Hydraulique des sols II Maxali BA Rankine

Ecoulement travers un barrage Drain Ligne phratique Sol partiellement satur Ecoulement de leau

2

2

2

20

h

x

h

z

z x

Reprsentation graphique de la solution 1. Equipotentielles Courbes dgales charge hydraulique, h(x,z) Equipotentielles (EP)

Ligne phratique Ligne dcoulement(FL) 2. Lignes dcoulement Chemins suivis par les particules deau tangentiels lcoulement Equipotentielles (EP) Reprsentation graphique de la solution

Proprits des Equipotentielles h(x,z) = constant (1a) Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP)

h(x,z) = constant (1a)

h

xdx

h

zdz 0Alors : (1b) Proprits des Equipotentielles Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP)

h(x,z) = constant (1a)

h

xdx

h

zdz 0Alors : (1b) Pente quipotentielle dz

dx

h x

h zEP

/

/(1c) Proprits des Equipotentielles Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP)

z

xGomtrie vz vx Cinmatique Proprits des lignes dcoulement A partir de la gomtrie (2b) dxdz vvFL xz Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP)

Kinematics A partir de la gomtrie (2b) Maintenant avec la Loi de Darcy dxdz vvFL xz v k hxx v k hzz zx vz vx Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP) Gomtrie Cinmatique Proprits des lignes dcoulement

z

x vz vx A partir de la gomtrie (2b) Maintenant avec la Loi de Darcy Alors (2c) dxdz vvFL xz v k hxx dxdz

h x

h zFL

v kh

zz

Gomtrie Cinmatique Proprits des lignes dcoulement Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP)

Orthogonalit entre lignes dcoulement et quipotentielles dz

dx

h x

h zEP

/

/

dx

dz

h x

h zFL

Sur un quipotentiel Sur une ligne de courant Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP)

dz

dx

h x

h zEP

/

/

dx

dz

h x

h zFL

Alors dxdz

dx

dzFL EP

1 (3) Orthogonalit entre lignes dcoulement et quipotentiels Sur un quipotentiel Sur une ligne de courant Ligne dcoulement (FL) Equipotentielles (EP)

QX y z t T Y Z X FL FL Proprits gomtriques du rseau dcoulements Q

h h+h h+2h EP Un tube de courant est lespace compris entre deux lignes de courant Chaque espace compris entre deux quipotentiels correspond une perte de charge

QX y z t T Y Z X FL FL v Qyx (4a) A partir de la dfinition de lcoulement Q

h h+h h+2h EP Proprits gomtriques du rseau dcoulements

QX y z t T Y Z X FL FL v Qyx v k hzt (4a) (4b) A partir de la Loi de Darcy Q

h h+h h+2h EP Proprits gomtriques du rseau dcoulements A partir de la dfinition de lcoulement

QX y z t T Y Z X FL FL v Qyx v k hzt Qk h yxzt (4a) (4b) (4c) En combinant (4a)&(4b) Q

h h+h h+2h EP Proprits gomtriques du rseau dcoulements A partir de la Loi de Darcy A partir de la dfinition de lcoulement

QX y z t T Y Z X FL FL v Qyx v k hzt Qk h yxzt

Q

k h

YX

ZT

(4a) (4b) (4c) (4d) En similaire Q h h+h h+2h EP Proprits gomtriques du rseau dcoulements En combinant (4a)&(4b) A partir de la Loi de Darcy A partir de la dfinition de lcoulement

QX y z t T Y Z X FL FL v Qyx v k hzt Qk h yxzt

Q

k h

YX

ZT

(4a) (4b) (4c) (4d) Q h h+h h+2h EP Conclusion yxzt

YX

ZT (5) Proprits gomtriques d rseau dcoulements Similairement En combinant (4a)&(4b) A partir de la Loi de Darcy A partir de la dfinition de lcoulement

Q a b c d D B C A hh h FL Q EP( h ) EP ( h + h ) Proprits gomtriques des rseau dcoulement

v Qcd (6a) A partir de la dfinition de lcoulement Q a b c d D B C A hh h FL Q EP( h ) EP ( h + h ) Proprits gomtriques du rseau dcoulements

v Qcd v k hab (6a) (6b) A partir de la Loi de Darcy Q a b c d D B C A hh h FL Q EP( h ) EP ( h + h ) Proprits gomtriques du rseau dcoulements A partir de la dfinition de lcoulement

v Qcd

Qk h cdabv k hab

Qk h CDAB (6a) (6b) (6c) (6d) En combinant (6a)&(6b) Q a b c d D B C A hh h FL Q EP( h ) EP ( h + h ) Proprits gomtriques du rseau dcoulements A partir de la Loi de Darcy A partir de la dfinition de lcoulement Similairement

v Qcd

Qk h cdabv k hab

Qk h CDAB (6a) (6b) (6c) (6d) Conclusion cdab CDABQ a b c d D B C A hh h FL Q EP( h ) EP ( h + h ) Proprits gomtriques du rseau dcoulements En combinant (6a)&(6b) A partir de la Loi de Darcy A partir de la dfinition de lcoulement Similairement

En traant le rseau dcoulement laide de la

main, il faudrait se rappeler que :

Chaque tube de courant dtient le mme dbit Q

La perte de charge entre deux quipotentiels, h, est la mme

Alors le rseau dcoulement est considr comme des CARRES

Proprits gomtriques du rseau dcoulements

Dmonstration des aires carrs laide des cercles circonscrites Proprits gomtriques du rseau dcoulements

Trac du rseau dcoulement Pour calculer le dbit ainsi que les pressions interstitielles

dans le sol un rseau dcoulement devrait tre tracer.

Le rseau dcoulement devrait comprendre une famille

de lignes orthogonales (de prfrence qui dcrivent un

maillage carr) et surtout devrait satisfaire aux conditions

aux limites.

Eau Repre H-z z H (7) Conditions aux limites familires a. Une surface horizontale ou incline sur le contour immerg dun bassin correspond une quipotentielle h u z w w

H-z

z

H (7) h u z Maintenant u H z w w w w ( ) Conditions aux limites familires a. Une surface horizontale ou incline sur le contour immerg dun bassin correspond une quipotentielle Eau Repre

H-z

z

H (7) h u z u H z alors

h H z

z H

w

w

w w

w

w

( )

( )

Conditions aux limites familires a. Une surface horizontale ou incline sur le contour immerg dun bassin correspond une quipotentielle

Maintenant

Eau Repre

Sol permable Ligne de courant vn=0 vt Matriau impermable b. Une limite impermable correspond une ligne de courant Conditions aux limites familires

c. Ligne pression interstitielle constante - ex. Surface phratique h

u z w

w

Conditions aux limites familires La charge est donne par

h u

z w

w

h u

z w

w

Conditions aux limites familires La charge est donne par et alors c. Ligne pression interstitielle constante - ex. Surface phratique

h u

z w

w

h u

z w

w

u w

0

Conditions aux limites familires La charge est donne par et alors maintenant si la pression interstitielle est constante c. Ligne pression interstitielle constante - ex. Surface phratique

h u

z w

w

h u

z w

w

h z

u w

0

La charge est donne par et alors maintenant si la pression interstitielle est constante et ainsi (8) Conditions aux limites familires c. Ligne pression interstitielle constante - ex. Surface phratique

Conditions aux limites familires c. Ligne pression interstitielle constante - ex. Surface phratique

Procdure pour tracer le rseau dcoulement Les conditions aux limites de lcoulement doivent tre respectes.

Procdure pour tracer le rseau dcoulement Les conditions aux limites de lcoulement doivent tre respectes. Tracer un rseau grossier mettant bien en relief les conditions aux limites et ayant des quipotentiels et des lignes de courant orthogonaux. (il est commun de visualiser le mode dcoulement, alors il faut commencer par dessiner les lignes de courant).

Procdure pour tracer le rseau dcoulement Les conditions aux limites de lcoulement doivent tre respectes. Tracer un rseau grossier mettant bien en relief les conditions aux limites et ayant des quipotentiels et des lignes de courant orthogonaux. (il est commun de visualiser le mode dcoulement, alors il faut commencer par dessiner les lignes de courant). Modifier le maillage pour quil pouse les conditions dfinies plus haut et de telle sorte que les lignes de courant et les quipotentiels forment des quadrilatres curvilignes ayant une forme aussi carre que possible.

Procdure pour tracer le rseau dcoulement Les conditions aux limites de lcoulement doivent tre respectes. Tracer un rseau grossier mettant bien en relief les conditions aux limites et ayant des quipotentiels et des lignes de courant orthogonaux. (il est commun de visualiser le mode dcoulement, alors il faut commencer par dessiner les lignes de courant). Modifier le maillage pour quil pouse les conditions dfinies plus haut et de telle sorte que les lignes de courant et les quipotentiels forment des quadrilatres curvilignes ayant une forme aussi carre que possible. Affiner le rseau dcoulement en rptant les tapes prcdentes. Le rseau est trac par approximations successives. Avec cette faon de procder, la perte de charge entre deux quipotentielles voisines est constante.

Valeur de la charge hydraulique sur les quipotentielles Ligne phratique (9) Repre 15 m h = 15m h = 12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0 h H Nombre dintervalles quipotentiels

15 m h = 15m h =12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0 Pour un tube de courant de largeur 1m : Q = k h (10a) Calcul du dbit Ligne phratique

15 m h = 15m h =12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0 Pour un tube de courant de largeur 1m : Q = k h (10a) pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m Q = 10-5 x 3 m3/sec/m (10b) Calcul du dbit Ligne phratique

15 m h = 15m h =12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0 Pour un tube de courant de largeur 1m : Q = k h (10a) pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m Q = 10-5 x 3 m3/sec/m (10b) Pour les 5 tubes de courant Q = 5 x 10-5 x 3 m3/sec/m (10c) Calcul du dbit Ligne phratique

15 m h = 15m h =12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0 Pour un tube de courant de largeur 1m : Q = k h (10a) pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m Q = 10-5 x 3 m3/sec/m (10b) Pour les 5 tubes de courant Q = 5 x 10-5 x 3 m3/sec/m (10c) Pour une largeur de barrage de 25m Q = 25 x 5 x 10-5 x 3 m3/sec (10d) Calcul du dbit Ligne phratique

Pour un tube de courant de largeur 1m : Q = k h (10a) pour k = 10-5 m/s et une largeur de 1m Q = 10-5 x 3 m3/sec/m (10b) Pour les 5 tubes de courant Q = 5 x 10-5 x 3 m3/sec/m (10c) Pour une largeur de barrage de 25m Q = 25 x 5 x 10-5 x 3 m3/sec (10d) Calcul du dbit 15 m h = 15m h =12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0 Q k

H

NN

hfEn mtre linaire (10e) Ligne phratique

P 5m h u zww

(11a) Calcul de la pression interstitielle Ligne phratique P 5m La pression interstitielles partir de 15 m h = 15m h = 12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0

uw w [ ( )]12 5 (11b) P, en utilisant la base du barrage comme cte de rfrence P 5m h u zww (11a) Calcul de la pression interstitielle Ligne phratique P 5m La pression interstitielles partir de 15 m h = 15m h = 12m h = 9m h = 6m h = 3m h = 0