cours physique des vibrations - perso.univ-st … pv... · relation entre réponse impulsionnelle...
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1
COURS
PHYSIQUE DES VIBRATIONS
Licence Physique Chimie
Licence Physique et Applications
CITSE
Nathalie Destouches
2
1- Rappels de mécanique du point
Sommaire
1.1. Trois principes fondamentaux1.2. Système de référence1.3. Travail1.4. Théorème de l’énergie cinétique1.5. Energie potentielle1.6. Energie mécanique totale1.7. Système d ’unité MKS1.8. Etalons1.9. Analogies1.10. Analogies dynamique linéaire / dynamique angulaire2- L’oscillateur élémentaire linéaire (OEL)2.1 Définition2.2 Grandeurs caractéristiques2.3. Autres exemples2.4. Les différents types de comportement du système2.5. Autres notations pour l ’équation (1)
3
Sommaire
3- Le régime libre de l’OEL3.0. Régime libre3.1. REGIME LIBRE CONSERVATIF3.2. REGIME LIBRE DISSIPATIF
4- Le régime permanent harmonique de l’OEL4.1. Régime forcé4.2. Régime permanent harmonique4.3. Equation du mouvement4.4. Notation complexe4.5. Puissance consommée en régime permanent4.6. Autres pulsations4.7. Diagramme de Nyquist
5.2. Série de Fourier5.1. Régime permanent périodique5- Le régime permanent périodique de l’OEL
4
Sommaire
5.3. Série de Fourier sous forme complexe5.4. Exemple : battements en régime permanent périodique
6.2. Utilisation de la transformation de Laplace6.1. Régime forcé
6- Le régime forcé de l’OEL
6.3. Solution du régime forcé6.4. Réponse impulsionnelle6.5. Réponse indicielle6.6. Relation entre réponse impulsionnelle et réponse indicielle6.7. Exemple : utilisation de la transformation de Laplace pour l’étude du régime permanent harmonique
7- Introduction aux équations de Lagrange7.1. Systèmes à un degré de liberté7.1.1. Equations de Lagrange
5
Sommaire
7.1.2. Cas des systèmes conservatifs7.1.3. Cas des forces de frottement dépendant du temps
7bis- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion7.1. Introduction7.2. Réponse de la matière à un champ électrique : le modèle de Lorentz
Fonction de LagrangeFonction dissipation
7.1.4. Cas d’une force extérieure dépendant du temps
7.3. Quelques propriétés de l’indice de réfraction et de la permittivité
6
Sommaire
8.1. Définition8.2. Equations différentielles régissant le mouvement en régime libre
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
8.3. Différents modes de couplage8.4. Exemple : oscillateur dissipatif à 2 degrés de liberté sans couplage inertiel
8.5. Régime libre et modes propres du système conservatif sans couplage inertiel8.6. Un cas particulier d’oscillateur conservatif à 2 degrés de liberté sans couplage inertiel8.6.1. Etudes des oscillations longitudinales8.6.2. Etudes des oscillations transversales8.7. Régime forcé
7
Sommaire
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté9.1. Définition9.2. Détermination de l’équation matricielle du mouvement9.3. Définition des énergies9.4. Formes quadratiques9.5. Solutions en régime libre conservatif9.5.1. Résolution du système par combinaison linéaire de solutions particulières9.5.2. Résolution du système par la méthode de la base modale9.6. Exemple d’application : chaine de pendules9.7. Passage à la limite :systèmes continus9.7.1. Mouvements longitudinaux : Cas de N oscillateurs non-amortis9.7.2. Mouvements transversaux : Cas d’une corde vibrante
Bibliographie
8
Partie 1
Rappels de mécanique du point
9
1- Rappels de mécanique du point
• Principe d’inertieEn l’absence de toute force un corps matériel conserve sa vitesse initiale
• Identité entre force et quantité de mouvementL’application d’une force F au corps de masse m se traduit par la
variation de sa vitesse
avec
p est la quantité de mouvementLorsque la masse est invariable en fonction du temps (ce qui sera le cas pour nous), on peut écrire :
Connu sous le nom : principe fondamental de la dynamiqueou loi de Newton
1.1. Trois
principes
fondamentaux
dpF
dt
p mv
dvF m
dt
10
1- Rappels de mécanique du point
• Egalité de l’action et de la réactionEntre deux corps il ne peut y avoir d’action que mutuelle
P mg Action
RéactionR
T
T
Toujours deux forces : même direction, égale norme, sens opposé
Action / Réaction : seul le point de vue et le point d’application changent
11
1- Rappels de mécanique du point
Tout mouvement est relatif, suppose un système de référence
Système qui nous permet de décrire l’espace et le temps de façon unique
Exemple de repère absolu
repère d’espace : origine = centre de gravité du système solairetrois axes qui joignent le centre de trois étoiles parmi les plus lointaines (étoiles fixes)
Repère de temps : jour sidéral (durée de révolution de la sphère céleste)
Les principes restent vrais dans tout système de repères spatiaux en translation rectiligne uniforme par rapport aux repères spatiaux absolus
Repères liés à la Terre : non galiléenmais erreurs négligeables si on tient compte du poids des corps=> mécanique terrestre
1.2. Système
de référence
12
1- Rappels de mécanique du point
Produit scalaire de la force et du déplacement
Pour un déplacement de A à B
1.3. Travail
B
Adl.FW
En multipliant la loi de Newton par il vient :
soit
Par définition l’énergie cinétique est :
Donc la variation d’énergie cinétique est égale au travail de la force appliquée
1.4. Théorème
de l’énergie
cinétique
dtvdl dv.vmdl.F
2
21 mvddW
2
21 mvEc
dW F.dl
13
1- Rappels de mécanique du point
Si on dépense un travail en déformant un corps initialement dans une position d’équilibre et que ce corps est ensuite capable de restituer ce travail pour revenir à sa position initiale on dit qu’il peut emmagasiner de l’énergie potentielle
On ne définit l’énergie potentielle que lorsque le travail ne dépend que des formes intiale et finale et non des formes intermédiaires
Energie potentielle élastique : Ep =kx²/2
x : déplacement par rapport à la position d’équilibre
Energie potentielle de pesanteur : Ep =mgh
1.5. Energie
potentielle
mk
m
h
14
1- Rappels de mécanique du point
E = Ec + Ep
1.6. Energie
mécanique
totale
1.7. Système
d
’unité
MKS
Grandeurs fondamentales : longueur : mètre (m)masse : kilogramme (kg)temps : seconde (s)
Unités dérivées : force : Newton (N)travail : Joule (J)puissance : watt (W)
1.8. EtalonsLe mètre :
10 000 000è partie du quart du méridienlongueur d’une règle de platine conservée au Bureau des Poids et Mesureslongueur d’onde dans le vide de la raie orange du Kr 86 exempt
d’isotopeprécision 10-8
15
1- Rappels de mécanique du point
Le kilogramme : masse du litre d’eau à 4°masse d’un objet de platine conservé au Bureau des Poids et
Mesuresprécision : 10-9
La seconde : 86 400è partie du jour solaire moyen (mesures astronomiques)horloge à quartzhorloge atomiqueprécision : 10-11
1.9. AnalogiesLes produits q.Q suivants sont homogènes à un travail
Si q est un déplacement, Q est une force vraieSi q est un angle, Q est un momentSi q est un volume, Q est une pressionSi q est une charge électrique, Q est une tension électrique….
16
1- Rappels de mécanique du point
1.10. Analogies dynamique
linéaire
/ dynamique
angulaire
Translation Rotation
Masse
m
Moment d’inertie
I
Quantité de mouvement Moment cinétique
p mv
Force Moment de la force
Principe fondamental de la dynamique
Théorème du moment cinétique
ddt
dp
Fdt
F
r F
I. r p
17
1- Rappels de mécanique du point
Translation Rotation
Travail élémentaire Travail élémentaire
Puissance Puissance
Energie cinétique de translation
Energie cinétique de rotation
mpmvEc 22
1 22
W=F.dl
W= .d
P F.v
P .
22
c1 1
E I.2 2 I
18
Partie 2
L’oscillateur élémentaire linéaire
19
2- L’oscillateur élémentaire linéaire
k : rigidité ou raideur
c : constante d’amortissement visqueux ou résistance
Système à 1 degré de libertéEquation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients constants
2.1 Définition
c
k x(t)
F(t)
Loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique
tFxckxxm
2.2 Grandeurs caractéristiques
m
Equation (1)
20
2- L’oscillateur élémentaire linéaire
•Pendule de torsion
2.3. Autres
exemples
Disque de moment d’inertie I qu’on écarte d’un angle
par rapport à sa
position d’équilibre
Moment cinétique :
Tige de constante de torsion C
Couple de rappel :
= -C.
f : constante d’amortissement visqueux
Théorème du moment cinétique
dtd.I
F(t)
F(t)r
2
Z2
d dI C. .e f r F
dtdt
Ze
semblable à (1)
21
2- L’oscillateur élémentaire linéaire
•Pendule de gravité
Fil sans masse et indéformable de longueur L
c : constante d’amortissement visqueux
Théorème du moment cinétiqueou loi de Newton
m
L
F(t)T
mg
re
e
semblable à (1)
mL mg cL F
22
2- L’oscillateur élémentaire linéaire
•Circuit oscillant : analogie mécanique / électronique
R LC
E(t)
2
2
d q dq qL R E(t)
dt Cdt
semblable à (1)
Analogie
force-tension
Equation fondamentale de la dynamique
Loi d’Ohm généralisée
F 0
e 0
23
2- L’oscillateur élémentaire linéaire
•Circuit oscillant : analogie mécanique / électronique
R
L
C
I(t)
21 1
12
d i L diLC i I(t)
R dtdt
semblable à (1)
Analogie
force-courant
Equation fondamentale de la dynamique
Loi de Kirchhoff
F 0
i 0
i1
24Flux Charge qAngle Déplacement xRéaction
1/L1/CConstante de torsion C
Raideur kRappel
Admittance 1/R
Résistance RCoeff de moment de frottement µ
Coefficient de frottement C
Frottement
Capacité CInductance LMoment d’inertie J
Masse mInertie
Courant iTension uCouple Force FAction
Loi
Nb de noeuds indépendants
Nb de mailles indépendantes
Nombre de paramètres
Nombre de paramètres
Degré de liberté
En courantEn tensionEn rotationEn translation
Systèmes électriquesSystèmes mécaniques
0F 0moment 0e 0i
x v.dt q i.dt u.dt
2- L’oscillateur élémentaire linéaireAnalogie
mécanique
/ électronique, tableau récapitulatif
.dt
25
Élement entre 2 nœuds
Élement commun à 2 mailles
Élement entre moment d’inertie
Élément entre masses
Couplage
Tension uCourant iVitesse angulaire
Vitesse vVitesse
En courantEn tensionEn rotationEn translation
Systèmes électriquesSystèmes mécaniques
2- L’oscillateur élémentaire linéaireAnalogie
mécanique
/ électronique, tableau récapitulatif
26
2- L’oscillateur élémentaire linéaire
Régime libre : S.G. de l’éq. diff. S.S.M. => F(t)=0
Régime forcé : solution complète avec 2nd membre
Régime permanent : régime forcé après disparition des transitoires. Pas influencé par les conditions initiales.
Correspond à la solution particulière de l’équation différentielle
2.4. Les différents
types de comportement
du système
2.5. Autres
notations pour l
’équation
(1)
tFm1xm2
c2xmkx
tFm1x2xx 2
0
pulsation propre du système conservatif
=c/2m coefficient d’amortissement
=/0 amortissement relatif ou facteur d’amortissement
m/k0
27
Partie 3
Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
28
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
Lâcher initial sans apport ultérieur d’énergieEn t = 0, X0 = x(t=0)F(t) = 0 pour t > 0
3.0. Régime
libre
3.1. REGIME LIBRE CONSERVATIF
Oscillateur
conservatif => Pas d’amortissement : c = 0 = 0
Le comportement
est
décrit
par :
Solution : tsinBtcosA)t(x 00
tcosX 0
où ²B²AX et ABtan
C ’est un mouvement harmonique - de fréquence :
- de période :
00 21f
000 2
f1T
20x x 0
29
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
Représentation
vectorielle
de x(t) : vecteurs
de Fresnel
Les oscillations libres s’effectuent toujours à des fréquences appelées fréquences propres définissant les modes de l’oscillateur. On a toujours :
nb de fréquences propres=
nb de degrés de liberté (ici 1)
x(t) est la projection sur l’axe du vecteur de Fresnel
30
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
Vitesse
et accélération
instantanées
Vecteurs
de Fresnel du déplacement, de la vitesse
et de l’accélération
On prend 0 < 1 pour la représentation
0 0 2x t X cos t
20 0x t X cos t
31
Variations du déplacement, de la vitesse
et de l’accélération
en fonction
du temps
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
32
Conservation de l’énergie
en régime
libre
conservatif
On a
Revenons à l’équation du mouvement :
et introduisons la vitesse xdtdxv
vdxdv
dtdx
dxdv
dtdvx 0 kx
dxdvmvd’où
0 kxdxmvdvet En intégrant, on obtient :
cteEEE²kx²mv mecpc 21
21
Quand v=0, x est maximal et Emec =Ep
Quand x=0, v est maximal et Emec = Ec
kxxm
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
33
A l’inverse on retrouve l’équation différentielle du mouvement en dérivant l’énergie totale par rapport au temps
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
E
Ec
Ep
xv
E
Ep
xv 0
34
3.2. REGIME LIBRE DISSIPATIF
Oscillateur
dissipatif => Amortissement non nul
Le comportement
est
décrit
par : 02 20 xxx
Solution :
On distingue trois cas :
Equation caractéristique : 02 20 r²r
202
201
²r
²r
• Amortissement
fort :
> 0
ou
>1
soit
204
²²
trtr BeAetx 21
On pose :
ttt BeAeetx
Le mouvement est apériodique
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
35
Soient les conditions initiales : x(0)=X0 ,On montre que la solution s’écrit :
Cette fonction présente un point d’inflexion à :
qui disparaît lorsque la vitesse initiale est comprise dans l’intervalle :
D’où la courbe de x(t) pour X0 fixe et différentes valeurs de V0 :
tshVX
tchXetx t 000
20 0
20 0
12inf lex
X Vt ln .
X V
20
0 0 0 2X V X
00 Vx
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
36
Avec les mêmes conditions initiales X0 et V0 , la solution s’écrit :
• Amortissement
critique :
= 0
ou
= 1
Solution double : r = -0 =- teBtAtx 0
Le mouvement est apériodique.
L’amortissement critique est celui qui permet d ’atteindre la solution d’équilibre au plus vite
tetVXXtx 00000
Cette fonction présente un point d’inflexion à : 0 0 0
0 0 0 0
2inf lex
X Vt
X V
qui disparaît lorsque la vitesse initiale est comprise dans l’intervalle :
0 00 0 0 2
XX V
D’où une représentation graphique de la forme :
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
37
jrjr
2
1
• Amortissement
faible
:
< 0
ou
<1
tsinBtcosAetx t
²²
204
On pose maintenant :
Les racines sont complexes :
ou tcosCetx t
Et en fonction des conditions initiales X0 et V0 :
tsinVXtcosXetx t 000
Ce qui peut encore s’écrire : tcosXetx t
Avec et 2
2 0 00
X VX X
0 0
0
X Vtan
X
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
38
mouvement pseudo-périodique avec une amplitude qui décroît de manière exponentielle
Le graphe a l’allure suivante :
: pseudo-pulsation pseudo-période : 0
22
T
temps de relaxation
= 1/
= 2m/c > 1/0
Du fait des frottements il y a dissipation d’énergie mécanique. Cette dissipation est caractérisée par un facteur de qualité :
0 12 2
Q
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
39
Décrément logarithmique : T)nTt(x
)t(xlnn
1
grandeur indépendante de n, utile pour l’exploitation des mesures. Elle n’est fonction que de l’amortissement relatif :
².T
12
00
Représentation
du vecteur
tournant
dans
le cas
de l’amortissement
faible
Evolution du vecteur de Fresnel de x(t) en fonction du temps.En reprenant l’expression
on a :
tcosXetx t
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
40
Energie
en régime
libre
dissipatif
C’est une fonction décroissante en raison de la puissance dissipée dans l’amortisseur
Dans le cas d’un amortissement faible on a :
²xm²kxE 21
21
D’où :
tcosXetx t tsintcosXetx t
tsine²²X t
avec ²
tan
1
et comme : et 0 ² 10 tsinXe)t(x t0
t²sine²Xmt²cose²kXE tt 220
2
21
21
t²sint²cose²kXE t2
21
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
41
221
21 2 tsin.sine²kXE t
Or sin= tsin.e²kXE t 2121 2
Ainsi l’énergie oscille à la pulsation 2
autour d’une valeur moyenne décroissante :
Puissance dissipée dans l’amortisseur = force dissipative x vitesse
t²sine²Xcx.xc)t(p t220
Energie perdue entre 0 et t : dt²xcEt
t 0
0
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
42
Diagramme
du plan de phase
Soit l’énergie totale
a la même dimension que x², soit le carré d’une longueur,
²xm²kxE 21
21
Quand l’amortissement est nul cette longueur est une constante et l’équation devient :
20
2
²v
²xkE
kE²R 2
20
20
²v²xR
C’est l’équation d’un cercle dans le plan (x,v/0 ), appelé « plan de phase »Le cercle est parcouru dans le sens des aiguilles d’une montre car le déplacement augmente si la vitesse est positiveAvec un amortissement non nul, le rayon R diminue avec le temps et le cercle se transforme en spirale qui tend vers l’origine
on pose :
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
43
Exemple
: élément
de suspension pour véhicule
• Le poids d’une masse de 350 kg (le 1/4 de celle du véhicule) provoque un déplacement statique =28 cm.• Les oscillations autour de la position d’équilibre ont une fréquence f=0,835 Hz
Calculer les caractéristiques de l’élément de suspension : k (rigidité du ressort), 0 et
(pulsations propres sans/avec amortissement),
et . Quelle est
l’amplitude de la 5ème oscillation par rapport à la 1ère ? (g=9,81 m/s²)
m
x(t)
c
k
3- Le régime libre de l’oscillateur élémentaire linéaire
44
Partie 4
Le régime permanent harmonique
45
4- Le régime permanent harmonique
comportement de l’oscillateur soumis à une force extérieure4.1. Régime
forcé
4.2. Régime
permanent harmoniqueCas particulier de régime forcé : force extérieure harmonique pure, après disparition des transitoires
4.3. Equation du mouvement
tcosFxckxxm
Régime permanent => solution particulièreRégime transitoire => solution générale de l’ESSM
On cherche donc une solution particulière de la forme : tsinBtcosAx
En remplaçant x et ses dérivées dans l’équation différentielle on obtient facilement :
²c²²m²kcFB
²c²²m²km²k
FA
46
En combinant les deux fonctions harmoniques, la solution s’écrit aussi :
)tcos(Xx
avec : ²B²AX et ABtan
que l’on peut écrire :2
0
22
0
2
411
²
X
²k²c²
km²
kFX S
pulsation propre du système libre conservatif
amortissement relatif
Facteur d’amplification dynamique
: ²²²X
X
S
41
12
avec XS =F/k : déplacement statique dû à une force constante F
où est la pulsation relative de la force extérieure0
m²kctan
4- Le régime permanent harmonique
47Facteur d’amplification dynamique et déphasage en fonction de la pulsation
relative pour différentes valeurs de l’amortissement relatif
4- Le régime permanent harmonique
48
Si =1 max et 0 proches quand <<1
Résonance d’amplitude : quand X ou
est maximal
²²² 41 2
041 2
²²²dd
² 21
²max
121
21
0
Facteur de qualité : 021
Q
Résonance de phase : quand =/2²m²k
ctan
12
, la force extérieure et le déplacement sont- en phase (=0) si 0 ( 0)- en quadrature de phase (=/2) si = 0 (
=1)(résonance de phase)
- en opposition de phase (=) si
( )
est minimal
4- Le régime permanent harmonique
49
Impédance complexe :
Force et déplacement peuvent être considérés comme la partie réelle de grandeurs complexes
4.4. Notation complexe
tsinjtcosFReFeRef~
Ref tj
jtj
XeRex~Rex
tcosFxckxxm f~
x~cj²mk
jec²mkcj²mkZ~ 22
Admittance complexe : 22
11
c²mk
ecj²mkZ
~Y~ j
m²kctan
D’où la solution :
2 2
j tj tFe Fex Yf
k m ² j c k m ² c
4- Le régime permanent harmonique
50
Réponse complexe en fréquence : Y~
kH~
je
j²cj²mkkH~
211
Facteur d’amplification dynamique
tjSeXH
~x~
4.5. Puissance consommée
en régime
permanent
Puissance instantanée : force extérieure x vitesse de déplacement
t²cossinXFtsintcoscosXF)t(p
tsinX.tcosF)t(x).t(f)t(p
Puissance réactive
énergie nulle
Puissance active
effectivement consommée par
l’amortisseur
Perte d’énergie : sinXFdt)t(pET
d0
4- Le régime permanent harmonique
51
avec
²tantan
sin1 ²c²²mk
²cFEd
2
Puissance moyenne consommée ou puissance efficace :
2dd E
TE
p ²c²²mk
²cF²
22
Puissance consommée quand = 0 (amortissement critique) :0
0 4
m²F
p
Puissance relative : ²c²²mk
c²mpp
2
0
0
2
Résonance de puissance :
maximalse produit pour = 0 comme la résonance de phase et max =1/
4- Le régime permanent harmonique
52
4.6. Autres
pulsationsRésonance de vitesse :
pour lequel la vitesse est maximale. C’est = 0
Résonance d’accélération: 00
21
²
² 101 pulsation propre avec amortissement
² 2102 pulsation de résonance d’amplitude
²
210
3 pulsation de résonance d’accélération
3012
4.7. Diagramme
de Nyquist
Représentation graphique : en fonction de pour
variant de 0 à l’infini à
constant et
pour
variant de 0 à l’infini à
constant
H~
Im H~
Re
4- Le régime permanent harmonique
53
jbaej²
H~ j
211
²²²b
²²²
²a
41
241
1
2
2
²tan
12
²²²
41
12
Diagramme de Nyquist H() pour =0,4
4- Le régime permanent harmonique
54
Diagramme de Nyquist H() pour
fixe
décrit un demi-cercle de rayon RH~
²R
²R²bRa
121
2
4- Le régime permanent harmonique
55
Diagramme de Nyquist complet
4- Le régime permanent harmonique
56
Partie 5
Le régime permanent périodique
57
5.2. Série
de Fourier
Si f(t) est paire tous les Bn sont nulsSi f(t) est impaire tous les An sont nuls
5.1. Régime
permanent périodiqueCas particulier de régime forcé : régime qui se maintient après disparition des transitoiresforce extérieure périodique quelconque
Tout signal périodique f(t) de période T=2/
peut être décomposé en série de Fourier :
n
nn tnsinBtncosAF)t(f 021
avec des coefficients donnés par :
T
n
T
n
T
tdtnsin)t(fT
B
tdtncos)t(fT
A
dt)t(fT
F
0
0
00
2
2
2
5- Le régime permanent périodique
58
On a aussi :
n
nn tncosFF)t(f 021
avec :
n
nn
nnn
ABtan
BAF
22 11 tcosF fondamentale de la force ext.
nn tcosF harmoniques pour n>1
Equation du mouvement
)t(fxckxxm
Equation différentielle linéaire
on fait la somme des solutions particulières correspondant à chaque n.
D ’où :
n
nnn tncosXFk
)t(x 021
5- Le régime permanent périodique
n
n n2
F n cX ;tan
k n² ²mk n² ²m n² ²c²
59
5.3. Série
de Fourier sous
forme
complexe
En utilisant les fonctions d’Euler liant les fonctions trigonométriques aux exponentielles complexes, la série de Fourier de f(t) peut s’écrire sous la forme :
Xn peut aussi s’écrire :
x(t) est une fonction périodique de même période que f(t)
régime permanent périodique
snnn XX avec : ²²n²²²n
n
41
12
kFX n
sn
On a aussi : ²²n
ntan
1
2
quand n ,
nnn ntan,
²²n21
tjnneC
T)t(f 1
5- Le régime permanent périodique
60
où les Cn sont des coefficients complexes donnés par :
Etudier le déplacement x(t) provoqué par deux forces harmoniques d’amplitudes et pulsations voisines
tcosFtcosF)t(f 2211
5.4. Exemple
: battements en régime
permanent périodique
5- Le régime permanent périodique
Tjn t
n0
1C f(t)e dt, n
T
61
Partie 6
Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
62
6.2. Utilisation de la transformation de Laplace
6.1. Régime
forcéIl correspond à la solution complète de l’éq diff
solution particulière de l’eq avec 2nd membre+
solution générale de l’éq sans 2nd membre
But : transformer un problème différentiel en un problème algébrique
)t(fxckxxm
Transformation de Laplace
Définition :
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
stF(s) e f (t)dt
63
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
64
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
65
Transformées de Laplace élémentaires
Solution du régime
forcé
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
66
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
67
où X(s) et F(s) sont les transformées de x(t) et f(t) et X0 =x(0) et V0 = )0(x
Impédance opérationnelle :
La transformée de Laplace de la solution est :
)s(FXssXcskXVsXsX²sm 000
mVcmsX)s(Fkcs²mssX 00
20s2²smkcs²ms)s(Z
20
00
s2²sV2sX
)s(Z)s(FsX
D’où la solution : x(t)=xa (t)+ xb (t)
Pour calculer x(t) il faut distinguer 3 cas :
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
En prenant la transformée de Laplace de l’eq diff régissant le mouvement en régime forcé, on obtient :
6.3. Solution du régime
forcé
68
• Amortissement fort :
> 0 ou
>1
20²² On pose :
alors 2120 rsrss2²s avec
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
1
2
rr
et on montre facilement que
est la transformée de
Le calcul de xa (t) se fait par celui de l’intégrale de convolution
dans laquelle il faut exprimer y(t)=1/z(t)
21
00
21
0
20
00b rsrs
VXrsrs
sXs2²s
V2sXsX
tshVXtchXe)t(x 000
tb
t
0a du)ut(f)u(y)t(x
69
ce qui conduit au résultat suivant :
d’où en utilisant la table des transformées :
2120 rsrsm
1s2²sm
1sY
tshme)t(y
t
tshVXtchXedu)ut(f.ush.em1)t(x 00
0t
t
0
u
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
70
L’admittance Y devient :
• Amortissement critique :
= 0 ou
=1
20200 sm
1s2²sm
1sY
et d’après la table : t0emt)t(y
d’où la solution : t0000
t
0
u 00 etVXXdu)ut(f.uem1)t(x
• Amortissement faible :
< 0 ou
<1
On pose : 20² ²
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
22 20 0
2
1 1 1Y s
mm s² 2 s s ²
1Y s
m s ²
71
La solution s’obtient en ajoutant la fonction xb (t) correspondant au régime libre
d’où en utilisant la table des transformées :
Rem : plutôt que de calculer l’intégrale de convolution, on peut aussi effectuer l’inversion directe du produit Y(s)F(s) à l’aide des tables
6.4. Réponse
impulsionnelle
Solution du régime forcé provoqué par une impulsion de force ou de déplacement
On suppose les conditions initiales nulles
Force extérieure impulsionnelle = Distribution de Dirac
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéairete
y(t) sin tm
t
u t
0
1x(t) e sin u.f(t u)du Xe cos t
m
22 0 00
X VX X
0 0
0
X Vtan
X
72
=> la réponse X que l’on notera D ici est particulièrement simple puisqu’elle vaut : D(s)=Y(s).1
soit d(t)=y(t)
• Amortissement fort :
> 0 ou
>1
• Amortissement critique :
= 0 ou
=1
• Amortissement faible :
< 0 ou
<1
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
f(t) (t) F(s) 1
ted(t) sh t
m
0ttd(t) e
m
ted(t) sin t
m
73
m1)0(d
en m/s
la vitesse de la masse passe brusquement de 0 à 1/m. Cette discontinuité de la vitesse nécessite une accélération infinie et donc une force infinie, ce qui est le cas avec l’impulsion de Dirac (dans un intervalle du durée nulle)
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
1d(0)
m
74
Par conséquent, la réponse indicielle que l’on notera e(t) est donnée par :E(s)=Y(s)/s
et en reprenant les calculs précédents, on a :
L’énergie fournie initialement au système est uniquement sous forme cinétique :
6.5. Réponse
indicielle
Solution du régime forcé provoqué par un échelon de force ou de déplacement
On suppose les conditions initiales nullesEchelon de force :
m21)0²(dm2
1)0(E
En résumé : la réponse impulsionnelle d(t) correspond à l’admittance temporelle y(t) ou au régime libre avec les conditions initiales X0 =0 et V0 =1/m
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
0, t 0 1f(t) F(s)
s1, t 0
75
• Amortissement fort :
> 0 ou
>1
Fonction non périodique qui tend vers une asymptote horizontale correspondant au déplacement statique Es =1/k
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
1 2 1 2
1 1 1E s
m s s r s r m s s r s r
21 2 0
1 1 2
2 1 2
1 1 mr r k
1 1r r r 2
1 1r r r 2
1 2r t r t1e(t) e e
m
t t t
t
1 e e ee(t)
k 2m
1e(t) 1 e ch t sh t
k
76
• Amortissement critique :
= 0 ou
=1
• Amortissement faible :
< 0 ou
<1
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
2 2 2
0 0 0
1 1 1 sE s
m m ss s s s
20
0
20
1
2
1
0 0t t0
1e(t) te 1 t e
m
0t0
1e(t) 1 e 1 t
k
22
2 2
1 1 1 sE s
m m s s ²s s ²
1 sE s
m s s ² s ²
77
Oscillations décroissantes autour de la position d’équilibre Es =1/k
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
20
20
1 mk
21
t t1e(t) e cos t e sin t
m
t1e(t) 1 e cos t sin t
k
78
D(s)=s.E(s)
6.6. Relation entre réponse
impulsionnelle
et réponse
indicielle
6.7. Exemple
: utilisation de la transformation de Laplace pour l’étude
du régime
permanent harmonique
F(t)=Fcos tX0 =0, V0 =0
Déterminer l’équation du mouvement x(t) en utilisant la transformation de Laplace
Travail fourni au système par la force extérieure après un temps infini : 1.Es =1/k
Energie potentielle accumulée : Ep =kEs ²/2=1/2kSeule la moitié du travail fourni est accumulée l’autre moitié est dissipée par la résistance c.
6- Le régime forcé de l’oscillateur élémentaire linéaire
d(t) e(t)
00
79
Partie 7
Introduction aux équations de Lagrange
80
7- Introduction aux équations de Lagrange
7.1.Systèmes à
un degré
de liberté
7.1.1. Equations de Lagrange
Considérons une particule de masse m se déplaçant sans frottement sur une courbe plane comprise dans le plan (xOy) et dont les coordonnées vérifient les relations :
z=0
f(x,y)=0
Cette particule possède 1 degré de liberté
On choisit une variable q, appelée coordonnée généralisée, pour repérer sa position
Le vecteur position de la particule s’exprime en fonction de q :
Soit la résultante de toutes les forces s’exerçant sur la particule, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
où est la vitesse de la particule
r
r r q
F
dv
F mdt
drv
dt
81
7- Introduction aux équations de Lagrange
Soit le travail fourni par la force lors d’un déplacement infinitésimal :
Le déplacement peut s’écrire en fonction de la variation dq de la coordonnée généralisée :
Dans ce cas le travail peut se mettre sous la forme :
On appelle force généralisée conjuguée de q, ou q-composante de la force, la quantité Fq définie par :
F rd
qr.Fdq
dWFq
rd
dW F.dr
rdr dq
q
r
dW F. dqq
82
7- Introduction aux équations de Lagrange
Par conséquent le travail s’écrit aussi :
En tenant compte du PFD cette expression peut s’écrire :
D’autre part :
Sachant que :
On obtient :
qdW F .dq
dv r
dW m . dqdt q
d r dv r d rv. . v.
dt q dt q dt q
d r dr vdt q q dt q
dv r d r v
. v. v.dt q dt q q
83
7- Introduction aux équations de Lagrange
Et en écrivant le vecteur vitesse sous la forme :
On obtient :
Et :
Sachant que :
Et que :
On obtient :
dr r q rv . .q
dt q t q
r vq q
dv r d v v
. v. v.dt q dt q q
21 1 v
v v.v v.q 2 q 2 q
21 1 vv v.v v.
q 2 q 2 q
2 2dv r d 1 1
. v vdt q dt q 2 q 2
84
7- Introduction aux équations de Lagrange
L’expression du travail peut alors s’écrire :
Si on note l’énergie cinétique de la masse m on obtient finalement :
D’où :
On en déduit l’équation de Lagrange pour un système à un degré de liberté :
2 2d 1 1
dW m v v dqdt q 2 q 2
2c
1E mv
2
c cE EddW m dq
dt q q
c cq
E Edm dq F .dq
dt q q
c cq
E EdF
dt q q
85
7- Introduction aux équations de Lagrange
Dans les systèmes conservatifs, la force appliquée au système dérive d’un potentiel et s’écrit :
L’équation de Lagrange devient alors :
Généralement l’énergie potentielle ne dépend pas de la vitesse cad que :
L’équation de Lagrange peut alors s’écrire :
7.1.2. Cas
des systèmes
conservatifs
p
q
EF
q
pc c
EE Eddt q q q
pE
0q
c p c pE E E Ed0
dt q q
86
7- Introduction aux équations de Lagrange
On introduit la fonction de Lagrange (ou Lagrangien du système) qui est la différence de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :
D’où la forme de l’équation de Lagrange dns le cas d’un système conservatif :
c pL E E
d L L0
dt q q
7.1.3. Cas
des forces de frottement
dépendant
de la vitesse
Fonction
de Lagrange
Considérons des forces de frottement visqueux de la forme :
La force généralisée s’écrit :
f v
2 2
qr r q r
f f. qq q t q
87
7- Introduction aux équations de Lagrange
Si en plus des forces qui dérivent d’un potentiel il existe des forces de frottement visqueux, l’équation de Lagrange s’écrit :
D’où :
Fonction
dissipation
Calculons le travail fourni dWf par la force de frottement pendant un intervalle de temps dt pour un déplacement
La quantité de chaleur gagnée par le système en interaction avec la particule est telle que :
pc cq
EE Edf
dt q q q
2d L L r
qdt q q q
rd
2fdW f.dr .v .dt
2dQ .v .dt
88
7- Introduction aux équations de Lagrange
Soit la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur :
Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction de par :
Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi puissance dissipée :
La q-composante fq de la force de frottement peut alors s’écrire :
ddQ
Pdt
2dP .v
q
2 2 2
2d
r r q rP . . . . q
t q t q
2
2d
1 1 rD P . q
2 2 q
qD
fq
89
7- Introduction aux équations de Lagrange
L’équation de Lagrange s’écrit alors :
d L L D0
dt q q q
7.1.4. Cas
d’une
force extérieure
dépendant
du temps
Considérons le cas plus général d’une force extérieure dépendant du temps agissant sur un système qui est le siège de forces de frottement qui dérivent d’une fonction dissipation D. Soit Feq la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation de Lagrange peut s’écrire sous l’une des deux formes équivalentes suivantes :
2
eqd L L r
F qdt q q q
eq
d L L DF
dt q q q
90
Partie 7 bis
L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
91
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
L’indice de réfraction n n’est pas une constanteEléments dispersifs, aberrations chromatiques
7.1.Introduction
7.2.Réponse de la matière
à
un champ électrique
: le modèle
de Lorentz
Origine de la dispersion : réponse de la matière à un champ électrique
Lorentz : théorie classique des propriétés optiques => résultats formellement identiques à ceux donnés par la mécanique quantique
Les électrons et les ions de la matière sont traités comme de simples oscillateurs harmoniques.
On considère un ens. d’oscillateurs harmoniques, isotropes, indépendants et identiques
92
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
Soit un oscillateur, de masse m et de charge e, il est soumis à : -force de rappel –kx-force d’amortissement-force d’excitation due au champ électrique
cx
eq. du mvt :
On suppose le champ harmonique :
On s’intéresse au régime permanent, la solution est :
Avec et
Si 0 déplacement et champ non en phaseOn écrit aussi :
Avec et
localmx cx kx eE
0j t
localE E e 0
2 20
j teE e
mxj
20
km
cm
0j j t j
loce e
x Ae E e Ae Em m
2 22 2
0
1A
2 20
tan
93
Allure de l’amplitude et de la phase
A max pour 0
Si <<0 Amax inv prop à 0°
aux BF => l’oscillateur répond en phase à la force d’excitation
180°
aux HF => il répond en opposition de phase
Varie de 180°
au voisinage de 0
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
94
Pour un oscillateur, le moment dipolaire induit est :
Pour N oscillateurs par unité de volume, le moment dipolaire induit par unité de volume = la polarisation est :
Avec fréquence plasma
Or P s’écrit généralement sous la forme :
Avec
susceptibilité électrique, donc :
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
p ex
P Np Nex
2
02 20
plocP E
j
2
0p
Ne²m
0 locP E
2
2 20
p
j
95
Et la permittivité relative s’écrit :
D’où :
courbes :
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion2
2 20
1 1 p jj
2 2 20
2 22 20
2
2 22 20
1 1 p
p
96
On en déduit les variations des parties réelle et imaginaire de l’indice :
Et celles du coefficient de réflexion en incidence normale :
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
22 n jk j
2 2
2 2
2
2
n
k
2 22
2 2
1
1
n kR r
n k
97
7.3.Quelques propriétés
de l’indice
de réfraction
et de la permittivité
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
Région de forte absorption autour de 0 => forte réflexion si k>>1
Des deux côtés de la zone de résonance, n
lorsque
:
dispersion normale
n ne
lorsque
(dispersion anormale) qu’au voisinage de la résonance
dispersion anormale => corriger les aberrations chromatiques ?
Non elle n’apparaît que dans les zones de forte absorption => la lumière ne passe pas
98
7- L’oscillateur forcé en optique : l’origine de la dispersion
’’ maximum autour de 0 si << 0
Approximation au voisinage de 0 :
Largeur à mi-hauteur du pic de résonance: =
2
0
pmax
20 0
2 20
20
2 20
21
2
4
2
p
p
pour =0 -/2
pour =0 +/2
Lorentzienne
Un milieu peut avoir plusieurs populations de dipôles ayant leurs fréquences de résonance propres, par ex dans l’UV, l’IR …
12
12
maxmin
maxmax
99
Partie 8
Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
100
Le mouvement du système est décrit par deux fonctions du tempsx1 (t) et x2 (t)
Un tel système peut être la réunion de 2 sous-systèmes à 1 degré de liberté couplés
8.1.Définition
8.2.Equations différentielles
régissant
le mouvement
en régime
libre
Pour un système linéaire dont les grandeurs caractéristiques sont constantes
Termes propres
inertielrésistif
élastique
Termes de couplage
Sous forme matricielle :
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
11 1 11 1 11 1 12 2 12 2 12 2
22 2 22 2 22 2 21 1 21 1 21 1
m x c x k x m x c x k x 0m x c x k x m x c x k x 0
11 12 1 11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2
m m x c c x k k x0
m m x c c x k k x
101
Ou :
8.3.Différents modes de couplageCouplage par élasticité : liaison par un ressort (en mécanique) ou un condensateur (en électricité)
kij 0 et mij =cij =0 pour i j
Couplage par viscosité : liaison par un frottement visqueux (en mécanique) ou une résistance (en électricité)
cij 0 et mij =kij =0 pour i j
Couplage par inertie : liaison par une masse (en mécanique) ou une inductance mutuelle (en électricité)
mij 0 et cij =kij =0 pour i j
[M] : matrice des masses[C] : matrice d’amortissement[K] : matrice de rigidité
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
M x C x K x 0
Matrices symétriques pour un oscillateur linéaire discret
102
8.4.Exemple : oscillateur
dissipatif
à
2 degrés
de liberté
sans couplage inertiel
c1
k1x1 (t)
m1
k3x2 (t)
m2
c3 c2
k2
Déterminer les termes des matrices [M], [C] et [K]
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
103
8.5.Régime libre
et modes propres
du système
conservatif
sans couplage inertiel
Système conservatif : ci =0
iSans couplage inertiel : mij = 0
i
j
Les équations différentielles deviennent :
On cherche des solutions de la forme
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
1 1 1 3 1 3 2
2 2 2 3 2 3 1
m x k k x k x 0
m x k k x k x 0
pt1 1
pt2 2
x A e
x A e
A1 et A2 doivent donc satisfaire le système :
(S1)
21 1 1 3 3 2
23 1 2 2 2 3
A m p k k k A 0
k A A m p k k 0
p complexe
104
Ce système d ’équations n’admet de solutions non nulles que si son déterminant est nul =>
Cette équation est appelée : Equation caractéristiqueou Equation aux valeurs propres
Les solutions de cette équation sont les pulsations propres du système
Si on l’écrit : p4+Bp2+C=0
Les solutions sont de la forme :
avec
donc est réel
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
21 1 3 3
23 2 2 3
m p k k k0
k m p k k
4 2 2 3 1 3 1 2 2 3 3 1
2 1 1 2
k k k k k k k k k kp p 0
m m m m
22 B B 4C
p2
2 22 2 3 1 3 3
2 1 1 2
k k k k 4kB 4C 0
m m m m
2B 4C
105
Et B > car C > 0 donc les 2 solutions p2 sont réelles et négatives
4 solutions imaginaires pures :
1 et 2 : pulsations propres du système
Déterminons maintenant les amplitudes A1 et A2 . (S1) est un système homogène => seul le rapport A2 / A1 peut être calculé :
Nombre réel qui peut prendre deux valeurs selon que p2= -12 ou p2= -2
2
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
2B 4C
2
1 / 2 1
2
3 / 4 2
B B 4Cp j
2
B B 4Cp j
2
21 1 3 32
21 3 2 2 3
m p k k kAA k m p k k
106
D ’où l’ensemble de solutions particulières suivant :
Les solutions générales sont obtenues par C.L. des solutions particulières
Système qui peut aussi s’écrire
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
21 1 1 3 321
211 3 2 1 2 3
21 2 1 3 322
212 3 2 2 2 3
m k k kAA k m k k
m k k kAA k m k k
1 1 2 2
1 1 2 2
j t j t j t j t11 11 12 12
j t j t j t j t21 21 22 22
A e ;A e ;A e ;A e
A e ;A e ;A e ;A e
1 1 2 2
1 1 2 2
j t j t j t j t1 11 1 1 12 2 2
j t j t j t j t2 21 1 1 22 2 2
x A C e D e A C e D e
x A C e D e A C e D e
1 1 1 1 2 2 2
2 21 1 1 1 22 2 2 2
x X cos t X cos t
x X cos t X cos t
107
On peut choisir les conditions initiales tq X2 =0 (resp. X1 =0)
Le système oscille selon le 1er (resp. 2nd) mode seulement
Les modes propres sont orthogonaux : ils oscillent simultanément et n’ont pas d’influence réciproque : ils n’échangent pas d’énergie
nb de fréquences propres = nb de degrés de liberté (ici 2)
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
2 modes propres Mvts du système liés à chacune des pulsations propres
1 1 1 1
2 21 1 1 1
x X cos t
x X cos t
1 2 2 2
2 22 2 2 2
x X cos t
x X cos t
108
8.6.Un cas
particulier
d’oscillateur
conservatif
à
2 degrés
de liberté
sans couplage
inertiel
On pose m1 = m2 = M et k1 = k2 = K
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
8.6.1. Etudes des oscillations longitudinales
y
xx1 x2
l0l0 l0
K KKM M
109
Cherchons l’expression des 2 pulsations propres et des modes propres associés :
Ceci peut être résolu en appliquant les résultats du 7.5 à ce cas particulier.
Nous allons plutôt reprendre les calculs en utilisant les propriétés de symétrie du système.
PFD :
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
21
1 22
22
1 22
d xM 2Kx Kx
dtd x
M Kx 2Kx dt
21
1 2 12
22
2 2 12
d xM Kx K x x
dtd x
M Kx K x x dt
Ce système d’équations couplées peut se ramener à un système d’équations indépendantes en posant :
1 2 1 2S x x et D x x
110
Il vient alors :
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
Qui a pour solutions :
2
1 2 1 2 1 22
2
1 2 1 2 1 22
2
2
2
2
dM x x Kx Kx =-K x x
dtd
M x x 3Kx 3Kx =-3K x xdt
d SM KS
dt d D
M 3KD dt
21
1 1 1 1
22 2 2 22
KS t A cos t B sin t MavecD t A cos t B sin t 3K
M
Ou encore :
1 1 1
2 2 2
S t A cos t
D t A cos t
111
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
Les constantes A1 , B1 , A2 et B2 (ou A1 , 1 , A2 et 2 ) sont déterminées à l’aide des conditions initiales. On abandonne généralement le système dans une position quelconque et sans vitesse.
1 2
1 2
à t 0 x 0 =A x 0 =B
x 0 =0 x 0 =0
1 1 1 2 2 1 1 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 2 21 2
2 1 1 2 2
1 21 1 2
1 22 1
S t D t 1x t A cos t A cos t B sin t B sin t
2 2S t D t 1
x t A cos t A cos t B sin t B sin t2 2
x 0 0 B B 0B B 0
x 0 0 B B 0
A Ax t cos t cos t
2 2A A
x t cos t2 2
2cos t
112
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
Si par exemple on écarte de la même grandeur les deux masses on obtient :
Dans le cas opposé, on écarte les masses M1 et M2 de quantité opposées à t=0 .
Le mouvement des deux masses est
uniquement décrit par la pulsation 1
On excite dans ce cas uniquement la
pulsation 2
1 21
1
21 22
1 1
2 1
A Ax 0 A A A A2
A 0A Ax 0 A A
2A
x t cos t2A
x t cos t2
1 21
1
21 22
1 2
2 2
A Ax 0 A A A 02
A AA Ax 0 A A
2A
x t cos t2A
x t cos t2
113
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
Représentation graphique des 2 solutions :
Mode 1:
Mode 2:
Ces deux modes propres représentent une base permettant de décrire toutes les oscillations possibles du système. Chacun d’eux est associé à une pulsation propre.
221
KM
222
3KM
114
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
8.6.2. Etudes des oscillations transversales
Pas de mouvement suivant l’axe x’x, donc des mouvements purement transversaux. Ceci peut être obtenu facilement en faisant un trou dans chaque masse et en mettant un axe pour empêcher le déplacement horizontal.
y
x
y1 y2
ll l
T0 T0T0M1 M2
A l’équilibre les ressorts ont tous la même tension : 0 0T K l l
115
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
y1 y2
l l
l 1l2
T2T1
PFD :
l
T3T4
21
1 22
22
4 32
d yM T cos T cos
dtd y
M T cos T cosdt
l3
1 1 0
2 2 0 3
4 3 0
T K l l
T K l l T
T K l l
avec
222 2 21 1 1 2
1 0 2 1 02
222 2 22 2 1 2
2 0 2 1 02
d y y y yM K y l l K y y l l
l ldtd y y y y
M K y l l K y y l ll ldt
116
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
Approximation des petites oscillations : l’angle est petit ou longueur du ressort lors du mouvement est très voisine de l.
21 1 1 2
0 02
22 2 1 2
0 02
d y y y yM K l l K l l
l ldtd y y y y
M K l l K l ll ldt
21 1 2
02
22 1 2
02
d y 2y yM T
ldtd y y 2y
M Tldt
ou
Les solutions sont :
2 01 21 1 2 1
21 2 02 1 2 2
TA Ay t cos t cos t
2 2 Ml avec A A 3T
y t cos t cos t2 2 Ml
117
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
Représentation graphique des 2 solutions :
Mode 1 :
Mode 2 :
2 01
TMl
2 02
3TMl
118
8.7.Régime forcé
Considérons le cas des oscillations longitudinales en régime forcéOn applique une force F0 cost selon x à la première masse
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
y
xx1 x2
l0l0 l0
K KKM M
F0 cost
119
Le système d’équations différentielles s’écrit :
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
201
1 22
22
1 22
Fd x K K2 x x + cos t
M M Mdtd x K K
x 2 x M Mdt
La solution complète : solution de l’équation homogène + une solution particulière.Equation homogène déjà déterminéeIl faut juste déterminer une solution particulière
On cherche des solutions de la forme :
1 10 1 2 20 2x t x cos t et x t x cos t
120
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
Pour simplifier les calculs, on peut utiliser la notation complexe :
La force excitatrice s’écrit :
1
2
j t j t1 10 10
j t j t2 20 20
x t x e X e
x t x e X e
j t0FF t e M
Le système devient :
avec
2 22 j t j t j t j t010 0 10 0 20
2 22 j t j t j t20 0 20 0 10
FX e 2 X e X e = e
MX e 2 X e X e =0
20
K=
M
2 22 00 10 0 20
2 2 20 10 0 20
F2 X X
M
X 2 X 0
121
8- Systèmes linéaires à 2 degrés de liberté
D ’où pour 2202
2 22 20 00 0
10 12 2 2 22 2 2 20 0 0 0
2 20 0 0 0
20 22 2 2 22 2 2 20 0 0 0
2 2F FX = x t cos t
M M3 3
F FX = x t cos t
M M3 3
pour
Les amplitudes deviennent infinies pour les pulsations propres 2 20 0et 3
2202
10
020 2
0
X =0
FX =-
M
122
Partie 9
Systèmes linéaires à n degrés de liberté
123
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
Le mouvement du système est régi par l’éq :
9.1.Définition
Composantes xi du vecteur x : coordonnées généralisées généralement de différentes dimensions
où x, et sont les vecteurs déplacement, vitesse et accélération et f(t) est un vecteur qui représente les forces extérieures agissant sur le système.
[M] : matrice des masses[C] : matrice d’amortissement[K] : matrice de rigidité
M x C x K x f t
x x
Matrices symétriques définies positives
Det(M) et de tous les mineurs diagonaux sont positifs :
11 1 11 1 111 12
1121 22
1 1 1 1 1
0 0 0 0n ,n
n nn n , n ,n
m m m mm m
, , ,mm m
m m m m
124
9.2.Détermination de l’équation
matricielle
du mouvement
Application du PFDouUtilisation des équations de Lagrange
pc ck
k k k k
EE Ed Df t
dt x x x xk=1,…,n
Dans le calcul de et de , on considère les et
comme des variables indépendantes entre elles
Quand on procède au calcul de toutes les fonctions et
doivent être considérées comme fonctions du temps
c
k
Ex
c
k
Ex
kx kx
c
k
Eddt x
kx kx
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
125
9.3.Définition des énergies
Energie cinétique :
Energie potentielle :
Fonction de dissipation :
Tc
1E x M x
2
Tp
1E x K x
2
T1D x C x
2
Ceci ne s’applique qu’aux petits mouvements autour d’une position d’équilibre stable
Position d’équilibre : dEp =0 (extremum de Ep )Stable : minimum strict de Ep
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
126
9.4.Formes quadratiquesEc est une forme quadratique symétrique définie positive des vitesses généraliséesforme quadratique 2Q : application de IRn dans IRn qui se met sous la forme d'un polynôme homogène de degré 2 des coordonnées du vecteur de IRn
i et j variant indépendamment
définie positive : IRn, Ec ( )
0
IRn, Ec ( )=0
=0
x x
xx
Tij i j
i,j
2Q x K x k x x
YQ ' GradQ K x
Ep est une forme quadratique symétrique semi-définie positive des déplacements généralises
Semi-définie positive : peut être nulle pour une valeur de x
0
D est une forme quadratique symétrique semi-définie positive des vitesses généralisées
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
x
127
9.5.Solutions en régime
libre
conservatif
[C]=0 et f(t)= 0
Le comportement
est
décrit
par :
Prémultiplions cette éq par [M]-1 :
est le noyau du système
Cette équation matricielle correspond à un système de n eq diff du 2nd
ordre que l’on peut résoudre de 2 manières différentes
-combinaison linéaires de solutions particulières-méthode de la base modale
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
M x K x 0
1x M K x 0
1M K A
128
On cherche des solutions de la forme
9.5.1.Résolution du système
par combinaison
linéaire
de solutions particulières
ou sous forme vectorielle :
En reportant dans l’eq matricielle :
En posant :
= ²
Et en simplifiant par le cosinus, on a :
Système d’eq homogènes qui n’admet de sol non nulles que si :
C’est l’équation aux pulsation propres oul’équation caractéristique
Les scalaires
sont les valeurs propres de [A]
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
i ix t X cos t
x X cos t
2A I X cos t 0
A I X 0
A I 0
129
Elle s’écrit aussi
Il s’agit d’un polynôme en
d’ordre n qui possède n racinesPour des raisons physiques ses racines sont >0On suppose ces racines toutes distinctes et on les classe par ordre croissant:
1 < 2 < …< p < …< n
Soit en revenant aux pulsations propres : 1 < 2 < …< p < …< n
A chaque pulsation propre p correspond une solution particulière :
: représente le vecteur xP: mode propre de rang p
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
11 12 1n
21 22
n1 n2 nn
a a aa a
0
a a a
1p 1p p p
ip ip p p
np np p p
x X cos t
x X cos t
x X cos t
130
Le vecteur Xp donne les amplitudes de xp
Xp est la forme propre de rang p
On obtient Xp en résolvant le système :
Il faut donc résoudre n systèmes d’éq homogènesComme ces formes propres ne peuvent être connues qu’à un facteur près, on les norme souvent par rapport à une forme propre de référence choisie arbitrairement.
La solution générale est obtenue par C.L. des modes propres du système (solutions particulières) :
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
pA I X 0
n n
p p p p p pp 1 p 1
x x X cos t
131
9.5.2.Résolution du système
par la méthode
de la base modale
est un système de n eq différentielles couplées.On va chercher un nouvel ensemble de coordonnées généralisées qp p=1,…,n tel qu’on ait un système de n eq diff découplées i.e. tel que chaque equation p ne dépende que de qp et
Il faut diagonaliser [A]
On cherche la matrice de changement de base [B] telle que :
et Matrice diagonale
Les termes de [] sont les valeurs propres de [A]. Les colonnes de [B] sont les vecteurs propres de [A]
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
x A x 0
pq
et comme les coeff de B sont indépendants du temps
x B q
x B q
1B A B
132
Le système d’ eq diff découplées s’écrit donc :
qp : coordonnées normales ou modalesCe sont aussi les modes propres du système
En tenant compte du changement de coordonnées, l’énergie cinétique s’écrit :
Et l’énergie potentielle :
L’intégration de ce système est immédiate!
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
q q 0
TTc
1E q B M B q
2
TTp
1E q B K B q
2
133
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
m m m
1
2 3
k k
9.6.Exemple d’application
: chaine
de pendules
2- Déterminer les pulsations propres de ce système.3- Déterminer les matrices de raideur et d’inertie du système. Et montrer que
et que
4- Déterminer les rapports des amplitudes angulaires et pour chacun des modes propres.
Trois pendules de longueur L. A l’équilibre ces trois pendules sont verticaux, les trois masses sont équidistantes sur une même horizontale et les ressorts ont leur longueur naturelle.
On pose 02=k/m et 0
2=g/l
1- Ecrire l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système et utiliser les equations de Lagrange pour déterminer le système d’équations différentielles vérifiées par les élongations angulaires i pour de petites oscillations.
Tc
1E M
2 T
p1
E K2
3m
1m
2m
1m
134
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
9.7.Passage à
la limite
:systèmes
continus
9.7.1.Mouvements longitudinaux
: Cas
de N oscillateurs
non-amortis
xxn-1
K KMn-1 Mn Mn+1
xn+1xn
Intéressons nous au mouvement de la masse Mn
PFD 2
1 12
22 2 2 2
0 1 0 0 1 02 2
nn n n n
nn n n
d xM K x x K x x
dtd x K
x x x avec Mdt
135
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
Supposons maintenant que les différentes masses sont soumises à de faibles oscillations, c’est-à-dire que le mouvement de chaque masse est petit
La distance entre les différentes masses est pratiquement constante et égale à celle au repos l0 .
On peut donc poser :
L’équation différentielle devient
1 0
1 0
n
n
n
x t u x, t
x t u x l , t
x t u x l , t
2
2 2 20 0 0 0 02 2
u x, tu x l , t u x, t u x l , t
t
136
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
l0 étant petit on peut utiliser un développement limité pour exprimer
0 0u x l , t et u x l , t
2 20
0 0 2
2 20
0 0 2
2
2
lu uu x l , t u x, t l
x xlu u
u x l , t u x, t lx x
Finalement :
Cette équation est dite de d’Alembert ou équation de propagation.
On peut voir que le terme est homogène à une vitesse.
En posant , on peut écrire l’équation de propagation unidimensionnelle de la grandeur u(x,t) à la vitesse c .
2 22 2
0 02 2
u x, t u x, tl
t x
2 20 0l
2 220 0c l
2 22
2 2
u x, t u x, tc
t x
137
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
9.7.2.Mouvements transversaux
: Cas
d’une
corde
vibrante
Prenons comme exemple une corde faiblement extensible de longueur l et de masse linéique . Elle est tendue par une force appliquée à son extrémité droite.
y
y(x,t)
équilibre
F
Pour déterminer l’équation du mouvement des différents points de la corde au voisinage de l’équilibre. On négligera le poids de la corde devant . On se limite à des petits mouvements transversaux.
F
F
138
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
Considérons un élément infinitésimal de la corde :
y
x
A
B
-T(x,t)
T(x+dx,t)
x x+dx
y(x+dx,t)
y(x,t) (x,t)
Le point d’abscisse x (A) subit l’action de la partie gauche de la corde :
Le point d’abscisse x+dx(B) subit l’action de la partie droite de la corde :
PFD :
T x, t
T x dx, t
2
2
y x, tdx y T x dx, t T x, t
tT
dxx
139
9- Systèmes linéaires à n degrés de liberté
En projetant sur les axes on a :
La 1ère éq. montre que T est indépendant de x : Donc la valeur de la tension est calculée en se plaçant à l’extrémité droite de la corde :
On sait que
Equation de d’Alembert ou de propagation
2 2
2 2
0 0x
y
T cosT T
x x xy x, t T sin T y x, tT
x x xt t
T x, t T t
T t F
2
2
y x, tT F
x xt
ytg
x
2 2
2 2
y x, t y x, tFt x
140
BibliographieOndes mécaniques et sonores, problèmes résolus, Lumbroso : 534 LUM
Physique des ondes, exercices corrigés, Frère, 534.01 FRE
Physique des ondes, cours et exercices, Frère, 534.01 FRE
Mécanique vibratoire, Del Pedro, 534 DEL
Cours de physique vol 3 Berkeley ondes, collection U, 53 UNI
Cours de physique de Feynman, Electromagnétisme 2, 53 [022] FEY
Mécanique physique de Pérez, 534 PER
Les vibrations mécaniques Tome 1 de Salles et Lesueur, 534 SAL
Cours de H. Djelouah, Faculté de Physique Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne Alger, Algérie