virtu-ale, datorate �uctuațiilor locale energetice, cu producere și anihilare permanentă de particule. Existența acestora a fost demonstrată experimental, de exemplu prin deplasa-rea Lamb a nivelelor energetice dintr-un atom.

Trecând în continuare la particulele elementare, cuno ș-tințele actuale arată că elementele de structură ale parti-culelor elementare sunt la nivelul quarcilor și leptonilor. Interacțiile lor electromagnetică și slabă sunt descrise prin teoria electroslabă. Interacția tare dintre aceste elemente de structură este descrisă de cromodinamica cuantică, e drept încă nede�nitivată pentru distanțe mari. Aceasta funcționează și descrie deocamdată procesele de interacție tare la distanțe mai mici de 10–16 m între quarci.

În �nal sunt abordate fenomene și teorii a�ate în topul lucrărilor teoretice și experimentale actuale. Printre aces-tea amintim modelul standard, modelul marii uni�cări,

modele dincolo de modelul standard, cum ar � teoria su-persimetriilor sau teoria corzilor și a supercorzilor.

Majoritatea �zicienilor care se încumetă să scrie o asemenea carte rezistă cu greu tentației de a folosi un limbaj matematic atotcuprinzător, cu numeroase formule, uneori greu de digerat pentru un nespecialist. Un aseme-nea cititor obișnuit vrea doar să rămână cu iluzia înțelege-rii lumii �zice și să „apuce“ câțiva termeni mai so�sticați cu care apoi să se arate „bun“ cunoscător în ale �zicii la diverse discuții și întâlniri mondene. În acest sens, cartea lui Cristian Presură este cu atât mai valoroasă cu cât se adresează în egală măsură unui cititor neavizat și unuia bun cunoscător al formalismului matematic. Parafra zându-l pe Richard Feynman, pot spune că pentru a studia �zica există două posibilități: �e urmați timp de cinci ani cursurile fa-cultății de �zică, �e citiți această carte.

În cazul cărții de față, Cristian Presură îi împacă atât pe cei mai cârcotași, care nu acceptă nimic fără de mon-stra ție, cât și pe cei care vor doar să a�e cum funcționează �zica în cele mai ascunse cotloane ale lumii materiale, care sunt legitățile ce guvernează această lume și care sunt posibilitățile de a folosi aceste legi. Legile �zicii, spre deo-sebire de cele sociale, nu pot � supuse la vot, nu pot � ig-no rate sau ocolite. Ele sunt plasate deasupra tuturor și gu vernează întregul univers. Ele pot � doar cercetate și even-tual descoperite, acesta �ind de altfel și obiectivul prin-cipal al cercetării științi�ce.

Dr. MIRCEA PENŢIAInstitutul Naţional de Fizică şi Inginerie Nucleară,

Bucureşti–Măgurele cercetător ştiinţi�c asociat CERN, Geneva

Cuprins

1 Începuturile astronomiei 151. Limbajul naturii s, i limitele sale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. Forma Pământului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173. Dimensiunea Pământului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184. Mis,carea Pământului în jurul propriei axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195. Avantajul practic al stelelor fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206. Dimensiunea Lunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217. Distant,a de la Soare la Pământ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228. Modelul lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239. Sistemul lui Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410. Orbita eliptică a planetelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Fundamentele mecanicii clasice 2811. Căderea liberă a corpurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812. Cele trei principii ale mecanicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013. Masa inert, ială s, i masa gravitat,ională . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3214. Atract, ia gravitat,ională . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3315. Periodicitatea mareelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416. Mis,carea eliptică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3517. Modelarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3818. Măsurarea constantei gravitat,ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3919. Despre energie s, i limbajul fizicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4020. Planete extrasolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Electricitatea s, i magnetismul 4621. Electricitatea ca un joc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622. Dopul de plută s, i câmpul electric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4823. Broasca electrocutată s, i aparit,ia bateriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5024. Polii magnetici care nu pot fi separat,i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5125. Generarea câmpului magnetic de către sarcinile electrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5226. Act, iunea câmpului magnetic asupra sarcinilor electrice în mis,care . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5327. Millikan s, i sarcina electronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5528. Thomson s, i raportul dintre sarcina electrică s, i masa electronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5629. Semnificat, ia numărului lui Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5830. Electroliza. Masa s, i dimensiunea unui atom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6031. Modelul planetar al atomului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6232. O scurtă enumerare a stărilor materiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Electromagnetism 6733. Câmpuri magnetice variabile în timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6734. Câmpuri electrice variabile în timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

35. Ecuat,iile lui Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6936. Undele electromagnetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7137. Lumina este o undă electromagnetică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7338. Oscilat,iile undelor electromagnetice s, i difract, ia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7539. Prima măsurătoare directă a oscilat, iei câmpului electric al luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7940. Metamateriale. Lentila perfectă. Invizibilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8041. Energia câmpului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8442. Transmisia energiei pentru câmpul electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8543. Masa inert, ială a câmpului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8744. Presiunea luminii Cum putem cântări lumina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 De la electromagnetism către o teorie a relativităt, ii 9345. Echivalent,a sistemelor de referint,ă inert,iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9346. Legile electromagnetismului s, i sistemele inert, iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9447. Câmpurile electrice s, i magnetice în sisteme de referint,ă inert,iale diferite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9648. Invariant,a vitezei unei raze de lumină . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9849. Independent,a vitezei luminii de viteza sursei care o emite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10050. Experimentul lui Michelson s, i Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10151. Aberat, ia luminii stelare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10452. Dilatarea timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10553. Dilatarea timpului în electromagnetism, abordată clasic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10854. Universalitatea dilatării timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11055. Contract,ia Lorentz a lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 Teoria relativităt, ii restrânse 11356. Postulatele lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11357. Despre timpul s, i spat, iul absolut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11458. Despre inexistent,a simultaneităt,ii absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11659. Paradoxul gemenilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11760. Metrica spat, iului-timp. Intervalul relativist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12061. Formularea lui Minkovski pentru spat, iu-timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12462. Transformările Lorentz s, i principiul de reciprocitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12763. Dependent,a masei inert, iale a unui corp de viteza sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13064. De ce nici măcar informat, ia nu poate depăs, i viteza luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13265. Echivalent,a dintre masa inert, ială s, i energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7 Teoria relativităt, ii generale 13766. Teoria incompletă a gravitat,iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13767. Principiul echivalent,ei s, i cheia înt,elegerii relativităt,ii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13868. Geometria neeuclidiană exemplificată de suprafat,a sferei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14169. Harta unei suprafet,e curbe s, i metrica sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14370. Metrica spat, iului-timp curb. Analogia cu o sferă. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14771. Mis,carea corpurilor s, i traiectoria unei raze de lumină . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15372. Metrica spat, iului-timp s, i ecuat, ia lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15573. Teoria relativităt,ii generale, recapitulată în trei legi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15774. Aproximarea ecuat, iei lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15975. Metrica Schwarzschild a spat,iului-timp din jurul unei stele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16076. Periheliul planetei Mercur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16777. Curbarea unei raze de lumină în câmpul gravitat,ional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17078. Curbura spat, iului în apropierea stelelor masive. Lentile gravitat,ionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17279. Efectul Doppler s, i deplasarea spre ros,u a luminii în câmpuri gravitat,ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 17480. Dilatarea timpului în câmpuri gravitat,ionale intense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8 Implicat, iile teoriei relativităt, ii în astronomia modernă 18181. Sistemele de navigat,ie GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18182. Detect, ia indirectă a undelor gravitat,ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18283. Sistemul LIGO de detect, ie directă a undelor gravitat,ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18484. O călătorie spre găurile negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18585. Dovezi experimentale ale existent,ei găurilor negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18986. Radiat,ia Hawking s, i „găurile de vierme” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19287. Friedmann s, i expansiunea prezisă a universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19488. Hubble s, i expansiunea măsurată a universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

89. Radiat, ia cosmică de fond, sau cum s-a întunecat universul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20090. Materia întunecată s, i rotat,ia rapidă a galaxiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20391. Teoria dinamicii newtoniene modificate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20792. Energia întunecată s, i expansiunea accelerată a universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9 Mecanica cuantică 21293. Radiat, ia corpului negru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21294. Oscilatorul cuantic s, i nivelurile discrete de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21495. De ce corpurile încălzite apar ros, ii s, i nu albastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21596. Efectul fotoelectric. Fotonii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21697. Emisia s, i absorbt,ia luminii. Atomul de hidrogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21998. Unda pilot a electronului s, i rezonant,a ei în atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22199. Unda de probabilitate a fotonului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224100. Unda de probabilitate a electronului în experimentele de interferent,ă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227101. Caracteristicile undei de probabilitate a electronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230102. Ecuat,ia lui Schrödinger pentru evolut,ia undei de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232103. Cuantificarea oscilatorului armonic. Stări stat, ionare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234104. Efectul de tunelare cuantică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237105. Colapsul undei de probabilitate, sau misterul mecanicii cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239106. Superpozit, ia cuantică, statuia cuantică s, i pisica lui Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242107. Principiul de incertitudine al lui Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246108. Spinul electronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249109. Situat, ia mai multor particule. Bosoni s, i fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254110. Postulatele mecanicii cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

10 Aspecte moderne ale mecanicii cuantice 261111. Decoerent,a s, i colapsul undei de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261112. Creierul uman s, i mecanica cuantică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264113. Ipoteza universurilor multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268114. Paradoxul măsurătorii fără interact,iune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271115. Laserul s, i optica cuantică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275116. Calculatoare cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279117. Teoria Bohm-de Broglie a undei pilot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284118. Caracterul non-local al mecanicii cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287119. Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen s, i verificarea lui experimentală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288120. Teleportarea cuantică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295121. Criptografia cuantică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

11 Principiul act, iunii minime s, i teoriile clasice de câmp 305122. Formularea generală a principiului act, iunii minime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305123. Principiul lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307124. Mecanica analitică. Lagrangeanul unui sistem mecanic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309125. Ecuat,iile Euler-Lagrange pentru un sistem mecanic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313126. Sisteme cuplate în mecanica analitică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315127. Teoriile clasice de câmp s, i salteaua universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318128. Potent,ialele electrodinamice ale câmpului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

12 Teoria cuantică a câmpurilor 329129. Esent,a mecanicii cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329130. Geneza particulelor în reprezentarea pozit, iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332131. Reprezentarea impulsului pentru un câmp lipsit de interact, iune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339132. Mis,carea relativistă a electronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342133. Pozitronul s, i confirmarea sa experimentală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348134. A doua cuantificare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351135. Interact,iunea dintre particule în reprezentarea pozit, iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354136. Unificarea câmpului electromagnetic s, i al undei de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

13 Electrodinamica cuantică în interpretarea lui Feynman 364137. Metoda lui Feynman pentru o particulă fără spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364138. Metoda lui Feynman în teoria cuantică a câmpurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371139. De la câmpuri înapoi la particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374140. Propagarea particulelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377141. Vertexul interact, iunii dintre electroni s, i fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

142. Diagramele Feynman s, i multiplele procese virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384143. Particulele virtuale s, i „supa cuantică”a universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

14 Consecint,e ale electrodinamicii cuantice 394144. Antiparticulele s, i călătoria înapoi în timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394145. Diagramele Feynman în reprezentarea energie-impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397146. Problema infinit, ilor din electrodinamica cuantică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402147. Renormarea electrodinamicii cuantice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405148. Deplasarea Lamb s, i lungimea de undă Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410149. Momentul anomal al electronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413150. Vidul cuantic s, i fort,a Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414151. Efectul Schwinger s, i energia de zero a vidului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

15 Fizica particulelor elementare 423152. Detectarea experimentală a noilor particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424153. Acceleratoarele moderne de particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425154. Despre particulele virtuale din acceleratoarele de particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427155. Fort,a nucleară tare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430156. Familiile de particule: leptoni, barioni s, i mezoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432157. Ordonarea mezonilor s, i barionilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433158. Quarcii s, i aromele acestora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436159. Sistematizarea particulelor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438160. Principiul de incertitudine energie-timp s, i important,a proceselor virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

16 Cromodinamica cuantică 444161. Transformările de etalonare ale câmpului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444162. Experimentul Aharonov-Bohm s, i potent, ialele electrodinamice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447163. Principiul invariant,ei la transformarea de etalonare locală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451164. Culorile quarcilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456165. Simetria SU(3) a quarcilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459166. Gluonii colorat,i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466167. Fort,a de culoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469168. Quarcii liberi s, i culoarea particulelor compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

17 Interact, iunea electroslabă 474169. Neutrinul, precursorul fort,ei nucleare slabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475170. Bosonul W, mediatorul interact,iunilor nucleare slabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476171. Chiralitatea neutrinului s, i ruperea simetriei de chiralitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478172. Interact, iunea nucleară slabă s, i simetria SU(2) × U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481173. Ideea de bază a mecanismului Higgs: asemănarea cu supraconductorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488174. „Înghet,ul”universului s, i ruperea spontană de simetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492175. Unificarea electromagnetismului cu teoria interact, iunillor nucleare slabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501176. Achizit, ia de masă nenulă a electronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507177. Quarcii s, i interact, iunea slabă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

18 Cercetări actuale în fizica particulelor elementare 512178. Modelul standard al particulelor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513179. O istorie foarte scurtă a universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514180. Modelul inflat, ionar al universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520181. Inflat, ia eternă, unde gravitat,ionale s, i universuri multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525182. Violarea simetriei dintre materie s, i antimaterie s, i a celei de sarcină-paritate . . . . . . . . . . . . . . . . 530183. Oscilat, iile neutrinilor s, i masa lor nenulă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533184. Supersimetria particulelor elementare s, i energia vidului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537185. Marea unificare a fort,elor fundamentale s, i energia Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540186. Descoperirea bosonului Higgs la acceleratorul Large Hadron Collider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544187. Găurile negre microscopice, un pericol pentru Pământ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547188. Ce ne mai as,teptăm să găsim la LHC? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

19 Teoria corzilor relativiste 553189. Introducerea corzii relativiste s, i un avertisment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553190. Istoria corzilor relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554191. Ce este o coardă relativistă? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558192. Ecuat, ia fundamentală de mis,care a corzii relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

193. Interact,iunea dintre corzi, emisia s, i absorbt,ia de particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564194. Mis,carea clasică a corzii relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566195. Cuantificarea vibrat,iei corzii relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569196. Universul corzii bosonice cu 26 de dimensiuni spat, io-temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

20 Teoria supercorzilor 574197. Supercoarda s, i universul cu 10 dimensiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574198. Supersimetria s, i proiect,ia GSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577199. Dimensiunile suplimentare ale spat, iului în modelul Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579200. Dualitatea T, teoria M s, i supergravitat,ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581201. Compactarea dimensiunilor spat, iale s, i principiul antropic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585202. Lumea branelor s, i mărimea dimensiunilor suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589203. Despre entropie s, i radiat,ia Hawking a găurilor negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

21 Fizica, între cotidian s, i viitor 597204. Fizica modernă, recunoscută în lumea înconjurătoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597205. Istoria căderii libere a unui corp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599206. Gravitat,ia cuantică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603207. Impasurile din fizica modernă, indicii pentru viitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

22 Anexă 615208. Despre matematicieni s, i fizicieni, derivate s, i integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615209. Convent,ii pentru operat,ii matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617210. Notat,ii relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618211. Notat,ii pentru mărimile fizice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619212. Scurtă bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

23 Anexă matematică: Metoda canonică în mecanica cuantică 622213. Formularea canonică, între magie s, i exactitate matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622214. Legătura cu metoda lui Feynman în cazul discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628215. Legătura cu metoda lui Feynman în cazul continuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630216. Oscilatorul bosonic s, i cel fermionic în metoda canonică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633217. Teoria cuantică a câmpurilor în metoda canonică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

Indice 641

1Începuturile astronomiei

Obiectul fizicii este universul material în care trăim,iar scopul ei este în esent,ă explicitarea comportamentu-lui acestui univers. Pentru aceasta, fizica are nevoie de unlimbaj s, i de o metodă de analiză. În prima sect,iune vomdiscuta put, in forma acestui limbaj (matematica) s, i limită-rile sale. În sect, iunile ce urmează vom exemplifica metodade analiză cu ajutorul unor not, iuni de astronomie.

1. Limbajul naturii s , i limitele sale

Einstein spunea odată că lucrul cel mai de neînt,eles estecă lumea poate fi înt

,eleasă. Ciudat, nu? Ne-am fi as,teptat

ca lumea să fie o colect,ie haotică de întâmplări singulare s, icomplet imprevizibile, un univers în care se poate întâmplaorice s, i oricând. Dar universul îs, i are legile lui, pe careoamenii de s,tiint,ă încearcă să le descopere.

Ploaia, de exemplu, cade mereu de sus în jos s, i nu neas,teptăm să ne punem umbrela sub picioare atunci cândies, im din casă. Există deci o lege a ploii, care ne spune căpicăturile acesteia cad în jos. Fenomenul are loc mereu înacelas,i fel, în mod natural. Observat,ia scoate în evident,ăo ordine în univers, ordine relevată de s,tiint,ă prin experi-mente repetabile.

Să observăm că ordinea universului o „citim” în limbajulmatematicii. Dacă avem două monede de cinci lei, s,tim căsunt în total zece lei. Dacă trenul pleacă din Bucures,tila o oră s, i s,tim cât de repede merge, putem prezice cândajunge la Râmnicu Vâlcea. Pozit,ia unei stele o măsurămpe cer s, i o scriem în caiet cu ajutorul unor numere. Putemprezice unde se va află steaua peste două ore, dacă luăm încalcul rotat,ia boltei ceres,ti în jurul Pământului, adunânds, i înmult, ind numere.

Matematica stă la baza fizicii s, i a modului de perceperea universului. Fără să numărăm nu putem aborda pro-blema ordinii universului, iar fără să învăt,ăm să rezolvămintegrale nu vom rezolva ecuat, iile fizicii. Matematica estelimbajul naturii, as,a cum s-a afirmat adeseori.

Desigur, se prea poate ca această afirmat,ie să fie falsă s, inis,te extraterestri să găsească un alt limbaj al naturii. Laurma urmei misticii au altă părere, spunând că universul

Figura 1.1: O mână ce o desenează pe cealaltă, într-o cu-noscută lucrare a artistului olandez Maurits Escher. Caremână este a Creatorului s

,i care mână apart

,ine creat

,iei

sale? „Drawing Hands” (c) 2010 The M.C. EscherCompany - the Netherlands. Toate drepturile rezervate.Imagine folosită cu permisiunea www.mcescher.com.

este înt,eles prin intuit, ie, iar poet, ii spun că universul ne„vorbes,te” prin frumuset,ea naturii. În cartea de fat,ă noine vom limita la limbajul matematicii pentru a descoperitainele universului material.

Matematicianul Bertrand Russell (1872-1970) a în-cercat să încapsuleze toată logica matematicii în car-tea sa „Principia mathematica”, pentru a demonstranoncontradict

,ia s, i completitudinea matematicii, fără să

reus,ească decât part, ial. Pentru cei curios, i, „Principia ma-thematica” este o carte atipică. După o scurtă introdu-cere, urmează mii de propozit,ii logice care se deduc unadin alta. Este ca s, i cum Russell ar încerca să ne convingăcă universul are o structură logică, ce se reconstruies,te fo-losind propozit,ii logice deduse una din alta, cu ajutorulunor reguli definite dinainte.

Foarte încântat, i, mult, i oameni de s,tiint,ă au ridicat ma-tematica în sfera abstractului, undeva dincolo de univers,

16 Capitolul 1. Începuturile astronomiei

necontaminată de timp s, i spat,iu. Cu toate acestea, mate-maticianul Kurt Gödel (1906-1978) a demonstrat (culmea,matematic!) că s, i matematica îs, i are limitele ei. În esent,ă,Gödel ne spune că matematica este un doar limbaj, careface parte din această lume s, i care nu poate descrie com-plet însăs, i lumea din care face parte. Cu alte cuvinte, nune as,teptăm să explicăm întreg universul, odată ce facemparte din el. Nu este nevoie să fim filozofi ca să ne dămseama că, în acest caz, nu putem explica totul.

Matematica este o parte a acestei lumi, la fel cum eu saudumneavoastră suntem parte a ei. Relat, ia 1 + 1 = 2 estevalabilă pentru toată lumea. Dacă pun un măr lângă altul,am două, oricine este de acord cu asta, atâta timp câtnu se întâmplă nimic fizic cu merele. S, i, fiindcă as,a staulucrurile pentru tot, i, cădem de acord s, i construim limbajulmatematicii. Cu toate acestea, pentru că matematica esteo construct,ie a lumii (în fond, o jonglerie cu mere), nune as,teptăm ca ea să descrie întreaga lume din care faceparte.

Nu numai obiectele pe care le folosim fac parte dinlume, dar chiar s, i imaginat

,ia noastră este contaminată

de lume, căci ea imită s, i copiază comportamentul aces-tei lumi. Poetul german Johann Wolfgang Goethe spuneacă noi nu inventăm nimic, ci doar redescoperim. De aceeanu ne as,teptăm ca matematica să poată explica completînsăs, i lumea din care face parte s, i care a creat-o, căci arnas,te contradict,ii prin referint,e la ea însăs, i.

Pentru a arăta de ce autoreferint,a este importantă, săconsiderăm enunt,ul „Propozit,ia aceasta este falsă” s, i săobservăm că el nu este nici adevărat, nici fals. Dacăenunt,ul este adevărat, atunci propozitia este falsă, s, i decienunt,ul însus, i (la care face referire propozit,ia) este fals,ajungându-se la o contradict,ie. Dacă enunt,ul este fals,atunci propozit, ia trebuie să fie adevărată, ceea ce implicăautomat ca s, i enunt,ul (la care face referire propozit,ia) tre-buie să fie adevărat. Ajungem iarăs, i la o contradict,ie.Vedem astfel că enunt,ul precedent nu este nici adevărat,nici fals. Observăm însă că acest enunt, cont, ine o referint,ăla el însus, i.

Într-un mod asemănător, Kurt Gödel a arătat la în-ceputul secolului trecut că matematica cont, ine anumitepropozit,ii despre care nu se poate demonstra nici căsunt adevărate nici că sunt false, s, i deci este incompletă.Metoda lui Gödel este pe cât de interesantă, pe atât deeficientă. Astfel, Gödel urmăres,te ideile lui Russell, carerecunoas,te că matematica (s, i în general orice fel de limbaj)este o colect,ie de simboluri. Gödel însă are ideea genialăde a considera că aceste simboluri sunt chiar numere!

Exemplul cel mai simplu este cel al jocului opera Gusti,un joc pe care copiii îl joacă pentru a-s, i transmite mesaje„secrete”. În acest joc, o parte din litere sunt înlocuite cucifre, prin identificarea „operagusti”=„1234567890”. Deexemplu, cuvântul „toiag” se scrie ca „91056”. Desigur,în cazul jocului nu avem cifre suficiente să acoperim toateliterele, as,a încât vom avea s, i cuvinte precum „5c123409”sau „c5d”.

În cazul logicii matematice, Gödel a rescris toatepropozit,iile logice cu numai s,apte cifre, prin nis,te artificiiingenioase, care au minimizat simbolurile folosite. Toatesimbolurile de bază din propozit,iile logice, de exemplu„sau” s, i cuvântul „egal”, erau descrise de una dintre celes,apte cifre. În final, fiecare propozit,ie logică era exprimată

Figura 1.2: Câte numere reale avem? Pentru fiecare ci-fră a numărului real avem zece alegeri. În figură esteexemplificat numărul real 0, 42745 . . . . Numărul totalχ(R) de numere reale este un produs al acestor posibilităt

,i

χ(R) = 10 · 10 · . . . · 10 · . . . . Dacă notăm cu χ(N) nu-mărul infinit de elemente al mult

,imii numerelor naturale,

atunci avem χ(R) = 10χ(N). Interesant este că cele douănumere χ(N) s

,i χ(R) sunt infinităt

,i diferite, pentru că nu

poate fi găsită o relat,ie bijectivă între mult

,imile pe care le

reprezintă.

printr-o succesiune de cifre, adică un număr. Adeverireaunei propozit,ii este de asemenea reprezentată de un nu-măr, iar negarea acelei propozit, ii este un alt număr. Săremarcăm s, i că o succesiune de propozit,ii devine o succe-siune de numere. A demonstra sau a nega o propozit, ie sereduce la a găsi succesiunea de numere (conform unor re-guli bine stabilite) care duce la unul din cele două numerecare afirmă propozit, ia sau o neagă.

În principiu, ne-am as,tepta ca orice propozit,ie carepoate fi formulată să fie nu numai falsă sau adevărată,dar s, i demonstrabilă. În limbajul lui Gödel, aceasta în-seamnă că pentru orice propozit, ie logică trebuie să găsimo succesiune de numere care conduce la numărul ce repre-zintă afirmat,ia sau negat,ia propozit,iei. Gödel însă a arătatcă există propozit,ii matematice pentru care nici unul din-tre cele două numere (reprezentând afirmat,ia sau negat,iapropozit, iei) nu poate fi construit ca o succesiune de numereale propozit,iilor intermediare. Cu alte cuvinte, matema-tica este incompletă, existând propozit, ii despre care nu sepoate demonstra nici că sunt false, nici că sunt adevărate.

Demonstrat, ia lui Gödel foloses,te faptul că metalimba-jul (adică limbajul logicii) a devenit acum o succesiunede numere, succesiune căreia i se poate s, i ei atas,a un altnumăr. Pe de altă parte, acest metalimbaj (limbajul ma-tematicii), scris cu numere, se referă tocmai la numere!Ne aflăm atunci într-o situat, ie contradictorie, când vremsă descriem o lume (lumea numerelor, a matematicii) cu

Sect,iunea 2. Forma Pamântului 17

instrumente apart,inând aceleias, i lumi (tot numere, simbo-lurile noastre, dar care descriu de această dată metalim-bajul). Propozit,ia construită de Gödel care nu poate fidemonstrată este de fapt enunt,ul ment, ionat de noi deja,„Propozit,ia aceasta este falsă”, scris în metalimbajul nu-merelor s, i care se referă tot la numere.

Teorema de incompletitudine a lui Gödel nu a rămasîn aria filozofiei. Astfel, matematicienii chiar au găsit opropozit,ie matematică care nu se poate demonstra nici căe falsă nici că e adevarată. Ea se referă la numărul deelemente pe care le au diferite mult, imi (finite sau infinite),număr ce poartă denumirea de cardinal în matematică.

Astfel, paradoxal, numărul infinit de elemente almult, imii numerelor naturale (cardinalul numerelor natu-rale) este diferit de numărul infinit al elementelor mult, imiinumerelor reale (cardinalul numerelor reale). Ciudat nu?Două numere infinite care sunt diferite. Acest lucru esteposibil, pentru că nu există o relat,ie bijectivă (unu la unu)între elementele celor două mult, imi (vezi figura 1.2).

Ne putem întreba dacă există mult, imi infinite al cărorcardinal să se afle între cel al numerelor naturale s, i cel alnumerelor reale (care este evident mai mare). Asemănătorteoremei lui Gödel, matematicienii au arătat că nu vomdemonstra niciodată răspunsul la această întrebare, pen-tru că ea nu are o succesiune de propozit,ii logice care săconducă la afirmarea sau negarea ei!

Este desigur fascinant să s,tim cu sigurant,ă că nu putem

demonstra vreodată răspunsul la o întrebare anume. Înacest fel testăm în mod direct limitele cunoas,terii noastreumane prin intermediul matematicii.

2. Forma P amântului

În această sect, iune vom exemplifica metoda de lucru dinfizică printr-o scurtă introducere în astronomie, pornind dela observat,ii simple, accesibile s, i nouă, dar care ascund înele esent,a lucrurilor.

Pentru grecii antici, răsăritul s, i apusul zilnic al Soareluiera o enigmă. Unii, de exemplu Xenofan (570-480 î.H.),credeau că Soarele este o colect, ie de pietre de foc, care seadună în fiecare dimineat,ă ca să formeze Soarele, pentru ase despărt,i apoi seara. Alt, ii credeau că Soarele este mereualtul în fiecare dimineat,ă. Era greu de spus pe atunci ceeste Soarele.

Astăzi, putem aduce următorul argument pentru naturaSoarelui. Dacă am măsura mis,carea Soarelui pe cer, amgăsi că ea este uniformă, cu o viteză de 5 grade pe oră.Aceasta conduce la o rotat,ie de 360 de grade în 24 de ore(adică într-o zi), reprezentând unghiul subîntins de un cerccomplet. Pentru noi este atunci us,or să presupunem căSoarele descrie un cerc complet s, i deci ocoles

,te Pământul

(vezi Figura 1.3). Acesta este un exemplu în care am des-crie un fenomen fizic (mis,carea Soarelui) printr-un modelmatematic (mis,carea circulară uniformă), pentru că mode-lul matematic explică în esent,ă comportamentul observat.

Pentru vechii greci, argumentele de mai sus nu erau as,ade clare, însă o parte dintre ei au ajuns la aceeas,i concluzie,

Figura 1.3: Mis,carea zilnică a Soarelui pe cer, în diverse

anotimpuri. De observat că Soarele se mis,că aparent pe

cer cu o viteză de 15◦ pe oră, adică exact 360◦ pe zi, atâtcât îi trebuie ca să ocolească Pământul.

cum că Soarele ocoles,te Pământul. Faptul că Pământulpoate fi ocolit a fost acceptat greu, căci el părea urias, s, inimeni nu îi văzuse capătul. Dar dacă poate fi ocolit, în-seamnă că are formă. Indienii credeau că Pământul esteplat ca o farfurie, purtat pe spate de un elefant. Mult, i din-tre filozofii greci credeau însă că Pământul este rotund, înspecial deoarece cercul era considerat o formă perfectă.Dintre ei s-au remarcat Pitagora (570 î.H. - 495 î.H.),Eudoxos (408 î.H. - 355 î.H.) s, i filozoful Aristotel (384î.H. - 322 î.H.), care au contribuit la formarea acestor idei,adăugând informat,ii despre eclipsele de Lună.

În momentele de eclipsă (care are loc mereu noaptea),Luna dispare pentru moment de pe cerul nopt, ii într-un conde umbră, iar Soarele nu se vede oricum. Cu toate acestea,putem încerca să aflăm pozit, ia extrapolată a Soarelui decealaltă parte a Pământului, dacă avem un ceas care să

Figura 1.4: Pozit,ia Lunii s

,i a Soarelui în momentul

eclipsei de Lună. Pozit,ia Soarelui este obt

,inută prin ex-

trapolare, t,inând cont că se mis

,că cu o viteză aparentă de

15◦ pe oră.

18 Capitolul 1. Începuturile astronomiei

indice ora din noapte, căci s,tim că Soarele se deplaseazăcu 15 grade pe oră pe un cerc în jurul Pământului. Înacest fel vom calcula unde ajunge Soarele la orice oră dinnoapte, de cealaltă parte a Pământului în raport cu Luna,extrapolând pozit, ia Soarelui pe cer.

Putem prin urmare măsura nu numai pozit, ia Lunii înnopt, ile cu eclipsă de Lună, dar s, i pozit, ia extrapolată aSoarelui (de cealaltă parte a Pământului) în acelas, i mo-ment al nopt, ii. Vom remarca atunci că pozit, ia extrapolatăa Soarelui este exact opusă celei a Lunii fat,ă de Pământ,deducând de aici că cei trei as,tri sunt aliniat,i în spat, iu întimpul eclipsei (vezi figura 1.4).

Ajungem la aceeas, i concluzie ca s, i aceea sust, inutăde Aristotel, care spunea că, în timpul eclipsei, umbraPământului ajunge precis pe Lună s, i că ea este cea careascunde Luna s, i creează efectul de eclipsă (vezi figura 1.9).Cum această umbră este rotundă, Pământul trebuie să fierotund la rândul lui, a dedus Aristotel în scrierile sale.O demonstrat,ie strălucită, am zice noi astăzi, căci astfels-a născut întreaga astronomie. Dacă Pământul poate fiocolit s, i e rotund, unde se află el s, i cât de departe suntSoarele sau Luna? Dar stelele? Cât de mare este atunciPământul?

Iată cum, pornind de la o simplă observat,ie s, i gândindalfel decât majoritatea, cât, iva oameni au putut avansaatât de mult în înt,elegerea fenomenelor care ne înconjoară.Acum tot, i gândim ca Aristotel, dar să nu uităm să-i că-utăm printre noi pe cei put, ini care anticipează gândireadiferită a următoarelor milenii. Să nu uităm să privim cualt

,i ochi lumea din jurul nostru.

3. Dimensiunea P amântului

Să ne reamintim că expedit, ia lui Cristofor Columb cătreIndii a fost finant,ată de spanioli, după ce portughezii l-aurefuzat. Se crede adeseori gres,it că navigatorul Columb afost refuzat de portughezi pentru că aces,tia nu au crezutcă Pământul e rotund, s, i ca atare Columb nu ar fi pututajunge în Indii ocolindu-l.

De fapt, portughezii erau de acord că Pământul esterotund, la fel ca cei mai mult, i învăt,at, i ai secolului XV, nu-mai că tot, i sust, ineau s, i că dimensiunile Pământului suntprea mari pentru a fi străbătute de corăbiile modeste alevremii. „După părerea noastră, Indiile sunt prea departepentru a le atinge ocolind Pământul”, trebuie să fi spusînvăt,at, ii. „O să mori de sete până acolo, sau de scorbut”,vor fi continuat ei. Columb însă nu a ascultat, pentru căel credea gres,it că Pământul este mai mic decât în reali-tate, că Asia este mai mare s, i că se poate ajunge la ea dela celălalt capăt, i-a convins pe spanioli s, i a plecat. Dinfericire pentru el, Columb a întâlnit America în calea sa,pentru că altfel ar fi murit sigur până să atingă pământulIndiilor! Ca să vedet,i că descoperirile se fac s, i pornind dela premise false atunci când norocul ne stă în drum, ceeace se întâmplă însă destul de rar.

De fapt, primul care a măsurat dimensiunile Pământuluirotund a fost grecul Eratostene (276î.H.-194î.H.), cu mai

Figura 1.5: Cum a măsurat grecul Eratostene razaPământului. S

,tiind înălt

,imea băt

,ului (2 m), umbra lui în

Alexandria (25 cm) s,i distant

,a dintre Syene s

,i Alexandria

(800 de km), putet,i estima raza Pământului?

mult de o mie de ani înaintea lui Cristofor Columb(1451-1506). Să vedem cum a măsurat Eratostene di-mensiunile Pământului fără a-l înconjura s, i fără a aveala dispozit, ie laboratoare de milioane de euro.

Eratostene a observat umbra unui băt, în două oras,eegiptene, în acelas

,i moment la amiază. Într-un oras,, de-

numit Syene, Soarele era drept deasupra capului, iar unbăt, vertical nu crea nicio umbră, pentru că era îndreptatchiar spre Soare (vezi figura 1.5). La aceeas,i oră însă, înAlexandria, oras,ul celebrei biblioteci, Soarele de amiazănu era drept deasupra capului. În consecint,ă, băt,ul verti-cal, care avea să zicem o lungime de 2 metri, crea o umbrăde aproape 25 de centimetri.

O astfel de situat, ie se explică simplu, dacă vom consi-dera că Pământul este rotund, iar Soarele este foarte de-parte (să zicem la milioane de kilometri). În acest caz,băt,ul ar fi înclinat diferit fat,ă de Soare, în funct, ie depozit, ia sa pe suprafat,a Pământului rotund s, i va generaumbre de lungimi diferite (vezi figura 1.5). Cunoscânddistant,a dintre cele două oras,e (800 de km) s, i lungimeaumbrei (25 de cm pentru un băt, cu lungimea de 2m)Eratostene a estimat, folosindu-se de geometrie, că razaPământului este de aproximativ 6000 km.

Curios însă, acelas,i efect s-ar obt, ine s, i dacă Pământular fi plat, iar Soarele ar atârna la o înălt, ime nu prea marede Pământ. În acest caz situat, ia este asemănătoare cucea în care Soarele ar fi precum un bec aflat la o înălt, imemai mare decât becurile obis,nuite. S, i în această situat, ielungimea umbrei ar fi dependentă de pozit, ia băt,ului aflatsub bec. Când ne aflăm sub Soarele-bec (situat, ia oras,uluiSyene), el se află drept deasupra capului s, i corpul nostrunu lasă nicio umbră. Când însă ne mutăm la o oarecaredistant,ă (situat, ia oras,ului Alexandria), vom avea o umbrăcare se lunges,te pe măsură ce ne depărtăm. Luând încalcul distant,a dintre cele două oras,e s, i mărimea umbrei,putem calcula înălt

,imea la care s-ar afla Soarele-bec s, i am

obt, ine de asemenea câteva mii de kilometri. Care din celedouă situat, ii este adevărată?

Din păcate, numai aceste măsurători nu pot facediferent,a dintre cele două situat, ii geometrice (Pământ plat

Sect,iunea 4. Mis, carea Pamântului în jurul propriei axe 19

s, i Pământ rotund). Eratostene a trăit însă după Aristotels, i cunos,tea părerea maestrului că Pământul este rotund,as,a că el a considerat acest caz, aflând astfel dimensiuneacorectă a Pământului.

Două concluzii sunt demne de ret, inut din această po-veste. Prima concluzie spune că este bine să vedem caresunt s, i părerile înaintas, ilor nos,tri, să nu credem că putemafla întreg răspunsul corect numai cu ceea ce cunoas,temnoi. A doua concluzie, mai importantă, ne spune că uneleexperimente sunt „după colt,”, adică pot fi făcute repede,odată ce premisele sunt ghicite corect. O umbră de 25de centimetri este vizibilă pentru oricine, iar experimentulpoate fi făcut de către un grup de s,colari în excursie de laBaia Mare la Bucures,ti. Oare câte astfel de experimentenu s-ar putea face în fizică, psihologie sau biologie, numaidacă am ghici premisele corecte, numai dacă am s,ti dupăcare „colt,” să ne uităm?

4. Mis, carea Pamântuluiîn jurul propriei axe

Am văzut în sect, iunile precedente cum Aristotel a dedusîn mod corect că Pământul este rotund s, i cum Eratostenei-a calculat raza. Am folosit însă pe ascuns în determi-narea formei Pământului un lucru esent, ial, s, i anume căumbra Pământului se poate forma pe Lună, cu alte cu-vinte că Luna este un corp material s, i nu doar o imagineproiectată pe cer. Astăzi acest lucru ni se pare normal,însă să nu uităm că, la inceputurile astronomiei, vechiigreci (cu metoda lor geometrică, la fel ca s, i babilonienii cumetoda aritmetică) nu aveau prea multe informat,ii desprenatura fizică a obiectelor ceres,ti.

Convingerea că Luna, împreună cu celelalte corpuriceres,ti (Soare, stele, stele căzătoare etc.) sunt corpuri ma-teriale (un fel de bolovani ceres,ti) a câs,tigat în popularitateodată cu căderea unui mare meteorit lângă Aigos Potamoi,în anul 467 î.H. Evenimentul l-a determinat pe Anaxagorasdin Clazomenae (500î.H.-428î.H.) să presupună că însus, iSoarele este o piatră ros, ie fierbinte mai mare decât penin-sula Peloponez! Astronomia a devenit astfel s, i astrofizică.De acum încolo ne vom ocupa nu numai cu măsurarea s

,i

modelarea mis,cării acestor „pietre” prin spat, iu, mis,carevăzută de pe Pământ, dar s, i cu aflarea compozit,iei aces-tora.

În continuare vom vorbi despre determinarea aproxima-tivă a proprietăt,ilor sistemului Pământ-Soare-Lună, fo-losind alte câteva exemple cheie din istoria astronomiei.Încercăm să-l facem pe cititor să înt,eleagă că în multecazuri măsurătoarea propriu-zisă poate fi efectuată de că-tre cititor însus, i, fără metode sofisticate. Ceea ce este cuadevarat revolut,ionar este ideea de a efectua o anumitămăsuratoare. As,a cum am ment, ionat deja, ideile noi s, imăsurătorile cruciale sunt „după colt,”, trebuie să s,tim nu-mai după care colt, să ne uităm.

Dacă privim bolta cerească în timpul zilei s, i în timpulnopt, ii, vom vedea cum obiectele de pe firmament (Soarele,Luna s, i celelalte stele fixate pe ea ca pe o cortină) se

Figura 1.6: Stânga: Pământul este nemis,cat, iar Luna,

Soarele s,i sfera stelelor se rotesc în jurul Pământului sin-

cron, cu o perioadă de 24 de ore. Dreapta: Pământulse învârte în jurul axei orientate către Steaua Polară (însens opus!) la 24 de ore, în timp ce Luna, Soarele s

,i

stelele rămân fixe pe parcursul unei zile.

mis,că încontinuu. Pornind de la premisa că Pământuleste rotund s, i fix, vom deduce că această mis,care estede rotat,ie în jurul Pământului. La intervale mai maride timp (săptămâni sau luni), Soarele îs, i schimbă pozit, iape bolta cerească după cum se observă în figura 1.3. Deasemenea, s, i mis,carea Lunii se modifică. Dar în decur-sul unei singure zile putem presupune cu o rezonabilăaproximat,ie că întreaga boltă cerească se învârte sincronîn jurul Pământului.

Situat, ia este oarecum surprinzătoare. Avem trei tipuride obiecte celeste (Soarele, Luna s, i stelele), care se în-vârt sincron în jurul Pământului. De ce însă s-ar învârtisincron? S, i de ce în jurul aceleias,i axe, orientată înspreSteaua Polară? De ce aceste coincident

,e?

Răspunsul pare natural astăzi. Astfel, este mult maius,or să presupunem că Pământul se rotes,te zilnic în jurulaxei sale, s, i atunci mis,carea zilnică a boltei ceres,ti estedoar relativă (vezi Figura 1.6). Pentru vechii greci însă,mobilitatea Pământului era o problemă serioasă de filozo-fie, as,a încât ei n-au acceptat răspunsul as,a de us,or.

La urma urmei, să ne imaginăm s, i noi că Pământul cuo rază de 6000 de km se rotes,te zilnic (vezi figura 1.7).Atunci, un corp de pe suprafat,a sa străbate în 24 deore aproximativ 40 000 km, cam cât este circumferint,aPământului. Aceasta înseamnă că viteza la suprafat,aPământului este de ordinul a o mie s, i jumătate de kmpe oră. Simt, im noi aceste viteze amet, itoare? Nu! În plus,dacă lăsăm o piatră să cadă de la o înălt, ime de cât,iva me-tri, ea ar trebui să rămână în urmă, pentru că Pământulse învârte între timp sub piatră. Lăsată să cadă de la 20 demetri, piatra ar atinge Pământul după aproximativ douăsecunde. În acest timp suprafat,a Pămîntului se deplaseazăcu aproape un kilometru s, i deci piatra ar atinge Pământulun kilometru mai departe. Absurd, as,a ceva nu se observă!

Remarcat,i că acest din urmă argument este fizic s, i else numără printre cele care au t, inut Pământul imobil în

20 Capitolul 1. Începuturile astronomiei

Figura 1.7: Efectul as,teptat al rotat

,iei Pământului asu-

pra căderii libere. În dreapta sus este prezentată o per-soană as

,ezată pe o coloană, s

,i care lasă sa cadă liber o

minge. Coloana are aproximativ 20 de metri iar timpulde cădere este de aproximativ două secunde. În acest timpde cădere, dacă Pământul s-ar învârti, atunci coloanas-ar deplasa aproximativ un kilometru până ca mingea săatingă Pământul. Evident, un astfel de efect nu este ob-servat, deci s-ar putea deduce că Pământul nu se învarteîn jurul axei sale. S

,i totusi, astăzi s

,tim că Pământul se

învârte. Unde este gres,eala?

modelele astronomilor mai mult de o mie de ani. Cu altecuvinte, nu a fost vorba de vreo ignorant,ă religioasă, deoa-rece chiar s, i unii oamenii de s,tiint,ă argumentau în acestfel că Pământul nu se poate roti. La fel cum, peste ani,alt,i oameni de s,tiint,ă au argumentat că nici un avion nuse poate ridica de la Pământ pentru că este mai greu decâtaerul, sau la începutul erei automobilului, că omul nu vasupraviet,ui unor viteze mai mari decât cele ale cărut,ei.

A trebuit să vină Galileo Galilei (1564-1642) să afirmecă totus, i Pământul se învârte în jurul axei sale. Solut, ia luispune că piatra, odată lăsată să cadă liber de la cât,iva me-tri înălt, ime, primes,te un impuls suplimentar în direct, ia derotat,ie a Pământului. Aceasta face ca piatra să porneascăavând viteză mare într-o mis,care paralelă cu Pământul,perfect sincron cu el, în as,a fel încât nouă să nu ni se parăcă ea rămâne în urmă în timpul căderii.

Impulsul imprimat de Pământ pietrei este folosit în pre-zent la lansarea rachetelor de pe Pământ, care se face înlocuri cât mai aproape de Ecuator (un exemplu este CapeCanaveral, care se află în Florida, în sudul Americii), în as,afel încât viteza imprimată de Pământ să fie cât mai mare.Iar noi, pe suprafat,a Pământului, ne deplasăm într-adevărcu o mie de kilometri pe oră odată cu rotat, ia Pământului,fără să simt, im însă incredibila rapiditate a acestei mis,cări.

5. Avantajul practic al stelelor fixe

În sect, iunea precedentă am construit un prim sistemcosmologic, cel în care Luna, Soarele s, i stelele sunt fixeîn spat, iu iar Pământul rotund se învîrte în jurul axei salecu o perioadă de 24 de ore. După ce contemplăm pentruscurt timp simplitatea acestui sistem, ne vom întreba, cese întâmplă pe perioade mai mari de timp? Desigur, într-ozi Pământul se învârte în jurul axei sale, ceea ce face caSoarele, Luna s, i bolta de stele să se deplaseze aparent pecer în sens invers, des, i ele sunt fixe în spat, iu. Dar într-olună? Dar într-un an? Îs, i schimbă Soarele, Luna s, i stelelepozit, ia fixă în spat, iu (fat,ă de Pământul care se învârte) peperioade lungi de timp?

Răspunsul trebuie să fie afirmativ deoarece în decursulunui an de zile Soarele îs, i schimbă pozit, ia pe cer. În tim-pul verii el ajunge deasupra noastră, iar în timpul ierniiare în mod constant o pozit, ie mult mai joasă pe boltacerească. Majoritatea stelelor nu îs, i schimbă însă pozit, iafat,ă de Pământul rotitor pe durata mai multor ani, sau celput, in nu atât de mult încât s-o putem vedea cu mijloacelenoastre simple.

Eliminând cât, iva as,tri ceres,ti strălucitori (denumit, i pla-nete, de la cuvântul grecesc pentru „rătăcitor”), restulde mii de stele fixe îs, i păstrează, pe tot parcursul anilorcuprins, i în viat,a unui om, aceeas,i pozit, ie fat,ă de Pământulrotitor, deci par fixe în spat, iul aproape infinit. De fapt, deaceea se s, i numesc stele fixe, pentru că ele par bătute încuie în spat,iul îndepărtat. Mis,carea lor aparentă (zilnică)pe bolta cerească se datorează doar rotat, iei Pământului.

Deoarece suntem interesat,i de mis,cările Lunii s, i Soareluipe un interval de timp de ordinul anilor sau lunilor, o ideebună ne-ar fi de folos. Ce-ar fi dacă mis,carea Lunii ammăsura-o nu raportată la Pământ, pentru că acesta se în-vârte în jurul axei sale, ci raportată direct la pozit

,ia stelelor

fixe? Acest lucru este us,or de realizat pentru Lună, căcipe ea o vedem noaptea în marea de stele (vezi figura 1.8).În acest fel nu mai trebuie să măsurăm înclinarea Luniifat,ă de orizont s, i să corectăm cu mis,carea de rotat,ie aPământului, ci măsurăm direct pozit, ia Lunii fat,ă de ste-lele de pe bolta cerească.

Uitându-ne la Lună noaptea pe cer, nu avem decât să-iidentificăm pozit, ia în raport cu constelat,iile în jurul că-rora se află s, i să-i desenăm apoi pozit, ia pe harta cerească.Dacă unim punctele ce reprezintă pozit, ia Lunii, vom aveamis,carea aparentă a Lunii pe cer raportată la stelele fixe.O astfel de manieră de lucru are un avantaj experimentalmajor: putem măsura foarte us,or pozit, ia Lunii (sau a pla-netelor) raportată la stelele fixe s, i nu trebuie să ne maipese mult de rotat,ia precisă a Pământului. Aici naturane-a ajutat, căci harta stelelor fixe rămâne neschimbatăpentru ani de zile.

Dacă notăm în fiecare noapte pozit, ia Lunii fat,ă de ste-lele fixe, observăm că ea străbate într-o lună întreaga boltăcerească. Aceasta înseamnă că Luna nu este fixă în spat, iu,ci efectuează o mis,care circulară uniformă, pe o sferă cu

Sect,iunea 6. Dimensiunea Lunii 21

Figura 1.8: Mis,carea Lunii s

,i Soarelui în marea de

stele fixe. O astfel de mis,care poate fi prezentată pe o

hartă cerească ce se cites,te astfel: noi ne aflăm în centrul

sferei (unde este virtual Pământul rotitor) s,i privim în

afară spre suprafat,a sferei (pe care sunt desenate stelele

s,i constelat

,iile). În timpul zilei, lumina stelelor pe care

ar trebui sa le vedem este eclipsată de lumina foarte pu-ternică a Soarelui, de aceea doar Soarele este vizibil, nus,i stelele.

centrul aflat pe Pământ, cu o perioadă de o lună (vezi fi-gura 1.8). Cum mărimea aparentă a Lunii pe cer nu seschimbă, nu rămâne decât să tragem concluzia că Luna seînvârte în jurul Pământului pe un cerc, la distant,ă con-stantă fat,ă de Pământ, cu o perioadă a mis,cării egală cuo lună.

Aceleas, i considerat,ii se aplică s, i Soarelui, dacă folosimpozit, ia sa extrapolată de la miezul nopt, ii (ora 24), pen-tru a raporta mis,carea lui la bolta stelelor fixe. S, i Soarelese deplasează în jurul Pământului rotitor, tot la distant,ăconstantă fat,ă Pământ, pentru că mărimea aparentă aSoarelui nu pare să se schimbe (dacă distant,a s-ar fi schim-bat, atunci Soarele ar fi apărut când mai mic cand maimare). Este interesant de remarcat că mis,carea anuală aSoarelui s, i cea lunară a satelitului Pământului au loc înplanuri foarte apropiate (vezi figura 1.8).

6. Dimensiunea Lunii

Luna are pe cer o dimensiune unghiulară de o jumătatede grad, us,or de măsurat. Distant

,a până la Lună pare

însă imposibil de măsurat, atâta timp cât nu cunoas,temmărimea ei. Astfel, Luna e mai aproape de Pământ s, imai mare, sau mai departe s, i mai mică. Cine poate s,ti,

atâta timp cât nu ne ducem acolo? Este atunci cu atâtmai surprinzător că vechii greci au putut măsura aceastădistant,ă, numai pe baza unor argumente corecte. Iar în-trebarea este, cum de au reus, it?

Unul dintre vechii greci, Aristarh din Samos(310î.H.-230î.H.), a pornit de la observat,ii asupraeclipsei de Lună. După cum am ment, ionat, eclipsa deLună este datorată umbrei Pământului care se lasă pesteLună (vezi figura 1.9). Presupunând că Soarele estedin nou la distant,e foarte îndepărtate, umbra lăsată dePământ va fi cilindrică, iar Luna va trebui să treacăprin această zonă de umbră în timpul eclipsei. Zona deumbră are însă aproximativ dimensiunea Pământului,considerând Soarele la distant,e foarte mari.

Un prim lucru care se observă într-o eclipsă totală deLună este faptul că umbra lasată de Pământ pe Lună estemai mare decât Luna. Pământul este deci probabil maimare decât Luna. Urmărind evolut, ia umbrei lăsate dePământ pe Lună în timpul eclipsei (sau raza de curbură aumbrei în raport cu cea a Lunii), se poate estima dimen-siunea Lunii în raport cu cea a umbrei lăsate de Pământ,obt, inându-se un factor apropiat de doi.

Considerând că spat, iul delimitat de umbră are o formăcilindrică (circumferint,a bazei cilindrului este egală cu ceaa Pământului), putem deduce s, i noi, ca s, i Aristarh dinSamos, că Luna trebuie să fie aproximativ jumătate câtPământul (vezi partea de sus a figurii 1.9). Astăzi s,tim căAristarh din Samos a gres, it cu un factor de 2, căci luminace vine de la Soare nu creează chiar o umbră cilindrică, ciuna conică (pentru că Soarele este foarte mare, vezi parteade jos a figurii 1.9), dar aceasta a devenit clar mai târziu.Astfel, Luna este de aproximativ patru ori mai mică îndiametru decât Pământul.

Aristarh din Samos a trăit înaintea lui Eratostene s, inu a cunoscut dimensiunea Pământului. S, tiind însă acumcă Pământul are o rază de aproximativ 6000 km, putem

Figura 1.9: Eclipsa de Lună în interpretarea lui Aristarh(sus) s

,i în interpretarea modernă corectă (jos). În ambele

cazuri Luna intră în conul de umbră al Pământului, atâtadoar că Aristarh credea că umbra are o formă cilindrică.