cours d'hydraulique_ jean-loup robert

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES .............................................................................................................. 1

Chapitre 1 - Introduction................................................................................................................. 5

1.1 Bref historique de l'hydraulique urbaine................................................................................ 5

1.2 Notions d'hydraulique à considérer en hydraulique urbaine.................................................. 7

1.3 Cycle de l'eau en milieu urbain .............................................................................................. 7

Chapitre 2 - Les besoins en eau du milieu urbain........................................................................... 9

2.1 Caractéristiques du milieu urbain .......................................................................................... 9

2.2 Le service des eaux urbaines.................................................................................................. 9

2.3 Utilisation du sol .................................................................................................................. 11

2.3.1 Plan directeur d'aqueduc et d'égout ................................................................................ 112.3.2 Importance du plan d'urbanisme et de zonage ............................................................... 11

2.4 Éléments de démographie .................................................................................................... 11

2.4.1 Extrapolation graphique ................................................................................................. 142.4.2 Comparaison graphique.................................................................................................. 142.4.3 Progression arithmétique................................................................................................ 142.4.4 Progression géométrique ................................................................................................ 142.4.5 Accroissement à taux décroissant .................................................................................. 152.4.6 Méthode logistique......................................................................................................... 15

2.5 Évaluation de la consommation en eau................................................................................ 16

2.5.1 Définitions...................................................................................................................... 162.5.2 Types de consommation................................................................................................. 182.5.3 Facteurs affectant la consommation............................................................................... 212.5.4 Variation de la consommation........................................................................................ 212.5.5 Besoins en eau pour la lutte aux incendies..................................................................... 22

Exercices .................................................................................................................................... 29

Chapitre 3 – Les ressources en eau disponibles............................................................................ 30

3.1 Introduction.......................................................................................................................... 30

3.1.1 Fiabilité des sources d'approvisionnement par ordre décroissant: ................................. 30

GCI-20552 – Hydraulique urbaine © Jean-Loup Robert

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3.2 Les eaux souterraines ........................................................................................................... 30

3.2.1 Types de nappes ............................................................................................................. 303.2.2 Notions d'écoulement en milieu poreux......................................................................... 333.2.3 Application de la loi de Darcy........................................................................................ 353.2.4 Étapes de l'étude d'une source souterraine ..................................................................... 443.2.5 Ouvrages de captage....................................................................................................... 47

3.3 Les eaux de surface .............................................................................................................. 48

3.3.1 Qualité ............................................................................................................................ 483.3.2 Quantité .......................................................................................................................... 493.3.3 Captage des eaux de surfaces ......................................................................................... 50

3.4 Autres ressources ................................................................................................................. 52

Exercices .................................................................................................................................... 54

Chapitre 4 - Adduction des eaux................................................................................................... 56

4.1 Introduction.......................................................................................................................... 56

4.2 Types d'aqueducs ................................................................................................................. 56

4.3 Considérations hydrauliques ................................................................................................ 58

4.3.1 Écoulement en charge .................................................................................................... 584.3.2 Écoulement à surface libre ............................................................................................. 664.3.3 Stations de pompage....................................................................................................... 67

4.5 Dimensionnement économique............................................................................................ 72

Exercices .................................................................................................................................... 77

Chapitre 5 - Système de distribution des eaux.............................................................................. 78

5.1 Méthodes d'alimentation du réseau...................................................................................... 78

5.1.1 Distribution gravitaire .................................................................................................... 785.1.2 Pompage combiné .......................................................................................................... 785.1.3 Pompage direct............................................................................................................... 78

5.2 Réservoirs et stations de pompage ....................................................................................... 79

5.3 Pression à garantir ................................................................................................................ 81

5.4 Description du système de distribution................................................................................ 82

5.4.1 Aqueducs principaux:..................................................................................................... 825.4.2 Aqueducs secondaires: ................................................................................................... 825.4.3 Conduites de distribution principales............................................................................. 82


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5.5 Dimensionnement du réseau ................................................................................................ 83

5.5.1 Conduites en série et en parallèle................................................................................... 835.5.2 Méthodes de balancement du réseau en régime permanent. .......................................... 855.5.3 Introduction d'éléments annexes dans le calcul des réseaux.......................................... 995.5.4 Ajustement des coefficients de frottement ................................................................... 105Exercices ............................................................................................................................... 106

Chapitre 6 - Collecte et évacuation des eaux usées et pluviales ................................................. 107

6.1 Définitions.......................................................................................................................... 107

6.2 Évaluation des quantités à traiter ....................................................................................... 108

6.3 Notions de drainage urbain ................................................................................................ 110

6.3.1 La méthode rationnelle................................................................................................. 1106.3.2.Calcul de l'écoulement ................................................................................................. 1166.3.3 Principes de base des méthodes d'hydrogrammes........................................................ 117

6.4 L'égout sanitaire ................................................................................................................. 126

6.4.1 Notions de base ............................................................................................................ 1266.4.2 Méthode de calcul des écoulements ............................................................................. 1276.4.3 Vitesse auto-nettoyante ou d’autocurage ..................................................................... 1286.4.4 Étapes du dimensionnement de l'égout sanitaire.......................................................... 129

6.5 Collecte des eaux à traiter .................................................................................................. 130

6.6 Principes de gestion des eaux de précipitation................................................................... 131

6.7 Hydraulique des caniveau et des grilles d’égouts pluviaux .............................................. 131

6.7.1 Caniveaux..................................................................................................................... 1326.7.2 Grilles d’égout pluvial............................................................................................... 133

Exercices .................................................................................................................................. 134

Chapitre 7 - Éléments de conception des installations de traitement.......................................... 137

7.1 Installations de pompage.................................................................................................... 137

7.1.1 Courbes caractéristiques et point de fonctionnement................................................... 1377.1.2 Choix de la pompes ...................................................................................................... 1387.1.3 Pompes en série et en parallèle .................................................................................... 1387.1.4 Exemple........................................................................................................................ 139

7.2 Vannes de contrôle de débits ............................................................................................. 141

Exercices .................................................................................................................................. 142


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Chapitre 8 - Régimes transitoires dans les systèmes hydrauliques............................................. 143

8.1 Introduction........................................................................................................................ 143

8.2 Description des phénomènes physiques en jeu. ................................................................. 143

8.2.1 État d’équilibre d’un système hydraulique................................................................... 1438.2.2 Perturbation de l’équilibre, effet sur les pressions ....................................................... 1448.2.3 Simulateur de cheminée d’équilibre............................................................................. 147

8.3 Aspects théoriques ............................................................................................................. 149

8.3.1 Équations de bases ....................................................................................................... 1498.3.2 Hypothèse de base........................................................................................................ 1508.3.3 Calcul de la dépression maximale................................................................................ 1508.3.4 Méthode des caractéristiques ....................................................................................... 1518.3.5 Méthode des différences finies..................................................................................... 152

8.4 Modélisation des composantes d’un système hydraulique ................................................ 155

8.4.1 Traitement d’un élément général.................................................................................. 1558.4.2 Section de conduites..................................................................................................... 1578.4.3 Élément passif .............................................................................................................. 1578.4.4 Jonctions....................................................................................................................... 1578.4.5 Pompes ......................................................................................................................... 1588.4.6 Vannes.......................................................................................................................... 1598.4.7 Cavitation ..................................................................................................................... 159

8.5 Analyse détaillée de composantes importantes.................................................................. 159

8.5.1 Vannes.......................................................................................................................... 1598.5.2 Pompes ......................................................................................................................... 161

8.6 Étude d'un cas..................................................................................................................... 162

8.6.1 Schéma du système de refoulement ............................................................................. 1628.6.2 Courbes de pompes ...................................................................................................... 162

8.7 Équipements de protection................................................................................................. 163

8.7.1 Volant d’inertie ............................................................................................................ 1638.7.2 Chambres ou cheminées d’équilibre ............................................................................ 1648.7.3 Chambres d’équilibre unidirectionnelle ....................................................................... 1658.7.4 Réservoirs d’air ............................................................................................................ 1658.7.5 Soupapes de décharge .................................................................................................. 1668.7.6 Soupapes d’admission et de purge d’air....................................................................... 1678.7.7 Bipasse ......................................................................................................................... 168Exercice................................................................................................................................. 168

Chapitre 1 - Introduction.

1.1 Bref historique de l'hydraulique urbaine

Depuis leurs origines, les êtres humains ont été très sensibles à la qualité de l'eau, c'est l'un desbesoins les plus fondamentaux de notre physiologie. Tant que l'humanité ne s'est passédentarisée, le problème de l'eau se limitait à la recherche d'un endroit d'approvisionnementfacile d'accès (rivière, chute, source). Cependant, avec l'apparition de collectivités de plus en plusimportantes, c'est-à-dire à la naissance des cités, l'urbanisation éloignait la population du milieunaturel et restreignait la diversité des sources d'approvisionnement, le besoin d'apporter cette eauà portée de la main s'est alors fait sentir.

Les plus anciens vestiges que nous connaissons datent de 3750 av JC. Ils sont situés dans lesruines de la ville de Nippour, capitale de la Sumer en basse Mésopotamie, aujourd'hui en Irak.Ces vestiges sont en fait une conduite d'adduction voûtée permettant d'acheminer les eaux desciternes et des puits vers la cité.

On trouve aussi à Tell Asmcer près de Bagdad des conduites d'égout datant de 2600 avant J.C.Les Crétois avaient déjà des demeures avec l'eau courante chaude et froide (première apparitiondes conduites sous pression).

De cette époque, on conserve des manuscrits sanskrits et égyptiens qui décrivent la façon depurifier l'eau en l'amenant à ébullition dans des récipients en cuivre exposés au soleil, en lafiltrant à travers du charbon de bois, et en la gardant au frais dans des récipients en terre cuite.

On connaît aussi d'autres manuscrits égyptiens (1500 avant J.C.) montrant comment clarifierl'eau par décantation et à l'aide de siphons.

Il convient de citer ici les travaux effectués par les Romains dans le domaine de l'hydrauliqueurbaine, l'aqueduc à surface libre (le pont du Gard) et le système d'égout de la ville de Rome, leCloaque. Le pont du Gard est un des ouvrages de l'aqueduc de Nîmes construit pour franchir lavallée du Gard au-dessus duquel il passe à 49 m d'altitude. Long de 59 km, il a une pentemoyenne de 34 cm par kilomètre et son débit était de l'ordre de 20 000 m3 par jour (231 L/s).


6

Fig. 1.1 - L’aqueduc romain du Pont du Gard, France (photo: Athena Review).

Le premier rapport d'ingénierie sur l'approvisionnement en eau et sur son traitement, a été écriten l'an 98 de notre ère par Sextus Julius Frontinus, commissaire des eaux à Rome. Son traité, endeux volumes, décrit des réservoirs de décantation et des aqueducs munis de trappe à sédiments.

Notons aussi les travaux de l'alchimiste arabe Geber sur la distillation au VIIIe siècle.

Au XVIIe siècle, le philosophe anglais sir Francis Bacon décrit le résultat de ses expériences surla purification de l'eau. De la même époque, on connaît la première description illustrée de filtresau sable publiée par Luc Antonio Porzio, un médecin italien; son intérêt était surtout relié àl'hygiène.

L'exemple archéologique le plus complet, avant l'ère moderne, concernant la filtration des eauxpour la consommation urbaine, se trouve à Venise. Cette ville construite sur des îles affleurantd'une lagune saline, ne pouvait compter que sur l'emmagasinage des eaux de pluie pours'approvisionner en eau douce et ce pendant 1300 ans. L'eau de ruissellement des toits sedéversait dans les rues, était collectée dans des cuvettes et filtrée au sable avant d'êtreemmagasinée dans des réservoirs.

La surface des terres de Venise est de 3,2 hectares soit 0,052 km2, la moyenne de précipitationannuelle est de 81 cm. Pratiquement toutes les pluies sont stockées dans 177 réservoirs publics et1900 privés. Cela représentait une moyenne de 19 litres d'eau per capita par jour (aujourd'hui 450L/h-d en Amérique du Nord).

Cette consommation faible était tout de même suffisante pour les habitudes des Vénitiens, lavagedans la lagune, absence d'égout, et consommation de vin ! Les réservoirs placés à 4 mètres sous


7

le sol gardaient l'eau à une température d'environ 11° C. Ce système fut en fonction jusqu'auXVIe siècle.

Il est étonnant de remarquer que de l'époque de l'Empire romain jusqu'au milieu du 19ième siècleles systèmes d'égouts n'ont pratiquement pas évolué. Il a fallu la grande épidémie de choléra àLondres de 1848 à 1849 (15 000 morts) pour sensibiliser les autorités au problème, soit lacorrélation entre un approvisionnement contaminé, et la propagation de la contagion. De plus, ondétermina que l'absence de système d'égout efficace et hygiénique fut l'obstacle majeur à unelutte rapide contre l'épidémie.

1.2 Notions d'hydraulique à considérer en hydraulique urbaine

Tous les éléments de l'hydraulique du génie civil sont à prendre en considération dans l'un oul'autre aspect de la gestion des eaux en milieu urbain. En voici quelques exemples :

- L'hydrologie : Calcul des quantités d'eau disponible, calcul du drainage urbain.

- Les écoulements en milieu poreux : Alimentation en eau par nappes souterraines,dimensionnement des systèmes de filtration en usine de traitement.

- Les écoulements à surface libre : Calcul des canaux, prises d'eau, égouts, usines defiltration et d'épuration.

- Les écoulements en charge : Dimensionnement des conduites d'adduction, dedistribution et de refoulement, et des systèmes de pompage.

- Calcul économique en hydraulique

1.3 Cycle de l'eau en milieu urbain

L'hydraulique urbaine est la branche des sciences hydraulique qui concerne exclusivement lagestion des eaux en milieu urbain, que ce soient les eaux liées à l'utilisation par la population oubien les effets des eaux de précipitation sur l'infrastructure urbaine.

La figure 1.2 résume le cycle de l'eau dans un environnement urbain en considérant les sources,les intermédiaires et l'évacuation.


8

Source d'eau Précipitationsmétéorologiques

adduction ruissellement

MILIEU URBAIN

Réseau de distribution

AQUEDUC

Traitement

Réseau d'évacuation

EGOUT

Pluvial et sanitaire

Milieu naturelTraitement des

eaux usées

collecteur sanitairecollecteur pluvial

Fig. 1.2 – Le cycle de l’eau en milieu urbain.

Chapitre 2 - Les besoins en eau du milieu urbain

2.1 Caractéristiques du milieu urbain

Une ville peut être considérée comme un système complexe dont le principal aspect est laconcentration, la centralisation d'activités, par conséquent l'infrastructure du milieu urbain secaractérise par une concentration des services. Il en résulte que l'intensité des échanges seragrande à tous les niveaux, en particulier dans le domaine de l'eau où les exigences sur le planqualité et quantité sont importantes et critiques. Les principaux intervenants dans ce systèmepeuvent être les suivants:

- Facteur politique :Processus décisionnel, palier de gouvernement

- Facteur économique :Activité, le travail, le gagne pain

- Facteur géographique :Emplacement, avantage naturel, cours d'eau, voie navigable, situation climatique

- Facteur social :Bien être de la population

2.2 Le service des eaux urbaines

Parmi les services qui sont offerts dans le milieu urbain, trois relèvent de l'hydraulique urbaine,ils sont :

- La distribution de l'eau potable

- La collecte des eaux usées

- Le drainage urbain

Ces services sont conçus en fonction de la variation des activités :

- Court terme : variations cycliques, saisons, annuelles.

- Long terme : croissance et déclin.

Le service doit répondre à la demande de façon adéquate. Il y a donc des exigences quant à laperformance des différentes infrastructures :


10

- Distribution

Pression suffisante, bien répartie et sans surpression.

Réserves adéquates pour combler les variations de consommation et assurer la protectioncontre les incendies.

- Égout sanitaire

Efficace sur le plan hydraulique, doit fournir à la demande, garantir la protection de la santépublique et respecter l'environnement.

- Égout pluvial

Garantir les conditions de circulation sur les voies carrossablesRéduire les dommages causés par les précipitations

Pour être adéquat, le service hydraulique municipal doit concilier l'efficacité hydraulique etl'économie. On peut se poser la question : Pourquoi étudier l'utilisation du territoire et sonévolution temporelle en fonction de la démographie ? Les ouvrages doivent être dimensionnéspour satisfaire, pour un temps prédéterminé, les besoins d'une population généralementcroissante. D'autre part la durée de vie de ces ouvrages est limitée, il faut donc procéder à uneestimation :

- de la population

- de la consommation

pour une période correspondant à la durée de vie envisagée de la structure.

Cette période de dimensionnement est définie comme la période de vie économique de lastructure. Généralement cette période est basée sur la période qui sert à son financement maiselle peut être plus longue. Les facteurs à considérer dans le choix d'une période de calcul sont :

- le type de structure, son degré de permanence

- le coût: initialtaux d'intérêtentretien

- l'augmentation potentielle de la capacité

- la possibilité de désuétude, apparition de nouvelles techniques


11

2.3 Utilisation du sol

2.3.1 Plan directeur d'aqueduc et d'égout

Il faut connaître :

- la répartition de la population sur le territoire

- l'affectation de chaque zone

- son évolution temporelle

2.3.2 Importance du plan d'urbanisme et de zonage

Le plan d'urbanisme et de zonage définit les zones d'affectation du territoire municipal. C'est unoutil essentiel à la gestion et la planification des plans directeur d'aqueduc et d'égout. Sonprincipal but étant d'harmoniser les affectations du sol, il permet d'éviter les transformationsbrutales de l'affectation et par conséquent des modifications coûteuses de l'infrastructurehydraulique.

Les classes d'affectation sont en général:

- Résidentielle :densité faible : maisons uni familiales et jumeléesdensité moyenne: maisons jumelées et en rangéedensité forte: édifices à appartements et condominium

- Industrielle

- Commerciale

- Institutionnelle

- Espace vert

2.4 Éléments de démographie

But: permettre la planification de l'utilisation du territoire en termes d'évolution temporelle desbesoins.

Trois composantes déterminantes :

- Natalité

- Mortalité

- La migration (entrée ou sortie)


12

Il existe différentes méthodes de prédiction à court et long terme :

- Graphique

- Graphique de comparaison

- Progression arithmétique

- Progression géométrique

- Accroissement à taux décroissant

- Méthode logistique

Il convient cependant de mentionner que toutes ces méthodes n'ont qu'une valeur indicative.Elles doivent être utilisées avec précaution et en conjonction avec tout élément complémentairede nature à pouvoir aider à juger du comportement futur d'une population. Le jugementpersonnel, basé sur une connaissance approfondie du milieu, est certainement un atout majeurpour ce genre d'exercice.

Les périodes d'estimation démographique peuvent être considérées comme les suivantes:

- court terme 3 à 10 ans

- long terme 10 à 30 ans

Le choix de ces périodes est fonction de la vie économique de la structure à projeter.

Plusieurs informations sont nécessaires à l'évaluation démographique d'une population, certainessont précises et rigoureuses, par contre, d’autres sont plus subjectives. Les principales sourcesd'information sont :

- Les recensements

- Les données d'immigration et d'émigration

- Les répertoires des naissances et décès, les taux de natalité et les taux de mortalité.

- D’autres informations indirectes telles que:- le nombre d'enfants dans les écoles 5 habitants. pour 1 enfant.- le nombre de numéros de téléphones 4 habitants pour 1- le nombre de services, eau, gaz, électricité 3 habitants pour 1

Les méthodes d'estimation sont basées sur une analogie. On estime que l'évolution d'unepopulation humaine est semblable à celle d'une population de bactéries. Cette évolution secaractérise par une période initiale où, après une période de latence, la croissance s'accélèrerapidement pour atteindre un régime de croissance régulière. Enfin, l'évolution tend vers unnombre limite d'individus, la population de saturation. La figure 2.1 montre l'allure généraled'une telle courbe d'évolution temporelle d'une population.


13

t

P

Progressiongéométrique

Progressionarithmétique

Progressionà taux décroissant

Fig 2.1 - Évolution temporelle d'une population.

Un examen de l’évolution de la population mondiale depuis 1 000 ans montre avec évidencequ’elle suit une progression géométrique (voir fig. 2.2).

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1000 1200 1400 1600 1800 2000

Années

Fig 2.2 – Évolution de la population mondiale.


14

2.4.1 Extrapolation graphique

Sur un graphique de la population en fonction du temps, on trace, à l'œil la population à venirselon la tendance du graphique existant.

2.4.2 Comparaison graphique

On effectue une comparaison avec des agglomérations équivalentes ayant atteint, par le passé, lapopulation de la ville à considérer. Ceci nous donne une information sur l'évolution potentiellede la population dans des conditions similaires et nous permet de mieux extrapolergraphiquement. Il faut évidemment que les villes de références soient, sur le plan géographique,social et économique, dans une situation semblable à celle que l'on considère.

2.4.3 Progression arithmétique

Définition : Le rapport entre l'accroissement de population et l'accroissement de temps estconstant.

dP

dt= K (2.1)

K =P2 � P1

t2 � t1

(2.2)

Pn = P2 + K tn � t2( ) (2.3)

avec:P1 : Population au temps t1P2 : Population au temps t2Pn : Population au temps tn

Cette méthode s'applique dans les cas de populations vieilles et stables et dans les villes àcaractère agricole.

2.4.4 Progression géométrique

Définition : taux d'accroissement proportionnel à la population.

dP

dt= KP (2.4)

K =ln P2 � ln P1

t2 � t1

(2.5)

Pn = P2 eK ( t n � t2 )

(2.6)


15

S'applique à des populations jeunes et en pleine croissance.

2.4.5 Accroissement à taux décroissant

Définition : taux d'accroissement proportionnel à l'écart entre la population et la population desaturation

dP

dt= K(S � P ) (2.7)

K =

� lnS � P2

S � P1

�

��

��

t2 � t1

(2.8)

Pn = P2 + (S � P2 ) 1� e�K ( tn �t 2 )[ ] (2.9)

avec:S: population de saturation qui doit être estimée approximativement en fonction destendances de l'évolution de la population et des disponibilité du territoire concerné.

Cette méthode s'applique principalement à des populations qui n'ont plus d'espace pour sedévelopper.

2.4.6 Méthode logistique

C'est la méthode qui donne la courbe en S complète. Pour évaluer la courbe, il faut trois donnéesde population équidistantes dans le temps, choisies de préférence dans chacune des périodes dela courbe (taux croissant, stable et décroissant). La formule s'écrit :

P =S

1+10a+bt(2.10)

où:

S =2P0P1P2 � P1

2(P0 + P2 )

P0P2 � P1

2(2.11)

a = logS � P0

P0

�

��

�� (2.12)

b =1

nlog

P0 S � P1( )P1 S � P0( )

�

��

��

�

�

��

�

�

(2.13)

avec :


16

n : l'intervalle de temps entre P0,P1 et P1,P2t : l'intervalle de temps entre t0 et tn.

Autre forme courante :

P =S

1+ mebt(2.14)

où :

m =S � P0

P0

(2.15)

b =1

nln

P0 S � P1( )P1 S � P0( )�

��

�

�

��

�

� (2.16)

2.5 Évaluation de la consommation en eau

2.5.1 Définitions

a) Consommation unitaire et globale

Rapport de la production moyenne journalière et de la population desservie aussi appeléeconsommation moyenne per capita

Unités : L/hab/d ou gal/hab/d

CUG =

VolumeannuelNombre �d habitants

365 jours

b) Consommation moyenne annuelle

Volume d'eau consommée pendant 1 an

Unités :m3, gal

c) Consommation moyenne journalière

Volume d'eau consommée pendant un an divisé par 365 jours.

Unités : L/d ou gal/d


17

d) Consommation par unité de service

Volume d'eau utilisé par raccordement (généralement pendant un an)

La figure 2.3 montre la variation de la C.U.G pour la ville de Québec de 1940 à 1980 tandis quela figure 2.4 représente pour la même période la consommation moyenne journalière. Onremarque que la première à tendance à être constante alors que la deuxième croît en raison del'augmentation de la population.

Consommation moyenne par personne par jour

100

120

140

160

180

200

220

1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

a n n é e

456

556

656

756

856

956

Figure 2.3 - Consommation unitaire globale de la ville de Québec


18

Consommation moyenne journalière

28

30

32

34

36

38

40

42

1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

A n n é e s

127.7

137.7

147.7

157.7

167.7

177.7

187.7

Figure 2.4 - Consommation moyenne journalière de la ville de Québec

2.5.2 Types de consommation

Comme la consommation unitaire globale ne représente en fait que la production annuelle d'eauramenée sur une base individuelle, il est préférable de classer les consommations d'eau enfonction des besoins spécifiques de chaque groupe de consommateur. La subdivision en zoned'affectation du territoire urbain nous donnera un indice de ces classes de consommation. Maisavant de procéder à cette classification et dans le but d'examiner les ordres de grandeur, nousdonnons ici quelques valeurs de la C.U.G

Exemples de consommation unitaire globale par municipalité:

Municipalité L/hab/d

St-Hyacinthe 675

Hull 840

Longueuil 710

Boucherville 300

En 1974, l'AQTE a évalué la consommation unitaire globale à 554 L/hab/d dans lesmunicipalités équipées de compteurs d'eau domestiques et à 820 L/hab/d dans le cas contraire.

Quelques valeurs caractéristiques par pays


19

Pays L/hab/d

E.U. 565

Canada 500

Japon 372

URSS 322

RFA 150

France 100

a) consommation domestique

Il s'agit de l'eau utilisée pour les besoins personnels d'alimentation et d'hygiène et autresutilisations moins essentielles comme le lavage de biens et l'arrosage. Cette consommation peutêtre considérée dans les zones suivantes:

- Résidences

- Hôtels

- Institutions publiques

Dans les pays en voie de développement, l'OMS (Organisation Mondiale de la Santé) prévoit unminimum vital de 40 L/hab/d. En moyenne, on observe les valeurs suivantes dans les paysdéveloppés:

- Consommation rurale 90-180 L/hab/d

- Consommation urbaine 180-200 L/hab/d

b) consommation des zones commerciales

Consommation d'eau nécessaire au fonctionnement des commerces, elle est souvent exprimée en

L/m2-d ou encore en L/employé-d. En moyenne, on observe des valeurs de 2 à 6 L/m3-d pour lescentres d'achat ou encore de 35 à 60 L/employé/d. Ceci comprend en outre les usageshygiéniques, d'entretien et de climatisation.

c) consommation dans les zones industrielles

Elle est difficile à évaluer, car il existe une grande variation de consommation selon le typed'entreprise. Les entreprises du secteur agroalimentaire, par exemple, sont considérées comme degrosses consommatrices. Lorsque que la demande en eau de certaines industries, par exemple


20

pour les pâtes et papiers, dépassent les capacités de production municipale, la production d'eaupour le procédé industriel est pris en charge par l'industrie elle-même.

Dans les zones où le type d'industrie n'est pas défini (futur parc industriel) on prévoit environ 4,5L/m2/d (4000 gal/acre/d).

En général, la consommation est reliée à la production, voici quelques exemples :

Industrie M3 d’eau/tonne deproduction

conserveries 9 @ 90

industrie chimique (souffre,lactose)

14 @ 1100

Alimentaire (Pain, whisky) 3 @ 75

pâtes et papiers 200 @ 1100

textiles 40 @ 430

d) Usages publics

- Lutte contre les incendies

- Lavage des rues

- Piscines, parcs, fontaines

f) Pertes

Essentiellement, ce sont des fuites :

- Fuites dans le système de distribution

- Fuites chez le consommateur (robinets qui fuient!)

g) Répartition de la consommation

Répartition AQTE - 1974

- Domestique 57%

- Commercial 8%

- Industriel 12%


21

- Collectif (usages public) 3%

- Pertes 20%

La consommation totale s'évalue en considérant les consommations par habitants, par surface etpar production, en évaluant le volume journalier ou annuel et en divisant par le nombred'habitants.

2.5.3 Facteurs affectant la consommation

- Pertes dans le réseau

- Installation de compteurs d'eau

- Types d'industries installées sur le territoire de la municipalité

- Qualité

- Coût

- Pression

- Importance de la ville

- Richesse de la population

- Climat

2.5.4 Variation de la consommation

En fonction des jours, des semaines et des mois, on observe une variation de la consommation,cette variation est d'autant plus forte que la période considérée est petite. Par exemple, laconsommation maximale d'un jour est de 180 % de la consommation moyenne journalièreannuelle alors que la consommation moyenne journalière dans une semaine maximale est de140 % de cette même consommation de référence. Pour le mois maximum, on obtient un facteurde pointe de 120 %.

Afin d'évaluer ce facteur de pointe "p" à appliquer à la consommation moyenne journalière àlong terme, on utilise la formule empirique de Goodrich:

p = 180t�0,1 %[ ] 2.17

où:

p: taux de consommation de pointe

t: temps en jours pour 2/24 < t < 360 jours


22

Cette formule s'applique à des municipalités de tailles relativement petites, car dans les grandes,les pointes sont diminuées par une plus grande diversité des activités.

La figure 2.4 donne un exemple de la fluctuation de la consommation dans une journée.

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

Date

Fig.

2.5 - Variation de la consommation dans une journée.

2.5.5 Besoins en eau pour la lutte aux incendies

Ce besoin en eau a des caractéristiques assez particulières en termes de volume et de débits. Eneffet, la quantité d'eau requise pour lutter contre les incendies est faible lorsqu'elle est répartie surtoute l'année. Cependant, cette demande se fait pendant une période de temps courte à un taux,ou débit, très élevé.


23

Selon le Service d'inspection des secours publics contre l'incendie (Bureau d'assurance duCanada), la demande varie selon le type de district ou de zonage, et le degré d'exposition auxincendies.

Le débit incendiaire s'ajoute à la journée de consommation maximale, ce qui représente environ150 % à 200 % de la consommation moyenne journalière. La valeur minimale à considérer pouréteindre un incendie est :

Q = 30 L/s pour une durée de 2 à 10 heures

Pour une ville de 250 000 hab. et plus, il faut envisager la possibilité de 2 grands feuxsimultanés.

Le guide du S.I.S.P.I1 fournit les renseignements nécessaires pour dimensionner correctement lesréseaux de distribution pour satisfaire adéquatement à la demande lors d'un feu. Lesmunicipalités qui ne rencontrent pas les normes de ce service peuvent être pénalisées par destaux d'assurances plus élevés.

L'évaluation des débits de feux, même s'ils sont concentrés sur une courte période, ont uneincidence importante sur le dimensionnement du réseau de distribution. Il faut en tenir comptedans les calculs suivants :

- Répartition des bornes d'incendies

- Capacité des systèmes de gicleurs

- Volume des réservoirs (réserve d'incendie)

- Capacité des stations de pompage

- Évaluation de la pression résiduelle

L'encadré qui suit reproduit les principales règles utilisées pour déterminer le débit de lutte àl'incendie, les formules et valeurs en système international ont été ajoutées par l’auteur.

1 Service d’inspection des secours publics contre l’incendie


24

CHAPITRE II

CALCUL DU DÉBIT D’INCENDIE

SELON LA MÉTHODE DE L’INSURANCE SERVICE OFFICE

© I.S.O. 1974

Nous faisons remarquer que cette méthode n’est présentée qu’à titre purement indicatif et qu’ilfaut une certaine connaissance des techniques de la sécurité incendie et de l’expérience dans ledomaine pour en tirer profit. Destinée principalement aux inspecteurs des secours publics contrel’incendie, elle peut également être utile aux fonctionnaires municipaux, aux ingénieurs conseil età toute autre personne concernée par la protection municipale.

Le débit d’incendie peut être défini comme la quantité et le débit d’eau nécessaires pourcirconscrire et maîtriser un ou plusieurs incendies éventuels dans un bâtiment ou un groupe debâtiments considérés comme faisant partie de la même zone d’incendie du fait de leur proximité,cette zone pouvant comprendre tout un pâté de maison.

- On peut évaluer le débit d’incendie nécessaire à une zone donnée par la formule suivante :

D =15C S [g.imp/min]

D = 3,728C S [L/s]

D étant le dénit d’incendie exprimé en gallons impériaux par minute (litres/s en SI);

C représentant le coefficient relatif au type de construction, à savoir :

1.5 pour une construction en bois, c’est-à-dire essentiellement combustible;

1 pour une construction ordinaire, c’est-à-dire à murs de brique ou demaçonnerie et intérieur combustible ;

0,9 pour une construction en gros bois d’œuvre ;

0,8 pour une construction incombustible, c’est-à-dire à ossature métallique nonprotégée ;

0,6 pour une construction résistant au feu, c’est-à-dire à ossature entièrementenrobée.

S représentant la surface de plancher totale, c’est-à-dire celle de tous les étagesdu bâtiment, à l’exclusion des sous-sols. Dans le cas de bâtiments deconstruction résistant au feu, ne tenir compte que de la surface totale des6 étages successifs les plus étendus si les communications verticales ne sontpas protégées et seulement de la superficie totale des 3 étages successifs lesplus étendus si elles le sont.

Le débit d’incendie ainsi déterminé ne doit pas excéder :


25

6 700 gal/min (510 L/s) pour une construction en bois,6 700 gal/min (510 L/s) pour une construction ordinaire,5 000 gal/min (380 L/s) pour une construction incombustible,5 000 gal/min (380 L/s) pour une construction résistant au feu.

Dans le cas d’un bâtiment à simple rez-de-chaussée, quel qu’en soit le type deconstruction, le débit d’incendie ne doit pas dépasser 5 000 gal/min (320 L/s).

Le débit d’incendie ne doit pas être inférieur à 400 gal/min (30 L/s).

Pour les maisons unifamiliales et les petites maisons pour deux familles, d’au plus deux niveaux,voir la remarque 10.

- Le résultat obtenu en 1 peut être réduit jusqu’à 25 % ou majoré d’autant selon qu’il s’agissed’affectation à risques faibles ou élevés. On trouvera en appendice des exemples de cesaffectations.

Le débit d’incendie ne doit pas être inférieur à 400 gal/min (30 L/s).

- Le résultat obtenu en 2 peut être réduit jusqu’à 50 % le cas de bâtiments entièrement protégépar des extincteurs automatiques. La réduction peut même atteindre 75 % pour lesbâtiments de construction incombustible ou résistant au feu et à l’affectation à risques trèsfaibles. La réduction accordée pour une installation d’extincteurs automatiques varie enfonction de la capacité de celle-ci à circonscrire un incendie. Normalement, elle n’atteindrale maximum que si l’installation, y compris le détecteur d’écoulement d’eau et les soupapes,est reliée à un service de surveillance reconnu.

- Il convient de majorer le résultat obtenu en 2 ci-dessus s’il existe des bâtiments dans unrayon de 150 pieds (46 m) de la zone d’incendie considérée. Cette majoration varie selon lahauteur, la superficie, le type de construction, l’éloignement, le nombre d’ouvertures, lalongueur des côtés menacés, l’affectation desdits bâtiments, et selon qu’il y a desextincteurs automatiques à l’intérieur ou à l’extérieur de ceux-ci et possibilité de propagationde l’incendie par des constructions situées à flanc de coteau.

La majoration pour un côté donné ne devrait généralement pas dépasser les pourcentagessuivants :

Éloignement Majoration

0 à 10 pieds (3,0 m) 25 %11 à 30 pieds (9,1 m) 20 %31 à 60 pieds (18,3 m) 15 %61 à 100 pieds (30,5 m) 10 %

101 à 159 pieds (45,7 m) 5 %

La somme des majorations pour tous les côtés constitue le pourcentage de majoration total,mais celui-ci ne doit toutefois pas excéder 75 %.

7- Le résultat obtenu en 2 ci-dessus est réduit du pourcentage déterminé à l’alinéa 3 et majoréde celui établi à l’alinéa 4, le cas échéant.

Le débit d’incendie ne doit être ni supérieur à 10 000 gal/min (760 L/s) ni inférieur à 400gal/min (30 L/s).

Remarque 1 : Cette méthode ne vaut pas forcément pour les chantiers de bois, dépôts et


26

raffineries de pétrole, silos à céréales et grandes usines de produits chimiques;toutefois, elle peut servir à déterminer un débit d’incendie minimum pour cesrisques.

Remarque 2 : Il faut faire preuve de discernement dans le cas des établissements industriels,commerciaux ou autres non mentionnés de façon précise.

Remarque 3 : Il faut tenir compte de la disposition du ou des bâtiments considérés et desconditions dans lesquelles les pompiers peuvent y accéder.

Remarque 4 : Les constructions en bois situées à moins de 10 pieds (3 m) doivent êtreconsidérées comme faisant partie de la zone d’incendie.

Remarque 5 : Les murs mitoyens pleins peuvent donner lieu à majoration de 10 %.

Remarque 6 : Bâtiments à simple rez-de-chaussée – Lorsqu’un bâtiment à simple rez–de-chaussée est aussi haut qu’un bâtiment d’un étage ou plus, le nombre deniveaux à intégrer dans la formule dépend de son affectation. Par exemple, unbâtiment à simple rez-de-chaussée d’une hauteur égale à celle de trois niveaux,dans lequel on fait du stockage de grande hauteur ou sur rayonnages, seravraisemblablement considéré comme une construction de trois niveaux et pourraen outre faire l’objet d’une majoration en raison de l’affectation. Par contre, s’ils’agit d’un atelier sidérurgique ayant une hauteur de trois niveaux à seule fin demanutentionner des pièces au moyen d’une grue, il sera probablement considérécomme un bâtiment à simple rez-de-chaussée et pourra même bénéficier d’uneréduction du débit d’incendie en raison de l’affectation.

Remarque 7 : Il convient habituellement de majorer le débit d’incendie lorsqu’il y a desbâtiments dans un rayon de 150 pieds (46 m) de la zone d’incendie considérée.

Remarque 8 : Là où existent des toits à bardeaux de bois susceptibles de propager l’incendie, ilfaut ajouter 400 gal/min.

Remarque 9 : Toute construction incombustible est censée donner droit au coefficient 0,8.

Remarque 10 :Habitations – Dans le cas de groupes de maisons unifamiliales ou de petitesmaisons pour deux familles d’au plus deux niveaux, on peut procéder brièvementcomme suit, les autres maisons d’habitation requérant la méthode ordinaire :

Éloignement Débits d’incendie recommandés

Plus de 100 pieds (30,5 m) 400 gal/min (30 L/s)de 31 à 100 pieds (9,4 m) 600 à 800 gal/min (61 L/s)

de 11 à 31 pieds (3,4 m) 800 à 1 200 gal/min (91 L/s)Au plus 10 pieds (3,0 m) 1 200 à 1 700 gal/min (129 L/s)

Dans le cas de constructions contiguës, le débit doit être d’au moins2 000 gal/min (152 L/s).

Voir aussi la remarque 8.


27

MÉTHODE À SUIVRE

• Déterminer le type de construction.

• Calculer la superficie du rez-de-chaussée.

• Déterminer le nombre de niveaux.

• Calculer le débit d’incendie nécessaire à 200 gal/min (15 L/s) près, à l’aide de la formule.

• Établir la réduction ou la majoration relative à l’affectation et modifier en conséquence lerésultat obtenu en D ci-dessus, sans arrondir.

• Déterminer, s’il y a lieu, la réduction relative à la protection par extincteurs automatiques,sans arrondir.

• Calculer la majoration totale relative aux constructions voisines, sans arrondir.

• Prendre le résultat obtenu en E, en soustraire celui obtenu en F et ajouter celui calculé en G.

Affectations :

Exemples d’affectations à risques faibles :

Asiles, bâtiments publics, bibliothèques, clubs, collèges et université, écoles, églises, hôpitaux,hotels, Immeubles à bureaux et d’habitation, maison d’hébergements, musées et prisons.

Exemples d’affectations à risque élevé :

Fabriques d’allumettes (!) d’objets en bois, en coton, de pièces pyrotechniques, hangard’avions,secteur pétro chimique (peintures, solvants, linoléum, etc).


28

Durée :

La durée d'un incendie est en général proportionnel à l'intensité de ce dernier. On considèrecomme des valeurs moyennes les données suivantes:

Débits d'incendie en L/s Durée en heures

645 10.00600 9.10550 8.20500 7.40450 6.60400 5.85350 5.05300 4.25275 3.85250 3.47225 3.07200 2.67150 2.00

Les formules suivantes peuvent aussi être utilisées:

D = 0,01319 Qi 150 � Qi � 190

D = 0,01583 Qi 190 � Qi � 568

D = 0,01319 Qi 568 � Qi � 645

où D est la durée en heure et Qi le débit d'incendie en L/s


29

Exercices

2.1 Quels sont les principaux services de l’hydraulique urbaine ?

2.2 En quoi le plan d’urbanisme peut-il être utile à la gestion de l’infrastructure de l’hydrauliqueurbaine ?

2.3 Sachant que depuis quelques décennies la population d'une petite municipalité (15 000 h.recensement 1985) double tous les 20 ans et que cette tendance semble vouloir se maintenir,évaluer sa population en l'an 2000. (P=25227)

2.4 a) Utiliser la méthode logistique pour prédire la population mondiale en 2 100.b) Par ailleurs, si on suppose que la Terre ne peut supporter plus de 11 milliards de personnes,évaluer sa population en 2 100.c) Comparer les deux résultats et commenter les différences.

2.5 Décrivez le bâtiment dans lequel vous habitez et évaluer le débit d’incendie nécessaire à ycombattre un éventuel incendie.

2.6 Pendant 2 périodes de 20 ans une municipalité voit sa population augmenter de 30000 à 172000puis de 172000 à 292000 hab. Trouver la population de saturation et l'équation de la courbelogistique.

2.7 Énumérer les facteurs influençant la consommation d'eau, commenter.

Chapitre 3 – Les ressources en eau disponibles

3.1 Introduction

On recherche toujours la meilleure qualité disponible et ce, en fonction du coût de revient, parexemple : si l'acheminement d'une eau éloignée de très bonne qualité coûte plus cher que letraitement d'une eau de moins bonne qualité à proximité, on choisit cette dernière solution.

Les qualités essentielles d'une eau de consommation sont celles d'une eau:

- Salubre : c'est-à-dire saine et qui contribue à la santé.

- Potable : soit propre à être bue, fraîche, incolore, inodore, aérée, légèrement minéralisée etexempte de matières organiques.

Au Canada, les normes et objectifs de l'eau potable sont édictées par le Ministère de la Santé etdu Bien-être.

3.1.1 Fiabilité des sources d'approvisionnement par ordre décroissant:

En fonction de la stabilité de la source d'approvisionnement et de la fiabilité du système decaptage, on peut classer les sources d'approvisionnement :

- Gravité souterrain, permanent, sure

- Gravité, réservoir

- Pompage, permanent, sure (fleuve)

- Pompage, réservoir

- Pompage, nappe

3.2 Les eaux souterraines

3.2.1 Types de nappes

Les surfaces libres de la table d'eau définissent des nappes libres.


31

Fig. 3.1 - Nappe libre entre deux vallées

Les nappes libres ont les caractéristiques suivantes :

- Circulation en terrain perméable

- Sans contrainte volumique

- Liberté de forme

Par exemple l'alimentation à partir de la surface par forage d'un puits sans traverser des couchesde sol imperméable et donc le niveau d'eau dans le puits se stabilise au même niveau que lasurface libre.

Les nappes captives sont, selon la configuration de la perméabilité du sol, caractérisé par laprésence d'une couche de sol perméable entre deux couches imperméables. L'eau emprisonnéedans la couche perméable est en général sous pression. et peut jaillir si l'on pratique un forage.C'est le cas du puits artésien.

K = 0

K = 0

Fig. 3.2 - Puits artésien

Il existe aussi des cas particuliers. À proximité de la mer, il faut tenir compte de l'interface eaudouce - eau salée dans le milieu perméable.


32

N

Eau douce

Eau salée

Île

Mer

Mer

hH

N ~~ h/30

Fig 3.3 - Nappe sur une île en milieu marin


33

3.2.2 Notions d'écoulement en milieu poreux

Expérience de Darcy

Q

A

Q

�h

Fig. 3.4 – Schéma de l’expérience de Darcy

Pour un débit constant sur longueur l, on observe une certaine perte de charge �h, si on fait

varier ce débit, à chaque nouveau débit constant on constate une perte de charge estproportionnelle au débit.

On définit alors le gradient hydraulique qui représente le taux de perte de charge par unité delongueur :

i =�h

l (3.1)

et la vitesse de filtration:

v =Q

A(3.2)


34

v

i

Fig. 3.5 - Variation du gradient hydraulique en fonction de la vitesse de filtration.

L'expérience de Darcy montre que la vitesse de filtration est directement proportionnelle augradient hydraulique, d'où:

v = K i (3.3)

ou encore :

Q = K i A (3.4)

avec le coefficient de proportionnalité K qui définit le coefficient de perméabilité [L/T]

Définitions utiles.

- Porosité totale

rapport du volume des vides par rapport au volume total

- Rétention spécifique

volume d'eau retenue par le sol; il est fonction du terrain, de la capillarité et del'absorption, elle est forte pour l’argile et faible pour les sables, graviers et calcaires

- Porosité efficace

c'est la porosité totale moins la rétention spécifique.

- Coefficient d'emmagasinement

on le définit comme le rapport du volume pouvant être extrait d'un sol poreux sur volumetotal de ce dernier.


35

Voici quelques exemples de valeurs de la porosité associée à celles du coefficient deperméabilité :

Sol Porosité Perméabilité (m/s)

Sable grossier 27% 3 x 10-3

Sable moyen 32% 5 x 10-4

Sable fin 34% 1 x 10-4

Silt 40% 2 x 10-6

Argile 50% � 10-8

3.2.3 Application de la loi de Darcy

Calcul de la ligne piézométrique

Considérons le schéma de la figure 3.6, où la position de la ligne piézométrique est définit par y.

R

Hdx

dyds

y

x

h

Fig.3.6 - Ligne piézométrique entre deux bassins

Il est nécessaire de faire des hypothèses avant d'appliquer la loi de Darcy:

- La loi de Darcy est applicable.

- Le gradient i est faible, ds�dx

- La vitesse verticale est négligeable (conséquence de 2)

- Le profil vertical de vitesse est uniforme, la vitesse horizontale est constante selon ladirection verticale.


36

Le gradient hydraulique s'écrit alors :

i =dy

ds�

dy

dx(3.5)

en régime permanent, le débit unitaire s'exprime:

q = K ydy

dx(3.6)

d'où, par séparation de variable:

q dx = K y dy�� (3.7)

en intégrant, on obtient:

q x = K y2 + C (3.8)

Ce qui est une forme parabolique en y. De plus, en introduisant les conditions aux limites :

y = h à x = 0 et y = H à x = R

on obtient la relation suivante :

q =K H 2 � h2( )

2R(3.9)

Cette relation nous permet, par exemple, d'évaluer le débit d'une galerie filtrante, parallèle à unerivière.

Fig 3.7 - Galerie filtrante la long d'une rivière.

L'équation de la ligne piézométrique peut alors s'écrire en fonction des seuls paramètresgéométriques h, H et R. En remplaçant q par l'expression précédente et en utilisant les conditionsaux limites, on obtient :


37

x =R( y2 � h2 )

H 2 � h2(3.10)

ou encore :

y =x

RH

2 � h2( ) + h

2 (3.11)

Puits en nappe libre

Q

r

R

�h

h

H

Fig. 3.8 - Puits en nappe libre.

À partir d'un pompage Q en régime permanent dans une nappe libre de hauteur H , nousobservons un rabattement �h, stabilisé à long terme (fig. 3.8). L'affaissement de la nappe estappelé cône d'affaissement et l’on définit par débit spécifique le rapport Q/�h et par rabattementspécifique, le rapport �h/Q.

Selon la loi de Darcy :

Q = (K i ) A (3.12)

où A est l'aire d'alimentation à une position x, équivalente à l'aire d'un cylindre circulaire derayon x et de hauteur y. Donc cette surface s'évalue par :

A = 2 � x y (3.13)

avec les mêmes hypothèses que précédemment, quant à l'applicabilité de la loi de Darcy::

Q = 2 K � x ydy

dx(3.14)

en séparant les variables et en intégrant :


38

Q

xr

R�� dx = 2 K � y dy

h

H�

Q ln(x)r

R

= 2 K �y2

2h

H

(3.15)

d'où, finalement :

Q =K � H 2 � h2( )

ln Rr( )

(3.16)

Le rayon R n'a pas de limite théoriquement définie en raison de la forme asymptotique du cône.En régime permanent toutefois, le rayon d'influence R est considéré comme l'endroit oùl'affaissement ou rabattement est négligeable. Le fait de ne pas connaître avec précision cettelimite n'a pas une influence forte sur la valeur du débit. En effet, le rapport R/r est peu sensiblepuisqu'il agit par son logarithme

En pratique on évalue le rayon d'influence par la formule de Sichardt:

R = 3000 H � h( ) K (3.17)

En logarithmes décimaux la formule du puits s'exprime par:

Q =K � H 2 � h2( )

2,303log1 0R

r( )(3.18)

c'est la forme originale de la formule du puits de Dupuit.

Discussion de la formule de Dupuit

- L'augmentation du diamètre du puits augmente la capacité en débit du puits. Cependantl’évaluation de cette augmentation ne peut se faire sans tenir compte de l’évolution de lahauteur piézométrique dans le puits ni du rayon d’influence.

- Le débit est directement proportionnel à la perméabilité.

- L'épaisseur H de la nappe augmente la capacité de pompage du puits.


39

Conditions d'exploitation d'un puits

Le débit de pompage ne peut être forcé au-delà d'une limite où il crée un écoulement tellementintense près du puits lui-même que les grains du sol les plus petits se déplacent vers les vides etainsi diminuent la perméabilité du sol à cet endroit. Il s'agit d'un colmatage irréversible. Sichardta établi la limite de la vitesse de filtration comme étant une vitesse critique à ne pas dépasser :

Vc =K

15m s[ ] (3.19)

Le débit critique se calcule en fonction du rayon du puits :

Qc =2� r hc K

15m3 s[ ] (3.20)

K étant en m/s et r et h en m.

Le débit critique peut être augmenté par l'augmentation proportionnelle du rayon du puits.

Si on porte en graphique la formule de Dupuit en mettant en relation le débit et le rabattement, etla condition de Sichardt, on visualise la zone d'exploitation.

Q

Q

H hh

Formule de Dupuit

Condition de Sichardt

Zone d'exploitation

c

c

Fig. 3.9 - Zone d'exploitation d'un puits.

En pratique, en prenant des précautions, on peut augmenter la perméabilité autour du puits endépassant Qc pour une courte période de temps. De par la nature des sols à granulométrie variée(fig. 3.10), on peut essayer d'entraîner les particules fines; il s'agit d'un pompage de formation.


40

Fig. 3.10 - Sol à granulométrie variée

Puits artésien ou en nappe captive

x

y

e

r

Ligne piézométrique

h

R

K=0H

Fig 3.11 - Puits en nappe captive

De même que précédemment pour les nappes libres, selon la loi de Darcy :

Q = (K i ) A (3.21)

Où A est l'aire d'alimentation à une position x, équivalente à l'aire d'un cylindre circulaire derayon x et de hauteur e, l'épaisseur de l'horizon poreux. Donc cette surface s'évalue par :

A = 2 � x e (3.22)

avec les mêmes hypothèses que précédemment, quant à l'applicabilité de la loi de Darcy :

Q = 2 K� x edy

dx(3.23)

en séparant les variables

Q

xr

R�� dx = 2 K � e dy

h

H�


41

Q ln(x )r

R

= 2 K � e yh

H

(3.24)

d'où, finalement:

Q =2 K � e H � h( )

ln Rr( )

(3.25)

Donc Q est directement proportionnel au rabattement (H - h). Dans la pratique cette formule estlimitée aux cas où:

H � h <H � e

4(3.26)

Les conditions de vitesse et de débit critiques et ce qui en découle restent les mêmes que pour lecas des nappes libres.

Évaluation des paramètres important d'une nappe aquifère

On définit la transmissivité d'une nappe par les produits :

� = K e, pour une nappe captive

� = K H, pour une nappe libre [L2/T]

C'est une mesure de diffusibilité de l'eau dans le sol. Si le rabattement (H - h) est faible laformule suivante s'applique en nappe libre dans toute la zone du cône de rabattement :

Q = 2,73�H � y

log1 0R

x( )(3.27)

en portant sur papier semi-logarithmique des mesures piézométriques H - y prises à des positionsx du centre du puits, on obtient le graphique de la figure 3.12.


42

10 10 10

Mesures piézométriques

(H - y)

�H

x210

Fig. 3.12 - Détermination du rayon d'influence, de la perméabilité et de la transmissivité à partir

de mesures piézométriques.

De la relation précédente, on tire :

� =Q log1 0

Rx( )

2,73 H � y( )(3.28)

dans un cycle logarithmique 10 - 100, log10(R/x )= 1 et la différence de hauteur piézométrique�H est mesurée à partir des valeurs correspondant respectivement à x =10 et x = 100, donc latransmissivité s'écrit :

� =Q

2,73�H(3.29)

la perméabilité devient donc:

K =�

H(3.30)

et le rayon d'influence R est lu sur le graphique à l'endroit où la droite logarithmique interceptel'abscisse.

Il est aussi possible de déterminer le coefficient K sur le terrain, à partir de deux mesurespiézométriques y1 et y2 prise en s'éloignant du puits à des positions x1 et x2 (fig. 3.14).


43

Des formules de puits, on tire :

- en nappe libre:

K = 0,733Q

log10x2

x1

�

��

�

��

y22 � y1

2( )(3.31)

- en nappe captive :

K = 0,366 Q

log10x2

x1

�

��

�

��

e y2 � y1( )(3.32)

H

y

xxxx

yy

y1

23

321

Fig. 3.13 – Positions et hauteurs piézométriques

Cas où la ligne piézométrique n'est pas horizontale

Il faut alors procéder à une analyse par réseau d'écoulement. Les techniques numériquesmodernes nous permettent d'établir un réseau d'écoulement dans des configurations géométriquesfort complexes. La figure 3.14 représente les résultats d'un tel calcul. L'interprétation desrésultats permet de déterminer les rabattements, à partir des équipotentielles et le débit selon leslignes de courant.


44

Puits

Direction générale de l'écoulement

Ligne de charge

Ligne de courant

Fig. 3.14 - Modèle numérique d'écoulement d'un puits dans une nappe libre en mouvement.

3.2.4 Étapes de l'étude d'une source souterraine

Deux principaux aspects sont à considérer : la qualité de l'eau souterraine et sa quantitédisponible. Il est nécessaire dans ce cas de veiller à ce que la qualité naturelle de l'eau soitconservée. On devra donc détecter à tout prix, la présence de tout contaminant éventuel, envérifiant l'origine des eaux et en prévoyant des mesures de protection.

Avant tout captage, on procédera à des études sur cartes, sur le terrain et à des observations delongue durée. Nous donnerons ici un résumé de ces principales études dans les cas d'une nappecaptive et d'une nappe libre.

Cas d'une nappe captive

À partir de cartes topographiques et géologiques, on procédera à l'analyse des points suivants :

- Détermination de l'aire de recharge en fonction de l'altitude du point d'émergence et desinformations sur la nature géologique du sous-sol.

- Repérage des points de contact du milieu poreux avec la surface.

- Détermination du sens de l'écoulement avec l'examen des coupes géologiques.

Sur le terrain, on recherchera principalement les causes éventuelles de contamination :


45

• Les gouffres et les crevasses sont des lieux propices aux points de contact entre les eauxsouterraines et les eaux de surface.

• Eaux usées (méthodes d'épuration, fosses septiques, établissements industriels)

• Exploitations agricoles et forestières (pesticides, purins)

• Dépôts de déchets

Parmi les observations à effectuer, on compte tout d'abord les observations préliminaires demode d'émergence, de température et les analyses d'échantillons. À plus long terme, on peut,dans le cas d'une source, mesurer le débit avec un déversoir à crête et procéder à des mesures derésistivité et de température. Ces dernières mesures sont utiles pour déterminer la présence depoints de contact avec l'eau de surface. En effet, les variations de température reflètent un courtséjour en milieu poreux et, les eaux de surface étant peu minéralisées, une augmentation de larésistivité permet de découvrir leur présence. Des observations en périodes sèches et humidespermettent de quantifier les cas extrêmes.

L'étude du périmètre d'alimentation devra se faire en connaissant le patron d'écoulement, incluantd'autres sources ou captages. Les traceurs sont fort utiles dans ce cas. On emploie généralementdes colorants, come la fluorescéine. On utilise aussi des traceurs radioactifs dont on connaît lademi-vie ; en voici quelques exemples :

Élément Demi-vie

Br32 36 h

I131 8 d

Cr51 27,8 d

Tritium 12,26 ans

Cas d'une nappe libre ou gisement

On détermine d'abord, sur cartes, la puissance ou l'étendue de la nappe de façon à déterminer lesemplacements possibles d'ouvrages de captage. Sur cartes topographiques et géologiques, onrelèvera les informations suivantes:

- Le contour de l'horizon géologique qui renferme la nappe.

- Le réseau hydrographique, sa densité augmente avec le ruissellement.

- Le périmètre d'alimentation.

- Les fissurations et le pendage des couches.


46

Sur le terrain, on construit des puits de reconnaissance en mesurant les débits, les rabattements etla qualité de l’eau. Si les informations sur cartes sont insuffisantes, on effectue des forages pourdéterminer l'épaisseur des couches et la granulométrie. On procède aussi à l'installation depiézomètres.

Avant tout captage, il est important de relever les niveaux piézométriques dans les puits,piézomètres et ouvrages existants. On effectue alors un essai de pompage de huit à dix jours (unmois pour les nappes étendues) de façon à déterminer les perméabilités en place, lestransmissivités et le rayon d'influence. Si le nombre de stations de mesures le permet, on trace leslignes iso-piézométriques dont les lignes de faîtes déterminent le contour d'alimentation àl’intérieur duquel on applique la valeur de la précipitation moyenne annuelle en tenant compte ducoefficient d'infiltration pour évaluer la capacité de recharge.

Les zones de transmissivité maximale sont propices à l'implantation d'un puits.

On ne doit pas oublier de vérifier dans le périmètre d'alimentation la présence de sources réellesou potentielles de contaminations.

Sur le plan des observations longue durée, il est difficile de les réaliser en raison del'instrumentation immobilisée à long terme. On essayera tout de même de prendre des mesuresen périodes sèche et humide. Les observations météorologiques connues sur des périodesétendues pourront être corrélées avec les mesures de l'étude sur le terrain.

Autres méthodes d'études

- Géophysique :

Étude morphologique du substratum.

- Prospection électrique

Mesure de la résistivité, fonction de la quantité d'eau et de la minéralisation pourun type de sol.

- Sismique – réfraction

Étude de la propagation d’onde mécanique (chocs) dans le sols. La nature des solsétant reliés à leur indice de réfraction, les changements de direction de l’ondepermettent de se renseigner sur la nature des couches souterraines.

- Modèles numériques

Les modèles numériques permettent d’intégrer toutes les données morphologiquesconnues et d’y associer les règles de base de l’écoulement (loi de Darcy, équationde transport) et de simuler le comportement d’un prélèvement ou d’une source decontamination.


47

3.2.5 Ouvrages de captage

Sources (pas de pompage) :

- Galerie à flanc de coteau, la longueur est déterminée par le débit à fournir.

- Aménagement d'un pavillon sur une source émergente.

Nappes (pompage) :

- Construction de puits.

Les courbes de comportement du puits nous nous permettent d’évaluer son débit d'exploitation etson efficacité. On trace en général les courbes débit - rabattement (fig. 3.15) ou de remontée (fig.3.16). Le débit maximum d'exploitation est défini, après un pompage de formation pour remonterles particules libres, comme étant la limite de la proportionnalité linéaire entre le débit Q etl'affaissement �.

Q [m 3/h]

100 200 300 400

2

4

6

8

10

� =

H -

h [

m]

moyen

très bon

limites d'exploitation

Fig. 3.15 - Courbes Q-�


48

4 8 12 16 20 24 28

2

4

6

8

10

12

bon

moyen

� =

H -

h [

m]

Temps [h]

Fig 3.16 - Courbes de remontée.

Le vieillissement est un phénomène de colmatage qui survient tôt ou tard dans tout ouvrage enraison de la migration de grains fins. On peut cependant raisonnablement espérer une vie utile deplusieurs dizaines d'années. On veillera absolument à ne pas dépasser les possibilités de rechargede la nappe. Enfin un pompage régulier sera, en général, préférable à des variations brutales de lademande en débit.

3.3 Les eaux de surface

3.3.1 Qualité

Règle générale, la qualité de l’eau de surface est moindre que celle des eaux souterraines. Eneffet, elles sont soumises à la possibilité d’une dégradation naturelle causée par :

• Le transport solide

• Les minéraux dissous, bien que l’eau soit moins dure que les eaux souterraines

• La matière organique naturelle

En rivière, la qualité est en général meilleure à l'amont qu'à l'aval. À l'amont, l'eau peut être plusturbide ce qui est facile à contrôler en raison de l'origine minérale de cette turbidité. Par contre,surtout en région montagneuse, elle est plus pure et froide. En aval, le contact avec des zoneshabitées et exploitées favorise les risques de pollution.

En lac ou réservoir, la turbidité est faible car la décantation y est favorisée. Par contre lapossibilité de stratification thermique, chimique et biologique rend la qualité variable sur uncycle annuel.


49

En résumé, les eaux de surface sont plus exposé à la dégradation naturelle et à la pollution liéeaux activités humaines. Pour cette raison, il sera généralement nécessaire de prévoir untraitement sous forme de filtration et de désinfection.

3.3.2 Quantité

La quantité disponible est variable ou constante selon le cycle hydrologique en fonction du débitque l'on veut prélever. L'étude des quantités disponibles doit se faire en tenant compte desparamètres suivants:

• Météorologie

• Hydrologie

• Géologie

• Topographie

• Exploitation humaine des ressources

Contrairement au cas des eaux souterraines, le domaine d'étude est clairement défini ; c'est lebassin versant:

Il est déterminé par la topographie des lieux, les pentes déterminent le volumed'emmagasinement du bassin et en combinaison avec le régime du débit, la formation du réseauhydrographique. Les faibles pentes favorisent la rétention des eaux de surface. En fonction de lanature des sols, l'infiltration joue un rôle important.

En fonction de la nature de l'écoulement, la quantité d'eau disponible sera:

- En régime non régularisé: le débit disponible sans pénurie, sera le plus bas débitd'étiage.

- En régime régularisé: naturellement (lac) ou par des ouvrages de rétention, le débitdisponible sera de 75% à 90% du module.

Si on envisage la construction d'un réservoir de rétention, on doit considérer son volume de tellesorte que l'on puisse y puiser la demande durant les périodes où le régime naturel est inférieur àla demande. On doit de plus prendre en considération les pertes de capacité par évaporation,fuites ou sédimentation.

Le calcul du réservoir se base sur les connaissances accumulées du régime hydrologique dubassin. L'étude statistique des extrêmes permettent de déterminer les probabilités d'occurrence depénurie en fonction du volume du réservoir.

On utilise fréquemment la courbe de masse pour déterminer le volume du réservoir.(Fig. 3.17)


50

demande

volume du réservoir

t (ans)71 72 73 74 75

Déb

it c

umul

é m

3

Fig. 3.17 - Courbe de masse

3.3.3 Captage des eaux de surfaces

Le captage des eaux de surface comporte les inconvénients et les avantages suivants :

a) Inconvénients :

- Température variable

- Composition chimique variable

- Contamination et pollution

- Vulnérabilité aux sécheresses

b) Avantages :

- Possibilité de rétention, sûreté de débit

- Facilité de captage

En cours d'eau, on situe les prises d'eau de façon à assurer la stabilité de la qualité et des rejets dematières polluantes. En zone estuarienne, on doit se préoccuper des inversions de courant.

En régime hivernal, il faut se préoccuper du frasil. Puisque le frasil a tendance à se générer dansles zones turbulentes de l’écoulement, on préférera placer la prise d’eau loin de ces zones.Malgré tout, le risque d’ingestion de frasil persiste et les dangers de colmatage des grilles estbien réel. Il faut prévoir des dispositifs de déglaçage. Les plus courants sont :


51

- Le chauffage électrique des parties submergées.

- L’injection d’eau plus chaude provenant de l’eau souterraine par exemple.

- La formation de rideaux de bulles d’air

1 m min.

1,2 m min

niveau maximun

nivieau minimum

conduite

pompe

prise d'eau

réservoir d'eau brute

grill

e ou

tam

is

Fig 3.18 – Prise d’eau en rivière

En lac et en réservoir, la prise d'eau doit tenir compte des possibilités de stratification causée parla variation de la densité de l'en fonction de la température.(Fig. 3.19).

0 4 T (°C)

�

Fig. 3.19 - Variation de la densité de l'eau en fonction de la température.

En hiver, la température de l'eau atteint en surface, le point de congélation, en saisonsintermédiaires, le vent favorise le brassage et en été il forme en surface une couche chaude (Fig.3.20) Les couches chaudes et froides restent en surface en raison de leur plus faible densité. Cettestratification a une incidence sur la composition de l'eau. En surface, l'eau est éclairée et la floreconsomme du CO2 pour produire de l'O2, cependant, la faune, en profondeur, s'alimente en O2

pour rejeter du CO2, il en résulte une stratification de la composition.

Le brassage des eaux peut faire apparaître des eaux de qualités différentes. On a alors recours àdes prises d'eau à plusieurs niveaux.


52

Mentionnons aussi le danger d'eutrophisation ou appauvrissement en oxygène du réservoir ou dulac par surconsommation par la matière organique en provenance des égouts.

4 T °C0

pro

fond

eur

4 T °C0

pro

fond

eur

4 T °C0

pro

fond

eur

hiver Printemps- automne été

Fig. 3.20 - Profils verticaux de température en lac, selon les saisons.

Afin de pouvoir capter une eau de qualité adéquate en fonction de la saison, on aménage desouvertures à différentes élévations que l’on peut ouvrir ou fermer selon les besoins.

1 m min.

niveau maximun

nivieau minimum

conduite

pompe

prise d'eau

réservoir d'eau brute

grill

e ou

tam

is

Fig. 3.21 – Prise d’eau en lac ou en réservoir

La conduite qui relie le réservoir d’eau brute à la prise doit avoir un diamètre qui autorise unevitesse d’écoulement en opération de 0,9 à 1,2 m/s sans tomber en deçà de 0,6 m/s ni dépasser1,9 m/s.

3.4 Autres ressources

Mentionnons les processus de dessalement de l'eau de mer. Les différentes techniques,consommant de fortes quantités d'énergie, sont


53

- La distillation

- L'électrolyse

- Les résines échangeuses d'ions

- Les membranes osmotiques.

Les pays du Golfe persique, notamment l'Arabie Saoudite, utilisent ces techniques, faute desources d'eau douce suffisantes.

Quelques expériences ont aussi été réalisées dans le domaine du transport d'icebergs.


54

Exercices

3.1 Classifier les sources d'approvisionnement par ordre de fiabilité, expliquer.

3.2 De quels facteurs dépend la quantité d'eau disponible à une source d'approvisionnement desurface ?

3.3 Dans tous les cas d'approvisionnement à une source souterraine, quel est le facteur le plusimportant à considérer ?

3.4 Déterminer le débit d'un puits en nappe captive compte tenu des informations suivantes:- Différence de hauteurs piézométriques de 2,5 m entre deux piézomètres situés

respectivement à 10 et 30 m du centre du puits.- Épaisseur de la nappe de 30 m.- Coefficient de perméabilité de 0,01 m/s.

3.5 Déterminer le coefficient de perméabilité dans une nappe captive si les lectures à partir du niveaustatique dans deux piézomètres situés respectivement à 20 et 150 m du puits sont, dans l'ordre

3,3 et 0,3 m. L'épaisseur de la nappe est de 30 m. et le débit est de 0,2 m3/s.

3.6 Faire un calcul approximatif du débit d'un puits en nappe libre sachant que son rabattement estde 5,5 m, son rayon de 30 cm et que la position initiale de la nappe avant pompage était de 12 mau-dessus du roc. Le milieu poreux considéré a un coefficient de 2x10-4 m/s.

3.7 Un puits de 1 m de diamètre a été foré pour capter une nappe libre, le roc se situe à 50 m sous lasurface piézométrique.

a) Des piézomètres situés respectivement à 10 et 30 m du puits indiquent des rabattementsde 1,25 et 0,75 m pour un pompage à 10 l/s, déterminer le coefficient de perméabilité. (K =0,00007 m/s)

b) Quel pourrait-être le débit maximun de ce puits? (Q = 0,052m3/s)

3.8 Expliquer ce que peuvent nous apprendre la courbe de remontée et la courbe de puits en ce quiconcerne l'exploitation d'un puits.

3.9 Expliquer les facteurs à considérer lors de l'implantation d'une prise d'eau en lac ou en réservoir.Dire quelle solution peut être envisagée pour son opération.(voir notes de cours)

3.10 Expliquer de quoi dépend l'évaluation de la quantité d'eau disponible dans le cas d'une sourced'approvisionnement en eau de surface. Quels débits devrait-on considérer en fonction de larégularisation du cours d'eau pour assurer une alimentation fiable? (voir notes de cours)

3.11 Un puits de 50 cm de diamètre est foré dans une nappe captive, l'épaisseur de l'horizon poreuxest de 20 m. Lors d'un pompage d'essai à 0,6 l/s, on observe des rabattements de 2,25 m dans lepuits et de 1,75 m dans un piézomètre situé à 15 m du puits. Estimer le coefficient de


55

perméabilité du sol et vérifier si la vitesse critique à la surface d'alimentation du puits n'est pasdépassée.( K =4 �10�5 m/s, V< Vc)

3.12 Une municipalité compte 15 000 habitants en 1988, sa population tend à plafonner et on estimeque, en raison de la dimension de son territoire, il est possible d'atteindre 22 000 habitants.Sachant que 20 ans auparavant, sa population atteignait 8000 habitants et que sa consommationglobale unitaire est stable à 375 l/hab.d, on se demande si l'installation d'alimentation en eaupotable sera toujours suffisante. La ressource en eau est située en nappe libre et elle est captée aumoyen d'un puits de 50 cm de rayon. La charge piézométrique disponible est de 30 mètres et lecoefficient de perméabilité est de 0,0003 m/s. On demande :

a) la production d'eau potable annuelle totale actuelle,(Vol = 2 053 125 m3)b) sachant que le rayon d'influence est de 500 m pour le débit actuel, de calculer lerabattement, (H-h = 9,44 m)c) d'évaluer la vitesse de filtration à proximité du puits, (V= 0,001 m/s)

Chapitre 4 - Adduction des eaux

4.1 Introduction

On définit par adduction des eaux le transport des eaux brutes (non traitées) des zones de captageaux zones d'utilisation. Cette définition n'est pas absolue car les systèmes d'adduction peuventparfois transporter de l'eau traitée comme c'est le cas pour la ville de Québec. Toutefois, dans laplupart des cas, lorsque les distances à parcourir sont assez longues, on se limite à transporter del'eau brute.

L'exemple de système d'adduction de grande envergure reste certainement celui de l'état deCalifornie. En effet, dans cette région 70 % des ressources en eau sont situées au nord alors queplus de 77 % de la consommation se trouve au sud. Ce vaste complexe comprend les élémentssuivants :

• 1 065 Km d'aqueducs

• 16 réservoirs

• 5 milliards de KWh de production

• 1 barrage de 213 m de hauteur de chute

• Un système d'élévation de 610 m pour le passage d'un col.

• 105 Km de canaux à ciel ouvert.

• De nombreux tunnels.

4.2 Types d'aqueducs

Les aqueducs peuvent être des conduites en charge, des canaux ouverts et des tunnels ougaleries. Le choix entre ces diverses solutions est essentiellement économique, il s'agit dedéterminer la configuration la plus rentable eu égard aux éléments suivants :

• Topographie

• Charge hydraulique disponible

• Méthodes de construction

• Coût initial et d'exploitation

• Qualité de base de l'eau


57

• Contamination lors du transport

Canaux à surface libre

C'est une méthode de transport à pression atmosphérique, le gradient hydraulique est égal à lapente de la surface libre. Son choix est déterminé par :

• Une topographie permettant un écoulement gravitaire avec excavation et remblayageminimum.

• Une hauteur de chute hydraulique suffisamment faible pour permettre de garderl'écoulement en régime fluvial.

Ces installations doivent être étanches pour éviter la contamination et les fuites. On construitdonc en béton ou en bitume en utilisant des écrans d'étanchéité en butyle, en vinyle ou en toilessynthétiques. Ceci offre l'avantage de la résistance à l'écoulement. Certains canaux, posés sur lesol ou surélevés, sont construits en bois, béton ou acier.

Conduites

Elles servent à transporter l'eau sous pression. On les utilise généralement lorsque la topographiene permet pas de faire des canaux et que les hauteurs de chutes sont élevées. Construites en bétonprécontraint, en acier, en fonte ou en fibrociment d'amiante, elles sont soit enterrées soit poséessur le sol. Un aqueduc constitué en tout ou en partie nécessite l'utilisation d'un grand nombred'équipements annexes :

• Vannes de cantonnement

• Clapets non - retour

• Soupapes de purge (points hauts)

• Drains de vidange (points bas)

• Équipements contre les coups de bélier

• Joints d'expansion

• Joints d'étanchéité

• Trappes de visite

• Stations de pompage

Tunnels

Ils permettent la traversée de montages et de cours d'eau, ils peuvent fonctionner à surface libreou en charge. Leur faisabilité est liée à la qualité du roc.


58

4.3 Considérations hydrauliques

Comme il s'agit de transport d'eau claire, les relations courantes d'écoulement en charge ou àsurface libre sont donc utilisées.

4.3.1 Écoulement en charge

Formule de Hazen-Williams

Surtout utilisée en Amérique du Nord, cette formule s'écrit :

V = 1,318 C R0,63

S0,54 (4.1)

avec :V : Vitesse en pied/sC : Coefficient d'écoulement (sans dimension)R : Rayon hydraulique en piedS : = h/L, pente de la ligne d'énergie, rapport de la perte de charge h sur la longueur L

La version en système international s'écrit :

V = 0,8492 C R0,63

S0,54 (4.2)

avec V en m/s et R en m.

Dans le cas d'une conduite circulaire, on obtient une formule de débit :

Q = 0,4322 C D2,63 h

L( )0,54

[S.A.] (4.3)

Q = 0,2785 C D2,63 h

L( )0,54

[S.I.] (4.4)

avec D, le diamètre de la conduite respectivement en pieds ou en mètres. Le tableau 4.1 présenteun programme sur calculatrice HP 11C pour évaluer n'importe quel des quatre paramètres Q, D,h et L à partir de trois autres connus.

Le coefficient d'écoulement d'Hazen-Williams est directement proportionnel au débit et dépendde la rugosité de la conduite, qui peut varier avec l'âge de cette dernière, en voici quelquesexemples types :

Matériau C

Fonte neuve 130

Fonte (5 ans) 120


59

Fonte (20 ans) 100

Béton 130

Acier neuf 120

Ciment d'amiante 140

Chlorure de polyvinyle 150

Formule de Darcy-Weisbach

La perte de charge et l'écoulement peuvent aussi se calculer de façon plus précise avec la formulede Darcy - Weisbach dans laquelle, contrairement à la formule précédente, le coefficient defrottement varie en fonction du régime hydraulique caractérisé par le nombre de Reynolds :

h =f L

D

V 2

2g(4.5)

ou encore, pour les conduites circulaires :

h =8 f L

� 2g D5Q

2 (4.6)

avec g, la gravité et f, le facteur de frottement. Cette formule est homogène sur le plan des unités,le facteur f peut être déterminé sur le diagramme de Moody ou encore par la formule deColebrook :

1

f= �0,86 ln

� D

3,7+

2,51

Re f

�

��

�

�� (4.7)

avec , la rugosité absolue et le nombre de Reynolds :

Re =V D

�

où � est la viscosité cinématique du fluide, pour l'eau à 20 °C, � = 1,01 � 10-6.

Les pertes de charge locales sont généralement faibles dans les systèmes de transport, on ne lesconsidère que si elles sont significatives.


60

Pertes de charges locales

Lorsqu’elles sont significatives, on doit prendre en compte les pertes de charge locales. C’estparticulièrement le cas pour les singularités comme les robinets-vannes dont la perte sert àajuster le débit tout en préservant une pression résiduelle.

La perte de charge singulière s’écrit :

h = Cl

V 2

2g(4.8)

ou encore, pour les conduites circulaires :

h =8Cl

� 2g D4Q2 (4.9)

où C l est un coefficient déterminé expérimentalement qui dépend de la géométrie de lasingularité comme, par exemple, la forme de l’ouverture d’une vanne.

Diagramme d’énergie

Rappelons que dans tout système en charge, l’équation de Bernoulli s’applique entre deux pointsA et B :

PA

�+ zA +

VA

2

2g=

PB

�+ zB +

VB

2

2g+ �H (4.10)

où :P : Pressionz : ÉlévationV : Vitesse� : Poids volumiqueg : Accélération gravitationnelle�H : Perte de charge entre A et B

À partir de ce principe de conservation d’énergie, il est possible de tracer des diagrammesd’énergie pour représenter la répartition de pression, de hauteur piézométrique, d’énergie devitesse (cinétique) et de perte de charge tout au long d’un circuit hydraulique en charge.

Illustrons cet aspect par quelques exemples :


61

a) Conduite de diamètre variable entre deux réservoirs.

A

B

V2

2g

V2

2g

P�

P�

z

z

ligne d'énergie

ligne piézométrique

�H

Dans cette configuration, on peut évaluer le débit qui passe d’un réservoir à l’autre en utilisantl’équation de Bernoulli (eq.4.10). Sachant que la charge dans le réservoir du côté A est :

H A =PA

�+ zA +

VA2

2g

et que, pareillement pour le côté B :

HB =PB

�+ zB +

VB2

2g

on obtient :

H A � HB = �H

La perte de charge totale est composée la perte par frottement dans la première conduite delongueur L1 et diamètre D1, la perte par frottement dans la deuxième conduite de longueur L2 etdiamètre D2 et la perte singulière dans le rétrécissement :

�H =8

� 2g

f L1

D1

5+

f L2

D2

5+

Cl

D2

4

�

��

�

��Q

2


62

d’où :

Q = �g H A � HB( )

8f L1

D1

5+

f L2

D2

5+

Cl

D2

4

�

��

�

��

b) Conduite entre deux réservoirs avec vanne de réglage du débit.

V2

2g

V2

2g

P�

P�

z

z

ligne d'énergie


�H

En raisonnant de la même façon qu’en b) on trouve :

�H =8

� 2g

f L

D5+

Cl

D 4

�

��

��Q

2

d’où :

Q =�

D2

g HA � HB( )

8f L

D+ Cl

�

��

�

��

Dans un robinet – vanne, le coefficient varie de près de zéro à l’infini.

c) Conduite entre un réservoir et une sortie l’air libre.


63

V2

2g

V2

2g

P�

z

z

ligne d'énergie


�H

Ici puisque l’écoulement sort en B à la pression atmosphérique, Pb = 0 et Vb est inconnu (commeon n’arrive pas dans un réservoir dont le niveau est connu, le niveau de charge nette est inconnu).On écrit alors :

H A � zB +VB

2

2g

�

��

�� = �H

En posant :

V2 =Q2

A2

avec, pour une conduite circulaire :

A=�D2

4

Il vient :

HA � zB =8

� 2g D41+

f L

D

�

��

�

��Q

2

finalement :


64

Q = � Dg HA � zB( )

8 1+f L

D

�

��

�

��

Conduites en série et en parallèle

Bien souvent, avant de faire l'analyse d'un réseau, il est nécessaire de le simplifier en regroupanten série ou en parallèle un certain nombre de conduites pour former des conduites équivalentes.

Pour les conduites en série:a) La perte de charge totale est égale à la somme des pertes de charge de chaque conduite :

hT = h1 + h2 +K + hj (4.11)

b) Le débit est le même pour toutes les conduites :

QT =Q1 = Q2 =K = Qj (4.12)

c) La perte de charge est liée au débit par une relation du type :

h = R Qn (4.13)

où le coefficient R est la résistance de la conduite. Cette résistance ne dépend que des propriétésde la conduite c’est-à-dire la rugosité, le diamètre et la longueur.

Avec la formule de Darcy-Weisbach, on a :

R =8 f L

� 2g D5 et n = 2

Pour la formule de Hazen-Williams, on a :

R =1

CHW�

�

��

��

1,85L

D 4,87 et n = 1,85

� est le coefficient d'unités (� = 0,2785 (S.I.), � = 0,4322.(S.A.)).Donc, en introduisant l'expression (4.13) dans (4.11) on obtient :

Re QT

n = R1 Q1n + R2 Q2

n +K + Rj Qj

n

d'après (4.12) :

Re QT

n = R1+ R2 +K + Rj( )QT

n

d'où:

Re= R1 + R2 +K+ Rj


65

Donc pour des conduites en série, la résistance équivalente s'exprime comme la somme desrésistances de chaque conduite :

Re = Rii=1

j

� (4.14)

Pour les conduites en parallèle :a) Le débit total est égal à la somme des débits de chaque conduite:

QT =Q1 +Q2 +K +Qj (4.15)

b) La perte de charge est la même pour toutes les conduites:

hT = h1 = h2 =K = hj (4.16)

c) Le débit est lié au à la perte de charge par une relation du type:

Q = K hm (4.17)

où K est la conductance de la conduite. La conductance est liée à la résistance par la relation :

K =1

Rm

avec m = 1/n.

Donc, en introduisant l'expression (4.17) dans (4.15) on obtient:

Ke hT

m = K1 h1m + K2 h2

m +K + Kj hj

m

d'après (4.16):

Ke hT

m = K1 + K2 +K + Kj( )hT

m

d'où:

Ke = K1 + K2 +K + Kj

Donc pour des conduites en parallèle, la conductance équivalente s'exprime comme la sommedes conductances de chaque conduite :

Ke = Kii=1

j

� (4.18)


66

4.3.2 Écoulement à surface libre

Formules d’écoulement

La formule de Manning est certainement la plus utilisée pour calculer l'écoulement à surfacelibre en régime permanent uniforme dans les cas où la pente est inférieure à 10% :

V =1

nRh

23 S

12 [S.I.] (4.19)

V =1,49

nRh

23 S

12 [S.A.] (4.20)

avec n, le coefficient de frottement de Manning, Rh le rayon hydraulique et S la pente d’énergiequi est parallèle à la pente du fond pour un écoulement uniforme. Le tableau suivant proposequelques valeurs typiques du coefficient de Manning :

Matériau n

Béton 0,013

Brique 0,016

Tôle ondulée 0,022

Béton bitumineux 0,015

CPV 0,009

PEHD 0,012

La formule de Chézy est aussi fréquemment utilisée :

V = Ch RhS (4.21)

Le coefficient de Chézy Ch est lié à celui de Manning par la relation :

Ch =1

nRh

16 (4.22)

En Europe, on se sert aussi beaucoup de la formule de Bazin, qui donne le débit, pour unécoulement permanent uniforme à surface libre, par l'expression suivante :

Q = A87 Rh S

1+�

Rh

(4.23)


67

où A est la section d'écoulement et � le coefficient de frottement compris généralement entre 0,12et 0,16.

La notion de hauteur normale est aussi importante car elle permet d’établir les conditionsd’écoulement pour un débit donné. En introduisant une formule d’écoulement dans l’expressiondu débit, on obtient une relation dont seule la hauteur d’écoulement est connue. Avec l’équationde Manning, on a :

Q = AV =A( yn )

nRh( yn )

23 S

12

La résolution de cette équation non linéaire nécessite souvent l’utilisation de méthodesnumériques.

Par ailleurs, dans le but d’optimiser les dimensions de la section d’écoulement du canal, il fautmaximiser le rayon hydraulique en considérant que la forme de la section reste constante, donc àminimiser le périmètre mouillé. Il s’agit d’une optimisation sous contrainte que l’on peuteffectuer grâce à la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Soit y, la hauteur d’écoulement et b, une largueur de la section d’écoulement. On pose lafonction à optimiser :

F = P + ��

avec le périmètre mouillé P = f1(b, y) et la contrainte� = f2(b, y) � A = 0.

On écrit le système suivant

�F

�b=�P

�b+ �

��

�b= 0

�F

�y=�P

�y+ �

��

�y= 0

On élimine � du système et on obtient une relation entre b et y qui nous indique la proportion deces paramètres à respecter pour obtenir la section d’écoulement la plus efficace.

4.3.3 Stations de pompage

Les installations de pompage à plusieurs pompes seront vues au chapitre 7. Pour l’instant, nousconsidérerons une équation liant le débit à la hauteur d’élévation, c’est la courbe de pompe.Afin de satisfaire approximativement le comportement d’une pompe ou d’un groupe de pompes,nous donnons à cette relation une forme quadratique valide uniquement pour Q > 0.

hp = h0 + BQ + CQ2 (4.24)

où :hp : Hauteur d’élévation


68

h0 : Hauteur de coupureB : CoefficientC : Coefficient

Notons que, lorsque cette équation sera couplée à un circuit hydraulique, il faudra considérer Hp

comme une perte de charge négative, c’est-à-dire comme un gain de charge.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

100.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

débit, Q

gai

n de

char

ge,

h

pompe

perte de charge

Fig. 4.1 – Courbe de pompe typique

La courbe des pertes de charge exprime la variation de la perte de charge en fonction du débit.Elle contient la hauteur statique et la somme des pertes de charge qui dépendent du débit :

h =hs+ hi(Q)i

� (4.25)

où :hs : Hauteur statiqueh : Charge totale à relever en fonction du débithi : Pertes de charge par frottement et localesQ : Débit

Le point de fonctionnement (h,Q) est le point d’intersection qui satisfait simultanément lacourbe de pompe et la courbe des pertes de charge.


69

Exemple

Une pompe est utilisée pour pomper l’eau d’un réservoir vers un autre, en faisant l’hypothèseque les niveaux des réservoirs restent constants, établir le point de fonctionnement

hp

h2

hs

h1

1

2

La courbe de pompe est donnée par :

hp = h0 + BQ + CQ2

La courbe des pertes de charge est donnée par :

h =hs+ hi(Q)i

�

avec , en utilisant la formule de Darcy-Weisbach, hi =8 f iLi

� 2gDi

5Qi

2 = RiQi

2

Le point de fonctionnement s’établit pour h = hp, d’où :

hs + R1 + R2( )Q2 = h0 + BQ + CQ2

en regroupant les termes :

R1 + R2 �C( )Q2 � BQ + hs � h0 = 0

La solution est donnée par la racine valide de :


70

Q =B ± B2 � 4 R1 + R2 �C( ) hs � h0( )

2 R1 + R2 �C( )

qu’il suffit de porter dans l’une des équations des courbes pour obtenir la hauteur pompée.


71

Tableau 4.1 - Formulaire de Hazen-Williams pour les conduites circulaires

Débit: Q = ßCD2,63 (h/L)0,54

Diamètre : D = (Q/Cß)0,38 (L/h)0,205

Charge : h = (Q/Cß)1,85 (L/D4,87)

Longueur : L = (Cß/Q)1,85 D4,87 h

C = coefficient de Hazen-Williamsß = coefficient d'unitésß = 0,2785 (S.I.)ß = 0,4322.(S.A.)

Programme HP-11C

Calcul de :

Q D h L 1/Cß h/L Exposants

001 LBL A 015 LBL B 027 LBL C 041 LBL D 056 LBL 1 066 LBL 2 071 LBL E

002 GSB 1 016 GSB 1 028 GSB 1 042 GSB 1 057 . 067 RCL 3 072 .

003 1/X 017 RCL 0 029 RCL 0 043 RCL 0 058 2 068 RCL 2 073 5

004 GSB 2 018 x 030 x 044 x 059 7 069 ÷ 074 4

005 1/X 019 RCL 8 031 RCL 6 045 1/X 060 8 070 RTN 075 STO 5

006 RCL 5 020 YX 032 YX 046 RCL 6 061 5 076 1/X

007 YX 021 GSB 2 033 RCL 3 047 YX 062 RCL 4 077 STO 6

008 x 022 RCL.0 034 x 048 RCL 2 063 x 078 2

009 RCL 1 023 YX 035 RCL 1 049 x 064 1/X 079 .

010 RCL 7 024 x 036 RCL 9 050 RCL 1 065 RTN 080.6

011 YX 025 STO 1 037 YX 051 RCL 9 081 3

012 x 026 RTN 038 ÷ 052 YX 082 STO 7

013 STO 0 039 STO 2 053 x 083 1/X

014 RTN 040 RTN 054 STO 3 084 STO 8

055 RTN 085 ÷

086 STO 9

087 1/X

088 STO.0

089 RTN

N.B. : Le calcul initial des exposants se fait une fois, pour des raisons de précision, en exécutant la fonction E. Lesvariables Q, D, h, L et C sont gardées dans les registres 0 @ 4. Il suffit de les initialiser avec les valeurs connuespour ensuite appeler les fonctions A @ D pour calculer l'une ou l'autre des variables.


72

4.5 Dimensionnement économique

Dans le cas des écoulements à surface libre, on cherche à minimiser le frottement pour unmatériau donné, en réduisant la surface de contact entre le fluide et le solide, c'est-à-dire encherchant, pour un débit connu et une pente donnée, le périmètre mouillé. Le choix du matériaudépend des contraintes de coût d'achat et de mise en place.

Dans un système en charge, une forte tête d'eau permet d'obtenir une pente de ligne d'énergieforte donc une conduite de diamètre plus petit et, par conséquent, moins chère. Par contre, si ondoit élever la charge en construisant un barrage ou une station de pompage, le coût croît. Onpourrait avoir donc tendance à réduire l'élévation de la tête d'eau quitte à augmenter le coût de laconduite. En fait, dans la plupart des cas, il existe une combinaison pente/hauteur de chute à coûtminimal. L'exemple simplifié suivant permet de comprendre le principe.

La figure 4.2 représente un système d'adduction pour lequel il est nécessaire d'élever la chargepar pompage en A, à une élévation h, pour ensuite faire couler le débit par gravité de B vers C.dans un tunnel de longueur L. Si h est grand la station de pompage sera chère, mais le coût dutunnel sera réduit étant donné son plus faible diamètre. Inversement, si h est petit, le coût dutunnel sera de plus grand. On porte donc en graphique le coût du pompage pour différentesvaleurs de h ou de la pente S = h/L, puis on répète l'opération pour le coût du tunnel ; ce qui estreprésenté à la figure 4.3. La somme des coûts a un minimum qui fixe la pente donc la hauteur dechute.

A

B

Ch

L

Fig. 4.2 - Exemple de système d'adduction.


73

Pente

Coû

t Somme de coûts

Pompage

Tunnel

A

D

B

C

T

T'

Fig. 4.3 - Graphique des coûts d'adduction en fonction de la pente

Il est intéressant d'interpréter les tangentes aux courbes de la figure 4.3. Sachant en effet que lapente S = h/L et que L est constant, alors un incrément de pente dS = dh/L entraîne un incrémentde coût dC, Le rapport de ces incréments L dC/dS est donc la tangente T' de la courbe CD. T'

représente donc le taux variation du coût de pompage en fonction de la hauteur de pompage. Cetaux est croissant car plus la pente augmente plus le coût augmente.

La courbe AB quant à elle présente les tendances inverses.

En fait, comme la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, nous cherchonsl'abscisse pour laquelle cette somme est nulle, c'est-à-dire la pente pour laquelle la tangente à lacourbe de la somme des coûts est nulle.

Dans l'exemple, les conditions optimales apparaissent lorsque T' = -T.

Lorsqu'un aqueduc est formé de différentes conduites en série et que la charge totale est connue,on peut utiliser la méthode graphique des tangentes parallèles pour connaître les diamètreséconomiques de chaque conduite (Fig. 4.4).


74

Perte de charge

Coû

t

C1

C2

h1

h2

Fig. 4.4 - Illustration de la méthode des tangentes parallèles.

Connaissant la charge totale hT, on trace les courbes de coût en fonction de la perte de charge dechaque conduite. Ensuite on trace des tangentes parallèles aux courbes de telle sorte que lasomme des pertes de charge correspondante soit égale à la charge totale. On procède alors paritérations jusqu'à l'obtention d'une solution.

En fait cette technique est une application graphique de la méthode des multiplicateurs deLagrange ce qui permet de trouver l'optimum d'une fonction en respectant une contrainte.

Dans notre cas, la fonction à minimiser est la somme des coûts et la contrainte est donnée par laperte de charge constante.

Les coûts de chaque conduite sont:

C1 = f1 h1( ) (4.24)

C2 = f2 h2( ) (4.25)

CT = C1 + C2 (4.26)

la contrainte s'exprime par:

� = h1 + h2 - hT = 0 (4.27)

et la fonction à optimiser:

F = CT + �� (4.28)


75

en appliquant la méthode de résolution, on écrit:

�F

�h1

=�C1

�h1

+ ��

�h1

= 0 (4.29)

�F

�h2

=�C2

�h2

+ ��

�h2

= 0 (4.30)

sachant que ��

�h1

=1 et que ��

�h2

= 1, il vient:

�C1

�h1

+ � = 0 (4.31)

�C2

�h2

+ � = 0 (4.32)

donc en éliminant � on obtient:

�C1

�h1

=�C2

�h2

Ce qui est bien la méthode des tangentes parallèles.

On peut généraliser ces techniques par l'emploi de la méthode d'Euler-Lagrange qui consiste àtrouver un point de singularité d'une fonctionnelle de type:

I = f (x, y, �yL� ) dx (4.33)

où :I : coût global du projetf : fonctions de coût liées aux paramètres hydrauliquesx : distancey : chargey' : pente

Ce qui peut se résoudre théoriquement par l'équation d'Euler :

�f

�y�

d

dx

�f

� �y

�

��

�

� = 0

En pratique, on utilise plutôt des méthodes numériques pour monter sur ordinateur, à partir deces éléments théoriques, des programmes d'optimisation pour lesquels la complexité du systèmeà étudier n'est qu'une question de volume de données.


76

Équipements Vie utile (an)

Aqueduc:

Barrage et tunnel 50 - 75

Conduite d'adduction 25 - 50

Usine de filtration 20 -.25

Conduite > 300 mm 25 - 30

Conduite < 300 mm 15 - 20

Poste de pompage 15 - 20

Pompe 5 - 10

Égout:

Conduite < 400 mm 20

Collecteur, intercepteur 25 - 40

Usine d'épuration 10 - 30

Station de pompage 10 - 20


77

Exercices

4.1 Quels équipements retrouve-t-on généralement sur une ligne d'adduction en conduite ?

4.2 On veut déterminer la section la plus efficace (périmètre mouillé minimal) d'un canalrectangulaire sachant que la vitesse d'écoulement ne devra pas dépasser 1 m/s, que la pente estfixée à 0,8�10-4 et que le coefficient de Manning est de 0,013.

4.3 Quel débit coulera dans un aqueduc constitué de deux conduites en série de 400 et 800 m delongueur et de 50 et 60 cm de diamètre sous une charge totale de 80 m.

4.4 Une ligne d'adduction est formée de 3 sections:A-B 2000 mB-C 1200 mC-D 800 m

le débit à produire est de 16 m3/s avec une perte de charge totale de 11 m, le coefficient deHazen-Williams est de 100. Trouver les diamètres économiques pour les 3 sections en tenantcompte des coûts en $/m de conduite suivants:

diam 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 (m)AB 240 282 322 397 466 591 $/mBC 315 361 423 525 574 755CD 423 453 535 623 659 902

4.5 Calculer le diamètre économique d'une conduite d'adduction de 2 km transportant un débit de2000 l/s par gravité sur une dénivellation de 35 m et garantissant une pression résiduelle de 1bar.(Chw=100).

4.6 Deux conduites d'adduction de diamètres de 30 et 50 cm et d'une longueur de 500 m amènentparallèlement un débit maximum de 0,3 m3, on désire changer cette installation vétuste par uneseule conduite dont la capacité serait augmentée de 50%, quel devrait être son diamètre ?(Chw=100)

4.7 Reprendre l’exemple a) en utilisant l’équation de Hazen-Williams au lieu de celle de Darcy-Weisbach.

4.8 Si le niveau du réservoir amont de l’exemple de la section 4.3.3 est de 10 m et que celui duréservoir aval est de 40 m, calculer le point de fonctionnent pour des conduites de 1 km delong et de 50 cm de diamètre chacune (f = 0,02) avec une pompe de courbe hp = 40 � 5Q2.

Quel résultat obtenez vous en utilisant la formule d’Hazen-Williams avec CHW = 100 ?

Si le niveau du réservoir amont est à 10 m de diamètre et qu’il contient 10 m de hauteurd’eau, combien de temps cela prend-il pour le vider ?

Chapitre 5 - Système de distribution des eaux

Ce chapitre est consacré à la distribution des eaux potables dans un réseau de conduites. Nousénoncerons les objectifs fondamentaux à atteindre pour satisfaire la demande en terme depression et de débit. Les méthodes de calcul seront décrites à partir des principes de base.

5.1 Méthodes d'alimentation du réseau

Le réseau d'aqueduc est un ensemble de conduites interconnectées fonctionnement sous pression.Il faut donc un système d'alimentation de ce réseau qui permette de fournir le débit deconsommation variable à une pression relativement constante. Il existe plusieurs façon deréaliser cette alimentation, dont voici les principales:

5.1.1 Distribution gravitaire

• Réseau branché sur un réservoir suffisamment élevé pour assurer les débits et les pressions.

• Méthode simple et la plus fiable si la conduite principale est bien protégée contre les brisaccidentels.

• Possibilité de pompage mobile pour la lutte aux incendies.

5.1.2 Pompage combiné

• Pompage lors des périodes de basse consommation vers des réservoirs élevés.

• Méthode économique si le pompage est fait à rendement maximum.

• Possibilité de pompage mobile pour la lutte aux incendies.

5.1.3 Pompage direct

• Pompage direct dans le réseau.

• Méthode la moins avantageuse en raison des possibilités de panne de puissance, d'une

variation et d'une distribution de la pression plus difficile et des coûts d'énergie surtout en

pointe.

• Bon débit d'incendie


79

5.2 Réservoirs et stations de pompage

Les réservoirs servent principalement à harmoniser la demande et la production. La demande estvariable, alors que, pour être économique et efficace, la production doit être constante. Lorsquele débit de production est supérieur au débit de consommation, on accumule l'excédant dans lesréservoirs. En période de pointe, on ajoute au débit de production celui de la vidange desréservoirs (fig. 5.1).

Dans les réseaux étendus et de consommation dense, les réservoirs permettent d'égaliser lapression sans avoir à augmenter le diamètre des conduites principales.

ligne d'énergie en période de basse consommation

ligne d'énergie en période de haute consommation

Station de pompage Zone de consommation Chateau d'eau

Fig. 5.1 - Distribution des eaux

Les réservoirs contiennent aussi les réserves de productions et d'incendie

La réserve d'équilibre (ou d’opération) se définit comme étant le volume d'eau nécessaire àcombler la différence entre la capacité maximale de production, en général la consommationjournalière maximale, et la pointe de cette journée de consommation maximale. On calcule cetteréserve à partir du graphique de la demande cumulative (fig. 5.2).


80

0

100

200

300

400

500

600

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 6 12 18 24

Déb

it l/s

Dem

ande

cum

ulat

ive

m3

Temps h

débit

demande cum.

Re

Fig. 5.2 - Calcul de la réserve d'équilibre.

La réserve d'incendie est calculée à partir du débit de feu maximum et de sa durée.

La réserve d'urgence et de production sert à fournir de l'eau pendant les événements imprévus.La réserve d’urgence, utilisée lors d'un bris de pompe par exemple, a un volume correspondant àenviron 2 à 14 heures de consommation journalière. La réserve de production est gardée à l'usinede traitement et est équivalent à 4 heures de production nominale.

Comme il est improbable d'avoir un bris majeur le jour maximal avec le plus gros incendie, il neserait pas économique de garder simultanément toutes ces réserves. On considère dans lapratique souhaitable de garder somme des réserves d'équilibre, d'incendie et d'urgence. Leminimum étant de garder seulement les réserves d'équilibre et d'incendie.

Les réservoirs peuvent être construits soit en élévation, château d'eau par gravité ou alors ensous-sol accompagnée d'un système de pompage. Il semble que cette dernière solution soitconsidérée comme préférable pour des raisons esthétiques et économiques tant au point de vuecoût initial qu'au point de vue coût d'entretien.


81

5.3 Pression à garantir

Une valeur de la pression située entre des extrêmes acceptables et ce pour l'ensemble du réseauconstitue, à part bien sûr la capacité de fournir à la demande, le critère de base dudimensionnement correct pour atteindre l'efficacité du réseau.

Ces valeurs de la pression sont:

• 170 à 275 KPa (~25 à 40 psig) au minimum

• 400 à 520 KPa (~60 à 75 psig) en moyenne

• 700 KPa (~100 psig) au maximum

• 140 KPa (~20 psig) de pression résiduelle lors d'un feu

La pression moyenne présente les avantages suivants:

• Consommation normale assurée pour un édifice de dix étages ou moins.

• Gicleurs d'incendie efficace sur 4 à 5 étages.

• Connexion directe de lance d'incendie.

• Fluctuation relative de pression plus faible.

En cas d'incendie, il faut prévoir la possibilité d'augmenter la pression, ce qui peut ce faire par lesmoyens suivants :

• Pompe supplémentaire à la station de pompage.

• Pompage mobile par camion pompe

• Système double avec conduites spéciales pour le débit de feu.

• Système pseudo-double avec grosses conduites principales et réducteurs de pression pour

l'alimentation normale.

Plusieurs unités sont utilisées pour quantifier la pression, nous donnons ci-après quelques valeursde références :

1 atmosphère (atm) = 14,696 psi= 1 013.3 mbar

= 101,33 KN/m2 (KPa)= 10,33 m d'eau


82

1 psig = 6,8969 KPa= 0,7029 m d'eau

5.4 Description du système de distribution

Un réseau de distribution peut avoir une forme ramifiée (fig. 5.3) ou une forme maillée (fig. 5.4)ce qui est plus courant. On appelle antenne les conduites en cul de sac. Les réseaux sontconstitués des éléments suivants :

5.4.1 Aqueducs principaux:Ils servent à relier les stations de pompage aux réservoirs et constituent l'ossature principale duréseau. Ils forment des boucles d'environ 1000 m les conduites de distribution principales y sontconnectées au moyen de vannes de coupures. Des vannes de cantonnement les découpent entronçons et des soupapes de purge équipent les points hauts.

5.4.2 Aqueducs secondaires:Ils servent à relier les aqueducs principaux.

5.4.3 Conduites de distribution principalesElles desservent les bornes-fontaines ou bouches d’incendie placées tous les 100 ou 150 m selonla densité du territoire.

Les conduites sont fabriquées en béton précontraint, en fonte ou en CPV. Les diamètres sontcalculés pour obtenir des vitesses de l'ordre de 0,6 à 1,2 m/s, 2 m/s au maximum en cas de feu.Ces diamètres sont en général de 15 cm en zone résidentielle, 20 cm en zone commerciale et 30cm et plus dans les rues principales.

Fig 5.3 - Réseau ramifié


83

Fig 5.4 - Réseau maillé

5.5 Dimensionnement du réseau

Les points à considérer sont :

• La topographie des lieux pour les critères de pression

• La densité de la population et ses activités pour évaluer les besoins en eaux des différents

secteurs résidentiels, commerciaux et industriels.

On résume en général toute information pertinente sur carte topographique, on évalue lesconsommations de chaque zone et les débits de feu de façon à déterminer la demande totale, lapuissance de pompage requis, le volume et la position des réservoirs et les diamètres et longueursdes conduites.

Ensuite on procède au balancement hydraulique du réseau pour vérifier si, en fonction deplusieurs scénarios de consommation, normaux , extrêmes ou en période de basseconsommation, la pression est bien répartie. Cette analyse permet d'apporter des correctifs sinécessaire. En outre, cette simulation du comportement du réseau permet d'étudier despossibilités de regroupement de service pour des municipalités voisines et des scénarios futurs deconsommation pour mieux planifier l'expansion du réseau.

5.5.1 Conduites en série et en parallèle

Bien souvent, avant de faire l'analyse d'un réseau, il est nécessaire de le simplifier en regroupanten série ou en parallèle un certain nombre de conduites pour former des conduites équivalentes.

Pour les conduites en série:a) La perte de charge totale est égale à la somme des pertes de charge de chaque conduite :


84

hT = h1 + h2 +K + hj (5.1)

b) Le débit est le même pour toutes les conduites :

QT =Q1 = Q2 =K = Qj (5.2)

c) La perte de charge est liée au débit par une relation du type :

h = R Qn (5.3)

où le coefficient R est la résistance de la conduite. Cette résistance ne dépend que des propriétésde la conduite c’est-à-dire la rugosité, le diamètre et la longueur.

Avec la formule de Darcy-Weisbach, on a :

R =8 f L

� 2g D5 et n = 2

Pour la formule de Hazen-Williams, on a :

R =1

CHW�

�

��

��

1,85L

D 4,87 et n = 1,85

� est le coefficient d'unités (� = 0,2785 (S.I.), � = 0,4322.(S.A.)).Donc, en introduisant l'expression (5.3) dans (5.1) on obtient :

Re QT

n = R1 Q1n + R2 Q2

n +K + Rj Qj

n

d'après (5.2) :

Re QT

n = R1+ R2 +K + Rj( )QT

n

d'où:

Re= R1 + R2 +K+ Rj

Donc pour des conduites en série, la résistance équivalente s'exprime comme la somme desrésistances de chaque conduite :

Re = Rii=1

j

� (5.4)

Pour les conduites en parallèle :a) Le débit total est égal à la somme des débits de chaque conduite:

QT =Q1 +Q2 +K +Qj (5.5)

b) La perte de charge est la même pour toutes les conduites:


85

hT = h1 = h2 =K = hj (5.6)

c) Le débit est lié au à la perte de charge par une relation du type:

Q = K hm (5.7)

où K est la conductance de la conduite. La conductance est liée à la résistance par la relation :

K =1

Rm

avec m = 1/n.

Donc, en introduisant l'expression (5.7) dans (5.5) on obtient:

Ke hT

m = K1 h1m + K2 h2

m +K + Kj hj

m

d'après (5.6):

Ke hT

m = K1 + K2 +K + Kj( )hT

m

d'où:

Ke = K1 + K2 +K + Kj

Donc pour des conduites en parallèle, la conductance équivalente s'exprime comme la sommedes conductances de chaque conduite :

Ke = Kii=1

j

� (5.4)

5.5.2 Méthodes de balancement du réseau en régime permanent.

Le principal problème qui se pose à l'ingénieur face à l'infrastructure de distribution des eauxconsiste à connaître le comportement en pression de chaque élément du réseau lors de situationscritiques (incendies), de période de forte demande ou encore en fonctionnement normal.

Le grand nombre de conduites et leur interconnexion qui caractérisent la structure d'un réseaumaillé font qu'il n'est pas possible de calculer de façon simple et rapide, avec suffisamment deprécision les pertes de charges et les débits dans toutes les conduites correspondant à unesituation de consommation donnée. La raison en est relativement simple. La distribution de débitdans le réseau est conditionnée par le principe de l'énergie minimum, ce qui a pour conséquenceque la moindre modification du réseau entraîne une redistribution des débits. Comme on le voit,la solution du problème dépend simultanément de ce qui se passe dans chaque élément du réseau.Une autre difficulté provient du fait que la relation qui décrit le lien entre le débit d'une conduiteet la perte de charge qu'il entraîne est non linéaire ce qui ne simplifie pas non plus la tâche del'ingénieur.

Dans les années 20, Hardy Cross, le premier, appliqua sa méthode de distribution des momentsdans les structures hyperstatiques à la recherche d'une solution au problème de l'équilibre desréseaux de conduites. Sa technique consiste à remplacer la simultanéité des comportements par


86

une méthode de correction interactive appliquée à une solution de départ approximative. Laconvergence de cette méthode n'est cependant pas acquise.

La méthode de Hardy Cross a été utilisée avec succès depuis cette période puisque qu'elle était laseule méthode relativement précise disponible. Cependant, le fait que le nombre de calculs paritérations et que le nombre d'itérations elles-mêmes était assez important, on ne pouvait pasfacilement faire le calcul pour une quantité étendue de configurations de consommation. Avecl'arrivée, au début des années 60, d'une certaine accessibilité à la puissance de calcul desordinateurs, les premiers programmes de calcul de l’équilibre des réseaux n'étaient en fait que lacodification sur ordinateur de la méthode de Hardy Cross. Bien que cela permît l'analyse de plusgros réseaux, l'utilisation d'un calculateur ne modifiait en rien le comportement numérique de laméthode, soit l'hypothèse de non-simultanéité des événements. Puisqu'il était alors possible defaire plus de calculs, les problèmes de convergences furent plus fréquents.

C'est alors qu'apparurent des méthodes dites matricielles. Le fondement de ces méthodes reposesur une approche semblable à celle de Hardy Cross, mais en tenant compte de l'interaction deséléments voisins. Elles permettent donc de corriger simultanément l'ensemble du réseau afind'améliorer la solution de départ approximative. Ces méthodes sont, évidemment, intimementliées à l'emploi d'un ordinateur puisqu'elles conduisent, à chaque itération, à l'inversion d'unsystème matriciel important. Bien que l'introduction de la simultanéité des corrections amélioresignificativement la convergence du processus itératif, les problèmes liés au choix de la solutionde départ restent les mêmes, c'est-à-dire que ce choix initial conditionne encore le comportementde la convergence.

Plus récemment, au début des années 70, la méthode linéaire commençait à être utilisée. Baséeque la résolution simultanée des équations d'énergie et de continuité sur l'ensemble du réseau,elle conduit à un système matriciel plus gros donc, nécessite l'utilisation d'un ordinateur pluspuissant. Cependant, son avantage principal réside dans le fait qu'il n'est pas nécessaire de choisirune solution initiale et qu'il est plus facile d'y inclure des équipements spécifiques. Sur le planpurement numérique, cette méthode présente une convergence fondamentalement oscillante quipeut être réduite par une technique de sous relaxation. Il y a quelques années, la méthode derésolution de cette formulation a été révisée en profondeur. Nous avons proposé d'utiliser unetechnique numérique basée sur l'adaptation de la méthode de Newton-Raphson à l'ensemble dusystème matriciel. Ceci, couplé à une organisation topologique de la matrice de comportementnous a permis d'obtenir une méthode dont le comportement en convergence est considérablementamélioré.

Principes de base

Définitions préliminaires

Un endroit où sont branchés ensemble plusieurs conduites, pompes, réservoirs ou autreséquipements s’appelle un nœud.

Un circuit fermé composé d’éléments constitutifs d’un réseau est appelé maille.


87

Un réseau est en équilibre lorsque la somme algébrique des débits Q (y compris le débit deconsommation) aux nœuds est nulle et que, simultanément, la somme algébrique des pertes decharge h autour d'une maille s'annule. Ceci définit la loi des nœuds et la loi des mailles.

Loi des nœuds

� N QNN = i, j,kK� = 0 (5.5)

Cette relation exprime le principe de conservation de la masse.

Loi des mailles

�M hM = 0M = i, j,kK� (5.6)

Cette relation exprime le principe de conservation de l’énergie.

Les variables� N et�M représentent respectivement le signe des débits QN des conduites i, j, k, etcqui sont connectées à un nœud et le signe des pertes de charge hM des conduites i, j, k, etc quisont constituent une maille selon la convention adoptée. Elles ne peuvent donc ne prendre que lesvaleurs –1 ou 1.

Le débit est relié à la perte de charge par une relation de type :

h = R Qn (5.7)

ou inversement:

Q =1

R1

n

h1

n = K hm (5.8)

où R et n dépendant de la loi d'écoulement choisie (Darcy-Weisbach, Hazen-Williams...)

Méthodes de calcul

Le schéma général de la méthode de résolution de ce type de problème consiste à écrire aumoyen de la loi des nœuds ou de la loi des mailles un nombre d’équations équivalent au nombred’inconnues choisies. On peut choisir de déterminer soit les débits Q dans les conduites, soit lespertes de charge h dans les conduites, soit les charges H aux noeuds. Dès que l’un de cesensembles d’inconnues est déterminé, on peut facilement en déduire les deux autres grâce auxrelations qui lient le débit à la perte de charge. Le caractère non linéaire de ces relations estresponsable de la non-linéarité du système à résoudre.

Pour résoudre un système d’équations non linéaires, il faut le linéariser, ce qui conduit à unesolution approximative. On procède alors par itérations pour améliorer la solution afin qu’elle sestabilise avec un certain degré de précision.

Plusieurs approches sont possibles et on peut les regrouper en trois grandes catégories :


88

• Méthodes de corrections successives• Méthodes de corrections simultanées• Méthodes directes

Méthodes de corrections successives

a) Méthode de Hardy Cross par mailles

Cette méthode a un intérêt historique car elle a été développée avant l’invention des moyens decalcul électroniques. C’est une forme simplifiée de l’application d’une méthode de Newton-Raphson ce qui entraîne une dégradation de la convergence. Elle permet d’illustrer simplementles concepts, mais, à mon avis, elle ne devrait jamais être programmée sur ordinateur car lesmoyens de calcul actuels sont largement suffisants pour ne pas avoir à envisager cettesimplification et gagner considérablement sur le plan de la convergence.

Cette méthode consiste à choisir les débits Q comme inconnues. On commence en choisissant unensemble de débits initiaux Q0 positifs qui satisfont la loi des nœuds puis on les corrige de façonà ce que les pertes de charge générées par ces débits tendent à satisfaire la loi des mailles et sansperturber la loi des nœuds (voir l’encadré des aspects théoriques plus loin). En général, cetobjectif n’est pas atteint du premier coup et l’on recommence en prenant comme débits initiauxles valeurs que l’on vient de trouver.

- Choix des Q0 en respectant � N Q0, NN = i, j,kK� = 0 à chaque nœud.

- Pour chaque maille, correction des débits pour atteindre �M h0, M = 0M = i, j,kK� en introduisant

h0 = RQ0

n

�Q =

� �M RM Q0, Mn

M = i, j,kK�

n RM Q0, Mn�1

M = i, j, kK

�(5.9)

- Convention de signe, �M est positif lorsque le débit est dans le sens de parcours de la maille.

-

-

+

+


89

- On applique la correction �Q de chaque maille aux débits des conduites constituant la maille

en tenant compte du signe :

QM =Q0, M + �M�Q

Pour accélérer la convergence, on peut prendre comme Q0 les valeurs déjà corrigées par desmailles précédentes.

Les corrections peuvent faire changer le signe du débit, deux possibilités s’offrent à nous :

- Modifier la valeur des �M de façon à refléter le changement

- Garder les débits négatifs et modifier la formule de correction pour les accepter :

�Q =

� �M RM Q0, Mn�1 Q0, M

M = i, j,kK�

n RM Q0, Mn�1

M =i, j,kK�

Sur le plan pratique la deuxième méthode est de loin préférable car la première méthode exigeque la mise à jour des �M soit faite dans les mailles auxquelles appartient une conduite ce quinous oblige à créer une table liant chaque conduite aux mailles auxquelles elle appartient. Cecin’est pas nécessaire pour la deuxième possibilité et c’est ce que nous allons adopter pour toutesles autres méthodes.

- On remplace Q0 par Q et l’on continue d'appliquer le processus de correction jusqu'à ce que

la loi des mailles soit respectée avec une précision suffisante sur toutes les mailles.

b) Méthode de Hardy Cross par nœuds

Cette méthode diffère de la précédente par son point de départ. On choisit plutôt les pertes decharge h comme inconnues. En voici les principales étapes :

- Choix des h0 en respectant �M h0, M = 0M = i, j,kK

� dans chaque maille. Ceci est direct si on choisit

des charges H0 à chaque nœud.

- Calcul des Q0 correspondant Q =1

R1

n

h1

n = K hm

- Correction des pertes de charge pour atteindre �N Q0, N

N = i, j,kK

� = 0 à chaque nœud.


90

�h =

� �N Q0, N

N = i, j, kK

�

Q0, N

n h0, NN = i, j,kK�

(5.10)

- Convention de signe, � N est positif lorsque le débit arrive au nœud.

--

+

- On applique, avec � N , la correction à chaque nœud successivement en tenant compte des

corrections déjà apportées à certaines conduites.

h = h0 + � N�h

- On continue les corrections jusqu'à ce que la loi des nœuds soit respectée à chaque nœud

avec une précision adéquate.

Méthodes de corrections simultanées

a) Méthode matricielle par mailles

C'est une méthode itérative matricielle qui permet de repartir sur l'ensemble du réseau lescorrections �Q pour obtenir l'équilibre des pertes de charge (loi des mailles) à partir de débitsinitiaux Q0 choisis en fonction de la loi des nœuds (voir Hardy Cross par mailles)

- On écrit le système d'équations non linéaires à partir de la loi des mailles auquel on applique

la méthode de Newton-Raphson (voir encadré théorique) pour chaque maille:

nRMQ0, M

n�1�QM( ) = �M = i, j,kK� �M RMQ0, M

n

M = i, j,kK� (5.11)

M est l'indice des conduites participant à une maille.On obtient donc autant d’équations qu’il y a de mailles et on a une inconnue par conduite.Généralement le nombre de conduites est plus grand que le nombre de mailles. Il est doncnécessaire, pour résoudre le problème, de réduire le nombre d’inconnue.Comme une conduite peut appartenir à au plus deux mailles, la réduction du nombred'inconnues se fait en sachant qu'une conduite participant à deux mailles subit les correctionsde chacune de ces mailles adjacentes :

�QM = �QA - �QB (5.12)


91

Cela revient à faire un changement de variables dans lequel chaque correction de débitappliquée à une conduite M est remplacée par la différence de corrections appliquées auxmailles A et B communes à la conduite M. Si une conduite n’appartient qu’à une maille, onlui attribue seulement la correction de cette maille. Le nombre d’inconnues devient donc égalau nombre de mailles et la résolution est alors possible.Par exemple, pour une maille A adjacente aux mailles B et C, la relation (5.11) devient :

nR MQ0, M

n�1

M = i, j, kK

��

��

�

�QA � nRABQ0, AB

n�1 � nRACQ0, AC

n�1 = � �M RMQ0, M

n

M = i, j, kK

�

Où les indices AB et AC réfèrent aux conduites communes respectivement aux mailles A et Bpuis aux mailles A et C.

- En pratique, le système est organisé sous forme matricielle, en tenant compte que les sens des

débits ne seront pas mis à jour et que le débit gardera son signe, de la façon suivante :

nR Q0

n�1

A

� � nR Q0

n�1��

��

AB

L � nR Q0

n�1��

��

AM

� nR Q0

n�1��

��

BA

nR Q0

n�1

B

� M

M O M

� nR Q0

n�1��

��

MA

L L nR Q0

n�1

M

�

�

�

��

�

��

�QA

�QB

M

�QM

�

��

�

��

�

�

��

�

��

= �

� R Q0

n�1Q0

A

�

� R Q0

n�1Q0

B

�

M

� R Q0

n�1Q0

M

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��

(5.13)

- On résout ce système pour obtenir le vecteur des corrections de débits.

- On applique les corrections �Q de chaque maille aux débits des conduites constituant la

maille en tenant compte du signe :

QM =Q0, M + �A�QA + �B�QB

- On remplace Q0 par Q et l’on continue d'appliquer le processus de correction jusqu'à ce que

la loi des mailles soit respectée avec une précision suffisante sur toutes les mailles


92

Exemple

Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaqueconduite sont connus.

1 2

3

4

5

1

2

4

3

5

6

q5

q4

q3

q2

q1

I

II

Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds :

Q0,1 = q1 2

Q0,2 = q1 2

Q0,3 = Q0,1 � q2( ) 2

Q0, 4 = Q0,1 � q2( ) 2

Q0,5 =Q0,2 +Q0,3 � q3

Q0,6 =Q0, 4 � q4


93

On utilise le système 5.13 pour construire la matrice et le membre de droite :

nR1 Q0,1

n�1+ R2 Q0,2

n�1

+R3 Q0,3

n�1

�

�

��

�

��

�nR3 Q0,3

n�1

�nR3 Q0,3

n�1n

R3 Q0,3

n�1+ R4 Q0,4

n�1

+R5 Q0,5

n�1+ R6 Q0,6

n�1

�

�

��

�

��

�

��

�

�

��

�QI

�QII

��

��=

��R1 Q0,1

n�1Q0,1 + R2 Q0,2

n�1Q0,2 � R3 Q0,3

n�1Q0,3

R3 Q0,3

n�1Q0,3 � R4 Q0,4

n�1Q0,4 + R5 Q0,5

n�1Q0,5 � R6 Q0,6

n�1Q0,6

�

��

�

�

��

��

On applique les corrections en tenant compte des signes :

Q1 = Q0,1 � �QI

Q2 = Q0,2 + �QI

Q3 = Q0,3 � �QI + �QII

Q4 =Q0, 4 � �QII

Q5 = Q0,5 + �QII

Q6 = Q0,6 � �QII

On remplace les Q0,i par les Qi et on recommence jusqu’à ce que le membre de droite s’approchede zéro

b) Méthode matricielle par nœuds

Cette méthode itérative permet de répartir sur l'ensemble du réseau les corrections �h pouratteindre l'équilibre des débits à partir de pertes de charge initiales h0 choisies en fonction de laloi des mailles (voir H.C. nœud). La procédure est semblable à la méthode matricielle par mailleset nous en donnons ici le résumé :- Le système de N équations s'écrit

m KN h0, N

m�1�hNN = i, j,kK� = � � N KN h0, N

m =N =i, j,kK� �N Q0, N

N = i, j,kK� (5.14)

Où N représente les numéros de conduites branchées à un nœud, on a donc encore autantd’inconnues que de conduites et autant d’équations que de nœuds. Habituellement, il y a plusde conduites que de nœuds et il faut réduire le nombre d’inconnues.On réduit le nombre d'inconnues sachant que la perte de charge sur une conduite est corrigéepar chacune de ses extrémités A et B.


94

�hN = �hA - �hB (5.15)

On obtient alors autant d’inconnues que de nœuds.

- Organisation matricielle

mK h0

m�1

A

� mK h0

m�1��

��

AB

L mK h0

m�1��

��

AN

mK h0

m�1��

��

BA

mK h0

m�1

B

� M

M O M

mK h0

m�1��

��

NA

L L mK h0

m�1

N

�

�

�

��

�

��

�hA

�hB

M

�hN

�

��

�

��

�

�

��

�

��

= �

�Q0

A

�

�Q0

B

�

M

�Q0

N

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��

(5.16)

- On résout ce système pour obtenir le vecteur des corrections de pertes de charge.

- On applique les corrections �h de chaque maille aux débits des conduites constituant la

maille en tenant compte du signe :

hN = h0, N +� A�h + �B�h

- On continue les corrections jusqu'à ce que la loi des nœuds soit respectée à chaque nœud

avec une précision adéquate.

Méthodes directes

a) Méthode des débits

Cette méthode est assez simple en ce qui concerne la mise en équations. En effet, il suffitd’écrire autant d’équations conservation de débit ou d’énergie qu’il y a de débits dans leséléments du réseau.

Dans un réseau maillé, on peut écrire la relation :

C = M + N �1 (5.17)

où :C = nombre de conduites (ou d’éléments hydrauliques entre deux nœuds)M = nombre de mailles (boucles fermées)N = nombre de nœuds (points de jonctions)

Dans la théorie des graphes, C est appelé « nombre cyclomatique » et sa définition n’est valideque pour un graphe plan.On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pourcalculer des C débits:


95

�1,1 L �1,C

M M

�N �1,1 L �N ,C

�R Qn�1�

��

�

1,1

L �R Qn�1�

��

�

1,C

M M

�R Qn�1�

��

�

M ,1

L �R Qn�1�

��

�

M ,C

�

�

��

�

�

��

Q1

M

M

M

M

QC

�

�

��

��

�

�

��

�

��

=

q1

M

qN �1

h1

M

hM

�

�

��

��

�

�

��

�

��

(5.18)

• Les N-1 premières lignes de la matrice contiennent les signes �i,j relatifs au iième nœud et à la

jième conduite. Pour les conduites non connectées à un nœud, � est nul.

• Les M dernières lignes de la matrice contiennent les termes signés � R Qn�1�

��

i, j

relatifs à la

iième maille et à la jième conduite. Pour les conduites non participantes à une maille, � est nul.

• Les débits de consommation imposés aux nœuds qi sont placés dans la première partie du

membre de droite.

• Les pertes et gains de charge constants hi attribués à la présence de réservoirs ou de pompes

sont placés dans la dernière partie du membre de droite.

• La seconde partie de la matrice contient des débits qui ne sont pas encore connus. On les

remplace par des débits quelconques Q0 qui sont sans rapport avec la loi des nœuds. On

calcule alors une première estimation du débit Q avec ces débits Q0 arbitraires puis on

améliore la solution en procédant à des itérations.

• Pour améliorer la convergence, chaque Q0 pour l'itération suivante se calcule comme la

moyenne du débit Q calculé à l’itération précédente et du débit Q0 précédent.

Q0(i+1) =

Q( i ) +Q0( i)

2

Cette technique assure une convergence efficace mais relativement lente. Une autre technique derésolution a donc été proposée. Elle est basée sur l’application de la méthode de Newton-Raphson au système 5.18. Cette méthode a été programmé dans le logiciel CASH2. Les essais

2 Conception et Analyse de Systèmes Hydrauliques, http://www.gci.ulaval.ca/cours/gci10214/cash.htm


96

poursuivis jusqu'à maintenant ont prouvé, hors de tout doute, la supériorité de la stabilité de ceschéma numérique par rapport aux méthodes précédentes.

Exemple

Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaqueconduite sont connus.

1 2

3

4

5

1

2

4

3

5

6

q5

q4

q3

q2

q1

I

II

Il n’est pas nécessaire de choisir des Q0 cohérants, il suffit de leur donner une valeur initialequelconque mais différente de zéro.


�1 �1 0 0 0 0

1 0 �1 �1 0 0

0 1 1 0 �1 0

0 0 0 1 0 �1

�R1 Q0,1

n�1R2 Q0,2

n�1�R3 Q0,3

n�10 0 0

0 0 R3 Q0,3

n�1�R4 Q0,4

n�1R5 Q0,5

n�1�R6 Q0,6

n�1

�

�

��

�

�

��

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

�

�

�

�

=

�q1

q2

q3

q4

0

0

�

�

�

�

On applique les corrections en tenant compte des signes :


97

Q1 =Q0,1

Q2 =Q0,2

Q3 =Q0,3

Q4 =Q0,4

Q5 =Q0,5

Q6 =Q0,6

On remplace les Q0,i par les moyennes des Qi et Q0,i précédent et on recommence jusqu’à ce queles valeurs du débit se stabilisent.


98

Aspects théoriques des méthodes de résolution

Dans la méthode de correction par mailles, on désire que pour chaque maille, la sommealgébrique des pertes de charges s’annule :

�M hM = 0M = i, j,kK�

On doit donc écrire M équations de ce type, avec M, le nombre de mailles du réseau.

Comme on connaît les C débits initiaux Q0 satisfaisant la loi des nœuds et la relation qui lie ledébit à la perte de charge, on peut écrire les M équations précédentes sous la forme suivante :

�M RM Q0, M + �M�QM( )n

= 0M = i, j,kK�

Ce qui signifie que l’on doit déterminer les corrections �QM , pour chaque conduite qui doiventêtre appliquées aux débits initiaux Q0 de telle sorte que l’ensemble de ces expressions s’annule.

Pour réussir à résoudre ce problème nous devons développer chaque équation en série de Tayloren considérant qu’elles sont fonctions de plusieurs variables indépendantes, c’est-à-dire lescorrections de débit à appliquer à chaque conduite :

�M RM Q0, M + �M�QM( )n

=M = i, j,kK� �M RMQ0, M

n +M = i, j, kK

� �M�QM

�

�Q0, M

�M RMQ0, M

n( ) = 0M =i, j,kK�

�M RM Q0, M + �M�QM( )n

=M = i, j,kK� �M RMQ0, M

n +M = i, j, kK

� �M�QM �M RMnQ0, M

n�1( ) = 0M =i, j,kK�

Sachant que �M

2 =1, on obtient finalement pour chaque maille :

nRMQ0, M

n�1 �QM( ) = � �M RMQ0, M

n

M = i, j,kK�

M = i, j,kK�

b) Méthode des charges

Cette méthode consiste à écrire un système d’équations composé des N équations de nœuds.Comme il y a C débits inconnus dans ces équations, on remplace les débits par la relation quirelie le débit à la perte de charge (éq. 5.8) dans laquelle on remplace explicitement la perte decharge par la différence de deux charges nodales. On obtient donc N inconnues. Il n’est pluspossible, comme dans le cas précédent, de linéariser facilement le système et il est nécessaired’utiliser la méthode de Newton-Raphson.

Pour chaque nœud i, il faut alors écrire une équation de ce type :


99

m Ki, N H i � H N

m�1

N = j,k ,K�

�

��

�

�Hi �m Ki, j H i � H j

m�1�Hj �m Ki, k Hi � Hk

m�1�Hk �K

= � � N Ki, N H i � H N

m

N = j,k ,K� + � iqi

�

��

�

Cette méthode converge bien, la principale difficulté de sa mise en œuvre surgit lors del’introduction d’éléments hydrauliques comme des pompes.

5.5.3 Introduction d'éléments annexes dans le calcul des réseaux

Les réseaux de distribution ne sont pas constitués uniquement de conduites, aussi, l'analyse d'untel système nous conduit à nous poser des questions concernant le taux de vidange ou deremplissage des réservoirs, des paramètres de fonctionnement des surpresseurs et des pompes oude l'état des réducteurs de pression. Il est donc primordial d'incorporer dans un tel programmed'analyse, la possibilité de simuler l'effet de ces équipements spéciaux sur l'ensemble du réseau.

Le principe de simulation des équipements spéciaux est basé sur l'utilisation d'une loi decomportement qui relie la perte de charge au débit:

h = f (Q) (5.19)Cette relation est ajustée en fonction de l'équipement considéré.

Les réservoirs

Lorsque le nombre de réservoirs est supérieur à l'unité, on considère un trajet virtuel (souventappelé pseudo-lien) entre les réservoirs pris deux à deux. Ainsi la perte de charge négative sur ceparcours est égal à la différence de charge entre les deux réservoirs. On ajoute aussi la possibilitéde recycler la perte de charge locale à l'entrée ou à la sortie du réservoir.

Pour un pseudo-lien entre les nœuds i et j, la relation 5.19 s’écrit :

hij = H Rj � HRi (5.20)


100

Exemple

Notons par QR1 et QR2 les débits des réservoirs. Le lien qui relie le nœud 6 au nœud 7 est unpseudo-lien, son débit est nul mais sa perte de charge est égal à la différence de niveau entre lesdeux réservoirs. Les réservoirs ont un débit mais n’ont pas de perte de charge.

1 2

3

4

5

1

2

4

3

5

6

q5

q4

q3

q2

q1

I

II

6

7

R1

R2

III

Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds. Commeon ne sait pas de quel réservoir va provenir l’eau consommée, on peut choisir, par simplicité, queseul le réservoir 1 fournit le réseau :

Q0, R1 = q1 + q2 + q3 + q4 + q5

Q0, R2 = 0

Q0,1 =Q0, r1 2 � q1

Q0,2 =Q0, r1 2 � q1

Q0,3 = q3 �Q0,2

Q0, 4 = Q0,1 �Q0,3 � q2

Q0,5 =Q0,2 +Q0,3 � q3

Q0,6 =Q0, 4 � q4


101


nRN Q0, N

n�1

N =1,2,3

� �nR3 Q0,3

n�1�nR1 Q0,1

n�1

�nR3 Q0,3

n�1nRN Q0, N

n�1

N =3,4,5,6

� �nR4 Q0,4

n�1� nR6 Q0,6

n�1

�nR1 Q0,1

n�1�nR4 Q0,4

n�1� nR6 Q0,6

n�1nRN Q0, N

n�1

N =1,4,6

�

�

�

��

�

��

�QI

�QII

�QIII

�

�

�

� =

�

�N RN Q0, N

n�1Q0, N

N =1,2,3

�

�N RN Q0, N

n�1Q0, N

N =3,4,5,6

�

�N RN Q0, N

n�1Q0, N + �7h7

N =1,4,6

�

�

�

�

�

On applique les corrections, y compris sur les débits des réservoirs, en tenant compte des signes :

Q1 = Q0,1 � �QI + �QIII

Q2 = Q0,2 + �QI

Q3 = Q0,3 � �QI + �QII

Q4 =Q0, 4 � �QII + �QIII

Q5 = Q0,5 + �QII

Q6 = Q0,6 � �QII + �QIII

QR1 =Q0, R1 + �QIII

QR2 =Q0, R2 � �QIII


Les pompes

La courbe de performance débit-charge d'une pompe est donnée par le fabricant ; la façon la plussimple de l'introduire dans le modèle est de l'interpoler par une relation quadratique du type:

h = A + B Q + CQ2 (5.21)


102

Il est par ailleurs possible d'utiliser des techniques d'interpolation et de demander à l'utilisateurdu modèle de spécifier un certain nombre de points (h, Q) caractéristiques de la courbe decomportement.

Exemple

On ajoute une pompe entre R1 et le nœud 1, cette nouvelle branche à un débit et un gain decharge lié ensemble par une relation de type 5.21.

1 2

3

4

5

1

2

4

3

5

6

q5

q4

q3

q2

q1

I

II

6

7

R1

R2

III

P

8

q6

Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds. Commeon ne sait pas de quel réservoir va provenir l’eau consommée, on peut choisir, par simplicité, queseul le réservoir 1 fournit le réseau, le débit de la pompe est égal au débit du réservoir moins unéventuel débit de consommation à l’amont de la pompe :


103

Q0, R1 = q1 + q2 + q3 + q4 + q5

Q0, R2 = 0

Q0, P =Q0, R1 � q6

Q0,1 =Q0, r1 2 � q1

Q0,2 =Q0, r1 2 � q1

Q0,3 = q3 �Q0,2

Q0, 4 = Q0,1 �Q0,3 � q2

Q0,5 =Q0,2 +Q0,3 � q3

Q0,6 =Q0, 4 � q4

On utilise le système 5.13 pour construire la matrice et le membre de droite. Dans la matrice, onretrouvera la dérivée de l’équation de la pompe. Dans le membre de droite, il faut s’assurer que,en tenant compte du sens de parcours de la maille, la perte de charge de la pompe (gain decharge) soit de signe opposé au débit de la pompe :

nRN Q0, N

n�1

N =1,2,3

� �nR3 Q0,3

n�1�nR1 Q0,1

n�1

�nR3 Q0,3

n�1nRN Q0, N

n�1

N =3,4,5,6

� �nR4 Q0,4

n�1� nR6 Q0,6

n�1

�nR1 Q0,1

n�1�nR4 Q0,4

n�1� nR6 Q0,6

n�1nRN Q0, N

n�1+ B + 2C QP( )

N =1,4,6

�

�

�

��

�

��

�QI

�QII

�QIII

�

�

�

� =

�

�N RN Q0, N

n�1Q0, N

N =1,2,3

�

�N RN Q0, N

n�1Q0, N

N =3,4,5,6

�

�N RN Q0, N

n�1Q0, N + �P A+ BQP + C QP QP( ) + �7h7

N =1,4,6

�

�

�

�

�

Remarque : Dans ce système, on a traité QP comme s’il pouvait changer de signe mais cela nedevrait pas arriver. Si cela ce produit, c’est qu’il faut revoir l’équation de la pompe.

On applique les corrections, y compris sur les débits des réservoirs et de la pompe, en tenantcompte des signes :


104

Q1 = Q0,1 � �QI + �QIII

Q2 = Q0,2 + �QI

Q3 = Q0,3 � �QI + �QII

Q4 =Q0, 4 � �QII + �QIII

Q5 = Q0,5 + �QII

Q6 = Q0,6 � �QII + �QIII

QR1 =Q0, R1 + �QIII

QR2 =Q0, R2 � �QIII

QP = Q0,P + �QIII


Les surpresseurs

Les surpresseurs sont considérés comme des pompes et l’on utilise la même technique enfonction de la courbe de comportement.

Les réducteurs de pression

Les réducteurs de pression sont considérés comme des pertes de charges locales dont lecoefficient est variable en fonction des charges amont et aval. Là encore les caractéristiques defabrication sont à utiliser.

Les clapets

Bien que cela soit plutôt rare, dans certains cas, il est nécessaire de placer des clapets non-retour.Lorsque le clapet est fermé, cela a une conséquence importante sur la structure de la matrice decomportement. En effet, il faudrait à ce moment débrancher une conduite du réseau etréorganiser la numérotation des mailles. Dans la méthode directe en débits, il est cependantpossible d'éviter cette situation en considérant l'introduction d'une condition aux limites en débitnul sur la conduite considérée par la méthode du terme diagonal dominant. Sans changer lenombre d'équations, il suffit de sommer au terme diagonal de l'équation correspondant à la

conduite considérée, un terme très grand (1010

) et placer dans le vecteur de sollicitations leproduit de la valeur imposée par ce grand terme ( ici évidemment ce terme sera nul, Q = 0).

Le critère de remise en fonction de cette conduite pose aussi quelques problèmes. Il convient decalculer à chaque itération la charge disponible aux extrémités de cette conduite afin de décidersi le clapet fonctionne ou non et si l'on doit, le cas échéant, appliquer la mesure précédente

5.5.4 Ajustement des coefficients de frottement

Dans la pratique, on essaie de faire correspondre le plus possible le modèle numérique du réseauà la réalité. Un des éléments clef de ce critère est le choix des coefficients d’Hazen-Williams (oude Darcy-Weisbach). Afin de déterminer la valeur de ces coefficients pour des conduites dont onne connaît pas l’état, on procède à des essais en place en isolant une conduite au moyen desvannes de telle sorte qu’elle alimente seule une bouche d’incendie. On mesure alors la pression àl’amont de la conduite ainsi qu’au niveau de la bouche d’incendie de façon à déterminer la pertede charge sur une certaine longueur puis on évalue le débit à la sortie de la borne au moyen d’undébitmètre ou d’un tube de Pitot. Ainsi, seul coefficient de frottement est inconnu.

Cette méthode n’est cependant valide que si le diamètre de la conduite n’a pas évolué dans letemps. En pratique, il arrive fréquemment que le diamètre diminue à cause des dépôts qui seforment dans la conduite. Par conséquent, on ne connaît ni le coefficient ni le diamètre de laconduite.

Afin de lever cette indétermination, je propose la méthode suivante :

a) On procède à deux essais de débits au lieu d’un seul.

b) On écrit un système de deux équations dont les inconnues sont le coefficient et le diamètre.Pour la formule d’Hazen-Williams, cela s’écrit :

1

CHW�

�

��

��

1,85L

D4,87Q1

1,85 � h1 = 0

1

CHW�

�

��

��

1,85L

D4,87Q2

1,85 � h2 = 0

(5.22)

c) On applique la méthode de Newton-Raphson pour résoudre :

�1,851

�

�

�

��

1,851

C2.85

L

D4,87Q1

1,85 �4,871

C�

�

�

��

1,85L

D5,87Q1

1,85

�1,851�

�

�

��

1,851

C2.85

L

D4,87Q2

1,85 �4,871

C�

�

�

��

1,85L

D5,87Q2

1,85

�

�

�

��

�C

�D

��

��=

h1 �1

CHW�

�

�

��

1,85L

D4,87Q1

1,85

h2 �1

CHW�

�

�

��

1,85L

D4,87Q2

1,85

�

�

��

�

��

�

�

��

�

��


106

Exercices

5.1 Une borne-fontaine est située à l’extrémité d’une conduite de 15 cm de diamètre et de 100 m delongueur en cul-de-sac. Lorsque cette borne est fermée, on y mesure une pression de 53 m d’eau.Le débit à la borne-fontaine complètement ouverte peut être évalué par la relation suivante :

Q = 0,9Ab 2gH [m3/s]

où Ab = l’aire de l’ouverture de l’orifice de la borneg = la gravitéH = la pression à la borne.

On sait de plus que l’orifice de la borne a un diamètre de 6 cm. On fait l’hypothèse que, peuimporte le débit, la pression à l’amont de la conduite est constante et égale à la pressionstatique mesurée. La conduite est supposée horizontale, on néglige la hauteur de la borne etle coefficient de Hazen-Williams est de 100.

Quel débit sortira de la borne si elle est complètement ouverte ?

Chapitre 6 - Collecte et évacuation des eaux usées et pluviales

6.1 Définitions

Les eaux à évacuer sont de trois types :

- Les eaux provenant des édifices, résidences, commerces, services, autrement appeléeseaux usées domestiques.

- Les eaux industrielles qui nécessitent un traitement primaire avant le rejet à l'égout.

- Les eaux du ruissellement urbain.

Les systèmes d'évacuation sont composés principalement de conduites à écoulement à surfacelibre, de canaux et fossé, et accessoirement de poste de pompage pour refouler les eaux vers lescollecteurs. Habituellement, on considère trois catégories de systèmes d'évacuation, soit:

- L'égout combiné ou unitaire

- L'égout pseudo-séparatif

- L'égout séparatif composé d'un égout sanitaire et d'un égout pluvial

Les figures 6.1, 6.2 et 6.3 illustrent les caractéristiques de chacun.

puisard de ruedrain de fondation

égout pluvial

égout sanitaire

Fig 6.1 - Égouts séparés

108


égout pluvial

égout sanitaire

Fig 6.2 - Égouts pseudo-séparé


égout pluvial

Fig. 6.3 - Égout combiné ou unitaire

6.2 Évaluation des quantités à traiter

Les quantités d'eaux usées de consommation, domestiques ou industrielles, sont fortementcorrélées avec la demande. On estime qu'elles correspondent à environ 70 % à 130 % de laconsommation. Il faut compter en effet avec les eaux infiltrations et de captage. et les fuites dansle réseau.

109

Au québec, le débit d’eaux usées d’origine domestique est de l’ordre de 200 à 225 L/hab/d, si onajoute les eaux usées provenant d’autres bâtiments, il faut plutôt compter 320 L/hab/d.

Parmi les eaux qui parasitent le réseau, mentionnons :

- Captage

Le ruissellement par les regards défectueuxLes raccords illégaux

- Infiltration

Le drainage de la nappe d'eau

Dans le cas de système d’égout ancien et rénové, il est difficile d’avancer des valeurs pour lesdébits d’infiltration et de captage. Pour un système nouveau, on évalue ces débits de captage à :

• Infiltration

225 L/cm de conduite/km de conduite/d

• Captage

25 L/hab/d (50 L/hab/d pour un réseau vieillissant)

Pour un territoire non aménagé ou l’on projette de construire une infrastrucure de collecte deseaux usées, on prendra plutôt :

• Infiltration

60 L/hab/d

• Captage

50 L/hab/d

Heureusement, dans les réseaux neufs, la technologie d'aujourd'hui permet de construire dessystèmes étanches. Pour les réseaux anciens, la détermination des problèmes se fait parinspection et mesures des débits par temps sec et humide.

Comme la consommation est variable selon une période donnée de temps, la quantité d'eau uséele sera aussi. On peut évaluer le facteur de pointe par la formule de Hormon :

FP =Qmax

Qmoy

=1+14

4 + P(6.1)

où P est la population desservie en milliers de personnes.

110

Pour le dimensionnement des conduites, on considère le débit maximum horaire de la journéemaximal auquel on ajoute l'infiltration maximale.

Qmax =Qdomestique � FP +Qinfiltration +Qcaptage

En ce qui concerne la quantité d'eau de précipitation, cela dépend évidemment des conditionsmétéorologiques, nous discuterons de cet aspect dans la section suivante consacrée à l'égoutpluvial.

6.3 Notions de drainage urbain

6.3.1 La méthode rationnelle

La technique de calcul des débits de ruissellement afin de calculer les diamètres ou lesdimensions des conduites et canaux est basée sur la méthode rationnelle. Cette technique estutilisée depuis la fin du siècle dernier (1889).

Ce n'est pas à proprement parler une méthode de simulation car elle est basée sur uneapproximation pondérée par les temps de parcours du débit de pointe de l'hydrogramme. Cetteapproximation nous donne donc l'ordre de grandeurs des débits à véhiculer mais ne peut prévoirtoutes les situations critiques.

La méthode rationnelle permet de calculer chaque débit de dimensionnement du réseau dedrainage en commençant en tête du bassin:

Q =1

360C I A (6.2)

oùQ = débit maximum de ruissellement en m3/sA = aire du sous bassin en haC = coefficient de ruissellementI = intensité de précipitation

Les deux hypothèses de base sont :

- L’intensité maximale du ruissellement à tout point du réseau est fonction du tauxmoyen de précipitation durant le temps de concentration

- Le taux de précipitation maximum survient pendant le temps de concentration

L'intensité de précipitation doit donc être déterminée sur la courbe intensité-durée-fréquencepour le temps de concentration du bassin Fig 6.4. Ce temps peut être déterminé par la formule dedrainage des aéroports :

111

tc =3,26 1,1�C( )L

12

S13

(6.3)

où :

tc : temps de concentrationC : coefficient de ruissellementL : distance de drainage [m]S : pente de la surface à drainer [%]

Le coefficient de ruissellement C doit être déterminé à partir de tables de valeurs calculées enfonction de la nature du sol; en voici quelques valeurs typiques :

Surface C

Toits 0,70 @ 0,95

Asphalte 0,85 @ 0,90

Pavé 0,75 @ 0,85

Dalle 0,40 @ 0,50

Gravier 0,15 @ 0,30

Parc, gazon 0,05 @ 0,25

112

Courbes IDF pour Québec

0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Durée [min]

Fréquence1/100 ans

1/50 ans1/25 ans1/10 ans

1/5 ans1/2 ans

Fig 6.4 - Courbe intensité-durée-fréquence

Son application est relativement simple:

- Pour chaque sous-bassin de tête de superficie A, on estime le temps tc de concentration et lecoefficient de ruissellement C. Pour une période de récurrence donnée, on choisit sur lacourbe intensité-durée-fréquence un taux de précipitation I correspondant à une durée égaleau temps de concentration. Ceci nous permet de calculer le débit, le diamètre de la conduite,la vitesse d'écoulement et le temps de parcours.

- Pour un sous-bassin aval, on prend comme temps de concentration le maximum des temps deconcentration et des temps de parcours des écoulements amont qui parviennent à sonexutoire. La superficie considérée sera la somme de toutes les superficies amont desserviespar cet exutoire. Le coefficient de ruissellement sera la moyenne pondérée par les aires dessous-bassins amont des coefficients de ces sous-bassins. Le taux de précipitation est tiré de lacourbe IDF. On peut alors calculer le débit, le diamètre, la vitesse et le temps de parcours etpasser au sous-bassin suivant.

113

Exemple :

A = 1 haC = 0,4

tc = 10 min

A = 1 haC = 0,8

tc = 3 min

A = 4 haC = 0,6

tc = 8 min

0,2%, 200m

1%

, 1

00

m

I = 3600

16 + t

1

2 3

0,5%, 200m

[mm/h]

Trois sous bassins sont drainés par les conduites 1, 2 et 3. On connaît leur superficie, leurcoefficient de ruissellement ainsi que leur temps de concentration. La courbe IDF est donnée.

Conduite 1

L’intensité de précipitation est choisie à partir de la courbe IDF en fonction du temps deconcentration :

I =3600

16 + tc

=3600

16 +10=138,5 mm/h

Connaissant la superficie de l’aire drainée et le coefficient de ruissellement, on calcule le débitpar la méthode rationnelle :

Q =1

360C I A =

1

360� 0,4 �138,5�1,0 = 0,154 m3/s

On calcule alors le diamètre de la conduite coulant pleine qui peut passer ce débit avec une penteégale à celle de la rue sur une longueur donnée, avecun coefficient de Manning de 0,013 :

D =nQ

�

�

��

�

��

38 1

S316

=0,013�0,154

0,3117

�

��

�

��

38 1

0,01316

= 0,357 m

On choisit un diamètre commercial (arrondi au 5 cm supérieur) :

Dc = 0,400 m

On recalcule le débit plein que peut passer cette conduite :

114

Qp =�

nDc

83 S

12 =

0,3117

0,013� 0,4

83 � 0,01

12 = 0,208 m3/s

Puis la vitesse pleine :

Vp =4Q

� Dc

2=

4� 0,208

� � 0,42=1,66 m/s

ce qui est une vitesse acceptable. Le temps de parcours dans cette conduite sera :

t p =L

60V=100 ÷ (60 �1,66) =1,01 min

Conduite 2

Cette conduite, qui le draine le deuxième sous-bassin, reçoit déjà un débit provenant de l’amont.

La superficie drainée est la somme des superficies drainées à l’entrée de cette conduite :

A = Ai

i=1

2

� = A1 + A2 =1+1= 2 ha

Le coefficient de ruissellement est calculé comme la moyenne pondérée des coefficients desaires drainées à ce point :

C =

Ci Ai

i=1

2

�

Ai

i=1

2

�=

0,4 �1+ 0,8 �1

2= 0,6

Le temps de concentration est égal au maximum des temps de concentration et de parcours :

tc = maxtc1

tc2 + t p1

��

= max3

10 +1,01

��

=11,01 min

Intensité de précipitation :

I =3600

16 + tc

=3600

16 +11,01=133,3 mm/h

Débit de ruissellement :

Q =1

360C I A =

1

360� 0,6 �133,2 �2,0 = 0,444 m3/s

115

Diamètre de la conduite coulant pleine :

D =nQ

�

�

��

�

��

38 1

S316

=0,013�0,444

0,3117

�

��

�

��

38 1

0,005316

= 0,605 m

Diamètre commercial :

Dc = 0,650 m

Débit plein :

Qp =�

nDc

83 S

12 =

0,3117

0,013� 0,65

83 � 0,005

12 = 0,537 m3/s

Vitesse pleine :

Vp =4Q

� Dc

2=

4� 0,537

� � 0,652=1,62 m/s, vitesse acceptable.

Le temps de parcours :

t p =L

60V= 200 ÷ (60 �1,62) = 2,06 min

Conduite 3

Superficie drainée :

A = Ai

i=1

3

� = A1 + A2 + A3 =1+1+ 4 = 6 ha

Le coefficient de ruissellement :

C =

Ci Ai

i=1

3

�

Ai

i=1

3

�=

0,4 �1+ 0,8 �1+ 0,6 � 4

6= 0,567

Le temps de concentration est égal au maximum des temps de concentration et de parcours :

tc = max

tc3

tc2 + t p2

tc1 + t p1 + t p2

�

��

��

= max8

3+ 2,0610 +1,01+ 2,06

�

��

��=13,07 min

116

Intensité de précipitation :

I =3600

16 + tc

=3600

16 +13,07=123,9 mm/h

Débit de ruissellement :

Q =1

360C I A =

1

360� 0,567 �123,9 �6,0 =1,170 m3/s

Diamètre de la conduite coulant pleine avec une pente minimale de 0,25 % puisque la rue a unepente de 0,2 % :

D =nQ

�

�

��

�

��

38 1

S316

=0,013�1,17

0,3117

�

��

�

��

38 1

0,0025316

= 0,991 m

Diamètre commercial :

Dc =1,000 m

Débit plein :

Qp =�

nDc

83 S

12 =

0,3117

0,013� 1,0

83 � 0,0025

12 =1,199 m3/s

Vitesse pleine :

Vp =4Q

� Dc

2=

4�1,199

� �1,02=1,53 m/s, vitesse acceptable.

Le temps de parcours :

t p =L

60V= 200 ÷ (60 �1,53) = 2,18 min

6.3.2.Calcul de l'écoulement

Une conduite pluviale est correctement dimensionnée lorsqu'elle peut faire écouler le débit dedimensionnement sans se mettre en charge, à des vitesses comprises entre 0,6 et 4,5 m/s et à unepente supérieure à 0,0025 (0,25 %). Les directives du Ministère de l'environnement préconisentde plus, un diamètre supérieur ou égal à 300 mm.

Pour obtenir le bon diamètre, on procède comme suit :

117

- Calcul du diamètre de la conduite circulaire pleine avec le débit de dimensionnement et la

pente du sol ou S = 0,0025 par la formule de Manning :

D =nQ

�

�

��

�

��

38 1

S316

(6.4)

avec � = 0,3117 en S.I. et 0,4632 en S.A.

- On arrondit à la valeur supérieure ce diamètre pour prendre une valeur commerciale Dc,minimum 300 mm, et on calcule le débit plein:

Qp =�

nDc

83 S

12 (6.5)

- Calcul de la vitesse d'écoulement pour vérifier si elle comprise entre 0,6 et 4,5 m/s:

Vp =1

n

Dc

4

�

��

�

��

23

S12 =

4Q

� Dc

2(6.6)

- Correction du diamètre ou de la pente pour obtenir un dimensionnement correct, le calcul dela pente en fonction des autres paramètres est donné par:

S =nQ

�

�

��

�

��

21

Dc

163

(6.7)

- Le temps de parcours (en min) est donné pour une conduite de longueur L par:

t p =L

60V(6.8)

6.3.3 Principes de base des méthodes d'hydrogrammes

Une simulation réelle du parcours de l'onde de crue dans un réseau de drainage ne peut se fairequ'en considérant le facteur temps. Pour cela, il suffit de découper un événement « pluie » enintervalles de temps, de considérer pour chaque pas de temps la quantité d'eau qui ruisselle pourarriver à chaque point d'entrée du réseau et d'accumuler, en fonction des quantités d'eau déjàprésentes dans le réseau, le débit dans chaque conduite. Les dimensions physiques du réseau,longueurs, diamètres et pentes, permettront de déterminer les temps de parcours dans chaquebranche.

Nous aurons donc à chaque point de jonction du réseau la sommation des hydrogrammesd'apport et une telle simulation nous permettra de connaître l'hydrogramme réel en tout point duréseau. (fig 6.5)

118

Il est évident que plus le pas de temps sera petit plus la précision sera grande. Le nombre decalculs à effectuer sera donc proportionnel au nombre de pas de temps et, aussi, à la taille duréseau. Bien que ces calculs soient relativement simples, il est important de garder un parfaitsynchronisme de l'ensemble de leur déroulement.

C'est pourquoi une telle méthode ne peut être effectuée à la main et que l'ordinateur devient unoutil précieux.

Dans ce qui suit, nous allons montrer le fonctionnement d'un modèle de ruissellement urbain ennous basant sur les caractéristiques du modèle SIRDU développé à partir du modèle ILLUDAS àl'École polytechnique de Montréal.

L'organigramme de base est montré à la figure 6.6 et présente les différentes étapes à franchirpour évaluer la progression d'un hydrogramme dans un réseau de conduite.

119

Superficies tributaires

Perméables

imperméables

Indirectementdrainées

directementdrainées

Fig 6.4 – Hydrogrammes de ruissellement à partir de diverses superficies.

120

Entrée desdonnées

Pluie ?

réelle Huff Mitci

hydrogramme dessuperficies imperméables

hydrogramme dessuperficies perméables

hydrogrammed'apport

hydrogrammecumulé

hydrogrammeamont

Rétention ?

Débitmaximum?

hydrogrammeà véhiculer

Mode ?

Design Évaluation Gradient

Écoulementen conduite

Fin ?Impressionoui non

non

non oui

oui

Fig 6.6 - Organigramme du modèle SIRDU

121

Choix des pluies de dimensionnement

L'entrée fondamentale de ce type de modèle est évidemment la pluie ou encore le hyétogramme.

Pour faire un dimensionnement correct et efficace de l'infrastructure de drainage, il convientdonc d'entrer dans le modèle des pluies relativement rares mais critiques en termes de durée etd'intensité.

Plusieurs pluies synthétiques ont donc été mises sur pied en fonction des caractéristiquesmétéorologiques de la région considérée. Généralement ces pluies considèrent les paramètresphysiques et statistiques de durée, d'intensité, de précipitation et de fréquence. Parmi leshyétogrammes synthétiques disponibles, citons :

- la pluie constante

- la pluie de forme triangulaire

- la pluie de Huff

- la pluie de Chicago

- la pluie de Mitci.

La pluie de Mitci, utilisée dans le modèle SIRDU est particulièrement intéressante sur ce plan carelle est construite à partir des courbes intensité-durée-fréquence et peut donc être adoptée àdifférentes régions du globe.

Cette pluie synthétique se construit comme suit :

Pour une fréquence donnée, la relation intensité de précipitation en fonction de la durée s'écritcomme suit :

i =a

td � b( )c

(6.9)

où :

i = intensité de la précipitationtd = duréea, b, c = constante déterminée à partir des mesures dans une région donnée

On définit ensuite les temps avant ta et après tb la pointe d'intensité maximale mesurée à partir decette pointe.

tb = r td (6.10)

ta = 1� r( ) td (6.11)

122

où r est le rapport entre la durée avant l'intensité maximale et la durée totale.

Les intensités avant et après la pointe peuvent s'écrire :

ib =

a 1� c( ) tb

r+ b

�

��

�

��

tb

r+ b

�

��

�

��

1+c( )(6.12)

ia =

a 1� c( ) tb

1� r+ b

�

��

�

��

tb

1� r+ b

�

��

�

��

1+c( )(6.13)

En pratique, on peut utiliser une méthode discrète pour calculer le hyétogramme à partir du pasde temps choisi. L'intensité de pointe sera alors calculée comme étant l'intensité de précipitationcorrespondant à une durée de pluie égale à l'intervalle de temps choisi.

Règle générale, le rapport r est égal à 0,5. Le hyétogramme synthétique peut être donc généré enconnaissant le pas de temps choisi, la période de récurrence et la durée totale de pluie, fig. 6.7.

tb

ta

td

Td

Temps

Inte

nsit

é de

pré

cipi

tati

on

Fig 6.7 - Hyétogramme synthétique

123

Caractérisation des sous-bassins

À partir de ces pluies, il faut considérer l'apport net de la quantité d'eau dans le réseau dedrainage en fonction des caractéristiques d'écoulement et de rétention des bassins drainés. Ilconvient donc de tenir compte des paramètres suivants :

- La relation surface-temps, la forme du bassin sera déterminante dans cette relation

• Le temps de concentration, les comportements en ruissellement seront ici primordiaux.

Les bassins sont donc caractérisés en fonction de leur taux de ruissellement. En milieu urbain, onrencontre généralement :

• Des superficies imperméables directement drainées

Les temps de concentration seront déterminés par une formule d'écoulement de typeManning:

tc = n L Rh

-23 S

-13 (6.14)

où :

tc = temps de concentrationn = coefficient de ManningRh = rayon hydrauliqueS = pente moyenne du terrainL = longueur de drainage

Dans le modèle SIRDU, on considère n = 0,017 et R = 0,06 m ce qui représente un débitmoyen dans les caniveaux de l'ordre 0,035 à 0,07 m3/s par hectare.

La relation surface-temps du bassin dépend de la forme du bassin de la tête à l'exutoire,autrement dit, de la répartition des surfaces isochrones. Étant donné la grande variété deconfigurations possibles, il convient de faire des hypothèses simplificatrices sur ce plan enadoptant une ou plusieurs surfaces types de forme géométrique simple. Le modèle SIRDUutilise une relation linéaire où la surface de ruissellement est initialement nul et égale à lasurface totale au temps de concentration. Ceci est à peu près correct pour une surface carréeou rectangulaire ayant un rapport longueur-largeur égale à quatre.

Sur ces surfaces imperméables, on considère qu'une certaine quantité d'eau sera obtenue endébut de précipitation en raison des petites dépressions de surface, on soustrait donc unehauteur de 2 mm au hyétogramme, une autre valeur peut cependant être choisie parl'utilisateur.

L'hydrogramme de ruissellement est alors calculé en fonction du temps de concentration,donc des surfaces participantes et du hyétogramme net.

124

• Des superficies perméables et imperméables indirectement drainées

Notons que les superficies imperméables indirectement drainées sont des superficiesimperméables qui se drainent sur des superficies perméables lesquelles s'écoulent dans leréseau.

Le temps de concentration s'écrit dans ce cas:

tc = C K Lqe

23 (6.15)

avec :

K = C1 I + c( )S� 1

2

et :

qe = C2 I L

où :

tc = temps de concentrationC = constante d'unités 0,0222 m1/3s1/3, 0,033 pi1/3s1/3

L = longueur de drainageI = intensité moyenne de précipitationc= coefficient de terrainS = penteqe = débit unitaire à l'équilibreC1 = 2,76 x 10-3 h/mm (Izzard)C2 = 2,78 x 10-7 m h/mm s (Izzard)

Le temps de concentration des superficies perméables indirectement drainées est ajouté autemps calculé ci-dessus.

La relation surface-temps est la même que précédemment.

L'hydrogramme net est constitué d'une partie de la pluie car l'autre partie est, soit retenue,soit infiltrée. L'infiltration est elle-même fonction de la capacité du sol à emmagasiner del'eau; ceci ne dépend pas uniquement de la nature du sol mais aussi des conditions d'humiditéprécédente.

Une relation telle que celle de Horton peut alors être utilisée:

f (t ) = fc + f0 � fc( )e�Kt (6.16)

où :

f(t) = taux d'infiltration

125

f0 = taux d'infiltration en sol secfc= taux d'infiltration en sol saturéK = constante

L'hydrogramme de ruissellement est alors calculé de façon semblable au cas précédent, c'est-à-dire en tenant compte du hyetogramme net.

Finalement, l'hydrogramme total sera constitué de la somme des hydrogrammes provenantdes superficies, de l'hydrogramme des conduites en amont et d'un éventuel hydrogrammed'apport. Ce dernier permet de simuler un débit de temps sec dans le cas d'un égout unitaire.

Dimensionnement des canaux et conduites

Différentes possibilités peuvent être considérées avant que l'eau ne parviennent aux conduites etaux canaux, ce sont:

• Les bassins de rétention dont le volume est fixé

• Les déversoirs limitant le débit à un maximum.

Le principal élément à retenir dans le calcul du transport de l'hydrogramme dans les conduites etles canaux est leur capacité d'emmagasinement.

Ceci sera, bien sûr, fonction de la géométrie de ces ouvrages (conduite circulaire, rectangulaireou canaux trapézoïdaux).

On doit donc mettre en relation l'emmagasinement et le débit de sortie pour chaque tronçon, etceci pour chaque intervalle de temps en considérant par hypothèse simplificatrice, quel'écoulement est uniforme (d'où l'intérêt de choisir des pas de temps petits). Au milieu d'un pasde temps, à �t/2, on écrit :

Qe =2Ve

�t+Qs (6.17)

où :

Qe : débit entrantQs : débit sortantVe : volume d'emmagasinement�t : pas de temps

L'emmagasinement est calculé en fonction de débit de sortie, lequel est inconnu :

Ve = f (Qs) (6.18)

La fonction f(Qs) dépend de la forme de la conduite et de la formule d'écoulement de Manning :

126

Qs =1

nA

A

P

�

��

�

��

23

S12 (6.19)

où :

n : coefficient de ManningA : section d'écoulementP : périmètre mouilléS : pente de la conduite

Les expressions de A et de P pour une conduite circulaire, par exemple, sont complexes. Ellespeuvent être déterminées analytiquement à partir de la géométrie de la section, ou bien, ellespeuvent être données sous forme discrètes en fonction de la hauteur relative d'écoulement. Si onutilise des expressions analytiques, la relation d'écoulement en conduite devient:

Qe =2 f (Qs)

�t+Qs (6.20)

Comme Qe et �t sont déjà connues, le débit de sortie Qs doit être déterminé par une méthodeitérative de Newton-Raphson, en raison de la non-linéarité de cette dernière relation

Les capacités limites de chaque tronçon du réseau pourront donc être considérés, ainsi que lesmises en charge et les débordements seront détectés par le modèle. Ce type de modèle peut êtreutilisé, soit pour analyser un réseau existant, déterminer la cause d'un problème ou bien pourvérifier un nouveau dimensionnement. Une fois les données entrées dans l'ordinateur, ellespeuvent être modifiées en partie, au niveau des pluies, des sous-bassins ou du réseau pouraméliorer la performance et l'efficacité d'une hypothèse de modification.

6.4 L'égout sanitaire

6.4.1 Notions de base

Avant de procéder au dimensionnent du réseau sanitaire, il faut obtenir de l'information sur lesdébits maximum, moyen et minimum des secteurs à desservir.

Les normes prescrivent des vitesses d'écoulement comprises entre 0,6 et 4,5 m/s. Une penteminimale de 0,25% et un diamètre minimal de 200 mm.

On devra aussi porter attention aux points suivants :

• Éviter les infiltrations et les fuites

• Réduire le plus possible les causes potentielles d'obstacles à l'écoulement

• Prévoir des accès pour l'entretien

127

6.4.2 Méthode de calcul des écoulements

L'écoulement étant à surface libre on emploie la formule de Manning, de plus on aurafréquemment à calculer des écoulements dans des conduites circulaires partiellement pleines (Fig6.7 ). Les relations suivantes seront donc fort utiles .

�

D

y

T

Fig 6.7 - Conduite circulaire partiellement pleine.

La relation entre la profondeur relative et l’angle au centre s’écrit :

cos �2( ) = 1�

2y

D

�

��

�

�� (6.21)

Le périmètre mouillé :

P =�D

2(6.22)

L'aire de la section d'écoulement :

A =1

8� � sin(� )( )D2 (6.23)

La largeur au miroir :

T = Dsin �2( ) (6.24)

Le rayon hydraulique :

Rh = 1�sin(� )

�

�

��

�

��

D

4(6.25)

avec � en radians.

128

Ces relations permettent d'obtenir le graphique de la fig 6.8 Il permet d'obtenir lescaractéristiques hydrauliques en fonction du rapport des hauteurs d'écoulement y/D, ce quipermet de simplifier les calculs en se référant à la conduite coulant pleine.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3

Rapport des propriétés

Périmètre Aire

Débit

Vitesse

Rayon hydraulique

Fig 6.8 - Propriétés hydrauliques d'une section circulaire

6.4.3 Vitesse auto-nettoyante ou d’autocurage

La vitesse minimale de 0,6 m/s, coulant en régime plein, a été prescrite pour empêcher que lesmatières organiques se déposent dans les conduites ce qui risque de former des gaz nauséabonds,parfois toxiques et même pire, explosifs. Cette règle est considérée comme satisfaisante dans lapratique, cependant, si l’on désire plus de détails on peut utiliser une formule mettant en relationla vitesse, la taille des matières solides et leur densité.

À partir des études portant sur le transport de matières solides par un fluide faites par Shields, onpeut écrire une relation exprimant la vitesse nécessaire pour générer la force requise pourdéplacer et transporter une particule organique ou minérale:

129

V =1

nRh

16 � s �1( )d (6.26)

avec :

n : Coefficient de Manning

� : Coefficient empirique adimensionnel

= 0,04 pour calculer la vitesse nécessaire à initier le transport

= 0,8 pour calculer la vitesse nécessaire à maintenir le transport

s : densité relative de la particule, 2,65 pour les minéraux, 1,01 pour la matière organique.

D : diamètre de la particule en m

Remarquons que cette relation n'est pas une formule d'écoulement mais bien un critère devitesse.

De plus, notons que la vitesse auto-nettoyante est fonction du rayon hydraulique, il est doncnormal que la vitesse requise pour transporter une particule soit plus petite pour une hauteurd'écoulement plus faible.

Si la vitesse d’écoulement n’est pas assez grande pour déplacer les particules prescrites, il fautmodifier l’écoulement en ajustant la pente. On peut estimer la nouvelle pente en posant que lavitesse d’écoulement doit être égale à la vitesse d’auto nettoyage :

1

nRh

23 S

12 =

1

nRh

16 � s �1( )d

en isolant S, il vient :

S =� s �1( )d

Rh

Le rayon hydraulique est approximatif est le fait de prendre le rayon des conditions précédentesconduits à une estimation réaliste et efficace. Il convient cependant de recalculer complètementla conduite car le fait de changer la pente peut entraîner une réduction de diamètre.

6.4.4 Étapes du dimensionnement de l'égout sanitaire

a) Placer sur plan les conduites et les regards

b) Déterminer les aires des surfaces desservies par chaque conduite

130

c) Déterminer le débit de dimensionnement soit le débit moyen multiplié par le rapportQmax/Qmoy auquel on ajoute l'infiltration et de captage. (l'infiltration moyenne est del'ordre de 225 L par cm de diamètre et par km de longueur par jour)

Ramener le débit en débit per capita pour chaque aire desservie.

d) En partant de l'amont, évaluer les débits cumulatifs dans chaque conduite, à laconduite i,

Q = qj d j Aj

j=1

i

� (6.27)

avec qj, le débit per capita et dj la densité de population pour l'aire Aj

e) Calculer le diamètre de la conduite sur les bases suivantes:

1° 0,5 � y/D � 1

2° Conduites le plus possible parallèles au sol en respectant l'enfouissement minimum.

3° Le débit minimum journalier doit garantir des conditions d'auto-nettoyage.

4° Le débit de pointe doit pouvoir être évacué par les conduites.

5° Tenir compte de la période d'utilisation de 25 @ 50 ans pour vérifier les débits, il estpréférable d'utiliser Qmin en début de période et Qmax en fin de période.

6.5 Collecte des eaux à traiter

Depuis la mise en route du programme d'assainissement des eaux usées, des travauxd'équipements hydrauliques sont effectués pour créer une infrastructure de collecte des eauxusées à la sortie des réseaux d'égout existant.

Il s'agit essentiellement d'intercepter les eaux usées à l'endroit où elles étaient rejetées sanstraitement en nature pour ensuite les acheminer vers les unités de traitements. Deux problèmessont généralement rencontrés. Le premier est lié à la nature gravitaire des réseaux d'égoutspuisque les exutoires de ces réseaux sont situé dans les points bas. On construit donc des postesde refoulement pour retourner vers les usines d'épuration les eaux usées.

Le deuxième problème est lié au fait que les réseaux comportent parfois des parties trèsanciennes qui servaient à la fois pour évacuer les eaux sanitaires et de précipitation. Comme il neserait pas économique de construire une usine d'épuration capable d'absorber les pointes dedébits causées par des précipitations intenses, on prévoit des systèmes qui limite l'accès auxusines et retiennent et déversent une partie des eaux mêlées dans le milieu naturel

131

6.6 Principes de gestion des eaux de précipitationUne gestion efficace et sûre des eaux de précipitation repose sur des principes qui concernentaussi bien la protection de la vie humaine que la préservation des installations matérielles et dela qualité de l’environnement. Par ordre d’importance, on peut énoncer les principes suivants :- Protéger de la vie humaine face aux risques d’inondation.- Éviter les dommages à la propriété publique et privée.- Minimiser les impacts des précipitations sur les activités normales.- Conserver la qualité de l’eau.Les aménagements et les infrastructures construites devront se comporter de façon à respecterces principes de base. Des connaissances en hydrologie statistique nous permettront d’évaluer lesrisques et la maîtrise des écoulements à surface libre nous aidera à garantir l’efficacitéhydraulique des ouvrages.

6.7 Hydraulique des caniveau et des grilles d’égouts pluviauxLes eaux de ruissellement doivent être acheminées au réseau de collecte. L’entrée dans ce réseause fait principalement par des grilles au niveau de la chaussée.Ces grilles sont situées dans des points bas pour créer une pente hydraulique suffisante pour yattirer une partie du débit de ruissellement. Sur les terrains de stationnement et autres surfacesnon orientés à drainer, on crée une topographie en pyramides plates inversées au sommet (ici, lepoint le plus bas !) desquelles on place la grille. Toute l’eau tombant sur la zone pyramidale estdonc attirée au centre.Dans les artères de circulation, on vise à dévier le ruissellement vers le coté de la voiecarrossable en donnant à cette dernière une pente latérale à partir du centre de la voie, c’est ceque l’on appelle le dévers. Lorsque la rue est limitée par une chaîne de rue, le ruissellement seconcentre entre cette chaîne et la chaussée pour former un écoulement dans la directionlongitudinale. Cette zone d’écoulement est appelée le caniveau (fig 6.9).

déverscaniveau

y

T

m1

Figure 6.9 – Écoulement en caniveau.

132

6.7.1 CaniveauxL’écoulement en caniveau se calcule avec la formule de Manning, pour connaître la hauteurd’écoulement en fonction du débit, on évalue les paramètres de la section d’écoulement puis oncalcule la hauteur normale :

T = my

A =Ty

2=

my2

2

P = y + m2 y2 + y2 = y 1+ m2 +1( )Rh =

my

2 1+ m2 +1( )La formule d’écoulement devient donc :

Q =�

n

my2

2

my

2 1+ m2 +1( )

�

�

��

�

�

��

23

S12 =

�

2n

m5

3 y8

3

2 1+ m2 +1( )��

��

23

S12 (6.28)

d’où l’on tire la

y =2nQ

�m5

3 S12

2 1+ m2 +1( )��

��

23

�

��

�

��

38

(6.29)

Cependant, dans le cas des caniveaux, la valeur de m est comprise entre 10 et 50 et le périmètremouillé peut être approximé par :

P = my

et le rayon hydraulique devient :

Rh =y

2

ainsi l’expressions 6.28 et 6.29 deviennent respectivement :

Q =�m

25

3 n

y8

3 S12 (6.30)

y =2

53 nQ

�mS12

�

�

��

�

�

��

38

(6.31)

133

Dans la pratique, on considère que la largeur maximale acceptable du filet d’eau T ne doit pasdépasser 1,5 m. Par ailleurs, on admet généralement une hauteur de chaîne de rue (ymax) de 15 cmet un coefficient de Manning n = 0,017. Règle générale, la pente de la rue minimale de devraitpas être inférieure à 0,004 et la vitesse maximale dans le caniveau doit être inférieur à 3 m/s.

6.7.2 Grilles d’égout pluvialLes grilles d’égout pluvial sont en général de forme rectangulaire dans les caniveaux et circulaireou carrée pour les surfaces non orientées. On considère qu’elles fonctionnent comme undéversoir sur une partie ou la totalité de leur périmètre. Le débit intercepté par la grille se calculeen fonction de la hauteur de la lame d’eau à proximité de la grille et du périmètre efficace :

QG = CwPy1,5 (6.32)où : Cw : coefficient de perte de charge de 1,5 à 1,7

P : périmètre efficace, pour une grille rectangulaire en caniveau, P est la somme de lalargeur et la longueur de la grille, pour une grille ronde sur un parking, P est lacirconférence.y : hauteur d’eau à proximité de la grille.

Lorsque le débit dans le caniveau devient trop important et que la largeur du filet d’eau dépasse1,5 m, on place une grille pour soustraire du débit le débit intercepté par la grille.

134

Exercices

6.1 Que signifie "conduite coulant pleine"? Quelle différence y a-t-il avec une conduite en charge?

6.2 Dans une conduite circulaire, nous savons qu'il coule un débit de 1,4 m3/s avec un y/D = 0,75 etque le débit minimum de 0,3 m3/s coule à la vitesse minimum. Le coefficient de Manning est de0,01. Déterminer le diamètre et la pente de la conduite de même que la hauteur d'écoulementpour le débit minimum.(D = 1,6 m, S = 2 x 10-4)

6.3 En posant un débit maximum d'eau usée de 0,1 m3/s et un débit moyen de 0,05 m3/s, calculerune conduite d'égout sanitaire sous une rue de pente 1 % en respectant une vitesse d'auto-nettoyage pour le débit moyen transportant efficacement des grains de sable de 1 mm (S=2.65,n=0,013 et diamètres commerciaux tous les 0,05m ).(D = 0,3 m, S = 0,02)

6.4 Calculer la conduite pluviale pour un débit de 0,3 m3/s avec n=0,013 et une pente de rue de 1 %.Quels diamètres de particules de sable pourra-t-elle entraîner si le débit est de 0,1 m3/s?(D = .5 m, 0.35 mm < d < 7 mm)

6.5 Une conduite d'égout sanitaire en béton (n=0,013) de 510 mm de diamètre peut passer un débitmaximum de 250 l/s (en régime de conduite pleine). Le débit minimum est de 15 % du débitmaximum.

a) Calculer la profondeur d'écoulement pour le débit minimum.

b) Déterminer la pente de la conduite.

c) Vérifier le diamètre de la particule de sable (s=2,65) que peut déplacer le courant en régimede débit minimum sans la maintenir en suspension.

(a) y = 125,5 mm b) S = 0,4% c) d = 9,04 mm)

6.6 Décrire brièvement, mais en faisant ressortir les éléments déterminants, ce que l'on désigne par:

- égout combiné- égout séparé- égout pseudo-séparé

135

6.7 a) Expliquer ce que représente la courbe intensité-durée-fréquence.

b) Calculer le débit de ruissellement pour un bassin de 2 ha dont le terrain présente 40 % desurfaces imperméable (C=1) et le reste en couvert végétal (C=0,3). Le temps deconcentration est estimé à 15 minutes. La courbe IDF pour une fréquence de 1/10 ansest donnée par:

I = 200015 + t

[ mm/h ] et t en min

(Q = 0,2127 m3/s)

6.8 Considérant le schéma de la figure suivante, dimensionner les conduites d'égout pluvial etvérifier la gamme de diamètres de particules minérales (s = 2,65) pouvant être déplacées parl'écoulement pour les débits les plus grands. La courbe IDF pour une fréquence de 1/10 ans estdonnée par:

I = 200020 + t

[ mm/h ] et t en min

A = 2 haC = 0,9tc = 5 min.

A = 2 haC = 0,6tc = 15 min

100 m1%

100 m2%

(D1 = 520 mm, D2 = 480 mm)

6.9 Pourquoi ne faut-il plus construire de systèmes d'égout pseudo-séparés?

6.10 Une conduite d'égout sanitaire doit desservir un groupe de 1000 personnes qui rejettent enmoyenne 300 L/h-d. Cette conduite en béton (n=0,013) sera placée sous une rue ayant 0,7% depente.

- Calculer le débit maximum devant servir à dimensionner cette conduite.

- Calculer son diamètre, la hauteur d'écoulement et la vitesse pour ce débit maximum.

- Déterminer les gammes de diamètres de particules minérales (s = 2,65) et organique (s =1,01) pourra entraîner et transporter ces conditions d'écoulement.

Que conclure sur le comportement des particules organiques.

136

6.11 Un égout sanitaire est calculé pour un débit maximum de 60 l/s. Quelle pente doit-on lui donnerpour qu'il transporte efficacement à débit moyen ( 0,8 Qmax) des particules organiques de densitérelative de 1,03 et de diamètre de 2 cm? La pente de la rue est négligeable.

Chapitre 7 - Éléments de conception des installations de traitementCe chapitre, traite principalement des aspects hydrauliques du traitement des eaux que ce soitpour la production d’eau potable ou encore pour l’assainissement des eaux usées. On y aborderales dispositifs hydrauliques de contrôle des volumes d'eau à traiter, la séparation des eaux deruissellement, la configuration des usines selon les divers modes de traitement et enfin lesdispositifs de rejets en nature.

7.1 Installations de pompageParmi les éléments les plus fréquement utilisés dans ce domaine il faut compter les installationsde pompage. Elles servent dans la production d’eau potable au niveau de l’élévation des eauxbrutes et de la distribution alors que dans le cas des eaux usées elles font parties du système decollecte en refoulant les eaux usées vers les points de traitements

7.1.1 Courbes caractéristiques et point de fonctionnementLes courbes caractéristiques de la charge en fonction du débit sont établies pour la pompe et pourl'installation hydraulique concernée. On y trace aussi la courbe de rendement de la pompe (figure7.1)

1

2

3 rend

emen

t

char

ge

débit

A

Fig. - 7.1

1 - H = f(Q), courbe caractéristique de la pompe2 - H = Ho + h, courbe caractérisique du système, charge totale à remonter plus les pertesde charge3 - Courbe de rendementA - Point de fonctionnement

138

Le point de fonctionnement correspond, pour un débit donné, à la capacité de la pompe àéquilibrer la charge hydraulique totale à remonter incluant les pertes de charge à l’amont et àl’aval de la pompe. Pour le déterminer, il faut calculer le point d’intersection de la courbe depompe et de la courbe du système.Le point correspondant à Q=0 doit être au dessus de la courbe 2, autrement le système ne pourrapas démarrerLa région hachurée doit avoir la plus grande surface possible en restant compatible avec un bonfonctionnement par rapport au rendementLe régime de la pompe est d'autant plus stable que les courbures des courbes 1 et 2 sont grandes.Le point de fonctionnement doit se situer légèrement au delà du rendement maximum pour tenircompte du vieillissement de l'installation.Les pertes de charges ne doivent pas être trop surévaluées par rapport à la réalité car le point defonctionnement réel sera loin du point de rendement maximum.

7.1.2 Choix de la pompesLe choix d’une pompe se fait à partir d’un catalogue de pompes disponible auprès desmanufacturiers. On se sert des points de fonctionnement pour choisir une pompe qui les satisfaittout ant ayant le meilleur rendement possible.

7.1.3 Pompes en série et en parallèleSi la gamme de débit à pomper est assez large, on a intérêt à utiliser un groupe de pompes enparallèle. À l'inverse, si les charges sont grandes, on pourra utiliser des pompes installées ensérie. Les schémas suivant décrivent ces installations sur le principe de charge commune etsomme des débits pour le regroupement en parallèle, et débit commun et somme des chargespour un système en série.

Hp

HAA

QAQ3Q1Q2

H

Q

(1)(1)+(2) (1)+(2)+(3)

(3)(2)

1 2 3

Fig. 7.2 - Schéma d’un groupe de pompes en parallèle.

139

Hp

HA

A

QA

H3

H1

H2

H

Q

(1)

(1)+(2)

(1)+(2)+(3)

(3)

(2)

1 2 3

Fig. 7.2 - Schéma d’un groupe de pompes en série.

7.1.4 ExempleOn désire évaluer le point de fonctionnement d’une pompe utilisée pour remonter de l’eau d’unréservoir dont le niveau est à la cote 0 m vers un reservoir dont le niveau est à la cote 50 m. Lapompe est reliée au réservoir amont par une conduite de 20 m de long et de 30 cm de diamètrepuis elle refoule l’eau dans le réservoir aval par une conduite de 100 m de long et de 30 cm dediamètre. La courbe de la pompe est :

H = 70 �10Q � 200Q2

Solution :On calcule la courbe du système en incluant les pertes de charges (ici on a négligé les pertessingulières mais on pourrait, au besoin, facilement les rajouter) :

Conduite amont :

h1 =1

C�

�

��

�

1,85L

D4,87 Q1,85 =

1

100 � 0, 2785

�

��

1,8520

0, 34,87Q1, 8 5 = 14, 9459Q1,85

Conduite aval :

h2 =1

C�

�

��

�

1,85L

D4,87Q1,85 =

1

100 � 0, 2785

�

��

1,85100

0, 34,87Q1,85 = 74, 7296Q1,85

Charge totale :

140

H = Haval � Hamont + h1 + h2 = 50 + 89,6756Q1,85

Le débit de fonctionnement est obtenu en posant que la courbe de pompe est égale à lacourbe du système puis en résolvant pour Q. Ceci peut se faire sur une calculette résolvantdes équations non linéaires, sur Excel ou sur Maple.

70 �10Q � 200Q2 = 50 + 89, 6756Q1,85 � 20 �10Q � 200Q2 � 89,6756Q1,85 = 0

Pour obtenir rapidement une solution approximative, il suffit de remplacer l’exposant 1,85par 2 et de résoudre l’équation quadratique en choisissant la bonne racine. Quelquesitérations avec l’équation originale permet alors de raffiner la solution.

# Équation à résoudre : 20-10*Q-200*Q^2-89.6756*Q^1.85;> eq:=20-10*Q-200*Q^2-89.6756*Q^1.85=0;

2 1.85 eq := 20 - 10 Q - 200 Q - 89.6756 Q = 0

> Q:=solve(eq,Q);

Q := .2379428097

> H:=70-10*Q-200*Q^2;

H := 56.29721576

141

7.2 Vannes de contrôle de débits

Le contrôle des hauteurs d’écoulement et des vitesses se fait généralement au moyen de vannesorifices verticales. Le débit qui traverse une telle vanne s’écrit:

Q = µbl 2gh1

où l est la largeur de la vanne.

Connaissant le débit et les conditions d’écoulement à l’aval, on peut déterminer l’ouverture b dela vanne de façon à ajuster le niveau h1 pour garantir une vitesse d’écoulement adéquate. Lafigure 7.3 donne les valeur du coefficient de débit µ en fonction des différentes configurationspossibles.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 2 4 6 8 10 12 14 16

DÉVERSEMENT LIBRE

42

68

10 =h3b

h1b

µ

V12

2g

h1

b

�h

V22

2g

h2

h3

V32

2g

�h

Fig. 7.3 - Coefficients de débits de vannes verticale

142

Exercices

7.1 Une pompe dont la courbe est:

hp =15�125Q2 refoule dans une conduite de 25 cm de diamètre et d'une longueur

de 2000 m pour atteindre un réservoir. La charge statique à remonter est de 15 m. Si on choisit uncoefficient d'Hazen-Williams C = 120, quel sera le débit de la pompe? D'autre part, on prévoitque le coefficient d'Hazen-Williams atteindra C = 100 en raison du vieillissement de la conduite,quel sera alors le débit de la pompe?

7.2 Un débit de 2 m3/s arrive dans un canal rectangulaire de 2 m de large. Si on en contrôlait leniveau au moyen d'une vanne-orifice d'ouverture de 30 cm de hauteur, quelle devrait être lahauteur minimale des parois du canal?

Calculer aussi les vitesses d'écoulement dans le canal et au droit de l'orifice. Doit-on s'attendre àla formation d'un ressaut hydraulique à l'aval de la vanne? Si oui, pourquoi ?

Chapitre 8 - Régimes transitoires dans les systèmes hydrauliques

8.1 Introduction

Dans les systèmes hydrauliques en charge, les variations de pression causées par deschangements de régime plus ou moins rapides, voire brusques, entraînent des contraintes sur lematériel qui dépassent largement celles du régime statique ou permanent. Le dimensionnementd'une ligne d'adduction ou de refoulement se trouve donc affecté par ces valeurs extrêmes. C'estd'autant plus vrai dans le cas des stations de refoulement des eaux usées puisque leurs pompessont fréquemment et périodiquement démarrées et arrêtées dans des conditions contrôlées. Deplus, en situation d'urgence, ces systèmes sont soumis à des conditions extrêmes auxquelles ilsdoivent, dans la mesure du possible, résister.

Une analyse des différents régimes transitoires permettra de déterminer les conditions dedimensionnement ainsi que les mesures de protection pour les cas exceptionnels. Compte tenu dela complexité du phénomène, il n'existe pas de solutions analytiques complètes permettant derésoudre le problème. Des méthodes approximatives, graphiques ou numériques, ont donc pris lerelais pour permettre aux ingénieurs de quantifier ce type de phénomènes. La disponibilitécroissante de la puissance de calcul des ordinateurs à un coût décroissant a permis de développerdes outils numériques de simulation dont la précision et la fiabilité sont déjà fort acceptable enautant que l'on respecte les conditions d'utilisation.

Les objectifs de ce cours sont donc:a) d'examiner les concepts de bases de la modélisation des transitoires hydrauliques,b) de définir les conditions d'utilisation d'un tel modèle etc) d'en considérer l'exploitation surtout en matière de protection contre les effets néfastesdes variations de pression.

8.2 Description des phénomènes physiques en jeu.

8.2.1 État d’équilibre d’un système hydraulique

Les phénomènes de transitoires hydrauliques apparaissent lorsque l’équilibre des forces agissantsur un système est modifié. Quand un liquide est en mouvement dans une conduite et que cemouvement ne varie pas dans le temps, il y un état d’équilibre permanent. En fait, il y a équilibreentre l’énergie disponible (ou potentielle) et les énergies dues au mouvement (cinétique) etperdues par le frottement, ce qui définit un mouvement permanent. Cette vision estmacroscopique car, à une échelle plus petite, on observe que les vitesses fluctuant constammentautour d’une valeur moyenne, c’est une manifestation de la turbulence. Pour les besoins del’analyse que nous ferons ici, nous ne considérerons que les effets globaux, moyens dans letemps, de la turbulence, notamment en ce qui concerne l’évaluation des forces de frottementselon le régime d’écoulement.

GCI-20552 – Hydraulique urbaine © Jean-Loup Robert 144

144

8.2.2 Perturbation de l’équilibre, effet sur les pressions

Si on considère la conduite dans laquelle coule un liquide en régime permanent, le niveau de lapression est fort raisonnable, soit inférieur à celui de la pression hydrostatique dans desconditions d’écoulement nul. Qu’advient-il lorsque, pour une raison ou une autre, il y a unemodification temporelle de l’écoulement par accélération ou décélération? La réponse duphysicien se base sur les principes de la mécanique newtonienne. Il y aura un transfert d'énergieentre les énergies potentielle et cinétique pour chercher à atteindre un nouvel équilibre en tenantcompte des pertes et sans transgresser le principe de conservation de l’énergie.

Cette réponse, toute rigoureuse qu’elle soit, peut nous paraître bien aride et nous pouvons nousdemander comment cela peut s’appliquer au simple cas de la masse d’eau qui circule en régimepermanent dans une conduite et qui voit son mouvement modifié. Partant des principes que, dansun fluide, l'énergie potentielle se traduit par une énergie de pression et que, d'autre part, l'eaun'est pas absolument incompressible et que la conduite admet des déformations élastiques, onpeut analyser un cas particulier.

Considérons donc un système, analogue à une situation de refoulement, où l'eau coule à unevitesse Vo pour alimenter un réservoir dont le niveau est gardé constant. Le phénomène, illustré àla figure 1, peut être décrit en quatre phases.


145

L

C

C

-C

-C

V = -Vo

V = VoV = 0

V = 0

V = 0

V = 0 V = -Vo

V = Vo

phase 1, temps écoulé: t =L

C

phase 2, temps écoulé:



t =2L

C

t =3L

C

t =4L

C

Fig. 1 - Quatre étapes d'un cycle de variation de pression1) Au temps t = 0, la vanne située à l'amont du système est fermée, immédiatement et àproximité de la vanne, la vitesse d'écoulement s'annule, donc l'énergie cinétique fait de même etdoit être compensée par un gain d'énergie potentielle sous forme d'une dépression puisque lemouvement initial de l'eau à tendance à tirer sur la partie de la colonne d'eau qui est immobile.Cette énergie de dépression se traduit mécaniquement par une énergie de déformation qui tend àréduire le diamètre de la conduite. Ce phénomène se poursuit jusqu'à ce que toute la conduite soitmise en compression, ce qui prend un temps égal au rapport de la longueur 'L' sur la célérité del'onde de déformation 'C'.2) Lorsque que l'onde de dépression atteint le réservoir, celle-ci se dissipe puisqu'il règne àcet endroit une pression constante. À ce moment précis, plus rien ne retient la mise encompression de la conduite et elle commence à reprendre sa forme à proximité du réservoir.L'augmentation de volume ainsi créée, entraîne le remplissage de la conduite à une vitesse


146

équivalente à la vitesse initiale du fluide puisque la déformation initiale de la conduite estdirectement liée à cette dernière. Ce phénomène a la même durée que celle de l'étape précédente.3) Au moment où toute la conduite a repris sa forme, la vitesse de l'eau doit s'annuler enfrappant la vanne fermée. Encore une fois, on doit avoir transformation de l'énergie cinétique enénergie potentielle par contre, cette fois, l'énergie de pression est positive puisque l'inertie del'eau tend à comprimer la partie immobile de la colonne d'eau. Cette surpression met en tensionla conduite qui se dilate. La vitesse de l'onde de déformation 'C' étant constante, la durée de cetteétape est identique à celle des précédentes.4) Le surplus d'eau dû à l'augmentation du volume de la conduite commence à s'évacuerprès du réservoir à une vitesse Vo de façon à ce que la conduite reprenne son diamètre initial. Àla fin de cette étape, toute la conduite aura retrouvé les conditions initiales et l'étape 1) pourrarecommencer.

Ce cycle de période T = 4LC se répéterait indéfiniment, s'il n'y avait pas de frottement. Les

effets du frottement agissent essentiellement sur l’amortissement de l’amplitude de la variationde pression. Le cas que nous venons d’étudier, est typique d’une installation de refoulement caril commence par une dépression à l’amont du système. Toutefois, un autre cas critique est àconsidérer, celui de la conduite forcée ou de l’adduction gravitaire. Dans cette configuration lamanoeuvre d’une vanne à l’aval du système entraîne une surpression au voisinage de la vannesemblable à celle observée à l’étape 3 du cas précédent. Le phénomène suit alors les étapes 4, 1,et 2.

Ces deux cas sont considérés dans le cas d'un arrêt ou d'une décélération, cependant, ils peuventaussi être soumis à des départs ou accélérations plus ou moins rapides qui entraîneront desvariations importantes de pression.

Dans l’exemple précédent, nous avons considéré que le fluide était parfaitement élastique quelque soit son état de contrainte, compression ou tension. Cependant, en situation réelle, un liquidese rompt en tension. Pour l’eau, une dépression d’environ -10,25 m d’eau entraîne cette rupture.Il se crée alors une cavité de vide ou presque puisqu’il y subsiste une pression de vapeursaturante.

Dans un cas concret, les conséquences de cette rupture sont nombreuses et importantes. Dans lecas que nous avions examiné précédemment, si on admet que cette rupture survient au momentde la fermeture de la vanne et à proximité de celle-ci, le comportement du système seraradicalement différent. Lors de la phase 1 (fig. 2), la colonne d’eau n’est plus retenue que par lacavité de vide et elle s’éloignera avec une vitesse initiale Vo. Puis, dans une deuxième phase, lapression négative de la cavité créera une force de rappel constante qui ralentira la colonne d’eau.Une analyse par modèle mathématique simple permet de constater que cette force de rappelfinira par inverser la vitesse de la colonne d’eau et que cette dernière viendra refermer avec unevitesse proche de Vo la cavité. L’impact, en général assez violent, générera une onde desurpression qui se propagera comme dans les phases 3 et 4 du cas précédent pour recommencer,si la dépression est suffisante par un autre cycle initié par une rupture. Il est important desouligner ici que les étapes 1 et 2 ne se déroulent plus sur des périodes réglées par la célérité del’onde de pression mais plutôt par des vitesses de l’ordre de celle de l’écoulement initial.


147

jusqu'à -Vo

V et moinso

phase 1

phase 2

-Vo

fin de la phase 2

BA

NG

!

Fig. 2 - Deux premières étapes d'un cycle avec rupture de colonne d’eau.

Ces deux exemples jettent les bases des comportements physiques dont on devra considérer lesconséquences dans l’analyse d’une station de refoulement d’eau.

8.2.3 Simulateur de cheminée d’équilibre

Ce logiciel simule en temps réel une expérience sur le comportement de la cheminée d’équilibre.Ceci permet à l'utilisateur de visualiser la réponse du système en fonction de sa configuration.

Pour activer le logiciel, taper:chequi2 �

Pour éditer la configuration, taper la lettre qui symbolise le paramètre à modifier, un curseurapparaîtra à la place de la valeur numérique. Il suffit alors de taper la nouvelle valeur suivi d'un�. Par exemple, pour changer la longueur de la conduite, taper L suivi de la nouvelle valeur et �.Les paramètres N et T définissent respectivement le nombre de pas de temps et l'intervalle detemps en seconde.

Les commandes suivantes gèrent la simulation:+ et -: ajustement de la vanneF: fermeture brusque de la vanneP: impression de la courbe de comportement


148

<espace>: étape suivanteX: quitter le logiciel

Note: Avec la carte EGA ou VGA, la courbe de comportement est en cyan sur fond cyan doncinvisible! Néanmoins il est possible d'imprimer, si on envoie la commande P et qu'uneimprimante de type EPSON FX80 est branchée.


149

8.3 Aspects théoriques

8.3.1 Équations de bases

En considérant, dans une conduite, deux variables dépendantes, le débit Q et la pression H ,fonction de l’espace x et du temps t, les principes de conservation de la masse et de conservationde la quantité de mouvement, il est possible de définir un système à deux équations aux dérivéespartielles pour décrire le comportement physique du système eau-conduite. La conservation de lamasse s’exprime sous forme de l’équation de continuité:

�H

�t+C2

gA

�Q

�x= 0

(1)

De plus, la conservation de la quantité de mouvement permet d’écrire l’équation de mouvement:�Q

�t+ gA

�H

�x+ f (Q) = 0 (2)

où:H: pression (p/�)�: masse spécifiqueQ: débitA: aire de la section de la conduiteg: accélération gravitationnelleC: célérité de l’onde de pressionƒ(Q): terme de frottement

La première équation exprime le fait qu’une variation spatiale du débit entraîne une évolutiontemporelle de la pression; en effet, si, par exemple, il entre plus débit dans un volume donnéqu’il en sort, il faut que la pression augmente de façon à ce que le volume augmente s’il estélastique.

La deuxième équation est en fait l’expression de l’équilibre des forces selon la loi de NewtonF = ma ; cet équilibre fait intervenir l’accélération du fluide par la variation temporelle du débit,les différences de pression sous forme de gradient de pression et les forces de frottement causépar la vitesse du fluide sur les parois plus ou moins rugueuses de la conduite.

La célérité de l’onde de pression peut être assimilé à la vitesse de propagation du son dans lemilieu eau-conduite. Elle s’exprime par:

1

C2 = �1

e+D

sE��

�� (3)

avec:C célérité de l'onde élastique

�: masse spécifique, 1 000 kg/m3 pour l'eau

e: module d'élasticité de l'eau, 2,05 � 109 N/m2


150

D: diamètre de la conduites: épaisseur de la paroiE: module d'élasticité du matériau de la conduite

Ceci nous permet de calculer les valeurs suivantes pour les matériaux courants en conduites derefoulement:

CPV, E = 2,76 � 109 N/m2:rapport D/s = 18: C = 378 m/srapport D/s = 25: C = 324 m/srapport D/s = 41: C = 255 m/s

Fonte ductile, E = 1,03 � 1011 N/m2

rapport D/s = 18: C = 1 229 m/srapport D/s = 25: C = 1 184 m/srapport D/s = 41: C = 1 062 m/s

Le terme de frottement ƒ(Q) est tiré d’une relation d’écoulement en régime permanent uniformetelle que celle de Hazen-Williams.

8.3.2 Hypothèse de base

Avant de passer à la résolution des équations 1 et 2, il convient de considérer les hypothèses enon permis la formulation:1) La section d’écoulement A est considérée invariable dans le temps dans l’équation decontinuité.2) L’effet des non-uniformités des sections d’écoulement est négligé dans l’équation decontinuité.3) L’équation de mouvement ne tient pas compte des effets d’inertie convective, c’est-à-dire, par exemple, des effets des accélérations des particules de fluide causé par unrétrécissement de la section d’écoulement.4) Le terme de frottement est généralement considéré comme celui d’un écoulementturbulent rugueux permanent uniforme.

8.3.3 Calcul de la dépression maximale

Dans le cas d’une fermeture brusque il est possible en simplifiant le problème à l’extrêmed'évaluer l’ordre de grandeur des variations de pression en évitant la résolution des équations 1 et2.

Le temps de fermeture d'une vanne ou d'une pompe est considéré brusque lorsqu'il est inférieurau temps d'un aller et retour de l'onde de pression dans la conduite de longueur L, soit

t �2L

C(4)

Dans l'hypothèse d'une fermeture instantanée, nous déterminons la dépression maximale �h parla relation suivante:


151

�h = �C

gV0 (5)

avec V0, la vitesse d'écoulement dans la conduite avant la fermeture

La vitesse d'écoulement dans la conduite, en régime permanent, est calculée par un programmed'équilibre des débits et charges.

L'ordre de grandeur de la surpression serait semblable à celui de la dépression s'il n'y avait pas derupture de veine liquide. La surpression causée par la fermeture de la cavité de vapeur à bassepression peut atteindre des valeurs supérieures à celles obtenus par suite du retour élastique del'onde créée sans rupture.

Cette première évaluation ne nous permet pas de suivre le déroulement temporel et spatial del’évolution des pressions et des débits. Pour le connaître, il faut procéder à la résolution dusystème d’équations. Malheureusement, ceci n’est possible qu’en négligeant le frottement et lacavitation et en ramenant le système à une équation d’onde dont les solutions serontharmoniques. La plupart des cas pratiques ne sont pas analysés de manière satisfaisante par cetype de modèle analytique simple. Il faut donc recourir à des méthodes graphiques ounumériques pour analyser des cas complexes. Nous en ébaucherons les principes pour deuxméthodes car ce sont les plus répandues.

8.3.4 Méthode des caractéristiques

Considérons l’équation de continuité et l’équation de mouvement sans frottement que nousmultiplions par C /gA:

�H

�t+C2

gA

�Q

�x= 0 (6)

C

gA

�Q

� t+ gA

�H

�x�

�

�

�= 0 (7)

En combinant ces deux équations par addition et soustraction, nous obtenons:�

� tH ±

CQ

gA

�

��

��± C

�

�xH ±

CQ

gA

�

��

��= 0 (8)

cette forme est égale à la dérivée totale par rapport au temps:d

dtH ±

CQ

gA

�

��

��= 0 (9)

sidx

dt= ±C (10)

Dans un plan x,t, l’équation 10 représente des courbes (ici des droites) sur lesquelles le système 9est vérifié. L’intersection de deux de ces droites définit donc une solution ce système d’équations(fig. 3).


152

+C -C

1 1

t

x21

3

Fig. 3 - Schéma utilisé pour la méthode des caractéristiques.

Ainsi, si les points 1 et 2, situés au temps initial, représentent des positions où les valeurs despressions et débits sont connus, alors il sera possible de calculer les valeurs au point 3, situé en�x/2 et �t/2 en considérant une forme différentielle du système 9:

�

�tH ±

CQ

gA

�

��

��= 0

ce qui donne:

entre 1 et 3: H3 +CQ3

gA= H1 +

CQ1

gA

et entre 2 et 3: H3 �CQ3

gA= H2 �

CQ2

gA

d’où: H3 =1

2H1 + H2 +

C

gAQ1 �Q2( )�

��

��

et Q3 =1

2

gA

CH1 � H2( ) + Q1 +Q2( )�

��

8.3.5 Méthode des différences finies

Cette méthode consiste à remplacer les opérateurs différentiels par des opérateurs basés sur desintervalles de temps et d’espace finis �t et �x, puis à résoudre le système d’équations algébriqueainsi obtenu en tenant compte des conditions initiales et aux limites. Ainsi le système 1 et 2, sansfrottement, devient:

Hit+�t � Hi

t

�t= �

C2

gA

Qi+1t �Qi�1

t

2�x

�

��

�

Qit+�t �Qi

t

�t= �gA

Hi+1t � Hi�1

t

2�x

�

��

�

Pour chaque position i sur l’axe x, on peut écrire ces deux équations en mettant en évidence lesvariables à évaluer au temps t+�t. Il devient alors facile d’illustrer la méthode au moyen d’unchiffrier électronique.


153

Tableau 1 - Exemple de calcul sur tableur électronique.C= 250 �x= 25g= 9,81 �t= 0,1D= 0,25 rh= 260A= 0,05 rq= 0,001

Étape 1, propagation de l'onde de dépressionH 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1H -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1H -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1

H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1

H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Étape 2, retour à la pression normaleH -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0

Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0

Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0

Q 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0

Q 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Q 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Q 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H -51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Q 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1

Étape 3, propagation de l'onde de surpressionH 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


154

Q 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1

H 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1 -0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1 -0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1 -0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Étape 4, retour à la pression normaleH 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H 51,92 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1H 51,92 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H 51,92 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1H 51,92 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Q 0 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H 51,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Q 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Q 0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1


155

8.4 Modélisation des composantes d’un système hydraulique

Dans les cas précédent, le frottement n’a pas été pris en considération, sauf dans le modèle decheminée d’équilibre, ce qui à conduit à des modèles relativement simples. Cependant, afin dedonner au modèle un niveau de réalisme élevé, il convient d’en considérer les effets. De façonplus générale, il est important de tenir compte des relations entre la charge hydraulique et le débitpour tous les composants d’un système hydraulique. Dans un premier temps, nous considéreronsle comportement d’un élément général, puis nous traiterons des particularités d’éléments plusspécifique en commençant par les conduites et leurs jonctions, puis les pompes et les vannes etenfin quelques éléments plus particuliers.

8.4.1 Traitement d’un élément général

Nous suivrons ici le principe du programme SURGE du professeur D. J. Wood de l’université duKentucky. Il est basé sur une méthode des caractéristiques semblable à celle que nous avonsétudié à la section 2.4. La différence fondamentale ici tient du fait qu’il nous faut tenir comptedes relations entre la charge et le débit, généralement causée par le frottement. Or, l’expressiondu frottement est, dans la plupart des cas, fonction du carré du débit. Cette non linéarité a pourconséquence que les équations caractéristiques ne sont plus des droites comme dans le cas idéal,mais des courbes. Pour la relation différence de charge-débit, l’utilisation d’une équationgénérale du second degré satisfait la plupart des cas; elle s’écrit:

�H = A(t) + B(t)Q + C(t)QQ (11)

Les coefficients A, B et C peuvent être fonctions du temps selon que cette relation varie dans letemps comme dans le cas d’un vanne en cours de manipulation ou encore une pompe en régimetransitoire. La variation temporelle de ces coefficients est présumée connue.

Considérons donc un élément quelconque connecté à ces deux extrémités, d’abord au temps t,soit avant d’être affecté par le passage d’ondes de pression, puis au temps t+�t selon lesconvention de la figure 4 où les indices 1 et 2 réfèrent respectivement à l’aval et l’amont del’élément général au temps t et où les indices 3 et 4 correspondent à la même situation au tempst+�t.


156

Q1 , H 1

Q 2 ,H 2

Q 3 , H 3

Q 4 ,H 4

Q t

Qt + � t

D1

D 2

D 3

D 4

Fig. 4 - Élément général

Dans un premier temps, la méthode des caractéristiques permet d’écrire les relations suivantes:D3 = D1 + F1 Q3 �Q1( ) (12)

D4 = D2 + F2 Q4 �Q2( ) (13)

où:F1 =C1gA1

et F2 =C2gA2

Les pressions de part et d’autre de l’éléments étant mis à jour par:H3 = H1 +D1 + D3 (14)H4 = H2 + D2 + D4 (15)

En écrivant que la variation de charge est liée au débit qui traverse l’élément par:H4 �H2 = A(t) + B(t)Qt+�t + C(t)Qt+� t Qt+�t (16)

Considérant que, s’il n’y a pas de vapeur créée dans l’élément, on peut écrire:Q1 = �Qt , Q2 =Qt , Q3 = �Qt+� t et Q4 =Qt+�t

alors l’équation 16 peut être écrite en fonction du débit traversant l’élément au temps t+�t en yintroduisant les relations 14 et 15 puis 12 et 13. Elle devient donc:

C(t)Qt+�t Qt+� t + B(t)Qt+�t � (F1 + F2 )Qt+� t

+A(t) + H1 �H2 + 2(D1 � D2 ) + (F1 + F2 )Qt = 0(17)

Cette équation est résolue par itération par une méthode de Newton-Raphson initiée à partir deQt . Une fois la nouvelle valeur du débit connue, elle est introduite dans les équations 12 et 13,puis on évalue les pressions de part et d’autre de l’élément au temps t+�t grâce aux équations 14et 15.

Si une des extrémités d’un élément est connecté à un réservoir à charge constante, les valeurs deF et D sont considérées nulles à cette extrémité.


157

8.4.2 Section de conduites

Dans ce type d’élément, les coefficients de l’équation 11 sont:A(t) = 0

B(t) = 0

C(t) =� fL

2gDA2

où f est le facteur de frottement adaptable en fonction du régime d’écoulement (diagramme deMoody ou formule de White-Colebrooke), L la longueur du tronçon, D, son diamètre et A, l’airede sa section d’écoulement. En général, on considère f constant équivalent à un coefficientd’Hazen-Williams.

8.4.3 Élément passif

Entre dans cette catégorie tous les éléments singulier dont les caractéristiques sont considérésinvariable dans le temps. Ici, les coefficients de l’équation 11 deviennent:

A(t) = 0

B(t ) = 0

C(t) =�1

2gCd2A2

où Cd est le coefficient de débit et A l’aire de la section de référence.

8.4.4 Jonctions

Un principe de continuité du débit et de la pression est à la base de ce comportement. Selon leschéma de la figure 5, on affecte les ondes transmises et réfléchies d’un coefficient fonction dunombre de branche à la jonction. Le coefficient de transmission s’écrit:

Ti =2

Fi 1Fj

��

��

et la réflexion:Ri = Ti �1

l’indice i est associé à la branche incidente alors que la somme sur j réfère à toutes les branchesadjacentes à la jonction.


158

H 1

H 2

dH

T1 dH

T1dH

R 1dH

1

2

3

Fig. 5 - Transmission et réflexion d’onde à une jonction.

8.4.5 Pompes

Les pompes sont en général représentées par des équations quadratiques:H2 �H1 = ARa

2 + BRaQ + CR QQ

où a représente le rapport de vitesse de la pompe par rapport à la vitesse nominale. La figure 6illustre comment cette courbe varie en fonction de ce rapport

0

50

100

150

200

250

0

1,5 3

4,5 6

7,5 9

10

,5 12

13

,5 15

100%

80%

60%

40%

20%

Fig. 6 - Évolution d’une courbe de pompe.


159

8.4.6 Vannes

Entre dans cette catégorie tous les éléments singulier dont les caractéristiques sont considérésvariable dans le temps. Ici, les coefficients de l’équation 11 deviennent:

A(t) = 0

B(t) = 0

C(t) =�1

2gCd2 A(t )( )2

où Cd est le coefficient de débit et A l’aire de la section de référence variable en fonction dutemps et de la géométrie de la vanne.

8.4.7 Cavitation

Comme nous l'avons vu précédemment la formation de cavités de vapeur en raison de la ruptureà basse pression de la veine liquide, entraîne un comportement qui diffère passablement de lasimple propagation de l'onde élastique. Les principes du calcul sont alors basé sur le fait qu'unedépression qui atteint la valeur de la pression de vapeur initie la formation d'une cavité et que lavariation de son volume est basée initialement sur la vitesse du liquide au moment de la rupture.

On procède d'abord avec une analyse standard sans rupture. Si la pression H tombe en dessous dela pression de vapeur Hv alors on reprend l'analyse en imposant à Hv la pression de l'extrémitéconcernée qui est alors considérée comme étant connectée à un réservoir de pression Hv.

Dans ces conditions, les facteurs F, dépendants de la célérité, sont considérés nulles auxextrémités du tronçon concerné mais pas dans la veine liquide qui s'échappe.

Le fait de considérer l'élément ayant une extrémité attachée à un réservoir de pression Hv crée ungradient hydraulique inverse qui aura tendance à ralentir au prochain pas de temps le débit puis àl'inverser pour finir par refermer la cavité, en tenant compte du frottement.

Le volume de la cavité se calcule en considérant le produit de la somme des débits à l'intérieur del'élément et dans la branche soumise à la cavitation multiplié par le pas de temps.

8.5 Analyse détaillée de composantes importantes

8.5.1 Vannes

Le calcul des pertes de charge variable d'une vanne se fait à partir d'une fonction quadratique dudébit:

h =1

2gCd2A2 Q

2 = CVQ2

avec Cd, le coefficient de débit et A l'aire de l'ouverture maximale. Le coefficient de perte decharge Cv peut être ajusté en fonction du rapport des aires d'ouverture partielle et maximale:


160

CV =CF

AOAF

��

��

2

où CF est le coefficient de perte de charge à pleine ouverture.

Le rapport AO AF dépend de la géométrie de l'ouverture de la vanne. De plus certains paramètresgéométriques varient en fonction du temps. En général, ce paramètre est un déplacement ou unerotation (fig. 7). La variation ce paramètre peut être linéaire en fonction du temps, dans le cas,par exemple d'un arbre fileté actionné par un moteur à vitesse constante. Cependant, si lafermeture est actionnée par un ressort la fermeture est dite accéléré. Trois cas sont donc possible:

Fig. 7 - Divers types de vannes.

Fig. 8 - Divers types de vannes.1) Fermeture linéaire:

P = Pi �tTo

��

�� P

2) Fermeture accélérée (action rapide):

P = Pi �tTo

��

��

2

�P

3) Fermeture en situation intermédiaire:

P = Pi �tTo

��

��

n

�P avec 1 � n � 2

avec Pi , la position d’ouverture initiale, P , la position instantannée, �P , l’ouverture désirée etTO , le temps d’opération.

Il peut être intéressant de calculer la variation de perte de charge en fonction de la variation dedébit pour une fermeture quelconque:

h

hF=

1

AOAF

��

��

2

Q

QF

�

��

��

2


161

8.5.2 Pompes

La vitesse spécifique permet de comparer des pompes de tailles différentes mais ayant dessimilitudes de comportement, elle est définie par:

NS =NRQR

12

HR

34

où NR , QR et HR sont les vitesse de rotation, débit et charge de référence.

En opération normale, la courbe de pompe parabolique est satisfaisante, par contre, pour faireune analyse plus détaillé, le comportement transitoire de la pompe doit être connu pour toutes lessituations possibles. Le tableau 1 en donne un résumé.

Tableau 1 - Comportements transitoire d’une pompe.

cas Vitessed’écoulemen

t V

Vitesse derotation

a

Charge

h

Couple

v

Remarque

A + + + + PompageB + + - + Dissipation d’énergieC + + - - Turbine inverséeD + - - - Dissipation d’énergieE ± - ± - Pompage inverséF - - + - Dissipation d’énergieG - - + + TurbineH - + + + Dissipation d’énergie

En mettant en graphique les paramètres de charge et couple suivant:h

a2 + V 2 et w

a2 + V 2

en fonction de arc tangente du rapport V/a, nous obtenons le graphique de la figure 9 qui, unefois numérisé pourra être introduit dans le modèle.

Fig. 9 - Caractéristiques complètes d’une pompe radiale.


162

8.6 Étude d'un cas

8.6.1 Schéma du système de refoulement

Distance [m]

Élév

atio

n [m

]

148

150

152

154

156

158

160

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Cheminée

Point haut

Pompe

Fig. 10 - Profil de la conduite de refoulement

8.6.2 Courbes de pompes

Deux courbes ont été utilisées pour cette étude en fonction des données fournies. Ellescorrespondent au fonctionnement du poste avec une et trois pompes. Les valeurs fournies auprogramme de calcul sont les suivantes:

Tableau 2 - valeurs de charges et de débits pour un groupe de pompe en régime permanent

Débit [m3/s]

Charge [m d'eau] une pompe trois pompes

21,95 0 0

17,68 0,06688 0,20064

12,19 0,14511 0,43533

Charge au rendement maximum: 11,28 mDébit au rendement maximum: 0,1514 m3/sVitesse de rotation au rendement maximum: 1185T/min


163

Rendement maximum: 81%Vitesse spécifique: 74.9 (S.I.)Inertie du groupe: 5,2 Nm2

8.7 Équipements de protection

Les équipements de protection on pour fonction générale d’atténuer les variation de pression etde réduire les effets néfastes de celles-ci. En d’autres termes, il ne suffit pas de penseruniquement à réduire l’amplitude des surpression et dépression mais aussi, dans certains cas,empêcher la cavitation ou les inversions d’écoulements. Compte tenu de la grande variété desinstallations hydrauliques et de leurs modes d’opération, il n’est pas possible de considérer unéquipement de protection universel et polyvalent. On décrira donc, dans ce qui suit, une panoplied’équipements avec leurs caractéristiques propres et leurs contextes d’utilisation.

8.7.1 Volant d’inertie

Le volant d’inertie est une roue de masse assez importante, fixée à l’arbre du groupe moteurpompe. Il permet, lors d’une coupure d’alimentation, d’allonger le temps de fermeture endissipant l’énergie cinétique de rotation accumulée. Par contre, son utilisation demande unvolume d’encombrement suffisant et les départs de pompes ne pourront être rapides.

Le principe de calcul est basé sur la quantité d’énergie cinétique de rotation accumulée par levolant:

Ec� =1

2I� 2

avec I, le moment d’inertie et �, la vitesse angulaire, ces variables sont calculées par:

I = mk2 et � =2�N

60

où m est la masse du volant, k, le rayon de giration et N, le nombre de tours par minute. Le rayonde giration est donné par:

R

R

1

2

k 2 =R1

2 + R22

2

Sachant que le taux de variation de l’énergie cinétique est égal au travail des forces appliquées:d

dt

1

2I� 2�

�� = T�

où le couple T est défini par:


164

T =P

�=

1000gQ0H0

��

avec P la puissance hydraulique fonction de Q0 et H0 le débit et la charge en régime permanent.En discrétisant, par différence finies, on peut écrire qu’une variation de vitesse angulaire estproportionnelle à un pas de temps.

�� =T

I�t

Cette relation permettra au modèle de déterminer pas de temps après pas de temps l’évolution dela vitesse de rotation en fonction de la variation des paramètres hydrauliques.

Dans la pratique, les points suivants doivent être considérés:a) Plus la conduite est longue plus l’inertie du système est grande et plus la masse du volantdevra être importante. On limite les longueurs à quelques centaines de mètres.b) Le démarrage des moteurs électriques couplés à des volants de masse importante peutdemander des intensité de courant inadmissible.c) Le volant ne limite que la dépression, une protection contre les surpression peut aussi êtrenécessaire.

8.7.2 Chambres ou cheminées d’équilibre

Les cheminées d’équilibre sont des dispositifs assez simples qui permettent de transformer lessurpressions et les dépression en variation de hauteur de colonne d’eau. Pour le calcul, onconsidère la relation suivante, pour évaluer la variation de hauteur d’eau:

�Hc =Qo�t

Ac

où Qo est le débit d’échange et Ar est la section de la cheminée si cette dernière est cylindrique.

Dans les cas de refoulement sur des dénivellations importantes, l’utilisation de cheminéesd’équilibre devient impraticable puisque leurs hauteurs seraient trop grandes. Sur une conduitede refoulement, cependant, une cheminée peut être placée en cours de parcours pour contrer leseffets de la cavitation. La hauteur de la cheminée sera alors réduite et son emplacement, sonniveau d’entretien étant réduit, ne pose pas de problème.


165

H

P

C

R

Fig. 11 - Cheminée d’équilibre sur une conduite de refoulement

8.7.3 Chambres d’équilibre unidirectionnelle

Ces chambres permettent de réduire les dépressions par admission d’un débit supplémentairepour contrer la réduction du débit causée par une fermeture brusque ou un arrêt de pompe. Lecalcul s’effectue comme pour une cheminée d’équilibre munie d’un clapet non retour.

8.7.4 Réservoirs d’air

Les réservoirs hydropneumatiques sont des réservoirs dans lesquels le volume d’eau est équilibrépar la pression de fonctionnement en régime permanent. Cette réserve d’eau permet de réduireles dépressions en fournissant une quantité d’eau demandée par la dépression sous forme d’undébit contrôlé par un orifice, une tuyère ou un clapet percé (fig. 12). Il est en effet essentield’introduire dans le système un amortissement faute de quoi, les oscillations dureraient sur unelongue période. L’expérience a démontré qu’il est préférable d’avoir une plus grande perte decharge au retour qu’à l’aller, dans le sens du réservoir vers la conduite.

Pompe

clap

et

vann

e

réservoird'air

Fig. 12 - Réservoir hydropneumatique

Sur le plan du calcul, il faut tenir compte de l’échange de débit entre le réservoir et la conduite.Les relations suivantes doivent être considérées.


166

Le débit à travers un orifice dépend de la pression de part et d’autre selon la relation:CsQo Qo = Hl � Ha + Hr( )

où Qo est le débit d’échange, Cs , le coefficient de perte de charge, Hl , la pression dans laconduite et Ha est la pression d’air dans le réservoir qui est donnée par:

Ha =H0V0

K

Va � �Va( )K � Hatm

avec H0 et V0 ,la pression et le volume d’air initial dans le réservoir, Va , le volume d’airinstantané, �Va sa variation durant un intervalle �t et Ha , la pression atmosphérique. Enfin, Hr

est le niveau d’eau dans le réservoir mis à jour par rapport à sa valeur initiale Hri par la relationsuivante:

Hr = Hri +�VaAr

Ar est la section du réservoir si ce dernier est cylindrique.

La quantité d’eau admise dans le réservoir au moment de la mise en opération doit être suffisantepour éviter sa vidange lors de la première dépression. La quantité d’air doit être suffisante pouréviter la cavitation. Dans les grosses installation un compresseur est mis en oeuvre pour ajuster leniveau de séparation air-eau qui a tendance à augmenter par dissolution d’air dans l’eau.

8.7.5 Soupapes de décharge

Les soupapes de décharges sont des équipement mécanique qui s’ouvrent pour réduire lasurpression à une valeur acceptable. Ces dispositifs sont généralement constitue d’une soupapemaintenue par un ressort dont la pression est ajustée à une valeur légèrement supérieure ( 5% ) àla pression maximale d’opération. L’ouverture de la soupape laisse passer un débit qui doit êtreévacuer vers l’extérieur.

Ce dispositif est inefficace pour protéger les conduites contre les dépressions et les cavitations.

On utilise, pour le calcul, une relation d’orifice du type:Hex � H = CvQ

2

où Hex est une pression externe. On tient compte des pressions d’ouverture et de fermeture ainsique des périodes de temps associées à chacune de ces opérations.

Ce type de soupapes peut être activée par des capteurs de pression situés à un endroit différent decelui de la soupape. De cette façon, le déclenchement de l’ouverture peut se faire paranticipation.


167

8.7.6 Soupapes d’admission et de purge d’air

Le principe des soupapes d’admission et de purge d’air est assez simple, puisqu’il ressemble auxprécédentes tout en opérant dans les deux directions. Généralement, elles s’ouvrent en admissionlorsque la pression tombe sous la pression atmosphérique puis expulsent l’air quand la pressions’accroît. La principale difficulté réside dans l’évaluation des quantités d’air admises et expulséedu fait que l’écoulement de l’air, un fluide compressible, se fait à des vitesses très élevée pourlesquels les effets de la compressibilité se font sentir. En fait, ces notions sont importantes pourcalculer les aires efficaces des orifices d’entrée et de sortie. Les deux procédures suivantespeuvent être utilisées:

a) Aire efficace à l’admissionSur une courbe semblable à celle de la figure 13, on localise le débit d’air pour lequel

l’écoulement est étranglé (régime supersonique), ici Q = 31,5 m3/min ou encore 0,525 m3/s. Onutilise la formule d’écoulement dans ces conditions:

Fig. 13 - Courbe pression-débit pour une soupape d’air (D. J. Wood, 1988)

Q = Cdi Ai �pa�a

2

� +1

�

��

�

�

� +1

��1�

�

��

�

�

12

avec Q: débit d’air�: rapport des chaleurs spécifiques (1,4 pour l’air)Pa: pression atmosphérique (103300 Pa)

�a: densité de l’air à pression atmosphérique (1,225 kg/m3)Cdi: coefficient de débit d’admission de l’orificeAi: aire de l’orifice d’admission

On trouve Cdi:Ai: = 0,00267 m2

a) Aire efficace à l’échappementSur la courbe de la figure 10, on localise le débit d’air pour lequel l’écoulement est

étranglé (régime supersonique) à une pression de 1 bar, ici Q = 30 m3/min ou encore 0,5 m3/s.On utilise la formule d’écoulement dans ces conditions:

Q = Cdo Ao �p�2

� +1

�

��

�

�

� +1

��1�

�

��

�

�

12


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avec P: pression relative�: densité de l’air à p (isentropique)Cdo coefficient de débit d’échappement de l’orificeAo: aire de l’orifice d’échappement

On trouve CdoAo= 0,00148 m2, avec p = 100000 Pa et � = 2,45 kg/m3

8.7.7 Bipasse

Un bipasse (ou by-pass) est une conduite équipée d’un clapet dans le sens amont aval qui court-circuite une pompe.

Exercice

8.1 Une station de pompage a une capacité de refoulement de 0,3 m3/s avec une pression de sortie de60 m d’eau. Lors d’un arrêt brusque de cette pompe, on veut limiter la dépression maximale à–50 m d’eau.

- Quel devrait être le diamètre de cette conduite pour satisfaire cette condition (sans tenircompte des disponibilités de conduites de diamètres commerciaux) ?

- Quel temps de fermeture peut-on considérer comme brusque si la longueur de la conduiteest de 3 km ?

Les caractéristiques physiques du système sont :Rapport du diamètre sur l’épaisseur de la paroi D/s = 35

Module d’élasticité du matériau de la conduite :1,03 � 1011

N/m2

Module d’élasticité de l’eau : 2,05 � 109 N/m

2

Densité de l’eau : 1000 kg/m3

Gavité terrestre 9.81 m/s2

Note : Pour toutes les questions, avant de vous lancer dans les calculs, commencez parexpliquer votre démarche pour trouver la solution des problèmes.

cours d'hydraulique_ jean-loup robert

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