Cours de GPE : partie

physique Organisation des TD :

TD 1.1 : fonte d’un iceberg

TD 1.2 : le plongeur

TD 1.3 : force sur la paroi d’un canal

TD2.1 : notion de débit, de vitesse d’un écoulement

TD 2.2 : vidange d’un réservoir

TD 2.3 : jet d’eau de Genève

Td 3.1/ EFFET VENTURI

TD 3.2 : le château d’eau

TD 4.1 et 4.2 : micro organisme, frottements visqueux

Organisation des CM :

Fluide parfait

Dynamique du fluide visqueux

Tension superficielle

Tension osmotique

Hasard et diffusion

FLUIDE PARFAIT

I QU’EST CE QU’UN FLUIDE ? a) LES DIFFERENTS ETATS DE LA MATIERE

Il y 4 états :

Solide : les particules ont des positions très bien déterminées et ces positions sont invariables les unes par rapport aux autres. Elles peuvent bouger mais dans un espace très restreint.

Une roche est dans un état cristallin si elle a des facettes à la surface (microscopie optique, électronique ; diffraction des rayons X). On arrive à connaitre la position des atomes et des particules grace à ces techniques. Les liaisons entre les particules sont rigides : le solide ne se déforme pas, n’épouse pas la forme du récipient dans lequel on le met : il existe un ordre à longue distance (même organisation, peu importe la distance à laquelle on regarde l’objet). Mais les cristaux peuvent avoir des défauts :

Ponctuels : une lacune (il manque un atome) Des Impuretés : le diamant coloré Des macles : glissement de plan par rapport à un autre

Masse volumique : ‽ >> 1000 kg /m cube Liquide : Les molécules peuvent glisser les unes par rapport aux autres. Les particules :

Ordre local à courte distance Condensées Peu liées

Distance parcourue par les molécules est beaucoup plus grande. Pour trouver La distance minimale entre deux particules :

Ro = 3A Eau/ alcool : miscible (même type d’intéraction entre les deux molécules) Eau/ méthane : immiscibilité Le liquide est déformable (adopte la forme du récipient) mais est incompressible Les cristaux liquides sont des liquides complexes qui ont des propriétés des liquides et des propriétés des solides cristallins. Les colloides (systèmes dans lesquels des particules très petites sont en suspension dans un fluide), les gels (mélange d’une matière colloidale et d’un liquide). Masse volumique : ‽ glace < ‽ liq eau liaisons hydrogènes 920 kg/m³ < 1000kg/m³

Gaz : Très peu d’intéractions entre les particules. Etat dispersé et désorganisé Particules :

Désordonnées Espacées Non liées Très agitées

Il occupe tout l’espace disponible. Masse volumique : ‽air : 1.29.10⁻³ kg/m³ Notion de compressibilité : K= -1/V * dV/d‽ K= 47. 10⁻⁶ bar ⁻ⁱ eau liq

Kair= 1 bar⁻ⁱ

b) LES CHANGEMENTS D’ETAT OU CHANGEMENTS DE PHASE PTV

Remarque :Chaleur= énergie

Le fluide est le terme générique dans lequel on met les liquides et les gaz( dans certaines conditions )

car ils changent de forme

On dit fluide « parfait » car ils n’offrent aucune résistance au changement de forme à volume constant.

La résistance au changement de forme est appelée viscosité. Dans le cas d’un fluide parfait, la viscosité est nulle (ou non nulle mais sans écoulement). On est dans un état statique. Dans le cas d’un fluide réel et d’un écoulement, on est dans un état dynamique= fluide visqueux

II. LOI DE L’HYDROSTATIQUE 1. NOTION DE PRESSION

a) Liquide dans un récipient

Le liquide exerce une force normale (perpendiculaire) à la paroi. (P= pression F= force S= surface) P= F/S = Newton/ m² =Pa Autres unites: bar= 10⁵ Pa 1 atm= 1013 mbar= 1,013 10⁵ Pa Mesures Médicales: Mm Hg 1mmHg= 133,4 Pa Cm H₂O 1cm H₂O= 98,1 Pa 1 atm= 760 mm Hg

Il y a Propagation uniforme de pression dans tout le recipient

b) Au sein d’un liquide On considère un cylindre de liquide dans le liquide On fait le bilan des forces

ƩF= O = mgu + pSu – p’S’u = 0 = mgu + (p-p’)Su = 0 Mg + (p-p’)=0 ‽Vg – (p-p’)S=0 ‽Shg + (p-p’)S=0 Donc ‽hg= (p’-p) Δp = pgh Loi de l’hydrostatique Remarque:

Air Patm: poids d’une colonne d’air pesant sur 1cm² Torricelli (1680)

c) Un objet au sein d’un liquide Poussée d’Archimède Un corps immergé dans un fluide ƩF= O Force de f

III DYNAMIQUE DES FLUIDES 1. APPROXIMATION, CONSEQUENCES, DEBITS

Fluide parfait : Aucune force de frottement = aucune dissipation d’énergie mécanique (chaleur) _ ni à l’intérieur du liquide _ ni entre le liquide et les parois Régime permanent : L’écoulement est établi (différent du régime transitoire). Dans les équations, les paramètres et les grandeurs sont indépendantes du temps. Elles ne dépendent que de la position Fluide non compressible = liquide et gaz (dans certaines conditions) Le volume est indépendant de la pression Ligne de courant : particules fluo/colorées/métalliques ; bulles d’air matérialisent. Les lignes restent toujours parallèles (pas d’échange de matière entre deux lignes de matière)

2. BERNOUILLI

Lien entre la pression, la vitesse, et les caractéristiques de l’écoulement.

Sur Δt = Va a’ Vb b’ Va= Vb Va= Sa*d = Sa* Va * Δt Vb= Sb* d = Sb * Vb*Δt Δm = ρ * ΔV = ρSaVaΔt = ρSbVbΔt ΔEc (ab) = ½ Δm (Vb² _ Va²) = travail des forces mises en jeu = f* distance Forces mises en jeu

Pesanteur : Δmg = force

Travail = force * distance ΔW1 = - gΔm (zb – za) = gΔm(za- zb) ΔW1 > 0 puisque moteur

Pa en A, Pb en B Moteur R2SISANT w>0 W<0 ΔW2 = (SaPaVa – SbPbVb)Δt (SaPa= force de pression)

Au final : ΔEc = ΔW1 + ΔW2 ½ Δm (Vb² - Va²) = Δmg (za – zb) + (SaPaVa – SbPbVb) Δt A B ½ ΔmVa² + Δmgza + SaPaVaΔt = ½ ΔmVb² +Δmgzb + SbPbVbΔt 1/2 ρv Va² + ρv gza + vPa = 1/2 ρv Vb² + ρv gzb + vPb 1/2 ρ Va² + ρ gza + Pa = 1/2 ρ Vb² + ρ gzb + Pb = ½ ρVc² + ρgzc + Pc

3. CONSEQUENCES P + ρgz + ½ ρv² = conste Importance de la vitesse par une mesure de P, on peut remonter à la vitesse

H1 différents h2 Bernouilli : Pb + ρgzb +1/2 ρVb² = Pc + ρgzc + ½ Vc² Pc – Pb = ½ ρVb² = ρg ( h2 – h1) hydrostatique Vb = racine de ( 2g (h2-h1)

Application : Vsang, tubes pitot On peut élargir les mesures à des canalisations dont le diamètre change.

Q= cste SaVa= SbVb Va< Vb la V augmente, P diminue Pa + ½ ρVa² + ρgza = Pb + ½ ρVb² = ρgzb (Pa – Pb) = ½ ρ (Vb² - Va²) >0 >0 Pa > Pb Effet venturi Trompe à eau :

DYNAMIQUE DU FLUIDE VISQUEUX

I. VISCOSITE Emécanique chaleur Forces de frottements entre molécules au sein du fluide et avec les parois Fluide réel ou fluide visqueux

Variation, linéaire de la vitesse entre les plaques :

F/S =η Dv/ dy Eta = viscosité Η = F/S dy/dV = Nsm/m²m = Ns / m² = Pa* s (unite = pascal * secondes) Gaz: η air à 20° = 1,8.10⁻⁵ Pas Hydrogene = 9.10⁻⁶ Pas Liq: 20° eau= 10^-3 Pas Hg= 1,5 10^-3 Pas Benzene = 6. 10 ⁻⁴ Pas Glycerine: 0,8 Pas à 0° = 8 Pas : η sang = 2.10^-3 à 5.10^-3 Pas : η cinématique η/ ρ (masse volumique) Si température augmente liquide : η diminue Gaz : η augmente Viscosité cinématique : η/ρ = m²/s

II. ECOULEMENT D’UN FLUIDE DANS UN TUYAU 1) LOI DE POISEUILLE Berbouilli : η=0 P+ ρgh + ½ ρv²= constante Tout le point dans l’écoulement, on a toujours la même constante

ηdifférent de 0 perte d’énergie pendant l’écoulement ΔEc = ΣW + W (due aux forces visqueuses) Pa + ρgha + ½ ρva² = Pb + ρghb +1/2ρvb² + ΔP (effet des forces de friction) On définit les partes de charge ΔP/longueur 2) PERTE DE CHARGE, VITESSE, DEBIT

Dans un système simple, la variation de pression est linéaire avec la distance parcourue. On considère un tuyau cylindre, de rayon a, régime permanent (indépendant du temps)

A l’équilibre ΣF =0 Composante horizontale des forces : Forces de pression : Fp = Fpa – Fpb = PaSa – PbSb = PaΠr² - PbΠr² = (Pa – Pb)Πr² (>0) Forces dues à la viscosité : F= ηS Dv/ dr Fvis = ηS dv/dr = 2Πrlη dv/dr ( S = 2Πrl = surface du cylindre) Composante horizontale des forces : Fp + Fvis = 0 (Pa – Pb)Πr² + 2Πηrl dv/dr = 0 Dv/ dr = - (Pa – Pb/ l) r/2η Dv = - ((Pa – Pb) / l2η) ∫rdr V(r) = -( (Pa – Pb)/ 4lη ) r² + constante Pour trouver la constante : v (a)= 0

(Pa – Pb/ 4lη)a² = 0 Constante = (Pa – Pb/ 4lη)a²

V(r) = ((Pa – Pb)/4lη) (a² - r²)

Profil de vitesse vrai lorsque le tube est étroit. (v= vitesse et V = volume) Pour le débit : dQ(r) = v(r) 2Πrdr Q =∫ dQ = ∫ v(r) 2Πrdr = ∫ (( Pa – Pb)/ 4lη) (a² - r²) 2Π rdr (0 a) Lorsqu’on double le rayon a 2a Le débit : * 16 Q = Πa² v moyenne = S * ½vmax ((Pa – Pb)/ 8ηl ) a² = ½ (v(a)) = ½ ((Pa – Pb)/ 4lη) a² Q= Π/ 8η ((Pa – Pb)/ l) a⁴

III. RESISTANCE AU MOUVEMENT DANS UN FLUIDE Particule d’argile dans un fluide, déplacement avion / voiture Déplacement des organismes dans leur milieu (poisson, bactérie, canard) Goutte de pluie : sphérique / r , indéformable

Forces qui s’appliquent au système : Poids de la goutte : P = - mgu = ρVgu Poussée d’archimède : Ar = ρVgu Résistance de l’air au passage de la goutte : F= ηs dv/dr = 2Πalη (dv/dr) (r=a) F= 8Πlη v (moy) De façon générale: F= kDηv (D= géometrie, η= viscosité, v= vitesse) Cas sphère : F = 6Πrηv Fsphère/fluide = 6Πηrv --- loi de Stoke Goutte : P + Ar + Fvis = 0 à l’équilibre : a= 0 (v constante= vitesse limite) Goutte de pluie : Ρeau 4/3 Πrᶟg = 6Πrηv + 4/3 Πrᶟ ρair g 4/3Πrᶟ (ρeau – ρair)g = 6Πrηv

V= 2/9 ( (ρeau – ρair)/ η) gr² Une goutte de brouillard : rb = 1µm vb= 1,2 10⁻⁴ m/s = 43,2 cm/h Une goutte de pluie : rp = 1mm vp = 121m/s

Ρeau = 1000 kg/mᶟ Ρair = 1,3 kg/mᶟ η = 1,8 10⁻⁵ Pa.s G = 9,8 m.s⁻²

IV MOUVEMENT LAMINAIRE / TURBULENT a) NOMBRE DE REYNOLDS (RE)

Mis en évidence 1883 par Gsborne Reynolds Nature de son régime :

Laminaire

Transitoire

Turbulent Régime visqueux ou inertiel Définition : c’est un nombre sans unité (dimension) rapport entre les forces d’inertie (ρv²/ d ρ= masse volumique ; v² = vitesse d’écoulement ; d= dimension du système) et les forces visqueuses (η * v/d² ) Donc Re= ρvd/η Re<< 1 l’écoulement est dominé par la viscosité Re> 1 l’écoulement est dominé par l’inertie 1< Re < 1500 : écoulement laminaire Re> 3000 : écoulement turbulent

b) ECOULEMENT A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS C’est la partie visqueuse qui joue un rôle. On définit alors la couche limite : δ= racine de (Lη/ ρv) (L = dimension du système) _ δ<<L/2 écoulement parfait _ δ >> L/2 écoulement visqueux

TENSION SUPERFICIELLE

I. INTRODUCTION A. EXPERIENCES INTRODUCTIVES

Eponge Bulle de savon Insectes aquatiques

B. FORCES DUES A LA TENSION SUPERFICIELLE Effet macroscopique. La force due à la tension superficielle est une force attractive exercée sur une interface (= sur une longueur). Elle se note : F= σ * l (ou γ * l) σ= coefficient de tension superficielle l= longueur _ σ est en N/m (mN/m) Eau : σ= 72,8 mN/m Ethanol : σ= 22mN/m Mercure (Hg) : σ= 436 mN/M (présence de liaisons métalliques)

C. INTERPRETATION MOLECULAIRE _σ= F/l = E/S Pour minimiser l’Energie, on doit diminuer la surface S entre le liquide et l’air le volume du liquide va alors se mettre sous la forme d’une sphère.

II. PHENOMENES LIES AU MOUILLAGE A. LE MOUILLAGE

C’est la capacité d’un liquide à s’étaler à la surface d’un solide

facteurs : nature du liquide Matériaux, nature Structure du matériau Quand la température augmente, l’agitation thermique augmente également et σ diminue. Effet du mouillage dans des tubes

B. CAPILLARITE

Loi de Junn

ΣF = 0 Approximation = variation de pression entre le haut et le bas du tube Poids : P= -mgu = -ρ(liq)Vgu = -ρ * h *πr²gu F due à la tension superficielle F= 2πrσcosϴ 2πrσcosϴ - ρhπr²g = 0 _h= 2πrσcosϴ / ρπr²g = 2σcosϴ/ ρrg

III. EFFET DE PRESSION Quelle est la variation de pression entre l’intérieur et l’extérieur

F pression= Δp * πr² F tension superficielle = 2πrσ A l’équilibre : F pression = F tension sup Δpπr² = 2πrσ Donc Δp= 2σ/r (Laplace) Si r diminue, Δp augmente. Eau : r= 1µm ; σ= 73 mN/m ; Δp = 1,46.10⁵ Pa A l’intérieur on a une pression supérieure à la pression atmosphérique. R= 1mm Δp= 1,46.10² Pa R= 1cm Δp = 14,6 Pa

Δp(air1/air2)= p(air1) - p(air2) = (p(air1) – p(eau)) + (p(eau) – p(air2)) = 2σeau/ rint + 2σeau/ rext R(int) = r(ext) = 4σeau/ r(moyen) Murissement d’Oswald petites se vident dans les grosses

IV. MESURE DE LA TENSION SUPERICIELLE 1) ANNEAU (VU EN TP DE L1)

Arrachement de l’anneau _ σ = F – Poids de l’anneau / 4πrcosϴ (4 car 2 * 2πr) (2πr = périmètre)

2) GOUTTE PENDANTE

10 gouttes d’eau poids σeau

10 gouttes d’éthanol σéthanol = Poids éthanol/ Poids eau * σeau

V. APPLICATION EN BIO _ poumons :

2m² de peau 100 m² de poumons Variation de la surface de 10% La surface augmente, l’énergie augmente si σ reste constant 0,5 µm de liquide = eau Alvéole R= 0,005 – 0,1 µm Loi de Laplace : Δp = 1460 Pa Δp = 2800 Pa (toujours grand)

Surfactant = mélange de lipides et de peptides modifie en permanence la σ (tension superficielle)

Montée de la sève Energie de cohésion entre 2 molécules d’un liquide. L = 20Ӑ

ΔE = 2σS Equivalent au travail de la force nécessaire à éloigner 2 molécules

ΔW= F* l ΔW=ΔE= F*l = 2Σs F/S = 2σ /l (S est en N/m² = Pa : c’est une pression) Pression = 2* σeau * 1/ l (σeau = 73.10⁻ᶟ et l= 20.10⁻ⁱ⁰) = 7,3. 10⁷ Pa

TENSION OSMOTIQUE

Cristal de sel dans l’eau : Choc osmotique, paroi des cellules semi perméable Laisse passer l’eau/ bloque les sels Pint = Pion + Peau Pext = Peau Pint + Pext = Pion = π (pression osmotique)

CA < CB Eau A B Cb diminue Variation de hauteur due à la pression osmotique Ions très dilués environ = aux gaz parfaits PV= nRT P= nRT/V = cRT

_π= Pa – Pb Pc’ = Patm – Pa’ Pa’ – Pb’ = Pa – Pb _ π = Pa’ – Pb’ = Pa’ – Pc’ _ π = ρgh = cRT h= Crt/ ρ(eau salée)g R= constante des gaz parfaits=

HASARD ET DIFFUSION

I. INTRODUCTION Déplacement des molécules dans un fluide Cas étudiés : fortes dilutions environ égales aux gaz parfaits Chocs élastiques entre les molécules ou entre les molécules et les parois Des trajectoires rectilignes que les molécules se déplacent à des vitesses bien déterminées et changent de trajectoire après chaque choc

Mouvement au hasard qui est caractérisé par Un libre parcours moyen Ou Une distance moyenne entre deux chocs

A) PARTICULES EN SUSPENSION

1) Mouvement Brownien Mouvement désordonné et les particules se déplacent au hasard Robert Brown : botaniste dans les années 1827 et a observé une solution de pollen au microscope : les particules bougent. Elles sont ballotées par les particules su solvant Un corps en solution = soluté Solution peut être classée en trois catégories :

Soluté environ = ions ou molécules . solution ordinaire ou moléculaire (non observable)

Protéine/virus dim 10⁻² µm solution colloidale (astuce pour observer les colloides)

Hématies / leucocytes dim 10µm suspension ou émulsion (observable par microscopie)

Mouvement de ces particules détectables = environ agitation thermique des molécules = énergie cinétique interne désordonnée = chaleur du système A température ambiante :

Particules virus protéine molécules

Masses (kg) 2.10⁻ⁱ⁷ 2.10⁻²ᶟ 4,5. 10⁻²⁶

Vitesse (m/s)

0,025 25 530

2) Expérience de Pernn Solution colloidale (gaz parfait) effet de la pesanteur

P(z)= p(z0)e(-α(z-z0) ) α = mg/kT En comptant le nombre de particules pour chaque z _ n(z) = n(z0)e(-α(z-z0)) On applique le ln

α = mg/kT = mgṈ/RT (Ṉ = nombre d’avogadro= 6, 02310 *10²ᶟ molécules/mol)

B) LIBRE PARCOURS MOYEN 1) Loi de distribution

Notée λ distance parcourue entre 2 chocs _ r1 est la distance parcourue entre les points i (i différent de 1) La distance moyenne parcourue entre deux chocs _ λ = 1/N Σr1 N est le nombre de choc (N suffisamment grand) De la même manière si t1 est l’intervalle de temps entre les chocs i (i différent de 1) _ τ = 1/N Σ ti (temps moyen entre deux chocs)

_ τ et λ sont reliés par la vitesse moyenne : λ environ = Ṽτ

Loi de distribution : Si on regarde le distribution de particules n’ayant pas subi de collision au bout d’un intervalle de temps t correspondant loi exponentielle

N(t) = No e (-t/τ) idem que la décroissance radioactive : τ : la constante de temps De la même manière en fonction de la distance moyenne parcourue :

X= variable de distance N(x)= No e (-x/λ) No= 100 N(x) pour x/ λ = 3

2) Section efficace de collision Quelle est l’influence de la taille ? Particules sphériques de même rayon

Cylindre de longueur l : distance de déplacement Volume du cylindre : πr²*l Quelle est la veleur de d pour qu’il y ait collision : d< 2R Volume autour de la sphère 1 : 4Πr²l Si la sphère 2 est dans ce volume, il y aura chocs. _ n = le nombre de particules par unité de volume Le nombre de chocs = 4πr²l*n Le litre parcours moyen : _ λ= l/ν (l= distance totale parcourue ν= nombre de chocs) _λ= l/ 4πr²ln = 1/ 4πr²n _ λ= 1/nv (n= nombre de particules par unité de volume v= section efficace %R) Plus il y a de particules, plus λ sera petit Plus la taille des particules est grande et plus λ sera petit

C) MARCHE AU HASARD 1) Diffusion des molécules

N= nombre de chocs

OPN = OP(N-1) + l OPN² = OP(N-1)² + l² + OP(N-1) - l =0 OPN² = Nl² √(OPN²) = α √(N) α proportionnel à α√(t) La distance parcourue dépend de √(t) On cherche le coefficient de proportionnalité entre la distance parcourue et le temps coefficient de diffusion Système à une seule dimension (planche du fakir)

Loi mathématique qui décrit le phénomène : P(x, t) = 1/ √(2πNl²) * e(-x²/ 2Nl) P= probabilité _ x= distance parcourue N = nombre de chocs _ l = distance moyenne entre 2 chocs _ ts= temps moyen entre deux chocs - t(total) = Nts donc N= t/ts P(x, t) = √ (ts / 2πtl²) * e(-x²ts/ 2tl²) D= coefficient de diffusion : D = l² / 2ts = 1/ √(4πDt)* e(-x²/ 4Dt) D est en m²/s

Molécules Solvant D (cm²/s)

Hydrogène Air 0,64

Oxygène air 0,16

Oxygène Eau 1.10⁻⁵

Eau Eau 2.10⁻⁵

Glucose Eau 6,7. 10⁻⁶

ADN Eau 0,13