cours mecanique des fluides_2014_1015
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Chapitre 1: Statique des Fluides
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Dfinition : On appelle fluide un corps qui peutchanger de forme sous laction dune force trs faible.
Fluide : une substance constitue de particules quichange leur position par rapport l'autre.
1- Gnralits sur les fluides
ne su stance qui continu former orsque acontrainte de cisaillement est applique.
Solides rsistent aux forces, ne se dforment pas
facilement.
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Statique des fluides : ltude des conditions
dquilibre dun fluide au repos
Description : deux description sont possibles :
1-1 Description dun fluide
Macroscopique : on adaptera une telle approche au
travers la notion de milieu continu.
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1-2 Notion de pression
Proprits de la pression
.
Les actions ou les forces de pression sexercent toujours
. ( )
perpen cu a remen aux sur aces sur esque es e es ag ssen .
La pression en nimporte quel point dun fluide est la mme dans toutes
les directions.
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1-2 Notion de pression
Les units de la pression
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1-2 Notion de pression
Pression absolue
- La pression absolue dsigne la pression
physiquement relle. Les proprits des fluides
.
- Une pression absolue nulle rvle labsence de
matire, cest--dire le vide.
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1-2 Notion de pression
Pression relative (ou effective)
Prelative = Pabsolue - Patm
- orsque a press on re at ve ev ent n gat ve, onparle de la dpression.
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1-2 Notion de pression
Forces de pression sur des surfaces
-Le calcul de ces forces joue un rle capital dans ledimensionnement des retenues deau et des barrages.
- On sait que est la force de pression lmentairesexerant sur la surface lmentaire dS.
- La force totale :
dSnp ..Fd r
r
=
dSnpS
..F r
r
=
-
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1-3 Equation fondamentale de la statique
d
(x,y,z)
dx
dz
g
d
(x,y,z)
dx
dz
(x,y,z)
dx
dz
g
Lquilibre de ce volume se traduit par (P.F.D)
reprsente les forces qui sexercent sur cet lment de volume.
F
zezdFyeydFxexdFdF
+
+
=
-
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dy
(x,y,z)
dx
dz
g
x
y
z
zedxdyzp
)(
zen
=
zen
=
zedxdydzzp
+ )(
dy
(x,y,z)
dx
dz
g
dy
(x,y,z)
dx
dz
(x,y,z)
dx
dz
g
x
y
z
x
y
z
zedxdyzp
)(
zen
=
zen
=
zedxdydzzp
+ )(
P.F.D : 0= F 0=
z
pg z
=
=
0
0
y
pg
x
pg
y
x
=
0)p(gradvF Forme vectorielle
Par analogie :
-
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1-4 Equation fondamentale de lhydrostatique
h
M
g
h
M
g
ctegzP =+
gdzdP =
Equation fondamentale de lhydrostatique
-
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Exemple 1:
Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimtres. On
verse dans lune des branches un mlange deau - alcool thylique qui forme une
colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lautre branche, on verse de leau
pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusqu ce que les deux surfaces du
mercure reviennent dans un mme plan horizontal. On mesure alors la hauteurde la colonne deau h2=24 cm.
pp quer a re a on on amen a e e
lhydrostatique pour les trois fluides.
2) En dduire la masse volumique du mlange eau
alcool thylique.
-
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1-5 Calcul des forces de pression
Forces de pression sur des surfaces
Exemple : Paroi plane incline
dSnpS
..F 111r
r
=
dSnpS
..F 222r
r
=
avec
z.g.pp atm +=1
atmpp =2
kin
rr
r
).sin().cos(.1 = 21 nn
rr
=
-
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1-5 Calcul des forces de pression
Forces de pression sur des surfaces
Exemple : Paroi plane incline
dSnpS
..F 111r
r
=
dSnpS
..F 222r
r
=
==+=S
dS.n.z.
S
dS.n.z.g.F1
FF112
rr
rrr
-
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1-5 Calcul des forces de pression
Forces de pression sur des surfaces
Exemple : Paroi plane incline
r
rrr
S
.... 121
+=S S
dSkzgdSizgF .).sin(....).cos(...rrr
dxdS .1).sin( = dz.dS).cos( 1= )tan(/ dxdz =
-
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1-5 Calcul des forces de pression
Forces de pression sur des surfaces
Exemple : Paroi plane incline
()
+=2 2
11
..).tan(......h
h
h
h
dzzkgdzzigFr
rr
k.
hh
).tan(.g.i.
hh
.g.F
rrr
22
21
22
21
22 +
=
-
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1-5 Calcul des forces de pression
Forces de pression sur des surfaces
Exemple : Paroi plane incline
Centre de pousse :
Si est la force de pression sexerant sur une surface S,Fr
a ors on peu avo r eso n e conna re e po n
dapplication A de cette force.
-
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1-5 Calcul des forces de pression
Forces de pression sur des surfaces
Exemple : Paroi plane incline
Centre de pousse A :
Pour les coordonnes du point A, il faut calculer le
moment de la force par rapport un point O quelconque,puis identifier ce moment la rsultante des moments
lmentaires par rapport ce mme point O.
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1-6-1 Thorme dArchimde
La rsultante des forces de pression sexerant sur un volume V immerg dans un
fluide en quilibre hydrostatique est gale au poids du volume de fluide dplac.
Cette force passe par le centre de gravit de la masse de fluide dplac.
force exerce par le fluide sur le solide immerg :
=S
dSnpF
1-6 Pousse dArchimde
=V
S fdVdSnf. formule du gradient :
=V
pdVF
E.F.S :
= gp l .
==== gVdVgdVgpdVF lVlV lV do :
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Chapitre 2: Cinmatique des fluides
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IL sagit dtudier le mouvement des particules fluides sans
faire intervenir les forces qui entrent en jeu.
Deux manires pour dcrire le mouvement dun systmemcani ue :
Cinmatique des fluides
Description Lagrangienne
Description Eulrienne
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2-1 Description Lagrangienne
l'observateur suit chaque particule fluide partir de l'instant initial
Une particule fluide donne occupe au cours du temps la position
=OMx
On prendra comme paramtre la position t = 00
=OMa ),,,( 321 taaaa
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Description Lagrangienne
=
a
txtav ,
Pour une particule fluide donne, ie pour fix, la vitesse est donne par :
2-1-3 Vitesse et acclration
Pour une articule fluide donne, ie our fix, lacclration est donne ar :
a
a
Cas d'une proprit physique quelconque
Les proprits physiques se rfrent aux particules fluides que l'on suit. Par
exemple, on notera la temprature l'instant t de la particule fluide qui
tait en l'instant initial.
=
a
t
vta,
a
taT ,
-
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2-2 Description Eulrienne
L'observateur est plac en un point M fixe du repre, et regarde passer les particules
fluides devant lui. Ainsi, deux instants diffrents, ce n'est pas la mme particule qui
occupe la position .
Mx
On notera la valeur de la proprit F au point linstant t.
txF ,
x
-
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Description Eulrienne
Les variables x1,x2 et x3 sont appeles variables dEuler :
( )
( )( )
t,x,x,xv
t,x,x,xv
t,x,x,xv
t,xv
3213
3212
3211
Lien entre les deux descriptions :
Soit une proprit physique F du fluide (scalaire, vecteur, tenseur) :
txF ,
taF ,
=
t,t,axFt,aF
Lagrangienne
Eulrienne
-
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2-2-1 Trajectoire :
x Ensemble des positions occupes par une particule fluide donne.
=
txvdt
xd , dttxvdx ii
=
,
dxdxdx 321
txvtxvtxv
,,, 321
2-2-2 Ligne de courant :
Ligne dont la tangente en chacun de ses points est le vecteur vitesse de la particule
fluide en ce point un instant t0 fix.
Equation de la Trajectoire
-
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Description Eulrienne
= xdMM' Le long d'une telle ligne, t0 o n a :
=
=
03
3
02
2
01
1
,,, txv
dx
txv
dx
txv
dx
E uation des li nes de courant
Cas particulier des coulements stationnaires :
Dfinition : Un coulement est stationnaire si en description eulrienne les grandeurs
sont indpendantes du temps.
=
xvtxv ,
dt
xv
dx
xv
dx
xv
dx=
=
=
3
3
2
2
1
1
=
=
xv
dx
xv
dx
xv
dx
3
3
2
2
1
1
-
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Description Eulrienne
On en dduit que dans un coulement stationnaire les trajectoires et les lignes de
courant sont confondues
2-2-3 Acclration et drive particulaire
En description Eulrienne il est claire que :
txvttxvv
+
,,
tt
xt
=
m,0
fgradvt
f
Dt
Df +
= .
+
==
vgradv
t
v
dt
vdtx .,
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Loi de conservation de la masse
Dbit massique qui traverse toute la surface S dlimitant le volume V peut scrire
sous la forme :
dSnvS
.
=
=
VV
dVt
dVtt
m
La masse totale gnre par tout le volume par unit de temps scrit :
V
VdVq
Bilan de masse :
+=
V
V
SV
dVqdSnvdVt
.
-
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Loi de conservation de la masse
On applique le thorme dOstrogradsky :
+
=
V
V
VV
dVqdVvdivdVt
Vqvdivt
=
+
Cas particuliers :
Equation de conservation de la masse
Ecoulement permanent : Vqvdiv =
Ecoulement conservatif :0=
+
vdivt
Ecoulement conservatif dun fluide incompressible : 0=
vdiv
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Ecoulement irrotationnel et potentiel de vitesse
On appel coulement irrotationnel un coulement pour lequel :
0=
vrot
Il existe une fonction (x,y,t) tel que :
= gradv
=
xvx
= yvy
Un coulement irrotationnel est un coulement potentiel de vitesse et
rciproquement.
Pour lcoulement conservatif dun fluide incompressible en rgime permanent, on adaprs lquation de continuit :
0=
vdiv
0=
graddiv 0=
-
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Fonction de courant
Soit un coulement dans le plan (o, x, y) son champ de vitesse est :
Fluide incompressible 0=
vdiv
),,(
),,(
2
1
tyxv
tyxvv
Sur une ligne de courant nous pouvons crire :
( ) dxvdyvtyxd21
,, =
dxvdyv 21
y
v
x
v
y
v
x
v
==+2121
0
:sappelle fonction de courant
Si on connait(x, y, t) alors on dduit :
x
vet
y
v
=
= 21
t fixe :
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Chapitre 3: Dynamique des fluidesarfaits
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I. Introduction
Dans ce chapitre, nous allons tudier les fluides en mouvement. Contrairement aux
solides, les lments dun fluide en mouvement peuvent se dplacer des vitesses
diffrentes. Lcoulement des fluides est un phnomne complexe. On sintresse aux
quations fondamentales qui rgissent la dynamique des fluides incompressibles
parfaits, en particulier :
lquation de continuit (conservation de la masse),
le thorme de Bernoulli (conservation de lnergie) et,
le thorme dEuler (conservation de la quantit de mouvement) partir duquel on
tablit les quations donnant la force dynamique exerce par les fluides en
mouvement (exemple les jets deau).
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II. Ecoulement permanent
Lcoulement dun fluide est dit permanent si le champ des vecteurs vitesses des
particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela ne veut pas
dire que le champ des vecteurs vitesses est uniforme dans lespace.
III. Principe de conservation de la masse
Lexpression du principe de conservation de la masse se traduit par lgalit de la
1
par S2 pendant cette mme dure, c--d :
Nous assimilerons les volumes entrant et sortant des cylindres. Soit la masse
volumique du fluide lentre et la masse du fluide la sortie.
Dans le cas dun fluide incompressible
-
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Lexpression gnrale du principe de conservation de la masse est :
Dbit massique
On appelle dbit massique Qm la quantit reprsente la masse defluide traversant la section S1 par unit de temps (kg/s).
vo um que
Pour un fluide incompressible en coulement permanent le principe devient :
On appelle dbit volumique Qv
le volume de fluide traversant une section S1
par
unit de temps soit : (m3/s)
Pour les fluides incompressibles, lquation de continuit scrit :
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IV. Equation gnrale du mouvement
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IV. Equation gnrale du mouvement
Supposons un liquide parfait (pas de viscosit) incompressible dont la pression en
diffrents point est constante dans toutes les directions, lquation fondamentale de ladynamique des fluides scrit :
+= Fpgraddt
vd
+
=
+
+
+
xF
x
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
Equation dEuler
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
z
y
F
z
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
Fy
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
V. Thorme de Bernoulli
-
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V. o e de e ou
Considrons un fluide incompressible. Lquation dEuler scrit :
Lorsque drive dun potentiel, on peut crire :
Lquation dEuler devient alors :
+= Fpgraddt
vd
F
= gardUF
Le long dune ligne de courant, confondue avec trajectoire, un dplacement entraneune variation dnergie :
( )Upgraddt
vd +=
( )
+== dlUpgraddldt
vddE .
On intgrant cette relation le long de la ligne de courant on obtient lexpression
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cteUvp =++ 2
2
1
g g g p
gnrale de la relation de Bernoulli :
Lorsque les forces de volume se limitent en une force de pesanteur :
On obtient la forme usuelle de lquation de Bernoulli :
ctegzU +=
: densit dnergie cintique associe au mouvement globale du fluide
p : densit de pression due aux forces internes du fluide en mouvement,
: densit dnergie potentielle associe la position dans le champ
gravitationnel
ctegzvp =++ 221
2
2
1
v
gz
Diffrentes formes dnergie dans les units les plus utilises :
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Diffrentes formes d nergie dans les units les plus utilises :
)(:1
)/(:
2
1
)/(:21
2
2
32
mhauteurctezvp
kgJenrgiectegzvp
mJPapressionctegzvp
=++
=++
==++
V.1 Thorme de Bernoulli gnralis
Lors d'un coulement d'un fluide rel entre les points (1) et (2) il peut y avoir des
changes d'nergie entre ce fluide et le milieu extrieur :
par travail travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance change tant
P.
par dues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents
de parcours ; la diffrence de pression tant Pf
Lquation de BERNOULLI scrit dans ce cas :
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Applications :
Vidange dun rservoir - Thorme de Torricelli
fpgzvpEgzvp +++=+++ 22
221
2
112
1
2
1
On considre une cuve remplie d'un liquide parfait et
incompressible, dans laquelle a t perc un trou de
pe e a e une au eur en essous e a sur ace
libre du liquide.On note A un point choisi au hasard sur la surface libre
du liquide et un point pris au niveau du jet libre gnr
par le trou.
Montrez que Relation de TorricellighvB 2=
Tube de Venturi
Un conduit de section principale SA subit un tranglement en B o sa section est
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p p A g
SB. La vitesse dun fluide augmente dans ltranglement, donc sa pression y
diminue : vB > vA
pB < pA
Montrez que :
22
22
11
2
1vv
AB
BA kqqSS
pp =
=
VI. Lois dnergie dans lcoulement dun fluide parfait
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VI.1. Thorme dEulerDe manire gnrale, la forme intgrale des quations dEuler est :
Pour un coulement permanent, lquation dEuler devient:
=
+
extFdsvnvdvv
t.
( ) = entresortiemext UUQFrrr
.
Exemple 1:Dterminer la force exerce par le fluide sur la canalisation.
Les sections (1) et (2) de la canalisation sont caractrises par les aires S1et S2, les
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xuvv
= 11pressions p1 et p2 et les vitesses : et
+=
yx uuvv sincos22
22,Sp
xu
2
v
1
v11,Sp
Exemple 2:
-
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Un jet deau horizontal qui frappe un obstacle un dbit massique Qm.
Lobstacle provoque une dflexion du jet dun angle.
- Trouver lexpression de la force rsultante totale F exerce par le
liquide sur lobstacle.
- Exprimer en fonction de .
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Chapitre 4: Pertes de charge
I. Introduction
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On raison de la viscosit des fluides rels, de la rugosit des parois intrieures des
conduites et des accidents de parcours inhrent un trac fluidique, lcoulement
dun fluide rel fait apparatre une dgradation de lnergie interne du fluide, que lon
appelle : pertes de charge.
Une chute de pression est le rsultat dune somme de rsistances opposes aupassage du fluide par la tuyauterie (pertes par frottement) et des accidents de
parcours.
Les pertes de pression, ou perte de charges, seront fonction:
de la longueur de la conduite des ventuels accidents de parcours
du diamtre de la conduite
de la vitesse du fluide
de la rugosit de la tuyauterie
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R it C t t i t d d i lt t d
-
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conduite
asprit
Rugosit : Cest un paramtre qui permet de dcrire ltat de
surface des parois interne dune conduite.
est le diamtre intrieur de la conduite
est la rugosit absolue de la conduite
Dr =La rugosit relative est :
Limite intrieurede la conduite
Ecoulement laminaire et turbulent
-
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Ecoulement laminaire et turbulent
- Si la vitesse d'coulement n'est pas trop leve, les diffrents filetsde courant restent indpendants : on parle d'coulement laminaire.
- Lorsque la vitesse devient importante, les filets de courantdeviennent instables et se mlangent. L'coulement devient turbulent.
Il apparat des tourbillons.
-
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II. Pertes de charge rparties
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Lexprience montre que la perte de charge rpartie dans une canalisation est:
- Proportionnelle la longueur L
- Inversement proportionnelle au diamtre intrieure Di
- Proportionnelle au carr de la vitesse dcoulement
Avec:
)(2
2
PaenV
D
LP
i
r =
-: Facteur de perte de charge rpartie sans dimension
- L: Longueur de la conduite m - Di: Diamtre de la canalisation m
- V: Vitesse du fluide m/s
-: Masse volumique du fluide kg/m3
II.1. Perte de charge linique :Elle dfinit la perte de charge rpartie par mtre de conduite. Elle est trs souvent
Utilise dans des abaques, valables uniquement pour des conduites, ou tableaux de
valeur
2
1 2V
DPj ir ==
II.2. Facteur de perte de charge rpartie
-
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Il est aussi appel facteur de frottement . Il dpend:
- Du rgime dcoulement: Re
- De la rugosit absolue de la conduite:
- Du diamtre de la canalisation: Di
La recherche de ce facteur peut se raliser soit en utilisant des relations empiriques ou enexploitant un diagramme appel diagramme de MOODY
-
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0,01D
= = 0,042
Re = 20 000
Coefficient de perte de charge linaire
-
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Rgime laminaire:
Re
64=
-
Exprimer le dbit volumique en fonction de
le diamtre de la conduite et la viscosit
dynamique .
p
Rgime turbulent : Conduite lisse
-
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25,0Re316,0 =
(Formule de Blasius)
+=
D71,3Re51,2log21
(Formule de Colebrook)
II.3. Facteur de perte de charge Singulire
Les pertes de charge singulires sont dus la prsence des obstacles :
-
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Les pertes de charge singulires sont dus la prsence des obstacles :
- Changement de section: largissement/rtrcissement
- Changement de direction: courbes/coudes
- Branchements: Ts de sparation et de runion
- Organes de robinetterie: robinets/clapets/filtres
2.
2
UPS=
gUPS2
.
2
=
.
C l i
-
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Conclusions
Pour diminuer l'ensemble des pertes de charge dans une canalisation, afin dediminuer les cots de fonctionnement dus aux pompes, il faut:
diminuer la longueur de canalisation
diminuer le nombre d'accidents sur la canalisation
diminuer le dbit de circulation
augmenter le diamtre des canalisations
faire circuler des liquides le moins visqueux possible
utiliser des matriaux de faible rugosit
-
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I. Introduction
-
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Dans ce chapitre , nous allons aborder le problme de la dynamique des fluides
visqueux incompressible newtoniens. Les forces de frottement visqueuses, qui sont
dues aux interactions entre les molcules, seront prises en considration dans les
quations de la dynamique (quations dEuler).
Considrons lcoulement dun fluide visqueux au voisinage dune paroi. Sous leffet
des forces dinteraction entre les molcules de fluide et des forces dinteraction entre
les molcule de fluide et celle de la paroi, chaque molcule de fluide ne scoule
librement.
z
-
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z
x
vmax
v = 0
z+dz
z
v+dv
Pour z =0 les particules fluide en contact avec la paroi ont une vitesse nulle.
La contrainte (force par unit de surface), pour tout point M de la
paroi possde, entre autres, une composante tangentielle dans le sens de
lcoulement: le fluide tire la paroi.
Cette contrainte tangentielle est proportionnelle au gradient de vitesse travers la
paroi:
paroifluideT
x
z
paroifluide e
dz
dvT
=
= .0
Le coefficient de proportionnalit ne dpond que du fluide.
-
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La force correspondante scrit :
x
z
paroifluideparoifluide edz
dvSTSF
=
== .0
I.2. Notion de la viscosit dynamique [M.L-1.T-1]
- La viscosit dynamique dun fluide caractrise son aptitude scouler.
- La viscosit dynamique peut tre dfini comme tant la rsistance lcoulement.
- La viscosit dynamique sexprime en pascal seconde (Pa.s)
- Un fluide est considr comme parfait si lon peut ngliger sa viscosit.
- Dans nombreuses formules apparait le rapport de la viscosit dynamique et
de la masse volumique.
Ce rapport est appel viscosit cinmatique [L2.T-1]
( 2 1)
-
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= (m2.s-1)
I.3. Gnralisation un coulement quelconque
On cherchera la relation gnrale entre et le mouvement du fluide , en
tenant compte de la pression statique qui reprsente la contrainte normale, oncrit dans le cas gnral:
ij
)()( MMP ijijij +=
Comme est symtrique,
On peut le gnraliser de la manire suivante, en tenant compte du caractre
symtrique du tenseur:
=
==
jisi
jisi
ij
ij
0
1
jiij =
=
y
V112
ij
jiij D
VV 2=
+
=
-
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ij
ij
ij
xx
+
=
i
j
j
iij
x
V
x
VD
2
1
Le tenseur des contrainte en un point M scrit donc sous la forme:
est appel tenseur des taux de dformationD
Tous les fluides obissent cette loi de comportement sont les fluide
newtoniens
)(2)( DIP +=
I.4. Equations de la dynamique des fluides newtoniens incompressible:
Equations de Navier-Stokes
-
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Considrons un lment de volume V dlimit par une surface ferme S dans
un domaine fluide. Le principe fondamentale de la dynamique scrit:
dvgdsTdvdt
vd
+=
dvgdsndvdt
vd
+=
( ) dvgdvdivdvdtvd
+=
i
j
iji g
xdt
dV +
=
En utilisant la relation et en projetant sur les trois
axes, on obtient:)(2)( MDIMP +=
-
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+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
yyzyyyx
xxzxyxx
gzyxy
Pdtdv
gzyxx
P
dt
du
+
++
+
= zzzzyzx
gzyxz
P
dt
dw
Si nous raisonnons par exemple sur la premire quation, on a:
xgz
w
y
v
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
P
dt
du +
+
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
Les quations de Navier-Stokes scrivent:
-
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+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
y
x
gz
v
y
v
x
v
y
P
z
vwy
vvx
vut
v
gz
uy
ux
uxP
zuw
yuv
xuu
tu
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
=
+
+
+
zg
zyxzzw
yv
xu
t
222
+
0=
+
+
=
z
w
y
v
x
uVdiv
Exemples dapplications
1- Ecoulement unidirectionnel:
-
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Ce sont des coulement o le champs de vitesse possde une direction fixe. On prendra
H othses :
1Ox
=
00
),,,( 3211 txxxv
V
V
x
x3
Ecoulement stationnaire et incompressible
les forces de masse sont ngligeables Fluide Newtonien
=
0
0
),( 321 xxv
V
03
3
2
2
1
1 =
+
+
=
x
v
x
v
x
vVdiv
12
3
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
13
13
2
12
1
11
1xg
x
v
x
v
x
v
x
P
x
vv
x
vv
x
vv
t
v +
+
+
+
=
+
+
+
-
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3211321 xxxxxxxt
22
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
23
23
2
22
1
21
2xg
x
v
x
v
x
v
x
P
x
vv
x
vv
x
vv
t
v +
+
+
+
=
+
+
+
222
32
3
3
2
2
3
2
1
3
33
33
2
32
1
31
3xg
xxxxx
v
x
v
x
v
t
+
+
+
+
=
+
+
+
On obtient:
+
+
=
2
3
2
1
2
2
2
1
1
0x
v
x
v
x
P
-
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1-1 Ecoulement de Poiseuille: Ecoulement dans un cylindre
=
=
3
2
0
0
x
P
x
P
)( 1xPP =
z
r
Hypothses : Ecoulement unidirectionnel, stationnaire et incompressible les forces de masse sont ngligeables Fluide Newtonien
Symtrie //
=
),,,(
),,,(
,,,
tzrv
tzrv
tzrv
V
z
r
Le champs de vitesse devient:
=
0
0
V
-
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),(
0
zrv
V
z
( )0
11=
+
+
=
z
vv
rr
rv
rVdiv zr
= zrvV z )(
Les quations de Navier-Stokes scrivent en coordonnes cylindriques:
+
=
=
=
zvz
P
P
r
r
P
0
10
0
2
2
2
2
2
11
z
vv
rr
vr
rrv zzzz
+
+
=
Avec:
=
r
P0
)( zPP =
-
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+
=
=
r
vr
rrz
P
Pr
z10
10
)( zPP
=
K
P
=
K
rvr
rr
z
z1 BrArKrv z ++= )ln(4
)( 2
0:)(,0 = Arvr z
2
4:0)(, RKBRrvRr z
===
( )224
)( RrK
rv z =
C.L :